多元函数的概念极限

时间安排 第 7 次课，

章节 名称 §8 1 多元函数的基本概念

教学目的 1.了解平面点集的有关概念，理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限。

教学重点与 难点

教学重点：二元函数的极限概念； 教学难点：二元函数的极限概念

教 学 内 容 与 过 程 设 计

一、平面点集 1．平面点集  平面点集: 坐标平面上具有某种性质P的点的集合记作 E{(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是 C{(x y)| x2y2r2} 如果我们以点P表示(x y) 以|OP|表示点P到原点O的距离 那么集合C可表成 C{P| |OP|r}

 邻域 设P0(x0 y0)是xOy平面上的一个点 是某一正数 与点P0(x0 y0)距离小于的点P (x y)的全体 称为点P0的邻域 记为U (P0  即

}|| |{),(00PPPPU或} )()( |) ,{(),(20200yyxxyxPU 邻域的几何意义 U (P0 )表示xOy平面上以点P0(x0 y0)为中心、 >0为半径的圆的内部的点P (x y)的全体 

点P0的去心邻域 记作) ,(0PU 即 }||0 |{) ,(00PPPPU 注 如果不需要强调邻域的半径 则用U (P0)表示点P0的某个邻域 点P0的去

心邻域记作)(0PU  点与点集之间的关系 任意一点PR2与任意一个点集ER2之间必有以下三种关系中的一种 (1)内点 如果存在点P的某一邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的内点 (2)外点 如果存在点P的某个邻域U(P) 使得U(P)E 则称P为E的外点 (3)边界点 如果点P的任一邻域内既有属于E的点 也有不属于E的点 则称P点为E的边点 教 学 内 容 与 过 程 设 计

E的边界点的全体 称为E的边界 记作E E的内点必属于E E的外点必定不属于E 而E的边界点可能属于E 也可能不属于E 

开集 如果点集E 的点都是内点 则称E为开集 闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E为闭集 开集的例子 E{(x y)|1 闭集的例子 E{(x y)|1x2y22} 集合{(x y)|1x2y22}既非开集 也非闭集 连通性 如果点集E内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E为连通集

区域(或开区域) 连通的开集称为区域或开区域 例如E{(x y)|1x2y22} 闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E  {(x y)|1x2y22}

有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EU(O r) 其中O是坐标原点 则称E为有界点集 无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集 例如 集合{(x y)|1x2y22}是有界闭区域 集合{(x y)| xy1}是无界开区域 集合{(x y)| xy1}是无界闭区域

二 多元函数概念 1. 二元函数: 设有变量x、y与z. 如果变量x、y在一定的范围内任意取定一对值时,变量z按照一定的对应法则f总有唯一确定的数值与之对应,那么就称这个对应法则是变量的的二元函数,变量x、y称为自变量,变量z称为因变量.自变量x、y允许取值的范围称为函数的定义域.表示为

zf(x y) (x y)D (或zf(P) PD)

其中点集D称为该函数的定义域 上述定义中 与自变量x、y的一对值(x y)相对应的因变量z的值 也称为f在点(x y)处的函数值 记作f(x y) 即zf(x y) 值域 f(D){z| zf(x y) (x y)D} 函数的其它符号 zz(x y) zg(x y)等 类似地可定义三元函数uf(x y z) (x y z)D以及三元以上的函数 2. 二元函数的图形 3. 多元函数:一般地 把定义1中的平面点集D换成n维空间Rn内的点集D 映射f  DR就称为定义在D上的n元函数 通常记为 uf(x1 x2     xn) (x1 x2     xn)D 或简记为 uf(x) x(x1 x2     xn)D 也可记为 uf(P) P(x1 x2     xn)D  关于函数定义域的约定 在一般地讨论用算式表达的多元函数uf(x)时 就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域 因而 对这类函数 它的定义域不再特别标出 例如 函数zln(xy)的定义域为{(x y)|xy>0}(无界开区域) 函数zarcsin(x2y2)的定义域为{(x y)|x2y21}(有界闭区域) 二元函数的图形 点集{(x y z)|zf(x y) (x y)D}称为二元函数zf(x y)的图形 二元函数的图形是一张曲面 例如 zaxbyc是一张平面 而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面

三 二元函数的极限 定义2 设二元函数f(P)f(x y)的定义域为D P0(x0 y0)是D的聚点 如果存在常数A

对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0PUDyxP时 都有 |f(P)A||f(x y)A| 成立 则称常数A为函数f(x y)当(x y)(x0 y0)时的极限 记为

Ayxfyxyx),(lim),(),(00 或f(x y)A ((x y)(x0 y0))

也记作 APfPP)(lim0或f(P)A(PP0)

上述定义的极限也称为二重极限 例1. 设22221sin)(),(yxyxyxf 求证0),(lim)0,0(),(yxfyx 证 因为 2222222222 |1sin||| |01sin)(||0),(|yxyxyxyxyxyxf

可见 >0 取 则当 22)0()0(0yx 即),(),(OUDyxP时 总有 |f(x y)0| 因此0),(lim)0,0(),(yxfyx

必须注意  (1)二重极限存在 是指P以任何方式趋于P0时 函数都无限接近于A (2)如果当P以两种不同方式趋于P0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论 函数0 00 ),(222222yxyxyxxyyxf在点(0 0)有无极限？  提示 当点P(x y)沿x轴趋于点(0 0)时 00lim)0 ,(lim),(lim00)0,0(),(xxyxxfyxf

当点P(x y)沿y轴趋于点(0 0)时 00lim) ,0(lim),(lim00)0,0(),(yyyxyfyxf

当点P (x y)沿直线ykx有 22222022 )0,0(),(1limlimkkxkxkxyxxyxkxyyx 

因此 函数f(x y)在(0 0)处无极限

极限概念的推广 多元函数的极限 多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似

例2 求xxyyx)sin(lim)2,0(),( 解 yxyxyxxyyxyx)sin(lim)sin(lim)2,0(),()2,0(),(yxyxyyxyx)2,0(),()2,0(),(lim)sin(lim

122

例题选讲

例1求二元函数222)3arcsin(),(yxyxyxf的定义域.

例2已知函数,),(2222yxyxyxyxf 求),(yxf. 二元函数的极限 例3求极限 2222001sin)(limyxyxyx.

例4 求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 例5求极限 22limyxyxyx. 例6 求极限 .2lim424300yxxxyyx 例7求xyyxyx)(lim2200. 例8证明 2200limyxxyyx 不存在. 例9 证明 26300limyxyxyx不存在.

教 学 后 记 *

*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结，

因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。