高中数学必修2课件全册(人教A版)
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计
一、教学内容解析
本节课的内容是人教A版《普通高中教科书 数学 必修 第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.
本节课教学重点：研究球的体积和表面积.
二、教学目标设置
结合课标要求，本节课制定如下教学目标：
1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；
2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；
3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.
三、学生学情分析
(一)已具备的认知基础
1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；
2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.
（二）可能存在的认知困难
对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？ 因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体.
四、教学策略分析
本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.
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人教a版高中数学必修二必背基本公式
复数
一．复数的概念及其几何意义
1．形如的数叫复数，其中叫做复数的虚数单位，且，叫做复数的实部，叫做复数的虚部．复数集用集合表示．
2．复数的分类：对于复数
① 当时，是实数； ② 当时，是虚数； ③ 当且时，是纯虚数．
3．复数相等：若，，则的充要条件是且．
特别地：若的充要条件是．
4．共轭复数：实部相等，虚部互为相反数．若，则它的共轭复数．
5．复数与复平面内的点一一对应．
复数与复平面内所有以原点o为起点的向量一一对应．，与它的共轭复数对应的点关于x轴对称．复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 6．复数的模：向量的模叫做复数的模，记作或，且．
二．复数四则运算
1.复数的加法、减法、乘法、除法运算：
加法、减法法则：；
乘法法则：；
除法法则：．
三角函数和解三角形
一．扇形面积公式
（1）弧度制下：弧长l＝|α|·r，扇形面积
二．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈r)． (2)商数关系：tan α＝
三．三角函数的图象和性质
正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
性质
图象
定义域 值域
最值 当时，
；
当时，
． 当时，
；
当时，
．
周期性
奇偶性 ,奇函数 偶函数
单调性 是增函数；
是减函数． 是增函数；
是减函数．
对称性 对称中心
对称轴，
既是中心对称又是轴对称图形. 对称中心
对称轴，
既是中心对称又是轴对称图形.
四．两角和与差的三角函数公式的应用
两角和与差的正弦、余弦、正切公式 c(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ； c(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcos_β－sinαsinβ；
人教A版高中数学必修第二册全册学案
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人教A版高中数学必修第二册全册学案
一、学案概述
本学案是以人教A版高中数学必修第二册全册教材为基础，为学生提供全面的学习指导。旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。
二、知识梳理
本学案按照教材章节顺序，对各章节知识点进行了梳理。对于每个知识点，学案提供了相关例题和解析，以便学生加深对知识点的理解和掌握。
第一章 集合与函数
1.1 集合及其表示方法 1.2 集合之间的关系 1.3 函数及其表示方法 1.4 函数的性质
第二章 三角函数
2.1 正弦、余弦、正切函数的定义与性质 2.2 三角函数的图像及变换方法 2.3 三角函数的应用
第三章 数列 3.1 数列的概念与分类 3.2 等差数列和等比数列的通项公式 3.3
数列的前n项和公式 3.4 数列的应用
第四章 平面几何
4.1 点、线、面的基本概念和性质 4.2 三角形、四边形的性质和判定方法 4.3 多边形、圆、扇形、弓形的性质和面积计算方法 4.4 几何图形的作图方法
第五章 概率与统计
5.1 概率的基本概念和计算方法 5.2 统计的基本概念和方法 5.3
中心极限定理的应用
三、学习建议
1、学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，逐步掌握各章节知识点。
2、对于每个知识点，学生应通过多种方式进行练习，例如课堂练习、课后作业、自主解题等，加深对知识点的理解和掌握。
3、学生应注意知识点的归纳和总结，形成自己的知识体系。
4、学生应积极参加课堂讨论和提问，与老师和同学交流学习心得，提高学习效果。 四、总结归纳
本学案对人教A版高中数学必修第二册全册教材进行了全面的知识梳理和学习指导，旨在帮助学生更好地掌握教材中的知识点，提高学习效率和学习成绩。学生应根据个人学习情况，制定合理的学习计划，通过多种方式进行练习，注意知识点的归纳和总结，积极参加课堂讨论和提问，提高学习效果。
最新人教版高中数学必修2第三章《两条平行直线间的距离》
3．3.4 两条平行直线间的距离
1．掌握两条平行直线间距离的定义．
2．会求两条平行直线间的距离．
两条平行直线间的距离
(1)定义：夹在两条平行直线间__________的长叫做这两条平行直线间的距离．
(2)求法：转化为求__________的距离，即在其中任意一条直线上任取一点，这点到另一条直线的距离就是这两条平行直线间的距离．
【做一做】 两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于( )
A.522 B.22 C．52 D.2
答案：(1)公垂线段 (2)点到直线
【做一做】 A
两条平行直线间的距离公式
剖析：对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0.当直线l1∥l2时，它们的方程可以化为以下形式：直线l1：Ax＋By＋D1＝0，直线l2：Ax＋By＋D2＝0.
在直线l1上任取一点P(x0，y0)，则有l1：Ax0＋By0＋D1＝0，即Ax0＋By0＝－D1.
所以点P到直线l2的距离d＝|Ax0＋By0＋D2|A2＋B2＝|－D1＋D2|A2＋B2＝|D1－D2|A2＋B2 ，
即直线l1，l2的距离d＝|D1－D2|A2＋B2.
(1)使用两条平行直线间的距离公式的前提条件：
①把直线方程化为直线的一般式方程；
②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
(2)求两条平行直线间的距离通常转化为其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离，且两条平行线间距离与其中一条直线上点的选取无关．
(3)当两条直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合方法来解决．
①两条直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，则两条平行直线间的距离d＝|x2－x1|；
②两条直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，则两条平行直线间的距离d＝|y2－y1|.
题型一：求两条平行线间的距离 【例1】 求两条平行线l1：3x＋4y－5＝0和l2：6x＋8y－9＝0间的距离．
最新人教版高中数学必修2第四章《直线与圆的位置关系》
4．2.1 直线与圆的位置关系
1．知道直线与圆的位置关系的分类．
2．能根据方程，判断直线和圆的位置关系．
3．能够解决有关直线和圆的位置关系的问题．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 ____个 ____个 ____个
判
定
方
法 几何法：设圆心到直线的距离d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2 d____r
d____r d____r
代数法：由 Ax＋By＋C＝0x－a2＋y－b2＝r2
消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ____0 Δ____0 Δ____0
【做一做】 直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是( )
A．过圆心 B．相切 C．相离 D．相交
答案：两 一 零 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜
【做一做】 D
代数法与几何法的比较
剖析：代数法的运算量较大，几何法的运算量较小，并且也简单、直观．受思维定式的影响，看到方程就想解方程组，自然就想到代数法．
【例】 若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100：①相交；②相切；③相离，试分别求实数a的取值范围．
解法一：(代数法)
由方程组 4x－3y＋a＝0，x2＋y2＝100，消去y，
得25x2＋8ax＋a2－900＝0.
则Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90 000.
①当直线和圆相交时，Δ＞0，即－36a2＋90 000＞0，解得－50＜a＜50；
②当直线和圆相切时，Δ＝0，解得a＝50或a＝－50；
③当直线和圆相离时，Δ＜0，解得a＜－50或a＞50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线4x－3y＋a＝0的距离d＝|a|32＋42＝|a|5. ①当直线和圆相交时，d
②当直线和圆相切时，d＝r，即|a|5＝10，所以a＝50或a＝－50；
人教版高中数学必修二第2章2.22.2.3直线与平面平行的性质
223直线与平面平行的性质
学习目标
1. 了解直线与平面平行的性质定理的探究以及证明过 程.
2. 理解直线与平面平行的性质定理的含义并能应
用.（重点）
3. 能够综合应用直线与平面平行的判定定理和性质定 理进行线面平行的相互转化.（难点）
自主预习。播新和
zizHi jyt xi
口新知初探I
直线与平面平行的性质定理
文字语言 一条直线与一个平面平行,
面的交线与该直线平行• 过该直线的任意一个平面与已知平
符号语言 a // a, a? 3, aA b? a / b
图形语言
思考：若a// a b? a,则直线a 一定与直线b平行吗？
［提示］不一定.由a/ a,可知直线a与平面a无公共点，又b? a,,所
以a与b无公共点,所以直线a与直线b平行或异面.
口初试身^□
1. 如图，过正方体 ABCD-A
'B C 'D的棱BB '作一平面交平面 CDD'C于EE : 则BB与EE的位置关系是（ ）
核心素养
通过学习直线与平面
平行的性质，提升直观
想象、逻辑推理的数学
素养• A .平行 B .相交
C•异面 D .不确定
A ［因为 BB'// 平面 CDD C ； BB 7 平面 BB'E'E，平面 BB'E^G 平面 CDD
C
=EE 所以 BB ' // EE '.］
2. 设m、n是平面a外的两条直线，给出以下三个论断：
①m// n；②m// a；③n// a
以其中两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的
一个命题： ________ .(用序号表示)
①②？③(或①③？②)［设过m的平面B与a交于I •因为m//a,所以m//l，
因为m // n，所以n // I，因为n?a, I? a，所以n // a］
合作探究。I星驀养
直线与平面平行性质定理的应
用
［探究问题］
1. 直线与平面平行性质定理的条件有哪些?
［提示］线面平行的性质定理的条件有三个：
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册同步练习
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6．1 平面向量的概念
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
④与非零向量a共线的单位向量是a|a|.
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①②③明显是错误的；对于④，与非零向量a共线的单位向量是a|a|或－a|a|，故④也是错误的．
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，两向量终点相同，若夹角是0°或180°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )
A.AB→＝OC→ B.AB→∥DE→
C．|AD→|＝|BE→| D.AD→＝FC→
解析：选D.由题图可知，|AD→|＝|FC→|，但AD→、FC→的方向不同，故AD→≠FC→，故选D.
4．设O是△ABC的外心，则AO→，BO→，CO→是( )
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个顶点A，B，C的
- 2 - 距离相等，所以AO→，BO→，CO→是模相等的向量．
5．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤a|a|＝b，其中正确的有( )
A．①④⑤ B．③
C．①②③⑤ D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有a∥b，故不正确；③向量的模长是非负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故④不正确；⑤a|a|是与a同向的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
高中数学人教A版(2019)必修第二册知识点总结
高中数学 必修2
第六章 平面向量
设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则
（1）为的外心.
（2）为的重心.
（3）为的垂心.
（4）为的内心.
【6.1】平面向量的概念
1、向量的定义及表示（向量无特定的位置，因此向量可以作任意的平移）
（1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
（2）表示：①有向线段：带有方向的线段，它包含三个要素：起点、方向、长度；
①向量的表示：
2、向量的有关概念：相等向量是平行（共线）向量，但平行（共线）向量不一定是相等向量
向量名称 定义
零向量 长度为0的向量，记作0
单位向量 长度等于1个单位长度的向量
平行向量
（共线向量） 方向相同或相反的非零向量，向量a，b平行，记作a①b，
规定：零向量与任一向量平行
相等向量 长度相等且方向相同的向量；向量a，b相等，记作a＝b
【6.2】平面向量的运算
1、向量的加法
（1）定义：求两个向量和的运算.
（2）运算法则：
向量求和的法则 图示 几何意义
三角形法则
使用三角形法则时要注意“首尾相接”的条件，而向量加法的平行四边法则应用的前提是共起点 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＝a，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝b，则向量𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ 叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ＋𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ＝𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗
平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作①OACB，则以O为起点的向量𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ （OC是①OACB的对角线）就是向量a与b的和
（3）规定：对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.
（4）位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型；力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型. ABC,,ABC,,abcOABC222OAOBOCOABC0OAOBOCOABCOAOBOBOCOCOAOABC0aOAbOBcOC
人教版A版高中数学必修二全册课件【完整版】
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一、直线与方程
1. 直线的斜率
定义：直线斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标之差与横坐标之差的比值。
计算公式：k = (y2 y1) / (x2 x1)
性质：斜率k与直线倾斜角度的关系为k = tan(θ)，其中θ为直线与x轴正方向的夹角。
2. 直线的截距
定义：直线截距是指直线与y轴的交点的纵坐标。
计算公式：b = y kx，其中k为直线斜率，x为直线与x轴的交点的横坐标，y为直线与y轴的交点的纵坐标。
3. 直线方程
点斜式：y y1 = k(x x1)，其中k为直线斜率，(x1, y1)为直线上的一点。
斜截式：y = kx + b，其中k为直线斜率，b为直线截距。
一般式：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。
4. 两条直线的位置关系
平行：两条直线的斜率相等。
垂直：两条直线的斜率互为负倒数。 相交：两条直线的斜率不相等。
二、圆与方程
1. 圆的定义
定义：圆是平面上所有与一个固定点（圆心）距离相等的点的集合。
2. 圆的标准方程
方程：(x a)² + (y b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为半径。
3. 圆的一般方程
方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0，其中D、E、F为常数。
4. 圆与直线的位置关系
相离：直线与圆没有交点。
相切：直线与圆有且仅有一个交点。
相交：直线与圆有两个交点。
三、椭圆与方程
1. 椭圆的定义
定义：椭圆是平面上所有与两个固定点（焦点）距离之和等于常数的点的集合。
2. 椭圆的标准方程
方程：(x h)²/a² + (y k)²/b² = 1，其中(h, k)为椭圆中心坐标，a为椭圆长轴的一半，b为椭圆短轴的一半。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：6.4.3 第1课时 余弦定理 学案
- 1 - 余弦定理
考点 学习目标 核心素养
余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理
余弦定理的推论 掌握余弦定理的几种变形公式及应用 数学运算
三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题 数学运算
问题导学
预习教材P42－P44的内容，思考以下问题：
1．余弦定理的内容是什么？
2．余弦定理有哪些推论？
1．余弦定理
文字语言 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
符号语言 a2＝b2＋c2－2bccos__A
b2＝a2＋c2－2accos__B
c2＝a2＋b2－2abcos__C
■名师点拨
余弦定理的理解
(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立.
(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．
(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．
2．余弦定理的推论
cos A＝b2＋c2－a22bc；
cos B＝a2＋c2－b22ac；
cos C＝a2＋b2－c22ab．
- 2 - ■名师点拨
余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．
3．三角形的元素与解三角形
(1)三角形的元素
三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．
(2)解三角形
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( )
(2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( )
(3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( )
(4)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则∠A为锐角．( )
(5)在△ABC中，若b2＋c2＜a2，则△ABC为钝角三角形．( )