北师大版九年级数学下册第1、2章综合培优练习——提高卷(含答案)

北师大版九年级数学下册第1、2章综合培优练习——提高卷 (时间：90分钟满分：120分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值是(D)

A.34 B.43 C.35 D.45 2.当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为(A) A.－2 B.1 C.2 D.9 3.(河南中考)在二次函数y＝－x2＋2x＋1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是(A) A.x＜1 B.x＞1 C.x＜－1 D.x＞－1 4.在△ABC中，把三边的长度都扩大为原来的5倍，则锐角A的正弦函数值(C)

A.缩小为原来的15 B.扩大为原来的5倍 C.不变 D.不能确定 5.在直角坐标系xOy中，点P(4，y)在第四象限内，且OP与x轴正半轴的夹角的正切值是2，则y的值是(D) A.2 B.8 C.－2 D.－8 6.抛物线图象如图所示，根据图象，抛物线的表达式可能是(C)

A.y＝x2－2x＋3 B.y＝－x2－2x＋3 C.y＝－x2＋2x＋3 D.y＝－x2＋2x－3 7.(泰安中考)如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是(D)

A.20海里 B.40海里 C.2033海里 D.4033海里 8.函数y＝－x2＋2(m－1)x＋m＋1的图象如图，它与x轴交于A，B两点，线段OA与OB的比为1∶3，则m的值为(D) A.13或2 B.13 C.1 D.2 9.在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为p，OP与x轴正方向的夹角为α，则用[p，α]表示点P的极坐标，显然，点P的极坐标与它的坐标存在一一对应关系.例如：点P的坐标为(1，1)，则其极坐标为[2，45°]；若M的坐标为(－1，－1)，则其极坐标为[2，225°].若点Q的极坐标为[4，60°]，则点Q的坐标为(A) A.(2，23) B.(2，－23) C.(23，2) D.(2，2) 10.(梅州中考)对于二次函数y＝－x2＋2x，有下列四个结论：①它的对称轴是直线x＝1；②设y1＝－x21＋2x1，y2

＝－x22＋2x2，则当x2>x1时，有y2>y1；③它的图象与x轴的两个交点是(0，0)和(2，0)；④当00.其中

正确的结论的个数为(C) A.1 B.2 C.3 D.4

二、填空题(每小题4分，共32分) 11.如图，将∠AOB放在边长为1的小正方形组成的网格中，则tan∠AOB＝12.

12.如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是y＝－x2＋2x＋3.

13.(河南中考)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点.若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为8.

14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD＝34，AB＝5，那么CD的长是125.

15.如图，从热气球C上测得建筑物A，B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A，D，B在同一直线上，那么建筑物A，B间的距离为2003米.

16.一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”.如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是8. 17.如图，将一块斜边长为12 cm，∠B＝60°的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿CB向右平移，使点B′刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是(6－23)cm.

18.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图).

如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，那么水流落地点B离墙的距离OB是3米.

三、解答题(共58分) 19.(6分)计算：cos245°tan 30°·sin60°＋tan 60°.

解：原式＝（22）233×32＋3 ＝1＋3.

20.(8分)已知二次函数y＝－x2＋2x＋m. (1)如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围； (2)如图，二次函数的图象过点A(3，0)，与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标.

解：(1)∵二次函数的图象与x轴有两个交点，∴Δ＝22＋4m＞0.∴m＞－1. (2)∵二次函数的图象过点A(3，0)，∴0＝－9＋6＋m.∴m＝3. ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 令x＝0，则y＝3，∴B(0，3).

设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴0＝3k＋b，3＝b.解得k＝－1，b＝3. ∴直线AB的表达式为y＝－x＋3. ∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1， ∴把x＝1代入y＝－x＋3，得y＝2. ∴P(1，2). 21.(8分)(济宁中考)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶3. (1)求新坡面的坡角α； (2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由.

解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3， ∴tanα＝tan∠CAB＝13＝33. ∴α＝30°. (2)文化墙PM不需要拆除.过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6. ∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶3，∴BD＝CD＝6，AD＝63. ∴AB＝AD－BD＝63－6＜8.∴文化墙PM不需要拆除.

22.(10分)(梅州中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：售价(元/件) 100 110 120 130 … 月销量(件) 200 180 160 140 … 已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元. (1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是(x－60)元；②月销量是(－2x＋400)件；(直接写出结果) (2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？解：由题意，得y＝(x－60)(－2x＋400)＝－2x2＋520x－24 000＝－2(x－130)2＋9 800， ∴当x＝130时，y最大＝9 800. ∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9 800元.

23.(12分)(泰州中考)图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知踏板CD长为1.6 m，CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，支架AC长为0.8 m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h.(精确到0.1，参考数据：sin12°＝cos78°≈0.21，sin68°＝cos22°≈0.93，tan68°≈2.48)

解：过点C作CM平行于AB，过点A作AF⊥CM于点F，过点C作CG⊥ED于点G. ∵CM∥AB，∴CM∥ED. ∵∠CDE＝12°，∴∠DCM＝12°. ∵∠ACD＝80°，∴∠ACF＝68°. ∵在Rt△CDG中，CD＝1.6 m，∠CDE＝12°，

∴sin∠CDE＝CGCD，即sin12°＝CG1.6. ∴CG＝sin12°×1.6≈0.21×1.6＝0.336(m). ∵在Rt△ACF中，AC＝0.8，∠ACF＝68°，

∴sin∠ACF＝AFAC，即sin68°＝AF0.8. ∴AF＝sin68°×0.8≈0.93×0.8＝0.744(m). ∴h＝0.336＋0.744＝1.080≈1.1(m). 答：跑步机手柄的一端A的高度h约为1.1 m. 24.(14分)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－12x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y＝x＋4经过A，C两点. (1)求抛物线的表达式； (2)在AC上方的抛物线上有一动点P. ①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标； ②如图2，过点O，P的直线y＝kx交AC于点E，若PE∶OE＝3∶8，求k的值.

图1 图2 解：(1)∵直线y＝x＋4经过A，C两点，∴A(－4，0)，C(0，4).

又∵抛物线过A，C两点，∴－12×（－4）2－4b＋c＝0，c＝4.解得b＝－1，c＝4.

∴抛物线的表达式为y＝－12x2－x＋4. (2)①∵y＝－12x2－x＋4，∴抛物线的对称轴是直线x＝－1. ∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，PQ＝AO＝4. ∵P，Q都在抛物线上，∴P，Q关于直线x＝－1对称. ∴P点的横坐标是－3.

∴当x＝－3时，y＝－12×(－3)2－(－3)＋4＝52.

∴P点的坐标是(－3，52). ②过P点作PF∥OC交AC于点F，∵PF∥OC， ∴△PEF∽△OEC.∴PEOE＝PFOC.又∵PEOE＝38，OC＝4，∴PF＝32.

设点F(x，x＋4)，∴(－12x2－x＋4)－(x＋4)＝32. 解得x1＝－1，x2＝－3. 当x＝－1时，y＝92；当x＝－3时，y＝52.∴P点坐标是(－1，92)或(－3，52). 又∵点P在直线y＝kx上， ∴k＝－92或k＝－56.

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2022年必考点解析北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习试题(含解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A ．2(3)2y x =++B ．2(2)2y x =++C ．2(2)1y x =++D ．2(2)2y x =-+2、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，关于a ，c 的符号判断正确的是（）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜0 3、抛物线()2212y x =--+的对称轴是直线（）A ．1x =-B ．1x =C ．2x =-D ．2x =4、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >5、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．双曲线C ．抛物线D ．平行四边形 6、对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（）A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个7、抛物线y ＝（x +2）2+1可由抛物线y ＝x 2平移得到，下列平移正确的是（）A ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位B ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位C ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位D ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位8、已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表所示．根据表中的信息，给出下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线1x =；②抛物线的顶点坐标是(13),；③当3x =时，y 的值为3-；④若点1(2)A y -,，点2(3)B y -,两个点都在抛物线上，则12y y >．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、二次函数y ＝2（x ﹣2）2﹣4的最小值为（）A ．﹣2B ．2C ．﹣4D ．4 10、把函数2y x 的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的图象解析式为（）A ．()221y x =--B ．()221y x =+- C ．()212y x =-+ D ．()212y x =-- 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、二次函数21y x x =---的图像有最______点．（填“高”或“低”）2、抛出的一小球飞行的高度y 与飞行时间x 之间满足：224293y x x =-++，则该小球第2秒时的高度与第_______秒时的高度相同．3、抛物线2y ax =经过点(1,2)-，那么这个抛物线的开口向______．4、若二次函数24y x bx =++配方后为2(1)y x k =-+，则b ＝_______， k ＝_______．5、抛物线22(1)5y x =-+的顶点坐标是________，图象的开口方向是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ，连接AC ，BC ．△ABC 绕点B 顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点C 的对应点C 1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A 的对应点A 1的坐标；（3）如图2，过点C 作CE x ∥轴交抛物线于点E ，已知点D 在抛物线上且横坐标为72，在y 轴左侧的抛物线上有一点P ，满足∠PDC ＝∠EDC ，求点P 的坐标．2、小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组y 与x 的对应值．（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数的图象与直线y n =有两个交点A ，B ，若6AB >，直接写出n 的取值范围．3、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++过点1,0A ，()0,3C -．（1）求这条抛物线的解析式；（2）当3y≥-时，x的取值范围是______．4、已知抛物线y12=-x2+mx+m12+与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，52-），点P为抛物线在直线AC上方图象上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）求△PAC面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线y12=-x2+mx+m12+在点A、B之间的部分（含点A、B）沿x轴向下翻折，得到图象G．现将图象G沿直线AC平移，得到新的图象M与线段PC只有一个交点，求图象M的顶点横坐标n的取值范围．5、一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元()1060m≤≤，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．-参考答案-一、单选题1、B【分析】直接根据平移规律作答即可．【详解】解：将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为2(2)13y x =+-+，即2(2)2y x =++；故选：B ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．2、B【分析】根据开口方向可得a 的符号，根据对称轴在y 轴的哪侧可得b 的符号，根据抛物线与y 轴的交点可得c 的符号．【详解】解：抛物线开口向上，0a ∴>，抛物线的对称轴在y 轴的左侧，0b ∴>，抛物线与y 轴交于负半轴，0c ∴<．故选：B ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，0a >；对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号；抛物线与y 轴的交点即为c 的值．3、B【分析】由题意根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴，进行分析即可得出答案．【详解】抛物线()2212y x =--+的对称轴是直线1x =，故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质进行分析解答．4、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a＜0， ∴b ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．5、B【分析】根据“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形”及“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形”，结合二次函数的图象及反比例函数的图象，进而问题可求解．【详解】解：A 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；B 、双曲线是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意；C 、抛物线是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；D 、平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形，故不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象，熟练掌握轴对称图形、中心对称图形及二次函数的图象、反比例函数的图象是解题的关键．6、D【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．【详解】解：由抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，－4），如图，当x =－1时，y =0，当x =4时，y =5，∵抛物线与直线y=m 只有一个交点，∴0≤m ≤5或m =－4，∴整数m =0或1或2或3或4或5或－4，即整数m 的值有7个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．7、C【分析】根据平移的规律“左加右减，上加下减”，将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，即可求得答案【详解】解：根据题意将y ＝x 2向左平移2个单位再向上平移1个单位即可得y ＝（x +2）2+1，故选C【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握平移规律是解题的关键，理解题意弄清是谁平移到谁．8、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得：513a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩∴241a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴22241y ax bx c x x =++=-++∴抛物线的对称轴是直线12b x a=-=，故①正确；当1x =时，抛物线取最大值3y =∴抛物线的顶点坐标是(13),，即②正确；当3x =时，y 的值为2234315-⨯+⨯+=-，故③错误；∵0a <，抛物线的对称轴是直线1x =∴1x <时，y 随x 的增大而增大∵23->-∴12y y >，即④正确故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．9、C【分析】对于二次函数20,y a x h k a 当0,a > 函数图象的开口向上，函数有最小值，当x h =时，最小值为,y k 根据性质直接可得答案.【详解】解：由二次函数y ＝2（x ﹣2）2﹣4可得：20,a 函数图象的开口向上，函数有最小值，当2x =时，4,y 最小值故选C本题考查的是二次函数的性质，二次函数的最值，理解图象的开口向上，函数有最小值及求解最小值是解本题的关键.10、A【分析】根据函数图象平移变换关系进行求解即可．【详解】把函数2y x 的图象向右平移2个单位、再向下平移1个单位后的解析式为()221y x =-- 故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式二、填空题1、高【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．【详解】解：∵二次函数21y x x =--- ∴二次函数21y x x =---的图象开口向下∴二次函数21y x x =---的图像有最高点．故答案是高．本题主要考查了二次函数的性质，对于y =ax 2+bx +c （a ≠0），当a ＞0，函数图象开口方向向上，函数图象开口方向向下．2、4【分析】根据题意求得抛物线的对称轴，根据抛物线的对称性即可求得答案【详解】解：224293y x x =-++的对称轴为：4332229b x a =-=-=-⨯ ∴第2秒时的高度与第4秒时的高度相同故答案为：4【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的对称性，求得对称轴是解题的关键．3、下【分析】把点(1,2)-代入2y ax =，可得2a =- ，即可求解．【详解】解：∵抛物线2y ax =经过点(1,2)-，∴2a =- ，∵20-< ，∴这个抛物线的开口向下．故答案为：下【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数()20y ax a =≠的图象和性质是解题的关键．4、-2 3【分析】先把顶点式化为一般式得到y ＝x 2−2x ＋1＋k ，然后把两个一般式比较可得到b ＝−2，1＋k ＝4，由此即可得到答案．【详解】解：∵y ＝（x −1）2＋k ＝x 2−2x ＋1＋k ，∴b ＝−2，1＋k ＝4，解得k ＝3，5、（1，5）开口向上【分析】由题意根据二次函数y =a （x -h ）2+k 的图象的开口方向由a 决定，a ＞0时开口向上；a ＜0时开口向下以及对称轴为直线x =h 和顶点坐标（h ，k ），进行分析即可．【详解】解：∵a =2＞0，∴抛物线开口向上，∵顶点坐标（h ，k ），∴顶点坐标（1，5）.故答案为：（1，5），开口向上.【点睛】本题考查二次函数的性质，注意掌握抛物线顶点式y =a （x -h ）2+k （0a ≠）与顶点坐标（h ，k ）．三、解答题1、（1）224233y x x =--；（2）（3，4）；（3）（67-，1849-）【分析】（1）把A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）如图，先求解C （0，－2），对称轴为直线1x =，可得BH ＝CO ＝2结合旋转得BC 1＝BC ，证明RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ），再证明旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，从而可得答案；（3）先求解D （72，32），E （2，－2），如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，证明CG ＝DG ＝72，可得∠ECD ＝∠GDC ＝45° ，如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P ，证明△QCD ≌△ECD ，可得QC ＝EC ＝2，可得Q （0，0），再求解直线DQ 的解析式为37y x =，联立23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ，再解方程组可得答案. 【详解】解：（1）将A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式得209320a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =-- （2）∵抛物线的解析式为224233y x x =--，A （－1，0），B （3，0） ∴C （0，－2），对称轴为直线431223x∴BH ＝CO ＝2由旋转得BC 1＝BC则RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ）∴∠C 1BH ＝∠BCO∴∠C 1BC ＝∠C 1BH ＋∠OBC ＝∠BCO ＋∠OBC ＝90°∴旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，即A 1B ⊥x 轴A1B ＝BA ＝4，B （3，0）∴A 1（3，4）（3）抛物线的解析式为224233y x x =--，D 的横坐标为72 当x ＝72时，y ＝32，则D （72，32） ∵CE x ∥轴，C （0，－2），对称轴为直线x ＝1∴E （2，－2）如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，372,22DG ∴ CG ＝DG ＝72， ∴∠ECD ＝∠GDC ＝45°如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P∵CE x ∥轴，∴∠QCE ＝90°∴∠QCD ＝∠ECD ＝45°∵CD ＝CD ，∴△QCD ≌△ECD （ASA ）∴QC ＝EC ＝2，∵C （0，－2），∴Q （0，0） ∵D （72，32），设直线:,DQ y mx 73,22m 解得：3,7m ∴直线DQ 的解析式为37y x =则23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ，消去y 得：21437420,x x 27760,x x 解得：1276,,27x x当172x =时，13,2y 当267x =-时，218,49y 所以方程组的解为：7232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或671849x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴618,.749P 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.2、（1）y =-（x +1）2+4；（2）n <-5．【分析】（1）利用表中数据和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x =-1，顶点坐标为（-1，4），则可设顶点式y =a （x +1）2+4，然后把（1，0）代入求出a 即可；（2）根据抛物线与一次函数有公共点，联系根的判别式求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点（-2，3），（0，3），（-1，4），∴抛物线的对称轴为直线x =202-+=-1，顶点坐标为（-1，4），设抛物线解析式为y =a （x +1）2+4，把（1，0）代入得a （1+1）2+4=0，解得a =-1，∴抛物线解析式为y =-（x +1）2+4；（2）∵二次函数的图象与直线y n =有两个交点，∴-（x +1）2+4=n ，即2230x x n --+-=，∴△=2(2)4(3)0n -+->，解得n <4，∴n 的取值范围为n <4，∵AB =，，解得n <-5，综上n 的取值范围为n <-5．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．3、（1）223y x x =+-；（2）2x -≤或0x ≥【分析】（1）把(1,0)A ，(0,3)C -代入2y x bx c =++中求出b ，c ，即可得出答案；（2）由二次函数的图像与性质即可得出答案．【详解】（1）把()1,0A ，(0,3)C -分别代入2y x bx c =++，得103b c c ++=⎧⎨=-⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩， ∴223y x x =+-；（2）令3y =-得：2233x x +-=-，解得：2x =-或0x =，∵10a =>，∴223y x x =+-开口向上，∴当3y ≥-时，2x -≤或0x ≥．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握待定系数法求解析式以及二次函数的性质是解题的关键．4、（1）215322y x x =---；（2）当515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516；（3）1815n -≤≤-或2n = 【分析】（1）将点C （0，52-）代入抛物线解析式直接求解即可；（2）先求出A 点坐标，以及直线AC 的解析式，再过P 点作PQ ⊥x 轴，交AC 于Q 点，通过设P 、Q 两点的坐标，建立出关于PAC S的二次函数表达式，然后结合二次函数的性质求出其最值，并求出此时对应的P 点坐标即可；（3）先根据题意画出基本图像G ，然后结合平移的性质确定B 点的运动轨迹，以及其直线解析式，根据题目要求和平移的性质可以确定点B 平移至恰好在PC 上时，以及图象G 与直线AC 的交点R ，经过平移至C 点时，满足要求，应注意，当A 点平移后经过C 点时，此时也可满足图象M 与PC 仅有一个交点，即为C 点，此情况应单独求解．【详解】解：（1）将点C （0，52-）代入抛物线解析式得： 1522m +=-，解得：3m =-， ∴抛物线解析式为：215322y x x =---；（2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， ∴令2150322x x =---，解得：15x =-，21x =-，∴A 、B 坐标分别为：()5,0A -，()1,0B -，设直线AC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将()5,0A -和50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得： 5052k b b -+=⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得：1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线AC 的解析式为：1522y x =--，如图所示，过P 点作PQ ⊥x 轴，交AC 于Q 点，∵P 点在位于直线AC 上方的抛物线上， ∴设215,322P a a a ⎛⎫--- ⎪⎝⎭，则15,22Q a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，其中50a -<<， ∴221515153222222P Q PQ y y a a a a a ⎛⎫=-=------=-- ⎪⎝⎭， ∵()12PAC C A S PQ x x =-， ∴()2211555125052224216PAC S a a a ⎛⎫⎛⎫=--⨯--=-++⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭， ∵504-<， ∴抛物线开口向下，当52a =-时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516，此时，将52a =-代入抛物线解析式得：158y =， ∴当515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，PAC S 取得的最大值，最大值为12516；（3）如图所示，抛物线y 12=-x 2+mx +m 12+在点A 、B 之间的部分（含点A 、B ）沿x 轴向下翻折，得到图象G ．由（1）可知，原抛物线顶点坐标为()3,2-，∴沿x 轴向下翻折后，图象G 的顶点坐标为()3,2--，图象G 的解析式为：215322y x x =++； ∵图象G 沿着直线AC 平移，∴作直线BS ∥AC ，交PC 于S 点，则随着平移过程，点B 在直线BS 上运动，分如下情况讨论：①当图象G 沿直线AC 平移至B 点恰好经过S 点时，如图中M 1所示，此时，平移后的图象M 恰好与线段PC 有一个交点，即为S 点，由（2）知，515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，以及直线AC 的解析式为1522y x =--， ∴设直线BS 的解析式为：12y x b =-+，将()1,0B -代入得：12b =-，∴直线BS 的解析式为：1122y x =--；设直线PC 的解析式为：()0y kx b k =+≠，将515,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入得： 5152852k b b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得：7452k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴直线PC 的解析式为：7542y x =--；联立11227542y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：85310x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即：S 点的坐标为83,510S ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴此时点()1,0B -平移至83,510S ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向左平移35个单位，向上平移310个单位，即：当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向左平移35个单位，向上平移310个单位， ∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 1的顶点的横坐标318355n =--=-； ②当图象G 沿直线AC 平移至恰好经过C 点时，如图中M 2所示，设图象G 与直线AC 的交点为R ，联立2153221522y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得：50x y =-⎧⎨=⎩或232x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， ∴点R 的坐标为：32,2R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，由32,2R ⎛⎫-- ⎪⎝⎭平移至50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向右平移2个单位，向下平移1个单位，∴当平移后的图象M 与线段PC 恰好仅有一个交点时，可由原图像G 向右平移2个单位，向下平移1各单位，∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 2的顶点的横坐标321n =-+=-；∴当图象G 在M 1和M 2之间平移时，均能满足与线段PC 有且仅有一个交点，此时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：1815n -≤≤-； ③当图象G 沿直线AC 平移至A 点恰好经过C 点时，如图中M 3所示，此时，由()5,0A -平移至50,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，等同于向右平移5个单位，向下平移52个单位，即：原图像G 向右平移5个单位，向下平移52个单位，得到图象M 3， ∵原图像G 的顶点坐标为：()3,2--，∴平移后图象M 3的顶点的横坐标352n =-+=；综上所述，当新的图象M 与线段PC 只有一个交点时，图象M 的顶点横坐标n 的取值范围为：1815n -≤≤-或2n =．【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括图象的翻折变换和平移变换等，掌握二次函数的基本性质，翻折和平移变换的性质，以及准确分类讨论是解题关键．5、（1）5012000y x =-+；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）2960m <≤【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x 的不等式组，求得x 的取值范围，再设利润为w 元，由w =（x -30）y ，列出w 关于x 的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w 关于售价x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出m 的不等式进行解答便可．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b （k ≠0），把x =40，y =10000和x =50，y =9500代入得，4010000509500k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，5012000k b =-⎧⎨=⎩， ∴y=-50x +12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，3015050120006000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，解得，30≤x ≤120，设利润为w 元，根据题意得，w =（x -30）y =（x -30）（-50x +12000）=-50x 2+13500x -360000=-50（x -135）2+551250，∴对称轴为直线x =135，∵-50＜0，∴当x ＜135时，w 随x 的增大而增大，∵30≤x≤120，且x为正整数∴当x=120时，w取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；（3）根据题意得，w=（x-30-m）（-50x+12000）=-50x2+（13500+50m）x-360000-12000m，∴对称轴为x=-1350050100m+-=135+0.5m，∵-50＜0，∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．对称轴x=135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x取整数，实际上x是二次函数的离散整数点，只需保证x=150时利润大于x=149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了，故135+0.5m＞149.5，解得m＞29，∵10≤m≤60，∴29＜m≤60．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．。

北师大版数学九年级下册第二章考试试题及答案

北师大版数学九年级下册第二章考试试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1．下面的函数是二次函数的是()A．y＝3x＋1B．y＝x2＋2x C．y＝x2D．y＝2x2．抛物线y＝2x2＋1的顶点坐标是()A．(2，1)B．(0，1)C．(1，0)D．(1，2)3．将抛物线y＝(x－2)2－8向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为()A．y＝(x＋1)2－13B．y＝(x－5)2－3C．y＝(x－5)2－13D．y＝(x＋1)2－34．已知二次函数y＝a(x－1)2＋3，当x＜1时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是()A．a≥0B．a≤0C．a＞0D．a＜05．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝－3(x－1)2＋3B．y＝3(x－1)2＋3C．y＝－3(x＋1)2＋3D．y＝3(x ＋1)2＋3第5题图第6题图6．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是()A．x＜－2B．－2＜x＜4C．x＞0D．x＞47．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为()A．5000元B．8000元C．9000元D．10000元8．若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为()A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7C．x1＝1，x2＝－7D．x1＝－1，x2＝79．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是()第9题图第10题图10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则|a－b＋c|＋|2a＋b|的值为()A．a＋b B．a－2b C．a－b D．3a二、填空题(每小题3分，共24分)11．把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式为________________．12．已知A(4，y1)，B(－4，y2)是二次函数y＝(x＋3)2－2的图象上两点，则y1________y2(填“>”“<”或“＝”)．13．当a＝________时，函数y＝(a－1)xa2＋1＋x－3是二次函数．14．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过(1，2)和(－1，－6)两点，则a＋c＝________．15．如图，某涵洞的截面是抛物线型，现测得水面宽AB＝1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO＝2.4m，在图中直角坐标系内涵洞截面所在抛物线的表达式是______________．16．若函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为______________．第15题图第17题图第18题图17．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上．设矩形的一边AB＝x m，矩形的面积为y m2，则y的最大值为________．18．已知二次函数y＝x2－4ax＋4a2＋a－1(a为常数)，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．如图分别是当a＝t1，a＝t2，a＝t3，a＝t4时二次函数的图象，它们的顶点在一条直线上，则这条直线的表达式是________________．三、解答题(共66分)19．(8分)已知抛物线y＝x2－4x＋c，其图象经过点(0，9)．(1)求c的值；(2)若点A(3，y1)、B(4，y2)在该抛物线上，试比较y1、y2的大小．20．(8分)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y 的对应值如下表所示：x…－1024…y…－511m…求：(1)这个二次函数的解析式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．21．(8分)如图，二次函数y＝(x＋2)2＋m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y＝kx＋b的图象经过该二次函数图象上的点A(－1，0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围．22．(10分)某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间定价增加10x元(x为整数)．(1)直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式；(2)设宾馆每天的利润为w元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大？最大利润是多少？23．(10分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米(如图所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x的值；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由．24．(10分)设二次函数y1，y2的图象的顶点坐标分别为(a，b)、(c，d)，当a＝－c，b＝2d，且开口方向相同时，称y1是y2的“反倍顶二次函数”．(1)请写出二次函数y＝x2＋x＋1的一个“反倍顶二次函数”；(2)已知关于x的二次函数y1＝x2＋nx和y2＝nx2＋x，函数y1＋y2恰是y1－y2的“反倍顶二次函数”，求n的值．25．(12分)综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与解析1．B 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B7.C8.D9.A10．D解析：观察函数图象，∵图象过原点，∴c＝0.∵抛物线开口向上，∴a＞0.∵抛物线的对称轴0＜－b2a＜1，∴－2a＜b＜0.∴|a－b＋c|＝a－b，|2a＋b|＝2a＋b，∴|a－b＋c|＋|2a＋b|＝a－b＋2a＋b＝3a.故选D.11．y＝(x－6)2－3612.＞13.－114.－215．y＝－154x216．－1或2或1解析：∵函数y＝(a－1)x2－4x＋2a的图象与x轴有且只有一个交点，∴当函数为二次函数时，16－4(a－1)×2a＝0，解得a1＝－1，a2＝2；当函数为一次函数时，a－1＝0，解得a＝1.故a的值为－1或2或1.17．30018．y＝12x－1解析：y＝x2－4ax＋4a2＋a－1＝(x－2a)2＋a－1，∴抛物线顶点坐标为(2a，a－1)．设x＝2a①，y＝a－1②，①－②×2，消去a得x－2y＝2，即y＝1 2 x－1.19．解：(1)当x＝0时，y＝c＝9，∴c的值为9.(3分)(2)由(1)可知抛物线的解析式为y＝x2－4x＋9.当x＝3时，y1＝9－4×3＋9＝6；当x＝4时，y2＝16－4×4＋9＝9.(6分)∵6＜9，∴y1＜y2.(8分)20．解：(1)将(－1，－5)，(0，1)，(2，1)代入y＝ax2＋bx＋c中，－b＋c＝－5，＝1，a＋2b＋c＝1，＝－2，＝4，＝1.∴这个二次函数的解析式为y＝－2x2＋4x＋1.(4分)(2)由y＝－2x2＋4x＋1＝－2(x－1)2＋3，故其顶点坐标为(1，3)．(6分)当x＝4时，m＝－2×16＋16＋1＝－15.(8分)21．解：(1)∵抛物线y＝(x＋2)2＋m经过点A(－1，0)，∴0＝1＋m，∴m＝－1，∴抛物线解析式为y＝(x＋2)2－1＝x2＋4x＋3，(2分)∴点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝－2.又∵B，C关于对称轴对称，∴点B的坐标为(－4，3)．(4分)∵y ＝kx＋b经过点A，Bk＋b＝0，4k＋b＝3，＝－1，＝－1.∴一次函数的解析式为y＝－x －1.(6分)(2)由图象可知，满足(x＋2)2＋m≥kx＋b的x的取值范围为x＜－4或x＞－1.(8分)22．解：(1)y＝50－x(0≤x≤50，x为整数)．(3分)(2)w＝(120＋10x－20)(50－x)＝－10x2＋400x＋5000＝－10(x－20)2＋9000.(6分)∵a＝－10＜0，∴当x＝20时，w取得最大值，最大值为9000，此时每个房间定价为120＋10x＝320.(9分)答：当每间房价定价为320元时，宾馆每天所获利润最大，最大利润是9000元．(10分)23．解：(1)根据题意，得(30－2x)x＝72，解得x1＝3，x2＝12.∵30－2x≤18，∴x≥6，∴x＝12.(3分)(2)设苗圃园的面积为y平方米，则y＝x(30－2x)＝－2x2＋30x.由题意得30－2x≥8，∴x≤11.由(1)可知x≥6，∴x的取值范围是6≤x≤11.(5分)∵a＝－2＜0，对称轴为直线x ＝－b 2a ＝－302×（－2）＝152，∴当x ＝152时，y 取最大值，最大值为－＋30×152＝112.5；(8分)当x ＝11时，y 取最小值，最小值为－2×112＋30×11＝88.即当平行于墙的一边长不小于8米时，这个苗圃园的面积的最大值为112.5平方米，最小值为88平方米．(10分)24．解：(1)∵y ＝x 2＋x ＋1＋34，∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的顶点坐标为－12，(2分)∴二次函数y ＝x 2＋x ＋1的“反倍顶二次函数”它的一个反倍顶二次函数的解析式为y ＝x 2－x ＋74(答案不唯一)．(4分)(2)y 1＋y 2＝x 2＋nx ＋nx 2＋x ＝(n ＋1)x 2＋(n ＋1)x ＝(n ＋2＋x －n ＋14，顶－12，－分)，y 1－y 2＝x 2＋nx －nx 2－x ＝(1－n )x 2＋(n －1)x ＝(1－n 2－x －1－n4，(8分)由于函数y 1＋y 2恰是y 1－y 2的“反倍顶二次函数”，则－2×1－n4＝－n ＋14，解得n ＝13.(10分)25．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx －8经过点A (－2，0)，D (6，－8)，a －2b －8＝0，a ＋6b －8＝－8，＝12，＝－3.∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－3x －8.(3分)∵y ＝12x 2－3x －8＝12(x －3)2－252，∴抛物线的对称轴为直线x ＝3.又∵抛物线与x 轴交于A ，B两点，点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(8，0)．(5分)设直线l的解析式为y＝kx.∵直线l经过点D(6，－8)，∴6k＝－8，∴k＝－43∴直线l的解析式为y＝－43x.∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为3.又∵点E为直线l与抛物线对称轴的交点，∴点E的纵坐标为－43×3＝－4，∴点E的坐标为(3，－4)．(9分)(2)抛物线上存在点F使△FOE≌△FCE，此时点F的纵坐标为－4，∴12x2－3x－8＝－4，解得x＝3±17，∴点F的坐标为(3＋17，－4)或(3－17，－4)．(12分)第11页共11页。

2022年北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合训练试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线248y x x =+-的对称轴为直线（）A ．2x =-B ．2x =C ．4x =D ．4x =-2、将抛物线23(1)y x =-通过平移后得到23(1)1y x =+-，则这个平移过程正确的是（）A ．向右平移2个单位，向下平移1个单位B ．向左平移2个单位，向下平移1个单位C ．向右平移2个单位，向上平移1个单位D ．向左平移2个单位，向上平移1个单位3、如图，已知点A 、B 在反比例函数y k x=（k ＞0，x ＞0）的图象上，点P 沿C →A →B →O 的路线（图中“→”所示路线）匀速运动，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设点P 的运动时间为t ，△POM 的面积为S ，则S 关于t 的函数图象大致为（）A ．B ．C ．D ．4、已知二次函数y ＝a （x +1）2+b （a ＜0）有最大值1，则b 的大小为（）A ．﹣1B ．1C ．0D ．不能确定5、如图，一段抛物线()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…，如此进行下去，直至得5C ，若()14,P m 在第5段抛物线5C 上，则m 值为（）A ．2B ．1.5C ．2-D ． 2.25-6、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =向上平移2个单位长度得到的抛物线为（）A ．)(22y x =+B ．)(22y x =-C ．22y x =-D ．22y x =+7、已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；⑤a ＞1，其中正确的项是（）A ．①②⑤B ．①④⑤C ．①③⑤D ．②③④ 8、将二次函数245y x x =-+用配方法化为()2y x h k =-+的形式，结果为（）A ．()241y x =-+B ．()241y x =-- C ．()221y x =-- D ．()221y x =-+ 9、在平面直角坐标系xOy 中，下列函数的图象经过点(0,0)的是（）A ．1y x =+B ．2y xC ．2(4)y x =-D ．1y x= 10、二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3，则()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为（）A ．-3和1B ．1和5C ．-3和5D ．3和5 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、将二次函数()221y x =+的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为________．2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，记x ＝AC ，y ＝BC ﹣AC ，在平面直角坐标系xOy 中，定义（x ，y ）为这个直角三角形的坐标，Rt △ABC 为点（x ，y ）对应的直角三角形．有下列结论：①在x 轴正半轴上的任意点（x ，y ）对应的直角三角形均满足AB ；②在函数y ＝2019x（x ＞0）的图象上存在两点P ，Q ，使得它们对应的直角三角形相似；③对于函数y ＝（x ﹣2020）2﹣1（x ＞0）的图象上的任意一点P ，都存在该函数图象上的另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似；④在函数y ＝﹣2x +2020（x ＞0）的图象上存在无数对点P ，Q （P 与Q 不重合），使得它们对应的直角三角形全等．所有正确结论的序号是 ____．3、如图，一次函数(00)，=+<>y ax b a b 的图像与x 轴，y 轴分别相交于点A ，点B ，将它绕点O 逆时针旋转90°后，与x 轴相交于点C ，我们将图像过点A ，B ，C 的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数(0)y kx k k =-+>的关联二次函数是22y mx mx c =++（0m ≠），那么这个一次函数的解析式为______．4、已知P (1x ，1)，Q (2x ，1)两点都在抛物线241y x x =-+上，那么12x x +=________．5、在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x ，若剩下阴影部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、已知二次函数22y x bx c 的图像经过()1,0A -，()3,0B ，求抛物线的解析式2、对于二次函数223y x x =+-，请回答下列问题：（1）求出此函数图像的顶点坐标；（2）当22x -<<时，请直接写出y 的取值范围．3、随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元）（1）求出w与x的关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？4、在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在二次函数y＝x2＋bx的图象上（1）当m＝-3时①求这个二次函数的顶点坐标；②若点（-1，y1），（a，y2）在二次函数的图象上，且y2＞y1，则a的取值范围是____；（2）当mn＜0时，求b的取值范围5、一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y（千克）与售价x（元/千克）满足一次函数关系，对应关系如下表：（1）求y与x的函数关系式；（2）该批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为多少元？（3）该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w（元）最大？-参考答案-一、单选题1、A先把抛物线化为顶点式的形式，再进行解答即可．【详解】解：∵抛物线y =x 2+4x -8可化为y =（x +2）2-12，∴抛物线的对称轴是直线x =-2．故选：A ．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．二次函数的顶点式为2()y a x k h =-+，则抛物线的对称轴为直线x k =，顶点坐标为(k ，h ) ．2、B【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案．【详解】解：抛物线23(1)y x =-的顶点坐标为（1，0）抛牪线23(1)1y x =+-的顶点坐标为（-1，-1）∵把点（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到（-1，-1）∴将抛物线23(1)y x =-向左平移2个单位，再向下平移1个单位可得到23(1)1y x =+-．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．3、D分别求当点P 在C →A 路线上运动时；当A →B 路线上运动时；当点P 在B →O 路线上运动时，S 关于t 的函数的解析式，即可求解．【详解】解：当点P 在C →A 路线上运动时，设点P 运动速度为a ， ∴1122S OM PM OA at =⋅=⋅ ，∵a 、OA 为常数，∴S 是关于t 的一次函数，图象为自左向右上升的线段；当A →B 路线上运动时，122k S OM PM =⋅=，保持不变， ∴本段图象为平行于x 轴的线段；当点P 在B →O 路线上运动时，随着t 的增大，点P 从点B 运动至点O ，OM 的长在减小，△OPM 的高PM 也随之减小到0，即12S OM PM =⋅的图象为开口向下的抛物线的一部分．故选：D【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，明确题意，得到每一段的函数解析式是解题的关键．4、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b 即可．【详解】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b＝1，∴b＝1．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．5、A【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x轴上方，然后求出到抛物线C5平移的距离，再根据向右平移横坐标减表示出抛物线C5的解析式，然后把点P的坐标代入计算即可得解．【详解】解：令y＝0，则﹣x（x﹣3）＝0，解得x1＝0，x2＝3，∴A1（3，0），由图可知，抛物线C5在x轴上方，相当于抛物线C1向右平移4×3＝12个单位得到，∴抛物线C5的解析式为y＝﹣（x﹣12）（x﹣12﹣3）＝﹣（x﹣12）（x﹣15），∵P（14，m）在第5段抛物线C5上，∴m＝﹣（14﹣12）×（14﹣15）＝2．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，确定抛物线C 5的关系式是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．6、D【分析】抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，利用平移规律直接可得答案.【详解】解：抛物线2y x 向上平移2个单位长度得到的抛物线为22,y x故选D【点睛】本题考查的是抛物线的平移，掌握“抛物线的上下平移规律”是解本题的关键.7、B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x 轴交点的个数及x =-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由二次函数的图象开口向上可得a >0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c <0，由对称轴0＜x ＜1，得出b <0，则abc >0，故①正确；②∵对称轴0＜x ＜1，-2b a ＜1，a ＞0， ∴-b <2a ，∴2a +b >0，故②错误；③把x =-1时代入y =ax 2+bx +c =a -b +c ，结合图象可以得出y ＞0，即a -b +c ＞0，故③错误； ④由图象得，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故④正确；⑤由图象知，函数图象过（-1，2），（1，0）两点，代入解析式得，2(1)0(2)a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩ (1)(2)+得，1a c +=∵0c <∴1a >，故⑤正确∴正确的项是①④⑤故选：B ．【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y =a +b +c ，然后根据图象判断其值．8、D【分析】利用配方法，把一般式转化为顶点式即可【详解】解：()2244121y x x x =-++=-+，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的一般式，顶点式，正确利用配方法是解答本题的关键，配方法方法是，先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式．9、B【分析】利用0x =时，求函数值进行一一检验是否为0即可．【详解】A.当0x =时，011y =+=，1y x =+图象过点(0,1)，选项A 不合题意；B.当0x =时，200y ==，2yx 图象过点(0,0)，选项B 合题意；C.当0x =时，2(04)16y =-=，2(4)y x =-图象过点(0,16)，选项C 不合题意；D.当0x =时，1y x=无意义，选项D 不合题意．故选：B ．【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 10、A 【分析】根据二次函数图象的平移规律可得交点的横坐标．【详解】解：∵二次函数()2y x k h =++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为-1和3∴()22y x k h =+++的图象与x 轴的交点的横坐标分别为：-1-2＝-3和3-2＝1 故选：A ．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用平移的性质和点的坐标平移的性质解答．二、填空题 1、222y x =- 【分析】根据二次函数的“左加右减，上加下减”的平移法则求解即可．【详解】解：二次函数()221y x =+的图象向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后的解析式为222y x =-．故答案为：222y x =-．【点睛】本题主要是考查了二次函数的图像平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则，是解决该题的关键． 2、①③④ 【分析】根据在x 轴上点的坐标特征可得0BC AC -=，即AC BC =，再由勾股定理即可得到AB =，即可判断①；设P 点坐标为（1x ，12019x ），Q 点坐标为（2x ，22019x ），则P 、Q 两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：1x ，112019x x +；2x ，222019x x +，若P 、Q 对应的两个三角形相似，则12121220192019x x x x x x =++或21221120192019x x x x x x +=+，由此即可判断②；同理即可判断③；设P 点坐标为（1x ，122020x -+），Q 点坐标为（2x ，222020x -+），则P 、Q 两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：1x ，111220202020x x x -+=-+；2x ，222220202020x x x -+=-+，若P 、Q 对应的两个三角形全等，122020x x =-+，即可判断④．【详解】解：①∵点（x ，y ）在x 轴的正半轴上， ∴0y =，∴0BC AC -=，即AC BC =，∵∠C =90°，∴AB =，故此说法正确；②设P 点坐标为（1x ，12019x ），Q 点坐标为（2x ，22019x ）， ∴P 、Q 两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：1x ，112019x x +；2x ，222019x x +，若P 、Q 对应的两个三角形相似，∴12121220192019x x x x x x =++或21221120192019x x x x x x +=+ ∴2212x x =或22112122019201920190x x x x x x ++= ∵0x >，∴12x x =，22112122019201920190x x x x x x ++≠，不符合题意， ∴在函数2019y x=上不存在两点P ，Q ，使得它们对应的直角三角形相似，故②错误； ③设P 点坐标为（1x ，()2120201x --），Q 点坐标为（2x ，()2220201x --），∴P 、Q 两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：1x ，()21120201x x +--；2x ，()22220201x x +--，若P 、Q 对应的两个三角形相似，∴()()122211222020120201x x x x x x =+--+--∴()()21212120200x x x x -+-=∵0x >，∴212120200x x +-=，∴图像上的任意一点P 都存在另一点Q ，使得这两个点对应的直角三角形相似，故③正确； ④设P 点坐标为（1x ，122020x -+），Q 点坐标为（2x ，222020x -+），∴P 、Q 两点对应的直角三角形的两条直角边分别为：1x ，111220202020x x x -+=-+；2x ，222220202020x x x -+=-+，若P 、Q 对应的两个三角形全等， ∴122020x x =-+ ∵0x >，∴在函数y ＝﹣2x +2020（x ＞0）的图象上存在无数对点P ，Q （P 与Q 不重合），使得它们对应的直角三角形全等，故④正确；故答案为：①③④．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，一次函数，二次函数图像上点的坐标特征，x 轴上点的坐标特征，熟知相关知识是解题的关键． 3、3+3y x =- 【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k ），（1，0），（-k ，0），将其代入抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即可得m 、k 的二元一次方程组30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩，即可解出13m k =-⎧⎨=⎩，故这个一次函数的解析式为3+3y x =-．【详解】一次函数(0)y kx k k =-+>与y 轴的交点为（0，k ），与x 轴的交点为（1，0）绕O 点逆时针旋转90°后，与x 轴的交点为（-k ，0）即（0，k ），（1，0），（-k ，0）过抛物线22y mx mx c =++（0m ≠）即22020k c m m c k m km c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩得30210m k km m +=⎧⎨-+=⎩ 将3km -=代入210km m -+=有 (2)103kk --⋅+= 整理得2230k k --= 解得k =3或k =-1（舍）将k =3代入3km -=得1m =- 故方程组的解为13m k =-⎧⎨=⎩则一次函数的解析式为3+3y x =- 故答案为：3+3y x =-．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键． 4、4 【分析】根据P (1x ，1)，Q (2x ，1)的纵坐标相等，得出关于抛物线对称轴对称，即可求解．【详解】解：P (1x ，1)，Q (2x ，1)两点都在抛物线241y x x =-+上，根据纵坐标相等得，P (1x ，1)，Q (2x ，1)关于抛物线的对称轴对称，12222x x ba+∴=-=， 124x x ∴+=，故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性求解． 5、248y x x =-+ 【分析】根据剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出y 与x 的函数关系式即可．【详解】解：设剩下部分的面积为y ，则：y =4-(2-2x )²=-4x 2+8x （0＜x ＜1），故答案为：248y x x =-+．【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩下部分的面积=大正方形的面积-小正方形的面积得出是解题关键．三、解答题1、2246y x x =-++ 【分析】将（-1，0）、（3，0）两点坐标代入22y x bxc 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可．【详解】解：把（-1，0）、（3，0）代入22yx bxc 中得201830b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得46b c =⎧⎨=⎩，∴二次函数的解析式为2246y x x =-++．【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式；在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 2、（1）（-1，-4）；（2）45y -≤< 【分析】（1）把二次函数解析式化为顶点式求解即可；（2）先求出抛物线对称轴为直线1x =-，推出当x >-1时，y 随x 增大而增大，当x <-1时，y 随x 增大而减小，然后分别求出当2x =-时，()22143y =-+-=-，当2x =时，()22145y =+-=，由此即可得到答案．【详解】解：（1）∵抛物线解析式为()2222321414y x x x x x =+-=++-=+-， ∴抛物线的顶点坐标为（-1，-4）；（2）∵抛物线解析式为()2222321414y x x x x x =+-=++-=+-，10a => ∴抛物线对称轴为直线1x =-，抛物线开口向上，∴当x >-1时，y 随x 增大而增大，当x <-1时，y 随x 增大而减小， ∴抛物线的最小值为-4，当2x =-时，()22143y =-+-=-，当2x =时，()22145y =+-=， ∴当−2<x <2时，45y -≤<．【点睛】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，二次函数的函数值取值范围，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数的相关知识．3、（1）221201600w x x =-+-；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元【分析】（1）由公式利润=（售价−成本）×数量即可列出关系式；（2）把221201600w x x =-+-化为22(30)200w x =--+，由二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）由题可得：2(20)(20)(280)21201600w x y x x x x =-=--+=-+-；（2）22212016002(30)200w x x x =-+-=--+， ∵2040x ≤≤，且20a =-<， ∴当30x =时，200y =最大．答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元．【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 4、（1）①2(2)4y x =--；②1a <-或5a >；（2）31b -<<- 【分析】（1）①将点（1，-3）代入y ＝x 2＋bx 求出b 的值，得出函数关系式，再进行配方即可得到抛物线的顶点坐标；②根据函数的图象，结合函数性质可得出a 的取值；（2）用含有b 的代数式分别表示出m ，n ，根据mn ＜0分类讨论即可．【详解】解：（1）当m ＝-3时①把点（1，-3）代入y ＝x 2＋bx ，得b ＝-4，二次函数表达式为y ＝x 2 -4x ＝（x -2）2 -4 所以顶点坐标为（2，-4）②根据题意得抛物线y ＝x 2 -4x 开口向上，对称轴为直线x =2， ∵y 2＞y 1，∴i )当点（-1，y 1），（a ，y 2）在抛物线对称轴左侧时，有1a <-；ii )当点（-1，y 1），（a ，y 2）在抛物线对称轴两侧时，根据对称性可知5a >；所以a 的取值范围是：a ＜-1或a ＞5 故答案为：a ＜-1或a ＞5（2）将点（1，m ），（3，n ）代入y ＝x 2＋bx ，可得m ＝1＋b ，n ＝9＋3b 当mn ＜0时，有两种情况：①若00.m n >⎧⎨<⎩，把m ＝1＋b ，n ＝9＋3b 代入可得1+0930.b b >⎧⎨+<⎩，此时不等式组无解②若00.m n <⎧⎨>⎩，把m ＝1＋b ，n ＝9＋3b 代入可得1+0930.b b <⎧⎨+>⎩，解得-3＜b ＜-1所以-3＜b ＜-1 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式以及二次函数图象上点的特点，能结合题意确定b 的取值范围是解题的关键．5、（1）150y x =-+；（2）批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元；（3）产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大. 【分析】（1）设一次函数为,y kx b =+ 把50,100,60,90代入，再列方程组，解方程组即可；（2）由每千克商品的利润乘以销售的数量=4000，列方程，再解方程并检验即可得到答案；（3）由总利润等于每千克商品的利润乘以销售的数量，建立二次函数关系式为：2201501703000,wx x x x 再利用二次函数的性质可得答案.【详解】解：（1）由题意设：,y kx b =+ 把50,100,60,90代入可得：501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：1,150k b 所以：y 与x 的函数关系式为：150,y x （2）由题意得：201504000,x x整理得：217070000,x x701000,x x解得：1270,100,x x该产品每千克售价不得超过90元，所以100x 不符合题意，取70,x即批发商若想获得4000元的利润，应将售价定为每千克70元.（3）由题意得：2201501703000,wx x x x 10,a w 有最大值，当1708521x时， 85208515065654225,w 最大值所以产品每千克售价为85元时，批发商获得的利润w （元）最大.【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一元二次方程的应用，列二次函数关系式，二次函数的性质，掌握“总利润等于每千克商品的利润乘以销售的数量”是解本题的关键.。

北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题2(附答案详解)

北师大版2020-2021九年级数学下册第二章二次函数单元综合培优测试题2（附答案详解）一、单选题 1．等腰三角形ABC 中，5AB CB ==，8AC =，P 为AC 边上一动点，PQ AC ⊥，PQ 与ABC 的腰交于点Q ，连结CQ ，设AP 为x ，CPQ 的积为y ，则y 关于x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 2．抛物线y ＝（x ﹣1）2+3关于x 轴对称的抛物线的解析式是（）A ．y ＝﹣（x ﹣1）2+3B ．y ＝（x +1）2+3C ．y ＝（x ﹣1）2﹣3D ．y ＝﹣（x ﹣1）2﹣33．已知抛物线y ＝ax 2+ （a+1）x+7a 与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0），且x 1＜1＜x 2，则a 的取值范围是（）A ．1a 13-<< B ．﹣1＜a ＜0 C ．1a 03-<< D ．1a 09-<< 4．抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边）且抛物线交y 轴于负半轴，a 与b 异号．则下列说法中正确的一项是（）A ．若抛物线上仅有一点C(m ，m)则a 的取值范围为5a <-B ．方程ax 2+bx+3a=0必有两个不相等的实数根C ．当b=6a 时，点B(-1，0)，点A(5，0)D ．a 与b 满足大小关系为2525a b a -<< 5．如图，函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）经过点()1,0-、()0m ,，且12m <<，下列结论：①c 0ab <；②1022b a <<；③若点()12,A y -，()22,B y 在抛物线上，则12y y <；④()10a m b -+=.其中结论正确的有（）个A ．1B ．2C ．3D ．46．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()10A -，，与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点），对称轴为直线2x =．有下列结论： ①0abc ＜；②530a b c ++＞；③3255a --＜＜；④若点()19M a y -，，253N a y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在抛物线上，则12y y <．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离喷出口的水平距离1.25m 处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m 的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m ，则应把出水口的高度调节为高出水面（）A ．0.55米B ．1130米C ．1330米D ．0.4米8．如图，已知()0,2A ，()2,2B ，()1,0C -，抛物线()2y a x h k =-+过点C ，顶点M 位于第一象限且在线段AB 的垂直平分线上，若抛物线与线段AB 无公共点，则k 的取值范围是（）A ．02k <<B ．02k <<或83k >9．若抛物线2y x ax b=++与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线1x=，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )A．()3,6--B．()3,0-C．()3,5--D．()3,1--10．如图，一次函数与反比例函数的图象交于(1,8)A和(4,2)B两点，点P是线段AB 上一动点（不与点A和B重合），过P点分别作x轴，y轴的垂线PC，PD交反比例函数图象于点E，F，则四边形OEPF面积的最大值是（）A．3 B．4 C．92D．6二、填空题11．已知抛物线2+y ax bx c=+在x轴上截得的线段长为4个单位，且过（1，3）（2，4）两点，则a=________．12．对于实数a和b，定义一种新的运算“*”，22b ab a ba*ba2ab1a b⎧-<=⎨-+-≥⎩，，，计算()()2x1*x1++=______________________．若()()2x1*x1m++=恰有三个不相等的实数根123x x x，，，记123k x x x=++，则k的取值范围是_______________________．13．定义：在平面直角坐标系中，我们将函数22y x=+的图象绕原点O逆时针旋转60后得到的新曲线L称为“逆旋抛物线”.（1）如图①，己知点(1,)A a-，(,6)B b在函数22y x=+的图象上，抛物线的顶点为C，若L上三点'A、'B、'C是A、B、C旋转后的对应点，连结''A B，''A C、''B C，则'''A B CS∆=__________；14．如图，抛物线y ＝212x ﹣4x +4与y 轴交于点A ，B 是OA 的中点，一个动点G 从点B 出发，先经过x 轴上的点M ，再经过物线对称轴上的点N ，然后返回到点A ，则点G 走过的最短路程为____．15．如图，已知二次函数4(2)(4)9y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B （点B 在点A 的右侧）两点，顶点为C ，点P 是y 轴上一点，且使得PB PC -最大，则PB PC -的最大值为_________．16．图1是一个高脚杯截面图，杯体CBD 呈抛物线状（杯体厚度不计），点B 是抛物线的顶点，923AB EF ==,，点A 是EF 的中点，当高脚杯中装满液体时，液面43CD =，此时最大深度（液面到最低点的距离）为12，将高脚杯绕点F 缓缓倾斜倒出部分液体，当30EFH ∠=时停止，此时液面为GD ，则液面GD 到平面l 的距离是________________；此时杯体内液体的最大深度为_____________________．17．如图，有一块三角形土地，它的底边100BC m =，高80AH m =，某房地产公司沿着地边BC 修一座底面是矩形DEFG 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，这个矩形的宽是________m ．18．二次函数y=-6x 2，当x 1＞x 2＞0时，y 1与y 2的大小关系为____.19．记函数()265326y x x a x =--+-≤≤的图像为图形M ，函数 4y x =-+的图像为图形N ，若N 与N 没有公共点，则a 的取值范围是___________.20．二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，0a ≠）中的x 与y 的部分对应值如下表： x 1-0 2 y n 2- 2-当0n >时，下列结论中一定正确的是______（填序号即可）．①0abc >；②当0x >时，y 的值随x 值的增大而增大；③当1n =时，关于x 的一元二次方程()210ax b x c +++=的解是11x =-，22x =；④一元二次方程2ax bx c t ++=有两个相等的实根，则83t =-．三、解答题21．已知抛物线()22211y x n x n =+-+-（n 为常数）. （1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；（2）设A 是（1）所确定的抛物线上位于x 轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A 作x 轴的平行线，交抛物线于另一点D ，再作AB x ⊥轴于B ，DC x ⊥轴于C . ①当1BC =时，求矩形ABCD 的周长；②试问矩形ABCD 的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标.如果不存在，请说明理由.22．如图，抛物线23y ax bx =++经过点(1,0)A -，(2,0)B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(02)m m <<．连接AC ，BC ，DB ，DC ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）BCD 的面积何时最大？求出此时D 点的坐标和最大面积；（3）在（2）的条件下，若点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．23．在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝﹣212x +bx +c (其中b 、c 是常数)经过点A (﹣2，﹣2)与点B (0，4)，顶点为M ．（1）求该抛物线的表达式与点M 的坐标；（2）平移这条抛物线，得到的新抛物线与y 轴交于点C (点C 在点B 的下方)，且△BCM 的面积为3．新抛物线的对称轴l 经过点A ，直线l 与x 轴交于点D ．①求点A 随抛物线平移后的对应点坐标；②点E 、G 在新抛物线上，且关于直线l 对称，如果正方形DEFG 的顶点F 在第二象限内，求点F 的坐标．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于(1,0)A 和(3,0)B ，与y 轴交于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）绕点A 旋转的直线l ：1y kx b =+与y 轴相交于点D ，与抛物线相交于点E ，且满足2AD AE =时，求直线l 的解析式；（3）点P 为抛物线上的一点，点Q 为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B ，C ，P ，Q 为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．25．如图，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为P ．已知(1,0),(0,3)B C -．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式，并直接写出点P 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点E ，连接AP ，AP 的垂直平分线交直线PE 于点M ，则线段EM 的长为__________．注：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是直线2b x a=-，顶点坐标是24,b ac b ⎛⎫--．26．如图，点C 是线段AB 上的任意一点(C 点不与A B 、点重合)，分别以AC BC 、为边在直线AB 的同侧作等边三角形ACD 和等边三角形BCE ，AE 与CD 相交于点M ，BD 与CE 相交于点N ．(1)求证: DB AE =；(2)求证: //MN AB ；(3)若AB 的长为12cm ，当点C 在线段AB 上移动时，是否存在这样的一点C ，使线段MN 的长度最长?若存在,请确定C 点的位置并求出MN 的长；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数()21y k x x =+-的图象交于点()1,A k 和点()1,B k --．（1）当2k =-时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大，求k 应满足的条件以及x 的取值范围．28．已知抛物线23y ax bx =+-经过点(1,1)A -，(3,3)B -．把抛物线23y ax bx =+-与线段AB 围成的封闭图形记作G ．（1）求此抛物线的解析式；（2）点P 为图形G 中的抛物线上一点，且点P 的横坐标为m ，过点P 作//PQ y 轴，交线段AB 于点Q ．当APQ 为等腰直角三角形时，求m 的值；（3）点C 是直线AB 上一点，且点C 的横坐标为n ，以线段AC 为边作正方形ACDE ，且使正方形ACDE 与图形G 在直线AB 的同侧，当D ，E 两点中只有一个点在图形G 的内部时，请直接写出n 的取值范围．29．如图，抛物线213222y x x =-++与x 轴交于点A B 、，与y 轴交于点C ，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 的坐标为()0m ,，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．（1）求点A 、点B 、点C 的坐标；（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 交BD 于点M ，试探究当m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形；（3）在点P 的运动过程中，是否存在点Q ，使BDQ △是以BD 为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．30．如图，在平面直角坐标系中，抛物线23233y x x =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点()4,En 在抛物线上.（1）求直线AE 的解析式.（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE .当PCE ∆的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是线段CP 上的一点，点N 是线段CD 上的一点，求KM MN NK ++的最小值.（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线23233y x x =x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ，y '的顶点为点F ，在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q ，使得FGQ ∆为等腰三角形?若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明参考答案 1．D 【解析】【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，则AD=CD=4，由勾股定理可得BD=3，再分两种情况进行讨论：当Q 在AB 上时，求得△CPQ 面积y=12PQ×CP=-38-x 2+3x （0≤x ＜4）；当Q 在BC 上时，求得△CPQ 面积y=12PQ×CP=38x 2-6x+24（4≤x≤8），据此判断函数图象即可．【详解】解：过B 作BD AC ⊥于D ，则4ADCD ，∴由勾股定理可得，3BD =，如图所示，当Q 在AB 上时，由PQBD ，可得AP PQ AD DB =， ∴3344PQ AP x ==，又∵8CP AC AP x =-=-， ∴CPQ 面积21332(8)3(04)248y PQ CP x x x x x =⨯=⨯⨯-=-+≤<；如图所示，当Q 在BC 上时，8CP x =-，由PQBD ，可得33(8)44PQ CP x ==-， ∴CPQ 面积113(8)224y PQ CP x =⨯=⨯-23(8)624(48)8x x x x -=-+≤≤， ∴当04x ≤<时，函数图象是开口向下的抛物线；当48x ≤≤时，函数图象是开口向上的抛物线．故选：D ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时注意：二次函数的图象为抛物线，开口方向由二次项的系数符号决定，用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．2．D【解析】【分析】先确定原抛物线的顶点坐标（1，3），根据对称性得到关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，即可列出函数关系式.【详解】∵y ＝（x ﹣1）2+3的顶点坐标为（1，3），∴关于x 轴对称的抛物线顶点坐标为（1，﹣3），且开口向下，∴所求抛物线解析式为：y ＝﹣（x ﹣1）2﹣3．故选：D ．【点睛】此题考查函数图象的对称性，可由原图象确定某些特殊点的坐标，例如：与坐标轴的交点，图象的顶点坐标，由对称性即可得到对称的抛物线上的点的坐标，由此来求解析式. 3．D【解析】【分析】根据根与系数的关系和二次函数图象与系数的关系得到，结合一元二次方程根的分布情况进行解答．【详解】解：根据题意， ∵12770a x x a•==>，又x 1＜1＜x 2，∴1201x x <<<， ∴1210a x x a++=->，∴10a a+<， ∴100a a +>⎧⎨<⎩或100a a +<⎧⎨>⎩（无解）， ∴10a -<<；∵x 1＜1＜x 2，当1x =时，有0y >，∴(1)70y a a a =+++>，解得：19a >-； ∴a 的取值范围是：109a -<<；故选：D ．【点睛】考查了抛物线与x 轴的交点，根与系数的关系，以及解一元一次不等式组，解题时需要掌握二次函数图象的性质，难度不大．4．B【解析】【分析】A ：将C(m ，m)代入，根据抛物线上仅有一点C 得出根的判别式为零，从而求算出a 、b 之间的关系，再根据a 、b 的正负性解不等式即可；B ：根据抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边）令y=0得出根的判别式大于零，从而判断方程ax 2+bx+3a=0根的判别式的正负性；C ：将b=6a 代入y=ax 2+bx+5a 得出()()15y a x x =++，从而求出A 、B 坐标；D ：根据抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0，根的判别式大于零解不等式即可．【详解】A ：将C(m ，m)代入y=ax 2+bx+5a 得：()225150am bm a m am b m a ++=⇒+-+= ∵抛物线上仅有一点C∴()221200b a ∆=--=解得：1b =±∵抛物线交y 轴于负半轴∴0,0a b <>即：010⎧>⎪⎨->⎪⎩解得：0a << ，A 错误； B ：∵抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0 ∴22200b a ∆=->∴对于方程ax 2+bx+3a=0有：2222212=2080b a b a a ∆=--+>∴方程ax 2+bx+3a=0必有两个不相等的实数根，B 正确；C ：当b=6a 时，()()26515y ax ax a a x x =++=++ ∴B(-1，0)，点A(-5，0)，C 错误；D ：∵抛物线y=ax 2+bx+5a 与x 轴有两个交点是点A 和点B （点B 在点A 左边），令y=0 ∴22200b a ∆=->即()()0b b +->解得：b >-或b < ，D 错误故答案选：B【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程结合，熟练使用根的判别式判断相关的不等关系以及等量关系是解题关键．5．C【解析】【分析】据题意画出抛物线的大致图象，利用函数图象，由抛物线开口方向得a ＞0，由抛物线的对称轴位置得b ＜0，由抛物线与y 轴的交点位置得c ＜0，于是可对①进行判断；由于抛物线过点（﹣1，0）和（m ，0），且1＜m ＜2，根据抛物线的对称性和对称轴方程得到1022b a <<，则可对②进行判断；利用点A （﹣2，y 1）和点B （2，y 2）到对称轴的距离的大小可对③进行判断；根据抛物线上点的坐标特征得a ﹣b +c ＝0，am 2+bm +c ＝0，两式相减得am 2﹣a +bm +b＝0，然后把等式左边分解后即可得到a （m ﹣1）+b ＝0，则可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴abc＞0，∴①的结论正确；∵抛物线过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，∴对称轴1=22 b ma--∴122ba<<，故②的结论正确；∵点A（﹣2，y1）到对称轴的距离比点B（2，y2）到对称轴的距离远，∴y1＞y2，∴③的结论错误；∵抛物线过点（﹣1，0），（m，0），∴a﹣b+c＝0，am2+bm+c＝0，∴am2﹣a+bm+b＝0，a（m+1）（m﹣1）+b（m+1）＝0，∴a（m﹣1）+b＝0，∴④的结论正确；综上所述①②④结论正确故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c 决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．6．C【解析】【分析】①先根据抛物线的开口方向、与y 轴的交点可求出a 、c 的符号与取值范围，再根据对称轴可求出b 的符号即可；②先根据对称性可知抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)，从而可得当3x =时，0y >，再结合0a <即可得；③将点()10A -，代入可得一个关于a 、b 、c 的等式，再结合对称轴和c 的取值范围即可得；④先求出9a -和53a 的取值范围，再求出点N 在抛物线上的对称点24)5(,3a y -的横坐标543a -的取值范围，然后利用二次函数的增减性分析即可得．【详解】抛物线的开口向下，且与y 轴的交点B 在点()02，与点()03，之间（不包括这两点） 0a ∴<，23c << 对称轴为22b x a=-= 40b a ∴=->0abc ∴<，则结论①正确由二次函数的对称性可知，抛物线与x 轴的另一个交点为(5,0)则当3x =时，0y >即930a b c ++>0a <40a ∴<453053a a b c a b c ∴+++<+++，即9353a b c a b c ++<++53930a b c a b c ∴++>++>，则结论②正确将点()10A -，代入抛物线得：0a b c -+=，即c b a =- 4b a =-45c a a a ∴=--=-又23c <<253a ∴<-< 解得3255a -<<-，则结论③正确 ()19M a y -，，253N a y ⎛⎫⎪⎝⎭，由结论③可知，3255a -<<- 1827955a ∴<-<，52133a -<<- 由对称性可知，当543x a =-时，2y y = 52133a -<<- 1454533a ∴<-< 由二次函数的性质可知，当2x ≥时，y 随x 的增大而减小虽然9a -和543a -均大于2，但它们的大小关系不能确定所以1y 与2y 的大小不能确定，则结论④错误综上，正确结论的个数是3个故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、增减性、与坐标轴的交点坐标），熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．7．B【解析】【分析】如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．【详解】解：如图，以O 为原点，建立平面直角坐标系，由题意得，对称轴为x ＝1.25＝54，A （0，0.8），C （3，0），设解析式为y＝ax2+bx+c，∴9305240.8a b cbac++=⎧⎪⎪-=⎨⎪=⎪⎩，解得：8154345abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以解析式为：y＝815-x2+43x+45，当x＝2.75时，y＝1330，∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣1330＝1130，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键8．B【解析】【分析】由点A、B的坐标结合抛物线2()y a x h k=-+的顶点M位于第一象限且在线段AB的垂直平分线上，即可得出h值以及0k>，分点M在线段AB下方及点M在线段AB上方两种情况考虑抛物线与线段AB无公共点，当点M在线段AB下方时，根据点M的坐标即可得出02k <<；当点M 在线段AB 上方时，由抛物线过点C 及当0x =时y 值大于2，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出83k >．综上即可得出结论．【详解】解：抛物线2()y a x h k =-+的顶点M 位于第一象限且在线段AB 的垂直平分线上，且点(0,2)A ，(2,2)B ，1h ∴=，0k >．抛物线与线段AB 无公共点分两种情况：当点M 在线段AB 下方时，点M 的坐标为(1,)k ，02k ∴<<；当点M 在线段AB 上方时，有22(11)0(01)2a k a k ⎧--+=⎨-+>⎩，解得：83k >．综上所述：k 的取值范围为02k <<或83k >．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征以及线段垂直平分线的性质，依照题意画出图形，利用数形结合、分类讨论解决问题是解题的关键．9．B【解析】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x （x-2）=x 2-2x=（x-1）2-1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，∴得到的新抛物线过点（-3，0）．故选B ．点睛：本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．10．C【解析】【分析】由A B 、两点的坐标可求出一次函数解析式和反比例函数的解析式分别210y x =-+8y x= ，设P 点的坐标为(),210m m -+ ，根据割补法ODF OEC EPF S S S S ∆∆=--四O 矩OCPD 表示出四边形OEPF 的面积，再根据二次函数顶点式即可求出面积最大值．【详解】设反比例函数的解析式为n y x= ，一次函数的解析式为y kx b =+，代入(1,8)A (4,2)B 得： 8=1n 和842k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：8n = 和210k b =-⎧⎨=⎩ ∴反比例函数的解析式为8y x=，一次函数的解析式为-210y x =+ ∵点P 是线段AB 上一动点（不与点A 和B 重合）∴设P 点的坐标为(),210m m -+()14m <<根据k 的几何意义：1==42ODF OEC S S k ∆∆=∴ODFOEC EPF S S S S ∆∆=--四O 矩OCPD =()25921044222m m m ⎛⎫-+--=--+ ⎪⎝⎭ ∵20a =-< ∴当52m = 时，四边形OEPF 面积最大，最大面积为92．【点睛】掌握反比例函数中k 的几何意义的应用；面积求算学会用割补法；求二次函数的最大值通常配方成顶点式．11．-1或115．【解析】【分析】由题意可以得到关于a 、b 、c 的方程组，最后得到a 的值．【详解】解：由题意可知：34244a b c a b c ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨= 解得：140a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩或115453215a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故答案为：a=-1或115．【点睛】本题考查抛物线与方程组的综合应用，通过抛物线上的点坐标及抛物线在x 轴上截得的线段长得到方程组是解题关键．12．()()2020x x x x x ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩ 71k 8-<<- 【解析】【分析】分当211x x +<+时，当2x 1x 1+≥+时两种情况，分别代入新定义的运算算式即可求解；设y=()()2x 1*x 1++，绘制其函数图象，根据图象确定m 的取值范围，再求k 的取值范围．【详解】当211x x +<+时，即x 0<时，()()()()()222x 1*x 1x 12x 1x 1x x ++=+-++=--当2x 1x 1+≥+时，即x 0≥时， ()()()()()22x 1*x 12x 122x 1x 112x ++=-++++-=()()()()2x x 02x 1*x 12x 0x x ⎧--<⎪∴++=⎨≥⎪⎩；设y=()()2x 1*x 1++，则y=()()2x x 02x 0x x ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩其函数图象如图所示，抛物线顶点1124⎛⎫- ⎪⎝⎭，，根据图象可得：当10m 4<<时，()()211x x m ++=恰有三个不相等的实数根，其中设12x x ，，为2y x x =--与y m =的交点，3x 为2y x =与y m =的交点，12b x x 1a+=-=-， 1233x x x 1x ∴++=-+，10m 4<<时，310x 8<<， 71k 8∴-<<- 故答案为：()()2x x 0 2x 0x x ⎧--<⎪⎨≥⎪⎩；71k 8-<<- 【点睛】本题主要考查新定义问题，解题关键是将方程的解的问题转化为函数的交点问题．13．3；【解析】【分析】（1）求出点A 、B 的坐标，再根据割补法求△ABC 的面积即可得到'''A B C S ∆；（2）将旋转后的MN 和抛物线旋转到之前的状态，求出直线解析式及交点坐标，利用割补法求面积即可．【详解】解：（1）在22y x =+上，令x=0，解得y=2，所以C （0，2），OC=2，将(1,)A a -，(,6)B b 代入22y x =+，解得a=3，b=2，∴(1,3)A -，(2,6)B ，设(1,3)A -，(2,6)B 的直线解析式为y kx b =+，则362k b k b=-+⎧⎨=+⎩ ，解得14k b =⎧⎨=⎩，直线AB 解析式为4y x =+，令x=0，解得，y=4，即OD=4，∴422CD =-=，11[2(1)]23322ABC S CD ∆=•--=⨯⨯= ∴'''3A B C S ∆=（2）如图，由旋转知，3'2OE OE ==，'60OGF EOE ∠=∠=，30OFG ∠=∴'OE FG ⊥，3OF =，OG =直线:3FG y =，令232y y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，得210x +-=∴23(3)41(1)37x -±-⨯⨯--±== ∴7M N x x -=∴13772OMN S OF ∆=•=【点睛】此题考查了二次函数与几何问题相结合的问题，将三角形的面积转化为解题关键． 14．10．【解析】【分析】作点A 关于抛物线y ＝212x ﹣4x +4的对称轴的对称点A ',作点B 关于x 轴的对称点B ',连接A 'B ',分别交x 轴、抛物线对称轴于点M 、N ,则BM +MN +NA 就是点G 运动的最短路径,由对称的性质得AN ＝A 'N ,BM ＝B 'M ,得出点G 运动的最短路径＝BM +MN +NA ＝A 'B ',求出抛物线y ＝212x ﹣4x +4的对称轴为直线x ＝4,点A 的坐标为（0,4）,A '的坐标为（8,4）,B 的坐标为（0，2），B '的坐标为（0,﹣2）,得出AB '＝6,AA '＝8,由勾股定理求出A 'B '22''AB AA +＝10即可．【详解】解:作点A 关于抛物线y ＝212x ﹣4x +4的对称轴的对称点A ',作点B 关于x 轴的对称点B ',连接A 'B ',分别交x 轴、抛物线对称轴于点M 、N ,如图所示:则BM +MN +NA 就是点G 运动的最短路径,由对称的性质得:AN ＝A 'N ,BM ＝B 'M ,∴点G 运动的最短路径＝BM +MN +NA ＝A 'B ',∵抛物线y ＝212x ﹣4x +4＝12（x ﹣4）2﹣4, ∴抛物线y ＝212x ﹣4x +4的对称轴为直线x ＝4, 当x ＝0时,y ＝4,即点A 的坐标为（0,4）,∴点A '的坐标为（8,4）,∵B 是OA 的中点,∴B 的坐标为（0,2）,∴B '的坐标为（0,﹣2）,∴AB '＝4+2＝6,AA '＝8,∴A 'B '22''AB AA +2268+10,即点G 走过的最短路程为10;故答案为:10．【点睛】本题考查了点的轨迹,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,轴对称的性质,勾股定理,最短路径等知识,熟练掌握二次函数的性质和轴对称的性质是解题的关键．15．5【解析】【分析】先确定A 、B 、C 的坐标，设P 点坐标为（0，a ），然后根据两点间的距离公式，建立一个关于a 二次函数，求最大值即可．【详解】解：由题意可知：A 、B 、C 的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4）设P 点坐标为（0，p ）如图，当P 、C 、B 不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PC-PB ＜BC,∴当P 、C 、B 在同一条直线上，PC-PB=BC,即此时PC-PB 有最大值BC∴BC=()2241(04)5-+-=故答案为5．【点睛】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键．16．103121324【解析】【分析】作CD 的垂线FG ，DF 绕F 旋转后为FP ，作PH 垂直EF 的延长线于H ，利用三角函数和差公式计算出cos PFG ∠，从而求得sin PFH ∠，进而求解.建立直角坐标系，在DG 下方的抛物线上任取一点Q ，过点Q 作y 轴的平行线交DG 于点P ，过点Q 作DG 的垂线QM ，垂足为M.求出直线DG 及抛物线解析式，利用三角形DGQ 的面积作为桥梁可求出QM 的最大值，即杯体内液体的最大深度.【详解】解：如图：作CD 的垂线FG ，DF 绕F 旋转后为FP ，作PH 垂直EF 的延长线于H ，由题意可知：FG=21，DG=1193cos 24PFG ∠3，所以DF=444，所以3sin ,cos 444444αα== 所以cos(30)cos cos30sin sin 30ααα+=+＝37，所以sin PFH ∠=37所以PH=FP sin PFH ∠=44437⨯=103，液面GD 到平面l 的距离是103；如图3，建立直角坐标系，在DG 下方的抛物线上任取一点Q ，过点Q 作y 轴的平行线交DG 于点P ，过点Q 作DG 的垂线QM ，垂足为M ，由题意可知DG 绕F 点顺时针旋转30后与水平方向平行，所以旋转前DG 与水平方向的夹角为30，设直线DG 的解析式为y=kx+b ，由题意可知，点D的坐标为21)， 3tan 303k ==，所以19y x =+，设抛物线的解析式为29yax =+，经过点D 21)，所以a=1，所以29y x =+，由2919y x y x ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩得点G 的坐标为52()33-，设Q 的坐标为2(,9)m m +，点P 的坐标为(19)m +，所以PQ=219)(9)3m m+-+=2103m m -++，当32m =-=-PQ 有最大值为12112，又因为12DGQ S PQ ∆=⨯PQ ，所以当PQ 取最大值时，DGQ S ∆有最大值=121612⨯，DG =223，又因为12DGQ S DG QM ∆=⨯=113QM ，所以当DGQ S ∆有最大值时，QM 有最大值，11121312QM =，所以故答案是：【点睛】本题考查了二次函数及解直角三角形在实际生活中的应用，建立合适的坐标系及转化为直角三角形的问题是解题关键，此题难度较大，综合性较强.17．40【解析】【分析】根据题意利用两三角形相似，对应高之比等于相似比进行分析即可得出答案．【详解】解：∵DG ∥BC∴△ADG ∽△ABC它们的对应高线比等于对应线段的比，即AM DG AH BC＝，设AM=x ，那么DE=MH=AH-AM=80-x ∴80100DG x ＝， ∴54DG x =， ∴S 四边形DEFG =DG •DE=（80-x ）•54x=54（-x 2+80x-1600）+54×1600=-54（x-40）2+2000 当x=40时，S 取最大值∴DE=40，DG=50∴矩形的宽是40m ．故答案为：40．【点睛】本题考查相似三角形的性质以及用二次函数求最大值，熟练掌握相似三角形的性质以及用二次函数求最大值的方法是解答此题的关键．18．y 1＜y 2【解析】试题分析：由函数的解析式可知a=-6，函数的开口线下，在x ＞0时，y 随x 增大而减小，因此可知当x 1＞x 2＞0时，y 1＜y 2.故答案为 y 1＜y 219．135a >或2920a <- 【解析】【分析】分两种情况讨论：①M 在N 的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数2653=--+y x x a 与函数 4y x =-+组成的方程组无解即可.②M 在N 的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.【详解】①M 在N 的上方，因为抛物线开口向上，故只要函数2653=--+y x x a 与函数 4y x =-+组成的方程组无解即可.可得：2653=-x+4--+x x a整理得：25510x x a ---=∴=25204＜0a ∆++29＜20a - ②M 在N 的下方，因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=3，故只需考虑当x=-2和6时在直线的下方即可.当x=-2时，4+12-5a+3＜6，解得：13＞5a 当x=6时，36-36-5a+3＜-2，解得：a ＞1 故13＞5a 综上所述：29＜20a -或13＞5a【点睛】本题考查的是二次函数与一次函数是交点问题，本题的关键在于二次函数的取值范围，需考虑二次函数的开口方向.20．①③④【解析】【分析】①根据表格数据得到对称轴为1x =，c ＝－2﹤0，又n ﹥0知a ﹥0，即可得出答案； ②根据二次函数的性质即可解答；③当1n =时，()210ax b x c +++=变为220x x --=解方程即可判断； ④根据二次函数和一元二次方程的关系，根据新方程的判别式判断t 的范围即可．【详解】画出二次函数草图如右： ∵12b a-=，∴2b a =-， ①∵0a >，∴0b <，而0x =时，20y c ==-<，∴0abc >，∴①正确；②∵对称轴为1x =，∴0x >时，函数并非始终增长，∴②错误：③当1n =时，依题意有：14222a b c a b c c -+=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩，解得122a b c =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩∴方程()210ax b x c +++=可化为220x x --=，解得11x =-，22x =．∴③正确；另：方程的解可以看作直线y x =-与抛物线的交点．如图．则显然有11x =-，22x =； ④由2ax bx c t ++=得2220ax ax t ---=，此方程有两等根．∴()()22420a a t ∆=-++=．解得2t a =--，面320n a b c a =-+=->，故23a >， ∴282233t a =--<-=-． ∴④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是二次函数的性质及应用，结合函数图象，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．21．（1）y=x 2-3x ；（2）①6；②存在；最大值为132，此时A （12，54-）【解析】【分析】（1）将原点坐标代入抛物线的解析式中，即可求出n 的值，然后根据抛物线顶点在第四象限将不合题意的n 值舍去，即可得出所求的二次函数解析式；（2）①先根据抛物线的解析式求出抛物线与x 轴另一交点E 的坐标，根据抛物线和矩形的对称性可知：OB 的长，就是OE 与BC 的差的一半，由此可求出OB 的长，即B 点的坐标，然后代入抛物线的解析式中即可求出B 点纵坐标，也就得出了矩形AB 边的长．进而可求出。

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32.(1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

北师大版初3数学9年级下册第2章(二次函数)综合训练(含答案)

九年级数学综合训练（二）(二次函数)班级座号姓名成绩一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的．1. 抛物线2(2)5y x =-+的顶点坐标是()A. （-2，5）B. （2，5）C. （-2，-5）D. （2，-5）2. 二次函数222y x x =-++化为2()y a x h k =-+的形式，下列正确的是()A.2(1)2y x =-+ B.2(1)3y x =--+C. 2(2)2y x =-+ D.2(2)4y x =-+3. 抛物线y ＝x 2―3x +2不经过 ( )A ．第一象限B ．第二象限C.第三象限D ．第四象限4. 若抛物线经过（0，1）、（-1，0）、（1，0）三点，则此抛物线的解析式为（）A ．21y x =+B ．21y x =-C ．21y x =-+D ．21y x =--5. 二次函数22y x x =--的图象如图，则函数值y ＜0时x 的取值范围是( )A ．x ＜－1 B ．x ＞2 C ．－1＜x ＜2 D ．x ＜－1或x ＞26．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（）2y ax b y ax bx c =+=++和第5题图7. 将抛物线2(1)3y x =-+向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(0，4)D ．(0，7)8. 一件工艺品的进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件，根据销售统计，一件工艺品每降价1元，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，则每件需降价（）A ．3.6 元B ．5 元C ．10元D ．12元9. 若二次函数2y x mx =-的对称轴是x =2，则关于x 的方程25x mx -=的解为（）A ．121,5x x ==B ．121,3x x ==C ．121,5x x ==-D ．121,5x x =-=10. 已知抛物线224(0)y x mx m =-->的顶点M 关于坐标原点O 的对称点为M '，若点M '在这条抛物线上，则点M 的坐标为（）A ．(1，-5）B ．（3，-13）C ．（2，-8）D ．（4，-20）二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填在该题的横线上．11. 函数21(1)21m y m xmx +=--+的图象是抛物线，则m =． 12. 若抛物线2y ax bx c =++的开口向下，则a 的值可能是．（写一个即可）三、解答题（本大题4小题，每小题9分，共36分）17. 已知抛物线2y ax bx =+经过(2，0)，(－1，6)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．18. 如图，已知抛物线23y x mx =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B 的坐标为（3，0）.（1）求m 的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P 是抛物线对称轴l 上的一个动点，当PA +PC 的值最小时，求点P 的坐标．19. 九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x （1≤x ≤90）天的售价与销量的相关信息如右表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y 元．时间x （天）1≤x ＜5050≤x ≤90售价（元/件）x +4090每天销量（件）200﹣2x（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？20.如图，已知抛物线的顶点为A（1，4），抛物线与y轴交于点B（0，3），与x轴交于C、D两点．点P是抛物线上的一个动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）求C、D两点坐标及△BCD的面积；（3）若点P在x轴上方的抛物线上，满足S△PCD=12S△BCD，求点P的坐标．（二次函数）一、选择题1. B2. B3. C4. C5. C 6．C 7. B 8. B9. D 10. C 二、填空题11. -1 12. -1 13. 12m ≤14. 2114y x x =---15. 2016. （2，0）三、解答题（本大题4小题，每小题9分，共36分）17. (1)224y x x =-； (2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标(1，－2)．18. （1）把点B 的坐标为（3，0）代入抛物线23y x mx =-++得：m =2，∴2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC 交抛物线对称轴l 于点P ，则此时PA +PC 的值最小，设直线BC 的解析式为：y kx b =+ ，∵点C （0，3），点B （3，0）， ∴033k bb =+⎧⎨=⎩，解得：13k b =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为：3y x =-+，当x =1时，y = -1+3=2， ∴当PA +PC 的值最小时，点P 的坐标为：（1，2）．19. (1)当1≤x ＜50时，y =（200﹣2x ）（x +40﹣30）=﹣2x 2+180x +2000，当50≤x ≤90时，y =（200﹣2x ）（90﹣30）=﹣120x +12000，综上所述：y =221802000(150)12012000(5090)x x x x x ⎧-++≤<⎨-+≤≤⎩；(2)当1≤x ＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x =45，当x =45时，y 最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，当50≤x ≤90时，y 随x 的增大而减小，当x =50时，y 最大=6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；20. (1)∵抛物线的顶点为A （1，4）， ∴设抛物线的解析式2(1)4y a x =-+，把点B （0，3）代入得，a +4=3，解得a =﹣1，∴抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；(2)由（1）知，抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；令y =0，则20(1)4x =--+，∴x =﹣1或x =3， ∴C （﹣1，0），D （3，0）；∴CD =4，∴162BCD B S CD y ∆=⨯=；(3)由(2)知，162BCD B S CD y ∆=⨯=；CD =4，∵12PCD BCD S S ∆∆=，∴132PCD P S CD y ∆=⨯=， ∴32P y =， ∵点P 在x 轴上方的抛物线上，∴0p y >，∴32P y =， ∵抛物线的解析式为2(1)4y x =--+；∴23(1)42x =--+，∴1x =±∴P （1+ ，32 ），或P （1- ，32）．。

北师大版九年级数学下册第2章二次函数章末综合题复习(含答案)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章末综合题复习1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y(万个)与销售单价x(元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE和矩形DCFE)，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB长度为x米，窗户总面积为S平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S与x之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB的长度不少于2米，且边框AB的长度小于BC的长度，求此时窗户总面积S的最大值和最小值．5、已知二次函数y＝ax2的图象与直线y＝x＋2交于点(2，m)．(1)判断y＝ax2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x＞0时，y的值随x值的增大而变化的情况；(2)设直线y＝x＋2与抛物线y＝ax2的交点分别为A，B，如图所示．试确定A，B两点的坐标；(3)连接OA，OB，求△AOB的面积．6、如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋3的图象与x轴的一个交点为A(4，0)，与y轴交于点B.(1)求此二次函数的关系式和点B的坐标；(2)在x轴的正半轴上是否存在点P，使得△P AB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．7、如图是二次函数y＝(x＋m)2＋k的图象，其顶点坐标为M(1，－4)．(1)求出图象与x轴的交点A，B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P，使S△P AB＝54S△MAB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴的交点为A(0，3)，与x轴的交点分别为B(2，0)，C(6，0)．直线AD∥x轴，在x轴上位于点B右侧有一动点E，过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P，Q.(1)抛物线的表达式为________；(2)当点E在线段BC上时，求△APC面积的最大值；(3)是否存在点P，使以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．9．已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l与该抛物线两个交点分别为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．10、如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△P AC的周长最小？若存在，请求出点P的坐标及△P AC的周长；若不存在，请说明理由．11、如图，已知二次函数y＝x2－4x＋3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标．12、如图，顶点为M的抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M的坐标；(2)设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△P AB的面积最大时，求此时△P AB的面积及点P的坐标；(3)Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当△QMN∽△MAD(点Q与点M对应)时，求点Q的坐标．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－5，与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D是y轴上的一点，且以B，C，D为顶点的三角形与△ABC相似，求点D的坐标；(3)如图2，CE∥x轴与抛物线相交于点E，点H是直线CE下方抛物线上的动点，过点H且与y轴平行的直线与BC，CE分别相交于点F，G，试探究当点H运动到何处时，四边形CHEF的面积最大，求点H的坐标及最大面积；(4)若点K为x轴上一点，连接CK，请你直接写出2CK＋KB的最小值．参考答案1、已知抛物线的顶点为(－1，－3)，与y轴的交点为(0，－5)．(1)求抛物线的表达式；(2)将(1)中所求的抛物线向右平移2个单位长度、向上平移3个单位长度会得到怎样的抛物线？(3)若(2)中所求抛物线的顶点不动将抛物线的开口方向相反，求符合此条件的抛物线的表达式．解：(1)根据题意设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2－3，将(0，－5)代入，得a－3＝－5.解得a＝－2.∴抛物线的表达式为y＝－2(x＋1)2－3＝－2x2－4x－5.(2)y＝－2(x－1)2.(3)所求抛物线的表达式为y＝2(x－1)2.2、如果将抛物线y＝2x2＋bx＋c沿直角坐标平面先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到了抛物线y＝2x2－4x＋3.(1)试确定b，c的值；(2)求出抛物线y＝2x2＋bx＋c的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵y＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1，∴现将其向上平移2个单位长度，向右平移3个单位长度可得原函数，即y＝2(x－4)2＋3.∴y＝2x2－16x＋35.∴b＝－16，c＝35.(2)由y＝2(x－4)2＋3，得顶点坐标为(4，3)，对称轴为直线x＝4.3、成都市某公司自主设计了一款可控温杯，每个生产成本为16元，投放市场进行了试销．经过调查得到每月销售量y (万个)与销售单价x (元)之间关系是一次函数的关系，部分数据如下：(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)该公司既要获得一定利润，又要符合相关部门规定(一件产品的利润率不得高于50%)，请你帮助分析，公司销售单价定为多少时可获利最大？并求出最大利润．解：(1)设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx ＋b . 把(20，60)，(30，40)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝60，30k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝100. ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝－2x ＋100.(2)∵每个生产成本为16元，一件产品的利润率不得高于50%， ∴x ≤(1＋50%)×16＝24.设该公司每月获得的利润为w 万元，则 w ＝y (x －16) ＝(－2x ＋100)(x －16) ＝－2x 2＋132x －1 600 ＝－2(x －33)2＋578.∵图象开口向下，对称轴左侧w 随x 的增大而增大， ∴当x ＝24时，w 最大，最大值为416.答：公司销售单价定为24元时可获利最大，最大利润为每月416万元．4、如图所示，用一根长度为18米的原材料制作一个矩形窗户边框(即矩形ABFE 和矩形DCFE )，原材料刚好全部用完．设窗户边框AB 长度为x 米，窗户总面积为S 平方米(注：窗户边框粗细忽略不计)．(1)求S 与x 之间的函数关系式；(2)若窗户边框AB 的长度不少于2米，且边框AB 的长度小于BC 的长度，求此时窗户总面积S 的最大值和最小值．解：(1)由题意可得，S ＝x ·18－3x 2＝－32x 2＋9x .(2)由题意可得，2≤x ＜18－3x2，解得2≤x ＜3.6，∵S ＝－32x 2＋9x ，2≤x ＜3.6，∴当x ＝3时，S 取得最大值，此时S ＝272；当x ＝2时，S 取得最小值，此时S ＝12.答：窗户总面积S 的最大值是272平方米，最小值是12平方米．5、已知二次函数y ＝ax 2的图象与直线y ＝x ＋2交于点(2，m )．(1)判断y ＝ax 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标以及当x ＞0时，y 的值随x 值的增大而变化的情况；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2的交点分别为A ，B ，如图所示．试确定A ，B 两点的坐标； (3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积．解：(1)把点(2，m )代入y ＝x ＋2，解得m ＝4， ∴交点坐标为(2，4)．把点(2，4)代入y ＝ax 2，得 a ＝1.∴二次函数的表达式为y ＝x 2.∴抛物线的对称轴为y 轴，顶点坐标为(0，0)，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大． (2)由题意，得x 2＝x ＋2，解得x 1＝2，x 2＝－1，则y 1＝4，y 2＝1. ∴A (2，4)，B (－1，1)．(3)设直线y ＝x ＋2与y 轴的交点为D ，则点D 坐标为(0，2)， ∴S △AOB ＝S △DOB ＋S △DOA ＝12×2×1＋12×2×2 ＝3.6、如图，已知二次函数y ＝－x 2＋bx ＋3的图象与x 轴的一个交点为A (4，0)，与y 轴交于点B . (1)求此二次函数的关系式和点B 的坐标；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把点A (4，0)代入二次函数，得 0＝－16＋4b ＋3，解得b ＝134.∴二次函数的关系式为y ＝－x 2＋134x ＋3.当x ＝0时，y ＝3， ∴点B 的坐标为(0，3)．(2)作AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，连接BP ，则BP ＝AP ，此时点P 即为所求．设BP ＝AP ＝x ，则OP ＝4－x ，在Rt △OBP 中，BP 2＝OB 2＋OP 2，即x 2＝32＋(4－x )2，解得x ＝258.∴OP ＝4－258＝78，即P (78，0)．∴在x 轴的正半轴上存在点P ，使得△P AB 是以AB 为底边的等腰三角形，且点P 的坐标为(78，0)．7、如图是二次函数y ＝(x ＋m )2＋k 的图象，其顶点坐标为M (1，－4)． (1)求出图象与x 轴的交点A ，B 的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P ，使S △P AB ＝54S △MAB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵抛物线y ＝(x ＋m )2＋k 的顶点坐标为M (1，－4)， ∴y ＝(x －1)2－4.令y ＝0，即(x －1)2－4＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．(2)∵△P AB 与△MAB 同底，且S △P AB ＝54S △MAB ，∴|y P |＝54|y M |＝54×4＝5，即y P ＝±5.又∵点P 在二次函数y ＝(x －1)2－4的图象上， ∴y P ≥－4.∴y P ＝5.令(x －1)2－4＝5，解得x 1＝4，x 2＝－2， ∴存在这样的点P ，其坐标为(4，5)或(－2，5)．8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与y 轴的交点为A (0，3)，与x 轴的交点分别为B (2，0)，C (6，0)．直线AD ∥x 轴，在x 轴上位于点B 右侧有一动点E ，过点E 作平行于y 轴的直线l 与抛物线、直线AD 的交点分别为P ，Q .(1)抛物线的表达式为y ＝14x 2－2x ＋3；(2)当点E 在线段BC 上时，求△APC 面积的最大值；(3)是否存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(2)设直线AC 的表达式为y ＝kx ＋m ，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋m ＝0，m ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝3.∴直线AC 的表达式为y ＝－12x ＋3.设△APC 的面积为S ，直线l 与AC 的交点为F . 设P (t ，14t 2－2t ＋3)(2≤t ≤6)，则F (t ，－12t ＋3)．∴PF ＝－14t 2＋32t .∴S ＝S △PF A ＋S △PFC ＝12PF ·t ＋12PF ·(6－t ) ＝12(－14t 2＋32t )×6＝－34(t －3)2＋274. ∴当t ＝3时，S 最大＝274，即△APC 面积的最大值为274.(3)存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似．理由：连接AB ，则在△AOB 中，∠AOB ＝90°，AO ＝3，BO ＝2，设E (n ，0)(n ＞2)，则Q (n ，3)，P (n ，14n 2－2n ＋3)，当14n 2－2n ＋3＝3时，此时，点P ，Q 重合，即n ＝0(舍)或n ＝8，不能构成△APQ ，∴n ≠8. ①当2＜n ＜8时，AQ ＝n ，PQ ＝－14n 2＋2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝2－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝163.∴E (163，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA，即2n ＝3－14n 2＋2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝2(舍)；②当n ＞8时，AQ ＝n ，PQ ＝14n 2－2n ，若△AOB ∽△AQP ，则AO AQ ＝OBQP ，即3n ＝214n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝323.∴E (323，0)．若△AOB ∽△PQA ，则AO PQ ＝OBQA ，即2n ＝314n 2－2n . ∴n ＝0(舍)或n ＝14.∴E (14，0)．综上所述，存在点P ，使以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△AOB 相似，此时点E 的坐标为(163，0)，(323，0)或(14，0)．9、已知直线l ：y ＝kx ＋1与抛物线y ＝x 2－4x . (1)求证：直线l 与该抛物线总有两个交点；(2)如图，设直线l 与该抛物线两个交点分别为A ，B ，O 为原点，当k ＝－2时，求△OAB 的面积．解：(1)证明：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y ＝x 2－4x ，化简，得x 2－(4＋k )x －1＝0， ∴Δ＝(4＋k )2＋4＞0.∴直线l 与该抛物线总有两个交点． (2)当k ＝－2时，y ＝－2x ＋1. 设直线AB 交x 轴于点C .令y ＝0，则－2x ＋1＝0, ∴x ＝12.∴C (12，0)．∴OC ＝12.过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2－4x ，y ＝－2x ＋1，解得⎩⎨⎧x ＝1＋2，y ＝－1－22或⎩⎨⎧x ＝1－2，y ＝22－1.∴A (1－2，22－1)，B (1＋2，－1－22)． ∴AF ＝22－1，BE ＝1＋2 2. ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S △BOC ＝12OC ·AF ＋12OC ·BE ＝12OC ·(AF ＋BE ) ＝12×12×(22－1＋1＋22) ＝ 2.10、如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小？若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3. ∴A (－1，0)，B (3，0)．在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令x ＝0，则y ＝3.∴C (0，3)．连接BC 交抛物线的对称轴于点P ，连接AP ，则点P 即为所求．此时△P AC 的周长最小，等于AC ＋BC . ∵A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)，∴AC ＝12＋32＝10，BC ＝32＋32＝3 2. ∴AC ＋CB ＝10＋3 2.∴△P AC 的周长最小为10＋3 2. 设直线BC 的表达式为y ＝kx ＋t .把点B (3，0)，C (0，3)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋t ＝0，t ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，t ＝3. ∴直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. ∴y P ＝－1＋3＝2.∴存在点P (1，2)使△P AC 的周长最小，最小值为10＋3 2.11、如图，已知二次函数y ＝x 2－4x ＋3的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，若点P 为抛物线上的一点，点F 为对称轴上的一点，且以点A ，B ，P ，F 为顶点的四边形为平行四边形，求点P 的坐标．解：在y ＝x 2－4x ＋3中，令y ＝0，则x 2－4x ＋3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3. ∴A (1，0)，B (3，0)．①当AB 为平行四边形一条边时，如图1，则AB ＝PF ＝2.∵抛物线的对称轴为直线x ＝2， ∴点P 的坐标为(4，3)；当点P 在对称轴左侧时，点P 的坐标为(0，3)； ②当AB 是平行四边形的对角线时，如图2， AB 的中点坐标为(2，0)．设点P 的横坐标为m ，则PF 的中点坐标为(m ＋22，0)，∴m ＋22＝2，解得m ＝2.∴点P 的坐标为(2，－1)．综上所述，点P 的坐标为(4，3)或(0，3)或(2，－1)．图1 图212、如图，顶点为M 的抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，在y 轴上是否存在一点P ，使得△P AM 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝0，则－x 2＋2x ＋3＝0. 解得x 1＝3，x 2＝－1. ∴A (3，0)，B (－1，0)．∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4， ∴M (1，4)．∴AM 2＝(3－1)2＋42＝20. 设点P 坐标为(0，p )，则AP 2＝32＋p 2＝9＋p 2， MP 2＝12＋(4－p )2＝17－8p ＋p 2. ①若∠P AM ＝90°，则AM 2＋AP 2＝MP 2. ∴20＋9＋p 2＝17－8p ＋p 2，解得p ＝－32.∴P (0，－32)．②若∠APM ＝90°，则AP 2＋MP 2＝AM 2. ∴9＋p 2＋17－8p ＋p 2＝20，解得p 1＝1，p 2＝3. ∴P (0，1)或(0，3)．③若∠AMP ＝90°，则AM 2＋MP 2＝AP 2. ∴20＋17－8p ＋p 2＝9＋p 2，解得p ＝72.∴P (0，72)．综上所述，当点P 的坐标为(0，－32)或(0，1)或(0，3)或(0，72)时，△P AM 为直角三角形．13、如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，与y 轴交于点A .过点A 作AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，点C 是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C 作y 轴的平行线，交直线AB 于点D .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点E 在y 轴的负半轴上，且AE ＝AD ，直线CE 交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4于点F . ①求点F 的坐标；②过点D 作DG ⊥CE 于点G ，连接OD ，ED ，当∠ODE ＝∠CDG 时，求直线DG 的函数表达式．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋4的顶点坐标为(3，254)，∴y ＝a (x －3)2＋254＝ax 2－6ax ＋9a ＋254.∴9a ＋254＝4.∴a ＝－14.∴抛物线的表达式为y ＝－14x 2＋32x ＋4.(2)①设C (m ，－14m 2＋32m ＋4)．∵AD ＝AE ，AD ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AD ＝AE ＝m . ∵OA ＝4，∴OE ＝m －4.∵点E 在y 轴的负半轴上，∴E (0，4－m )．设直线CE 的表达式为y ＝kx ＋b . 则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4－m ，mk ＋b ＝－14m 2＋32m ＋4. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－14m ＋52，b ＝4－m.∴直线CE 的表达式为y ＝(－14m ＋52)x ＋4－m .联立两个函数表达式，得－14x 2＋32x ＋4＝(－14m ＋52)x ＋4－m .∴－14x 2＋(14m －1)x ＋m ＝0，x 2＋(4－m )x －4m ＝0，(x ＋4)(x －m )＝0，解得x 1＝－4，x 2＝m .∴定点F (－4，－6)．②如图，过点E 作EH ⊥CD 于点H ，交DG 于点Q ，连接OQ ，由①知OE ＝m －4. ∵∠DAE ＝∠ADH ＝∠EHD ＝90°，AD ＝AE ，∴四边形AEHD 是正方形． ∴∠EDH ＝45°，AD ＝AE ＝DH ＝EH . ∵∠ODE ＝∠CDG ，∴∠ODE ＋∠EDQ ＝∠EDQ ＋∠CDG ＝45°，即∠ODQ ＝45°. ∴∠ADO ＋∠CDG ＝45°.在OA 的延长线上取AP ＝QH ，连接PD ，又∵∠P AD ＝∠QHD ＝90°，AD ＝DH ， ∴△P AD ≌△QHD (SAS )． ∴PD ＝DQ ，∠ADP ＝∠CDG . ∴∠ADP ＋∠ADO ＝45°＝∠ODQ . 又∵OD ＝OD ，∴△PDO ≌△QDO (SAS )．∴OP ＝OQ .∵EH ＝DH ，∠EHC ＝∠DHQ ，∠GEH ＝∠CDG ， ∴△EHC ≌△DHQ (ASA )．∴CH ＝QH ＝14m 2－32m －4－(m －4)＝14m 2－52m ＝AP .∴OQ ＝OP ＝OA ＋AP ＝4＋14m 2－52m .∵OE ＝m －4，EQ ＝EH －QH ＝m －(14m 2－52m )＝－14m 2＋72m ，在Rt △OEQ 中，由勾股定理，得OE 2＋EQ 2＝OQ 2， ∴(m －4)2＋(－14m 2＋72m )2＝(4＋14m 2－52m )2，m 3－10m 2－24m ＝0，解得m 1＝0(舍)，m 2＝12，m 3＝－2(舍)． ∴D (12，4)，Q (6，－8)．设直线DG 的表达式为y ＝k ′x ＋b ′，则⎩⎪⎨⎪⎧12k′＋b′＝4，6k′＋b′＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧k′＝2，b′＝－20. ∴直线DG 的函数表达式为y ＝2x －20.14、如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴、y 轴分别交于A (－1，0)，B (3，0)，C 三点． (1)求抛物线的表达式；(2)x 轴上是否存在点P ，使PC ＋12PB 最小？若存在，请求出点P 的坐标及PC ＋12PB 的最小值；若不存在，请说明理由；(3)连接BC ，设E 为线段BC 的中点．若M 是抛物线上一动点，将点M 绕点E 旋转180°得到点N ，当以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N 的坐标．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋3(a ≠0)与x 轴交于点A (－1，0)，B (3，0)， ∴设抛物线的表达式为y ＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a . ∴－3a ＝3.∴a ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3.(2)在x 轴下方作∠ABD ＝30°，交y 轴负半轴于点D ，则BD ＝2OD . ∵B (3，0)，∴OB ＝3.根据勾股定理，得BD 2－OD 2＝32， ∴4OD 2－OD 2＝9. ∴OD ＝3，BD ＝2 3.∵抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3， ∴C (0，3)．∴OC ＝3.∴CD ＝3＋ 3. 过点P 作PB ′⊥BD 于点B ′，在Rt △PB ′B 中，PB ′＝12PB ，∴PC ＋12PB ＝PC ＋PB ′.当点C ，P ，B 在同一条直线上时，PC ＋12PB 最小，最小值为CB ′，∵S △BCD ＝12CD ·OB ＝12BD ·CB ′，∴CB ′＝CD·OB BD ＝（3＋3）×323＝3（3＋1）2，即PC ＋12PB 的最小值为3（3＋1）2.∵OB ＝OC ＝3，∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°. ∴∠DBC ＝45°＋30°＝75°.∴∠BCP ＝90°－75°＝15°.∴∠OCP ＝30°. ∵OC ＝3，∴OP ＝ 3.∴P (3，0)．(3)如备用图，设M (m ，－m 2＋2m ＋3)， ∵以B ，C ，M ，N 为顶点的四边形是矩形， ∴∠BMC ＝90°.∵点A 在x 轴负半轴上，且∠BOC ＝90°， ∴点M 在x 轴上方的抛物线上．过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，MF ⊥y 轴于点F ， ∴∠MEO ＝∠MFO ＝90°＝∠EOF . ∴四边形OEMF 是矩形． ∴∠EMF ＝90°.∴∠BME ＝∠CMF . 又∵∠BEM ＝∠CFM ＝90°， ∴△BEM ∽△CFM . ∴BE CF ＝MEMF，即3－m －m 2＋2m ＋3－3＝－m 2＋2m ＋3m .∴m ＝1±52或3(舍去)．∴M (1＋52，5＋52)或(1－52，5－52)．∵点N 是点M 关于点E (32，32)的对称点，∴点N 的坐标为(5－52，1－52)或(5＋52，1＋52)．15、如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝12x ＋12相交于A (－1，0)，B (4，m )两点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c交y 轴于点C (0，－32)，交x 轴正半轴于点D ，抛物线的顶点为M .(1)求抛物线的表达式及点M 的坐标；(2)设P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，当△P AB 的面积最大时，求此时△P AB 的面积及点P 的坐标； (3)Q 为x 轴上一动点，N 是抛物线上一点，当△QMN ∽△MAD (点Q 与点M 对应)时，求点Q 的坐标．解：(1)把点B (4，m )代入y ＝12x ＋12中，得m ＝52，∴B (4，52)．把点A (－1，0)，B (4，52)，C (0，－32)代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝52，c ＝－32.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，c ＝－32.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x －32. ∵y ＝12x 2－x －32＝12(x －1)2－2， ∴点M 的坐标为(1，－2)．(2)如图1所示，过点P 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点P 的坐标为(m ，12m 2－m －32)，则H (m ，12m ＋12)， ∴PH ＝12m ＋12－(12m 2－m －32)＝－12m 2＋32m ＋2. ∵点P 为直线AB 下方的抛物线上一动点，∴－1＜m ＜4.∴S △P AB ＝12×HP ·(x B －x A )＝12×(－12m 2＋32m ＋2)×5＝－54(m －32)2＋12516. ∵－54＜0，∴当m ＝32时，S △P AB 最大，最大为12516，此时点P (32，－158)． (3)如图2所示，在y ＝12x 2－x －32中，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，∴D (3，0)． ∵M (1，－2)，A (－1，0)，∴△AMD 为等腰直角三角形．∵△QMN ∽△MAD ，∴△QNM 为等腰直角三角形，且∠MQN ＝90°，MQ ＝NQ .设点N 的坐标为(n ，12n 2－n －32)，易证：△QEN ≌△MFQ ，∴FQ ＝EN ＝2，MF ＝EQ ＝12n 2－n －32. ∴12n 2－n －32＋1＝n ＋2.解得n ＝5或－1(舍)． ∴点Q 的坐标为(7，0)．根据对称性可知，点Q 的坐标为(－5，0)时也满足条件，∵△ADM 是等腰直角三角形，∴当点Q 是AD 的中点，N 与A 或D 重合时，△QMN ∽△MAD ，此时Q (1，0)．综上所述，点Q 的坐标为(7，0)或(－5，0)或(1，0)．16、如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5，与x 轴交于A (－1，0)，B (5，0)两点，与y 轴交于点C .(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D 是y 轴上的一点，且以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点D 的坐标；(3)如图2，CE ∥x 轴与抛物线相交于点E ，点H 是直线CE 下方抛物线上的动点，过点H 且与y 轴平行的直线与BC ，CE 分别相交于点F ，G ，试探究当点H 运动到何处时，四边形CHEF 的面积最大，求点H 的坐标及最大面积；(4)若点K 为x 轴上一点，连接CK ，请你直接写出2CK ＋KB 的最小值．解：(1)∵点A (－1，0)，B (5，0)在抛物线y ＝ax 2＋bx －5上，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b －5＝0，25a ＋5b －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4. ∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －5.(2)令x ＝0，则y ＝－5，∴C (0，－5)．∴OC ＝OB ＝5.∴∠OBC ＝∠OCB ＝45°.∴AB ＝6，BC ＝52，AC ＝26.要使以B ，C ，D 为顶点的三角形与△ABC 相似，则有AB CD ＝BC BC 或AB BC ＝BC CD. ①当AB CD ＝BC BC时，CD ＝AB ＝6， ∴D (0，1)．②当AB BC ＝BC CD 时，652＝52CD， ∴CD ＝253.∴D (0，103)． ∴点D 的坐标为(0，1)或(0，103)． (3)设H (t ，t 2－4t －5)，∵CE ∥x 轴，∴点E 的纵坐标为－5.∵点E 在抛物线上，∴x 2－4x －5＝－5.∴x ＝0(舍)或x ＝4.∴E (4，－5)．∴CE ＝4.∵B (5，0)，C (0，－5)，∴直线BC 的表达式为y ＝x －5.∴F (t ，t －5)．∴HF ＝t －5－(t 2－4t －5)＝－(t －52)2＋254. ∵CE ∥x 轴，HF ∥y 轴，∴CE ⊥HF .∴S 四边形CHEF ＝12CE ·HF ＝－2(t －52)2＋252. ∴当t ＝52时，四边形CHEF 的面积最大为252. 当t ＝52时，t 2－4t －5＝254－10－5＝－354， ∴H (52，－354)． (4)如图3，作点C 关于x 轴的对称点E (0，5)，将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BHF ，连接HK ，EF ，EK ，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ，∵B (5，0)，C (0，－5)，∴BO ＝CO ＝5.∴BC ＝52，∠CBO ＝45°.∵点C ，点E 关于x 轴对称，∴EK ＝CK .∵将△BKC 绕点B 逆时针旋转60°得到△BHF ，∴BK ＝BH ，CK ＝HF ，BF ＝BC ＝52，∠KBH ＝60°＝∠CBF .∴△KBH 是等边三角形．∴KB ＝KH .∴2CK ＋KB ＝HF ＋EK ＋KH .∴当E ，K ，H ，F 四点共线时，2CK ＋KB 的值最小，最小值为EF 的长．∵∠FBM ＝180°－45°－60°＝75°，BF ＝52，∴BM ＝53－52，MF ＝53＋52.∴EF＝（53－52＋5）2＋（53＋52＋5）2＝53＋5，即2CK＋KB的最小值为53＋5.。

北师大版九年级数学下册第2章测试题及参考答案

北师大版九年级数学下册第2章测试题一、选择题1．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是（）A．﹣1B．1C．3D．52．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；(2)当时，y＜0；(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．03．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2+4D．y=（x﹣1）2+24．已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣65．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+26．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，07．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2B．0C．2D．2.58．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m 的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或9．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．010．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．a﹣b+c＜0C．﹣D．4ac﹣b2＜﹣8a11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是（）A．h＞0，k＞0B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0D．h＞0，k＜0 12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个二、填空题13．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm2．14．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式．15．抛物线y=x2+1的最小值是．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为．17．已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是．三、解答题18．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．(1)求m、n的值；(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．(1)求此抛物线的解析式．(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．20．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．21．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．(1)求此抛物线的解析式．(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．22．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式．(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．23．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．参考答案与试题解析1．二次函数y=x2﹣4x+5的最小值是（）A．﹣1B．1C．3D．5【考点】H7：二次函数的最值．【专题】选择题【分析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5变形为顶点式，再根据二次函数的性质即可求出其最小值．【解答】解：配方得：y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（x﹣2）2+1，当x=2时，二次函数y=x2﹣4x+5取得最小值为1．故选B．【点评】本题考查了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．2．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：(1)二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3；(2)当时，y＜0；(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【考点】H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】选择题【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确；综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个．故选B．【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．3．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4B．y=（x+1）2+2C．y=（x﹣1）2+4D．y=（x﹣1）2+2【考点】H9：二次函数的三种形式．【专题】选择题【分析】根据配方法进行整理即可得解．【解答】解：y=x2﹣2x+3，=（x2﹣2x+1）+2，=（x﹣1）2+2．故选D．【点评】本题考查了二次函数的三种形式的转化，熟记配方法的操作是解题的关键．4．已知0≤x≤，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣10.5B．2C．﹣2.5D．﹣6【考点】H7：二次函数的最值．【专题】选择题【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤，﹣2（﹣2）2+2=﹣2.5．∴当x=时，y取最大值，y最大=故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值．确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．5．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B（0，﹣2）．它与反比例函数y=﹣的图象交于点A（m，4），则这个二次函数的解析式为（）A．y=x2﹣x﹣2B．y=x2﹣x+2C．y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】选择题【分析】将A坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出A的坐标，将A与B 坐标代入二次函数解析式求出b与c的值，即可确定出二次函数解析式．【解答】解：将A（m，4）代入反比例解析式得：4=﹣，即m=﹣2，∴A（﹣2，4），将A（﹣2，4），B（0，﹣2）代入二次函数解析式得：，解得：b=﹣1，c=﹣2，则二次函数解析式为y=x2﹣x﹣2．故选A．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．6．在二次函数y=x2﹣2x﹣3中，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是（）A．0，﹣4B．0，﹣3C．﹣3，﹣4D．0，0【考点】H7：二次函数的最值．【专题】选择题【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，则当x=1时，y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；当x=3时，y=9﹣6﹣3=0是最大值．故选A．【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．7．已知m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式2k2﹣8k+6的最小值为（）A．﹣2B．0C．2D．2.5【考点】H7：二次函数的最值．【专题】选择题【分析】首先求出k的取值范围，进而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值求出即可．【解答】解：∵m，n，k为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，∴m，n，k最小为0，当n=0时，k最大为：，∴0≤k，∵2k2﹣8k+6=2（k﹣2）2﹣2，∴a=2＞0，∴k≤2时，代数式2k2﹣8k+6的值随k的增大而减小，∴k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值为：2×（）2﹣8×+6=2.5．故选D．【点评】此题主要考查了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，根据二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6的最小值是解题关键．8．当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m 的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或或【考点】H7：二次函数的最值．【专题】选择题【分析】根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m=（舍去）；③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．故选C．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．9．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣3}=﹣3，min{﹣4，﹣2}=﹣4．则min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是（）A．B．C．1D．0【考点】H7：二次函数的最值；F6：正比例函数的性质．【专题】选择题【分析】理解min{a，b}的含义就是取二者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy中，画出函数二次函数y=﹣x2+1与正比例函数y=﹣x的图象，如图所示．设它们交于点A、B．令﹣x2+1=﹣x，即x2﹣x﹣1=0，解得：x=或，∴A（，），B（，）．观察图象可知：①当x≤时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而增大，其最大值为；②当＜x＜时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x，函数值随x的增大而减小，其最大值为；③当x≥时，min{﹣x2+1，﹣x}=﹣x2+1，函数值随x的增大而减小，最大值为．综上所示，min{﹣x2+1，﹣x}的最大值是．故选A．【点评】本题考查了二次函数与正比例函数的图象与性质，充分理解定义min{a，b}和掌握函数的性质是解题的关键．10．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论正确的是（）A．a＜0B．a﹣b+c＜0C．﹣D．4ac﹣b2＜﹣8a【考点】H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴的交点．【专题】选择题【分析】由开口方向，可确定a＞0；由当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，可确定B错误；由对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，可确定x=﹣＜1；由二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a＞0，可得最小值：＜﹣2，即可确定D正确．【解答】解：A、∵开口向上，∴a＞0，故本选项错误；B、∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0，故本选项错误；C、∵对称轴在y轴右侧且在直线x=1左侧，∴x=﹣＜1，故本选项错误；D、∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（0，﹣2），对称轴在y轴右侧，a ＞0，∴最小值：＜﹣2，∴4ac﹣b2＜﹣8a．故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了图象与二次函数系数之间的关系．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数解析式为y=﹣2（x﹣h）2+k，则下列结论正确的是（）A．h＞0，k＞0B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0D．h＞0，k＜0【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】根据抛物线所的顶点坐标在x轴的上方即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由图可知，抛物线的顶点坐标在第一象限，∴h＞0，k＞0．故选A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．12．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣1，0）．下列结论：①ab＜0，②b2＞4a，③0＜a+b+c＜2，④0＜b＜1，⑤当x＞﹣1时，y＞0，其中正确结论的个数是（）A．5个B．4个C．3个D．2个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【分析】由抛物线的对称轴在y轴右侧，可以判定a、b异号，由此确定①正确；由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（0，1），得出c=1，由此判定②正确；由抛物线过点（﹣1，0），得出a﹣b+c=0，即a=b﹣1，由a＜0得出b＜1；由a＜0，及ab＜0，得出b＞0，由此判定④正确；由a﹣b+c=0，及b＞0得出a+b+c=2b＞0；由b＜1，c=1，a＜0，得出a+b+c ＜a+1+1＜2，由此判定③正确；由图象可知，当自变量x的取值范围在一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值y＞0，由此判定⑤错误．【解答】解：∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）过点（0，1）和（﹣1，0），∴c=1，a﹣b+c=0．①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴x=﹣＞0，∴a与b异号，∴ab＜0，正确；②∵抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，∵c=1，∴b2﹣4a＞0，b2＞4a，正确；④∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵ab＜0，∴b＞0．∵a﹣b+c=0，c=1，∴a=b﹣1，∵a＜0，∴b﹣1＜0，b＜1，∴0＜b＜1，正确；③∵a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜1，c=1，a＜0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，∴0＜a+b+c＜2，正确；⑤抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为（﹣1，0），设另一个交点为（x0，0），则x0＞0，由图可知，当x0＞x＞﹣1时，y＞0，错误；综上所述，正确的结论有①②③④．故选B．【点评】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；抛物线与x轴的交点个数，决定了b2﹣4ac的符号，此外还要注意二次函数与方程之间的转换．13．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是64 cm2．【考点】H7：二次函数的最值．【专题】填空题【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，当x=﹣=﹣=8时，S有最大值是：64．故答案是：64．【点评】本题考查了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转化为函数问题，利用函数的性质求解．14．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式y=（x﹣6）2﹣36．【考点】H9：二次函数的三种形式．【专题】填空题【分析】由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．【解答】解：y=x2﹣12x=（x2﹣12x+36）﹣36=（x﹣6）2﹣36，即y=（x ﹣6）2﹣36．故答案为y=（x﹣6）2﹣36．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；(2)顶点式：y=a（x﹣h）2+k；(3)交点式（与x轴）：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）．15．抛物线y=x2+1的最小值是1．【考点】H7：二次函数的最值．【专题】填空题【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：抛物线y=x2+1的最小值是1．故答案为：1．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式求最大（或最小）值是解题的关键．16．函数y=（x﹣1）2+3的最小值为3．【考点】H7：二次函数的最值．【专题】填空题【分析】根据顶点式得到它的顶点坐标是（1，3），再根据其a＞0，即抛物线的开口向上，则它的最小值是3．【解答】解：根据非负数的性质，（x﹣1）2≥0，于是当x=1时，函数y=（x﹣1）2+3的最小值y等于3．故答案为：3．【点评】本题考查了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．已知二次函数y=x2+bx+c经过点（3，0）和（4，0），则这个二次函数的解析式是y=x2﹣7x+12．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【专题】填空题【分析】由于已知了二次函数与x轴的两交点坐标，则可设交点式易得其解析式．【解答】解：设二次函数的解析式为y=a（x﹣3）（x﹣4），而a=1，所以二次函数的解析式为y=（x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12．故答案为y=x2﹣7x+12．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．18．已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线．(1)求m、n的值；(2)如图，一次函数y=kx+b的图象经过点P，与x轴相交于点A，与二次函数的图象相交于另一点B，点B在点P的右侧，PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；FA：待定系数法求一次函数解析式．【专题】解答题【分析】(1)利用对称轴公式求得m，把P（﹣3，1）代入二次函数y=x2+mx+n 得出n=3m﹣8，进而就可求得n；(2)根据(1)得出二次函数的解析式，根据已知条件，利用平行线分线段成比例定理求得B的纵坐标，代入二次函数的解析式中求得B的坐标，然后利用待定系数法就可求得一次函数的表达式．【解答】解：(1)∵对称轴是经过（﹣1，0）且平行于y轴的直线，∴﹣=﹣1，∴m=2，∵二次函数y=x2+mx+n的图象经过点P（﹣3，1），∴9﹣3m+n=1，得出n=3m﹣8．∴n=3m﹣8=﹣2；(2)∵m=2，n=﹣2，∴二次函数为y=x2+2x﹣2，作PC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则PC∥BD，∴=，∵P（﹣3，1），∴PC=1，∵PA：PB=1：5，∴=，∴BD=6，∴B的纵坐标为6，代入二次函数为y=x2+2x﹣2得，6=x2+2x﹣2，解得x1=2，x2=﹣4（舍去），∴B（2，6），∴，解得，∴一次函数的表达式为y=x+4．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，根据已知条件求得B的坐标是解题的关键．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、C两点，点D为抛物线的顶点，连接AC、BD、CD．(1)求此抛物线的解析式．(2)求此抛物线顶点D的坐标和四边形ABCD的面积．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【专题】解答题【分析】(1)根据题意确定出B与C的坐标，代入抛物线解析式求出b与c的值，即可确定出解析式；(2)把抛物线解析式化为顶点形式，找出顶点坐标，四边形ABDC面积=三角形ABC面积+三角形BCD面积，求出即可．【解答】解：(1)由已知得：C（0，4），B（4，4），把B与C坐标代入y=﹣x2+bx+c得：，解得：b=2，c=4，则解析式为y=﹣x2+2x+4；(2)∵y=﹣x2+2x+4=﹣（x﹣2）2+6，∴抛物线顶点坐标为（2，6），=S△ABC+S△BCD=×4×4+×4×2=8+4=12．则S四边形ABDC【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线的顶点坐标．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【分析】(1)根据抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0），直接得出抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），再整理即可，(2)根据抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，即可得出答案．【解答】解：(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．∴抛物线的解析式为；y=﹣（x﹣3）（x+1），即y=﹣x2+2x+3，(2)∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）．【点评】此题考查了用待定系数法求函数的解析式，用到的知识点是二次函数的解析式的形式，关键是根据题意选择合适的解析式．21．如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，交y轴于点E．(1)求此抛物线的解析式．(2)若直线y=x+1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【分析】(1)利用待定系数法求二次函数解析式即可；(2)首先求出直线与二次函数的交点坐标进而得出E，F点坐标，即可得出△DEF 的面积．【解答】解：(1)∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3；(2)根据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线y=x+1，当x=0时，y=1，∴F（0，1），对于y=x2﹣2x﹣3，当x=0时，y=﹣3，∴E（0，﹣3），∴EF=4，过点D作DM⊥y轴于点M．=EF•DM=8．∴S△DEF【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及三角形面积求法等知识，利用数形结合得出D，E，F点坐标是解题关键．22．如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（﹣4，﹣3），与y轴交于点B，对称轴是x=﹣3，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式．(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD=8，求△BCD的面积．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【分析】(1)把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得16﹣4b+c=﹣3，根据对称轴是x=﹣3，求出b=6，即可得出答案，(2)根据CD∥x轴，得出点C与点D关于x=﹣3对称，根据点C在对称轴左侧，且CD=8，求出点C的横坐标和纵坐标，再根据点B的坐标为（0，5），求出△BCD中CD边上的高，即可求出△BCD的面积．【解答】解：(1)把点A（﹣4，﹣3）代入y=x2+bx+c得：16﹣4b+c=﹣3，c﹣4b=﹣19，∵对称轴是x=﹣3，∴﹣=﹣3，∴b=6，∴c=5，∴抛物线的解析式是y=x2+6x+5；(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x=﹣3对称，∵点C在对称轴左侧，且CD=8，∴点C的横坐标为﹣7，∴点C的纵坐标为（﹣7）2+6×（﹣7）+5=12，∵点B的坐标为（0，5），∴△BCD中CD边上的高为12﹣5=7，∴△BCD的面积=×8×7=28．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．23．如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）(1)求此二次函数的解析式；(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【分析】(1)利用待定系数法把A（1，0），C（0，﹣3）代入二次函数y=x2+bx+c 中，即可算出b、c的值，进而得到函数解析式是y=x2+2x﹣3；(2)首先求出A、B两点坐标，再算出AB的长，再设P（m，n），根据△ABP 的面积为10可以计算出n的值，然后再利用二次函数解析式计算出m的值即可得到P点坐标．【解答】解：(1)∵二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3；(2)∵当y=0时，x2+2x﹣3=0，解得：x1=﹣3，x2=1；∴A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为10，∴AB•|n|=10，解得：n=±5，当n=5时，m2+2m﹣3=5，解得：m=﹣4或2，∴P（﹣4，5）（2，5）；当n=﹣5时，m2+2m﹣3=﹣5，方程无解，故P（﹣4，5）（2，5）；【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，以及求点的坐标，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．。

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合能力提升训练题2(附答案详解)

北师大版2020九年级数学下册第二章二次函数单元综合能力提升训练题2（附答案详解）1．如图，抛物线22y x x m =-++交x 轴于点A (a ，0)和B (b ，0)，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ，下列四个结论：①点C 的坐标为（0，m ）；②当m =0时，△ABD 是等腰直角三角形；③若a ＝－1，则b ＝4；④抛物线上有两点P (1x ，1y )和Q (2x ，2y )，若1x ＜1＜2x ，且1x ＋2x ＞2，则1y ＞2y ．其中结论正确的序号是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．②③④ 2．将抛物线218y x =-先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移所得到的抛物线的解析式是（）A ．21(2)38y x =--- B ．21(2)38y x =--+ C ．21(2)38y x =-+-D ．21(2)38y x =-++ 3．将抛物线21(1)2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线解析式是（） A ．21(1)12y x =++ B ．21(3)12y x =-+ C ．21(1)12y x =+- D ．21(3)12y x =-- 4．二次函数()223y x =--的顶点坐标是（）A ．()2,3--B ．()2,3-C ．()2,3-D ．()2,3 5．已知两点()16,A y -，()22,B y 均在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上，点()00,C x y 是该抛物线的顶点，若012y y y ≥>，则0x 的取值范围是（）A ．06x <-B ．02x <-C ．062x -<<-D ．022x -<<6．若将抛物线y ＝2（x +4）2﹣1平移后其顶点落y 在轴上，则下面平移正确的是（）A ．向左平移4个单位B ．向右平移4个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位7．在平面直角坐标系xOy 中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”．下列函数的图象中不存在．．．“好点”的是（） A ．y x =- B ．2y x =+ C ．2y x = D ．22y x x =- 8．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a +b +c ＝0；②b ＞2a ；③方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；④b 2﹣4ac ＞0，其中正确的命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．函数2234y x x =-+的图象经过的象限是（）A ．第一、二、三象限B ．第一、二象限C ．第三、四象限D ．第一、二、四象限10．若二次函数y=ax 2-2ax+c 的图象经过点A(0，-1)，B(-2，y 1)，C(3，y 2)，y 3)，且与x 轴没有交点，则y 1，y 2，y 3，的大小关系是（）A ．y 1>y 2>y 3B ．y 1> y 3> y 2C ．y 2> y 1>y 3D ．y 3>y 2> y 1 11．二次函数y ＝m 21x π+在其图象对称轴右侧，y 随x 值的增大而增大，则m 的值为（） A ．m ≠0 B ．m ＝±1 C ．m ＝1 D ．m ＝﹣1 12．在平面直角坐标系中，把抛物线y =2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位，向下平移2个单位，所得的抛物线的函数表达式为( )A ．y =2(x ﹣1)2﹣2B ．y =2(x +1)2﹣2C ．y =﹣2(x ﹣1)2﹣2D ．y =﹣2(x +1)2﹣213．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．14．将二次函数()21132y x =++的图像沿x 轴对折后得到的图像解析式______． 15．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表： x …3- 2- 1- 0 1 … y … 6- 0 4 6 6… 则该函数与x 轴的交点坐标为______．16．抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-在同一平面直角坐标系中，若抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，则a 的取值范围是_____．17．已知二次函数221y ax x =-+的图象与x 轴只有一个公共点，则a 的值是_______．18．如图，二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过点（12，0）和（m ，y ），对称轴为直线x ＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为_____．（注：只填写正确结论的序号）①abc ＞0；②a +2b +4c ＝0；③2a ﹣b ＞0；④3b +2c ＞0；⑤a ﹣b ≥m （am ﹣b ）19．小华大学毕业创业，他成功研发出一种产品．产品生产成本为5元/件．已知此产品每一季度的销售量y (万件)与售价x (元/件)之间满足函数关系式20y x =-+．销售量等于产量，那么小华每一季度生产的这种产品利润的最大值是__________．20．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象的对称轴在y 轴的左侧，请写出满足条件的一组a ，b 的值，这组值可以是a ＝___，b ＝___．21．用描点法画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时，列出了如下表格：x… -1 0 1 2 3 4 … y=ax 2+bx+c(a ≠0) … 8 3 0 -1 0 3 … 那么当该二次函数值y > 0时，x 的取值范围是_________.22．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度增加了________米．23．如图，在△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝2，D是AB边上的动点，连接CD，将△BCD绕点C沿顺时针旋转至△ACE，连接DE，则△ADE面积的最大值＝_____．24．如图，抛物线23 2y ax x=--与x轴正半轴交于点A（3，0）．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF．则E 的坐标是____．25．我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2x，其顶点为A．（1）试求抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标；（2）平移抛物线y＝x2﹣2x，使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x轴交于点C，且四边形OABC是梯形，求新抛物线的表达式．26．在小明的一次投篮中，球出手时离地面高2米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米．篮球运行的轨迹为抛物线，篮球中心距离地面3米，通过计算说明此球能否投中．探究一：若出手的角度、力度和高度都不变的情况下，求小明朝着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投入篮筐中？探究二：若出手的角度、力度和高度都发生改变的情况下，但是抛物线的顶点等其他条件不变，求小明出手的高度需要增加多少米才能将篮球投入篮筐中？探究三：若出手的角度、力度都改变，出手高度不变，篮筐的坐标为（6，3.44），球场上方有一组高6米的电线，要想在篮球不触碰电线的情况下，将篮球投入篮筐中，直接写出二次函数解析式中a 的取值范围．27．如图，直线23y x c =-+与x 轴交于点A(3,0)，与y 轴交于点B ，抛物线243y x bx c =-++经过点A ，B ．（1）求点B 的坐标和抛物线的解析式；（2）设点M(m,0)为线段OA 上一动点，过点M 且垂直于x 轴的直线与直线AB 及抛物线分别交于点P ，N.①求PN 的最大值；②若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，请直接写出点M 的坐标.28．如图，已知抛物线y ＝-x 2＋bx ＋c 过点A (3, 0)、点B (0, 3)．点M (m , 0)在线段OA上（与点A 、O 不重合），过点M 作x 轴的垂线与线段AB 交于点P ，与抛物线交于点Q ，联结BQ ．（1）求抛物线表达式；（2）联结OP ，当∠BOP ＝∠PBQ 时，求PQ 的长度；（3）当△PBQ 为等腰三角形时，求m 的值．29．如图，直线y=-12x+2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点B ，C 和点A(-1，0)．(1)求B ，C 两点的坐标．(2)求该二次函数的解析式．(3)若抛物线的对称轴与x 轴的交点为点D ，则在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．(4)点E 是线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大?求出四边形CDBF 的最大面积及此时点E 的坐标．30．如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于点A ，点B ，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过A ，B 与点(1,0)C -.（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方的抛物线上一动点（不与点A ，B 重合），过点P 作x 轴的垂线，垂足为D ，交线段AB 于点E.设点P 的横坐标为m.①求PAB △的面积y 关于m 的函数关系式，当m 为何值时，y 有最大值，最大值是多少？②若点E 是垂线段PD 的三等分点，求点P 的坐标.31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与直线33y x =+交于点A 和点C ，与x 轴交于点A B 、，且点C 在y 轴上，D 为抛物线2y x bx c =-++的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）若P 是第一象限内抛物线上的一个运动的点，点P 的横坐标为m ，过点P 作PQ x ⊥轴，交直线BC 于点Q ，求当m 为何值时，线段PQ 的长最大？最大值是多少？并直接写出此时点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当PQ 的长取得最大值时，在坐标平面内是否存在点H ，使以A H P Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点H 的坐标：若不存在，请说明理由．32．已知关于x 的一元二次方程2102x x m -+=的一个实数根为b ，若22442y b b m =-++，求y 的最小值．33．已知二次函数()220y ax bx a =-->．（1）当2a =，4b =时，求该函数图象的顶点坐标；（2）在（1）条件下，(),P m t 为该函数图象上的一点，若P 关于原点的对称点P '也落在该函数图象上，求m 的值；（3）当函数的图象经过点()2,0时，若151,2A y a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()21,B y 是该函数图象上的两点，试比较1y 与2y 的大小．34．某商场销售一种商品，该商品的进价为每件10元，物价部门限定，每件该商品的销售利润不得超过100%，销售过程中发现月销售量y (件)与销售单价x (元)之间的关系满足：当1014x <≤时，月销售量为640件；当1420x <≤时，销售单价每增加1元，月销售量就减少20件．（1）请直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）设该商品的月利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式，并指出当该商品的销售单价定为多少元时，月利润最大，最大月利润是多少．35．例：利用函数图象求方程x 2﹣2x ﹣2＝0的实数根（结果保留小数点后一位）．解：画出函数y ＝x 2﹣2x ﹣2的图象，它与x 轴的公共点的横坐标大约是﹣0.7，2.7．所以方程x 2﹣2x ﹣2＝0的实数根为x 1≈﹣0.7，x 2≈2.7．我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根．……这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程．根据你对上面教材内容的阅读与理解，解决下列问题：（1）利用函数图象确定不等式x 2﹣4x +3＜0的解集是；利用函数图象确定方程x 2﹣4x +3＝12x的解是．（2）为讨论关于x 的方程|x 2﹣4x +3|＝m 解的情况，我们可利用函数y ＝|x 2﹣4x +3|的图象进行研究．①请在网格内画出函数y ＝|x 2﹣4x +3|的图象；②若关于x 的方程|x 2﹣4x +3|＝m 有四个不相等的实数解，则m 的取值范围为；③若关于x 的方程|x 2﹣4x +3|＝m 有四个不相等的实数解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），满足x 4﹣x 3＝x 3﹣x 2＝x 2﹣x 1，求m 的值．参考答案1．C【解析】【分析】根据二次函数图像的基本性质依次进行判断即可.【详解】①当x=0时，y=m ，∴点C 的坐标为（0，m ），该项正确；②当m=0时，原函数解析式为：22y x x =-+，此时对称轴为：1x =，且A 点交于原点， ∴B 点坐标为：（2，0），即AB=2，∴D 点坐标为：（1，1），根据勾股定理可得：BD=AD=∴△ABD 为等腰三角形，∵222AD BD AB +=,∴△ABD 为等腰直角三角形，该项正确；③由解析式得其对称轴为：1x =，利用其图像对称性，∴当若a ＝－1，则b ＝3，该项错误； ④∵1x ＋2x ＞2，∴1212x x +>，又∵1x ＜1＜2x ，∴1x -1＜1＜2x -1，∴Q 点离对称轴较远，∴1y ＞2y ，该项正确；综上所述，①②④正确，③错误，故选：C.【点睛】本题主要考查了二次函数图像解析式与其函数图像的性质综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.2．C【解析】【分析】直接根据平移的规律即可求得答案．【详解】 ∵将抛物线218y x =-向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， ∴平移后所得抛物线解析式为y=-18（x+2）2-3，故选：C ．【点睛】此题考查函数图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 3．A【解析】【分析】根据二次函数图象的平移规律可直接得出答案．【详解】解：将抛物线21(1)2y x =-向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线解析式是2211(121)()2211y x x ++=-++=，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键．4．C【解析】【分析】根据题目中函数的解析式直接得到此二次函数的顶点坐标．【详解】解：∵y=（x-2）2-3，∴二次函数y=（x-2）2-3的图象的顶点坐标是（2，-3）.故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．5．B【解析】【分析】由抛物线顶点时函数值最大可得出a ＜0，抛物线开口向下，函数值越大，该点离对称轴的距离就越近．当y ₁=y ₂时，可以得出该抛物线的对称轴为直线x=-2，而题目中是y ₁＞y ₂，所以对称轴应该在-2左侧，即x ₀＜-2．【详解】解：∵点C （x 0，y 0）是该抛物线的顶点．且y 0≥y 1＞y 2，∴抛物线开口向下，∴函数值越大，该点离对称轴的距离就越近当y 1=y 2时，该抛物线的对称轴为直线x=-2，∵y 1＞y 2，∴x 0＜-2故选：B ．【点睛】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6．B【解析】【分析】抛物线y ＝2（x +4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），使平移后的函数图象顶点落在y 轴上，则原抛物线向右平移4个单位即可．【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（﹣4，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（0，t ）（t 为常数），则原抛物线向右平移4个单位即可．故选：B ．【点睛】此题考察抛物线的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案. 7．B【解析】【分析】根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线y=x 上的点，再各函数中令y=x ，对应方程无解即不存在“好点”.【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线y=x 上的点，令各函数中y=x ，A 、x=-x ，解得：x=0，即“好点”为（0，0），故选项不符合；B 、2x x =+，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合；C 、2x x=，解得：x =x =“好点”）和（，），故选项不符合；D 、22x x x =-，解得：x=0或3，即“好点”为（0，0）和（3，3），故选项不符合；故选B.【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解题的关键是理解“好点”的定义.8．C【解析】【分析】根据二次函数的图象可知抛物线开口向上，对称轴为x ＝﹣1，且过点（1，0），根据对称轴可得抛物线与x 轴的另一个交点为（﹣3，0），把（1，0）代入可对①做出判断；由对称轴为x ＝﹣1，可对②做出判断；根据二次函数与一元二次方程的关系，可对③做出判断，根据根的判别式解答即可．【详解】由图象可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝﹣1，过（1，0）点，把（1，0）代入y ＝ax 2+bx +c 得，a +b +c ＝0，因此①正确；对称轴为直线x ＝﹣1，即：﹣2b a＝﹣1，整理得，b ＝2a ，因此②不正确；由抛物线的对称性，可知抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）（﹣3，0），因此方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为﹣3和1；故③是正确的；由图可得，抛物线有两个交点，所以b 2﹣4ac ＞0，故④正确；故选C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，抛物线通常从开口方向、对称轴、顶点坐标、与x 轴，y 轴的交点，以及增减性上寻找其性质．9．B【解析】【分析】利用公式法先求顶点坐标，再判断经过的象限．【详解】∵2y ax bx c =++的顶点坐标公式为(2b a -，244ac b a -) ∴2234y x x =-+的顶点坐标为(34，238)，而20a =>，开口向上，所以抛物线过第一，二象限．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线的顶点坐标和开口方向，能确定这两样，抛物线经过的象限就容易确定了．10．D【解析】【分析】先利用抛物线过A 点，与x 轴没有交点可判断a ＜0，再求出抛物线的对称轴为直线x=1，接着比较B 、C 、D 三点到直线x=1的距离大小，然后根据二次函数的性质可判断y 1，y 2，y 3的大小关系．【详解】∵抛物线过A （0，-1），而抛物线与x 轴没有交点，∴抛物线开口向下，即a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=22a a--=1，而B 点到直线x=1的距离最大，D 点到直线x=1的距离最小，∴y 1＜y 2＜y 3．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．11．C【解析】【分析】根据二次函数y ＝m 21x π+在在其图象对称轴右侧，y 随x 值的增大而增大和二次函数的性质可以求得m 的值．【详解】解：∵二次函数y ＝m 21x π+在其图象对称轴右侧，y 随x 值的增大而增大， ∴2012m m ⎧⎨+=⎩＞，解得，m ＝1，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的定义和二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．C【解析】【分析】抛物线y =2x 2绕原点旋转180°，即抛物线上的点（x ，y ）变为（-x ，-y ），代入可得抛物线方程，然后根据左加右减的规律即可得出结论．【详解】解：∵把抛物线y =2x 2绕原点旋转180°，∴新抛物线解析式为：y =﹣2x 2，∵再向右平移1个单位，向下平移2个单位，∴平移后抛物线的解析式为y =﹣2(x ﹣1)2﹣2．故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的平移变换规律，旋转变换规律，掌握抛物线的平移和旋转变换规律是解题的关键．13．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4，解得7m 4=-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键． 14．()21y x 312=-+- 【解析】【分析】根据关于x 轴对称的点的坐标特点进行解答即可．【详解】解：∵关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴函数()21132y x =++的图象沿x 轴对折，得到的图象的解析式为-()21132y x =++，即()21312y x =-+-；故答案为：()21312y x =-+-．【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于x 轴对称的点的坐标特点，即关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数．15．（-2，0），（3，0）【解析】【分析】由x=0、x=1时y 的值都是6，根据二次函数的对称性可得对称轴为直线x=12，由x=-2时y=0可知抛物线与x 轴的一个交点为（-2，0），根据对称轴即可求出另一个交点的坐标．【详解】∵x=0时，y=6，x=1时，y=6，∴对称轴为直线x=01122+=， ∵x=-2时，y=0，∴抛物线与x 轴的一个交点为（-2，0）， 12-（-2）+12=3， ∴抛物线与x 轴另一个交点的坐标为（3，0），故答案为：（-2，0），（3，0）【点睛】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．16．1a <或1a >+ 【解析】【分析】联立二次函数和一次函数，得到关于x 的一元二次方程，根据函数图象没有交点，得判别式的值小于零，进而即可求解．【详解】联立抛物线22y ax ax =-与直线22y x a =-，得22ax ax -=22x a -，化简得：2(22)20ax a x a -++=，∵抛物线始终在直线的同一侧不与直线相交，∴[]2(22)420a a a ∆=-+=⋅<，即：2210a a -++<，令221y a a =-++,∵当y=0时，2210a a -++=，解得：11a =，21a =，∴抛物线221y a a =-++与x 轴的交点坐标为(1，0)，1，0)，又∵抛物线221y a a =-++开口向下，∴当2210y a a =-++<时，1a <或1a >．故答案是：1a <或1a >+．【点睛】本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，理解并掌握函数图象的交点个数等价于相应的方程的根的个数，把函数图象的交点问题化为方程的根的问题，是解题的关键． 17．1【解析】【分析】由题意可得一元二次方程2210ax x -+=有两个相等的实数根，根据根的判别式即可求得a 的值．【详解】解：∵二次函数221y ax x =-+的图象与x 轴只有一个公共点，∴一元二次方程2210ax x -+=有两个相等的实数根，∴2(2)40∆=--=a 且0a ≠，解得：1a =，∴a 的值为1，故答案为：1．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，解题的关键是熟记：二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程20ax bx c ++=的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根．18．②④．【解析】【分析】根据抛物线开口方向得到0a >，根据抛物线对称轴为直线12b x a=-=-，得到2b a =，则0b >，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到0c <，所以0abc <；由12x =，0y =，得到11042a b c ++=，即240a b c ++=；由12a b =，0a b c ++>，得到1202b bc ++>，即320b c +>；由1x =-时，函数值最小，则()21a b c m a mb c m -+≤-+≠，即()a b m am b -≤-．【详解】解：∵抛物线开口向上∴0a > ∵抛物线对称轴为直线12b x a=-=- ∴2b a =，则20a b -=，所以③错误；∴0b >∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方∴0c <∴0abc <，所以①错误； ∵12x =时，0y = ∴11042a b c ++=，即240a b c ++=，所以②正确； ∵12a b =，0a b c ++> ∴1202b b c ++>，即320b c +>，所以④正确； ∵1x =-时，函数值最小∴()21a b c m a mb c m -+≤-+≠∴()a b m am b -≤-，所以⑤错误．故答案是：②④ 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系，掌握二次函数的性质，灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式． 19．2254元【解析】【分析】根据总利润=每件利润×销售量列出总利润w 的函数关系式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】依题意可得总利润w=（x-5）(20x -+)=-x 2+25x-100=-(x-252)2+2254则售价为252时，利润的最大值是2254（元）故答案为：2254元．【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意列出函数关系式． 20．1 1 【解析】【分析】根据二次函数对称轴公式即可求解. 【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx ﹣2（a ≠0）的图象的对称轴在y 轴的左侧， ∴-2ba＜0 ∴a,b 同号∴满足条件的一组a ，b 的值是a ＝1，b ＝1，故答案为：1，1．（答案不唯一，只要a ≠0，b ≠0且a ，b 同号即可）【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的性质. 21．x ＜1或x ＞3 【解析】【分析】根据表格的对应值分析得出图象的开口方向向上，再由y=0时的x 的值即可得到答案. 【详解】由表格得：x 的值增大时，y 的值先是减小再增大，得到该二次函数的图象开口向上；当x=1时与x=3时的函数值相等，都是0， ∴当该二次函数值y > 0时，x ＜1或x ＞3，故答案为：x ＜1或x ＞3. 【点睛】此题考查二次函数的性质，a 决定图象的开口方向，y=0时得到图象与x 轴的交点坐标，熟记增减性即可正确解题.22．4) 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设顶点式22y ax =+，代入A 点坐标(20)-，解出抛物线解析式，把1y =-代入抛物线解析式求得x =【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则通过画图可得知O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A B ，两点，OA 和OB 可求出为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为(0)2，，设顶点式22y ax =+，代入A 点坐标(20)-，，得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当1y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线1y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把1y =-代入抛物线解析式得出：210.52x -=-+，解得：x =所以水面宽度增加了4)米．故答案为：4) 【点睛】本题考查了抛物线的实际应用，掌握抛物线的图象以及解析式是解题的关键．23 【解析】【分析】先根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质求出AB 的长、BAC ∠的度数，再根据旋转的性质,30AE BD B CAE =∠=∠=︒，设BD a =，然后根据三角形的面积公式求出ADE ∆面积的表达式，最后利用二次函数的性质即可得出答案．【详解】过点C 作CH AB ⊥于点H1202ACB AC BC ∠=︒==，11,(180)3022AH BH AB B BAC ACB ∴==∠=∠=︒-∠=︒11,2CH BC BH ∴====2AB BH ∴==设(0BD a a =<<，则AD AB BD a =-= 由旋转的性质得,30AE BD a B CAE ==∠=∠=︒ 作EF AB ⊥于点F在Rt AEF ∆中，60,FAE BAC CAE AE BD a ∠=∠+∠=︒==11,22AF AE a EF ∴====11)22ADE S AD EF a ∆∴=⋅=2(4a =-由二次函数的性质可知，当a =ADE ∆【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、旋转的性质、二次函数的性质等知识点，利用旋转的性质和直角三角形的性质求出EF 的长是解题关键．24．（，）．【解析】【分析】把点A（3，0）代入抛物线23 2y ax x=--即可求得a的值，正方形OABC可得点C坐标，代入函数解析式求得点D坐标，可知点E横坐标，再利用正方形BDEF的性质得出点E纵坐标问题得解．【详解】解：把点A（3，0）代入抛物线23 2y ax x=--，解得a＝12；∵四边形OABC为正方形，∴点C的坐标为（0，3），点D的纵坐标为3，代入y＝12x2﹣x﹣32，解得x1＝，x2＝1（不合题意，舍去），因此正方形BDEF的边长B为﹣3﹣2，所以AF＝2＝，由此可以得出点E的坐标为（，；故答案为：（，）．【点睛】此题考查的是二次函数与正方形的综合题，掌握利用二次函数求点的坐标和正方形的性质是解决此题的关键．25．（1）抛物线的“不动点”为（0，0），（3，3）；（2）新抛物线的解析式为y＝x2+2x【解析】【分析】（1）设抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标（t，t），则t＝t2﹣2t，求得t＝0或t＝3；（2）OC∥AB时，设B（m，m），则新抛物线的对称轴为x＝m，与x轴的交点C（m，0），当OC∥AB，由A（1，﹣1），B（m，m），可求m＝﹣1，故新抛物线是抛物线y＝x2﹣2x 向左平移2个单位得到的；当OB∥AC时，同理可得：抛物线解析式y＝﹣（x﹣2）2+2＝x2﹣4x+6，当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去；【详解】解：（1）设抛物线y＝x2﹣2x的“不动点”的坐标（t，t），则t＝t2﹣2t，∴t＝0或t＝3，∴抛物线的“不动点”为（0，0），（3，3）；（2）当OC∥AB时，∵新抛物线顶点B为“不动点”，则设点B（m，m），∴新抛物线的对称轴为：x=m，与x轴的交点C（m，0），∵四边形OABC是梯形，∴直线x=m在y轴左侧，∵BC与OA不平行，∴OC∥AB，又∵点A（1，-1），点B（m，m），∴m=-1，故新抛物线是由抛物线y=x2-2x向左平移2个单位得到的，∵原抛物线y＝x2﹣2x=（x-1）2-1，∴平移后的抛物线为：y=（x+1）2-1=x2+2x；当OB∥AC时，同理可得：抛物线的表达式为：y=（x-2）2+2=x2-4x+6，当四边形OABC是梯形，字母顺序不对，故舍去，综上，新抛物线的表达式为：y= x2+2x．综上所述：新抛物线的解析式为y＝x2+2x．【点睛】本题二次函数的图像与性质，二次函数的平移，以及梯形的知识，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可．26．探究一：3-29米；探究三：-925＜a≤-125．【解析】【分析】根据题意列出解析式，再将数据代入求值判断即可，根据每个探究的题意列式计算即可．【详解】解：因为抛物线的顶点为（4，4），设抛物线的解析式为y=a （x-4）2+4， ∵过点（0，2）， ∴2=16a+4， ∴a=-18，即y=-18（x-4）2+4，当x=7时，y=-98+4=238≠3．所以此球不能投中．探究一：设向前平移h 米，由题意可得y=-18（x-4-h ）2+4，代入点（7，3），得3=-18（7-4-h ）2+4求得h=3±，根据实际情况h=3-3- 探究二：设y=a （x-4）2+4，因为投中篮筐，即代入x=7，y=3得3=a （7-4）2+4，解得a=-19，即y=-19（x-4）2+4，当x=0时，y=209，209-2=29即小明出手的高度要增加29米，可将篮球投中；探究三：设y=a （x-b ）2+6，代入点（0，2）（6，3.44）得222a b 6{3.44a 6b 6=⋅+=-+（），解得a=-925，设y=a （x-6）2+3.44， ∵过点（0，2）代入得2=36a+3.44，得a=-125，所以-925＜a≤-125．【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意是解题关键． 27．（1）点B 的坐标为(0,2)；抛物线的解析式为2410233y x x =-++；（2）①PN 的最大值为3；②若以B ，P ，N 为顶点的三角形与△APM 相似，点M 的坐标为5(,0)2或11(,0)8. 【解析】【分析】（1）先将点A 坐标代入直线解析式求出c 的值，从而可求得B 点坐标；再由A 、B 两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）①利用点M 坐标、直线解析式、抛物线的解析式可求出点P 、N 的坐标，从而可求得PN 用m 表示的代数式，利用二次函数的性质求最大值即可；②要使BPN ∆和APM ∆相似，则需分90BNP AMP ∠=∠=︒和90NBP AMP ∠=∠=︒两种情况讨论，然后利用相似三角形对应线段成比例求解即可. 【详解】（1）将(3,0)A 代入23y x c =-+得2303c -⨯+=，解得2c = 则直线的解析式为223y x =-+ 令0x =，代入得2y = 则点B 的坐标为(0,2)将(3,0),(0,2)A B 代入抛物线243y x bx c =-++得： 12302b c c -++=⎧⎨=⎩，解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 则抛物线的解析式为2410233y x x =-++；（2）①由题意得：点P 、N 的横坐标均为m ，且03m <<分别代入两个解析式可得两个点的坐标为：22410(,2),(,2)333P m m N m m m -+-++ 则22241024432(2)4()3333332PN m m m m m m =-++--+=-+=--+ 当32m ≤时，PN 随m 的增大而增大；当32m >时，PN 随m 的增大而减小则当32m =时，PN 取得最大值，最大值为3； ②在BPN ∆和APM ∆中，BPN APM ∠=∠。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合练习题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．已知二次函数y＝2（x﹣1）2+3，下面结论正确的是（）A．图象的开口向下B．最小值是3C．图象的对称轴是直线x＝﹣1D．当x＜1时，y随x的增大而增大2．二次函数y＝x2﹣4x+1的对称轴是（）A．直线x＝﹣2B．直线x＝2C．直线x＝﹣4D．直线x＝43．下列图象中，函数y＝ax2﹣a（a≠0）与y＝ax+a的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知二次函数y＝mx2+2mx+1（m≠0）在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，则m等于（）A．5B．﹣5或C．5或D．﹣5或5．校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高h（m）与水平距离x（m）之间的函数关系满足h＝﹣x2+x+，则该运动员掷铅球的成绩是（）A．6m B．10m C．8m D．12m6．如图，抛物线y＝ax2+bx+2关于直线x＝1对称，点（3，0）在抛物线上，那么使得ax2+bx+2＜0的x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞3B．﹣1＜x＜3C．x＜2D．x＞37．用总长为a米的材料做成如图1所示的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y 平方米，y关于x的函数图象如图2，则a的值是（）A．16B．12C．8D．48．如图所示是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间，则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n﹣1没有实数根．其中正确的结论个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题9．二次函数y＝x2+10x﹣5图象的顶点坐标是．10．在二次函数y＝x2﹣2x+5中，当x＞2时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）．11．二次函数y＝x2+2x﹣8与x轴两交点之间的距离为．12．若A（，y1），B（﹣，y2），C（，y3）为二次函数y＝x2+4x﹣5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是．（用“＜”连接）13．已知关于x的二次函数y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1的图象经过原点，则m的值为．14．用一段长为24m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，若墙长10m，则这个养鸡场最大面积为m2．15．某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件，当销售单价为元时，该文具每天的销售利润最大．16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示．下列结论：①abc＜0；②3a+c＝0；③当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；④方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根；⑤点（﹣2，y1），（2，y2）都在抛物线上，则有y1＜0＜y2．其中结论正确的结论是．三．解答题17．已知抛物线y＝2x2﹣4x﹣6与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）分别求出点A、B、C的坐标；（2）如果该抛物线沿x轴向右平移2个单位后得到的新抛物线的顶点坐标为点D，求四边形ABDC的面积．18．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）该二次函数的顶点坐标为；（2）该函数的图象与x轴的交点坐标为；（3）用五点法画函数图象x……y……（4）将该抛物线绕顶点旋转180°，求所得抛物线的解析式．19．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽AB为4m时，拱顶与水面距离为2m．（1）请你在图（2）中，建立适当的平面直角坐标系，使该抛物线拱桥的函数关系式符合y＝ax2形式，并求此时，函数关系式；（2）当水面上升0.5m时，求水面宽度．20．第31届世界大学生夏季运动会定于2022年6月26日至7月7日在成都举办，这是继北京、深圳之后，中国大陆第三次举办世界大学生夏季运动会．某超市购进了一批以大运会为主题的纪念品进行销售，购进价为7元/个，为了调查这种纪念品的销路，该超市进行了试销售，得知该产品每天的销售量y（个）与每个的销售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）该超市规定这种纪念品每个的售价不得低于8元，且不超过15元，设该超市每天销售这种纪念品能获得的利润为W元，当销售单价为多少元时，该超市可获得最大利润？最大利润是多少元？21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC、BC．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线上第一象限内一点，求△DCB面积的最大值；（3）点P是抛物线上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，求点P的坐标．22．如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y＝x2+bx+c 的图象与一次函数y＝x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上找一点P，使|PB﹣PC|最大，求出点P的坐标；（3）在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题1．解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+3中的a＝2＞0，∴该函数图象开口向上，故选项A错误，不符合题意；该函数图象有最小值3，故选项B正确，符合题意；该函数图象的对称轴为直线x＝1，故选项C错误，不符合题意；当x＜1时．y随x的增大而减小，故选项D错误，不符合题意；故选：B．2．解：对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，即对称轴为直线x＝2．故选：B．3．解：当a＞0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知开，口向上，顶点在y轴负半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过一，二，三象限，交x轴于（﹣1，0）；当a＜0时，由二次函数y＝ax2﹣a可知，开口向下，顶点在y轴正半轴上，与x轴的交点为（﹣1，0），（1，0），由一次函数y＝ax+a可知过二，三，四象限，交x轴于（﹣1，0）；故选：C．4．解：二次函数y＝mx2+2mx+1＝m（x+1）2﹣m+1，∴对称轴为直线x＝﹣1，①m＞0，抛物线开口向上，x＝﹣1时，有最小值y＝﹣m+1＝﹣4，解得：m＝5；②m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝﹣1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣4，∴x＝2时，有最小值y＝4m+4m+1＝﹣4，解得：m＝﹣；故选：C．5．解：由题意可知，把y＝0代入解析式得：﹣x2+x+＝0，解方程得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即该运动员的成绩是10米．故选：B．6．解：∵抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）的对称轴是直线x＝1，且经过点（3，0），∴抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）与x轴的交点为（﹣1，0），∵a＜0，∴使函数值y＞0成立的x的取值范围是x＞3或x＜﹣1．故选：A．7．解：由图象可知，当x＝2时，y有最大，最大值为4，∴当x＝2米，窗框的最大面积是4平方米，根据矩形面积计算公式，另一边为4÷2＝2（米），∴材料总长a＝3×2+3×2＝12（米）．故选：B．8．解：∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴抛物线对称轴为直线x＝1，∵图象与x轴的一个交点在（2，0），（3，0）之间，∴图象与x轴另一交点在（0，0），（﹣1，0）之间，∴x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故①错误，不符合题意．∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，故②错误，不符合题意．∵抛物线顶点坐标为（1，n），∴ax2+bx+c＝n有两个相等实数根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正确，符合题意．∵y＝ax2+bx+c的最大函数值为y＝n，∴ax2+bx+c＝n﹣1有实数根，故④错误，不合题意．故选：A．二．填空题9．解：∵y＝x2+10x﹣5＝（x+5）2﹣30，∴抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣30），故答案为：（﹣5，﹣30）．10．解：∵y＝x2﹣2x+5＝（x﹣1）2+4，∴顶点坐标（1，4），对称轴是直线x＝1，又a＝1＞0，抛物线开口向上，所以，当x＞2时，y随x的增大而增大．故答案为：增大．11．解：令y＝x2+2x﹣8＝0，解得x＝2或﹣4，即函数和x轴的交点坐标为（2，0）、（﹣4，0），故两交点之间的距离为6，故答案为：6．12．解：∵y＝x2+4x﹣5＝（x+2）2﹣9，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，∵A（，y1），B（﹣，y2），C（，y3）三点中，B点离对称轴最近，A点离对称轴最远，∴y2＜y3＜y1．故答案为：y2＜y3＜y1．13．解：将（0，0）代入y＝（m+1）x2﹣x+m2﹣1得0＝m2﹣1，解得m＝1或m＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，m＝1．故答案为：1．14．解：设养鸡场垂直于墙的边长为x米，则另一边长为（24﹣2x）米，养鸡场面积Sm2，则S＝x•（24﹣2x）＝﹣2x2+24x＝﹣2（x﹣6）2+72，∵﹣2＜0，∴当x＞6时，S随x的增大而减小，∵墙长10m，∴，解得7≤x＜12，∴当x＝7时，S最大，最大值为70，故答案为：70．15．解：设该文具定价为x元，每天的利润为y元，根据题意得：y＝（x﹣20）[250﹣10（x﹣25）]＝（x﹣20）（﹣10x+500）＝﹣10x2+700x﹣10000＝﹣10（x﹣35）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x＝35时，y最大，最大值为2250，故答案为：35．16．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线交y轴的正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，故②正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3，故③错误；∵（0，3）关于直线x＝1的对称点的坐标为（2，3），∴方程ax2+bx+c﹣3＝0有两个不相等的实数根，故④正确；∵x＝﹣2时，y＜0，x＝2时，y＞0，∴在抛物线上的两点（﹣2，y1），（2，y2），有y1＜0＜y2，故⑤正确．故答案为：①②④⑤．三．解答题17．解：（1）令y＝0，则0＝2x2﹣4x﹣6，解得x＝﹣1或x＝3，∴点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0），令x＝0，则y＝﹣6，∴点C坐标为（0，﹣6）．（2）∵y＝2x2﹣4x﹣6＝2（x﹣1）2﹣8，∴抛物线顶点坐标为（1，﹣8，），抛物线向右平移2个单位后点D坐标为（3，﹣8），如图，A（﹣1，0），B（3，0），D（3，﹣8），C（0，﹣6），∴S四边形ABDC＝S△OAC+S梯形OCDB＝OA•OC+（OC+BD）•BO＝×1×6+×（6+8）×3＝24．18．解：（1）y＝x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣4，故顶点坐标为（﹣1，﹣4）；故答案为：（﹣1，﹣4）；（2）令y＝0，即y＝x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，故答案为：（﹣3，0）、（1，0）；（3）令x＝0，则y＝﹣3，故抛物线和y轴的交点为（0，﹣3），根据函数的对称性，当x＝﹣2时，y＝﹣3，将表格数据描点连线画出如下函数图象：（4）旋转后只是抛物线开口向下了，即a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）2﹣4，故答案为：y＝﹣（x+1）2﹣4．19．解：（1）建立平面直角坐标系，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，抛物线顶点O坐标为（0，0），通过以上条件可设顶点式y＝ax2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，﹣2），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2；（2）∵水面上升0.5m，∴y＝﹣1.5，故﹣0.5x2＝﹣1.5，解得：x1＝，x2＝﹣，则水面的宽为﹣（﹣）＝2（m）．20．解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，将（10，30），（20，10）代入得：，解得，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+50；（2）根据题意知：W＝（x﹣7）（﹣2x+50）＝﹣2x2+64x﹣350＝﹣2（x﹣16）2+162，∵﹣2＜0，对称轴为直线x＝16，∴8≤x≤15时，W随x的增大而增大，∴x＝15时，W取最大值，最大值为﹣2×（15﹣16）2+162＝160（元），答：当销售单价为15元时，该超市可获得最大利润，最大利润是160元．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（8，0）两点，与y轴交于点C（0，4），∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+4；（2）如图，过点D作DE∥y轴交BC于点E，交x轴于点F，∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC解析式为y＝﹣x+4，设D（m，﹣m2+m+4），则E（m，﹣m+4），∵D为抛物线上第一象限内一点，∴DE＝DF﹣EF＝（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴△DCB面积＝8×DE＝4（﹣m2+2m）＝﹣m2+8m＝﹣（m﹣4）2+16，∴当m＝4时，△DCB面积最大，最大值为16；（3）①当点P在BC上方时，如图，∵∠PCB＝∠ABC，∴PC∥AB，∴点C，P的纵坐标相等，∴点P的纵坐标为4，令y＝4，则﹣x2+x+4＝4，解得：x＝0或x＝6，∴P（6，4）；②当点P在BC下方时，如图，设PC交x轴于点H，∵∠PCB＝∠ABC，∴HC＝HB．设HB＝HC＝m，∴OH＝OB﹣HB＝8﹣m，在Rt△COH中，∵OC2+OH2＝CH2，∴42+（8﹣m）2＝m2，解得：m＝5，∴OH＝3，∴H（3，0）．设直线PC的解析式为y＝kx+n，∴，解得：，∴y＝﹣x+4，∴，解得：，，∴P（，﹣）．综上所述，点P的坐标为（6，4）或（，﹣）．22．解：（1）将B（0，1），D（1，0）的坐标代入y＝x2+bx+c，得：，解得，∴解析式y＝x2﹣x+1．（2）当P在x轴上的任何位置（点A除外）时，根据三角形两边之差小于第三边得|PB ﹣PC|＜BC，当点P在点A处时，|PB﹣PC|＝BC，这时，|PB﹣PC|最大，即P在A点时，|PB﹣PC|最大．∵直线y＝x+1交x轴与A点，令y＝0，x＝﹣2，即A（﹣2，0），∴P（﹣2，0）．（3）设符合条件的点P存在，令P（a，0）：当P为直角顶点时，如图：过C作CF⊥x轴于F；∵∠BPO+∠OBP＝90°，∠BPO+∠CPF＝90°，∴∠OBP＝∠FPC，∴Rt△BOP∽Rt△PFC，∴，即，整理得a2﹣4a+3＝0，解得a＝1或a＝3；∴所求的点P的坐标为（1，0）或（3，0），综上所述：满足条件的点P共有2个．。

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