2020年辽宁省沈阳市高考数学三模试卷(二)(有答案解析)
A.
B. -
C.
D. -
6. 我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、 《孙子算经》、…、《辑古算经》等算经 10 部专著，有着十分丰富多彩的内容， 是了解我国古代数学的重要文献．这 10 部专著中有 7 部产生于魏晋南北朝时期．某 中学拟从这 10 部名著中选择 2 部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选 2 部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著的概率为（ ）
由对立事件的概率计算公式得 P=1- = ．
故选：A． 求出从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数、2 部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数， 由对立事件的概率计算公式，可得结论． 本题考查概率的计算，考查组合知识，属于中档题．
7.答案：C
解析：解：∵1=
＞log2018
=，
b=log2019
＜
2.答案：C
解析：【分析】 本题考查集合元素的个数，描述法表示集合，以及元素与集合的关系，属于基础题． 依题意，集合 A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}，分 x 的情况讨论，即可得到集合 A 的元素 个数． 【解答】 解：依题意，因为集合 A={（x，y）|x+y≤2，x，y∈N}， 所以①当 x=0 时，y=0，y=1 或 y=2，此时有 3 个元素（0，0），（0，1），（0，2）∈A； ②当 x=1 时，y=0，或 y=1，此时有 2 个元素（1，0），（1，1）∈A； ③当 x=2 时，y=0，此时只有（2，1）∈A． 综上集合 A 有 6 个元素， 故选：C．
A.
B.
C.
D.
7. 设
，
，
，则 ， ， 的大小关系是（）．
A.
B.
C.
D.
8. 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）•e-|x|（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则
Aω 的可能取值为（ ）
A.
B. π
C.
D. 2π
9. 已知函数 f（x）=x3-2x+1+ex- ，其中 e 是自然对数的底数．若 f（a-1）+f（2a2）≤2，
A.
B.
C.
D.
12. 已知函数
（e 为自然对数的底），若方程 f（-x）+f
（x）=0 有且仅有四个不同的解，则实数 m 的取值范围是（
A. （0，e）
B. （e，+∞）
C. （0，2e）
二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）
）
D. （2e，+∞）
13. 已知球 的内接圆锥体积为 ，其底面半径为 ，则球 的表面积为______．
3.答案：A
解析：解：当 时，直线 l 转换为
，
即：
所以：圆心（0，0）到直线的距离 d=
=r，
所以直线与园相切． 直线与园相切．
则：圆心（0，0）到直线 kx-y+2k=0 的距离 d= =r=1，
解得：k= ，
故：“
”是“直线 l：y=k（x+2）与圆 x2+y2=1 相切”的充分不必要条件．
故选：A． 直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要 考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
解得-1≤a≤ ．
∴实数 a 的取值范围是
．
故选：C．
令 g（x）=f（x）-1=x3-2x+ex- ，x∈R．判断其奇偶性单调性即可得出．
本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转 化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10.答案：C
解析：【分析】 本题考查了利用空间向量研究线面角问题，属于中档题．建立空间坐标系，设棱柱高为
解得 a4= ，而 a3+a5=2a4= ，
∴tan（a3+a5）=tan =
故选：A． 由等差数列的性质可得 a4 的值，进而可得 a3+a5 的值，代入要求的式子，由三角函数的 知识可得． 本题考查等差数列的性质和三角函数的化简，属基础题．
6.答案：A
解析：解：从 10 部名著中选择 2 部名著的方法数为 C102=45（种）， 2 部都不是魏晋南北朝时期的名著的方法数为 C32=3（种），
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21. 已知 f（x）= x2+aex-lnx．
（1）设 x= 是 f（x）的极值点，求实数 a 的值，并求 f（x）的单调区间； （2）当 a＞0 时，求证：f（x）＞ ．
22. 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C：
ρsin2θ=2acosθ（a＞0），过点 P（-2，-4）的直线 l 的参数方程为
b≠c） （Ⅰ）求证：A=2B； （Ⅱ）若 f（x）=sinx+cosx，求 f（B）的取值范围．
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18. 某商场举行优惠促销活动，顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种． 方案一：每满 200 元减 50 元； 方案二：每满 200 元可抽奖一次．具体规则是依次从装有 3 个红球、1 个白球的甲 箱，装有 2 个红球、2 个白球的乙箱，以及装有 1 个红球、3 个白球的丙箱中各随 机摸出 1 个球，所得结果和享受的优惠如下表：(注：所有小球仅颜色有区别)
12.答案：D
解析：解：设 F（x）=f（x）+f（-x），可得 F（-x）=F（x）， 即有 F（x）为偶函数， 由题意考虑 x＞0 时，F（x）有两个零点， 当 x＞0 时，-x＜0，f（-x）=ex-mx+ ，
即有 x＞0 时，F（x）=xex-ex+ex-mx+ =xex-mx+ ，
由 F（x）=0，可得 xex-mx+ =0，
APC （Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PBC； （Ⅱ）当三棱锥 P-ABC 体积最大时，求二面角 B-AC-P 的 大小；
20. 已知抛物线 C：x2=2py（p＞0）的焦点为 F，M（-2，y0）是 C 上一点，且|MF|=2．
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 A，B 两点，分别过点 A，B 两点作抛物线 C 的切线 l1，l2，两条切线相交于点 P，点 P 关于直线 AB 的对称点 Q，判断四边形 PAQB 是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说 明理由．
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1.答案：D
-------- 答案与解析 --------
解析：解：i+i2+i3+…+i2019=
=
．
故选：D． 利用等比数列前 n 项和化简，再由虚数单位 i 的性质及复数代数形式的乘除运算化简得 答案． 本题考查等比数列前 n 项和，考查虚数单位 i 的性质，是基础题．
a，求出平面 ACD1 的法向量 ，令|cos＜ ， ＞|= ，求出 a 的值．
【解答】 解：以 D 为原点，以 DA，DC，DD1 为坐标轴建立空间坐标系如图所示，
设 DD1=a，则 A（2，0，0），C（0，2，0），D1（0，0，a），
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则 =（-2，2，0）， =（-2，0，a）， =（0，0，a），
设平面 ACD1 的法向量为 =（x，y，z），则
，
∴
，令 x=1 可得 =（1，1， ），
故 cos＜ ， ＞= =
=
．
∵直线 CC1 与平面 ACD1 所成角的正弦值为 ，
∴
= ，解得：a=4．
故选：C．
11.答案：A
解析：解：由题意可设 F（c，0），一条渐近线方程为 y= x，
可得 M（c， ），
9.答案：C
解析：解：令 g（x）=f（x）-1=x3-2x+ex- ，x∈R．
则 g（-x）=-g（x），∴g（x）在 R 上为奇函数．
g′（x）=3x2-2+ex+ ≥0+2-2=0，
∴函数 g（x）在 R 上单调递增． f（a-1）+f（2a2）≤2，化为：f（a-1）-1+f（2a2）-1≤0， 即 g（a-1）+g（2a2）≤0，化为：g（2a2）≤-g（a-1）=g（1-a）， ∴2a2≤1-a， 即 2a2+a-1≤0，
则实数 a 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
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10. 如图，在正四棱柱
中，底面长为 2，直线
与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
11. 已知 F 是双曲线
的右焦点，过点 F 作垂直于 x 轴的直线
交该双曲线的一条渐近线于点 M，若|FM|=2a，记该双曲线的离心率为 e，则 e2= （）
14. 若
，则
的展开式中常数项为______．
15. 已知椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆 C 上一
点，且
，若 F1 关于∠F1PF2 平分线的对称点在椭圆 C 上，则该椭圆的离
心率为______．
16. 数列{an}的前 n 项和为 Sn，且
，则数列
的最小值为
__________. 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足 a2c=b（a2+c2-b2）（其中
（t
为参数），直线 l 与曲线 C 分别交于 M，N 两点． （Ⅰ）写出曲线 C 的平面直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （Ⅱ）若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数 a 的值．
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
辽宁省2020版高考数学二模试卷(理科)(II)卷
辽宁省2020版高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知,i为虚数单位，且,则的值为（）A . 4B . -4C . 4+4iD . 2i2. （2分）(2017·白山模拟) 已知P={x|﹣4≤x≤2，x∈Z}，Q={x|﹣3＜x＜1}，则P∩Q=（）A . （﹣1，3）B . [﹣2，1）C . {0，1，2}D . {﹣2，﹣1，0}3. （2分）(2017·衡阳模拟) 曲线x=|y﹣1|与y=2x﹣5围成封闭区域（含边界）为Ω，直线y=3x+b与区域Ω有公共点，则b的最小值为（）A . 1B . ﹣1C . ﹣7D . ﹣114. （2分）某程序框图如图所示，若，则该程序运行后，输出的的值为（）A . 33B . 31C . 29D . 275. （2分） (2015高二上·黄石期末) 设a，b是关于t的方程t2cosθ+tsinθ=0的两个不等实根，则过A （a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线 1的公共点的个数为（）A . 0B . 1C . 2D . 36. （2分）设是等差数列，若,则数列前8项的和为（）A . 128B . 80C . 64D . 567. （2分） (2018高一下·榆林期中) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .8. （2分） (2017高二上·汕头月考) 已知，则方程实数根的个数为（）A . 7B . 6C . 5D . 49. （2分）在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（）A . 平行B . 相交C . 在平面内D . 异面10. （2分）随机变量的分布列为0123p0.1a b0.1且，则的值为（）A . -0.2B . 0.2C . 0.4D . 011. （2分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2,b=3,cosC=，则sinA=（）A .B .C .D . -12. （2分）如果f(x)为偶函数，且f(x)导数存在，则的值为（）A . 2B . 1C . 0D . -1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·正定期中) 对于数列{an}，定义为{an}的“优值”，现在已知某数列{an}的“优值” ，记数列{an﹣kn}的前n项和为Sn ，若Sn≤S5对任意的n∈N+恒成立，则实数k的最大值为________．14. （1分）已知向量 =（1，0）， =（﹣，），则与的夹角为________．15. （1分）二项式（﹣x2）10的展开式中的常数项是________16. （1分） (2017高一上·淮安期末) 函数f（x）=sin（πx）﹣，x∈[﹣4，2]的所有零点之和为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2019高三上·湘潭月考) 已知平面上两定点M（0，﹣2）、N（0，2），P为一动点，满足•| |•| |（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且λ .分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设其交点Q，证明为定值.18. （10分）某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如表的2×2列联表：优秀非优秀合计甲班10b50乙班c d50合计70（1）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班10名优秀学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到8号的概率；（2）请求出列联表中的数据b，c，d，并根据数据判断是否有99%的把握认为“成绩与班级有关系”．参考公式与临界值表：P（K2≥k）0.1000.0500.0250.0100.001 k 2.706 3.841 5.024 6.63510.82819. （10分） (2017高三上·嘉兴期中) 如图①，在矩形中，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面 .（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值.20. （10分）(2017·吕梁模拟) 如图，已知圆N：x2+（y+ ）2=36，P是圆N上的点，点Q在线段NP上，且有点D（0，）和DP上的点M，满足 =2 ，• =0．（1）当P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（2）若斜率为的直线l与（1）中所求Q的轨迹交于不同两点A、B，又点C（，2），求△ABC面积最大值时对应的直线l的方程．21. （10分）(2017·绵阳模拟) 已知函数f（x）= + lnx﹣1（m∈R）的两个零点为x1 ， x2（x1＜x2）．（1）求实数m的取值范围；（2）求证： + ＞．22. （10分）已知圆C的极坐标方程是ρ=2 •sin（θ+ ），直线l的极坐标方程为ρcos（θ﹣）=2 ．（提示：sin（α±β）=sinαcosβ±cosαsinβ，cos（α±β）=cosαcosβ sinαsinβ（1）求圆与直线的直角坐标方程．（2）判断直线l和圆C的位置关系．23. （10分） (2017高二下·景德镇期末) 已知函数f（x）=|x+a|．（1）若a=2，解关于x的不等式f（x）+f（x﹣3）≥5；（2）若关于x的不等式f（x）﹣f（x+2）+4≥|1﹣3m|恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
(精选3份合集)2020届沈阳市重点中学高考数学模拟试卷
2021届新高考化学模拟试卷一、单选题（本题包括15个小题，每小题4分，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设阿伏加德罗常数值用N A表示，下列说法正确的是（）A．常温下1LpH＝3的亚硫酸溶液中，含H+数目为0.3N AB．A1与NaOH溶液反应产生11.2L气体，转移的电子数为0.5N AC．NO2与N2O4混合气体的质量共ag，其中含质子数为0.5aN AD．1mo1KHCO3晶体中，阴阳离子数之和为3N A【答案】C【解析】【详解】A. 1LpH＝3的亚硫酸溶液中，H+的浓度为10-3mol/L，1L溶液中H+数目为0.001 N A，故A错误；B. A1与NaOH溶液反应生成氢气，因未说明气体所处的状态，所以无法计算反应中转移的电子数目，故B 错误；C. NO2和N2O4，最简比相同，只计算ag NO2中质子数即可，一个N含质子数为7，一个氧质子数为8，所以一个NO2分子含质子数为7+2×8=23，agNO2中质子数为ag2346g/molN A mol-1= 0.5aN A，故C正确；D. 1mo1KHCO3晶体中只有钾离子和碳酸氢根离子，阴阳离子数之和为2N A，故D错误；答案是C。
2．常温下，下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是A．pH=1的溶液中：NO3-、Cl−、S2−、Na+B．c(H+)/c(OH−)=1012的溶液中：NH4+、Al3+、NO3-、Cl−C．由水电离的c(H+)=1×10−12mol·L−1的溶液中：Na+、K+、Cl−、HCO3-D．c(Fe3+)=0.1mol·L−1的溶液中：K+、Cl−、SO42-、SCN−【答案】B【解析】【详解】A. pH=1的溶液呈酸性，H+、NO3-与S2−发生氧化还原反应而不能大量共存，选项A错误；B. c(H+)/c(OH−)=1012的溶液呈酸性，H+、NH4+、Al3+、NO3-、Cl−相互之间不反应，能大量共存，选项B正确；C. 由水电离的c(H+)=1×10−12mol·L−1的溶液可能为强酸性也可能为强碱性，HCO3-均不能大量存在，选项C 错误；D. c(Fe3+)=0.1mol·L−1的溶液中：Fe3+与SCN−发生络合反应而不能大量共存，选项D错误；答案选B。
【三模】数学高考试卷(附答案解析)
C. D.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于”松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 ， 分别为5，2，则输出的 等于（）
A 2B. 3C. 4D. 5
7.已知抛物线 的焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线与抛物线 的准线交于点 ，则线段 的长为
C.点 是函数 图象的一个对称中心
D.函数 在区间 上为增函数
10.已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线 的离心率为（）
A. 或4B. 或2C. D.2
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
由题意得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
当双曲线的焦点在y轴上时， ，
则 ，
故选：B
11.已知某正三棱锥的侧棱长大于底边长，其外接球体积为 ，三视图如图所示，则其侧视图的面积为
A. B.2C.4D.6
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据正三棱锥的性质可得球心在正三棱锥的高上，由正棱锥的性质可得顶点在底面的射影是正三角形的中心，列方程可解得棱锥的高，从而可得结果.
14.若实数 、 满足约束条件 ，则 的最小值是_______．
15.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：今有良马与驽马发长安，至齐.齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里;驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马.问几何日相逢?其大意是：现有良马和劣马同时从长安出发去齐地，已知齐地离长安有3000里远，良马第一天可行193里，之后每天比前一天多行13里;劣马第一天可行97里，以后每天比前一天少行半里路.良马先到达齐地后，马上返回去迎接劣马，问：________天后两马可以相遇?(结果填写整数值)
2020届辽宁省辽阳市高三二模考试数学(文)试题(解析版)
2020届辽宁省辽阳市高三二模考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}30M x x =-≤，{}1,3,5,7N =，则M N =（ ）A ．{}1B ．{}1,3C ．{}3,5D ．{}3,5,7【答案】D【解析】计算{}3M x x =≥，再计算交集得到答案. 【详解】因为{}3M x x =≥，{}1,3,5,7N =，所以{}3,5,7M N ⋂=. 故选：D . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于简单题. 2．若()()112z i i +-=，则z =（ ） A ．2i -- B ．2i -+ C ．2i + D ．2i - 【答案】B【解析】化简得到211iz i=--，计算得到答案. 【详解】因为211iz i +=-，所以()()()()2121211121112i i i i i z i i i i ++=-=-=-=-+--+. 故选：B . 【点睛】本题考查了复数的化简，意在考查学生的计算能力.3．已知抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6【答案】D【解析】根据抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长，则圆心在准线上求解. 【详解】抛物线C ：22x py =的准线为2p y =-， 因为抛物线C ：()220x py p =>的准线l 平分圆M ：()()22234x y +++=的周长， 所以32p，则6p .故选：D 【点睛】本题主要考查抛物线和圆的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．已知向量()3,1a =，(),2b m m =+，(),3c m =，若//a b ，则b c ⋅=（ ） A ．12- B ．6-C ．6D ．3【答案】C【解析】根据//a b ，有360m m +-=，解得m ，得到b ，再利用数量积公式求解. 【详解】 因为//a b ，所以360m m +-=，解得3m =-，()3,1b =--，又()3,3c =-， 所以936b c ⋅=-=. 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量线性运算和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．已知动点(),P x y 在由直线1l ：210x y -+=，2l ：250x y ++=和10x y -+=围成的封闭区域（含边界）内，则21y x -+的取值范围为（ ） A ．(][),13,-∞-+∞B ．()17,,⎤⎡-∞-+∞⎦⎣C ．[)8,3,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．[)8,1,5⎛⎤-∞-⋃-+∞ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据约束条件，画出可行域，由21y z x -=+的几何意义为可行域内的点到点()1,2Q -的斜率求解.【详解】由题意，画出可行域如图所示阴影部分：21y z x -=+的几何意义为可行域内的点到点()1,2Q -的斜率， 因为1,3QA QB k k =-=， 所以(][),13,z ∈-∞-⋃+∞. 故选：A 【点睛】本题主要考查简单线性规划求最值，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 6．若函数()()2log f x x x a =+-的定义域为()1,+∞，则()3f a =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】C【解析】由定义域求得参数a ，即可由对数运算求得结果. 【详解】因为()()2log f x x x a =+-的定义域为(),a +∞，所以1a =， 所以()233log 24f a =+=. 故选：C . 【点睛】本题考查由对数型函数的定义域求参数值，以及对数运算，属基础题. 7．已知0a >，0b >，32a b ab +=，则23a b +的最小值为（ ） A ．20 B ．24C ．25D ．28【答案】C【解析】化简得到321b a +=，变换()322323a b a b b a ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用均值不等式得到答案. 【详解】因为0a >，0b >，32a b ab +=，所以321b a+=， 则()32662323131325a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当5a b ==时，等号成立. 故选：C . 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()322323a b a b b a ⎛⎫+=++⎪⎝⎭是解题的关键. 8．已知直线//a 平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】若直线//a 平面α，平面α⊥平面β，此时直线a 与平面β可能平行，所以充分性不成立；若直线//a 平面α，直线a ⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立. 故选:B 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间线面、面面的位置关系，属于基础题. 9．已知函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则()119cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+-- ⎪⎝⎭（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-【答案】B 【解析】计算定点()2,3P ，故3tan 2α=，化简得到原式等于1tan α-，计算得到答案. 【详解】函数()22x f x a-=+（0a >且1a ≠）过定点()2,3P ，故3tan 2α=， 则()119cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+-- ⎪⎝⎭3cos sin sin 222cos sin 2ππαααπαα⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin cos 2sin cos cos 12sin sin sin tan 3ααααααααα-+==-=-=--.故选：B. 【点睛】本题考查了指数函数过定点，三角函数定义，诱导公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.10．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列.令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =（ ） A ．5051 B ．4950C ．100101D ．50101【答案】D【解析】根据1S ，2S ，4S 成等比数列结合公差为2，求得n a ，得到n b ，再利用裂项相消法求解. 【详解】因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+， 由题意得()()211122412a a a +=+， 解得11a =， 所以21n a n =-， 则()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则501111111150123355799101101T ⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-= ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算以及裂项相消法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.11．在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，2AB BD ==，E 为CD 的中点，若异面直线AC 与BE 所成的角为60°，则BC =（ ） A ．2 B ．2C ．22D ．4【答案】B【解析】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，即可由线面角求得关于BC 长度的方程，则问题得解. 【详解】取AD 的中点F ，连接EF ，BF ，如下图所示：则//EF AC ，BEF ∠为异面直线AC 与BE 所成的角，所以60BEF ∠=︒. 设BC x =，则24x BE EF +==，2BF = 从而BEF 为等边三角形，则2422x +=解得2x =.故2BC =. 故选：B. 【点睛】本题考查由线线角求线段长度，涉及由线面垂直推线线垂直，属中档题. 12．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2x g x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（ ） A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1【答案】D 【解析】求导得到1()f x -'范围A ，再分0m >，0m <，0m =三种情况讨论得()g x '范围B ，最后根据条件得A 与B 包含关系，计算得到答案. 【详解】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞， 由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆' 故21m -<-，解得01m <<；(2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意. 综上所述：m 的取值范围为()0,1. 故选：D . 【点睛】本题考查了函数的切线问题，根据直线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题13．已知等比数列{}n a 的公比为q ，且4a ，5a 的等差中项为33a ，则q =______. 【答案】3-或2 【解析】直接根据等比数列通项公式，等差中项性质，计算得到答案.【详解】因为4536a a a +=，所以3421116a q a q a q +=，即260q q +-=，解得3q =-或2q.故答案为：3-或2. 【点睛】本题考查了求等比数列公比，意在考查学生的计算能力.14．某公司对2019年1至4月份的获利情况进行了数据统计，如下表所示.根据上表可得回归方程为y bx a =+，其中4a =，则预测2019年10月份的利润为______万元. 【答案】13.5 【解析】计算52x =，518y =，代入回归方程得到0.95b =，代入数据计算得到答案. 【详解】设线性回归方程为4y bx =+，因为52x =，518y =，由题意可得55142ˆ8b+=， 解得0.95b =，即0.954y x =+，当10x =时，13.5y =. 故答案为：13.5. 【点睛】本题考查了回归方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.15．从1-，0，1，2这四个数字中任意取出两个不同的数字，记为有序数对(),a b ，则341133a b⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立的概率是______.【答案】12【解析】列出所有情况，统计满足34a b ≥的情况，计算得到答案. 【详解】总体的情形有()1,0-，()1,1-，()1,2-，()0,1，()0,2，()1,2，()0,1-，()1,1-，()2,1-，()1,0，()2,0，()2,1共12种.因为341133ab⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于34a b ≥， 所以符合条件的情形有()0,1-，()1,1-，()2,1-，()1,0，()2,0，()2,1共6种， 因此所求概率12P =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.16．已知菱形ABCD 的边长为60BAD ∠=︒，沿对角线BD 将菱形ABCD 折起，使得二面角A BD C --为钝二面角，该四面体ABCD 外接球的表面积为36π，则四面体ABCD 的体积为______.【解析】设E 为BD 的中点，延长CE ，作AH EC ⊥交EC 于点H ，易得AH ⊥平面BCD ，计算3R =，故222R CF OF =+，222R OG AG =+，222AE AH HE =+，解得AH =，2HE =，得到答案. 【详解】由已知得，ABD △和BCD 均为正三角形，如图，设E 为BD 的中点，延长CE ，作AH EC ⊥交EC 于点H ，易得AH ⊥平面BCD ， 作BCD 的中心F ，则F 在EC 上，且2FC EF =. 作//FG HA ，作//AG HC ，AG GF G =，可知四面体ABCD 外接球的球心O 在GF上，设外接球的半径为R ，2436R ππ=，则3R =，在Rt AGO △和Rt CFO 中，由于2CF ==，1EF =，所以222R CF OF =+，222R OG AG =+，222AE AH HE =+，解得AH =，2HE =，13BCD ABCD V S AH =⨯=△四面体【点睛】本题考查了四面体的外接球问题，四面体体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，2b =，521sin sin A B +=. （1）求sin B 的值；（2）若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积. 【答案】（1）217（2）332【解析】（1）由正弦定理将521sin sin 14A B +=，转化为5212214a b R R +=，求得2R ，再由sin 2bB R=求解.（2）根据ABC 为锐角三角形，得到cos B ，再利用余弦定理，解得c ，利用1sin 2S ac B =求解. 【详解】（1）由正弦定理，521sin sin 14A B +=，可化为5212214a b R R +=， 解得22123R =，所以21sin 27221b B R ===.（2）因为ABC 为锐角三角形，所22127cos 177B ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 2222cos b a c ac B =+-，即2712570c c -+=，解得7c =或7c =. 当7c =时，222a b c >+，此时A 为钝角，舍去. 所以7c =，112133sin 372272S ac B ==⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 18．某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由.【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知ABC 是直角三角形，侧面11ABB A 是矩形，1AB BC ==，12BB =，13BC =.（1）证明：1BC AC .（2）若E 是棱1CC 的中点，求点C 到平面ABE 的距离.【答案】（1）见解析（2）32【解析】（1）证明AB ⊥平面11BCC B 得到1AB BC ⊥，得到1BC ⊥平面ABC ，得到答案.（2）设点C 到平面ABE 的距离为d ，根据等体积法C ABE A BCE V V --=计算得到答案. 【详解】（1）因为ABC 是直角三角形，BA BC =，所以AB BC ⊥. 因为侧面11ABB A 是矩形，所以1AB BB ⊥. 因为1BCBB B =，所以AB ⊥平面11BCC B ，从而1AB BC ⊥.因为1BC =，12CC =，13BC =，所以22211BC BC CC +=，即1⊥BC BC .因为BCAB B =，所以1BC ⊥平面ABC ，所以1BC AC .（2）设点C 到平面ABE 的距离为d ，由（1）知AB ，BC ，1BC 两两垂直， 又BE 是1Rt BCC △斜边上的中线，所以112CC BE ==，111122ABE S =⨯⨯=△. 因为BCE 是边长为1的正三角形，所以21331224BCE S =⨯⨯=△， 由C ABE A BCE V V --=，得11133ABE BCE S d S ⨯⨯=⨯⨯△△，解得32d =.【点睛】本题考查了线线垂直，点面距离，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.20．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，圆F ：()2211x y -+=，一动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 相外切，此动圆的圆心轨迹为曲线C ，椭圆E 与曲线C 有相同的焦点.（1）求曲线C 的方程；（2）设曲线C 与椭圆E 相交于第一象限点K ，且53KF =，求椭圆E 的标准方程； （3）在（2）的条件下，如果椭圆E 的左顶点为A ，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆E交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线l：(2a x c c==分别交于N ，M两点，证明：四边形MNPQ 的对角线的交点是椭圆E 的右顶点.【答案】（1）()240y x x =>（2）22143x y +=（3）见解析【解析】（1）设动圆圆心的坐标为()(),0x y x >，1CF x -=，计算化简得到答案.（2）计算23K ⎛ ⎝⎭，则124a KF KF =+=，得到答案.（3）计算31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()4,3N ，直线QN 的方程为33322141y x ++=--，令0y =，得2x =，得到答案. 【详解】（1）设动圆圆心的坐标为()(),0x y x >，因为动圆在y 轴右侧与y 轴相切，同时与圆F 相外切，所以1CF x -=1x =+，化简整理得24y x =，曲线C 的方程为()240y x x =>.（2）依题意，1c =，513K KF x =+=，可得23K x =，故K点坐标为23K ⎛ ⎝⎭， 椭圆的另一焦点为()11,0F -，由两点间的距离可得173KF ===，又由椭圆的定义得1752433a KF KF =+=+=，2a =. 所以2223b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=.（3）由（2）知()2,0A -，()1,0F ，直线l 的方程为4x =，根据椭圆的对称性，当直线PQ x ⊥轴时，四边形MNPQ 是等腰梯形，对角线的交点在x 轴上，此时直线PQ 的方程为1x =，由221431x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，321y x ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，不妨取31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，故直线AP 的方程为()122y x =+，将4x =代入得()4,3N ， 所以直线QN 的方程为33322141y x ++=--，令0y =，得2x =，即直线QN 与x 轴的交点为()2,0，此时恰好为椭圆的右顶点. 【点睛】本题考查了轨迹方程，椭圆方程，定点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知函数()ln xf x x =. （1）若不等式()ln 12af x a≥+在[](),20x a a a e ∈<≤上有解，求a 的取值范围； （2）若1x ，[)22,x ∈+∞，且12x x >，证明：()()2212121133f x f x x x -<-.【答案】（1）ln 202a <≤（2）见解析【解析】（1）求导得到()21ln x f x x -'=，得到函数单调区间，讨论02ea <≤和2ea e <≤，计算函数最值，解不等式得到答案. （2）设()()213G x f x x =-，求导得到()()3233ln 223x x G x x x--'=≥，证明()G x 在[)2,+∞上是单调递减函数，得到答案.【详解】（1）()21ln xf x x-'=，函数()f x 的单调递增区间为()0,e ，单调递减区间为(),e +∞. 当02e a <≤，()max ln 2ln 122a af x a a=≥+，解得ln 22a ≤，故ln 202a <≤；当2e a e <≤，()max 1ln 12a f x e a =≥+，因为ln 112a a +>，故1ln 12ae a≥+无解. 综上，ln 202a <≤. （2）()ln x f x x =，设()()221ln 133x G x f x x x x =-=-， 则()()3221ln 233ln 2233x x x x G x x x x---'=-=≥， 令()()333ln 22H x x xx =--≥，则()236H x x x-'=-， 因为2x ≥，所以()0H x '<，故()H x 为减函数， 所以()()2133ln 20H x H ≤=--<，所以()0G x '<，故()G x 在[)2,+∞上是单调递减函数.所以对于任意1x ，[)22,x ∈+∞，且12x x >，必有()()2211221133f x x f x x -<-， 即()()2212121133f x f x x x -<-. 【点睛】本题考查了利用导数求表达式能成立问题，证明不等式，构造函数()()213G x f x x =-是解题的关键.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为4,1x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线L 的极坐标方程为()704πθρ=≥. （1）求曲线C 的极坐标方程与射线L 的直角坐标方程；（2）若射线L 与曲线C 交于A ，B 两点，求22OA OB OB OA ⋅+⋅. 【答案】（1）28cos 2sin 90ρρθρθ-++=.()0y x x =-≥.（2）【解析】（1）消参即可容易求得曲线C 的普通方程，结合公式即可由极坐标方程求得直角坐标方程； （2）联立74πθ=与28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，即可求得12ρρ，12ρρ+，则问题得解. 【详解】（1）由4,1,x y αα⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩得()()22418x y -++=，即228290x y x y +-++=，故曲线C 的极坐标方程为28cos 2sin 90ρρθρθ-++=. 射线L 的直角坐标方程为()0y x x =-≥. （2）将74πθ=代入28cos 2sin 90ρρθρθ-++=，得2829022ρρρ-⨯-⨯+=，即290ρ-+=， 设,A B 两点对应的ρ为12,ρρ，则12ρρ+=129ρρ=，所以()()221212OA OB OB OA OA OB OA OB ρρρρ⋅+⋅=⋅⋅+=+=【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和直角坐标方程之间的相互转化，涉及利用极坐标求线段，属综合基础题.23．已知0a ≠，函数()1f x ax =-，()2g x ax =+. （1）若()()f x g x <，求x 的取值范围；（2）若()()2107af xg x +≥⨯-对x ∈R 恒成立，求a 的最大值与最小值之和.【答案】（1）当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）1. 【解析】（1）两边平方求解绝对值不等式，对参数a 进行分类讨论，则问题得解； （2）利用绝对值三角不等式，即可容易求得()()f x g x +的最小值，再求解绝对值不等式，即可求得a 的最大值和最小值，利用对数运算，求解即可. 【详解】（1）因为()()f x g x <，所以12ax ax -<+， 两边同时平方得22222144a x ax a x ax -+<++， 即63ax >-， 当0a >时，12x a >-；当0a <时，12x a<-. 故当0a >时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；当0a <时，不等式解集为1,2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2）因为()()()()12123f x g x ax ax ax ax +=-++≥--+=， 当且仅当()()120ax ax -+≤时取得等号. 所以()()f x g x +的最小值为3，所以21073a⨯-≤，则321073a -≤⨯-≤， 解得lg 2lg5a ≤≤，+==.故a的最大值与最小值之和为lg2lg5lg101【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，涉及绝对值三角不等式，对数运算，属综合中档题.。
2023年辽宁省沈阳市南昌中学中考三模数学试题(含解析)
（2）若 DC 10 ， tan DCB 3 ，求菱形 AEBD 的面积. 20．商场销售某种冰箱．每台进货价为 2500 元．调查发现，当销售价为 2900 元时．平 均每天能售出 8 台：而当销售价每降低 50 元时．平均每天就能多售出 4 台．商场要想 使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，这时每天销售的冰箱是多少台？ 21．为了解学生对淮安传统文化的知晓程度，某校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷 有以下四个选项：A（十分了解）；B（了解较多）；C（了解较少）；D（不了解）．要求 每名被调查的学生必选且只能选择一项．现将调查的结果绘制成两幅不完整的统计 图．请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：
．
故选 A ． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体及简单组合体的三视图，重点考查几何体的三视图 及空间想象能力． 3．D 【分析】分别根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方以及同底数幂的除法法 则计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A. a2 与 a3 不是同类项不能合并，故此选项错误，不符合题意； B. a3 a4 a34 a7 ，故此选项错误，不符合题意；
B．三角形的内角和为 180°
C．打开电视机，任选一个频道，屏幕上正在播放广告
D．抛掷一枚硬币两次，第一次正面向上，第二次反面向上 7．下列函数图象中，表示直线 y 2x 1的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
8．如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯 AB 的倾斜角为 37 ，大厅两层 之间的距离 BC 为 6 米，则自动扶梯 AB 的长约为（ sin 37 0.6,cos 37 0.8, tan 37 0.75 ） （ ）．
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学质量检测模拟试题(二模)含答案
2023-2024学年辽宁省沈阳市东北高考数学模拟试题（二模）一、单选题1．若M ，N 是U 的非空子集，M N M ⋂=，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．U M N=ðD ．U N M=ð【正确答案】A【分析】根据集合的交集结果可得集合的包含关系即可一一判断.【详解】因为M N M ⋂=，所以M N ⊆，A 正确，B 错误；因为M ，N 是U 的非空子集，所以U M N ≠ð，U N M ≠ð，C,D 错误，故选:A.2．已知12i z =-，且a za z+⋅为实数，则实数=a （）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【正确答案】A【分析】先通过复数运算化简复数，然后根据复数为实数的条件建立a 的方程求解【详解】因为12i 32(2)i(12i)5a z a a a a z a a++---+==⋅+为实数，所以2a =-.故选：A3．石碾子是我国电气化以前的重要粮食加工工具.它是依靠人力或畜力把谷子、稻子等谷物脱壳或把米碾碎成碴子或面粉的石制工具.如图，石碾子主要由碾盘、碾滚和碾架等组成，一个直径为60cm 的圆柱形碾滚的最外侧与碾柱的距离为100cm ，碾滚最外侧正上方为点A ，若人推动拉杆绕碾盘转动一周，则点A 距碾盘的垂直距离约为（）A ．15cmB ．cmC ．(30-cmD ．45cm【正确答案】A【分析】根据题意求出人推动拉杆绕碾盘转动一周，点A 所转过的角度进而确定点A 所在位置，利用角度和半径即可求出点A 到碾盘的垂直距离.【详解】由题意碾滚最外侧滚过的距离为2100cm 200cm ππ⨯=，碾滚的周长为230cm 60cm ππ⨯=，所以碾滚滚过20010603ππ=圈，即滚过了1036033601203⨯︒=⨯︒+︒，所以点A 距碾盘的垂直距离为()3030cos 18012015cm -⨯︒-︒=.故选：A.4．在ABC 中，60B O ︒=，是ABC 的外心，若2OB =，则AO AC ∙=（）A ．32B ．3C ．6D ．【正确答案】C【分析】取AC 中点H ，连接OH ，由已知及正弦定理可求OAH ∠，AC ，再根据平面向量的数量积运算求解即可．【详解】如图，取AC 中点H ，连接OH ，则OH AC ⊥，60AOH B ︒∠==，所以30OAH ︒∠=，在ABC 中，60B ︒=，2r OB ==，由正弦定理得2sin ACr B=，所以2sin 22AC r B ==⨯=所以cos 26AO AC AO AC OAH =∠=⨯= ，故选：C ．5．已知正实数,x y 满足121x y+=，则22xy x y --的最小值为（）A ．2B ．4C ．8D ．9【正确答案】C【分析】化简已知式可得222xy x y x y --=+，因为()()12212x y x y x y ⎛⎫+⋅=++ ⎪⎝⎭，由基本不等式求解即可.【详解】()()122221222xy x y xy x y xy x yx y ⎛⎫--=⋅-+=⋅+-+ ⎪⎝⎭=2422y x x y x y +-+=+，而()()1242124428x y x y x y x y y x ⎛⎫+⋅=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4121x yy x x y⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2,4x y ==取等.故选：C.6．“m =0是“直线()12110mx m l y +-+=：与直线()22110l mx m y +--=：之间的距离为2”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据平行线间的距离公式可得0m =或45m =，进而根据充分与不必要条件的定义判断即可.【详解】两条平行线间的距离2d ==，即2540m m -=，解得0m =或45m =，即“0m =”是“两直线间距离为2”的充分不必要条件.故选：A.7．已知点F 是抛物线2:2(0)M y px p =>的焦点，过点F 作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点,A B 和,C D ，且2AF BF AB =，则四边形ACBD 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．16D ．32【正确答案】B【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表示条件，可求得p ，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，12p AF x =+，22pBF x =+，12AB x x p =++，所以1212222p p x x x x p ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即()212121222p x x p x x x x p +++=++，①设直线AB :2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立抛物线方程22y px =，得()22222204k p k x pk p x -++=，得1222p x x p k +=+，2124p x x =，②，将②代入①得，1p =所以222222p AB p k k=+=+，因为直线AB 与CD 垂足，则222222CD p pk k =+=+，则四边形ACBD 面积()2211222222S AB CD k k ⎛⎫==++ ⎪⎝⎭2211424228k k k k ⎛⎫=++≥+⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭，当1k =±时，等号成立，所以四边形ACBD 面积的最小值是8.故选：B 8．设a =，31sin 460b =，61ln 60c =，则a ，b ，c 的大小关系正确的是（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b<c<aD ．a b c<<【正确答案】C【分析】构造函数()ln(1)si 3n 4f x x x =+-，求导确定单调区间，得到c b >，再构造函数()ln(1)3g x x =-+，求导确定单调区间得到a c >，得到答案.【详解】设()ln(1)si 3n 4f x x x =+-，103x <<，则13()cos 14f x x x '=-+，103x <<，31141x <<+，33cos 44x <，故()0f x '>，()f x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()(0)0f x f >=，当103x <<时，3ln(1)4x x +>恒成立，令110,603x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则6131ln sin 60460>，即c b >；设()ln(1)g x x =-+，1040x <<，则1()1g x x '==+，又22113)8x -=-+=-，故1x -⎛ ⎝上单调递减，111040x -+>+>，故()0g x '>，则函数()g x 在10,40⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即()(0)0g x g >=，故当1040x <<ln(1)x >+恒成立，令110,6040x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭61ln 60=，即a c >，综上所述.b<c<a 故选：C关键点睛：本题考查了利用导数比较函数值的大小问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数，求导，利用函数的单调性比较大小是解题的关键.二、多选题9．一批产品中有3个正品，2个次品.现从中任意取出2件产品，记事件A ：“2个产品中至少有一个正品”，事件B ：“2个产品中至少有一个次品”，事件C ：“2个产品中有正品也有次品”，则下列结论正确的是（）A ．事件A 与事件B 为互斥事件B ．事件B 与事件C 是相互独立事件C ．()()P AB P C =D ．()23P C A =【正确答案】CD【分析】根据事件的相关概念可判断ABC ，计算出()P C A 可判断D.【详解】因为事件A 与事件B 可以同时发生，故A 错误；事件B 包含事件C ，所以事件B 与事件C 不是相互独立事件，故B 错误；因为AB C =，所以()()P AB P C =，故C 正确；()()()()()11322511232325C C C 2C C C 3C P AC P C P C A P A P A ====+，故D 正确；故选：CD10．在△ABC 中，已知a ＝2b ，且111tan tan sin A B C+=，则（）A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin :sin :sin 2A BC =C ．若a ＝4，则ABC S =△D ．A ，B ，C 成等差数列【正确答案】ABC【分析】首先根据三角恒等变换，将已知条件化简得2c ab =，再结合条件2a b =，再依次判断选项即可得到答案.【详解】因为111tan tan sin A B C+=，所以()sin cos cos sin cos cos sin sin 1sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B A B B A B A C A B A B A B A B C+++====，即2sin sin sin C A B =，即2c ab =.对选项A ，因为2c ab =，所以a 、c 、b 成等比数列，故A 正确；对选项B ，因为2a b =，222c ab b ==，即c =，所以::2a b c =即sin :sin :sin 2A B C =B 正确；对选项C ，若4a =，则2b =，c =则22242cos8B +-==，因为0πB <<，所以sin 8B =.故1428ABC S =⨯⨯=△，故C 正确.对选项D ，若A 、B 、C 成等差数列，则2B A C =+.又因为πA B C ++=，则π3B =.因为::2a b c =2a k =，b k =，c =，0k >，则()22221cos82k k B +-==≠，故D 错误.故选：ABC11．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1402n n n a S S n -+=≥，114a =，则下列说法正确的是（）A ．数列{}n a 的前n 项和为4n S n=B ．数列{}n a 的通项公式为()141n a n n =+C ．数列{}n a 不是递增数列D ．数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列【正确答案】CD【分析】确定()11402n n n n S S S S n ---+=≥得到1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列，得到14n S n =即n a 的通项公式，再依次判断每个选项得到答案.【详解】()1402n n n a S S n -+=≥，则()11402n n n n S S S S n ---+=≥，即()11142n n n S S --=≥，故1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为4，公差为4的等差数列，故14n n S =，即14n S n =，()()111144244441n n n a S S n n n n n -=-=-⨯⨯=-≥--，114a =.对选项A ：14n S n=，错误；对选项B ：()()1,1 41241n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，错误；对选项C ：114a =，218a =-，故数列{}n a 不是递增数列，正确；对选项D ：14nn S =，故数列1n S ⎧⎫⎨⎩⎭为递增数列，正确；故选：CD.12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为线段1CC ，CD ，CB 上的动点（E ，F ，G 均不与点C 重合），则下列说法正确的是（）A ．存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFGB ．存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=C ．当1A C ⊥平面EFG 时，三棱锥1A EFG -与C -EFG 体积之和的最大值为12D ．记CE ，CF ，CG 与平面EFG 所成的角分别为α，β，γ，则222sin sin sin 1αβγ++=【正确答案】ACD【分析】以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，当BD FG 时，易证得1FG A E ⊥，则要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，利用向量法即可得出结论；对于B ，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，判断FEG ∠和FEC GEC ∠+∠是否相等，即可；对于C ，根据1A C ⊥平面EFG ，可得,,a b c 的关系，由113A EFG C EF GG V V AC S --+=⋅，只要求出EFG S 的最大值即可；对于D ，利用等体积法求出C 到平面EFG 的距离d ，分别求出sin ,sin ,sin αβγ，即可判断.【详解】解：如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，设(](),,,,,0,1CF a CG b CE c a b c ===∈，对于A ，因为1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1AA BD ⊥，又因1,AC BD AC AA A ⊥⋂=，所以BD ⊥平面11AAC C ，又1A E ⊂平面11AAC C ，所以1BD A E ⊥，当BD FG 时，1FG A E ⊥，此时CF CG =，要使1A E ⊥平面EFG ，只需1A E EF ⊥即可，()()()11,0,1,0,1,0,0,1,A F a E c -，则()()11,1,1,0,,A E c EF a c =--=--，则()110A E EF a c c ⋅=---= ，即2a c c =-，当14a =时，12c =，故存在点E ，F ，G ，使得1A E ⊥平面EFG ，故A 正确；对于B ，,22EFC FEC EGC GEC ππ∠=-∠∠=-∠，则FEG EFC EGC FEG FEC GEC π∠+∠+∠=+∠-∠-∠，要使FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，只需要FEG FEC GEC ∠=∠+∠即可，EF EG ===2222222cos a c b c a b FEG +++-+∠，cos FEC GEC∠=∠=则sin FEC GEC ∠=∠，故()2cos FEC GEC ∠+∠=因为0ab >，所以()cos cos FEC GEC FEG ∠+∠≠∠，所以FEG FEC GEC ∠≠∠+∠，所以不存在点E ，F ，G ，使得FEG EFC EGC π∠+∠+∠=，故B 错误；对于C ，因为1A C ⊥平面EFG ，所以1133EFG EFG A EFG C EFG V V AC S S --+=⋅= ，()()()()()11,0,1,0,1,0,0,1,,,1,0,0,1,0A F a E c G b C -，则()()()1,,0,,0,,1,1,1FG b a EG b c A C ==-=--，则110A C FG b a A C EG b c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，所以a b c ==，要使EFG S 最大，则1a b c ===，此时EFG S = 所以体积之和的最大值为12，故C 正确；对于D ，由B ，sin FEG ∠=，则1sin 2EFG S EF EG FEG =⋅⋅⋅∠=因为16E FCG V abc -=，所以C 到平面EFG 的距离d 满足1136EFG d S abc ⋅= ，所以d =所以sin CE α==，sin d CF β=sin d CG γ==，所以222222222222222sin sin sin 1a b a c c b a b a c c b αβγ++++++==，故D 正确.故选：ACD.三、填空题13．已知一组样本数据12310,,x x x x ，且222212310185x x x x ++++=，平均数4x =，则该组数据的方差s 2＝________；【正确答案】2.5【分析】利用平均数求得所有数据的和，代入方差公式中，结合已知可得方差.【详解】由题意知1231041040x x x x +++=⨯= ，又2s =222212310444410x x x x -+-+-++- （）（）（）（）=222212310123108161010x x x x x x x x ++++-++++⨯ =185840161010-⨯+⨯=18.5-32+16=2.5.故答案为2.5.本题考查了平均数与方差的定义及利用公式求值，考查了运算能力，属于基础题.14．已知双曲线()2222:10x y C b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且倾斜角为4π的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点.若2//BF OA ，则C 的离心率为______.【分析】首先根据题意，设出直线的方程，之后与双曲线的渐近线联立，分别求出A ，B 两点的坐标，之后根据题中条件2//BF OA ，得出A 是1F B 的中点，根据中点坐标公式，得出其坐标间的关系，借助双曲线中,,a b c 的关系，求得该双曲线的离心率.【详解】设直线l 的方程为y x c =+，两条渐近线的方程分别为by x a =-和b y x a=，分别联立方程组，求得(,),(,)ac bc ac bcA B a b a b b a b a-++--，由2//BF OA ，O 为12F F 的中点得A 是1F B 的中点，所以有2ac acc b a a b-+=--+，整理得3b a =，结合双曲线中,,a b c 的关系，可以的到c e a ==故答案为15．已知圆()()()222111:220C x y r r -+-=>，圆()()()222222:110,C x y r r +++=>圆1C 与圆2C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则12rr 为_________.【正确答案】7225【分析】根据题意作出如下图形：由圆方程求出圆心连线斜率为：1k =，计算出圆心距121232C C r r ==+，再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形12EC C 中列方程求得124r r =，联立方程即可求出1325r =，2122r =【详解】根据题意作出如下图形：AB 为两圆的公切线，切点分别为A,B.当公切线AB 与直线12C C 平行时，公切线AB 斜率不为7，即12r r ≠不妨设12r r <过1C 作AB 的平行线交2AC 于点E ，则：221EC r r =-，1AB EC =且1//AB EC ()()221212212132C C r r =+++==+,直线12C C 的斜率为：21121k +==+，所以直线AB 与直线12C C 的夹角正切为.173tan 174α-==+在直角三角形12EC C 中，2134EC EC =，所以12143EC r r =-，又2221212EC EC C C +=,整理得：()()22221211243r r r r r r ⎛⎫-+-=+ ⎪⎝⎭，解得：124r r =，又12r r =+，解得：15r =，25r =，所以12rr=725525⨯=.本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题．16．已知函数()1ln f x x m x x=--有三个零点，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】()2,+∞【分析】求导得到导函数，构造21y x mx =-+，确定0∆>，排除2m <-的情况，确定函数的单调性，确定()10f =，()10f x >，()20f x <，根据零点存在定理得到答案.【详解】()1ln f x x m x x=--，()0,x ∈+∞，()222111m x mx f x x x x -+'=+-=，设21y x mx =-+，24m ∆=-，当0∆≤时，210y x mx =-+≥恒成立，即()0f x '≥恒成立，()f x 单调递增，不满足；故0∆>，即m>2或2m <-，当2m <-时，()0f x '≥在()0,∞+上恒成立，()f x 单调递增，不满足，故m>2，现证明m>2时满足条件：设方程的两个解为1x ，2x ，不妨取12x x <，12121x x x x m =⎧⎨+=⎩，1201x x <<<，当()10,x x ∈和()2,x x ∈+∞时，()0f x ¢>，函数单调递增；当()12,x x x ∈时，()0f x '<，函数单调递减；()10f =，故()10f x >，()20f x <，当x 趋近0时，()f x 趋近-∞，当x 趋近+∞时，()f x 趋近+∞，故()f x 在()10,x 和()2,x +∞上分别有一个零点，满足条件.综上所述：实数m 的取值范围是()2,+∞.故答案为.()2,+∞关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，根据∆的大小分类讨论m 的取值范围是解题的关键，分类讨论是常用的数学方法，需要灵活掌握.四、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且114a =，116n n ta S +=+（*N ,n t ∈为常数）．(1)若数列{}n a 为等比数列，求t 的值；(2)若4t >-，1lg n n b a +=，数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时n T 取最小值，求实数t 的取值范围．【正确答案】(1)4t =(2)15742t <<-【分析】（1）先根据和项与通项关系求项之间递推关系，再根据等比数列定义确定212a a =，代入2a ，解得t 的值；（2）结合（1）中结论，根据等比数列定义求得()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=∈，从而得到数列{}n b 是等差数列，根据等差数列前n 项和取最小值等价于项60b <且70b >，代入得不等式，由此解得实数t 的取值范围．【详解】（1）因为116n n ta S +=+，所以当2n ≥时，116n n t a S -=+，两式相减，得1n n n a a a +-=，则12n n a a +=，因为数列{}n a 为等比数列，则公比为2，又114a =，所以21122a a ==，又2141616t ta S +=+=，所以41162t +=，解得4t =，所以4t =.（2）由（1）得()122n n a a n +=≥，所以数列{}n a 是从第二项起，2416ta +=，公比为2的等比数列，所以()11*12422N 16n n n t a a n --++=⨯=⋅∈，所以()1144lg lg 2lg 1lg 21616n n n t t b a n -+=++⎛⎫=⋅=+-⎪⎝⎭，故数列{}n b 是等差数列，因为数列{}n b 前n 项和为n T ，当且仅当6n =时，n T 取最小值，所以60b <且70b >，即780,0lg lg a a <>，所以701a <<且81a >，所以5644021,211616t t ++<⋅<⋅>，即0821,1641t t <+<+>，所以15742t -<<-.18．已知平面向量()cos ,sin a x x =，()cos ,2sin b x x x =- ，记()f x a b =⋅ ，(1)对于π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()m f x n ≤≤（其中m ，R n ∈）恒成立，求m n -的最大值．(2)若ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()1f B =，a ，b ，c 成等比数列，求11tan tan A C+的值．【正确答案】(1)32-(2)3【分析】（1）化简得到()π3sin 262f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，确定π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦得到12m ≤，2n ≥，得到最值.（2）计算得到π3B =，确定2b ac =，化简得到11sin tan tan sin sin B A C A C+=，根据正弦定理结合等比数列性质得到答案.【详解】（1）()()()22cos ,2sin 2c s cos sin co os ,s n si f x x x x x x x x x x ⋅=-=+1cos 2π31sin 2sin 22262x x x -⎛⎫=+=-++ ⎪⎝⎭，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()1,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()m f x n ≤≤恒成立，故12m ≤，2n ≥，当2n =，12m =时，m n -有最大值为32-.（2）()1π3sin 262f B B ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==，即π1sin 262B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,πB ∈，ππ13π2,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故π5π266B +=，π3B =，a ，b ，c 成等比数列，则2b ac =，()sin 11cos cos sin cos cos sin sin tan tan sin sin sin sin sin sin sin sin A C A C C A C A BA C A C A C A C A C+++=+===2b ac ===19．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段11B D 上动点．(1)证明：CP 平面1A BD ；(2)当直线BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为6时，求点D 到平面1A BP 的距离．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）确定BD 平面11B CD ，1A B 平面11B CD 得到平面1A BD 平面11B CD ，得到证明.（2）建立空间直角坐标系，确定平面11A BCD 的一个法向量为()10,1,1n =，得到1a =，再确定法向量，再根据距离的向量公式计算得到答案.【详解】（1）11BD B D ∥，BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ，故BD 平面11B CD ；同理可得：1A B 平面11B CD ；1A B BD B ⋂=，且1,A B BD ⊂平面1A BD ，故平面1A BD 平面11B CD ；CP ⊂11B CD ，故CP 平面1A BD ；（2）如图所示：以1,,DA DC DD 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()12,0,2A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，设(),,2P a a ，[]0,2a ∈，()0,0,0D ，设平面11A BCD 的法向量为()1,,n m n p = ，则11120220n CB m n A B n p ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1n =得到()10,1,1n =，()2,2,2BP a a =-- ，BP 与平面11A BCD 所成的角正弦值为：111cos ,n BP n BP n BP⋅==⋅1a =或3a =-（舍），设平面1A BP 的法向量为()2,,n x y z =u u r ，则21212200n A B y z n A P x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =得到()21,1,1=n ，则点D 到平面1A BP的距离223DB n d n ⋅==.20．甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试.每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀.两位同学的测试成绩如下表：次数同学第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次甲807882869593—乙76818085899694(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率；(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布列及数学期望EX ；(3)从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，设Y 表示这3次测试成绩达到优秀的次数，试判断数学期望EY 与（2）中EX 的大小.（结论不要求证明）【正确答案】(1)413(2)X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.(3)()()E X E Y >【分析】（1）根据表格中的数据，代入古典概型的概率计算公式即可求解；（2）根据题意先求出所有X 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，列出分布列并计算出期望即可求解；（3）根据题意先求出所有Y 的可能取值，然后分别求出每一个值对应的概率，计算出期望与（2）中期望即可求解；【详解】（1）由题意可知：甲、乙两名同学共进行的13次测试中，测试成绩超过90分的共4次，由古典概型的概率计算公式可得413P =，所以从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率413P =.（2）由题意可知：从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，这4次测试成绩达到优秀的次数X 的可能取值为1，2，3，则313346C C 131(1)C 155P X ⨯====；223346C C 333(2)C 155P X ⨯====；313346C C 131(3)C 155P X ⨯====，所以X 的分布列为X123P153515所以13110()12325555E X =⨯+⨯+⨯==.（3）由题意可知：从乙同学进行的7次测试中随机选取3次，这3次测试成绩达到优秀的次数Y 的可能取值为0，1，2，3，则303437C C 111(0)C 3535P Y ⨯====；213437C C 3412(1)C 3535P Y ⨯====；123437C C 3618(2)C 3535P Y ⨯====；033437C C 144(3)C 3535P Y ⨯====；所以Y 的分布列为Y123P13512351835435所以11218412()0123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯，()()E X E Y >.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为1(1,0)F -，其左顶点为A，上顶点为B ，且1F 到直线AB 的距离为||7OB （O 为坐标原点）．(1)求C 的方程；(2)若椭圆2222:(01)x y E a bλλλ+=>≠且，则称椭圆E 为椭圆C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆E 是椭圆C 的3倍相似椭圆，直线:l y kx m =+与椭圆C ，E 交于四点（依次为M ，N ，P ，Q ，如图），且2PQ NQ MQ +=，证明：点(,)T k m 在定曲线上．【正确答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析.【分析】（1）由已知条件推导出2227(1)a b a +=-，221b a =-，由此能求出椭圆C 的方程．（2）分别联立直线与椭圆C 、椭圆E 的方程消元，可证明线段NP 、MQ 中点相同，然后结合2PQ NQ MQ +=可得3MQ PN =，由此可证明.【详解】（1）()(),0,0,A a B b - ，∴直线AB 的方程为1x ya b+=-，即0bx ay ab -+=，1(1,0)F ∴-到直线AB 的距离为d =，2227(1)a b a ∴+=-，又221b a =-，解得2a =，b =∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）椭圆C 的3倍相似椭圆E 的方程为221129x y +=，设N ，P ，M ，Q 各点坐标依次为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，4(x ，4)y ，将y kx m =+代入椭圆C 方程，得：222(34)84120k x kmx m +++-=，∴222221(8)4(34)(412)48(43)0km k m k m ∆=-+-=+->，(*)122834km x x k +=-+，212241234m x x k -=+，12x x ∴-=将y kx m =+代入椭圆E 的方程得222(34)84360k x kmx m +++-=，342834km x x k ∴+=-+，234243634m x x k -=+，34x x -=1234x x x x ∴+=+，∴线段NP ，MQ 中点相同，MN PQ ∴=，由2PQ NQ MQ += 可得NM PN =，3P MQ N ∴=，所以3412||3||x x x x -=-，3=化简得221294k m +=，满足(*)式，∴2244193m k -=，即点(,)k m 在定曲线2244193y x -=上．22．已知函数()ln f x x =，2()(0)g x x ax a =->.（1）讨论函数()()()h x f x g x =+的极值点；（2）若()1212,x x x x <是方程3()1()0g x f x x x-+=的两个不同的正实根，证明.22124x x a +>【正确答案】（1）当a ∈，()h x 无极值点；当)a ∈+∞，()h x 的极大值点为4a ，（2）证明见解析.【分析】（1）令2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，对()h x 求导后按判别式分类讨论求极值点；（2）通过层层分析和转化，将要证的不等式“22124x x a +>”最终转化为：“求证：当1x >时，12ln 0x x x-+<”.【详解】（1）2()()()ln h x f x g x x x ax =+=+-，函数()h x 的定义域为(0,)+∞，2121()2x ax h x x a x x-+'=+-=，28a ∆=-，①当a ∈，即0∆≤时，()0h x '≥恒成立，所以函数()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值点；②当)a ∈+∞，即0∆>时，方程2210x ax -+=有两个根3x ，4x ，解得34a x =，44a x +=且340x x <<，当0,4a x ⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当x ⎫⎪⎪⎝⎭∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0h x '>，函数()h x 单调递增.所以，函数()h x（2）方程3()1()0g x f x x x-+=即方程2ln 0a x x +=，设2()ln a k x x x =+，(0,0)x a >>233122()a x a k x x x x-'=-=，(0)a >∴()k x在上递减，在)+∞上递增，依题意知()k x 有两个零点，∴0k <，即02a a <，解得102e a <<，且121222ln 0ln 0a x x a x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得212212ln ln a a x x x x -=-，设21(1)x t t x =>，∴22211ln a a t x t x =-，∴21211ln a x t t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，要证明22124x x a +>，只需证()22114t x a +>，只需证()221114ln a t a t t ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证()22211112ln t tt ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，只需证22212ln 0t t t -+<，记1()2ln (1)q x x x x x =-+>，22221(1)()10(1)x q x x x x x -'=--=-<>，∴()q x 在(1,)+∞上递减，∴()(1)0q x q <=∴12ln 0x x x -+<，故22212ln 0t t t-+<，即22124x x a +>.思路点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷(理科)
2020年东北三省四市暨沈阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的•_ 21. （5 分）已知集合 A {x Z|x, 4} , B {x| 4 x 2}，则A |B （）A .B {x| 2, x 2} B . B {x| 4 x, 2}C . { 2 ,1 , 0, 1, 2} D . {2 , 1 , 0,1}2. （ 5分）已知复数z （a i ）（1 2i ）（a R ）的实部为3，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部 为（）A . 1B.i C . 1 D . i3. （ 5分）已知双曲线 2x C:—2y_ 1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ )22A . 2B .2C . 1D.-24. （ 5分）风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图 通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、 塔正六边形的正射影，其正六边形 的边长计算方法如下：ABA 0B 0 B 0B 1 , A 2B 2ARB^2,A 3B 3 A 2B 2B 2B 3 ,A nB n ArnB n 1 B n 1 B n ，其中 B n 1 B n B 2 B 3 B B 2 B 0 B 1 , n N* •根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中，横向梁所用木料与正六 边形的周长有关•某一风雨桥亭、塔共 5层，若A 0B 0 8m , B 0B 0.5m ，则这五层正六边形的周长总和为（）C. 210mD. 270mA . 35mB . 45m5. （5分）已知直线m , n和平面,，有如下四个命题:①若m , m// ，则②若m,m/ /n , n ，贝U;③若n,n, m ，贝U m ;④若m ,m n ，贝U n / / .其中真命题的个数是（ ）C . 36. （ 5分）已知正方体 ABCD A i B i C i D i , O 为底面ABCD 的中心, CC i 的中点，则异面直线 B i M 与ON 所成角的余弦值为（）（5分）某一项针对我国《义务教育数学课程标准》的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图， 由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（ ）学段 内容主题 第一学段（i 3 年级） 第二阶段（4 6 年级） 第三学段（7 9年级） 合计数与代数 2i 28 49 98 图形与几何 i8 25 87 i30 统计与概率 3 8 11 22 综合与实践343ioN 分别为棱A i D i ，7.(5 分）函数 x f (x) cos2向左平移 —个单位3向右平移 —个单位3io 5C 」53sin X ，若要得到奇函数的图象，可以将函数2B •向左平移—个单位2 5 i5f （x ）的图象（第4页（共23页）A •除了 “综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图 形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5倍B •在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占 50%，“综合与实践”内容最少， 约占4%C •第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D •“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少， “图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长分）定义在 R 上的偶函数 f （x ）满足：对任意的 X 1 , X 2 f (X)](X 2 X ) 0，则()10 3f(0.3 ) f(2 . ) f (log 2 0.2)有且只有三项，则 的取值范围为（ ）12 • （5 分）设椭圆的左右焦点为 R , F 2,焦距为2c ,过点R 的直线与椭圆C 交于点P , Q , 4若|PF 2 | 2c ，且I PF 1 I - | QF 1 |，则椭圆C 的离心率为（3、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分 第3页（共[0 , )(X 1 X 2)，有0 3 f (log 2 0.2) f(2 .)1f (0.3 )1f (log 2 0.2) f (0.3 )f(2 03)1f (0.3 ) f (log 2 0.2)0.3f(2)10. （ 5分）给定两个长度为的平面向量 uuu uuuOA 和OB ，它们的夹角为 120 .如图所示，点C 在以O 为圆心2为半径的圆弧AB 上运动, uuu ULUI则CBgCA 的最小值为（C .11 • （5分）若数列佝｝满足a i3，且ana n 12）n （n …2）,若使不等式|an |,成立的寻A ・["，35)B • (|，?]，61]第6页（共23页）23页）13. （5分）二项式（a X 1）6的展开式中，常数项与第五项的系数之比为4，则a的值J x为___ .14. （5分）甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为______.X 315. （5分）已知函数f（x）满足f（—） x 2x,则曲线y f（x）在点（1 , f （1））处的切2线方程为____ .16. （5分）在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形，AB 2 , PAD为等边三角形，线段BC的中点为E，若PE 1，则此四棱锥的外接球的表面积为 _________ .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 . （12分）在ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , c ,且2 2 25（sin B sin C） 8sinBsinC 5sin A .（I）求tan A的值；（n）若ABC为锐角三角形，求tan Bta nC的最小值.18. （12分）随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注•一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果. 如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50名学生的统计数据.（I）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（H）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3名学生.求抽到成绩不够优秀的学生人数的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）参考附表：第8页（共23页）。
辽宁省2020年高考数学三模试卷(理科)D卷(新版)
辽宁省2020年高考数学三模试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知集合M=，则M∩P等于（）A . {x|0＜x≤3，x∈Z}B . {x|0≤x≤3，x∈Z}C . {x|﹣1≤x≤0，x∈Z}D . {x|﹣1≤x＜0，x∈Z}2. （2分） (2018高二下·巨鹿期末) 已知( 为虚数单位),则复数（）A .B .C .D .3. （2分）若的定义域为，恒成立，，则解集为（）A .B .C .D .4. （2分）从1，2，3，4，5中任取三个数，则这三个数成递增的等差数列的概率为（）A .B .C .D .5. （2分）如果执行框图，输入N=5，则输出的数等于（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高二下·孝感期末) 已知双曲线﹣ =1（a＞0，b＞0）的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）A . y=±2xB .C .D .7. （2分）已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A .B .C . 1D . 28. （2分）已知A（2，1），O（0，0），点M（x，y）满足，则z=的最大值为（）A . -5B . -1C . 0D . 19. （2分）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f(x)=sinxcosx；②；③；④．其中“同簇函数”的是（）A . ①②B . ①④C . ②③D . ③④10. （2分）在二项式（ + ）n的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项不相邻的概率为（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高一上·珠海期末) 关于x的函数y=ax ， y=xa ， y=loga（x﹣1），其中a＞0，a≠1，在第一象限内的图象只可能是（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高二上·自贡期中) 以下对于几何体的描述，错误的是（）A . 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球B . 一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫做圆锥C . 用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台D . 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱二、填空题： (共4题；共5分)13. （2分）(2019·北京模拟) 已知平面向量的夹角为 ,且满足则________；________.14. （1分） (2019高一下·鹤岗期中) 在数列中，，，则数列的通项 ________．15. （1分）若点P（x，y）是曲线上任意一点，则的最小值为________．16. （1分） (2020高二上·汪清期中) 的内角、、的对边分别为、、，已知，，，则 ________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2017高一下·怀仁期末) 已知等差数列的公差，它的前项和为，若，且成等比数列．（1）求数列的通项公式及前项和；（2）令，求数列的前项和．18. （15分）(2020·新课标Ⅱ·理) 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(xi ， yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得，，，， .（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(xi ， yi)(i=1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r= ， =1.414.19. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，且PD=AD= AB，E为PC的中点．（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；（2）求二面角D﹣BE﹣C得余弦值的绝对值．20. （10分） (2015高二上·滨州期末) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），点M（﹣2，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知斜率为k的直线l过椭圆C的右焦点F2 ，与椭圆C相交于A，B两点．①若|AB|= ，求直线l的方程；②设点P（，0），证明：• 为定值，并求出该定值．21. （5分）(2017·临沂模拟) 已知函数f（x）= ．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）若不等式f（x）＞恒成立，求整数k的最大值；（III）求证：（1+1×2）•（1+2×3）…（1+n（n×1））＞e2n﹣3（n∈N*）．22. （5分） (2017高三下·黑龙江开学考) 如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．23. （5分）(2017·湖北模拟) 已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ=ρ（ρ≥0，0≤θ≤2π）．（Ⅰ）当时，求直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与曲线C相交A，B两点．求证：是定值．24. （10分） (2018·河南模拟) 已知函数， . （1）解不等式；（2）对于，使得成立，求的取值范围.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、22-1、23-1、24-1、24-2、。