湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(一)数学(理)试题答案
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考(五)数学(理) 含答案
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2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(三)数学(理)试题含答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（三）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1．已知{}{}(31)222log ,1x A x y B y x y -===+=，则A B =A ．1(0,)3B ．1[2,)3-C ．1(,2]3D ．1(,2)32．若2210()cos 2x a dx xdx π-=⎰⎰，则a 等于 A ．1- B ．1 C ．2 D ．43．命题“*x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ． *x R n N ∀∈∃∈，，使得2n x <B ． *x R n N ∀∈∀∈，，使得2n x <C ． *x R n N ∃∈∃∈，，使得2n x <D ． *x R n N ∃∈∀∈，，使得2n x <4．函数()2ln f x x =的图象与函数()245g x x x =-+的图象的交点个数为( ) A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 05．设D 为ABC ∆所在平面内一点，若3BC CD =，则下列关系中正确的是（ ）A ． 1433AD AB AC =-+ B ． 1433AD AB AC =- C ． 4133AD AB AC =+ D ． 431-3AD A AC B = 6．已知，，，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．B ．C ．D ．7．甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老实说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩8．设函数的图象为，下面结论中正确的是（）A．函数的最小正周期是B．图象关于点对称C．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D．函数在区间上是增函数9．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A． B． C． D．10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A． B． C． D．11．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于( )A．6 B．7 C．8 D．912．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（）A． [–1，0） B． [0，+∞） C． [–1，+∞） D． [1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．曲线在点处的切线的斜率为，则________.14．已知,x y 满足30350 30x y x y x -+≤⎧⎪++≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最大值是__________.15．若,则____________.16．已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．三、解答题：共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a=7，b=8，cosB= – ．（1）求∠A ；（2）求AC 边上的高．18．（本小题满分12分）已知函数()()2cos sin cos 1f x x x x x R =-+∈，．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值． 19．（本小题满分12分）已知为等差数列的前项和，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC −中，平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为，AC ，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC ⊥平面BEF ；（2）求二面角B −CD −C 1的余弦值；21．（本小题满分12分）设函数()1ln x xbe f x ae x x -=+,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求,a b ；(2)证明: ()1f x >.选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为（t 为参数），直线l 2的参数方程为.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（1）写出C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M 为l 3与C 的交点，求M的极径.23（本小题满分10分）．已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.高三年级数学（理科）答案一、选择题（12x5）二、填空题（4x5）13. -3 14. 514. 16. 36π三、解答题（70分）17（12分）．解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–，∴B ∈（，π），∴sin B =．由正弦定（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A ==．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =，∴h ==，∴AC 边上的高为．18（12分）．（Ⅰ）解： ()()π2cos sin cos 1sin2cos224f x x x x x x x ⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭． 因此，函数()f x 的最小正周期为π．（Ⅱ）因为()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间π3π88⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为增函数， 在区间3π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上为减函数，又π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 3π3πππ14244f ⎛⎫⎛⎫=-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，1-．19（12分）．（1）设等差数列的公差为，则由已知，得，解得,故；（2）由已知可得，．20．（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．（1）求证：AC⊥平面BEF；（2）求二面角B−CD−C1的余弦值；解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E， F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．（Ⅱ）由（I）知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1．又CC1⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC．∵BE平面ABC，∴EF⊥BE．如图建立空间直角坐称系E-xyz．由题意得B（0，2，0），C（-1，0，0），D（1，0，1），F（0，0，2），G（0，2，1）．∴，设平面BCD 的法向量为，∴，∴，令a =2，则b =-1，c =-4，∴平面BCD 的法向量，又∵平面CDC 1的法向量为，∴．由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为．21．（12分）试题解析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()112'ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--=+-+. 由题意可得()12f =， ()'1f e =.故1a =， 2b =.（2）证明：由（1）知， ()12ln x x f x e x e x -=+， 从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->-. 设函数()ln g x x x =，则()'1ln g x x =+. 所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ()'0g x <；当1,x e⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时， ()'0g x >. 故()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减， 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而()g x 在()0,+∞上的最小值为11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 设函数()2x h x xe e-=-，则()()'1x h x e x -=-. 所以当()0,1x ∈时， ()'0h x >；当()1,x ∈+∞时， ()'0h x <.故()h x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，从而()h x 在()0,+∞上的最大值为()11h e=-. 综上，当0x >时， ()()g x h x >，即()1f x >.22（10分）．（1）消去参数得的普通方程；消去参数m 得l 2的普通方程.设,由题设得，消去k 得.所以C的普通方程为.（2）C的极坐标方程为.联立得.故，从而.代入得，所以交点M的极径为. 23．（10分）解：（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值范围为．。
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考(五)数学(理)试题含答案
2019-2019学年度湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（五）数学（理科）全卷满分150分，考试时间120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试卷和草稿纸上无效。
3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试卷和草稿纸上无效。
考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，只需上交答题卡。
第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,5M =，{}4,5N =，则()U C M N ⋃等于 A. {}1,3,5 B. {}2,4,6 C. {}1,5 D. {}1,62.已知⎩⎨⎧<+≥-=）（，）（，6)2(65)(x x f x x x f ，则)3(f =A ．5B .4C ．3D . 2 3.下面四组函数中， ()f x 与()g x 表示同一个函数的是A. (),f x x = ()2g x =B. ()2,f x x = ()22x g x x=C. (),f x x = ()g x =(),f x x = ()g x =4.“()2log 231x -<”是“48x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5.函数()1322x f x x =+-的零点所在的一个区间是 A. (－2，－1) B. (－1，0) C. (0，1) D. (1，2)6.已知函数()f x 的定义域为[]0,4，则函数()21y f x =-+的定义域为 13A ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ． []C 2,6-． 31,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．7.已知函数()()()351{2(1)a x x f x ax x-+≤=>是R 上的减函数，则a 的取值范围是A. ()0,3B. (]0,3C. ()0,2D. (]0,28.函数y =的值域是A. [)0,+∞B. []0,5C. [)0,5D. ()0,59.已知()f x 是R 上的偶函数，且在(],0-∞上是减函数，若()30f =，则不等式()()0f x f x x+-<的解集是A.()(),33,-∞-⋃+∞B.()()3,03,-⋃+∞C.()(),30,3-∞-⋃D.()()3,00,3-⋃10.已知函数()()32f x x =+，则()1ln2ln 2f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭A. -2B. 0C. 2D. 411.已知函数x 4f(x)=x+,g(x)=2+a x，若[]121,1,2,3,2x x ⎡⎤∀∈∃∈⎢⎥⎣⎦使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是A. (－∞，1]B. [1，＋∞)C. (－∞，2]D. [2，＋∞) 12.设方程 23x x +-=0的根为α,方程2log 3x x +-=0的根为β,则αβ+= A. 1 B. 2 C. 3 D. 6二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知集合{|34,}A x x x R =-<<∈，则*A N ⋂中元素的个数为14.设函数()()21ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围为15.若函数()21x f x m =--有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是16.定义在R 上的函数()f x 对任意的实数,x y 满足()()()2f x y f x f y x y +=++，(1)2f =，则(3)f =三．解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡上）17.已知集合A={x|x2﹣3x+2＜0}，B={x|a ﹣1＜x ＜3a+1}．（1）当14a =时，求A∩B；（2）命题p ：x∈A，命题q ：x∈B，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．18.计算：（1）()10.53225270.13964π--⎛⎫⎛⎫++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）82715lg lg lg12.5log 9log 828-+-⋅.19.已知函数()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数，且()10f =.（1）求,a b 的值； （2）求函数()()1g x f x =-在[]0,3上的值域.20.定义在实数集上的函数231(),()23f x x x g x x x m =+=-+.⑴求函数()f x 的图象在1x =处的切线方程;⑵若()()f x g x ≥对任意的[4,4]x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围. 21.已知()f x 是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足()()()(),21f xy f x f y f =+=．(1)求()8f 的值；(2)求不等式()()23f x f x -->的解集．22.已知定义在R 上的函数满足：()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x <.（1）求证：()f x 为奇函数； （2）求证：()f x 为R 上的增函数；（3）解关于x 的不等式：)2()()2()(22a f x a f x f ax f ->-.（其中0a >且a 为常数）.月考理数答案选择题D D C A C DDCCD AC 填空题 3113x << ()0,1 12 17.（1）A={x|x 2﹣3x+2＜0}=（1，2），B={x|a ﹣1＜x ＜3a+1}=（﹣，），∴A∩B=（1，），（2）根据条件知，若x ∈A ，则x ∈B ，q 是p 的必要条件 ∴A ⊆B ；∴， 解得≤a≤2， 故a 的取值范围为[，2]18.（1）100；（2）13. 19.（1）()()220f x ax bx a =-+≠是偶函数 0b ∴= 又()10f = 20a ∴+= 2,0.a b ∴=-=（2）由（1）知，()222f x x =-+()()()[]21212,0,3g x f x x x ∴=-=--+∈，即函数()g x 在[]0,1上单调递增，在[]1,3上单调递减．当1x =时，有()()max 12g x g ==； 当3x =时，有()()min 36g x g ==-． ∴函数()g x 在[]0,3上的值域为[]6,2-.20.⑴∵2()f x x x =+,当1x =时，(1)2f = ∵'()21'(1)3f x x f =+⇒=∴所求切线方程为23(1)310y x x y -=-⇒--=. -------- .(4分) ⑵令321()()()3'()(3)(1)3h x g x f x x x x m h x x x =-=--+⇒=-+ ∴当41x -<<-时，'()0h x >；当13x -<<时，'()0h x <；当34x <<时，'()0h x >；--8分要使()()f x g x ≥恒成立，即max ()0h x ≤.由上知()h x 的最大值在1x =-或4x =取得.而52055(1),(4)03333h m h m m m -=+=-⇒+≤⇒≤- ∴实数m 的取值范围5(,]3-∞-. ---------------------------------- 12分21.解：(1)由题意得f(8)＝f(4×2)＝f(4)＋f(2)＝f(2×2)＋f(2)＝f(2)＋f(2)＋f(2)＝3f(2) 又∵f(2)＝1，∴f(8)＝3； (2)不等式化为f(x)＞f(x －2)＋3∵f(8)＝3，∴f(x)＞f(x －2)＋f(8)＝f(8x －16) ∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，∴()()820{82x x x ->>-，解得162,7x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.22.（1）由()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，得：(0)(0)(0)f f f =+，即(0)0f =.再令0x y +=，即y x =-，得： (0)()()f f x f x =+-.∴()()f x f x -=-，∴()f x 是奇函数.（2）设12x x R ∈、，且12x x <，则120x x -<.由已知得：12()0f x x -<， ∴121212()()()()()0f x x f x f x f x f x -=+-=-<，∴12()()f x f x <. 即()f x 在R 上是增函数.（3）∵)2()()2()(22a f x a f x f ax f ->-，∴22(2)(2)f ax a f a x x +>+，∴2222ax a a x x +>+.即22(2)20ax a x a -++>. ∵0a >，22()20x a x a -++>，∴2()()0x x a a-->.当2a a <，即a >2{|x x a <或}x a >.当2a a =，即a ={|x x ≠.当2a a >，即0a <<时，不等式解集为{|x x a <或2}x a>.。
炎德英才大联考2019届长沙一中高三月考理数(答案)
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三#解答题
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湖南省长郡中学2019届高三上学期第一次月考(开学考试)数学(理)试题 含答案
长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设复数121iz i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x =<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ）A ．{}2,4B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ） A ．12 B ．12- C. 22 D 35.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A B 32 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2y x a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A ．56千瓦·时B ．62千瓦·时 C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时7.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积为（ ）A ．5003π B ．23 C.1253π D ．12523 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．3-12D 39.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ） A ．3(,)2+∞ B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2 D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ．14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考(七)数学(理)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（七）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，若，则，即，故选A．2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D. 【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.设，，若函数为奇函数，则的解析式可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，则，代入，得为奇函数，满足题意，故选B.考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.5.如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.6.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为高为长方体，卯为底面半径为，高为的中空的圆柱体，设表面积为，侧面积为，上下底面积的和为，则有，故选B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理—榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考(七)数学(理)试题(解析版)
雅礼中学2019届高三月考试卷（七）数学（理科）命题人：雅礼中学高三数学备课组审题人：雅礼中学高三数学备课组注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，.若，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，若，则，即，故选A．2.设为虚数单位，复数满足，则共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件求出复数，然后再求出共轭复数，从而可得其虚部．【详解】∵，∴，∴，∴复数的虚部为．故选C．【点睛】本题考查复数的乘除法的运算及共轭复数的概念，其中正确求出复数是解题的关键，对于复数的运算，解题时一定要按照相关的运算法则求解，特别是在乘除运算中一定不要忘了．3.某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2015年相比，2018年一本达线人数减少B. 与2015年相比，2018年二本达线人数增加了倍C. 2015年与2018年艺体达线人数相同D. 与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加【答案】D【解析】【分析】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算得到答案.【详解】设2015年该校参加高考的人数为，则2018年该校参加高考的人数为.对于选项A.2015年一本达线人数为.2018年一本达线人数为，可见一本达线人数增加了，故选项A错误；对于选项B，2015年二本达线人数为，2018年二本达线人数为，显然2018年二本达线人数不是增加了0.5倍，故选项B错误；对于选项C，2015年和2018年.艺体达线率没变，但是人数是不相同的，故选项C错误；对于选项D，2015年不上线人数为.2018年不上线人数为.不达线人数有所增加.故选D.【点睛】本题考查了柱状统计图以及用样本估计总体，观察柱状统计图，找出各数据，再利用各数量间的关系列式计算是解题的关键．4.设，，若函数为奇函数，则的解析式可以为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：，则，代入，得为奇函数，满足题意，故选B.考点：（1）函数的奇偶性；（2）定积分的计算.5.如图所示，在中，点在线段上，且，若，则（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】分析：从A点开始沿着三角形的边转到D，则把要求的向量表示成两个向量的和，把写成的实数倍，从而得到，从而确定出，最后求得结果.详解：，所以，从而求得，故选B.点睛：该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，求得结果.6.榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为高为长方体，卯为底面半径为，高为的中空的圆柱体，设表面积为，侧面积为，上下底面积的和为，则有，故选B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理—榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。
配套K12湖南省长沙市雅礼中学2019届高三数学上学期月考试题二 理
雅礼中学2019届高三月考试卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是合题目要求的1．已知集合{}{}220,lg(1)A x x x B x y x =-<==-，则AUB ＝A ．(0,)+∞B ．(1,2)C ．(2, +∞)D ．（-∞，0） 2．设x ，y 是两个实数，则“x ，y 中至少有一个数大于1”是“x 2＋y 2＞2”成 立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件 3．已知直线m ，n 和平面a ，B 满足m ⊥n ，m ⊥α，a⊥β，则A ．n ⊥βB ．n ∥αC ．n ∥β或n β⊂D ．n ∥α或n α⊂ 4．△ABC 中，点D 在AB 上，满足2AD DB =．若,CB a CA b ==，则CD = A ．1233a b +B ．2133a b +C ．3455a b +D ．4355a b +5．设lg a e =，2(lg )b e =，lg c =A ． a >b >cB ．a >c >bC ． c >a >bD ． c >b >a6，现有四个函数：①sin y x x =，②cos y x x =，③cos y x x =，④2xy x =⋅的 图像（部分）如下，但顺序打乱了，则按照从左到右将图象对应的序号排列正确的组是A ．①③②④B ．②①③④C ．③①④②D ．①④②③7．数列{}n a 满足：a 1＝1，a 2＝－1，a 3＝－2，a n ＋2＝a n+1－a n （n N ∈），则数列{}n a 的前2019项的和为A ．1B ．—2C ．-1514D ．-1516 8．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是 A．[1,1-+ B．[1-+ C．[1- D．[1- 9．若sin ,(0,),()cos ,x x aa f x x x aπ>⎧∈=⎨≤⎩的图像关于点（a ，0）对称，则f (2a )=A ．1-B ．12-C ．0 D．2-10．已知圆O 的半径为2，A ，B 是四上两点且∠AOB 23π=，MN 是一条直径点C 在圆内且满足(1)(01)OC OA OB λλλ=+-<<，则CM CN ⋅的最小值为A ．-3 B．．0 D ．2 11．正三棱锥S －ABC 的外接球半径为2，底边长AB ＝3，则此棱锥的体积为 AB或4C12．已知函数(),()ln(2)4x aa x f x x eg x x e --=+=+-，其中e 为自然对数的底数，若存在实数x 0，使得00()()3f x g x -=成立，则实数a 的值为A ．ln 21--B ．ln21-C ．ln 2-D ． l n 2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知实数x ，y ，z 满足102400x y x y x -+≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩，则z ＝x ＋2y 的最小值为___________。
2020年高考理科数学之高频考点解密19 椭圆(解析版)
解密19 椭圆考点1 椭圆的定义与标准方程调研1 对于常数m 、n ，“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆，则有0,0,m n m n >>≠，所以“0mn >”是“方程221mx ny +=表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故选B ．调研2 过椭圆2222:1(0)+=>>x y C a b a b的上顶点与右顶点的直线方程为240+-=x y ，则椭圆C 的标准方程为A ．221164+=x yB ．221204+=x yC ．221248+=x yD ．221328+=x y【答案】A【解析】直线方程为240+-=x y ，令x =0，则y =2，得到椭圆的上顶点坐标为（0，2），即b =2， 令y =0，则x =4，得到椭圆的右顶点坐标为（4，0），即a =4，从而得到椭圆方程为221164+=x y ，故选A ． 调研3 椭圆x 24+y 2t=1上任意一点到其中一个焦点的距离恒大于1，则t 的取值范围为________________．【答案】(3，4)∪(4，254) 【解析】当t >4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在y 轴上的椭圆，则a =√t ，b =2，c =√t −4，由题意可得a −c =√t −√t −4>1，解得4<t <254；当0<t <4时，椭圆x 24+y 2t=1表示焦点在x 轴上的椭圆，则a =2，b =√t ，c =√4−t ，由题意可得a −c =2−√t −4>1，解得3<t <4；综上可知，实数t 的取值范围是(3，4)∪(4，254)．☆技巧点拨☆求椭圆的方程有两种方法：（1）定义法，根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程．（2）待定系数法，这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：①做判断，根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能（这时需要分类讨论）；②设方程，根据上述判断设方程为22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b+=>>；③找关系，根据已知条件，建立关于,,a b c 的方程组（注意椭圆中固有的等式关系222c a b =－）；④得椭圆方程，解方程组，将解代入所设方程即可． 【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为22100()mx ny m n m n >>+≠＝，且．考点2 椭圆的简单几何性质调研1 椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的长轴两端点为(−4，0)，(4，0)，离心率为12，则短轴长为 A ．8 B ．4 C ．4√3 D ．2√3【答案】C【解析】由椭圆的性质得a =4，e =ca =12，则c =2， 又b 2=a 2−c 2=16−4=12，即b =2√3， 所以短轴长为2b =4√3．故选C ． 调研2 已知椭圆C ：x 236+y 227=1的右焦点为F ，点P(1，3)，若点Q 是椭圆C 上的动点，则ΔPQF 周长的最大值为 A ．2√13 B ．17 C ．30 D ．17+√13【答案】D【解析】设椭圆C 的左焦点为F ′，则△PQF 的周长l =|QF |+|QP |+|PF |=2a −|QF ′|+|QP |+|PF |≤2a +|PF ′|+|PF |=12+5+√13=17+√13，当点Q 为PF ′的延长线与椭圆C 的交点时取等号，故选D ．调研3 若椭圆2214x y m+=上一点到两焦点的距离之和为3m -，则此椭圆的离心率为A B 7C ．7D ．37或59【答案】A【解析】由题意得，230a m =->，即3m >，若24a =，即2a =，则34m -=，74m =>，不合题意，因此2a m =，即a =3m =-，解得9m =，即3a =，c ==离心率为e =．故选A ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆的定义、方程、离心率等有关方面的知识与运算技能，属于中低档题型，也是常考题．在解决此类问题时，要充分利用椭圆的定义，即椭圆上的点到两个定点（即两个焦点）的距离之和为定长（即长轴长2a ），在焦点位置不确定的情况，有必要分两种情况（其焦点在x 轴或是y 轴）进行讨论，从而解决问题．调研4 已知椭圆2222by a x +＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得12MF F △中，1221sin sin MF F MF F a c∠∠=，则该椭圆离心率的取值范围为A ．(0－1)B ．,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．0,2⎛ ⎝⎭D ．－1,1)【答案】D【解析】由正弦定理可得：122112sin sin MF MF MF F MF F =∠∠，结合题意可得12MF MF ca=，所以1212MF MF MF MF caa c+==+，根据椭圆的定义可得122MF MF a +=，所以12acMF a c=+，222a MF a c=+，易知21MF MF >.因为M 为椭圆上一点，所以2a c MF a c -<<+，即22a a c a c a c-<<++，整理得2220c ac a +->，所以2210e e +->11e <<. 故选D ．☆技巧点拨☆1．利用椭圆几何性质解题时的注意点及技巧：（1）注意椭圆几何性质中的不等关系，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系；（2）利用椭圆几何性质的技巧：求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系．2．求椭圆离心率问题的一般思路：求椭圆离心率或其范围时，一般是根据题意设出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2，消去b 即可求得离心率或离心率的范围．考点3 直线与椭圆的位置关系调研1 已知椭圆C ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左、右顶点分别为M ，N ，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，△AF 1B 的周长为AM 与AN 的斜率之积为－23，则椭圆C 的标准方程为A ．22=1128x y + B ．22=1124x y + C ．22=132x y + D ．22=13x y + 【答案】C【解析】由△AF 1B 的周长为，可知1212|||||4|||AF AF BF BF a +++==，解得a =(M N ，设点00(,)A x y ，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，=23-，即22002(3)3y x =--①．又2200213x y b +=，所以22200(1)3x y b =-②，由①②解得22b =，所以椭圆C的标准方程为22132x y +=．故选C ． 【名师点睛】此题主要考查椭圆方程，由椭圆定义可得出焦半径的性质，由椭圆上的点和顶点连线的斜率乘积可得出关系式，考查了斜率的坐标表示以及点在椭圆方程上的灵活应用，属于中档题型，也是常考考点．数形结合法是数学解题中常用的思想方法之一，通过“以形助数，以数解形”，根据数列与形之间的对应关系，相互转化来解决问题．调研2 过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线与椭圆22221(0)+=>>x y a b a b相交于A ，B 两点，若=u u u v u u u v AP PB ，则该椭圆的离心率为 A ．12 B．2 C．3D．3【答案】C【解析】设()()1122，，，A x y B x y ，=Q u u u v u u u vAP PB ，∴P 是线段AB 的中点，则1232+=x x ，1212+=y y ，过点()31，P 且倾斜角为3π4的直线方程为()13-=--y x ，即4=-+y x ，联立直线与椭圆方程22221(0)+=>>x y a b a b 得222241⎧⎪⎪-+⎨=⎩+=y x x y ab ，整理得()22222228160+-+-=a b x a x a a b ， 212228∴+=+a x x a b ，()212122288+=-++=+b y y x x a b， 代入1232+=x x 得223，=a b则椭圆的离心率3=====c e a ．故选C ．调研3 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，短轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点N(0，2)作两条直线，分别交椭圆C 于A ，B 两点（异于N 点）．当直线NA ，NB 的斜率之和为定值t(t ≠0)时，直线AB 是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【解析】（1）由题意知ca =√22，2b =4，a 2−c 2=b 2，解得a =2√2，b =2，c =2， 所以椭圆方程为x 28+y 24=1．（2）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 方程为y =kx +m(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 由k NA +k KB =t ，得kx 1+m−2x 1+kx 2+m−2x 2=t ，整理得2kx 1x 2+(m −2)(x 1+x 2)=tx 1x 2 (∗)，联立{y =kx +m x 2+2y 2=8，消去y 得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 由题意知二次方程有两个不等实根，∴x 1+x 2=−4km1+2k 2，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，代入(∗)得2k(2m 2−8)1+2k 2−4km(m−2)1+2k 2=t(2m 2−8)1+2k 2，整理得(m −2)(4k −tm −2t)=0． ∵m ≠2，∴m =4k t−2，∴y =kx +4k t−2，即y +2=k(x +4t )．所以直线AB 过定点(−4t ，−2)．当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为x =x 0，A(x 0，y 1)，B(x 0，y 2)，其中y 2=−y 1． ∴y 1+y 2=0， 由k NA +k NB =t ，得y 1−2x 0+y 2−2x 0=y 1+y 2−4x 0=−4x 0=t ，∴x 0=−4t．∴当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 也过定点(−4t ，−2)． 综上所述，直线AB 恒过定点(−4t ，−2)．调研4 已知椭圆C ： 2222x y +=的左、右顶点分别为1A ，2A ． （1）求椭圆C 的长轴长与离心率；（2）若不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，直线1A P 与2A Q 交于点M ，直线1A Q 与2A P 交于点N ．求证：直线MN 垂直于x 轴．【思路分析】（1）由椭圆C 的方程可化为2212x y +=，可得1,1a b c ===，则长轴长为2a =，离心率2c e a ==；（2）设直线1A P 的方程为1(y k x =，2A Q 的方程为2(y k x =， 联立可得2121)M k k x k k +=-，同理可得4343)N k k x k k +=-，可证明1412k k =-且2312k k =-，从而可得N M x x =，进而可得结果．【解析】（1）椭圆C 的方程可化为2212x y +=，所以1,1a b c ===．所以长轴长为2a =，离心率c e a == （2）显然直线1A P 、2A Q 、1A Q 、2A P 都存在斜率，且互不相等，分别设为1234,,,.k k k k 设直线1A P的方程为1(y k x =，2A Q的方程为2(y k x =，联立可得)2121M k k x k k +=-．同理可得)4343N k k x k k +=-．下面证明141.2k k =-设()00,P x y ，则220022x y +=．所以22001422001222y y k k x y ====---．同理231.2k k =-所以1221211211(22)112)2N M k k k k x x k k k k --++===----，所以直线MN 垂直于x 轴． 【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法，根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．☆技巧点拨☆1．直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第20题的位置． 2．直线与椭圆综合问题的常见题型及解题策略（1）求椭圆方程或有关几何性质．可依据条件，寻找满足条件的关于a ，b ，c 的等式，解方程即可求得椭圆方程或椭圆有关几何性质．（2）关于弦长问题．一般是利用根与系数的关系、弦长公式求解．特别对于中点弦或弦的中点问题，一般利用点差法求解． 3．具体解题步骤：对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理．（1）设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式．（2）联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系．（3）一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k 2·|y 1－y 2|．1．（湖北省2019届高三1月联考）已知椭圆C ：y 2a 2+x 216=1(a >4)的离心率是√33，则椭圆C 的焦距为 A ．2√2 B ．2√6 C ．4√2 D ．4√6【答案】C【解析】由题可得e =c a =√33，则a =√3c ，所以c 2=a 2−b 2=3c 2−16，所以c 2=8，因此椭圆C 的焦距为2c =4√2．故选C ．2．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高三上学期第一次月考数学）“26m <<”是“方程22126x y m m+=--为椭圆”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程22126x ym m +=--表示椭圆，则206026->->-⎨⎩≠⎪-⎧⎪m m m m，解得26m <<且4m ≠， 所以26m <<是方程22126x y m m+=--表示椭圆的必要不充分条件，故选B ．3．（云南省玉溪市玉溪第一中学2019-2020学年高三上学期期中数学）已知1F ，2F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1PF PQ =，则椭圆的离心率为A B ．2-CD 1【答案】A【解析】设()10PF m m =>，则22PF a m =-，222QF m a =-，142QF a m =-，因为11QF =，故(4m a =-.因为222212124PF PF F F c +==，所以()()2224244a a a c ⎡⎤-+--=⎣⎦，整理得到2436c a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭c a ==故选A ．4．（黑龙江省双鸭山市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 的左、右焦点分别为12,,F F O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，12π2∠=F AF ，连接2AF y 交轴于M 点，若23OM OF =，则该椭圆的离心率为A ．13B ．3C ．58D 【答案】D【解析】设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n ． 如图所示，由题意可得：Rt △AF 1F 2∽Rt △OMF 2，∴122|||1|||||3==AF OM AF OF ．则m +n ＝2a ，m 2+n 2＝4c 2，n ＝3m ．化为：m 2223b =，n 2＝9m 2＝6b 2．∴223b +6b 2＝4c 2，∴()2253a c -=c 2，化为：c a =． 故选D ．5．（黑龙江省鹤岗市第一中学2019-2020学年高三上学期12月月考数学）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，直线l 过左焦点且倾斜角为π3，以椭圆的长轴为直径的圆截l 所得的弦长等于椭圆的焦距，则椭圆的离心率为 AB．5CD【答案】D【解析】由题意知，椭圆的左焦点为(),0c -，长轴长为2a ，焦距为2c ， 设直线l的方程为：)y x c =+0y -=， 则以椭圆长轴为直径的圆的圆心为()0,0，半径为a ，∴圆心到直线l的距离d ==，2c ∴==，整理得：2247c a =，∴椭圆的离心率为c a ==故选D.6．（安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，短轴的一个端点为P ，直线:430l x y -=与椭圆相交于A 、B 两点.若||||6AF BF +=，点P 到直线l 的距离不小于65，则椭圆离心率的取值范围为A ．9(0,]5B ．C ．(0,3D ．1(,]32【答案】C【解析】设椭圆的左焦点为F '，P 为短轴的上端点，连接,AF BF ''，如下图所示：由椭圆的对称性可知，,A B 关于原点对称，则||||=OA OB ， 又||||'=OF OF ，∴四边形AFBF '为平行四边形，||||'∴=AF BF ，又26AF BF BF BF a '+=+==，解得：3a =， 点P 到直线l 距离：3655b d -=≥，解得：2b ≥2=≥，0c ∴<≤，3c e a ⎛∴=∈ ⎝⎦. 故选C .7．（山东省淄博市实验中学2019-2020学年高三上学期第一次学习检测数学试题）已知12F F ，是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，线段1PF 的垂直平分线过2F ，若椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，则2122+e e 的最小值为 AB ．3C ．6D【答案】C 【解析】如图，设椭圆的长轴长为12a ，双曲线的实轴长为22a ， 由题意可知：1222F F F P c ==， 又1211222,2F P F P a F P F P a +=-=Q ，111222,22F P c a F P c a ∴+=-=，两式相减，可得：122a a c -=，22112122242222e a a a c c e c a ca ++=+=Q ， ()222222222122242842422222c a a c e ca a c a ce ca ca c a ++++∴+===++，22222a cc a +≥=Q ，当且仅当2222a c c a =时等号等立，2122∴+e e 的最小值为6， 故选C ．8．（甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高三上学期9月月考数学）已知椭圆221112211:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222222222:1(0,0)x y C a b a b -=>>有相同的焦点12,F F ，若点P 是1C 与2C 在第一象限内的交点，且1222F F PF =,设1C 与2C 的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是 A ．13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，D ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【答案】D【解析】如图所示：设椭圆与双曲线的焦距为122F F c =,1PF t =， 由题意可得122,2+=-=t c a t c a ，122,2t a c t a c ∴=-=+，1222a c a c ∴-=+，即12a a c -=，12111e e ∴-=，即2121e e e =+，2222122222211111e e e e e e e e e ∴-=-==++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由21e >可知2101e <<， 令21(0,1)x e =∈，2(0,2)y x x ∴=+∈， 所以2112e e ->，故选D ． 9．（福建省南安市侨光中学2020届高三上学期第一次阶段考数学）已知点M，0)，椭圆22+14x y =与直线y ＝k (x交于点A ，B ，则△ABM 的周长为________. 【答案】8【解析】直线(=+y k x 过定点N （）， 由题设知M 、N 是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN +AM =2a =4，BM +BN =2a =4．则△ABM 的周长为AB +BM +AM =（AN +BN ）+BM +AM =（AN +AM ）+（BN +BM ）=8， 故答案为8．10．（广东省雷州市2019届高三上学期期末考试）已知A 、B 分别为椭圆x 29+y 2b =1（0<b <3）的左、右顶点，P 、Q 是椭圆上的不同两点且关于x 轴对称，设直线AP 、BQ 的斜率分别为m 、n ，若点A 到直线y =√1−mnx 的距离为1，则该椭圆的离心率为________________．【答案】√24【解析】设P(x 0，y 0)，则Q(x 0，−y 0)，m =y 0x 0+3，n =−y 0x 0−3，∴mn =−y 02x2−9，又P(x 0，y 0)在椭圆x 29+y 2b 2=1上，∴y 02=−b 29(x 02−9)，∴mn =b 29，点A 到y =√1−mnx的距离为1===d ，解得b 2=638，c =2√2e =c3=√24．11．（河南省洛阳市2019届高三上学期尖子生第二次联考）某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a2+y 2b 2=1的离心率e >√32的概率是________________． 【答案】13 【解析】由椭圆x 2a 2+y 2b 2=1的离心率e >√32，可得当a >b 时，e =c a=√a2−b 2a>√32，即得a 2>4b 2；当a <b时，e =c b =√b 2−a 2b >√32，即得b 2>4a 2．同时掷两颗均匀正方形骰子得到的点数分别为a ，b ，共有6×6=36种情况，满足上述关系的有：(3，1)，(1，3)，(4，1)，(1，4)，(5，1)，(1，5)，(5，2)，(2，5)，（6，1），(1，6)，（6，2），(2，6)，共12种情况， 所以所求概率为1236=13．12．（四川省绵阳市2019届高三第二次诊断性考试）已知点P 是椭圆C ：x 29+y 2=1上的一个动点，点Q是圆E ：x 2+(y −4)2=3上的一个动点，则｜PQ ｜的最大值是________________． 【答案】4√3【解析】由圆E ：x 2+（y ﹣4）2＝3可得圆心为E （0，4），又点Q 在圆E 上，∴|PQ |≤|EP |+|EQ |＝|EP |+√3（当且仅当直线PQ 过点E 时取等号）． 设P （x 1，y 1）是椭圆C 上的任意一点，则x 129+y 12=1，即x 12=9−9y 12，∴|EP |2=x 12+(y 1−4)2=9−9y 12+(y 1−4)2=−8(y 1+12)2+27．∵y 1∈[−1，1]，∴当y 1＝﹣12时，|EP |2取得最大值27，即|PQ |≤3√3+√3=4√3， ∴|PQ |的最大值为4√3．13．（四川省眉山市2019-2020学年高三第二次诊断性考试数学）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为)F，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆内一点()0,P t ，斜率为k 的直线l 交椭圆于,M N 两点，设直线,OM PN （O 为坐标原点）的斜率分别为12,k k ，若对任意k ，存在实数λ，使得12k k k λ+=，求实数λ的取值范围.【解析】（1）由题意得222222c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为：22142+=x y .（2）设直线l 的方程为,y kx t =+由221,42,x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消元可得()222214240.k x ktx t +++-= 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222424,.2121kt t x x x x k k --+==++ 而()12121212221211242,2t x x y y kx t kx tk k k k x x x x x x t +++-+=+=+=+=- 由12,k k k λ+=得24.2kk t λ-=- 因为此等式对任意的k 都成立，所以242t λ-=-，即242.t λ=- 由题意，点()0,P t 在椭圆内，故24022t λ≤=-<，解得 2.λ≥所以λ的取值范围是[)2,.+∞ 14．（河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为3，AB = （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，求k 的值．【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==， 从而3,2a b ==．所以，椭圆的方程为22194x y +=．（2）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为11(,)x y --．由△BPM 的面积是△BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =． 易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =． 由215x x =5(32)k =+， 两边平方，整理得2182580k k ++=， 解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12-．15．（湖南省衡阳市第八中学2019-2020学年高三上学期第六次月考数学）如图，已知椭圆P:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴A 1A 2，长为4，过椭圆的右焦点F 作斜率为k （k ≠0）的直线交椭圆于B 、C 两点，直线BA 1，BA 2的斜率之积为−34.（1）求椭圆P 的方程；（2）已知直线l:x =4，直线A 1B ，A 1C 分别与l 相交于M 、N 两点，设E 为线段MN 的中点，求证：BC ⊥EF . 【解析】（1）设B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 因点B 在椭圆上，所以x 12a 2+y 12b 2=1，故y 12=b 2a 2(a 2−x 12). 又A 1(−a,0)，A 2(a,0)， 所以k BA 1⋅k BA 2=y 1x1+a⋅y 1x 1−a =−b 2a2，即b 2a 2=34， 又a =2，所以b =√3， 故椭圆P 的方程为x 24+y 23=1.（2）设直线BC 的方程为：y =k (x −1)，B (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)， 联立方程组{x 24+y 23=1y =k (x −1)，消去y 并整理得(4k 2+3)x 2−8k 2x +4k 2−12=0，则x 1+x 2=8k 24k 2+3，x 1x 2=4k 2−124k 2+3.直线A 1B 的方程为y =y 1x 1+2(x +2)，令x =4得y M =6y 1x1+2，同理，y N =6y 2x2+2；所以y E =12(y M +y N )=3(y 1x1+2+y 2x2+2)=6kx 1x 2+3k (x 1+x 2)−12kx 1x 2+2(x 1+x 2)+4， 代入化简得y E =−3k ，即点E (4,−3k )， 又F (1,0)， 所以k EF k BC =−3k3⋅k =−1，所以BC ⊥EF .16．（江西省红色七校2019-2020学年高三第一次联考数学）已知点()2,1M 在椭圆2222:+=x y C a b()10>>a b 上，A ，B 是长轴的两个端点，且3MA MB ⋅=-u u u r u u u r．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点()1,0E ，过点()2,1M 的直线l 与椭圆的另一个交点为N ，若点E 总在以MN 为直径的圆内，求直线l 的斜率的取值范围．【解析】（1）由已知可得()()2,12,13a a -----=-g ，解得28a =，又点()2,1M 在椭圆C 上，即2222118b+=，解得22b =，所以椭圆C 的标准方程为22182x y +=.（2）设()11N x y ,，当直线l 垂直于x 轴时，点E 在以MN 为直径的圆上，不合题意， 因此设直线l 的方程为()21y k x =-+， 代入椭圆方程，消去y 得()()()2222418244410k x k kx kk ++-+--=，则有()2124441241k k x k --=+，即()212244141k k x k --=+，21244141k k y k --+=+， 且判别式()216210=+>k ∆，即12k ≠-， 又点E 总在以MN 为直径的圆内，所以必有0EM EN u u u u v u u u v⋅<，即有()()11111,1,110x y x y -=+-<g ，将1x ，1y 代入得222248344104141k k k k k k ----++<++，解得16k >-，所以满足条件的直线l 的斜率的取值范围是1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 17．（四川省成都市第七中学2019-2020学年高三上学期一诊模拟数学）已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(−√2,0),F 2(√2,0)，以椭圆短轴为直径的圆经过点M(1,0). （1）求椭圆C 的方程;（2）过点M 的直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点，设点N(3,2)，直线AN,BN 的斜率分别为k 1,k 2，问k 1+k 2是否为定值?并证明你的结论.【解析】（1）依题意，c =√2，a 2−b 2=2. ∵点M (1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴b =|OM |=1，∴a =√3. ∴椭圆C 的方程为x 23+y 2=1. （2）①当直线l 的斜率不存在时，由{x =1x 23+y 2=1解得x =1，y =±√63.设1,3⎛⎝⎭A，1,3⎛- ⎝⎭B，则122233222++=+=k k 为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1=-y k x .将()1=-y k x 代入2213+=x y 整理化简，得()2222316330+-+-=k x k x k . 依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631+=+k x x k ，21223331-=+k x x k .又()111=-y k x ，()221=-y k x ， 所以1212122233--+=+--y y k k x x ()()()()()()122112232333--+--=--y x y x x x ()()()()()1221121221321393⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++k x x k x x x x x x ()()()121212121212224693⎡⎤-++-++⎣⎦=-++x x k x x x x x x x x22222222226336122246313131633933131⎡⎤--⨯+⨯-⨯+⎢⎥+++⎣⎦=--⨯+++k k k k k k k k k k k ()()2212212621+==+k k . 综上得k 1+k 2为常数2.1．（2019年高考全国Ⅱ卷理数）若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =A ．2B ．3C ．4D ．8【答案】D【解析】因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p 是椭圆2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2p p p -=，解得8p =，故选D ．【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p 的方程，从而解出p ，或者利用检验排除的方法，如2p =时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A ，同样可排除B ，C ，从而得到选D ． 2．（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．3．（2018新课标全国Ⅱ理科）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23 B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以2122PF F F c ==，由AP的斜率为6可得2tan PAF ∠=所以2sin PAF ∠=，2cos PAF ∠=由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠，所以2225sin()3c a c PAF ==+-∠，所以4a c =，14e =，故选D ． 4．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABCD ．13【答案】A【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=， 直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223(),a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率3c e a ===，故选A ．【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见的有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e ＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．5．（2019年高考全国Ⅲ卷理数）设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【答案】(【解析】由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又12014,42MF F S y =⨯=∴=△，解得0y =， 22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.6．（2017新课标全国Ⅱ理科）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP =u u u r u u u r．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=u u u r u u u r．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．【答案】（1） 222x y +=；（2）证明见解析．【思路分析】（1）设出点P 的坐标，利用=NP u u u r u u u r得到点P 与点M 坐标之间的关系即可求得轨迹方程为222x y +=；（2）利用1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 可得坐标之间的关系：2231m m tn n --+-=，结合（1）中的结论整理可得OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r，据此即可得出结论．【解析】（1）设()()00,,,P x y M x y ，设()0,0N x ，()()00,,0,NP x x y NM y =-=u u u r u u u u r．由=NP u u u r u u u r得00,2x x y y ==，因为()00,M x y 在C 上，所以22122x y +=． 因此点P 的轨迹方程为222x y +=．（2）由题意知()1,0F -．设()()3,,,Q t P m n -，则()()3,,1,,33OQ t PF m n OQ PF m tn =-=---⋅=+-u u u r u u u r u u u r u u u r ，()(),,3,OP m n PQ m t n ==---u u u r u u u r．由1OP PQ ⋅=u u u r u u u r 得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n+=，故330m tn +-=，所以OQ PF ⋅=u u u r u u u r 0，即⊥OQ PF u u u r u u u r．又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ． 【名师点睛】求轨迹方程的常用方法：（1）直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0． （2）待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程．（3）定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程． （4）代入(相关点)法：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而运动，常利用代入法求动点P (x ，y )的轨迹方程．7．（2018新课标全国Ⅰ理科）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0)．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．【答案】（1）2y x =-或2y x =；（2）证明见解析． 【解析】（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1．由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,2-，所以AM 的方程为2y x =-2y x =-． （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒．当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠．当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y yk k +=+--． 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x kk k -+++=--．将(1)y k x =-代入2212x y +=得2222(21)4220k x k x k +-+-=．所以21221222422,2121x x x k k k x k -+==++， 则3131322244128423()4021k k k k kk k k k x x x x --++-++==+． 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠． 综上，OMA OMB ∠=∠．8．（2017新课标全国Ⅱ理科）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1，1），P 2（0，1），P 3（–1，2），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析． 【思路分析】（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点．另外由222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上．因此234,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，再设直线l 的方程，当l 与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x 1+x 2，x 1x 2，进而表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，从而判断出直线恒过定点．【解析】（1）由于3P ，4P 两点关于y 轴对称，故由题设知C 经过3P ，4P 两点． 又由222211134a b a b+>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上． 因此22211,131,4b ab ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得224,1.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故C 的方程为2214x y +=． （2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2， 如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，2），（t，2-）．则121k k +=-=-，得2t =，不符合题设． 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）．将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-=． 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+． 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=． 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=．即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++，解得12m k +=-． 当且仅当1m >-时，0∆>，于是l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）．【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况．另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简．9．（2018新课标全国Ⅲ理科）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0u u u r u u u r u u u r．证明：FA u u u r ，FP u u u r ，FB u u u r 成等差数列，并求该数列的公差．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析，公差为28或28-． 【解析】（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=．两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=．由题设知12121,22x y x y m ++==，于是34k m=-． 由题设得302m <<，故12k <-．（2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=． 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =u u u r ．于是1||22x FA ===-u u u r ，同理2||22x FB =-u u u r ，所以121||||4()32FA FB x x +=-+=u u u r u u u r ，故2||||||FP FA FB =+u u u r u u u r u u u r ，即||,||,||FA FP FB u u u r u u u r u u u r成等差数列．设该数列的公差为d ，则1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=u u u r u u u r ①． 将34m =代入34k m =-得1k =-，所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=，故121212,28x x x x +==，代入①解得||28d =，所以该数列的公差为28或28-．。
湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考(八)理科数学试卷(扫描版,含答案)_PDF压缩
姓名准考证号绝密食启用？前‘J注意事项：雅礼中学2019届高三月考试卷（八）数学（理科）1.本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项申，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A={x I Cx+l) (x-4)<0} ,B= {x I x>2｝，则AnB=A. C -1, 4)B. C -1, 2)C. C2, 4)D. C -1 , 3)(1一i)22.已知一τ一－＝l+i(i为虚数单位），则在复平面内，复数z对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是80前3%90后从事互联网行业岗位分布图技术运营W鹏一刊s 1.7%市场一甲＝－－－皿－13.2%设计－123%职能－圄9.8%产品－6.5%其他回1.6%39.6%注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生80前指1979年及以前出生．A.互联网行业从业人员中90后占一半以上B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多数学（理科）试题（雅礼版）第1页（共5页）。