九年级数学下册(位似)同步练习1 试题

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人教版九年级下册数学《第27章相似》单元测试题（含答案解析）

春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣32．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：33．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm27．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：2510．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝时，△ABC∽△DEF．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′，B′；点A到原点O的距离是．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．春人教版九年级下册数学第27章相似单元测试题参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．已知x：y：z＝1：2：3，且2x+y﹣3z＝﹣15，则x的值为（）A．﹣2B．2C．3D．﹣3【分析】先利用x：y：z＝1：2：3，y＝2x，z＝3x，然后消去y与z得到关于x的一元一次方程，再解一次方程即可．【解答】解：∵x：y：z＝1：2：3，∴y＝2x，z＝3x，∴2x+2x﹣9x＝﹣15，∴x＝3．故选：C．【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用代入消元或加减消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组的问题．2．若a：b＝3：2，且b是a、c的比例中项，则b：c等于（）A．4：3B．3：4C．3：2D．2：3【分析】由b是a、c的比例中项，根据比例中项的定义，即可求得，又由a：b＝3：2，即可求得答案．【解答】解：∵b是a、c的比例中项，∴b2＝ac，即，∵a：b＝3：2，∴b：c＝3：2．故选：C．【点评】此题考查了比例线段以及比例中项的定义．解题的关键是熟记比例中项的定义及其变形．对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．3．下列命题中，其中正确的命题个数有（）（1）在△ABC中，已知AB＝6，AC＝，∠B＝45°，则∠C的度数为60°；（2）已知⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有3个；（3）圆心角是180°的扇形是一个半圆；（4）已知点P是线段AB的黄金分割点，若AB＝1，则AP＝．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】（1）作出图形，过点A作AD⊥BC于点D，然后求出AD的长度，再在Rt△ACD中，利用锐角的正弦值求出∠C的度数即可；（2）作出图形，根据圆的半径为5，圆心到AB的距离为3作出到直线AB的距离为2的直线，与圆的交点的个数即为所求；（3）根据半圆的圆心角等于180°解答；（4）因为AP是较长的线段还是较短的线段不明确，所以分两种情况讨论求解．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝6，∠B＝45°，∴AD＝AB sin45°＝6×＝3，又∵AC＝，∴sin∠C＝＝＝，∴∠C＝60°，故本小题正确；（2）如图所示，到直线AB的距离为2的点有3个，故本小题正确；（3）∵半圆的圆心角为180°，∴圆心角是180°的扇形是一个半圆加一条直径，故本小题错误；（4）①若AP是较长线段，则AP2＝AB•BP，即AP2＝1×（1﹣AP），AP2+AP﹣1＝0，解得AP＝，②若AP是较短的线段，则AP＝1﹣＝，故本小题错误．综上所述，正确的命题有（1）（2）共2个．故选：B．【点评】本题考查了黄金分割，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，解直角三角形，作出图形，利用数形结合的思想求解比较关键．4．如图，已知直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A，B，C，交直线l5于点D，E，F，且l1∥l2∥l3，若AB＝4，AC＝6，DF＝9，则DE＝（）A．5B．6C．7D．8【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，AB＝5，AC＝8，DF＝12，∴，即，可得；DE＝6，故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能熟练地运用定理进行计算是解此题的关键，题目比较典型，难度适中，注意：对应成比例．5．下列说法中正确的是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个等腰直角三角形一定相似D．两个矩形一定相似【分析】根据三角形、矩形相似的判定方法逐个分析，确定正确答案即可．【解答】解：A、两个直角三角形只有一个直角可以确定相等，其他两个角度未知，故A不正确；B、等腰三角形的角度不一定相等，各边也不一定对应成比例，故B不正确；C、两个等腰直角三角形的对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，故C正确；D、两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故D不正确；故选：C．【点评】本题考查了相似图形的知识，解题的关键是了解对应角相等，对应边的比相等的图形相似，难度不大．6．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（）A．44.8 cm2B．45 cm2C．64 cm2D．54 cm2【分析】设大六边形的面积为xcm2，根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，∵两个六边形相似，∴＝（）2，解得，x＝64，故选：C．【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．7．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得：＝，解得：x＝4.5，即另一个三角形的最长边长为4.5cm，故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．8．如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（）A．①②④B．①③④C．②③④D．①②③【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对①②进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对③④进行判断．【解答】解：当∠ACP＝∠B，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当∠APC＝∠ACB，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∠A公共，所以△APC∽△ACB；当AB•CP＝AP•CB，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．9．如图，在平行四边形ABCD中，E是DC上的点，DE：EC＝3：2，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的面积之比为（）A．2：5B．3：5C．9：25D．4：25【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，进而可得出△DEF∽△BAF，根据相似三角形的性质结合DE：EC＝3：2，即可得出△DEF与△BAF的面积之比，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴△DEF∽△BAF．∵DE：EC＝3：2，∴＝＝，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．10．在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为（）A．10m B．12m C．15m D．40m【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，＝，解得：x＝15．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．二．填空题（共8小题）11．若＝，则＝．【分析】根据分比性质，可得答案．【解答】解：由分比性质，得＝﹣＝﹣2＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，利用了分比性质，用x表示y，是解题关键．12．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C；过点B的直线DE分别交l1、l3于点D、E．若AB＝2，BC＝4，BD＝1.5，则线段DE的长为 4.5．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后把AB、BC、BD的值代入后，利用比例的性质可计算出DE的长．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，即，∴BE＝3，∴DE＝3+1.5＝4.5．故答案为：4.5．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．13．已知＝＝，且a+b﹣2c＝6，则a的值10．【分析】设＝＝＝k，表示出a，b，c，代入a+b﹣3c＝求出k的值，即可确定出a的值．【解答】解：设＝＝＝k，则有a＝5k，b＝6k，c＝4k，代入a+b﹣2c＝得：5k+6k﹣8k＝6，解得：k＝2，则a＝10，故答案为：10【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解本题的关键．14．如图，△ABC与△ADB中，∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，AC＝5cm，AB＝4cm，AD 的长为．【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADB＝90°，∠C＝∠ABD，∴△ACB∽△ABD，∴，∴AD＝＝cm，故答案为：【点评】本题考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则＝．【分析】由DE∥BC可得出∠ADE＝∠B、∠AED＝∠C，进而可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出的值．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的判定定理证出△ADE∽△ABC是解题的关键16．已知△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B＝34°，∠D＝70°，则当∠F＝76°时，△ABC∽△DEF．【分析】利用两对角相等的三角形相似即可作出判断．【解答】解：∵△ABC和△DEF中．点A、B、C分别与点D、E、F相对应．且∠A＝70°时，∠B ＝34°，∠D＝70°，∴∠B＝∠E＝34°，∴∠C＝∠F＝76°，故答案为：76°【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．17．如图，已知线段AB的两个端点在直角坐标系中的坐标分别是A（m，m），B（2n，n），以原点O为位似中心，相似比为，把线段AB缩小，则经过位似变换后A、B的对应点坐标分别是A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离是m．【分析】由于在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，则把点A和点B的坐标都乘以即可得到点A′和点B′的坐标，再利用两点间的距离公式计算点A到原点O的距离．【解答】解：∵A（m，m），B（2n，n），而位似中心为原点，相似比为，∴A′（m，m），B′（n，n）；点A到原点O的距离＝＝m．故答案为（m，m），（n，n）；m．【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．18．如图，比例规是一种画图工具，使用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短，它是由长度相等的两脚AD和BC交叉构成的，如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度3的地方（即同时使OA＝3OD，OB＝3OC），然后张开两脚，使A、B两个尖端分别在线段l的两端上，若CD ＝2，则AB的长是6．【分析】根据题意可知△ABO∽△DCO，根据相似三角形的性质即可求出AB的长度，此题得解．【解答】解：根据题意，可知：△ABO∽△DCO，∴＝，即＝3，∴AB＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的性质求出AB的长度是解题的关键．三．解答题（共8小题）19．已知，（1）求的值；（2）若x﹣2y+4z＝24，求x+y+z的值．【分析】设＝k，于是得到x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入代数式即可得到结论．【解答】解：∵，∴设＝k，∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，∴（1）＝＝；（2）∵x﹣2y+4z＝24，∴2k﹣6k+16k＝24，∴k＝2，∴x+y+z＝2k+3k+4k＝9k＝18．【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．20．如图，四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2．（1）求下列各线段的比：，，；（2）指出AB，BC，CF，CD，EF，FB这六条线段中的成比例线段（写一组即可）【分析】（1）根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD，EF，BC，CF，再代入数据即可求得各线段的比；（2）根据成比例线段的定义写一组即可求解．【解答】解：（1）∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形，AB＝3，AD＝6.5，BF＝2，∴CD＝EF＝AB＝3，BC＝AD＝6.5，CF＝BC﹣BF＝4.5，∴＝＝，＝＝，＝；（2）成比例线段有＝．【点评】本题考查了矩形的性质，比例线段，解决问题的关键是得到CD，EF，BC，CF的值．21．如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A＝∠A'，BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，点D、E、D'、E'分别在AC、AB、A'C'、A'B'上，且＝．求证：＝【分析】先证△BDC∽△B′D′C′得∠ACB＝∠A′C′B′，结合∠A＝∠A′可证△ABC∽△A'B'C'，再利用相似三角形的性质可得答案．【解答】解：∵BD是AC边上的高、B'D'是A'C'的高，∴∠BDC＝∠B′D′C′＝90°，∴△BDC和△B′D′C′均为直角三角形，∵＝，∴△BDC∽△B′D′C′，∴∠ACB＝∠A′C′B′，∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A'B'C'，∵BD、CE是△ABC的高，B'D'、C'E'是△A'B'C'的高，∴＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理及相似三角形的对应边的比、对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比和周长的比都等于相似比、面积比等于相似比的平方的性质．22．如图所示：在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D，E分别为BC．AB边上一点，∠ADE＝∠C，（1）求证：AD2＝AE•AB；（2）∠ADC与∠BED是否相等？请说明理由；（3）若CD＝2，求AD的长．【分析】（1）证明△DAE∽△BAD，根据相似三角形的性质证明；（2）根据三角形的外角的性质、等腰三角形的性质证明；（3）证明△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质求出BE，代入（1）的结论计算即可．【解答】（1）证明：∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠BAD，∴△DAE∽△BAD，∴＝，即AD2＝AE•AB；（2）∠ADC＝∠DAE+∠B，∠BED＝∠DAE+∠ADE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠ADC＝∠BED；（3）∵∠ADC＝∠BED，∠B＝∠C，∴△ADC∽△DEB，∴＝，即＝，解得，BE＝2.4，由（1）得，AD2＝AE•AB＝13，则AD＝．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，BC＝1，AC，BD交于点O．求的值．【分析】由同旁内角互补两直线平行得到AB与CD平行，再利用两直线平行内错角相等，以及对顶角相等得到三角形相似，由相似得比例求出所求即可．【解答】解：∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴∠A＝∠ACD，∴△ABO∽△CDO，∴，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝45°，BC＝1，∴AB＝1，在Rt△BCD中，∠BCD＝90°，∠D＝30°，BC＝1，∴CD＝，∴＝＝．【点评】此题考查了相似三角形的性质与判定，以及平行线的性质，能利用相似三角形的性质将未知线段的比转化为已知线段的比是解本题的关键．24．如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的2倍（不写作法，保留作图痕迹）．【分析】延长OA到A′使OA′＝2OA，同样作出点B′、C′，从而得到满足条件的△A′B′C′；反向延长OA到A″使OA″＝2OA，同样作出点B″、C″，从而得到满足条件的△A″B″C″．【解答】解：如图所示：△A′B′C′和△A″B″C″．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．25．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB•AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．（1）求证：△ADC∽△ACB．（2）若AD＝2，AB＝3，求的值．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠DAC＝∠CAB，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据直角三角形的性质得到CE＝AE，根据等腰三角形的性质、平行线的判定定理证明＝，由相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB，∵AC2＝AB•AD，∴＝，∴△ADC∽△ACB；（2）∵△ADC∽△ACB，∴∠ACB＝∠ADC＝90°，∵点E为AB的中点，∴CE＝AE＝AB＝，∴∠EAC＝∠ECA，∴∠DAC＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；∴＝＝，∴＝．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．26．如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G．（1）求证：GD•AB＝DF•BG；（2）联结CF，求证：∠CFB＝45°．【分析】（1）由∠BCD＝∠GFD＝90°、∠BGC＝∠FGD可证得△BGC∽△DGF，即可知，根据AB＝BC即可得证；（2）连接BD，由△BGC∽△DGF知，即，根据∠BGD＝∠CGF可证△BGD∽△CGF得∠BDG＝∠CFG，再由即可得证．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，∵BF⊥DE，∴∠GFD＝90°，∴∠BCD＝∠GFD，∵∠BGC＝∠FGD，∴△BGC∽△DGF，∴，∴DG•BC＝DF•BG，∵AB＝BC，∴DG•AB＝DF•BG；（2）如图，连接BD、CF，∵△BGC∽△DGF，∴，∴，又∵∠BGD＝∠CGF，∴△BGD∽△CGF，∴∠BDG＝∠CFG，∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，∴，∴∠CFG＝45°．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质．。

位似(第1课时位似图形的概念、性质及画法-2021-2022学年九年级数学下册同步讲练课件(人教版)

△AEB ∽△DEC，
AB=2，CD=3，
∴
AB DC
BE EC
2， 3
∴
BE BC
EF DC
2， 5
解得：EF 6 . 5
感受中考
1.（4分）（2021•重庆A卷4/26）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（） A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
A．4∶1
B． 2∶1
C．1∶ 2
D．1∶4
O
新知探究
三、画位似图形
位似的作用：位似可以将一个图形放大或缩小.
典例分析
例：把四边形
ABCD
缩小到原来的
1 2
.
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
A
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点
B
D
A'
A' 、B' 、C' 、D' ，使得：
下面请欣赏如下图形的变换
这些图形相似
这样放大或缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图是相似的.
新课引入如图，是幻灯机放映图片的示意图，在幻灯机放映图片的过程中，这些图片之间有什么关系？连接图片上对应的点，你有什么发现？
相似图形图形的对应点连线在一条直线上，且直线相交于一点
人教版九年级数学下册第27章相似
27.3 位似
第1课时位似图形的概念、性质及画法
学习目标
1. 掌握位似图形的概念、性质和画法. 2. 掌握位似与相似的联系与区别 .
复习回顾前面我们已经学习了图形的哪些变换？
对称：轴对称与轴对称图形（对称轴）中心对称与中心对称图形（对称中心）

【初中数学】人教版九年级下册第2课时位似图形的坐标变化规律(练习题)

人教版九年级下册第2课时位似图形的坐标变化规律(188)1.如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2,4),B(6,0),O(0,0),以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的1，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，2则点A′的坐标是．2.如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比．3.如图,在13×13的网格中,已知△ABC和点M(1,2)．以点M为位似中心,画出与△ABC的相似比为2的位似图形△A′B′C′；并写出△A′B′C′的各顶点坐标．4.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1),B(−1,4),C(−3,2)．①以原点O为位似中心,在y轴的左侧画出与△ABC的相似比为2的图形△A1B1C1,并直接写出点C1的坐标；②若点D(a,b)在线段AB上,请直接写出经过(1)的变化后点D的对应点D1的坐标．5.如图,正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上,正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为位似中心的位似图形．已知AC=3√2,若点A′的坐标为(1,2),则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD 的相似比是（）A.16B.13C.12D.236.如图所示,某学习小组在讨论“变化的鱼”时,知道大鱼与小鱼是位似图形,则小鱼上的点(a,b)对应大鱼上的点（）A.(−2a,−2b)B.(−a,−2b)C.(−2b,−2a)D.(−2a,−b)7.如图,△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形,已知点A(3,4),C(2,2),D(3,1),则点D的对应点B的坐标是（）A.(4,2)B.(4,1)C.(5,2)D.(5,1)8.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为(4，0)，(8，2)，(6，4)．已知△A1B1C1的两个顶点坐标分别为(1，3)，(2，5)．若△ABC和△A1B1C1是位似图形，则△A1B1C1的第三个顶点的坐标为．9.如图,在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3，0)，(2，−3)．若△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且点O′的坐标为(−1,0)，则点B′的坐标为．10.已知：如图△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，−3)，B(3，−2)，C(2，−4)．在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．①画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；②以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．11.如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，3)，C(3，0)．(1)以点O为位似中心，画与△ABC的相似比为2∶1的图形;(2)在(1)的条件下，若M(a，b)为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M对应的点M′的坐标为．12.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，6)，B(8，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的1后得到线段CD，则端点C的坐标为2（）A.(3，3)B.(4，3)C.(3，1)D.(4，1)13.如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点O在坐标原点处,边OA在x轴上,OC在y轴上,如果矩形OA′B′C′与矩形OABC关于点O位似,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的1,那么点B′的坐标是（）4A.(3,2)B.(−2,−3)C.(2,3)或(−2,−3)D.(3,2)或(−3,−2)14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，中心的位似图形，且相似比为13则点C的坐标为（）A.(3，2)B.(3，1)C.(2，2)D.(4，2)参考答案1.【答案】:(1，2)【解析】:因为位似图形是相似图形，所以△ABO∽△A′B′O，相似比是12．由点B′的坐标是(3，0)，可知点A′是线段OA的中点，由中点坐标公式可得A′(1，2)．2.【答案】:∵点B的坐标是(4，0)，点D的坐标是(6，0)，∴OB=4，OD=6，∴OBOD =46=23．∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，∴△OAB与△OCD的相似比为23.【解析】:∵点B的坐标是(4，0)，点D的坐标是(6，0)，∴OB=4，OD=6，∴OBOD =46=23．∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，∴△OAB与△OCD的相似比为23.3.【答案】:△A′B′C′如图所示．A′(3,6),B′(5,2),C′(11,4)【解析】:△A′B′C′如图所示．A′(3,6),B′(5,2),C′(11,4)4.【答案】:①根据题意画出图形,如图所示：则点C1的坐标为(−6,4)．②变化后点D的对应点D1的坐标为(2a,2b)【解析】:①根据题意画出图形,如图所示：则点C1的坐标为(−6,4)．②变化后点D的对应点D1的坐标为(2a,2b)5.【答案】:B【解析】:∵O′是正方形ABCD的对角线AC的中点,AC=3√2，∴点O′的坐标为(1.5,1.5),点A的坐标为(0,3)．∵点A′的坐标为(1,2), ∴CA′=2√2,AA′=√2,∴CC′=AA′=√2, ∴A′C′=√2,∴k=A′C′AC =√23√2=13.6.【答案】:A【解析】:两个图形是位似图形,对应点关于原点对称且相应坐标的绝对值扩大为原来的2倍,所以小鱼上点(a,b)的坐标乘−2即可得到大鱼上对应点的坐标为(−2a,−2b).7.【答案】:C8.【答案】:(3，4)或(0，4),−4)9.【答案】:(53【解析】:如图,过点B作BE⊥x轴于点E，过点B′作B′F⊥x轴于点F．∵△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形,且点O′的坐标为(−1,0)，∴AO′=4,即AO∶AO′=3∶4.根据相似三角形的性质知，在△AB′O′与△ABO 中，过点B′与点B的高的比等于相似比4∶3.,−4)．由B(2,−3)易求得B′(5310.【答案】:①如图所示，△A1B1C1即为所求．②如图所示,△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(−2，−2)．【解析】:①如图所示，△A1B1C1即为所求．②如图所示,△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(−2，−2)．11(1)【答案】如图，△DEF和△D′E′F′就是要求作的图形．(2)【答案】(2a，2b)或(−2a，−2b)12.【答案】:A13.【答案】:D【解析】:因为矩形OA′B′C′与矩形OABC是位似图形,且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的14,所以这两个矩形的相似比为1∶2.若矩形OA′B′C′在第一象限,则点B′的坐标为(3,2)；若矩形OA′B′C′在第三象限,则点B′的坐标为(−3,−2)．故选D.14.【答案】:A【解析】:∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为13,∴ADBG =13．∵BG=6,∴AD=BC=2.∵AD∥BG,∴△OAD∽△OBG,∴OAOB =13,∴OA2+OA =13,解得OA=1,∴OB=3,∴C点坐标为(3,2)．故选 A。

人教版九年级数学下册作业课件第二十七章相似位似第1课时位似图形的概念及画法

3．下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．其中正确命题的序号是( )A
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
证明：∵△DEO 与△ABO 位似， ∴OODA ＝OOEB .∵△OEF 与△OBC 位似， ∴OOEB ＝OOFC ，∴OODA ＝OOFC ，∴OD·OC ＝OF·OA
14．如图，△OAB与△ODC是位似图形，试问： (1)AB与CD平行吗？请说明理由； (2)如果OB＝3，OC＝4，OD＝3.5，试求△OAB与△ODC的相似比及OA的长．
解：(1)AB∥CD.理由：∵△OAB 与△ODC 是位似图形， ∴△OAB∽△ODC，∴∠D＝∠A，∴AB∥CD
(2)由题意得点 O 是位似中心，则△OAB 与△ODC 的相似比为 OB∶OC＝3∶4.∵△OAB∽△ODC，∴OB∶OC＝ OA∶OD，即 3∶4＝OA∶3.5，∴OA＝2.625
A．1∶2 B．1∶4 C．1∶3 D．1∶9
6 ． ( 教材 P48 练习 1 变式 ) 如图， △ OAB 和 △ OCD 是位似图形，则位似中心是 ___点__O___，图中AB与CD的关系是__A_B_∥__C__D_____．
知识点❷：位似图形的画法 7．分别画出图中的每组位似图形的位似中心．
为_________．
4 2π
12．如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D′，使它与四边形ABCD位似，且相似比为2.

人教版九年级下册数学《相似》同步测试及答案

相似同步测试一、基础训练1．如图1所示，E、F分别是平行四边形的边BC、AD的中点，且平行四边形ABFE∽平行四边形ADCB，则ABBC=_______．(1) (2) (3) 2．如果两个相似多边形的最长边分别为35cm和14cm，•那么最短边分别为5cm•和_______cm．3．在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图2中的阴影部分），•若留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_________．4．下列说法正确的是（）A．矩形都是相似的 B．有一个角相等的菱形都是相似的C．梯形的中位线把梯形分成两个相似图形 D．任意两个等腰梯形相似5．如图3所示，内外两个矩形相似，且对应边平行，则下列结论中正确的是（）A．xy=1 B．xy=abC．xy=baD．以上答案都不对6．（扬州市）如图4所示，有两个形状相同的星星图案，则x的值为（）A．15 B．12 C．10 D．87．如图5所示，小明将一张报纸对折后，发现对折后的半张报纸与整张报纸相似，•你能推算出整张报纸的长与宽的比是下面哪一个答案吗（）A 1 B．4：1 C．1：4 D．1(4) (5) (6) 8．下列说法正确的是（）A．分别在△ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，• 则△ADE•是△ABC放大后的图形;B．两位似图形的面积之比等于位似比;C．位似多边形中对应对角线之比等于位似比;D．位似图形的周长之比等于位似比的平方9．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（）A．每对对应点所在的直线相交于同一点;B．两个图形上的对应线段之比等于位似比C．两个图形上对应线段必平行 D．两个图形的面积比等于位似比的平方10．下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似11．如图6所示，有三个矩形，其中是相似形的是（）A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙和丙二、能力提升:12．按如下方法将△ABC的三边缩小来原来的1 2：如图所示，任取一点O，•连AO，•BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法中正确的个数是（）①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF是相似图形；③△ABC与△DEF是周长的比为2：1; ④△ABC与△DEF面积比为4：1A．1个 B．2个Array C．3个 D．4个13．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼和小鱼是位似图形（如图所示），则小鱼上的点（a，b）对应大鱼上的点．（）A．（-2a，-2b）B．（-a，-2b）C．（-2b，-2a）D．（-2a，-b）14．如图所示，点E为矩形ABCD的边AB的黄金分割点（AE>EB），且AEFD为正方形．问：矩形ABCD和矩形EFCB相似吗？为什么？15．（淮安市）如图所示，已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为（3，-1），（2，1）．（1）以O点为位似中心在y轴的左侧将△OBC放大到两倍（•即新图与原图的位似比为2），画出图形；（2）分别写出B，C两点的对应点B′，C′的坐标；（3）如果△OBC内部一点M的坐标为（x，y），写出M的对应点M′的坐标．三、应用与探究:16．印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32分米2，•上下空白各1分米，两边空白各0.5分米．设印刷部分从上到下的长是x分米，•四周空白处的面积为5分米．（1）求S与x的关系式．（2）当要求四周空白处的面积为18分米2时，求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个图形是位似图形吗？参考答案1．1 2．2 3．27cm2 4．B 5．B 6．D 7．A 8．C 9．C 10．B 11．B 12．D 13．A 14．相似 15．略 16．略。

九年级数学下册第二十七章相似27.3位似拓展练习(pdf)(新版)新人教版

初中数学·人教版·九年级下册——第二十七章相似27.3位似基础闯关全练拓展训练1.(2018湖南邵阳期末)如图,将△ABO缩小后得到△A'B'O,其中A,B的对应点分别为A',B',点A,B,A',B'均在图中的格点上.若线段AB上有一点P(m,n),则点P在A'B'上的对应点P'的坐标为()A.- 2,nB.(m,n)C.2.(2017山东烟台莱州期末)在平面直角坐标系中,△OAB的顶点坐标分别是O(0,0),A(4,0),B(3,2),将顶点A、B的横、纵坐标都乘-2,得到A',B',下列说法中:①△OAB 和△OA'B'是位似图形,位似中心是O;②△OAB和△OA'B'的相似比为-12;③点B,O,B'在同一条直线上;④点B'的坐标为(-6,-4),其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.(2019四川资阳安岳期末)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,点A、B、E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6,则点G的坐标为.4.(2018四川雅安期末)如图,正方形OABC与正方形ODEF是位似图形,点O为位似中心,相似比为1∶3,点A的坐标为(0,3),则点E的坐标是.能力提升全练拓展训练1.(独家原创试题)如图,在平面直角坐标系中,以O 为位似中心,相似比为12,将边长为4的等边三角形OAB 作多次位似变换,经第1次变换后得到等边三角形OA 1B 1,经第2次变换后得到等边三角形OA 2B 2,……,经过第6次变换后得到等边三角形OA 6B 6,则点B 6的坐标为()2.如图,在平面直角坐标系中,已知A、B、C 三点的坐标分别为(-3,-1)、(-3,-3)、(6,2),且△AOB∽△COD,点P(-3,m)是线段AB 上一点,直线PO 交线段CD 于点Q,则点Q 的纵坐标为()A.mB.2mC.-mD.-2m 3.如图,在平面直角坐标系中,点A 是正比例函数y=12x 的图象与反比例函数y=8 的图象在第一象限的交点,点B 在x 轴上,且AB⊥x 轴.如果△OA'B'与△OAB 关于点O 位似,且△OA'B'的面积等于△OAB 面积的14,则点A'的坐标为()A.(2,1)B.(-2,-1)C.(2,1)或(-2,-1)D.(4,2)或(-4,-2)4.(2019陕西西安碑林三模)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC和正方形ADEF的边OA、AD 在x轴上,OA=2,AD=3,则正方形OABC和正方形ADEF的位似中心的坐标是.5.在平面直角坐标系中有A(7,3),B(7,0)两点,以点(1,0)为位似中心,相似比为1∶3,把线段AB缩小成A'B',则图象过A点的对应点A'的反比例函数的解析式为.三年模拟全练拓展训练1.(2019江西南昌一模,6,★★☆)如图,将正方形ABCD放在平面直角坐标系中,已知点A(-4,2),B(-2,2),以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小,得到正方形A'B'C'D',使OA'∶OA=1∶2,则点D的对应点D'的坐标是()A.(-8,8)B.(-8,8)或(8,-8)C.(-2,2)D.(-2,2)或(2,-2)2.(2017河南周口商水期末,5,★★☆)如图所示,矩形ABCD中,AB=9,BC=6,若矩形AEFG与矩形ABCD 位似,相似比为23,则C、F之间的距离为()A.13B.213C.313D.123.(2019黑龙江绥化模拟,20,★★☆)如图,矩形EFGO的两边在坐标轴上,点O为平面直角坐标系的原点,以y轴上的某一点为位似中心,作位似图形ABCD,若点B,F的坐标分别为(-4,4),(2,1),则位似中心的坐标为.4.(2018山东临沂莒南一模,16,★★☆)如图,已知矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形,P 是位似中心,若点B 的坐标为(2,4),点E 的坐标为(-1,2),则点P 的坐标为.5.(2017广西桂林二模,18,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,矩形AOCB 的两边OA、OC 分别在x 轴和y 轴上,且OA=1,OC=12.在第二象限内,以原点O 为位似中心将矩形AOCB 放大为原来的32倍,得到矩形A 1OC 1B 1,再以原点O 为位似中心将矩形A 1OC 1B 1放大为原来的32倍,得到矩形A 2OC 2B 2,……,以此类推,得到的矩形A 100OC 100B 100的对角线交点的纵坐标为.五年中考全练拓展训练1.(2018湖南邵阳中考,8,★☆☆)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),过点A 作AB⊥x 轴于点B.将△AOB 以坐标原点O 为位似中心缩小为原图形的12,得到△COD,则CD 的长度是()A.2B.1C.4D.252.(2016山东烟台中考,7,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为13,点A,B,E 在x 轴上,若正方形BEFG 的边长为6,则C 点的坐标为()A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)3.(2015辽宁朝阳中考,8,★★☆)已知两点A(5,6)、B(7,2),先将线段AB向左平移一个单位,再以原点O为位似中心,在第一象限内将其缩小为原来的12得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(2,3)B.(3,1)C.(2,1)D.(3,3)4.(2018山东菏泽中考,13,★★☆)如图,△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∠OCD=90°,∠AOB=60°,若点B的坐标是(6,0),则点C的坐标是.5.(2017四川遂宁中考,14,★★☆)如图,直线y=13x+1与x轴,y轴分别交于A、B,△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,则点B'的坐标为.核心素养全练拓展训练1.(2016山东德州中考)对于平面图形上的任意两点P,Q,如果经过某种变换得到新图形上的对应点P',Q',保持PQ=P'Q',我们把这种变换称为“等距变换”.下列变换中不一定是等距变换的是()A.平移B.旋转C.轴对称D.位似2.如图,△OAB的两个顶点A、B在反比例函数y=4 的图象上,以点O为位似中心,把△OAB的边长缩小为原来的12,得到△OA'B',若反比例函数y= (k≠0)的图象经过点A',则k的值为.初中数学·人教版·九年级下册——第二十七章相似27.3位似基础闯关全练拓展训练1.答案D 由题图可知A 点的坐标为(4,6),B 点的坐标为(6,2),A'点的坐标为(2,3),B'点的坐标为(3,1),∴△OA'B'与△OAB 的相似比为12,∴点P(m,n)在A'B'上的对应点P'的坐标为D.2.答案C 由位似图形的作法和定义可知△OAB 和△OA'B'是位似图形,位似中心是O,①说法正确;△OAB 和△OA'B'的相似比为12,②说法错误;点B,O,B'在同一条直线上,③说法正确;点B'的坐标为(-6,-4),④说法正确.故选C.3.答案(3,6)解析由题意可知BC∥EF,∴△OBC∽△OEF,∴ 㤵 t =㤵t tt ,∵正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点O 为位似中心的位似图形,且相似比为1∶3,∴㤵t tt =13,∴㤵 t =㤵t tt =13,又BE=6,∴ 㤵㤵+6=13,∴OB=3,∴点G 的坐标为(3,6).4.答案(3,3)解析∵正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形,点O 为位似中心,相似比为1∶3,∴OA∶OD=1∶3,∵点A 的坐标为(0,3),即OA=3,∴OD=3,∵四边形ODEF 是正方形,∴DE=OD=3.∴E 点的坐标为(3,3).能力提升全练拓展训练1.答案B 由等边三角形的性质及勾股定理可得点B 的坐标为(2,23),∵△OAB 与△OA 1B 1是位似图形,相似比为12,∴点B 1,即(1,3),同理可得点B 2的坐标为B 6 B.2.答案D 由题意知,△AOB 与△COD 位似,且A 与C 是对应点,∵A、C 的坐标分别为(-3,-1)、(6,2),∴相似比为1∶2,∵点P(-3,m)是线段AB 上一点,直线PO 交线段CD 于点Q,∴点Q 的纵坐标为-2m.故选D.3.答案C 解方程组 =8 ,=12x ,得 =4, =2或 =-4, =-2.∵点A 在第一象限,∴A 的坐标为(4,2).∵△OA'B'与△OAB 关于点O 位似,且△OA'B'的面积等于△OAB 面积的14,∴△OA'B'与△OAB 的相似比为12,∴点4,12×2或-12×4,-12×2,即点A'的坐标为(2,1)或(-2,-1).故选C.4.答案(-4,0)或2解析如图,连接FC并延长,交x轴于点M,由题意可得△MOC∽△MAF,则=t t=23,∴ +2=23,∴MO=4,故M点的坐标为(-4,0);连接DC,OE,交点为N,易知点N在直线AF上,∵AN∥OC,∴△DNA∽△DCO,∴ t t= ᦙ ᦙ=35,∴AN=65,故N点的坐标为2形OABC和正方形ADEF的位似中心的坐标是(-4,0)或25.答案y=3 或y=1解析记P(1,0).如图,根据位似图形的性质得A'B'∥AB,A″B″∥AB,∴ '㤵' 㤵= 㤵' 㤵=13, ″㤵″ 㤵= 㤵″ 㤵=13,∵A(7,3),B(7,0),P(1,0),∴A'(3,1),A ″(-1,-1),∴图象过点A'的反比例函数的解析式为y=3 ,图象过点A″的反比例的函数解析式为y=1 .∴图象过A点的对应点A'的反比例函数的解析式为y=3 或y=1 .三年模拟全练拓展训练1.答案D∵四边形ABCD为正方形,点A(-4,2),B(-2,2),∴正方形ABCD的边长为2,∴点D的坐标是(-4,4),∵以原点O为位似中心把正方形ABCD缩小,得到正方形A'B'C'D',使OA'∶OA=1∶2,∴点D的对应点D'的坐标是(-2,2)或(2,-2).故选D.2.答案A连接AF、FC,∵矩形AEFG与矩形ABCD位似,且DG、BE交于点A,∴A、F、C在同一条直线上,EF∥BC,∵AB=9,BC=6,∴AC= 㤵2+Bt2=313,∵矩形AEFG与矩形ABCD的相似比为23,∴CF=13AC=13,故选A.3.答案(0,2)解析如图,连接BF 交y 轴于P,∵四边形ABCD 和四边形EFGO 是矩形,点B,F 的坐标分别为(-4,4),(2,1),∴BC=4,GF=2,点C 的坐标为(0,4),点G 的坐标为(0,1),∴CG=3.∵BC∥GF,∴ t = t 㤵t =12,∴GP=1,PC=2,∴点P 的坐标为(0,2),即位似中心的坐标为(0,2).4.答案(-2,0)解析∵四边形OABC 是矩形,点B 的坐标为(2,4),∴OC=AB=4,OA=2,∴点C 的坐标为(0,4).∵矩形OABC 与矩形ODEF 是位似图形,P 是位似中心,点E 的坐标为(-1,2),∴相似比为2∶1,∴OP∶AP=OD∶AB=1∶2,设OP=x,则 +2=12,解得x=2,经检验,x=2是原方程的解,∴OP=2,即点P 的坐标为(-2,0).5.答案31002102解析∵四边形AOCB 为矩形,OC=12,∴矩形AOCB 的对角线交点的纵坐标为14,易知矩形A 1OC 1B 1的对角线交点的纵坐标为14×32,矩形A 2OC 2B 2的对角线交点的纵坐标为14×32×32=14×32,则矩形A 100OC 100B 100的对角线交点的纵坐标为14×32=31002102.五年中考全练拓展训练1.答案A∵点A(2,4),AB⊥x 轴于点B,∴AB=4.∵△COD 与△AOB 关于原点位似,且相似比为12,∴CD=12AB=2,故选A.2.答案A 因为正方形BEFG 的边长为6,相似比为13,所以正方形ABCD 的边长为2,设OA=x,易知△OBC∽△OEF,所以㤵 t =㤵t tt =13,所以 +2 +8=13,解得x=1,所以点C 的坐标为(3,2),故选A.3.答案A ∵线段AB 向左平移一个单位,∴A 点平移后的对应点的坐标为(4,6),∴点C 的坐标为4×12,6×12,即(2,3).故选A.4.答案(2,23)解析如图,作AE⊥x轴于E,∵△OAB与△OCD是位似图形,∠OCD=90°,∠AOB=60°,∴∠ABO=∠OAE=30°.∵点B的坐标是(6,0),∴AO=12OB=3,∴OE=12OA=32,∴AE= 2-Ot2=与△OCD是以点O为位似中心的位似图形,相似比为3∶4,∴点C的坐标为32×43,×43,即(2,23).5.答案(-9,-2)或(3,2)解析直线y=13x+1与x轴,y轴分别交于A、B,令x=0,得y=1;令y=0,得x=-3,∴点A和点B的坐标分别为(-3,0),(0,1).∴OA=3,OB=1.∵△BOC与△B'O'C'是以点A为位似中心的位似图形,且相似比为1∶2,∴ 㤵 '㤵'= '=12,∴O'B'=2,AO'=6,∴OO'=3或9,∴当点B'在第一象限时,B'的坐标为(3,2);当点B'在第三象限时,B'的坐标为(-9,-2),∴B'的坐标为(-9,-2)或(3,2).核心素养全练拓展训练1.答案D因为图形经过平移、旋转和轴对称变换前后是全等的,所以A、B、C选项是等距变换;位似变换是以某一个点为位似中心,可将图形放大或缩小的变换,图形变换前后是相似的,但不一定全等,所以图形上两点之间的距离不一定保持相等.因此位似变换不一定是等距变换,故选D.2.答案1解析因为点A在反比例函数y=4 的图象上,所以设A的坐标为与△OA'B'是以点O为位似中心,相似比为12的位似图形,所以点- 2A'在反比例函数y= 的图象上,所以k= 2×2 =-。

人教版九年级数学下册第1课时位似图形的概念及画法.docx

初中数学试卷桑水出品27．3位似第1课时位似图形的概念及画法基础题知识点1位似图形及位似中心1．下图中的两个图形不是位似图形的是()2．(东营中考)下列关于位似图形的表述：①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．②③④3．图中的两个四边形是位似图形，它们的位似中心是()A．点M B．点NC．点O D．点P4．如图，在平行四边形ABCD中，找出一对是位似图形的三角形：____________．知识点2位似图形的性质5．两个图形中，对应点到位似中心的线段比为2∶3，则这两个图形的相似比为() A．2∶3 B．4∶9C.2∶ 3 D．1∶26．如图，△DEF与△ABC是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是()A．1∶6 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶27．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是()A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形B．AD与AE的比是2∶3C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9知识点3位似图形的画法8．如图，以O为位似中心，将四边形ABCD缩小为原来的一半．9．如图，边长为1的正方形网格纸中，△ABC为格点三角形(顶点都在格点上)．在网格纸中，以O为位似中心画出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.(不要求写画法)中档题10．用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在() A．原图形的外部B．原图形的内部C．原图形的边上D．任意位置11．(玉林中考)△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的相似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是()A．3 B．6 C．9 D．1212．如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的个数是()A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．(沈阳中考)如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O ，且△ABC 的面积等于△DEF 面积的49，则AB ∶DE ＝________．14．如图，△ABC 与△A′B′C′是位似图形，且位似比是1∶2，若AB ＝2 cm ，则A ′B ′＝________cm ，并在图中画出位似中心O.15．如图，O 点是△ABC 与△D 1E 1F 1的位似中心，△ABC 的周长为1.若D 1、E 1、F 1分别是线段OA 、OB 、OC 的中点，则△D 1E 1F 1的周长为12；若OD 2＝13OA 、OE 2＝13OB 、OF 2＝13OC ，则△D 2E 2F 2的周长为13；…若OD n ＝1n OA 、OE n ＝1n OB 、OF n ＝1nOC ，则△D n E n F n 的周长为________．(用正整数n 表示)16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 与△A′B′C′是以点O 为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．(1)画出位似中心O ；(2)求出△ABC 与△A′B′C′的相似比；(3)以点O 为位似中心，再画一个△A 1B 1C 1，使它与△ABC 的相似比等于1.5.综合题17．如图，已知B′C′∥BC ，C ′D ′∥CD ，D ′E ′∥DE.(1)求证：四边形BCDE 位似于四边形B ′C ′D ′E ′；(2)若AB′B′B＝3，S 四边形BCDE ＝20，求S 四边形B′C′D′E′.参考答案1．D 2.A 3.D 4.答案不唯一，如△AOB 与△COD 或△AOD 与△COB 5.A 6.C 7.B 8.图略． 9.图略． 10.D 11.D 12.D 13.2∶3 14.4 图略． 15.1n16.(1)图略．(2)∵OA OA′＝12，∴△ABC 与△A′B′C′的相似比为1∶2.(3)图略．17.(1)证明：∵B′C′∥BC ，C ′D ′∥CD ，D ′E ′∥DE ，∴AD′AD ＝AC′AC ＝C′D′CD ＝E′D′ED ＝B′C′BC ＝B′E′BE ，又四边形BCDE 与四边形B′C′D′E′对应顶点相交于一点A ，∴四边形BCDE 位似于四边形B′C′D′E′. (2)∵AB′B′B ＝3，∴AB′AB ＝34.∴四边形BCDE 与四边形B′C′D′E′位似之比为43. ∵S 四边形BCDE ＝20，∴S 四边形B′C′D′E′＝20（43）2＝20×916＝454.。

苏科版九年级数学下册 6.6 图形的位似知识点总结+例题+练习(含答案)

图形的位似【学习目标】1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.【要点梳理】要点一、位似多边形1.位似多边形定义:如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.要点诠释：位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.2.位似图形的性质:（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．4.作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接各对应点.要点诠释：位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.要点二、坐标系中的位似图形在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k (k ≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k |.要点诠释：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k 或-k.【典型例题】类型一、位似多边形例1. 下列每组的两个图形不是位似图形的是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】解：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．据此可得A 、B 、C 三个图形中的两个图形都是位似图形；而D 的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．故选D ．举一反三【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O 到AB 的距离是18cm ，O 到CD 的距离是6cm ，则像CD 的长是物AB 长的（）.A. 3倍B.21 C.31 D.不知AB 的长度，无法判断【答案】C例2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE 放大1.5倍.【答案与解析】即是要画一个五边形A ′B ′C ′D ′E ′，要与五边形ABCDE 相似且相似比为1.5.画法是：1．在平面上任取一点O.2．以O 为端点作射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE.3．在射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 上分别取点A ′、B ′、C ′、D ′、E ′，使OA ′:OA ＝ OB ′:OB ＝OC ′:OC ＝OD ′:OD ＝OE ′:OE ＝1.5.4．连结A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′E ′、E ′A ′.这样：A ′B ′AB ＝B ′C ′BC ＝C ′D ′CD ＝D ′E ′DE ＝A ′E ′AE＝1.5. 则五边形A ′B ′C ′D ′E ′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.举一反三【变式】在已知三角形内求作内接正方形．A 1B 1C 1D 1E 1 A B C DE【答案与解析】作法：（1）在AB 上任取一点G ′，作G ′D ′⊥BC；（2）以G ′D ′为边，在△ABC 内作一正方形D ′E ′F ′G ′；（3）连接BF ′，延长交AC 于F ；（4）作FG∥CB，交AB 于G ，从F 、G 分别作BC 的垂线FE ， GD ；∴四边形DEFG 即为所求．类型二、坐标系中的位似图形例3.如图，在10×10的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 均在格点上，以点A 为位似中心画四边形AB ′C ′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且相似比为2．（1）在图中画出四边形AB ′C ′D ′；（2）填空：△AC ′D ′是三角形．【思路点拨】（1）延长AB 到B ′，使AB ′=2AB ，得到B 的对应点B ′，同样得到C 、D 的对应点C ′，D ′，再顺次连接即可；（2）利用勾股定理求出AC ′2=42+82=80，AD ′2=62+22=40，C ′D ′2=62+22=40，那么AD ′=C ′D ′，AD ′2+C ′D ′2=AC ′2，即可判定△AC ′D ′是等腰直角三角形．【答案与解析】解：（1）如图所示：B C（2）∵AC′2=42+82=16+64=80，AD′2=62+22=36+4=40，C′D′2=62+22=36+4=40，∴AD′=C′D′，AD′2+C′D′2=AC′2，∴△AC′D′是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角．例4.如图△ABC的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，3），C（3，0）．（1）以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2．（2）在（1）的条件下，若M（a，b）为△ABC边上的任意一点，则△DEF的边上与点M 对应的点M′的坐标为．【思路点拨】（1）把点A、B、C的横、纵坐标都乘以2可得到对应点D、E、F的坐标，再描点可得△DEF；把点A、B、C的横、纵坐标都乘以﹣2可得到对应点D′、E′、F′的坐标，然后描点可得△D′E′F′；（2）利用以原点为位似中心的位似变换的对应点的坐标特征求解．【答案与解析】解：（1）如图，△DEF和△D′E′F′为所作；（2）点M对应的点M′的坐标为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．故答案为（2a，2b）或（﹣2a，﹣2b）．举一反三：【变式】如图，将△AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，•得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？【答案】解：图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O•点按逆时针方向旋转180°得到的.【巩固练习】一. 选择题1.下面给出了相似的一些命题：（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（）.A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2.下列说法错误的是（）.A.位似图形一定是相似图形.B.相似图形不一定是位似图形.C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.3.下列说法正确的是（） .A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE是ABC放大后的图形.B.两位似图形的面积之比等于相似比.C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.4．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（）A．（﹣1，2）B．（﹣9，18）C．（﹣9，18）或（9，﹣18）D．（﹣1，2）或（1，﹣2）5. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有( ).A.1个B.2个C.3个D.4个二. 填空题8. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm 和5cm ，且较小图形周长为30cm ，则较大图形周长为__________.9.如图，在平面直角坐标系中，已知A （1，0），D （3，0），△ABC 与△DEF 位似，原点O 是位似中心．若AB=1.5，则DE= ．10．如图，以点O 为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形，已知OA =10cm ，OA ′=20cm ，则五边形ABCDE 的周长与五边形的周长的比值是__________．11. △ABC 中，D 、E 分别在AB 、AC 上，DE ∥BC ，△ADE 是△ABC 缩小后的图形.若DE 把△ABC 的面积分成相等的两部分，则AD ：AB=________.12. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.13.如图，以O 为位似中心，将边长为256的正方形OABC 依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA 1B 1C 1，其边长OA 1缩小为OA 的，经第二次变化后得正方形OA 2B 2C 2，其边长OA 2缩小为OA 1的，经第，三次变化后得正方形OA 3B 3C 3，其边长OA 3缩小为OA 2的，…，依次规律，经第n 次变化后，所得正方形OA n B n C n 的边长为正方形OABC 边长的倒数，则n= ．A B C D E '''''A B C D E '''''14. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.三．综合题15.如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？16.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．17. 如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODEF ∽矩形ABCO ，其相（1）求矩形ODEF 的面积；（2）将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连接EC 、EA ，△ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【答案】B【解析】（1）菱形的角不一定对应相等，故错误；（2）（3）（5）符合相似的定义，故正确；（4）对应边的比不一定相等．故错误．故正确的是：（2）（3）（5）．故选B ．2．【答案】D.3．【答案】C.4.【答案】D.【解析】∵A （﹣3，6），B （﹣9，﹣3），以原点O 为位似中心，相似比为，把△ABO 缩小，∴点A 的对应点A ′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即A ′点的坐标为（﹣1，2）或（1，﹣2）．5．【答案】B【解析】由位似图形的概念可知③和④对，故选B.6．【答案】D.【解析】∵AC ＞BC ，∴AC 是较长的线段，AC ≈0.618AB ．故选D ．7.【答案】B.【解析】∵AB=1，设AD=x ，则FD=x-1，FE=1，∵四边形EFDC 与矩形ABCD 相似， AB AC，二、填空题 8.【答案】50cm. 9.【答案】4.5．【解析】∵△ABC与DEF 是位似图形，它们的位似中心恰好为原点，已知A 点坐标为（1，0），D 点坐标为（3，0），∴AO=2，DO=5，∴==，∵AB=1.5，∴DE=4.5．故答案为：4.5．10.【答案】1：2．【解析】∵五边形ABCDE 与五边形A ′B ′C ′D ′E ′位似，OA=10cm ，OA ′=20cm ，∴五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，且相似比为：OA ：OA ′=10：20=1：2， ∴五边形ABCDE 的周长与五边形A ′B ′C ′D ′E ′的周长的比为：OA ：OA ′=1：2．故答案为：1：2．11.【答案】 .【解析】由BC ∥DE 可得△ADE ∽△ABC ，所以，故.111x x =-13. 【答案】16.【解析】由图形的变化规律可得×256=，解得n=16．14. 【解析】∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，又BD 平分∠ABC ，∴∠ABD=∠CBD=36°，∴∠BDC=72°，∴BC=BD=AD ，∵D 点是AC 的黄金分割点，三．解答题15.【答案与解析】(1)△ADE 和 △ABC 是位似图形.理由是：DE ∥BC ，所以∠ADE=∠B ， ∠AED=∠C.所以△ADE ∽△ABC ，所以. 又因为点A 是△ADE 和 △ABC 的公共点，点D 和点B 是对应点，点E 和点C是对应点，直线BD 与CE 交于点A ，所以△ADE 和 △ABC 是位似图形.(2)DE ∥BC.理由是：因为△ADE 和△ABC 是位似图形，所以△ADE ∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE ∥BC.16.【答案与解析】解：（1）△DFE 与△DBA ，△BFE 与△BDC ，△AEB 与△DEC 都是位似图形，理由：∵AB ∥CD ∥EF ，∴△DFE ∽△DBA ，△BFE ∽△BDC ，△AEB ∽△DEC ，且对应边都交于一点，∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形；（2）∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB=2，CD=3，∴==，∴==，解得：EF=．17.【答案与解析】（1）∵矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，（2）存在．。

人教版数学九年级下册27.3《位似》课件

解：利用相似中对应点的坐
标的变化规律，分别取点A″ （3， - 6），B″（3，0）， O（0，0）.顺次连接点A ″， B ″，O，所得的△A ″B ″O
就是要画的一个图形.
应用提高
例:如图，四边形 ABCD的坐标分别为 A(-6,6),B(-8,2), C(-4,0),D(-2,4),
画出它的一个以原点 O为位似中心，相似比为 1 的位似图形．
坐标为（4，2），则这两个正方形位似
中心的坐标是（-2，0）．
y
3.已知,如右图, O（0，0），
A（-4，2），B（-2，-2） ,以点O
为位似中心,按比例尺1:2把△OAB
A
缩小,则点A的对应点A′的坐标为
(-2,1)或(2,-1),点B的对应点B ′的
O
x
坐标为(-1,-1)或(1,1).
B
D
EF B 不是 C G
是
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相似图形不一定是位似图形，可位似图形一定是相似图形.
练习1 2. 如图，△OAB和△OCD是位似图形，
AB与CD平行吗？为什么？
解：AB∥CD．理由如下： ∵△OAB与△OCD是位似图形， ∴△OAB∽△OCD，
∴∠OAB＝∠C，
246 8
-4
-6
-8
练习2 2．如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，-5）， B（6，0），O（0，0）.以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，
得到△A′B′O′．写出△A′B′O′三个顶点的坐标．
解：A′（8，-10）, B ′（12，0）, O ′（0，0）或A′（-8，10）, B ′ （-12，0）, O ′ （0，0）

九年级数学下册同步测控优化训练(27.3位似)

数学九年级下同步测控优化训练27.3位似5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.下列说法中,正确的个数是( )①位似图形一定是相似图形②相似图形一定是位似图形③两个位似图形若全等,则位似中心在两个图形之间④若五边形ABCDE与五边形A 2B 2C 2D 2E 2位似,则其中△ABC与△A 2B 2C 2也是位似的,且位似比相等A.1 B.2 C.3 D.4解析：位似图形是相似图形,但相似图形不一定是位似图形,因而①对,②错.若两个位似图形全等,则其对应线段的比为1,因而位似中心到任意一对对应点的距离之比等于1,即位似中心在两个图形之间,因而③对.相似多边形中的对应三角形相似,因而△ABC∽△A 2B 2C 2.又因为过这两个相似三角形

对应点的直线都经过位似中心,所以△ABC与△A 2B 2C 2也是位似的,且位似比为BAAB,即为原多边形的位似比.因而④对.答案：C2.位似图形的中心可能在两个图形__________,也可能在两个图形__________,还可能在两个图形的__________.[来源:学|科|网]解析：根据位似图形的意义.答案：之间同侧内部3.指出下列各组位似图形的位似中点.

图27-3-1解析：由位似图形意义.答案：(1)P点;(2)P点.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)

1.按如下方法,将△ABC的三边缩小为原来的21,如图27-3-2,任取一点O,连结AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF.则下列说法中正确的个数是( )①△ABC与△DEF是位似图形②△ABC与△DEF是相似图形③△ABC与△DEF的周长比为2∶1④△ABC与△DEF的面积比为4∶1[来源:学科网][来源:学科网][来源:学_科_网Z_X_X_K]

图27-3-2A.1 B.2 C.3 D.4解析：此题缩小图形的根据是位似图形的性质.这样作出的图形与原图形位似,位似比为OBOE=21,即△ABC∽△DEF,且相似比为12OEOB.因而周长为2∶1,面积比为4∶1.答案：D

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轧东卡州北占业市传业学校27. 位似
【练一练】
1、位似图形：如果两个图形不仅是图形，而且每组对应点所在的直线都，那么这样的两个图形叫做
位似图形，这个点叫做。
2、利用位似将图形放大或缩小的作图步骤：简记为：。
3、两个相似多边形的一组对应边分别为3cm和cm，如果它们的面积之和为130cm2，那么较小的多边形的面积是
cm2.
4、如图，DE与BC不平行，当ACAB= 时，
ΔABC与ΔADE相似。
5、在相同时刻的物高与影长成比例，如果高为米的测竿的影长为米，那么影长为30米的旗杆的高是〔〕
A、 20米 B、 18米 C、 16米 D、 15米
6、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，以下条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是〔〕
A、 ∠B=∠C B、 ∠ADC=∠AEB
C、BE=CD，AB=AC D、 AD∶AC=AE∶AB
【想一想】
7、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，梯脚B距墙脚1.6m，梯上点D距墙m，BD长0.55m，求该梯子的长。
8、如图，AB=AC，BD⊥AC于D，求证：BC2=2AC·CD.
9、如图，在正方形ABCD中，M为AB上一点，BP⊥CM于P，N在BC上且BN=BM，连结PD. 求证：DP⊥NP.
10、如图，矩形ABCD纸片，E是AB上的一点，且BE∶EA＝5∶3，CE＝155，把△BCE沿折痕EC向上翻折，假设
点B恰好落在AD边上的点F处，求AB、BC的长.
【参考答案】
1、相似，相等，位似中心。
2、〔1〕选点，〔2〕作射线，〔3〕定对应点，〔4〕连线。
3、40
4、
AD

5、B
6、C
7、解：设AD=xm,从题意可以知道：BC=1.6m，DE=1.4m，BD=0.55m
如图，△ADE∽△ABC，得到ABAD=BCDE；把条件代入：就能求的AD=5，又因为梯子的长度为AB=AD+DE，
所以AB=AD+DE=5+0.55=

8、提示：要证明等积式，考虑证明比例式。为了化去等积式中的2，可以把其中一条线段看作某条线段的2倍或某
条线段的一半。想到假设作AE⊥BC，那么BCEC21，利用△AEC∽△BDC，得出比例式，即可完成证明。
9、具体提示如下：
10、提示：设法找出图中的相似三角形和全等三角形。对于“翻折〞问题，一般方法是“设元〞，然后利用勾股定
理或相似三角形对应边成比例列方程，从而求出未知.