1.4生活中的优化问题
人教版高中数学选修2-21.4生活中的优化问题举例课后习题
【优化设计】 2015-2016 学年高中数学 1.4 生活中的优化问题举例课后习题新人教 A 版选修 2-2课时操练·促提高A组1.某城市在发展过程中,交通状况渐渐遇到大家更多的关注,据相关统计数据显示 ,从上午 6 时到 9 时 ,车辆经过该市某一路段的用时y(分钟 )与车辆进入该路段的时辰t 之间的关系可近似地用以下函数给出 :y=-t 3-t2+ 36t-. 则在这段时间内 ,经过该路段用时最多的时辰是()A.6 时B.7 时C.8时D.9 时分析 :y'=-t 2-t+ 36,令 y'= 0 解得 t= 8 或 t=- 12(舍 ),当 0<t< 8 时 ,y'> 0;当 t> 8 时 ,y'< 0,∴t= 8 为函数的最大值点 .∴t= 8 时 ,经过该路段用时最多 .答案 :C2.把长为12 cm 的细铁丝截成两段 ,各自摆成一个正三角形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是 ()A. cm 2B.4 cm 2C.3 cm2D.2 cm 2分析 :设一个正三角形的边长为x cm,则另一个正三角形的边长为(4-x)cm, 则这两个正三角形的面积之和为 S=x2+ (4-x)2= [(x-2)2+ 4] ≥2(cm 2),应选 D.答案 :D3.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大 ,则其高为 ()A. cmB.10 cmC.15 cmD. cm分析 :设圆锥的高为x cm,则底面半径为 cm,其体积 V= πx(2022-x )(0<x< 20),V'= (400-3x2),令 V'= 0 得 x1= ,x2=- (舍去 ).∴当 x= cm 时 ,V 取最大值 .又当 0<x< 时 ,V'> 0;<x< 20 时 ,V'< 0,答案 :D4.设有一个容积V必定的铝合金盖的圆柱形铁桶,已知单位面积铝合金的价钱是铁的 3 倍 ,当总造价最少时 ,桶高为 ()A. B.C.2D.2分析 :设圆柱形铁桶的底面半径为r,高为 h,总造价为 y,单位面积铁的造价为a,则V= πr2h,y= πr2·3a+ πr2·a+ 2πrh ·a=a π,则 y'=a π.令 y'= 0,得 r= ,h== 2.答案 :C5.某厂生产某种产品x 件的总成本 :C(x)=1 200+x 3 (万元 ), 产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,生产100 件这样的产品的单价为50 万元 ,总收益最大时,产量应定为 ()A.20 件B.25 件C.30 件D.45 件分析 :设产品单价为 a 万元 ,产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,即 a2x=k ,由题知 k= 250 000,则 a2 x=250 000,所以 a=.总收益 y= 500x3-1 200(x>0),y'=x 2.由 y'= 0,得 x= 25,当 x∈ (0,25) 时 ,y'> 0,x∈ (25,+∞)时 ,y'< 0,所以x= 25 时 ,y 取最大值 .答案 :B6.电动自行车的耗电量y 与速度 x 之间的关系为32为使耗电量最小 ,则其速度应定y=x -x -40x(x>0),为.2分析 :由题设知 y'=x -39x-40,令 y'> 0,解得 x> 40,或 x<- 1,故函数 y=x 3-x2 -40x(x> 0)在 [40,+∞)上递加 ,在 (0,40] 上递减 .∴当 x= 40 时 ,y 获得最小值 .由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案 :407.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30 n mile/h, 当速度为 10 n mile/h 时,它的燃料费是每小时 25 元 ,其余花费 (不论速度怎样 )都是每小时400 元 .假如甲、乙两地相距 800 n mile, 则要使该海轮从甲地航行到乙地的总花费最低,它的航速应为.分析 :由题意设燃料费 y 与航速 x 间知足 y=ax 3(0≤ x≤ 30),又∵25=a ·103,∴a=.设从甲地到乙地海轮的航速为v,花费为 y,则 y=av 3××400= 20v2+.由 y'= 40v-=0,得 v= 20< 30.当 0<v< 20 时 ,y'< 0;当 20<v< 30 时 ,y'> 0,∴当 v=20 时 ,y 最小 .答案 :20 n mile/h8.已知球的直径为d,求当其内接正四棱柱体积最大时,正四棱柱的高为多少?解:以下图 ,设正四棱柱的底面边长为x,高为 h,因为 x2+x 2+h 2 =d 2,所以 x2= (d2-h2).V= x2·h= (d2h-h3),0<h<d.所以球内接正四棱柱的体积为令 V'= (d2-3h2)= 0,所以 h=d.在 (0,d)上 ,当 h 变化时 ,V',V 的变化状况以下表:h dV+0-'极V ↗大↘值由上表知体积最大时,球内接正四棱柱的高为 d.9.某市旅行部门开发一种旅行纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月均匀销售a件,经过改良工艺 ,产品的成本不变 ,质量和技术含量提高 ,市场剖析的结果表示 ,假如产品的销售价提高的百分率为 x(0<x< 1),那么月均匀销售量减少的百分率为x2.记改良工艺后 ,旅行部门销售该纪念品的月平均收益是 y(元 ).(1)写出 y 与 x 的函数关系式 ;(2)改良工艺后 ,确立该纪念品的销售价 ,使得旅行部门销售该纪念品的月均匀收益最大 . 解:(1)改良工艺后 ,每件产品的销售价为 20(1+x )元 ,月均匀销售量为 a(1-x2)件 ,则月均匀收益y=a (1-x2 ) ·[20(1+x )-15] 元 ,所以 y 与 x 的函数关系式为y= 5a(1+ 4x-x2-4x3 )(0<x< 1).2(2)由 y'= 5a(4-2x-12x )= 0,得 x1= ,x2=- (舍 ).当 0<x< 时 ,y'> 0;<x< 1 时 ,y'< 0,23所以函数 y= 5a(1+ 4x-x -4x )(0<x< 1) 在 x= 处获得最大值.故改良工艺后,产品的销售价为20= 30(元 )时 ,旅行部门销售该纪念品的月均匀收益最大.B 组1.某企业生产一种产品,固定成本为20 000 元 ,每生产一单位的产品产量 x 的关系是R(x)= 则当总收益最大时,每年生产产品的单位数是分析 :由题意得 ,总收益,成本增添100 元,若总收入.R 与年P(x)=当 0≤x≤ 390 时 ,P'(x)=-+ 300,令 P'(x)= 0,解得 x= 300;当 0≤ x≤ 300 时,P'( x)>0;当 300<x< 390 时 ,P'(x)< 0.所以当 x= 300 时,P(x)max = 40 000,而当 x> 390 时 ,P(x)< 40 000,所以当 x= 300 时收益最大 . 答案 :3002.将边长为1 的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块 ,此中一块是梯形 ,记 S=,则S 的最小值是.分析 :设剪成的上边一块正三角形的边长为x.则 S=(0<x< 1), S'==- ,令 S'= 0,得 x= 或 x=3(舍去 ). ∴ x = 是 S 的极小值点且是最小值点 . ∴S min =.答案 :3.圆柱形金属饮料罐的容积一准时,它的高与底面直径之比为时 ,所用资料最省.分析 :设圆柱的高为 h,底面半径为 R,则表面积 S= 2πRh+ 2πR 2.2由V= πR h, 得 h= ,则 S(R)= 2πR+ 2πR 2=+ 2πR 2. 令 S'(R)=-+ 4πR= 0,解得 R= ,进而 h== 2,即 h= 2R.因为 S(R)只有一个极值 ,所以它是最小值 .故当罐的高与底面直径相等时 ,所用资料最省 .答案 :1∶ 1 4.请你设计一个帐篷 ,它下部的形状是高为 1 m 的正六棱柱 ,上部的形状是侧棱长为 3 m 的正六棱锥 (如图) .试问当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为多少时 ,帐篷的体积最大 ? 解: 设 OO 1 为 x m,则 1<x< 4.由题设可得正六棱锥底面边长为(单位 :m) .(单位 :m 2)于是底面正六边形的面积为 2 26××() = (8+2x-x ).帐篷的体积为 (单位 :m 3) V(x)= (8+ 2x-x 2)3= (16+ 12x-x ).求导数 ,得 V'(x)= (12-3x 2) .令 V'(x)= 0,解得 x=- 2(不合题意 ,舍去 ),x= 2. 当 1<x< 2 时 ,V'(x)> 0,V( x)单一递加 ; 当 2<x< 4 时 ,V'(x)< 0,V( x)单一递减 .所以当 x= 2 时 ,V(x)最大 ,即当帐篷的极点 O 究竟面中心 O 1 的距离为 2 m 时 ,帐篷的体积最大 . 5.某商场销售某种商品的经验表示 ,该商品每天的销售量 y(单位 : 千克 )与销售价钱 x(单位 :元 /千克 )满足关系式 y=+ 10 (x-6)2,此中 3<x< 6,a 为常数 .已知销售价钱为 5 元 /千克时 ,每天可售出该商品 11千克 .(1) 求 a 的值 ;(2) 若该商品的成本为 3 元 /千克 ,试确立销售价钱x 的值 ,使商场每天销售该商品所获取的收益最大.解:(1) 因为 x=5 时 ,y= 11,所以 + 10= 11,解得 a= 2.(2)由 (1) 知 ,该商品每天的销售量y=+ 10(x-6)2.所以商场每天销售该商品所获取的收益f(x)= (x-3) ·= 2+ 10(x-3)( x-6)2(3<x< 6).所以 f'(x)= 10[( x- 6)2+ 2(x-3)(x-6)]= 30(x-4)(x-6).令 f' (x)= 0,得 x= 4 或 x=6.当 x 变化时 ,f'(x),f(x)的变化状况以下表 :x(3,44(4,6))f'(x+0-)f(x↗极大↘)值 42由上表可得 ,x=4 是函数 f(x)在区间 (3,6)内的极大值点 ,也是最大值点 .所以当 x= 4 时 ,函数 f(x)获得最大值 ,且最大值为 f(4) = 42.即当销售价钱为 4 元 /千克时 ,商场每天销售该商品所获取的收益最大.6.某地建一座桥,两头的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只要建两头桥墩之间的桥面和桥墩.经测算 ,一个桥墩的工程花费为256 万元 ;距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程花费为(2+ )x 万元 .假设桥墩等距离散布 ,全部桥墩都视为点,且不考虑其余要素,记余下工程的花费为y 万元 .(1)试写出 y 对于 x 的函数关系式 ;(2) 当 m= 640 米时 ,需新建多少个桥墩才能使y 最小 ?解:(1) 设需新建 n 个桥墩 ,则 (n+ 1)x=m ,即 n=- 1.所以 y=f (x)= 256n+ (n+ 1)(2+) x= 256(2+ )x=+m+ 2m-256(0<x<m ).(2)由 (1) 知 ,f'(x) =-- 512).令 f' (x)= 0,得= 512,所以 x=64.当 0<x< 64 时 ,f' ( x)< 0,f(x)在区间 (0,64) 内为减函数 ;当 64<x< 640 时 ,f'( x)> 0,f(x)在区间 (64,640) 内为增函数 ,所以 f(x)在 x= 64 处获得最小值 .此时 n=- 1=- 1= 9.故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 .。
生活中的优化问题举例(27)
整理课件
【解析】设圆锥的高为x cm，则底面半径为 202 xc2m，
其体积为V=1 πx(202-x2)(0<x<20)，
3
V′= 1π(400-3x2)，令V′=0，
3
解得x1=2 0
3
3 ，x2=
2(0舍去3 ).
3
当0<x<2 0 3 时，V′>0；当 2 0<x3 <20时，V′<0，
整理课件
2.解应用题的思路和方法
解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽
象成数学问题，就是从实际问题出发，抽象概括，利用数学知
识建立相应的数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分析、
研究，得到数学结论，然后再把数学结论返回到实际问题中去.
其思路如下：
实际问题
数学化 转化成数学问题
问 决题
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2.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再 把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
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【解析】1.由题意，设矩形边长AD＝2x，则AB＝4-x2，
∴矩形面积为S=2x(4-x2)=8x-2x3(0<x<2).∴S′=8-6x2.
整理课件
【归纳】解答题1，2时的注意点与解答本题2时的关键点. 提示：(1)解答题1，2时，注意函数的定义域应该是实际问题 情境中符合实际情况的自变量的取值范围. (2)解答题2时，关键是正确地得到函数解析式后对函数极值点 的判断，当函数在给定的区间上只有一个极值点时，该极值点 为最值点.
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例引言生活中，我们经常面临各种各样的问题和挑战。
为了提高效率、提升生活质量，我们需要不断寻找解决问题的方法和策略。
在这篇文章中，我们将探讨生活中的优化问题，并给出一些实际的例子来说明如何应对这些问题。
什么是优化问题？优化问题是指在给定的限制条件下，寻找一个最优解的问题。
通过优化，我们可以最大限度地提高效率、降低成本、提升满意度等。
在生活中，我们可以将优化问题应用于各个领域，如时间管理、健康管理、金融规划等。
生活中的优化问题举例1. 时间管理时间管理是一个常见的生活优化问题。
我们每天都面临着有限的时间资源，如何合理分配时间成为了一个重要的课题。
以下是一些可以帮助我们优化时间管理的方法和技巧：1.制定优先级：将任务按照重要性和紧急性进行排序，优先处理重要且紧急的任务，避免因琐碎的事务耗费过多时间。
2.打破大目标：学会将大目标分解成小目标，逐步推进。
这样可以减少任务的压力，并更好地管理时间。
3.制定时间表：制定一个明确的时间表，为每项任务规定固定的时间段。
这样可以提高效率，并避免时间的浪费。
4.利用时间碎片：充分利用日常生活中的碎片化时间，比如排队等待、交通工具上的时间，可以用来读书、听课等。
2. 健康管理健康是幸福生活的基石，因此健康管理也成为了一个重要的优化问题。
以下是一些可以帮助我们优化健康管理的方法和策略：1.合理饮食：均衡饮食是健康的基础。
合理控制饮食，摄入适量的营养物质，避免过量或偏食，有助于维持身体的健康状态。
2.积极运动：适量的运动可以帮助我们保持身体健康和心理平衡。
根据个人情况选择合适的运动方式和时间，如慢跑、游泳、瑜伽等。
3.规律作息：良好的作息习惯对于身体和心理健康至关重要。
合理安排睡眠时间，确保充足的休息，有助于保持精力充沛和情绪稳定。
4.健康检查：定期进行身体检查，及时发现和处理潜在的健康问题，有助于预防和治疗疾病。
3. 金融规划金融规划是一个经济优化的问题。
【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.4
数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利 润最大？
【思路点拨】 题意 ―求―销→量 利用导数求利润
建立利润的函数关系 ―→ 取最大值时的x值 ―→ 结论
f(200)＝－15×2003＋24000×200－50000 ＝3150000(元)． 所以每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最
大利润为 315 万元．
方法感悟
方法技巧
解应用题的思路和方法 解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础 上把实际问题抽象成数学问题，就是从实际问 题出发，抽象概括，利用数学知识建立相应的 数学模型，再利用数学知识对数学模型进行分 析、研究，得到数学结论，然后再把数学结论 返回到实际问题中去，其思路如下：
解之得 x1＝2 33，x2＝－2 3 3(舍去)．
当 0<x<2 3 3时，S′>0；
当2
3
3 <x<2
时，S′<0.
当 x＝23 3时，S 取最大值为329 3.
即矩形的边长分别是4 33、83时，矩形的面积最 大．
【思维总结】 利用导数解决生活中优化问题 的一般步骤
费用(用材)最省问题
选取合适的量为自变量，并确定其取值范 围．正确列出函数关系式，然后利用导数求最 值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列 出函数关系式是解题的关键．
f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×3x4＋0 5＋6x
＝38x0＋05＋6x(0≤x≤10)．
(2)f′(x)＝6－32x4＋0052，令 f′(x)＝0，即32x4＋0052 ＝6， 解得 x＝5，x＝－235(舍去)． 当 0<x<5 时，f′(x)<0，当 5<x<10 时，f′(x)>0. 故 x＝5 是 f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5) ＝6×5＋1850＋05＝70.
生活中的优化问题举例
生活中的优化问题举例
以下是一些生活中常见的优化问题举例：
1. 路线规划：对于一次旅行或者日常通勤，如何选择最短或最快的路线，以节省时间和资源。
2. 日程安排：如何合理分配时间，使得工作效率最大化，同时留出时间进行休息和娱乐。
3. 购物决策：在购买商品时，如何选择最佳的品牌、型号或价格，以满足需求并节约开支。
4. 饮食计划：如何合理安排饮食，以保证营养均衡，同时避免浪费和过量摄入。
5. 能源使用：如何优化能源的使用，例如合理设置空调温度、减少电器待机时间等，以节约能源成本并保护环境。
6. 个人理财：如何合理规划个人财务，包括投资、储蓄和债务，以实现财务增长并达到目标。
7. 旅游安排：在进行旅游计划时，如何选择最佳的目的地、交通方式、住宿和活动，以满足旅行的需求。
8. 学习方法：如何优化学习方法，例如选择适合个人的学习时间、学习环境和学习资源，以提高学习效率。
9. 生活习惯：如何培养健康的生活习惯，例如规律作息、科学饮食和适度运动，以改善身体健康。
10. 时间管理：如何合理分配时间，设置优先级和避免拖延，以提高工作和生活的效率。
高中数学 第1章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例 2数学教案
1.4 生活中的优化问题举例生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．用导数解决优化问题的基本思路思考：解决生活中优化问题应注意什么？[提示] (1)在建立函数模型时，应根据实际问题确定出函数的定义域．(2)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的应舍去，如：长度、宽度应大于0，销售价为正数等．1．已知某生产厂家的年利润y (单位： 万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A ．7万件B ．9万件C ．11万件D ．13万件B [设y ＝f (x )，即f (x )＝－13x 3＋81x －234.故f ′(x )＝－x 2＋81.令f ′(x )＝0，即－x 2＋81＝0， 解得x ＝9或x ＝－9(舍去)．当0＜x ＜9时，f ′(x )＞0，函数y ＝f (x )单调递增； 当x ＞9时，f ′(x )＜0，函数y ＝f (x )单调递减．因此，当x ＝9时，y ＝f (x )取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]2．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8B ．203C ．－1D ．－8 C [由题意，f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∵0≤x ≤5，∴x ＝1时，f ′(x )的最小值为－1，即原油温度的瞬时变化率的最小值是－1.]3．做一个容积为256 m 3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为( )A ．6 mB ．8 mC ．4 mD ．2 mC [设底面边长为x m ，高为h m ，则有x 2h ＝256，所以h ＝256x 2.所用材料的面积设为S m 2，则有S ＝4x ·h ＋x 2＝4x ·256x 2＋x 2＝256×4x ＋x 2.S ′＝2x －256×4x 2，令S ′＝0，得x ＝8，因此h ＝25664＝4(m)．]4．某一件商品的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为______元时，利润最大．115 [利润为S (x )＝(x －30)(200－x )＝－x 2＋230x －6 000，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0，得x ＝115，这时利润达到最大．]面积、体积的最值问题 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解] 设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30. (1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值． 此时h a ＝12， 即包装盒的高与底面边长的比值为12. 1．解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．2．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤①找关系：分析实际问题中各量之间的关系；②列模型：列出实际问题的数学模型；③写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )；④求导：求函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；⑤比较：比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；⑥结论：根据比较值写出答案．[跟进训练]1．周长为20 cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为________cm 3.4 00027π [设矩形的长为x cm ，则宽为(10－x )cm(0＜x ＜10)．由题意可知圆柱体积为V ＝πx 2(10－x )＝10πx 2－πx 3.∴V ′＝20πx －3πx 2，令V ′(x )＝0，得x ＝0(舍去)或x ＝203， 且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，203时，V ′(x )＞0， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫203，10时，V ′(x )＜0， ∴当x ＝203时，V (x )max ＝4 00027π cm 3.] 用料最省、成本(费用)最低问题的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小？并求最小值． 思路探究：(1)由C (0)＝8可求k 的值从而求出f (x )的表达式．(2)求函数式f (x )的最小值．[解] (1)由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k 3x ＋5(0≤x ≤10)，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5. 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 4003x ＋52， 令f ′(x )＝0，即 2 4003x ＋52＝6，解得x ＝5或x ＝－253(舍去)． 当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70. 当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．1．用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．2．利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值．[跟进训练]2．甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/时)的函数关系是P ＝119 200v 4－1160v 3＋15v ， (1)求全程运输成本Q (元)关于速度v 的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值．[解] (1)Q ＝P ·400v＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 4－1160v 3＋15v ·400v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫119 200v 3－1160v 2＋15·400 ＝v 348－52v 2＋6 000(0<v ≤100)． (2)Q ′＝v 216－5v ，令Q ′＝0，则v ＝0(舍去)或v ＝80， 当0<v <80时，Q ′<0；当80<v ≤100时，Q ′>0，∴v ＝80千米/时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且Q min ＝Q (80)＝2 0003(元).利润最大、效率最高问题1．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？[提示] 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．2．你能列举几个有关利润的等量关系吗？[提示] (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．【例3】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．思路探究：(1)根据x ＝5时，y ＝11求a 的值．(2)把每日的利润表示为销售价格x 的函数，用导数求最大值．[解] (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，a ＝2. (2)由(1)知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6，从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)·(x －6)，于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x(3,4) 4 (4,6) f ′(x )＋ 0 － f (x ) ↗ 极大值42 ↘ 也是最大值点，所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42. 故当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． (变条件)本例条件换为：该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克，1＜x ≤12)满足：当1＜x ≤4时，y＝a (x －3)2＋bx －1，(a ，b 为常数)；当4＜x ≤12时，y ＝2 800x －100.已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．(1)求a ，b 的值，并确定y 关于x 的函数解析式；(2)若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x 的值，使店铺每日销售该特产所获利润f (x )最大，(7≈2.65)[解] (1)由题意：x ＝2时y ＝800，∴a ＋b ＝800， 又∵x ＝3时y ＝150，∴b ＝300，可得a ＝500.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 500x －32＋300x －1，1＜x ≤42800x －100，4＜x ≤12，(2)由题意：f (x )＝y (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 500x －32x －1＋300，1＜x ≤4⎝ ⎛⎭⎪⎫2 800x －100x －1，4＜x ≤12，当1＜x ≤4时，f (x )＝500(x －3)2(x －1)＋300＝500x 3－3 500x 2＋7 500x －4 200， f ′(x )＝500(3x －5)(x －3)，∴由f ′(x )＞0，得53＜x ＜3， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53，(3,4)上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫53，3上递减， ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53＝8 0009＋450＜f (4)＝1 800， ∴当x ＝4时有最大值，f (4)＝1 800当4＜x ≤12时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2 800x －100(x －1)＝2 900－利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．解此类问题需注意两点：①价格要大于或等于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．1．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f (x)；(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x)＝0的点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；(2)与实际问题相联系；(3)必要时注意分类讨论思想的应用．1．某箱子的体积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的体积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．60B [V ′(x )＝－32x 2＋60x ＝－32x (x －40)， 因为0＜x ＜60，所以当0＜x ＜40时，V ′(x )>0，此时V (x )单调递增；当40<x <60时，V ′(x )<0，此时V (x )单调递减，所以V (40)是V (x )的极大值，即当箱子的体积最大时，箱子底面边长为40.]2．某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，则销售量Q 与零售价p 有如下关系：Q ＝8 300－170p －p 2.则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( )A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元D [设毛利润为L (p )，由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20) ＝(8 300－170p －p 2)(p －20)＝－p 3－150p 2＋11 700p －166 000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11 700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．此时，L (30)＝23 000.因为在p ＝30附近的左侧L ′(p )＞0，右侧L ′(p )＜0，所以L (30)是极大值，根据实际问题的意义知，L (30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元．]3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________．3 [设圆柱形水桶的表面积为S ，底面半径为r (r ＞0)，则水桶的高为27r 2，所以S ＝πr 2＋2πr ×27r 2＝πr 2＋54πr(r ＞0)，求导数，得S ′＝2πr －54πr 2，令S ′＝0，解得r ＝3. 当0＜r ＜3时，S ′＜0；当r ＞3时，S ′＞0，所以当r ＝3时，圆柱形水桶的表面积最小，即用料最省．]4．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k ＞0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为________．0.032 [存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0,0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0＜x ＜0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0＜x ＜0.032时，y ′＞0；当0.032＜x ＜0.048时，y ′＜0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．]5．用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[解] 设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m(0＜x ＜32)． 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m3⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32. 从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝1，因此x ＝1.当0＜x ＜1时，V ′(x )＞0；当1＜x ＜32时，V ′(x )＜0， 故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m)3，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m.故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3.。
生活中的优化问题举例课件
跨部门协作
加强部门间的沟通和协作 ，打破信息孤岛，提高整 体工作效率。
合理分配工作任务
任务分配原则
根据员工的能力、经验和专长， 合理分配工作任务，确保工作量
均衡和高效。
优先级排序
根据任务的重要性和紧急性，指导 员工对工作任务进行优先级排序， 确保高优先级任务得到优先处理。
激励与考核机制
建立有效的激励和考核机制，鼓励 员工积极承担工作任务，提高工作 积极性和满意度。
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优先处理重要和紧急的任务，避免拖延和浪费时间。
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学习一些时间管理技巧，如番茄工作法等。
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避免多任务处理，尽量专注于单一任务，以提高工作效率 。
04
工作中的优化问题
பைடு நூலகம்
提高工作效率
制定合理的工作计划
减少干扰因素
根据工作优先级和任务量，制定每日 、每周和每月的工作计划，确保工作 有序进行。
生活中的优化问题举例课件
• 购物中的优化问题 • 旅行中的优化问题 • 日常生活中的优化问题 • 工作中的优化问题 • 学习中的优化问题
01
购物中的优化问题
寻找最优惠的价格
01
在购物时，消费者通常会寻找最 优惠的价格，以节省开支。
02
比较不同商家的价格，考虑商品 的质量、品牌、售后服务等因素 ，权衡性价比，选择最优惠的价 格。
02
旅行中的优化问题
选择最佳的旅行路线
总结词
选择最佳的旅行路线是旅行中的重要优化问题，可以减少时间和金钱的浪费。
详细描述
在旅行前，我们需要根据目的地、交通工具、时间等因素，选择一条最佳的旅行 路线。这需要考虑路线的长度、所需时间、交通工具的舒适度、费用等因素，以 便在有限的时间内尽可能多地游览景点，并减少不必要的花费。
14生活中的优化问题举例
2 x 512 8, x 0 x
求导数，有
512 S'(x) 2 x2 ,
令s'(
x)
2
512 x2
0,
解得，x=16 (x=-16舍去）
于是宽为 128 128 8 x 16
第4P页a，ge共27页4 。
当x (0,16)时, s'( x) 0; 当x (16,)时, s'( x) 0;
V.
2
从而h
V
R 2
23
V
2
即h=2R.
可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.
答 罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.
第1P4a页g，e共271页4 。
问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?
例3 磁盘的最大存储量问题
1你知道计算机是如何存 储、检索信息的吗 ? 2你知道磁盘的结构吗 ? 3如何使一个圆环状的磁 盘存储尽可能多的
解：设两段铁丝的长度分别为x,l-x,
其中0<x<l 则两个正方形面积和为
S
s1
s2
( x)2 4
(l
x)2 4
1 (2x2 2lx l 2 ) 16
第6P页a，ge共27页6 。
S 1 (2x2 2lx l 2 ) 16
S 1 (4x 2l) 1 (2x l)
16
8
令S 0,得x l 2
1.4 生活中的优化问题举例
第1页，共27页。
生活中经常遇到求利润最大、用料
最省、效率最高等问题，这些问题通常
称为优化问题，通过前面的学习，知道， 导数是求函数最大（小）值的有力工具， 本节我们运用导数，解决一些生活中的 优化问题。
小学生生活中的优化问题作文
小学生生活中的优化问题作文哎呀呀，生活中原来有这么多有趣的优化问题呀！嘿嘿。
比如说，每天早上起床穿衣服的时候，我就得想想怎么穿才能最快最方便呢，哈哈。
我可不能先穿外套再穿里面的衣服呀，那样多麻烦，嘿呀，得先把里面的穿好，再套上外套，这样就快多啦。
还有整理书包的时候呢，哎呀，我得把书本和文具都放得整整齐齐的，这样找东西的时候就很容易找到啦，嘿嘿。
出去买东西的时候也有优化问题哦。
妈妈会让我帮忙算怎么买更划算，哎呀呀，有时候我一下子就能算出来，哈哈，我觉得自己可聪明啦。
在学校里也一样呀，做值日的时候怎么分工才能最快打扫完教室呢，嘿呀，这也得好好想想。
哎呀，原来生活中到处都有这些需要我们去思考和优化的事情呀，嘿嘿，真有意思呢。
我以后要多多发现这些问题，让我的生活变得更高效，哈哈！。
高中数学选修2-2精品教案 4.1 生活中的优化问题举例(1)
§1．4．1生活中的优化问题举例(1)
【学情分析】：
导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：
1、与几何有关的最值问题；
2、与物理学有关的最值问题；
3、与利润及其成本有关的最值问题；
4、效率最值问题。
【教学目标】：
1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。
2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力
3．体会导数在解决实际问题中的作用.
【教学重点】：
利用导数解决生活中的一些优化问题．
【教学难点】：
将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。
【教学突破点】：
利用导数解决优化问题的基本思路：。