圆常见题型归纳
1,如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD
于点F，且CF⊥AD.(1)求∠D的度数（2）请证明： E是OB的中点；(3)
若AB=8，求CD的长。
2,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B+∠C=90∘,AB=6,CD=8,M,N分别为
AD,BC的中点,求MN长。
3,如图,在直角坐标系中,四边形OABC为正方形,顶点A,C在坐标轴上,
以边AB为弦的M与x轴相切,若点A的坐标为(0,8),求圆心M的坐标。
4,在O中，AB为直径，C为O上一点。(Ⅰ)如图1.过点C作O的切
线,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=27∘，求∠P的大小；(Ⅱ)如图2,D为ACˆ上一点,且
OD经过AC的中点E,连接DC并延长,与AB的延长线相交于点P,若∠CAB=10∘，求∠P的大小。
5,如图,AB是O的直径,AB=6,点M在O上,∠MAB=300，N是弧MB的中点，P是直线AB上
一动点，若MN=1,求△PMN周长的最小值
6,如图,在矩形ABCD中,BC=2AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接
CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于F.证
明:①∠AEB=∠AEH;②HO=12AE;③BC−BF=2EH
7,如图,圆O的弦AD∥BC,过点D的切线交BC的延长线于点E,AC∥DE交BD于点H，DO
及延长线分别交AC，BC于点G，F.(1)求证：DF垂直且平分AC；(2)求证：FC=CE；(3)
若弦AD=5cm，AC=8cm，求圆O的半径
8，如图,在直径为2的O中有两条弦AB、CD,AB=1,CD=2
(1)分别求出弦CD所对的圆心角的度数和弦AB所对应的圆周角的度数；
(2)以O为中心旋转其中一条弦，使两条弦的一个端点重合，画出旋转后的图形，
并求出此时两弦所夹的圆周角的度数。
9，如图，已知AB为圆O的直径，过圆O上的点C的切线交AB的延长线于点E，AD
⊥EC于点D且交圆O于点F，连接BC，CF，AC.（1）证明BC=CF(2)若AD=6，DE=8
求BE的长(3)求证：AF+2DF=AB.
关于圆的题型归纳和解题技巧高中
关于圆的题型归纳和解题技巧高中
圆是数学中最常见的图形之一，许多数学题都是围绕着圆这个图形所设计出来的，所以掌握圆题型的归纳和相关解题技巧对中学生来说是非常重要的。
本文将从圆的定义、特点分析、题型归纳和解题技巧等主要方面来展开讨论，希望能够对同学们掌握有关圆的知识有所帮助。
圆的定义和特点
一般来说，圆是一个二维的平面图形，可以定义为周围均匀曲线，其曲线上任意一点距离圆心固定的距离均相等，距离称为半径。
易证而知，心与圆上任意一点的距离恒定，则构成一个完美的图形，一般说，一个圆有一个中心点，这个点是该圆的另外两个特殊点（也可以说是边界点），即圆上的点，该点也可以用圆的参数方程来表示。
圆的题型归纳
圆的题型设置各有特点，圆的题型可以归纳出五大类：（1）求圆的半径或周长；（2）求圆周上任意一点到圆心的距离；（3）求圆的面积；（4）求圆心或圆上任意一点的坐标；（5）计算两个圆的位置关系求出重叠部分的面积。
圆的解题技巧
①根据题意推断出圆的参数方程。
需要理解题目，找出参数方程涉及到的参数，由参数方程求出答案。
②找出圆的特殊点来解题。
根据题意可以知道圆的特殊点，例如可以用圆的等边三角形（三角形的三个顶点在圆周上）来求得圆的半径等。
③推广思考，利用圆的克服变换法求解题。
可以利用一些特殊的变换，将复杂的圆形题目改成熟悉的直线方程题，把圆题解成一系列的直线方程来求解。
综上，即使中学生们觉得圆题目难以理解，但只要通过准确理解题意，运用正确的解题思路，还是可以轻松搞定这些圆题的。
只要把握好思路，多加练习就可以做到圆题的“拿捏如在掌握”。
高中数学圆的方程知识点题型归纳
高中数学圆的方程知识点题型归纳第一讲圆的方程一、知识清单一）圆的定义及方程圆的定义是平面内距离定点距离相等的点的轨迹。
圆的标准方程为 (y-b)2=r2，一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中圆心为 (a,b)，半径为 r。
标准方程和一般方程可以互相转化。
二）点与圆的位置关系点 M(x,y) 与圆 (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置关系有三种情况：在圆外、在圆上和在圆内。
三）温馨提示求圆的方程时，可以利用圆的几何性质简化运算，如圆心在过切点且与切线垂直的直线上、圆心在任一弦的中垂线上、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
此外，中点坐标公式也是常用的计算方法。
二、典例归纳本讲内容主要是圆的方程和点与圆的位置关系。
在求圆的方程时，需要注意利用圆的几何性质简化运算。
同时，中点坐标公式也是常用的计算方法。
在实际问题中，需要根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
且圆心在直线2x+y=0上，求该圆的方程。
变式3】已知圆C的方程为x2+y2-4x-6y+9=0，直线l的方程为2x+3y-6=0，求圆C与直线l的交点坐标。
变式4】已知圆C的方程为x2+y2-2x+4y-4=0，直线l的方程为x-y+2=0，求圆C与直线l的交点坐标。
方法总结：1.对于一般的圆方程，可以通过平移变换将其化为标准方程，然后根据圆的几何性质求出圆心和半径，进而写出标准方程。
2.对于已知圆心和半径的问题，可以利用圆的几何性质直接写出标准方程。
3.对于圆与直线的交点问题，可以将直线方程代入圆方程中解方程，或者将圆方程代入直线方程中解方程，求出交点坐标。
变式3】给定四个点A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(-1,2)，判断它们能否在同一个圆上，并说明原因。
这题可以通过计算四边形ABCD的两条对角线的中垂线是否相交来判断四个点是否在同一个圆上。
首先可以计算出AC的中点坐标为M(1.5.2.5)，斜率为-3/2，所以AC的中垂线的方程为y-2.5 = 2/3(x-1.5)。
初三圆中常考题型总结
授课类型T 圆的基本位置关系 C 圆与直线相关性质综合 T 中考真题运用授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理基本概念关系：1、点与圆的位置关系（1）点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C 在圆内； （2）点在圆上 ⇒ d r = ⇒ 点B 在圆上； （3）点在圆外 ⇒ d r > ⇒ 点A 在圆外；2、直线与圆的位置关系（1）直线与圆相离 ⇒ d r > ⇒ 无交点； （2）直线与圆相切 ⇒ d r = ⇒ 有一个交点； （3）直线与圆相交 ⇒ d r < ⇒ 有两个交点；drd=rrd3、圆与圆的位置关系外离（图1）⇒ 无交点 ⇒ d R r >+； 外切（图2）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =+； 相交（图3）⇒ 有两个交点 ⇒ R r d R r -<<+；rdd CBAO内切（图4）⇒ 有一个交点 ⇒ d R r =-； 内含（图5）⇒ 无交点 ⇒ d R r <-；图1rRd图3rRd二、同步题型分析题型1：点与圆例1：（★）⊙O 的半径r=10cm ，圆心到直线L 的距离OM=8cm ，在直线L 上有一点P ，PM=6cm ，则点P （ ）A 在⊙O 内B 在⊙O 外C 在⊙O 上D 不能确定题型2：直线与圆（相交、相离、相切）例1：（★★★）（2013四川巴中，26，13分）若⊙O 1和⊙O 2的圆心距为4，两圆半径分别为r 1、r 2，且r 1、r 2是方程组的解，求r 1、r 2的值，并判断两圆的位置关系．题型3：直线与圆（切线的证明）．如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，求证：DE 是⊙O 的切线．图2rRd图4rRd 图5r Rd．如图，△ABC 为等腰三角形，AB=AC ，O 是底边BC 的中点，⊙O 与腰AB 相切于点D ，求证：AC 与⊙O 相切．变式练习1：已知P 是⊙O 外一点，PO 交⊙O 于点C ，OC ＝CP ＝2，弦AB ⊥OC ，劣弧AB ︵的度数为120°，连接PB.(1)求BC 的长；(2)求证：PB 是⊙O 的切线．变式练习2．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，连接AC ，将△ACE 沿AC 翻折得到△ACF ，直线FC 与直线AB 相交于点G ． （1）直线FC 与⊙O 有何位置关系？并说明理由； （2）若OB=BG=2，求CD 的长．变式3：（★★★）已知：如图，射线ABC与⊙O相交于B，C两点，E是的中点，D是⊙O上一点，若∠EDA=∠AMD．求证：AD是⊙O的切线．变式4、如图△ABC中∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于D，E为AC边中点，求证：DE是⊙O的切线．题型4：直线与圆（切线长定理）（★★★））例1：已知：如图，P A，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)若∠P=40°，求∠COD；(2)若P A=10cm，求△PCD的周长．O O B AM题型4：圆与圆例1：（★★★）（2013·泰安，18，3分）如图，AB ，CD 是⊙O 的两条互相垂直的直径，点O 1，O 2，O 3，O 4分别是OA 、OB 、OC 、OD 的中点，若⊙O 的半径为2，则阴影部分的面积为（ ）A ．8B ．4C ．4π＋4D ．4π－4例2：（★★★）如图，点A ，B 在直线MN 上，AB =11cm ，⊙A ，⊙B 的半径均为1cm ．⊙A 以每秒2cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (s )之间的关系式为r =1＋t (t ≥0)．(1)试写出点A ，B 之间的距离d (cm)与时间t (s )之间的函数表达式； (2)问点A 出发多少秒时两圆相切?例3：（★★★）如图所示，半圆O 的直径AB=4，与半圆O 内切的动圆O 1与AB 切于点M ，•设⊙O 1的半径为y ，AM=x ，则y 关于x 的函数关系式是（ ）．A ．y=14x 2+x B ．y=－14x 2+x C ．y=－14x 2－x D ．y=14x 2－x三、课堂达标检测检测题1：（★★）已知：如图，△ABC 中，AC =BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，直线EF ⊥AC 于F ．求证：EF 与⊙O 相切．检测题2：（★★）（2013•东营，7，3分）已知1O ⊙的半径1r =2，2O ⊙的半径2r 是方程321x x =-的根，1O ⊙与2O ⊙的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（ ） A ．内含B ．内切C ．相交D ．外切检测题3：（★★）（2013江苏泰州，15，3分）如图，⊙O 的半径为4cm ，直线l 与⊙O 相交于A ， B 两点，AB 43=cm, P 为直线l 上一动点，以l cm 为半径的⊙P 与⊙O 没有公共点.设PO=d cm ，则d 的范围___________________.检测题4：（★★）（2013•嘉兴5分）在同一平面内，已知线段AO=2，⊙A 的半径为1，将⊙A 绕点O 按逆时针方向旋转60°得到的像为⊙B ，则⊙A 与⊙B 的位置关系为 ．检测题5：（★★）（2013广东梅州，11，3分）如图，在△ABC 中，AB =2，AC =2，以点A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切于点D ，则∠BAC 的度数是 ．检测题6：（★★）已知：如图，⊙O 1与⊙O 2外切于A 点，直线l 与⊙O 1、⊙O 2分别切于B ，C 点，若⊙O 1的半径r 1=2cm ，⊙O 2的半径r 2=3cm ．求BC 的长．一、专题精讲题型一：圆的分类讨论例1：（★★）若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），则此圆的半径为（ ）A ．2b a +B ．2b a -C ．22ba b a -+或 D ．b a b a -+或例2：（★★）（2013贵州省六盘水，16，4分）若⊙A 和⊙B 相切，它们的半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为题型三：三角形与圆例2：（★★★）已知：如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°．(1)若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半径r；(2)若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O的半径r．二、专题过关检测题1：（★★★）（2013白银，17，4分）已知⊙O1与⊙O2的半径分别是方程x2﹣4x+3=0的两根，且O1O2=t+2，若这两个圆相切，则t=．检测题2:（★★★）已知：如图，⊙O内切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC 的长．一、能力培养（2011，十堰）如图，A B是半圆O的直径，点C为半径O B上一点，过点C作C D⊥A B 交半圆O于点D，将△A C D沿A D折叠得到△A E D，A E交半圆于点F，连接D F．（1）求证：D E是半圆的切线；（2）连接O D，当O C＝B C时，判断四边形O D F A的形状，并证明你的结论．例．2．：．[2011．．上，以．．．A E．．为直径的⊙．．．A B．．．．．O．与．．．]．如图，已知点．．．．．·湛江．．．．．．E．在．R t．．△．A B C．．．的斜边直角边．．．B C．．．．D.．．．．相切于点(1)．．．B A C．．．；．．．平分∠．．．求证：．．．A D(2)．．．．．．．O．的半径．．．．若．B E．．＝．2．，．B D．．＝．4．，求⊙。
中考复习--圆专题所有知识点和题型汇总,全
"圆"题型分类资料一． 圆的有关概念：1.以下说法：①直径是弦 ②弦是直径 ③半圆是弧，但弧不一定是半圆 ④长度相等的两条弧是等弧，正确的命题有〔 〕A . 1个B .2个C .3个D .4个2．以下命题是假命题的是〔 〕A ．直径是圆最长的弦B ．长度相等的弧是等弧C ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧也相等D ．如果三角形一边的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形。
3.以下命题正确的选项是 〔 〕 A ．三点确定一个圆 B ．长度相等的两条弧是等弧C ．一个三角形有且只有一个外接圆D .一个圆只有一个外接三角形4.以下说确的是( )A ．相等的圆周角所对的弧相等B ．圆周角等于圆心角的一半C ．长度相等的弧所对的圆周角相等D ．直径所对的圆周角等于90°5.下面四个图中的角，为圆心角的是( )A ．B ．C ．D ．二．和圆有关的角：1. 如图1，点O 是△ABC 的心，∠A =50︒，则∠BOC =_________图1 图22.如图2，假设AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 的度数为( )A .116°B .64°C . 58°D .32°3. 如图3，点O 为优弧AB 所在圆的圆心，∠AOC =108°，点D 在AB 的延长线上，BD =BC ，则∠D 的度数为图3 图44. 如图4，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，∠BAC ＝80°，则∠BDC ＝_________度．5. 如图5，在⊙O 中， BC 是直径，弦BA ，CD 的延长线相交于点P ，假设∠P ＝50°，则∠AOD ＝．图5 图66. 如图6，A ，B ，C ，是⊙O 上的三个点，假设∠AOC ＝110°，则∠ABC ＝°．7.圆的接四边形ABCD 中，∠A ：∠B ：∠C =2：3：7，则∠D 的度数为。
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)(含解析)
圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.82(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.23(2023•宜昌)如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD=CD=8，OD=6，则BD的长为()A.5B.4C.3D.24(2023•金寨县校级模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，AB=10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.45(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.26(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=cm．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB=16，CM=16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.1012(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB=8，CD=2，则EC的长度为()A.215B.8C.210D.21313(2022秋•文登区期末)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE=CD=8，则⊙O的半径为()D.5A.3B.4C.9214(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.615(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.518(2023•汇川区三模)在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是()A.3B.33C.23D.23219(2023春•仪征市期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，CE=3，BE=1，则OC=．20(2023•大冶市一模)如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD=1，AB=4，则⊙O的半径是 52 ．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB=3.2米，拱高CD=0.8米(C为AB的中点，D为弧AB的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB=24cm，CD=8cm．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．)28如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24(1)求CD的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)圆中垂径定理综合应用(3大类题型)重难点题型归纳【题型1直接运用勾股定理求线段】【题型2勾股定理与方程综合求线段】【题型3垂径定理在实际中应用】满分必练【题型1直接运用勾股定理求线段】1(2023•大连模拟)如图所示，在⊙O中，直径AB=10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB =3：5，则DE的长为()A.3B.4C.6D.8【答案】D【解答】解：∵AB=10，∴OA=OB=5，∵OC：OB=3：5，∴OC=3，在Rt△OCD中，CD=OD2-OC2=52-32=4，∵DE⊥AB，∴DE=2CD=8，故选：D．2(2023•杭州模拟)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=5cm，CD=8cm，则AE= ( )cm．A.8B.5C.3D.2【答案】A【解答】解：∵AB⊥CD，AB是直径，∴CE=ED=4cm，在Rt△OEC中，OE=OC2-EC2=52-42=3(cm)，∴AE=OA+OE=5+3=8(cm)，故选：A．3(2023•宜昌)如图，OA ，OB ，OC 都是⊙O 的半径，AC ，OB 交于点D ．若AD =CD =8，OD =6，则BD 的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】B 【解答】解：∵AD =CD =8，∴OB ⊥AC ，在Rt △AOD 中，OA =AD 2+OD 2=82+62=10，∴OB =10，∴BD =10-6=4．故选：B ．4(2023•金寨县校级模拟)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若CD =6，AB =10，则AE 的长为()A.1B.2C.3D.4【答案】A 【解答】解：连接OC ，∵直径AB ⊥CD ，∴EC =12CD =12×6=3，∵AB =10，∴OC =OA =5，∴OE =OC 2-CE 2=4，∴AE =OA -OE =1．故选：A ．5(2023•亳州三模)如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB=10，CD=8，则BH的长为()A.5B.4C.3D.2【答案】D【解答】解：连接OC，∵AB⊥CD，CD=8，∴CH=DH=12CD=4，∠OHC=90°，∵AB=10，∴OB=OC=5，∴OH=OC2-CH2=52-42=3，∴BH=OB-OH=2，故选：D．6(2023•容县一模)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD=8cm，AB=10cm，则AE=2cm．【答案】2cm．【解答】解：由题意可知，AB垂直平分CD，OC=OA=12AB=5cm，∴CE=12CD=4cm，在Rt△CEO中，OE=OC2-CE2=52-42=3(cm)，∴AE=OA-OE=2cm．故答案为：2cm．7(2023•衡南县三模)在⊙O中，直径AB=4，弦CD⊥AB于P，OP=3，则弦CD的长为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵在⊙O中，直径AB=4，AB=2，∴OA=OC=12∴弦CD⊥AB于P，OP=3，∴CP=OC2-OP2=1，∴CD=2CP=2．故答案为：2．8(2023•东台市校级模拟)如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA=5，AB= 8，则线段CD的长为=2．【答案】2．【解答】解：∵OC⊥AB，AB=4，∴AD=BD=12在Rt△OAD中，OD=OA2-OD2=52-42=3，∴CD=OC-OD=5-3=2．故答案为：2．9(2023•望城区模拟)如图，AB是⊙O的直径，且AB=10cm，弦CD⊥AB于点E，CD=8cm，连接OC，则BE=2cm．【答案】2．【解答】解：∵弦CD ⊥AB ，CD =8cm ，∴CE =12CD =4cm ，在Rt △OEC 中，OC =12AB =5cm ，∴OE =OC 2-CE 2=3cm ，∴BE =OB -OE =2(cm )，故答案为：2．10(2023•长沙县二模)如图，⊙O 的半径为5，弦AB =8，点C 是AB 的中点，连接OC ，则OC 的长为3．【答案】3．【解答】解：∵B 是AC 的中点，∴AC =12AB =4，OC ⊥AB ，在Rt △OAC 中，OC =OA 2-AC 2=52-42=3．故答案为：3．【题型2勾股定理与方程综合求线段】11(2023•邯郸模拟)如图，以CD 为直径的⊙O 中，弦AB ⊥CD 于M ．AB =16，CM =16．则MD 的长为()A.4B.6C.8D.10【答案】A【解答】解：连接OA ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OA =r ，OM =16-r ，∵AB ⊥CD ，∴AM =BM =12AB =8，在Rt △AOM 中，82+(16-r )2=r 2，解得r =10，∴MD =CD -CM =20-16=4．故选：A ．12(2022秋•南开区校级期末)如图，在⊙O 中，半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接EC ，若AB =8，CD =2，则EC 的长度为()A.215B.8C.210D.213【答案】D【解答】解：如图，连接BE ，设⊙O 的半径为R ，∵OD ⊥AB ，∴AC =BC =12AB =12×8=4，在Rt △AOC 中，OA =r ，OC =r -CD =r -2，由勾股定理，得OC 2+AC 2=OA 2，∴42+(r -2)2=r 2，解得r =5，∴OC =5-2=3，∵O 是AE 的中点，C 是AB 的中点，∴OC 是三角形ABE 的中位线，∴BE =2OC =6，∵AE 为⊙O 的直径，∴∠ABE =90°，在Rt △BCE 中，CE =BC 2+BE 2=213．故选：D ．13(2022秋•文登区期末)如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若AE =CD =8，则⊙O 的半径为()A.3B.4C.9D.52【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OC，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE=CD=8，CD=4，∴CE=DE=12设OC=r，则OE=8-r，在Rt△OCE中，OE2+CE2=OC2，即(8-r)2+42=r2，解得r=5．故选：D．14(2022秋•西湖区校级期末)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE=10，CD= 8，则⊙O的半径为()A.3B.4.2C.5.8D.6【答案】C【解答】解：连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=10-R，∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，∴∠OEC=90°，CE=DE=4，由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，R2=42+(10-R)2，解得：R=5.8，即⊙O的半径长是5.8，故选：C．15(2022秋•泰山区校级期末)一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB=16dm，DC=4dm，则圆形标志牌的半径为()A.6dmB.5dmC.10dmD.3dm【答案】C【解答】解：连接OA，OD，∵点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D，AB=16dm，DC=4dm，∴AD=8dm，设圆形标志牌的半径为r，可得：r2=82+(r-4)2，解得：r=10，故选：C．16(2022秋•任城区校级期末)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE=2寸，AB=16寸，直径CD的长是()A.28寸B.30寸C.36寸D.34寸【答案】D【解答】解：如图，连接OA，∵CD⊥AB，CD过圆心O，AB=16寸，∴∠AEO=90°，AE=BE=8寸，设圆的半径是r寸，在直角△OAE中，OA=r寸，OE=(r-2)寸，由勾股定理得：OA2=OE2+AE2，r2=(r-2)2+82，解得：r=17．则CD=2×17=34(寸)．故选：D．17(2023•汉阳区校级一模)如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE=1，AB=6，则CD长为()A.10B.9C.8D.5【答案】A【解答】解：设⊙O的半径为R，则OE=R-1，∵AB⊥CD，AB=6，∴AE=BE=3，∠AEO=90°，在Rt△AEO中，由勾股定理得：AO2=AE2+OE2，R2=(R-1)2+32，解得：R=5，即CD =10，故选：A ．18(2023•汇川区三模)在半径为r 的圆中，弦BC 垂直平分OA ，若BC =6，则r 的值是()A.3B.33C.23D.232【答案】C 【解答】解：设OA 交BC 于点D ，如图，∵BC 垂直平分OA ，∴OD =12r ，BD =CD =12BC =3，在Rt △OBD 中，(12r )2+32=r 2，解得r 1=23，r 2=-23(舍去)，即r 的值为23．故选：C ．19(2023春•仪征市期末)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，CE =3，BE =1，则OC =2．【答案】2．【解答】解：设OC =x ，则OE =x -1，在Rt △COE 中由勾股定理得，OC 2=CE 2+OE 2，即x 2=(3)2+(x -1)2，解得x =2，即OC =2，故答案为：2．20(2023•大冶市一模)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是AB 的中点，连接OC 并延长交⊙O 于点D ．若CD =1，AB =4，则⊙O 的半径是 52 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，∵C 是AB 的中点，∴AC =12AB =2，OC ⊥AB ，∴OA 2=OC 2+AC 2，即OA 2=(OA -1)2+22，解得，OA =52，故答案为：52．【题型3垂径定理在实际中应用】21(2022秋•海淀区校级月考)如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB ，点O 是弧AB 的圆心，C 为弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ．已知AB =60m ，CD =10m ，求这段弯路的半径．【答案】这段弯路的半径为50m ．【解答】解：连接OB ，∵OC ⊥AB ，∴AD =BD =12AB =30m ，设半径为r ，则OD =r -10，在Rt △OBD 中，OD 2+BD 2=OB 2，即(r -10)2+302=r 2，解得r =50m ，答：这段弯路的半径为50m ．22(2022秋•郾城区期中)如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB 为0.6米，污水的最大深度为0.1米．(1)求此下水管横截面的半径；(2)随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？【答案】(1)下水管半径为0.5米；(2)水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．【解答】解：(1)作半径OD ⊥AB 于C ，连接OB ，则CD =0.1米，由垂径定理得：BC =12AB =0.3米，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2，∴OB 2=(OB -0.1)2+0.09，∴BO =0.5，即下水管半径为0.5米；(2)如图，过点O 作OH ⊥MN 于H ，∴NH =MH ，∵水位又被抬升0.7米，∴OH =0.1+0.7-0.5=0.3米，∴NH =ON 2-OH 2=0.25-0.09=0.4米，∴MN =0.8米，∴增加了0.2米，∴水位又被抬升0.7米，水面的宽度增加了0.2米．23(2022秋•沭阳县期中)如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB =3.2米，拱高CD =0.8米(C 为AB 的中点，D 为弧AB 的中点)．(1)求该圆弧所在圆的半径；(2)在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF ，求支撑杆EF 的高度．【答案】0.4米．【解答】解：(1)设弧AB 所在的圆心为O ，D 为弧AB 的中点，CD ⊥AB 于C ，延长DC 经过O 点，则BC =12AB =1.6(米)，设⊙O 的半径为R ，在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+CB 2，∴R 2=(R -0.8)2+1.62，解得R =2，即该圆弧所在圆的半径为2米；(2)过O 作OH ⊥FE 于H ，则OH =CE =1.6-0.4=1.2=65(米)，OF =2米，在Rt △OHF 中，HF =OF 2-OH 2=22-652=1.6(米)，∵HE =OC =OD -CD =2-0.8=1.2(米)，∴EF =HF -HE =1.6-1.2=0.4(米)，即支撑杆EF 的高度为0.4米．24如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度(所对弦长)为60m ，拱高18m ，当水面涨至其跨度只有30m 时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m ，问是否需要采取紧急措施？【答案】不需要．【解答】解：∵AB =60米，MP =18米，OP ⊥AB ，∴AM =12AB =30(米)，OM =OP -MP =(x -18)米，在Rt △OAM 中，由勾股定理得OA 2=AM 2+OM 2，∴x 2=302+(x -18)2，∴x =34(米)．当PN =4时，∵PN =4，OP =x ，∴ON =34-4=30(米)，设A ′N =y 米，在Rt △OA ′N 中，∵OA ′=34，A ′N =y ，ON =30，∴342=y 2+302，∴y =16或y =-16(舍去)，∴A ′N =16，∴A ′B ′=16×2=32(米)>30米，∴不需要采取紧急措施．25如图，残缺轮片上弦AB 的垂直平分线交弧AB 于点C ，交弦AB 于点D ，已知AB =24cm ，CD =8cm ．(1)找出此残缺轮片所在圆的圆心(写出找到圆心的方法)；(2)求此圆的半径．【答案】(1)圆的圆心如图所示；(2)13．【解答】解：(1)连接AC，作线段AC的垂直平分线交直线CD为O，则点O为此残缺轮片所在圆的圆心；(2)连接OA，设此圆的半径为rcm，则OD=(r-8)cm，∵CD是弦AB的垂直平分线，AB=24cm，∴AD=12cm，在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，即r2=(r-8)2+122，解得：r=13．26某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD=2.4m(如图)．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？【答案】此货船能顺利通过这座拱桥．【解答】解：如图，连接ON，OB．∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB=7.2m，AB=3.6m．∴BD=12又∵CD=2.4m，设OB=OC=ON=rm，则OD=(r-2.4)m．在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r-2.4)2+3.62，解得r=3.9．∵CD=2.4m，船舱顶部为正方形并高出水面AB2m，∴CE=2.4-2=0.4m，∴OE=r-CE=3.9-0.4=3.5m，在Rt△OEN中，EN2=ON2-OE2=3.92-3.52=2.96(m2)，∴EN= 2.96(m)．∴MN=2EN=2× 2.96≈3.44m>3m．∴此货船能顺利通过这座拱桥．27我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径(直径)几何？”(注：如图，⊙O 表示圆材截面，CE 是⊙O 的直径，AB 表示“锯道”，CD 表示“锯深”，1尺=10寸，求圆材的直径长就是求CE 的长．)【答案】见试题解答内容【解答】解：连接OA ，如图所示：∵AB ⊥CE ，∴AD =BD ，∵AB =10，∴AD =5，在Rt △AOE 中，∵OA 2=OD 2+AD 2，∴OA 2=(OA -1)2+52，解得：OA =13，∴CD =2A 0=26；即直径为26寸．28如图，半圆拱桥的圆心为O ，圆的半径为5m ，一只8m 宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m ，离水面AB 高3.8m ，这条船能过桥洞吗？请说明理由．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，过点O 作OF ⊥DE 于点F ，则EF =DF =12DE ，假设DE =6m ，则DF =3m ，∵圆的半径为5m ，∴OD =5m ，∴OF =OD 2-DF 2=52-32=4>3.8，∴这条船能过桥洞．29(2022秋•沭阳县校级月考)如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O ，直径AB 是河底线，弦CD 是水位线，CD ∥AB ，且AB =26m ，OE ⊥CD 于点E ．水位正常时测得OE ：CD =5：24(1)求CD 的长；(2)现汛期来临，水面要以每小时4m 的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？【答案】见试题解答内容【解答】解：(1)∵直径AB=26m，∴OD=12AB=12×26=13m，∵OE⊥CD，∴DE=12CD，∵OE：CD=5：24，∴OE：ED=5：12，∴设OE=5x，ED=12x，∴在Rt△ODE中(5x)2+(12x)2=132，解得x=1，∴CD=2DE=2×12×1=24m；(2)由(1)得OE=1×5=5m，延长OE交圆O于点F，∴EF=OF-OE=13-5=8m，∴84=2(小时)，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．30(2022秋•东台市期中)如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．(精确到0.1m)【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，连接OC，AB交CD于E，由题意知：AB=1.6+6.4+4=12，所以OC=OB=6，OE=OB-BE=6-4=2，由题意可知：AB⊥CD，∵AB过O，∴CD=2CE，在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE=OC2-OE3=62-22=42，∴CD=2CE=82≈11.3m，所以路面CD的宽度为11.3m．。
(完整版)初中圆题型总结
圆的基本题型纵观近几年全国各地中考题，圆的相关看法以及性质等一般以填空题，选择题的形式观察并占有必然的分值；一般在 10 分－ 15 分左右，圆的相关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判断与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式观察；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有特别重要的地位，别的与圆相关的本质应用题，阅读理解题，研究存在性问题仍是热门考题，应引起注意 . 下面究近来几年来圆的相关热门题型，举例解析以下。
一、圆的性质及重要定理的观察基础知识链接：（ 1）垂径定理；（ 2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系 .(3) 圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质【例 1】（江苏镇江）如图， AB 为⊙ O直径， CD 为弦，且 CD AB ，垂足为 H ．（1）OCD 的均分线 CE 交⊙ O于 E ，连接 OE ．求证： E 为弧 ADB的中点；（2）若是⊙ O的半径为 1，CD 3 ，①求 O 到弦 AC 的距离；②填空：此时圆周上存在个点到直线 AC 的距离为1．2【解析】（1）Q OC OE ，E OCEC又OCE DCE ，E DCE ．A BO HOE ∥ CD ．E D 又 CD AB ，AOE BOE 90o．E 为弧 ADB的中点．（2）①Q CD AB ， AB 为⊙ O的直径，CD 3 ，1CD 3．又 OC CH33 ．CH 1 ，sin COB 22 2 OC 1 2 COB 60o，BAC 30o．作 OP AC 于 P ，则 OP 1OA 1 ．2 2②3.【谈论】本题综合观察了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力 . 运用垂径定理时，需增加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距, 本题的弦心距就是指线段OD的长 . 在圆中解相关弦心距半径相关问题时 , 常常增加的辅助线是连半径或作出弦心距, 把垂径定理和勾股定理结合起来解题. 如图 , ⊙O的半径为r , 弦心距为 d , 弦长 a 之间d 2a 2的关系为 r 2 . 依照此公式 , 在 a 、r、d 三个量中 , 知道任何两个量即可2以求出第三个量 . 平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形 .【例】（安徽芜湖）如图，已知点 E 是圆 O上的点，2B、C分别是劣弧 AD 的三均分点，BOC 46o，则 AED 的度数为．【解析】由B、C 分别是劣弧AD 的三均分点知，圆心角∠∠∠AOB= BOC= COD,又 BOC 46o，因此∠AOD=138o.依照同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
考点题型归纳】北师大版六年级上册数学第一单元。圆(含答案)
考点题型归纳】北师大版六年级上册数学第一单元。
圆(含答案)考点题型一：正方形、长方形中画圆1.在边长为6cm的正方形中画一个最大的圆，这个圆的直径为6cm。
2.在长3m，宽2m的长方形上剪出半径为2cm的圆，最多可以剪2个。
练一：1.在长28cm，宽26cm的长方形纸板上剪出一个最大的圆，这个圆的半径为13cm。
2.在一张长16cm，宽8cm的长方形内画直径为4cm的圆，这样的圆最多可画2个。
3.在一张长6.28m，宽4m的长方形铁皮上，最多可以截取半径为1m的圆铁片3个。
4.在一张边长为20cm的正方形纸上，画半径为2cm的圆，最多可以画2个（正反面都可以画）。
考点题型二：圆的周长公式及其应用圆的周长公式为：直径×圆周率=2×半径×圆周率。
1.一种压路机的前轮直径为1.6m，每分钟转10圈，压路机每分钟前进16m。
2.汽车车轮的半径为0.3m，它滚动1圈前进0.942m。
3.用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是15.7dm，这个圆的直径为5dm。
4.用圆规画一个周长为25.12cm的圆，圆规两脚之间的距离应为8cm。
练二：1.一种压路机的前轮直径为1.32m，每分钟转6圈，压路机每分钟约前进5m（得数保留整数）。
2.汽车车轮的半径为0.25m，它滚动1圈前进1.57m。
3.用一个硬纸板做成的圆在直尺上滚动一周，经过的距离是18.84cm，这个圆的直径为6cm。
4.用圆规画一个周长为31.4cm的圆，圆规两脚之间的距离应为10cm。
考点题型三：圆的面积公式及其应用圆的面积公式为：半径×半径×圆周率。
1.一个钟表的分针长5cm，这个钟表从12时走到6时，分针扫过的面积为75π cm²。
2.公园有一个圆形喷水池，周长为50.24m，这个喷水池的占地面积为1261.76m²。
练三：1.一个钟表的时针长4cm，一昼夜时针针尖扫过的面积为480π cm²。
第03讲 圆的方程(八大题型)(课件)
．
【答案】 2 + 2 − 3 + − 1 = 0
所以所求圆的方程为 2 + 2 − 3 + − 1 = 0．
【解析】设圆的方程为
故答案为： 2 + 2 − 3 + − 1 = 0.
2 + 2 − 4 + 2 + ( 2 + 2 − 2 − 4) = 0 ≠ −1 ，
则
0 =
0 =
3
2
整理得 +
3+1
2
0 ≠ 0
1 2
3
=
−1+1+20 −1
3
2
= 30
【解题方法总结】
，
代入 2 + 2 = 1，
+ 2 =
4
9
≠0
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐
标x，y的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得
到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所
1 2
2
+ 2 = 1.
）
题型三：与圆有关的轨迹问题
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面
内，到两个定点距离之比值为常数( > 0, ≠ 1)的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到(−2,0)的距离
化简得 2 + 2 + 3 − 12 − 4 = 0.
故答案为： 2 + 2 + 3 − 12 − 4 = 0.
题型二：直线系方程和圆系方程
圆的方程知识点及题型归纳总结
圆的方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、基本概念 平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆. 二、基本性质、定理与公式 1.圆的四种方程（1）圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，圆心坐标为(a ,b )，半径为)0(>r r （2）圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ，圆心坐标为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径2422FE D r -+=（3）圆的直径式方程：若),(),,(2211y x B y x A ，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x（4）圆的参数方程：①)0(222>=+r r y x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）；②)0()()(222>=-+-r r b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=θθsin cos r b y r a x （θ为参数）.注 对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为)sin ,cos (θθr b r a ++（θ为参数，(a,b )为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值.2.点与圆的位置关系判断（1）点),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系： ①⇔>-+-222)()(r b y a x 点P 在圆外； ②⇔=-+-222)()(r b y a x 点P 在圆上； ③⇔<-+-222)()(r b y a x 点P 在圆内.（2）点),(00y x P 与圆022=++++F Ey Dx y x 的位置关系：①⇔>++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆外； ②⇔=++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆上； ③⇔<++++0002020F Ey Dx y x 点P 在圆内.题型归纳及思路提示题型1 求圆的方程 思路提示（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐标(a,b )和半径r ；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点.因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法.（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等. 例9.17 根据下列条件求圆的方程：（1）ABC ∆的三个顶点分别为A (-1,5),B (-2,-2),C (5,5),求其外接圆的方程； （2）经过点A (6,5),B (0,1),且圆心在直线3x +10y +9=0上； （3）经过点P (-2,4),Q (3,-1),且在x 轴上截得的弦长等于6. 分析 根据待定系数法求出相应的量即可.解析 （1）解法一：设所求圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，则由题意有，⎪⎩⎪⎨⎧=+++=++--=+++-0505508220265F E D F E D F E D 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=2024F E D 故所求圆的方程为0202422=---+y x y x解法二：由题意可求得AC 的中垂线方程为x =2,BC 的中垂线方程为x +y -3=0，所以圆心是两条中垂线的交点P (2,1),且半径5)51()12(||22=-++==AP r所以所求圆的方程为25)1()2(22=-+-y x 即0202422=---+y x y x（2）AB 的中垂线与AB 垂直，则斜率231-=-=ABk kAB 的中点(3,3)，则由点斜式可得)3(233--=-x y ， 即线段AB 的中垂线方程为3x+2y-15=0由⎩⎨⎧=++=-+0910301523y x y x ，解得⎩⎨⎧-==37y x ，所以圆心为C(7,-3),又65||=BC故所求的圆的方程为65)3()7(22=++-y x（3）设圆的方程为022=++++F Ey Dx y x ，将点P ，Q 的坐标分别代入，得⎩⎨⎧-=+-=--1032042F E D F E D ，又令y =0,得02=++F Dx x .设21,x x 是方程的两根，则由韦达定理有F x x D x x =-=+2121,，由6||21=-x x有364)(21221=-+x x x x ，即3642=-F D解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=-=842F E D 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=086F E D故所求圆的方程为084222=---+y x y x 或08622=--+y x y x评注 圆的方程有两种形式：标准方程和一般方程.求圆的方程问题一般采用待定系数法，并有两种不同的选择，一般地，已知圆 上的三点时用一般方程；已知圆心或半径关系时用标准方程.即首先设出圆的方程（标准方程或一般方程），然后根据题意列出关于圆的方程中参数的方程（组），解方程或方程组即可求得圆的方程.一般地，确定一个圆需要三个独立的条件.变式1 求过点A(6,0),B(1,5),且圆心在直线0872:=+-y x l 上的圆的方程. 变式2 在平面直角坐标系xOy 中，曲线与坐标轴的交点都在圆C 上，求圆C 的方程例9.18 已知圆的半径为10，圆心在直线y =2x 上，圆被直线y=x 截得的弦长为24，求此圆的方程. 分析 求圆的标准方程，就是求222)()(r b y a x =-+-中的a,b,r ，可优先考虑待定系数法. 解析 解法一：设圆的方程为10)()(22=-+-b y a x .由圆心在直线y=2x 上，得b=2a （①） 由圆在直线y=x 上截得的弦长为24，将y=x 代入10)()(22=-+-b y a x ，整理得010)(22222=-+++-b a x b a x 由弦长公式，得24||221=-x x即24)10(2)(2222=-+-+b a b a ，化简得2±=-b a （②） 由式①②可得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x解法二：据几何性质，半径、弦长的一半、弦心距构成直角三角形，可得弦心距2)22(22=-=r d ，又弦心距等于圆心(a,b )到直线x-y =0的距离，即22||=-=b a d ，又已知b =2a ，解得⎩⎨⎧==42b a 或⎩⎨⎧-=-=42b a 故所求圆的方程为10)4()2(22=-+-y x 或10)4()2(22=+++y x 评注 注意灵活运用垂径定理来简化圆中弦长的求解过程.变式1 求与x 轴相切，圆心在直线3x-y =0上，且被直线x-y =0截得的弦长为72的圆的方程例9.19 圆01222=--+x y x 关于直线2x -y +3=0对称的圆的方程是（ ）A.21)2()3(22=-++y x B.21)2()3(22=++-y xC.2)2()3(22=-++y x D.2)2()3(22=++-y x解析 解法一：（推演法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)1(22=+-y x ，得圆心为(1,0)，半径为2，设对称圆的圆心坐标为(a,b)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+-+⨯2110032212a b b a ,得⎩⎨⎧=-=23b a . 故对称圆的方程是2)2()3(22=-++y x 解法二：（排除法）将圆的方程01222=--+x y x 化为标准方程2)2(22=+-y x ,得2=r ,则对称圆的半径也应为2，故排除选项A,B ，在选项C 中，圆心为(-3,2)，验证两圆圆心所在的直线的斜率为211302-=---，与直线032=+-y x 垂直.故选C评注 根据圆的性质求圆关于直线的对称圆的方程问题，一般转化为求圆心关于直线对称点的问题，半径保持不变.变式1 若不同两点P ,Q 的坐标分别为，)3,3(),,(a b b a --,则线段PQ 的垂直平分线l 的斜率为________，圆1)3()2(22=-+-y x 关于直线l 对称的圆的方程为______题型2 直线系方程和圆系方程 思路提示求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）.（1）直线系方程：若直线0:1111=++C y B x A l 与直线0:2222=++C y B x A l 相交于点P ，则过点P 的直线系方程为：0)()(22221111=+++++C y B x A C y B x A λλ)0(2221≠+λλ简记为：)0(022212211≠+=+λλλλl l 当01≠λ时，简记为：021=+l l λ（不含2l ）（2）圆系方程：若圆0:111221=++++F y E x D y x C 与圆0:222222=++++F y E x D y x C 相交于A,B两点，则过A,B两点的圆系方程为：)1(0)(2222211122-≠=+++++++++λλF y E x D y x F y E x D y x简记为：)1(021-≠=+λλC C ，不含2C当1-=λ时，该圆系退化为公共弦所在直线（根轴）0)()(:212121=-+-+-F F y E E x D D l 注 与圆C 共根轴l 的圆系0:=+l C C λλ例9.20 （1）设直线01:1=+-y x l 与直线022:2=++y x l 相交于点P,求过点P 且与直线0132:3=--y x l 平行的直线4l 的方程.（2）求圆心在直线0143=-+y x 上且过两圆0222=-+-+y x y x 与522=+y x 的交点的圆的方程.分析 把两条直线（圆）的方程联立，解得直线（圆）的交点坐标的方法看似平常，实则复杂难解，而利用直线系（圆系）方程的概念，则较易求得答案.解析 （1）解法一：由⎩⎨⎧=++=+-02201y x y x ，得交点)0,1(-P .因为34//l l ，故设032:4=+-C y x l ，又4l 过点)0,1(-P ，故0)1(2=+-C ，得2=C即0232:4=+-y x l解法二：设0)1(22:4=+-+++y x y x l λ，即02)1()2(:4=++-++λλλy x l 因为34//l l ，所以）（）（λλ-=+-1223，得8-=λ，故0232:4=+-y x l (2)设所求圆为)1(0)5(222-≠=-++-+-+λλy x y x y x 化为一般式0152111122=++-+++-+λλλλy x y x 所以)1(212,)1(212λλ+-=-+=-E D ，故圆心为⎪⎭⎫ ⎝⎛++）（，）（λλ121-121代入直线0143=-+y x 中，得01)1(24)1(23=-+-+λλ解得23-=λ，把23-=λ代入所设的方程中，得0112222=--++y x y x 故所求圆的方程为0112222=--++y x y x评注 直线系或圆系是具有共同性质的直线或圆的集合，在解题过程中适当利用直线系或圆系方程，往往能够简化运算，快速得出结论.变式1 过直线042=++y x 和圆014222=+-++y x y x 的交点且面积最小的圆的方程是_________ 变式2 （1）设直线0:1=-y x l 与直线04:2=-+y x l 相交于点P ，求过点P 且与直线0543:3=++y x l 垂直的直线4l 的方程.（2）已知圆042:22=---+m y x y x C ，若直线02:=-+y x l 与圆C 相交于A,B 两点，且OB OA ⊥（O 为坐标原点），求m 的值和以AB 为直径的圆的方程.题型3 与圆有关的轨迹问题 思路提示要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x,y 的等量关系，根据题目条件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在.例9.21（2012北京丰台高三期末理18）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点)0,4(),0,1(N M 的距离之比为21.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）若直线3:+=kx y l 与曲线W 交于A,B 两点，在曲线W 上是否存在 一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由. 解析 （1）设点P 的坐标为),(y x P ，由题意知21||||=PN PM ，即2222)4()1(2y x y x +-=+- 即4:22=+y x W（2）因为直线3:+=kx y l 与曲线W 相交于A,B 两点，所以213),(2<+=kl O d即25>k 或25-<k ① 假设曲线W 上存在点Q ，使得2||,=+=OQ OB OA OQ 因为A,B 在圆上，所以||||OB OA =，且OB OA OQ +=由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形，所以OQ 与AB 互相垂直平分. 故1||21),(==OQ l O d ，即1132=+k，解得22±=k ，符合式①所以存在点Q ，使得OB OA OQ +=评注 在平面上到两定点的距离之比不为1的正数的动点轨迹为圆. 变式1 在ABC ∆中，若BC AC AB 2,2==，则ABC S ∆的最大值为__________变式2 （2012北京石景山一模理8）如图9-10所示，已知平面B A l ,,=βα 是l 上的两个点，C,D 在平面β内，且αα⊥⊥CB DA ,,AD =4,AB =6,BC =8，在平面α上有一个动点P ，使得BPC APD ∠=∠，则P-ABCD 体积的最大值是（ ）A.324B.16C.48D.144例9.22 如图9-11所示，已知P (4,0)是圆3622=+y x 内的一点，A,B 是圆上两动点，且满足︒=∠90APB ，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程解析 解法一：设AB 的中点为R ,点Q 的坐标为(x,y ),则在ABP Rt ∆中||||PR AR =，又因为R 是弦AB 的中点，由垂径定理，在ORA Rt ∆中36||||22=+OR AR ，又2222|)|2(|)|2()|||(|2PR OR OP OQ +=+(*), 得72362)|||(|2||||2222=⨯-+=+PR OR OP OQ , 故56||72||22=--OP OQ则矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程是5622=+y x 解法二：设AB 的中点为R ，Q 的坐标为(x,y),则⎪⎭⎫⎝⎛+2,24y x R ，在矩形APBQ 中有||21||||PQ AR PR ==在ORA Rt ∆中，36||||||222==+OA RA OR则()[]364412242222=+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ，即5622=+y x 评注 式（*）的依据是，平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和.在矩形APBQ 中，O 为矩形APBQ 外一点，有2222OB OA OQ OP +=+变式1 已知圆422=+y x 上一定点A (2,0),B (1,1)为圆内的一定点，P ，Q 为圆上的动点.（1）求线段AP 中点M 的轨迹方程；（2）若︒=∠90PBQ ，求线段PQ 中点N 的轨迹.变式2 已知点P (0,5)及圆024124:22=+-++y x y x C（1）直线l 过P 且被圆C 截得的线段长34||=AB ，求l 的方程； （2）求过点P 的圆C 的动弦的中点M 的轨迹方程.题型4 用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件 思路提示方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件.在圆的一般方程中，圆心为⎪⎭⎫⎝⎛--2,2E D ，半径F E D r 42122-+=例9.23方程0122222=-+++++a a ay ax y x 表示圆，则a 的取值范围是（ ）A.()2,-∞-B.⎪⎭⎫⎝⎛-0,32 C.()0,2-D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2解析 由0122222=-+++++a a ay ax y x可得0143)(2222>+--=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a y a x即04432<-+a a ，得322<<-a .故选D 评注 对于用二元二次方程表示圆的方程的充要条件的不等式不需要记忆，只需通过配方，然后让右边大于零即可变式1 方程042422=+-++m y mx y x 表示圆的方程的充要条件是（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛∈1,41mB.()+∞∈,1mC.⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈41,mD. ),1(41,+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈ m变式2 若圆02)1(222=-+-++a ay x a y x 关于直线01=+-y x 对称，则实数a 的值为______ 题型5 点与圆的位置关系判断 思路提示在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约.例9.24 若点A (1,1)在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,1(-B.)1,0(C.),1()1,.(+∞-∞-D.{}1,1-解析 点A (1,1)在圆内部，满足4)()(22<++-a y a x ，即4)1()1(22<++-a a ，解得11<<-a 故选A评注 判断点与圆的位置关系的代数方法为若点),(00y x P 在圆上,则22020)()(r b y a x =-+-； 若点),(00y x P 在圆外,则22020)()(r b y a x >-+-； 若点),(00y x P 在圆内,则22020)()(r b y a x <-+-.反之也成立.变式1 点A (1,0)在圆0332222=-++-+a a ax y x 上，则a 的值为_______变式2 过占P (1,2)可以向圆024222=-+-++k y x y x 引两条切线，则k 的范围是（ ）A.)7,(-∞B.)7,0(C.)7,3(D.),5(+∞题型6 与圆有关的最值问题 思路提示解决此类问题，应综合运用方程消元法、几何意义法、参数方程法等各种思想和方法求解，才能做到灵活、高效.例9.25 已知实数x,y 满足方程01422=+-+x y x（1）求xy的最大值和最小值； （2）求x y -的最大值和最小值；（3）求22y x +的最大值和最小值分析 方程01422=+-+x y x 表示圆心为（2，0），半径为3的圆.--=x y x y 的几何意义是圆上一点M(x,y)与原点连线的斜率；设y-x=b ，可看作直线y=x+b 在y 轴上的截距；22y x +是圆上一点与原点距离的平方，可借助于平面几何知识，利用数形结合的方法求解.解析 （1）原方程可化为3)2(22=+-y x ，表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆.设k xy=，即kx y =.当直线kx y =与圆相切时，斜率最大值和最小值，此时31|02|2=+-k k ，解得3±=k故xy的最大值为3，最小值为3- （2）设y-x =b ，即y =x +b ，当y =x +b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时32|02|=+-b ，即62±-=b ，故y-x 的最大值为62+-，最小值为62--（3）解法一：（几何法）22y x +表示圆上点与原点距离的平方，由平面几何知识知它在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故()347)32(2max22+=+=+y x,()347)32(2min22-=-=+y x解法二：（参数方程法）把圆的方程化为标准方程3)2(22=+-y x设⎪⎩⎪⎨⎧=+=θθsin 3cos 32y x （θ为参数,)2,0[πθ∈） 则()θθθcos 347)sin 3(cos 322222+=++=+y x故当1cos -=θ时，()347)32(2min22-=-=+y x当1cos =θ时，()347)32(2max22+=+=+y x解法三：（方程消元法）由圆的标准方程为3)2(22=+-y x ，可得222(3）--=x y且[]32,32+-∈x故14)2(32222-=--+=+x x x y x 由[]32,32+-∈x故[]347,3471422+-∈-=+x yx故所求最大值为347+，最小值为347-评注 涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解.一般地：（1）形如ax b y --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题.（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a,b)的距离平方的最值问题 变式 1 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0≥-+m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞B.),21[+∞-C.]12,(---∞D.]12,(+-∞ 变式2 若圆1)1(22=-+y x 上任意一点(x,y )都使不等式0)2(22≥-+-m y x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.]21,(--∞ B.),51[+∞- C.]15,(--∞ D.]15,(+-∞题型7 数形结合思想的应用思路提示研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像.在此过程中，尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误.例9.26 方程225x y --=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆分析 对于方程的变形要注意等价性，即在变形前，先制约变量的取值范围解析 由题可知0,55≤≤≤-y x ，且2522=+y x ，故原方程表示圆心在（0，0），半径为5的下半圆.故选D变式1 方程21y x -=表示的曲线是（ ）A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半个圆 例9.27 直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A.{}2,2- B.{}211|-=≤<-b b b 或 C.{}11|≤≤-b b D.{}2|≥b b 分析 利用数形结合法求解解析 将曲线方程21y x -=变形为)0(122≥=+x y x ，当直线b x y +=与曲线122=+y x 相切时，满足12|00|=--b ，整理可得2||=b ，即2±=b .如图9-12所示，可得当2-=b 或11≤<-b 时，直线b x y +=与曲线21y x -=有且仅有一个公共点.故选B变式1 当曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个相异交点时，实数k 的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,125 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,125 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛125,0 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛43,31 变式2 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A.[]221,1+- B.[]221,221+- C.[]3,221- D.[]3,21- 变式3 设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤+-≤=R y x m y x m y x A ,,)2(2),(222, {}R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,,122),(，若A B ≠∅，则实数m 的取值范围是_______有效训练题1.若直线y =kx 与圆03422=+-+x y x 的两个交点关于直线x +y +b =0对称，则（ ）A.k=1,b=-2B.k=1,b=2C.k=-1,b=2D.k=-1,b=-2 2.若点(4a -1,3a +2)不在圆25)2()1(22=-++y x 的外部，则a 的取值范围是（ ） A.⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-55,55 B.)1,1(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-55,55 D.]1,1[- 3.设椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为21=e ，右焦点为)0,(c F ，方程02=-+c bx ax 的两个实根分别为1x 和2x ，则点),(21x x P （ ）A.必在圆222=+y x 内B.必在圆222=+y x 上C.必在圆222=+y x 外D.以上三种情形都有可能 4.已知圆422=+y x ，过点A (4,0)作圆的割线ABC ，则弦BC 中点的轨迹方程是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)1(22x y x B. ()104)1(22<≤=+-x y xC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤-=+-2114)2(22x y x D. ()104)2(22<≤=+-x y x 5.已知两点A (-1,0),B (0,2)，点P 是圆1)1(22=+-y x 上任意一点，则PAB ∆面积的最大值与最小值分别是（ ） A.)54(21,2- B.)54(21),54(21-+ C.54,5- D. )25(21),25(21-+ 6.已知圆C 的方程为012222=+-++y x y x ，当圆心C 到直线04=++y kx 的距离最大时，k 的值为（ ） A.31 B.51 C.31- D.51- 7.定义在),0(+∞上的函数f (x )的导函数0)('<x f 恒成立，且1)4(=f ，若1)(22≤+y x f ，则y x y x 2222+++的最小值是______8.已知圆C 经过()()5,1,1,3A B 两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______9.已知直线R m m x y l ∈+=,:.若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ，且点P 在y 轴上，该圆的方程为_______10.根据下列条件求圆的方程.（1）经过点(1,1)P 和坐标原点，并且圆心在直线2310x y ++=上；（2）圆心在直线4y x =-上，且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -；（3）过三点(1,12),(7,10),(9,2)A B C -（4）已知一圆过(4,2),(1,3)P Q --两点，且在y 轴上截得的线段长为.11.设定点(3,4)M -，动点N 在圆224x y +=上运动，以,OM ON 为两边做平行四边形MONP ，求点P 的轨迹方程.12.集合22(,)|((1)4A x y x y ⎧⎫⎪⎪=++≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 集合{}22()(,)|22,B m x y y x mx m m m R ==-++∈，设集合B 是所有()B m 的并集，求A B ⋂的面积。
专题30 圆的基本性质-中考数学一轮复习精讲+热考题型(解析版)
专题30 圆的基本性质【知识要点】知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，⑶其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．⏜，读作弧AB．在同圆或弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作AB等圆中，能够重合的弧叫做等弧．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．弦心距、半径、弦长的关系：（考点）知识点二垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造RT△，用勾股，求长度；2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．知识点一圆的基础概念圆的概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．确定圆的条件：⑷圆心；⑸半径，⑹其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．补充知识：1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；3）半径相等的圆叫做等圆．弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。