函数综合试题精练

函数综合试题精练

1、（南开中学2008中考模拟）如图，已知抛物线2

23

y x bx c =-

++与y 轴交于点C ，与x 轴交与A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且OA =1，OC =2 （1）求抛物线的解析式及对称轴；

（2）点E 是抛物线在第一象限内的一点，且tan 1EOB ∠=，求点E 的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得PBE ?为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2．（2008年南开5月模拟）已知，抛物线2

y ax bx c =++与x 轴交于(1,0)A -和(2,0)B 两点，与y 轴交于(0,2)C -。

（1） 求这条抛物线的解析式和抛物线顶点M 的坐标； （2） 求四边形ABMC 的面积；

（3） 在对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使PAC ?为直角三角形？若存在，求出

所有符合条件的点P 的坐标，若不存在，请说明理由。

（备用图）

x

x

(26题图)3.（一中2009年5月模拟）如图，直线33+=x y 分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，抛物线L ：c bx ax y ++=2的顶点G 在x 轴上，且过(0，4)和(4，4)两点.

（1）求抛物线L 的解析式；

（2）抛物线L 上是否存在这样的点C ，使得四边形ABGC 是以BG 为底边的梯形，若存在，请求出C 点的坐标，若不存在，请说明理由.

（3）将抛物线L 沿x 轴平行移动得抛物线L 1，其顶点为P ，同时将△PAB 沿直线AB 翻折得到△DAB，使点D 落在抛物线L 1上. 试问这样的抛物线L 1是否存在，若存在，求出L 1对应的函数关系式，若不存在，说明理由．

4.（南开中学2009年5月中考模拟）如图1，矩形OABC 的顶点O 为原点，点E 在AB 上，把CBE ?沿CE 折叠，使点B 落在OA 边上的点D 处，点A D 、坐标分别为(10,0)和(6,0)，

抛物线2

15

y x bx c =

++过点C B 、. (1)求C B 、两点的坐标及该抛物线的解析式；

(2)如图2，长、宽一定的矩形PQRS 的宽1PQ =，点P 沿(1)中的抛物线滑动，在滑动过程中x PQ //轴，且RS 在PQ 的下方，当P 点横坐标为-1时，点S 距离x 轴

5

11

个单位，当矩形PQRS 在滑动过程中被x 轴分成上下．．两部分的面积比为2:3时，求点P 的坐标； (3)如图3，动点M N 、同时从点O 出发，点M 以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC 按C D O →→的路线运动，点N 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD 按D C O →→的路线运动，当M N 、两点相遇时，它们都停止运动．设M N 、同时从点O 出发t 秒时，

OMN ?的面积为S ．①求出S 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围：②设0S 是①中函

数S 的最大值，那么0S = .

5.（一中）已知二次函数2y x bx c =++的图象过点A （-3，0）和点B （1，0），且与y 轴交于点C ，D 点在抛物线上且横坐标是 -2。 (1)求抛物线的解析式;

(2) 抛物线的对称轴上有一动点P ，求出PA+PD 的最小值。

(3) 点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点E ，使B 、D 、E 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的E 、G 点坐标；如果不存在，请说明理由。

6（一中）. (12分)如图(a)过反比例函数k

y x

=

的图象在第一象限内的任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D,连接AO 、BO 和AB ，AC 和OB 的交点为E ，设△AOB 与梯形ACDB 的面积分别为S 1与S 2, (1)试比较S 1与S 2的大小； (2)如图(b)，已知直线13y x =与双曲线m

y x

=交于M 、N 点，且点M 的纵坐标为2. ①求m 的值；

②若过原点的另一条直线l 交双曲线于P 、Q 两点（P 点在第一象限），若由M 、N 、P 、Q 为顶点组成的四边形面积为64，求P 点的坐标。

7.（一中）如图，在平面直角坐标系中，已知直线3+-=x y 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线32++=nx mx y 经过点A 和点（2，3），与x 轴的另一交点为C.

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若点P 是x 轴下方的抛物线上一点，且△ACP 的面积为10，求P 点坐标； （3）若点D 为抛物线上AB 段上的一动点（点D 不与A ，B 重合），过点D 作DE ⊥x 轴交x 轴于F ，交线段AB 于点E.是否存在点D ，使得四边形BDEO 为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点D 的坐标；若不存在，请通过计算说明理由.

∠OBA=

4

3

.若以O 为坐标原点，OA 所C 在x 轴负半轴上，且OB

＝4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；

（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折

线OAB 按O →A →B 的路线运动，点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S .

①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？

x

9．（一中）如图，直线3+=x y 与x 轴、y 轴分别相交于点B 、点C ，抛物线c bx ax y ++=2 经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ，且抛物线的对称轴为2-=x . （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标；

（2）连接AC ，则在x 轴上是否存在一点Q ，使得以P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC

相似？若存在，请求出所有点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.

10.（一中）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－4，0），点N 的坐标为（－3，－2）,直角梯形OMNH 关于原点O 的中心对称图形是直角梯形OABC ，（点M 的对应点为A ， 点N 的对应点为B ， 点H 的对应点为C ）； （1）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；

（2）在直角梯形OABC 中，截取BE=AF=OG=m(m ＞0)，且E ，F ，G 分别在线段BA ，

AO ，OC 上，求四边形．．．BEFG ．．．．的面积．．．S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的情况下，是否存在BG ∥EF 的情况，若存在，请求出相应m 的值，

若不存在，说明理由．

11．（南开）如图，已知直线y ＝－2x ＋4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点，

抛物线

y=-2x 2+bx+c (a ≠0)经过点A 、C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）设抛物线的顶点为P ，在抛物线上存在点Q ，使△ABQ 的面积等于△APC 面

积的4倍.求出点Q 的坐标;

（3）点M 是直线y=-2x+4上的动点，过点M 作ME 垂直x 轴于点E ，在y 轴（原

点除外）上是否存在点F ，使△MEF 为等腰直角三角形? 若存在,求出点F 的坐标及对应的点M 的坐标；若不存在，请说明理由. 12. （一中）矩形OABC 在直角坐标系中的位置如图所示, A 、C 两点的坐标分别为A(6,0), C(0, 2), 直线1

2

y x =

与BC 相交于D. (1) 求点D 的坐标;

(2) 若抛物线2

y ax bx =+经过D 、A 两点, 试确定此抛物线的解析式;

(3) P 为

x 轴上方(2)中抛物线上一点, 求POA ?面积的最大值;

(4) 设(2)中抛物线的对称轴与OD 交于点M, 点Q 为对称轴上一动点, 以Q 、O 、M 为

顶点的三角形与OCD ?相似, 求符合条件的Q 点的坐标.

13．（一中）如图，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．设P、Q分别为BD、BC上的动点，在点P自点D沿DB方向作匀速移动的同时，点Q自点B沿BC方向向点C作匀速移动，移动的速度均为1cm/s，设P、Q的移动时间为t（0＜t≤4）．

⑴求△PBQ的面积S（cm2）与时间t（s）之间的函数关系式；

⑵是否存在时刻t，使△PBQ的面积与四边形CDPQ的面积相等？若有，请求出时间t的

值；若没有，请说明理由；

⑶当t为何值时，△PBQ为等腰三角形？并判断△PBQ能否

14.（一中）如图，已知抛物线c

+

=2经过O(0,0)，A(4,0),B(3,3)三点，连接

y+

x b

x

a

AB，过点B作BC∥x轴交该抛物线于点C.

（1）求这条抛物线的函数关系式.

（2）两个动点P、Q分别从O、A同时出发,以每秒1个单位长度的速度运动. 其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着线段AB向B点运动. 设这两个动点运动的时间为t （秒) (0＜t≤2)，△PQA的面积记为S.

①求S与t的函数关系式；

②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？并指出此时△PQA的形状；

（3）是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形?若存在，请直接写出此时P、Q两

点的坐标；若不存在，请说明理由.

（一中2009年5月）（1） ∵抛物线L 过(0，4)和(4，4)两点,由抛物线的对称性知对称轴

为2=x , ∴G(2，0)，将(2，0)、(4,4)代入42++=bx ax y ，得???=++=++4

44160424b a b a ，

解得???-==4

1

b a . ∴抛物线L 的解析式为442+-=x x y .……………………3分

（2）∵直线33+=x y 分别交x 轴、y 轴于B 、A 两点，∴A(0，3)，B(-3，0). 若抛物线L 上存在满足的点C ，则AC ∥BG,

∴C 点纵坐标此为3，设C(m ，3)，又C 在抛物线L ，代人解析式：

3)2(2=-m , 32±=m , ∴321+=m ,322-=m .……………………5分 当321+=m 时, BG=32+, AG=32+,

∴BG ∥AG 且BG=AG ，此时四边形ABGC 是平行四边形，舍去321+=m , 当322-=m 时, BG=32+, AG=32-,

∴BG ∥AG 且BG ≠AG,此时四边形ABGC 是梯形.

故存在这样的点C ，使得四边形ABGC 是以BG 为底边的梯形，其坐标为：

C(32-，3). …………………………………………7分

（3）假设抛物线L 1是存在的，且对应的函数关系式为2)(n x y -=, ∴顶点P(n ，0). Rt △ABO 中，AO=3，BO=3，可得∠ABO=60°，又△ABD ≌△ABP.

∴∠ABD=60°，BD=BP=n +3.……………………8分

如图，过D 作DN ⊥x 轴于N 点，Rt △BND 中，BD=n +3， ∠DBN=60°

∴DN=

)3(23

n +，BN=23n +，∴D(2

33n

+--，即D(2

33n +-

，233n

+)，又D 点在抛物线2)(n x y -=上，

∴2)2

33(233n n n -+-=+，整理：02131692=++n n . 解得31-=n ,9

3

72-=n ，当31-=n 时，P 与B 重合，

不能构成三角形，舍去，

∴当9372-

=n 时，此时抛物线为2

)9

37(+

=x y .……………………11分 4．（南开中学2009年中考模拟）解：(1) (10,0),(6,0)A D 10,6OA OD ∴== 又 矩形OCBA

90COA BAO ∴∠=∠=

OC AB = 10BC OA ==

又CED ? 为CBE ?沿CE 翻折得到的. 10CD CB ∴==

∴在Rt COD ?中，由勾股定理得：

8OC ===

(0,8)C ∴ …………1分 图 1 (0,8)B …………1分 又C B 、均在2

15

y x bx c =

++上 81

1001085c b c =??

∴??++=??

8

2c b =?∴?=-?

2

1285

y x x ∴=

-+ …………1分 (2)当1x =-时，2

1(1)2(1)85y =?--?-+

51

5=

∴此时51

(1,)5

P -

又S 距离x 轴上方11

5

个单位.

5111

855

PS ∴=

-= …………1分 ∴矩形PQRS 的长方形的长为8，宽为1. 图 2 设PQRS 在下滑过程中交x 轴分别于G H 、两点.

则由题意知：

23

PQHG S S =

矩形矩形HGSR

2

3

PG GS ∴

=

216

55

PG PS ∴=

= …………1分 故P 的纵坐标为16

5

∴设16(,)5P a ，则2116

2855

a a -+=

124,6a a ∴== …………1分

16

(4,

)5

P ∴或16(6,)5 …………1分

(3)①当01t ≤≤时，此时N 在OC 上. M 在OD 上.

2

11381222

MON S OM ON t t t ?∴=?=??= …………1分

此时，当1t =时，12S =大

②当12t <≤时，此时N 在CD 上，M 在OD 上.

则188DN t =-

过N 作NH OD ⊥于H

则

4

sin 5

NH OC CDO ND CD =∠== 44

(188)55NH DN t ∴==-

8

(94)5t =-

1

2ONM S NH OM ?∴=??

18

(94)325

t t =?-?

24810855t t =-+ 2489243()5820t =--+ ∴当98t =时，243

12.1520S =

=大 ③当24

2

11

t <≤时，此时，N M 、均在CD 上

则2411MN t =-

过O 作OH CD ⊥于H

则由等面积得：24

5

OH =

1124

(2411)225OMN S OH MN t ?∴=??=??-

132288

55

t =-+

此时当2t =时，245

S =

大 5（一中）.(1)将(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++,得

930

10b c b c -+=??

++=?, 2

3b c =??=-?

∴223y x x =+- 2分 (2)∵2223(1)4y x x x =+-=+-

∴对称轴1x =-, 而A,B 关于对称轴对称

∴连结BD 与对称轴的交点即为所求P 点.

过D 作DF ⊥x 轴于F. 将2x =-代入223y x x =+-, 则4433y =--=- ∴3,1(2)3DF BF ==--=

Rt △BDE 中=

∵PA=PB ∴PA+PD=BD=

故PA+PD 的最小值为 5分 (3)①当2x =-代入:4433y =--=-

∴(2,3)D -- ∵(0,3)C - ∵CD//x 轴

∴在x 轴上取BE 1=CD=BE 2=2 得□BDCE 1和□BCDE 2

此时C 与G 重合. ∴12(0,3),(3,0),(1,0)G E E --

即:当11(0,3),(3,0)G E -时有□BDCE 1 6分 当22(0,3),(1,0)G E --时有□BCDE 2 7分

②过D 作DM ⊥x 轴于M,则DM=BM BD=∴∠MBD=45°

33//G E BD =

时,有□BDE 3G 作G 3⊥x 轴于N

∵∠1=45° E 3G 3= ∴E 3N=G 3N=3

将3y =代入2

23y x x =+-,得1x =-

∴33(1(13,0)G E --

即3(4E - 9分 同理

:4(1G -

, 4(4E - 10分 综上所述,所有满足条件的E,G 点为

1234123(0,3),(0,3),(1(1(3,0),

(1,0),(44(4G G G G E E E E ----+----+ 10分

6．（一中）.(1)设(,)A a b ,则,OC a AC b ==

122AOC k S ab ?=

=, 同理2

BOD k

S ?= ∴AOC BOD S S ??= 2分

AOC COE BOD COE S S S S ????-=-

即AOE S S ?=四边形BDCE 3分 ∴AOE ABE ABE S S S S ???+=+四BDCE 故AOB ACDB S S ?=梯形

即12S S = 4分 (2)①设(,2)M n ,代入1

3

y x =

,得6n = ∴(6,2)M ∴6212m =?= 5分 ②由双曲线的对称性知OM=ON OP=OQ

∴四边形MPNQ 是平行四边形 6分 过P, M 作PH ⊥x 轴于H MF ⊥x 轴于F 设0012(,

)P x x ,则 0

12

PH x =, MF=2 由(1)知POM PHFM S S ?=梯形

∵S □MPNQ =64 ∴S △POM =16 7 ∴

1

()162

PH MF HF +?= 即00

12

(

2)|6|32x x +-= ∴00

12

(

2)(6)32x x +-=

整理:2

00016360,2x x x +-==或-18

或00

12

(

2)(6)32x x +-= 整理:2

00016360,18x x x --==或2- 11分

∵P 在第一象限 ∴00x >

∴(2,6)P 或2

(18,,)3

P 12分

7.解:(1)在3y x =-+中,当0,3y x == ∴A(3,0) 1分

把A(3,0), (2,3)代入23y mx nx =++

得9330

4233a b a b ++=??++=? 解得12a b =-??=? ∴223y x x =-++ 3分

(2)在223y x x =-++中,当0y =时, 有2230x x -++=

∴123,1x x ==- ∴(1,0)C - ∴AC=4 4分 设(,)p p P x y . ∴11

||4||1022

ACP P P S AC y y ?=

?=?= ∴||5P y = 又∵P 点在x 轴下方, ∴5P y =- 6分 ∴2523x x -=-++ ∴124,2x x ==-

∴P 坐标为(4,5)-或(2,5)-- 8分 (3)不存在 9分

∵DE ⊥x 轴, OB ⊥x 轴 ∴DE//OB.

若四BDEO 为平行四边形,则//DE BO =

.

设2(,23)D a a a -++ ∵E 在直线:3AB y x =-+上. ∴(,3)E a a -+

∴2223(3)3D E DE y y a a a a a =-=-++--+=-+.

当DE BO =时,有233a a -+=. 10分 即2330a a -+= △9120=-<

∴方程无实数根. 11分 即DE BO ≠

∴不存在点D,使四边形BDEO 为平行四边形. 12分

8.(1)Rt △AOB 中,OB=8, 3

tan 4

OA OBA OB ∠=

= ∴OA=6 ∴A(6,0) B (0,8)- 又OB=4OC ∴OC=2 ∴C (2,0)-

由题意36604208a b c a b c c ++=??

-+=??=-? 解得23838

a b c ?=??

?=-??

=-???

∴228

833y x x =

-- 3分 (2)228

833y x x =--

222

(44)8433x x =-+--?

2232

(2)33

x =--

∴32

(2,)3

P - 4分

作PQ ⊥y 轴 ∴2PQ =, 83

BQ =

∴PQB OAPB OAPQ S S S ?=-四梯

11

()22OA PQ OQ PQ QB =

+?-? 13218(62)22323

=+?-?? 40= 6分

(3)∵AO=6, OB=8 ∴AB=10

运动的总时间为:

6810

424

++=+(秒) ①当02t <≤时, M 在OA 上,N 在OB 上,如图

2,4OM t ON t ==

∴211

24422S OM ON t t t =?=??= 7分

当23t <<时,如图,

M 在OA 上,N 在AB 上. OM=2t

1084184AN t t =+-=-

又8sin 10OB RN OAB AB AN ∠=== ∴4

(184)5

RN t =- ∴1

2S OM NR =?

14

2(184)25t t =??-

21672

55

t t =-+ 8分

当34t ≤≤时, M,N 都在AB 上,如图, 作OK ⊥AB 于K.

∵AB=10, OA=6, OB=8

∴11

22

ABO S AO BO AB OK ?=?=? ∴OK=245

又MN=246π-

∴1124(246)225S MN OK t =?=-?

72288

55

t =-+ 9分

综上所述:224(02)16

72(23)5

572288(34)

55t t S t t

t t t ?

?<≤?

?=-+<

S 随t 增大而增大, 当2t =时,16S =最大 10分 当23t <<时,

2167255

S t t =-+

2169811681()5216516t t =-

-++? 216981()545t =--+

∴当94t =时,81

5

S =最大 11分

当34t ≤≤时,72288

55

S t =-+

S 随t 增大而减小, 当3t =时,72

5

S =最大

综上所述,当94t =时, △MON 的面积最大为81

5

. 12分

9.解:(1)在3y x =+中,当0x =时,3y =

∴点C 坐标为(0,3)

当0y =时,有03,3x x =+=-

∴点B 坐标为(3,0)- …1分 ∴c bx ax y ++=2过B (3,0),(0,3)C -, 且对称轴为2x =-

∴930322a b c c b a ?

?-+=?=???-=-? …2分 解得:143a b c =??

=??=?

∴抛物线的解根据析式为:2

43y x x =++ …3分 由22

43(2)1y x x x =++=+-知:

顶点P 的坐标为:(2,1)-- …4分

(2)在2

43y x x =++中,令0y =,有:2

043x x =++

∴121,3x x =-=- ∴点A 坐标为(1,0)-

∴|1(3)|2AB =---= 在Rt △BOC 中,OB=OC=3

∴∠ABC=45° BC = 令2x =-与x 轴交于点D.则D 点坐标为(2,0)- ∴在Rt △PBD 中,PD=BD=1, ∠PBD=45°

假设在x 轴上存在点Q,使得△PBQ 与△PBC 相似 ①若点Q 在点B 的右侧: (i)当PB BQ

BC AB

=,∠ABC=∠PBQ=45°时, △PBQ ∽△CBA

此时2,23BQ BQ ==. ∴点Q 的坐标为:7

(,0)3

- …6分 (ii)当:

PB BQ

AB BC

=, ∠ABC=∠PBQ=45°, △PBQ ∽△ABC

此时,有

=

此时点Q 与点O 重合,坐标为(0,0) …8分 ②若点Q 在点B 的左侧

则: ∠PBQ=180°-45°=135° 在Rt △AOC 中,3

tan 31tan 451

OC OAC OA ∠=

==>=? ∴∠OAC>45° ∴∠BAC<135° 而∠BAC 为△ABC 的最大内角.

此时△PBQ 与△ABC 不可能相似. …10分 综上所述:能使△PBQ 与△ABC 相似的符合条件的点Q 有两种情况,坐标分别

为:7(,0)3

-和(0,0)

10. ⑴如图，由题意得：A(0，2)、B(3，2)、C(4，0) ………1分

设过A 、B 、C 的抛物线为y ＝ax 2＋bx ＋c ，

则

2

932

1640

c

a b c

a b c

?

?

?

?

?

＝

＋＋＝

＋＋＝

，解得

1

2

3

2

2

a

b

c

?

?

?

?

?

?

?

??

＝－

＝

＝

∴y＝－

1

2

x2＋

3

2

x＋2 ………3分

⑵∵BE＝AF＝OG＝m，AB＝3，OA＝2，OC＝4，∴AE＝3－m，OF＝2－m，CG＝4－m，

∴S

BEFG

四边形＝S

ABCO

梯形

―S

AEF

?

―S

FOG

?

―S

GCB

?

＝

1

2

×2×7―

1

2

·m(3－m)―

1

2

·m(2－m)―

1

2

×2·(4－m) ＝m2－

3

2

m＋3………5分

＝(m－

3

4

)2＋

39

16

(0＜m≤2) ………6分

∵0＜

3

4

≤2，∴当x＝

3

4

时，S取得最小值

39

16

………7分

⑶设直线BG为y＝kx＋n，∵B(3，2)，G(m，0)，∴

32

k n

km n

?

?

?

＋＝

＋＝

，k＝

2

3m

－

，

设直线EF为y＝k

1x＋n

1

，∵E(3－m，2)，F(0，2－m)，∴11

1

(3)2

m k n

n

?

?

?

－＋＝

＝2－m

，

k 1＝

3

m

m

－

，

只有当

2

3m

－

＝

3

m

m

－

时，有BG∥EF………8分

解

2

3m

－

＝

3

m

m

－

得m＝2………9分

∴当m＝2时，有BG∥EF (此时F与O重合) ………10分