北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题(有答案)
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》测试卷(有答案解析)(5)
一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),,a b a b <则实数,,,m n a b 的大小关系可能是（ ）A ．m a b n <<<B ．m a n b <<<C ．a m n b <<<D ．a m b n <<<2．在同一坐标系中，函数y ax b =+与2(0)y ax bx a =+≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．一次函数y ＝ax +b 与二次函数y ＝ax 2+bx +c 在同一坐标系中的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．4．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．12 m 2C ．16 m 2D ．22 m 2 5．如图在平面直角坐标系中，点A 在抛物线245y x x =-+上运动.过点A 作AC x ⊥轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，则对角线BD 的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．下列函数中，当0x >时，y 随x 增大而增大的是（ ）A ．2y x =B ．22y x =+C ． 1y x =-+D ．22 y x =-- 7．如图，已知ABC 中，,120,3AC BC ACB AB =∠=︒=，点D 为边AB 上一点，过点D 作//DE AC ，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 于点F ．设,AD x DEF =的面积为y ，则能大致反映y 与x 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如表： x﹣1 0 1 3 y﹣1 3 5 3 则代数式﹣2a （4a +2b +c ）的值为（ ） A ．92 B ．152 C ．9 D ．159．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数和二次函数的图象大致如图所示，它们的表达式可能分别为（ ）A ．2,k y y kx x x =-=-+ B ．2,k y y kx x x =-=-- C ．2,k y y kx x x ==-- D ．2,k y y kx x x==-+ 10．如图，二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②0a b c -+<；③2b a =-；④80ac +>．其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 11．在平面直角坐标系中，下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A ．22y x = B ．221y x x =-++ C ．22y x x =-+D ．20.5y x x =-+ 12．如图，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴负半轴交于点C ，它的对称轴为直线12x =，则下列选项中正确的是（ ）A ．0abc <B ．0a b -=C ．40a c ->D ．当2(1x n n =+为实数）时，y c ≤二、填空题13．函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图像如图所示，过点（﹣1，0），对称轴为x ＝2，下列结论正确的是_____．①4a +b ＝0；②24a +2b +3c <0；③若A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，y 1<y 2<y 3； ④当y 1>﹣1时，y 随x 增大而增大．14．如图，在平面直角坐标中，对抛物线222y x x =-+在x 轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A 是该抛物线的顶点，则经过第2020次变换后所得的A 点的坐标是_________．15．若点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上，则y 1_____y 2．16．将抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为_____． 17．将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位，所得抛物线的对称轴是直线_____．18．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，其对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，有下列结论：①240b ac ->；②421a b c -+>-；③132x -<<-；④当m 为任意实数时，2a b am bm -≤+；⑤30a c +<．其中，正确结论的序号是（________）19．抛物线23(2)4=---y x 的顶点坐标是______．20．有五张正面分别标有数字32112---，，，，的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于以x为自变量的二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是____．三、解答题21．平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶．（1）若该商店希望平均每周获利4000元，则每顶头盔应降价多少？（2）商店降价销售后，决定每销售1顶头盔，就向某慈善机构捐赠m 元（m 为整数，且15m <），帮助做“交通安全”宣传．捐赠后发现，该商店每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大，求m 的值．22．已知抛物线239y x kx k =-+-．求证：无论k 为何值，该二次函数的图象与x 轴都有交点．23．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中A （﹣2，0），B （4，0）．（1）求该抛物线的表达式；（2）根据图象，直接写出y ＞0时，x 的取值范围；（3）若要使抛物线与x 轴只有一个交点，则需将抛物线向下平移几个单位？24．平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x bx c =++经过()21,21m m -++､()20,22m m ++两点，其中m 为常数．（1）求b 的值，并用含m 的代数式表示c ；（2）若抛物线2y x bx c =++与x 轴有公共点，求m 的值；（3）设()1,a y ､()22,a y +是抛物线2y x bx c =++上的两点，请比较2y 与1y 的大小，并说明理由．25．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y （条）与每条的售价x （元）之间满足人体所示的函数关系．（1）求每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式；（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？26．如图1是某校园运动场主席台及遮阳棚，其侧面结构示意图如图2所示．主席台（矩形ABCD ）高2AD = 米，直杆5DE =米，斜拉杆EG ，EH 起稳固作用，点H 处装有一射灯．遮阳棚边缘曲线FHG 可近似看成抛物线的一部分，G 为抛物线的最高点且位于主席台边缘BC 的正上方，若点E ，H ，C 在同一直线上，且1DF =米，4EG =米，60AEG ∠=︒，则射灯H 离地面的高度为______米．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除1．C解析：C【分析】设抛物线解析式为y =x 2-(m +n )x +mn -5，根据题意可得当x =a 或x =b 时，y =0，分别求出当x =n ，x =m 时y 的符号，根据二次函数的性质即可得答案．【详解】设抛物线解析式为y=x 2-(m+n)x+mn-5，∵一元二次方程()()250x m n x mn m n -++-=<有两个不相等的实数根(),a b a b <， ∴当x =a 或x =b 时，y =0，∵1＞0，∴抛物线y =x 2-(m +n )x +mn -5图象的开口向上，与x 的交点坐标为（a ，0），（b ，0）， ∵a ＜b ，∴当a ＜x ＜b 时，y ＜0，当x =m 时，y =m 2-(m +n )m +mn -5=-5＜0，当x =n 时，y=n 2-(m +n )n +mn -5=-5＜0，∵m ＜n ，∴a ＜m ＜n ＜b ，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题关键．2．A解析：A【分析】根据二次函数的c 值为0，确定二次函数图象经过坐标原点，再根据a 值确定出二次函数的开口方向与一次函数所经过的象限即可得解．【详解】解：2(0)y ax bx a =+≠，0c ，∴二次函数经过坐标原点，故B 、C 选项错误； A 、根据二次函数开口向上0a >，对称轴b x 02a =->， 所以，0b <，一次函数经过第一三象限，0a >，与y 轴负半轴相交，所以，0b <，符合，故本选项正确；D 、二次函数图象开口向下，0a <，一次函数经过第一三象限，0a >，矛盾，故本选项错误．【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，熟练掌握函数解析式的系数与图象的关系是解题的关键．3．B解析：B【分析】先由一次函数y ax b =+的图象得到a 、b 的正负，再与二次函数2y ax bx c =++的图象的开口方向、对称轴位置相比较即可做出判断．【详解】解：A 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a ＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＜0，故本选项正确；C 、由抛物线可知，a ＞0，x ＝﹣2b a ＞0，得b ＜0，由直线可知，a ＞0，b ＞0，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，x ＝﹣2b a＜0，得b ＜0，由直线可知，a ＜0，b ＞0，故本选项错误．故选：B ．【点睛】本题主要考查一次函数的图象、二次函数2y ax bx c =++的图象与性质，熟练掌握两函数图象与解析式的系数的关系是解答的关键． 4．A解析：A【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题．【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()222122318x x x -+=--+，∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18，故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．5．D解析：D【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（2，1），再根据矩形的性质得BD ＝AC ，由于AC 的长等于点A 的纵坐标，所以当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为2，从而得到BD 的最小值．【详解】解：∵y ＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（2，1），∵四边形ABCD 为矩形，∴BD ＝AC ，而AC ⊥x 轴，∴AC 的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点A 到x 轴的距离最小，最小值为1，∴对角线BD 的最小值为1．故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了矩形的性质．6．B解析：B【分析】根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断．【详解】解：A 、2y x=，反比例函数，k=2＞0，分别在一、三象限，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，不符合题意； B 、22y x =+，a=1＞0，开口向上，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而增大，符合题意；C 、1y x =-+，一次函数，k=-1＜0，故y 随着x 增大而减小，不符合题意；D 、22y x =--，a=-1＜0，开口向下，对称轴为y 轴，故当图象在对称轴右侧，y 随着x 的增大而减小，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题考查一次函数，二次函数及反比例函数的增减性，掌握函数图像性质利用数形结合思想解题是本题的解题关键．7．B解析：B【分析】过点C 作CG ⊥AB ，求出CG 、AC ，证明△ACB ∽△DEB ，求出DE ，再根据直角三角形的性质求出EF ，根据三角形面积公式得到y 关于x 的函数表达式，从而判断图像．【详解】解：∵AC=BC ，∠ACB=120°，∴∠A=∠B=30°，过点C 作CG ⊥AB ，则AG=BG=12AB=32，AC=2CG ， 则CG=3=32，AC=3， ∵DE ∥AC ，∴△ACB ∽△DEB ，∴AC AB DE BD =，即333x=-， 解得：DE=()333x -， ∵∠DEF=90°，∠EDF=∠A=30°，∴EF=3=33x -， ∴y=S △DEF =12DE EF ⨯⨯=()3313233x x --⨯⨯=()23318x -， 可得：当0＜x ＜3时，图像为抛物线，y 随x 的增大而减小，选项B 中的图像最合适，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形的性质，二次函数，解题的关键是通过相似三角形的性质得到线段的长，从而得到二次函数表达式．8．B解析：B【分析】由当x=0和x=3时y 值相等，可得出二次函数图象的对称轴为直线x=32，进而可得出2b a -的值，由x=1时y=5，可得出当x=2时y=5，即4a+2b+c=5，再将2b a -=32及4a+2b+c=5代入2b a -（4a+2b+c ）中即可求出结论． 【详解】解：∵当x ＝0和x ＝3时，y 值相等，∴二次函数图象的对称轴为直线x ＝32， ∴3=22b a -． ∵当x ＝1时，y ＝5，∴当x ＝2×32﹣1＝2时，y ＝5， ∴4a +2b +c ＝5． ∴2b a -（4a +2b +c ）＝32×5＝152． 故选：B ．【点睛】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，利用二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，找出2b a-和（4a+2b+c ）的值是解题的关键． 9．D解析：D【分析】根据反比例函数图像的位置判断k 的符号，再结合二次函数的图像和性质，逐项判断即可【详解】A 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =-+的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； B 、由反比例函数k y x=-的图像可知，0k >，则二次函数2y kx x =--的图像开口应向下，与图像不符，故选项错误； C 、由反比例函数k y x=的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =--的图像开口向上，对称轴110222b x a k k-=-=-=->-应位于y 轴的右侧，与图像不符，故选项错误； D 、由反比例函数k y x =的图像可知，0k <，则二次函数2y kx x =-+的图像开口向上，对称轴110222b x a k k=-=-=<-应位于y 轴的左侧，与图像相符，故选项正确； 故选：D ．【点睛】 本题考查了反比例函数，二次函数图像的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数和二次函数的图像和性质．10．B解析：B【分析】利用数形结合思想，从抛物线的开口，与坐标轴的交点，对称轴等方面着手分析判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，对称轴在原点的右边，与y 轴交于负半轴，∴a ＞0， b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，∴结论①错误；∵抛物线的对称轴为x=1， ∴12b a-=， ∴2b a =-； ∴结论③正确；∵二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的一个交点为()3,0A ，对称轴为直线1x =， ∴1312x +=， ∴11x =-，∴二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且0a ≠）的图象与x 轴的另一个交点为（-1,0），∴0a b c -+=；∴结论②错误；∵当x=-2时，y=4a-2b+c ＞0， ∵12b a-=，则b=-2a ∴80a c +>，∴结论④正确；故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数之间的关系，对称轴的使用，代数式符号的判定，熟练运用数形结合的思想，二次函数的性质是解题的关键．11．A解析：A【分析】二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），①当a ＞0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向上；②当a ＜0时，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的开口向下，据此判断即可．【详解】解：A 、∵a ＞0， ∴2y =的图象开口向上，故本选项符合题意；B 、∵a ＝﹣1＜0，∴y ＝﹣x 2+2x +1的图象开口向下，故本选项不符合题意；C 、∵a ＝﹣2＜0，∴y ＝﹣2x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；D 、∵a ＝﹣0.5＜0，∴y ＝﹣0.5x 2+x 的图象开口向下，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．D解析：D【分析】根据二次函数的图像和性质，分别对每个选项进行判断，即可得到答案．【详解】解：由图象开口向上，可知a<0，与y 轴的交点在x 轴的下方，可知c<0， 又对称轴方程为12x =，所以122b a -=>0，所以b ＞0， ∴abc ＞0，故A 错误； ∵122b a -= ∴=-a b ， ∴0a b +=，故B 错误； 当12x =时，则11042y a b c =++>， ∵=-a b ，∴11042a a c -+>， ∴104a c -+>， ∴40a c -<，故C 错误；当21x n =+时，222(1)(1)y a n b n c =++++4222an an a an a c =++--+42an an c =++22(1)an n c =++；∵n 为实数，∴20an ≤，211n +≥，∴22(1)an n c c ++≤，即y c ≤，故D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出过点（﹣10）代入可得出c ＝﹣5a 代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小函数值越大据此可判断③；由抛物线的图像的增 解析：①②③【分析】由抛物线的对称轴可判断①；由①可得出=4b a -，过点（﹣1，0），代入可得出c ＝﹣5a ，代入化简即可判断②；根据二次函数的增减性知抛物线上点离对称轴水平距离越小，函数值越大，据此可判断③；由抛物线的图像的增减性直接判断④．【详解】函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴2b x a =-， ∵ 对称轴2x =， ∴=22b a-， ∴=4b a -，∴ 4+=0a b ，故①正确；有图可知，a ＜0，∴=4b a -，∴ 2=8b a -，过点（﹣1，0），∴ a-b+c ＝0，∴ b=a+c ，即a+c=﹣4a ，∴ c ＝﹣5a ，∴24a +2b +3c ＝24a －8a －15a ＝a ＜0，故②正确；当x ＝0时，y ＝c ，∵A （﹣3，y 1），B （﹣0.5，y 2），C （3.5，y 3）三点都在抛物线上，点A 与2x =的水平距离为5，点B 与2x =的水平距离为2.5，点C 与2x =的水平距离为1.5，∵5＞2.5＞1.5，∴ 123y y y <<，故③正确；有图可知，当11y >-，y 随x 增大先增大后减小，故④不正确；综上，正确的有：①②③．故答案为：①②③．【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．14．【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环用2020除以3然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限然后解答即可【详解】解：∵∴抛物线的顶点坐标为点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限第 解析：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】观察图形可知每三次对称为一个循环组依次循环，用2020除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A 所在的象限，然后解答即可．【详解】解：∵2221122=2()2()22y x x x x x =-+--=--+∴抛物线222y x x =-+的顶点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭点A 第一次关于x 轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y 轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵20203=6731÷∴经过第2020次变换后所得的A 点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．15．＜【分析】把AB 两点坐标代入函数关系式再根据已知条件求出的值最后求出答案即可【详解】解：∵点A （﹣y1）B （y2）都在二次函数y ＝﹣x2+2x+m 的图像上∴====∴故答案为：＜【点睛】本题考查了二解析：＜【分析】把A ，B 两点坐标代入函数关系式，再根据已知条件求出21y y -的值，最后求出答案即可．【详解】解：∵点A （﹣12021，y 1）、B （40412021，y 2）都在二次函数y ＝﹣x 2+2x +m 的图像上， ∴21y y -=224041404111()2[()2()]2021202120212021m m -+⨯+---+⨯-+ =2111(2)2(2)()202120212021--+⨯-+-222021+ =22412124()4()20212021202120212021-+-+-++ =402021> ∴12y y <故答案为：＜．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能选择适当的方法求解是解答此题的关键． 16．y ＝3x2+1【分析】根据抛物线平移规律常数项加1即可【详解】解：抛物线y ＝3x2沿y 轴向上平移1个单位所得的抛物线关系式为y ＝3x2+1故答案为：y ＝3x2+1【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规解析：y ＝3x 2+1．【分析】根据抛物线平移规律，常数项加1即可．【详解】解：抛物线y ＝3x 2沿y 轴向上平移1个单位，所得的抛物线关系式为y ＝3x 2+1， 故答案为：y ＝3x 2+1．【点睛】本题考查了抛物线平移的变化规律，解题关键是准确掌握函数平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项．17．x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式可求得其对称轴【详解】解：∵将抛物线y ＝2x2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x+2)2∴所得抛物线的对称轴为直线x ＝-2故答案是：x解析：x ＝-2【分析】利用平移可求得平移后的抛物线的解析式，可求得其对称轴．【详解】解：∵将抛物线y ＝2x 2向左平移2个单位长度后抛物线解析式为y ＝2(x +2)2，∴所得抛物线的对称轴为直线 x ＝-2．故答案是：x ＝-2．【点睛】主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握函数图象平移的规律并准确运用平移规律求函数解析式是解题的关键．18．①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等即可判断②错误；根据对称轴为直线得到当x=-1时函数值最小故当x=m 时函数值大于等于解析：①③④【分析】根据函数图象与x 轴有两个交点即可判断①正确；根据对称性可得：132x -<<-，故③正确；x=0与x=-2时的函数值相等，即可判断②错误；根据对称轴为直线1x =-，得到当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++，即可判断④正确；由对称轴为直线1x =-，得到b=2a ，由图象可得：当x=1时，y>0，故a+b+c>0，代入得到3a+c>0，由此判断⑤错误．【详解】∵函数图象与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，∴240b ac ->，故①正确；∵对称轴为直线1x =-，与x 轴的交点为()()12,0,0x x ，其中201x <<，∴132x -<<-，故③正确；根据抛物线的对称性得到：x=0与x=-2时的函数值相等，∵图象与y 轴的交点纵坐标小于-1，∴421a b c -+<-，故②错误；∵对称轴为直线1x =-，∴当x=-1时，函数值最小，故当x=m 时，函数值大于等于x=-1时的函数值，即2a b c am bm c -+≤++， ∴2a b am bm -≤+，故④正确；∵对称轴为直线1x =-， ∴12b a-=-，得b=2a ， 由图象可得：当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，∴3a+c>0，故⑤错误，故答案为：①③④．【点睛】此题考查二次函数的图象，函数图象与x 轴交点问题，利用图象判断式子的正负，函数最值，根据图象得到相关的信息是解题的关键．19．【分析】根据题目中的抛物线可以写出该抛物线的顶点坐标本题得以解决【详解】解：∵物线∴该抛物线的顶点坐标为（2-4）故答案为：（2-4）【点睛】本题考查了二次函数的性质解题的关键是明确题意利用二次函数 解析：(2,4)-【分析】根据题目中的抛物线，可以写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】解：∵物线23(2)4=---y x ，∴该抛物线的顶点坐标为（2，-4），故答案为：（2，-4）．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 20．【分析】把点的坐标代入解析式转化为a 的一元二次方程确定方程的根从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值计算概率即可【详解】当二次函数的图象经过点时得解得所以符合题意的a 值有-3-12共三个所以二 解析：35【分析】把点的坐标代入解析式，转化为a 的一元二次方程，确定方程的根，从给出的数字中扣除方程的根就是符合题意的a 值，计算概率即可.【详解】当二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象经过点(1,0)时，得 220a a +-=，解得 122,1a a =-=，所以符合题意的a 值有-3，-1,2，共三个，所以二次函数22(1)2y x a x a =-++-的图象不经过点(1,0)的概率是35， 故答案为：35. 【点睛】 本题考查了简单事件的概率计算、二次函数，利用二次函数的图象过点的意义，判定符合题意的a 值是解题的关键．三、解答题21．（1）20元；（2）3或4【分析】（1）设每顶头盔应降价x 元，根据题意列出方程求解即可；（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意列出函数求解即可；【详解】解：（1）设每顶头盔应降价x 元．根据题意，得(10020)(6840)4000x x +--=．解得123,20x x ==．当3x =时，68365-=；当20x 时，682048-=；每顶售价不高于58元，∴每顶头盔应降价20元．（2）设每周扣除捐赠后可获得利润为w 元，每顶头盔售价a 元，根据题意，得[10020(68)](40)w a a m =+---220(202260)1460(40)a m a m =-++-+ 抛物线对称轴为直线1132m a +=，开口向下， 当58a 时，利润仍随售价的增大而增大，113582m +∴，解得3m ． 15,35m m <∴<． m 为整数，3m ∴=或4． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，结合一元二次方程的求解是解题的关键．22．证明见详解．【分析】令y=0，构造一元二次方程239=0x kx k -+-，由1,,39a b k c k ==-=-，判别式()22123660k k k ∆=-+=-≥即可．【详解】解：令y=0，239=0x kx k -+-，∵1,,39a b k c k ==-=-， ()()()222=4139123660k k k k k ∴∆--⨯⨯-=-+=-≥，∴二次函数的图象与x 轴都有交点．【点睛】本题考查二次函数与x 轴的交点问题，掌握二次函数与x 轴交点问题转化为y=0时，一元二次方程有实根问题，理解二次函数和一元二次方程之间的关系式解此题的关键，此题是一个比较典型的题目．23．（1）y ＝﹣x 2+2x +8；（2）当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）把抛物线y ＝﹣x 2+2x +8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【分析】（1）把A 点和B 点坐标分别代入y=-x 2+bx+c 得到关于b 、c 的方程组，然后解方程组即可；（2）根据函数图象直接得到答案；（3）先利用配方法得到抛物线的顶点坐标，然后把抛物线的平移问题转化为点的平移问题；【详解】解：（1）把A(﹣2，0)，B(4，0)代入y ＝﹣x 2+bx+c ，得 4201640b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得28b c =⎧⎨=⎩， 抛物线解析式为y ＝﹣x 2+2x+8；（2）∵A(﹣2，0)，B(4，0)∴由图象知，当﹣2＜x ＜4时，y ＞0；（3）∵y ＝﹣x 2+2x+8＝﹣（x ﹣1）2+9，∴抛物线的顶点坐标为(1，9)，∴把抛物线y ＝﹣x 2+2x+8向下平移9个单位，抛物线与x 轴只有一个交点．【点睛】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，待定系数法确定函数关系式等知识点，注意“数形结合”数学思想的应用；24．（1）b =2，c =m 2+2m +2；（2）m =-1；（3）见解析【分析】（1）由抛物线上两点代入抛物线解析式中即可求出b 和c ；（2）令y =0，抛物线和x 轴有公共点，即△≥0，再结合非负数的性质确定出m 的值， （3）将两点代入抛物线解析式中，表示出y 1，y 2，求出y 2-y 1分情况讨论即可【详解】解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 经过（-1，m 2+2m +1）、（0，m 2+2m +2）两点， ∴2212122b c m m c m m ⎧-+=++⎨=++⎩， ∴2222b c m m =⎧⎨=++⎩， 即：b =2，c =m 2+2m +2；（2）由（1）得y =x 2+2x +m 2+2m +2，令y =0，得x 2+2x +m 2+2m +2=0，∵抛物线与x 轴有公共点，∴△=4-4（m 2+2m +2）≥0，∴（m +1）2≤0，∵（m +1）2≥0，∴m +1=0，∴m =-1；（3）由（1）得，y =x 2+2x +m 2+2m +2，∵（a ，y 1）、（a +2，y 2）是抛物线的图象上的两点，∴y 1=a 2+2a +m 2+2m +2，y 2=（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2，∴y 2-y 1=[（a +2）2+2（a +2）+m 2+2m +2]-[a 2+2a +m 2+2m +2]=4（a +2）当a +2≥0，即a ≥-2时，y 2-y 1≥0，即y 2≥y 1，当a +2＜0，即a ＜-2时，y 2-y 1＜0，即y 2<y 1．【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与x 轴的交点，比较代数式的大小，解本题的关键是求出b ，用m 表示出抛物线解析式，难点是分类讨论．25．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【分析】（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．【详解】解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：6006040080k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：101200k b =-⎧⎨=⎩． 所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）． （2）由题意得：()()=10120050w x x -+-化简得：2=10170060000w x x -+-由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x ≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-． 所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．26．5【分析】首先建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE 于Q ，再得出抛物线的解析式为y= -16+5及直线EC 解析式为y= -56x+7，最后求出H 的纵坐标即可得解．【详解】解：如图所示，建立以AB 为x 轴，以AD 为y 轴的直角坐标系，过点G 作GQ ⊥AD 交AE于Q，∵AD=2，DE=5，DF=1，∴D(0，2)，E(0,7)，F(0,3)，∵GQ⊥AD,EG=4，∠AEG=60°，∴GQ=sin60°×EG=34232=∴2216122EG GQ-=-=，∴AQ=AE-EQ=7-2=5,∴35)，3，0)，32)，∵35)为抛物线顶点，∴设抛物线的解析式为：3，将点F(0,3)代入解析式得3)²+5，即12a+5=3，解得a= -16，故抛物线解析式为：y= -163+5，设直线EC解析式为：y=kx+b(k≠0)，将E(0，7)，32)代入解析式联立，得：7223bk b=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得：7536bk=⎧⎪⎨=⎪⎩直线解析式为：y= -563，∴H同时在抛物线与直线EC上联立得(21567y x y ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 解得：(舍去）即Hy=7+， 得H的纵坐标为：7=4.5， 故射灯离地面高度4.5米．故答案为：4.5．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．。
(常考题)北师大版初中数学九年级数学下册第二单元《二次函数》检测(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知y 是x 的二次函数，y 与x 的部分对应值如表所示，若该二次函数图象向左平移后通过原点，则应平移（ ） x … 1-0 1 2 … y…343…A ．1个单位B ．2个单位C ．3个单位D ．4个单位2．如图，Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝2，正方形CDEF 的顶点D 、F 分别在AC 、BC 边上，设CD 的长度为x ，△ABC 与正方形CDEF 重叠部分的面积为y ，则下列图象中能表示y 与x 之间的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，一边靠墙（墙有足够长），其它三边用12m 长的篱笆围成一个矩形（ABCD ）花园，这个花园的最大面积是（ ）A ．18m 2B ．12 m 2C ．16 m 2D ．22 m 24．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，在下列六个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>；⑥240b ac -<．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如图是二次函数()20y ax bx c a =++≠图象的一部分，对称轴是直线12x =，且经过点()20，，下列说法∶①0abc >；②240b ac -<；③1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根；④0a b +=．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上（如图），它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0）、（3，0）．对于下列结论：①c ＜0；②b ＜0；③4a ﹣2b +c ＞0．其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个7．二次函数223y x =-+在14x -≤≤内的最小值是（ ） A ．3B ．2C ．－29D ．－308．二次函数()210y ax bx c a =++>的图象与x 轴的一个交点为()3,0-，对称轴为直线1x =-，一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和二次函数()210y ax bx c a =++>图象的顶点．下列结论：（ ）①0abc <；②若31x -<<-，则12y y <； ③若二次函数1y 的值大于0，则1x >；④过动点(),0P m 且垂直于x 轴的直线与函数12,y y 的图象的交点分别为,C D ，当点C 位于点D 上方时，m 的取值范围是3m <-或1m >-． 错误的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④9．如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于点()1,0A -，对称轴为直线1x =，下列结论：①0abc <；②930a b c ++=；③20a b +=；④2am bm a b +<+（m 是任意实数），其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．②③④10．已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =．有下列结论：①0abc >；②关于x 的方程20ax bx c ++=有两个不等的实数根；③12a <-．其中正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．311．已知函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象如图所示，当直线y x m =-+与函数223y x x =+-的图象有2个交点时，m 的取值范围是（ ）A ．3m <-B ．31m -<<C ．134m >或3m <- D ．31m -<<或134m >12．已知二次函数()()20y a x m a =->的图象经过点()1,A p -，()3,B q ，且p q <，则m 的值不可能．．．是（ ）A ．2-B ．C ．0D ．52二、填空题13．已知()11y ，，()23y ，是函数226y x x c =-++图像上的点，则1y ，2y 的大小关系是______．14．设()()y x a x b =++的图象与x 轴有m 个交点，函数(1)(1)y ax bx =++的图象与x 轴有n 个交点，则所有可能的数对(,)m n 是__________.15．现从四个数1，2，1-，3-中任意选出两个不同的数，分别作为二次函数2y ax bx =+中a ，b 的值，则所得二次函数满足开口方向向下且对称轴在y 轴右侧的概率是__________．16．已知函数y b =的图象与函数23|1|43y x x x =----的图象恰好有四个交点，则b 的取值范围是______．17．抛物线24y x x c =-++向右平移一个单位得到的抛物线恰好经过原点，则c =_____．18．已知二次函数2221y x mx m =-++（m 为常数），当自变量x 的值满足31x -≤≤-时，与其对应的函数值y 的最小值为5，则m 的值为__________．19．将抛物线2y x =-先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式是______．20．将抛物线2610y x x =-+先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的抛物线与x 轴的交点坐标是______．三、解答题21．商店销售某商品，销售中发现，该商品每天的销售量y (个)与销售单价x (元/个)之间存在如图所示的关系，其中成本为20元/个． （1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了保证每天利润不低于1300元，单价不高于30元/个，那么商品的销售单价应该定在什么范围?22．如图，利用一面长为34米的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏）．若所用铁栅栏的长为40米，矩形ABCD的边AD长为x米，AB长为y米，矩形的面积为S平方米，且x＜y．（1）求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）求S与x的函数关系式，并求出矩形场地的最大面积．23．天气寒冷，某百货商场准备销售一种围巾，围巾的进货价格为每条50元，并且每条的售价不低于进货价，经过市场调查，每月的销售量y（条）与每条的售价x（元）之间满足人体所示的函数关系．（1）求每月销售y（条）与售价x（元）的函数关系式；（2）物价部门规定，该围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，设这种围巾每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？24．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+2x ﹣3a （a ≠0）交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． （1）求此抛物线的解析式及A 、B 两点坐标；（2）若抛物线交y 轴于点C ，顶点为D ，求四边形ABCD 的面积．25．某工艺品厂设计了一款每件成本为11元的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得出每天销售量y （件）是每件售价x （元）（x 为正整数）的一次函数，其部分对应数据如下表所示：（1）求y 关于x 的函数解析式．（2）该工艺品每件售价为多少元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元？26．已知抛物线2y ax c =+经过点()0,2A 和点()1,0B -． （1）求抛物线的解析式；（2）将（1）中的抛物线平移，使其顶点坐标为()2,1，平移后的抛物线与x 轴的两个交点分别为点,C D （点C 在点D 的左边）．求点,C D 的坐标；（3）将（1）中的抛物线平移，设其顶点的纵坐标为m ，平移后的抛物线与x 轴两个交点之间的距离为n ．若15m <≤，直接写出n 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==，进而可得点()1,4是二次函数的顶点，故设二次函数解析式为()214y a x =-+，然后代入点()1,0-可得二次函数解析式，最后问题可求解．【详解】解：由表格可得点()0,3与点()2,3是关于二次函数对称轴对称的，则有二次函数的对称轴为直线0212x +==， ∴点()1,4是二次函数的顶点，设二次函数解析式为()214y a x =-+，代入点()1,0-可得：1a =-，∴二次函数解析式为()214y x =--+，∵该二次函数图象向左平移后通过原点， ∴设平移后的解析式为()214y x b =--++，代入原点可得：()2014b =--++，解得：123,1b b ==-(舍去)， ∴该二次函数的图象向左平移3个单位长度； 故选C ． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及平移，熟练掌握二次函数的图象与性质及平移是解题的关键．2．A解析：A 【分析】分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到2yx ；当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，利用重叠的面积等于正方形的面积减去△MNE 的面积得到()2221y x x =--，配方得到()222y x =--+，然后根据二次函数的性质对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：当0＜x≤1时，2yx ，当1＜x≤2时，ED 交AB 于M ，EF 交AB 于N ，如图，CD=x ，则2AD x =-， ∵Rt △ABC 中，AC=BC=2， ∴△ADM 为等腰直角三角形，∴2DM x =-，∴()222EM x x x =--=-， ∴S △ENM ()()22122212x x =-=-， ()()2222214222y x x x x x =--=-+-=--+∴()()()22012212y x x y x x ⎧=≤⎪⎨=--+≤⎪⎩﹤﹤， 故选：A ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象：通过看图获取信息，考查学生问题分析能力，解题的关键是分两种情况考虑：当0＜x≤1和当1＜x≤2．3．A解析：A 【分析】根据题意可以列出相应的函数关系式，然后化为顶点式即可解答本题． 【详解】解：设与墙垂直的矩形的边长为xm ，则这个花园的面积是：S=x （12-2x ）=()222122318x x x -+=--+， ∴当x=3时，S 取得最大值，此时S=18， 故选：A ． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．4．D解析：D 【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，利用图象判断1，-1，2所对应的y 的值，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①∵由函数图象开口向下可知，a ＜0，由函数的对称轴12b a ->-，故12b a<， ∵a ＜0， ∴b ＞2a ，∴2a -b ＜0，①正确；②∵a ＜0，对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号，图象与y 轴交于负半轴，则c ＜0，故abc ＜0；②正确；③当x=1时，y=a+b+c ＜0，③正确； ④当x=-1时，y=a -b+c ＜0，④错误； ⑤当x=2时，y=4a+2b+c ＜0，⑤错误； ⑥∵图象与x 轴无交点， ∴b 2-4ac ＜0，⑥正确；故正确的有①②③⑥，共4个． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键．5．B解析：B 【分析】①根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y 轴交点位置求得a 、b 、c 的符号即可判断；②根据抛物线与x 轴的交点即可判断； ③根据二次函数的对称性即可判断； ④由对称轴求出=-b a 即可判断． 【详解】解：①∵二次函数的图象开口向下， ∴0a <，∵二次函数的图象交y 轴的正半轴于一点， ∴0c >， ∵对称轴是直线12x =， ∴122b a -=， ∴0b a =->， ∴0abc <．故①错误；②∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴240b ac ->， 故②错误； ③∵对称轴为直线12x =，且经过点()2,0， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为()1,0-，∴1x =-是关于x 的方程20ax bx c ++=的一个根，故③正确； ④∵由①中知=-b a ， ∴0a b +=，故④正确；综上所述，正确的结论是③④共2个． 故选：B ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，注意：当0a >时，二次函数的图象开口向上，当0a <时，二次函数的图象开口向下．6．A解析：A 【分析】根据抛物线与y 轴的交点位置可对①进行判断；根据抛物线的对称性得到x ＝2ba-＝1，则b ＝﹣2a ＜0，于是可对②进行判断；利用x ＝﹣2，y ＞0可对③进行判断． 【详解】解：∵抛物线与y 轴的交点坐标在x 轴下方， ∴c ＜0，所以①正确； ∵抛物线开口向上， ∴a ＞0，∵抛物线与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即2ba-＝1， ∴b ＝﹣2a ＜0，所以②正确； ∵由图象可知，当x ＝﹣2时，y ＞0， ∴4a ﹣2b +c ＞0，所以③正确． 故选：A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键是树立数形结合思想，准确读取图象信息，认真推理判断．7．C解析：C 【分析】根据图象，直接代入计算即可解答 【详解】解：由图可知，当x=4时，函数取得最小值y 最小值=-2×16+3=-29．故选：C ．【点睛】本题考查二次函数最小（大）值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．C解析：C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性，以及一次函数的性质逐个进行判断，即可得出答案．【详解】解：根据题意，∵对称轴12b x a=-=-，0a >， ∴20b a =>， ∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-，∴另一个交点为()1,0，∴抛物线与y 的负半轴有交点，则0c <，∴0abc <；故①正确；∵一次函数()20y kx n k =+<的图象过点()3,0-和顶点()1,a b c --+，∴若31x -<<-，则12y y <；故②正确；∵抛物线与x 轴的一个交点为()3,0-和()1,0，若二次函数1y 的值大于0，则1x >或3x <-；故③错误；由题意，当12y y >时，有3m <-或1m >-；故④正确；故选：C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置，抛物线的对称性是解决问题的关键．9．B解析：B【分析】①抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，即可得出a ＞0、b ＜0、c ＜0，进而可得出abc ＞0，结论①错误；②由抛物线的对称轴以及与x 轴的一个交点坐标，可得出另一交点坐标为（3，0），进而可得出9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③由对称轴直线x=1，可得结论③正确；④2()()0am bm a b +-+≥，可得结论④错误．综上即可得出结论．【详解】解：①∵抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝1，∴a ＞0，12b a-=，c ＜0， ∴b ＝−2a ＜0，∴abc ＞0，结论①错误； ②∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴交于点A （−1，0），对称轴为直线x ＝1，∴二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0）的图象与x 轴的另一个交点为（3，0），∴9a ＋3b ＋c ＝0，结论②正确；③∵对称轴为直线x ＝1， ∴12b a-=，即：b ＝−2a ， ∴20a b +=，结论③正确；④∵222()()(2)(2)2am bm a b am am a a am am a +-+=---=-+22(21)(1)a m m a m =-+=-≥0，∴2am bm a b +≥+，结论④错误．综上所述，正确的结论有：②③．故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．10．C解析：C【分析】由二次函数的对称性及题意可得该抛物线与x 轴的另一个交点坐标为()1,0-，进而可得抛物线的开口方向向下，则有a 0,b 0,c 0<>>，然后根据二次函数的性质可进行排除选项．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数0a ≠，1c >）经过点(2,0)，其对称轴是直线12x =， ∴抛物线与x 轴的另一个交点的横坐标为12212⨯-=-， ∴该点坐标为()1,0-，∴抛物线的开口方向向下，即0a <，根据“左同右异”可得0b >，∴0abc <，故①错误； ∴令y=0，则关于x 的方程20ax bx c ++=的解为：122,1x x ==-，故②正确； 根据根与系数的关系可得122c x x a==-， ∴21c a =->， 解得12a <-，故③正确； ∴正确的个数有2个；故选C ．【点睛】 本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 11．D解析：D【分析】作出函数223y x x =+-及一次函数y x m =-+的图象，根据图象性质讨论即可求出． 【详解】解：如图：函数223y x x =+-，当0y =时，1x =或3-， ()()3010A B ∴-，，，，当31x -<<时，223y x x =--+，当直线过点A 时，1个交点，此时()03m =--+，即3m =-，当3m >-时，有2个交点，当直线过点B 时，有3个交点，此时01m =-+，即1m =，∴1m <时有2个交点，31m ∴-<<，当直线与抛物线相切时，有3个交点，223y x x y x m ⎧=--+∴⎨=-+⎩， 由()1430m =--+=， 解得：134m =， 134m ∴>时有2个交点， 综上所述，31m -<<或134m >． 【点睛】 本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．D解析：D【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1，解得即可．【详解】解：∵二次函数y ＝a （x ﹣m ）2（a ＞0），∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x ＝m ，∵图象经过点A （﹣1，p ），B （3，q ），且p ＜q ，∴m +1＜3﹣m 或m ≤﹣1解得m ＜1，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题13．【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴进而确定抛物线的增减性根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系【详解】解：∵∴抛物线的对称轴为∵a=-2<0∴抛物线开口向下∵1比3更接近对称轴∴故答案为：【点解析：12y y >【分析】经过配方后确定抛物线的对称轴，进而确定抛物线的增减性，根据自变量的大小关系可确定函数值的大小关系．【详解】解：∵()2223926=23222y x x c x x c x c ⎛⎫=-++--+=--++ ⎪⎝⎭ ∴抛物线的对称轴为32x =∵a=-2<0∴抛物线开口向下 ∵1比3更接近对称轴，∴12y y >故答案为：12y y >．【点睛】本题考查了二次函数值的大小比较，根据二次函数的解析式确定对称轴的位置是解题的关键．14．（11）（10）（21）（22）【分析】分别对ab 的值分类讨论根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x1）（x ﹣x2）（abc 是常数a≠0）得出抛物线与x 轴的交点坐标情况即可求解【详解】因为是二次解析：（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）【分析】分别对a 、b 的值分类讨论，根据直线和二次函数的交点式：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（a ，b ，c 是常数，a≠0），得出抛物线与x 轴的交点坐标情况，即可求解．【详解】因为()()y x a x b =++ 是二次函数，令()()y x a x b =++=0，有0x a +=或0x b +=，解得：x a =-或x b =-；对m 来说，①当a b =时，图像与x 轴有一个交点，即1m =；② 当a b 时，图像与x 轴有两个交点，即2m =；函数(1)(1)y ax bx =++：令(1)(1)0y ax bx =++=，有10ax +=或10bx +=， 对n 来说，①当0a b =≠时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =； ②当0a b 时，关于x 的方程无解，图像与x 轴没有交点，即0n =； ③当a b 且0ab =时，关于x 的方程有一个解，图象与x 轴有1个交点，即1n =； ④ 当a b 且0ab ≠时，关于x 的方程有两个不相等的解，图像与x 轴有两个交点，即2n =； 综上所述，当a b =时，1n =或0n =；当a b 时，1n =或2n =． ∴所有可能的数对(,)m n 是（1，1），（1，0），（2，1），（2，2）故答案为：（1，0）或（2，1）或（1，1）或（2，2）．【点睛】本题考查了二次函数与x 轴的交点问题，解决本题的关键是正确理解二次函数的交点式． 15．【分析】把ab 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来再根据概率的定义列式求解即可【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0对称轴在y 轴右侧即要求∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0 解析：13【分析】把a 、b 所有可能的取值及满足题目的条件通过表格列出来，再根据概率的定义列式求解即可．【详解】解：∵二次函数满足开口方向向下即要a<0，对称轴在y 轴右侧即要求02b a->， ∴可以列出如下表格：其中第三和第四行数字0表示不满足题中某个条件 ， 数字1表示满足题中某个条件， ∴由题意，只有第三和第四行两个数字都为1时才满足题目所有条件，此时a 和b 的值分别为-1和1、-1和2、-3和1、-3和2共4种情况，∴所求概率为41123=， 故答案为13． 【点睛】本题考查二次函数的性质，用列表法计算概率的方法，熟练掌握列表法的步骤及题目条件的符号表示是解题关键．16．【分析】根据绝对值的意义分两种情形化简绝对值后根据图像确定b 的范围即可【详解】当x≥1时y=；当x ＜1时y=；∴二图像的交点为（1-6）y=的最小值为画图像如下根据图像可得直线与之间的部分有个交点∴解析：2564b -<<-【分析】根据绝对值的意义，分两种情形化简绝对值，后根据图像确定b 的范围即可.【详解】当x≥1时，y=27x x -；当x ＜1时，y=26x x --；∴227(1)6(1)x x x y x x x ⎧-≥=⎨--<⎩， 二图像的交点为（1，-6）, y=26x x --的最小值为254-， 画图像如下，根据图像，可得直线6y =-与254y =-之间的部分有4个交点， ∴b 的取值范围为254-＜b ＜-6， 故填254-＜b ＜-6. 【点睛】 本题考查了图像的交点问题，利用分类思想，数形结合思想，最值思想画出图像草图是解题的关键.17．5【分析】先根据平移的规律得出平移后的解析式再根据二次函数图象上的点的特点即可得到关于c 的方程解方程即可【详解】抛物线解析式为：向右平移一个单位得到的抛物线为：抛物线恰好经过原点解得c=5故答案为： 解析：5【分析】先根据平移的规律得出平移后的解析式，再根据二次函数图象上的点的特点即可得到关于c 的方程，解方程即可.【详解】抛物线解析式为：224(2)4y x x c x c =-++=--++，向右平移一个单位得到的抛物线为：2(3)4y x c =--++，抛物线恰好经过原点， ∴20(03)4c =--++，解得c=5.故答案为：5【点睛】本题考查的是二次函数图象与几何变换，二次函数的性质以及二次函数图象上的点的坐标的特征，图象上的点的坐标适合解析式.18．-5或1【分析】利用配方法可得出：当x=m 时y 的最小值为1分m ＜-3-3≤m≤-1和m ＞-1三种情况考虑：当m ＜-3时由y 的最小值为5可得出关于m 的一元二次方程解之取其较小值；当-3≤m≤-1时y 的解析：-5或1【分析】利用配方法可得出：当x=m 时，y 的最小值为1．分m ＜-3，-3≤m≤-1和m ＞-1三种情况考虑：当m ＜-3时，由y 的最小值为5可得出关于m 的一元二次方程，解之取其较小值；当-3≤m≤-1时，y 的最小值为1，舍去；当m ＞-1时，由y 的最小值为5可得出关于m 的一元二次方程，解之取其较大值．综上，此题得解．【详解】解：∵y=x 2-2mx+m 2+1=（x-m ）2+1，∴当x=m 时，y 的最小值为1．当m ＜-3时，在-3≤x≤-1中，y 随x 的增大而增大，∴9+6m+m 2+1=5，解得：m 1=-5，m 2=-1（舍去）；当-3≤m≤-1时，y 的最小值为1，舍去；当m ＞-1时，在-3≤x≤-1中，y 随x 的增大而减小，∴1+2m+m 2+1=5，解得：m 1=-3（舍去），m 2=1．∴m 的值为-5或1．故答案为：-5或1．【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征，分m ＜-3，-3≤m≤-1和m ＞-1三种情况求出m 的值是解题的关键．19．【分析】根据左加右减上加下减的原则进行解答即可【详解】解：将抛物线向左平移1个单位所得直线解析式为：；再向上平移2个单位为：故答案为：【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换要求熟练掌握平移的规解析：()212y x =-++【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线2y x =-向左平移1个单位所得直线解析式为：()2+1y x =-； 再向上平移2个单位为：()2+21+y x =-．故答案为：()212y x =-++．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 20．【分析】先把抛物线解析式整理出顶点式形式再根据规律求出平移后的抛物线再求出抛物线与轴的交点坐标即可【详解】解：∵∴抛物线向左平移2个单位长度再向下平移个单位长度得：∴平移后的抛物线顶点坐标为（10） 解析：()1,0【分析】先把抛物线解析式整理出顶点式形式，再根据规律求出平移后的抛物线，再求出抛物线与x 轴的交点坐标即可．【详解】解：∵22610=(3)1y x x x =-+-+，∴抛物线2610y x x =-+向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得： 222610=(3+2)11(1)y x x x x =-+-+-=-∴平移后的抛物线顶点坐标为（1，0），即所得到的抛物线与x 轴的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式，本题巧妙之处在于抛物线顶点坐标在x 轴上．三、解答题21．（1）1003400y x =-+；（2）每个不低于21元且不高于30元【分析】（1）观察图形，找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y 与x 之间的函数关系式； （2）设每天的销售利润为w 元，根据利润=每个的利润×销售数量，即可得出w 关于x 的函数关系式，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出当w =1300时x 的值，再利用二次函数的性质即可解决问题．【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将（25，900），（28，600）代入y=kx+b，得25900 28600k bk b+=⎧⎨+=⎩，解得1003400kb=-⎧⎨=⎩，∴y与x的函数关系式为y=-100x+3400；（2）设该商品每天的销售利润为w元，由题意得w=(x-20)•y=(x-20)(-100x+3400)=-100x2+5400x-68000当w=1300时，即-100x2+3600x-68000=1300，解得：121x=，233x=，画出每天利润w关于销售单价x的函数关系图象如解图，又∵单价不高于30元/个，∴当该商品的销售单价每个不低于21元，且不高于30元时，可保证每天利润不低于1300元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出y与x之间的函数关系式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当y=1300时x的值．22．（1）y＝﹣2x+44（5≤x＜443）；（2）S＝﹣2x2+44x，矩形场地的最大面积为242m2【分析】（1）根据三边铁栅栏的长度之和为40可得x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，整理即可得出答案；（2）根据长方形面积公式列出解析式，配方成顶点即可得出答案．【详解】解：（1）根据题意，知x+（y﹣2）+（x﹣2）＝40，∴y＝﹣2x+44，∵墙面长为34米∴y ＝﹣2x+44≤34解得x≥5∵x ＜y∴x ＜﹣2x+44解得x ＜443∴自变量x 的取值范围是5≤x ＜443； （2）S ＝xy＝x （﹣2x+44）＝﹣2x 2+44x＝﹣2（x ﹣11）2+242，∴当x ＝11时，S 取得最大值，最大值为242，即矩形场地的最大面积为242m 2．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出关系式是解决问题的关键．23．（1）y 101200x =-+（x≥50）；（2）售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【分析】（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50），利用待定系数法将（60,600），（80,400）代入即得解得解析式；（2）根据题意列出函数关系式，再利用二次函数的性质求最大利润即可，注意考虑自变量的范围，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%．【详解】解：（1）设一次函数解析式y kx b =+ （x≥50）．由函数图像可知（60,600），（80,400）在函数图像上，代入即得：6006040080k b k b=+⎧⎨=+⎩ 解得：101200k b =-⎧⎨=⎩． 所以，每月销售y （条）与售价x （元）的函数关系式：y 101200x =-+（x≥50）． （2）由题意得：()()=10120050w x x -+-化简得：2=10170060000w x x -+-由函数解析式可知对称轴是x=85时，x≤85时，w 随x 的增加而增大．因为，围巾的每条利润不允许高于进货价的30%，那么 x≤50×（1+30%），即x≤65. 所以，当x=65时，w 取到最大值：2=106517006560000=8250w -⨯+⨯-．所以，售价定为65元可获得最大利润，最大利润8250元．【点睛】本题考查了一次函数与二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．24．（1）y ＝x 2+2x ﹣3，A （﹣3，0），B （1，0）；（2）四边形ABCD 的面积是9【分析】（1）根据抛物线对称轴方程x ＝b2a 求得a 的值，继而确定函数解析式；将二次函数解析式转换为交点式，直接写出A 、B 两点坐标；（2）由抛物线解析式求得点C 、D 的坐标，然后利用分割法求得四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）根据题意知，抛物线的对称轴为x ＝﹣22a＝﹣1，则a ＝1． 故该抛物线解析式是：y ＝x 2+2x ﹣3．因为y ＝x 2+2x ﹣3＝（x+3）（x ﹣1），所以A （﹣3，0），B （1，0）；（2）如图：由（1）知，A （﹣3，0），B （1，0），由抛物线y ＝x 2+2x ﹣3知，C （0，﹣3）．∵y ＝x 2+2x ﹣3＝（x+1）2﹣4，∴D （﹣1，﹣4），E （﹣1，0）．∴AE ＝2，OC ＝3，OE ＝1，OB ＝1，ED ＝4，∴S 四边形ABCD ＝S △BOC +S 梯形OEDC +S △DAE ＝12×1×3+12（3+4）×1+12×2×4＝9． 即四边形ABCD 的面积是9．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．25．（1）10300y x =-+；（2）20元或21元．【分析】（1）通过表格的数据，利用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）通过题意得到利润和售价之间的关系式，然后当利润为900元时，解方程即可得到结果．【详解】解：（1）设该一次函数的解析式为y kx b =+，由表可知15x =时150y =，16x =时140y =，∴1501514016k b k b =+⎧⎨=+⎩∴10300k b =-⎧⎨=⎩∴一次函数的解析式为10300y x =-+；（2）设利润为W ，则()()()111110300W x y x x =-=--+，∴2104103300W x x =-+-当900W =时，2900104103300x x =-+-，即2414200x x -+=，解得120x =，221x = ∴每件售价为20元或21元时，工艺品厂试销该工艺品每天获得的利润是900元．【点睛】本题考查了函数的应用问题，正确列出函数关系式是解题的关键．26．（1）222y x =-+；（2）2,0,222C D ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3n <≤【分析】（1）把点A 、B 的坐标分别代入函数解析式，列出关于a 、c 的方程组，通过解方程求得它们的值；（2）根据平移的规律写出平移后抛物线的解析式，然后令0y =，则解关于x 的方程，即可求得点C 、D 的横坐标；（3）根据抛物线与x 轴两个交点之间的距离为21||x x -的关系来即可求n 的取值范围；【详解】解：（1）抛物线2y ax c =+经过点(0,2)A 和点(1,0)B -， ∴20c a c =⎧⎨+=⎩， 解得：22a c =-⎧⎨=⎩， ∴此抛物线的解析式为222y x =-+；（2）此抛物线平移后顶点坐标为(2,1)，∴抛物线的解析式为22(2)1y x =--+，令0y =，即22(2)10x --+=，解得 122x =+，222x =-， 点C 在点D 的左边，(C ∴ 22-0)，(22D +，0)； （3）设平移后抛物线的解析式是22y x m =-+，该抛物线与x 轴的两交点横坐标为1x ，2x ，整理为：220x m -=．此时120x x +=，122m x x =-．则21||x x n -==．当1m =时，n =当5m =时，n =．所以，n n <≤【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程求抛物线与坐标轴的交点．。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题含答案
A ．y 轴B ．直线 x ＝C ．直线 x ＝2D ．直线 x ＝ 4．一次函数 y ＝ax ＋b 和反比例函数 y ＝ 在同一平面直角坐标系中的图象如图 8－Z －1第二章 二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题，共 28 分).1．已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值 2D ．最大值 2..2．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..：xy－15 01 1－1 2－131则该二次函数图象的对称轴为().52323．若二次函数 y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1 的图象过原点，则 m 的值为()A ．±1B ．0C ．1D ．－1图 8－Z －1cx所示，则二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为()图 8－Z －25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x ，该药品原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )为直线 x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点 B ⎝－2，y 1⎭， C ⎝－2，y 2⎭为函数图象上的两点，则 y 1＜y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y ＝－ x 2＋b ，则隧道底部宽 AB 为________m.C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)图 8－Z －36．如图 8－Z －3 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③)图 8－Z －47．如图 8－Z －4，△Rt OAB 的顶点 A (－2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题(本大题共 5 小题，共 25 分)8．函数 y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．9．将抛物线 y ＝2(x －1)2＋2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图 8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－Z －7 所示的平面直角坐标系，若抛1 2图8－Z－5图8－Z－6 11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．图8－Z－7三、解答题(共47分)13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图8－Z－814．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P△，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时△，PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．图8－Z－9)＝ .故选 D.轴为直线 x ＝－1，则－ ＝－1，即 2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点 A (－3，以③错误；④点 B ⎝－2，y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C ⎝－2，y 2⎭在对称轴右侧7．C8. 10．8 [解析] 由题意可知抛物线 y ＝－ x 2＋b 的顶点坐标为(0，8)，∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ x 2＋8.当 y ＝0 时，0＝－ x 2＋8，解得 x ＝4 或－4，∴x ＝－ >0，详解详析1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线 x ＝ 0＋3 2(或1＋2 32 23．D 4.C 5.C6．B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b 2－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称b2a0)，对称轴为直线 x ＝－1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有 a ＋b ＋c ＝0，所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处，找出相应的点，显然 y 1＜y 2，所以④正确．故选 B.5 29．y ＝2(x ＋2)2－2(或 y ＝2x 2＋8x ＋6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为 8.11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧，b2a∴b <0，①错误．当 x ＝－1 时，抛物线在 x 轴上方，∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为 E ，与 x 轴右边的交点为 D ，则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－2，∴S ＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶∴BC ＝ ×12－x ＝6－x .∴y ＝ x (6－x )＝－ x 2＋3x ，即 y ＝－ x 2＋3x .(2)y ＝－ x 2＋3x ＝－ (x －3)2＋4.5， ∵a ＝－ ＜0，∴ ＝－2.⎩点坐标公式，得 y C ＝－2，4ac －b 2 4a∵c ＝－1，解得 b 2＝4a ，④正确．故填③④.12．(1＋ 7，3)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB ＝x ，12∵E ，F ，G ，H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值，当 x ＝3 时，y 有最大值，为 4.5. 14．解：(1)由题意可得：⎧⎪300－10x （0≤x ≤30）， y ＝⎨⎪300－20x （－20≤x <0）.(2)由题意可得：⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x <0），化简得：⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩－20x 2－100x ＋6000（－20≤x <0），⎪⎩ －20（x ＋ ）2＋6125（－20≤x <0）. 即 6000＝－20(x ＋ )2＋6125，6000＝－10(x －5)2＋6250，⎧⎪－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），即 w ＝⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数，所以当 x ＝－2 或 x ＝－3 时，w ＜6125＜6250，故当销售价格为每件 65 元时，月利润最大，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥6000，如图，令 w ＝6000，52解得 x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，∴－5≤x ≤10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)，才能使每月利润不少于 6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，⎧a －b ＋c ＝0，⎧a ＝1，把 A ，B ，C 三点的坐标分别代入可得⎨16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎨b ＝－3，⎩c ＝－4，⎩c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为 y ＝x 2－3x －4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点 P ，连接 OP ，CP ，如图①，∴PO ＝PC ，此时点 P 即为满足条件的点．∵C (0，－4)， ∴D (0，－2)，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y ＝－2 时，即 x 2－3x －4＝－2，(不合题意，舍去)，x 2＝∴存在满足条件的点 P ，其坐标为( ，－2)．3－ 17 3＋ 17解得 x 1＝ 2 2.3＋ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P (t ，t 2－3t －4)．过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交直线 BC 于点 F ，如图②， ∵B (4，0)，C (0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝x －4， ∴F (t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，1 1 1 1 1 ∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝2PF · OE ＋2PF · BE ＝2PF ·(OE ＋BE )＝2PF · OB ＝2(－t 2＋4t )×4＝－2(t －2)2＋8，∴当 t ＝2 时，△S PBC 最大，且最大值为 8，此时 t 2－3t －4＝－6，∴当点 P 的坐标为(2，－6)时△， PBC 的面积最大，最大面积为 8.。
北师大版九年级数学下册单元测试卷附答案第二章 二次函数
北师大版九年级数学下册单元测试卷附答案第二章二次函数一、选择题（共16小题；共48分）1. 变量与之间的关系是，当自变量时，因变量的值是C. D.2. 下列四个函数中，图象经过原点且对称轴在轴左侧的二次函数是A. B. C. D.3. 由二次函数，可知A. 其图象的开口向下B. 其图象的对称轴为直线C. 其最小值为D. 当时，随的增大而增大4. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.5. 下列函数：，，，，其中以为自变量的二次函数有A. 个B. 个C. 个D. 个6. 如果，则，的值分别是A. ，B. ，C. ，D. ，7. 抛物线的顶点坐标是A. B. C.8. 已知二次函数的图象沿轴平移后经过，两点，若，则图象可能的平移方式是A. 向左平移单位B. 向左平移单位C. 向右平移单位D. 向右平移单位9. 二次函数变形为的形式，正确的是A. B.C. D.10. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的个数是①；②；③；④．A. B. C. D.11. 二次函数的图象如图，对称轴为直线，若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是A. C.12. 如图，已知直线与直线在第一象限交于点．若直线与轴的交点为，则的取值范围是C. D.13. 长方体的长为，宽为，高为，点在棱上与点的距离为，如图，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，则需要爬行的最短距离是A. B. C. D.14. 如图，在中，，定义：斜边与的邻边的比叫做的正割，用“”表示，如设该直角三角形各边为，，，则，则下列说法正确的是A. B.C. D.15. 如图，小明想用长为米的栅栏（虚线部分），借助围墙围成一个矩形花园，则矩形的最大面积是平方米．A. B. C. D.16. 若关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在和之间（不含和），则的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（共7小题；共35分）17. 二次函数的部分图象如图，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，的值随值的增大而增大．其中正确的结论有（填序号）．18. 已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是．19. 已知二次函数，当时，随的增大而增大．20. 算筹是我国古代的计算工具之一，也是中华民族智慧的结晶，如图中用算筹表示的算式是“”，则图中算筹表示的算式的运算结果为．21. 请选择一组你自己所喜欢的，，的值，使二次函数的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是．22. 对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“属派生点”为，即．若点的“属派生点的坐标为，请写出一个符合条件的点的坐标：．23. 若函数的图象与轴只有一个交点，那么的值为．三、解答题（共5小题；共67分）24. 在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并写出它们共同的性质：（1）；（2）；（3）．25. 已知二次函数．（1）写出它的顶点坐标；（2）当取何值时，随的增大而增大；（3）求出图象与轴的交点坐标；（4）当取何值时，有最值，并求出最值；（5）当取何值时，．26. 把下列二次函数化成一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．（1）；（2）；（3）；（4）．27. 用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：（1）第个图形有多少黑色棋子?（2）第几个图形有颗黑色棋子?请说明理由．28. （1）如图所示，，内有一点，在的两边上有两个动点，（均不同于点），现在把周长最小时的度数记为，则与应该满足关系是．（2）设一次函数对于任意两个的值，分别对应两个一次函数，，若，当时，取相应，中的较小值，则的最大值是．答案第一部分1. C2. A3. C4. B5. B6. D7. A8. D9. D10. B11. D12. D 【解析】直线与轴的交点为，，解得直线与直线的交点在第一象限，解得．13. C14. A15. B【解析】设，则．得矩形的面积，即矩形的最大面积为平方米．16. B 【解析】依题意得：当时，函数；当时，函数．因为关于的一元二次方程的两根中有且仅有一根在和之间（不含和），所以当时，函数图象必在轴的上方，所以，即．第二部分17. ①③18.19.20.21.22. 等【解析】由题意可得，点的坐标可以是．23. 或第三部分24. 填表如下：画图如下：共同的性质有：开口向下；对称轴都是轴；在对称轴左边，随的增大而增大；对称轴右边，随的增大而减少等．25. （1）因为，所以顶点坐标为．（2）因为抛物线的对称轴为，且抛物线的开口向上，所以当时，随的增大而增大．（3）当时，解得：，，所以该函数图象与轴的交点为．（4）因为抛物线的顶点坐标为，所以当时，有最小值，最小值为．（5）因为该函数图象与轴的交点为，且抛物线的开口向上，所以当时，．26. （1）一般形式为，二次项系数为，一次项次数为，常数项为．（2）一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．（3）一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．（4）一般形式为，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．27. （1）第一个图需棋子，第二个图需棋子，第三个图需棋子，第四个图需棋子，第五个图需棋子，第个图需棋子枚．答：第个图形有颗黑色棋子．（2）设第个图形有颗黑色棋子，根据（1）得，解得，所以第个图形有颗黑色棋子．答：由（1）中规律解得第个图形有颗黑色棋子．28. （1）【解析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接分别交于点，交于点，连接，（如图1所示），此时周长最小，点关于对称，点，关于对称，，，，在与中，．同理：．，，在中，，，，．（2）【解析】由题意可知：，．，不失一般性，设，依照题意画出关于的函数图象，如图2所示：结合函数图象可知．。
北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷(有答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试卷学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 二次函数y=2x(x−1)的一次项系数是（）A.1B.−1C.2D.−22. 比较二次函数y=x2与y=−x2的图象，下列结论错误的是（）A.对称轴相同B.顶点相同C.图象都有最高点D.开口方向相反3. 已知：二次函数y=x2−4x−a，下列说法错误的是（）A.当x<1时，y随x的增大而减小B.若图象与x轴有交点，则a≤4C.当a=3时，不等式x2−4x+a<0的解集是1<x<3D.若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(1, −2)，则a=34. 如图所示，某大学的楼门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距离地面4m 高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6m，则校门的高约为（精确到0.1m，水泥建筑物的厚度忽略不计）（）A.9.2mB.9.1mC.9.0mD.8.9m5. 设二次函数y=x2+bx+c，当x≤1时，总有y≥0，当1≤x≤3时，总有y≤0，那么c的取值范围是（）A.c=3 B.c≥3C.1≤c≤3D.c≤36. 已知二次函数y=x2−bx+1(−1≤b≤1)，当b从−1逐渐变化到1的过程中，它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（）A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动7. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3, 0)，下列结论：①abc>0，②a−b+c=0，③2a+b<0，④b2−4ac<0，其中正确的是（）A.①②③④B.①③④C.①③D.①②8. 二次函数的图象通过A(1, 0)和B(5, 0)两点，但不通过直线y=2x上方的点，则其顶点纵坐标的最大值与最小值的乘积为（）A.3B.4C.5D.69. 坐标平面上，若移动二次函数y=−(x−2012)(x−2011)+2的图象，使其与x轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则移动方式可为（）A.向上移动2个单位B.向下移动2个单位C.向上移动1个单位D.向下移动1个单位10. 如果抛物线y=ax2+bx+c经过点(−1, 12)，(0, 5)和(2, −3)，则a+b+c的值为（）A.−4B.−2C.0D.1二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）精品 Word 可修改欢迎下载精品 Word 可修改 欢迎下载11. 将抛物线y =2(x −1)2+3向右平移2个单位后，得到的新抛物线解析式是________． 12. 一根长为100cm 的铁丝围成一个矩形框，要想使铁丝框的面积最大，边长分别为________．13. 在边长为6的正方形中间挖去一个边长为x(0<x <6)的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为________．14. 已知二次函数y =x 2+px +q ，当x =12，y 取得最小值为−254，则p =________，q =________． 15. 已知二次函数y =−x 2+bx +c 的图象经过点(2, 0)，且与y 轴交于点B ，若OB =1，则该二次函数解析式中，一次项系数b 为________，常数c 为________．16. 某果园有100棵枇杷树．每棵平均产量为40千克，现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少，根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克，若设增种x 棵枇杷树，投产后果园枇杷的总产量为y 千克，则y 与x 之间的函数关系式为________．17. 二次函数y =2x 2−4x −1的图象是由y =2x 2+bx +c 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b =________，c =________．18. 某商店从厂家以每件30元的价格购回一批商品，该商店可自行定价．若每件商品售价为a 元，则可卖出(500−5a)件，但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，如果要使商店获得利润最多，每件商品定价应为________元．19. 已知抛物线y =k(x +1)(x −3k )与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是________．20. 在边长为6 cm 的正方形中间剪去一个边长为x cm(x <6)的小正方形，剩下的四方框形的面积为y ，y 与x 之间的函数关系是________．三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 10 分 ，共计60分 ， ）21. 已知一个二次函数的图象经过点(1, −1)，(0, 1)，(−1, 13)，求这个二次函数的解析式．22. 已知二次函数y =−x 2+4x ． (1)求函数图象的对称轴和顶点坐标； (2)求这个函数图象与x 轴的交点坐标．23. 已知抛物线C 1:y =ax 2+4ax +4a +b(a ≠0, b >0)的顶点为M ，经过原点O 且与x 轴另一交点为A ．(1)求点A 的坐标；(2)若△AMO 为等腰直角三角形，求抛物线C 1的解析式；(3)现将抛物线C 1绕着点P(m, 0)旋转180∘后得到抛物线C 2，若抛物线C 2的顶点为N ，当b =1，且顶点N 在抛物线C 1上时，求m 的值．24. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？25. 鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本30元．设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）①当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910元的利润？②若该店每星期想要获得不低于3910元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？26. 某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x之间的关系如图1所示，成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段，图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价-成本）（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4、5两个月的总收益为22万元，且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克，求4、5两个月的销售量分别是多少万千克？精品 Word 可修改欢迎下载答案1. D2. C3. B4. B5. B6. C7. D8. B9. B 10. C11.12. ，13.14.15. 或或16. y=(100+x)(40−0.25x)17. −8718. 4219. 420. y=−x2+3621. 解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，把三点分别代入得(1)a+b+c=−1，(2)c=1，(3)a−b+c=13，(1)(2)(3)联立方程组解得a=5，b=−7，c=1，故这个二次函数的解析式y=5x2−7x+1．22. 解：(1)∵y=−x2+4x=−(x−2)2+4，∴对称轴为x=2，顶点坐标为(2, 4)；(2)令y=0得−x2+4x=0，解得x=0或4，∴函数图象与x轴的交点坐标为(0, 0)和(4, 0)．23. 解：(1)∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b(a≠0, b>0)经过原点O，∴0=4a+b，∴当ax2+4ax+4a+b=0时，则ax2+4ax=0，解得：x=0或−4，∴抛物线与x轴另一交点A坐标是(−4, 0)；精品 Word 可修改欢迎下载(2)∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b(a≠0, b>0)，（如图1）∴顶点M坐标为(−2, b)，∵△AMO为等腰直角三角形，∴b=2，∵抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点，∴a(0+2)2+2=0，解得：a=−12，∴抛物线C1:y=−12x2−2x；(3)∵b=1，抛物线C1:y=ax2+4ax+4a+b=a(x+2)2+b过原点，（如图2）∴a=−14，∴y=−14(x+2)2+1=−14x2−x，设N(n, −1)，又因为点P(m, 0)，∴n−m=m+2，∴n=2m+2即点N的坐标是(2m+2, −1)，∵顶点N在抛物线C1上，∴−1=−14(2m+2+2)2+1，解得：m=−2+√2或−2−√2．24. 解：设销售单价定为x元(x≥10)，每天所获利润为y元，则y=[100−10(x−10)]•(x−8)=−10x2+280x−1600=−10(x−14)2+360所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元25. y=100+10(60−x)=−10x+700．设每星期利润为W元，W=(x−30)(−10x+700)=−10(x−50)2+4000．∴x=50时，W最大值=4000．∴每件售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000元．①由题意：−10(x−50)2+ 4000=3910解得：x=53或47，∴当每件童装售价定为53元或47元时，该店一星期可获得3910元的利润．②由题意：：−10(x−50)2+4000≥3910，解得：47≤x≤53，∵y=100+10(60−x)=−10x+700．170≤y≤230，∴每星期至少要销售该款童装170件．26. 当x=6时，y1=3，y2=1，∵y1−y2=3−1=2，∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．设y1=mx+n，y2=a(x−6)2+1．将(3, 5)、(6, 3)代入y1=mx+n，{3m+n=56m+n=3，解得：{m=−23n=7，∴y1=−23x+7；将(3, 4)代入y2=a(x−6)2+1，4=a(3−6)2+1，解得：a=13，精品 Word 可修改欢迎下载∴y2=13(x−6)2+1=13x2−4x+13．∴y1−y2=−23x+7−(13x2−4x+13)=−13x2+103x−6=−13(x−5)2+73．∵−13<0，∴当x=5时，y1−y2取最大值，最大值为73，即5月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．当t=4时，y1−y2=−13x2+103x−6=2．设4月份的销售量为t万千克，则5月份的销售量为(t+2)万千克，根据题意得：2t+73(t+2)=22，解得：t=4，∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克，5月份的销售量为6万千克．精品 Word 可修改欢迎下载。
北师大版九年级下册数学《第2章 二次函数》单元测试题(有答案)
2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第2章二次函数》单元测试题一．选择题1．抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（）A．（﹣6，﹣6）B．（﹣6，6）C．（6，6）D．（6，﹣6）2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四3．若直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象（）A．开口向下，对称轴在y轴左侧B．开口向上，对称轴在y轴左侧C．开口向上，对称轴在y轴右侧D．开口向下，对称轴在y轴右侧4．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣35．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c 的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（，﹣）6．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2 7．下面给出了6个函数：①y＝3x2﹣1；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝；④y＝x（x2+x+1）；⑤y＝；⑥y＝．其中是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m9．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于A，与x轴的正半轴交于B、C，且BC＝2，S＝△ABC 3，则c的值为（）A．1B．2C．3D．410．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3二．填空题11．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝，x2＝．12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝12t ﹣4t2，汽车刹车后到停下来前进了m．13．圆的面积y（cm2）与圆的半径x（cm）之间的函数关系式是．14．用配方法将二次函数y＝4x2﹣24x+26写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是，对称轴为，顶点坐标为．15．已知点（m+1，m2）在函数y＝x2+2x的图象上，则m＝．16．函数y＝x2中，自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是．17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为．18．已知抛物线与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），并且与y轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的解析式为．19．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k ＝．20．将抛物线y＝﹣2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为．三．解答题21．用配方法求出下列二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标和对称轴．22．已知（m，n）是抛物线y＝ax2上的点，求证：点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．在平面直角坐标系中画出y＝5x2的草图，并且作出将其向右移动2个单位，向上移动1个单位后的抛物线的图象．24．到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40＜x＜70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）设该景点一天的门票收入为w元．①试用x的代数式表示w；②试问：当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？25．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．求这个二次函数的解析式及A，B两点的坐标．26．（1）在同一直角坐标系中画抛物线y＝x2﹣2x﹣3与双曲线y＝；（2）观察图形，方程组的解的近似值为．27．已知抛物线y＝x2﹣2x，求抛物线的顶点坐标和对称轴．参考答案与试题解析一．选择题1．解：抛物线y＝x2﹣6x+24＝（x﹣6）2+6，所以抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（6，6）．故选：C．2．解：由函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，c＞0，则a＞0，＜0，因此P（a，）位于第四象限．故选：D．3．解：∵直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x＝﹣＜0，在y轴左侧．故选：B．4．解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，3）．）可设新抛物线的解析式为：y＝4（x﹣h）2+k，代入得：y ＝4（x+2）2+3．故选：A．5．解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0）即c＝3，因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3），又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1），又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）．由顶点坐标（﹣，）得（﹣）．故选：A．6．解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（2，0），所以，不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是﹣1＜x＜2．故选：C．7．解：①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．8．解：设长为x，则宽为，S＝x，即S＝﹣x2+2x，要使做成的窗框的透光面积最大，则x＝﹣＝﹣＝＝1.5m．于是宽为＝＝1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m．故选：A．9．解：∵BC＝2，S＝3，△ABC∴×c×2＝3，解得c＝3，故选：C．10．解：方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣＝﹣1则﹣＝﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根∴x1+x2＝﹣又∵x1＝1.3∴x1+x2＝1.3+x2＝﹣2解得x2＝﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x＝﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3，则＝﹣1，即＝﹣1，解得：x2＝﹣3.3，故选：D．二．填空题11．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．12．解：∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9，∴汽车刹车后到停下来前进了9m．故答案为9．13．解：由圆的面积计算公式，得y＝πx2．14．解：y＝4x2﹣24x+26＝4（x2﹣6x）+26＝4（x2﹣6x+9﹣9）+26＝4（x﹣3）2﹣10∴对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣10）故本题答案为：y＝4（x﹣3）2﹣10；x＝3；（3，﹣10）．15．解：依题意，得（m+1）2+2（m+1）＝m2，解得m＝﹣．16．解：函数y＝x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是非负数．17．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．18．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣6）代入得a•（﹣3）＝﹣6，解得a＝2．所以抛物线解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．故答案为y＝2x2﹣4x﹣619．解：∵抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO＝K，∵抛物线y＝x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA＝OB，∠OPB＝30°，∴tan30°＝＝，∴OB＝k，∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y＝x2﹣k上，∴将B点代入y＝x2﹣k，得：0＝（k）2﹣k，整理得：﹣k＝0，解方程得：k1＝0（不合题意舍去），k2＝3．故答案为：3．20．解：抛物线y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，5），得到新抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2+5．故答案为：y＝﹣2（x+1）2+5．三．解答题21．解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x＝1．22．证明：∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，而点（m，n）与点（﹣m，n）也关于y轴对称，∴当点（m，n）在抛物线y＝ax2上时，点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．解：原抛物线的顶点为（0，0），分别右移动2个单位，向上移动1个单位后，那么新抛物线的顶点为（2，1）；可设新抛物线的解析式为y＝5（x﹣h）2+k，代入得：y＝5（x﹣2）2+1．24．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（50，3500），（60，3000），∴，解得．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+6000；（2）①w＝xy＝x（﹣50x+6000）＝﹣50x2+6000x，即w＝﹣50x2+6000x；②w＝﹣50x2+6000x＝﹣50（x﹣120x+3600）+180000＝﹣50（x﹣60）2+180000，∵a＝﹣50＜0，＝180000．∴当x＝60时，w有最大值，w最大答：当门票定为60元时，该景点一天的门票收入最高，最高门票收入是180000元．25．解：（1）把点C（0，﹣3）代入y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1得，2k﹣1＝﹣3，解得k＝﹣1，所以，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）．26．解：（1）（2）由题意知，方程组的解即为图象交点的坐标，∴由图象可知交点坐标为（3.2，0.6），∴方程组的解为：．27．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，故顶点坐标是（1，﹣1），对称轴是直线x＝1．。
第二章 二次函数 单元测试卷 2022-2023学年 北师大版数学九年级下册(含答案)
第二章二次函数单元测试卷一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列函数是y关于x的二次函数的是()A．y＝－x B．y＝2x＋3C．y＝x2－3 D．y＝1 x2＋12．把函数y＝(x－1)2＋2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数表达式为()A．y＝x2＋2 B．y＝(x－1)2＋1C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－1)2－33．二次函数y＝x2－2x＋4化为y＝a(x－h)2＋k的形式，下列正确的是() A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x－1)2＋3C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2＋44．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2C．0＜m≤2 D．m＜－25．根据下列表格对应值：x … 6.17 6.18 6.19 6.20 6.21…ax2＋bx＋c …－0.02－0.010.010.040.08…判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的取值范围是()A．6.20＜x＜6.21 B．6.17＜x＜6.18C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.206．在同一直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能是()(第6题)7．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y(m3)与旋钮的旋转角度x(度)(0<x≤90)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为()(第7题)A．18度B．36度C．41度D．58度8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点(点C在点D右边)，对称轴为直线x＝52，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是()A．点B的坐标为(5，4)B．AB＝ADC．a＝－1 6D．OC·OD＝16(第8题)(第12题)二、填空题(每小题3分，共15分)9．二次函数y＝(x＋3)2＋2的图象的对称轴是直线________．10．已知函数y＝(m－1)x m2＋1＋3x，当m＝________时，它是二次函数．11．已知二次函数的图象经过(－1，0)、(3，0)、(0，3)三点，那么这个二次函数的表达式为____________．12．如图所示，正方形EFGH的顶点在边长为2的正方形的边上．若设AE＝x，正方形EFGH的面积为y，则y关于x的函数表达式为________．13．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，下列结论：①abc>0；②b2－4ac>0；③8a＋c<0；④5a＋b＋2c>0，其中正确的结论有________(只填序号)．(第13题)三、解答题(共13小题，共81分)14．(5分)把下列二次函数化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项．(1)y＝(1－x)(1＋x)；(2)y＝4x2－12x(1＋x)．。
北师大版初3数学9年级下册 第2章(二次函数)单元测试卷3(含答案)
北师大新版九年级下册数学《第2章二次函数》单元测试卷一．选择题1．下列函数是关于x的二次函数的有（ ）①y＝x（2x﹣1）；②；③；④y＝ax2+2x（a为任意实数）；⑤y＝（x﹣1）2﹣x2；⑥y＝．A．2个B．3个C．4个D．5个2．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）A．y＝x2B．y＝C．y＝kx2D．y＝k2x3．若y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数，则（ ）A．m，n，p均不为0B．m≠0，且n≠0C．m≠0D．m≠0，或p≠04．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的对称轴是直线（ ）A．x＝2B．x＝﹣2C．x＝1D．x＝﹣15．将二次函数y＝x2的图象向上平移1个单位，所得抛物线的解析式是（ ）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）26．圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，则下列图象能大致描述S与r的函数关系的是（ ）A．B．C．D．7．已知抛物线y＝ax2+bx和直线y＝ax+b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是（ ）A．B．C．D．8．二次函数y＝cx2﹣4x+2c的图象的最高点在x轴上，则c的值是（ ）A．2B．﹣2C．﹣D．±9．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（﹣1，0），则下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3a+c＞0；④a+b＞am2+bm（m为一切实数）；⑤b2＞4ac；正确的个数有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个10．二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的图象过A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），D（4，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0D．若y3y4＜0，则y1y2＜0二．填空题11．已知函数y＝（m﹣3）x2﹣x+5是二次函数，则常数m的取值范围是 ．12．下列函数中：①y＝﹣x2；②y＝2x；③y＝22+x2﹣x3；④m＝3﹣t﹣t2是二次函数的是 （其中x、t为自变量）．13．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点分别为A（﹣1，0）和B（2，0），当y＜0时，x的取值范围是 ．14．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是 ．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：①abc＜0；②9a﹣3b+c＜0；③b2﹣4ac＞0；④a＞b，正确的结论是 （只填序号）．16．二次函数y＝a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y＝mx+n的图象不经过第 象限．17．将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，则平移后所得新抛物线的表达式为 ．18．已知方程ax2+bx+cy＝0（a≠0、b、c为常数），请你通过变形把它写成你所熟悉的一个函数表达式的形式．则函数表达式为 ，成立的条件是 ，是 函数．19．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2﹣6x+17上运动，过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为 ．20．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为 cm2．三．解答题21．已知函数y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数．（1）求m的值；（2）写出这个二次函数图象的对称轴和顶点坐标．22．已知函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，（1）当m为何值时，此函数是一次函数？（2）当m为何值时，此函数是二次函数？23．画出二次函数y＝x2的图象．24．已知二次函数，求其顶点坐标及它与y轴的交点坐标．25．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？26．已知二次函数y＝ax2+bx+c．（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，请在图上的直角坐标系中画出此时二次函数的图象；（2）用配方法求该二次函数的图象的顶点坐标．27．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，Δ＝b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．参考答案与试题解析一．选择题1．解：是关于x的二次函数的有①③，故选：A．2．解：A、是二次函数，故A符合题意；B、是分式方程，故B错误；C、k＝0时，不是函数，故C错误；D、k＝0是常数函数，故D错误；故选：A．3．解：根据题意得当m≠0时，y＝mx2+nx﹣p（其中m，n，p是常数）为二次函数．故选：C．4．解：∵y＝﹣2（x﹣1）2，∴抛物线对称轴为直线x＝1，故选：C．5．解：∵y＝x2向上平移1个单位长度，∴新抛物线为y＝x2+1．故选：A．6．解：∵圆心角为60°的扇形面积为S，半径为r，∴S＝＝，∴S是r的二次函数，且r＞0，∴C、D错误；∵r＝1时，S＝＜1；r＝2时，S＝≈2.09，故选：A．7．解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y＝ax+b应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y＝ax+b应经过一、二、四象限，故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y＝ax+b应经过一、三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．8．解：二次函数y＝cx2﹣4x+2c的图象的顶点的纵坐标为，∵抛物线的顶点在x轴上，∴＝0，解得c＝±，∵抛物线有最高点，∴c＝﹣．故选：C．9．解：①abc＞0；a、b异号，c＞0，故错误；②2a﹣b＝0，对称轴为x＝1＝﹣，故错误；③3a+c＞0，x＝1＝﹣，即2a+b＝0，a＜0，故错误；④a+b＞am2+bm（m为一切实数），x＝1函数有最大值，故a+b+c≥am2+bm+c，即：a+b≥am2+bm，故错误；⑤b2＞4ac，函数和想轴有2个交点，故正确；故选：A．10．解：如图，由题意对称轴为直线x＝1，观察图象可知，y1＞y4＞y2＞y3，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．二．填空题11．解：根据题意得：m﹣3≠0，解得：m≠3．故答案是：m≠312．解：①y＝﹣x2，二次项系数为﹣1，是二次函数；②y＝2x，是一次函数；③y＝22+x2﹣x3，含自变量的三次方，不是二次函数；④m＝3﹣t﹣t2，是二次函数．故填①④．13．解：观察图象可知，抛物线与x轴两交点为（﹣1，0），（2，0），y＜0，图象在x轴的下方，所以答案是x＜﹣1或x＞2．14．解：∵抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2+5，∴二次函数图象的顶点坐标是（3，5）．故答案为（3，5）．15．解：∵抛物线开口向下∴a＜0，∵对称轴为x＝﹣1∴＝﹣1∴b＝2a＜0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴∴c＞0∴abc＞0故①错误∵由图象得x＝﹣3时y＜0∴9a﹣3b+c＜0 故②正确，∵图象与x轴有两个交点∴Δ＝b2﹣4ac＞0 故③正确∵a﹣b＝a﹣2a＝﹣a＞0∴a＞b故④正确故答案为②③④16．解：根据题意得：抛物线的顶点坐标为（﹣m，n），且在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0，即m＜0，n＜0，则一次函数y＝mx+n不经过第一象限．故答案为：一．17．解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣5．故答案为y＝（x+2）2﹣5．18．解：整理得函数表达式为y＝﹣x2﹣x，成立的条件是a≠0，c≠0，是二次函数．故答案为：y＝﹣x2﹣x；a≠0，c≠0；二次．19．解：∵y＝x2﹣6x+17＝（x﹣3）2+8，∴抛物线的顶点坐标为（3，8）．∴AC的最小值为8．∴BD的最小值为8．故答案为：8．20．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，∴AC＝＝6cm．设运动时间为ts（0≤t≤4），则PC＝（6﹣t）cm，CQ＝2tcm，∴S四边形PABQ＝S△ABC﹣S△CPQ＝AC•BC﹣PC•CQ＝×6×8﹣（6﹣t）×2t＝t2﹣6t+24＝（t﹣3）2+15，∴当t＝3时，四边形PABQ的面积取最小值，最小值为15cm2．故答案为15．三．解答题21．解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函数，得m2+1＝2且m﹣1≠0．解得m＝﹣1；（2）当m＝﹣1时，二次函数为y＝﹣2x2+4x﹣5，a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，对称轴为直线x＝﹣＝1，顶点坐标为（1，﹣3）．22．解：（1）∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是一次函数，∴m2+2m＝0，m≠0，解得：m＝﹣2；（2））∵函数y＝（m2+2m）x2+mx+m+1，是二次函数，∴m2+2m≠0，解得：m≠﹣2且m≠0．23．解：函数y＝x2的图象如图所示，24．解：∵＝（x+2）2﹣4.5（3分）∴顶点坐标为（﹣2，﹣4.5）（4分）令x＝0，则y＝（5分）∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，）（6分）25．解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．26．解：（1）当a＝1，b＝﹣2，c＝1时，y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴该二次函数的顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝1，利用函数对称性列表如下：x…﹣10123…y…41014…在给定的坐标中描点，画出图象如下．（2）由y＝ax2+bx+c是二次函数，知a≠0y＝a（x2+x）+c＝a[x2+x+（）2]+c﹣a×（）2＝a（x+）2+∴该二次函数图象的顶点坐标为．27．解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0；（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；（3）根据图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．。
北师大版数学九年级下册第二章：二次函数 综合单元测试题(含答案)
北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是bc（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32.(1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。
北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题含答案
A ．y 轴B ．直线 x ＝C ．直线 x ＝2D ．直线 x ＝ 4．一次函数 y ＝ax ＋b 和反比例函数 y ＝ 在同一平面直角坐标系中的图象如图 8－Z －1第二章 二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题，共 28 分).1．已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值 2D ．最大值 2..2．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..：xy－15 01 1－1 2－131则该二次函数图象的对称轴为().52323．若二次函数 y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1 的图象过原点，则 m 的值为()A ．±1B ．0C ．1D ．－1图 8－Z －1cx所示，则二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为()图 8－Z －25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x ，该药品原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )为直线 x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点 B ⎝－2，y 1⎭， C ⎝－2，y 2⎭为函数图象上的两点，则 y 1＜y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y ＝－ x 2＋b ，则隧道底部宽 AB 为________m.C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)图 8－Z －36．如图 8－Z －3 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③)图 8－Z －47．如图 8－Z －4，△Rt OAB 的顶点 A (－2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题(本大题共 5 小题，共 25 分)8．函数 y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．9．将抛物线 y ＝2(x －1)2＋2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图 8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－Z －7 所示的平面直角坐标系，若抛1 2图8－Z－5图8－Z－6 11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．图8－Z－7三、解答题(共47分)13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图8－Z－814．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P△，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时△，PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．图8－Z－9)＝ .故选 D.轴为直线 x ＝－1，则－ ＝－1，即 2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点 A (－3，以③错误；④点 B ⎝－2，y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C ⎝－2，y 2⎭在对称轴右侧7．C8. 10．8 [解析] 由题意可知抛物线 y ＝－ x 2＋b 的顶点坐标为(0，8)，∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ x 2＋8.当 y ＝0 时，0＝－ x 2＋8，解得 x ＝4 或－4，∴x ＝－ >0，详解详析1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线 x ＝ 0＋3 2(或1＋2 32 23．D 4.C 5.C6．B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b 2－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称b2a0)，对称轴为直线 x ＝－1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有 a ＋b ＋c ＝0，所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处，找出相应的点，显然 y 1＜y 2，所以④正确．故选 B.5 29．y ＝2(x ＋2)2－2(或 y ＝2x 2＋8x ＋6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为 8.11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧，b2a∴b <0，①错误．当 x ＝－1 时，抛物线在 x 轴上方，∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为 E ，与 x 轴右边的交点为 D ，则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－2，∴S ＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶∴BC ＝ ×12－x ＝6－x .∴y ＝ x (6－x )＝－ x 2＋3x ，即 y ＝－ x 2＋3x .(2)y ＝－ x 2＋3x ＝－ (x －3)2＋4.5， ∵a ＝－ ＜0，∴ ＝－2.⎩点坐标公式，得 y C ＝－2，4ac －b 2 4a∵c ＝－1，解得 b 2＝4a ，④正确．故填③④.12．(1＋ 7，3)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB ＝x ，12∵E ，F ，G ，H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值，当 x ＝3 时，y 有最大值，为 4.5. 14．解：(1)由题意可得：⎧⎪300－10x （0≤x ≤30）， y ＝⎨⎪300－20x （－20≤x <0）.(2)由题意可得：⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x <0），化简得：⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩－20x 2－100x ＋6000（－20≤x <0），⎪⎩ －20（x ＋ ）2＋6125（－20≤x <0）. 即 6000＝－20(x ＋ )2＋6125，6000＝－10(x －5)2＋6250，⎧⎪－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），即 w ＝⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数，所以当 x ＝－2 或 x ＝－3 时，w ＜6125＜6250，故当销售价格为每件 65 元时，月利润最大，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥6000，如图，令 w ＝6000，52解得 x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，∴－5≤x ≤10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)，才能使每月利润不少于 6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，⎧a －b ＋c ＝0，⎧a ＝1，把 A ，B ，C 三点的坐标分别代入可得⎨16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎨b ＝－3，⎩c ＝－4，⎩c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为 y ＝x 2－3x －4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点 P ，连接 OP ，CP ，如图①，∴PO ＝PC ，此时点 P 即为满足条件的点．∵C (0，－4)， ∴D (0，－2)，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y ＝－2 时，即 x 2－3x －4＝－2，(不合题意，舍去)，x 2＝∴存在满足条件的点 P ，其坐标为( ，－2)．3－ 17 3＋ 17解得 x 1＝ 2 2.3＋ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P (t ，t 2－3t －4)．过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交直线 BC 于点 F ，如图②， ∵B (4，0)，C (0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝x －4， ∴F (t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，1 1 1 1 1 ∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝2PF · OE ＋2PF · BE ＝2PF ·(OE ＋BE )＝2PF · OB ＝2(－t 2＋4t )×4＝－2(t －2)2＋8，∴当 t ＝2 时，△S PBC 最大，且最大值为 8，此时 t 2－3t －4＝－6，∴当点 P 的坐标为(2，－6)时△， PBC 的面积最大，最大面积为 8.。