角平分线的性质教案
角平分线的性质教案 2 第十一章 角平分线的性质 一 学习目标 1. 了解角是轴对称图形和角平分线的定义，会用尺规
作一个角的平分线； 2. 掌握角平分线的性质和判定； 3. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题。 二 重点、难点 重点：角平分线的性质和判定。
难点：角平分线的性质和判定的综合应用。 三 考点分析 对角平分线的定义及角平分线的作法进行单独命题
在中考中是比较少见的，但这两个知识点属于基础知识，出题者往往将其与线段的垂直平分线、等腰三角形、四边形等知识综合在一起进行命题，题型多为作图题，属中档难度题。 角平分线的性质是本章的重要内容，它是除了用三角形全等证明线段相等之外的又一个证明线段相等的重要方法。中考命题中，多将角平分线的作法及性质与其他知识点结合在一起进行考查，题型多为选择、填空、作图题，分值在3~6分。这就要求学生必须熟练掌握用尺规作图法作角平分线的要领，并会应用角平分线的定义、性质解决相关问题。 3 4
分别交于点D、E； 2、分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，使两弧交于点M； 3、作直线CM。 所以，直线CM即为所求。
解题后的思考： 此题要求“大于12DE的长为半径”的理由是：半径如果小于12DE，则两弧无法相交；而半径如果等于12DE，则两弧交点位于C点处，无法作出直线CM。 在数学学习中，不光要知道怎么做题，还要知道为什么要这样做。 小结： 本题属于作图题。在解决作图题时要求做到规范地使用尺规，规范地使用作图语言，规范地按照步骤作出图形，并且作图的痕迹要保留，不能擦掉。
知识点二 角平分线的性质 5
角平分线上的点到角的两边的距离相等。 角平分线性质的符号语言：
P在AOB的平分线上
PDOA于D，PEOB于E
PDPE
例2：如图，AD是ABC的角平分线，DEAB，DFAC，垂足分别是,EF。连接EF，交AD于点G。说出AD与EF之间有什么关系？证明你的结论。
思路分析： 两条线段之间的关系有长度和位置两种关系，因此我们可以从这两方面去猜测判断。 角是以其平分线为对称轴的轴对称图形，此题可以利用这一点进行判断。 解答过程： 6
EFAD，且EGFG 证明：AD平分BAC
DEAB，DFAC，垂足分别是,EF
DEDF 在RtDEA和RtDFA中
DEDFADAD
RtDEARtDFA（HL）
ADEADF
在△DGE和△DGF中 DEDFGDEGDFDGDG
DGEDGF（SAS）
EGFG，90DGEDGF
EFAD，且EGFG。 解题后的思考： 通过此题我们知道，证明两条线段相等，除了利用全等三角形的性质外，还可以利用角平分线的性质。这样我们又多了一种证明线段相等的办法。 7
在利用角平分线的性质时，“角平分线”和“两个垂直”这两个条件缺一不可。
例3：如图，D是ABC的外角ACE的平分线上一点，DFAC
于F，DEBC于E，且交BC的延长线于E。
求证：CECF。
思路分析： 由已知条件，可以利用角平分线的性质得到DE＝DF。而要证明CE＝CF，只要证明以它们为边的两个三角形全等即可。将两者结合起来分析就不难找到思路。 解答过程： CD是ACE的平分线，DFAC于F，DEBC于E
90DECDFC，DEDF 在RtDEC和RtDFC中 DCDCDEDF
RtDECRtDFC（HL）
CECF 8
解题后的思考： 利用角平分线的性质可以证明线段相等，而线段相等可能又是证明其他结论所需要的条件。 小结： 运用角平分线的性质时应注意以下三个问题： （1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长； （2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形的性质； （3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直。
知识点三 角平分线的判定 到角的两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线判定的符号语言：
PDOA于D，PEOB于E 且PDPE
P在AOB的平分线上 （或写成OP是AOB的平分线） 9
例4：如图，BECF，DFAC于F，DEAB于E，BF和CE交于点D。 求证：AD平分BAC。
思路分析： 要证AD平分BAC，已知条件中已经有两个垂直，即已经有点到角的两边的距离了，只要证明这两个距离相等即可。而要证明两条线段相等，可利用全等三角形的性质来证明。 解答过程：
DFAC于F，DEAB于E
90DEBDFC 在BDE和CDF中
DEBDFCBDECDFBECF
BDECDF（AAS）
DEDF 又DFAC于F，DEAB于E 10
AD平分BAC。 解题后的思考： 判定角的平分线时若题目中只给出一个条件DEDF
或DFAC，DEAB，那么得出AD平分BAC这一结论是错误的。
例5：如图，,FG是OA上两点，,MN是OB上两点，且FGMN，PFGPMNSS，试问点P是否在AOB的平分线上？
思路分析： 一方面，要判断点P是否在AOB的平分线上，只要判断点P到角的两边距离是否相等即可；另一方面，由已知条件中三角形面积和底边相等可以推导出高相等。这样已知和结论就联系起来了。 解答过程： 证明：过点P作PDOA于D，PEOB于E 12PFGSFGPD，12PMNSMNPE
，
而PFGPMNSS 1122FGPDMNPE 11
又FGMN PDPE 又PDOA于D，PEOB于E
P在AOB的平分线上。 解题后的思考： 利用面积证明相关结论是一种常见方法。面积法有着其他方法所不具有的优势，比如它不要求考虑线段的位置关系。 小结： 角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的。 判定角的平分线要满足两个条件：“垂直”和“相等”。若已知“垂直”则设法证明“相等”，若已知“相等”则设法证明“垂直”。
知识点四 角平分线的综合应用 例6：如图，在ABC中，90C，AD平分BAC，DEAB于E，
F在AC上，BDDF。求证：CFEB。 12
思路分析： 由已知条件很容易得到DC＝DE；要证明CF＝EB，只要证明其所在三角形全等即可，再由此去找全等条件。 解答过程：
AD平分BAC，90C，DEAB DCDE 在RtFCD与RtBED中
DCDEDFBD
RtFCDRtBED（HL）
CFEB。 解题后的思考： 掌握角平分线的性质和判定固然重要，但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键。
例7：如图，已知在ABC中，BDDC，12。 求证：AD平分BAC。 13
思路分析： 有两种方法证明AD平分BAC：一是直接利用定义证明BADCAD；二是利用角平分线的判定，证明点D到角的两边距离相等。 仔细观察，前者需要证明三角形全等，但此题使用全等条件中的“边边角”，无法证明两个三角形全等。后者通过作垂线构造出三角形，其条件足以证明两个三角形全等。 解答过程： 过点D作DEAB于E，DFAC于F 故，90BEDCFD 在BDE与CDF中
12BEDCFDBDCD
BDECDF（AAS）
DEDF 14
又DEAB于E，DFAC于F AD平分BAC。 解题后的思考： 当题目中有角平分线这一条件时，解题时常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时，常作辅助线得到角的平分线。 小结： 用角平分线证明线段相等或角相等时，常常与证明三角形全等配合使用，证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中。
提分技巧 本节课我们主要学习了角平分线的性质和判定，它
们都可以通过三角形全等得出证明；这样，我们又得到了证明线段相等或角相等的一种方法。在解题中若能用它们直接得出线段或角相等时，就不需要再通过证明三角形全等来间接证明，这样可以减少这一条件麻烦。
《角平分线的性质》教案
12.3 《角的平分线的性质》教案台前县吴坝镇中学李桂香一、教学背景的分析1、教学内容本节课是在七年级学习了角平分线的概念和前面刚学完证明直角三角形全等的基础上进行教学的。
内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。
作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。
因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。
同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。
2、学生刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，需要在课堂教学中进一步加强引导。
根据学生的认知特点和接受水平，我把第一课时的教学任务定为：掌握角平分线的画法及会用角平分线的性质定理解题，同时为下节判定定理的学习打好基础。
3、教学环境利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律。
4、教学重点、难点本节课的教学重点为：掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用。
教学难点是：1、对角平分线性质定理中点到角两边的距离的正确理解；2、对于性质定理的运用。
教学难点突破方法：（1）利用多媒体动态显示角平分线性质的本质内容，在学生脑海中加深印象，从而对性质定理正确使用；（2）通过对比教学让学生选择简单的方法解决问题；（3）通过多媒体创设具有启发性的问题情境，使学生在积极的思维状态中进行学习。
二、教学目标的确定1、知识与技能：（1）掌握用尺规作已知角的平分线的方法（2）理解角的平分线的性质并能初步运用。
2、数学思考：通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。
3、解决问题：（1）初步了解角的平分线的性质在生产、生活中的应用。
12.3角的平分线的性质__教案
《12.3 角的平分线的性质》教案一、教学目标（1） 会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；（2） 探索并证明角的平分线的性质；（3） 能用角的平分线的性质解决简单问题。
（4） 经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．二、教学重点：探索并证明角的平分线的性质。
三、教学难点：证明以文字命题形式给出的角的平分线的性质。
四、教学准备：圆规、三角尺、多媒体课件等五、教学方法：发现探究法、问题递进法、讲授法一、 教学过程设计1、复习：（1）什么是角的平分线 (2)什么是点到直线的距离 师生活动：教师提出问题，学生结合图形回顾知识，读概念。
2、感悟实践经验，用尺规作角的平分线问题1：试在纸上任意画一个角，怎样将纸片上的角分成两个相等的角呢？ 师生活动：学生可能用量角器，也可能用折纸的方法。
追问1：除了用刚才提到的方法，还有其他的方法吗？师生活动：提出问题引发学生思考。
追问2：用平分角的仪器可以平分一个角，你能说明其中的道理吗？师生活动：教师启发学生将实际问题抽象为数学模型，并运用全等的知识解释平分角的仪器的工作原理。
追问3：仿照平分角的仪器的工作原理，我们如何利用尺规作一个角的平分线A B呢？师生活动：师生分别在黑板和练习本上，教师引导学生边操作边归纳得出用尺规作∠AOB平分线的具体方法。
如果学生没有思路，教师可作如下提示：（1）怎样用圆规在∠AOB的两边上得到(AD=AB)两条相等的线段？（2）又怎样得到另两条相等的线段(CD=CB)呢？追问4：你能说说为什么射线OC是∠AOB的平分线吗？师生活动：学生用三角形全等进行证明，明确作图的理论依据。
设计意图：让学生运用全等三角形的知识解释平分角的仪器的工作原理，体会数学的应用价值，同时从中获得启发，用尺规作角的平分线，增强作图技能。
最后让学生在简单的推理过程中，体会作法的合理性。
3、经历实验过程，发现并证明将角的平分线的性质问题2：在射线OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，垂足分别为点D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？我们全班同学取了几十个点，如果这样的点继续取下去，你猜一猜角的平分线有什么性质？师生活动：学生动手操作，独立思考，然后汇报自己的发现。
八年级数学上册《角平分线的性质和判定定理》教案、教学设计
-如果一个角的平分线同时也是这个角的垂直平分线，那么这个角有什么特殊的性质？请给出证明；
-如果一个角的平分线同时也是另一个角的平分线，那么这两个角之间有什么关系？请给出证明。
4.实践活动：
-与同学合作，设计一个关于角平分线的数学小报，内容包括定义、性质、判定定理以及生活中的应用等；
-利用所学知识，尝试解决实际生活中的问题，如测量角度、划分土地等，并撰写解题报告。
2.学生在运用角平分线判定定理解决问题时的逻辑思维能力和解题技巧；
3.学生在合作交流、动手操作等方面的学习习惯和团队协作能力。
针对学情，教师应采取以下策略：
1.设计富有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质；
2.创设生活情境，让学生在实际问题中体会角平分线判定定理的应用；
3.注重个体差异，给予学生个性化的指导，提高学生的自主学习能力；
4.加强课堂讨论与交流，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.重点：角平分线的性质及其应用，角平分线的判定定理。
2.难点：理解并灵活运用角平分线的性质和判定定理解决实际问题。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
-通过引入生活中的实例，如折纸、剪纸等，让学生感受角平分线的存在和应用，激发学生的学习兴趣；
作业要求：
1.请同学们认真完成作业，书写规范，保持卷面整洁；
2.作业完成后，进行自查，确保解题过程和答案正确；
3.遇到问题时，与同学讨论，或向老师请教，及时解决疑问；
4.作业提交时间：课后第二天。
二、学情分析
八年级学生在前期的数学学习中，已经掌握了角的初步知识，如角的分类、角的度量等。在此基础上，学生对角平分线的性质和判定定理的学习具备了一定的基础。然而，由于学生的认知水平和思维能力存在差异，部分学生可能在理解角平分线的性质和判定定理方面存在困难。
角平分线性质 教案
角平分线性质教案教案标题：角平分线性质教案目标：1. 理解角平分线的定义和性质。
2. 能够应用角平分线的性质解决相关问题。
3. 培养学生的逻辑思维和证明能力。
教学准备：1. 教材：包含角平分线的相关内容。
2. 教具：直尺、量角器、白板和黑板、彩色粉笔或白板笔。
3. 学生练习册和答案。
教学过程：引入（5分钟）：1. 利用白板或黑板，画出一个角ABC，并标出角的顶点A。
2. 提问学生：你们知道什么是角平分线吗？角平分线有什么性质？3. 引导学生思考和讨论，激发学生的兴趣和探索欲望。
讲解与示范（15分钟）：1. 介绍角平分线的定义：角平分线是指将一个角分成两个相等的角的线段。
2. 解释角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，即角平分线将角分成两个相等的小角。
3. 通过示例，展示角平分线的性质，并解释其证明过程。
练习与巩固（20分钟）：1. 分发学生练习册，并指导学生完成相关练习题。
2. 鼓励学生自主思考和解决问题，同时提供必要的帮助和指导。
3. 收集学生的答案，并进行讲评，帮助学生理解和掌握角平分线的性质。
拓展与应用（15分钟）：1. 提供更复杂的角平分线问题，让学生应用所学知识解决。
2. 引导学生思考角平分线在实际生活中的应用，如建筑设计、地理测量等领域。
3. 鼓励学生提出自己的问题和观点，并进行讨论和交流。
总结（5分钟）：1. 总结角平分线的定义和性质。
2. 强调学生在解决问题时要善于运用角平分线的性质。
3. 鼓励学生继续深入学习几何知识，提高自己的数学素养。
作业布置：1. 布置相关的练习题作为课后作业。
2. 鼓励学生自主学习和探索，提出自己的问题并进行解答。
教学反思：1. 教师应根据学生的学习情况和理解程度，适时调整教学方法和节奏。
2. 在讲解示范环节，教师应注重引导学生思考和解决问题的能力。
3. 在练习与巩固环节，教师应及时纠正学生的错误，并给予肯定和鼓励。
4. 在拓展与应用环节，教师应激发学生的创造力和探索欲望，培养学生的应用能力。
八年级数学上册《角平分线的性质定理》教案、教学设计
（一）教学重点
1.角平分线的定义及其性质定理的理解和应用。
2.能够运用角平分线的性质解决实际问题，提高几何推理能力。
3.培养学生运用数学符号和几何语言进行表达的能力。
（二）教学难点
1.角平分线性质定理的推导过程，以及如何引导学生从具体实例中抽象出一般性结论。
2.学生在解决实际问题时，对角平分线性质的灵活运用和与其他几何知识的综合运用。
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，引导学生采用以下方法：
1.采用直观演示法，通过实际操作，让学生感受角平分线的定义和性质，培养学生的观察能力和动手操作能力。
2.采用问题驱动法，设置一系列具有启发性的问题，引导学生主动探究角平分线的性质定理，提高学生的问题解决能力和合作学习能力。
3.运用比较法，将角平分线与其他线段（如中垂线、高线等）进行对比，让学生发现它们之间的联系与区别，提高学生的概括和总结能力。
（4）巩固：设计不同难度的练习题，让学生在实际操作中巩固所学知识，提高解决问题的能力。
（5）拓展：布置一些具有挑战性的问题，鼓励学生发挥想象力和创造力，提高学生的几何思维能力。
3.教学评价：
（1）关注学生在课堂上的表现，观察学生对角平分线性质的理解程度和应用能力。
（2）通过课后作业和小测验，了解学生对知识点的掌握情况，针对性地进行辅导。
八年级数学上册《角平分线的性质定理》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解角平分线的定义，了解其基本性质，能够准确识别并画出角平分线。
2.掌握角平分线性质定理的内容，并能够运用该定理解决相关问题。
3.学会运用角平分线性质解决实际问题时，能够灵活运用数学符号和几何语言进行表达。
角平分线性质教案教学设计
角平分线性质教案教学设计教学目标:1. 了解角平分线的定义和性质；2. 掌握角平分线的构造方法；3. 理解角平分线的重要性，并能在解决相关问题中灵活运用。
教学内容:1. 角平分线的定义和性质；2. 角平分线的构造方法；3. 角平分线在解决相关问题中的应用。
教学重点:1. 角平分线的定义和性质；2. 角平分线的构造方法。
教学难点:角平分线在解决相关问题中的应用。
教学准备:教学课件、直尺、量角器、教学展示材料等。
教学过程设计:步骤一: 导入新课1. 引导学生回顾之前学过的角的基本概念，如角度的概念和度量等。
2. 提出一个问题：如何确定一个角的平分线？步骤二: 角平分线的定义和性质1. 引导学生思考并讨论什么是角平分线。
2. 学生掌握角平分线的定义：将一个角分成两个相等的角，其所在的直线称为角的平分线。
3. 学生了解角平分线的性质：a. 角的两条平分线相交于角的顶点；b. 形成的两个相邻角相等；c. 延长角两边所成的相邻外角互补。
步骤三: 角平分线的构造方法1. 学生通过观察和实践，发现构造角平分线的基本方法。
2. 学生学习使用直尺和量角器来构造角平分线的方法。
3. 引导学生进行角平分线的构造实践，并与同桌合作交流，彼此纠正。
步骤四: 角平分线的应用1. 提供一些角平分线的应用实例，如图形的定点、角度的测量等。
2. 学生分组合作，应用角平分线解决问题，并向全班展示解决过程和结果。
3. 教师对学生的解题过程和答案进行点评和指导，确保学生掌握角平分线的应用方法。
步骤五: 总结和拓展1. 小结角平分线的定义、性质和构造方法。
2. 拓展讨论其他与角平分线相关的知识，如辅助角和互补角等。
教学延伸:1. 鼓励学生在日常生活中寻找和探索角平分线的实际应用，并进行展示和交流。
2. 提供相关练习题让学生巩固所学知识。
教学评估:1. 教师观察学生在课堂上的参与情况，评估学生对角平分线概念的理解程度。
2. 分组展示和解答问题过程中的表现评价学生在角平分线应用方面的能力。
角平分线的性质教案
问题2：什么叫角的平分线？
[活动3]
问题1：如何将一个角平分是一个有趣的实验课题，有一个简易平分角的仪器（示实物），其中AB=AD，BC=DC，将A点放角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE就是∠BAD的平分线，为什么？
问题2：
（1）从上面的探究中，可以得出作已知角的平分线的方法。已知什么？求作什么？
（2）把简易平分角的仪器放在角的两边，且平分角的仪器两边相等，从几何角度怎么画？
（3）简易平分角的仪器BC=DC，从几何角度如何画？
（4）OC与简易平分角的仪器中AE是同一条射线吗？
（5）你能说明OC是∠AOB的平分线吗？
（6）归纳角平分线的作法。
作一个平角∠AOB，作出它的角平分线OC得到直线CD。你能说出直线CD与直线AB的关系吗？
[活动4]
问题1：从上面的研究中我们知道了如何作一个已知角的角平分线以及证明方法。
探究：如何利用直角三角形全等的方法找出角平分线上任意一点到角的两边的距离的关系？（点到线的距离）
[活动5]
问题1：在生活有一些运用角平分线的现象，如刚上课时我们看的资料（示投影）：要在s区建一个货运中转站
课
堂
小
结
作业内容
小雅中学教师教案
20年月日第周第节班科教师：
课题
课型
第课时
教
学
目
标
1、知识与技能：掌握作已知角的平分线的方法。掌握角平分线的性质
1、过程与方法：提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力。
情感态度与价值观：在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探讨问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神
《 角的平分线的性质(第一课时)》精品教案 2022年公开课一等奖
学过程设计教探究二：角的平分线的性质实验：1.让学生在已经画好的角平分线上任取一点P.2.分别过P点向OA、OB边作垂线PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E。
3.测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系。
，并试着说明理由。
归纳角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
应用：如图，ABC中，D为BC中点，且AD恰好平分∠BAC。
求证：AB=AC三、课堂训练1.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于点O，假设∠1=∠2，求证OB=OC.2.如图，四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°，求证：AD=CD四、小结归纳1.用尺规作图法作出角的角平分线的方法；2.角的平分线的性质；3.角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
学生做练习。
学生画图，教师巡视指导。
观察、讨论PD与PE的数量系。
学生通过三角形全等，说明PD=PE。
教师引导学生归纳出角的平分线的性质。
教师引导，学生思考并解题，写出证明过程。
学生充分讨论，综合运用所学知识解决问题。
学生小结本节所学的知识点及知识点的应用。
线的方法。
通过学生实验得到结论，重视知识的发生开展过程。
使学生明确角的平分线的性质是证明线段相等的又一种方法。
稳固本节课所学知识及提升综合应用所学知识解决问题的能力。
从总体上把握学知识。
五、作业设计1.教材习题11.3第2、4小题；2.补充作业：①如图，AB ∥CD ，∠BAC 与∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE =2，求AB 、CD 间的距离.②如图，在△ABC 中∠C=90°,AC=BC,AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6㎝，那么△DEB 的周长为_________㎝。
EDBCA②思考题：：如图，任意ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线。
求证：BD ∶DC =AB ∶AC〔提示：可参照例题［点拨］，利用面积证明〕课题 11.3 角的平分线的性质一、角的平分线的作法： 作角的角平分线 例题分析 二、角的平分线的性质：教 学 反 思年级八年级课题13.1 平方根〔2〕课型新授教学媒体多媒体教学目标知识技能1．了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程方法通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，开展学生的形象思维和抽象思维；探究2的大小，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.情感态度认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情.教学重点初步感受无理数，能进行比较教学难点探究2大小教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图一、情境引入用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长.二、探究新知1.拼法：按以下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵22=2.25，∴1.4<2<1.5；∵22=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵22=2.002225，∴1.414<2<1.415；……教师提出问题，组织学生动手拼剪.教师参与学生活动，适当帮助指导学生完成拼图活动，并及时肯定学生各种割、拼的方法.教师设计并向学生提出问题，组织学生思考，交流，并引导学生尝试总结归纳，估算出2的大小，理解无限不循环小数的特点.调动学生思维的积极性，通过拼图活动，经历发现无理数的过程.通过形的研究来感受无理数的存在.从而对数的认识进一步加深，为实现从有理数到实数的过渡作好铺垫.教师设计问题，逐层深入，对学生进行启发引导，通过对2的大小估计，再次从数的角度来感受无理数的存在性.培养学生的估算能力，渗透估算的思想和方法，感受从两端无限逼近的数学思想.如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数局部不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数. 4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中. 0625.0 625.025.6 5.62 625 6250 观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？ (2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==. 得到：被开方数增大(或减小)，那么算术平方根也增大(或减小)；被开方数的小数点向左〔右〕移动两位，它的算术平方根的小数点也相应的向左〔右〕移动一位.用一块面积为400cm 2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm 2的长方形纸片， 使它的长宽之比为3：2？分析：大正方形的面积为400 cm 2， 可求出其边长为400=20cm ；要裁出面积为300cm 2的长方形纸片，并使其长宽之比为3：2，通过列方程可求得长和宽须分别为cm cm 502,503，用计算器求得1.750≈，所以3.21503≈，而21.3>20,即要裁出的长方形的长大于正方形的边长，故不能裁出.如果不使用计算器，因为21493503=>>20,所以不能裁出.不用计算器，估计一个整数的算术平方根的技巧：将这个整数a 拆成两个整数m 、n 的积，那么a 的算术平方根必在m 、n 之间，m 、n 越接近，估值越精确.如，24的算术平方根在4、6之间；56的算术平方根在7、8之间，这种方法虽然简便，但对有的数只能估计一个粗略范围，如50的算术平方根只能估计在5、10之间。
人教版-数学-八年级上册-12.3 角的平分线的性质(1) 教案
12.3 角的平分线的性质一、教学目标（一）核心素养（二）学习目标会用尺规作一个角的平分线，知道作法的合理性；探索并证明角平分线的性质；能用角的平分线的性质解决简单问题.（三）学习重点角的平分线的性质的证明及应用.（四）学习难点角的平分线的性质的探究.二、教学设计(一)课前设计预习任务用尺规作图作一个角的平分线的方法，其依据是SSS .角的平分线上的点到角的两边的距离相等.预习检测一、填空题1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，若BC＝8cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为.答案：3cm解析：根据题意画出图形，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，D点到AB的距离即为DE 的长.∵∠BCA=90°∴AC⊥BC∵AC⊥BC，DE⊥AB，AD平分∠CAB∴CD=DE∵BC=8cm，BD=5cm，CD=DE，BC=CD+BD∴DE=3cm即D点到直线AB的距离是3cm.点拨：根据角平分线的性质添加辅助线作答2.∠AOB的平分线上一点P，P到OA的距离为2.5cm，则P到OB的距离为cm.答案：2.5解析：∵P是∠AOB平分线上一点，点P到OA的距离是2.5cm，∴P到OB的距离等于点P到OA的距离，为2.5cm.因此，本题正确答案是:2.5.点拨：根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答.二、选择题3.如图，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，下列结论错误的是（）A.PD＝PEB.OD＝OEC.∠DPO＝∠EPOD.PD＝OD答案：D解析：A项；由角分线性质，正确B项；由角分线性质知PD＝PE，由HL知Rt△OEP≌△ODP，则两三角形全等知OD＝OE，正确.C项；同B项，由两三角形全等知∠DPO＝∠EPOD项；错误点拨：由题设可知OP为∠AOB的角平分线，PE为P到OB的距离，PD为P到OA的距离，再由角的平分线性质判断即可.可由角分线的性质找出相应的结论.(二)课堂设计1.知识回顾（1）三角形的判断方法有哪些？SSS，SAS，AAS，ASA，HL（2）三角形中有哪些重要线段？三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离.2.问题探究探究一角的平分线的作法●活动①请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.【设计意图】通过学生动手实践，寻找作已知角的平分线的方法，目的是为了引入尺规作图作已知角的平分线.12BD●活动②如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC.将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，画一条射线AE ，AE 就是∠DAB 的平分线. 你能说明它的道理吗？让同学们把推理过程写在课堂作业本上，老师巡查学生完成情况，对个别学生进行引导，最后教师把有典型错误的解答过程展示出来，让同学们去纠正错误.【设计意图】为如何用尺规作图作已知角的平分线作铺垫.●活动③老师提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．（分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性）讨论结果展示：已知：∠MAN求作：∠MAN 的角平分线.作法：（1）以A 为圆心，适当长为半径画弧，交AM 于B ，交AN 于D.（2）分别以 B.D 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在∠MAN 的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC 即为所求.分组讨论： 1．在上面作法的第二步中，去掉“大于12BD的长”B这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？学生讨论结果总结：1．去掉“大于12BD的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B.D为圆心，大于12BD的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明．练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．【设计意图】设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯探究二角的平分线的性质●活动①如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？学生回答后师生归纳：OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）【设计意图】让学生感知角平分线的性质.●活动②学生活动：作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.投影出下面两个图形，让学生评一评.结论：同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？师生共同归纳：角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D.E为垂足．由已知事项推出的事项：PD=PE．【设计意图】进一步理解角平分线的题设和结论.●活动③以上结论成立吗？让同学们独立进行证明，然后展示学生的证明过程：证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB (已知)∴∠PDO = ∠PEO=90°(垂直的定义)在△PDO和△PEO中∠PDO = ∠PEO（已证）∠AOC = ∠BOC （已知）OP=OP （公共边）∴△PDO ≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）于是我们得角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．符号语言：∵∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）【设计意图】展示符号语言的目的在于规范学生的书写过程，培养学生严谨的推理能力.探究三用角的平分线的性质解决简单问题●活动①应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化．所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题．例1(1) 下面四个图中，点P都在∠AOB的平分线上，则图形( )中PD＝PE.A B C D【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.【答案】D(2)下图中，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D.E，则图中PD＝PE吗？【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.【解答过程】PD与PE不相等，因为OC不是∠AOB的平分线.（3）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为cm．【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】过D作AB的垂线段DE，垂足为E，由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.【解答过程】解：过D作AB的垂线段DE，垂足为E，∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∵CD＝2cm，∴DE=2cm，即点D到AB的距离为2cm【答案】2练习：如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE= cm.EDCBA【知识点】角平分线的性质.【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE，AD+DE=AD+DC=AC.【解答过程】解：∵BD平分∠ABC，CD⊥BC，DE⊥AB，∴DC=DE∴AD+DE=AD+DC=AC.∵AC=7cm，∴AD+DE=7cm.【答案】7【设计意图】通过练习，理解角平分线的性质.●活动②例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20 000）？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1 m=100 cm，所以比例尺为1:20 000，其实就是图中1 cm表示实际距离200 m的意思．作图如下：【答案】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．第二步：在射线OP上截取OC=2.5 cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？【知识点】角平分线的性质【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.●活动3例3如图，△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF 求证：CF=EA【知识点】角平分线的性质和三角形的判定和性质S公路铁路P初中-数学-打印版【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等【解答过程】证明：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴△DCF≌△DEA（HL）∴CF=EA练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【知识点】角平分线的性质和全等三角形的判定【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明△BOD ≌△COE可得OB=OC 【答案】证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴△BOD ≌△COE．∴OB=OC．3. 课堂总结知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）（1）会用尺规作一个角的平分线，知道作法的理论依据；（2）探索并证明角平分线的性质；（3）能用角的平分线的性质解决简单问题.重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）（1）角的平分线的性质的探究.（2）角的平分线的性质的证明及应用.（3）证明线段相等通常证明线段所在的两个三角形全等.初中-数学-打印版。
角平分线性质教案8人教版(教案)
．角的均分线的性质()教课目的①能够利用角均分线的性质和判断进行推理和计算，解决一些实质问题.②进一步发展学生的推理证明意识和能力 . ③联合实质，创建丰富的情境，提高学生的学习兴趣，让他们在活动中获取成功的体验，培育学生的研究精神，建立学习的信心.教课要点与难点要点：角均分线性质和判断的应用.难点：运用角均分线性质和判断证明及解决实质问题.教课准备三角形纸及多媒体课件.教课方案创建情境，提出问题播放多媒体课件.课件背景资料选自教科书第页第题.注：经过风趣的问题引入，激发学生的学习踊跃性.议论沟通，研究问题. 学生活动一：剪一个三角形纸片，经过折叠找出每个角的均分线，察看这三条角均分线，你发现了什么 ?与伙伴进行沟通 .. 学生活动二：画一个三角形，利用尺规作出这个三角形三个内角的均分线. 你能否也发现了相同的结果?与伙伴进行沟通.经过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论，教师要有足够的耐心，要为学生的思虑留有时间和空间.注：教师针对学生的议论状况，进行评论，指引剖析，浸透数学建模的思想，完成共鸣后获取结论：三角形三个内角的均分线交于一点，而且这一点到三边的距离相等.成立模型，解决问题. 回放多媒体课件( 教科书第页第题)注：组织学生议论，指引思虑，成立数学模型..经过学生亲自体验，从作图中发现只需画两个角的均分线即可. 练一练：.学生在教科书第页第题上画出度假村的地点. 想想：在确立度假村的地点时，必定要画出三个角的均分线吗?你是如何思虑的?你是如何证明的 ?注：这个发问设置为例的出现做好铺垫，同时例的证明又考证了学生猜想的正确性，使学生获取成功的体验 .. 例： ( 教科书第页例题)剖析：() 本题证明方法对学生来说有些抽象，教师应一步一步指引，防止操之过急，学生对它的接受和理解有一个过程.() 教师要现场作图，并给学生一个示范，增强对学生数学语言规范的训练() 理解“同理”的含义，重申规范的书写.注：将实质问题转变为数学识，进而顺利解决.拓展与延长. 教科书第页练习题.. 已知：以下列图，在△的外角∠和∠的均分线订交于点，求证：点在∠的均分线上..第题第题. 以下列图所示，直线、、表示三条相互交错的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有：.一处.两处.三处.四周( )剖析：以下列图本题能够用教科册页第题的方法来解决，但没有“三条公路围成的一块平川上修筑”的限制，所以知足要求的地点共有四周，应选.注：重视培育学生思想的广阔性，鼓舞学生踊跃思虑，勇于研究小结概括今日你又学到了哪些新的知识?有什么收获 ?注：发挥学生的主体意识，培育学生的概括能力.部署作业. 必做题：教科书第页习题第、题.. 选做题：() 教科册页习题第题.() 与订交的两条直线距离相等的点在：( ). 一条直线上.两条相互垂直的直线上. 一条射线上.. 备选题：() 如图，在△中，，是△的角均分线，⊥，⊥，垂足分别为、.两条相互垂直的射线上，下边给出四个结论：①平分∠；②；③上的点到、两点的距离相等；④到、距离相等的点，到、的距离也相等，此中正确的结论有：( )个个个个() 随意作一个钝角，求作它的角均分线.教课后记学习是一件增加知识的工作，在茫茫的学海中，也许我们困苦过，在困难的竞争中，也许我们疲惫过，在失败的暗影中，也许我们绝望过。