2018中考数学专题复习(三)网格作图题(含答案)
专题复习(三) 网格作图题
1．(2016·合肥模拟)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形ABCD(顶点是网格
线的交点)，按要求画出四边形AB1C1D1和四边形AB2C2D2.
(1)以A为旋转中心，将四边形ABCD顺时针旋转90°，得到四边形AB1C1D1；
(2)以A为位似中心，将四边形ABCD作位似变换，且放大到原来的两倍，得到四边形AB2C2D2.
解：(1)如图，四边形AB1C1D1为所作．
(2)如图，四边形AB2C2D2为所作．
2．(2016·蜀山区二模)如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△
ABC的顶点均在格点上，点B的坐标为(1，0)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出B1点的坐标；
(2)画出将△ABC绕原点O按逆时针旋转90°所得的△A2B2C2，写出B2点的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为△ABC关于x轴对称的图形，B1点的坐标是(1，0)．
(2)如图所示，△A2B2C2即为△ABC绕原点O按逆时针旋转90°的三角形，B2点的坐标是(0，1)．
3．(2016·安徽二模)如图，已知A(2，3)，B(1，1)，C(4，1)是平面直角坐标系中的三点．
(1)请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1向下平移3个单位得到的△A2B2C2；
(3)若△ABC中有一点P坐标为(x，y)，请直接写出经过以上变换后△A2B2C2中点P的对应点P2的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求．
(3)根据题意，可得P的对应点P2的坐标为(－x，y－3)．
4．(2016·芜湖模拟)如图，在9×7的小正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C在网格的格点上．将△ABC向左平
移3个单位，再向上平移3个单位得到△A′B′C′.再将△ABC按一定规律依次旋转：第1次，将△ABC绕点B
顺时针旋转90°得到△A1BC1；第2次，将△A1BC1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B1C2；第3次，将△A1B1C
2
绕点C2顺时针旋转90°得到△A2B2C2；第4次，将△A2B2C2绕点B2顺时针旋转90°得到△A3B2C3，依次旋转下
去．
(1)在网格中画出△A′B′C′和△A2B2C2；
(2)请直接写出至少在第几次旋转后所得的三角形刚好为△A′B′C′.
解：(1)△A′B′C′和△A2B2C2的图象如图所示.
(2)通过画图可知，△ABC至少在第8次旋转后得到△A′B′C′.
5.如图，△ABC的三个顶点和点O都在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都为1.
(1)将△ABC先向右平移4个单位，再向上平移2个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画出△A2B2C2，使△A2B2C2和△ABC关于点O成中心对称；
(3)在(1)、(2)中所得到的△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称吗？若成轴对称，请画出对称轴；若不成轴对称，请说明理
由．
解：(1)如图所示，△A1B1C1，即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2，即为所求．
(3)如图所示，△A1B1C1与△A2B2C2成轴对称，直线a，b即为所求．
6．(2016·阜阳校级二模)如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C在小
正方形的顶点上．将△ABC向下平移2个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点C1顺时针旋转90°得到△A2B2C1.
(1)在网格中画出△A1B1C1和△A2B2C1；
(2)计算线段AC在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积．(重叠部分不重复计算)
解：(1)如图，△A1B1C1和△A2B2C1为所作．
(2)线段AC在变换到A2C1的过程中扫过区域的面积S＝2×2＋90·π·（22）2360＝4＋2π.
7．(2016·昆明)如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
(3)在x轴上找一点P，使PA＋PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
解：(1)如图所示．
(2)如图所示．
(3)找出A关于x轴的对称点A′(1，－1)，连接BA′，与x轴交点即为P.如图所示，点P坐标为(2，0)．
8．(2016·濉溪县模拟)如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，3)，B(－1，0)，C(4，0)．
(1)经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，请直接写出此时点C 的对应点C1坐标；(不必画出平移后
的三角形)
(2)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′BC′，画出△A′BC′并写出A′点的坐标；
(3)以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB2C2，使放大前后的面积之比为1∶4，请你在网格内画出△AB2C2.
解：(1)∵经过平移，可使△ABC的顶点A与坐标原点O重合，∴A点向下平移3个单位再向左平移3个单位，故
C1坐标为(1，－3)．
(2)如图所示，△A′BC′即为所求，A′点的坐标为(－4，4)．
(3)如图所示，△AB2C2即为所示．
云南中考数学题型专项（六）网格作图题（含答案）
题型专项(六) 网格作图题网格作图题是对图形变换的综合考查，在网格中可以同时考察平移、旋转、轴对称、中心对称等几种图形变换．此类题目属于图形的操作问题，在网格中进行图形变换的操作时，图形的每一个顶点都是关键点，可以将图形的变换操作转化为点的变换操作．此类题目属中档题，复习时注意练习即可．1．(·宁夏)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4)．(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；(2)画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2.解：(1)△A1B1C1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示．2．(·昆明二模)在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC和△A1B1C1成中心对称．(1)请在图中画出对称中心O；(2)在图中画出将△A1B1C1沿直线DE平移5格得到的△A2B2C2；(3)要使△A2B2C2与△CC1C2重合，需将△A2B2C2绕点C2顺时针旋转，则至少要旋转90度．解：(1)如图，点O即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．3．(·昆明西山区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(－4，3)，B(－3，1)，C(－1，3)．(1)请按下列要求画图：①将△ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；②△A2B2C2与△ABC关于原点O中心对称，画出△A2B2C2；(2)在(1)中所得的△A1B1C1和△A2B2C2关于点M成中心对称，请直接写出对称中心M点的坐标(2，1)．解：(1)①如图：△A1B1C1即为所求．②如图：△A2B2C2即为所求．4．(·昆明模拟)在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.(1)试在图中作出△ABC以A为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB1C1；(2)若点B的坐标为(－3，5)，试在图中画出直角坐标系，并标出A，C两点的坐标；(3)根据(2)的坐标系作出与△ABC 关于原点对称的图形△A 2B 2C 2，并标出B 2，C 2两点的坐标．解：(1)△AB 1C 1如图所示．(2)如图所示，A(0，1)，C(－3，1)．(3)△A 2B 2C 2如图所示，B 2(3，－5)，C 2(3，－1)．5．(·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 、C 的坐标分别为(－1，3)、(－4，1)、(－2，1)，先将△ABC 沿一确定方向平移得到△A 1B 1C 1，点B 的对应点B 1的坐标是(1，2)，再将△A 1B 1C 1绕原点O 顺时针旋转90°得到△A 2B 2C 2，点A 1的对应点为点A 2.(1)画出△A 1B 1C 1；(2)画出△A 2B 2C 2；(3)求出在这两次变换过程中，点A 经过点A 1到达点A 2的路径总长．解：(1)如图，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图，△A 2B 2C 2即为所求．(3)OA 1＝42＋42＝42，点A 经过点A 1到达A 2的路径总长为52＋12＋90·π·42180＝26＋22π. 6．(·昆明模拟)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，1)，B(－3，1)，C(－1，4)．(1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到△A 2BC 2，请在图中画出△A 2BC 2，并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1即为所求．(2)如图所示，△A 2BC 2即为所示，线段BC 旋转过程中所扫过的面积S ＝90×13π360＝13π4. 7．(·昆明盘龙区二模)如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．(1)请画出将△ABC先向左，再向下都平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；(2)请画出将△ABC绕O按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；(3)在x轴上求作一点P，使△PAB周长最小，请画出△PAB并直接写出点P的坐标．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．(2)如图，△A2B2C2即为所求．(3)如图，△PAB即为所求，P(2，0)．8．(·云南模拟)图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点和O点都在正方形的顶点上．(1)以点O为位似中心，在方格图中画出将△ABC放大为原来的2倍得到的△A′B′C′；(2)△A′B′C′绕点B′顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A″B′C″，并求边A′B′在旋转过程中扫过的图形面积．解：(1)如图，△A′B′C′即为所求．(2)如图，△A″B′C″即为所求．S＝90360π(22＋42)＝14π·20＝5π.。
【小初高学习】2018年秋九年级数学下册 小专题(一)网格作图习题 (新版)沪科版
小专题（一）网格作图（网格作图题属于每年中考必考内容，主要考查图形在坐标系中的平移、对称、旋转、位似．）1．（2018·六安模拟）在正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系xOy.△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标是（4，4），请解答下列问题：（1）将△ABC向下平移5个单位长度，画出平移后的A1B1C1，并写出点A的对应点A1的坐标；（2）画出△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2；（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，点A1的坐标为（4，－1）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，△A3B3C即为所求．2．（2018·安徽模拟）如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC和△DEF.（1）请画出△ABC先向下平移4个单位长度，再向右平移5个单位长度得到的△A′B′C′；（2）请画出将△DEF绕原点O顺时针旋转180°得到的△D′E′F′，并写出点F′的坐标；（3）判断△A′B′C′和△D′E′F′的位置关系．解：（1）△A′B′C′如图所示．（2）△D′E′F′如图所示，点F′的坐标为（4，2）．（3）△A′B′C′和△D′E′F′关于x轴对称．3．（2018·合肥、安庆名校大联考）在14×14的网格中，每个小正方形的边长均为1，建立如图所示的平面直角坐标系，按照要求作图并解答相关问题．（1）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°，得到△A1B1C1；（2）以坐标原点O为位似中心，作出与△A1B1C1位似且位似比为1∶2的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为（2，2）或（－2，－2）．4．（2018·亳州蒙城县一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A（－4，1），B（－3，3），C（－1，2）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，点A，B，C的对称点分别是点A1，B1，C1，直接写出点A1，B1，C1的坐标；（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A2B2C2，连接C1C2，CC2，C1C，并直接写出△CC1C2的面积是6．解：△A1B1C1如图所示，A1（－4，－1），B1（－3，－3），C1（－1，－2）．。
2018 初三数学中考复习。图形的平移。专题综合练习题 含答案
2018 初三数学中考复习。
图形的平移。
专题综合练习题含答案2018初三数学中考复图形的平移专题综合练题1.如图，在6×6方格中有两个涂有阴影的图形M，N，图①中的图形M平移后位置如图②所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是( B )。
正确答案为B，即向右平移1个单位，向下平移3个单位。
2．在平面直角坐标系xOy中，线段AB的两个端点坐标分别为A(－1，－1)，B(1，2)，平移线段AB，得到线段A′B′，已知A′的坐标为(3，－1)，则点B′的坐标为( B )。
正确答案为B，即(5，2)。
3．如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上对应点P′的坐标为( A )。
正确答案为A，即(a－2，b＋3)。
4．某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形，现计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则所用铁丝的长度关系是( D )。
正确答案为D，即三种方案所用铁丝一样长。
5．如图，在方格纸中，线段a，b，c，d的端点在格点上，通过平移其中两条线段，使得和第三条线段首尾相接组成三角形，则能组成三角形的不同平移方法有( B )。
正确答案为B，即6种。
6．如图，等边△___沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连结AD，BD，则下列结论：①AD＝BC；②BD，AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数有( D )。
正确答案为D，即3个。
7．在平面直角坐标系中，把点A(2，3)向左平移一个单位得到点A′，则点A′的坐标为(1，3)。
8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，将△___沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于8.9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0.6)，将△OAB沿x轴向左平移得到△O′A′B′，点A的对应点A′落在直线y＝－x上，则点B与其对应点B′间的距离为8.10.将边长为12的正方形ABCD沿对角线AC剪开，得到两个三角形△ABC和△ADC。
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∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的
（不要求证明）．
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∵OP=OP， ∴△OPQ≌△OPA(ASA) ∴OA=OQ ∴点Q在圆上, ∴连接DO并延长, 交⊙O于点Q连接QC并延长,与点 B,O的连线BO相交于点P,连接AP,
∴直线AE的解析式为y1=2x,
∴直线BF的解析式为y2=-2x+
27 2
设P(m,2m),Q(n,-2n+27 )(0<m<n<6),
2
∴AP2=m2+(2m)2=5m2
∴PQ2=(m-n)2+(2m+2n- 27 )2
2
∴BQ2=(n-6)2+(-2n+12)2=5(n-6)2
∵AP=PQ=BQ
•
3但是现在，我们的教育在一定程度上 ，还不 够重视 阅读， 尤其是 延伸阅 读和课 外阅读 。
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4. “山不在高，有仙则名。水不在深 ，有龙 则灵” 四句， 简洁有 力，类 比“斯 是陋室 ，惟吾 德馨” ，说明 陋室也 可借高 尚之士 散发芬 芳
•
5. 这是一篇托物言志的铭文，本文言 简义丰 、讲究 修辞。 文章骈 散结合 ，以骈 句为主 ，句式 整齐， 节奏分 明，音 韵和谐 。
1 S□CDNB , 2
∵S△PAC=S△PNG=
1 2 S△DGN=
1 2 S□DEMG ,
∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3
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2024天津中考数学二轮重难题型专题训练 题型三 第18题网格作图题 (含答案)
2024天津中考数学二轮重难题型专题训练题型三第18题网格作图题类型一面积问题典例精讲例1如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上．例1题图(Ⅰ)AB 的长等于________；(Ⅱ)在△ABC 的内部有一点P ，满足S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.【思维教练】(Ⅱ)∵S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，∴S △P AB ＝16S △ABC ，S △PBC ＝13S △ABC ，S △PCA ＝12S △ABC ，利用平行线间的距离相等，构造同底等高的三角形，利用面积的倍数关系，分别取AC 的一个六等分点、AC 的一个三等分点，构造AB 、BC 的平行线即可．针对演练1.如图，将△ABC 放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A 、B 、C 均落在格点上．第1题图(Ⅰ)△ABC 的面积等于________；(Ⅱ)若四边形DEFG 是△ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法(不要求证明)______________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，B，C均为格点．第2题图(Ⅰ)sin∠ABC的值为________；(Ⅱ)点D，F分别为AB，AC上的点，点A关于DF的对称点为E，且DE∥AC，连接DE，EF分别交BC于点H，G，当S△ADF＝15S△EHG时，请利用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，F，并简要说明点D，F的位置是如何找到的(不要求证明)________________.3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点均在格点上，点P也在格点上，点C是两个同心圆的圆心．第3题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)以点C为旋转中心，将△ABC绕点C旋转，点A，B的对应点分别是点D，E，当△PDE的面积取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，E，并简要说明点D，E的位置是如何找到的(不要求证明)_____________________________________. 4.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．第4题图(Ⅰ)计算AC2＋BC2的值等于____________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2＋BC2，并简要说明画图方法(不要求证明)____________________________. 5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B都在格点上．第5题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)在如图所示的网格中，以AB为底边作一个面积为5的等腰三角形ABQ，并简要说明你是怎么画出点Q的(不要求证明)_________________________________________.类型二线段问题典例精讲例2如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．例2题图(Ⅰ)线段AC的长等于________；(Ⅱ)以AB为直径的半圆的圆心为O，在线段AB上有一点P，满足AP＝A C.请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.【思维教练】(Ⅱ)要满足AP＝AC，利用线段垂直平分线的性质，先构造AC的平行线，再利用平行线的性质和直径所对圆心角为90°构造三角形及三角形底边的垂直平分线即可．针对演练1.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P ，A ，O 均在格点上，半圆O 的半径为3，PT 与半圆O 相切于点T .第1题图(Ⅰ)∠PTO 的大小＝________(度)；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PT ，并简要说明点T 的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________________________________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A 、B 、C 均在格点上．第2题图(Ⅰ)∠ACB 的大小为________(度)；(Ⅱ)在如图所示的网格中，P 是BC 边上任意一点．以A 为中心，取旋转角等于∠BAC ，把点P 逆时针旋转，点P 的对应点为P ′.当CP ′最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点P ′，并简要说明点P ′的位置是如何找到的(不要求证明)______________________________________.3.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点A ，C 均落在格点上，点B在网格线上，且AB ＝53.第3题图(Ⅰ)线段AC 的长等于________；(Ⅱ)以BC 为直径的半圆与边AC 相交于点D ，若P ，Q 分别为边AC ，BC 上的动点，当BP ＋PQ 取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点P ，Q ，并简要说明点P ，Q 的位置是如何找到的(不要求证明)_________________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A、E为格点，B，F为小正方形边的中点，C为AE，BF的延长线的交点．第4题图(Ⅰ)AE的长等于________；(Ⅱ)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP＝PQ＝QB，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P、Q的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________.5.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，AB为以点C为圆心的半圆的直径，点A，B，C，P都在格点上，PC交半圆于点D.第5题图(Ⅰ)PD的长等于________；(Ⅱ)点F是半圆上一点(点F不与点A，B重合)，PF与半圆相切于点F，点Q为半圆外一点，QD与半圆相切于点D，且QD＝16．．．的直尺在网格中画出符合条件的点F，Q.5，请用无刻度并简要说明点F，Q的位置是如何找到的(不要求证明)__________________________.6.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B在格点上，C是小正方形边的中点．第6题图(Ⅰ)AB的长等于________；(Ⅱ)M是线段BC与网格线的交点，P是△ABC外接圆上的动点，点N在线段PB上，且满足PN＝2BN.当MN取得最大值时，请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________. 7.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△OAB的顶点A，B，O均落在格点上，以点O为圆心，OA长为半径的圆交OB于点C.第7题图(Ⅰ)线段BC的长等于________；(Ⅱ)若BD切⊙O于点D，P为OA上的动点，当BP＋DP取得最小值时，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，P，并简要说明点D，P的位置是如何找到的(不要求证明)________________________________________________________________________. 8.如图①，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．(Ⅰ)线段AB的长为________；(Ⅱ)点P是线段AC上的动点．当AP＋5PB最短时，请你在图②所示的网格中，用无刻度．．．的直尺画出点P的位置(保留画图痕迹)，并简要说明画图的方法(不要求证明)________________________________________________________________________.第8题图类型三角度问题典例精讲例3如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A在格点上，B是小正方形边的中点，∠ABC＝50°，∠BAC＝30°，经过点A，B的圆的圆心在边AC上．例3题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出一个点P，使其满足∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________.【思维教练】(Ⅱ)要确定点P的位置，根据已知∠PAC＝∠PBC＝∠PCB，且点A，B在⊙O 上，从而根据圆的对称性，只需在⊙O上确定点Q，使得点Q与点A关于BO对称，点Q 与点B关于AO对称，再根据∠ABC及∠A的度数确定∠PBC的度数，从而得到点P的位置．针对演练1.如图，是由边长为1的小正方形组成的7×6的网格，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺作图．第1题图(Ⅰ)线段AB的长等于________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺，画出一个格点P ，使∠ABP ＝45°并简要说明画图方法(不要求证明)_________________________________________________________.2.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A ，P 分别为正方形边的中点，B 在格点上．第2题图(Ⅰ)线段AB 的长等于________；(Ⅱ)请用无刻度．．．的直尺，在线段AB 上画出一个点Q ，使得点Q 满足∠PQA ＝3∠PQB ，并简要说明点Q 的位置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________.3.“三等分任意角”是数学史上一个著名问题．已知一个角∠MAN ，设∠α＝13∠MAN .第3题图(Ⅰ)当∠MAN ＝69°时，∠α的大小为________(度)；(Ⅱ)如图，将∠MAN 放置在每个小正方形的边长为1cm 的网格中，角的一边AM 与水平方向的网格线平行，另一边AN 经过格点B ，且AB ＝2.5cm.现要求只能使用带刻度．．．的直尺，请你在图中作出∠α，并简要说明作法(不要求证明)_________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC 的顶点B ，C 均落在格点上，点A在网格线上，且AC ＝52.(Ⅰ)线段AB 的长等于________；(Ⅱ)以AB 为直径的半圆与边BC 相交于点D ，在圆上有一点P ，使得BP 平分∠ABC ，请用无刻度．．．的直尺在如图所示的网格中画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的(不要求证明)_______________________________________________________.第4题图拓展类型其他问题针对演练1.如图所示，在每个边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点．第1题图(Ⅰ)线段AB的长度等于________；(Ⅱ)点P是△ABC内切圆与AB的切点，请你借助给定的网格，用无刻度．．．的直尺画出点P，并简要说明你是怎么找到点P的(不要求证明)________________________________.2.(2021河东区一模)如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B均为格点，C为网格线的三等分点，过点B，C的⊙O与线段AB交于点D.第2题图(Ⅰ)线段AC的长等于________；(Ⅱ)请借助无刻度．．．直尺在给定的网格中画出圆心O，并简要说明你是怎么画出点O的(不要求证明)______________________________________________________________________. 3.如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A，B，C均落在格点上.第3题图(Ⅰ)线段AB的长为________；(Ⅱ)在AB上找E点使CE⊥AB，请用无刻度．．．的直尺，在如图所示的网格中，画出点E，并简要说明点E的位置是如何找到的(不要求证明)____________________________________.4.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均落在格点上．第4题图(Ⅰ)△ABC的面积为________；(Ⅱ)请在如图所示的网格中，用无刻度．．．的直尺在AC上作一点M，使以M为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，并简要说明点M的位置是如何找到的(不要求证明)___________________.参考答案类型一面积问题典例精讲例1(Ⅰ)17；【解析】由勾股定理得AB ＝42＋12＝17.(Ⅱ)如解图，AC 与网格线相交，得点D ，E ；取格点F ，连接FB 并延长，与网格线相交，得点M ，N ，连接DN ，EM 交于点P ，连接PA ，PB ，PC ，则点P 即为所求．例1题解图【解析】∵S △P AB ∶S △PBC ∶S △PCA ＝1∶2∶3，∴S △P AB ＝16S △ABC ，S △PBC ＝13S △ABC ，S △PCA ＝12S △ABC ，作NF ∥AC ，DN ∥BC ,EM ∥AB ，且AE ＝16AC ，CD ＝13AC ，∴S △EAB ＝S △P AB ＝16S △ABC ，S △DBC ＝S △PBC ＝13S △ABC ，∴S △PCA ＝S △ABC －13S △ABC －16S △ABC ＝12S △ABC .针对演练1.(Ⅰ)6；【解析】S △ABC ＝12×4×3＝6.(Ⅱ)如解图，将点B 绕点C 顺时针旋转90°得到点P ，连接PC ，过点A 作PC 的平行线，与BC 交于点Q ，连接PQ 与AC 相交于点D ；过点D 作CB 的平行线，与AB 相交于点E ，分别过点D 、E 作PC 的平行线，与CB 相交于点G 、F .则四边形DEFG 即为所求．第1题解图【解析】找到格点P 的位置，点P 可以看成点B 绕点C 顺时针旋转90°所得，且PC ＝BC ；连接PC ，过点A 作PC 的平行线交BC 于点Q ，连接PQ 交AC 于点D ，此时以D 为顶点很容易作出一个矩形DEFG ，∵∠DQG ＝∠PQC ，∠DGQ ＝∠PCQ ＝90°，∴△DGQ ∽△PCQ ，∴DG ∶PC ＝DQ ∶PQ ，∵四边形DEFG 为矩形，∴DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴DE ∶BC ＝AD ∶AC ，而AD ∶AC ＝DQ ∶PQ ，∴DG ∶PC ＝DE ∶BC ，∵PC ＝BC ，则DG ＝DE ，可得矩形DEFG 即为所求的面积最大的正方形．2.解：(Ⅰ)35；【解析】∵AC ＝3，BC ＝4，∠ACB ＝90°，∴AB ＝5，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝35.(Ⅱ)如解图①，取格点M ，N ，连接MN 交网格线于点O ，取格点L ，连接OL 交AC 于点F ，取格点K ，连接KC 交AB 于点D ，则点D ，F 即为所求．图①图②第2题解图【解析】画草图如解图②，∵点A ，E 关于DF 对称，∴DA ＝DE ，∠ADF ＝∠EDF ，∵DE ∥AC ，∴∠EDF ＝∠AFD ，∴∠ADF ＝∠AFD ，∴AD ＝AF ，设AD ＝AF ＝x ，则DE ＝x ，BD ＝5－x ，DH ＝BD ·sin ∠CBD ＝35(5－x )，∴HE ＝DE －DH ＝85x －3，∵∠E ＝∠A ，∴HG ＝HE ·tan E ＝43×(85x －3)，∴S △HEG ＝12HE ·GH ＝23×(85x －3)2，∵S △ADF ＝12AF ·AD ·sin A ＝12x ·45x ＝25x 2，∴25x 2＝15×23(85x －3)2，解得x ＝157或53，∵HE ＝85x －3＞0，∴x ＝157，即AD ＝157，BD ＝207.∴BD ∶AD ＝4∶3，在如解图①中，∵BK AC ＝BD AD ＝43，∴点D 的位置即为所求．∵OF LF ＝123＝16，∴AF ＝2＋17＝157，∴点F 的位置即为所求．3.(Ⅰ)5；【解析】AB ＝42＋32＝5.(Ⅱ)如解图①，取格点F ，G ，H ，I ，分别连接FG ，HI ，与网格线分别交于点J ，K ，作直线JK 分别与小圆、大圆交于点D ，E ，则点D ，E 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，连接CD 、CE 、PE 、PD ，∵△ABC 旋转后点A 、B 的对应点为点D 、E ，∴AB ＝DE ＝5，设点P 到直线DE 的距离为h ，则S △PDE ＝12h ·DE ＝52h ，∴当h 取最小值时△PDE 的面积最小，当DE ⊥CP 时h 最小，即S △PDE 的值最小，则点D ，E 即为所求．第3题解图②4.(Ⅰ)11；【解析】AC ＝12＋12＝2，BC ＝3，∴AC 2＋BC 2＝(2)2＋32＝11.(Ⅱ)如解图，取格点D ，E ，连接AD ，DE ，BE ，取格点H ，I ，连接HI ，交网格线于点J ，取格点K ，连接JK ，交AD 于点M ，取格点O ，P ，连接OP ，交网格线于点Q ，取格点R ，连接QR ，交BE 于点N ，连接MN ，则四边形AMNB 即为所求．第4题解图【解析】如解图，取格点D ，E ，连接AD ，DE ，BE ，构造正方形ADEB ，∵AB ＝12＋42＝17，∴正方形ADEB 的面积为17，且AD ＝BE ＝17，要使以AB 为一边的矩形的面积为11，则矩形的另一边长为111717，则在AD ，BE 上分别截取AM ＝BN ＝111717，则AM DM ＝BN NE＝116＝5.53，取格点H ，I ，连接HI ，交网格线于点J ，取格点K ，连接JK ，交AD 于点M ，则AM DM ＝AJ KD ＝5.53，取格点O ，P ，连接OP ，交网格线于点Q ，取格点R ，连接QR ，交BE 于点N ，则BN NE ＝BQ RE ＝5.53，连接MN ，则四边形AMNB 即为所求．5.(Ⅰ)26；【解析】AB ＝12＋52＝26.(Ⅱ)如解图，取格点C ，E ，F ，连接AC ，EF ，AC 与EF 相交于点M ，取格点D ，S ，T ，连接BD ，ST ，BD 与ST 相交于点N ，连接MN ，取格点L ，P ，连接LP 交MN 于点Q ，连接AQ ，BQ ，则△ABQ 即为所求．第5题解图【解析】如解图，AC ＝BD ＝26，可证CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴AC ∥BD .∵EC ∥AF ，∴△EMC ∽△FMA ，∴CM AM ＝EC FA ＝85，∴AM ＝513AC ＝52613∵SD ∥BT ，∴△SND ∽△TNB ，∴ND NB ＝SD TB ＝85，∴BN ＝513BD ＝52613.∴AM ＝BN ，∴四边形AMNB 为矩形，易得LP 与AB 互相垂直平分，∴点Q 是MN 的中点，且QA ＝QB ，∴S △ABQ ＝12S 矩形AMNB ＝12AB ·AM ＝5.∴△ABQ 即为所求．类型二线段问题典例精讲例2(Ⅰ)5；【解析】AC ＝12＋22＝5；(Ⅱ)如解图，设BC 与网格线相交于点D ，连接OD 并延长交半圆O 于点E ，连接AE 交BC 于点G ，延长BE ，AC 交于点F ，连接FG 并延长交AB 于点P ，则点P 即为所求．例2题解图【解析】如解图，由BC与网格线相交于点D，得CD＝BD.∵AO＝BO，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∴∠AEO＝∠CAE.∵AO＝EO，∴∠OAE＝∠AEO.∴∠CAE＝∠OAE，∴AE平分∠FAB.∵AB为半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BF.∵AE平分∠FAB，∴直线AE垂直平分BF，∴∠FGE＝∠BGE，∴∠PGA＝∠CGA，∵AE平分∠FAB，AG＝AG，∴△APG≌△ACG，∴AP＝AC.针对演练1.(Ⅰ)90；【解析】∵PT是⊙O的切线，∴∠PTO＝90°.(Ⅱ)如解图①，取格点C，连接PC即为切线，切点是T，线段PT即为所求作．第1题解图①【解析】如解图②，取格点H，连接OC，OT，可知PC＝PO＝5，∴△PCO是等腰三角形，∵等腰三角形两个腰上的高相等，∴OT＝CH＝OA＝3，∴PT⊥TO，∴PC是⊙O的切线．第1题解图②2.(Ⅰ)90；【解析】∵AC2＝32＋32＝18，BC2＝42＋42＝32，AB2＝72＋12＝50，∴AB2＝AC2＋BC2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°.(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC的延长线于点P′，则点P′即为所求．第2题解图【解析】∵FC ＝22，AC ＝32，∴AF ＝AC ＋CF ＝52，∴AF ＝AB ，∴以点A 为中心，∠BAC 为旋转角，将△ABC 逆时针旋转后点F 即为点B 的对应点．∵点G 为MN 的中点，∴CG ＝322，又∵BC ＝42，AC ＝32，∴FC BC ＝CG AC ＝12，又∵∠ACB ＝∠GCF ＝90°，∴△FCG ∽△BCA ，∴∠F ＝∠B ，∠CGP ′＝∠A ，∴线段FG 即为边BC 旋转后对应边的一部分，∴点P 旋转后的对应点P ′在直线FG 上，∵点T 为AB 的中点，AB 为Rt △ACB 的斜边，∴TC ＝TB ，∴∠TCB ＝∠B ，又∵∠GCP ′＝∠TCB ，∴∠B ＝∠GCP ′，∴∠GCP ′＋∠CGP ′＝∠A ＋∠B ＝90°，∴∠GP ′C ＝90°，即CP ′⊥GF .根据垂线段最短的性质，CP ′即为所求．3.(Ⅰ)13；【解析】AC ＝22＋32＝13.(Ⅱ)如解图①，取格点M ，N ，连接MN ，连接BD 并延长，与MN 相交于点B ′，连接B ′C ，与半圆相交于点E ，连接BE ，与AC 相交于点P ，连接B ′P 并延长，与BC 相交于点Q ，则点P ，Q 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，延长NM 交网格线于点G ，取格点I ，设MN 与直线CI 交于点K ，易知KI ＝23，∴CK ＝1＋23＝53，∵AC ∥MN ，AG ∥CK ，∴四边形CKGA 为平行四边形，∴AG ＝CK ＝53，∵AB ＝53，∴AB ＝AG ，∴BD ＝B ′D ，∵BC 为直径，∴∠BDC ＝90°，∠BEC ＝90°，∴CD 垂直平分BB ′，BE ⊥CE ，∴BP ＝B ′P ，点P 为△BB ′C 的垂心，∴BP ＋PQ ＝B ′P ＋PQ ，B ′Q ⊥BC ，∴BP ＋PQ 的最小值为B ′Q 的长，即点P ，Q 即为所要求的点．第3题解图②4.(Ⅰ)5；【解析】AE ＝22＋12＝ 5.(Ⅱ)如解图，AC 与网格线相交于点P ；取格点M ，连接AM 并延长与BC 相交于点Q .连接PQ ，则线段PQ 即为所求．第4题解图【解析】若以A 为原点建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (6，32)，E (1，2)，F (5，72)，∴直线AE 的解析式为y AE ＝2x ，直线BF 的解析式为y BF ＝－2x ＋272，设P (m ，2m )，Q (n ，－2n ＋272)(0＜m ＜n ＜6)，∴AP 2＝m 2＋(2m )2＝5m 2，PQ 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，BQ 2＝(n －6)2＋(－2n ＋12)2＝5(n －6)2，∵AP ＝PQ ＝BQ ，∴5m 2＝5(n －6)2，5m 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，由5m 2＝5(n －6)2得m ＝6－n ，m ＝n －6(舍去)，把m ＝6－n 代入5m 2＝(m －n )2＋(2m ＋2n －272)2，得n ＝92或n ＝632(舍去)，∴P (32，3)，Q (92，92)．5.(Ⅰ)2；【解析】PC ＝32＋42＝5，又∵CD ＝3，∴PD ＝PC －CD ＝2.(Ⅱ)如解图，取格点E ，S ，H ，T ，G ，连接BE 交半圆点F ，连接TD ，SH 并延长交于点Q ，则点F ，Q 为所求点．第5题解图【解析】如解图，连接PE ，CF ，设BE 与CP 交于点R ，∵EG BG ＝86＝43，PB CB ＝43，∴EG BG ＝PB CB.∵∠EGB ＝∠PBC ＝90°，∴△EGB ∽△PBC ，∴∠EBG ＝∠PCB .∵∠EBG ＋∠CBE ＝90°，∴∠PCB ＋∠CBE ＝90°，∴∠CRB ＝90°.∵CF ＝CB ，∴∠PCF ＝∠PCB .∵PC ＝PC ，∴△PFC ≌△PBC ，∴∠PFC ＝∠PBC ＝90°，∴PF 与半圆相切于点F .∵CD ＝CB ，∠PCB ＝∠TCD ，CP ＝CT ，∴△PCB ≌△TCD ，∴∠CDT ＝∠CBP ＝90°，∴QD 与半圆相切于点D .∵HP ∥SC ，HP ＝SC ，∴四边形HPCS 为平行四边形，∴SH ∥CP ，∴TC SC ＝TD QD ，∴54＝4QD.解得QD ＝165.6.(Ⅰ)5；【解析】AB ＝12＋22＝ 5.(Ⅱ)如解图①，取格点T ，连接BT 交△ABC 的外接圆于点P ，则点P 即为所求．第6题解图①【解析】如解图②，连接PC ，由题意知，PN BN ＝CM BM ＝2，∴MN ∥PC ，MN ＝13PC ，∴当PC 取最大值时，MN 取得最大值，∴当PC 是直径时，MN 的值最大，由作图知BP ⊥BC ，∴PC 是圆的直径，则点P 即为所求．第6题解图②7.(Ⅰ)13－3；【解析】BC＝BO－OC＝22＋32－3＝13－3.(Ⅱ)如解图①，取格点E，连接AE与⊙O的交点即为点D，取格点F，连接DF，与OA的交点即为点P.第7题解图①【解析】如解图②，连接BD，OD，设AE与OB交于点M，∵OD＝OA＝3，OM＝OM，又∵OB⊥AE，∴∠DMO＝∠AMO＝90°，∴△DMO≌△AMO(HL)，∴∠DOM＝∠AOM.∵OB ＝OB，∴△DOB≌△AOB(SAS)．∵AB⊥OA，∴BD⊥OD，∵OD为⊙O半径，∴BD为⊙O 的切线；∵点F是点B关于OA的对称点，点P在OA上，∴BP＋DP＝DP＋PF，当点D、P、F三点共线即DP＋PF＝DF时有最小值，此时BP＋DP取得最小值，则点D，P即为所求．第7题解图②8.(Ⅰ)17；【解析】AB＝12＋42＝17.(Ⅱ)如解图①，取格点D并连接AD交网格线于点E，连接BE交AC于点P，则点P即为所求．第8题解图①【解析】如解图②，取格点M ，连接CM ，CM 与网格线交于点J ，可知J 为CM 的中点，连接AJ 与BE 交于点I ，可知BE ⊥AJ ，∵J 为MC 的中点，∴CJ ＝MJ ＝12CM ，∵MC ⊥AC ，AC ＝MC ，∴sin ∠JAC ＝JC AJ ＝55，∴PI AP ＝55，∴PI ＝55AP ，∵AP ＋5BP ＝5(55＋PB )＝5(PI ＋PB )≥5BI ，∴点P 即为所求作．第8题解图②类型三角度问题典例精讲例3(Ⅰ)172；【解析】AB ＝22＋（12）2＝172.(Ⅱ)如解图①，取圆与网格线的交点E ，F ，连接EF 与AC 相交，得圆心O ，设AB 与网格线相交于点D ，连接DO 并延长，交⊙O 于点Q ，连接QC 并延长，与点B ，O 的连线BO 相交于点P ，连接AP ，则点P 满足∠PAC ＝∠PBC ＝∠PCB .例3题解图①【解析】如解图②，取圆与网格线的交点E 、F ，连接EF 交AC 于点O ，∵∠EAF ＝90°，∴EF 为圆的直径，由题意知过点A 、B 的圆的圆心在边AC 上，∴点O 为该圆的圆心，连接DO并延长交⊙O于点Q，连接AQ，BQ，QC，OB，QC的延长线交OB于点P，交AB 于点M，∵点D为AB的中点，∴OD⊥AB，∵∠OAB＝30°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∴∠AOB ＝120°，∴∠AQB＝60°，∵OD为AB的垂直平分线，∴AQ＝QB，∴△AQB为等边三角形，∴∠QAB＝60°，∵∠CAB＝30°，∴∠QAC＝∠BAC，∴点O为△AQB三个角的平分线的交点，∴∠OBQ＝∠OBA＝30°，∠QOC＝∠BOC＝60°，易得△QOC≌△BOC，∴∠OQC＝∠OBC，∵∠CBA＝50°，∴∠PBC＝∠CBA－∠OBA＝50°－30°＝20°，∴∠OQC＝20°，∴∠PQB＝30°－20°＝10°，∵∠QDM＝90°，∴∠QMD＝90°－20°＝70°，∵∠QMD＝∠ABC ＋∠PCB，∴∠PCB＝70°－50°＝20°，∴∠PCB＝∠PBC，∵∠OBQ＝∠OBA，易得△PBA≌△PBQ，∴∠PAB＝∠PQB＝10°，∴∠PAC＝30°－10°＝20°，∴∠PAC＝∠PBC＝∠PCB＝20°，则点P即为所求．例3题解图②针对演练1.(Ⅰ)5；【解析】AB＝32＋42＝5.(Ⅱ)如解图，取格点P，点P即为所求．第1题解图【解析】如解图，连接PA，PB，由格点P的位置知，PA⊥AB，PA＝AB，则△PAB是等腰直角三角形，则∠ABP＝45°，则点P即为所求．2.(Ⅰ)532；【解析】AB＝12＋（72）2＝532.(Ⅱ)如解图，取格点M，N，连接MN交网格线于点T，连接PT交线段AB于点Q，则点Q 为所求点.第2题解图【解析】如解图，取格点C ，D ，E ，F ，CE ，DF 交于点S ，连接PS ，则PS ⊥AB ，且PS ＝AB ，连接TS ，则TS ⊥PS ，TS ＝PS ，连接PT ，则△PST 为等腰直角三角形，∴∠PTS ＝45°.∵PS ⊥AB ，TS ⊥PS ，∴AB ∥TS ，∴∠PQB ＝∠PTS ＝45°，∴∠PQA ＝135°，∴∠PQA ＝3∠PQB .3.(Ⅰ)23；【解析】∠α＝13∠MAN ＝13×69°＝23°.(Ⅱ)如解图①，让直尺有刻度的一边过点A ，设该边与过点B 的竖直方向的网格线交于点C ，与过点B 的水平方向的网格线交于点D ，保持直尺有刻度的一边过点A ，调整点C 、D 的位置，使CD ＝5cm ，画射线AD ，此时∠MAD 即为所求的∠α.第3题解图①【解析】如解图②，取CD 的中点E ，连接BE ，∵△CBD 是直角三角形，CD ＝5cm ，∴AB ＝BE ＝DE ＝2.5cm ，∴∠BAE ＝∠BEA ＝2∠BDE ，∵BD ∥AM ，∴∠BDE ＝∠DAM ，∴∠DAM ＝13∠NAM .第3题解图②4.(Ⅰ)652；【解析】如解图①，在Rt △AEB 中，AE ＝12，BE ＝4，由勾股定理得AB ＝BE 2＋AE 2＝652.第4题解图①(Ⅱ)如解图①，取AB与格线交点为N，取格点M，G，连接MG与格点交于点H，连接HN 与半圆交于点P，则点P即为所求．【解析】如解图②，连接PB，HC，取格点Q，L，∵AC＝52，∴点A为格线的中点．∵N为AB的中点，AB为半圆的直径，∴点N为半圆的圆心，NL＝12AE.∵点H为MG的四等分点，∴HQ＝NL＝12AE，∴HC∥NB，HC＝NB，∴四边形HCBN是平行四边形，∴HN∥CB，∴∠NPB＝∠PBD，∵PN＝BN，∴∠NPB＝∠NBP，∴∠DBP＝∠NBP，∴BP平分∠ABC，则点P即为所求．第4题解图②拓展类型其他问题针对演练1.(Ⅰ)52；【解析】AB＝12＋72＝5 2.(Ⅱ)如解图，取格点D，E，连接DE交AB于点P，则点P即为所求．第1题解图【解析】由勾股定理得：AC ＝32，BC ＝42，∵AC 2＋BC 2＝18＋32＝50＝AB 2,∴△ABC是直角三角形，且∠ACB ＝90°，设△ABC 内切圆的半径为r ，则有12(AC ＋BC ＋AB )r ＝12AC ·BC ，∴r ＝2，设△ABC 内切圆与AC 的切点为G ，则CG ＝2，根据切线长定理，得AG ＝AP ，∵AG ＝AC －CG ＝22∴AP ＝22，∴BP ＝AB －AP ＝32，∴AP ∶BP ＝2∶3，∴取点A 正下方两格的格点D ，取B 点正上方三格的格点E ，连接DE 交AB 于点P ，则点P 即为所求．2.(Ⅰ)1453；【解析】AC ＝32＋（83）2＝1453；(Ⅱ)如解图，取圆与格线的交点M ，N ，K ，连接MN ，DK ，MN 与DK 的交点O 即为所求作．第2题解图【解析】∵格点D ，K 分别是⊙O 与格线的交点，∠DBK ＝90°，∴DK 是⊙O 的直径，同理知∠MHN ＝90°，∴MN 也是⊙O 的直径，∴MN 与DK 的交点O 即为所求的圆心O .3.(Ⅰ)13；【解析】AB ＝32＋22＝13.(Ⅱ)如解图①，取格点D ，连接DC 并延长与AB 交于点E ，则点E 即为所求．第3题解图①【解析】如解图②，取格点H ，连接BH ，可知AB ⊥BH ，由作图可得DE ∥BH ，∴DE ⊥AB .则点E 即为所求．第3题解图②4.(Ⅰ)6；＝【解析】由题图可判断△ABC为直角三角形，直角边为AC，BC分别长为3,4，则S△ABC1×3×4＝6.2(Ⅱ)如解图，取格点D，连接BD交AC于点M，则点M即为所求．第4题解图【解析】如解图，取格点E，可知A，D，E三点共线，可知AD＝DE，∵AB＝BE＝5，∴BD 是∠ABC的角平分线，∴点M到直线AB的距离等于点M到直线BC的距离即CM，即以M 为圆心，MC为半径的⊙M与AB相切，则点M即为所求．。
天津中考复习之18题 网格题专题复习课件18张
；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为
一边的矩形，使矩形的面积等于 AC2 BC2 ，并简要说明画图
方法（不要求证明）
.
(2015·天津)
在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC、DB 上的动点
(Ⅰ)当BE= 5 2
5 61
∵S△PAC=S△PNG=
1 2 S△DGN=
1 2 S□DEMG ,
∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3
(2018·天津）
18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.
（1）∠ACB的大小为 90
（度）；
（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点.以A为中心，取旋转角等于∠BAC，
(2016·天津)
(18)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，E为格点，B，F为小正方形 边的中点，C为AE，BF的延长线的交点
(Ⅰ)AE的长等于______5______;
(Ⅱ)若点P在线段AC上，点Q在线段BC上，且满足AP=PQ=QB，请在如图所示 的网格中，用无刻度的直尺，画出线段PQ，并简要说明点P，Q的位置是如何 找到的(不要求证明)________________;
生命，理解生活的意义。
2
∴AP2=m2+(2m)2=5m2
∴PQ2=(m-n)2+(2m+2n- 27 )2
2
∴BQ2=(n-6)2+(-2n+12)2=5(n-6)2
∵AP=PQ=BQ
∴5m2=5(n-6)2=5n2-54m-54n,由5m2=5(n-6)2得m=6-n,m=n-6(舍去)
2018中考数学试题分类汇编：考点32 尺规作图
2018中考数学试题分类汇编：考点32 尺规作图一．选择题（共13小题）1．（2018•襄阳）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN分别交BC，AC于点D，E．若AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC 的周长为（）A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm2．（2018•河北）尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣ⅢB．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣ⅠD．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ3．（2018•河南）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（）A．（﹣1，2） B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）4．（2018•宜昌）尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线，下列作图中正确的是（）A．B．C．D．5．（2018•潍坊）如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：（1）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧的交点为C；（2）以C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC．下列说法不正确的是（）A．∠CBD=30° B．S△BDC=AB2 C．点C是△ABD的外心D．sin2A+cos2D=16．（2018•郴州）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．7．（2018•台州）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（）A．B．1 C．D．8．（2018•嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是（）A． B．C．D．9．（2018•昆明）如图，点A在双曲线y═（x＞0）上，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，分别以点O和点A为圆心，大于OA的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交x轴于点C，交y轴于点F（0，2），连接AC．若AC=1，则k的值为（）A．2 B．C．D．10．（2018•湖州）尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣：①将半径为r的⊙O六等分，依次得到A，B，C，D，E，F六个分点；②分别以点A，D为圆心，AC长为半径画弧，G是两弧的一个交点；③连结OG．问：OG的长是多少？大臣给出的正确答案应是（）A．r B．（1+）r C．（1+）r D．r11．（2018•台湾）如图，锐角三角形ABC中，BC＞AB＞AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC 与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确12．（2018•安顺）已知△ABC（AC＜BC），用尺规作图的方法在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，则符合要求的作图痕迹是（）A．B．C．D．13．（2017•南宁）如图，△ABC中，AB＞AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（）A．∠DAE=∠B B．∠EAC=∠C C．AE∥BC D．∠DAE=∠EAC二．填空题（共7小题）14．（2018•南京）如图，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE．若BC=10cm，则DE=cm．15．（2018•淮安）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点A、B为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q，过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是．16．（2018•山西）如图，直线MN∥PQ，直线AB分别与MN，PQ相交于点A，B．小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧交AN于点C，交AB于点D；②分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径作弧，两弧在∠NAB内交于点E；③作射线AE交PQ于点F．若AB=2，∠ABP=60°，则线段AF的长为．17．（2018•东营）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，BC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP 交AB于点D．若BD=3，AC=10，则△ACD的面积是．18．（2018•通辽）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A和点C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB=BD，AB=6，∠C=30°，则△ACD的面积为．19．（2018•成都）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC 的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE=2，CE=3，则矩形的对角线AC的长为．20．（2018•湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在如图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的而积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．三．解答题（共21小题）21．（2018•广州）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．22．（2018•广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD=75°，（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．23．（2018•安徽）如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5．（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．24．（2018•自贡）如图，在△ABC中，∠ACB=90°．（1）作出经过点B，圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设（1）中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D，若⊙O的直径为5，BC=4；求DE 的长．（如果用尺规作图画不出图形，可画出草图完成（2）问）25．（2018•北京）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线PA，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交PA的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：∵AB=，CB=，∴PQ∥l（）（填推理的依据）．26．（2018•白银）如图，在△ABC中，∠ABC=90°．（1）作∠ACB的平分线交AB边于点O，再以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O；（要求：不写做法，保留作图痕迹）（2）判断（1）中AC与⊙O的位置关系，直接写出结果．27．（2018•无锡）如图，平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（6，4）．（1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线AC，它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C，且使∠ABC=90°，△ABC与△AOC的面积相等．（作图不必写作法，但要保留作图痕迹．）（2）问：（1）中这样的直线AC是否唯一？若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中画出所有这样的直线AC，并写出与之对应的函数表达式．28．（2018•孝感）如图，△ABC中，AB=AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．请你观察图形解答下列问题：（1）线段PA，PB，PC之间的数量关系是；（2）若∠ABC=70°，求∠BPC的度数．29．（2018•深圳）已知菱形的一个角与三角形的一个角重合，然后它的对角顶点在这个重合角的对边上，这个菱形称为这个三角形的亲密菱形，如图，在△CFE中，CF=6，CE=12，∠FCE=45°，以点C为圆心，以任意长为半径作AD，再分别以点A和点D为圆心，大于AD长为半径作弧，交EF 于点B，AB∥CD．（1）求证：四边形ACDB为△FEC的亲密菱形；（2）求四边形ACDB的面积．30．（2018•贵港）尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法）．如图，已知∠α和线段a，求作△ABC，使∠A=∠α，∠C=90°，AB=a．31．（2018•江西）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．32．（2018•青岛）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D．求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．33．（2018•宁波）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．34．（2018•河南）如图，反比例函数y=（x＞0）的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；②矩形的面积等于k的值．35．（2018•金华）如图，在6×6的网格中，每个小正方形的边长为1，点A在格点（小正方形的顶点）上．试在各网格中画出顶点在格点上，面积为6，且符合相应条件的图形．36．（2018•济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具；①卷尺；②直棒EF；③T型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．（1）在图1中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；（2）如图2，小华说：“我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积”如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．37．（2018•广安）下面有4张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边长为4，面积为6的直角三角形．（2）画一个底边长为4，面积为8的等腰三角形．（3）画一个面积为5的等腰直角三角形．（4）画一个边长为2，面积为6的等腰三角形．39．（2018•香坊区）如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB和线段CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．（1）在方格纸中画出以AB为斜边的等腰直角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上；（2）在方格纸中画出以CD为对角线的矩形CMDN（顶点字母按逆时针顺序），且面积为10，点M、N均在小正方形的顶点上；（3）连接ME，并直接写出EM的长．40．（2018•天门）图①、图②都是由边长为1的小菱形构成的网格，每个小菱形的顶点称为格点．点O，M，N，A，B均在格点上，请仅用无刻度直尺在网格中完成下列画图．（1）在图①中，画出∠MON的平分线OP；（2）在图②中，画一个Rt△ABC，使点C在格点上．41．（2018•哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．。
2024年中考复习数学++++网格作图与相关计算问题课件
点 A₂的坐标;
O
(3)在(2)的条件下，求点A旋转到点A2所经过的路径长(结果保 留π).
x
收获
如图,在菱形 ABCD 中,∠B =60°,E 是BC 的中点,连接 AE,DE,DE 与AC 交于点G,以DE 为边作等边三角形 DEF ,连接 AF 交 DE 于点 N ,交 DC 于点M.下列结论: ①DE = AB; ②∠EAN=45°; ③AE =2 CM; ④ M 为AF 的中点,其中结论正确的 序号有 A.①②③ B.①②④ C②③④ D. ①③④
求点B在旋转过程中所经过的路径长。(结果保留π)
O
x
考题再现
如图,正方形网格中,每个小正方形的边长都是一个单位长 度,在平面直角坐标系内，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(3，1)，B(4, 4),C(2, 4). (1)请画出△ABC 向下平移5个单位后得到的△A1B1C1，直 接写出点B1的坐标 (2)请画出△ABC 绕点O逆时针旋转 90°后的△A2B2C2. (3)在(2)的条件下，求点C经过的路径长.(结果保留π).
y
O
x A
C B
考题再现
如图,正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平 面直角坐标系中， △ABC 的三个顶点 A(5，2)、B(5，5)、c(1,1)均在 格点上. (1)将△ABC向左平移5个单位得到△A1B1C1，并写出点A1的坐标; (2)画出△A1B1C1绕点C1顺时针旋转 90°后得到的△A₂B2C2，并写出点 A2的坐标; (3)在(2)的条件下，求△A1B1C1在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
y B1
A1
C1
C O
A2
B2
B
A x
中考数学专题复习格点作图题(二)
中考数学专题复习格点作图题（二）学校:___________姓名：___________班级：___________考生__________评卷人得分一、解答题1．如图，在6×8的方格纸中有直线l，点A、B、C都在格点上．按要求画四边形，使它的顶点都在格点上，点A、B、C在它的边上（包括顶点）．（1）在图①中画一个轴对称图形，使直线l是对称轴；（2）在图①中画一个中心对称图形，使直线l平分它的面积．2．图①、图①均为44⨯的正方形网格，线段AB、BC的端点均在格点上，按要求在图①、图①中作图并计算其面积．（1）在图①中画一个四边形ABCD，使四边形ABCD有一组对角相等，S四边形ABCD=；（2）在图①中画一个四边形ABCE，使四边形ABCE有一组对角互补，S四边形ABCE=．3．如图均是66⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，ABC∆的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．（1）在图中的线段AB上找一点D，连结CD，使BCD BDC∠=∠．（2）在图中的线段AC上找一点E，连结BE，使ABE BAE∠=∠．（3）在图中的线段AC上找一点F，连结BF，使CBF CFB∠=∠．4．图①、图①、图①都是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段AB的端点都在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图①、图①中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上．（1）在图①中画一个ABC，使其面积为2．（2）在图①中画一个ABD△，使其面积为4．（3）在图①中画一个四边形ABEF，使其面积为5．5．如图，网格中有一条线段AB，点A、B都在格点上，网格中的每个小正方形的边长为1．请在图①和图①中各画出一个格点ABC，使ABC是直角三角形，且90ACB∠=︒，并满足以下要求：（1）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为有理数（画出一个即可）．（2）在图①中画出的三角形的两条直角边的长度均为无理数（画出一个即可）．（3）满足（1）、（2）的ABC共有个．6．如图，在66⨯的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，请按要求画出格点三角形与格点四边形．（1）在图1中以线段AB为边画一个格点ABC∆，使2AB BC=；（2）在图2中以线段AB为边画一个格点四边形ABCD，使其面积为7，且90BAD∠=︒．7．在6×6的正方形网格中，①ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺画图．（保留必要的画图痕迹）(1)在图1中，画一个与①BAC相等的①BDC，且点D在格点上．(2)在图2中，画一个与①ABC面积相等，且以BC为边的平行四边形BCDE，D、E均在格点上．(3)在图3中，在AC上找一点D，连接BD，使①ABD的面积是①BCD面积的4倍．参考答案：1．（1）作图见解析；（2）作图见解析．【解析】（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可．（2）根据中心对称图形作出图形即可．【详解】解：（1）轴对称图形如图所示（答案不唯一）．（2）中心对称图形如图所示（答案不唯一）．【点睛】本题考查作图-旋转变换，轴对称图形，中心对称图形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．2．（1）6；（2）92．【解析】【分析】（1）过C画AB的平行线，过A画BC的平行线，两线交于一点D，根据平行四边形的判定定理可得四边形ABCD是平行四边形，由平行四边形的性质可知①CBA=①CDA，然后用用割补法求出面积即可；（2）根据图中正方形网格和①B的特点，作出①E与①B互补，然后用割补法求面积即可．【详解】解：（1）如图，S四边形12223422622ABCD ⨯⨯=⨯-⨯-⨯=， （2）如图，S 四边形12221193322222ABCE ⨯⨯⨯=⨯-⨯--=． 【点睛】此题主要考查了应用设计作图．首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，然后利用割补法求面积．3．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，在AB 上取一点D 使得3BD BC ==即可；（2）根据矩形的性质，可以得到点E 的位置；（3）由题意可知，利用三角形相似的性质，对AC 进行分段，使得3CF =．【详解】解：（1）取格点D ，连接CD 即可，如下图：（2）取格点P ，连接BP ，交AC 于点E ，如下图：则ABE BAE ∠=∠；（3）如图，取格点H 、N ，连接HN ，交AC 于点F ，连接BF ，①CH ①AB ，①ANF CHF △∽△，3CH =、2AN =，①23AN AF CH CF ==，则CF =35AC ， ①AB =4，BC =3，①AC =22435+=，①CF =35AC =3， ①CF =BC =3，①CBF CFB ∠=∠．①点F 即为所求作．【点睛】此题主要考查了等腰三角形、矩形、相似三角形等有关性质，熟练掌握和应用有关知识的性质是解题的关键．4．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】（1）取格点C ，连接AC 、BC ，利用三角形的面积的计算方法得出符合题意的图形；（2）在（1）的基础上作点A关于BC的对称点D即可；（3）在（2）的基础上增加一个面积为1的三角形即可．【详解】（1）取格点C，连接AC、BC，如图所示，①ABC即为所求：①AC=2，BC=22，AB=221310+=，由于()()()22222210+=，①222AC BC AB+=,①△ABC是直角三角形，且①ACB=90°，①11222222ABCS AC BC=⨯=⨯⨯=；（2）如图所示，①ABD即为所求；（3）如图所示，四边形ABEF即为所求；．【点睛】本题考查了作图-应用与设计，勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．5．（1）见解析；（2）见解析；（3）6．【解析】【分析】（1）根据要求作出图形即可，有两种情形,任意一种即可；（2）根据要求作出图形即可，有四种情形,任意一种即可；（3）根据（1）（2）的图形即可解答．【详解】解：（1）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1中任意一个即为所求；（2）点C的位置如图①所示，①ABC、①ABC1、①ABC2、①ABC中任意一个即为所求；（3）如图可得：满足（1）的ABC共有2个，满足（2）的ABC有4个，则满足（1）、（2）的ABC共有共有6个．【点睛】本题主要考查了基本作图、无理数、直角三角形等知识，掌握数形结合的思想成为解答本题的关键．6．（1）图见详解；（2）图见详解【解析】【分析】（1）由图及题意易得10AB，进而可得5BC=，然后问题可求解；（2）根据题意及旋转的性质可先作出90BAD∠=︒，然后再利用割补法进行作图即可．【详解】解：（1）由题意得：10AB，①2AB BC=，①5BC=，则以线段AB 为边画一个格点ABC ，如图所示：（2）由题意可得如图所示：【点睛】本题主要考查勾股定理及旋转的性质，熟练掌握勾股定理及旋转的性质是解题的关键． 7．(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）如图，根据网格的特点以及对称性找到点D ，连接,BD DC ，则BDC BAC ∠=∠； （2）根据题意，与①ABC 面积相等，且以BC 为边的平行四边形BCDE ，则平行四边形BC 边上的高等于ABC 中，BC 边上高的一半，根据网格的特点，在格点上找到点D ,E ，连接,,CD DE EB 即可；（3）根据勾股定理求得5AC =，找到5FC =，根据网格的特点作GH AF ∥，根据平行线分线段成比例可得14CD DA =，即找到符合题意的点D ． (1)如图所示，BDC BAC ∠=∠且D 在格点上，(2)如图，(3)如图，22345AC =+=作AF GH ∥14CD CH DA FH ∴== ∴①ABD 的面积是①BCD 面积的4倍．则点D 即为所求．【点睛】本题考查了作轴对称图形，作平行四边形，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．。