高一下学期期末考试数学试卷
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高一下学期期末考试数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。每小题只有一个选项符合题意。
1．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是（ ）
A．若m，n，则mn B．若m∥，n∥，则m∥n
C．若m，mn，则n∥ D．若m∥，mn，则n
2．在平面直角坐标系中，若角α的顶点与原点重合，始边与x
轴的非负半轴重合，
终边过点P（﹣，﹣1），则sin（﹣α）=（ ）
A． B． C． D
．
3．若110ab，则下列结论不正确的是（ ）
A．22ab B．2abb C．2211abab D．0ab
4．若等比数列{an}的各项均为正数，且a8a13+a9a12=26，则log2a1+log2a2+…+log2a20=
（ ）
A．120 B．100 C．50 D．60
5．在正方体1111ABCDABCD中，点P在线段1AD上运动，则异面直线CP与1BA所成角
的取值范围是（ ）
A. 03 B．03 C．02 D．02
6．如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为7，则该
几何体的表面积为（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为341，
偶数项之和为682，则这个数列的项数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
8．已知边长为2的正方形ABCD的四个顶点在球O的球面上，球O的体积为2053，则
OA
与平面ABCD所成的角的余弦值为（ ）
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A．1010 B．55 C． 105 D．155
9．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且在（﹣∞，0
]上是增函数，若不
等式f（a）≥f（x）对任意x∈[1，2]恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1] B．[﹣1，1] C．（﹣∞，2] D．[﹣2，2
]
10．设na是等差数列，nb为等比数列，其公比1q，且01,2,3,,ibin，若
111313
,abab
，则有（ ）
A． 77ab B． 77ab或77ab C．77ab D．77ab
11．在三棱锥PABC中，6PAPBPC,2ACAB,且ACAB,则该三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A． 4 B． 8 C． 16 D．9
12．已知等差数列{an}满足=1，公差d∈（﹣1
，
0），当且仅当n=9时，数列{an}的前n项和Sn取得最大值，则该数列首项a
1
的取
值范围是（ ）
A．（，） B．[，] C．（，） D
．[，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，点P是斜边AB
上的一个三等
分点，则= ．
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA=bsinb
，且，
则sinA+sinC的最大值是 ．
15．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为233，作为其母线与轴的夹角的大小为
__________。
16.若四面体ABCD错误!未找到引用源。的三组对棱分别相等，即
,,,ABCDACBDADBC
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给出下列结论：
①四面体ABCD每个面的面积相等；
②从四面体ABCD错误!未找到引用源。每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90错误!
未找到引用源。 而小于180错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ；
③连结四面体ABCD错误!未找到引用源。每组对棱中点的线段相互垂直平分；
④从四面体ABCD错误!未找到引用源。每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边
长；
其中正确结论的序号是__________。（写出所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知向量=（{cosx，﹣ cosx），=（cosx，sinx），函数f（x
）
=•+1
．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若f（θ）=，的值．
18．（本小题满分12分）在ABC中，已知3sin2cos0aCcA，其中角ABC、、所
对的边分别为abc、、。求
（1）求角A的大小；
（2）若6a， ABC的面积为32，求sinsinBC的值。
19．（12分）某种新产品投放市场的100天中，前40
天价格呈直线上升，而后
60天其价格呈直线下降，现统计出其中4
天的价格如下表：
时间 第4天 第32天 第60天 第90天
价格（千元）
23 30 22 7
（Ⅰ）写出价格f（x）关于时间x的函数关系式（x表示投放市场的第x天，x∈
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N
*
）；
（Ⅱ）销售量g（x）与时间x的函数关系式为，
则该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少千元？
20. （本小题满分12分）如图1，在高为2的梯形ABCD中，CDAB//，2AB，5CD，
过A、B分别作CDAE，CDBF，垂足分别为E、F。已知1DE，将梯形
ABCD
沿AE、BF同侧折起，得空间几何体BCFADE，如图2。
（1）若BDAF，证明：为直角三角形DEB；
（2）若CFDE//，证明：ACDBE平面//；
（3）在（1），（2）的条件下，求三棱锥ACDB的体积。
21． （本小题满分12分）如图，四棱锥中，CDAB//，CDBC错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。侧面SAB为等边三角形，2BCAB错误!未找到引用源。 ，
1SDCD
。
（1）证明：SABSD平面；错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。
（2）求二面角CSBA的平面角的正弦值。
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22．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且210,2nnnnaaSnN
（1）若21lognnnbaS，求数列nb的前n项和nT；
（2）若0,2tan2nnnna，求证：数列n是等比数列，并求其通项公式；
（3）记12111222nncaaa，若对任意的,nnNcm恒成立，求实数m的
最大值。
2023-2024学年山西省高一下学期期末数学质量检测试题(含答案)
2023-2024学年山西省高一下册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知集合{}ln A x y x ==，集合{}sin ,B y y x x A ==∈，则A B = （）A ．[)1,-∞B ．(]0,1C ．()0,1D ．()0,∞+【正确答案】B【分析】先求出集合,A B ，再求两集合的交集【详解】因为{}()ln 0,A x y x ∞===+，所以{}sin ,[1,1]B y y x x A ==∈=-，所以(]0,1A B = ，故选：B2．某次体育考试，甲、乙的成绩达到优秀的概率分别为0.4，0.9，两人的成绩互不影响，则甲、乙两人的成绩都未达到优秀的概率为（）A ．0.06B ．0.36C ．0.28D ．0.64【正确答案】A【分析】先根据已知条件，利用互斥事件概率公式求出甲、乙未达到优秀的概率，再利用相互独立事件的概率公式计算.【详解】∵甲、乙达到优秀的概率分别为0.4，0.9，∴甲、乙未达到优秀的概率分别为1-0.4和1-0.9,又∵两人考试成绩互不影响，即两人是否达到优秀相互独立，∴甲、乙两人都未达到优秀的概率为()()10.410.90.06p =-⨯-=故选：A3．若复数z 满足1i z =-+，则下列说法正确的是（）A ．z 的虚部为iB ．z 的共轭复数为1i z =+C ．z 在复平面内对应的点在第三象限D ．z =【正确答案】D【分析】根据复数的虚部概念和几何意义可判断A,C ，根据共轭复数的概率和模长可判断B,D.【详解】因为1i z =--则z =D 对，B 错，z 的虚部是1，z 对应的点为()1,1-，在第二象限，故A,C 错误.故选：D4．数据22，24，32，33，35，28，56，x 的第65百分位数为35，则x 的取值可以是（）A ．20B ．25C ．30D ．35【正确答案】D【分析】根据百分数位概念求解即可.【详解】865% 5.2⨯=，故35x ≥.故选：D5．在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，3A π=，2b =，8c =，则2sin 2sin sin a b c A B C -+-+值等于（）AB．CD【正确答案】C【分析】先由余弦定理求得a =，再由正弦定理求解即可.【详解】由余弦定理得22212cos 464228522a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，解得a =设ABC 外接圆半径为R ，则22sin 4sin 2sin sin 2sin sin sin 2sin sin a b c R A R B R C A B C A B C-+-+=-+-+2sin a R A ===故选：C.6．设平面向量a ，b 满足12a =，(b = ，18a b ⋅= ，则b 在a方向上的投影向量为（）A ．18aB ．18bC ．12aD ．12b【正确答案】A【分析】直接利用投影向量的计算公式求解．【详解】解：12a =，(b = ，18a b ⋅= ∴ b 在a方向上的投影向量181112128a b a a a a a ⋅=⋅=⋅⋅=.故选：A.7．正三棱锥P ABC -的底面边长等于球O 的半径，且正三棱锥P ABC -的高等于球O 的直径，则球O 的体积与正三棱锥P ABC -体积的比值为（）A．32πB ．36πC ．833πD ．83π【正确答案】C【分析】设球O 的半径，由球的体积公式及三棱锥的体积公式求解即可.【详解】设球O 的半径为r ，球O 的体积为3143V r π=，正三棱锥P ABC -的底面积22133224S r r =⋅=，2h r =，棱锥的体积为2321332346V r r r =⨯⨯=.所以12833V V π=.故选：C.8．已知点P 在ABC 的边BC 上，2AP PC CA ===，ABC 的面积为532，则sin PAB ∠=（）A ．33B ．34C ．5719D ．35738【正确答案】D【分析】由已知利用三角形的面积公式可求BC ，BP 的值，作AD BC ⊥交BC 于D ，利用勾股定理求得AB 的值，进而在ABP △中，由正弦定理可求sin PAB ∠的值．【详解】解：∵2AC PC AP ===∴APC △为等边三角形，π2ππ33APB ∠=-=由1π53sin 232ABC S AC BC =⋅⋅=，得5BC =，则523BP =-=作AD BC ⊥交BC 于D在等边APC △中，3AD =，1PD =则314BD BP PD =+=+=在Rt ABD △中，2231619AB AD BD =++在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PBAPB PAB=∠∠∴3sin38PAB ∠=.故选：D.9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（）A ．直线CD 与直线GH 异面B ．直线CD 与直线EF 共面C ．直线AB 与直线EF异面D ．直线GH 与直线EF 共面【正确答案】B【分析】先将正方体复原，再判断异面或共面即可.【详解】如图，点C 与点G 重合，故A 错误；∵CE BD ∥，且CE BD =，∴四边形CDBE 是平行四边形，∴CD EF ∥，∴CD 与EF 是共面直线，故B 正确；∵AB EF B ⋂=，∴AB 与EF 相交，故C 错误；∵EF ，GH 不在一个平面内，且EF 与GH 既不平行也不相交，∴EF ，GH 是异面直线，故D 错误.故选：B.10．甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是13，从乙盒中摸出一个红球的概率是12，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列结论错误的是（）A ．小明得6分的概率为16B ．小明得分低于6分的概率为13C ．小明得分不少于3分的概率为23D ．小明恰好得3分的概率为12【正确答案】B【分析】首先设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中模出一个红球”为事件2A ，得到()113P A =，()212P A =，再根据独立事件概率公式依次判断选项即可.【详解】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件1A ，“从乙盒中模出一个红球”为事件2A ，则()113P A =，()212P A =，且1A ，2A 独立.对选项A ，小明得6分的概率为111326⨯=，故A 正确；对选项B ，小明得分低于6分的概率为15166-=，故B 错误；对选项C ，小明得分不少于3分的概率为()()1221211323P A P A -=-⨯=，故C 正确；在D 中，小明恰好得3分的概率为1211232132⨯+⨯=，故D 正确.故选：B11．下列四个等式中正确的是（）A．tan 205tan 35tan 205tan 35︒︒︒+︒=B ．2tan811tan8ππ=-C ．221cos sin 882ππ-=D．14sincos1818π【正确答案】D【分析】由诱导公式结合三角函数的和差角公式以及倍角公式依次化简求解即可.【详解】对于A ，∵()tan 205tan 35tan 240tan 205351tan 205tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒︒，∴tan 205tan 35205tan 35︒+︒+︒︒=，故A 错误；对于B ，22tan2tan11188tan 22421tan 1tan 88πππππ=⋅==--，故B 错误；对于C，22cos sin cos8842πππ-==，故C 错误；对于D，2cos cos sin sin cos1183********sin cos sin cos sin 1818181829ππππππππππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=74cos 4cos 4sin291894sin sin sin 999πππππππ⎛⎫- ⎪⎝⎭====，故D 正确.故选：D.12．若点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的动点，点M 是棱11A D 的中点，AP DM ⊥，则线段AP 长度的最大值为（）AB．C ．3D．【正确答案】C【分析】分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，先证得MD ⊥平面ABFE ，进而得到P ∈平面ABFE ，当P 与F 重合时，AF 最大，求解即可.【详解】分别取1DD ，1CC 中点E ，F ，连接EA ，EF ，FB ，首先EF 与CD 平行且相等，CD 与AB 平行且相等，因此EF 与AB 平行且相等，四边形EFBA 是平行四边形，在同一平面内，易得1ADE DD M ≅ ，1EAD MDD ∠=∠，所以190EAD MDA MDD MDA ∠+∠=∠+∠=︒，所以MD AE ⊥，又AB ⊥平面11ADD A ，MD ⊂平面11ADD A ，所以AB MD ⊥，又AE AB A =I ，AB ，AE ⊂平面ABFE ，所以MD ⊥平面ABFE .而MD AP ⊥，则P ∈平面ABFE ，所以P 点轨迹是矩形ABEF （除A 点）.四边形ABFE 是矩形，当P 与F 重合时，AF 3=.故选：C.二、填空题13．若幂函数()y f x =的图象过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的解析式为_____.【正确答案】2y x -=.【分析】设()a f x x =，根据函数过点12,4⎛⎫⎪⎝⎭代入求出参数即可.【详解】解：设()a f x x =，其图象过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，则124a=，所以2a =-，即函数解析式为()2f x x -=.故答案为.()2f x x-=本题考查待定系数法求幂函数解析式，属于基础题.14．如图，作用于同一点O 的三个力1F ，2F ，3F 处于平衡状态，已知11F =，2F 1F 与2F 的夹角为3π4，则3F 的大小为______.【正确答案】1【分析】根据力的平衡，可得向量的和为0，由向量的模长即可求解力的大小.【详解】1F ，2F ，3F 三个力处于平衡状态1130F F F =++ ，即()312F F F =-+则3121F F F =+=故115．关于函数()sin sin 64f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下列结论：①其表达式可写成()cos 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；②曲线()y f x =关于直线12x π=-对称；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增；④0,2πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()()3f x a f x α+=+恒成立.其中正确的是______（填写正确的序号）.【正确答案】②③【分析】对①，根据()1sin 223f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭即可判断①错误，对②，根据sin 21123ππ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可判断②正确，对③，根据正弦型函数的单调性即可判断③正确，对④，根据正弦型函数的周期性即可判断④错误.【详解】()211cos sin sin sin 224f x x x x x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭1cos 211sin 2sin 244423x x x π-⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭，对①，()11sin 2cos 2cos 223266f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+≠-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故①错误.对②，sin 2sin 11232πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故②正确；对③，当,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有20,33x ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，因为0,,322πππ⎡⎤⎡⎤⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③正确；()f x 的最小正周期22T ππ==，若0,2πα⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()()3f x f x αα+=+恒成立，说明2α是()f x 的一个周期，而()20,απ∈，与“()f x 最小正周期为π”矛盾，故④不正确.故②③16．如图所示，边长为a 的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，将ADE ，EBF ，FCD 分别沿DE ，EF ，FD 折起，使得A ，B ，C 三点重合于点A '，若四面体A EFD '的四个顶点在同一个球面上，且该球的表面积为6π，则=a ______.【正确答案】2【分析】先由A E A D ''⊥，A D '⊥平面A EF '将三棱锥补成正四棱柱，由正四棱柱的对角线的长度是外接球的直径解出a 即可.【详解】由题意可知A EF '△是等腰直角三角形，且90EA F '∠=︒，又易知A E A D ''⊥，A F A D ''⊥，A E A F A '''⋂=，A E '，A F '⊂平面A EF '，所以A D '⊥平面A EF '，将三棱锥的底面A EF '扩展为边长为2a的正方形，然后扩展为底面边长为2a，高为a 的正四棱柱.则三棱锥A EFD '-的外接球与正四棱柱的外接球相同，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，2，所以外接球的半径为4R a =，故球的表面积为222344642S R a a ππππ⎛⎫==⋅== ⎪ ⎪⎝⎭，所以2a =.故2.三、解答题17．已知函数()()222xf x m m m =--⋅是指数函数.(1)求实数m 的值；(2)解不等式()()2221mm x x +<-【正确答案】(1)3m =(2)12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由题意可得2221,0,1,m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩从而可求出实数m 的值；（2）由（1）可得()()332221x x +<-，再由幂函数32y x =的单调性可得201021x x x x +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解不等式组可得答案【详解】(1)由题可知222101m m m m ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩解得3m =(2)由（1）得()()332221x x +<-∵32y x =在[)0,∞+上单调递增，∴201021x x x x+≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，解得122x -<-，故原不等式的解集为12,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭18．为减少水资源的浪费，某市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度.为了确定一个较为合理的用水标准，有关部门通过随机抽样调查的方式，获得过去一年4000户居民的月均用水量数据（单位：吨），并根据获得的数据制作了频率分布表：组号分组频数频率频率组距1[)0,1012400.310.0312[)10,20mn0.0463[)20,307760.1940.01944[)30,40720.018p5[)40,50480.0120.00126[)50,60q0.0060.0006(1)求m ，n ，p ，q 的值；(2)求所获得数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率；(3)若在第4，5，6组用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6户做问卷调查，并在这6户中任选2户进行座谈会，求这2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的概率.【正确答案】(1)1840m =，0.46n =，0.0018p =，24q =；(2)0.036；(3)13【分析】（1）直接由频率分布表计算即可求解；（2）直接由第4，5，6组频率求和即可；（3）先由分层抽样求出各组抽取回访调查的人数，再列出所有的基本事件，找出2户中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的基本事件，由古典概型求解即可.【详解】(1)由题意可得()40000.046101840m =⨯⨯=，0.046100.46n =⨯=，0.018100.0018p =÷=，40000.00624q =⨯=；(2)所获数据中“月均用水量不低于30吨”发生的频率为0.0180.0120.0060.036++=；(3)用分层抽样的方法在第4、5，6组随机抽取6户做回访调查的人数分别为3，2，1，设上述6户为a ，b ，c ，d ，e ，f （其中“月均用水量不低于50吨”的1户为f ），在这6户中任选2户进行采访，共有()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e a f b c b d b e b f ，()()()()()(),,,,,,,,,,,c d c e c f d e d f e f 15个基本事件，其中恰有1户是“月均用水量不低于50吨”的基本事件有()()()()(),,,,,,,,,a f b f c f d f e f 5个，所以“月均用水量不低于50吨”的概率51153=.19．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，E 是线段PB 的中点，F 是线段DC 上的点，且12DF AB =(1)证明：EF ∥平面PAD ；(2)若AB ⊥平面PAD ，PD AD =，PH AD ⊥，且PH AD H ⋂=.记直线PB 与平面ABCD 所成角为α，直线PB 与平面PAD 所成角为β，比较cos α与sin β的大小，并说明理由.【正确答案】(1)证明见解析(2)sin cos βα<，证明见解析【分析】（1）取PA 中点M ，先证得四边形EFDM 为平行四边形，进而证得EF DM ∥，即可证得EF ∥平面PAD ；（2）先证得PH ⊥平面ABCD ，即可得cos cos BH PBH PB α∠==，再由sin cos ABPBA PBβ∠==，比较,AB BH 的大小即可求解.【详解】(1)取PA 中点M ，连接DM ，EM ，∵E 是PB 的中点，∴EM AB ，且12EM AB =，又AB CD ∥，12DF AB =，∴EM DF ∥，且EM DF =，∴四边形EFDM 为平行四边形，∴EF DM ∥，又DM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，∴EF ∥平面PAD ；(2)连接BH ，∵AB ⊥平面PAD ，PH ⊂面PAD ，∴PH AB ⊥，又PH AD ⊥，AB AD A ⋂=，AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴PH ⊥平面ABCD ，即PBH ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角，∴cos cos BHPBH PBα∠==，∵AB ⊥平面PAD ，即BPA ∠为直线PB 与平面PAD 所成角，又PA ⊂平面PAD ，∴PA AB ⊥，即sin cos ABPBA PBβ∠==，∵在PDA 中PD AD =，∴H 与A 不重合，又∵在Rt ABH △中AB BH <，∴sin cos βα<.20．已知复数1i z a b =+，a ∈R ，b ∈R ，0b ≠，2114z z z =+，221z -<(1)求实数a 的取值范围；(2)若1122z z ω-=+，求22|z ω-|的最小值.【正确答案】(1)11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦(2)5-【分析】（1）先化简出2122221444i a b z z a b z a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，根据2z 是实数，即可求出224a b +=，进而可求a 的范围.（2）根据见复数的除法运算，化简得i2b aω=+，进而得()2242252z a aω-=++-+，根据基本不等式即可求解.【详解】(1)2122221444i a b z z a b z a b a b ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∵221z -<∴2z 是实数，∴224bb a b =+，即224a b +=∴22z a =∵221z -<，∴221a -<，即112a-<，1z 的实部的取值范围为11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦；(2)()22122122i 44i 4i i22i 8422z a b a b b b b z a b a aa b ω--+-++=====+++++++，()22222i 2222b b z a a a a ω-⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭+∵224a b +=∴()()222242422225222a a z a a a a aa ω---=+=+=++-+++∵11,2a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，∴20a +>∴当()4222a a=++时，即22a =-+时，22z ω-取到最小值425-,由于4250->，故22z ω-的最小值为425-21．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，5AD =，BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，BAD θ∠=，,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭(1)当5cos 5θ=时，求AC ；(2)当四边形ABCD 的面积取最大值时，求BD .【正确答案】37(2)26BD =【分析】（1）先由余弦定理求得BD ，再由正弦定理求得sin ADB ∠，结合诱导公式求得cos ADC ∠，最后由余弦定理即可求解；（2）结合（1）得2145BD θ=-，由ABCD ABD BCD S S S =+△△结合面积公式表示出四边形ABCD 的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可.【详解】(1)在ABD △中，3AB =，5AD =5cos 5θ=，由余弦定理得2222cos 14cos 14620BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-=+=，所以BD =因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin θ=sin sin BD AB BAD ADB=∠∠3sin 5ADB ∠=，解得3sin 5ADB ∠=，因为BCD △是以D 为直角顶点的等腰直角三角形，所以2CDB π∠=且CD BD ==，所以3cos cos sin 25ADC ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=-∠=- ⎪⎝⎭，在ACD △中，由余弦定理得AC =(2)由（1）得214BD θ=-，2113sin 7sin cos22ABCD ABD BCD S S S BD θθθ=+=⨯⨯+⨯==△△)()157sin 2cos 7sin 2θθθϕ=-=+-，此时sin 5ϕ=，cos 5ϕ=，且0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当2πθϕ-=时，四边形ABCD 的面积最大，即2πθϕ=+，此时sin θ=，cos 5θ=-，所以21414265BD θ⎛=-=--= ⎝⎭，即BD =22．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，160A AC ACB ∠=∠=︒，12C C AC BC ==，D 是BC 的中点.(1)证明：平面11A B D ⊥平面11BB C C ；(2)若2BC =，分别求过1A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积.【正确答案】(1)证明见解析；(2)5和7【分析】（1）取AC 的中点H ，由1A H AC ⊥证得1A H ⊥平面ABC ，进而证得1A H BC ⊥，结合BC HD ⊥，即可证得BC ⊥平面11A HDB ，即可证得平面11A B D ⊥平面11BB C C ；（2）先判断出111HDC A B C -是三棱台，结合棱台体积公式求得三棱台111HDC A B C -的体积，再由三棱柱111ABC A B C -的体积减去三棱台111HDC A B C -的体积即可求得剩下部分的体积，即可求解.【详解】(1)在三棱柱111ABC A B C -中，取AC 的中点H ，连接1A H ，HD ，1AC .因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，所以HD AB ∥，所以11HD A B ∥，所以平面11A HDB 即为平面11A B D ，因为160A AC ∠=︒，1AA AC =，所以1A AC 为正三角形，所以1A H AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，1A H ⊂平面11ACC A ，所以1A H ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以1A H BC ⊥.在ABC 中，2AC BC =，60ACB ∠=︒，由余弦定理可得2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，即AB =，所以222AC AB BC =+，即AB BC ⊥，因为HD AB ∥，所以BC HD ⊥，因为1A H HD H ⋂=，1A H ⊂平面11A HDB ，HD ⊂平面11A HDB ，所以BC ⊥平面11A HDB ，又BC ⊂平面11BB C C ，所以平面11A HDB ⊥平11BB C C ，即平面11A B D ⊥平面11BB C C ；(2)因为2BC =，所以14AC AA ==，因为H ，D 分别为AC ，BC 的中点，且11HD A B ∥，1112HD A B =，所以111HDC A B C -是三棱台.因为ABC 中，AB BC ⊥，AB =2BC =，所以11222ABC S AB BC =⋅=⨯=△，所以111A B C S =△，142HDC ABC S S ==△△，又1A H ⊥平面ABC ，且1A H =111HDC A B C -的体积(1111113HDC A B C V A H S S =++△△117323⎛⎫ ⎪=⨯⨯+=⨯= ⎪⎝⎭，所以剩余几何体的体积111111212752ABC A B C HDC A B C V V V --=-=⨯⨯⨯-=，所以过A ，1B ，D 三点的截面将该三棱柱分得的两部分的体积分别为5和7.。
江西省部分学校2023-2024学年高一下学期6月期末考试 数学含答案
江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.5133.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A .a b c>> B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件6.35cos cos cos777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B. C. D.8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是610.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc>11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为3C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为1717三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.14.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且23203aOA bOB cOC ++=，则A =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数113i sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G.（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.江西省2023～2024学年高一6月期末教学质量检测数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.4.本卷命题范围：必修第一册、第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 在复平面内对应点的坐标为()1,1-，则2iz -=（）A.31i 22+ B.11i 22+ C.13i 22+ D.1i+【答案】A 【解析】【分析】由题意写出复数z 的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得.【详解】依题意，1i z =-，则2i 2i (2i)(1i)3i 31i 1i (1i)(1i)222z ---++====+--+.故选：A.2.若一圆锥的侧面展开图的圆心角为5π6，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（）A.45B.35C.512D.513【答案】C 【解析】【分析】设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，利用侧面展开图条件建立l 与r 的关系式，作出圆锥轴截面图，证明并求出线面所成角的余弦值即可.【详解】作出圆锥的轴截面图SAB ,设圆锥的底面圆半径为r ，母线长为l ，依题意可得，5π2π6l r =，即512r l =，因顶点S 在底面的射影即底面圆圆心O ,故母线SB 与底面所成的角即SBO ∠.在Rt SOB △中，5cos 12r SBO l ∠==.故选：C.3.已知0.32a -=，0.213b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2ln3c =，则（）A.a b c >>B.b a c>> C.a c b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质比较大小即可.【详解】因为2x y =在R 上递增，且0.30-<，所以0.30022-<<，即0.3021-<<，所以01a <<，因为13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，且0.20-<，所以0.211133-⎛⎫⎛⎫>= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1b >，因为ln y x =在(0,)+∞上递增，且213<，所以2lnln103<=，即0c <，所以b a c >>.故选：B4.已知,a b 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则（）A.若,a b αβ⊂⊂，且a b ，则αβ∥B.若,a ααβ⊥⊥，则a β∥C.若,,a b a αβαβ⊥=⊥ ，则b α⊥D.若,a b 为异面直线，,a ααβ⊥∥，则b 不垂直于β【答案】D 【解析】【分析】由平面平行的判定定理可判断A 错误，由线面垂直性质可判断B 错误，利用面面垂直的性质定理可判断C 错误；由反证法可得D 正确.【详解】对于A ，由平面平行的判定定理易知当两个平面内的两条直线平行时，不能得出两平面平行，即A 错误；对于B ，若,a ααβ⊥⊥，则可得a β∥或a β⊂，故B 错误；对于C ，由面面垂直的性质知，两个平面垂直时，仅当直线在一个平面内且与交线垂直时才能确保直线与另一个平面垂直，而C 中直线b 与平面β的关系不确定，故b 与α不一定垂直，故C 错误；对于D ，若b β⊥，由条件易得a b ，与二者异面矛盾，故D 正确．故选：D ．5.已知集合{}()210R M x ax x a =-+=∈，则“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的（）A .必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由集合M 仅有1个真子集的条件，结合充分条件和必要条件的定义判断.【详解】集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，即集合M 只有一个元素，若0a =，方程210ax x -+=等价于10x -+=，解得1x =，满足条件；若0a ≠，方程210ax x -+=要满足140a ∆=-=，有14a =，则集合{}210M x ax x =-+=仅有1个真子集，有0a =或14a =，则14a =时满足集合M 仅有1个真子集，集合M 仅有1个真子集时不一定有14a =，所以“14a =”是“集合M 仅有1个真子集”的充分不必要条件.故选：B.6.35cos cos cos 777πππ的值为A.14B.14-C.18D.18-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式以及余弦的降幂扩角公式即可容易求得.【详解】∵cos37π＝－cos 47π，cos 57π＝－cos 27π，∴cos7πcos 37πcos 57π＝cos 7πcos 27πcos47π＝248sincos cos cos 77778sin7πππππ＝2244sin cos cos7778sin7ππππ＝442sin cos778sin7πππ＝8sin78sin7ππ＝－18.故选：D.【点睛】本题考查诱导公式以及降幂扩角公式，属中档题.7.在ABC 中，点O 为ABC 的外心，3AB =，72AO BC ⋅= ，6AB AC ⋅=，则ABC 的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到212AO AC AC ⋅= ，同理可得212AO AB AB ⋅= ，解得AC ，根据向量乘法可求得sin BAC ∠，代入到1sin 2ABC S AB AC BAC=⋅∠可求得.【详解】设D ，E 分别是AB ，AC 的中点，根据ABC 外心性质可得到()21122AO AC AE EO AC AC EO AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅= ⎪⎝⎭，同理可得212AO AB AB ⋅= ，又因72AO BC ⋅= ，可得()72AO AC AB AO AC AO AB ⋅-=⋅-⋅= ，可解得4AC =，61cos 342AB AC BAC AB AC ⋅∠===⨯ ，所以3sin 2BAC ∠=，则113sin 43222ABC S AB AC BAC =⋅∠=⨯⨯⨯= .故选：A8.掷两枚骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件E ，“两个点数都是奇数”为事件F ，“两个点数之和是偶数”为事件M ，“两个点数之积是偶数”为事件N ，则（）A.事件E 与事件F 互为对立事件B.事件M 与事件N 相互独立C.事件E 与事件M N ⋂互斥D.事件F 与事件M N ⋃相互独立【答案】D 【解析】【分析】用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，列出相关事件包含的样本点.对于A ，运用对立事件的定义判断；对于B ，分别计算,,M N M N 的概率，利用独立事件的概率乘法公式检验即得；对于C ，根据E 与M N ⋂的交集是否为空集判断；对于D ，与选项B 同法判断.【详解】依题意，可用(,)x y 表示掷两枚骰子得到的点数，则{(,)|,{1,2,3,4,5,6}}x y x y Ω=∈.对于A ，{(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)}E =，而{(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}F =,显然事件E 与事件F 互斥但不对立，如(1,2)∈Ω,但(1,2),(1,2)E F ∉∉,故A 错误；对于B ，易得F E M =，故181(),362P M ==因N F =，故93()1()1()1364P N P N P F =-=-=-=,而MN E =,则91()()364P MN P E ===,因()()()≠P MN P M P N ,即事件M 与事件N 不独立，故B 错误；对于C ，由上分析，MN E =，故事件E 与事件M N ⋂不可能互斥，即C 错误；对于D ，由上分析，91(),364P F ==而M N =Ω ,则1()()P M N P ⋃=Ω=，因()F F M N ⋂=⋃，则1[()]()4P F P F M N ⋂==⋃,即[()()()]P P M N F P M N F ⋂⋃⋃=，故事件F 与事件M N ⋃相互独立，即D 正确.故选：D .【点睛】方法点睛：本题主要考查随机事件的关系判断，属于较难题.解题方法有：（1）判断事件,A B 对立：必须,A B A B ⋂=∅⋃=Ω同时成立；（2）判断事件,A B 相互独立：必须()()()P A B P A P B ⋂=成立；（3）判断事件,A B 互斥：只需A B ⋂=∅即可.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，的第80百分位数是7.8B.一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，则这组数据的方差是8C.用分层随机抽样时，个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的标准差是6【答案】BD 【解析】【分析】利用各特征数据的计算方法进行计算即可.【详解】对于A ，因为共10个数据11.3233.84.56.37.88.610，，，，，，，，，，所以1080%8⨯=，则8个数据8.6第80百分位数为7.88.68.22+=,故A 错误；对于B ，一组样本数据35,911x ，，，的平均数为7，可知7x =，则这组数据的方差为()()()()()222222113757779711740855s ⎡⎤=-+-+-+-+-=⨯=⎣⎦，故B 正确；对于C ，由于分层抽样，每一层的抽样比是相同的，都等于总的抽样比，故C 错误；对于D ，由于1210,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差为2，则它的方差为4,而121031,31,,31x x x ++⋅⋅⋅+的方差为23436⨯=，则它的标准差是6，故D 正确；故选：BD.10.下列结论正确的是（）A.y =的值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.2211sin cos y x x=+的最小值为4C.若()lg lg a b a b =≠，则2+a b 的最小值为D.若0a b >>，R c ∈，则a c bc >【答案】ABC 【解析】【分析】对于A ，先求得函数定义域[1,1]-，判断其奇偶性，求函数在[0,1]上的值域，即得在[1,1]-上的值域；对于B ，利用常值代换法运用基本不等式即可求解；对于C ，先由条件推得1ab =，再运用基本不等式即可；对于D ，举反例即可排除.【详解】对于A ，由y =有意义可得，210x -≥，即11x -≤≤，函数定义域关于原点对称.由()()f x f x -=-=-,知函数为奇函数，当01x ≤≤时，y ==设2[0,1]t x =∈，则()g t =因[0,1]t ∈时，21110(244t ≤--+≤，即得10()2g t ≤≤，又函数y =为奇函数，故得其值域为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，即A 正确；对于B ，因22sin cos 1x x +=，故2222221111()(sin cos )sin cos sin cos y x x x x x x=+=++2222sin cos 224cos sin x x x x =++≥+，当且仅当221sin cos 2x x ==时等号成立，即当221sin cos 2x x ==时，2211sin cos y x x=+的最小值为4，故B 正确；对于C ，由lg lg =a b 可得lg lg a b =或lg lg a b =-，即a b =或1a b=，因a b ¹，故1ab =，因0,0a b >>，则2a b +≥=当且仅当2a b ==即2+a b 的最小值为，故C 正确；对于D ，因R c ∈，不妨取0c =，则0a c bc ==，故D 错误.故选：ABC.11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，AC BD O = ，E F G H ，，，分别为线段OA OB OC OD ，，，的中点，几何体1111A B C D EFGH -的体积为1123，P 为线段1BD 上一点，点P A B C D ，，，，均在球M 的表面上，则（）A.1AB PC⊥B.PC PD +的最小值为C.若P 为1BD 的中点，则球M 的表面积为9π2D.二面角1A HE A --的余弦值为17【答案】ABD 【解析】【分析】利用正方体的性质，结合台体体积公式可求得正方体边长，再利用线面垂直证明线线垂直，利用侧面展开图思想求线段和的最小值，利用外接球的截面性质来求其半径，利用二面角的平面角来求解二面角的余弦值.【详解】由正方体性质可得：几何体1111A B C D EFGH -是正四棱台，设正方体的边长为a ,则其体积为：23211711234343a a a a ⎛++=⋅= ⎝，解得4a =，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，有11AB A B ⊥，BC ⊥平面11ABB A ，又因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1BC AB ⊥，又因为1BC A B B ⋂=，1BC A B ⊂，平面11BCD A ，所以1AB ⊥平面11BCD A ，而PC ⊂平面11BCD A ，所以1AB PC ⊥，故A 正确；把直角三角形1BDD 与直角三角形1BCD 展开成一个平面图形，则PC PD CD +≥，而114,BC DD BD CD ====，由勾股定理可得：CD ==，故B 正确；当P 为1BD 的中点，此时四棱锥P ABCD -是正四棱锥，其外接球的球心M 一定在OP 上，又由于OA =2OP =，设MP MA R ==，则由勾股定理得：()2282R R =+-，解得：3R =，此时球M 的表面积为：24π336π⋅=，故C 错误；取AD 中点为Q ，取11A D 中点为T ，连结OQ EH G = ，再连接TG ，由,,AD OQ AD QT OQ QT Q ⊥⊥= ，OQ QT ⊂，平面OQT ，所以AD ⊥平面OQT ，又因为//EH AD ，所以EH ⊥平面OQT ，又因,GQ GT ⊂平面OQT ，所以,,EH GQ EH GT ⊥⊥即二面角1A HE A --的平面角就是QGT ∠，由正方体边长为4，可知1,4QG QT ==，所以16117GT =+=即17cos 1717QGT ∠==，故D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题D 选项的关键是利用二面角的定义找到其平面角，再求出相关线段，利用余弦函数定义即可得到答案.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，则k =_________【答案】1±##1或1-##1-或1【解析】【分析】利用奇函数()()f x f x =--求解即可.【详解】因为函数()212xxk f x k -=+⋅为奇函数，所以由()()f x f x =--可得221212122x x xx xxk k k k k k-----⋅=-=+⋅+⋅+，即2222212x x k k -=-⋅，整理得()()221120xk -+=，解得1k =±，经检验，当()1212x xf x -=+或()1212xx f x --=-时，满足()()f x f x =--，故答案为：1±13.在四面体ABCD 中，2AD BC ==，AD 与BC 所成的角为60°，若E ，F 分别为棱AC ，BD 的中点，则线段EF 的长等于______.【答案】1【解析】【分析】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，构造新的EFG 根据余弦定理可得到EF 的长.【详解】设G 为CD 中点，分别连接EG ，FG ，则EG 是ACD 的中位线，可得11,2EG AD EG AD == ，同理可得11,2FG BC FG BC == ，因为AD 与BC 所成的角为60°所以EGF ∠等于60°或120°，当60EGF ∠=︒在EFG 中根据余弦定理得1EF ===，当120EGF ∠=︒同理可得E F故答案为：114.已知点O 是ABC 的重心，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且203aOA bOB cOC ++=，则A =______.【答案】π6【解析】【分析】利用重心的向量性质0OA OB OC ++=，即可得到边的关系，再利用余弦定理即可求角.【详解】由点O 是ABC 的重心，可知：0OA OB OC ++=，又23203aOA bOB cOC ++=，可设2323a b c k ===，则3,,22k a b k c ===，再由余弦定理得：2222223222cos 2232k k b c a A bc ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-==，又因为()0,πA ∈，所以π6A =，故答案为：π.6四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在复平面内，复数()i ,R z a b a b =+∈对应的点为(),Z a b ，连接OZ （O 为坐标原点）可得向量OZ，则称复数z 为向量OZ 的对应复数，向量OZ为复数z 的对应向量.（1）若复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量共线，求实数x 的值；（2）已知复数11sin z x =⋅，2cos 22i cos z x x =+的对应向量分别为1OZ 和2OZ，若()12f x OZ OZ =⋅，求()f x 的最小正周期和单调递增区间.【答案】（1）2或1-（2）π；ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈【解析】【分析】（1）写出两复数对应的向量12,OZ OZ的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得；（2）利用三角恒等变换将函数()f x 化成正弦型函数，求得最小正周期，将π26x +看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得.【小问1详解】依题意，复数12i z x =+，()()211i R z x x =+-∈的对应向量分别为12(,2),(1,1)OZ x OZ x ==-，由12//OZ OZ可得，(1)2x x -=，解得，2x =或=1x -；【小问2详解】依题意，12),(cos 2,2cos )OZ x OZ x x ==，则()12πcos 2cos cos 222sin(2)6f x OZ OZ x x x x x x =⋅=+==+ ，故()f x 的最小正周期为2ππ2T ==；由Z 262πππ2π22π,k x k k -+≤+≤+∈解得，ππππ,Z 36k x k k -+≤≤+∈，即()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]Z 6,3k k k -++∈.16.一中学为了解某次物理考试的成绩，随机抽取了50名学生的成绩，根据这50名学生的成绩（成绩均在[]40,100之间），将样本数据分为6组：[)40,50、[)50,60、…、[)80,90、[]90,100，绘制成频率分布直方图（如图所示）.（1）求频率分布直方图中a 的值，并估计这50名学生的物理成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）；（2）在样本中，从成绩在[)40,60内的学生中，随机抽取2人，求这2人成绩都在[)50,60内的概率.【答案】（1）0.006a =；76.2（2）310【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和等于1求出a 的值，再根据平均数计算公式计算即可；（2）先计算出[)40,60内的人数，分别表示出随机试验和事件所含的样本点，利用古典概型概率公式计算即得.【小问1详解】由频率分布直方图可得，(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=，解得，0.006a =；这50名学生的物理成绩的平均数为：0.04450.06550.22650.28750.22850.189576.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由频率分布直方图可知，成绩在[)40,60内的学生有50(0.040.06)5⨯+=人，其中[40,50)内有2人，设为,a b ，[50,60)内有3人，设为,,x y z ，“从成绩在[)40,60内的学生中随机抽取2人”对应的样本空间为：{,,,,,,,,,}ab ax ay az bx by bz xy xz yz Ω=，而事件A =“2人成绩都在[)50,60内”={,,}xy xz yz ，由古典概型概率公式可得，3()10P A =.即这2人成绩都在[)50,60内的概率为310.17.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，π3ABC ∠=，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，AC 交EF 于点G .（1）求证：平面PEF ⊥平面PAG ；（2）求点B 到平面PEF 的距离.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）先证明EF ⊥平面PAG ，再根据面面垂直的判定定理即可得证；（2）由体积相等P BEF B PEF V V --=，分别计算BEF S 和PEF S △，代入计算即得.【小问1详解】因E ，F 分别为BC ，CD 的中点，则//EF BD ，又四边形ABCD 是菱形，则BD AC ⊥，故EFAC ⊥，因PA ⊥平面ABCD ，EF ⊂平面ABCD ，故PA EF ⊥，又,,PA AC A PA AC ⋂=⊂平面PAG ，故EF ⊥平面PAG ，因EF ⊂平面PEF ，故平面PEF ⊥平面PAG .【小问2详解】如图，连接,,,PB BF AE AF ，设点B 到平面PEF 的距离为d .在菱形ABCD 中，π3ABC ∠=，则4,43AC BD ==，BEF △的面积为111143232442BEFBFC BCD S S S ===⨯⨯⨯= 因3432AE AF ===，则222(23)4PE PF ==+=，1232EF BD ==故PEF !的面积为221234(3)392PEF S =⨯-= 由P BEF B PEF V V --=可得，11323933d =⨯，解得21313d =，即点B 到平面PEF 的距离为21313.18.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos 3sin a C a C b c +=+．（1）求A ；（2）若ABC 为锐角三角形，且43b c +=，求a 的取值范围．【答案】（1）π3A =（2）)23,4⎡⎣．【解析】【分析】（13cos 1A A -=，再利用辅助角公式可得π3A =；（2）利用正弦定理可得23πsin 6a B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再由ππ62B <<并利用三角函数单调性可求得a 的取值范围．【小问1详解】因为cos 3sin a C a C b c +=+，由正弦定理得()sin cos 3sin sin sin sin sin sin A C A C B C A C C +=+=++，sin cos cos sin sin A C A C C =++，sin cos sin sin A C A C C -=，因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，cos 1A A -=，即π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以π1sin 62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为()0,πA ∈，所以ππ5π666A -<-<，即ππ66A -=，可得π3A =．【小问2详解】由正弦定理得sin sin sin a b c A B C==，即sin sin sin a b c A B C+=+，且π,3A b c =+=所以()sin 66232πππsin sin 31sin sin sin 36622b c Aa B CB B B B +====+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．因为ABC 为锐角三角形，π2ππ0,0232B C B <<<=-<，所以ππ62B <<，所以ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即πsin ,162B ⎛⎤⎛⎫+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦．可得)a ⎡∈⎣，即a 的取值范围为)4⎡⎣．19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，120C =︒，将ABC 分别以AB ，BC ，AC 所在的直线为旋转轴旋转一周，得到三个旋转体1Ω，2Ω，3Ω，设1Ω，2Ω，3Ω的体积分别为1V ，2V ，3V .（1）若2a =，3b =，求1Ω的表面积S ；（2）若123V y V V =+，求y 的最大值.【答案】（1）1557π19（2）6【解析】【分析】（1）作出旋转体1Ω，其表面积即两个圆锥侧面积的和，利用余弦定理求出AB ，继而求得底面圆半径1r ，代入公式计算即得；（2）由（1）类似过程求得AB 和1r ，计算出其体积1V ，作出旋转体2Ω，是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体，求出底面圆半径2r ，间接法求出23,V V ,代入所求式，运用换元法、基本不等式和二次函数的单调性即可求得函数最大值.【小问1详解】如图1，把ABC 以直线AB 为旋转轴旋转一周得到旋转体1Ω，它是由两个同底面圆的圆锥11,AO BO 拼成的组合体，其表面积即两个圆锥的侧面积的和.因2a =，3b =，120C =︒，由余弦定理，22212cos12094232()192AB AC BC AC BC =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，可得，AB =因11AO CO ⊥,设底面圆半径为1r，由11123sin12022ABC S r =⨯⨯⨯=解得，119r =，于是，13571557π()5ππ1919S r b a =⨯+=⨯=；【小问2详解】由（1）可得，222222212cos1202()2AB AC BC AC BC a b ab a b ab =+-⋅=+-⨯⨯-=++，即AB =，底面圆半径为111sin120212ab r O C ===于是，22221111ππ33V r AB=⨯=⨯⨯如图2，把ABC以直线BC为旋转轴旋转一周得到旋转体2Ω,它是由两个同底面圆的大圆锥去掉小圆锥组成的组合体.设底面圆半径为22AO r=，因120ACB∠= ,易得23602120602ACO-⨯∠==，则23sin602r b== ，于是，22222113πππ)3324V r BC a ab=⨯=⨯=，同理可得23π4V a b=，于是，2212223ππ44VyV V ab a b==++=设222a btab+=≥，当且仅当a b=时等号成立，则y==，因2t≥时，函数231()24t+-单调递增，故231(1224t+-≥，则0y<≤即a b=时，max6y=.【点睛】思路点睛：本题主要考查旋转体的表面积求法和与其体积有关的函数的最值求法，属于难题.解题思路是作出旋转体的图形，理解其组成，正确求出底面半径、高，母线长等关键量，代入公式，整理后，运用换元，利用基本不等式和函数的单调性求其最值.。
云南省大理白族自治州2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学含答案
2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（答案在最后）（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.22.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}3.已知向量()4,3a = ，则与向量a 同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C .若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15C.113-D.1136.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.D.28.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为110.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B <C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28mB.当2m x =时，正四棱锥的体积为3m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x xg x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()11f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF⋅的最小值及此时OB 的大小.2023~2024学年下学期大理州普通高中质量监测高一数学试卷（全卷四个大题，共19个小题，共4页；满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号等在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的相关信息，在规定的位置贴好条形码.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.非选择题用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共58分）一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数()32i iz =-，则z =（）A.25B.5C.D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再计算其模.【详解】因为()232i i 2i 3i 23i z =-=-+=+，所以z ==故选：C.2.设全集U =R ，集合{}{}13,0,1,2,3,4,5A x x B =-<≤=，则()U B A ⋂=ð（）A.{4,5}B.{0,4,5}C.{3,4,5}D.{0,1,3,4,5}【答案】A 【解析】【分析】先利用补集的概念求出U A ð，然后利用交集运算求解即可.【详解】由{}13A x x =-<≤可得{1U A x x =≤-ð或3}x >，又{}0,1,2,3,4,5B =，所以(){}4,5U A B ⋂=ð.故选：A.3.已知向量()4,3a = ，则与向量a同向的单位向量的坐标为（）A.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭B.43,55⎛⎫⎪⎝⎭C.43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】由向量a 的坐标除以向量a 的模，可得与向量a同向的单位向量的坐标.【详解】向量()4,3a =，5a = ，所以与向量a同向的单位向量为43,55a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：B4.设l 是直线，α，β是两个不同平面，则下面命题中正确的是（）A.若//l α，l //β，则//αβB.若//l α，l β⊥，则αβ⊥C.若l β⊥，αβ⊥，则//l αD.若//l α，αβ⊥，则l β⊥【答案】B 【解析】【分析】由线面平行，线面垂直，面面平行，面面垂直的性质逐项判断即可；【详解】A ：若//l α，l //β，则//αβ或相交，故A 错误；B ：若//l α，l β⊥，由线面平行和垂直的性质可得αβ⊥，故B 正确；C ：若l β⊥，αβ⊥，则//l α或l ⊂α，故C 错误；D ：若//l α，αβ⊥，则,l β相交或l //β或l β⊂，故D 错误；故选：B.5.已知5sin cos θθ=，则23sin sin cos θθθ-=（）A.15-B.15 C.113-D.113【答案】C 【解析】【分析】首先求出tan θ，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.【详解】因为5sin cos θθ=，显然cos 0θ≠，所以sin 1tan cos 5θθθ==，所以2222223sin sin cos 3tan tan 3sin sin cos sin cos tan 1θθθθθθθθθθθ---==++221135513151⎛⎫⨯-⎪⎝⎭==⎛⎫+ -⎪⎝⎭.故选：C6.抛掷一枚质地均匀的硬币n 次，记事件A =“n 次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B =“n 次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（）A.当2n =时，()12P A =B.当2n =时，()34P B =C.当3n =时，()34P A =D.当4n =时，()34P A =【答案】D 【解析】【分析】分2n =和3,4n n ==的情况分别考虑四个选项.【详解】当2n =时，A 表示一正一反，故()1112222P A =⨯⨯=，故A 正确；B 表示两个正面，此时()()11311224P B P B =-=-⨯=，故B 正确；当3n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()11111222234P A P A =-=-⨯⨯⨯=，故C 正确；当4n =时，A 表示既有正面朝上又有反面朝上，故()()1111112282227P A P A =-=-⨯⨯⨯⨯=，故D 错误.故选：D.7.如图，在ABC 中，点O 是BC 边的中点，过点O 的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,M N .设,AB mAM AC nAN ==，则mn 的最大值为（）A.12B.1C.2D.2【答案】B 【解析】【分析】根据三点,,O M N 共线求得,m n 的等量关系式，结合基本不等式求得mn 的最大值.【详解】根据题意，1,2BO OC BO BC =∴=，所以1111(),2222AO AB BO AB BC AB BA AC AB AC =+=+=++=+ 又,AB mAM AC nAN ==，所以,1122AO mAM nAN =+ 因为三点,,O M N 共线，所以122m n+=，即2m n +=，由图可知，0,0m n >>，所以2=+≥m n mn ，当且仅当1m n ==时取等号，所以1,mn mn ≤的最大值为1.故选：B.8.设函数()f x 的定义域为,(1)2y f x =-+R 为奇函数，(2)y f x =-为偶函数，若(2024)5f =-，则(2)f -=（）A.1B.1- C.0D.3-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用奇偶函数的定义，结合赋值法思想求出函数()f x 的周期即可求出(2)f -.【详解】由函数(1)2y f x =-+是R 上的奇函数，得(1)2(1)2f x f x --+=---，即(1)(1)4f x f x --+-=-，则(2)()4f x f x --+=-，由(2)y f x =-为偶函数，得(2)(2)f x f x --=-，于是(2)()4f x f x -+=-，显然有()(2)4f x f x ++=-，因此(2)(2)f x f x +=-，即(4)()f x f x +=，函数()f x 的周期为4，由(2024)5f =-，得(0)5f =-，又(2)(0)4f f -+=-，所以(2)4(0)1f f -=--=.故选：A【点睛】方法点睛：抽象函数的奇偶性、对称性、周期性常有以下结论①()()()f x a f b x f x +=-⇒关于2a bx +=轴对称，②()()()2f x a f b x c f x ++-=⇒关于,2a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，③()()()f x a f x b f x +=+⇒的一个周期为T a b =-，④()()()f x a f x b f x +=-+⇒的一个周期为2T a b =-.二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.设函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π6x =对称C.()f x 的一个零点为π6x =-D.()f x 的最大值为1【答案】AC 【解析】【分析】根据()()sin f x A x ωϕ=+的性质逐一判断即可.【详解】2ππ2T ==，故A 正确；2π2sin 63f π⎛⎫== ⎪⎝⎭π6x =不是对称轴，故B 错误；π2sin 006f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，所以π6x =-是()f x 的一个零点，故C 正确；因为振幅2A =，所以()f x 的最大值为2，故D 错误.故选：AC.10.已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则下列结论正确的是（）A.若A B >，则a b>B.若sin sin A B >，则cos cos A B<C.若ABC 是锐角三角形，则222a b c +<D.若sin cos sin cos A A B B =，则ABC 是等腰三角形【答案】AB【解析】【分析】根据大角对大边判断A ，由正弦定理及余弦函数的性质判断B ，利用余弦定理判断C ，利用二倍角公式判断D.【详解】对于A ：因为A B >，根据大角对大边可得a b >，故A 正确；对于B ：因为sin sin A B >，由正弦定理可得a b >，所以A B >，由cos y x =在()0,π上单调递减，所以cos cos A B <，故B 正确；对于C ：若ABC 是锐角三角形，则222cos 02a b c C ab+-=>，所以222a b c +>，故C 错误；对于D ：若sin cos sin cos A A B B =，则sin2sin2A B =，又(),0,πA B ∈，所以()2,20,2πA B ∈，所以22A B =或2π2A B =-，所以A B =或π2A B +=，所以ABC 是等腰三角形或直角三角形，故D 错误.故选：AB11.如图，一块边长为4m 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，下列说法正确的是（）A.当2m x =时，正四棱锥的侧面积为28m B.当2m x =时，正四棱锥的体积为343m 3C.当2m x =时，正四棱锥的外接球半径为3m 6D.当2m x =时，若加装正方形的底盖，则在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径是3m 2【答案】ABC【解析】【分析】画出正四棱锥P ABCD -，对于A ，四棱锥的侧面积为4PBC S ，对于B ，求出四棱锥的高PG ，可求出其体积，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，由22OP OA OG AG ==+可求出外接球的半径，对于D ，利用等体积法可求出正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径.【详解】用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器如图所示为正四棱锥P ABCD -，对于A ，当2x =时，则2AB BC CD AD ====，设E 为BC 的中点，连接PE ，则,2PE BC PE ⊥=，所以四棱锥的侧面积为2144228m 2PBC S =⨯⨯⨯= ，所以A 正确，对于B ，设AC BD G ⋂=，连接,PG GE ，则PG ⊥平面ABCD ，1GE =，所以22413PG PE GE =-=-=所以四棱锥P ABCD -的体积为31122m 333ABCD S PG ⋅=⨯⨯=正方形，所以B 正确，对于C ，设正四棱锥的外接球的球心为O ，则O 在PG 上，连接OA ，设外接的半径为R ，则,,OA OP R OG R AG ====在Rt OAG △中，222OA OG AG =+，所以)222R R =-+，解得m 6R =，所以C 正确，对于D ，设在封闭的正四棱锥容器内所能装下最大的球的半径为r ，则此球与正四棱锥的每一个面都相切，则11(4)33PBC ABCD ABCD S S r S PG +=⋅ 正方形正方形，所以1(4224)2r ⨯⨯⨯+=，解得m 3r =，所以D 错误，故选：ABC第II 卷（非选择题，共92分）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.设向量()()1,2,,1a b m =-= ，若向量2a b + 与2a b - 平行，则m =__________.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】分别求出向量2,2a b a b +- 的坐标，进而根据平面向量平行的坐标运算即可求出m 的值；【详解】因为向量()()1,2,,1,2(12,4),2(2,3)a b m a b m a b m =-=+=-+-=-- ，若向量2a b + 与2a b -平行，所以0(12)3(2)4m m ---+-⨯=⨯，解得12m =-.故答案为：12-.13.平均数､中位数和众数都是刻画一组数据的集中趋势的信息，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在下图分布形态中，,,a b c 分别对应这组数据的中位数､平均数和众数，则,,a b c 的大小关系为__________.【答案】c a b<<【解析】【分析】利用数据往右拖尾，即平均数大于中位数，再利用众数是用最高矩形的中点值来估计，可以判断众数小于中位数，这样即可作出判断.【详解】根据直方图矩形高低以及数据的分布趋势判断，可得出结论：众数是最高矩形的中点横坐标，因此众数在第二列的中点处.因为直方图第一、二、三、四列高矩形较多，且在右边拖尾低矩形有三列，所以中位数大于众数，右边拖尾的有三列，所以平均数大于中位数，因此有c a b <<.故答案为：c a b <<.14.周末，小华到崇圣寺三塔景区进行研学活动，他准备测量主塔——千寻塔的高度.如图，小华身高1.7米，他站的地点A 和千寻塔塔底O 在同一水平线上，他直立时，测得塔顶M 的仰角23MCE ∠= （点E 在线段MO 上，CE MO ⊥.忽略眼睛到头顶之间的距离，下同）.他沿线段AO 向塔前进100米到达点B ，在点B 直立时，测得塔顶M 的仰角48MDE ∠= ，则可求得塔高MO 为__________米（参考数据sin23sin48sin25⎛⎫= ⎪⎝⎭0.68）；若塔顶端包含一个塔尖MN ，且MN 约8米，小华在线段AO 间走动到点P 时，他直立看塔尖MN 的视角最大（即MQN ∠最大），则此时他距离塔身的距离（即QE ）为__________米.【答案】①.69.7②.【解析】【分析】根据题意在DMC 中，由正弦定理可求CM 的值，进而求解ME 的值，即可根据MO ME OE =+即可计算MO ；设QE x =，利用两角差的正切公式，基本不等式可求tan MQN ∠的最大值，即可求解.【详解】因为23MCE ∠= ，48MDE ∠= ，所以25DMC ∠= ，在DMC 中，100m CD =，由正弦定理得，()100sin sin sin 25sin 180CD CM CM DMC CDM MDE ︒︒=⇒=∠∠-∠，所以()100sin 18048100sin 48sin 25sin 25CM ︒︒︒︒︒-==，100sin 48sin 23sin 1000.6868m sin 25ME CM MCE ︒︒︒⋅∴=∠==⨯=， 1.7m OE =所以68 1.769.7MO ME OE =+=+=.因为8MN =，所以60NE =，设()m QE x =，68tan ME MQE x x ∠==，60tan NE NQE x x∠==，所以()tan tan tan tan 1tan tan MQE NQE MQN MQE NQE MQE NQE ∠-∠∠=∠-∠==+∠⋅∠68608686068601x x x x x x -=≤⨯+⋅+，当且仅当6860x x ⨯=，即x =时，MQN ∠最大，所以QE =.故答案为：69.7；.四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某校全体学生参加消防安全知识竞赛，其成绩全部在60分至100分之间.将数据分成4组：[)[)[)[]60,70,70,80,80,90,90,100，并整理得到如下频率分布直方图：（1）现需了解学生消防安全知识的实际运用水平，用按比例分配的分层随机抽样方法抽取40名学生进行现场问答，则每个区间分别应抽取多少名学生；（2）现需根据学生知识竞赛成绩制定评价标准，评定成绩较高的前20%的学生为优秀，成绩在平均分及其以上但达不到优秀的学生为良好，请根据频率分布直方图估计良好的最低分数线和优秀的最低分数线.（精确到0.1).【答案】（1）区间[60,70)中应抽4人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人（2）良好的最低分数线84.5分，优秀的最低分数线为93.3分【解析】【分析】（1）根据分层抽样按比例得出每个区间分别抽取学生人数；（2）利用平均数和概率公式计算良好的最低分数线和优秀的最低分数线.【小问1详解】依题意，设四个区间人数依次为：a b c d ,,,，则:::2:3:9:6a b c d =所以区间[60,70)中应抽24042396⨯=+++人，区间[70,80]中应抽6人，[80,90)中应抽18人，区间[90,100]中应抽12人.【小问2详解】平均分为0.0110650.01510750.04510850.03109584.5⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，所以良好的最低分数线84.5分由频率分布直方图易得，[]90,100的频率为0.03100.3⨯=，所以成绩优秀的最低分数线落在区间[]90,100中，不妨记为0x ，故()01000.030.2x -⨯=，解得093.3x ≈，所以成绩优秀的最低分数线为93.3分16.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且__________.从以下条件中选择一个填入横线后再解答.①222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=；②()2sin cos cos 2sin sin sin sin A B C B C A B C -=+.（1）求角A ；（2）若6,a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）2π3（2）【解析】【分析】（1）若选①，则利用正弦统一成边的形式，再利用余弦定理可求得答案；若选②，利用三角函数恒等变换公式化简可求得答案；（2）对b c +=bc ，从而可求出三角形的面积.【小问1详解】选①，由222sin sin sin sin sin 0A B C B C ---=，得：222b c bc a ++=，所以222b c a bc +-=-，由余弦定理2221cos 222b c a bc A bc bc +--===-，又0πA <<，所以2π3A =.选②，由2sin cos cos 2sin sin sin sin()ABC B C A B C -=+，得2sin (cos cos sin sin )sin A B C B C A -=，所以2sin cos()sin A B C A +=，因为sin 0A ≠，所以1cos()2B C +=，所以1cos 2A =-，又0πA <<，所以2π3A =.【小问2详解】因为222()248b c b c bc +=++=，所以22482b c bc +=-，因为2π3A =，所以由余弦定理得222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，所以2236bc b c -=+，所以48236bc bc -=-，故12bc =，所以11sin 12222ABC S bc A ==⨯⨯= 17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，4,,SA SB E F ==分别是,SC BD 的中点，平面SAB ⊥平面ABD .（1）求证：EF //平面SAB ；（2）求直线SA 与BD 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）只需由中位线定理证明//EF SA ，再结合线面平行的判定定理即可得解；（2）通过平行的传递性将原问题转换为：求EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角的余弦值，再结合解三角形相关知识进行求解即可.【小问1详解】如图，因为点F 是正方形ABCD 的对角线BD 的中点，所以,,A F C 三点共线，连结AC ，点F 是对角线,AC BD 的交点，所以F 是AC 的中点，因为E 是SC 的中点，所以//EF SA ，又因为EF ⊄平面SAB ，SA ⊂平面SAB ，所以EF //平面SAB ，【小问2详解】连结BE ，由于平面SAB ⊥平面ABCD ，且平面SAB 平面ABCD AB =，BC AB ⊥，且BC ⊂平面ABCD ，所以BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，所以BC SB ⊥，又因为4,2SB BC ==，所以SC =，则12BE SC ==又122EF SA ==，12BF BD ==，异面直线SA 与BD 所成的角为EF 与BD 所成的角即为BFE ∠或其补角，在BEF △中，222cos28BF EF BE BFE BF EF +-∠==⨯⨯，所以异面直线SA 与BD 所成角的余弦值为8.18.已知函数()()e e 2x x f x x --=∈R ，函数()()e e 2x x g x x -+=∈R .（1）试判断函数()f x 的奇偶性与单调性（不需证明，写出结论即可），并根据性质求解关于x 的不等式()()2310f x f x +->；（2）类比同角三角函数的平方关系，研究下列问题①已知()f a =，求()g a 的值；②()()2,[]3x f x m g x ∈-⋅>-R 恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，在R 上为增函数；1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）①m <.【解析】【分析】（1）由奇偶性与单调性的性质即可解出不等式；（2）①观察函数()f x 和()g x 的结构，结合题干提示，计算()()22g x f x ⎡⎤⎡⎤-⎣⎦⎣⎦的值，从而得到()f x 和()g x 的关系式，继而求出()g a 的值；②利用①小问中()f x 和()g x 的关系式，将题干不等式转化为关于()g x 的不等式.结合()g x 的定义和基本不等式得到m 的取值范围.【小问1详解】由题意可知，()f x 的定义域为R ，定义域关于原点对称，()()e e 2x x f x f x ---==-，所以()f x 为奇函数；因为e x y =在R 上单调递增，e x y -=在R 上单调递减，()f x 在R 上为增函数；由()()2310f x f x +->，所以()()()231=13f x f x f x >---，由于()f x 在R 上单调递增，所以213x x >-，解得15x >，所以x 的解集是1,5∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】①()()222222e 2e e 2e 144x x x xg x f x --++-+⎡⎤⎡⎤-=-=⎣⎦⎣⎦.由()f a =()2[]12g a =，而()0g a >，所以()g a =.②由①可知()()221f x g x ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦，所以()()213g x m g x ⎡⎤--⋅>-⎣⎦，即()()22g x m g x ⎡⎤+>⋅⎣⎦，因为e e 2()122x x g x -+=≥=，当e 1x =即0x =时等号成立，所以()1g x ≥.故()2()g x m g x +>.而()2()g x g x +≥()g x =时等号成立，所以m <.19.如图，设,Ox Oy 是平面内相交成(0π)αα<<的两条射线，21,e e 分别为,Ox Oy 同向的单位向量，若向量12OP xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量在斜坐标系xOy α-中的坐标，记为(),OP x y = .（1）在斜坐标系π3xOy -中，()2,3OM = ，求OM ；（2）在斜坐标系xOy α-中，()()2,1,1,1OP OQ ==- ，且OP 与OQ 的夹角π3θ=.①求α；②,A B 分别在射线,Ox Oy 上，3,,AB E F =为线段AB 上两点，且16AE AB = ，12AF AB = ，求OE OF ⋅ 的最小值及此时OB 的大小.【答案】（1（2）①2π3②最小值为154-，OB =【解析】【分析】（1）由向量数量积的定义以及运算律直接运算即可求解；（2）①分别得出OP =，OQ = ，121e e OP OQ ⋅=-⋅ ，然后列方程求解即可；②得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，即可求解.【小问1详解】因为()2,3OM = ，则1223OM e e =+ ，2212112222(23)412913619e e e e e OM e =+=++=+⋅= ，所以OM = ；【小问2详解】①因为()122,12OP e e ==+ ，()121,1OQ e e =-=-，OP =，OQ = ，()()121212*********OP OQ e e e e e e e e e e ⋅=+⋅-=--⋅+⋅=-⋅ ，则1cos 2OP OQ OP OQθ⋅== ，化简并整理得()21212210e e e e ⋅-⋅-= ，解得121cos 2e e α=-⋅= 或12cos 1e e α==⋅ （舍去，因为0πα<<），则2π3α=；②依题意设1OA me = ，2OB ne =，因为F 为AB 中点，则1211112222OF OA OB me ne =+=+ ，同理()1211516666OE OA AE OA AB OA AO OB me ne =+=+=++=+ ，则()()22222212121156531212OE OF m e n e mne e m n mn ⋅=++⋅=+- ，在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，依据余弦定理得229m n mn +-=-，所以()()2222119842721234OE OF m n m n ⋅=+-=+- 在OAB 中，2π,33AOB AB ∠==，由正弦定理32πsin sin sin 3OA OB OBA OAB ==∠∠，设OAB β∠=，则OB n β==，π3OA m β⎛⎫==- ⎪⎝⎭，2222π2π1cos 22122sin sin 121cos 2332m n ββββ⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎛⎫+=-+=⨯-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦312sin 222β⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，π03β⎛⎫<< ⎪⎝⎭，所以，当π4β=时，222m n +取最小值18-OE OF ⋅取最小值154-，OB n β===.【点睛】关键点点睛：第（2）问②的关键是得出()2219234OE OF m n ⋅=+- ，再结合正弦定理、余弦定理得出222m n +的最小值以及何时取最小值，由此即可顺利得解.。
东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)
东北师大附中2023-2024学年下学期高（一）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1．答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数i 12i z ⋅=+，则z =（ ）A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+， 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选：D.2.已知两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面α，β，下列四个命题中正确的为（ ）A.若//m α，//n α，则//m n B.若//m n ，m α⊂，则//n α C.若//m α，//m β，则αβ∥ D.若//m α，m β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ，若//m α，//n α，则,m n 可能相交，故A 错误；对于B ，若//m n ，m α⊂，则可能n ⊂α，故B 错误；对于C ，若//m α，//m β，则可能αβ⊥，故C 错误； 对于D ，若//m α，在平面α内能找到直线a ，使得//a m ， 由m β⊥，可得a β⊥，又因为a α⊂，则αβ⊥，故D 正确. 故选：D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105，90，104，106，95，这位同学五次数学成绩的方差为（ ） A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得：数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=， 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选：B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且AB AC ⊥，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是（ ）A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠（或其补角）,再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M ， 连接,,,GI HI IM GH ，因为11//,//A B GI HG AC ，所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角，即HGI ∠（或其补角）， 设1222AA AB AC ===，由AB AC ⊥，所以BC ==MI =HIHG GB==，所以由余弦定理可得：22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选：A.5. 数据1，2，5，4，8，10，6的第60百分位数是（）A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列，然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为：1，2，4，5，6，8，10，因为760% 4.2×=，所以第60百分位数是第5个数6.故选：C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3，高为1，则圆台的表面积为（）A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长，再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l，则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选：C7. 某学校高一年级学生有900人，其中男生500人，女生400人，为了获得该校高一全体学生的身高信息，现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本，经计算得男生样本的均值为170，女生样本的均值为161，则抽取的样本的均值为是（ ） A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式，代入数据即可求得； 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值， 由题意可得：170,161xy =，500,400m n ==， 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选：B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则a 的最大值为（ ） A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，表示出,AO PO ，然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1，因为正四面体可以在正方体内任意转动，所以只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1，设正四面体为−P ABC ，过P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，O 为底面正ABC 的中心，则23AO =，体高为PO ，由于外接球半径为1，利用勾股定理得：2211 −+=，解得a =或0a =(舍)， 故选：B二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分或4分，有选错的得0分．9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况，从800位员工中抽取了100名员工进行调查，根据这100人的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图．则（ ）A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，根据各组的频率和为1可求出a ，对于B ，利用平均数的定义求解判断，对于C ，先判断中位数的位置，然后列方程求解即可，对于D ，根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率，再乘以800进行判断.【详解】对于A ，由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=， 解得0.018a =，所以A 正确，对于B ，员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时，所以B 错误，对于C ，因为前2组的频率和为0.200.5<，前3组的频率和为0.550.5>，所以中位数在第3组，设中位数为m ，则0.200.035(40)0.5m +−=， 解得48.6m ≈，所以C 正确，对于D ，因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=， 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人，所以D 错误. 故选：AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2，G 为正六边形边上的动点，则AD BG ⋅的值可能为（ ） A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积，得到AD BG ⋅的最小值和最大值，得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ，由正六边形的几何性质，BF ⊥AD ，60FAO ∠=°， 正六边形ABCDEF 的边长为2，故sin 301AO AF =°=，24AD EF ==， 故413OD =−=，故点B 在AD 上的投影为O ，当点G 与点D 重合时，此时BG 的投影向量为OD ，OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值，最大值为4312AD OD ⋅=×=，故当G 与A 重合时，BG的投影向量为OA ，OA 与AD 方向相反，此时AD BG ⋅取得最小值，最小值为4OA AD −⋅=−，故[]4,12AD BG ⋅∈−，ABC 正确，D 错误.故选：ABC11. 如图，正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −，2BD =．若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，且M ，B ，D ，E 四点共面，点M ，E 分别位于BD 两侧，则（ ）A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，先作出图形，取BD 中点P ，证明BD ⊥平面ACP ，即可得到BD MN ⊥；对于B ，分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ，可推得//MN CE ，排除B ；对于C,先求得cos MPO ∠，再由余弦定理即可求得MC ，对于D ，只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图，取BD 中点P ，连接,AP CP ,依题意，,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ，因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转，使得点A ，C 分别旋转至点M ，N 处，故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ，故BD MN ⊥即A 正确； 对于B，因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知，CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得，CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意，因M ，B ，D ，E 四点共面，故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误； 对于C ，设连接AE ，交CP 于点O ，则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线，可得cos MPO ∠, 在MPC中，由余弦定理，MC ==故C 正确；对于D ，因点C 与点A 是同时旋转，故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比， 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选：ACD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题，属于难题.问题的关键在于，正确作出图形，理解旋转前后的变与不变的量，通过线面关系的推理与证明，即可得到线面关系，借助于正、余弦定理进行相关计算，即可解决.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数112z =−+，复数2z 满足123z z −=，则2z 的最小值为________． 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈，代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=，则点(,)a b在以12 − 为圆心，3为半径的圆上，从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈，因为112z =−，123z z −=，所以1i 32a b −+−−=，所以22192a b++−=，所以点(,)a b 在以12 −为圆心，3为半径的圆上，所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为：213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1，E ，F 分别为AB ，1BD 的中点，点M 在正方体的表面上运动，且满足FM DE ⊥，则点M 轨迹的长度为________．【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中，棱长为1，以D 为坐标原点，分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ，则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− ， ∵DE FM ⊥，∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=，当0y =时，34x =，当1y =时，14x =，取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ，连结,,,GH HR RT TG ，则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ，∴四边形GHRT 为矩形， 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ，1100102DE TG ⋅×+×+× ，即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线，∴DE ⊥平面GHRT ，又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ，又F 为1BD 的中点，则F ∈平面GHRT ， 为使DE FM ⊥，必有点M ∈平面GHRT ，又点M 在正方体表面上运动，所以点M 的轨迹为四边形GHRT ，因为1GH RT TG RH ，则点M 的轨迹不是正方形，则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为：2.14. 有两个相同的直三棱柱，高为2，底面三角形的三边长分别为3,4,5．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，拼成的几何体的表面积最小值是________． 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积，再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −，如图所示：当拼成一个三棱柱时，表面积有三种情况： ①上下底面对接，其表面积为()112343454602S =×××+++×=；②边长为3的边合在一起时，表面积为()2122342542602S =××××++×=； ③边长为4的边合在一起时，表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时，有四种情况，如图④、⑤、⑥、⑦：图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=， 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=，图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=， 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述，拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为：52.四、解答题：本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，120B =°．（1）若1a =，b =，求A ；（2）若b =，求ABC 周长的最大值．【答案】（1）30A =°（2）4+【解析】【分析】（1）利用正弦定理直接求解；（2）根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤，从而可求出ABC 周长的最大值．【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=，解得1sin 2A =， 因为B 为钝角，所以30A =°．【小问2详解】解：由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−， 又由0a >，0c >，则22a c ac + ≤， 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ ， 所以4a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立，即a c +的最大值为4，所以ABC 周长的最大值为4+．16. 在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AD ∥BC ，2PA AB AD ===，1BC =，E 为PD 中点．（1）求证：CE ∥平面P AB ；（2）求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 中点G ，根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ，结合面面平行的性质分析证明； （2）根据题意可证CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角，即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ，连接EG ，CG ，因为E 、G 分别为PD 、AD 中点，则EG ∥PA ，112EG PA ==， 且PA ⊂平面P AB ，EG ⊄平面P AB ，可得EG ∥平面P AB ，由题意可知：BC ∥AG ，且BC AG =，可知ABCG 为平行四边形，则AB ∥CG ，2AB CG ==，且AB ⊂平面P AB ，CG ⊄平面P AB ，可得CG ∥平面P AB ，且CG EG G ∩=，,CG EG ⊂平面ECG ，所以平面ECG ∥平面P AB ，又因为EC ⊂平面ECG ，所以CE ∥平面P AB ．【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥，PA AD A ∩=，,PA AD ⊂平面P AD ，可得AB ⊥平面P AD ，由（1）可知：AB ∥CG ，则CG ⊥平面P AD ，可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角，在直角三角形CEG 中，由（1）可知：2,1,CG EG CE ====，则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流．（1）应抽取小吃类商家多少家？（2）在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示．①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数；②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．【答案】（1）28家 （2）① 487.5元；②280【解析】【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可；（2）①先根据频率和为1求出a ，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知：应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家； 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=，解得0.004a =， 设75百分位数为x ，因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<，(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75，所以()4500.0040.60.75x −×+=，解得487.5x =， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280．18. 如图，已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2，M 分别为棱1BB 的中点．（1）证明：1AC D M ⊥；（2）求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值．（要求用几何法解答）【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）连接BD ，则AC BD ⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ，从而可证得结论； （2）延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明：连接BD ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1DD BD D = ，1,DD BD ⊂平面1BDD ，所以AC ⊥平面1BDD ，因为1D M ⊂平面1BDD ，所以1AC D M ⊥．【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ，则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线，过点M ，作MN AE ⊥，垂足为N ，连接BN ，因为BM ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以BM AE ⊥，因为BM MN M = ，,BM MN ⊂BMN ，所以⊥AE 平面BMN ，因为BN ⊂平面BMN ，所以AE BN ⊥，所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，因为BM ∥1DD ，所以MBE △∽1D DE △， 所以112MB BE D D DE ==，所以BE BD == 在ABE 中，2AB =，BE =，135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=，所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅，所以11222BN ××°=×，所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23．19.定义：球的直径的两个端点称为球的一对对径点；过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆；对于球面上不在同一个大圆上的点A ，B ，C ，过任意两点的大圆上的劣弧AB ，劣弧BC ，劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ，记其面积为ABC S 球面△．易知：球的任意两个大圆均可交于一对对径点，如图1的A ，A ′；若球面上A ，B ，C 的对径点分别为A ′，B ′，C ′，则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等，如图2．已知球O 的半径为R ，圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α，圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β，圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ．记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面．（1）请写出()πS ，π2S ，π4S的值，并猜测函数()S α的表达式； （2）求ABC S 球面△（用α，β，γ，R 表示）．【答案】（1）()2π4πS R =，2π2π2S R = ，2ππ4S R =；猜测2()4S R αα= （2）()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】（1）结合图形理解题意，根据()S α的计算公式，分别求出()πS ，π2S，π4S ，并按照规律猜出()S α的表达式即得；（2）分别计算,,S S S αβγ并相加，利用八块球面拼接成一个球面，以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，将其化简，代入（1）猜测的公式，即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=， 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ，22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= ． 猜测2()4S R αα=．【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面，所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面，即()2πABC S R αβγ++− 球面．【点睛】思路点睛：本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题，属于难题.解题思路，即是结合图形，充分理解题意，正确列出关系式，并根据图形进行表面积合并整理，即可求得.。
广东省肇庆市2023-2024学年高一下学期期末教学质量检测数学试题(解析版)
肇庆市2023—2024学年第二学期高一年级期末教学质量检测数学注意事项：1．本试卷共150分，考试时间120分钟.2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知样本空间{}1,2,3,4Ω=，事件{}1,2A =，{}2,3B =，则()P A B =（ ）A.34B.12C.14 D.16【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由概率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为{}1,2,3,4Ω=，且事件{}1,2A =，{}2,3B =，则{}1,2,3A B = ，所以()34P A B ∪=. 故选：A2.若向量()1,7a =−，则下列与向量a垂直的向量是（ ）A.()1,7− B.()1,7 C.()7,1 D.()7,1−【答案】C 【解析】【分析】根据数量积的坐标表示判断即可.【详解】对于A ：()()1177500×−+×−=−≠，故A 错误；对于B ：()1177480×+×−=−≠，故B 错误；对于C ：()17170×+×−=，故C 正确；对于D ：()()1717140×−+×−=−≠，故D 错误. 故选：C3. 某射手射靶5次，命中的环数分别为5，6，9，8，7，则命中环数的方差为（ ） A. 2 B. 2.2 C. 3 D. 7【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由方差的计算公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，命中的环数的平均数为()15698775++++=， 则方差为()()()()()222221576797877725 −+−+−+−+−=. 故选：A4. 欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ）建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知2i 3e π在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2πi 31e2=−，可得结论.【详解】由欧拉公式i e cos isin x x x =+（e 为自然对数的底，i 是虚数单位，x ∈R ），可得2πi 32π2π1ecosisin 332=+=−，所以2i 3eπ在复平面内对应的点1(2−位于第二象限. 故选：B .5. 已知()1tan15tan 1tan15α+°=−°，则tan2α=（ ）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由正切函数的和差角公式可得tan α=，再由正切函数的二倍角公式，代入计算，即可求解.【详解】由()1tan15tan 1tan15α+°=−°可得1tan15tan 45tan15tantan 601tan151tan 45tan15α+°°+°===°=−°−°⋅°，则22tan tan21tan ααα===−.故选：C6. ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2224b a c =+−，4B π=，则ABC 的面积为（ ） A.12B. 1C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理结合三角形面积公式求解三角形的面积即可.【详解】由余弦定理得2222222π42cos 4b ac a c ac a c =+−=+−=+4=，则ac =，则ABCsin 1.B =故选：B7. 将函数()sin cos f x x x =图象上的所有点都向左平移π5个单位长度后，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则（ ）A.()12πsin 25g x x=+ B.()12πsin 425g x x=+ C. ()πsin 5g x x =+D. ()πsin 45g x x =+【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式结合图像变换的知识求解即可.【详解】()112sin cos sin 2,22f x x x x =×=将所有点都向左平移π5个单位长度后,得到.π1π12πsin 2sin 252525f x x x+=+=+， 再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()12πsin 25g x x =+， 故选：A.8. 已知单位圆O 与x 轴正半轴交于点A ，点B 在第二象限且在单位圆上．若13OB OA ⋅=− ，劣弧AB 的中点为C ，则OC =（ ）A.B.C. 23D. 23【答案】A 【解析】【分析】通过单位圆、A 点坐标及13OB OA ⋅=− ，得1(3B −，设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则1cos 2,sin 23αα=−，求出sin ,cos αα即可. 【详解】由题意可知，(1,0)A ，则()1,0OA =，B 在第二象限且在单位圆上，设(,)B a b ，且2210,0a b a b +=，则(),OB a b = ，因为103OB OA a ⋅=+=− ，所以13a =−，即b =，故1(3B −.设OB 与x 正半轴的夹角为2α，则21cos 212sin ,sin 22sin cos 3ααααα=−=−=，因为sin 20α>，且()20,πα∈，则π0,2α∈，所以sin αα=，所以C 点坐标为C ，故OC = . 故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知复数23i z =−，则下列命题为真命题的有（ ） A. z 的虚部为3−B. z =C. 10i z z ⋅=D. 若z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则9p q += 【答案】ABD 【解析】【分析】求得复数的虚部与模可判断AB ，求得10i z ⋅，可判断C ；由已知可得25(123)i 0p q p +−+−−=，可求得p q +判断D.【详解】对于A ：由23i z =−，可得复数z 的虚部为3−，故A 正确；对于B ：z=B 正确；对于C ：242102i (23i)i (23i)2i 3i z z +×==−−−≠+⋅= ，故C 错误；对于D ：因为z 是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根， 所以2(23i)(23i)0p q −+−+=，所以4912i 23i 0p p q −−+−+=， 所以25(123)i 0p q p +−+−−=，所以2501230p q p +−=−−=，解得4,13p q =−=， 所以9p q +=，故D 正确； 故选：ABD.10. 将一枚质地均匀的骰子先后抛掷2次，记事件=i A “第一次向上的点数为i ”()1,2,3,4,5,6i =，j B =“第二次向上的点数为j ”()1,2,3,4,5,6j =，C =“两次向上的点数之和为7”，则（ ）A. ()16i P A =B. ()319P B C =C. 11A B 与22A B 是互斥事件D. 1A 与C 相互独立【答案】ACD 【解析】【分析】由古典概型计算()i P A ，()3P B C ，判断A,B;运用互斥事件概念判断C ；利用独立事件的定义，结合古典概型判断D.【详解】抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)，(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，i A 表示第一次向上出现i 点()1,2,3,4,5,6i =，第二次向上任一点,1()6i P A =()1,2,3,4,5,6i =，则A 正确.3B C 表示第二次向上出现3点且两次向上点数之和不是7，则第一次向上出现不是4,则等价于说第一次出现1,2,3,5,6，第二次向上是3点.满足题意的有(1,3),(2,3),(3,3),(5,3),(6,3)，共5种，则概率为()3536P B C =.故B 错误． 11A B 表示点数组合(1,1)，22A B 表示出现(2,2)，不能同时发生，故11A B 与22A B 是互斥事件，故C 正确．由A 知道，()116P A =,C 表示两次点数之和是7，则C 包含结果数为(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6种 ,则概率61()366P C ==． 1AC 表示第一次出现1点，且两次和为7．满足题意的有(1,6).则11()36P AC =. 故11()()()P AC P A P C =.则1A 与C 相互独立.故D 正确． 故选：ACD.11. 已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>，[]0,πx ∈，对[]0,πx ∀∈都有()m f x M ≤≤，且()f x 的零点有且只有3个.下列选项中正确的有（ ）A. 0M m +=B.ω的取值范围为811,33C. 使()0f x M =的0x 有且只有2个D. 方程()f x =的所有根之和为6π 【答案】AC 【解析】【分析】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω=+=+，始终把3x πω+看做一个整体，借助正弦函数的图象、最值、方程的根来对选项逐一分析即可.【详解】()πsin 2sin()3f x x x x ωωω=+=+，令3t x πω=+，则2sin y t =， 令()0f x =，即sin 0t =，[]0,πx ∈ ，πππ,π333t x ωω∴=+∈+，则()f x 在[]0,π上有3个零点， 则max 3π4πt ≤<，即π3ππ4π3ω≤+<， 解得81133ω≤<，故B 错误； []0,πx ∈ ，πππ,π333x ωω ∴+∈+，则=2,2M m =−，所以0M m +=，故A 正确；若0()2f x M ==，即0πsin()13x ω+=， 0π32x πω+=或0π532x πω+=，故C 正确；()0f =，且()f x 的零点有且只有3个，所以方程()f x =有四个根，从小到大分别为1230,,,x x x .()f x =，即sin t =则112233π2ππ7ππ8π,,333333t x t x t x ωωω=+==+==+=， 则12314π(0)3x x x ω+++=，故12314π03x x x ω+++=，即方程()f x =14π3ω，故D 错误.故选：AC .【点睛】方法点睛：解决ω的取值范围与最值问题主要方法是换元法和卡住ω的大致范围，如本题B 选项，具体方法为：（1）根据x 的范围，求出x ωϕ+的范围； （2）把x ωϕ+看成一个整体，即利用换元法，把sin()y A x ωϕ+变成sin y A t =来降低解决问题的难度，再借助正弦函数的图象，要使()f x 有3个零点，则x ωϕ+的最大值就必须在[3π,4π)之间，列出不等式即可求出ω的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 若()()1i 3i m −+为纯虚数，则实数m =________． 【答案】3− 【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数的类型得到方程（不等式）组，解得即可. 【详解】因为()()()()21i 3i 3i i 3i 33i m m m m m −+=+−−=++−，又()()1i 3i m −+为纯虚数，所以3030m m +=−≠，解得3m =−.故答案为：3−13. 已知函数()cos 2sin f x x x =−，当()f x 取得最大值时，cos x =________．【解析】【分析】利用辅助角公式求解，用已知角表示未知角求解即可. 【详解】()cos 2sin ),f x x x x ϕ=−+其中cos ϕϕ=当()f x 取得最大值时，cos()1,x ϕ+=sin()0,x ϕ+= 所以()()()cos cos cos cos sin sin 1x x x x ϕϕϕϕϕϕ =+−=+++14. 如图，M 到N 的电路中有5个元件1T ，2T ，3T ，4T ，5T ，电流能通过1T ，2T ，3T ，4T 的概率都为0.8，电流能通过5T 的概率为0.9，且电流能否通过各元件相互独立，则电流能在M 与N 之间通过的概率为________．【答案】0.99216 【解析】【分析】先应用独立事件的概率乘法公式，再结合互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】设12345,,,,T T T T T 能通过电流分别为事件12345,,,,A A A A A ,事件相互独立, 设电流能在M 与N 之间通过为事件B, 所以()()()()()()()()()512345110.910.20.210.20.20.10.99216P B P A P A A P A A P A +−−+−××−××.故答案：0.99216.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 某学校教研室为了解高一学生期末考试的数学成绩情况，随机抽取了120个学生，把记录的数学成绩分为5组：[)50,70，[)70,90，[)90,110，[)110,130，[]130,150，并绘制成了频率分布直方图，如图为所示：注：90分及以上为及格．（1）求a 的值，并估计数学成绩的中位数及众数；（2）在样本中，若采用按比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取数学成绩不及格和及格的学生共20人，求及格的学生应抽取多少人．【答案】（1）0.0125a =；中位数102.5；众数100 （2）15 【解析】【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质代入计算，即可求得a ，再由中位数与众数的计算公式代入计算，即可求解；（2）根据题意，由频率分布直方图可得及格的人数，再由分层抽样的公式代入计算，即可得到结果.小问1详解】由频率分布直方图的性质可得，()0.00250.010.020.005201a ++++×=， 解得0.0125a =，设中位数为x ，因为()0.00250.01200.250.5+×=<，()0.00250.010.02200.650.5++×=>，所以中位数在[)90,110范围内，则()()0.00250.0120900.020.5x +×+−×=，解得102.5x =， 则中位数为102.5，再由频率分布直方图可知众数为100. 【小问2详解】由频率分布直方图可知，及格人数为()0.020.01250.0052012090++××=人， 再由分层抽样可得，及格的学生应抽取902015120×=人. 16. 一个不透明的盒中有3个红球，2个白球，5个球除颜色外完全相同． （1）从盒中有放回地摸球，求第一次与第二次摸到的都是红球的概率；【的（2）每次从盒中任取两个球，游戏规则：若都是红球，则放回盒中；若有白球，则将白球换成红球（非盒内，且与原盒中红球相同），再把两个红球放回盒中，白球不放回盒中，直至盒中都是红球，游戏结束．求经过2次抽取后游戏结束的概率． 【答案】（1）925（2）27100【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）首先利用列举法求出取一次球取到两球都是红球的概率，取到一个红球一个白球的概率，取得两球都是白球的概率，再分两种情况讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】设第一次与第二次摸到的都是红球为事件A ， 则()3395525P A =×=. 【小问2详解】记3个红球分别为a ，b ，c ，2个白球分别为D 、E ，则从盒子中任取两个球所有可能结果为ab ，ac ，aD ，aE ，bc ，bD ，bE ，cD ，cE ，DE 共10种，所以取到两球都是红球的概率为310，取到一个红球一个白球的概率为63105=，取得两球都是白球的概率为110； 经过2次抽取后盒中恰好都是红球分两种情况: ①第一次取出两个红球，概率为310，第二次取出两个白球，概率为110， 故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3131010100×=； ②第一次取出一个红球一个白球，概率为35，第二次取出一个红球一个白球，概率为42105=， 故经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为3265525×=； 综上，经过2次抽取后盒中恰好都是红球的概率为362710025100+=.17. 已知向量1e ，2e 满足11e = ，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6．（1）求12e e ⋅；（2）122a e e =+ ，13b e =−，求cos ,a b的值；（3）若1e 在2e 方向上的投影向量为c，求()1e c λλ−∈R 的最小值．【答案】（1）32−（2（3【解析】【分析】（1）由向量的数量积的定义即可求解； （2）利用向量的夹角公式求解即可；（3）先求得投影向量，进而计算可求()1e c λλ−∈R的最小值.【小问1详解】因为11e =，2e = ，1e 与2e 的夹角为5π6，所以12125π3||||cos 1(62e e e e ⋅=⋅==−； 【小问2详解】因为21211213)(3)3636()6(22b e e e e e e a −=−−−−=−+=×=，||a ，1|||3|=3b e −，所以cos ,||||a b a b a b ==.【小问3详解】1e 在2e 方向上的投影向量为122222231232||e e c e e e e −===− ，所以1e c λ−=当34λ=时，()1e c λλ−∈R18. 如图1，天津永乐桥摩天轮是天津市的地标之一，又称天津之眼，是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功能．永乐桥摩天轮最高点距桥面121m ，转盘直径为110m ，设置48个均匀分布的透明座舱，开启后逆时针匀速旋转，旋转一周所需时间为28min ．如图2，设座舱距桥面最近的位置为点P ，以轴心O 为原点，与桥面平行的直线为x 轴建立直角坐标系．游客从点P 进舱，游客甲、乙的位置分别用点()55cos ,55sin A αα，()55cos ,55sin B ββ表示，其中α，β是终边落在OA ，OB 的正角．（1）证明：sin sin 2αβαβ−−；（2）求游客甲的位置A 距桥面的高度()m h 关于转动时间()min t 的函数解析式；（3）在（2）的条件下，若游客甲、乙的座舱之间还有三个座舱，乙的位置B 距桥面的高度为h ′，求在转动一周的过程中h h ′−的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）()ππ55sin 660142ht t −+≥（3m【解析】【分析】（1）利用和差角的正弦公式计算可得；（2）由周期求出旋转角速度，即可得到ππ142t α=−，从而求出解析式；（3）依题意可得π6βα=+，即可得到ππ55sin 66143h t ′=−+，从而表示出h h ′−，结合（1）中公式及余弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】因为sin sin sin +sin 2222αβαβαβαβαβ+−+−−=−−sinsin coscossincos cos sin 22222222αβαβαβαβαβαβαβαβ+−+−+−+− +−−=2cossin22αβαβ+−=，所以sin sin 2cos sin22αβαβαβ+−−=.【小问2详解】依题意可得()0,55P −，点O 到桥面的距离为66m ， 又摩天轮旋转一周所需时间为28min ，所以旋转角速度为()2ππrad/min 2814=， 所以ππ142t α=−， 所以()ππ55sin 660142ht t −+≥ ；【小问3详解】 因为2ππ4486AOB ∠=×=，则π6βα=+，所以πππππ55sin 6655sin 661426143h t t ′=−++=−+，所以ππππ55sin 55sin 143142h t h t ′−−− −=ππππsin sin 14315452t t −−− =π5ππcos sin 141212110t = −⋅π5π1421t −=()028t ≤≤，所以当π5π01412t −=（或π）时h h ′−取得最大值，最大值为m ，其中πππππππ1sinsin sin cos cos sin 123434342=−=−=×−. 19. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos sin 0b A B +=，a =O 为平面内一点，且满足OAOB OC ==． （1）求A ；（2）求()AB AC AO +⋅的最小值；（3）若13BD BC =，求3OA OD + 的取值范围．【答案】（1）2π3（2）1 （3）(2,1+ 【解析】【分析】（1）根据正弦定理和商关系得出角的值；（2）利用余弦定理、基本不等式和向量数量积公式，计算得出结果；（3角的取值范围求得3OA OD +的取值范围；【小问1详解】正弦定理得1sin tan sin sin cos cos cos a b b A A A B b A A A==⇒=⇒=−− 因0πA <<，所以2π3A =. 【小问2详解】O 为平面内一点，且满足OAOB OC == ，则O 为ABC 外接圆圆心，设外接圆半径为R ,由（1）知2π3A =，22,1sin aR R A===， 所以1OAOB OC === 为余弦定理得22222222cos 3321a b c bc A b c bc bc b c bc bc =+−⇒=++⇒−=+≥⇒≤ 当b c =时取等号；()cos cos AB AC AO AB AO AC AO AB AO BAO AC AO CAO +⋅=⋅+⋅=⋅∠+⋅∠222211113=12222c b b c bcc b c b +−+−+−=×+×=≥，所以()AB AC AO +⋅的最小值为1；【小问3详解】若13BD BC =，所以333332OA OD OA OB BD OA OB BC OA OB BO OC OA OB OC+=++=++=+++=++==根据正弦定理得π2,πsin sin sin 3a b c B C A A B C ===+=−=,所以3OA OD +===因为(]ππππ0<+2π,sin(2)0,13333C C C <⇒<<+∈，((π4+2)4,4,2,13C +∈++因此3OA OD +的取值范围为(2,1．。
浙江省温州市2023-2024学年高一下学期期末教学质量统一检测数学试题(A卷)含答案
2023学年第二学期温州市高一期末教学质量统一检测数学试题（A 卷）（答案在最后）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟．考生注意：1．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡上．2．选择题的答案须用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净．3．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应区域内，答案写在本试题卷上无效．选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量()()2,1,,1a b t ==-，若a ∥b，则t =（）A.2B.12C.2- D.3【答案】C 【解析】【分析】根据向量平行的坐标表示运算求解.【详解】因为()()2,1,,1a b t ==-，若a∥b，则()211t ⨯-=⨯，即2t =-.故选：C.2.设m 是一条直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（）A.若αβ⊥，m α⊥，则//m βB.若αβ⊥，//m α，则m β⊥C.若//αβ，m α⊥，则m β⊥D.若//αβ，//m α，则//m β【答案】C 【解析】【分析】对于选项A ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项B ：根据面面垂直的性质定理即可判断；对于选项C ：根据面面平行的性质定理判断即可；对于选项D ：根据线面的位置关系判断即可.【详解】对于选项A ：若αβ⊥，m α⊥，则//m β或m β⊂，故A 不正确；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，则//m β或m β⊂或m β⊥，故B 不正确；对于选项C ：若//αβ，m α⊥，根据面面平行的性质定理可得m β⊥，故C 正确；对于选项D ：若//αβ，//m α，则//m β或m β⊂，故D 不正确.故选：C.【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理.属于较易题.3.复数024i 1i2=+（）A.11i 22-- B.11i 22-+ C.11i 22- D.11i 22+【答案】C 【解析】【分析】由复数的乘除法运算法则求解即可.【详解】()()2024i 11i 1i 11i 1i 1i 1i 1i 222z --=====-+++-.故选：C.4.如图，某校数学兴趣小组对古塔AB 进行测量，AB 与地面垂直，从地面C 点看塔顶A 的仰角β为60︒，沿直线BC 前行20米到点D 此时看塔顶A 的仰角α为30︒，根据以上数据可得古塔AB 的高为（）米.A. B.20 C.10D.【答案】A 【解析】【分析】根据直角三角形三角关系可得3BC h =，BD =，根据题意列式求解即可.【详解】设古塔AB 的高为h 米，在Rt ABC △中，可得60tan 3h BC ︒==；在Rt △ABD 中，可得tan 30hBD ==︒；由题意可知：CD BD BC =-，即203h =-，解得h =，所以古塔AB 的高为米.故选：A.5.数据：1，1，2，3，3，5，5，7，7，x 的40%分位数为2.5，则x 可以是（）A.2 B.3 C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】按照百分位数计算公式，逐项计算即可求解.【详解】对于A ，因为1040%4⨯=，所以若2x =，则1，1，2，2，3，3，5，5，7，7的40%分位数为232.52+=，故A 正确；对于B ，因为1040%4⨯=，所以若3x =，则1，1，2，3，3，3，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故B 错误；对于C ，因为1040%4⨯=，所以若4x =，则1，1，2，3，3，4，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故C 错误；对于D ，因为1040%4⨯=，所以若5x =，则1，1，2，3，3，5，5，5，7，7的40%分位数为3332+=，故D 错误.故选：A.6.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积为S ，)2224a c b S +-=，若1c =，则ABC 面积的取值范围是（）A.,84⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.,82⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,42⎛⎫⎪⎪⎝⎭D.,8⎛⎫+∞ ⎪⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据题意利用余弦定理和面积公式可得π3B=，利用正弦定理结合三角恒等变换可得112tanaC⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，代入面积公式结合角C的范围运算求解.)2224a cb S+-=，则12cos4sin2ac B ac B=⨯，整理可得tan B=，且π0,2B⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π3B=，由题意可得：π22ππ32CC⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得ππ62C<<，由正弦定理sin sina cA C=可得()31cos sinsinsin1221sin sin sin2tanC CB Cc AaC C C C+⎛⎫+====+⎪⎪⎝⎭，则ABC面积111sin111222tan28tanS ac BC C⎛⎫⎫==⨯+⨯⨯⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ππ62C<<，则tan3C>，可得01tan C<<，所以ABC面积1,8tan84SC⎛⎫⎛⎫=+∈⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.7.已知样本数据129,,,x x x⋅⋅⋅的平均数为9，方差为12，现这组样本数据增加一个数据10x，此时新样本数据的平均数为10，则新样本数据的方差为（）A.18.2B.19.6C.19.8D.21.7【答案】C【解析】【分析】根据平均数和方差公式整理可得9921181,837i ii ix x====∑∑，由新样本数据的平均数可得1019x=，结合方差公式运算求解即可.【详解】由题意可知：()9992221111119,99912999i i i i i i x x x ===⎛⎫=-=-⨯= ⎪⎝⎭∑∑∑，可得9921181,837ii i i xx ====∑∑，且()9101011181101010i i x x x =⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭∑，解得1019x =，所以新样本数据的方差为()1010922222210111111101010101019.8101010i i i i i i x x x x ===⎛⎫⎛⎫-=-⨯=+-⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑.故选：C.8.已知平面向量,,a b c 满足12,2a c a b a b a b λ==⋅=-≥- 对任意实数λ恒成立．若对每一个确定的c ，对任意实数m ，n ，c ma c nb -+- 有最小值t ．当c变化时，t 的值域为[],x y ，则x y +=（）A.2+B.C.2+D.【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合向量的几何意义分析可知2b =，进而分析可知,MC NC 的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB 的垂线长，设COA θ∠=，分π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦两种情况讨论，结合三角函数运算求解即可.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，OP b =uu u r rλ，可知P OB ∈，则a b OA OP PA -=-=uu r uu u r uu r r r λ，可知PA 的最小值即为点A 到直线OB 的距离，若12a b a b λ-≥-对任意实数λ恒成立，可知当点P 为线段OB 的中点，且AP OB ⊥，即a 在b方向上的投影向量为12b r ，则2122a b b ⋅==r r r ，可得2b = ，即2OB OA BA ===，可知OAB 为等边三角形，可设,OM ma ON nb ==uuu r uuur r r ，则,c ma MC c nb NC -=-= ，可知,MC NC的最小值分别为过点C 分别作直线,OA OB的垂线长，设COA θ∠=，根据对称性只需分析[]0,πθ∈即可，若π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得min minπ2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin sin 2sin 3θθθθθθ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ2π,333θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得πsin ,132θ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，即2t ⎤∈⎦；若π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则min min π2sin 2sin 3t MC NC θθ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭π2sin sin 3sin 6θθθθθθ⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭，因为π,π3θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππ5π,666θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin ,132θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即t ∈；综上所述：t ∈，即x y ==x y +=故选：D.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是把向量的模长转化为两点间距离，结合几何性质分析求解，这样可以省去烦琐的运算.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.已知复数z 满足1z =，则下列结论正确．．的是（）A.1z z ⋅= B.1z z+∈R C.1z -的最大值为2 D.21z =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数及乘法计算判断A,B 选项，应用特殊值法判断D 选项，结合模长公式判断C 选项.【详解】设i z =,所以22i 1z ==-,D 选项错误；112z z -≤+=,C 选项正确；设i z a b =+,因为1,z =所以221,1a b =+=，所以()()22222·i i i =1z z a b a b a b a b =+-=-+=,A 选项正确；1·i+i=2R z z z z z z a b a b a z z+=+=+=+-∈,B 选项正确.故选：ABC.10.如图所示，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态.图（1）形成对称形态，图（2）形成“右拖尾”形态，图（3）形成“左拖尾”形态，根据所给图作出以下判断，正确的是（）A.图（1）的平均数=中位数=众数B.图（2）的平均数<众数<中位数C.图（2）的众数<中位数<平均数D.图（3）的平均数<中位数<众数【答案】ACD 【解析】【详解】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断.【分析】图（1）的分布直方图是对称的，所以平均数=中位数=众数，故A 正确；图（2）众数最小，右拖尾平均数大于中位数，故B 错误，C 正确；图（3）左拖尾众数最大，平均数小于中位数，故D 正确.故选：ACD.11.正方体1111ABCD A B C D -棱长为1，E ，F 分别为棱11B C ，AD （含端点）上的动点，记过C ，E ，F 三点的平面为α，记1d 为点B 到平面α的距离，2d 为点1D 到平面α的距离，则满足条件（）的α是不唯一的．A.12d d +=B.12d d +=C.122d d -=D.122d d +=【答案】AC 【解析】【分析】设1,C E x DF y ==，结合解三角形知识求得CEF △的面积S =，利用等体积法求得1d =2d =.根据题意结合选项逐一分析判断即可.【详解】设1,C E x DF y ==，则[],0,1x y ∈，可得CE CF EF ===在CEF △中，由余弦定理可得222cos 2CE CF EF ECF CE CF+-∠==⋅且()0,πECF ∠∈，则sin ECF ∠==，所以CEF △的面积1sin 2S CE CF ECF =⋅⋅∠=，设平面α与直线11A D 的交点为G ，连接,GF GE ，可知1D G x y =+，因为平面11ADD A ∥平面11BCC B ，且平面α 平面11ADD A GF =，平面α 平面11BCC B CE =，可得GF ∥CE ，同理可得：GE ∥CF ，可知四边形CEGF 为平行四边形，则GEF CEF S S S ==△△，对于三棱锥B CEF -可知：B CEF E BCF V V --=，则1111111332S d ⋅=⨯⨯⨯⨯，解得112d S ==；对于三棱锥1D GEF -可知：11D GEF F D EG V V --=，则()211111332S d x y ⋅=⨯⨯⨯⨯+，解得22x y d S +==；对于选项A：若12d d +==+=，显然01x y =⎧⎨=⎩和1x y =⎧⎨=⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故A 正确；对于选项B：若12d d ==+=，整理可得()()()222110x y x y -+-+-=，解得1x y ==，所以平面α是唯一的，故B 错误；对于选项C：若122d d -+-===，显然02x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩和20x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩上式均成立，所以平面α是不唯一的，故C 正确；对于选项D：若122d d +===，整理可得()()()22221210x y x y -+-+-=，解得12x y ==，所以平面α是唯一的，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：将平面α延展为平面CEGF ，分析可知CEGF 为平行四边形，进而可利用等体积法求12,d d .非选择题部分三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上12.已知2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则实数p 的值为_______．【答案】12【解析】【分析】根据题意分析可知2i 3--也是方程220x px q ++=的一个根，利用韦达定理运算求解即可.【详解】因为2i 3-是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，则2i 3--也是关于x 的实系数方程220x px q ++=的一个根，由韦达定理可得()()2i 32i 362p-+--=-=-，解得12p =.故答案为：12.13.设样本空间{}1,2,3,4Ω=含有等可能的样本点，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则()()()()123123P A A A P A P A P A =_______．【答案】2【解析】【分析】根据题意利用列举法求()()()()123123,,,P A P A P A P A A A ，代入即可得结果.【详解】因为样本空间{}1,2,3,4Ω=，{}{}{}1231,2,1,3,1,4A A A ===，则{}1231A A A =，可知()()()()()1231234,2,1n n A n A n A n A A A Ω=====，则()()()()()()()()()()()()1231231231231111,,,2224n A n A n A n A A A P A P A P A P A A A n n n n ========ΩΩΩΩ，所以()()()()123123142111222P A A A P A P A P A ==⨯⨯.故答案为：2.14.与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足6AB BC CD DA ====，8BD =，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．【答案】4【解析】【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析运算即可.【详解】设棱切球的球心为O ，与棱,,,,,AB BC CD DA AC BD 分别切于点,,,,,E F G H I J ，可知,,,AH AI AE BE BF BJ CI CF CG DH DG DJ ========，由题意可得：6668AH DH AE BE AH BE BF CF BE CF BJ DJ BE DH +=⎧⎪+=+=⎪⎨+=+=⎪⎪+=+=⎩，解得42BE DH AH CF ==⎧⎨==⎩，所以4AC AI CI AH CF =+=+=.故答案为：4.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆台上底面半径为1，下底面半径为2，高为2．（1）求该圆台的体积；（2）求该圆台母线与下底面所成角的余弦值．【答案】（1）14π3（25【解析】【分析】（1）根据题意利用台体的体积公式运算求解；（2）借助于轴截面，分析可知该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，结合题中数据分析求解.【小问1详解】由题意可知：该圆台的体积(114ππ4ππ4π233V =++⨯⨯=.【小问2详解】借助于轴截面，如图所示，其中21,O O 分别为上、下底面圆的圆心，则21O O 与上、下底面均垂直，过C 作CE AB ⊥，垂足为E ，可知CE ∥21O O ，则CE 与上、下底面均垂直，则该圆台母线与下底面所成角的大小为CBE ∠，由题意可知：212CE O O ==，1BE =，可得BC ==，则cos 5BE CBE BC ∠==，所以该圆台母线与下底面所成角的余弦值为5.16.已知,a b是单位向量，满足2a b -= a 与b 夹角为θ．（1）求θ；（2）若平面向量c 在a 上的投影向量为,1a b c ⋅=，求c ．【答案】（1）2π3θ=（2）2c =【解析】【分析】（1）由题意可知1==a b r r ，cos a b θ⋅=r r ，由2a b -= 结合数量积的运算可得1cos 2θ=-，即可得结果；（2）设,,c xa yb x y =+∈R rr r，结合题意列式解得2x y ==，结合模长与数量积的运算律分析求解.【小问1详解】因为1==a b r r ，则cos cos a b a b θθ⋅==，若2a b -= ，则222244a b a a b b -=-⋅+，即714cos 4=-+θ，可得1cos 2θ=-，且[]0,πθ∈，所以2π3θ=.【小问2详解】由（1）可知：1==a b r r ，12a b ⋅=-r r ，由题意可设,,c xa yb x y =+∈R r r r，因为平面向量c 在a 上的投影向量为a，则21a c a ⋅==r r r ，由题意可得：22a c xa yab bc xa b yb⎧⋅=+⋅⎪⎨⋅=⋅⋅+⎪⎩ ，可得112112x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得2x y ==，则()2a c b =+ ，可得()()2224241114c a a b b =+⋅+=-+= ，所以2c =.17.如图，ABC 绕边BC 旋转得到DBC △，其中2AC BC ==，,AC BC AE ⊥⊥平面ABC ，DE ∥AC．（1）证明：BC ⊥平面ACD ；（2）若二面角B DE C --的平面角为60︒，求锐二面角D CB A --平面角的正弦值．【答案】（1）证明见详解（2）3【解析】【分析】（1）根据题意可得,BCAC BC CD ⊥⊥，结合线面垂直的判定定理分析证明；（2）作辅助线，根据三垂线法分析可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，可得CF =结合（1）分析可知锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，运算求解即可.【小问1详解】由题意可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以BC ⊥平面ACD .【小问2详解】过C 作CF DE ⊥，垂足为F ，连接BF ，即CF EF ⊥，因为BC ⊥平面ACD ，EF ⊂平面ACD ，则BC EF ⊥，且CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，则EF ⊥平面BCF ，由BF ⊂平面BCF ，可得EF BF ⊥，可知二面角B DE C --的平面角为60BFC ∠=︒，且2BC =，可得23CF =，由（1）可知：,BCAC BC CD ⊥⊥，则锐二面角D CB A --平面角为ACD ∠，且DE ∥AC ，可知ACD CDF ∠=∠，可得233sin sin 23CF ACD CDF CD ∠=∠==，所以锐二面角D CB A --平面角的正弦值为33.18.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，过ABC 内一点M 的直线l 与直线AB 交于D ，记BA 与DM夹角为θ.（1）已知cos sin c a B b A -=，（i ）求角A ﹔（ii ）M 为ABC 的重心，1,30b c θ===︒，求AD；（2）请用向量方法．．．．探究θ与ABC 的边和角之间的等量关系.【答案】（1）（i ）45︒；（ii ）6226+（2）cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++【解析】【分析】（1）（i ）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（ii ）由1()3AM AB AC =+ 及数量积模的运算求得2cos 32AAM =，根据正弦定理结合三角恒等变换得AD211sin cos 3222A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭，将45A =o 代入求值即可；（2）由BA BC CA =+，结合数量积可得DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，再运用数量积定义可分别求出DE BA ⋅ 、DE BC ⋅、DE CA ⋅ ，代入整理即可.【小问1详解】（i ）因为cos sin c a B b A -=，由正弦定理可得sin sin cos sin sin C A B B A -=，即()sin sin cos sin sin A B A B B A +-=，所以cos sin sin sin A B B A =，又0180B << ，所以sin 0B >，所以cos sin A A =，所以tan 1A =，又0180A << ，所以45A =o .（ii ）由题意1,30b c θ===︒，因为M 为ABC 的重心，所以1()3AM AB AC =+，所以12cos 332A AM AM AB AC ==+=== ，在ADM △中，由正弦定理知AD AM θ=∠，所以sin AM AD AMD θ=⨯∠，显然ABC 为等腰三角形，则AM 平分BAC ∠，所以sin 302sin 301222AM A A AD AD AM ⎛⎫⎛⎫==⨯+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭441cos sin 30cos sin cos 322322222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222112sin cos cos sin cos 322223222A A A A A ⎛⎫⎛⎫=⨯+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2321216223222226⎛⎫++=⨯+⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭；【小问2详解】直线l 与ABC 的边AC 相交于点E ，如图所示，因为BA BC CA =+，所以()DE BA DE BC CA ⋅=⋅+ ，即DE BA DE BC DE CA ⋅=⋅+⋅ ，又因为||||cos ||cos DE BA DE BA EDA c DE θ⋅=∠=，||||cos()||cos()DE BC DE BC B a DE B θθ⋅=-=-，||||cos()||cos()DE CA DE CA A b DE A θθ⋅=+=+，所以||cos ||cos()||cos()c DE a DE B b DE A θθθ=-++，即cos cos()cos()c a B b A θθθ=-++.19.给定两组数据()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅与()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅，称()1,niii X A B x y==-∑为这两组数据之间的“差异量”．鉴宝类的节目是当下非常流行的综艺节目．现有n 个古董，它们的价值各不相同，最值钱的古董记为1号，第二值钱的古董记为2号，以此类推，则古董价值的真实排序为()1,2,,I n =⋅⋅⋅．现在某专家在不知道古董真实排序的前提下，根据自己的经验对这n 个古董的价值从高到低依次进行重新排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，其中i x 为该专家给真实价值排第i 位古董的位次编号，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅，那么A 与I 的差异量()1,nii X A I x i ==-∑可以有效反映一个专家的水平，该差异量(),X A I 越小说明专家的鉴宝能力越强．（1）当3n =时，求(),X A I 的所有可能取值；（2）当5n =时，求(),4X A I =的概率；（3）现在有两个专家甲、乙同时进行鉴宝，已知专家甲的鉴定结果与真实价值I 的差异量为a ，专家甲与专家乙的鉴定结果的差异量为4，那么专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量是否可能为6a +？请说明理由．【答案】（1）0，2，4（2）18（3）不可能，理由见详解【解析】【分析】（1）利用列举法求A 的所有可能性结果，结合(),X A I 的定义运算求解；（2）分析可知样本容量()Ω120n =，且(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，结合（1）中结论运算求解；（3）由题意可得：1n ii x i a =-=∑，14niii x y=-=∑，结合绝对值不等式的运算求解.【小问1详解】若3n =时，则()()()()()()1,2,3,1,3,2,2,1,3,2,3,1,3,1,2,3,2,1A =，且()1,2,3I =，可得(),0,2,2,4,4,4X A I =，所以(),X A I 的所有可能取值为0，2，4.【小问2详解】设“(),4X A I =”为事件M ，样本空间为Ω，因为5n =，可知A 共有54321120⨯⨯⨯⨯=个，即样本容量()Ω120n =，显然若对调两个位置的序号之差大于2，则(),4X A I >，可知(),4X A I =只能调整两次两个连续序号或连续三个序号之间调整顺序，若调整两次两个连续序号：则有()(){}()(){}()(){}1,2,3,4,1,2,4,5,2,3,4,5，共有3种可能；若连续三个序号之间调整顺序，连续三个序号有：{}{}{}1,2,3,2,3,4,3,4,5，共3组，由（1）可知：每组均有3种可能满足(),4X A I =，可得共有3412⨯=种可能；综上所述：()31215n M =+=.所以()()()151Ω1208n M P B N ===.【小问3详解】不可能，理由如下：设专家甲的排序为12,,,n x x x ⋅⋅⋅，记()12,,,n A x x x =⋅⋅⋅；专家乙的排序为12,,,⋅⋅⋅n y y y ，记()12,,,n B y y y =⋅⋅⋅；由题意可得：()1,n ii X A I x i a ==-=∑，()1,4niii X A B x y==-=∑，因为()()i i i i i i i i i i y i y x x i y x x i x i x y -=-+-≤-+-=-+-，结合i 的任意性可得11146nnniiiii i i y i x i x ya a ===-≤-+-=+<+∑∑∑，所以专家乙的鉴定结果与真实价值I 的差异量不可能为6a +.【点睛】方法点睛：1.对于（2）：利用转化法，将问题转为（1）中已知的结论；2.对于（3）：结合绝对值不等式分析证明.。
上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末考试 数学试题【含答案】
复旦中学高一期末数学试卷一､填空题1．已知角α终边经过点(2,1)P -，则sin α=．2．已知复数z 满足i 2i z =-，则z =3．满足π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，[0,π]x ∈的角x 的集合为.4．已知函数()sin 22y x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是．5．已知{}n a 为无穷等比数列，23a =，14i i a +∞==-∑，则{}n a 的公比为．6．若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p =．7．若数列{}n a 的通项公式为222023n a n n =-+，则n =时1i ni a =∑取到最大值.8．如图，在离地面高400m 的热气球上，观测到山顶C 处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知60BAC ∠=︒，求山的高度BC =m ..9．已知P 是边长为3的正方形ABCD 内（包含边界）的一点，则AP AB ⋅的最大值是.10．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若{}457,,10,0a S S ∈-，则n S 的最小值为11．已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-，求集合{}1,1500k m kb a a m =+≤≤∣中元素个数.12．17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在ABC 中，若三个内角均小于120︒，则当点P 满足120APB APC BPC Ð=Ð=Ð=°时，点P 到三角形三个顶点的距离之和最小，点P 被人们称为费马点．根据以上知识，已知a为平面内任意一个向量，b 和c 是平面内两个互相垂直的向量，且||2,||3b c == ，则||||||-+++-a b a b a c 的最小值是．二､选择题13．已知z 为复数，则“z z =”是“22z z =”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件14．下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A ．cos 2y x=B ．tan y x=C ．πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．sin 2y x=15．欧拉公式i e cos isin x x x =+（i 为虚数单位，x ∈R ，e 为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①i e 10π+=；②2299cos isin cos isin cos isin i 101010101010ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中所有正确结论的编号是（）A ．①②均正确B ．①②均错误C ．①对②错D ．①错②对16．设无穷项等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，则下列四个说法中正确的个数是（）①若0d <，则数列{}n S 有最大项；②若数列{}n S 有最大项，则0d <；③若数列{}n S 是递增数列，则对任意的*n ∈N ，均有0n S >；④若对任意的*n ∈N ，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个三､解答题17．已知复数z 满足()1i 2i,z O +=为坐标原点，复数z 在复平面内对应的向量为OZ .(1)求34i z +-；(2)若向量OZ 绕O 逆时针旋转π2得到,OZ OZ '' 对应的复数为z '，求z z ⋅'.18．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ，求使111000n T -<成立的n 的最小值．19．已知函数()sin ,f x x x =∈R .(1)求解方程:()13f x =;(2)设()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,求函数()g x 的单调递增区间;(3)在ABC 中,角,,A B C 所对应的边为,,a b c .若()4,f A b ABC == 的面积为求sin C 的值.20．已知数列{}n a ，若{}1n n a a ++为等比数列，则称{}n a 具有性质P.(1)若数列{}n a 具有性质P ，且1231,3a a a ===，求45,a a 的值；(2)若2(1)n nn b =+-，判断数列{}n b 是否具有性质P 并证明；(3)设212n c c c n n +++=+L ，数列{}n d 具有性质P ，其中13212321d d d c d d c =-=+=,,，试求数列{}n d 的通项公式.II 卷21．将函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-的所有交点从左到右依次记为1A ，2A ，…，n A ，若(P ，则125...PA PA PA +++=.22．已知*(1,2,9)i a i ∈=⋯N ，且对任意()*28k k ∈≤≤N 都有11k k a a -=+或11k k a a +=-中有且仅有一个成立，16a =，99a =，则91a a ++ 的最小值为.23．若向量,,a b c →→→满足a b ¹，0c ≠ ，且()()0c a c b -⋅-= ，则a b a b c++-的最小值是.24．已知函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则122023202420242024f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.1．5-【详解】∵角α终边经过点(2,1)P -，∴OP =sinα=，故答案为2【分析】根据复数的乘除运算及复数的模的运算公式即可求解.【详解】因为复数z 满足i 2i z =-，所以2i12i iz -==--，所以z ==3．π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭【分析】借助余弦函数的性质计算即可得.【详解】由π2cos 214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()ππ22π43x k k +=±+∈Z ，即()πππ68x k k =±-+∈Z ，又[0,π]x ∈，则0k =，有πππ6824x =-=，当1k =，有ππ17ππ6824x =--+=，故角x 的集合为π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故答案为：π17π,2424⎧⎫⎨⎬⎩⎭.4．4π##14π【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数()sin 22y x ϕ=+是偶函数，所以π2π,Z 2k k ϕ=+∈，解得ππ,Z 24k k ϕ=+∈，又0ϕ>，所以当0k =时，ϕ的最小值是π4.故答案为：π4ϕ=.5．12-##0.5-【分析】由题意知，||1q <，再利用无穷等比数列和的公式求解即可.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，14i i a +∞==-∑，则||1q <，141a q=--，又213a a q q==，所以34(1)q q =--，解得12q =-或32q =（舍）.故答案为：12-.6．4【详解】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a +==-∴=-'23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z =⋅=-'-=7．1011【分析】由0n a ≥判断出变号的相邻两项即可求解.【详解】令2220230n a n n =-+≥，解得202302n ≤≤，∵n N *∈,∴前1011项为正数，从1012项开始为负数，∴当1011n =时，1i ni a =∑取到最大值，故答案为：1011.8．600m【分析】先根据已知条件求解出,AM ACM ∠的大小，然后在ACM △中利用正弦定理求解出AC ，再根据,AC BC 的关系求解出BC .【详解】因为=45,60MAD CAB ∠︒∠=︒，所以180456075MAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，又因为cos 45400m MA MD ︒==，所以MA =，又因为sin 60sin 45AC AM=︒︒，所以AC =，所以sin 60600m 2BC AC =︒=，故答案为：600m .【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将ACM △中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出AC 的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度BC 的目的.9．9【分析】在正方形中建立平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，结合向量数量积的概念可得结果.【详解】以A 点为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设(,),(03,03)P x y x y ≤≤≤≤，可得(0,0),(3,0)A B ，所以(,),(3,0)AP x y AB ==，故(,)(3,0)3AP AB x y x ⋅== ，当3x =时，AP AB ⋅最大，最大值为9.故答案为：9.10．12-【分析】对4a 的值进行分类讨论，结合等差数列前n 项和最值的求法求得n S 的最小值.【详解】n S 取得最小值，则公差0d >，410a =-或40a =，（1）当17474530,0,770,5102a a a d S a S a +=>=⨯====-1130,51010a d a d ⇒+=+=-，16,20,28,2804n n a d a n a n n ⇒=-=>=-=-≤⇒≤，所以n S 的最小值为4146241212S a d =+=-+=-.（2）当1747410,0,77702a a a d S a +=->=⨯==-，不合题意.综上所述：457=0,= 10,0,n a S S S -=的最小值为12-.故答案为：12-11．9【分析】设{}n a 的公差为d ，由题意223344a b a b b a -=-=-基本量化简得到1122d a b ==.1k m b a a =+，代入基本量，化简得到22k m -=，通过m 的范围进而得到k 的范围.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，2233a b a b -=- ，1111224a d b a d b ∴+-=+-，即12d b =.2244a b b a -=- ，()1111283a d b b a d ∴+-=-+，得到1125a d b +=，将12d b =代入，得到11a b =，即1122d b a ==.1k m b a a =+ ，()111121k b a m d a -∴⋅=+-+，即()11112212k b b m b -⋅=+-，10b ≠ 得到22k m -=，21500,12500k m -≤≤≤≤ ，028k ≤-≤，210k ≤≤，所以元素个数为9个.故答案为：9.12．3+【分析】读懂题意，建立直角坐标系，将向量求模问题转化为费马点问题.【详解】以b为x 轴，c 为y 轴，建立直角坐标系如下图，设(),a x y = ，则()()2,0,0,3b c == ，a c a b a b --=+ ，a c ab a b ∴-+-++即为平面内一点(),x y 到()()()0,3,2,0,2,0-三点的距离之和，由费马点知：当点(),P x y 与三顶点()()()0,3,2,0,2,0A B C -构成的三角形ABC 为费马点时a c a b a b -+-++最小，将三角形ABC 放在坐标系中如下图：现在先证明ABC 的三个内角均小于120︒：4AB BC BC ==，22211cos 0213AB AC BCBAC AB AC +-∠==> ，222cos cos 02AB BC ACABC ACB AB BC+-∠=∠==，ABC ∴ 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为ABC 是等腰三角形，点P 必定在底边BC 的对称轴上，即y 轴上，120,30BPC PCB ︒︒∠=∴∠=，tan 233PO OC PCB =∠=⨯= ，即230,3⎛ ⎝⎭P ，现在验证120BPA ︒∠=：2333BP AP ==-，2221cos 22BP AP AB BPA BP AP +-∠==- ，120BPA ︒∴∠=，同理可证得120CPA ︒∠=，即此时点0,3⎛ ⎝⎭P 是费马点，到三个顶点A ，B ，C 的距离之和为233BP CP AP ++=+=+，即a c a b a b -+-++ 的最小值为3+；故答案为：3+13．A【分析】正向可得R z ∈，则正向成立，反向利用待定系数法计算即可得0a =或0b =，则必要性不成立.【详解】若z z =，则R z ∈，则22z z =，故充分性成立；若22z z =，设i,,R z a b a b =+∈，则2222i z a ab b =+-，222i z a ab b =--，则20ab =，0a =或0,b z =∴与z 不一定相等，则必要性不成立，则“z z =”是“22z z =”的充分非必要条件，故选：A 14．A【分析】借助三角函数得周期性与对称性逐项判断即可得.【详解】对A ：2π2πT ==，又cos 2y x =是偶函数，故A 正确；对B ：tan y x =为奇函数，故B 错误；对C ：πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭周期为2π，故C 错误；对D ：sin 2y x =为奇函数，故D 错误.故选：A.15．A【分析】对①，通过欧拉公式，i e cos i sin πππ=+，算出即可；对②，先将欧拉公式逆用，将原式化简为29i i i 101010e e e πππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ，再通过指数运算性质化简，最后再用欧拉公式展开，最后算出即可.【详解】对①，由题意，i e 1cos i sin 11010πππ+=++=-++=，正确；对②，原式=29i i i 101010e eeπππ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =29999i i i 10101021010299eeecos isin 22ππππππππ⎛⎫⎛⎫+++⋅+⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===+ =cosi sini 22ππ+=，正确.故选：A.16．C【分析】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,可看作关于n 的二次函数,由二次函数的性质逐个验证即可【详解】由等差数列的求和公式可得()2111+222n n n d d S na n a n +⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,对于①,若0d <,由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项,故①正确；对于②,若数列{}n S 有最大项,则对应抛物线开口向下,则有0d <,故②正确；对于③,若对任意*n ∈N ,均有0n S >,对应抛物线开口向上,则有0d >,故数列{}n S 是递增数列,故③正确；对于④,若数列{}n S 是递增数列,则对应抛物线开口向上,则0d >,但无法确定0n S >恒成立,故④错误；故正确的有3个,故选:C【点睛】本题考查等差数列的求和公式的应用,考查数列的函数性质的应用17．(1)5(2)2-【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可.（2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可.【详解】（1）由()1i 2i z +=得：()()()()2i 1i 2ii 1i 1i 1i 1i 1i z -===-=+++-，34i 43i 5z ∴+-=-=.（2）又1i z =+，由复数的几何意义，得向量()1,1OZ = 绕原点O 逆时针旋转π2得到的()1,1OZ -'= ，则OZ '对应的复数为1i z '=-+，则()()1i 1i 2z z ⋅=+⋅-+=-'.18．(1)2n n a =.(2)10.【详解】试题分析：（1）借助于()12n n n a S S n -=-≥将12n n S a a =-转化为12(1)n n a a n -=>，进而得到数列为等比数列，通过首项和公比求得通项公式；（2）整理数列1n a ⎧⎫⎨⎩⎭的通项公式112n n a =，可知数列为等比数列，求得前n 项和n T ，代入不等式111000n T -<可求得n 的最小值试题解析：（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>．从而21312,4a a a a ==．又因为123,1,a a a +成等差数列，即1232(1)a a a +=+．所以11142(21)a a a +=+，解得12a =．所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列．故2n n a =．（2）由（1）得112n n a =．所以2311[1()]1111122112222212n n n n T -=++++==-- ．由111000n T -<，得111121000n --<，即21000n >．因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥．于是，使111000n T -<成立的n 的最小值为10．考点：1．数列通项公式；2．等比数列求和19．(1)1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈(2)πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦(3)26【分析】(1)将()f x 代入方程,用反三角函数解出即可;(2)将()f x 代入()g x 用半角公式,辅助角公式进行化简,求出单调增区间即可;(3)先求出sin A 的值,再根据面积公式求出c 的值,根据sin A 的值求出角A 的值,再用余弦定理求出a ,再根据正弦定理即可求出sin A .【详解】（1）解:由题知()13f x =,即1sin 3x =,解得12arcsin ,3x k k Z π=+∈或12arcsin ,3x k k Z ππ=+-∈;即1(1)arcsin ,3k x k k Z π=+-∈（2）由题()()2π222g x x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,即()()2π22sin 2g x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()222cos x x=+()()2cos 21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,()g x ∴的单调递增区间为:πππ2π22π262k x k -+≤+≤+,Z k ∈,解得:ππππ36k x k -+≤≤+,Z k ∈,故()g x 的单调递增区间为πππ,πZ 36k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;（3）由()32f A =sin A ∴=π3A ∴=或2π3A =,14,sin 2ABC b S bc A === 3c ∴=,当π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===⋅⋅,解得a =,此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin c A C a =当2π3A =时,在ABC 中由余弦定理得:22221691cos 22432b c a a A bc +-+-===-⋅⋅,解得a =此时在ABC 中由正弦定理得:sin sin a c A C=,解得sin sin 74c A C a ==,综上:sin C =3111sin 74C =.20．(1)45,a a 分别为5、11(2)数列{}n b 具有性质P ，证明见解析(3)()1*N ,213n n n d n -+-=∈【分析】（1）根据数列数列{}n a 具有性质P 可得{}1n n a a ++为等比数列，根据等比数列性质可求得答案；（2）依据数列新定义，结合等比数列定义即可判断结论，进而证明；（3）求出2n c n =，可得12n n n d d ++=，进而推出22n n n d d +-=，分n 为奇偶数，求出n d ，综合可得答案.【详解】（1）由题意数列{}n a 具有性质P ，{}1n n a a ++为等比数列，设公比为q ，由1231,3a a a ===，得122334424,,,28,5a a a a q a a a +=+=∴=+=∴=∴，又45516,11a a a +=∴=；（2）数列{}n b 具有性质P ；证明：因为2(1)n n n b =+-，所以()()111212132n n n n n n n b b ++++=+-++-=⋅，则112132232n n n nn n b b b b +++++⋅==+⋅，即{}1n n b b ++为等比数列，所以数列{}n b 具有性质P .（3）因为212n c c c n n +++=+L ，则12c =，2121(1)1,(2)n c c c n n n -+++=-+-≥L ，故22(1)12,(2)n c n n n n n n ++==---≥，12c =适合该式，故2n c n =，所以由13212321d d d c d d c =-=+=,,得13223124d d d d d =-=+=,,，则123122311,2,,3,4d d d d d d d ===∴+=+=，因为数列{}n d 具有性质P ，故{}1n n d d ++为等比数列，设其公比为q '，则2q '=，故111222,22,n n n n n n n n n d d d d d d +++++=++∴=∴-=，当n 为偶数时，()()()2422244222122213n n n n n n n n d d d d d d d d ------=-+-++-+=++++= ；当n 为奇数时，()()()12412243112(21)212221133n n n n n n n n n d d d d d d d d ------+=-+-++-+=+-++=++= ，故()1*N ,213n n n d n -+-=∈.【点睛】关键点睛：本题是关于数列新定义类型题目，解答的关键是要理解数列新定义，并依据该定义去解决问题.21．10【分析】根据题意作出两个函数的图象分析交点个数，利用对称性化简向量的和即可求解.【详解】如图可知：函数()π4cos2f x x =和直线()1g x x =-共有5个交点，依次为12345,,,,A A A A A ，其中()31,0A ，∵函数()π4cos 2f x x =和直线()1g x x =-均关于点()31,0A 对称，则12345,,,,A A A A A 关于点()31,0A 对称，∴632,1,2,3i i PA i PA PA -+==uuu r uuuur uuu r ，且(31,PA =uuu r ，故533125...22510PA PA PA PA PA ===+++=⨯uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故答案为：10.22．31【分析】根据题意分两种情况讨论求出91a a ++ 的值，即可求得91a a ++ 的最小值.【详解】解：由题设，知：1i a ≥；211a a =+或231a a =-中恰有一个成立；321a a =+或341a a =-中恰有一个成立；…871a a =+或891a a =-中恰有一个成立；则①2117a a =+=，341a a =-，561a a =-，781a a =-，则()129357252a a a a a a +++=+++ ，当3571a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：31；②231a a =-，451a a =-，671a a =-，891a a =-，则()129468262a a a a a a +++=+++ ，当4681a a a ===时，129a a a +++ 的和为最小值为：32；因此，129a a a +++ 的最小值为：31.故答案为：31.23．2【解析】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===，由条件可知AC BC ⊥，画出图形，由向量加减法及性质可得a b a bc→→→→→++-2||2||OM CM OC →→→+=，利用两边之和不小于第三边求解.【详解】设,,a OA b OB c OC →→→→→→===,因为0c a c b →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()0OC OA OC OB →→→→-⋅-=,即0AC BC →→⋅=,所以AC BC ⊥,取AB 中点M ,如图，所以2||2||a b a bOA OB OA OB OM AM cOC OC →→→→→→→→→→→→→++-++-+==2||2||2||2OM CM OC OC OC →→→→→+=≥=，当且仅当,,O M C 三点共线时取等号.故答案为：2【点睛】本题主要考查了向量的加减法运算，向量加法的几何意义，考查了数形结合思想，属于难题.24．2023【分析】利用函数的对称性得到()()12f x f x +-=，然后计算即可.【详解】根据题意，函数()3112f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则()3311111122f x x x ⎛⎫⎛⎫-=--+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12f x f x +-=，11012122024f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，122023120232202210111013202420242024202420242024202420242024f f f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 101210112120232024f ⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭故答案为：2023.。
2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷(含解析)
2023-2024学年广东省揭阳市高一下学期期末教学质量测试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z =(3+i)(2−i)，则z 的虚部为( )A. −iB. −1C. 7iD. 72.已知由小到大排列的4个数据1，3，4，a 的极差是它们中位数的2倍，则a =( )A. 5B. 6C. 7D. 83.设x ∈R ，则“x =π2”是“cos x =0”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在平行四边形ABCD 中，点E 满足AE =13AC ，则BE =( )A. 23AB−13ADB. AB−13ADC. −23AB +13ADD. −AB +13AD5.已知函数y =x 2+(1+m)x +2在区间(−∞,4]上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−9]B. [3,+∞)C. (−∞,−5]D. [7,+∞)6.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.如图，一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为3 3的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )A. 24B. 243 C. 273D. 6327.已知m +e m =e ，n +3n =e ，则( )A. 1<n <m <eB. 1<m <n <eC. 0<n <m <1D. 0<m <n <18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b sin A=3a cos B，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，则a+2c的最小值是( )A. 4B. 6C. 2+22D. 3+22二、多选题：本题共3小题，共18分。
武汉华中师范大学第一附属中学2024年高一下学期7月期末检测数学试题+答案
华中师大一附中2023-2024学年度下学期期末检测高一年级数学试题考试时间：120分钟 试卷满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足()20241i i z +−=（i 为虚数单位），则z 的虛部为（ ）A ．12B ．12−C ．i 2D ．i 2−2．某商场组织了一次幸运抽奖活动，袋中装有标号分别为1~8的8个大小形状相同的小球，现抽奖者从中抽取1个小球．事件A =“取出的小球编号为奇数”，事件B =“取出的小球编号为偶数”，事件C =“取出的小球编号小于6”，事件D =“取出的小球编号大于6”，则下列结论错误的是（ ） A ．A 与B 互斥B ．A 与B 互为对立事件C ．C 与D 互为对立事件D ．B 与D 相互独立3．已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若m α∥，m β∥，则αβ∥ C ．若m α∥，αβ∥，则m β∥D ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ= ，则l γ⊥4．甲乙两人进行三分远投比赛，甲、乙每次投篮命中的概率分别为0.5和0.4，且两人之间互不影响．若两人分别投篮一次，则两人中至少一人命中的概率为（ ） A ．0.6B ．0.7C ．0.8D ．0.95．在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，则“cos sin a C a C b c −=−”是“△ABC 为直角三角形”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．如图，圆台1OO 的轴截面是等腰梯形ABCD ，24AB BC CD ===，E 为下底面O 上的一点，且AE =，则直线CE 与平面ABCD 所成角的正切值为（ ）A ．2B ．12 C D 7．掷一枚质地均匀的骰子3次，则三个点数之和大于14的概率为（ ） A ．17216B ．554C ．427D ．352168．在平行四边形ABCD 中，2π3BAD ∠=，1AB =，2AD =．P 是以C 为圆心，点，且AP AB AD λµ=+，则λµ+的最大值为（ ）A ．2+BC ．2+D ．2+二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，判断可能出现了点数6的是（ ） A ．中位数为3，极差为3B ．平均数为2，第80百分位数为4C ．平均数为3，中位数为4D ．平均数为3，方差为110．在平面直角坐标系中，可以用有序实数对表示向量类似的，可以把有序复数对()()1212,,C z z z z ∈看作一个向量，记()12,a z z = ，则称a为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于()12,a z z = ，()34,b z z = ，1234,,,C z z z z ∈，规定如下运算法则：①()1324,a b z z z z +++ ；②()1324,a b z z z z −−−；③1324a b z z z z ⋅=+ ；④||a = ．则下列结论正确的是（ ）A ．若(i,1i)a =+ ，(2,2i)b =− ，则15i a b ⋅=+B ．若0a = ，则()0,0a =C ．a b b a ⋅=⋅D ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅11．如图所示，在直角梯形BCEF 中，90CBF BCE ∠=∠=°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，且AD BC ∥，222AB ED BC AF ====，将四边形ADEF 沿AD 向上折起，连接BE ，BF ，CE ．在折起的过程中，下列结论正确的是（ ）A ．AC ∥平面BEFB ．BE 与AD 所成的角先变大后变小C ．几何体EF ABCD 体积有最大值53D ．平面BCE 与平面BEF 不可能垂直三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知圆锥体积为3π，表面积是底面积的3倍，则该圆锥的母线长为______．13．已知平面向量a ，b ，3b = ，向量a 在向量b 上的投影向量为16b −，则a b ⋅= ______．14．在正三棱柱111ABC A B C −中，14AB AA ==，E 为线段1CC 上动点，D 为BC 边中点，则三棱锥A -BDE 外接球表面积的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）某市举办了党史知识竞赛，从中随机抽取部分参赛选手，统计成绩后对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图．（1）试估计全市参赛者成绩的第40百分位数（保留小数点后一位）和平均数（单位：分）；（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从[)50,60，[)60,70，[)70,80三层中抽取一个容量为6的样本，再从这6人中随机抽取两人，求抽取的两人都及格（大于等于60分为及格）的概率．16．（15分）如图，四边形PDCE 为矩形，直线PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面．90ADC BAD =∠=°∠，F 是线段P A 的中点，PD =112AB AD CD ===．（1）求证：AC ∥平面DEF ；（2）求点F 到平面BCP 的距离．17．（15分）在△ABC 中，a ，b ，c 为角A ，B ，C 对应的边，S 为△ABC 的面积．且2sin sin sin 21sin C ab B a A S B−=−．（1）求A ；（2）若2a =，求△ABC 内切圆半径的最大值．18．（17分）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，底面是边长为4的等边三角形，14CC =，D 、E 分别是线段AC 、1CC 的中点，点1C 在平面ABC 内的射影为点D ．（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）设G 为棱11B C 上一点，111C G C B λ=，()0,1λ∈． ①若12λ=，请在图中作出三棱柱111ABC A B C −过G 、B 、D 三点的截面，并求该截面的面积； ②求二面角G -BD -E 的取值范围．19．（17分）对于两个平面向量a ，b，如果有0a b a a ⋅−⋅> ，则称向量a 是向量b 的“迷你向量”．（1）若(1,)m x = ，(2,1)n x =− ，m 是n的“迷你向量”，求实数x 的取值范围； （2）一只蚂蚁从坐标原点()0,0O 沿最短路径爬行到点(),N n n 处（n N ∈且2n ≥）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i 次后停留的位置记为()112P i n ≤≤，设()1,0M n −．记事件T =“蚂蚁经过的路径中至少有n 个i P 使得ON 是i OP的迷你向量”。
安徽皖北协作区2024年高一下学期期末联考数学试卷+答案
2023~2024学年度第二学期高一年级期末联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：三角函数及恒等变形，平面向量，复数，立体几何.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若向量,a b是两个单位向量，则（）A.22||||a b =B.22a b ≠C.0a b −=D.1a b ⋅=2.已知直线a 与平面α没有公共点，直线b α⊂，则a 与b 的位置关系是（）A.平行B.异面C.相交D.平行或异面3.计算：sin20sin80cos20cos80+= （）A.12−B.12C.4.若向量()()2,3,1,1a b ==−，则b在a上的投影向量的坐标是（）A.23,1313 −B.23,1313 −C.23,1313D.23,1313 −− 5.将函数4sin2y x =的图象向左平移π16个单位长度后得到函数()y g x =的图象，再把函数()y g x =的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()y h x =的图象，则函数()y h x =的图象的一条对称轴的方程为（）A.3π32x =B.7π64x =C.9π64x =D.9π32x =6.若πsin 4α +sin2α=（ ）A.15− B.15 C.15−或157.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的一段图象过点()0,1，如图所示，则函数()f x =（ ）A.()πsin 26f x x =+B.()π2sin 23f x x=+C.()πsin 23f x x =+D.()π2sin 26f x x=+8.在三棱锥A BCD −中，ABD 和BCD 均为边长为2的等边三角形，3AC =，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ） A.82π9 B.83π9C.28π3D.28π 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数2z =+，则（ ）A.zB.z 是纯虚数C.zD.z 在复平面内对应的点位于第四象限10.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与()cos f x x =构成“互为生成函数”的有（ ） A.()1sin f x x = B.()2sin cos f x x x =+ C.()232sin2xf x = D.()4sin cos 22x x f x =11.已知函数()πsin (0)4f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有3个零点，则（ ） A.()f x 在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴 B.()f x 的最小正周期可能是π2C.ω的取值范围是1115,44D.()f x 在区间π0,15上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知ABCD 中，E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，若BE AB AD λµ=+，则λµ+=__________. 13.在正方体1111ABCD A B C D −中，直线AC 与1A B 所成角的大小为__________.（用角度表示） 14.已知O 为ABC 所在平面内一点，且满足OA OB OB OC OA OC ⋅=⋅=⋅，则O 是ABC 的__________心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”）四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知O 为坐标原点，()()()4,0,1,,0,3A B m C . （1）若,,A B C 三点共线，求实数m 的值；（2）若点M 满足()2OM xOA x OC =+−，求OM 的最小值.16.（本小题满分15分）已知角α的终边经过点()4,3,β−为第一象限角，cos β=（1）求()sin αβ−的值； （2）求()tan 2αβ−的值. 17.（本小题满分15分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D −的底面ABCD 是正方形，11A AB A AD ∠∠=.（1）证明：平面1A BD ∥平面11CD B ； （2）证明：平面1A BD ⊥平面11ACC A . 18.（本小题满分17分）已知函数()2sin sin 1f x x x x =+−. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,2a b c b =，且()12f A =，求ABC 面积的取值范围.19.（本小题满分17分）若,,A B C 是平面内不共线的三点，且同时满足以下两个条件：①AB AC =；②存在异于点A 的点G 使得：AG 与AB AC +同向且AG AB AG AB⋅=，则称点,,A B C 为可交换点组.已知点,,A B C 是可交换点组.（1）求BAC ∠；（2）若()(()1,0,,,(0)A B C x y y −>，求C 的坐标；（3）记,,a b c 中的最小值为{}min ,,a b c ，若()13AB AG AB AC =+ ，点P 满足1PG = ，求{}min ,,PA PB PB PC PC PA ⋅⋅⋅的取值范围.2023~2024学年度第二学期高一年级期末联考·数学参考答案､提示及评分细则1.A 由单位向量的定义可知，1a b == ，即22||||a b = ，且2222||,||a a b b == ，故A 正确，B 错误；因为,a b方向和夹角不确定，故CD 错误.故选A.2.D 依题意可知a ∥α，而b α⊂，所以,a b 没有公共点，a 与b 可能异面或平行，所以D 选项正确.故选D.3.B ()1sin20sin80cos20cos80cos 80202+=−=.故选B. 4.C b 在a 上的投影向量为()232,3,1313a b a a a ⋅ ⋅=.故选C. 5.A 将函数4sin2y x =的图象向左平移π16个单位长度后得到函数()ππ4sin24sin 2168g x x x=+=+ ，再把函数()y g x =的图象上每一点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标保持不变），得到函数()π4sin 48h x x=+，令ππ4π,82x k k +=+∈Z ，解得3ππ,324k x k =+∈Z ，所以函数()y h x =的图象的一条对称轴的方程为3π32x =.故选A. 6.A因为)πsin sin cos4ααα+=+=sin cos αα+，则24(sin cos )12sin cos 5αααα+=+=，所以1sin22sin cos 5ααα==−.故选A.7.D 由图知，πT =，则2π2πω==.由图可得，()f x 在π6x =处取得最大值，又因为图象经过π,012−，故()ππsin 0,126f A f x ϕ−=−+=在π,012 − 上单调递增，所以π2π,6k k ϕ−+=∈Z ，故π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数又经过()0,1，故()π0sin 16f A ==，得2A =.所以函数()f x 的表达式为()π2sin 26f x x=+.故选D. 8.C 取BD 中点G ，连接,AG CG ，在AG 和CG 上分别取点E 和点F ，使得11,33EGAG FG CG ==，过点E 和点F 分别作垂直于平面ABD 和平面BCD 的直线，设它们的交点为H ，易得点H 是该三棱锥外接球的球心.因为2AB =，所以AG =，AE =，在AGC 中，由余弦定理得2221cos 22AG CG AC CGA AG CG ∠+−===−⋅，故120CGA ∠= ，在Rt HEG 中，1602GE HGE CGA ∠∠=== ，所以tan 1HE GE HGE ∠=⋅=，在Rt AHE 中，AH ，故外接球的半径R =228π4π3SR =.故选C.9.AC 对于A ，由虚部定义知z A 正确；对于B ，纯虚数要求实部为0，故B 错误；对于C ，z =C 正确；对于D ，z 在复平面内对应的点为(，位于第一象限，故D 错误.故选AC.10.AC 由()1sin cos f x x x==，则将()f x 的图象向右平移π2个单位长度，即可与()1f x 的图象重合；由()2πsin cos 4f x x x x=+−，则无法通过平移使()f x 的图象与()2f x 的图象重合；由()()232sin 1cos cos π12xf x x x ==−=++，则将()f x 的图象向左平移π个单位长度，再向上平移1个单位长度即可与()3f x 的图象重合； 由()4sin 1πcossin cos 22222x x x f x x===−，则无法通过平移使()f x 的图象与()4f x 的图象重合；故A ，C 中的函数与()f x “互为生成函数”.故选AC. 11.CD 由函数()πsin (0)4f x x ωω=+>，令ππ,4x k k ω+=∈Z ，则()41π,4k x k ω−∈Z ，函数()f x 在区间()0,π上有且仅有3个零点，即()41π0π4k ω−<<有且仅有3个整数k 符合，由()41π0π4k ω−<<，得0414k ω<−<，则1,2,3k =，即11154314441,44ωω×−<×−∴< ，故C 正确；对于A ，[](]ππππ0,π,,π,π3π,4π4444x x ωωω ∈∴+∈+∴+∈ .当π7ππ3π,42ω+∈ 时，()f x 在区间[]0,π上有且仅有3条对称轴；当π7ππ,4π42ω+∈时，()f x 在区间[]0,π上有且仅有4条对称轴，故A 错误；对于B ，周期2πT ω=，由111544ω< ，则4148π8π,15111511T ω<∴< ，又π8π8π,21511 ∉ ，所以()f x 的最小正周期不可能是π2，故B 错误；对于D ，πππππ0,,,1544154x x ωω∈∴+∈+，又1115,44ω ∈ ，ππ13ππ,154302ω ∴+∈ ，所以()f x 在区间π0,15上单调递增，故D 正确.故选CD. 12.132233BE BC CE AD CD AB AD =+=+=−+，所以21133λµ+=−+=.13.60 连接11,CD AD ，易知1A B ∥1D C ，所以1ACD ∠即为AC 与1A B 所成的角或其补角，易知1ACD 为等边三角形，故所求角为60 .14.垂 因为()00OA OB OB OC OB OA OC OB CA OB CA ⋅=⋅⇔⋅−=⇔⋅=⇔⊥，同理,OA CB OC AB ⊥⊥，故O 为ABC 的垂心.15.解：（1）由题意得()()3,,1,3AB m BC m =−=−−，若,,A B C 三点共线，则()()3310m m −−−−×=， 解得94m =. （2）由题意得()()4,0,0,3OA OC ==，()()24,63OM xOA x OC x x =+−=−，则222221857657616(63)25363625252525OM x x x x x =+−=−+=−+， 所以245OM ，当且仅当1825x =时等号成立，即OM 的最小值为245. 16.解：（1） 角α的终边经过点()4,3,β−为第一象限角，cos β=43cos ,sin ,sin 55ααβ∴=−=()34sin sin cos cos sin 55αβαβαβ∴−=−=−−= （2）由（1）得，sin 3sin 1tan ,tan cos 4cos 2αβαβαβ==−==， 232tan 242tan291tan 7116ααα−∴===−−−， ()241tan2tan 1172tan 22411tan2tan 2172αβαβαβ−−−∴−===+ +−× . 17.证明：（1）由题设知1BB ∥111,DD BB DD =， 所以四边形11BB D D 是平行四边形， 所以BD ∥11B D .又BD ⊂⊂平面1111,CD B B D ⊂平面11CD B ， 所以BD ∥平面11CD B . 因为11A D ∥11,BC A D BC =， 所以四边形11A BCD 是平行四边形， 所以1A B ∥1D C .又1A B ⊄平面111,CD B D C ⊂平面11CD B ， 所以1A B ∥平面11CD B .又因为11,,BD A B B BD A B ∩=⊂平面1A BD ， 所以平面1A BD ∥平面11CD B .（2）因为四边形ABCD 为正方形，所以,AC BD AB AD ⊥=. 因为11A AB A AD ∠∠=，所以可得11A AB A AD ≅ ， 则11A B A D =.设AC BD O ∩=，连接1A O . 易知O 为BD 中点，则1A O BD ⊥，因为11,,AC A O O AC A O ∩=⊂平面11ACC A ， 所以BD ⊥平面11ACC A ， 又BD ⊂平面1A BD ，所以平面1A BD ⊥平面11ACC A .18.解：（1）()211π1sin cos 1cos2sin 22262f x x x x x x x=−=−−=−−， 由πππ2π22π,262k x k k −+−+∈Z ，得ππππ,63k x k k −++∈Z ， 故()f x 的单调递增区间为πππ,π,63k k k−++∈ Z .（2）()1π,sin 2126f A A =∴−=，又π0,2A ∈，得ππ262A −=，即π3A =. 2sin ,sin sin sin c b Cc C B B=∴=， ABC ∴的面积π133sin 2sin 2tan ABC B S bc A BB+===+， π0,2ππ0π,32B B<< ∴ <−−<解得ππ62B <<，则tan B >，32tan B<+< 即ABC面积的取值范围为.19.解：（1）因为AG 与AB AC +同向，设()(0)AG AB AC λλ=+> ， 则()2cos AB AC AB AB AB ACGAB AG AB AG AB λλλ∠+⋅+⋅== ，()2cos AB AC AC AC AB ACGAC AG AC AG ACλλλ∠+⋅+⋅== ，又[],0,πGAB GAC ∠∠∈，因为AB AC =，所以cos cos GAB GAC ∠∠=，所以GAB GAC ∠∠=，由AG AB AG AB ⋅=，得cos GAB ∠=， 又[]0,πGAB ∠∈，所以ππ,63GAB BAC GAB GAC ∠∠∠∠==+=. （2）由（1）知π,3AB AC BAC ∠== . 所以AB BC = ，因为()(()1,0,,,,0A B C x y y −>，所以(()(,1,,2,AB AC x y BC x y ==+=−−，则2222(1)12,(2)(12,x y x y ++=−+=解得1,x y =− = 所以C 的坐标为(1,−.（3）设BC 的中点为D ，则()12AD AB AC =+ ，又()13AG AB AC =+ ，所以23AG AD = ，即G 为ABC 的重心，又ABC 是正三角形，点G 是ABC 的中心，所以2π,2,03AGB BGC CGA GA GB GC GA GB GC ∠∠∠======++= ， 由对称性，不妨设GC 与GP 的夹角为π,0,3θθ ∈，如图所示， ()()()2PA PB GA GP GB GP GA GB GA GB GP GP ⋅=−⋅−=⋅−+⋅+ 2π22cos 112cos 3GC GP θ=××+⋅+=−+ ， 由图可知，GB 与,GP GA 与GP 的夹角分别为2π2π,33θθ+−，所以,PB PC PC PA ⋅⋅ 的值分别为2π2π12cos ,12cos 33θθ −++−+−， 当π0,3θ ∈ 时，2π2πcos cos cos 33θθθ −+， 所以{}2πmin ,,12cos 3PA BP BP PC PC PA θ ⋅⋅⋅=−++，其取值范围是[]3,2−−， 所以{}min ,,PA PB PB PC PC PA ⋅⋅⋅ 的取值范围是[]3,2−−.。