高中数学第一章计数原理1.2.2组合与组合数公式(2)课件新人教A版选修2_3
2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合与组合数公式教案 新人教A版选修2-3.doc
2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合与组合数公式教案 新人教A版选修2-3
教学目标：组合、组合数的概念；
理解组合的意义，掌握组合数的计算公式．
教学过程：
1、复习、引入：
1．复习排列的有关内容：
2．提出问题：
1： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
2： 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？
引出课题：组合．．问题．
2、新授：
组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
注：1．不同元素 2．“只取不排”——无序性 3．相同组合：元素相同
练习 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题：
⑴ 从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览；（组合）
⑵ 从甲、乙、丙、丁四个学生中选出2个人担任班长和团支部书记．（排列）
组合数的概念：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号mnC表示．
例如：问题 2中从3个同学选出2名同学的组合可以为：甲乙，甲丙，乙丙．即有323C种组合．
又如：从A、B、C、D四个景点选出2个进行游览的组合：AB，AC，AD，BC，BD，CD一共6种组合，即：624C
（在讲解时一定要让学生去分析：要解决的问题是排列问题还是组合问题，
关键是看是否与顺序有关．）
那么又如何计算mnC呢？ 组合数公式的推导：
⑴提问：从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数34C是多少呢？
启发： 由于排列可以看成先组合后排序，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数34A 可以求得，故我们可以考察一下34C和34A的关系，如下：
组 合 排列
高中数学选修2-3(人教A版)第一章计数原理1.2知识点总结含同步练习及答案
描述：高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章计数原理 1.2排列与组合
一、学习任务
理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式和性质，并能用它们解决一些简单的应用
问题．
二、知识清单
排列数与组合数
三、知识讲解
1.排列数与组合数
排列的定义
一般地，从个不同元素中取出（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个
不同元素中取出个元素的一个排列（arrangement）．
排列数及排列数的公式
一般地，从个不同元素中取出（）个元素的所有不同排列的个数叫做从个不同元
素中取出个元素的排列数，用符号表示．
这里，，，并且．这个公式叫做排列数公式
．
个不同元素全部取出的一个排列，叫做
个元素的一个全排列，这时公式中，即有
正整数到的连乘积，叫做的阶乘，用 表示．另外，我们规定．所以排列数公
式还可以写成
组合的定义
一般地，从个不同元素中取出（）个元素合成一组，叫做从个不同元素中取出
个元素的一个组合（combination）．
组合数及组合数的公式
从个不同元素中取出（）个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取
出个元素的组合数，用符号 表示． n m m⩽n n
m
n m m⩽n n
m Amn
=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1),Amn
n m∈ N∗ m≤n
n n m=n
=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1.Ann
1 n n n! 0!=1
=.Amnn！
(n−m)！
n m m⩽n n
m
n m m⩽n n
m Cmn
例题：这里，，并且（）．这个公式叫做组合数公式．
因为，所以组合数公式还可以写成
另外，我们规定．
组合数的性质
性质： ；
性质： ．==,CmnAmnAmmn(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)
m！
nm∈
N
∗
m⩽n
=Amnn！
(n−m)！
=,Cmnn！
m！(n−m)！
=1C0n
1=CmnCn−mn2=+Cmn+1CmnCm−1n
判断下列问题是不是排列问题：
高中数学 1.1 2基本计数原理和排列组合教案 新人教A版选修选修2-3
2013年高中数学 1.1 2基本计数原理和排列组合教案 新人教A版选修选修2-3
一. 本周教学内容：
选修2—3 基本计数原理和排列组合
二. 教学目标和要求
1. 掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理，并能用两个计数原理解决一些简单的问题。
2. 理解排列和组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式，组合数公式，并解决简单的实际问题。
3. 让学生体会思想与方法，培养学生分析问题，解决问题的能力，激发学生学习的兴趣。注意问题的转化，分类讨论，注重数形结合，学会从不同的切入点解决问题。
三. 重点和难点
重点：两个基本计数原理的内容；排列和组合的定义，排列数和组合数公式及其应用
难点：两个计数原理的应用和应用排列组合数公式解决实际的问题
四. 知识要点解析
1. 两个基本计数原理
（1）分类加法计数原理：
做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法
（2）分步乘法计数原理：
做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的办法……做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法
说明：
（1）两个基本计数原理是解决计数问题最基本的理论根据，它们分别给出了用两种不同方式（分类和分步）完成一件事情的方法总数的计算方法
（2）考虑用哪个计数原理，关键是看完成一件事情是否能独立完成，决定是分类还是分步。如果完成一件事情有n类办法，每类办法都能独立完成，则用分类加法计数原理；如果完成一件事情，需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有步骤，才能完成这件事情，则用分步乘法计数原理
（3）在解决具体问题，要弄清是“分步”，还是“分类”，还要弄清“分步”或者“分类”的标准是什么，注意分类，分步不能重复，不能遗漏
第1章计数原理 专解2 求特定条件下方法种数 必备知识点 巩固练习-人教A版高中数学选修2-3
【必备知识点】
1.排列的定义
一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2.排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示.
3.排列数公式
，其中n，m∈N+，且m≤n．
4. 阶乘表示式
（1）全排列：
个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列.
全排列.
（2）阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘.表示：，即.
规定：．
（3）排列数公式的阶乘式：
所以．
5.组合定义：
一般地，从个不同元素中取出（）个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
mmnnmmnAA(1)(2)(1)mnnnnnmnn(1)(2)321nnAnnnnn!nnnA!n0!1(1)(2)(1)()21!A(1)(2)(1)()21()!mnnnnnmnmnnnnnmnmnm!A()!mnnnmnmmnnm专题二 求特定条件下方法种数 6.组合数及其公式
（1）组合数的定义：
从个不同元素中取出（）个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
（2）组合数的公式及推导
求从n个不同元素中取出m个元素的排列数，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这n个不同元素中取出m个元素的组合数；
第二步，求每一个组合中m个元素的全排列数．
根据分步计数原理，得到．
因此
这里n，m∈N+，且m≤n，这个公式叫做组合数公式．因为，所以组合数公式还可表示为：．
7. 组合数公式：
(1)（ 、，且）
(2) （ 、，且）
8.组合数的性质
性质1：（、，且）
性质2：（、，且）
高中数学组合1.3.2组合数的性质教学设计新人教A版选修23
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- 1 - 第五课时
教学目标：
1掌握组合数的两个性质；
2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题
教学重点：
掌握组合数的两个性质
教学过程
一、复习引入：
1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．．．．用符号mnC表示．
3．组合数公式的推导：
（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数mnA，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数mnC；② 求每一个组合中m个元素全排列数mmA，根据分步计数原理得：mnA＝mnCmmA．
（2）组合数的公式：
(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAmL或)!(!!mnmnCmn),,(nmNmn且
二、讲解新课：
1 组合数的性质1：mnnmnCC．
一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n m个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n m个元素的组合数，即：mnnmnCC．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想
证明：∵)!(!!)]!([)!(!mnmnmnnmnnCmnn
又 )!(!!mnmnCmn，∴mnnmnCC
说明：①规定：10nC； 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
- 2 - ②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；
高中数学 1.2排列与组合教材分析 新人教A版选修23
《排列与组合》教材分析
一、教材地位
《排列与组合》内容作为高中数学教学内容的一部分，在整个高中数学中占有重要地位，以计数问题为主要内容的排列与组合，是组合数学的最初步知识，它是学习二项式定理的重要基础,更是学习概率初步所必需具备的基础知识。通过学习排列组合可以大大提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，也是培养学生思维能力的不可多得的好素材，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系
二、教材内容的处理
目标分类上，体现“情感、态度与价值观”领域的目标；目标总量是不断增加的；目标层次的平均要求提高了； （2）从排列组合的课程内容来看，素材选取的数量和内容的丰富程度呈现递增的趋势； （3）从排列组合的课程难度上看，现行教材中排列组合内容的课程难度较大。 （4）从排列组合的编写体例上看，引例插图体现时代精神；框架结构逐渐完整、清晰、逻辑严密。 （5）从排列组合的例题和习题上看，例题和习题总量大体上是增加的趋势，习题类型多样；在习题的综合难度上，习题在“背景”、“探究”、“运算”和“推理”上的难度逐渐提高；在“知识含量”因素上，难度变化不大，一直处于比较平稳的状态。
三、课程教材内容的整合
在学习了分类加法与分步乘法计数原理的基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式，然后结合排列数与组合数的联系，推导出组合数公式，并总结出组合数的两个性质，以简化组合数的计算，并为推导二项式定理作好铺垫。
排列、组合与必修三所学的概率有密切的内在联系，通过本节内容与概率知识的学习，为第二章《离散型随机变量的分布列》的学习奠定基础。
四、教学的重点、难点
教学重点：
1、理解排列、组合的概念，排列问题和组合问题的区别；
2、排列数、组合数公式的推导及应用；
3、排列与组合的性质及其应用；
教学难点：
1、排列数、组合数公式的推导及应用
2、排列组合的综合应用
五、课时安排
本节教学约需5课时，具体分配如下：
第一课时 排列的概念，排列数公式的推导
数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合课堂练习(无答案)新人教A版选修2 3 试题
word
1 / 9 1.2 排列与组合
§1.2 排列与组合－排列（一）
【典型例题】
例1．从a, b, c, d这四个字母中取出两个进行排列，
（1）用计数原理计算总共有多少个排列？
（2）写出所有排列，数出个数；
（3）两种方法所得排列数一样吗？
例2．12名选手参加民歌大赛，比赛设一等奖，二等奖，三等奖各一名，每人最多获得一种奖项，一共有多少种不同的获奖情况？
【课堂练习】
1．计算
①4A24+5A35； ②A14+A24+A34+A44； ③2A712A35A1212．
word
2 / 9 2.（1）一天有六节课，安排6门学科，这一天的课程表有几种排法？
（2）上午有4节课，一个教师要上三个班级的课，每个班一节课，这个教师的课有几种排法？
§1.2 排列与组合－排列（二）
【典型例题】
用0，1，2，3，4，5这六个数字：
（1）能组成多少个无重复数字的四位数？
（2）能组成多少个四位数？
（3）能组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？
（5）能组成多少个比1325大的四位数？
【课堂检测】
7个人排成一排．
（1）一共有多少种不同的排列方法？
（2）其中甲必须排在中间的排法有多少种？
（3）其中甲不能排在最后一个位置的排法有多少种？
（4）其中甲不能排在第一个位置，也不能排在最后一个位置的排法有多少种？ word
3 / 9
§1.2 排列与组合－排列（三）
【典型例题】
例1.三个女生和三个男生排成一排,
（1）男生甲不能排在首位，可有多少种不同的排法？
（2）男生甲不能排在首位，男生乙不能排在末位，可有多少种不同的排法？
（3）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
（4）如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法？
（5）如果女生必须全分开，男生必须全分开，可有多少种不同的排法？
2018年秋高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 第1课时 排列与排列数公式学案 新人教A版选修2-3
教育资料
教育资料（一） 第1课时 排列与排列数公式
学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)顺序相同．
思考：如何理解排列的定义？
[提示] 可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同．
3．排列数与排列数公式
排列数定
义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Amn表示
全排列的概念 n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念 把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式 Amn＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式Amn＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况 Ann＝n！，1！＝1,0！＝1
思考：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号Amn只表示排列数，而不表示具体的排列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． ( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问教育资料
教育资料（一） 题． ( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题．
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题．
新人教A选修2-3教案：1.2.2组合
砚山县第三高级中学高二年级集体备课教案
理科数学
教材 选修2－3 周次 5 时间 2020.5.26
课题 第一章1．2．2组合 课时安排 2
主备 卢永成 辅备 王坤涛、卢应龙、欧云昆
§1．2．2组合
学情分析：要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.
教学目标：
（1）知识目标：理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合。明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题。
（2）过程与方法目标：了解组合数的意义，理解排列数mn与组合数 之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算。
（3）情感与能力目标：能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力。
教学重点：组合的概念和组合数公式
教学难点：组合的概念和组合数公式
教学突破点：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
教法、学法设计：讲授练习结合
课前准备：课件
教学过程设计： mnC 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.
排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.
2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3
2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-3
1 / 111 第一章测评
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)
1.若A𝑚4=18C𝑚3,则m等于( )
A.9 B.8 C.7 D.6
解析由A𝑚4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·𝑚(𝑚-1)(𝑚-2)3×2×1,得m-3=3,m=6.
答案D
2.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为( )
A.10 B.11 C.12
D.15
解析分类讨论:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.
答案B
3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于 ( )
A.32 B.-32 C.1 024 D.512
解析由二项式定理,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C1010(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32.
答案A 2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-3
2 / 112 4.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( )
A.A43种 B.A33A31种
C.C42A33种 D.C41C31A33种
解析先将4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有C42A33种.
答案C
5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( )