高中数学理科立体几何题型总结最新最全版含答案
1
立体几何（理科）
一、球类问题
1．【2018河南中原名校质检二】一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体，当正方体的棱长取最大值时，正方体的外接球的表面积是（ B ）
A. B. C. D.
2．【2018超级全能生全国联考】若正四棱锥PABCD内接于球O，且底面ABCD过球心O，则球O的半径与正四棱锥PABCD内切球的半径之比为（A ）
A. 31 B. 2 C. 3 D. 31
3．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（A ）
A. B. C. D.
4．【2018吉林长春一模】已知矩形 的顶点都在球心为 ，半径为 的球面上， ，且四棱锥 的体积为 ，则 等于（ A ）
A. 4 B. C.
D.
5．【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ B ）
A.
B.
C. D.
6．【2018河南漯河中学二模】四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ， 平面 ，则球 的表面积为（ D ）
A. B.
C.
D.
7、 (2019·广东一模)《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”.现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形．若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（A）
A．6π B．86π3 C．86π D．24π SABCAB4,4ABSASBSCABC233232332
8.【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ._____92
二、空间点线面问题
1．【2018衡水联考】在棱长为1的正方体中，点，分别是侧面与底面的中心，则下列命题中错误的个数为（ A ）
①平面； ②异面直线与所成角为；
③与平面垂直； ④．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2．【2018江苏南宁联考】在如图所示的正方体 中， 、 分别棱是 、 的中点，异面直线 与 所成角的余弦值为（ D ）
A.
B.
C.
D.
3.（2018·东城期末·7）某三棱锥的三视图如
图所示，该三棱锥的体积为B
A.B.C.D.
4.（2018·通州期末·8）如图，各棱长均为的正三棱柱，，分别为线段，上的动点，且∥平面， 则这样的有D
A．条B．条C．条D．无数条 1111ABCDABCDEF11AADDABCD//DF11DEBDF1BC601ED1BDC1112FCDBV21111ABCABCMN1AB1BCMN11ACCAMN123侧视图
俯视图 正视图 2
2 2 3
5.（2018·海淀期末·8）已知正方体的棱长为2，点M，N分别是棱的中点，点P在平面内，点Q在线段上，若，则PQ长度的最小值为C A.B.C.D.
6.（2018·朝阳期末·6）某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该四棱锥的体积为B
A．
B．C． D．
7．【2017课标3，文10】在正方体1111ABCDABCD中，E为棱CD的中点，则（C）
A．11AEDC⊥ B．1AEBD⊥
C．11AEBC⊥ D．1AEAC⊥
8．（2018北京文、理）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（C）
A．1B．2C．3D．4
9．（2018浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），
则该几何体的体积（单位：cm3）是（C ）
A．2 B．4 C．6 D．8 ]
1111ABCDABCD11,BCCD1111ABCD1AN5PM212442
侧视图俯视图正视图22114
10．（2018浙江）已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则（D）
A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1
11．（2018全国新课标Ⅰ文理9）某圆柱的高为2，底面周长为16，
其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为
A，圆柱表面上的点N
在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，
从M到N的路径中，最短路径的长度为（B）
A．217 B．25 C．3 D．2
12．（2018全国新课标Ⅰ文10）在长方体1111ABCDABCD中，2ABBC，1AC与平面11BBCC所成的角为30，则该长方体的体积为（C）
A．8 B．62 C．82 D．83
13．（2018全国新课标Ⅰ理）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（A）
A． B． C． D．
14．（2018全国新课标Ⅰ文5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直线12OO的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（B）
A．122π B．12π C．82π D．10π
15．（2018全国新课标Ⅱ文）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（C）
A． B． C． D．
16．（2018全国新课标Ⅲ文、理）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（A）
17．（2018全国新课标Ⅲ文、理）设，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（B）
A． B． C． D．
334233324321111ABCDABCDE1CCAECD22325272ABCDABC△93DABC123183243543 5
18．【2018黑龙江佳木斯一中调研】如图，正方体中，是四边形的中心，是的中点，则直线与所成的角的正切值为__________．
19．（2018天津文）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．
20．（2018天津理）已知正方体1111ABCDABCD的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为.
21．（2018全国新课标Ⅱ文）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
1111ABCDABCDFABCDG1CCGFAB213112SSASBSA30SAB△886
三、空间向量的应用
1．（2018全国新课标Ⅰ理）如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
答案：（1）略；（2）.
2．（2018全国新课标Ⅱ理）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，
求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析；（2）．
ABCD,EF,ADBCDFDFC△CPPFBFPEFABFDDPABFD34PABC22ABBC4PAPBPCACOACPOABCMBCMPAC30PCPAM34 PAOCBM7
3．（2018全国新课标Ⅲ理）如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，
求面与面所成二面角的正弦值．
25sin5.
4．（2018北京理）如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2． （Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF； （Ⅱ）求二面角B−CD−C1的余弦值；
（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．
ABCDCDMCDCDAMD⊥BMCMABCMABMCD111ABC1CC1AA11AC1BB51AA
高三数学立体几何多选题知识归纳总结含答案
高三数学立体几何多选题知识归纳总结含答案
一、立体几何多选题
1．如图，在直三棱柱111ABCABC中，12ACBCAA，90ACB，D，E，F分别为AC，1AA，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．1AC与EF相交 B．11//BC平面DEF
C．EF与1AC所成的角为90 D．点1B到平面DEF的距离为322
【答案】BCD
【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．
【详解】
对选项A，由图知1AC平面11ACCA，EF平面11ACCAE，且1.EAC由异面直线的定义可知1AC与EF异面，故A错误；
对于选项B，在直三棱柱111ABCABC中，11BC //BC．
D，F分别是AC，AB的中点，
//FDBC，11BC //FD．
又11BC平面DEF，DF平面DEF，
11BC //平面.DEF故B正确；
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则(0C，0，0)，(2A，0，0)，(0B，2，0)，1(2A，0，2)，1(0B，2，2)，1(0C，0，2)，(1D，0，0)，(2E，0，1)，(1F，1，0)．
(1EF，1，1)，1(2AC，0，2)．
1·2020EFAC，1EFAC，1EFAC．
EF与1AC所成的角为90，故C正确；
对于选项D，设向量(nx，y，)z是平面DEF的一个法向量．
(1DE，0，1)，(0DF，1，0)，
由nDEnDF，，，即·0·0nDEnDF，，，得00.xzy，
取1x，则1z，(1n，0，1)，
设点1B到平面DEF的距离为d．
又1(1DB，2，2)，
1·1023222DBndn，
点1B到平面DEF的距离为322，故D正确．
高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结(带答案)
高中数学第八章立体几何初步易错知识点总结
单选题
1、如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为
120°，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23B．24C．26D．27
答案：D
分析：作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
该几何体由直三棱柱𝐴𝐹𝐷−𝐵𝐻𝐶及直三棱柱𝐷𝐺𝐶−𝐴𝐸𝐵组成，作𝐻𝑀⊥𝐶𝐵于M
，如图，
因为𝐶𝐻=𝐵𝐻=3,∠𝐶𝐻𝐵=120∘
，所以𝐶𝑀=𝐵𝑀=3
√
3
2,𝐻𝑀=3
2，
因为重叠后的底面为正方形，所以𝐴𝐵=𝐵𝐶=3
√
3,
在直棱柱𝐴𝐹𝐷−𝐵𝐻𝐶中，𝐴𝐵⊥平面BHC
，则𝐴𝐵⊥𝐻𝑀,
由𝐴𝐵∩𝐵𝐶=𝐵可得𝐻𝑀⊥平面𝐴𝐷𝐶𝐵，
设重叠后的EG
与𝐹𝐻交点为𝐼,
则𝑉
𝐼−𝐵𝐶𝐷𝐴=1
3×3
√3×3
√3×3
2=27
2,𝑉
𝐴𝐹𝐷−𝐵𝐻𝐶=1
2×3
√3×3
2×3
√3=81
4
则该几何体的体积为𝑉=2𝑉
𝐴𝐹𝐷−𝐵𝐻𝐶−𝑉
𝐼−𝐵𝐶𝐷𝐴=2×81
4−27
2=27.
故选：D.
2、已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A．
√
3𝜋B．√
3
3C．√
3
3𝜋D．
√
3
答案：C
分析：求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
解：设圆锥的底面半径为r
，圆锥的母线长为l
，
由𝜋𝑙=2𝜋𝑟，得𝑙=2𝑟，
又𝑆=𝜋𝑟2
+𝜋𝑟⋅2𝑟=3𝜋𝑟2
=3𝜋，
所以𝑟2
=1，解得𝑟=1；
所以圆锥的高为ℎ=√𝑙2
−𝑟2
=√22
−12
=
√
3，
所以圆锥的体积为𝑉=1
3𝜋𝑟2
ℎ=1
3𝜋×12
×
√
3=√3
3𝜋．
故选：C．
3、一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（ ）
(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面整理
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识点总结全面
整理
单选题
1、过半径为4的球𝑂表面上一点𝑀作球𝑂的截面，若𝑂𝑀与该截面所成的角是30°，则𝑂到该截面的距离是（ ）
A．4B．2
√
3C．2D．1
答案：C
分析：作出球的截面图，根据几何性质计算，可得答案.
作出球的截面图如图：设A
为截面圆的圆心，O
为球心，
则𝑂𝐴⊥截面，AM
在截面内，即有𝑂𝐴⊥𝐴𝑀，
故∠𝑂𝑀𝐴=30∘
,所以𝑂𝐴=4×1
2=2 ,
即𝑂到该截面的距离是2，
故选：C
2、在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥𝑃−
𝐴𝐵𝐶𝐷为阳马，侧棱𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐴=2
√2，𝐴𝐵=𝐵𝐶=2，则该阳马的外接球的表面积为（ ）
A．4𝜋B．8𝜋C．16𝜋D．32𝜋
答案：C
分析：补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可
得出答案.
解：因为四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷为阳马，侧棱𝑃𝐴⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，
如图，补全该阳马所得到的长方体，
则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为𝑅，
则(
2𝑅)2
=𝐴𝐵2
+𝐵𝐶2
+𝑃𝐴2
=4+4+8=16，
所以𝑅=2，
所以该阳马的外接球的表面积为4𝜋𝑅2
=16𝜋.
故选：C.
3、如图，点𝑁为正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的中心，𝛥𝐸𝐶𝐷为正三角形，平面𝐸𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷,𝑀是线段𝐸𝐷的中点，则
A．𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是相交直线
B．𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是相交直线
C．𝐵𝑀=𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是异面直线
D．𝐵𝑀≠𝐸𝑁，且直线𝐵𝑀,𝐸𝑁是异面直线
答案：B
(精选试题附答案)高中数学第八章立体几何初步知识总结例题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第八章立体几何初步知识总结例题
单选题
1、如图，在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵∥𝐷𝐶且𝐴𝐵=2𝐷𝐶，点𝐸为线段𝐵𝐶的靠近点𝐶的一个四等分点，点𝐹为线段𝐴𝐷的中
点，𝐴𝐸与𝐵𝐹交于点𝑂，且𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
，则𝑥+𝑦的值为（ ）
A．1B．5
7C．14
17D．5
6
答案：C
分析：由向量的线性运算法则化简得到𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
==(𝑥−𝑦
2)𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+2𝑦𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑
和𝐵𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
=(1−𝑥)𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
+4𝑦
3𝐵𝐸⃑⃑⃑⃑⃑
，结合𝐵,𝑂,𝐹三点共
线和𝐴,𝑂,𝐸三点共线，得出2𝑥+3𝑦−2=0和3𝑥−4𝑦=0，联立方程组，即可求解.
根据向量的线性运算法则，可得𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦(𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
+𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
)
=𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
−𝑦𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦𝐴𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
=(𝑥−𝑦)𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦⋅(𝐴𝐷⃑⃑⃑⃑⃑
+𝐷𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
)
=(𝑥−𝑦)𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦⋅(2𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑
+1
2𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
)=(𝑥−𝑦)𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+2𝑦𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑
+1
2𝑦𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
=(𝑥−𝑦
2)𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+2𝑦𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑
，
因为𝐵,𝑂,𝐹三点共线，可得𝑥−𝑦
2+2𝑦=1，即2𝑥+3𝑦−2=0；
又由𝐵𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
+𝐴𝑂⃑⃑⃑⃑⃑
=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑥𝐴𝐵⃑⃑⃑⃑⃑
+𝑦𝐵𝐶⃑⃑⃑⃑⃑
=𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
−𝑥𝐵𝐴⃑⃑⃑⃑⃑
高中数学立体几何专题：空间距离的各种计算(含答案)
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高中数学立体几何 空间距离
1.两条异面直线间的距离
和两条异面直线分别垂直相交的直线，叫做这两条异面直线的公垂线；两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
2.点到平面的距离
从平面外一点引一个平面的垂线，这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.
3.直线与平面的距离
如果一条直线和一个平面平行，那么直线上各点到这平面的距离相等，且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.
4.两平行平面间的距离
和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.
题型一：两条异面直线间的距离
【例1】 如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a，E、F分别是AB、CD的中点.
(1)求证：EF是AB和CD的公垂线；
(2)求AB和CD间的距离；
【规范解答】 (1)证明：连结AF，BF，由已知可得AF=BF.
又因为AE=BE，所以FE⊥AB交AB于E.
同理EF⊥DC交DC于点F.
所以EF是AB和CD的公垂线.
(2)在Rt△BEF中，BF=a23,BE=a21,
所以EF2=BF2-BE2=a212，即EF=a22.
由(1)知EF是AB、CD的公垂线段，所以AB和CD间的距离为a22.
【例2】 如图,正四面体ABCD的棱长为1，求异面直线AB、CD之间的距离.
设AB中点为E，连CE、ED.
∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.
∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF，则AB⊥EF.
同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.
∵CE=23,∴CF=FD=21,∠EFC=90°,EF=22212322.
∴AB、CD的距离是22.
【解后归纳】 求两条异面直线之间的距离的基本方法：
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理(带答案)
高中数学必修二第八章立体几何初步知识点总结全面整理
单选题
1、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法错误的是（ ）
A．若𝑚⊥𝑛，𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽B．若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，𝑛//𝛽，则𝛼⊥𝛽
C．若𝑚⊥𝑛，𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，则𝛼//𝛽D．若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，𝑛⊥𝛽，则𝛼//𝛽
答案：C
分析：利用线面垂直的判定性质、面面垂直的判定推理判断A，B；举例说明判断C；利用线面垂直的判定性
质判断D作答.
对于A，因𝑚⊥𝑛，𝑚⊥𝛼，当𝑛⊂𝛼时，而𝑛⊥𝛽，则𝛼⊥𝛽，
当𝑛⊄𝛼时，在直线𝑚上取点𝑃，过𝑃作直线𝑛′//𝑛，则𝑚⊥𝑛′，过直线𝑚,𝑛′的平面𝛾∩𝛼=𝑙，如图，
由𝑚⊥𝛼得𝑚⊥𝑙，于是得𝑙//𝑛′//𝑛，而𝑛⊥𝛽，则𝑙⊥𝛽，而𝑙⊂𝛼，所以𝛼⊥𝛽，A正确；
对于B，若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼，又𝑛//𝛽，则存在过直线𝑛的平面𝛿，使得𝛿∩𝛽=𝑐，
则有直线𝑐//𝑛，即有𝑐⊥𝛼，所以𝛼⊥𝛽，B正确；
对于C，如图，在长方体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴
1𝐵
1𝐶
1𝐷
1中，平面𝐴𝐵𝐶𝐷为平面𝛼，直线𝐴
1𝐵
1为直线𝑚，
平面𝐴𝐷𝐷
1𝐴
1为平面𝛽，直线𝐵
1𝐶
1为直线𝑛，满足𝑚⊥𝑛，𝑚//𝛼，𝑛//𝛽，而𝛼∩𝛽=𝐴𝐷，C不正确；
对于D，若𝑚//𝑛，𝑚⊥𝛼，则𝑛⊥𝛼，又𝑛⊥𝛽，于是得𝛼//𝛽，D正确
. 故选：C
2、已知圆锥的底面半径为𝑅，高为3𝑅，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是（ ）
A．2𝜋𝑅2B．94𝜋𝑅2C．83𝜋𝑅2D．𝜋𝑅2
答案：B
分析：根据圆柱的表面积公式以及二次函数的性质即可解出．
设圆柱的底面半径为𝑟，圆柱的高为ℎ，所以在轴截面三角形中，如图所示：
2024届新高考数学大题精选30题--立体几何含答案
1大题 立体几何
1(2024·黑龙江·二模)如图，已知正三棱柱ABC-A
1B
1C
1的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的
中点，N是AB
1的中点，P是B
1C
1的中点．
(1)证明：MN⎳平面A
1CP；
(2)求点P到直线MN的距离．
2(2024·安徽合肥·二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=
60°,M是侧棱PC的中点，侧面PAD为正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD．
(1)求三棱锥M-ABC的体积；
(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值．2024届新高考数学大题精选30题--立体几何
23(2023·福建福州·模拟预测)如图，在三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，平面AA
1C
1C⊥平面ABC,AB=
AC=BC=AA
1=2，A
1B=6．
(1)设D为AC中点，证明：AC⊥平面A
1DB；
(2)求平面A
1AB
1与平面ACC
1A
1夹角的余弦值．
4(2024·山西晋中·三模)如图，在六面体ABCDE中，BC=BD=6，EC⊥ED，且EC=ED=
2，AB平行于平面CDE，AE平行于平面BCD，AE⊥CD.
(1)证明：平面ABE⊥平面CDE；
(2)若点A到直线CD的距离为22，F为棱AE的中点，求平面BDF与平面BCD夹角的余弦值．
35(2024·辽宁·二模)棱长均为2的斜三棱柱ABC-A
1B
1C
1中，A
1在平面ABC内的射影O在棱
AC的中点处，P为棱A
1B
1(包含端点)上的动点．
(1)求点P到平面ABC
1的距离；
(2)若AP⊥平面α，求直线BC
1与平面α所成角的正弦值的取值范围．
6(2024·重庆·模拟预测)在如图所示的四棱锥P-ABCD中，已知AB∥CD，∠BAD=90°
，CD=
2AB，△PAB是正三角形，点M在侧棱PB上且使得PD⎳平面AMC．
(1)证明：PM=2BM；
(2)若侧面PAB⊥底面ABCD，CM与底面ABCD
所成角的正切值为3
11，求二面角P-AC-B的余弦
值．
47(2024·安徽·模拟预测)2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平主席对
高考数学(文)一轮复习专题训练：立体几何(含答案)
高三数学文一轮复习专题突破训练
立体几何
一、选择、填空题
1、（2016年全国I卷）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283，则它的表面积是
（A）17 （B）18
（C）20 （D）28
2、（2016年全国II卷）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为
（A）12 （B）323
（C） （D）
3、（2016年全国I卷）平面过正方体1111ABCDABCD的顶点A，//平面11CBD，平面ABCDm，平面11ABBAn，则m，n所成角的正弦值为
（A）32 （B）22
（C）33 （D）13
4、（2016年全国II卷）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π
5、（2016年全国III卷）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 αAA1BB1DCC1D1
（A）18365 （B）54185 （C）90 （D）81
6、（2016年全国III卷）在封闭的直三棱柱111ABCABC内有一个体积为V的球，若ABBC，6AB，8BC，13AA，则V的最大值是
（A）4π （B）92 （C）6π （D）323
7、（2015年全国I卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）
(word版)高中数学立体几何方法题型总结,文档
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立体几何
重要定理：
1〕直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.
2〕直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
3〕平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 .
4〕两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面 .
两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面P .
5〕推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，那么它们交线垂直于第三平面 .
证明：如图，找 O作OA、OB分别垂直于l1,l2， BMA
因为PM,OA ,PM,OB那么PMOA,PMOB. θ O
一：夹角问题
①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次 .
②直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角的取值范围依次是 ．
异面直线所成角：范围： (0,90]
〔1〕平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。 (常用
2 2 2 a
到余弦定理 a bc
) c
cos 2ab θ b
2〕补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；
ABAC
(3)向量法。转化为向量的夹角 cos (计算结果可能是其补角 ) AB AC 直线与平面所成的角 ＝0o时，b∥或b 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；
高三理科数学立体几何复习资料(含答案)
空间简单几何体
一.技能要求：
1.了解柱、锥、台、球的定义、结构特征、性质及它们之间的关系.
(直棱柱:侧棱与底面垂直的棱柱.正棱柱:底面是正多边形的直棱柱. 正棱锥:底面是正多边形,棱锥的顶点在底面的射影是正多边形的中心,各侧面是全等的等腰三角形.)
2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图,能识别上述的三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.
3.掌握球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
二.知识点梳理:
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(1).棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面休叫做棱柱.
(2).棱锥:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
(3).用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间部分,这样的多面体叫做棱台.
2.空间几何体的表面积
(1).棱柱、棱锥、棱台表面积的计算:棱柱、棱锥、棱台是由若干个平面图形围成的几何体,，它们的表面积就是各表面的面积之和．
(2).圆柱、圆锥、圆台的表面积
圆柱:圆柱的侧面展开图是一个矩形,如果圆柱的底面半径为r,母线长为l,则圆柱的表面积为22π2πSrlr.
圆锥:圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l,则圆锥的表面积为21(2π)π2Srlr.
圆台:圆台的侧面展开图是一个扇环.如果圆台的上、下底面半径为12rr，,母线长为l,则圆台的表面积为''22(22)π2rrSrrl．
3.柱体、锥体、台体的体积
(1).柱体的体积公式:VSh（S为底面面积,h为高）．
(2).锥体的体积公式:13VSh（S为底面面积,h为高）．
(3).台体的体积公式:1()3VSSSSh（SS，分别为上下底面面积,h为高）．