浙江省杭州市余杭区2018-2019学年九年级上期末数学模拟试卷(含答案)

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2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d 2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+24．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）A．3B．C．2D．6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC ＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（）A．B．m•sin a C．m•cos a D．8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45°B．60°C．72°D．90°9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）A．3：5B．4：9C．3：4D．2：310．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）计算：sin60•tan45°＝．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB＝AB，E为AC 上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为．13．（4分）⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为cm．14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为．15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，与的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为．16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为．三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．（1）在图中画出△AB1C1．（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m 在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．（1）求证：AD＝DB．（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．2018-2019学年浙江省杭州市滨江区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知线段a，b，c，d满足ab＝cd，则把它改写成比例式正确的是（）A．a：d＝c：b B．a：b＝c：d C．c：a＝d：b D．b：c＝a：d【解答】解：A、∵a：d＝c：b，∴ab＝cd，故选项正确；B、∵a：b＝c：d，∴ad＝bc，故选项错误；C、∵c：a＝d：b，∴bc＝ad，故选项错误；D、∵b：c＝a：d，∴ac＝bd，故选项错误．故选：A．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：当x＝0时，y＝﹣1，则与y轴的交点坐标为（0，﹣1）；当y＝0时，x2﹣2x﹣1＝0，△＝8＞0．则与x轴有两个交点；综上所述，抛物线y＝x2﹣2x﹣1与坐标轴一共有3个交点．故选：D．3．（3分）抛物线y＝3x2向左平移1个单位，再向上平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝3（x﹣1）2﹣2B．y＝3（x+1）2﹣2C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2+2【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，2），可得新抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2，故选：C．4．（3分）在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们除颜色外其余都相同，随机从袋中摸出1个球，恰好是红球的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从袋中摸出一个球是红球的概率＝＝；故选：B．5．（3分）如图，点F，G分别在直线AB，CE上，AE∥FG∥BC，若AB＝3FB，EG＝6，则GC长为（）A．3B．C．2D．【解答】解：∵AB＝3FB，AB＝AF+FB，∴AF＝2FB．∵AE∥FG∥BC，∴＝＝2，∴GC＝EG，∵EG＝6，∴GC＝3．故选：A．6．（3分）已知圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠D的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．135°【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠A：∠B：∠C：∠D＝1：2：3：2，而∠B+∠D＝180°，∴∠D＝×180°＝90°．故选：C．7．（3分）在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC ＝m，钢管与地面所成角∠ABC＝∠a，那么钢管AB的长为（）A．B．m•sin a C．m•cos a D．【解答】解：在Rt△ABC中，∴sin∠ABC＝，∴AB＝，故选：D．8．（3分）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（）A．45°B．60°C．72°D．90°【解答】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，∴五边形ABCDE的中心角＜AOB的度数为＝72°，∴劣弧AB的度数是72°，故选：C．9．（3分）如图，在△ABC中，点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，四边形DFGE和四边FBCG的面积分别是S1和S2，则S1：S2为（）A．3：5B．4：9C．3：4D．2：3【解答】解：∵点D，F是AB的三等分点，E，G是AC的三等分点，∴DE∥FG∥BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC，设△ADE的面积为m．∴＝（）2＝，∴S△AFG＝4m，同法可得：S△ABC＝9m，∴S1＝3m，S2＝5m，∴S1：S2＝3：5，故选：A．10．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点（﹣2，0），且满足9a+3b+c＜0．以下结论：①a+b＜0；②4a+c＜0；③对任何的x，都有y≥+c；④a2﹣5ab＜bc．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【解答】解：点（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得到b＝2a+c，c＝2b﹣4a，①∵9a+3b+c＜0，∴当x＝3时，y＜0，∴对称轴x＝﹣＞，∴＜0，∵a＞0，∴a+b＜0；①正确；②4a+c＝4a+2b﹣4a＝2b＜0，②正确；③当x＝时，y＝++c，∵对称轴x＞，③不正确；④a2﹣5ab﹣bc＝a2﹣5ab﹣b（2b﹣4a）＝a2﹣ab﹣2b2＝（a﹣2b）（a+b），∵a+b＜0，b＜0，∴（a﹣2b）（a+b）＜0，∴a2﹣5ab＜bc；④正确；故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分）11．（4分）计算：sin60•tan45°＝．【解答】解：∵sin60°＝，tan45°＝1，∴sin60°•tan45°＝×1＝．故答案为．12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝15，D为AB上一点，DB＝AB，E为AC 上一点，∠ADE＝∠ACB，则AE的长为．【解答】解：∵AB＝12，DB＝AB，∴AD＝AB＝8，∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠ACB，∴△ADE∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AE＝，故答案为：．13．（4分）⊙O的弦AB长为4cm，弦AB所对的圆心角为120°，则弦AB的弦心距为2cm．【解答】解：作OC⊥AB于C，如图，∴AC＝BC＝AB＝2cm，∵OA＝OB，∴∠A＝∠B，而∠AOB＝120°，∴∠A＝30°，∴OC＝AC＝×2＝2，即AB的弦心距为2cm．故答案为：2．14．（4分）如图，已知抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y2＝mx+n（m≠0）交于点A，B，点A，B的横坐标分别是﹣2，，则不等式ax2+bx+c＜mx+n的解为﹣2＜x＜．【解答】解：由图象可知ax2+bx+c＜mx+n的解即为直线在抛物线上方时，∴﹣2＜x＜；故答案为﹣2＜x＜；15．（4分）如图，⊙O的半径为6，MN为直径，AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD，与的度数和为150°，则图中两块阴影部分面积和为15π．【解答】解：如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB＝α，∠DOC＝β．∵AB∥MN∥CD，∴S△ODC＝S△CDN，S△AOB＝S△ABN，∴S阴＝S扇形OAB+S扇形ODC＝+＝（α+β）＝×150＝15π，故答案为15π．16．（4分）如图，已知△ABC和△DCE是等边三角形，连结BE，连结DA并延长交CE于点F，交BE于点G，CD＝6，EF＝2，那么EG的长为．【解答】解：连接CG，过点E作EM⊥CG，交CG延长线于点M，∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC＝AC，EC＝CD＝6，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠BAE＝∠ACD，且BC＝AC，EC＝CD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴∠CEB＝∠CDA，∴点C，点D，点E，点G四点共圆，∴∠CED＝∠CGD＝60°，∠EGD＝∠ECD＝60°，∴∠EGM＝60°，∠EGD＝∠CGD，∴GD平分∠EGC，∴，∵EC＝6，EF＝2，∴FC＝4，∴，∴设GE＝x，GC＝2x，∵∠EGM＝60°，EM⊥CG，∴MG＝，EM x，在Rt△EMC中，CE2＝CM2+ME2，∴36＝x2+x2，∴x＝∴GE＝故答案为：三、解答题（本大题有7个小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 17．（6分）如图所示，△ABC的各顶点都在8×8的网格中的格点（即各个小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长都为1，△ABC绕点A顺时针旋转90°得后到的△AB1C1．（1）在图中画出△AB1C1．（2）求出在△ABC旋转过程中点B经过的路线总长度．【解答】解：（1）△AB1C1即为所求．（2）∵AB＝＝∴点B经过的路线总长度＝＝π．18．（8分）小辉和小聪两人在玩转盘游戏时，把一个可以自由转动的转盘A分成3等份的扇形区域，把转盘B分成2等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），游戏规则：同时转动两个转盘，当两转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为2的倍数，则小辉获胜；若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，则小聪获胜，如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．在这个游戏中，小辉、小聪两人获胜的概率分别是多少？该游戏规则对双方公平吗？【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中小辉获胜的概率＝＝，小聪两人获胜的概率＝＝，因为＞，所以该游戏规则对双方不公平．19．（8分）某农场拟建三间矩形牛饲养室，饲养室的一面全部靠现有墙（墙长为40m），饲养室之间用一道用建筑材料做的墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为60m，设三间饲养室合计长x（m），总占地面积为y（m2）．（1）求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围．（2）x为何值时，三间饲养室占地总面积最大？最大为多少？【解答】解：（1）根据题意得，y＝x（60﹣x）＝﹣x2+15x，自变量的取值范围为：0＜x≤40；（2）∵y＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣30）2+225，∴当x＝30时，三间饲养室占地总面积最大，最大为225（m2）．20．（10分）如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m 在点B，C处分别测得气球A的仰角∠ABD为30°，∠ACD为45°．求气球A离地面的高度AD（结果保留根号）．【解答】解：设AD＝x，∵AD⊥CD，∠ACD＝45°，∴CD＝AD＝x，∵AD⊥BD，∠ABD＝30°，∴BD＝AD＝x，∵BC＝BD﹣CD＝20，∴x﹣x＝20，解得：x＝10+10；答：气球A离地面的高度AD为（10+10）m．21．（10分）已知：如图OA是⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，连结OD并延长交⊙O于点E，连结AE．（1）求证：AD＝DB．（2）若AO＝10，DE＝4，求AE的长．【解答】解：（1）在⊙C中，∵OA是直径，∴∠ADO＝90°，即OD⊥AB，在⊙O中，由OD⊥AB知AD＝BD；（2）∵AO＝EO＝10，DE＝4，且∠ADO＝90°，∴OD＝6，AD＝8，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4．22．（12分）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝（x﹣m）（x+m+1），其中m≠0．（1）若函数y1的图象经过点（2，6），求函数y1的函数表达式．（2）若一次函数y2＝mx+n的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数m，n满足的关系式．（3）已知点P（x0，a）和Q（﹣1，b）在函数y1的图象上，若a＞b，求x0的取值范围．【解答】解：（1）由函数y1的图象经过点（2，6），得：（2﹣m）（3+m）＝6，解得：m＝0或m＝﹣1，又m≠0，∴m＝﹣1，则函数y1的函数表达式为y＝（x+1）x＝x2+x；（2）当y＝0时，（x﹣m）（x+m+1）＝0，解得：x1＝m，x2＝﹣m﹣1，∴y1的图象与x轴的交点为（m，0），（﹣m﹣1，0），当y2＝mx+n的图象过点（m，0）时，m2+n＝0，即n＝﹣m2；当y2＝mx+n的图象过点（﹣m﹣1，0）时，﹣m2﹣m+n＝0，即n＝m2+m；综上，n＝﹣m2或n＝m2+m；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣，∴点Q（﹣1，b）关于对称轴的对称点为（0，b），当点P在对称轴左侧时，由a＞b知x0＜﹣1；当点P在对称轴右侧时，由a＞b知x0＞0；综上，若a＞b，则x0的取值范围是x0＜﹣1或x0＞0．23．（12分）已知在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）若AD是∠BAC的角平分线，AD交边BC于点D，经过D点作DE⊥AB于点E（如图（1）．请求出BE的长及tan的值．（2）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若BC＝CF，如图2，请证明：△ABC∽△BGC．（3）点F是边AC上的一点，连结BF，把△ABF沿着直线BF对折得到△A′BF，A′B 与AC交于点G．若A′F＝A′G，如图3，请求出的值（可以直接利用第（1）题求得的结论）．【解答】解：（1）如图1中，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝10，∵AD是角平分线，∴∠DAE＝∠DAC，∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠C＝90°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC（AAS），∴CD＝DE，AE＝AC＝8，∴BE＝AB﹣AE＝2，设CD＝DE＝x，则BD＝6﹣x，∵∠DEB＝90°，∴（6﹣x）2＝22+x2，∴x＝，∴tan＝tan∠DAC＝＝＝．（2）如图2中，∵BC＝CF，∠C＝90°，∴∠BFC＝∠CBF＝45°，∴∠A+∠ABF＝∠BFC＝∠CBF＝∠FBG+∠GBC，由对称的性质可知：∠ABF＝∠GBF，∴∠GBC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BGC．（3）如图3中，作A′H⊥AC于H．∵A′F＝A′G，A′H⊥FG，∴FH＝GH，∠HA′G＝∠F A′G＝∠A＝∠DAC，∴tan∠HA′G＝tan∠DAC＝，∵∠HA′G＝∠C＝90°，又∵∠HGA′＝∠CGB，∴△HGA′∽△CGB，∴∠CBG＝∠GA′H＝∠A，且＝，tan∠CBG＝tan∠A＝，∵BC＝6，∠C＝90°，∴CG＝2，AG＝6，设FH＝GH＝x，∵tan∠HA′G＝，∴A′H＝3x，AF＝A′G＝x，∴x+2x＝6，∴x＝﹣2，∴HG＝FH＝﹣2，BG＝2∴A′G＝A′B﹣BG＝AB﹣BG＝10﹣2，∴＝＝．。

2017-2018学年杭州市余杭区九年级上期末数学试卷及答案解析

2017-2018 学年杭州市余杭区九年级上期末数学试卷及答案分析2017-2018 学年杭州市余杭区九年级（上）期末数学试卷一、选择题1．（ 3 分） sin30 的°值是（）A．B．C．D．2．（ 3 分）以下事件中，属于必定事件的是（）A．翻开电视机正在播放广告B．扔掷一枚质地平均的硬币 100 次，正面向上的次数为50 次C．随意画一个三角形，其内角和为180°D．随意一个二次函数图象与x 轴必有交点3．（3 分）函数 y=x2 +2x﹣ 4 的极点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（3 分）如图， C 是圆 O 上一点，若圆周角∠ACB=36°，则圆心角∠ AOB 的度数是（）A．18° B．36° C．54° D．72°5．（ 3 分）已知 AB=2，点 P 是线段 AB 上的黄金切割点，且AP＞ BP，则 AP 的长为（）A．B．C．D．6．（ 3 分）已知（ 1， y1），（﹣ 2， y2），（﹣ 4，y3）是抛物线 y=﹣ 2x2﹣ 8x﹣m 上的点，则（）A． y1＜ y2＜ y3B．y3＜ y2＜ y1C． y1＜y3＜ y2D．y3＜ y1＜ y27．（ 3 分）如图，每个小正方形边长均为1，则以下图中的三角形（暗影部分）与左图中△ABC相像的是（）A．B．C．D．8．（ 3 分）如图，已知圆O 的半径为 10， AB⊥ CD，垂足为 P，且 AB=CD=16，则 OP 的长为（）A． 6 B．C．8 D．9．（3 分）如图，抛物线与x 轴交于 A、 B 两点，以线段AB 为直径的半圆与抛物线在第二象限的交点为 C，与 y 轴交于 D 点，设∠ BCD=α，则的值为（）A． sin2αB． cos2αC． tan 2αD． tan ﹣2α10．（3 分）一堂数学课上老师给出一题：“已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（，0）（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C，若△ ABC为等腰三角形，试求出知足条件的k 值”．学生求出 k 值的答案有①；；②；③；④ 2．则此题知足条件的k 的值为（）A．①②④B．①③④C．②D．①②③④二、填空题11．（4 分）若 7x=3y，则=．12．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，sinB=，则tanB=．13．（4 分）为了预计暗箱里白球的数目（箱内只有白球），将5个红球放进去，随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，多次重复或发现红球出现的频次约为，那么能够估计暗箱里白球的数目大概为个．14．（ 4 分）如图， AB 是圆 O 的直径，∠ A=30°， BD 均分∠ ABC， CE⊥AB 于 E，若 CD=6，则 CE 的长为．15．（4 分）若函数 y=（ a﹣ 2） x2﹣ 4x+a+1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 a 的值为．16．（4 分）如图，矩形ABCD的长为 6，宽为 4，以 D 为圆心， DC 为半径的圆弧与以BC为直径的半圆 O 订交于点 F，连结CF并延伸交 BA 的延伸线于点 H， FH?FC= ．三、解答题17．（ 6 分）现现在，“垃圾分类”意识已人心所向，如图是生活中的四个不一样的垃圾分类投放桶．此中甲投放了一袋垃圾，乙投放了两袋垃圾．（1）直接写出甲投放的垃圾恰巧是“厨余垃圾”的概率；（2）求乙投放的两袋垃圾不一样类的概率．18．（ 8 分）如图，一艘舰艇在海面下 600 米 A 处测得俯角为 30°前下方的海底 C 处有黑匣子信号发出，持续在同一深度直线航行 2000 米后再次在 B点处测得俯角为 60°前下方的海底 C处有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C 处距离海面的深度（结果保存根号）19．（8 分）如图，弧 AB 的半径 R 为 6cm，弓形的高CD=h 为 3cm．求弧 AB 的长和弓形ADB 的面积．20．（10 分）如图，已知二次函数图象的极点坐标为 C（2，0），直线 y=x+m 与二次函数的图象交于 A， B 两点，此中点 A 在 y 轴上， B 点（ 8，9）．（ 1）求二次函数的表达式；（ 2） Q 为线段 AB 上一动点（不与 A， B 重合），过点 Q 作 y 轴的平行线与二次函数交于点 P，设线段 PQ 长为 h，点 Q 横坐标为 x．求① h 与 x 之间的函数关系式；②△ ABP面积的最大值．21．（10 分）如图，四边形ABCD中，∠ A=∠ B=90°， P 是线段 AB 上的一个动点．（ 1）若 AD=2，BC=6， AB=8，且以 A， D， P 为极点的三角形与以B，C，P 为极点的三角形相像，求AP 的长；（ 2）若 AD=a， BC=b， AB=m，则当 a， b， m 知足什么关系时，必定存在点 P 使△ ADP∽△ BPC？并说明原因．22．（12 分）已知二次函数y=x2+2bx+c（1）若 b=c，能否存在实数 x，使得相应的 y 的值为 1？请说明原因；（2）若 b=c﹣2， y 在﹣ 2≤x≤2 上的最小值是﹣ 3，求 b 的值．23．（12 分）已知：如图， AB 是圆 O 的直径， CD是圆 O 的弦，AB⊥CD，E 为垂足， AE=CD=8，F 是CD 延伸线上一点，连结 AF 交圆 O 于 G，连结 AD、 DG．（1）求圆 O 的半径；（2）求证：△ ADG∽△ AFD；（3）当点 G 是弧 AD 的中点时，求△ ADG得面积与△ AFD 的面积比．参照答案一、选择题1．A．2．C．3． C．4．D5．B6．C7．B8．B9．C．10．B．二、填空题11．．12．．13．20．14．3．15．﹣2或2或3．16．．三、解答题17．解：（1）∵垃圾要按A， B， C、 D 类分别装袋，甲投放了一袋垃圾，∴甲投放的垃圾恰巧是 A 类：厨余垃圾的概率为：；（ 2）记这四类垃圾分别为A、 B、C、D，画树状图以下：由树状图知，乙投放的垃圾共有16 种等可能结果，此中乙投放的两袋垃圾不一样类的有12 种结果，因此乙投放的两袋垃圾不一样类的概率为=．18．解：由 C 点向 AB 作垂线，交AB 的延伸线于 F 点，并交海面于H 点．已知 AB=2000（米），∠ BAC=30°，∠ FBC=60°，∵∠ BCA=∠ FBC﹣∠ BAC=30°，∴∠ BAC=∠BCA．∴ BC=BA=2000（米）．在 Rt△BFC中，FC=BC?sin60°=2000×=1000 （米）．∴ CH=CF+HF= 100+600（米）．答：海底黑匣子 C 点处距离海面的深度约为（1000 +600）米．19．解：由题意： CO=R﹣h=6﹣3=3（cm）在△ BCO中，∵ cos∠ COB= = =，∴∠ COB=60°，∴∠ AOB=60°× 2=120°，则==4π（cm）．S弓形ADB=S扇形AOB﹣ S△AOB=﹣?6?3=12 π﹣ 9．20．解：（1）设抛物线分析式为y=a（x﹣ 2）2，把 B（ 8， 9）代入得 a（8﹣2）2=9，解得 a=，∴抛物线分析式为y=（x﹣2）2，即 y= x2﹣ x+1；（2）①把 B（ 8，9）代入 y=x+m 得 8+m =9，解得 m=1，因此直线 AB 的分析式为 y=x+1，设 P（x， x2﹣ x+1）（0＜ x＜ 8），则 Q（x，x+1），∴ h=x+1﹣（ x2﹣x+1） =﹣ x2+2x（ 0＜ x＜8）；②S△ABP=S△APQ+S△BPQ= ?PQ?8=﹣4（ x2﹣ 2x） =﹣x2+8x=﹣（ x﹣4）2 +16，721．解：（1）设 AP=x．∵以 A， D，P 为极点的三角形与以B，C， P 为极点的三角形相像，①当=时，=，解得x=2或8．②当=时，=，解得x=2，∴当 A， D，P 为极点的三角形与以B，C， P 为极点的三角形相像，AP 的值为 2 或 8；（ 2）设 PA=x，∵△ ADP∽△ BPC，∴=，∴=，整理得： x2﹣ mx+ab=0，由题意△≥ 0，∴ m 2﹣ 4ab≥ 0．∴当 a，b， m 知足 m2﹣ 4ab≥0 时，必定存在点P 使△ ADP∽△ BPC．22．解：（1）由 y=1 得 x2+2bx+c=1，∴ x2+2bx+c﹣1=0∵△ =4b2﹣ 4b+4=（2b﹣ 1）2+3＞ 0，则存在两个实数，使得相应的y=1；（2）由 b=c﹣2，则抛物线可化为 y=x2+2bx+b+2，其对称轴为 x=﹣b，①当 x=﹣ b≤﹣ 2 时，则有抛物线在 x=﹣ 2 时取最小值为﹣ 3，此时﹣3=（﹣ 2）2+2×（﹣ 2） b+b+2，解得 b=3；②当 x=﹣ b≥ 2 时，则有抛物线在 x=2 时取最小值为﹣ 3，此时﹣ 3=22+2×2b+b+2，解得 b=﹣，不合题意，舍去，③当﹣ 2＜﹣ b＜ 2 时，则=﹣ 3，化简得： b2﹣b﹣5=0，解得： b1=（不合题意，舍去）， b2=．综上：b=3或．23．解：（1）如图 1，连结 OC，设⊙ O 的半径为 R，∵ AE=8，∴ OE=8﹣ R，∵直径 AB⊥CD，∴∠ CEO=90°，CE=C D=4，在 Rt△CEO中，依据勾股定理得， R2﹣（ 8﹣R）2=16，∴ R=5，即：⊙ O 的半径为 5；（ 2）如图 2，连结 BG，∴∠ ADG=∠ ABG，∵ AB 是⊙ O 的直径，∴∠ AGB=90°，∴∠ ABG+∠BAG=90°，∴∠ ADG+∠BAG=90°，∵AB⊥CD，∴∠ BAG+∠ F=90°，∴∠ ADG=∠F，∵∠ DAG=∠FAD，∴△ ADG∽△ AFD；（3）如图 3，在 Rt△ADE中， AE=8， DE= CD=4，依据勾股定理得，AD=4，连结OG交AD于H，∵点 G是的中点，∴ AH= AD=2 ， OG⊥AD，在 Rt△AOH 中，依据勾股定理得， OH= ，在 Rt△AHG 中， HG=OG﹣OH=5﹣，依据勾股定理得，AG2=AH2+HG2=50﹣ 10 ，∵点 G是的中点，∴ DG=AG=50﹣ 10 ，∴∠ DAG=∠ ADG，由（ 2）知，∠ ADG=∠ F，∴∠ DAG=∠ F，∴ DF=AD=4 ，由（ 2）知，△ ADG∽△ AFD，∴=（）2===．。

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．25．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为；（2）劣弧的长为．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．2018-2019学年浙江省杭州市萧山区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题有10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（3分）已知＝，则＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用比例的合比性质得到答案即可．【解答】解：∵＝，∴＝＝，故选：B．【点评】考查了比例的性质，牢记比例的合比性质是解答本题的关键，难度不大．2．（3分）抛物线y＝x2﹣2的顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，2）D．（2，0）【分析】根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标即对称轴．【解答】解：抛物线y＝x2﹣2是顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（0，﹣2），故选：A．【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．3．（3分）抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，则下列说法正确的是（）A．连续抛掷2次必有1次正面朝上B．连续抛掷10次不可能都正面朝上C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上50次D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的【分析】根据概率的意义逐一判断即可得．【解答】解：A．连续抛掷2次可能有1次正面朝上，此选项错误；B．连续抛掷10次可能都正面朝上，但可能性较小，此选项错误；C．大量反复抛掷每100次出现正面朝上接近50次，此选项错误；D．通过抛掷硬币确定两人谁先发球的比赛规则是公平的，此选项正确；故选：D．【点评】此题主要考查了概率的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（3分）边长为2的正方形内接于⊙O，则⊙O的半径是（）A．1B．C．2D．2【分析】连接OB，CO，在Rt△BOC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：连接OB，OC，则OC＝OB，∠BOC＝90°，在Rt△BOC中，OB＝．∴⊙O的半径是，故选：B．【点评】此题主要考查了正多边形和圆，本题需仔细分析图形，利用勾股定理即可解决问题．5．（3分）Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B的值是（）A．B．1C．D．【分析】根据30°的正弦值是求出∠A，根据直角三角形的性质求出∠B，根据60°的正切值计算．【解答】解：sin A＝，则∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠B＝60°，∴tan B＝tan60°＝，故选：D．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．6．（3分）如图，已知点P是四边形ABCD对角线AC上一点，PE∥CD交AD于点E，PF ∥BC交AB于点E，若＝，则四边形AFPE的周长l1与四边形ABCD的周长l2之比为（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】由平行线截线段成比例求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，然后以后四边形的周长定义求得答案．【解答】解：∵PE∥CD，PF∥BC，＝，∴＝＝＝，＝＝＝，∴＝．故选：C．【点评】考查了平行线的性质，解题的关键是求得四边形AFPE与四边形ABCD的对应边的比例，难度不大．7．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【分析】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x和y 轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．根据二次函数y＝ax2+bx+c系数符号判断抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数．8．（3分）如图，在⊙O中，∠ACB＝50°，∠AOC＝60°，则∠BAC的度数为（）A．95°B．100°C．105°D．110°【分析】由圆心角∠AOC＝60°，可知圆周角∠ABC＝30°，所以∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°．【解答】解：∵∠AOC＝60°，∴∠ABC＝30°，∵∠ACB＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°﹣30°＝100°，故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理，关键是根据同弦所对圆心角与圆周角的关系解答．9．（3分）已知二次函数y＝（ax﹣b）（x﹣1），当x＞1时，y随x的增大而增大，给出下列结论：①抛物线开口向上；②抛物线与坐标轴必有3个交点；③a≥b．则正确的有（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：①由x＞1时，y随x的增大而增大，可知开口必定向上，否则不能满足x＞1时，y随x的增大而增大，故①正确；②当b＝0时，此时y＝ax（x﹣1），此时抛物线与坐标轴只有两个交点，故②错误；③x＞1时，y随x的增大而增大，∴，∵a＞0，∴b≤a，故③正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝a，点P在AD上，且AP＝2．点E是边AB上的动点，以PE为边作直角∠EPF，射线PF交边BC于点F．连接EF．给出下列结论：①tan∠PFE＝；②a的最小值为10．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①，②都错C．①对，②错D．①错，②对【分析】①tan∠PFE＝，利用矩形ABCD四个直角，再加上∠EPF为直角，联想到构造三垂直模型，故过F作AD垂线，垂足为G，即有△AEP∽△GPF，且相似比为1：2，即求得tan∠PFE．②显然，若a要取最小值，则F、C要重合（G、D重合），又AE与PG为对应边，AE越小则PG（PD）越小，当AE＝0时，PD＝0最小，此时a＝2．【解答】解：过点F作FG⊥AD于点G∴∠FGP＝90°∵矩形ABCD中，AB＝4，∠A＝∠B＝90°∴四边形ABFG是矩形，∠AEP+∠APE＝90°∴FG＝AB＝4∵∠EPF＝90°∴∠APE+∠FPG＝90°∴∠AEP＝∠FPG∴△AEP∽△GPF∴∴Rt△EPF中，tan∠PFE＝，故①正确．如图2，当A、E重合，C、F重合，D、P重合时，AD最短，此时a＝2，故②错误．故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形判定和性质，解直角三角形．关键是对几个直角的条件进行组合运用（三垂直模型），动点题求最值时可把动点移到极端位置（一般是线段端点）来思考问题．二、填空題：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）计算：cos45°＝．【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45°＝．故答案为．【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答的关键．12．（4分）在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为它是黄球概率的，则n＝4．【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．【解答】解：根据题意得：＝×，解得：n＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为40°．【分析】根据旋转的性质可得出AB＝AD、∠BAD＝100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解．【解答】解：根据旋转的性质，可得：AB＝AD，∠BAD＝100°，∴∠B＝∠ADB＝×（180°﹣100°）＝40°．故答案为：40°．【点评】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出∠B的度数是解题的关键．14．（4分）在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为10m的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯20m的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾xm，若大巴车车顶高于小张的水平视线0.8m，红灯下沿高于小张的水平视线3.2m，若小张能看到整个红灯，则x的最小值为10．【分析】如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，求出x的值即可；【解答】解：如图，当红灯下沿，大巴车车顶，小张的眼睛三点共线时，∵CD∥AB，∴△ECD∽△EAB，∴＝，∴＝，解得x＝10，故答案为10【点评】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会把实际问题转化为数学问题，属于中考常考题型．15．（4分）如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H．若DH＝CH＝2，BD＝4，则：（1）AB的长为8；（2）劣弧的长为．【分析】（1）连接OD，根据垂径定理得到AB⊥CD，根据正弦的定义求出∠B，得到△BOD为等边三角形，根据等边三角形的性质求出OB，得到答案；（2）根据弧长公式计算即可．【解答】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，DH＝CH，∴AB⊥CD，在Rt△BHD中，sin B＝＝，∴∠B＝60°，又OB＝OD，∴△BOD为等边三角形，∴OB＝BD＝4，∴AB＝8，故答案为：8；（2）劣弧的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定和性质、弧长的计算，掌握垂径定理、弧长公式是解题的关键．16．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3a（1）若a＝1，则函数y的最小值为﹣1．（2）若当1≤x≤4时，y的最大值是4，则a的值为或﹣4．【分析】（1）将a＝1代入二次函数y＝ax2﹣4ax+3a，然后配方即可．（2）先求出抛物线的对称轴是直线x＝2，然后分a＞0和a＜0两种情况讨论，根据函数增减性即可求出a的值．【解答】解：（1）当a＝1时，y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1∵a＝1＞0∴抛物线的开口向上，当x＝2时，函数y的最小值为﹣1．（2）∵二次函数y＝ax2﹣4ax+3a＝a（x﹣2）2﹣a∴抛物线的对称轴是直线x＝2，∵1≤x≤4，∴当a＞0时，抛物线开口向上，在对称轴直线x＝2右侧y随x的增大而增大，当x＝4时y有最大值，a×（4﹣2）2﹣a＝4，解得a＝，当a＜0时，抛物线开口向下，x＝2时y有最大值，a×（2﹣2）2﹣a＝4，解得a＝﹣4．故答案为（1）﹣1；（2）．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握最值的计算公式．三、解答题：本题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤17．（6分）某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得A型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）画树状图得：∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，∴A型号电脑被选中的概率＝＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（8分）已知二次函数y＝x2﹣x+m的图象经过点（1，﹣2）（1）求此函数图象与坐标轴的交点坐标；（2）若P（﹣2，y1），Q（5，y2）两点在此函数图象上，试比较y1，y2的大小．【分析】（1）先把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m求出m得到抛物线解析式为y＝x2﹣x ﹣，则通过解方程x2﹣x﹣＝0得抛物线与x轴的交点坐标；通过计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标；（2）先确定抛物线的对称轴为直线x＝1，然后根据二次函数的性质，通过比较P点和Q 点到对称轴的距离大小得到y1，y2的大小．【解答】解：（1）把（1，﹣2）代入y＝x2﹣x+m得﹣1+m＝﹣2，解得m＝﹣，则抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣，当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，所以抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0），（3，0）；当x＝0时，y＝x2﹣x﹣＝﹣，所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；（2）抛物线的对称轴为直线x＝1，因为P（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点Q（5，y2）到直线x＝1的距离小，而抛物线开口向上，所以y1＜y2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．（8分）已知△ABC中，AB＝5，AC＝3，sin B＝，求△ABC的面积．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：如图，作AH⊥BC于H．∵AH＝AB•sin B＝5×＝3，∴BH＝＝4，CH＝＝3∴S△ABC＝×BC×AH＝×（4+3）×3＝，或S△ABC′＝×（4﹣3）×3＝．综上所述，△ABC的面积为或【点评】本题考查解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．20．（10分）如图，矩形窗户边框ABCD由矩形AEFD，矩形BNME，矩形CFMN组成，其中AE：BE＝1：3．已知制作一个窗户边框的材料的总长是6米，设BC＝x（米），窗户边框ABCD的面积为S（米2）．（1）①用x的代数式表示AB；②求x的取值范围．（2）求当S达到最大时，AB的长．【分析】（1）①设AE＝a，根据题意列式即可得到结论；②解不等式即可得到结论；（2）根据题意求得函数的解析式S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）①∵BC＝x，∴AD＝EF＝BC＝x，∵AE：BE＝1：3，∴设AE＝a，∴AB＝CD＝4a，MN＝BE＝3a，∴AB+CD+MN＝11a，∵制作一个窗户边框的材料的总长是6米，∴11a+3x＝6，∴a＝，∴AB＝；②∵AB＞0，∴＞0，解得：x＜2，∴x的取值范围为：0＜x＜2；（2）∵S＝AB•BC＝•x＝﹣x2+x，∴S＝﹣（x﹣1）2+，∴当x＝1时，S取最大值，∴AB＝，则当S达到最大时，AB的长为米．【点评】本题考查的是二次函数的实际应用、一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会构建二次函数解决最值问题，会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．（1）求证：＝．（2）若BD＝2，BE＝3，求tan∠BAC的值．【分析】（1）连结AE，如图，根据圆周角定理，由AC为⊙O的直径得到∠AEC＝90°，然后利用等腰三角形的性质即可得到BE＝CE，进而利用等腰三角形的性质得出∠BAE ＝∠CAE，进而证明即可；（2）连结DE，如图，证明△BED∽△BAC，然后利用相似比可计算出AB的长，从而得到AC的长．【解答】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴AE⊥BC，而AB＝AC，∴BE＝CE，∴∠BAE＝∠CAE，∴；（2）连结DE，CD，如图，∵BE＝CE＝3，∴BC＝6，∵∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，∴△BED∽△BAC，∴，即，∴BA＝9，∴AC＝BA＝9．∴AD＝AB﹣BD＝9﹣2＝7，∴DC＝∴tan∠BAC＝【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了角平分线的性质和圆周角定理．22．（12分）如图，▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，CE平分∠DCB交AD于点E，BF和CE相交于点P．（1）求证：AE＝DF．（2）已知AB＝4，AD＝5①求的值；②求四边形ABPE的面积与△BPC的面积之比．【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF＝∠AFB，得出AF＝AB，同理可证DE＝DC，推出AF＝DE即可解决问题．（2）①求出EF的值，利用平行线的性质即可解决问题．②连接P A．设△AEP的面积为S．求出四边形ABPE，△PBC的面积即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，∴∠AFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，则∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB，同理可证：DE＝DC，∴AF＝DE，∴AE＝DF．（2）①解：由（1）可知AB＝AF＝DE＝4，∵AD＝5，∴AE＝DF＝1，EF＝3，∵EF∥BC，∴＝＝．②解：连接P A．设△AEP的面积为S．∵EF＝3AE，∴△EFP的面积为3S，∵△EFP∽△CBP，∴＝（）2＝，∴S△BCP＝S，∵PB：PF＝5：3，∴S△APB：S△APF＝5：3，∴S△ABP＝S，∴S四边形ABPE＝S，∴＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题．23．（12分）如图，等边△ABC中，点D是BC边上任一点，以AD为边作∠ADE＝∠ADF ＝60°，分别交AC，AB于点E，F．（1）求证：AD2＝AE•AC．（2）已知BC＝2，设BD的长为x，AF的长为y．①求y关于x的函数表达式；②若四边形AFDE外接圆直径为，求x的值．【分析】（1）只要证明△ADE∽△ACD即可解决问题．（2）①作AM⊥BC于M．证明AD2＝AE•AB，即可解决问题．②作EH⊥AF于H，连接EF，证明△AEF的等边三角形，求出AF的值，构建方程即可解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∵∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠C，∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，∴＝，∴AD2＝AE•AC．（2）解：①作AM⊥BC于M．∵△ABC是等边三角形，BC＝2，AM⊥BC，∴AB＝BC＝2，∠B＝60°，BM＝MC＝1，AM＝，∵∠ADF＝60°，∴∠ADF＝∠B，∵∠DAF＝∠CAB，∴△ADF∽△AFB，∴AD2＝AF•AB，∴AM2+DM2＝AF•AB∴3+（1﹣x）2＝2y，∴y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．②作EH⊥AF于H，连接EF．∵AD2＝AE•AC＝AF•AB，AB＝AC，∴AF＝AE，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等边三角形，∴四边形AEDF的外接圆的圆心O在EH上，连接OF．∵OE＝OF＝，∠OFH＝30°，∴y＝AF＝2FH＝2××＝，∴＝x2﹣x+2，∴x＝或，【点评】本题属于圆综合题，考查了等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2018-2019学年新人教版九年级上册期末数学试卷(含答案解析)

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共16个小题，1-10题每小题3分，11-16每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．图中的两个三角形相似，且AB=2，A′B′=1，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（）A．1：2B．2：1C．3：1D．1：33．抛物线y=﹣2（x+3）2+1对称轴是（）A．直线x=3B．直线x=1C．直线x=﹣1D．直线x=﹣34．在下图中，反比例函数的图象大致是（）A．B．C．D．5．连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则“第五次抛掷正面朝上”是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．概率为1的事件6．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D7．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y8．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分9．当k=﹣2时，下列双曲线中，在每一个象限内，y随x增大而减小的是（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=10．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（）A．108°B．60°C．54°D．27°11．（2分）将方程x2﹣6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（）A．（x﹣3）2=﹣3B．（x﹣3）2=6C．（x﹣3）2=3D．（x﹣3）2=1212．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥AC，OE⊥AB，垂足为E，OF⊥AC，垂足为F，若AB+AC=10，则四边形OEAF的周长为（）A．10．B．9C．8D．713．（2分）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（）A．60枚B．50枚C．40枚D．30枚14．（2分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（1，0）15．（2分）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5C．D．516．（2分）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b二、填空题（本大题共3个小题，19小题4分，17、18每小题3分，共计10分.）17．若3是一元二次方程x2+bx+3=0的一个根，则常数b的值为．18．抛物线y=ax2经过点（3，5），则a=．19．（4分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场，设有x 个队参赛，根据题意列出的方程是．三、解答题（本大题共7个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．（9分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，2b+2）关于原点对称，求a，b的值．21．（9分）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数y（度）是镜片焦距x（厘米）（x＞0）的反比例函数，调查数据如表：（1）求y与x的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．22．（9分）在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．24．（10分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：（1）△ADF∽△EDB；（2）CD2=DE•DF．25．（10分）如图，P是⊙O的切线FA上的点，点A为切点，连接OP，OP的垂直平分线FE交OA于点E，连接EP，过点P作PC⊥EP（1）已知OA=8，AP=4，求OE的长（2）求证：PC与⊙O相切．26．（12分）某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：（1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y1元和y2元，分别求出y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共16个小题，1-10题每小题3分，11-16每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下面的图形是天气预报使用的图标，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项正确；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．图中的两个三角形相似，且AB=2，A′B′=1，则△A′B′C′与△ABC的相似比是（）A．1：2B．2：1C．3：1D．1：3【分析】根据相似三角形相似比等于对应边的比解答．【解答】解：∵AB=2，A′B′=1，∴△A′B′C′与△ABC的相似比=A′B′：AB=1：2．故选：A．【点评】本题考查了相似三角形的性质，求两三角形的相似比时要注意两个相似三角形的先后顺序．3．抛物线y=﹣2（x+3）2+1对称轴是（）A．直线x=3B．直线x=1C．直线x=﹣1D．直线x=﹣3【分析】根据抛物线的顶点式方程y=﹣2（x +3）2+1可以直接写出它的对称轴直线方程．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x +3）2+1的对称轴直线是该图象的顶点坐标的横坐标， ∴抛物线的对称轴是直线x=﹣3；故选：D ．【点评】本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式方程为y=a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），对称轴是x=h ．4．在下图中，反比例函数的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【分析】由于y=，比例系数4＞0，根据反比例函数的性质，可得图象在第一和第三象限．【解答】解：∵k=4，可根据k ＞0，反比例函数图象在第一、三象限；∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小．故选：D ．【点评】本题考查了反比例函数图象的性质：①k ＜0，反比例函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大；②k ＞0，反比例函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小． 5．连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则“第五次抛掷正面朝上”是（） A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．概率为1的事件【分析】根据随机事件的定义即可判断．【解答】解：“第五次抛掷正面朝上”是随机事件．故选：C ．【点评】本题考查了随机事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．6．如图，在正三角形网格中，菱形M经过旋转变换能得到菱形N，下列四个点中能作为旋转中心的是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】直接利用旋转的性质结合等边三角形的性质进而分析得出答案【解答】解：如图所示：菱形M绕点D经过顺时针旋转60°变换能得到菱形N，故选：D．【点评】此题主要考查了旋转的性质以及等边三角形的性质，正确把握旋转的性质是解题关键．7．已知A（﹣1，y1），B（2，y2）是抛物线y=﹣（x+2）2+3上的两点，则y1，y2的大小关系为（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1≥y2D．y1≤y【分析】抛物线的对称轴为直线x=﹣2，根据二次函数的性质，抛物线开口向下，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即可判定．【解答】解：∵y=﹣（x+2）2+3，∴抛物线的对称轴为直线x=﹣2，抛物线开口向下，∴当x＞﹣2，y随x的增大而减小，∵﹣2＜﹣1＜2，所以y1＞y2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．8．如果圆O是△ABC的外接圆，AC=BC，那么下列四个选项中，直线l必过圆心O的是（）A．l⊥AC B．l平分AB C．l平分∠C D．l平分【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出结论．【解答】解：∵圆O是△ABC的外接圆，∴点O在三边的垂直平分线上．∵AC=BC，∴当l平分∠C时，l也是AB边的垂直平分线．故选：C．【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，熟知三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心是解答此题的关键．9．当k=﹣2时，下列双曲线中，在每一个象限内，y随x增大而减小的是（）A．y=﹣B．y=C．y=D．y=【分析】利用反比例函数的性质可解．【解答】解：当k=﹣2时，y=﹣的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x的增大而增大；当k=﹣2时，y=的图象双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x的增大而减小；故选：D．【点评】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是本题的关键．10．起重机的滑轮装置如图所示，已知滑轮半径是10cm，当物体向上提升3πcm时，滑轮的一条半径OA绕轴心旋转的角度为（）A．108°B．60°C．54°D．27°【分析】本题实质上还是一道利用弧长公式计算的题．【解答】解：，解得n=54度．故选：C．【点评】本题是一道弧长公式的实际应用题，学生平时学习要紧密联系实际，学以致用，不可死学．11．（2分）将方程x2﹣6x+3=0左边配成完全平方式，得到的方程是（）A．（x﹣3）2=﹣3B．（x﹣3）2=6C．（x﹣3）2=3D．（x﹣3）2=12【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：移项，得x2﹣6x=﹣3，等式两边同时加上一次项系数一半的平方（﹣3）2，得x2﹣6x+（﹣3）2=﹣3+（﹣3）2，即（x﹣3）2=6．故选：B．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．12．（2分）如图，⊙O中，弦AB⊥AC，OE⊥AB，垂足为E，OF⊥AC，垂足为F，若AB+AC=10，则四边形OEAF的周长为（）A．10．B．9C．8D．7【分析】先判断出四边形OEAF的形状，再根据垂径定理得出AF+AE的长，进而可得出结论．【解答】解：∵AB⊥AC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴四边形OEAF是矩形，∴四边形OEAF的周长=2（AF+AE）=2×（AB+AC）=10．故选：A．【点评】本题考查的是垂径定理，熟知垂直于弦的直径平分线是解答此题的关键．13．（2分）在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（）A．60枚B．50枚C．40枚D．30枚【分析】利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．【解答】解：根据试验提供的数据得出：黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100=20%，所以白棋子比例为：1﹣20%=80%，设白棋子有x枚，由题意，得=80%，x=0.8（x+10），x=0.8x+8，0.2x=8，所以x=40，经检验，x=40是原方程的解，即袋中的白棋子数量约40颗．故选：C．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得出白棋子个数是解决问题的关键．14．（2分）如图，已知△ABC在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），若以点B 为位似中心，在平面直角坐标系内画出△A′BC′，使得△A′BC′与△ABC位似，且相似比为2：1，则点C′的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（1，﹣1）D．（1，0）【分析】利用位似图形的性质结合位似比得出△BA′C′，进而得出C′点坐标．【解答】解：如图所示：△A′BC′与△ABC位似，相似比为2：1，点C′的坐标为：（1，0）．故选：D．【点评】此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确得出对应点位置是解题关键．15．（2分）在正六边形ABCDEF的中，若BE=10，则这个正六边形外接圆半径是（）A．B．5C．D．5【分析】根据正六边形的性质解答即可．【解答】解：因为正六边形ABCDEF的中，BE=10，所以这个正六边形外接圆半径是，故选：B．【点评】此题考查了正六边形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．16．（2分）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（）A．a=b B．a=2b C．a=2b D．a=4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解．【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为a，∵小长方形与原长方形相似，∴=，∴a=2b．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键．二、填空题（本大题共3个小题，19小题4分，17、18每小题3分，共计10分.）17．若3是一元二次方程x2+bx+3=0的一个根，则常数b的值为﹣4．【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出b的值．【解答】解：∵3是一元二次方程x2+bx+3=0的一个根，∴32+3b+3=0，∴b=﹣4．故答案为﹣4．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．将方程的根代入方程即可得到关于b的一元一次方程，解此一元一次方程即可．18．抛物线y=ax2经过点（3，5），则a=．【分析】此题考查了待定系数法，把点代入即可求得．【解答】解：把点（3，5）代入y=ax2中，得：9a=5，解得a=．【点评】本题考查了点与函数的关系，考查了用待定系数法，难度不大．19．（4分）参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场，设有x个队参赛，根据题意列出的方程是x（x﹣1）=28．【分析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛28场，可列出方程．【解答】解：设有x个队参赛，x（x﹣1）=28．故答案为：x（x﹣1）=28．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．三、解答题（本大题共7个小题,共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)20．（9分）若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，2b+2）关于原点对称，求a，b的值．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点进行解答即可．【解答】解：∵点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，2b+2）关于原点对称，∴a﹣2=﹣（﹣1），3=﹣（2b+2），解得a=3，b=﹣．【点评】本题考查的是关于原点对称的点的坐标特点，即关于原点对称的点的坐标，横、纵坐标均互为相反数．21．（9分）小明到眼镜店调查了近视眼镜镜片的度数和镜片焦距的关系，发现镜片的度数y（度）是镜片焦距x（厘米）（x＞0）的反比例函数，调查数据如表：（1）求y与x的函数表达式；（2）若小明所戴近视眼镜镜片的度数为500度，求该镜片的焦距．【分析】（1）根据图表可以得到眼镜片的度数与焦距的积是一个常数，因而眼镜片度数与镜片焦距成反比例函数关系，即可求解；（2）在解析式中，令y=500，求出x的值即可．【解答】解：（1）根据题意得：与x之积恒为10000，则函数的解析式是y=；（2）令y=500，则500=，解得：x=20．即该镜片的焦距是20cm．【点评】考查了反比例函数的应用，正确理解反比例函数的特点，两个变量的乘积是常数，是解决本题的关键．22．（9分）在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别．（1）随机从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是多少？（2）随机从箱子里取出1个球，放回搅匀再取第二个球，请你用画树状图或列表的方法表示出所有可能出现的结果，并求两次取出的都是白色球的概率．【分析】（1）由在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次取出白颜色球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵在一个不透明的箱子里，装有黄、白、黑各一个球，它们除了颜色之外没有其他区别，∴随机地从箱子里取出1个球，则取出黄球的概率是：；（2）画树状图得：由树形图可知所有可能的情况有9种，其中两次取出的都是白色球有1种，所以两次取出的都是白色球的概率=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题属于放回实验．23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+3=0有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为大于3的整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，再将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．【解答】解：（1）△=（﹣6）2﹣4（k+3）=36﹣4k﹣12=﹣4k+24，∵原方程有两个不相等的实数根，∴﹣4k+24＞0．解得k＜6；（2）∵k＜6且k为大于3的整数，∴k=4或5．①当k=4时，方程x2﹣6x+7=0的根不是整数．∴k=4不符合题意；②当k=5时，方程x2﹣6x+8=0根为x1=2，x2=4均为整数．∴k=5符合题意．综上所述，k的值是5．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．24．（10分）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F．求证：（1）△ADF∽△EDB；（2）CD2=DE•DF．【分析】（1）根据题意可得∠B+∠A=90°，∠A+∠F=90°，则∠B=∠F，从而得出△ADF∽△EDB；（2）由（1）得∠B=∠F，再CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，得出CD=DB，根据等边对等角得∠DCE=∠F，则可证明△CDE∽△FDC，从而得出=，化为乘积式即可CD2=DF•DE．【解答】证明：（1）在Rt△ABC中，∠B+∠A=90°∵DF⊥AB∴∠BDE=∠ADF=90°∴∠B=∠F，∴△ADF∽△EDB；（2）由（1）可知△ADF∽△EDB ∴∠B=∠F，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线∴CD=AD=DB，∴∠DCE=∠B，∴∠DCE=∠F，∴△CDE∽△FDC，∴=，∴CD2=DF•DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．（10分）如图，P是⊙O的切线FA上的点，点A为切点，连接OP，OP的垂直平分线FE交OA于点E，连接EP，过点P作PC⊥EP（1）已知OA=8，AP=4，求OE的长（2）求证：PC与⊙O相切．【分析】（1）由AP是⊙O的切线，得到∠OAP=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）过O作OG⊥PC于G，根据余角的性质得到∠OPE+∠OPC=90°=∠AOP+∠OPA，等量代换得到∠OPC=∠OPA，推出△AOP≌△GOP，根据全等三角形的性质得到OG=OA，即可得到结论．【解答】（1）解：∵AP是⊙O的切线，∴PE2﹣AE2=AP2，∵OA=8，AP=4，∵OP的垂直平分线FE交OA于点E，∴OE=PE，∴OE2﹣（8﹣OE）2=42，∴OE=5；（2）证明：过O作OG⊥PC于G，∵CE垂直平分OP，∴∠AOP=∠OPE，∴∠OPE+∠OPC=90°=∠AOP+∠OPA，∴∠OPC=∠OPA，在△AOP与△POG中，，∴△AOP≌△GOP（AAS），∴OG=OA，∴PC与⊙O相切．【点评】本题考查了切线的判定和性质．全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形的是解题的关键．26．（12分）某造纸厂生产甲、乙两种生活用纸的相关信息如下表，其中x（吨）表示甲、乙两种生活用纸的月产量，请根据表中的信息解答后面的问题：（1）设该造纸厂每月生产甲、乙两种生活用纸的利润分别为y1元和y2元，分别求出y1和y2与x的函数关系式（注：利润=总收入﹣总支出）；（2）若某月要生产甲、乙两种生活用纸共300吨，求该月生产甲、乙两种生活用纸各多少吨，获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）根据：总利润=每吨净利润﹣每月设备管理、维护费，分别列出函数解析式即可；（2）设该月生产乙种生活用纸m吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m）吨，总利润为W 元，由（1）中函数关系式将甲、乙两种生活用纸的利润y1+y2列出W关于m的函数关系式，配方可得函数的最值情况．【解答】解：（1）依题意得：y1=（4800﹣2200﹣200）x﹣20000=2400x﹣20000y2=（7000﹣10x﹣1600﹣400）x=﹣10x2+5000x；（2）设该月生产乙种生活用纸m吨，则生产甲种生活用纸（300﹣m）吨，总利润为W 元，依题意得：W=2400（300﹣m）﹣20000﹣10m2+5000m=720000﹣2400 m﹣20000﹣10 m2+5000m=﹣10 m2+2600 m+700000∵W=﹣10（m﹣130）2+869000．∵﹣10＜0∴当m=130时，W最大=869000即生产甲、乙生活用纸分别为170吨和130吨时总利润最大，最大利润为869000元．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用能力，弄清题意抓住相等关系列出函数关系式是解题的关键．。

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级(上)期末数学试卷(含答案)

2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．D．2．（3分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形B．两个边长不等的正五边形C．任意两个平行四边形D．两个等腰三角形4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A．16B．12C．8D．45．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣36．（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为（）A．6B．C．D．7．（3分）一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）8．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4D．39．（3分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）①存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．①④B．②③C．③④D．④10．（3分）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣2x与x轴的交点坐标为．12．（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置位．13．（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为cm．14．（4分）已知△ABC内接于半径为2的⊙O，若BC＝，则∠A＝．15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝，S1：S2：S3＝．16．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是．三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长．18．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA．（1）求证：△ADB∽△CDA；（2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tan B．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）当x＝4时，求y的值；（2）当y＜10时，求x的取值范围．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，cos A＝．（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．22．（12分）已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．（1）若△EOF的面积为S：①用关于x的代数式表示线段EF的长；②求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．2018-2019学年浙江省杭州市西湖区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，注意可以用多种不同的方法来选取正确答案.1．（3分）已知，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由可设a＝3x，b＝2x，把a＝3x，b＝2x代入，故选：A．2．（3分）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【解答】解：∠APB＝∠AOB＝×40°＝20°．故选：C．3．（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）A．任意两个矩形B．两个边长不等的正五边形C．任意两个平行四边形D．两个等腰三角形【解答】解：A任意两个矩形，可以判断它们的边的比不相等，但能判断对应的角相等．所以不相似；B两个边长不等的正五边形，能判断对应角相等，也能判断对应边的比相等．所以相似；C任意两个平行四边形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等．所以不相似；D、两个等腰三角形，不能判断对应的角相等，也不能判断对应边的比相等．所以不相似．故选：B．4．（3分）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球为白球的概率是，则黄球的个数为（）A．16B．12C．8D．4【解答】解：设黄球的个数为x个，根据题意得：＝，解得：x＝4．故选：D．5．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y＝5（x+2）2+3B．y＝5（x﹣2）2+3C．y＝5（x+2）2﹣3D．y＝5（x﹣2）2﹣3【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝5（x﹣2）2﹣3．故选：D．6．（3分）如图，正方形OABC的边长为8，点P在AB上，CP交OB于点Q．若S△BPQ＝，则OQ长为（）A．6B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCO是正方形，∴AB∥OC，∴△PBQ∽△COQ，∴＝（）2＝，∴OC＝3PB，∵OC＝8，∴PB＝，∵＝＝，BO＝8，∴OQ＝×8＝6，故选：B．7．（3分）一元二次方程x2+bx+c＝0有一个根为x＝﹣3，则二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（）A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）【解答】解：把x＝﹣3代入方程x2+bx+c＝0得9﹣3b+c＝0，则3b﹣c＝9，当x＝﹣3时，y＝2x2﹣bx﹣c＝18+3b﹣c＝18+9＝27，所以二次函数y＝2x2﹣bx﹣c的图象必过点（﹣3，27）．故选：C．8．（3分）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的弦心距等于（）A．B．C．4D．3【解答】解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD＝180°，而∠BAC+∠BAF＝180°，∴∠DAE＝∠BAF，∴＝，∴DE＝BF＝6，∵AH⊥BC，∴CH＝BH，而CA＝AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH＝BF＝3．故选：D．9．（3分）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，x可取任意实数），下列说法正确的是（）①存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，则ax2+bx+c＝a（x﹣p）（x﹣q）②存在实数m、n、s（m、n、s互不相等），使得am2+bm+c＝an2+bn+c＝as2+bs+c③如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c．A．①④B．②③C．③④D．④【解答】解：存在实数p、q（p≠q）有ap2+bp+c＝aq2+bq+c，但是p，q不一定是以y ＝ax2+bx+c为函数与x轴的两个交点，故①错误；令y＝ax2+bx+c，根据二次函数的对称性，只存在两个实数m、n、使am2+bm+c＝an2+bn+c；故②错误；若ac＞0，当a＞0，c＞0时，且△≤0，不存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故③错误；故选：D．10．（3分）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片ABCD可以进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为AF，点F在BC边上；②把△ADH翻折，点D落在AE边上的点G处，折痕为AH，点H在CD边上，若AD＝6，CD＝10，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，AB＝CD＝10，AD＝BC＝6，由翻折不变性可知：AB＝AE＝10，AD＝AG＝6，BF＝EF，DH＝HG，∴EG＝4，在Rt△ADER中，DE＝＝＝8，∴EC＝10﹣8＝2，设BF＝EF＝x，在Rt△EFC中有：x2＝22+（6﹣x）2，∴x＝，设DH＝GH＝y，在Rt△EGH中，y2+42＝（8﹣y）2，∴y＝3，∴EH＝5，∴＝＝，故选：A．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清楚题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案．11．（4分）抛物线y＝2x2﹣2x与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．【解答】解：当y＝0时，2x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝1，所以抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0）．故答案为（0，0），（1，0）．12．（4分）一个密码箱的密码，每个数位上的数都是从0到9的自然数，若要使一次拨对的概率小于，则密码的位数至少要设置4位．【解答】解：因为取一位数时一次就拨对密码的概率为；取两位数时一次就拨对密码的概率为；取三位数时一次就拨对密码的概率为；取四位数时一次就拨对密码的概率为．故一次就拨对的概率小于，密码的位数至少需要4位．故答案为：4．13．（4分）把10cm长的线段进行黄金分割后得两条线段，其中较长的线段的长为5（﹣1）cm．【解答】解：较长线段的长度＝×10cm＝5（﹣1）cm．故答案为5（﹣1）．14．（4分）已知△ABC内接于半径为2的⊙O，若BC＝，则∠A＝60°．【解答】解：作直径BD，连接CD，则∠BCD＝90°，在Rt△BCD中，sin D＝＝，∴∠D＝60°，由圆周角定理得，∠A＝∠D＝60°，故答案为：60°．15．（4分）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，连结EC、BD交于点F，若AE：ED＝5：4记△DFE的面积为S1，△BCF的面积为S2，△DCF的面积为S3，则DF：BF＝4：9，S1：S2：S3＝16：81：36．【解答】解：∵AE：ED＝5：4，∴DE：AD＝4：9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△DEF∽△BCF，∴＝＝，∴＝（）2＝，＝，∴S1：S2：S3＝16：81：36，故答案为：4：9，16：81：36．16．（4分）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是4．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．故答案为：4．三、解答题（本题有7个小题，共66分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．如果觉得有的题目有点困难，那么把自己能写出的解答写出一部分也可以．17．（6分）求半径为3的圆的内接正方形的边长．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，∴∠OBE＝45°；而OE⊥BC，∴BE＝CE；而OB＝3，∴sin45°＝，cos45°＝，∴OE＝，BE＝，∴BC＝3，故半径为3的圆内接正方形的边长为3．18．（8分）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中只装有3个除标号外完全相同的小球，分别标有数字﹣1，﹣2，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，由此确定点M坐标为（x，y）．（1）写出点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率．【解答】解：（1）列表如下：012﹣1（0，﹣1）（1，﹣1）（2，﹣1）﹣2（0，﹣2）（1，﹣2）（2，﹣2）0（0，0）（1，0）（2，0）共有9种等可能的结果数；（2）满足点（x，y）落在函数y＝﹣x+1的图象上的结果有2个，即（2，﹣1），（1，0 ），所以点M（x，y）在函数y＝﹣x+1的图象上的概率＝．19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD2＝BD•CD，记△ADB的面积为S△ADB，△CDA的面积为S△CDA．（1）求证：△ADB∽△CDA；（2）若S△ADB：S△CDA＝1：4，求tan B．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∴△ADB∽△CDA；（2）∵△ADB∽△CDA，∴S△ADB：S△CDA＝（）2＝1：4，∴tan B＝＝2．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）当x＝4时，求y的值；（2）当y＜10时，求x的取值范围．【解答】解：（1）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，所以，x＝4时，y＝5；（2）由表可知，二次函数的对称轴为直线x＝2，x＝﹣1或5时，y＝10，所以，y＜10时，x的取值范围为﹣1＜x＜5．21．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝BC，AC＝2，cos A＝．（1）求BC与BC边上高的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．【解答】解：（1）作BH⊥AC于H，如图，∵BA＝BC，∴AH＝CH＝1，在Rt△ABH中，cos A＝，∴AB＝＝5，∴BH＝＝2；设BC边的高为h，则BC•h＝AC•BH，∴h＝＝即BC与BC边上高的长分别为5，；（2）作DE⊥AC于E，如图，设AE＝x，在Rt△ADE中，cos A＝＝，∴AD＝5x，∴DE＝2x，∵DC＝DB＝5﹣5x，CE＝2﹣x，在Rt△CDE中，（2x）2+（2﹣x）2＝（5﹣5x）2，解得x＝，∴AD＝5x＝，BD＝5﹣5x＝，∴＝＝．22．（12分）已知两个函数：y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．（1）求证：y1的图象经过点M（0，4）；（2）当a＞0，﹣2≤x≤2时，若y＝y2﹣y1的最大值为4，求a的值；（3）当a＞0，x＜2时，比较函数值y1与y2的大小．【解答】解：（1）证明：当x＝0时，y1＝0+4＝4，∴点M（0，4）在y1的图象上，即y1的图象经过点M（0，4）；（2）∵y1＝ax+4，y2＝a（x﹣）（x﹣4）（a≠0）．∴y＝y2﹣y1＝a（x﹣）（x﹣4）﹣（ax+4），即y＝，∵a＞0，对称轴为x＝＞2，∴当﹣2≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x＝﹣2时，y取最大值为4a+11a+2a﹣4＝17a﹣4，∵y＝y2﹣y1的最大值为4，∴17a﹣4＝4，解得，a＝；（3）由（2）知y＝y2﹣y1＝，当a＞0，x＜2时，随x的增大而减小，当x＝2时，y＝y2﹣y1＝4a﹣11a+2a﹣4＝﹣5﹣4＜0，又当y＝0时，＝0，即2ax2﹣11ax+4a﹣8＝0，x＝，∵△＝121a2﹣32a2+64a＝89a2+64a＞0，∴，根据二次函数的增减性可得，当＜x＜2时，y2﹣y1＜0，即y2＜y1；当x＝时，y2﹣y1＝0，即y2＝y1；当x＜时，y2﹣y1＞0，即y2＞y1．23．（12分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，O为BC边中点，BC＝8，点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），点H、F是线段AC上的动点，且EF∥GH∥BC．设点O到EF、GH的距离分别为x、y．（1）若△EOF的面积为S：①用关于x的代数式表示线段EF的长；②求S的最大值；（2）以点O为圆心，当以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合时，求x与y应满足的关系式，并求x的取值范围．【解答】解：（1）①如图1，连接OA，交EF于M，∵AB＝AC，O为BC边中点，∴OA⊥BC，∵EF∥BC，∴AM⊥EF，∵BC＝8，∴OB＝BC＝4，在Rt△AOB中，根据勾股定理得，OA＝＝3，∵点O到EF的距离为为x，∴OM＝x，∴AM＝OA﹣OM＝3﹣x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴，∴，∴EF＝（2﹣x）；②由①知，EF＝（3﹣x），∴S＝S△OEF＝×（3﹣x）•x＝﹣（x2﹣3x）＝﹣（x﹣）2+3，∵﹣＜0，∴当x＝时，S最大＝3；（2）如图2，∵以OE为半径的圆与以OG为半径的圆重合，∴OE＝OG，过点O作OD⊥AB于D，∴DE＝DG，连接OA，由（1）知，OA⊥BC，OA＝3，在Rt△AOB中，sin B＝＝，cos A＝＝，过点E作EP⊥BC于P，PE＝x，在Rt△BPE中，sin B＝，∴BE＝＝x，过点G作DQ⊥BC于Q，GQ＝y，在Rt△BQG中，BG＝＝y，∴DE＝EG＝（BG﹣BE）＝（y﹣x），在Rt△BDO中，BD＝OB•cos B＝4×＝，∴DE＝BD﹣BE＝﹣x，∴（y﹣x）＝﹣x，∴y＝﹣x+（Ⅰ）∵点E、G是线段AB上的动点（不与端点重合），∴0＜y＜3（Ⅱ），由（Ⅰ）（Ⅱ）得，﹣＜x＜∵x＞0，∴0＜x＜即：y＝﹣x+（0＜x＜）．。

【推荐】2018-2019学年浙江省杭州市下城区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019 学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（ 3分）在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝5， AC＝ 3，则 sinB 的值是（）A ．B ．C．D．2．（ 3分）下列命题中是真命题的为（）A．弦是直径B．直径相等的两个圆是等圆C．平面内的任意一点不在圆上就在圆内D．一个圆有且只有一条直径3．（ 3 分）已知二次函数2等于﹣ 2 时，函数值是﹣1；当 x＝ 1 时，函数值y＝ ax +4x+c，当 x是 5．则此二次函数的表达式为（）22A ．y＝ 2x +4x﹣1B． y＝ x +4x﹣ 222C． y＝﹣ 2x +4x+1D． y＝ 2x +4 x+14．（ 3 分）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（）A ．朝上的点数为 2B．朝上的点数为7C．朝上的点数不小于 2D．朝上的点数为 3 的倍数5．（ 3 分）若 a： b＝c： d，则下列各式成立的是（）A ．a： d＝ c：b B． b： d＝ c： aC．D．（ b+d≠ 0）6．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°，分别以AC， BC， AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m， n， l，则下列各式成立的是（）A ．m+n＜ lB ．m+n＝l7．（ 3 分）在△ ABC 中， D， E 分别为 BC，AC 点F．设 x＝ CD： BD， y＝ AF ： FD ，则（222222 C． m +n ＞ l D． m +n ＝ l上的点，且AC＝ 2EC，连结 AD ，BE，交于）A ．y＝ x+1B ．y＝x+1C． y＝D． y＝8．（ 3 分）在一个不透明的布袋中装有 4 个只有标号不一样的球，从中任取两个球，设所得球上两个标号的数字的积为k，并记事件“ 2，8， k 三个数中正好有一个数为另两个数的比例中项”为A．若 4 个球上所标的数字分别为，1，3，4，则P（A）＝（）A ．B ．C．D．9．（ 3 分）已知二次函数2图象上的四个点的坐标为（ x1，m），（x2，m），y＝（ a﹣ 1）x +3 ax+1（ x3， n），（ x4， n），其中 m＜ n．下列结论可能正确的是（）A ．若 a＞，则 x1＜x2＜ x3＜ x4B ．若 a＞，则 x4＜ x1＜x2＜ x3C．若 a＜﹣，则1＜x3＜x2＜x4 xD ．若 a＜﹣，则x3＜ x2＜ x1＜ x410．（ 3 分）已知△ ABC 内接于⊙O，连接 OA，OB，OC，设∠ OAC＝α，∠ OBA＝β，∠ OCB ＝γ．则下列叙述中正确的有（）①若α＜β，α＜γ，且 OC∥ AB，则γ＝ 90°﹣α；②若α：β：γ＝ 1：4： 3，则∠ ACB ＝ 30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠ BAC+∠ABC＝α+γ﹣ 2β．A ．①B ．③④C．①②③D．①②③④二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）11．（ 4 分）如图，已知AB∥ CD ， AC， BD 交于点 O，若 AB： CD ＝ 1： 2， AO＝ 3，则 OC ＝．12．（ 4 分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达 66%．若随机选择 150 名“中年人”进行调查，则估计有人有此习惯．13．（ 4分）在△ ABC 中，（ cosA﹣2．）+|tanB﹣ 1|＝ 0，则∠ C＝14．（ 4分）若圆内接正六边形的两条对角线长为m，n（ m＜ n），则 m：n＝．15．（ 4 分）已知函数y1＝﹣（ m+1） x 2+nx+2 与 y2＝mx+2 的图象都经过 A（ 4，﹣ 4）．若 y2≤ y1，则 x 的取值范围为．16．（ 4 分）已知 P 为⊙ O 外的一点， P 到⊙O 上的点的最大距离为6，最小距离为 2．若 AB 为⊙ O 内一条长为1 的弦，则点 P 到直线 AB 的距离的最大值为，最小值为．三、解答题（本大题有7 个小题，共66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6 分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．18．（ 8 分）如图，四边形ABGH ，四边形 BCFG ，四边形 CDEF 都是正方形．请在图中找出与△ HBC 相似的三角形，并说明它们相似的理由．19．（ 8 分）如图，汽车在一条南北走向的公路上以每小时60 千米的速度匀速向北行驶．当汽车在 A 处时，某信号塔 C 在它的北偏西30°方向，汽车前行2分．钟．到达 B 处，此时信号塔 C 在它的北偏西 45°方向．（ 1）求 AB 的距离．（ 2）求信号塔 C 到该公路的距离．（ 1.73，结果精确到0.1千米）20．（ 10 分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（ m），对应的高度记为h（m），且满足h＝2ax +bx﹣ 11a（其中 a≠0）．已知当x＝ 0 时， h＝ 2；当 x＝ 10 时， h＝ 2．（ 1）求 h 关于 x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．（ 2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．21．（ 10 分）在⊙ O 中，的度数为120°，点 P 为弦 AB 上的一点，连结 OP 并延长交⊙O 于点 C，连结 OB， AC．（1）若 P 为 AB 中点，且 PC＝ 1，求圆的半径．（2）若 BP ：BA＝ 1： 3，请求出 tan∠ OPA．22．（ 12 分）已知二次函数2y＝ax +bx﹣ 3（a≠ 0），且 a+b＝ 3．（ 1）若其图象经过点（﹣3， 0），求此二次函数的表达式．（ 2）若（ m， n）为（ 1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m， n 的取值范围．（ 3）点 P（ x1，y1）， Q（ x2， y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2且 x1＜ x2，试比较 y1和 y2的大小关系．23．（ 12 分）如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 为 AC 上的一点，过 D 作 DE ⊥ AC，过 B 作BE⊥ AB， DE ， BE 交于点 E．已知 BC＝ 3，AB＝ 5．（ 1）证明：△ EFB ∽△ ABC．（ 2）若 CD ＝ 1，请求出 ED 的长．（ 3）连结 AE，记 CD ＝ a，△ AFE 与△ EBF 面积的差为 b．若存在实数 t1，t 2，m（其中t1≠ t2），当 a＝ t1或 a＝t 2时， b 的值都为 m．求实数 m 的取值范围．2018-2019 学年浙江省杭州市下城区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（ 3 分）在 Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90°， AB＝5， AC＝ 3，则 sinB 的值是（）A ．B ．C．D．【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sinB 的值．【解答】解：如图，∵在Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90°， AC＝ 3， AB＝ 5，∴sinB＝＝．故选： A．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确把握定义是解题关键．2．（ 3 分）下列命题中是真命题的为（）A．弦是直径B．直径相等的两个圆是等圆C．平面内的任意一点不在圆上就在圆内D．一个圆有且只有一条直径【分析】根据圆的基本概念判断即可．【解答】解：弦不一定是直径， A 是假命题；直径相等的两个圆是等圆， B 是真命题；平面内的任意一点在圆上、圆内或圆外， C 是假命题；一个圆有无数条直径， D 是假命题；故选： B．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．21；当 x ＝ 1 时，函数值3．（ 3 分）已知二次函数 y ＝ ax +4x+c ，当 x 等于﹣ 2 时，函数值是﹣ 是 5．则此二次函数的表达式为（）22A ．y ＝ 2x +4x ﹣1B ． y ＝ x +4x ﹣ 222C ． y ＝﹣ 2x +4x+1D ． y ＝ 2x +4 x+1【分析】把两组对应值代入 2y ＝ ax +4x+c 得到关于 a 、 c 的方程组，然后解方程组即可．【解答】解：根据题意得，解得，所以抛物线解析式为y ＝ 2x 2+4x ﹣ 1．故选： A ．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．4．（ 3 分）下列是任意抛掷一枚质地均匀的正六面体骰子所得结果，其中发生的可能性很大的是（）A ．朝上的点数为 2B ．朝上的点数为 7C ．朝上的点数不小于 2D ．朝上的点数为3 的倍数【分析】分别求得各个选项中发生的可能性的大小，然后比较即可确定正确的选项．【解答】解： A 、朝上点数为 2 的可能性为；B 、朝上点数为 7 的可能性为0；C 、朝上点数不小于 2 的可能性为；D 、朝上点数为 3 的倍数的可能性为＝，故选： C ．【点评】主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目（面积）相同，谁包含的情况数目（面积）多，谁的可能性就大，反之也成立；若包含的情况（面积）相当，那么它们的可能性就相等．5．（ 3 分）若 a ： b ＝c ： d ，则下列各式成立的是（）A ．a ： d ＝ c ：bB ． b ： d ＝ c ： aC ．D ．（ b+d ≠ 0）【分析】根据比例的性质，两內项之积等于两外项之积，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解： A 、∵ a ： b ＝ c ： d ，∴ ad ＝ bc ，故本选项错误；B 、∵ a ： b ＝ c ： d ，∴ bc ＝ad ，∴ b ： d ＝ a ： c ，故本选项错误；C 、∵＝ +1 ，＝ ﹣ 1，∴ ≠ ，故本选项错误；D 、令＝＝ k ，则＝＝＝ k ＝＝，故本选项正确；故选： D ．【点评】本题考查了比例性质，熟记两内项之积等于两外项之积是解题的关键．6．（ 3 分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝ 90°，分别以AC ， BC ， AB 为直径作半圆，记三个半圆的弧长分别为m ， n ， l ，则下列各式成立的是（）A ．m+n ＜ lB ．m+n ＝l 22 2 2 2 2C ． m +n ＞ lD ． m +n ＝ l【分析】根据勾股定理得到 AC 2+BC 2＝ AB 2，根据弧长公式计算即可．【解答】解：由勾股定理得，AC 2+BC 2＝ AB 2，m ＝ × π× AC ， n ＝× π× BC ， 1＝× π× AB ，222222222∴ m ＝ × π × AC ， n ＝×π × BC ， 1 ＝× π× AB ，22 2 2 2222∴ m +n ＝ × π ×（ AC +BC ）＝ × π ×AB ＝ 1 ，故选： D ．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长22 2为 c ，那么 a +b ＝c ．7．（ 3 分）在△ ABC 中， D ， E 分别为 BC ，AC 上的点，且 AC ＝ 2EC ，连结 AD ，BE ，交于点 F ．设 x ＝ CD ： BD ， y ＝ AF ： FD ，则（） A ．y ＝ x+1 B ．y ＝ x+1C ． y ＝D ． y ＝【分析】如图，过 D 作 DG ∥AC 交 BE 于 G ，根据相似三角形的性质得到，，求得＝，由于x＝CD：BD，y＝AF：FD，于是得到结论．【解答】解：如图，过 D 作 DG∥ AC 交 BE 于 G，∴△ BDG∽△ BCE，△ DGF ∽△ AEF ，∴，，∵AC＝ 2EC，∴ AE＝ CE，∴＝，∴＝，∵x＝ CD：BD ， y＝ AF：FD ，∴ 1+x＝y，∴ y＝ x+1，故选： A．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．8．（ 3 分）在一个不透明的布袋中装有 4 个只有标号不一样的球，从中任取两个球，设所得球上两个标号的数字的积为k，并记事件“ 2，8， k 三个数中正好有一个数为另两个数的比例中项”为A．若 4 个球上所标的数字分别为，1，3，4，则P（A）＝（）A ．B ．C．D．【分析】首先根据题意得出所有等可能的情况数，然后找出事件 A 的情况数，进而求出概率．【解答】解：由题意，可知k 的值有 6 种等可能的情况：，，2，3，4，12，其中事件 A 的情况数有两种：2， 8，；2，8，4，所以 P（ A）＝＝．【点评】此题考查了概率公式，比例线段．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．（ 3 分）已知二次函数 y ＝（ a ﹣ 21）x +3 ax+1 图象上的四个点的坐标为（ x 1，m ），（x 2，m ），（ x 3， n ），（ x 4， n ），其中 m ＜ n ．下列结论可能正确的是（）A ．若 a ＞ 1 ＜x 2＜ x 3＜ x 4，则 xB ．若 a ＞，则 x 4＜ x 1 ＜x 2＜ x 3C ．若 a ＜﹣ ，则 x 1＜ x 3＜ x 2＜ x 4D ．若 a ＜﹣ ，则 x 3＜ x 2＜ x 1＜ x 4【分析】分析两种情况若，则 a ﹣ 1＞ 0，此时抛物线 2y ＝（ a ﹣ 1）x +3 ax+1 的开口向上；若，则 a ﹣ 1＜0，抛物线 2y ＝（ a ﹣ 1） x +3ax+1 的开口向下．根据抛物线的开口情况即可以判断【解答】解：依题意得若，则 a ﹣ 1＞ 0∴抛物线 y ＝（ a ﹣ 1） x 2+3ax+1 的开口向上，∵（ x 1，m ），（x 2， m ），（ x 3， n ），（ x 4， n ），∴当 m ＜ n 时，则 x 3＜ x 1＜ x 2＜ x 4（假设 x 1＜ x 2， x 3＜x 4）或则 x 4＜x 1＜ x 2＜ x 3（假设 x 1＜ x 2， x 3＜ x 4） ∴若，则 a ﹣ 1＜ 0∴抛物线 y ＝（ a ﹣ 1） x 2+3ax+1 的开口向下∵（ x 1，m ），（x 2， m ），（ x 3， n ），（ x 4， n ），∴当 m ＜ n 时，则 x 1＜ x 3＜ x 4＜ x 2（假设 x 1＜ x 2， x 3＜x 4）综上所述， A 、 C 、D 选项不正确，故选： B ．【点评】此题主要考查的是二次函数的图象及图象上坐标点的性质，在此只要注意到二次函数的开口，二次项系数 a ， a ＞ 0 时开口向上， a ＜0 时，开口向下，画出大致图象即可解题，同时做此类题型，尽可能地利用数形结合的思想进行快速解题．10．（ 3 分）已知△ ABC 内接于⊙O，连接 OA，OB，OC，设∠ OAC＝α，∠ OBA＝β，∠ OCB ＝γ．则下列叙述中正确的有（）①若α＜β，α＜γ，且 OC∥ AB，则γ＝ 90°﹣α；②若α：β：γ＝ 1：4： 3，则∠ ACB ＝ 30°；③若β＜α，β＜γ，则α+γ﹣β＝90°；④若β＜α，β＜γ，则∠ BAC+∠ABC＝α+γ﹣ 2β．A ．①B ．③④C．①②③D．①②③④【分析】①由 OC∥AB 得∠ BOC ＝∠ OBA＝β，∠ AOC＝ 180°﹣β，再利用三角形内角和定理，可得到γ＝ 90°﹣α，故①正确；②由α：β：γ＝ 1：4：3 可知：β＝4α，γ＝ 3α，再根据三角形内角和定理可得：3α+4α+5α＝ 180°，∠ ACB＝2α＝ 30°；故②正确；③显然有 2（α+β+γ）＝ 180°，故α+β+γ＝ 90°，故③不正确；④易得：∠ BAC+∠ ABC＝ 2α+β+γ，故④不正确．【解答】解：①如图 1，∵ OC∥ AB，∴∠ BOC＝∠ OBA＝β，∠ AOC＝ 180°﹣β，∵OB＝ OC∴∠ OBC＝∠ OCB＝γ∵∠ BOC+∠ OBC+∠ OCB＝ 180°，即：β+γ+γ＝ 180°∴ γ＝ 90°﹣β，∵∠ AOC+∠ OAC+∠ OCA＝ 180°，∴180°﹣β+α+α＝180°∴β＝2α∴γ＝ 90°﹣α故① 正确；②如图 2，∠ OAC＝∠ OCA＝α，∠ OBA＝∠ OAB＝β，∠ OCB ＝∠ OBC＝γ∵ α：β：γ＝ 1： 4： 3，设α＝x°，β＝4x°，γ＝3x°∴∠ BAC＝ 5x°，∠ ABC＝ 7x°，∠ ACB＝4x°，∵∠ BAC+∠ ABC+∠ACB＝ 180°∴5x°+7x° +4x°＝ 180°∴x＝∴∠ ACB＝ 4x°＝ 45°，故② 不正确．③如图 3，∵ OA＝ OC＝OB∴∠ OCA＝∠ OAC＝α，∠ OAB＝∠ OBA＝β，∠ OBC＝∠ OCB ＝γ∴2（α+β+γ）＝ 180°∴α+β+γ＝ 90°故③ 不正确④如图 3，∠ BAC+∠ ABC＝ 2α+β+γ≠ α+γ﹣ 2β故④ 不正确故选： A．【点评】本题主要考查了三角形外接圆及圆心，圆周角定理，三角形内角和定理，解题关键要根据题意判断外接圆圆心的位置，画出正确图形．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共 24 分）＝ 6 ．【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：∵ AB∥CD ，∴△ ABO∽△ CDO ，∴＝，∴＝，∴OC＝ 6，故答案为： 6．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．12．（ 4 分）“手机阅读”已逐渐成了眼科病的主要病因，据调查表明在“中年人”中有“手机阅读”习惯的占比约达66%．若随机选择 150名“中年人”进行调查，则估计有99人有此习惯．【分析】用总人数乘以有“手机阅读”习惯的百分比，据此可估计总体中有此习惯的人数．【解答】解：根据题意知估计有此习惯的人数为150×66%＝ 99（人），故答案为： 99．【点评】本题主要考查用样本估计总体，一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．275°．13．（ 4 分）在△ ABC 中，（ cosA﹣） +|tanB﹣ 1|＝ 0，则∠ C＝【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质分别得出cosA＝，tanB＝ 1，再利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵（ cosA﹣2） +|tanB﹣ 1|＝ 0，∴cosA﹣＝ 0， tanB﹣ 1＝ 0，则 cosA ＝， tanB ＝ 1，∴∠ A ＝ 60°，∠ B ＝ 45°，∴∠ C ＝ 180°﹣ 60°﹣ 45°＝ 75°．故答案为： 75°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．14．（ 4 分）若圆内接正六边形的两条对角线长为m ，n （ m ＜ n ），则 m ：n ＝： 2 ．【分析】根据正多边形的内角的计算公式求出∠ABC 和∠ BCD ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BCA ，求出∠ ACD ，根据正弦的定义解答．【解答】解：∠ ABC ＝∠ BCD ＝＝ 120°，∵ BA ＝ BC ，∴∠ BAC ＝∠ BCA ＝ 30°，∴∠ ACD ＝∠ BCD ﹣∠ BCA ＝ 90°，∵∠ ADC ＝× 120°＝ 60°，∴ ＝ sin60°＝，∴ m ： n ＝： 2，故答案为：： 2．【点评】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的内角的计算方法，正弦的定义是解题的关键．15．（ 4 分）已知函数 y 1＝﹣（ m+1 ） x 2+nx+2 与 y 2＝mx+2 的图象都经过 A （ 4，﹣ 4）．若 y 2≤ y 1，则 x 的取值范围为x ≤0或 x ≥ 4．【分析】先 A 点坐标代入 y 2＝ mx+2 得 4m+2 ＝﹣ 4，再求出 m ，则可判断二次函数图象的开口向上，易得函数 y 1＝﹣（ m+1）x 2+nx+2 与 y 2＝mx+2 的图象都经过点（ 0，2），然后根据函数图象，写出直线不在抛物线上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：把 A （ 4，﹣ 4）代入 y 2＝ mx+2 得 4m+2＝﹣ 4，解得 m ＝﹣ ，∵﹣（ m+1）＞ 0，∴二次函数图象的开口向上，∵函数 y 1＝﹣（ m+1） x 22 ＝mx+2 的图象都经过点（ 0， 2），+nx+2 与 y ∴ y 2≤ y 1，则 x 的取值范围为 x ≤0 或 x ≥ 4．故答案为 x ≤ 0 或 x ≥ 4．2【点评】本题考查了二次函数与不等式（组）：对于二次函数 y ＝ ax +bx+c （ a 、b 、c 是常数， a ≠ 0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．16．（ 4 分）已知 P 为⊙ O 外的一点， P 到 ⊙O 上的点的最大距离为6，最小距离为 2．若 AB为 ⊙ O 内一条长为 1 的弦，则点 P 到直线 AB 的距离的最大值为4+，最小值为0 ．【分析】由题意设直线 OP 交 ⊙ O 于 C ，D ，则 PD ＝ 6，PC ＝ 2，CD ＝ 4，当线段 AB ⊥线段 CD 于 H 时，点 P 到直线 AB 的距离最大，当 A ， B ， P 共线时，点 P 到直线 AB 的距离最小．【解答】解：如图，由题意设直线 OP 交⊙ O 于 C ， D ，则 PD ＝ 6，PC ＝2， CD ＝ 4，当线段 AB ⊥线段 CD 于 H 时，点 P 到直线 AB 的距离最大，、在 Rt △AOH 中，∵ OA ＝ 2，AH ＝，∴ OH ＝＝，∴ PH ＝ 4+，∴点 P 到直线 AB 的最大距离为4+ ，当 A ， B ， P 共线时，点 P 到直线 AB 的距离最小，最小值为0，故答案为 4+， 0．【点评】本题考查点与圆的位置关系，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本大题有7 个小题，共66 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6 分）为了有效保护环境，某景区要求游客将垃圾按可回收垃圾，不可回收垃圾，有害垃圾分类投放．一天，小林一家游玩了该景区后，把垃圾按要求分成三袋并随机投入三类垃圾桶中，请用列树状图的方法求三袋垃圾都投对的概率．【分析】首先根据题意求得所有等可能的结果与垃圾投放正确的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：三类垃圾随机投入三类垃圾箱的树状图如下：由树状图可知随机投入三类垃圾桶共有 6 种等可能结果，其中三袋垃圾都投对的只有1种结果，∴三袋垃圾都投对的概率为．【点评】此题考查了树状图法与列表法求概率．注意树状图法与列表法可以不重不漏的表示出所有等可能的结果．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．18．（ 8 分）如图，四边形ABGH ，四边形 BCFG ，四边形 CDEF 都是正方形．请在图中找出与△ HBC 相似的三角形，并说明它们相似的理由．【分析】根据正方形的性质得到∠A＝ 90°，设 AB ＝ x，则 AH ＝BC ＝CD＝ x，推出，由∠ HBC＝∠ HBC，即可得到结论．【解答】解：△ DBH ∽△ HBC ，理由：∵四边形ABGH ，四边形BCFG ，四边形CDEF 都是正方形，∴A， B， C， D 在一条直线上，∠ A＝ 90°，设 AB＝ x，则 AH＝ BC＝ CD ＝ x，∴BH＝ x， BD＝ 2x，∴，∵∠ HBC＝∠ HBC，∴△ DBH ∽△ HBC ．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；需注意的是所有的全等三角形都相似．19．（ 8 分）如图，汽车在一条南北走向的公路上以每小时60 千米的速度匀速向北行驶．当汽车在 A 处时，某信号塔 C 在它的北偏西30°方向，汽车前行2分．钟．到达 B 处，此时信号塔 C 在它的北偏西 45°方向．（ 1）求 AB 的距离．（ 2）求信号塔 C 到该公路的距离．（ 1.73，结果精确到0.1千米）【分析】（ 1）把分钟化为小时，用路程＝速度×时间，计算即可；（ 2）过点 C 作 CD⊥ AB 于点 D，构造直角三角形 ACD 和 BCD ，利用直角三角形中特殊角对应的边角关系，用含 CD 的代数式表示出线段 AD、 BD ，由线段的和差关系得关于CD 的方程，求解即可．【解答】解；（ 1） AB＝ 60×＝2（千米）（2）过点 C 作 CD⊥ AB 于点 D ，设 CD ＝ x 千米，则在 Rt△ ACD 和 Rt△ BCD 中，∵∠ CAD＝ 30°，∠ CBD＝ 45°， AB＝ 2，∵AB＝ AD ﹣ BD∴x﹣ x＝ 2∴ x＝≈2.7答：信号塔 C 到该公路的距离为 2.7 千米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形应用方向角是解决本题的关键．20．（ 10 分）一个斜抛物体的水平运动距离为x（ m），对应的高度记为h（m），且满足 h＝2时， h＝ 2；当 x＝ 10 时， h＝ 2．ax +bx﹣ 11a（其中 a≠0）．已知当 x＝ 0（ 1）求 h 关于 x 的函数表达式和自变量x 的取值范围．（2）求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离．【分析】（ 1）解方程组即可得到结论；（2）把二次函数的解析式化为顶点式即可得到结论．【解答】解：（ 1）由题意得，，解得： a＝﹣， b＝，∴ h＝﹣2x+2 ；x +2（ 2）∵ h＝﹣（x﹣5）+，∵x＝ 5 在 0≤ x≤ 11 内，∴当 x＝5 时， h 的最大值为，答：斜抛物体的最大高度是m，达到最大高度时的水平距离是5m．【点评】此题主要考查了二次函数的应用题，正确的理解题意是解题的关键．21．（ 10 分）在⊙ O 中，的度数为120°，点 P 为弦 AB 上的一点，连结 OP 并延长交⊙O（1）若 P 为 AB 中点，且 PC＝ 1，求圆的半径．（2）若 BP ：BA＝ 1： 3，请求出 tan∠ OPA．【分析】（ 1）由 P 是 AB 的中点，的度数为120°知 OC⊥ AB，∠ OBP ＝ 30°，据此得sinB＝＝，由PC＝1知OP＝1，据此可得答案；（ 2）作 OD ⊥ AB，由（ 1）知∠ B＝ 30°， AD ＝ BD，据此得OD ：BD ＝：3，设OD＝x，知 BD＝ 3x，结合 BP： BA＝ 1： 3 得 PD ＝ x，从而得出答案．【解答】解：（ 1）如图 1，∵ P 是 AB 的中点，的度数为120°，∴OC⊥ AB，∴∠ POB＝ 60°，∠ OBP＝30°，∴sinB＝＝，∴OP＝ PC＝ 1，则 OC＝2；（ 2）如图 2，过点 O 作 OD⊥ AB 于点 D，由（ 1）知∠ B＝ 30°， AD ＝ BD ，∴OD ：BD＝ 1：＝： 3，设OD ＝ x，则 BD＝ 3x，∵ BP：BA＝ 1：3，∴PD＝ x，∴tan∠ DPO ＝．【点评】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理、圆心角定理、垂径定理及三角函数的应用等知识点．222．（ 12 分）已知二次函数y＝ax +bx﹣ 3（a≠ 0），且 a+b＝ 3．（ 1）若其图象经过点（﹣3， 0），求此二次函数的表达式．（ 2）若（ m， n）为（ 1）中二次函数图象在第三象限内的点，请分别求m， n 的取值范围．（ 3）点 P（ x1，y1）， Q（ x2， y2）是函数图象上两个点，满足x1+x2＝2 且 x1＜ x2，试比较 y1和 y2的大小关系．【分析】（ 1）依据待定系数法可求得二次函数的解析式；（ 2）利用配方法可得：22y＝ x +2 x﹣ 3＝（ x+1）﹣ 4，图象过（ 1， 0）和（﹣ 3，0），可得结论；（ 3）根据已知得： b＝ 3﹣ a，并将 P 和 Q 的坐标分别代入抛物线的解析式，并计算y2﹣y1＝（ x2﹣x1）（ a+3 ），分情况讨论可得结论．【解答】解：（ 1）由题意得：，解得：，∴此二次函数的表达式为：2y＝ x +2x﹣ 3；22﹣4，且（ m， n）是二次函数图象在第三象限内的（ 2）如图，∵ y＝ x +2x﹣3＝（ x+1）点，∴﹣ 4≤ n＜ 0，2当 y＝ 0 时， x +2x﹣ 3＝ 0，x＝﹣ 3 或 1，∴图象过（ 1， 0）和（﹣ 3， 0），∴﹣ 3＜ m＜0；（3）由条件可得： y1＝ ax12+（ 3﹣ a） x1﹣ 3， y2＝ ax22+（ 3﹣ a）x2﹣ 3，∴ y2﹣ y1＝（ x2﹣ x1） [a（ x2 +x1） +3﹣ a] ，∵x1+x2＝ 2 且 x1＜ x2，∴ y 2﹣ y1＝（ x2﹣ x1）（ a+3），①当 a＞﹣ 3 且 a≠ 0 时， y2＞y1，②当 a＝﹣ 3 时， y2＝y1，③当 a＜﹣ 3 时， y2＜y1．【点评】本题主要考查的是二次函数的性质，抛物线与x 轴的交点，利用数形结合思想求得 m 和 n 的取值范围是解题的关键．23．（ 12 分）如图，在△ ABC 中，∠ C＝ 90°， D 为 AC 上的一点，过 D 作 DE ⊥ AC，过 B 作BE⊥ AB， DE ， BE 交于点 E．已知 BC＝ 3，AB＝ 5．（ 1）证明：△ EFB ∽△ ABC．（ 2）若 CD ＝ 1，请求出 ED 的长．（ 3）连结 AE，记 CD ＝ a，△ AFE 与△ EBF 面积的差为 b．若存在实数 t1，t 2，m（其中t1≠ t2），当 a＝ t1或 a＝t 2时， b 的值都为 m．求实数m 的取值范围．【分析】（ 1）由 DE ⊥AC，BE⊥ AB，∠ C＝ 90°知 DE ∥ BC，∠ EBF＝∠ ACB＝ 90°，据此即可得证；（ 2）作 BG ⊥ ED ，知四边形 BGDC 是矩形，据此得 BG ＝ CD ＝1，BC ＝ GD ＝ 3，证△ EBG∽△ ABC 得＝，据此求得 EG ＝，根据 ED ＝ EG+DG 可得答案；（ 3）证△ EBG ∽△ ABC 得＝，据此求得 BE ＝ a ，证△ AFD ∽△ ABC 得＝，据此求得 AF ＝（ 4﹣ a ）， BF ＝ AB ﹣ AF ＝ a ，由 b ＝ ? （ 4﹣ a ）? a ﹣ ?a? a ＝﹣ （ a ﹣ 1）2+ （ 0＜a ＜ 4），根据二次函数的性质可得m 的取值范围．【解答】解：（ 1）∵ DE ⊥ AC ， BE ⊥ AB ，∠ C ＝ 90°，∴ DE ∥ BC ，∠ EBF ＝∠ ACB ＝90°， ∴∠ EFB ＝∠ ABC ，∴△ EFB ∽△ ABC ；（ 2）如图，过点 B 作 BG ⊥ ED 于 G ，则∠ BGE ＝∠ BGD ＝∠ EDC ＝∠ C ＝ 90°，∴四边形 BGDC 是矩形，∴ BG ＝ CD ＝1， BC ＝ GD ＝3，∵△ EFB ∽△ ABC ，∴∠ BEF ＝∠ CAB ，∴△ EBG ∽△ ABC ，∴ ＝，即＝，解得 EG ＝，则 ED ＝ EG+DG ＝ +3＝；第 21 页（共 22 页）（ 3）∵ CD ＝ a ， AC ＝4， ∴ BG ＝ a ，AD ＝ 4﹣a ， ∵△ EBG ∽△ ABC ，∴＝，即＝，解得 BE ＝a ，∵ DE ∥ BC ，∴△ AFD ∽△ ABC ，∴＝，即＝，解得 AF ＝（ 4﹣ a ），则 BF ＝ AB ﹣ AF ＝ 5﹣ （ 4﹣a ）＝ a ，∴ b ＝ ? （4﹣ a ）? a ﹣ ? a? a＝a （ 2﹣ a ）＝﹣a 2 + a ＝﹣（ a ﹣ 1） 2+ ，（0＜ a ＜ 4），∴ m 的取值范围是 0＜m ≤．【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质的运用等知识点．第 22 页（共 22 页）。

2018-2019学年新人教版九年级上册期末数学试卷(含答案)

2018-2019学年九年级(上)期末数学试卷一、单选题（共10题；共30分）1.将抛物线y=5x2向下平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）A. y=5（x+2）2-3B. y=5（x+2）2+3C. y=5（x-2）2-3D. y=5（x-2）2+32.有长24m的篱笆，一面利用围墙围成如图中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的垂直于墙的一边长为x m，面积是s m2，则s与x的关系式是（）A. s=﹣3x2+24xB. s=﹣2x2﹣24xC. s=﹣3x2﹣24xD. s=﹣2x2+24x3.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠ECB为（）A. B. C. D.4.一张长方形桌子的长是150cm，宽是100cm，现在要设计一块长方形桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边宽是xcm．根据题意，得（）A. （150+x）（100+x）=150×100×2B. （150+2x）（100+2x）=150×100×2C. （150+x）（100+x）=150×100D. 2（150x+100x）=150×1005.如图，⊙O是△ABC的外接圆，直径AD与BC相交于点E，连接CD，若⊙O的半径为5，AB=AC=8，DE=3，则EC长为（）A. 4B.C.D.6.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）A. AE＝OEB. CE＝DEC. OE＝CED. ∠AOC＝60°7.关于x的方程x2﹣4x+4a=0有两个实数根，则a的取值范围是（）A. a＜1B. a＞1C. a≤1D. a≥18.抛掷两枚均匀的硬币，当抛掷多次以后，出现两个反面的成功率大约稳定在（）.A. 25%B. 50%C. 75%D. 100%9.如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（）A. 2条B. 3条C. 4条D. 5条10.下列图形中，即是中心对称又是轴对称图形的是( )A. 等边三角形B. 平行四边形C. 梯形D. 矩形二、填空题（共8题；共24分）11.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=90°，AD=1，BC=2．连接BD，把△ABD绕着点B逆时针旋转90°得到△EBF，若点F刚好落在DA的延长线上，则∠C=________°．12.若最简二次根式与是同类二次根式，则a=________．13.要使代数式有意义，则x的取值范围是________．14.反比例函数y=中，k值满足方程k2﹣k﹣2=0，且当x＞0时，y随x的增大而增大，则k=________15.二次函数y=x2﹣4x﹣3的顶点坐标是________．16.某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，共送贺年卡56张，这个小组共有________ 人.17.将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是________18.如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为________．三、解答题（共6题；共36分）19.我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．（1）求y与x的函数关系式；（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价﹣成本）20.如图，已知圆的半径为r，求外接正六边形的边长．21.已知直线L1∥L2，点A，B，C在直线L1上，点E，F，G在直线L2上，任取三个点连成一个三角形，求：（1）连成△ABE的概率；（2）连成的三角形的两个顶点在直线L2上的概率．22.一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0．5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？23.如图所示，在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，求满足x的方程．24.已知x=﹣1是关于x的方程x2+2ax+a2=0的一个根，求a的值．四、综合题（共10分）25.已知∠α的顶点在正n边形的中心点O处，∠α绕着顶点O旋转，角的两边与正n边形的两边分别交于点M、N，∠α与正n边形重叠部分面积为S．（1）当n=4，边长为2，∠α=90°时，如图（1），请直接写出S的值；（2）当n=5，∠α=72°时，如图（2），请问在旋转过程中，S是否发生变化？并说明理由；（3）当n=6，∠α=120°时，如图（3），请猜想S是原正六边形面积的几分之几（不必说明理由）．若∠α的平分线与BC边交于点P，判断四边形OMPN的形状，并说明理由．参考答案与试题解析一、单选题1.【答案】A【考点】二次函数图象与几何变换【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解答】∵抛物线y=5x2向下平移3个单位，向左平移2个单位，∴平移后的抛物线的顶点坐标为（-2，-3)，∴平移得到的抛物线的解析式为y=5（x+2)2-3．故答案为：A．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减并确定出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键2.【答案】A【考点】根据实际问题列二次函数关系式【解析】【解答】S=（24﹣3x）x=24x﹣3x2．故选：A．【分析】AB为x m，则BC为（24﹣3x）m，利用长方体的面积公式，可求出关系式．3.【答案】B【考点】垂径定理【解析】【解答】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得：x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE=∴sin∠ECB=故选：B．【分析】根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE，由三角函数的定义求出sin∠ECB即可．4.【答案】B【考点】一元二次方程的应用【解析】【解答】解：设四周垂下的边宽度为xcm，桌布的长为（150+2x），宽为（100+2x），根据桌布面积是桌面的2倍可得：（150+2x）（100+2x）=150×100×2，故选B．【分析】设四周垂下的边宽度为xcm，求得桌布的面积，根据桌布面积是桌面的2倍列方程解答时即可．5.【答案】B【考点】等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心【解析】【解答】解：∵⊙O的半径为5，DE=3，∴AE=10﹣3=7，∵AD是直径，∴∠ACD=90°，∴CD=6，∵AB=AC，∴∠ACE=∠D，又∠DAC=∠CAE，∴△AEC∽△ACD，∴= ，即= ，解得，EC= ，故选：B．【分析】根据勾股定理求出CD，证明△AEC∽△ACD，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．6.【答案】B【考点】垂径定理【解析】【分析】垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧。

【推荐】2018-2019学年浙江省杭州市拱墅区九年级(上)期末数学试卷

2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 66．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．77．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．29．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 110．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为米．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是；2②方程ax +bx+c＝3 的解是．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面米．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．2018-2019 学年浙江省杭州市拱墅区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10 个小题，每小题 3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．（3 分）已知＝（a≠0，b≠0），下列变形正确的是（）A ．B ．C．D．【分析】根据两内项之积等于两外项之积解答即可．【解答】解：A、由得：2a＝3b，故选项A 不正确；B、由得：3a＝2b，故选项 B 正确；C、由得：2a＝3b，故选项 C 不正确；D 、由得：ab＝6，故选项D 不正确；故选：B．【点评】本题主要考查比例的性质，可根据比例的基本性质直接求解．2．（3 分）在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，则（）A ．B ．C．D．【分析】根据三角函数的定义解答即可得出结论．【解答】解：∵∠C＝90°，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边，∴sinA＝，cosA＝，sinB＝，tanB＝，故选：C．【点评】本题主要考查了正切函数的定义，锐角 A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A 的正弦，记作sinA．锐角A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的余弦，记作cosA．锐角A 的对边a 与邻边 b 的比叫做∠A 的正切，记作tanA．3．（3 分）下列事件中，属于不可能事件的是（）A ．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5B ．任意画一个三角形，它的内角和是178°C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行【分析】不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，依据定义即可求解．【解答】解：A．掷一枚骰子，朝上一面的点数为 5 是随机事件；B．任意画一个三角形，它的内角和是178°是不可能事件；C．任意写一个数，这个数大于﹣ 1 是随机事件；D．在纸上画两条直线，这两条直线互相平行是随机事件；故选：B．【点评】本题考查事件的分类，事件根据其发生的可能性大小分为必然事件、随机事件、不可能事件，理解定义是关键．4．（3 分）如图，点A、B、C 在⊙O 上，∠ACB＝40°，则（）A ．∠AOB＝80°，的度数为80°B ．∠AOB＝80°，的度数为40°C．∠AOB＝40°，的度数为80°D ．∠AOB＝40°，的度数为40°【分析】利用圆周角定理即可解决问题．【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB，∠ACB ＝40°，∴∠AOB＝80°，∴的度数为80°，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，弧的度数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考掌考题型．25．（3 分）关于二次函数y＝3x ﹣6，下列叙述正确的是（）A ．当x＝3 时，y 有最大值﹣ 6 B．当x＝3 时，y 有最小值﹣ 6C．当x＝0 时，y 有最大值﹣6 D．当x＝0 时，y 有最小值﹣ 6【分析】由抛物线解析式可求得开口方向、对称轴、顶点坐标，可求得答案．【解答】解：∵y＝3x2﹣6，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝0，顶点坐标为（0，﹣6），∴当x＝0 时，y 有最小值﹣6；∴D 正确，故选：D ．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y2＝a（x﹣h）+k 中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．6．（3 分）如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC 交l 1、l 2、l 3 于点A、B、C，直线DF 交l 1、l 2、l3 于点D、E、F ，已知，若DE ＝3，则DF 的长是（）A ．B ．4 C．D．7【分析】由直线l1∥l2∥l3 可得出＝，结合＝，AC＝AB+BC 可得出的值，进而可得出EF＝DE ＝，再将其代入DF ＝DE +EF 中即可求出结论．【解答】解：∵直线l 1∥l 2∥l3 ，∴＝．∵＝，AC＝AB+BC，∴＝＝，∴EF＝DE＝，第8 页（共25 页）∴DF ＝DE+EF ＝．故选：C．【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．7．（3 分）已知圆心角为120°的扇形的弧长为6π，该扇形的面积为（）A ．18πB ．27πC．36πD．54π【分析】设扇形的半径为r．利用弧长公式构建方程求出r ，再利用扇形的面积公式计算即可．【解答】解：设扇形的半径为r．由题意：＝6π，∴r＝9，∴S 扇形＝＝27π，故选：B．【点评】本题考查扇形的弧长公式，面积公式等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．8．（3 分）如图，在△ABC 中，点D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，DE ∥BC，DF ∥AC，若△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，则△DBF 与△ADE 的面积之比为（）A ．B ．C．D．【分析】根据矩形的性质得到DE ＝CF，根据相似三角形的性质得到＝（） 2 ＝，求得＝，设DE＝k，BC＝2k，得到BF ＝2k﹣k，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，DF ∥AC，∴四边形DFCE 是平行四边形，∴DE＝CF，∵△ADE 与四边形DBCE 的面积相等，∴＝，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴＝，设DE ＝k，BC＝2k，∴BF＝2k﹣k，∵DF ∥AC，∴△BDF ∽△BAC，∴△DBF ∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝3﹣2 ，故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．2 9．（3 分）在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，4）、B（2，4），若二次函数y＝ax ﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象与线段AB 只有一个交点，则（）A ．a 的值可以是B．a 的值可以是C．a 的值不可能是﹣ 1.2 D．a 的值不可能是 1【分析】先把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝﹣，此时抛物线与线段AB 有两个公共点，所以当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y ＝ax2﹣2ax﹣3a 得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥，然后利用 a 的范围对各选项解析式判断．【解答】解：把B（2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a﹣4a﹣3a＝4，解得a＝﹣，则第10 页（共25 页）当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a＜﹣；把A（﹣2，4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a 得4a+4a﹣3a＝4，解得a＝，则当抛物线与线段AB 只有一个交点时，a≥．故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y＝ax2 +bx+c（a≠0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与x 轴交点的个数确定．10．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是圆上任意一点，点 D 是AC 中点，OD 交AC 于点E，BD 交AC 于点F ，若BF＝1.25DF ，则tan∠ABD 的值为（）A ．B ．C．D．【分析】由△ADF ∽△BDA，推出AD 2＝DF ?DB ，由BF＝1.25DF ，可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD ＝9m，可得AD ＝6m，根据tan∠ABD ＝计算即可解决问题．【解答】解：∵＝，∴∠DAF ＝∠DBA，∵∠ADF ＝∠ADB，∴△ADF ∽△BDA，∴＝，∴AD2＝DF ?DB ，∵BF＝1.25DF ，∴可以假设DF ＝4m，则BF ＝5m，BD＝9m，∴AD2＝36m2，∵AD＞0，∴AD＝6m，∵AB 是直径，第11 页（共25 页）∴∠ADB＝90°，∴tan∠ABD ＝＝＝，故选：A．【点评】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题有 6 个小题，每小题 4 分，共24 分）11．（4 分）任意抛掷一枚质地均匀的骰子，朝上面的点数能被 3 整除的概率是．【分析】根据概率公式可得．【解答】解：抛掷一枚骰子有1、2、3、4、5、6 种可能，其中所得的点数能被 3 整除的有3、6 这两种，∴所得的点数能被 3 整除的概率为＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式，要熟练掌握随机事件 A 的概率P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．212．（4 分）计算：cos 45°﹣tan30°sin60°＝0 ．【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．【解答】解：cos2 45°﹣tan30°sin60°＝﹣×＝﹣＝0，故答案为：0．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．（4 分）铁路道口的栏杆如图所示，AO＝16.5 米，CO＝1.25 米，当栏杆 C 端下降的垂直距离（CD ）为0.5 米时，栏杆 A 端上升的垂直距离（AB）为 6.6 米．【分析】由∠ABO＝∠CDO ＝90°、∠AOB＝∠COD 知△ABO∽△CDO ，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵AB⊥BD ，CD ⊥BD，∴∠ABO＝∠CDO ＝90°，又∵∠AOB＝∠COD ，∴△ABO∽△CDO ，则，即，解得：AB ＝6.6 米，故答案为： 6.6【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．214．（4 分）函数y＝ax +bx+c（a≠0）的部分图象如图所示：①当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1 ；2②方程ax +bx+c＝3 的解是x1 ＝﹣4，x2＝0 ．【分析】①利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），然后写出抛物线在x 轴下方所对应的自变量的范围即可；②抛物线与y 轴的交点为（0，3），利用抛物线对称性得到抛物线过点（﹣4，0），从而2得到方程ax +bx+c＝3 的解．【解答】解：①∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（1，0），而抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（﹣5，0），∴当y＜0 时，x 的取值范围是x＜﹣5 或x＞1；2②方程ax +bx+c＝3 的解为x1＝﹣4，x2＝0．故答案为x＜﹣5 或x＞1；x1＝﹣4，x2＝0．2【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y＝ax +bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．15．（4 分）如图是一个圆拱形隧道的截面，若该隧道截面所在圆的半径为 3.5 米，路面宽AB 为4.2 米，则该隧道最高点距离地面 6.3 米．【分析】连接OA．由垂径定理可知AD ＝DB＝2.1，利用勾股定理求出OD 即可解决问题．【解答】解：连接OA．∵OD ⊥AB，∴AD＝DB＝2.1 米，在Rt△AOD 中，OD ＝＝＝2.8（米），∴CD ＝OC+OD ＝6.3（米）故答案为6.3．【点评】解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直2 2 角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r ＝d +（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．16．（4 分）如图在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E、F 分别在边AB、AC 上，将△AEF 沿直线EF 折叠，使点A 的对应点 D 恰好落在边BC 上．若△BDE 是直角三角形，则CF 的长为或．【分析】分两种情况：①∠BED ＝90°，过点F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF ＝3﹣a，在Rt△AMF 中用a 表示出AE，从而得到BE＝5﹣AE，在Rt△BED 中，根据三角函数用a 表示BE，则构造出关于a 的方程；②∠BDE＝90°，证明∠A＝∠DFC ，根据三角函数找到FC 和DF 关系即可．【解答】解：①当∠BED ＝90°时，过点 F 作FM ⊥AE，根据折叠性质可知∠AEF ＝∠DEF ＝45°，设FC ＝a，则AF＝3﹣a，在Rt △AMF 中，sinA＝，∴MF ＝＝ME ．cosA＝，∴AM ＝．∴AE＝AM +MF＝＝DE ．则BE＝AB﹣AE＝5﹣．在Rt△BED 中，tanB＝，∴BE＝．∴5﹣＝，解得a＝；②当∠EDB ＝90°时，根据折叠性质可知AF ＝FD ，∠A＝∠EDF ，∵ED∥AC，∴∠EDF ＝∠DFC ．∴∠A＝∠DFC ．∴cosA＝cos∠DFC ＝，设FC ＝x，则AF＝3﹣x＝DF ，∴，解得x＝．综上所述CF 长为或．【点评】本题主要考查折叠的性质、勾股定理、解直角三角形，同时还考查了分类讨论的数学思想．三、解答题217．（6 分）已知二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；2（2）若点P（m，m +1）也在该二次函数的图象上，求点P 的坐标．【分析】（1）把点（2，3）代入二次函数的解析式，解方程即可得到结论；2（2）把点P（m，m +1 ）代入函数解析式，解方程即可得到结论．2【解答】解：（1）∵二次函数y＝2x +bx+1 的图象过点（2，3），∴3＝8+2b+1，∴b＝﹣3，∴该二次函数的表达式为y＝2x2﹣3x+1；2（2）∵点P（m，m +1 ）也在该二次函数的图象上，2 2∴m +1═2m ﹣3m+1，解得：m1＝0，m2 ＝3，∴点P 的坐标为（0，1）或（3，10）．【点评】本题考查了求二次函数的表达式，二次函数图象上点的坐标特征，正确的求得解析式是解题的关键．18．（8 分）如图，某轮船在海上向正东方向航行，上午8：00 在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，之后轮船继续向正东方向行驶 1.5h 行驶到达 B 处，这时小岛O 在船的北偏东30°方向36 海里处．（1）求轮船从 A 处到B 处的航速；（2）如果轮船按原速继续向东航行，还需经过多少时间轮船才恰好位于小岛的东南方向？【分析】（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，解直角三角形即可得到结论；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）过O 作OC⊥AB 交AB 的延长线于C，根据题意得，∠OAB＝60°，∠OBC＝30°，OB＝36 海里，∴∠AOB＝∠BOC﹣∠OAB＝30°，∴∠OAB＝∠AOB，∴AB＝OB＝36，∴＝24 海里/ 小时；答：轮船从 A 处到B 处的航速是24 海里/小时；（2）设还需经过x 时间轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处，由题意得，∠DOC ＝45°，在Rt△OBC 中，∵∠OBC＝60°，OB ＝36，∴BC＝18，OC＝18 ，在Rt△DOC 中，∵∠OCD ＝45°，OC＝18 ，∴DC ＝OC＝18 ，∴BD＝18+18 ，∴＝（小时），答：还需经过小时轮船才恰好位于小岛的东南方向 D 处．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．19．（8 分）把9 个只有颜色不同的小球分别装入甲乙丙三个布袋里其中甲布袋里有 3 个红球，1 个白球；乙布袋里有 1 个红球，2 个白球；丙布袋里有 1 个红球，1 个白球．（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是多少？（2）用列表法或画树状图，解决下列问题：①从甲、乙两个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的两个小球都是红球的概率；②从甲、乙、丙三个布袋中随机各摸出 1 个小球，求摸出的三个小球是一红二白的概率．【分析】（1）根据概率公式求解可得；（2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：（1）从甲布袋中随机摸出 1 个小球，摸出的小球是红球的概率是；（2）①画树状图如下：由树状图知，共有12 种等可能结果，其中摸出的两个小球都是红球的有 3 种结果，∴摸出的两个小球都是红球的概率为＝；②画树状图如下：由树状图知，共有24 种等可能结果，其中摸出的三个小球是一红二白的有9 种结果，∴摸出的三个小球是一红二白的概率为＝．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20．（10 分）如图，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6．点D 在边AB 上，AD＝4.5．△ABC 的角平分线AE 交CD 于点F ．（1）求证：△ACD ∽△ABC；（2）求的值．【分析】（1）由AB，AC，AD 的长可得出＝，结合∠CAD＝∠BAC 即可证出△ACD ∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质可得出∠ACD＝∠B，由AE 平分∠BAC 可得出∠CAF＝BAE，进而可得出△ACF∽△BAE，再利用相似三角形的性质即可求出的值．【解答】（1）证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝4.5，∴＝＝．又∵∠CAD ＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC；（2）解：∵△ACD ∽△ABC，∴∠ACD＝∠B．∵AE 平分∠BAC，∴∠CAF＝BAE ，∴△ACF∽△BAE，∴＝＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的定义，解题的关键是：（1）利用“两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似”找出△ACD∽△ABC；（2）利用“两角对应相等，两个三角形相似”找出△ACF∽△BAE．21．（10 分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O，BC＝CD，∠C＝2∠BAD ．（1）求∠BOD 的度数；（2）求证：四边形OBCD 是菱形；（3）若⊙O 的半径为r，∠ODA＝45°，求△ABD 的面积（用含r 的代数式表示）．【分析】（1）结合圆的内接四边形对角互补，运用方程思想，再运用圆周角定理求解即可；（2）连接OC，证明△BOC 和△DOC 都是等边三角形，进而即可证明结论；（3）分别计算△BOD ，△AOD 和△AOB 的面积，再求和即可．【解答】解：（1）∵四边形ABCD 内接于⊙O，∴∠C+∠BAD＝180°，∵∠C＝2∠BAD，∴∠C＝120°，∠BAD＝60°，∴∠BOD＝2∠BAD ＝120°；（2）如图1 连接OC，∵BC＝CD，∴∠BOC＝∠DOC ＝60°，∵OB＝OC＝OD ，∴△BOC 和△DOC 都是等边三角形，∴OB＝OC＝OD ＝BC＝DC，∴四边形OBCD 是菱形，（3）如图2，连接OA，过点 A 作BO 的垂线交BO 的延长线于点N，∵∠BOD＝120°，OB＝OD，∴∠ODM ＝30°，∵∠BOM ＝∠DOM ，∴OM ⊥BD，∴OM ＝r，DM ＝r ，∴BD＝2DM ＝，∴，∵∠ODA＝45°，OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA ＝45°，∴∠AOD＝90°，∴，∵∠BOD＝120°，∠AOD＝90°，∴∠AOB＝150°，∴∠AON＝30°，∴AN＝OA＝r ，2 ，∴S△AOB＝r2 2 2 2∴△ABD 的面积为r + r + r ＝（+ ）r ．【点评】此题主要考查圆的综合问题，会运用圆的相关性质进行推理，会进行菱形的判定，会计算三角形的面积是解题的关键．22．（12 分）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为 a 米的墙，现准备用20 米的第21 页（共25 页）篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案：方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长．（1）若a＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25 平方米的花圃，则AD 的长是多少米？②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【分析】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程；②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD＝20﹣3x，根据题意得，x（20﹣3x）＝25，解得：x1＝5，x2＝，当x＝时，AD ＝15＞6，∴x＝5，∴AD＝5，答：AD 的长是 5 米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB＝[20 ﹣x﹣（x﹣6）] ＝，根据题意得，y＝x（）＝﹣x2+ x＝﹣（x＞6），∴当x＝时，y 有最大值为．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是平方米；第22 页（共25 页）（2）设BC＝x，能围成的矩形花圃的面积为S，按图甲的方案，S＝x×＝﹣x＝﹣，∴在x＝a＜10 时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S ；按图乙方案，S＝[20 ﹣x﹣（x﹣a）]x＝，∴当x＝时，S 的值最大为S＝，此时 a 取最大值n 时，S 的值最大为S ＝；∵，∴，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，关键是正确列出一元二次方程和函数解析式，运用函数的性质解答．23．（12 分）如图，在△ABC 中，AB＝AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC，AC 于点D，E，连结EB，交OD 于点F ．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE ＝，AB＝6，求AE 的长．（3）若△CDE 的面积是△OBF 面积的，求线段BC 与AC 长度之间的等量关系，并说明理由．【分析】（1）连接AD ．根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及圆的有关性质即可证明；（2）先证△CDE∽△CAB 得＝，据此求得CE 的长，依据AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE 可得答案；第23 页（共25 页）2＝，据此（3）由BD ＝CD 知S△CDE＝S△BDE，证△OBF ∽△ABE 得＝（）知S△ABE＝4S△OBF，结合＝知S△ABE＝6S△CDE，S△CAB＝8S△CDE，由△CDE∽△CAB 知＝（）2＝，据此得出＝，结合BD＝CD，AB ＝AC 知＝，从而得出答案．【解答】解：（1）连接AD，∵AB 是直径，∴∠AEB＝∠ADB ＝90°，∵AB＝AC，∴∠CAD＝∠BAD，BD ＝CD，∴＝，∴OD ⊥BE；（2）∵∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∵BD＝CD，∴BC＝2DE ＝2 ，∵四边形ABDE 内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE ＝180°，∵∠CDE+∠BDE＝180°，∴∠CDE＝∠BAC，∵∠C＝∠C，第24 页（共25 页）∴△CDE∽△CAB，∴＝，即＝，∴CE＝2，∴AE＝AC﹣CE＝AB﹣CE＝4；（3）∵BD＝CD ，∴S△CDE＝S△BDE，∵BD＝CD，AO＝BO，∴OD ∥AC，∵△OBF∽△ABE，∴＝（）2＝，∴S△ABE＝4S△OBF，∵＝，∴S△ABE＝4S△OBF＝6S△CDE，∴S△CAB＝S△CDE+S△BDE+S△ABE＝8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴＝（）2＝，∴＝，∵BD＝CD，AB＝AC，∴＝，即AC＝BC．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．第25 页（共25 页）。

浙江省杭州市临安区2018-2019学年九年级上学期期末数学试题(含答案及解析)

2018-2019学年九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共10小题）1.已知3x ＝4y （x ≠0），则下列比例式成立的是（） A. 34xy= B. 34y x = C. 34xy = D. 34xy =【答案】B【解析】【分析】根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积，逐项判断即可．【详解】A 、由3x ＝4y得4x ＝3y ，故本选项错误；B 、由3y ＝4x 得3x ＝4y ，故本选项正确；C 、由3y ＝4x得xy ＝12，故本选项错误；D 、由xy ＝34得4x ＝3y ，故本选项错误；故选：B ．【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握内项之积等于外项之积是解题的关键．2.抛物线y ＝2x 2﹣3的顶点坐标是（）A. （0，﹣3）B. （﹣3，0）C. （﹣34，0） D. （0，﹣34）【答案】A【解析】【分析】根据题目中的函数解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【详解】∵抛物线y ＝2x 2﹣3的对称轴是y 轴，∴该抛物线的顶点坐标为(0，﹣3)，故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，找到抛物线的对称轴是解题的关键．3.小红抛掷一枚质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有1到6的点数，下列事件为必然事件的是（）A. 骰子向上一面的点数为偶数B. 骰子向上一面的点数为3C. 骰子向上一面的点数小于7D. 骰子向上一面的点数为6【答案】C【解析】【分析】必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可判断．【详解】A、骰子向上一面的点数为偶数是随机事件，选项错误；B、骰子向上一面的点数为3是随机事件，选项错误；C、骰子向上一面的点数小于7是必然事件，选项正确；D、骰子向上一面的点数为6是随机事件，选项错误．故选：C．【点睛】本题考查了随机事件与必然事件，熟练掌握必然事件的定义是解题的关键．4.如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A. 点BB. 点DC. 点ED. 点A【答案】D【解析】【分析】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．【详解】如图，连接CE，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2254，∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴CD ＝12AC = 2，CE ＝12AB =52， ∵⊙C 的半径为3，BC=3，CE 3<，CD 3<，AC 3>∴点B ⊙C 上，点E 在⊙C 内，点D 在⊙C 内，点A 在⊙C 外，故选：D ．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是求点到圆心的距离．5.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF ，则∠BAC 的度数为（）A. 105°B. 115°C. 125°D. 135° 【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【详解】∵△ABC ∽△EDF ，∴∠BAC ＝∠DEF ，又∵∠DEF ＝90°+45°＝135°，∴∠BAC ＝135°，故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是找到对应角6.将抛物线y=3x 2﹣3向右平移3个单位长度，得到新抛物线的表达式为（）A. y=3（x ﹣3）2﹣3B. y=3x 2C. y=3（x+3）2﹣3D. y=3x 2﹣6 【答案】A【解析】【分析】根据二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减，即可得出.【详解】抛物线233y x =-向右平移3个单位,得到抛物线的解析式是()233 3.y x =--故选A.【点睛】本题主要考查二次函数的图象平移规律：左加右减，上加下减.7. 若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰8，则∠D的度数是A. 10°B. 30°C. 80°D. 120°【答案】D【解析】试题分析：设∠A=x，则∠B=3x，∠C=8x，因为四边形ABCD为圆内接四边形，所以∠A+∠C=180°，即：x+8x=180，∴x=20°，则∠A=20°，∠B=60°，∠C=160°，所以∠D=120°，故选D考点: 圆内接四边形的性质8.）边形．A. 六B. 八C. 十D. 十二【答案】B【解析】【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．，【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为2∴外角＝45°，∴360÷45＝8．故它是正八边形．故选：B．【点睛】本题考查根据正多边形的外角判断边数，根据余弦值得到外角度数是解题的关键．9.如图，在△ABC中，BC＝8，高AD＝6，点E，F分别在AB，AC上，点G，F在BC上，当四边形EFGH 是矩形，且EF＝2EH时，则矩形EFGH的周长为（）A. 245B. 365C. 725D. 2885【答案】C【解析】【分析】通过证明△AEF ∽△ABC ，可得2EH 6EH 86-=，可求EH 的长，即可求解．【详解】∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴-=EF AD EH BC AD， ∵EF ＝2EH ，BC=8，AD=6，∴2EH 6EH 86-= ∴EH ＝125， ∴EF ＝245， ∴矩形EFGH 的周长＝1272524255⎛⎫⨯+=⎪⎝⎭ 故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形对应边成比例建立方程是解题的关键． 10.如图，半径为5的A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是BAC ∠，EAD ∠，若6DE =，180BAC EAD ∠+∠=︒，则弦BC 的长等于（）A. 8B. 10C. 11D. 12【答案】A【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，然后再根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，易得AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3，从而求解．解：作AH⊥BC于H，作直径CF，连结BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴弧DE＝弧BF，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，∵CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3．∴2222534BH AB AH-=-=，∴BC＝2BH＝8．故选A．“点睛”本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和三角形中位线性质．二．填空题（共6小题）11.计算：sin30°=_____．【答案】1 2【解析】【分析】根据sin30°=12直接解答即可．【详解】sin30°=1 2 .【点睛】本题考查的知识点是特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练的掌握特殊角的三角函数值.12.二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3的图象经过点M（﹣2，10），则k＝_____．【答案】12．【解析】【分析】点M（﹣2，10），代入二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3即可求出k的值．【详解】把点M（﹣2，10），代入二次函数y＝2x2﹣5kx﹣3得，8+10k﹣3＝10，解得，k＝12，故答案为：12．【点睛】本题考查求二次函数解析式的系数，解题的关键是将图象上的点坐标代入函数解析式．13.不透明布袋里有5个红球，4个白球，往布袋里再放入x个红球，y个白球，若从布袋里摸出白球的概率为13，则y与x之间的关系式是_____．【答案】x﹣2y＝3．【解析】【分析】根据从布袋里摸出白球的概率为13，列出454++++yx y＝13，整理即可得．【详解】根据题意得454++++yx y＝13，整理，得：x﹣2y＝3，故答案为：x﹣2y＝3．【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式建立方程是解题的关键．14.如图，在⊙O内有折线DABC，点B，C在⊙O上，DA过圆心O，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC＝_____．【答案】20【解析】【分析】作OE⊥BC于E，连接OB，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长，设垂足为E，在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长，由垂径定理知BC=2BE即可得出答案．【详解】作OE⊥BC于E，连接OB．∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°，∴△ADB为等边三角形，∴BD＝AD＝AB＝12，∵OA＝8，∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝12OD＝2，∴BE＝12﹣2＝10，由垂径定理得BC=2BE=20故答案为：20．【点睛】本题考查了圆中的弦长计算，熟练掌握垂径定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15.如图，AB是⊙O的直径，且AB＝6，弦CD⊥AB交AB于点P，直线AC，DB交于点E，若AC：CE＝1：2，则OP＝_____．【答案】1．【解析】【分析】过点E 作EF ⊥AB 于点F ，证明△ACP ∽△AEF 以及△PBD ∽△FBE ，设PB ＝x ，然后利用相似三角形的性质即可求出答案．【详解】过点E 作EF ⊥AB 于点F ，∵CP ⊥AB ，AC ：CE ＝1：2，∴CP ∥EF ，AC ：AE ＝1：3，∴△ACP ∽△AEF ， ∴13===AC CP AP AE EF AF ， ∵PD ∥EF ，∴△PBD ∽△FBE ， ∴=PD PB ED BF， ∵PC ＝PD ， ∴13=PB BF ，设PB ＝x ，BF ＝3x ，∴AP ＝6﹣x ，AF ＝6+3x ， ∴61633-=+x x ，解得：x ＝2，∴PB ＝2，∴OP ＝1，故答案为：1．【点睛】本题考查了圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16.当﹣1≤x ≤3时，二次函数y ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2﹣1可取到的最大值为3，则m ＝_____．【答案】﹣2.5或2．【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以求得m的值．【详解】∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝﹣(x﹣m)2+m2﹣1可取到的最大值为3，∴当m≤﹣1时，x＝﹣1时，函数取得最大值，即3＝﹣(﹣1﹣m)2+m2﹣1，得m＝﹣2.5；当﹣1＜m＜3时，x＝m时，函数取得最大值，即3＝m2﹣1，得m1＝2，m2＝﹣2（舍去）；当m≥3时，x＝3时，函数取得最大值，即3＝﹣(3﹣m)2+m2﹣1，得m＝136（舍去）；由上可得，m的值为﹣2.5或2，故答案为：﹣2.5或2．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．三．解答题（共7小题）17.如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上一点，且BD＝BA，求tan∠ADC的值．【答案】23【解析】【分析】设AC＝m，解直角三角形求出AB，BC，BD即可解决问题．【详解】设AC＝m，Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2m，BC33，∴BD＝AB＝2m，DC＝2m3，∴tan∠ADC＝ACCD2m3m+23．【点睛】本题考查求正切值，熟记正切的定义，解出直角三角形的边长是解题的关键．18.某校垃圾分类“督察部”从4名学生会干部（2男2女）随机选取2名学生会干部进行督查，请用枚举、列表或画树状图的方法求出恰好选中两名男生的概率．【答案】16．【解析】【分析】用列表法或树状图法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．【详解】用列表法得出所有可能出现的情况如下：共有12种等可能的情况，其中两人都是男生的有2种，∴P （两人都是男生）＝212＝16．【点睛】本题考查求概率，熟练掌握列表法或树状图法是解题的关键．19.已知菱形的两条对角线长度之和为40厘米，面积S （单位：cm 2）随其中一条对角线的长x （单位：cm ）的变化而变化．（1）请直接写出S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．（2）当x 取何值时，菱形的面积最大，最大面积是多少？【答案】（1）S ＝﹣12x 2+20x ，0＜x ＜40；（2）当x ＝20时，菱形的面积最大，最大面积是200．【解析】分析】（1）直接利用菱形面积公式得出S 与x 之间的关系式；（2）利用配方法求出最值即可．【详解】（1）由题意可得：211(40)2022=-=-+S x x x x ， ∵x 为对角线的长，∴x ＞0，40﹣x ＞0，即0＜x ＜40；（2）211(40)2022=-=-+S x x x x ，＝()21402--x x＝21(20)4002⎡⎤---⎣⎦x ＝21(20)2002--+x ，即当x ＝20时，菱形的面积最大，最大面积是200．【点睛】本题考查二次函数的应用，熟练掌握菱形的性质，建立二次函数模型是解题的关键． 20.如图，有一直径是20厘米的圆型纸片，现从中剪出一个圆心角是90°的扇形ABC ．（1）求剪出的扇形ABC 的周长．（2）求被剪掉的阴影部分的面积．【答案】（1）（202+52）cm ；（2）50πcm 2．【解析】【分析】（1）连接BC ，首先证明BC 是直径，求出AB ，AC ，利用弧长公式求出弧BC 的长即可解决问题．（2）根据S 阴＝S 圆O ﹣S 扇形ABC 计算即可解决问题．【详解】解：（1）如图，连接BC∵∠BAC ＝90°，∴BC 是⊙O 的直径，∴BC ＝20cm ，∵AB ＝AC ，∴AB ＝AC ＝2∴BC的长＝90102180π⋅＝52π，∴扇形ABC的周长＝（202+52）cm．（2）S阴＝S圆O﹣S扇形ABC＝π•102﹣290(102)360π⋅⋅＝50πcm2．【点睛】本题考查了弧长计算和不规则图形的面积计算，熟练掌握弧长公式与扇形面积公式是解题的关键．21.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，经过AD两点的圆分别与AB，AC交于点E、F，连接DE，DF．（1）求证：DE＝DF；（2）求证：以线段BE+CF，BD，DC为边围成的三角形与△ABC相似，【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【解析】分析】（1）连接AD，证明∠BAD＝∠CAD即可得出DE DF=，则结论得出；（2）在AE上截取EG＝CF，连接DG，证明△GED≌△CFD，得出DG＝CD，∠EGD＝∠C，则可得出结论△DBG∽△ABC．【详解】（1）证明：连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴∠BAD＝∠CAD，∴DE DF=，∴DE ＝DF ．（2）证明：在AE 上截取EG ＝CF ，连接DG ，∵四边形AEDF 内接于圆，∴∠DFC ＝∠DEG ，∵DE ＝DF ，∴△GED ≌△CFD （SAS ），∴DG ＝CD ，∠EGD ＝∠C ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴△DBG ∽△ABC ，即以线段BE +CF ，BD ，DC 为边围成的三角形与△ABC 相似．【点睛】本题考查了圆的综合问题，熟练掌握圆的内接四边形性质与相似三角形的判定是解题的关键． 22.已知函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +2（m ≠0），请判断下列结论是否正确，并说明理由．（1）当m ＜0时，函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +2在x ＞1时，y 随x 的增大而减小；（2）当m ＞0时，函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +2图象截x 轴上的线段长度小于2．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．【解析】【分析】（1）先确定抛物线的对称轴为直线x ＝1+12m ，利用二次函数的性质得当m ＞1+12m 时，y 随x 的增大而减小，从而可对（1）的结论进行判断；（2）设抛物线与x 轴的两交的横坐标为x 1、x 2，则根据根与系数的关系得到x 1+x 2＝21m m+，x 1x 2＝2m ，利用完全平方公式得到|x 1﹣x 2|()212124x x x x +-212m ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝|2﹣1m |，然后m 取15时可对（2）的结论进行判断．【详解】解：（1）的结论正确．理由如下：抛物线的对称轴为直线(21)1122-+=-=+mxm m，∵m＜0，∴当m＞1+12m时，y随x的增大而减小，而1＞1+12m，∴当m＜0时，函数y＝mx2﹣（2m+1）x+2在x＞1时，y随x的增大而减小；（2）的结论错误．理由如下：设抛物线与x轴的两交的横坐标为x1、x2，则x1+x2＝21mm+，x1x2＝2m，|x1﹣x2|＝|2﹣1m|，而m＞0，若m取15时，|x1﹣x2|＝3，∴当m＞0时，函数y＝mx2﹣(2m+1)x+2图象截x轴上的线段长度小于2不正确．【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．23.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是线段AC上的一个动点且AEAC＝k（0＜k＜1），点F在线段BC上，且DEFH为矩形；过点E作MN⊥BC，分别交AD，BC于点M，N．（1）求证：△MED∽△NFE；（2）当EF＝FC时，求k的值．（3）当矩形EFHD的面积最小时，求k的值，并求出矩形EFHD面积的最小值．【答案】（1）见解析；（2）725；（3）矩形EFHD 的面积最小值为10825，k ＝1625．【解析】【分析】（1）由矩形的性质得出∠B ＝90°，AD ＝BC ＝4，DC ＝AB ＝3，AD ∥BC ，证出∠EMD ＝∠FNE ＝90°，∠NEF＝∠MDE ，即可得出△MED ∽△NFE ；（2）设AM ＝x ，则MD ＝NC ＝4﹣x ，由三角函数得出ME ＝34x ，得出NE ＝3﹣34x ，由相似三角形的性质得出NF ME ＝EN MD ，求出NF ＝916x ，得出FC ＝4﹣x ﹣916x ＝4﹣2516x ，由勾股定理得出EF 22NE NF +22393416⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 当EF ＝FC 时，得出方程4﹣2516x 22393416⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x x 解得x ＝4（舍去），或x ＝2825，进而得出答案；（3）由相似三角形的性质得出DE EF ＝ME NF ＝43，得出DE ＝43EF ，求出矩形EFHD 的面积＝DE ×EF ＝43EF 2＝2243933416⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x ＝24151281316525⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦x ，由二次函数的性质进而得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，AD ＝BC ＝4，DC ＝AB ＝3，AD ∥BC ，∵MN ⊥BC ，∴MN ⊥AD ，∴∠EMD ＝∠FNE ＝90°，∵四边形DEFH 是矩形，∴∠MED +∠NEF ＝90°，∴∠NEF ＝∠MDE ，∴△MED ∽△NFE ；（2）解：设AM ＝x ，则MD ＝NC ＝4﹣x ，∵tan∠DAC＝tan∠MAE＝MEAM＝DCAD＝34，∴ME＝34 x，∴NE＝3﹣34 x，∵△MED∽△NFE，∴NFME＝ENMD，即NF3x4＝3344--xx，解得：NF＝916x，∴FC＝4﹣x﹣916x＝4﹣2516x，EF当EF＝FC时，4﹣25 16x解得：x＝4或x＝28 25，由题意可知x＝4不合题意，当x＝2825时，AE＝75，∵AC5，∴k＝AEAC＝725；（3）解：由（1）可知：△MED∽△NFE，∴DE ME4 EF NF3==，∴DE＝43 EF，∴矩形EFHD的面积＝DE×EF＝43EF2＝2243933416⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦x x＝24151281316525⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦x∴当1516x﹣125＝0时，即x＝6425时，矩形EFHD的面积最小，最小值为：48110832525⨯=，∵cos∠MAE＝AMAF＝ADAC＝45，∴AE＝54AM＝54×6425＝165，此时k＝AEAC＝1625．【点睛】本题考查了矩形与相似三角形，以及二次函数的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质建立二次函数模型是解题的关键．。

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