数学物理方程学习指导书第7章数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程

第7章 数理方程求解中出现的几个特殊类型的常微分方程在第5章中，我们用分离变量法求解了一些定解问题，从5.3可以看出，当我们采用极坐标系以后，经过分离变量就会出现变系数的线性常微分方程.在那里，由于我们只考虑圆盘在稳恒状态下的温度分布，所以得到了欧拉方程.如果我们不是考虑稳恒状态而是考虑瞬时状态，就会得到一种特殊类型的常微分方程，本章我们将通过在柱坐标和球坐标系中对定解问题进行分离变量，引出贝塞尔方程与勒让德方程，由于这两个方程都属施特姆-刘维尔型的，所以在本章我们还要简要地介绍一下施特姆-刘维尔特征理论，这个理论是分离变量法的基础.7．1 贝塞尔方程的引出下面我们以圆盘的瞬时温度分布为例推导出贝塞尔方程，设有半径为R 的薄圆盘，其侧面绝缘，若圆盘边界上的温度恒保持为零度，且初始温度为已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律.这个问题可以归结为求解下述定解问题22222220;(7.1)(,);(7.2)0.(7.3)t x y R u u ut x y u x y u ϕ=+=⎧∂∂∂=+⎪∂∂∂⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩用分离变量法解这个问题，先令(,,)(,)(),u x y t V x y T t =代入方程(7.1)得2222,V V VT T xy ⎛⎫∂∂'=+ ⎪∂∂⎝⎭或2222(0).V VT x y T Vλλ∂∂+'∂∂==->由此我们得到下面关于函数()T t 和(,)V x y 的方程()()0,T t T t λ'+= (7.4) 22220.V VV x yλ∂∂++=∂∂ (7.5)从(7.4)得().t T t Ae λ-=方程(7.5)称为亥姆霍兹（Helmhotz ）方程，为了求出这个方程满足条件2220x y R V+== （7.6）的固有值与固有函数，我们引用平面上的极坐系.将方程(7.5)与条件(7.6)写成极坐标形式得22222110,;(7.7)0.(7.8)R V V VV R V ρλρρρρρθ=⎧∂∂∂+++=<⎪∂∂∂⎨⎪=⎩再令 (,)()V R ρθρ=Θ(θ)， 代入(7.7)并分离变量可得()()0θμθ'Θ+Θ= （7.9）22''()'()()()0.R R R ρρρρλρμρ++-= (7.10)由于(,,)u x y t 是单值函数，所以(,)V x y 也必是单值的，因此()θΘ应该是以π2为周期的周期函数，这就决定了μ只能等于如下的数：2220,1,2,3,.对应于这些数2,n n μ=有0()θΘ=2a （为常数）， ()n θΘ=cos sin n n a nb n θθ+ (1,2,3,n =).以2n n μ=代入方程(7.10)，并作代换r =，则得222()()()()0.r F r rF r r n F r '''+--= (7.11)其中().F r R =这是一个变系数的线性常微分方程，称为n 阶贝塞尔（Bessel ）方程.原定解问题的最后解决就归结为求贝塞尔方程(7.11)的固有值与固有函数.贝塞尔方程的解将在下一章讨论.7．2 勒让德方程的引出现在我们对球坐标系中的拉普拉斯方程进行分离变量.在球坐标系中拉普拉斯方程为2222222111sin 0.sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭(7.12)令 (,,)()u r R r θϕ=()()θϕΘΦ， 代入(5.12)得2222222111sin 0.sin sin d dR d d d r R R r dr dr r d d r d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫ΘΦ+Φ+Θ= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 以2r R ΦΘ乘上式各项得 2222111sin 0sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭ 或2222111sin ,sin sin d dR d d d r R dr dr d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ΘΦ⎝⎭⎝⎭上式左端只与r 有关，右端只与,θϕ有关，要它们相等只有当它们都是常数时才有可能.为了以后的需要，我们把这个常数写成(1)n n +的形式（这是可以做到的，因为任何一个实数总可以写成这种形式，这里的n 可能为实数，也有可能为复数），则得21(1),d dR r n n R dr dr ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(7.13) 22211sin (1).sin sin d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+=-+ ⎪ΘΦ⎝⎭(7.14)将方程(7.13)左端的导数计算出来，即有2222(1)0.d R dRr r n n R dr dr+-+= 这是一个欧拉方程，这的通解为(1)12(),n n R r A r A r -+=+其中12,A A 为任意常数.以2sin θ乘方程(7.14)的两端得22211sin sin (1)sin 0,d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫+++= ⎪ΘΦ⎝⎭即22211sin sin (1)sin .d d d n n d d d θθθθθϕΘΦ⎛⎫++=- ⎪ΘΦ⎝⎭此式的左端只与θ有关，而右端只与ϕ有关，因此只有当它们均为常数时才有可能相等，同时由对方程(7.9)的讨论可知，这个常数必须等于2(1,2,3,)m m =，从而得221sin sin (1)sin ,d d n n m d d θθθθθΘ⎛⎫++= ⎪Θ⎝⎭（7.15） 2221.d m d ϕΦ=-Φ (7.16) 由方程(7.16)得12()cos sin .B m B m φϕϕΦ=+至于()θΘ所满足的微分方程可写为221sin (1)0.sin sin d d m n n d d θθθθθΘ⎛⎫-++Θ= ⎪⎝⎭ 把上式第一项中的导数计算出来，并化简得2222(1)0,sin d d m ctg n n d d θθθθ⎡⎤ΘΘ+++-Θ=⎢⎥⎣⎦(7.17) 这个方程称为连带的勒让德(Legendre)方程.如果引用cos x θ=为自变量(11),x -≤≤并将()θΘ改记成()P x ，则(7.17)变成22222(1)2(1)0.1d P dP m x x n n P dx dx x ⎡⎤--++-=⎢⎥-⎣⎦(7.18)若(,,)u r θϕ与ϕ无关，则从(7.16)可知0m =，这时(7.18)简化成222(1)2(1)0.d P dP x x n n P dx dx--++= (7.19)方程(7.19)称为勒让德方程，因此定解问题的解决也归结为求勒让德方程的固有值与固有函数.这个方程的解将在下一章讨论.7．3 施特姆-刘维尔理论简述前面两节我们已从不同的物理模型引出了两个特殊类型的微分方程（当然从其他的物理模型还可引出其他一些特殊方程），一些定解问题的解决都归结为求这两个方程的固有值与固有函数.本节我们就更一般的微分方程()()()0(),d dy k x q x y x y a x b dx dx λρ⎡⎤-+=<<⎢⎥⎣⎦(7.20)阐述固有值问题的一些结论，不难看出，方程(7.11)、(7.18)、(7.19)都是这个方程的特例.事实上，若取2(),(),(),0,,n k x x q x x x a b R xρ=====则(7.20)就变成贝塞尔方程 20;d dy n x y xy dx dx x λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦若取2()1,()0,()1,1,1,k x x q x x a b ρ=-===-=则方程(7.20)就成为勒让德方程2(1)0;d dy x y dx dx λ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ 若取222()1,(),()1,1,1,1m k x x q x x a b x ρ=-===-=-则方程(7.20)就变成连带的勒让德方程222(1)0.1d dy m x y y dx dx x λ⎡⎤--+=⎢⎥-⎣⎦方程(7.20)称为施特姆-刘维尔（Sturm-Liouville ）型方程（任一个二阶线性常微分方程012'''p y p y p y ly ++=乘以适当函数后总可以化成这种形式）.本节所要叙述的施特姆-刘维尔理论，就是有关方程(7.20)的固有值问题的一些结论.为了论述方程(7.20)的固有值问题，我们对方程(7.20)中函数()k x 及()q x 作一些假定.设函数()k x 及其导数在闭区间[,]a b 上均连续，当a x b <≤时()0k x >，而()0;()k a q x =或者在闭区间[,]a b 上连续，或者在开区间(,)a b 内连续而在区间的端点处有一阶极点（贝塞尔方程、勒让德方程及连带的勒让德方程中的系数都满足这些条件），在这些条件下，方程(7.20)的固有值问题的提法为：求此方程满足条件()0;()y b y a =<∞*）*）这样的边界条件称为自然边界条件，在§2.3中已经遇到过这样的条件，如果k(b)=0，则在这点亦应将条件y(b)=0换成自然边界条件y(b)＜0换成自然边界条件y(b)＜∞，如果在a,b 两点k(x)都为零，则在这的非零解（固有函数）及对应于非零解的λ值（固有值）.关于这个固有值问题有以下几点结论：1、存在无穷多个实的固有值，它们构成一个递增数列，即1231n n λλλλλ+≤≤≤≤≤对应于这无穷多个固有值有无穷多个固有函数123(),(),(),y x y x yx2、当()0q x ≥时，所有固有值均不为负，即(1,2,3,)n n λ≥=3、设m n λλ≠是任意两个不相同的固有值，对应于这两个固有值的固有函数记为()m y x 与()n y x ，则()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰这个结论可以表述为：对应于不同固有值的固有函数在区间[,]a b 上以权函数()x ρ互相正交.4、固有函数123(),(),(),,(),n y x y x y x y x 在区间[,]a b 上构成一个完备系.即任意一个具有一阶连续导数及分段连续二阶导数的函数()f x ，只要它满足固有值问题中的边界条件，则它一定可以按固有函数系}{()n y x 展开为绝对一致收敛的级数1()(),n n n f x f y x ∞==∑其中2()()()()()bn anbnax f x y x dxf x y x dxρρ=⎰⎰结论1与4的证明超出了本书的范围，需要用到积分方程的理论，结论2与3的证明并不困难，下面我们仅给出结论3的证明，这个证明的方法具有启发性，凡是要证明某一特定的固有函数系的正交性都可采用这个方法.下面我们就来证明当m n λλ≠时，下列关系()()()0bm n ax y x y x dx ρ=⎰(7.21)成立.证 因为固有函数()m y x 与()n y x 分别是方程(7.20)当m λλ=与n λλ=时的非零解，两点均应提自然边界条件.所以有()()()()()()0,m m m m dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦ (7.22) ()()()()()()0.n n n n dy x d k x q x y x x y x dx dx λρ⎡⎤-+=⎢⎥⎣⎦(7.23) 以()n y x 乘（7 .22）减去()m y x 乘（7.23）得()()()()()()m n n m dy x dy x d d y x k x y x k x dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()()()0.m n m n x y x y x λλρ+-=对这个等式从a 到b 对x 积分得()()0()()()()bb m n n m aa dy x dy x d d y x k x dx y x k x dx dx dx dx dx ⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()()bm nn m ady x dy x k x y x k x y x dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()()bb m n n m a a dy x dy x dy x dy x k x dx k x dxdx dx dx dx-+⎰⎰()()()()bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰()()()()()m m n m dy x dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦()()()()()m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦()()()(),bm n m n ax y x y x dx λλρ+-⎰ (7,24)此处符号()n dy a dx 表示()n dy x dx在x a =处的值，其余类似.(7.24)式右端前两项的值可以分几种情况来讨论：(i)在端点b 加有第一类边界条件()0,y b =这时有()()0,m n y b y b ==从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(ii)在端点b 加有第二类边界条件()0,dy b dx= 这时有()()0,m n dy b dy b dx dx==从而 ()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iii)在端点b 加有第三类边界条件，()()0,dy b y b hdx+= 这时有()()0,()()0.m m nndy b y b h dxdy b y b h dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩由这两式可得()()()()0,m n n m dy b dy b y b y b dx dx-= 从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦(iv) 在端点b 加有自然边界条件(),y b <∞这时必有()0,k b =从而()()()()()0.m n n m dy b dy b k b y b y b dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦综合上述，不论在b 点加哪一种边界条件，(7.24)右端第一项总是等于零.同理，对端点a 也有()()()()()0.m n n m dy a dy a k a y a y a dx dx ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦因此，最后可得()()()()0.bm n m n ax y x y x dx λλρ-=⎰但m n λλ≠，所以()()()0.bm n ax y x y x dx ρ=⎰正交性得到了证明.上面四个结论是分离变量法的理论基础，在第二章我们用分离变量法求解定解问题时，已经假定定解问题的解能够展成固有函数的级数，至于为什么能这样展开，当时没有说明，现在利用固有函数系的完备性就足以说明以前的有关运算是允许的.下面两章还要用到这里所讲的结论.习 题 七1、在平面极坐标系中将二维波动方程2222222u u u a t xy ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.2、在球坐标系中，将三维波动方程222222222u u u u a t xy z ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 进行分离变量，写出各常微分方程.3、在柱面坐标系中，将三维拉普拉斯方程进行分离变量，写出各常微分方程.。