高中数学双曲线及其标准方程
高中数学双曲线及其标准方程PPT课件 (1)
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2b2
1. 建系.以F1,F2所在的直线为X轴，线
段F1F2的中点为原点建立直角
y
坐标系
P
2.设点．设P〔x , y〕,双曲线的焦
距为2c〔c>0〕,F1(-c,0),F2(c,0) F1
o F2 x
常数=2a
3.列式． |PF1 - PF2|= 2a
即 | (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 | = 2a
| |MF1| - |MF2| | = 2a 〔2a< |F1F2|〕
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
思考：
F1 o F2
〔1〕假设2a= |F1F2|,那么轨迹(是1)？两条射线
〔2〕假设2a> |F1F2|,那么轨迹(是2)？不表示任何轨迹
思考：如何求双曲线的标准方程？
1. x2 y2 1 16 9
2. y2 x2 1 16 9
F(±5,0) F(0,±5)
例1 双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求
双
解: 曲线6的标1准0方 程. 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a
②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
F
上面两条曲线合起来叫做双曲线
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a 〔差的绝对值〕
双曲线定义
高二数学上册课件《双曲线及其标准方程》
x2 y2
1 a 0 ，b 0
．
a2 b2
②
双曲线上任意一点的坐标（x，y）都是方程②的解；以方程②的解为坐标
的点（x，y）与双曲线的两个焦点F1（-c，0），F2（c，0）的距离之差的绝 对值都为2a，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上．
x2 y2 1 a 0 ，b 0 ．
O
x
F1
双曲线标准方程的推导
建立如图所示的平面直角坐标系Oxy． 设 M ( x ，y )是双曲线上任意一点， 双曲线的焦距为 2c（ c > 0)， 则有F1（ -c，0），F2 ( c，0). 又设||MF1|-|MF2||= 2a( a 为大于 0 的常数)． 由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
20 16
2 焦点为 0 ，- 6 ，0 ，6 ，且经过点 2 ，- 5 ．
解法二：因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为
y2 x2 1 a 0 ，b 0 ．
a2 b2
由 2 ， 5 在双曲线上，得 25 4 1， a2 b2 与 a2 b2 36 联立，消去 a2， 得 b4 7b2 144 0 ，解得 b2 16 ， 故 a2 20 . 所以，所求双曲线的标准方程为 y2 x2 1．
y2 x2 = 1 a 0，b 0 .
a2
b2
焦点在 x 轴上的双曲线标准方程：ax22
y2 b2
1a
0 ，b
0 ．
焦点在
y
轴上的双曲线标准方程：y2
a2
x2 b2
1a
0 ，b
0 ．
观察双曲线标准方程的特点：
1．两个焦点位置（在 x 轴还是在 y 轴）与负号的关系；
2．方程中 x， y 与 a，b 的对应位置．
人教版高中数学必修第二册双曲线及其标准方程1
双曲线及其标准方程 ●教学目标 （一）教学知识点 双曲线的有关概念. （二）能力训练要求 使学生巩固对双曲线概念的掌握. （三）德育渗透目标 使学生认识到一切事物“变”是绝对的，而“不变”是相对的，从“变”中认识“不变”，以“不变”应“万变”. ●教学重点 双曲线的有关概念 ●教学难点 从“变”中认识“不变” ●教学方法 师生共同讨论法 通过对例题的共同讨论，使学生对形“变”而质“不变”有深刻的认识，达到突破难点之目的. ●教具准备 投影片三张 第一张：课本P106例3（记作§8.3.2 A） 第二张：本课时教案的例4、例5（或上节课后的思考题）（记作§8.3.2 B） 第三张：本课时教案后面的预习内容及预习提纲（记作§8.3.2 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上节课我们学习了双曲线的定义、标准方程以及方程中a、b、c三者之间的关系，请同学们回忆一下这些基本内容. ［生］平面到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值为常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线. ［师］其标准方程是怎样的？
［生］12222byax(a＞0,b＞0) 或12222bxay(a＞0,b＞0) ［师］双曲线中a、b、c三者之间的关系是怎样的？ ［生］a2+b2=c2 ［师］求双曲线的标准方程时关键是什么？ ［生］关键是确定a、b的值. ［师］好，对双曲线的有关概念从同学们回答的问题看，大家掌握得比较好，下面我们来看几个例子. （打出投影片§8.3.2 A） Ⅱ.讲授新课 ［师］（读题）同学们已经作了预习，请回答在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，能说明什么问题？ ［生］由于声音传播有速度，因此在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s，说明爆炸点距A处较远，且距B处较近，爆炸点到A处的距离与它到B处的距离的差是常数. ［师］那么由此可以知道爆炸点在怎样的曲线上？ ［生甲］爆炸点在以A、B为焦点的双曲线上，且爆炸点在离B处接近的一支上. ［师］甲同学分析的有道理吗？全面吗？谁还有不同意见？ ［生乙］我认为甲同学分析的虽有道理但不全面，由题意只能知道爆炸点到A处的距离与它到B处的距离的差总是一个常数，但未说明这个常数小于A、B两处的距离，因此，爆炸点还有可能在线段AB的延长线上或无轨迹. ［师］乙同学分析的很好，看来他（她）对双曲线定义的掌握已经是非常熟练了，希望大家以后一定要勤于思考，善于发表自己的见解，在学习中形成一种争鸣的氛围，这样你们一定会有很大提高的. ［师］对于第二问，大家要在第一问的基础上结合第二问中的已知条件作出准确判断，谁来分析一下？ ［生丙］由于A、B两地之间距离为800 m,声速为340 m/s，所以可知340×2=680＜800即爆炸点一定在以A、B为焦点的双曲线上且在距离B处较近的一支上. ［师］丙同学分析的很好，下面请大家完成解答过程. （学生在下面做，请一位同学在黑板上板书，教师讲评） ［师］我们求出了满足条件的爆炸点所在曲线方程，但能确定爆炸点的准确位置吗？ ［生］不能，因为双曲线右支上任意一点都符合题意. ［师］本例说明利用两个不同的观测点，测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点所在双曲线方程，但不能确定爆炸点的准确位置，而现实生活中为了安全，我们最关心的则是炮弹爆炸点的准确位置，那么我们如何解决这一问题呢？ ［生］在前面问题的基础上再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定出爆炸点的准确位置. ［师］好，非常正确，给大家一个自己命题的机会，将例3做怎样的补充就可以变成一个求爆炸点的准确位置的题目呢？ （学生思考，似乎很简单却又一时构建不出来） ［师］请将这个问题留到课下再解决讨论，希望大家通过研讨有所收获. ［师］我们一起再来思考一个问题，如果A、B两处同时听到爆炸声，说明爆炸点到A、B两处的距离相等，那么爆炸点应在什么曲线上呢？ ［生］线段AB的垂直平分线上. ［师］好，我们来看一个题目. （打出投影片§8.3.2 A）
【高中数学课件】双曲线及其标准方程 课件
• 6.在椭圆的标准方程中，判断焦点在哪个轴 上分是母看x2、y2项__________的大小，而在双 曲线标准方程中系，数判断焦点在哪个轴上，是
看x2、y2__________的符号．
• 牛刀小试
• 1．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下 列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线 的是( )
[答案] (1)x52－y2＝1 (2)1y62 －x92＝1
双曲线的实际应用
相距 2000m 的两个哨所 A、B，听到远处传来的 炮弹爆炸声．已知当时的声速是 330m/s，在 A 哨所听到爆炸声 的时间比在 B 哨所听到时间迟 4s，试判断爆炸点在什么样的曲 线上，并求出曲线的方程．
• [分析] 爆炸点与哨所A、B的“距离差”等 于声速乘以两哨所听到爆炸声的“时间差”， 且爆炸点距B哨所较近．
• A．||PF1|－|PF2||＝5 • C．||PF1|－|PF2||＝7 • [答案] A
B．||PF1|－|PF2||＝6 D．||PF1|－|PF2||＝0
2．(2014·山师大附中高二期中)双曲线的焦点为(0,6)，(0，
－6)，且经过点 A(－5,6)，则其标准方程为( )
A．1x62 －2y02 ＝1
焦点三角形问题
设双曲线x42－y92＝1，F1、F2 是其两个焦点，点 P 在双曲线右支上．
(1)若∠F1PF2＝90°，求△F1PF2 的面积； (2)若∠F1PF2＝60°时，△F1PF2 的面积是多少？若∠F1PF2 ＝120°时，△F1PF2 的面积又是多少？ [分析] 由于三角形面积 S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sinθ，所以 只要求出|PF1|·|PF2|即可．因此可考虑用双曲线定义及余弦定理 求出|PF1|·|PF2|．
高二数学人选修课件时双曲线及其标准方程
典型例题解析
例题1
解析
例题2
解析
已知双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{9} - frac{y^2}{16} = 1$，求其焦点坐标和渐近线 方程。
根据标准方程可知$a=3, b=4$，由$c^2 = a^2 + b^2$可得$c=5$，所以焦点 坐标为$(-5,0)$和$(5,0)$；渐 近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$。
双曲线在几何中有广泛应用，如用于解决最值问题、轨迹问题等。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
双曲线的定义
双曲线是由在平面内满足“从两个定点F1和F2出发的线段长度之差等于常数（且小于两 定点间距离）的所有点”组成的集合。F1和F2被称为双曲线的焦点。
双曲线的标准方程
双曲线有两种标准方程，分别是水平轴和垂直轴的双曲线。水平轴双曲线的标准方程为 (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，垂直轴双曲线的标准方程为(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1 ，其中a和b分别为双曲线的实半轴和虚半轴。
焦点
双曲线的两个定点F1、F2称为焦点。 在标准方程中，焦点的坐标可以由方 程直接读出。
离心率
离心率e是双曲线的一个重要参数， 它等于焦距与实轴长之比，即e=c/a 。离心率决定了双曲线的形状和开口 大小。
对于双曲线上的准任线意一点P，过点P作
x轴的垂线，垂足为M。线段PM的长
度叫做点P到x轴的距离，记作|PM|。
案。为了减少计算错误，需要仔细检查计算过程，并使用不同的方法验
证答案。
拓展延伸：其他类型曲线简介
椭圆
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数的 所有点组成的集合。椭圆具有两个焦点和两个长轴、短 轴。
高中数学-双曲线及其标准方程精品ppt课件
平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是椭圆。 a 2 b2 c 2
x2 y2 标准方程 2 2 1 a b 0 a b y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
双曲线及其标准方程
平面上到两个定点F1,F2的距离之和等于常数 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹是椭圆。 a 2 b2 c 2
x2 y2 标准方程 2 2 1 a b 0 a b y2 x2 2 1 a b 0 2 a b
思考：定义中若2a＝|F1F2|，则点的轨迹是什么？
2 2
切的圆的圆心轨迹方程 .
巩固练习：
x2 y2 1. 椭圆 1 与双曲线 x2-15y2=15 25 9
的一个交点为P，焦点为F1,F2,求|PF1|.
x y x2 y2 2 1与双曲线 1 2. 如果椭圆 4 a a 2
的焦点相同，求a的值. 3. 就m的变化讨论方程mx2+(2-m)y2=1表示 的 曲线的形状变化.
（ 3 ）经过点 P (3,2 7 ), Q(-6 2 ,7)．
x y 2.设 双 曲 线 与 椭 圆 1有 共 同 的 焦 点 ， 27 36 且 与 此 椭 圆 一 个 交 点纵 的坐 标 为 4， 求 这 个 双 曲 线的方程 .
2
2
例题2：
求过点 A(5,0)且与圆 B： ( x 5) y 36外
平面上到两个定点F1,F2的距离之差 的绝对值等 于常数 2a （2a<|F1F2|)的点的轨迹是双曲线。
标准方程
x2 y2 2 1 2 a b y2 x2 2 1 2 a b
高中数学双曲线公式大全
高中数学双曲线公式大全圆锥曲线公式：椭圆1、中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：其中x²/a²+y²/b²=1,其中ab0,c ²=a²-b²2、中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：y²/a²+x²/b²=1,其中ab0,c²=a²-b²参数方程：x=acosθ;y=bsinθ(θ为参数，0≤θ≤2π)圆锥曲线公式：双曲线1、中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：x²/a-y²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².2、中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：y²/a²-x²/b²=1,其中a0，b0，c²=a²+b².参数方程：x=asecθ;y=btanθ(θ为参数)圆锥曲线公式：抛物线参数方程:x=2pt²;y=2pt(t为参数)t=1/tanθ(tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率)特别地，t可等于0直角坐标:y=ax²+bx+c(开口方向为y轴，a≠0)x=ay²+by+c(开口方向为x轴，a ≠0)离心率椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
且当01时为双曲线。
圆锥曲线公式知识点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x²/a²+y²/b²=1(ab0) x²/a²-y²/b²=1(a0,b0) y²=2px(p0)范围x∈[-a,a] x∈(-∞，-a]∪[a,+∞) x∈[0,+∞)y∈[-b,b] y∈R y∈R对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)【其中c²=a²-b²】【其中c²=a²+b²】准线x=±a²/c x=±a²/c x=-p/2渐近线——————y=±(b/a)x —————离心率e=c/a,e∈(0,1) e=c/a,e∈(1,+∞) e=1焦半径∣PF₁∣=a+ex ∣PF₁∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF₂∣=a-ex ∣PF₂∣=∣ex-a∣焦准距p=b²/c p=b²/c p通径2b²/a 2b²/a 2p参数方程x=a·cosθx=a·secθx=2pt²y=b·sinθ，θ为参数y=b·tanθ，θ为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0·x/a²+y0·y/b²=1 x0x/a²-y0·y/b²=1 y0·y=p(x+x0) (x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx±√(a²·k²+b²) y=kx±√(a²·k²-b²) y=kx+p/2k 高中数学知识点总结及公式：直线与方程直线的倾斜角1、定义：在平面直角坐标系中，当直线l与X轴相交时，我们取X轴为基准，使X轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线l的倾斜角。
高中数学选择性必修一课件：双曲线及其标准方程(第2课时)
(2)已知 F1，F2 分别为双曲线x52－y42＝1 的左、右焦点，P(3，1)为双曲线内一
点，点 A 在双曲线的右支上，则|AP|＋|AF2|的最小值为( C )
A. 37＋4
B. 37－4
C. 37－2 5
D. 37＋2 5
【解析】 因为|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2 5，所以要求|AP|＋|AF2|的最小 值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值．
【解析】 双曲线的两个焦点 F1(－4，0)，F2(4，0)分别为两圆的圆心，且 两圆的半径分别为 r1＝2，r2＝1，易知|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM| －|PN|的最大值为|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝2＋3＝5.
(2)如图，已知双曲线的方程为 x2－y42＝1，点 A 的坐标为(－ 5，0)，B 是圆 x2＋(y－ 5)2＝1 上的点，点 C 为其圆心，点 M 在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB| 的最小值．
思考题 1 (1)如图，在△ABC 中，已知|AB|＝4 2，且三内角 A，B，C 满 足 2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程．
【思路分析】 建立坐标系后利用正弦定理与双曲线的定义确定轨迹方程． 【解析】 以 AB 边所在的直线为 x 轴，AB 的垂直平分线为 y 轴，建立平面 直角坐标系如图所示，则 A(－2 2，0)，B(2 2，0)．
如图，连接 F1P 交双曲线的右支于点 A0.当点 A 位于点 A0 处时，|AP|＋|AF1| 最小，最小值为|PF1|＝ [3－（－3）]2＋12＝ 37.故|AP|＋|AF2|的最小值为 37－ 2 5.
高二数学双曲线及其标准方程
高二 年级 数学 科辅导讲义（第 讲）学生姓名： 授课教师： 授课时间：第一部分、基础知识梳理（1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意：a PF PF 2||||21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。
||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：（3）双曲线的渐近线：①求双曲线12222=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b±=。
②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-2222by a x ；（4）等轴双曲线为222t y x =-，其离心率为2 （5）常用结论：双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于B A ,两点，线段AB 的长度为AB ,则2ABF ∆的周长=设双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交双曲线于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ第二部分 例题解析考点一：求双曲线的标准方程例1：讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征。
例2：根据下列条件，求双曲线的标准方程。
（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上。
（2）6=c ，经过点（－5，2），且焦点在x 轴上。
（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223，考点二、运用双曲线的定义求轨迹方程例3：已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹。