华工数学实验报告-线性相关性
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《数学实验》报告
学 院： 电子信息学院
专业班级： 信息工程电联班
学 号：
姓 名：
实验名称： 线性相关性
实验日期： 2016/05/17
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1． 实验目的
理解向量、向量组的线性组合与线性表示、向量组的线性相关与
无关、最大线性无关组的概念；
掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法；
掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法；
通过调味品配制问题理解上述知识在实际中的应用
2． 实验任务
P98 2. 某中药厂用 9 种中草药A-I，根据不同的比例配制成
了7种特效药，各用量成分见表6-3（单位：克）。
试解答：
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（1）某医院要购买这7 种特效药，但药厂的第3 号药和第6 号药已经卖
完，请问能否用其他特效药配制出这两种脱销的药品。
（2）现在该医院想用这7 种草药配制三种新的特效药，表6-4 给出了三
种新的特效药的成分，请问能否配制？如何配制？
3． 实验过程
3.1实验原理
1、线性相关和线性无关
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2、最大线性无关组
3、rref命令
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3.2算法与编程
Medicine算法代码：
a1 = [10;12;5;7;0;25;9;6;8];
a2 = [2;0;3;9;1;5;4;5;2];
a3 = [14;12;11;25;2;35;17;16;12];
a4 = [12;25;0;5;25;5;25;10;0];
a5 = [20;35;5;15;5;35;2;10;2];
a6 = [38;60;14;47;33;55;39;35;6];
a7 = [100;55;0;35;6;50;25;10;20];
A = [a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7];
[A0,jb] = rref(A) % A的行最简形和一组最大无关组
r = length(jb) % A的秩
% 问题 1 的求解
B = [a1 a2 a4 a5 a7];
x3 = B\a3 % 求 a3 在 a1 a2 a4 a5 a7下的线性
表达系数 x3
x6 = B\a6 % 求 a6 在 a1 a2 a4 a5 a7 下的线
性表达系数 x6
% 问题 2 的求解
% 找出矩阵A的所有最大线性无关组
t = 0;
[m,n]= size(A);
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p = (combntns([1:1:n],r))';
qq = [];
for k=1: nchoosek(n,r)
q = A(:, p(:,k))';
if rank(q) == r
t = t+1;
qq = [qq; p(:,k)'];
end
end
qq % 所有的最大无关组：每行为一最大无关对应的
序号
t % 最大无关组的个数
c=[a1 a2 a4 a5 a6 a7];
c1=[a1 a2 a4 a5 a6 a7];
c2=[a1 a3 a4 a5 a6 a7];
c3=[a2 a3 a4 a5 a6 a7];
belta1=[40;62;14;44;53;50;71;41;14];
belta2=[162;141;27;102;60;155;118;68;52;];
belta3=[88;67;8;51;7;80;38;21;30];
x11 = c1\belta1
x12 = c2\belta1
x13 = c3\belta1
x21 = c1\belta2
x22 = c2\belta2
x23 = c3\belta2
x31 = c1\belta3
x32 = c2\belta3
x33 = c3\belta3
3.3计算结果或图形
>> medicine
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A0 =
1 0 1 0 0 0 0
0 1 2 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
jb =
1 2 4 5 6 7
r =
6
x3 =
. . . .
. . . .
1.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x6 =
-0.0690
3.0192
1.0025
1.0403
-0.0044
qq =
1 2 4 5 6 7
1 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7
t =
. . . .
. . . .
3
x11 =
1.0000
3.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x12 =
-0.5000
1.5000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x13 =
. . . .
. . . .
1.0000
1.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
-0.0000
x21 =
3.0000
4.0000
2.0000
0.0000
0.0000
1.0000
x22 =
1.0000
2.0000
2.0000
-0.0000
. . . .
. . . .
0.0000
1.0000
x23 =
-2.0000
3.0000
2.0000
-0.0000
0.0000
1.0000
x31 =
1.1322
7.4379
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
x32 =
. . . .
. . . .
-2.5867
3.7189
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
x33 =
5.1734
1.1322
2.1718
2.3827
-2.0645
0.6844
结果分析
（1）利用一份第1号成药和两份第2号成药就可以配制出一份第
3号药；
无法配置出第6号药。
（2）可以配制出1号新药：一份一号成药，三份二号成药，两份
四号成药；或者一份二号成药，一份三号成药，两份四号成药。
可以配制出2号新药：三份一号成药，四份二号成药，两份
. . . .
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四号成药，一份七号成药；或者一份一号成药，两份三号成药，
两份四号，一份七号成药。
不可以配制出3号新药。
4. 实验总结和实验感悟
通过本次实验，我了解了在matlab里面向量、向量组的线性
组合与线性表示、向量组的线性相关与无关、最大线性无关组的
概念，并且掌握向量组线性相关和无关的有关性质及判别法，还
掌握向量组的最大线性无关组和秩的性质和求法，可谓收获颇
丰。通过这次实验，我还认识到在求解现实问题的可能性，若是
线性问题，在matlab中使用矩阵的性质，利用它本身的秩等其他
特性，可以非常便利地解决问题。
线性相关——精选推荐
第八章线性相关前面第三、四章中我们讨论了对单一连续型变量的部分统计分析方法，着重于比较该单个变量的组间差别。
在医学研究中常常还需要分析两个随机变量之间的关系，例如：体重与肺活量的关系年龄与血压的关系病因研究中某个疾病危险因素与某疾病发生的关系当这些指标是离散型变量或有序变量时，我们已学习过用2 检验来检验两指标间的关联程度。
对于两个连续型变量间关系的分析，我们用线性相关与线性回归来分析。
一．相关的概念：统计学中用一个统计量描述相关的密切程度，这个统计量称相关系数，记为r。
相关系数的绝对值必然在0到1之间，即1-r。
≤1≤相关系数的大小表示相关的密切程度，例：体重与肺活量，胸围与肺活量相关系数的符号表示相关的方向，例：胆固醇与冠心病，水中氟含量与龋齿二. 相关分析的资料来源：1.资料类型:从研究总体随机抽取n个对象，每个对象观察X和Y两项指标，或者从已经配成对子的研究总体中随机抽取n对对象，每对对象观察同一指标。
要求：独立随机的成对样本，并且X和Y来自正态总体，这样的研究所获得的资料就可以做相关分析。
例如书中的例8.1：2．散点图：考察相关性最简单而直观的办法是散点图。
以两条互相垂直的座标轴分别表示两个变量，n对观察值对应于座标平面的n个点，便构成一幅散点图。
这资料绘制成散点图（Scatter plot）如下：155160165170175180185145155165175185三. 相关系数的计算：的方差）的方差（的协方差和相关系数)(Y Y X X]/)(][/)([/)()())((222212121n y y n x x ny x xy y y x x y y x x r ni i ni i ni i i∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑---=----====例8.2 试计算例8.1中父高X 和子高Y 的样本相关系数(假定系独立随机双正态样本)。
解 ∑=n i i x 1＝3376， ∑=ni i y 1＝3407， n=20∑=ni ix 12＝571728， ∑=ni iy 12＝581081， ∑=ni i i y x 1=5761619296.0]20/)3407(581081][20/)3376(571728[20/)3407)(3376(57616122=---=r四．相关系数的假设检验： 1. 检验假设：H 0：ρ=0 H 1：ρ≠0 α=0.052. 计算检验统计量：rr s r t 0-=υ=n -2 212--=n r s r 其中，S r 称为样本相关系数r 的标准差(也称标准误)。
线性回归分析实验报告
线性回归分析实验报告实验报告：线性回归分析一、引言线性回归是一种基本的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的线性关系。
此实验旨在通过一个实际案例对线性回归进行分析，并解释如何使用该方法进行预测和解释。
二、实验方法1.数据收集：从电商网站收集了一份销售量与广告费用的数据集，其中包括了十个月的数据。
该数据集包括两个变量：广告费用（自变量）和销售量（因变量）。
2.数据处理：首先对数据进行清洗，包括处理缺失值和异常值等。
然后进行数据转换，对广告费用进行对数转换，以适应线性回归的假设。
3.构建模型：使用线性回归模型，将广告费用作为自变量，销售量作为因变量，构建一个简单的线性回归模型。
模型的公式为：销售量=β0+β1*广告费用+ε，其中β0和β1是回归系数，ε是误差项。
4.模型评估：通过计算回归系数的置信区间和检验假设以评估模型的拟合程度和相关性。
此外，还使用残差分析来检验模型的合理性和独立性。
5.模型预测：根据模型的回归系数和新的广告费用数据，预测销售量。
三、实验结果1.数据描述：首先对数据进行描述性统计。
数据集的平均广告费用为1000元，标准差为200元。
平均销售量为1000件，标准差为150件。
广告费用和销售量之间的相关系数为0.8，说明两者存在一定的正相关关系。
2. 模型拟合：通过拟合线性回归模型，得到回归系数的估计值。
估计值的标准误差很小，R-square值为0.64，说明模型可以解释63%的销售量变异。
3.置信区间和假设检验：通过计算回归系数的置信区间，发现β1的置信区间不包含零，说明广告费用对销售量有显著影响。
假设检验结果也支持这一结论。
4.残差分析：通过残差分析，发现残差的分布基本符合正态性假设，没有明显的模式或趋势。
这表明模型的合理性和独立性。
四、结论与讨论通过线性回归分析，我们得出以下结论：1.广告费用对销售量有显著影响，且为正相关关系。
随着广告费用的增加，销售量也呈现增加的趋势。
2.线性回归模型可以解释63%的销售量变异，说明模型的拟合程度较好。
10线性相关性
几个简单结果
(1) 若 α1 ,α 2 ,⋯ ,α n 线性无关 ,则只有当 λ1α1 + λ2 α 2 + ⋯ + λn α n = 0 成立 .
λ1 = ⋯ = λn = 0时,才有
(2) 对于任一向量组, 不是线 性无关就是 对于任一向量组, 线性相关 .
(3) 对一个向量的向量组， 若α = 0 则 α 线性相关 . 对一个向量的向量组， 线性无关。 若α ≠ 0，则 α线性无关。
α1 = (1,0,0,0) , α 2 = (0,1,0,0) ,
T T
α 3 = (0,0,1,0) , α = (3,3,−3,0)
T
T
性质3 性质3、添加与减少向量时对相关性影响
(1) 若向量组A：α, 2 , , m 线性相关, 则 1 α ⋯α 线性相关, 向量组 B: 1, , m , m+1 也线性相关. α ⋯α α 也线性相关.
k1α 1 + k 2α 2 + ⋯ + k mα m = 0.
中至少有一个不为0， 因 k1 , k 2 , ⋯ , k m 中至少有一个不为 ， 不妨设 k1 ≠ 0,则有
k2 k3 km α 1 = − α 2 + − α 3 + ⋯ + − α m . k1 k1 k1
α , α1 , α 2 , α 3之间无线性关系
2、线性相关性 、
（1）向量组中向量之间可能有线性关系，也可能没线 ）向量组中向量之间可能有线性关系， 性关系。 性关系。 （2）三维空间中三个向量之间若有线性关系，则它们 ）三维空间中三个向量之间若有线性关系， 的位置关系如何？ 的位置关系如何？ 这三个向量是共面的；若无线性关系， 这三个向量是共面的；若无线性关系，则这三个向量 是不共面。 是不共面。 （3）线性相关性是研究向量空间结构的重要概念， ）线性相关性是研究向量空间结构的重要概念， 请同学们仔细理解。 请同学们仔细理解。
3.2线性相关性
a11 a21 A 1 , 2 , , s a n1 a12 a22 an 2 a1 s x1 a2 s x2 ,x ans xs
• 证明：设x1a1+x2a2 +…+xsas=0（3.2），即
第二节 向量组的线性相关性
一、向量组线性相关性的概念 二、向量组线性相关性的判定 三、向量组线性相关性的性质
• 一、向量组线性相关性的概念
• 定义4 给定向量组A: 1, 2,…, s, 如果存在不全 为零的数k1, k2,…, ks, 使 k11+k22 +…+kss=0 • 称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关。
• • • •
引理 设有列向量组a1, a2 , …, as, 其中 a1=(a11, a21, …, an1)T， a2 =(a12, a22, …, an2)T, …, as=(a1s, a2s, …, ans)T（s个n维列向量） 则向量组a1, a2 , …, as线性相关齐次线性方程组 Ax=0 (3.1) • 有非零解, 其中
3-2向量组的线性相关性
向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m
例3 试讨论n维单位坐标向量组的线性相关性
解 n维单位坐标向量组构成的矩阵为
是n阶单位矩阵
E(e1 e2 en)
由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所
以此向量组是线性无关的
Henan Agricultural University
(1) a1能由a2 a3线性表示 (2) a4不能由a1 a2 a3线性表示
证明 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关
又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示
(2) 用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性 表示 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾
所以R(a1 a2 b1)R(a1 2) 从而方程组有解 即b1可由a1 a2线
性表示 且存在x12 x21 使2a1a2b1 ❖定理1
向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条 件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B)
Henan Agricultural University
反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关
这是因为 记A(a1 a2 am) B( a1 a2 am am1) 有 R(B)R(A)1
若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1
因此向量组B线性相关
Henan Agricultural University
(5)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时 一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关
论文资料 向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定方法汇总
向量组线性相关性的判定方法有以下几种：
1.定义法：如果存在一组不全为O的数，使得这组数的线性
组合等于0,则称这个向量组是线性相关的。
如果任何一组不全为0的数，其线性组合均不等于0,则称这个向量组是线性无关的。
2.观察法：通过观察向量组中向量的个数和线性组合的表达
式，来判断向量组的线性相关性。
如果向量个数和线性组合的个数相同，则向量组是线性相关的；如果向量个数比线性组合的个数少，则向量组是线性无关的。
3.定理法：根据定理“如果向量组A中至少有一个向量可由其余向量线性表示，则向量组A线性相关”，以及“如果向量组A中所有向量均不可由其余向量线性表示,
则向量组A线性无关”进行判断。
4.反证法：假设向量组A是线性无关的，通过推理得出矛
盾，从而证明假设不成立，得出向量组A是线性相关的结论。
5.秩法：通过计算向量组的秩，来判断向量组的线性相关性。
如果秩等于向量个数，则向量组是线性相关的；如果秩小于向量个数，则向量组是线性无关的。
以上是判定向量组线性相关性的几种方法，根据具体情况选择适合的方法进行判断。
线性相关性
… …
… …
, α2= am2 , …, αs = ams . am+1,s am+1,2 … … … … an2 … … … … ans
… …
… …
第四章 n维向量 维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(5) 如果 维向量 如果n维向量 a11 a12 a1s
α1= am1
am+1,1 an1 … … … … =>
… …
… …
, α2= am2 , …, αs = ams . am+1,s am+1,2 … … … … … … … …
… …
第四章 n维向量 维向量
§4.2 向量组的线性相关性
(5) 如果 维向量 如果n维向量 a11 a12 a1s
α1= am1
am+1,1 an1 … … … …
线性相关, 线性相关 则m维向量 维向量 a1s a12 a11 , β2 = , …, βs = β1 = ams am2 am1 也线性相关 … … … …
… …
… …
, α2= am2 , …, αs = ams . am+1,s am+1,2 … … … … an2 … … … … ans
… …
… …
上述几个结论(p137)也可以从“线性 也可以从“ 上述几个结论 也可以从 无关”的角度来叙述，请想一想。 无关”的角度来叙述，请想一想。 例如 (3) 如果向量组α1, α2, …, αs的某个部分组 线性相关， 整个向量组线性相关； 线性相关，则整个向量组线性相关； (3’) 如果向量组α1, α2, …, αs的某个部分组 线性无关，则整个向量组线性无关； 线性无关， 整个向量组线性无关； 注: (3’)是错误的， 正确的应该是 (3’)是错误的 是错误的， (3’’) 如果向量组α1, α2, …, αs 线性无关 则 线性无关,则 向量组的任何部分组线性无关 任何部分组线性无关； 向量组的任何部分组线性无关；
第3章线性相关性
南昌大学理学院数学系
线性相关
定义 如果向量组α1,α2,…,αs(s≥2)中有 一个向量可由其余的向量线性表出，那么 称向量组α1,α2,…,αs是线性相关的。 注记： (1) 向量组α1,α2线性相关⇔α1,α2成比例。 (2) 任意一个含零向量的向量组必线性相关。 (3) 两个二维实向量α1,α2线性相关，表示向 量α1与α2共线； 三个三维实向量α1,α2,α3线性相关，表示向 量α1,α2,α3共面。
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
定义 在一个向量组α1,α2,…,αs中， 任取若干个向量组成的向量组，称为向量组 α1,α2,…,αs的部分向量组，简称部分组。 (3) 如果一个向量组线性无关，那么它的任 意一个非空的部分向量组也线性无关。 证明：使用反证法，已知整个向量组线性无关 若部分向量组线性相关 则由(2)可知 整个向量组也线性相关 与假设矛盾！ 所以任意一个部分向量组也线性无关。
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
定义′ 向量组α1,α2,…,αs(s≥1) 称为线性相关 的，如果存在数域P上不全为零的数 k1,k2,…,ks，使得k1α1+k2α2+…+ksαs=0。 注意：在s≥2时，定义与定义′是等价的。 若向量组α1,α2,…,αs按定义是线性相关的 证明： 则其中有一个向量是其余向量的线性组合 不妨设 αs=k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1 即为 k1α1+k2α2+…+ks-1αs-1+(-1)αs=0 因为数k1,k2,…,ks-1,-1不全为0(至少-1≠0) 所以按定义′，向量组α1,α2,…,αs是线性相关的。
sihuabin@ 南昌大学理学院数学系
向量组的线性相关性
a11 x1 a21 x2 ... as1 xs 0
i.e.
a12
x1
a22 x2 ... .......
as2 xs
0
(没) 有非零解.
an1 x1 an2 x2 ... ans xs 0
向量个数 未知数的个数
向量维数 方程的个数
17
例1.设1 (1, 2, 3, 4, 3)T ,2 (1, 2, 0, 5,1)T ,
3k1 k2 6k3 7k4 0
18
对系数矩阵进行初等行变换
1 1 2 3
1 0 1 1
2
2
4
6
0
1
3
4
A 3 0 3 3 ... 0 0 0 0
4
5
19
24
0
0
0
0
3 1 6 7
0 0 0 0
同解方程组
k2k13kk33
k4 0 4k4 0
同时 R (a1 , a2 ) 2 , 故向量组 a1 , a2 线性无关 .
例3
已知向量组a1 , a2 , ...as (s 2)线性无关, 设b1 a1 a2 , b2 a2 a3 , ...,b s as a1 , 讨论b1 , b2 , ...,bs线性相关性.
证一
设 x1b1 x2b2 ... xsbs 0,
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
n维向量的概念 向量组的线性相关性 线性相关性的判别定理 向量组的秩 向量空间
§1 N维向量的概念
一、ｎ维向量（Vector） 1、定义 ｎ个数 a1,a2 , ,an 组成的有序数组
＝（a1 , a2 ,..., an）
相关性的判定及有关重要结论
a1, j
ar, j ar1, j
r( A) r Dr1 0
将D j按最后一列展开，有：
a1j A1 a2 j A2 arj Ar ar1, j Dr 0
按向量形式写，上式为：
j 1,2,, n
1A1 2 A2 r Ar r1Dr 0
Dr 0, 1,2,,r1线性相关, 从而1, 2 ,, m线性相关。
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2,, s线性无关。 1,2,,s与1, 2,, s等价。
向量组的秩的求法
定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。
3 （2，3，2，2，5），4 （1，3，1，1，）线性相关？并
求秩及一个极大无关组。
4时，r( A) 3 4,1,2 ,3,4线性相关。
1, 2 , 3是一个极大无关组。但，行摆行变换不行！
反例： 1 (1,0,0),2 (1,1,0),3 (1,1,0)
1 1 A 2 1
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
示，则r s.
证：设 1 a11 a12
A
2
a21
a22
r ar1 ar2
1 b11 b12
B
2
b21
b22
s bs1 bs2
a1n a2n
arn
b1n b2n
bsn
1 2
2.相关性的判定定理
定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。