高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教A版必修1
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可.
分析：某个奖励模型符合公司要求，就是 依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超 过5万元，同时奖金不超过利润的25%， 由于公司总的利润目标为1000万元，所以 部门销售利润一般不会超过公司总的利润. 于是，只需在区间[10,1000]上，检验三个 模型是否符合公司要求即可. 不妨先作出函数图象，通过观察函数 的图象，得到初步的结论再通过具体计算， 确认结果.
2
1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝log7x＋1 y＝0.25x y＝1.002x y＝5
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1 O 200 400 600 800 1000
x
解： 借助计算机作出函数y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x的图象.观察图象发现，在区间[10,1000] 上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图象都有一部分在 直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图象始终 在y＝5的下方，这 y 说明只有按模型 8 y＝0.25x y＝log7x＋1进行 y＝1.002x 7 奖励时才符合公 6 司的要求，下面 y＝5 5 通过计算确认上 y＝log7x＋1 4 述判断. 3 2 1 O 200 400 600 8001000 x
图象 y
8 7 6 5 4 3
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1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝5
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1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝5 y＝0.25x
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1 O 200 400 600 800 1000
x
图象 y
8 7 6 5 4 3 y＝log7x＋1 y＝5 y＝0.25x
讲授新课
例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有 三种投资方案供你选择，这三种方案的回 报如下： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回 报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？
解：设第x天所得回报是y元，
x
解： 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
y log 7 x 1 x 0.25
成立.
x
令f(x)＝log7x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的， 因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x. 所以当x∈[10,1000]时，log 7 x 1 0.25 . 说明按 模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y＝log7x＋1确实能符合公司 要求.
7
8 9 10
40
40 40 40
0
0 0 0 0
70
80 90 10
10
10 10 10
25.6
51.2 102.4 204.8
12.8
25.6 51.2 102.4
…
30
…
40
…
0 0
…
30
…
10 4.8
…
21474836
…
107374182.4
y
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函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
方案 一
方案 二
方案 三
增 y/ 元 加量 y/ 元 y/ 量
增加 y/元 y/元
增加量 y/元
元 1
2 3 4 5 6
40
40 40 40 40 40
0
0 0 0 0 0
10
20 30 40 50 60
10
10 10 10 10 10
0.4
0.8 1.6 3.2 6.4 12.8 0.4 0.8 1.6 3.2 6.4
归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.
x
例2 某公司为了实现1000万元利润的目标， 准备制定一个激励销售部门的奖励方案： 在销售利润达到10万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数 不超过5万元，同时奖金总数不超过利润 的25%，现有三个奖励模型： y＝0.25x， y＝log7x＋1， y＝1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？
对于模型y＝1.002x，由函数图象，并利用计算 器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足 1.002x＝5，由于它在区间[10,1000]上递增，因此当 x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；
解：首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万. 对于模型y＝0.25x，它在区间[10, 1000]上递增， 而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5， 所以该模型不符合要求；
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x
y
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函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
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y＝0.4×2x－1
y＝10x
y＝40
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x
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函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
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归纳总结中学数学建模的主要步骤
(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建 立的数学模型进行求解. (5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检 验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定 模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建 模. (6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻 合，要对计算的结果作出解释并给出其实际 意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果 模型与实际问题有较大出入，则要对模型改 进并重复上述步骤.
x
归纳总结中学数学建模的主要步骤
归纳总结中学数学建模的主要步骤
(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认 真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背 景和意义，设法用数学语言来描述问题. (2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领 悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的 简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题 中关键或主要的变量. (3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联 想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的 数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符 号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、 不等式、函数.
3.2.1几类不同增长 的函数模型
复习引入
在教科书第三章的章头图中，有一大群喝水、 嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了 脑筋．1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子， 由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌， 兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了 整个澳大利亚，数量达到 75 亿只．可爱的兔子 变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿 只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛 羊是澳大利亚的主要牲口．这使澳大利亚头痛不 已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十 世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百 分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了x＋1－0.25，x∈[10,1000].利用计 算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的， 因此f(x)＜f(10)≈－0.3167＜0，即log7x＋1＜0.25x. 所以当x∈[10,1000]时，log 7 x 1 0.25 . 说明按 模型y＝log7x＋1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.
y＝0.4×2x－1
y＝10x
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我们看到，底 为2的指数函数模 型比线性函数模 型增长速度要快 得多.从中你对 “指数爆炸”的 含义有什么新的 x 理解？
y
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y＝0.4×2x－1
y＝10x
y＝40
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根据以上的分 析，是否应作这样 的选择: 投资5天以 下选方案一，投资 5~8天选方案二， 投资8天以上选方 案三？
解： 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
y log 7 x 1 x 0.25
成立.
x
解： 再计算按模型 y＝log7x＋1奖励时，奖金是否 不超过利润的25%，即当x∈[10,1000]时，是否有
y log 7 x 1 x 0.25
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函数图象是分析问题的好帮 手.为了便于观察，我们用虚线 连接离散的点.
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人教高中数学必修一A版《函数的应用》函数的概念与性质研讨复习说课教学课件
第三章 函数的概念与性质
(2)令 y1＝y2，即15x＋29＝12x，则 x＝9623. 当 x＝9623时，y1＝y2，两种卡收费一致； 当 x＜9623时，y1＞y2，使用“便民卡”便宜； 当 x＞9623时，y1＜y2，使用“如意卡”便宜．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法． (2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为 负时，一次函数为减函数．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
(1)求函数 y＝f(x)的解析式； (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？ 日净收入最多为多少元？ 解：(1)当 3≤x≤6，且 x∈N 时，y＝50x－115. 当 6＜x≤20，且 x∈N 时， y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115， 综上，y＝f(x)＝
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
50x－115，3≤x≤6，x∈N， －3x2＋68x－115，6＜x≤20，x∈N. (2)当 3≤x≤6，且 x∈N 时，因为 y＝50x－115 是增函数，所以 当 x＝6 时，ymax＝185. 当 6＜x≤20，且 x∈N 时， y＝－3x2＋68x－115＝－3x－3342＋8311， 所以当 x＝11 时，ymax＝270. 综上，当每辆自行车日租金定为 11 元时才能使日净收入最多， 为 270 元．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解：(1)由题意，得 R＝kr4(k 是大于 0 的常数)． (2)由 r＝3 cm，R＝400 cm3/s，得 k·34＝400， 所以 k＝48010，所以流量 R 的函数解析式为 R＝48010·r4. (3)因为 R＝48010·r4， 所以当 r＝5 cm 时，R＝48010×54≈3 086(cm3/s)．
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数不同函数增长的差异课件新人教A版必修第一册ppt
【跟踪训练】
1.下列函数中,随着 x 的增大,增长速度最快的是 ( )
A.y=50 C.y=2x-1
B.y=1 000x D.y=1 000ln x
解析:指数型函数模型的增长速度最快,故选C.
答案:C
探索点二 根据图象判断函数模型
【例 2】 某种豆类生长枝数 y(单位:枝)与时间 t(单位:
月)的图象如图所示,那么此种豆类生长枝数与时间的关系用下
(2)因 2020 年受某国对该产品进行反倾销的影响,2020 年的 年产量比预计减少 30%,试根据所建立的函数模型确定 2020 年 的年产量.
解:(1)符合条件的函数模型是 f(x)=ax+b.若函数模型为 f(x)=2x+a,则由 f(1)=21+a=4,得 a=2,即 f(x)=2x+2,此时 f(2)=6,f(3)=10, f(4)=18,与表格数据相差过大,故不是该函数模型;若函数模型为 f(x)=lo x+a,因为 f(x)是减函数,所以与题意不符.故函数模型只能
长速度 越来越慢 .不论 a 的值比 k 的值大多少,在一定范围
内,logax 可能会大于 kx,但由于 logax 的增长慢于 kx 的增长,因
此总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有 logax<kx .
【思考】
(1)怎样理解“直线上升”和“对数增长”?
提示:“直线上升”是指增长速度保持不变,“对数增 长”是指增长速度越来越慢.
[知识梳理]
指数函数 y=ax(a>1)和一次函数 y=kx(k>0)的增长差异
指数函数 y=ax(a>1)与一次函数 y=kx(k>0)在区间[0,+∞)上 都单调递增,但它们的增长速度不同,而且不在同一个“档次”
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数函数模型的应用课件新人教A版必修第一册ppt
并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结
果保留两位有效数字).
解:以投入额为横坐标,纯利润为纵坐标,在平面直角坐标系中作出散
点图,如图所示(图①为 A 商品,图②为 B 商品).
①
②
由散点图可以看出,A 种商品所获纯利润 y 与投入额 x 之间的变化规
较为接近,
所以用 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数较好.
方法规律
选择函数模型的标准
函数模型的优劣,一般可用其他数据进行验证,若差
距较小,则说明选择正确,主要考查数学抽象、数学建模
的核心素养.
【跟踪训练】
4.某农产品从 5 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得
到该农产品种植成本 Q(单位:元/百千克)与上市时间 t(单
据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y -0.99 0.01 0.98
则对 x,y 最适合的拟合函数是 (
A.y=2x
B.y=x2-1
C.y=2x-2
D.y=log2x
2.00
)
解析:将x=0.50,y=-0.99代入计算可以排除选项A.
将x=2.01,y=0.98代入计算可以排除选项B,C,故选D.
所以
x
g(x)= ×( ) -3.
利用 f(x),g(x)对 2019 年的 CO2 浓度比 2015 年增加的
单位数作估算,
则其数值分别为 f(4)=10,g(4)=10.5.
因为|f(4)-12|>|g(4)-12|,
故 g(x)= ×( )x-3 作为模拟函数与 2019 年的实际数据
【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.2.2 函数模型的应用实例课件 新人教A版必修1
当该顾客购买茶杯 40 个时，采用优惠办法 (1) 应付款 y1 ＝
5×40＋60＝260元；采用优惠办法(2)应付款y2＝4.6×40＋73.6 ＝257.6元，由于y2<y1，因此应选择优惠办法(2).
2
2
二次函数模型问题与函数的图象
西部山区的某种特产由于运输原因，长期只能
在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每年投 1 入 x 万元，可获得利润 P＝－160(x－40)2＋100(万元)．当地政 府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方 案为： 在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资， 在 未来 10 年的前 5 年中， 每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修 建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；
●温故知新
旧知再现 1．常见的函数模型 kx k为常数，k≠0)； (1)正比例函数模型：f(x)＝____(
k (2)反比例函数模型：f(x)＝____( x k为常数，k≠0)；
(3)一次函数模型：f(x)＝________( kx＋b k，b为常数，k≠0)； ax2＋bx＋c a ， b ， c 为常数， (4) 二次函数模型： f(x) ＝ ____________(
(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式； (2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜．
[分析]
由题目可获取以下主要信息： (1)通过图象给出函
数关系， (2) 函数模型为直线型， (3) 比较两种函数的增长差 异．解答本题可先用待定系数法求出解析式，然后再进行函数 值大小的比较．
1 又由题设 P＝－160(x－40)2＋100 知， 每年投入 30 万元时， 795 利润 P＝ 8 (万元)． 前 5 年的利润和为 795 2 775 8 ×5－150＝ 8 (万元)．
河南省2014年高中数学优质课：几类不同增长的函数模型 说课课件1
使学生体验数学在 解决实际问题中的作用， 发展数学的应用意识， 提高实践能力．
说设计
阅读问题
尝试建模
请同学们阅读下面的问题，并建立相关的函数模型：
（2） 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200元，每桶水的进价为5元，销售单价与日均销售量的关系如 下表所示：
销售单价（元） 日均销售量（桶）
说设计
整个探究过程既 有数据分析又有模型 整合，既有独立思考 又有合作交流，学生 真正成为学习的践行 者，课堂的主人 .另 外，通过小组内部的 合作，使学生学会交 流和分享自己的成果， 这种合作意识，也是 现代人所必须具备的 基本素质.
说设计
实际问题
数学建模的思想：
审 题 （设）
数学问题
还原 （答）
6 480
7
8
9
10
11
12
440 400 360 320
280 240
试建立利润关于销售单价的函数解析式 ． （3） 已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小 时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时 的速度返回A地，把汽车与A地的距离 x 表示为时间 t（小时） 的函数，并画出函数的图象．
学生可以根据自己的生 活经验发现并提出问题， 数学结果 对同样的问题，要发挥 否 自己的特长和个性，从 不合乎实际 不同的角度、层次探索 检验 . 解决的途径
合乎实际
说 课 标
可用结果
说教材
教学目标
本节课在 教材中的 地位和作 用
教学的重 点和难点
说 教 材
平顶山市实验高中
说教材
1、本节课在教材中的地位和作用 本节课选自高中数学人教A 教材内容 研究经验
内蒙古元宝山区平煤高级中学高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型(1)学案(无答案)新人教A版必修1
3.2.1几类不同增长的函数模型（1）学习目标1. 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异；2. 借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异；3. 恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、列表）并借助信息技术解决一些实际问题. 新课讲授：例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番。
请问，你会选择哪种投资方案？例2、某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且资金y （单位：万元）随销售利润x （单位：万元）的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25%。
现有三个奖励模型：x y x y x y 002.1,1log ,25.07=+==，其中哪个模型能符合公司的要求？随堂训练1. 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x 次后得到的细胞个数y 为（ ）.A ．12x y += B. y =21x - C. y =2xD. y =2x2. 某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用（ ）. A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数3. 一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，它的解析式为（ ）. A. y =20-2x （x ≤10） B. y =20-2x （x <10） C. y =20-2x （5≤x ≤10） D. y =20-2x （5<x <10）4. 某新品电视投放市场后第1个月销售100台，第2个月销售200台，第3个月销售400台，第4个月销售790台，则销量y 与投放市场的月数x 之间的关系可写成 .5.如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y 与净化时间t （月）的近似函数关系：ty a =(t ≥0，a >0且a ≠1)．有以下叙述（1）第4个月时，剩留量就会低于15；（2）每月减少的有害物质量都相等；（3）若剩留量为111,,248所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=.其中所有正确的叙述是 .t (月)。
2014年人教A版必修一课件 3.2 数学模型及其应用
另解: 利用几何画板画出三个函数的图ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ进行分析. 在 [10, 1000] 内, 最大值不能超过 5 万元, ①
16 14
y 不能超过 x 的 25%,
12
即 y≤0.25 x, ② 很明显, y=0.25x 不满足①. 指数函数随着 x 的增大增长速度很快, 用计算器算得 y=1.0021000 ≈7.37>5, y=1.002x 不满足①. 10 y=log7x+1是增函数, 用计算器算得 y=log71000+1≈4.55<5, 且在 [10, 1000] 内 log7x+1<0.25x. ∴ y=log7x+1 符合条件.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一 个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时, 按销 售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加, 但奖金总数不超过 5万元, 同时奖金不 超过利润的 25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, y=1.002x, 其中哪个模型能符合公司的要求? 解: 在奖励模型中, 其定义域为 {x|10≤x≤1000}. 按要求, 三个函数的最大值不能超过 5 万元, 同时, y 又 不能超过 x 的 25%. 三个函数在 [10, 1000]上都是增函数, 其最大值分别是: y1=0.251000 =250(万元),
y2=log71000+1 ≈4.55(万元),
y3=1.0021000 ≈7.37(万元).
只有第二个函数 y=log7x+1 符合第一条要求.
例2. 某公司为了实现1000万元利润的目标, 准备制定一 个激励销售部门的奖励方案: 在销售利润达到10万元时, 按销 售利润进行奖励, 且奖金 y (单位: 万元) 随销售利润 x (单位: 万元) 的增加而增加, 但奖金总数不超过 5万元, 同时奖金不 超过利润的 25%, 现有三个奖励模型: y=0.25x, y=log7x+1, x, 其中哪个模型能符合公司的要求? y=1.002 再看函数 y=log7x+1 是否满足第二个条: y≤25%x, 解 : log 在奖励模型中 , 其定义域为 {x|10≤ 即 log7x≤0.25 x-1,x≤1000}. 7x+1≤25%x 按要求 , 0.25 三函数的最大值不能超过 5 log7x 和 x-1 都是增函数, 如图 : 万元, 同时, y 又 y 25%. 不能超过 x 的 在 [10, 1000] 内, 24 [10, log ≤0.25x-1 成立. : , 7x其最大值分别是 3.5 三函数在 y=1000] 0.25x上都是增函数 -1 5 y =0.251000 =250(万元), ∴模型 y=log7x+1 符合要求. 1 2.37 y2=log71000+1 ≈4.55(万元), y=log7x 1.5 y3=1.0021000 ≈7.37(万元). o10 200 y= 1.1 400 800 1000 x . 只有第二个函数 log7x600 +1 符合第一条要求 8 10
高中数学人教A版必修1课件：3.2.2函数模型的应用实例
设甲项目投资 x 亿元,投资这两个项目所获得的总利润为 y 亿元.
(1)写出 y 关于 x 的函数表达式;
(2)求总利润 y 的最大值.
分析:(1)总利润=投资甲项目利润+投资乙项目利润=M+N;(2)
转化为求(1)中函数的最大值.
-12-
3.2.2
题型一
函数模型的应用实例
题型二
题型三
M 目标导航
-3-
3.2.2
函数模型的应用实例
M 目标导航
UBIAODAOHANG
Z 知识梳理
HISHI SHULI
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
名师点拨巧记函数建模过程:
收集数据,画图提出假设;
依托图表,理顺数量关系;
抓住关键,建立函数模型;
精确计算,求解数学问题;
Z 重难聚焦
HONGNAN JVJIAO
D典例透析
IANLI TOUXI
题型四
【变式训练 2】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.
记鲑鱼的游速为 v(单位:m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为 Q,研究中发
现 v 与 log3
成正比, 且当Q=900 时,v=1.
100
(1)求出 v 关于 Q 的函数解析式;
米)的关系式为 p=1 000·
7
100
ℎ
3 000
, 则海拔6 000 米处的大气压强为
百帕.
解析:当 h=6 000 米时,p=1 000·
7
100
6 000
3 000
= 4.9(百帕).
答案:4.9
推荐-高中数学人教A版必修1课件3.2.2函数模型的应用实例
当 x>400 时,f(x)=60 000-100x 是减函数.
f(x)<60 000-100×400<25 000(元).
∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000 元.
故每月生产 300 台仪器时,利润最大,最大利润为 25 000 元.
探究一
探究二
探究三
思维辨 析
合作学习
反思感悟应用一次函数与二次函数的有关知识,可解决生产、生 活实际中的最大(小)值的问题.解答时需遵循的基本步骤是:(1)反 复阅读理解,认真审清题意;(2)依据数量关系,建立数学模型;(3)利 用数学方法,求解数学问题;(4)检验所得结果,译成实际答案.
合作学习
探究一
探究二
探究三
思维辨 析
解(1)已知仪器的月产量为 x 台,则总成本为 20 000+100x,
从而
f(x)=
-
1 2
������
2
+
300������-20
000,0
≤
������
≤
400,
60 000-100������,������ > 400.
(2)当 0≤x≤400 时,
f(x)=-12(x-300)2+25 000, ∴当 x=300 时,f(x)有最大值 25 000 元;
y=a+bx(a,b 为常数,b≠0).
取其中的两组数据(10.4,21.1),(24.0,45.8),
代入
y=a+bx,得
21.1 45.8
= =
������ ������
+ +
10.4������, 24.0������,
《几类不同增长函数模型》说课稿
《几类不同增长函数模型》说课稿《几类不同增长函数模型》说课稿一．内容和内容解析本节是高中数学必修1（人教A版）第三章《函数的应用》的起始课．该课将经历运用和选择函数模型解决实际问题的过程，从而认识在同为增函数的函数模型中，各种函数存在增长的差异；理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义；认识研究函数增长（衰减）差异的方法；感受数学建模的思想．对不同函数模型在增长差异上的研究，教材围绕函数模型的应用这一核心，结合具体实例展开讨论，让学生在应用函数模型的过程中，体验到指数函数、对数函数、幂函数等函数模型在描述客观世界变化规律时各自的特点．教材运用自选投资方案和制定奖励方案这两个问题，引出函数模型增长情况比较的问题，接着运用信息技术从数值和图象两个角度比较了指数函数、对数函数、幂函数的增长情况的差异，说明不同函数类型增长的含义．在必修1前两章，教材安排了函数的性质以及基本初等函数．本节内容是几类不同增长的函数模型，在此之后是研究函数模型的应用，因此，从内容上看，本节课是对前面所学习的几种基本初等函数以及函数的性质的综合应用，从思想方法上讲，是对研究函数的方法的进一步巩固和深化，同时，也在为后面继续学习各种不同的函数模型的应用举例奠定基础，．因此本节内容，既是第二章基本初等函数知识的延续，又是函数模型应用学习的基础，起着承前启后的作用.本节内容所涉及的数学思想方法主要包括：由实际问题抽象为函数模型这一过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；在解决问题过程中函数与方程的思想．二．目标和目标解析本节课的教学任务为：（1）创设一个投资方案的问题情境，让学生通过函数建模、列数据表、研究函数图象和性质，体会直线上升和指数爆炸；（2）创设一个选择奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会对数增长模型的特点；（3）通过建立和运用函数基本模型，让学生初步体验数学建模的基本思想，发展学生的创新意识和数学应用意识.根据内容解析和教学任务，本节课的教学目标确定为：（1）通过实例的解决，运用函数表格、图象，比较一次函数、指数型函数以及对数函数模型等的增长，认识它们的增长差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义；（2）通过恰当地运用函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），表达实际问题中的函数关系的操作，认识函数问题的研究方法：观察-归纳-猜想-证明；（3）经历建立和运用函数基本模型的过程，初步体验数学建模的基本思想，体会数学的作用与价值，培养分析问题、解决问题的能力.这部分内容教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为主线，以几个重要的函数模型为对象，将前面已经学习过的内容以及处理问题的思想方法紧密结合起来，使之成为一个整体．因此教学中应当注意贯彻教材的设计意图，让学生经历函数模型应用的全过程，能在这一过程中认识不同增长的差异，认识知晓函数增长差异的作用，认识研究差异的思想方法．结合以上分析本节课的教学重点为：将实际问题转化为数学模型，在比较常数函数、一次函数、指数函数、对数函数模型增长差异的过程中，体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同类型函数增长的含义．三．教学问题诊断学生在前面已学过函数概念、指数函数、对数函数、幂函数，但由于指数函数、对数函数和幂函数的增长变化复杂，这就使得学生在研究过程中可能遇到困难．因此本节课教学难点确定为：如何结合实际问题让学生体会不同函数模型的增长差异，以及如何利用这种增长差异来解决一些实际问题．为了解决这一难点，教科书分三个步骤，创设问题情境，并通过恰点恰时而又层层递进的问题串，让学生在不断的观察、思考和探究的过程中，弄清几个函数间的增长差异，并培养分析问题解决问题的能力．第一步，教科书先创设了一个选择投资方案的问题情境，在解决问题的过程中给出了解析式、数表和图象三种表示，然后提出了三个思考问题，让学生一方面从中体会直线上升和指数爆炸，另一方面也学会如何选择恰当的表示形式对问题进行分析．第二步，教科书又创设了一个选择公司奖励模型的问题情境，让学生在观察和探究的过程中，体会到对数增长模型的特点．第三步，教科书提出了三种函数存在怎样的增长差异的问题．先让学生从不同角度观察指数函数和幂函数的增长图象，从中体会二者的差异；再通过两个探究问题，让学生对幂函数和对数函数的增长差异，以及三种函数的.衰减情况进行自主探究．这样的安排内容上层次分明，可以引导学生从不同的方面积极地开展观察、思考和探究活动，对典型的问题，多视点宽角度地进行了研究．对学生分析问题、解决问题能力的培养将有积极的推动．由于本节内容比较丰富，而且研究问题的方法和途径也比较多，所以本节课我们只能重点解决其中的前两个问题．四．教学支持条件分析要让学生较为全面地体会函数模型的思想，特别是本节例题中用函数模型研究实际问题有许多数据、图象等方面处理上的困难，而利用信息技术工具，就可以在不同的范围观察到指数函数、对数函数和幂函数的增长差异．这样，就使学生有机会接触到一些过去难以接触到的数学知识和思想方法．因此在本节内容教学的处理上，通过学生收集数据并建立函数模型，利用计算器和计算机，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义．五．教学过程设计一、创设情境，引入课题1.介绍第三章章头图，提出问题．问题1：澳大利亚的兔子为什么能在短短的几十年中由5只发展到5亿只？澳大利亚兔子的急剧增长反映了自然界中一种增长现象：指数增长.问题2：在生活中，你还能举出其它增长的例子吗？2.在学生回答问题的基础上引出各种不同类型的函数增长模型．3.揭示课题：几类不同增长的函数模型．【设计意图】运用章头图，形成问题情境，产生应用函数的需要，激发学生的学习愿望．二、分析问题，建立模型（一）提出问题例1．假如你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方式？（二）分析问题1.引导审题，抓住关键词"回报"问题3：你选择的是什么样的回报？怎样比较回报资金的大小？从解决问题的角度看：（1）比较三种方案的每日回报；（2）比较三种方案在若干天内的累计回报.2.引导分析数量关系，建立函数模型仅从日回报的角度引导学生根据数量关系，归纳概括出相应的函数模型，写出每个方案的函数解析式.【设计意图】引发学生思考，经历建立函数基本模型的过程．【备注】累计回报的本质是数列求和问题，由于学生目前的知识储备还不够，现在仅限于通过对函数模型通过列表计算、图象观察来作出判断和选择.三、组织探究，感性体验1.教师提出问题问题4：你会选择哪种投资方案？请用数学语言呈现你的理由．2.学生分组操作，比较不同增长从解决问题的方式上：（1）用列表方法来比较；（2）画出函数图象来分析.【设计意图】保成学生合作探究、动手实践，能借助计算器，利用数据表格、函数图象对三种模型进行比较、分析，初步感受直线上升和指数爆炸的意义，初步体验研究函数增长差异的方法．四、成果交流，阶段小结（一）学生交流让学生交流小组探究的成果（表格、图象、结论）（二）师生互动1.阅读教材上例题解答中的数据表格与图象（突出散点图），引导学生关注增长量，感受增长差异．2.通过教师多媒体动态演示，让学生进一步体会增长差异．在不同的函数模型下，虽然都有增长，但增长态势各具特点．他们的增长不在同一个"档次"上，当自变量变得很大时，指数型函数比一次函数增长的速度要快得多．（三）归纳小结1.通过教师的小结，增强学生对增长差异的认识．常数函数（没有增长），直线上升（匀速增长），指数爆炸（急剧增长）．2.上述问题的解决，是通过考虑其中的数量关系，把它抽象概括成一个函数问题，用解析式、数据表格、图象这三种函数的表达形式来研究的．【设计意图】分享学生成果，达到生生互动、师生互动；借助多媒体展示，帮助学生理解不同增长的函数模型的增长差异，并且初步体验数学建模的基本思想，认识函数问题的研究方法．五、深入探究，理性分析（一）提出问题例2．某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金（单位：万元）随销售利润（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25．现有三个奖励模型：．其中哪个模型能符合公司的要求？（二）引导分析问题5：你能立刻做出选择吗？选择的依据是什么？问题6：公司的要求到底意味着怎样的数学关系？问题7：我们提供的三个增长型函数哪一个符合限制条件？（三）解决问题1.通过多媒体演示，发现增长差异；2.结合限制条件，初步作出选择；3.通过计算，进一步确认，验证所得结论；4.体会对数增长模型的增长特征：当自变量变得很大时平缓增长；5.揭示函数问题的研究方法（观察-归纳-猜想-证明）．【设计意图】让学生在观察和探究的过程中，学会理性分析，体会对数增长模型的特点．【备注】对判断模型二是否满足限制条件""，考虑到学生现在知识储备和接受水平，只能采用了直观教学，通过构造新函数，观察新函数的图象来解决（因为该函数单调性的判定，必须运用高二数学中的导数知识与方法才能解决）．六、拓展延伸，创新设计这个奖励方案实施以后，立刻调动了员工的积极性，企业发展蒸蒸日上，但随着时间的推移，又出现了新的问题，员工缺乏创造高销售额的积极性.问题8：我们的奖励方案有什么弊端？问题9：你能否设计出更合理的奖励模型？【创新设计】为了实现1000万元利润的目标，在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着销售利润x(单位：万元)的增加而增加,要求如下：10万～50万，奖金不超过2万；50万～200万，奖金不超过4万；200万～1000万，奖金不超过20万．请选择适当的函数模型，用图象表达你的设计方案．（四人一组，合作完成）【设计意图】设计开放性问题对例2拓展延伸，既检测了学生对几类不同模型增长差异的掌握情况，又鼓励学生学以致用，用以致优，使学生的学习过程成为在教师引导下的"再创造"过程．七、归纳总结，提炼升华问题10：通过本节课的学习，你有哪些收获？请你从知识、方法、思想方面作一个小结．1.知识：对函数的性质有了进一步的了解，我们体会到同是增长型函数，但其增长差异却很大：常数函数（没有增长）；一次函数（直线上升）；指数函数（爆炸增长）；对数函数（平缓增长）．2.方法：函数有三种表示方法（解析法、列表法、图象法）；函数问题的一般研究方法（观察-归纳-猜想-证明）3.思想：两个例题都体现了数学建模的思想，即把实际问题数学化：面对实际问题，我们要读懂问题，运用所学知识，将其转化成数学模型，最终得到实际问题的解.【设计意图】理解几类不同增长的函数模型的增长差异，提炼数学思想方法，认识数学的应用价值．八、布置作业，巩固提高1.课本98页课后练习1，2；课本107页习题3.2（A组）第1题；2.收集一些社会生活中递增的一次函数、指数函数、对数函数的实例，对它们的增长速度进行比较，了解函数模型的广泛应用．【设计意图】进一步体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述；培养学生对数学学科的深刻认识，体会数学的应用价值.。