200-证明命题的一般步骤：
B
D
C
轮换条件∠1=∠2, BD=CD,AD⊥BC可得三 线合一的三种不同形 式的运用.
12 回顾与思考
等腰三角形性质
A
等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600.
B
C
如图,在△ABC中, ∵AB=AC=BC(已知). ∴∠A=∠B=∠C=600（等边三角形的三个角都相 等并且每个角都等于600）.
(6)检查表达过程是否正确,完善.
10 回顾与思考
等腰三角形性质
A
定理: 等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).
如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等角对等边).
B
C
11 回顾与思考
等腰三角形性质
A
1 2
推论: 等腰三角形顶角的平分线,底边 上的中线,底边上的高互相重合 (三线合一).
22 回顾与思考
命题与逆命题 定理与逆定理
在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别 是另一个命题的结论和条件,那么这两个命题称 为互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的逆 命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那 么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其 中一个定理称另一个定理的逆定理.
E
C
31 回顾与思考
尺规作图
尺规作图的基本作图: 作一条线段等于已知线段; 作一个角等于已知角; 作线段的垂直平分线(或中点); 作已知角的平分线; 已知三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三 角形.
尺规作图的解题格式(六步骤): 已知,求作,分析,作法,证明,讨论.
30 回顾与思考
三角形的内心
A ND B P M F
定理:三角形的三条角平分线相交于一点 ,并且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线,且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC(已知), ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角 形的三条角平分线相交于一点,并且这一点 到三边的距离相等).
名题探究：
例2:如图,Δ ABC,Δ CDE是等边三角形 (1)求证:AE=BD (2)若BD和AC交于点M,AE和CD交于点N, 求证:CM=CN
(3)连结MN,猜想MN与BE的位置关系. 并加以证明 M N
思路探究:通过证明三角形全等从而证明线段相等或角相等,这是 一种常见的证明方法.本题我们应注意用到等边三角形的性质以 及平行法的判定方法.当图形较复杂时,注意分清条件与图形中的 对应关系
13 回顾与思考
等腰三角形性质
等腰三角形两底角的平分线相等. 等腰三角形两腰上的中线相等. 等腰三角形两腰上的高相等.
A E
●
D
●●
B
1
2
C
14 回顾与思考
等腰三角形的判定
定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） .
A
B
C
在△ABC中 ∵∠B＝∠C（已知）， ∴AB=AC（等角对等边）.
15 回顾与思考
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出 与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果， 从而证明命题的结论一定成立.这种证明方法称为 反证法(reduction to absurdity)
用反证法证明的一般步骤: 1.假设:先假设命题的结论不成立; 2.归谬:从这个假设出发,应用正确的推论方 法,得出与定义，公理、已证定理或已知条件 相矛盾的结果; 3.结论:由矛盾的结果判定假设不正确,从而 肯定命题的结论正确. 反证法是一种重要的数学证明方法.在解决某 些问题时常常会有出人意料的作用.
(2x)2 x2 (2 3)2
解得x=2 ∴AD=4 思路探究：本题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角 形性质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,要 善于联想到这些性质.
通过本节课的学习，你有哪些收获？
作业：38页复习题
a b
c
勾
弦
股 在△ABC中 ∵∠ACB=900(已知), ∴ a2+b2=c2(直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方).
21 回顾与思考
勾股定理的逆定理
定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么 B 这个三角形是直角三角形.
a c
C A 在△ABC中 b (1) ∵AC2+BC2=AB2(已知), ∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平 方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角 三角形).
C
定理:在直角三角形中, 如果一条直角边等于斜 边的一半,那么它所对的锐角等于300.
20 回顾与思考
勾股定理
定理 如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜 边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的 平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中 又称为毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.
切记!!!命题:两边及其中一边的对角对应相等
的两个三角形不一定全等.
即(SSA)是一个假冒产品!!!
25 回顾与思考
线段垂直平分线的性质
M
定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相 等.
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任 意一点(已知), ∴PA=PB(线段垂直平分线上 A 的点到这条线段两个端点距 离相等).
28 回顾与思考
角平分线的性质
A D
定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
如图, ∵OC是∠AOB的平分线,P是OC上 任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 O 分别是D,E(已知) ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角 的两边距离相等).
1 2
E
P
C
B
逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等 的点,在这个角的平分线上.
24 回顾与思考
直角三角形全等的判定方 法 : 直角三角形全等的判定方法
定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(斜 边,直角边或HL). 公理:三边对应相等的两个三角形全等（SSS）. 公理:两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（SAS）. 公理:两角及其夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）. 推论:两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 （AAS）. 综上所述,直角三角形全等的判定条件可归纳为 : 一边及一个锐角对应相等的两个直角三角形全等; 两边对应相等的两个直角三角形全等;
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求 证); (2)根据题意,画出图形;
(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求 证”; (4)分析题意,探索证明思路(由“因”导 “果”,执“果”索“因”.);
(5)依据思路,运用数学符号和数学语 言条理清晰地写出证明过程;
如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知). ∴BD=CD,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC（三线合一）. 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 （三线合一）
P
C N
B
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在这 条线段三角形的外心
定理:三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等.
a A c b P C
如图,在△ABC中, ∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线( B 已知), ∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC(三角 形三条边的垂直平分线相交于一点,并 且这一点到三个顶点的距离相等).
16 回顾与思考
等边三角形的判定
A A
600
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
B
600
C
B
600
600
C
定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.
18 回顾与思考
特殊的直角三角形的 性质
B A
300
定理:在直角三角形中, 如果有一个锐角等于300, 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
练习1:在Δ ABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC的 平分线,已知 AB 4 3 ,求AD的长.
解:∵ ∠C=900,∠B=300,
∴ AC ∠CAB=600
A
1 1 AB 4 3 2 3 2 2
∵AD是角平分线
∴∠CAD=300
∴
C
D
B
设CD=x,那么AD=2x，在RtΔ ACD中，AD2=CD2+AC2
反证法的一般步骤
反证法的一般步骤反证法是一种重要的数学证明方法，也是逻辑推理中常用的一种推理方法。
通过对假设的否定进行论证，以此证明所要证明的命题成立。
本文将介绍反证法的一般步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一推理方法。
第一步：明确所要证明的命题在使用反证法证明一个命题之前，首先需要明确所要证明的命题是什么。
这个命题可以是一个数学定理、一个命题、一个推论等。
第二步：假设反命题成立在使用反证法证明一个命题时，我们首先假设反命题成立。
也就是假定所要证明的命题是错误的。
第三步：推理求矛盾在假设反命题成立的前提下，推理出一个矛盾的结论。
这个矛盾可以是逻辑矛盾、数学矛盾等。
第四步：得出结论由于假设的反命题推理出了一个矛盾的结论，根据逻辑的原理，这意味着假设的反命题是错误的。
换句话说，所要证明的命题是正确的。
通过以上四个步骤，我们可以使用反证法证明一个命题。
下面我们来通过一个简单的例子来说明反证法的应用。
例子：证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，我们可以运用反证法。
第一步：明确所要证明的命题所要证明的命题是：“根号2是无理数”。
第二步：假设反命题成立假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且两个整数没有公因数。
第三步：推理求矛盾假设根号2是有理数，那么可以表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且没有公因数。
根据这个假设，我们可以得到以下等式：根号2 = a/b将两边的平方，可以得到：2 = (a/b)²进一步变形得到：2b² = a²由于a²是偶数，那么a也是偶数（假设 a = 2k）。
将其代入上面的等式中，可以得到：2b² = (2k)²2b² = 4k²b² = 2k²同理，由于b²是偶数，那么b也是偶数。
所以，我们可以得出结论：如果根号2是有理数，那么a和b都是偶数。
然而，这与我们最初的假设矛盾，我们假设a和b没有公因数，但事实上a和b都是偶数，它们至少有2这个公因数。
第12章 定义与证明小结与思考小结与思考2
第12章小结与思考（2）知识梳理：1.定义：用（推理）的方法证实真命题的过程叫做证明。
2.证明文字命题的一般步骤为：（1）分析命题的条件与结论（2）根据题意，（）（3）写出（）和（）（4）写出证明过程。
3.互逆命题的概念：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的（）又是第二个命题的（），那么这两个命题叫做互逆命题。
其中一个命题称为另一个命题的（）二．例题精讲：（一）类型一：命题的改写、逆命题例1.先把下列命题改写成“如果······那么······”的形式，然后写出题设和结论。
(1)平行于同一条直线的两条直线平行。
（2）同角的余角相等。
（3）相等的角是内错角。
（二）类型二证明例 1.如图所示，A B∥C D∥GH, EG平分∠BEF, F G平分∠EFD ，求证E G⊥F G.C例2 辅助线的添加如图所示，已知MN∥DE,∠ABC=130度,∠BFD=40度，求证：AB⊥MNND E当堂检测：1.命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是（）A 垂直B 两条直线C 同一条直线D 两条直线垂直于同一条直线2.在三角形ABC中，∠A:∠B:∠C=1:2:3,则三角形ABC一定是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. A,B都有可能3.”同角的补角相等“的逆命题是（）4.命题“直角三角形两锐角互余“的条件是（）结论是（）5.已知假命题“两个锐角的和是直角”请举出一个反例（）6.填空使之成为一个完整的真命题。
（1）若a⊥b,b∥c，则（）（2）若（），则这两个角互补。
（3）若a∥b∥c，则（）7.写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题。
（1）两个直角必互补。
（2）三角形内角和等于180度，（3）若abc=0，则a,b,c,中至少有两个为0.8.已知：如图所示，AD是△ABC的角平分线，点E在BC上，点G在CA的延长线上，EG交AB于点F,且∠AFG=∠G,AD求证GE∥课堂小结：。
证明与命题
证明与命题明珠教育1对1辅导授课案任课老师课前必写：要么教好，要么不教（） . 知识复习：1．定义：（1）概念① ；（2）分类2．命题② 假命题（可通过（3）形式：命题都可写成的形式。
命题与证明（4）互逆命题1）公理： 3. 公理与定理（2）（1）概念：4. 证明①理解题意，画出（2）证明命题的一般步骤②写出已知，_________③写出（3）反证法________________二、知识点归类1.定义的概念对于一个概念特征性质的描述叫做这个概念的定义。
如：“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义。
注意：定义必须严密的，一般避免使用含糊不清的语言，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现。
（1）连结三角形两边中点的线段叫作三角形的；（2）能够完全重合的两个图形叫做；（3）两组对边分别平行的四边形叫做；2.命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版的”等。
注意：（1）命题必须是一个完整的句子。
（2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。
3.真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。
例下列命题中的真命题是（）A 锐角大于它的余角B 锐角大于它的补角C 钝角大于它的补角D 锐角与钝角等于平角4.命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。
条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。
一般地，命题都可以写出“如果------，那么-------”的形式。
有的命题表面上看不具有“如果------，那么-------”的形式，但可以写成这种形式。
如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。
命题与证明 教学课件
请同学们认真 完成作业 ！
作业： 书P117 练习
例2: 证明：同角的余角相等。
译 题 想 题 证 题
已知：∠2是∠1的余角， ∠3是∠1的余角， 求证： ∠ 2=∠3。
证明：∵∠2与∠ 1互余， ∠ 3 与∠1互余（已知） ∴ ∠ 1+∠2=90° ∠3 +∠1=90 ° （互为余角的定义） ∴ ∠ 1+∠2= ∠3+ ∠1 （等量代换） ∴ ∠ 2=∠3 （等式性质）
2 1 3
4.巩固练习 （1）书P116 例题 （2）证明：“如果一条直线和两条平行线中的 一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。”
a b
已知:a∥b,c⊥a ,求证:c⊥b .
1 2
c
小结:证明定理的一般步骤:
1.审题——分清“题设”和“结论”，并画出图形。
2.译题——结合图形中的字母符号写出已知（题设）、 求证（结论）。 3.想题——从已知看可知，推向未知。（“综合法”） 从未知看而知，靠拢已知。（“分析法”） 寻找推理的逻辑通路。 4.证题——从已知出发，步步有据，因果分明写出 全部推理的过程。
2.证明的必要性：
（1）什么叫做证明？ 推理的过程叫做证明。
（2）为什么要进行证明？
答：要判断一个命题的真假，必须要有推理 论证的过程。只有证明才能区分命题的真假， 否则就会得出错误的结论。
3、证明的一般步骤 例1：求证:两直线平行,内错角相等.
① 已知 ： a ∥ b，c 是截线，
求证： ∠ １＝ ∠ ２。
复习提问： 1.什么叫命题？2.命题由哪两部分组成？ 3.什么叫做真命题和假命题？
答：1.判断一件事情的语句叫做命题。 2.命题的构成： (1)每个命题都是由题设、结论两部分组成。 (2)命题常写成“如果··那么······”的形式。 ·· ·· 也可简称为若A则B。 3.命题可分为真命题和假命题： (1)真命题：如果题设成立，那么结论一定成立， 像这样的命题叫做真命题。 (2)假命题：如果题设成立，不能保证结论总是正确， 也就是结论不成立，这些命题都是错误的命题， 像这样的命题叫做假命题。
数学归纳法步骤
数学归纳法是一种证明方法，用于证明一个关于自然数的命题对于所有正整数都成立。
它的基本原理是：如果一个命题对于第一个正整数成立，并且当一个正整数被替换为下一个正整数时，该命题仍然成立，那么这个命题对于所有正整数都成立。
数学归纳法的步骤如下：1. 确定命题的形式：首先，我们需要明确要证明的命题的形式。
一般来说，我们要证明的命题是一个关于自然数n的全称命题，即对于所有的正整数n，命题P(n)都成立。
2. 基础步骤：基础步骤是证明命题对于第一个正整数成立。
我们可以选择任意一个正整数作为基础步骤的起点，例如n=1。
在这个步骤中，我们需要证明命题P(1)成立。
3. 归纳假设：在基础步骤之后，我们需要假设命题对于某个正整数k成立，即P(k)成立。
这个假设被称为归纳假设。
4. 归纳步骤：在归纳步骤中，我们需要证明当一个正整数被替换为下一个正整数时，命题仍然成立。
也就是说，我们需要证明当n=k+1时，P(k+1)也成立。
5. 完成证明：如果归纳步骤成功证明了命题对于所有的正整数都成立，那么我们就可以说这个命题被数学归纳法证明了。
下面是一个使用数学归纳法证明的例子：例题：证明对于所有的正整数n，都有1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
1. 确定命题的形式：我们要证明的命题是关于自然数n的全称命题，即对于所有的正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2都成立。
2. 基础步骤：我们选择n=1作为基础步骤的起点。
在这个步骤中，我们需要证明1+2+3+...+1 = 1*(1+1)/2成立。
由于1=1，所以这个等式成立。
3. 归纳假设：在基础步骤之后，我们假设当n=k时，1+2+3+...+k = k(k+1)/2成立。
这个假设被称为归纳假设。
4. 归纳步骤：在归纳步骤中，我们需要证明当n=k+1时，1+2+3+...+k+1 = (k+1)(k+2)/2成立。
为了证明这个等式成立，我们可以使用加法和乘法的性质。
几何证明的一般步骤
几何证明的一般步骤几何证明是数学中的一种重要的证明方法，它要求用几何图形来证明某个命题的正确性。
在几何证明中，一般需要遵循以下步骤：第一步，理解题意。
在进行几何证明之前，首先要仔细阅读题目，理解其意义。
只有充分理解题意，才能准确地进行证明。
在理解题意的过程中，可以画出几何图形，以便更好地理解问题。
第二步，列出已知条件。
几何证明中，一般会给出一些已知条件，这些条件是证明过程中的基础。
在进行证明之前，需要将这些已知条件列出来，以便在证明过程中使用。
第三步，列出待证命题。
在几何证明中，一般会给出一个待证命题，即需要证明的结论。
在列出待证命题之后，需要对其进行分析，找出证明的方法和思路。
第四步，构造证明图形。
在几何证明中，构造证明图形是非常重要的一步。
证明图形应该具有一定的规律性和对称性，以便在证明过程中易于推导。
同时，证明图形应该与题目的要求相符合，以便更好地进行证明。
第五步，运用几何知识。
在进行几何证明时，需要运用一定的几何知识，如相似三角形、勾股定理、正弦定理等，以便更好地推导证明过程。
同时，还需要注意几何知识的正确性和合理性，以免出现错误。
第六步，运用逻辑推理。
在进行几何证明时，需要运用逻辑推理，以便将各个证明步骤连接起来，形成一个完整的证明过程。
在运用逻辑推理时，需要注意证明的合理性和严密性。
第七步，总结结论。
在进行几何证明之后，需要总结出证明的结论，并对证明过程进行回顾和思考。
同时，还需要检查证明过程中是否存在错误，以免出现错误的结论。
综上所述，几何证明的一般步骤包括理解题意、列出已知条件、列出待证命题、构造证明图形、运用几何知识、运用逻辑推理和总结结论。
只有在遵循这些步骤的前提下，才能进行准确、严密和合理的几何证明。
命题与证明教案
第4章命题与证明目录定义与命题1教学目标1．了解定义的含义．2．了解命题的含义．3．了解命题的结构,会把一个命题写成“如果……那么……”的形式．教学重点、难点重点：命题的概念．难点：象范例中第3题,这类命题的条件和结论不十分明显,改写成“如果…那么…”形式学生会感到困难,是本节课的难点．教学过程一、创设情景,导入新课1阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导：神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射,……神舟六号飞船搭乘两名航天员,执行多天飞行任务．按计划,飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空,运行在轨道倾角°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上,实施变轨后,进入343千米的圆轨道．要读懂这段报导,你认为要知道哪些名称和术语的含义2什么叫做平行线在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．什么叫做物质的密度单位体积内所含某一物质的质量叫做密度．二、合作交流,探求新知1．定义概念的教学从以上两个问题中引入定义这个概念：一般地,能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义．象问题1中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定,即需要给出定义．完成做一做请说出下列名词的定义：1无理数；2直角三角形；3一次函数；4频率；5压强．2．命题概念的教学 教师提出问题：判断下列语句在表述形式上,哪些对事情作了判断哪些没有对事情作出判断 1对顶角相等； 2画一个角等于已知角；3两直线平行,同位角相等；4a ,b 两条直线平行吗 5鸟是动物； 6若42=a ,求a 的值； 7若22b a =,则b a =． 答案：句子1357 对事情作了判断,句子246没有对事情作出判断．其中 135判断是正确的,7判断是错误的．在此基础上归纳出命题的概念：一般地,对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题．象句子1357都是命题；句子246都不是命题．说明：讲解定义、命题的含义时,要突出语句的作用．句子根据其作用分为判断、陈述、疑问、祈使四个类别．定义属于陈述句,是对一个名称或术语的意义的规定．而命题属于判断句或陈述句,且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系． 3．命题的结构的教学告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由题设或条件和结论两部分组成．题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式,其中以“如果”开始的部分是条件,“那么”后面的部分是结论．如“两直线平行, 同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行,那么同位角相等”． 三、师生互动 运用新知下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式．例1 指出下列命题的条件和结论,并改写成“如果……那么……”的形式： 1三条边对应相等的两个三角形全等； 2在同一个三角形中,等角对等边； 3对顶角相等； 4同角的余角相等；5三角形的内角和等于180°； 6角平分线上的点到角的两边距离相等．分析：找出命题的条件和结论是本节课的难点,因为命题在叙述时要求通顺和简练,把命题中的有些词或句子省略了,在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去．1“三条边对应相等”是对两个三角形来说的,因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去,即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”,结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等,那么这两个三角形全等”．2学生可能会说条件是“在同一个三角形中”,结论是“等角对等边”．教学时可作这样引导：“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等,`然后提问学生,一个三角形满足什么条件时,有两条边相等这个命题的条件是什么结论是什么值得注意的是,命题中包含了一个前提条件：“在一个三角形中”,在改写时不能遗漏． 3可作如下启发：对顶角指两个角的关系,相等指两个角相等．把“两个角”添补上去,写成“是对顶角的两个角相等”,这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”,结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”． 4条件是“两个角是同一个角的余角”,结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”．5条件是“三个角是一个三角形的三个内角”,结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角,那么这三个角的和等于180°”； 6 如果“一个点在一个角的平分线上,那么这个点到这个角的两边距离相等”． 例2 下列语句中,哪些是命题,哪些不是命题 1若a<b,则a b -<-； 2三角形的三条高交于一点； 3在ΔABC 中,若AB>AC,则∠C>∠B 吗 4两点之间线段最短； 5解方程0322=--x x ； 61＋2≠3．答案：1246是命题,35不是命题． 例3（1） 请给下列图形命名,,并给出名称的定义：① ② 答案：略2观察下列这些数,找出它们的共同特征,给以名称,并作出定义： －52,－2,0,2,8,14,20,… 答案：能被2整除的整数是偶数． 四、应用新知 体验成功课内练习：教材中安排了4个课内练习,第1题是为定义这个概念配置的,第2题是为命题这个概念配置的,第3、4题是为命题的结构配置的．第4题可以通过同伴或同桌的合作交流完成．五、总结回顾,反思内化学生自由发言,这节课学了什么教师做补充．三个内容：⎪⎩⎪⎨⎧分组成题是由条件和结论两部命题的的结构：通常命的判断的句子事情作出正确或不正确命题的概念：对某一件子名称或术语的意义的句定义的含义：规定某一六、布置作业 巩固新知 课本P72作业题．定义与命题2教学目标知识目标：理解真命题、假命题、公理和定义的概念能力目标：会判断一个命题的真假,会区分定理、公理和命题.情感目标：通过对真假命题的判断,培养学生树立科学严谨的学习方法.教学重点、难点重点：判断一个命题的真假是本节的重点. 难点：公理、命题和定义的区别.教学过程一：合作学习：１：复习命题的概念,思考下列命题的条件是什么结论是什么（1） 边长为aa ＞0的等边三角形的面积为√3/4ａ２．（2） 两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行．（3） 对于任何实数ｘ,ｘ２ ＜０．提问：上述命题中,哪些正确哪些不正确２：得出真命题、假命题的概念：正确的命题称为真命题,不正确的命题称为假命题.３：把学生分成两组,一组负责说命题,然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题二：举例：判断下列命题是真命题还是假命题（1） x=1是方程x 2-2x-3=0 的解.（2） x=2是方程 x 2 –4/x 2-3x+2＝０的解. （3） 如图,若∠1=∠2,则∠３=∠４.（4） 一个图形经过旋转变化,像和原图形全等.三讲述公理和定义１：公理：人类经过长期实践后公认为正确的命题,作为判断其他命题的依据.这样公认为正确的命题叫做公理.例如：“两点之间线段最短” ,“一条直线截两条平行所得的同位角相等” ,然后提问学生：你所学过的还有那些公理２：定理：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.定理也可以作为判断其他命题真假的依据.３：举例请用学过的公理或定理说明下面这个命题的正确性：“等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线互相重合“四：课内练习：见书本作业题五：作业：见作业本证明1教学目标1．了解证明的含义.2．体验、理解证明的必要性.3．了解证明的表达格式,会按规定格式证明简单命题.教学重点、难点重点：本节教学的重点是证明的含义和表述格式.难点：本节教学的难点是按规定格式表述证明的过程.教学过程一、新课引入教师借助多媒体设备向学生演示课内节前图：比较线段AB和线段CD的长度.通过简单的观察,并尝试用数学的方法加以验证,体会验证的必要性和重要性二、新课教学1、合作学习参考教科书P74：一组直线a、b、c、d、是否不平行互相相交,请通过观察、先猜想结论,并动手验证2、证明的引入1命题“等腰直角三角形的斜边是直角边的2倍”是真命题吗请说明理由分析：根据需要画出图形,用几何语言描述题中的已知条件和要说明的结论.教师对具体的说理过程予以详细的板书.小结归纳得出证明的含义,让学生体会证明的初步格式.2通过例2的教学理解证明的含义,体会证明的格式和要求例2、证明命题“如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,且方向相同,那么这两个角相等”是真命题.分析：根据需要画出图形,用几何语言描述题中的已知条件、以及要证明的结论求证.证明过程的具体表述略小结：证明几何命题的表述格式 1按题意画出图形； 2分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论； 3在“证明”中写出推理过程.3练习：P76课内练习2三、例题教学例2、已知：如图,AC与BD相交于点O,AO=CO,BO=DO.求证： AB ∥CD 证明略 四、练习巩固P76 课内练习3 五、小结（1） 证明的含义（2） 真命题证明的步骤和格式（3） 思考、探索：假命题的判断如何说理、证明六、作业布置证明2教学目标１．进一步体会证明的含义；２．探索并理解三角形内角和定理的几何证明； ３．进一步熟练证明的方法和表述；４．让学生体验从实验几何向推理几何的过渡．教学重点、难点重点：探索三角形内角和定理的证明,进一步掌握证明的方法和表述．难点：例１是由较复杂的题设条件得出若干结论,用到多个定理,是本节的难点．教学过程一、复习证明的一般格式和表述,导入新课．通过一个简单的命题的求证过程,让学生自己回顾证明一个命题的一般格式,并用自己的语言进行表述．1求证：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 设问：①如何写出已知、求证,并画出图形②如何进行证明可由学生口述2根据上述题目结合学生的回答引导学生归纳出证明一个命题的一般格式： ①按题意画出图形；②分清命题的条件和结论,结合图形,在“已知”中写出条件,在“求证”中写出结论；③在“证明”中写出推理过程． 二、合作交流,探究新知一通过一个简单的例子向学生简介把一个由实验得到的几何命题经过推理的方法加以论证,让学生体验实验几何向推理几何的简单过渡.命题：求证：三角形任何两边之和大于第三边．1让学生回顾七年级对此命题的说明过程2教师通过“两点之间线段最短”来说明上述命题, 并板书论证过程． 二探究新知 问题：三角形内角和定理是什么 出示命题：求证：三角形三内角和等于180°．分析：1这个命题的条件和结论是什么并根据条件和结论画出图形,写出已知,求证． 2请同学们回顾,在三角形部分,对这个命题是用哪种实验方法加以说明的．可请成绩较OABCD好的同学回答3请同学们思考：如何通过添加辅助线的方法把三个角拼在一起,这些线中哪些线容易产生相等的角同学之间相互合作,讨论学习,时间可稍长根据学生的回答,添辅助线并引导学生梳理推理的过程此处可引导学生在不同的顶点处添加辅助线4师生共同完成推理过程．启发学生再思考,除了选三角形顶点作平行线之外,还有没有其他方法,比如选三角形边上一点此处也可让学生相互讨论并尝试,师生共同探究出证明过程：可在BC 边上任意取一点P,作PD ∥AB,交AC 于点D ；作PE ∥AC,交AB 于点E ． 证明：∵PD ∥AB 已知 ∴ ∠DPC=∠B∠CDP=∠A 两直线平行,同位角相等 又 ∵ PE ∥AC∴ ∠EPB=∠C 两直线平行,同位角相等∴ ∠EPB+∠EPD+∠DPC=∠C+∠A+∠B=180° 等量代换设问：三角形内角和外角之间有什么关系学生讨论,自己试着给出证明过程 三、运用新知,体验成功如图,比较∠1与∠2+∠3的大小,并证明你的判断可让学生自行完成,并口述过程,老师作点评 四、拓展提高,综合运用 例１ 已知：如图,AD 是∠BAC 的角平分线,BC ⊥AD 于点AC ⊥DC 于点C ．求证：1⊿ABC 是等腰三角形； 2∠D=∠B ． 一启发诱导,形成思路1要证明⊿ABC 是等腰三角形,只需证明什么AB=AC 或∠B=∠ACB 2证明两边相等或两角相等常用的方法是什么三角形全等图中能否找到以AB,AC 为对应边的全等三角形⊿ABO 与⊿ACO 全等吗应该满足什么条件 3要证明∠D=∠B,你能找到合适的全等三角形吗根据已知AC ⊥DC,能得到∠D 与三角形中哪个角互余 根据已知BC ⊥DA,能得到∠B 与三角形中哪个角互余 二指导学生完成证明过程；三指明此题是由结论出发寻求解题思路,这是常用的一种数学方法――分析法． 五、疏理全过程,形成小结1本节课你的最大收获是什么可根据学生的回答大概归纳为：三角形内角和定理的证明方法――作平行线法；常用的几何证明方法：由结论出发寻求使结论成立的条件,进而形成解题思路――分析法．六、课外作业：见作业本．证明3教学目标1、继续学习证明的方法和表述2、通过探求,让学生归纳和掌握证明的两种思考方法. 教学重点、难点重点：本节教学重点是如何分析证明的途径．难点：难点是例6的证明,要用逆向思维的思考方法．教学过程3、问,若在多条交流的河流下游发现河水被污染,该怎么找到污染源总结出一条可行的方法——逆流而上寻找污染源.发挥学生的发散思维,让学生充分思考,尽情发挥.4、联想本题,发生类比,从结论出发总结证明思路. 联系本题,让学生总结出逆流而上寻找证题思路.5、出示证明过程证明：因为将纸片沿直线EF折叠后,点A与点D重合,所以EF是线段AD的对称轴.∴EF⊥AD对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段∵AD是ΔABC的高已知∴BC⊥AD三角形的高的定义∴EF∥AD垂直于同一条直线的两直线平行通过总结,完成证题6、提出问题,让学生课外思考完成后上交. 问：审题从结论出发,还有其它的解法让学生解一题多种,学生可以互相讨论.六、课堂练习2 出示屏幕显示已知：如图,AD∥BC,∠B=∠D,求证,ΔADC≌CBA请写出分析和证明过程学生仔细审题要求学生用逆向思维的思考方式写出分析过程学生独立完成,互相讨论,总结方法.AB CD反例与证明教学目标1、理解反例的意义和作用.2、掌握在简单情况下利用反例证明一个命题是错误的教学重点、难点重点：用反例证明一个命题是错误的．难点：如何构造一个反例去证明一个命题是错误的．教学过程一、情景引入判断下列命题的真假（1） 素数是奇数（2） 黄皮肤、黑头发的人是中国人（3） 在不同项点上有两个外角是钝角的三角形是锐角三角形我们对真命题的证明,掌握了一定的方法和技能,那么如何来说明一个命题是假命题呢今天我们将一起来探讨如何说明一个命题是假命题.从而引出课题——反例与证明 二、新课新授 1、讨论1学生讨论1：如何去判断一个命题是假命题的方法学生分小组讨论,教师巡回指导,师生总结：判断一个命题是假命题只要举出一个反例即可. （2） 学生讨论2：怎么样反例才能判断一个命题是假命题学生分小组讨论,教师巡回指导,师生总结：具备命题条件但不具备命题结论的例子如：可以举2是素数,但不是奇数,从而证明“素数是奇数”是假命题. 3、让学生举一个反例去证明“黄皮肤、黑头发的人是中国人”是假命题 2、例题讲解例题、判断下列命题的真假,并给出证明 （1） 若2 x + y = 0,则x = y = 0（2） 有一条边、两个角相等的两个三角形全等解1是假命题.取x = -1 , y = 2 ,则2 x + y = 2 ×-1+ 2 = 0 但x ≠0且y ≠0.A即x = -1,y = 2 具备2 x + y = 0 的条件, 但不具备命题的结论,所以此命题为假命题2 假命题.如图：△ABC 和△A ’B ’C ’中,∠A=∠B ’ ∠B=∠C ’ AB=A ’B ’但很明显△ABC 和△A ’B ’C ’不全等, 所以此命题为假命题例题小结： 如果要证明或判断一个命题是假命题,那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了.这称为举“反例”.3、变式练习： 判断命题“两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”的真假,并给出证明.分析：这是一个假命题,要证明它是一个假命题,关键是看如何构造反例.本题可以从以下两方面考虑,1三角形ABC 中,AB=AC,在底边BC 延长线上取点D,连DA,这样在△ADB 和△ADC 中,AD=AD,∠D=∠D,AB=AC,显然观察图形可知△ADB 与△ADC 不全等,或者,在BC 上任取一点EE 不是中点,如图4-4-42,则在△ABE 和△ACE 中,AB=AC,∠B=∠C,AE=AE,显然它们不全等. 解这是一个假命题,证明如下：如图4 – 4 – 41,在△ABC 中,AB=AC,延长CB 到D,连结AD. 则AB=AC,已知 AD=AD,公共边 ∠D=∠D,公共角但△ADB 与△ADC 不全等.评注 能举反例说明一个命题是假命题,反例不在于多,只要能找到一个说明即可.三、练习 P85 课内练习1、2四、小结：1、如何去判断一个命题是假命题2、怎么样的反例才可以证明一个命题是假命题 五、作业：见作业本BA C D E A BC 1 2图4 - 4 - 4。
同位角相等讲解
1、如果两个角相等，那么它们是对顶角； 2、如果 a＞b,b＞c,那么a=c； 假命题 3、两角和其中一角的对边对应相等的两 假命题 个三角形全等； 4、菱形的四条边都相等； 真命题 真命题 5、全等三角形的面积相等。 真命题 说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有 命题的结论
练习巩固
方法1： ∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ∠ 1 + ∠ 4 = 180 °
∴∠2 =∠4
4 3
方法2： ∵ ∠ 1 + ∠ 2 = 180 ° ∠1=∠3
∴ ∠ 2 + ∠ 3= 180 °
∴ a ∥b
（同位角相等,两直线平行）
∴ a ∥b
（同旁内角互补,两直线平行）
小结
证明一个命题的一般步骤: (1)弄清题设和结论; (2)根据题意画出相应的图形;
平行线的判定
☞
a b a b a b
2 1 2 1
c
公理: 同位角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理1: 内错角相等,两直线平行. ∵ ∠1=∠2, ∴ a∥b. 判定定理2: 同旁内角互补,两直线平行. ∵∠1+∠2=1800 , ∴ a∥b.
c
2
1、如果两个三角形的三条边对应相等， 那么这三角形全等；
条件
已知事项
结论
由已知事项推断 出来的事项
命题都可以写成“如果……那么……” 的形式；其中“如果”引出的部分是 条件，“那么”引出的部分是结论。
• 下列命题的条件是什么？结论是什么？
1、如果两个角相等，那么它们是对顶角； 2、如果a＞b,b＞c,那么a=c； 3、两角和其中一角的对边对应相等的两 个三角形全等； 4、菱形的四条边都相等； 5、全等三角形的面积相等。
几何证明的一般步骤
几何证明的一般步骤几何证明是通过逻辑推理和基于一些已知事实或已经证明的定理来证明一个几何命题或定理的正确性。
虽然每个证明都有其独特的步骤和方法，但是可以总结出一般的几何证明步骤如下：1.给出所要证明的命题或定理：首先明确所要证明的几何命题或定理。
这一步是非常重要的，因为它指导了整个证明的方向。
2.给出已知条件和辅助线：列出与几何命题相关的已知条件和所需要的一些额外线段或角度。
这些已知条件和辅助线可以帮助我们推导出要证明的结论。
3.假设角度和线段的等于或比例关系：根据已知条件和辅助线，我们可以使用几何等式、相似三角形、平行线定理等来假设角度和线段之间的等于或比例关系。
这些假设将为后续的推理提供基础。
4.推理过程：使用逻辑推理来逐步推导出结论。
这可以通过运用几何定理、定义、公设以及之前建立的等于或比例关系来完成。
5.检查证明的逻辑：确保证明每一步的逻辑都是正确的，并且推导的结论是从已知条件和辅助线出发的。
这一步非常重要，因为一旦证明中的任何一个步骤有错误，整个证明将是无效的。
6.写出证明的最终形式：整理推理步骤，确保逻辑的连贯性和清晰度。
可以使用几何术语和符号来简化说明过程。
这些是几何证明的一般步骤，但是需要根据具体的几何命题或定理进行调整和应用。
有时候证明可能会需要附加的辅助线、逆向思维或者先证明一个辅助的引理等。
而在一些情况下，证明可能会变得复杂，需要更多的步骤和推理。
因此，灵活性和创造力在几何证明中是非常重要的。
几何证明不仅需要数学知识和技巧，还需要耐心和细致的观察力。
透彻理解已知条件和掌握几何定理是成功进行几何证明的关键。
同时，随着经验和实践的积累，几何证明的能力也会逐渐提升。
命题与证明PPT
等量代换
)
小结:证明定理的一般步骤 小结 证明定理的一般步骤: 证明定理的一般步骤
1、审题——分清“题设”和“结论”，并画出图形 、审题 分清“ 结论” 分清 题设”
2、译题——结合图形中的字母符号写出已知（题设）、 、译题 结合图形中的字母符号写出已知（ 结合图形中的字母符号写出已知 题设）、 求证（结论）。 求证（结论）。 3、想题——从已知看可知，推向未知。（“综合法”） 、想题 从已知看可知， 。（“ 从已知看可知 推向未知。（ 综合法” 从未知看而知，靠拢已知。（ 分析法” 。（“ 从未知看而知，靠拢已知。（“分析法”） 寻找推理的逻辑通路。 寻找推理的逻辑通路。 4、证题——从已知出发，步步有据，因果分明写出 、证题 从已知出发， 从已知出发 步步有据， 全部推理的过程。 全部推理的过程。
2 1 3
4、巩固练习 （1）书P106 练习 （2）证明：“如果一条直线和两条平行线中的 ）证明： 一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。”
a b
已知:a∥b,c⊥a ,求证 ⊥b . 求证:c⊥ 已知 ∥ ⊥ 求证
1 2
c
小结:证明定理的一般步骤 小结 证明定理的一般步骤: 证明定理的一般步骤
1、审题——分清“题设”和“结论”，并画出图形 、审题 分清“ 结论” 分清 题设”
2、译题——结合图形中的字母符号写出已知（题设）、 、译题 结合图形中的字母符号写出已知（ 结合图形中的字母符号写出已知 题设）、 求证（结论）。 求证（结论）。 3、想题——从已知看可知，推向未知。（“综合法”） 、想题 从已知看可知， 。（“ 从已知看可知 推向未知。（ 综合法” 从未知看而知，靠拢已知。（ 分析法” 。（“ 从未知看而知，靠拢已知。（“分析法”） 寻找推理的逻辑通路。 寻找推理的逻辑通路。 4、证题——从已知出发，步步有据，因果分明写出 、证题 从已知出发， 从已知出发 步步有据， 全部推理的过程。 全部推错角相等 例1、求证 两直线平行 内错角相等 、求证:两直线平行 内错角相等.