四川省成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测理科数学试题
成都市2016级高中毕业班第三次诊断性检测
数 学（理科）
第I卷 （选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．设全集U={x∈Z|x2≤2x+3），集合A={0，1，2)，则=
(A){-1，3） (B){-1，0） (C){0，3} (D){-1，0，3}
2．复数z=(2+i)(1+i)的共轭复数为
(A)3- 3i (B) 3+3i (C) 1+3i (D) 1- 3i
3．已知函数f(x) =x3 +asinx，a∈R.若f(-l)=2，则f(l)的值等于
(A)2 (B) -2 (C)1+a (D) 1-a
4．如图，在正方体ABCD -A1BlC1D1中，已知E，F，G
分别是线段
A1C1上的点，且A1E=EF=FG =GC1．则下列直线与平面A1BD
平行
的是
(A) CE (B) CF (C) CG (D) CC1
5．已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
6．若非零实数a，b满足2a=3b，则下列式子一定正确的是
(A)b>a (B)b|a|
7．已知，则slna的值等于
(A)- (B)- (C) (D)
8．执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为
(A)1 (B)2
(C)3 (D)4
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，-2)，
N(l，0)．若动点M满足，则的取值范围是
(A)[0，2] (B)[0，] (C)[-2，2] (D)[- ， ]
10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n阶幻方（n≥3，n
∈N*）”是由前n2个正整数组成的—个n阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n个数
之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示)．则“
5
阶幻方”的幻和为
(A) 75 (B) 65 (C) 55 (D) 45
11．已知双曲线C=1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，抛物线y2= 2px(p>0)
与双曲线C有相同的焦点．设P为抛物线与双曲线C的一个交点，且
,
则双曲线C的离心率为
(A) 或 (B) 或3 (C)2或 (D)2或3
12.已知函数f(x)= ,若函数f(x)的极大值点从小到大依次记为a1，a
2
，…，
an，并记相应的极大值为b1，b2，…，bn，则的值为
(A) 250+2449 (B) 250 +2549 (C) 249 + 2449 (D) 249 +2549
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．
13．(2+x)5的展开式中，含x2项的系数为 （用数字作答）．
14.已知公差大于零的等差数列{an）中，a2，a6，a32依次成等比数列，则 的值是____．
15．某学习小组有4名男生和3名女生．若从中随机选出2名同学代表该小组参加知识竞赛，
则选出的2名同学中恰好1名男生1名女生的概率为____．
16．三棱柱ABC –A1BlC1中，AB =BC =AC，侧棱AA1⊥底面ABC
，且三棱柱的侧面积为
3,若该三棱柱的顶点都在同一个球O的表面上，则球O的表面积的最小值为___
_______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且
(I)求角A的大小；
(Ⅱ)求sin2B+,sin2C+sinB sinC的值．
18．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P -ABCD中，底面ABCD为菱形，△PAD为正三角形，平面PAD上
平面ABCD，E，F分别是AD，CD的中点．
（I）证明：BD⊥平面PEF；
(Ⅱ)若∠BAD =60°，求二面角B-PD-A的余弦值．
19．（本小题满分12分）
某保险公司给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名
参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段[20，30)，[30，40)，[40，50），
[50，60)，[60，70]
分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交
纳的保费如下表所示．据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元，
(I)用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求z精确到整数时的最小值x0；
(Ⅱ)经调查，年龄在[60，70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病（以此频率作为概
率）．该病的治疗费为12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元．某老人年龄
66岁，若购买该项保险（x取（I）中的x0），针对此疾病所支付的费用为X
元；若没有购
买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元，试比较X和Y的期望值大小，并判断该老
人购买此项保险是否划算？
20．（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: =l(a >b >0)的短轴长为2，直线l与椭圆
C
相交于A，B两点，线段AB的中点为M．当M与0连线的斜率为时，直线l的倾
斜角为
（I）求椭圆C的标准方程；
(Ⅱ)若|AB|=2，P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：|OP|≤ .
21．（本小题满分12分）
已知函数f(x) =xlnx-2ax2 +3x-a，a∈
Z.
(I)当a=1时，判断x=1是否是函数f(x)的极值点，并说明理由；
(Ⅱ)当x>0时，不等式f(x)≤0恒成立，求整数a的最小值，
请考生在第22,23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线C
的参
数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，z轴正半轴为极轴建立极
坐标系，直线l的极坐标方程为
(I)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(Ⅱ)设点M(0，1)．若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|MA|+|MB|的值．
23．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x) =x2 -a|x-1|-1，a∈
R.
(I)当a=4时，求函数f(x)的值域；
(Ⅱ) x0∈[0，2]，f(xo)≥a|xo+1|，求实数a的取值范围．
四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试理数试题 含解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=,复数z 所对应的点在( ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：复数的代数表示及其几何意义. 2.已知{}{}2log ,2,1x U x y x M y y x ====≥,则UC M =( )A ． [)1,2B ．()0,+∞C ．[)2,+∞D ．(]0,1 【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}1log 2≥===x x x y x U ，{}{}21,2≥=≥==y y x y y M x ，所以[)2,1=M C U ，故选项为A 。
考点：集合的运算。
3。
执行如图所示程序框图,则输出的n 为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D考点：程序框图。
4。
“0x ∃>,使a x b +<” 是“a b <" 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：“0>∃x ，使b x a <+”⇔“b a <”,∴“0>∃x ，使b x a <+"是“b a <”成立的充要条件．故选:C ．考点：充要条件的判定。
5。
已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ）A ．34B ．14C ．18D ．38【答案】D 【解析】试题分析：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为()231121221=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯，则所求的概率为83，故选D 。
考点：(1)几何概型；（2）不等式组所表示的区域。
6。
甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第5名(没有重名次）。
四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（扫描版）
四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试数学（理）试题（扫描版）绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．AADCD CBBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．212．-54013．11.514．-52≤m ≤5215．①②三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：（I ）第四组的人数为[1-(0.004+0.008+0.016+0.04)×10]×50=16，中位数为40+[0.5-(0.004+0.016)×10]÷0.04=47.5．………………………4分（II ）据题意，第一组有0.004×10×50=2人，第五组有0.008×10×50=4人，于是ξ=0，1，2，∴P (ξ=0)=513634=C C ，P (ξ=1)=53362412=C C C ，P (ξ=2)=51361422=C C C ，∴ξ的分布列为ξ012P 515351……………………………………………………………………10分∴Eξ=0×51+1×3+2×51=1．………………………………………………12分17．解：（I ）在△ABC 中，由正弦定理有，a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C ，代入b =a cos C +c sin A 中，即得2R sin B =2R sin A cos C +2R sin C sin A ，∴sin B =sin A cos C +sin C sin A ．…………………………………………………3分∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )，∴sin(A +C )=sin A cos C +sin C sin A ，即sin A cos C +cos A sin C =sin A cos C +sin C sin A ，整理得，cos A sin C =sin C sin A ，由sin C ≠0，可得cos A =sin A ，∴A =4π．………………………………………………………………………5分（II ）在△ABC 中，sin B =54cos 12=-B ，由A BC B AC sin sin =即22554=AC ，解得AC =24，………………………………7分又∵cos C =cos[π-(A +B )]=-cos(A +B )=-cos A cos B +sin A sin B =-5322?+5422?=102，∴AB =7，……………………………………………………………………10分于是由BA BD 1=可得BD =1，∴CD 2=BD 2+BC 2-2BD ·BC ·cos B =1+25-2×1×5×53=20，∴CD =52．…………………………………………………………………12分18．解：（I ）当n =1时，a 1=S 1=4)1(21+a ，整理得(a 1-1)2=0，解得a 1=1．当n ≥2时，a n =S n -1-n S =4)1(4)1(212+-+-n n a a ，整理得0)1()1(212=+---n n a a ，即0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，∵a n >0，∴1-+n n a a >0，∴21=--n n a a ，∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n =1+2(n -1)=2n -1．………………………………………………………5分（II ）121121(21)12)(12(111+--=+-=+n n ，∴T n =211a a +321a a +…+11+n n a a =)]121121()5131(311[(21+--++-+-n n =1211(21+-n =12+n n ，…………………………………………………………………8分由题知12+n n ≤λ(2n +1)对?n ∈N *恒成立，即λ≥2n 对?n ∈N *恒成立，…………………………………………9分令b n =2)12(+n n ，则2 222212)12(1++++-=+-++=-+n n n b b n n ，∵对?n ∈N *，2n +1≥3，∴-(2n +1)2+2<0，即01<-+n n b b ，于是n n b b <+1，∴{b n }是单调递减数列， (11)分即数列{b n }的最大值为b 1=91，∴λ≥91，即λ的最小值为91．………………………………………………12分19．（I ）证明：由题意，AD //EF ，∵EF ?面BEF ，AD ?面BEF ，∴AD //面BEF ．………………………………………………………………2分又∵AD ?面ABCD ，面ABCD ∩面BEF =l ，∴AD //l ，………………………………………………………………………3分由主视图可知，AD ⊥CD ，由侧视图可知，DE ⊥AD ，∵CD ∩AD =D ，∴AD ⊥面CDE ．∴l ⊥面CDE ．……………………………………………6分（II ）如图，建立空间直角坐标系D -xyz ，则A (1，0，0)，B (1，1，0)，C (0，2，0)，E (0，0，1)，F (1，0，1)，∴=(1，0，0)，=(0，-1，1)，……7分设面BEF 的一个法向量n =(x ，y ，z )，则由·n =0，·n =0可得=+-=，，00z y x 令y =1，则z =1，∴n =(0，1，1)，…………………………9分设M (0，0，m )，则=(0，2，-m )，∴cos=554222=+?-m m ，解得m =32或m =6（舍），即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）．……12分20．解：（I ）设焦点F (c ，0)，则22=c ，从而a 2=2c 2，由题意有11)(22=+b a c ，即11212=+b ，解得b 2=2，又由a 2=b 2+c 2，于是2c 2=2+c 2，解得c 2=2，a 2=4，∴椭圆E 的方程为12422=+y x ．………………………………………………4分（II ）依题意可知BC ⊥AC ，且∠BCO =∠ACO =45o，于是直线BC 的斜率为k BC =1，直线AC 的斜率为k AC =-1，………………6分设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (0，y 0)，则1101-=-=x y y k AC ，1202=-=x y y k BC ，∴x 1=y 0-y 1=-k (x 1-1)+y 0，x 2=y 2-y 0=k (x 2+1)-y 0，相加得x 1+x 2=k (x 2-x 1)．………………8分A B C D E F x y z M xy C B A O联立?=++=，，42122y x kx y 消去y ，整理得(1+2k 2)x 2+4kx -2=0，∴x 1+x 2=2214k k +-，x 1x 2=2212k+-．………………………………………10分把x 1+x 2=k (x 2-x 1)两边同时平方，可得(x 1+x 2)2=k 2[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]，代入可得(2214k k +-)2=k 2[(2214k k +-)2-4×(2212k +-)]，化简可得4k 2+1=2，或k 2=0，解得k =21±，或k =0，即存在满足条件的k 值，k =21±，或k =0．…………………………………13分21．解：（I ）xa x a x x a x x f ])1([))(1()1()(λλλλλλλλ-+--=--+='，∵a >0，1-λ>0，λ>0，x >0，∴当x >a 时，)(x f '>0；00可得0。
四川省成都市2016届高三数学(文)第三次诊断考试试题及答案
成都市2013级高中毕业班第三次诊断性检测数学（文史类）第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知田径队有男运动员56人，女运动员42人，若按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出14人参加比赛，则抽到女运动员的人数为 A. 2 B. 4 C. 6 D. 82.命题()()"1,,ln 1"x x x ∀∈-+∞+<的否定是A. ()()1,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<B. ()()0001,,ln 1x x x ∀∉-+∞+<C. ()()1,,ln 1x x x ∀∈-+∞+≥D. ()()0001,,ln 1x x x ∃∈-+∞+≥3.已知复数2z i i=-（其中i 为虚数单位），则z =14.已知,αβ是空间中两个不同的平面，m 为平面β内的一条直线，则""αβ⊥是""m α⊥的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知向量,a b 满足()2,3a a b a =-=- ，则b 在a 方向上的投影为A. 23B. 23-C. 12D. 12- 6.一块边长为8cm 的正方形铁板按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥（底面是正方形，从顶点向底面作垂线，垂足为底面中心的四棱锥）形容器，O 为底面ABCD 的中心，则侧棱SC 与底面ABCD 所成角的余弦值为A. 5B. 5C. 45D. 35 7.执行如图所示的程序框图，若依次输入1122210.6,0.6,3m n p -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则输出的结果为 A. 1213⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 120.6 C. 20.6- D. 320.6- 8.已知椭圆()22:101616x y C n n+=<<的两个焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆C 于A,B 两点，若22AF BF +的最大值为10，则n 的值为A. 15B.14C. 13D. 129.某工厂用A,B 两种配件生产甲乙两种产品，每生产一件甲产品需用4个A 配件耗时1h ，每生产一件乙产品需用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得24个A 配件和16个B 配件，每天生产总耗时不超过8h.若生产一件甲产品获利3万元，生产一件乙产品获利4万元，则通过恰当的生产安排，该工厂每天可获得的最大利润为A. 24万元B.22万元C. 18万元D. 16万元10.定义在()1,+∞上的函数()f x 同时满足：①对任意的()1,x ∈+∞，恒有()()122f x f x =成立；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.记函数()()g x f x k =-，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 A. 11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题,共100分）二、填空题：（大题共5小题，每小题5分，共25分.11.计算：sin 65cos35sin 25sin35-= .12.若直线1:250l x y -+=与2:250l x my +-=相互垂直，则实数m = 。
四川省成都市2016届高三理综第三次诊断考试试题及答案
成都市高2013级高中毕业班第三次诊断性检测理科综合物理部分第I卷（选择题，共42分）1．下列说法正确的是A．变化的电场会在周围空间产生磁场B．电场强度越大的地方电势越高C．做减速直线运动的物体，加速度方向与速度变化方向相反D．若物体所受舍外力不为零，则在运动过程中合外力一定会做功2．如图所示，光源S从水面下向真空斜射一束由红光和蓝光组成的复色光，在A点分成a、b两束，则下列说法正确的是A．a光是蓝光B．射出水面前a光的传播速度大，射出水面后二者传播速度一样大C．逐渐增大入射角．a光最先发生全反射D．b光比a光更容易发生衍射现象3．图甲所示为一列沿x轴正方向传播的横渡在t-0时刻的被动图像。
乙图可能是P质点、也可能是N质点的振动图像，质点振动方程为y =10sin5πt(cm)。
则A．该波不是简谐波 B．乙图为P质点的振动图像C．0．l s内，质点P通过的路程为1m D该波的波速为10 m/s4．如图所示，矩形闭合导线框ABCD处于可视为水平方向的匀强磁场中，线框绕垂直于磁场的轴OO’匀速转动，并与理想变压器原线圈相连，副线圈接有一只“11 V，33 W”的灯泡。
当灯泡正常发光时，变压器输人电压u=33cos10πt (V)．下列说法正确的是A．图示位置可能是计时起点B．图示位置线框中产生的磁通量变化率最小C．变压器原、副线圈匝数之比为3：1D．通过电流表A的电流为 A5．如图所示，直线MN上方有方向垂直于纸面向里的匀强磁场，从S点向磁场内先后射入比荷与速度均相同的正、负带电粒子，入射角θ< 90°，两粒子最后均离开磁场。
则A．两粒子离开磁场时的速度方向不同B．两粒子离开磁场时的位置离S点的距离不同C．两粒子在磁场中的运动时间之和刚好为粒子运动一个完整圆周的时间D．从S点右侧射出的粒子带正电6．如图甲所示，水平挡板A和竖直挡板B固定在斜面C上，一质量为m的光滑小球恰能与两挡板和斜面同时接触。
四川省成都市2016届高三第三次诊断考试数学(文)答案
成都市高２０１３级高中毕业班第三次诊断性检测数学(文史类)参考答案及评分意见第Ⅰ卷㊀(选择题㊀共５０分)一㊁选择题:(本大题共１０小题,每小题５分,共５０分)１．C ;㊀２．D ;㊀３．A ;㊀４．B ;㊀５．C ;㊀６．B ;㊀７．A ;㊀８．D ;㊀９．B ;㊀１０．A．第Ⅱ卷㊀(非选择题㊀共１００分)二㊁填空题:(本大题共５小题,每小题５分,共２５分)１１．１２;㊀１２．１;㊀１３．３＋２２;㊀１４．５;㊀１５．②③④．三㊁解答题:(本大题共６小题,共７５分)１６．解:(Ⅰ)f x ()＝３s i n ２x ＋s i n２x ＋π２æèçöø÷＋３＝３s i n ２x ＋c o s ２x ＋３＝２s i n２x ＋π６æèçöø÷＋３． ３分由２k π－π２ɤ２x ＋π６ɤ２k π＋π２(k ɪZ ),得k π－π３ɤx ɤk π＋π６(k ɪZ )．ʑ函数f x ()的单调递增区间为k π－π３,k π＋π６éëêêùûúúk ɪZ ()． ６分(Ⅱ)由(Ⅰ),f A ()＝１＋３,即s i n２A ＋π６æèçöø÷＝１２．由０＜A ＜π⇒π６＜２A ＋π６＜１３π６．ʑ２A ＋π６＝５π６,即A ＝π３． ８分ȵs i n B ＝２s i n C ,ʑb ＝２c ．１０分ȵa ２＝b ２＋c ２－２b c c o s A ,ʑb ＝２３． １２分１７．解:(Ⅰ)由已知,在三棱台D E F －A B C 中,A B ＝２D E ,ʑD E A B ＝E F B C ＝F D C A ＝１２．)页４共(页１第案答)文(题试考 诊三 学数ȵG,H分别为A C,B C的中点,ʑA BʊG H,E FʊB H,E F＝B H．ʑB EʊH F．ȵA B⊄平面G H F,B E⊄平面G H F,㊀G H⊂平面G H F,H F⊂平面G H F,ʑA Bʊ平面G H F,B Eʊ平面G H F． ３分又A BɘB E＝B,A B,B E⊂平面A B E D．ʑ平面A B E Dʊ平面G H F． ６分(Ⅱ)设棱锥F－A B H G的体积为V．ȵV＝１３S梯形A B H G F C,S梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C,B C＝C F＝１２A B＝１,ʑS梯形A B H G＝SәA B C－SәG H C＝１２ˑ１ˑ３－１２ˑ１２ˑ３２＝３３８．１０分ʑV＝１３S梯形A B H G F C＝１３ˑ３３８ˑ１＝３８． １２分１８．解:(Ⅰ)用A表示 从这２０名参加测试的学生中随机抽取一名,抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生 ．()名．ȵ语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有６＋nʑP A()＝６＋n２０＝２５,解得n＝２．ʑm＝４． ６分(Ⅱ)用B表示 从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名,其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生 ．ȵ从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取２名有３６种情况,没有逻辑思维能力优秀的学生的情况有１５种, １０分ʑP B()＝１－１５３６＝７１２． １２分１９．解:(Ⅰ)ȵ３S n＋a n－３＝０, ①ʑ当n＝１时,３S１＋a１－３＝０,a１＝３４．又当nȡ２,nɪN∗时,３S n－１＋a n－１－３＝０, ②由①－②,得３a n＋a n－a n－１＝０,即a n＝１４a n－１．ʑ数列a n{}是以３４为首项,１４为公比的等比数列． ４分)页４共(页２第案答)文(题试考 诊三 学数ʑa n ＝３４ˑ１４æèçöø÷n －１＝３４n n ɪN ∗()． ６分(Ⅱ)由已知及(Ⅰ),得１－S n ＋１＝１３a n ＋１＝１４n ＋１．ʑb n ＝１２l o g ２１４n ＋１＝１２l o g ２２－２n ＋２()＝－n －１． ８分ʑ１b n b n ＋１＝１n ＋１()n ＋２()＝１n ＋１－１n ＋２． １０分ʑT n ＝１２－１３æèçöø÷＋１３－１４æèçöø÷＋ ＋１n ＋１－１n ＋２æèçöø÷＝１２－１n ＋２＝n ２n ＋４． １２分２０．解:(Ⅰ)ȵ抛物线C :y ２＝２px p ＞０()的焦点为p ２,０æèçöø÷, ２分ʑ直线l :x ＝p２．ʑMN ＝２p ＝４．４分ʑ抛物线C 的方程为y ２＝４x ．５分(Ⅱ)易知直线l １,l ２的斜率存在且不为０．设直线l １的斜率为k ,A x １,y １(),B x ２,y ２()．则直线l １的方程为y ＝k x －１(),P x １＋x ２２,y １＋y ２２æèçöø÷．由y ２＝４x y ＝k x －１(){消去y ,得k ２x ２－２k ２＋４()x ＋k ２＝０．Δ＝２k ２＋４()２－４k ４＝１６k ２＋１６＞０．ʑx １＋x ２＝２＋４k ２,y １＋y ２＝k x １＋x ２－２()＝４k ．ʑP １＋２k ２,２k æèçöø÷．同理可得Q １＋２k ２,－２k ()． ９分当k ＝１或－１时,直线P Q 的方程为x ＝３;当k ʂ１且k ʂ－１时,直线P Q 的斜率为k１－k ２．ʑ直线P Q 的方程为y ＋２k ＝k １－k２x －１－２k ２(),即k ２－１()y ＋x －３()k ＝０．ʑ直线P Q 过定点R ,其坐标为３,０()．综上所述,直线P Q 过定点R ３,０()．１３分)页４共(页３第案答)文(题试考 诊三 学数２１．解:(Ⅰ)f ᶄx ()＝e x x ２＋a ＋２()x －a －３[]＝e xx －１()x ＋a ＋３()． ２分①当a ＝－４时,ȵf ᶄx ()＝e xx －１()２ȡ０,ʑf x ()在R 上单调递增．②当a ＞－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＜－a －３或x ＞１．ʑf x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;由f ᶄx ()＜０,解得－a －３＜x ＜１．㊀ʑf x ()在－a －３,１()上单调递减．③当a ＜－４时,由f ᶄx ()＞０,解得x ＞－a －３或x ＜１．ʑf x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增．由f ᶄx ()＜０,解得１＜x ＜－a －３．㊀ʑf x ()在１,－a －３()上单调递减．综上所述,当a ＝－４时,f x ()在R 上单调递增;当a ＞－４时,f x ()在－ɕ,－a －３(),１,＋ɕ()上单调递增;在－a －３,１()上单调递减;当a ＜－４时,f x ()在－ɕ,１(),－a －３,＋ɕ()上单调递增;在１,－a －３()上单调递减．７分(Ⅱ)ȵx ɪ０,１[],由(Ⅰ),可知①当a ɤ－４时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递增．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f ０()＝－２a －３＞e ,解得a ＜－３２－e２．而－３２－e２＞－４,ʑa ɤ－４．②当－４＜a ＜－３时,０＜－a －３＜１．ʑf x ()在０,－a －３()上单调递增,在－a －３,１()上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf ０()＝－２a －３＞e f １()＝－a －２()e ＞e{,而－３２－e２＞－３,解得－４＜a ＜－３．③当a ȡ－３时,f x ()在x ɪ０,１[]上单调递减．ȵ函数f x ()的图象恒在直线y ＝e 的上方,ʑf x ()m i n ＝f １()＝－a －２()e ＞e ,无解．综上所述,满足条件的实数a 的取值范围为－ɕ,－３()． １４分)页４共(页４第案答)文(题试考 诊三 学数。
四川省凉山州2016届高三第三次诊断性测试理数试题 含解析
四川省凉山州2016届高三第三次诊断性测试理数试题 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}(){}220,ln 10A x x xB x x =--≤=->，则AB =（ )A ．()1,2-B ．[)1,1-C ．[)1,0-D ．()1,0-【答案】C 【解析】 试题分析：{}{}(){}{}22012,ln 100A x x x x x B x x x x =--≤=-≤≤=->=<，A B =[)1,0-考点：集合的运算 2.i 为虚数单位，512iz i=+，则z =( )A ．5B ．5C ．1D ．2【答案】A 【解析】 试题分析：由题意()()()()5125252251212125i i i iz i z i i i i ⋅-+====+∴=-=++⋅-考点:复数的模，复数的运算3.已知p :“直线l 的倾斜角4πα=”；q :“直线l 的斜率1k =”，则p 是q 的（ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C考点：充要条件4.某算法的程序框图如右图所示，如果输出的结果为26,则判断框内的条件应为（ )A ．5k ≤B ．4k >C ．3k >D ．4k ≤【答案】C 【解析】试题分析：程序在运行过程中,各变量的值变化如下所示：S 条件k 循环前 0/1第1圈 1 否 2 第2圈 4 否 3 第3圈 11 否 4 第4圈 26 是可得，当4k =时，26S =．此时应该结束循环体并输出S 的值为26所以判断框应该填入的条件为：3k > 故选C ．考点：程序框图5。
下列说法中，不正确的是( ） A ．已知,,a b m R ∈,命题：“若22am bm <，则a b <”为真命题B ．命题：“200,0x R x x ∃∈->"的否定是：“2,0x R x x ∀∈-≤" C ．命题“p 或q "为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题D ．“3x >”是“2x >”的充分不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：A ．正确；B ．正确；D ，正确；C 不正确，若命题“p 或q "为真命题，则命题p 和命题q 由一个为真命题即可考点：命题的真假判定6。
成都2016级高三二诊数学题(理科)答案
a３ b３ a４ ＋b４ (a２ ＋b２ ) ２ －２a２b２ １
＋ ＝
＝
＝ －２
ab．
b a
ab
ab
ab
∵a２ ＋b２ ＝１≥２
ab,当且仅当 a＝b 时等号成立,
∴０＜ab≤
１
．
２
１
１
令 h(
t)＝ －２
t,
０＜t≤ ．
t
２
１
１
则 h(
t)在(
０, ]上单调递减 ．∴h(
１
４ 分
３
n－１
７ 分
８ 分
＋n×２ ．
n
∴２Tn ＝１×２２ ＋２×２３ ＋３×２４ ＋ ＋ (
n－１)×２n ＋n×２n＋１ ．
９ 分
∴－Tn ＝２＋２２ ＋２３ ＋２４ ＋ ＋２n －n×２n＋１
１０ 分
２(
１－２n )
＝
－n×２n＋１ ＝ (
１－n)
２n＋１ －２．
x－１(
x≥０)．则 h′ (
x)＝ex －２x－ (
e－２)．
令 u(
x)＝ex －２x－ (
e－２)．则 u′ (
x)＝ex －２．
当 x∈ [
０,
l
n２)时,
u(
x)＜０,
u(
x)单调递减;
′
当 x∈ [
l
n２,＋ ¥)时,
u′ (
x)＞０,
u(
x)单调递增 ．
′
即h (
x)在(
０,
l
n２)上单调递减,在(
二、填空题:(每小题 ５ 分,共 ２０ 分)
四川省成都市届高中班第三次诊断性检测数学试题理科12页
四川省成都市2009届高中毕业班第三次诊断性检测数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
全卷满分150分。
完成时间为120分钟。
第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试卷上。
3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表积公式： P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 一、选择题： 1．3cos 的值（ ）A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．无法确定2．已知集合a N M a N a M 则若},4{},1,2{},,1{2=⋂-==等于 （ ）A ．4B ．0或4C ．0或2D ．23．已知)tan()(),,,()1(b ax x f i R b a i i bi a +=∈-=+则函数为虚数单位的最小正周期是A ．π2B ．πC ．2π D ．14．已知等差数列5332*:,2:5:),(}{S S a a N n S n a n n 则若项和为的前=∉等于 （ ）A ．3：2B ．3：5C ．2：5D ．2：35．在标准正态总体N （0，1）中，已知9762.0)98.1(=φ，则标准正态总体在区间)98.1,98.1(-内取值的概率为（ ）A ．0.9672B ．0.9706C ．0.9412D ．0.9524 6．已知点O 为坐标原点，点P 满足2||=，则点P 到直线023=--y x 的最短距离为A ．5B ．3C ．1D ．237．若A 、B 为一对对立事件，其概率分别为y x yB P xA P +==则,1)(,4)(的最小值为（ ）A ．9B ．10C ．6D ．88．从0、1、4、5、8这5个数字中任选四个数字组成没有重复数字的四位数，在这些四位数中，不大于5104的四位数的总个数是（ ）A ．56B ．55C ．54D ．529．已知)()(),(1x f x f x f 分别是函数'-的反函数和导函数，若2ln )1()1(,log )(121f f x x f '+-=-则的值等于（ ）A ．2ln 21+B ．2C ．1D ．2ln 3+10．有下列命题：①在空间中，若B O A AOB B O OB A O OA '''∠=∠'''则,//,//；②直角梯形是平面图形；③{正四棱柱}⊆{直平行六面体}⊆{长方体}；④在四面体P —ABC 中，AC PB BC PA ⊥⊥,，则点A 在平面PBC 内的射影恰为PBC ∆的垂心，其中逆否命题为真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．设D 是由⎩⎨⎧≥≥+-00))((y y x y x 所确定的平面区域，记“平面区域D 被夹在直线])1,1[(1-∈=-=t t x x 和之间的部分的面积”为S ，则函数)(t f S =的大致图象为12．已知曲线E 的参数方程为)(cos 2sin 12为参数θθθ⎩⎨⎧=-=y x ，则下列说法正确的是（ ）A ．过点（1，0）并与曲线E 相交所得弦长为8的直线存在且有两条B ．0)3(0=-+=y m x m 是直线与曲线E 相切的充分不必要条件C ．若),(y x P 为曲线E 上的点，则22x y -的最大值为3D ．与曲线E 相交所得弦的中点为Q （2，2）的直线存在且其方程为0=-y x第Ⅱ卷注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。
【全国市级联考】四川省绵阳市2016届高三第三次诊断性考试理数试题解析(解析版)
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1z i i +=，复数z 所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】A考点：复数的代数表示及其几何意义.2.已知{{},2,1x U x y M y y x ====≥，则U C M =（ ）A ． [)1,2B ．()0,+∞C ．[)2,+∞D ．(]0,1 【答案】A 【解析】试题分析：因为{}{}1log 2≥===x x x y x U ，{}{}21,2≥=≥==y y x y y M x ，所以[)2,1=M C U ，故选项为A.考点：集合的运算.3.执行如图所示程序框图，则输出的n 为（ ）A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】D考点：程序框图.4.“0x ∃>，使a x b +<” 是“a b <” 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．即不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】试题分析：“0>∃x ，使b x a <+”⇔“b a <”，∴“0>∃x ，使b x a <+”是“b a <”成立的充要条件．故选：C ． 考点：充要条件的判定.5.已知实数[][]1,1,0,2x y ∈-∈，则点(),P x y 落在区域22021020x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，内的概率为（ ）A ．34 B ．14 C ．18 D ．38【答案】D 【解析】试题分析：不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为()231121221=+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯,则所求的概率为83，故选D.考点：（1）几何概型；（2）不等式组所表示的区域.6.甲、乙、丙、丁和戊5名同学进行数学应用知识比赛，决出第1 名至第5名（没有重名次）. 已知甲、乙均未得到第1 名，且乙不是最后一名，则5人的名次排列情况可能有（ ）A ．27种B ．48种C ．54种D ．72种 【答案】C考点：排列组合.【思路点晴】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．7.若函数()f x 同时满足以下三个性质；①()f x 的最小正周期为π；②对任意的x R ∈，都有()4f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；③()f x 在3,82ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数， 则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()cos 8f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2cos 2f x x x =-C ．()sin cos f x x x =D ．()sin 2cos 2f x x x =+ 【答案】D考点：正弦与余弦函数的性质.8.在长方体ABCD -1111A B C D 中，1,AB BC P ==、Q 分别是棱CD 、1CC 上的动点，如图, 当1BQ QD +的长度取得最小值时，二面角11B PQ D --的余弦值的取值范围为（ ）A ．10,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．⎡⎢⎣ C ．15⎡⎢⎣ D ．⎤⎥⎦【答案】B20≤≤t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,2,01B ，()1,2,21--=t B ，则平面1PDQ 的法向量为()0,0,1=，设平面PQ B 1的法向量为()z y x n ,,=，当2=t 时，二面角11D PQ B --的为直二面角，此时二面角11D PQ B --的余弦值为0，当20≤≤t 时，由1100n B Q n B P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，则()⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-0220212z y t x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-==x t y x z 2222，令2=x ，则4,22=-=z t y ，即⎪⎭⎫⎝⎛-=4,22,2t n ，设面角11D PQ B --的余弦值θcos ，则()()2224182241622cos tt-+=-++θ，因为20≤≤t ，所以()224182cos t-+=θ为减函数，则当0=t 时，函数取得最大值10102182cos =+=θ，故二面角11D PQ B --的余弦值的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡10100，,故选B.考点：二面角的平面角及求法.【思路点晴】本题主要考查二面角的求解，综合性较强，难度较大.根据1QD BQ +的长度取得最小值时，利用求出1QD BQ +的几何意义是MK MN +的距离,其中()()()2,1,2,0,0,K N x M -，得到Q 是1CC 的中点，建立坐标系求出平面的法向量,向量法求出二面角的取值范围是解决本题的关键,再结合函数的单调性进行求解即可．9.设M 、N 是拋物线24y x =上分别位于x 轴两侧的两个动点，且0OM ON = ，过点()4,0A 作MN 的垂线与拋物线交于P 、Q 两点，则四边形MPNQ 的面积的最小值为（ ）A ．80B ．100C ．120D ．160 【答案】A则3425482++=u u S 是关于u 的增函数，则当2=u 时，有最小值803450168=++=S ,故选项为A.考点：抛物线的简单性质.10.已知函数()x e f x x=，关于x 的方程()()()2210f x af x a m R -+-=∈有四个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A.211,21e e ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．21,221e e ⎛⎫- ⎪-⎝⎭ D ．21,21e e ⎛⎫-+∞ ⎪-⎝⎭【答案】D考点：根的存在性及根的个数判断.【思路点晴】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数，利用数形结合以及根与系数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．将函数()x f 表示为分段函数形式，判断函数的单调性和极值，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用一元二次函数根与系数之间的关系进行求解即可．第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每题5分，满分25分．）11.已知向量(),1a t = 与()4,b t =共线且方向相同，则t = ．【答案】2.考点：平面向量的坐标表示.12.若n⎛⎝展开式各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．【答案】540- 【解析】试题分析：若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-13的展开式中各项系数之和为642=n ，解得6=n ，则展开式的常数项为()540133336-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅x x C ，故答案为540-.考点：二次项系数的性质.13.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表所示.请根据以上数据分析，这个经营部定价在 元/桶才能获得最大利润. 【答案】5.11.考点：二次函数的应用.14.在平面直角坐标系xOy 中，点()()0,1,0,4A B 若直线20x y m -+=上存在点P ，使得12PA PB =，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】5252≤≤-m 【解析】试题分析：设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，∵PB PA 21=,∴224PB PA =,∴()()22214PA -+-=y m y ， ()()22244PB-+-=y m y ，化简可得()22416y m y -=-，故242y y m -±=，∴042≥-y ，解得[]2,2-∈y ，令⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin 2ππθθy ，则()ϕθθθ±=±=sin 52cos 4sin 2m ，其中()2tan =ϕ，故实数m 的取值范围是[]52,52-. 考点：两点间距离公式的应用.【方法点晴】本题考查了两点之间的距离公式、和差化积、三角函数的求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由于点P 在直线上，故可设⎪⎭⎫⎝⎛-y m y P ,2，因为点A 的横坐标为0，故设y ，由PB PA 21=，可得224PB PA =，利用两点之间的距离公式化为：()22416y m y -=-，可得：242y y m -±=，[]2,2-∈y ，．通过三角函数代换即可得出．15.已知函数(),0,0a x a x f x x a a x ⎧-≥⎪=⎨+-<⎪⎩，其中常数0a >，给出下列结论：①()f x 是R 上的奇函数； ②当4a ≥时，()()2f x af x -≥对任意x R ∈恒成立；③()f x 的图象关于x a =和x a =-对称；④若对()()12,2,,1x x ∀∈-∞-∃∈-∞-，使得()()121f x f x =，则1,12a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 其中正确的结论是 ．（请填上你认为所有正确结论的序号） 【答案】①②考点：(1)分段函数的图象；（2）分段函数的性质.【方法点晴】本题考查分段函数的图象，单调性，奇偶性等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，属于难题.作出()x f 的图象，由图象对各选项进行判断即可．当a x ≥时，()x a x f -=2，当a x a <<-时，()x x f =，当a x -≤时，()x a x f --=2，由图易知①正确，③错误；()2a x f y -=的图象是由()x f y =向右平移2a 个单位，故可得②正确；对于④主要需注意求()()21,x f x f 范围，考虑在0附近的值以及临界值的取舍.三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本小题满分12分）体育课上，李老师对初三（1）班50名学生进行跳绳测试，现测得他们的成绩（单位：个）全部介于20与70之间，将这些成绩数据进行分组（第一组：(]20,30，第二组： (]30,40，……，第五组：(]60,70），并绘制成如右图所示的频率分布直方图．（1）求成绩在第四组的人数和这50名同学跳绳成绩的中位数；（2）从成绩在第一组和第五组的同学中随机取出3名同学进行搭档训练，设取自第一组的人数为ξ，求ξ 的分布列及数学期望．【答案】（1）47.5；（2）分布列见解析，1=ζE .（2）据题意，第一组有250100.004=⨯⨯人，第五组有450100.008=⨯⨯人， 于是210，，=ζ，()5103634===∴C C P ζ,()531362412===C C C P ζ,()512361422===C C C P ζ， ζ∴的分布列为…………………………………………………10分1512531510=⨯+⨯+⨯=∴ζE ．…………………………………………………………………………12分考点：（1）频率分布直方图；（2）离散型随机变量及其分布列.17.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c 且满足cos csin b a C A =+． （1）求A 的大小；（2）若21cos ,5,57B BC BD BA === ，求CD 的长．【答案】（1）4π=A ；（2）52=CD .【解析】试题分析：（1）首先利用正弦定理把化为角，即原式中的条件转化为A C C A B sin sin cos sin sin +=，再根据()C A B +=sin sin ，可得A A sin cos =，即求出A 的值；（2）首先利用正弦定理解出ABC ∆，可得24=AC ，再利用余弦定理求出7=AB ，可得1=BD ，在BCD ∆利用余弦定理求出CD 即可.考点：（1）正弦定理；（2）两角和与差公式；（3）余弦定理.18.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项n S 满足()212n n a S n N *+⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭． （1）求数列{}n a 通项公式； （2）设n T 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，若1n n T a λ+≤对n N *∀∈恒成立，求实数λ的最小值．【答案】（1）12-=n a n ；（2）91. （2）()()⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-=⋅+121121*********n n n n a a n n 1212112112112151313112111113221+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++=+n n n n n a a a a a a T n n n .…………………………………8分 由题意知()1212+≤+n n nλ对*∈∀N n 恒成立， 即()212+≥n n λ对*∈∀N n 恒成立，考点：（1）数列的通项公式；（2）数列求和.【方法点晴】本题考察数列的通项公式和裂项相消法求数列的前n 项和，同时考查不等式恒成立的问题，主要利用参数分离和数列的单调性求最值，属于中档题.在（1）中利用1--=n n n S S a 时需注意分为1=n 和2≥n 两种情况，在（2）问中根据通项公式的特征，利用裂项相消求其前n 项和n T ，代入()1212+≤+n n nλ，运用参数分离得()212+≥n nλ，结合数列单调性可得解. 19.（本小题满分12分）如图，图②为图①空间图形的主视图和侧视图，其中侧视图为正方形，在图①中，设平面BEF 与平面ABCD 相关交于直线l ．（1）求证：l ⊥面CDE ；（2）在图①中，线段DE 上是石存在点M ，使得直线MC 与平面BEF ？若存 在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析；（2）存在，M 的位置在线段DE 的32处. 【解析】试题分析：（1）由图易得//AD 面BEF ，利用线面平行性质定理，得l AD //，利用线面垂直判定定理易得⊥AD 面CDE ，故可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出面BEF 的空间法向量，由此利用向量法可求得点M 的位置.设面BEF 的一个法向量()z y x ,,=，则由0=⋅,0=⋅,可得⎩⎨⎧=+-=0z y x ，令1=y ，则1=z ，()1,1,0=∴……………………………………………………………9分 设()m M ,0,0，则()m -=,2,0，55422cos 2=+⋅->=⋅<∴m m n MC ， 解得32=m 或6=m （舍）， 即存在满足点M ，此时M 的位置在线段DE 的32处（靠近E 点）. ………………………………12分考点：（1）线面垂直的判定；（2）直线与平面所成的角.20.（本小题满分13分）已知椭圆()2222:1x y E a b c a b +=>>，过焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的线段长为2． （1）求椭圆E 的方程；（2）直线1y kx =+与椭圆E 交于,A B 两点，以AB 为直径的圆与y 轴正半轴交于点C ．是否存在实数k ， 使得ABC ∆的内切圆的圆心在y 轴上？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12422=+y x ；（2）21±=k 或0=k .（2）依题意可知AC BC ⊥，且45=∠=∠ACO BCO ，于是直线BC 的斜率为1=BC k ，直线AC 的斜率为1-=AC k ，…………………………………6分 则1101-=-=x y y k AC ,1101-=-=x yy k AC ， ()011011y x k y y x +--=-=∴，()020221y x k y y x -+=-=，相加得()1221x x k x x -=+.………………………………………………………………………………8分考点：椭圆的简单性质.【方法点晴】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审 题，在第一问中利用离心率以及过焦点且与x 轴垂直的弦长求出椭圆的方程，也是在高考中常见的表达形式；在第二问中利用设而不求的思想设出C B A ,,三点的坐标，先利用内切圆的圆心在y 轴上，即等价于直角ABC 的角平分线y 轴上，得45=∠=∠ACO BCO ，转化为斜率，联立直线的方程与椭圆的方程结合维达定理，代入求解.21.（本小题满分14分）设()()()()ln ,1g x x f x g x a g x λλλ==+--⎡⎤⎣⎦，其中,a λ是正常数，且01λ<<．（1）求函数()f x 的最值；（2）对任意的正数m ，是否存在正数0x ，使不等式()0011g x m x +-<成立？并说明理由； （3）设120,0,λλ>>且121λλ+=，证明：对任意正数12,a a 都有121122a a a a λλλλ≤+．【答案】（1）()x f 有最小值()()a a f ln 1λ-=，没有最大值；（2）存在，理由见解析；（3）证明见解析.（2）对0,00>∃>∀x m ，使得()m x x g <-+110成立. 其理由如下：…………………………………5分令()()x x x h -+=1ln ，则()1+-='x x x h 显然当0≥x 时，()0≤'x h ，所以()x h 在[)∞+，0上单调递减，()()00=≤∴h x h ，即()01ln ≤-+x x ，于是可以得当0>x 时，()x x <+1ln ，则()011ln <-+xx ，故()m xx g <-+11等价于()()011ln >-++x m x .…………………………………………7分 设()()()0,0,11ln >>-++=x m x m x x ϕ 则()()11111++-=-++='x m x m m x x ϕ 当1≥m 时，()0>'x ϕ，()x ϕ在()∞+，0上单调递增， ∴对00>∀x 均有()()00=>ϕϕx 恒成立，考点：（1）利用导数研究函数的最值；（2）函数与导数的综合应用.高考一轮复习：。
成都2016级高中毕业班摸底测试
成都市2016级高中毕业班摸底测试 数学（理科）参考答案及评分意见第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.B2.A3.D4.A5.C6.B7.A8.B9.C 10.C 11.D12.A第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：（每小题5分，共20分） 13.y x 82-=；14.23； 15.81； 16.61. 三、解答题：（共70分）17．解：（Ⅰ）23)('2-+=x ax x f (1)分0213,0)1('=--∴=-a f ．解得1=a .…………3分.23)(',221)(223-+=-+=∴x x x f x x x x f.2)1(',21)1(=-=f f…………4分 ∴曲线)(x f y =在点（1，)1(f ）处的切线方程为.0524=--y x…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ），当)('x f ＝0时，解得x ＝-1或x ＝32. 当x 变化时．)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：…………8分∴)(x f 的极小值为2722)32(-=f .…………9分 又21)1(,23)1(-==-f f ，…………11分 .2722)32()(,23)1()(min max -===-=∴f x f f x f…………12分18．解：（Ⅰ） 各组数据的频率之和为1，即所有小矩形面积和为1，∴（a ＋a ＋6a ＋8a ＋3a ＋a ）×20＝1．解得a ＝0.0025. …………3分∴诵读诗词的时间的平均数为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64（分钟）…………6分（Ⅱ）由频率分布直方图，知［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数的频率之比为1:3:1.故5人中［0，20），［80，100），［100，120］内学生人数分别为1，3，1.…………8分设［0，20）,［80．100），［100，120］内的5人依次为A ，B ，C ，D ，E ，则抽取2人的所有基本事件有AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE 共10种情况. …………10分符合两同学能组成一个“Team ”的情况有AB ，AC ，AD ，AE 共4种. 故选取的两人能组成一个“Team ”的概率为52104==P . …………12分19．解：（Ⅰ）在△MAC 中， AC ＝1，CM ＝3，AM ＝2，AC 2＋CM 2＝AM 2.∴由勾股定理的逆定理，得MC ⊥AC. …………1分 又AC ⊥BM ， BM ∩CM ＝M ，∴AC ⊥平面BCM ． …………3分 ∴BC ⊥平面BCM ，∴BC ⊥AC.平面ABC ⊥平面ACD ，且平面ABC ∩平面ACD ＝AC ．BC ⊂平面ABC ， …………5分∴BC ⊥平面ACD.（Ⅱ） BC ⊥平面ACD ，∴BC ⊥C.又BC ⊥AC ，MC ⊥AC ，故以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系xy z C .…………6分∴A （1，0，0），B （0，1，0），M （0，0，3），D(-1，0，23),E(-1，1，23) ∴BM ＝（0，-1，3），MD ＝（＝1，0，3），BE ＝（-1，0，23）.设平面DBM 的法问量为m ＝（x 1，y 1，z 1）.由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00MD m BM m ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-03031111z x z y .取)1,3,3(,11=∴=m z .…………8分设平面DBM 的法向量为n ＝（x 2，y 2，z 2）由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BE n BM n ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-032032222z x z y .取)1,3,32(,12=∴=n z .…………10分147547133323,cos =⨯+⨯+⨯=⋅=∴n m n m n m . 二面角D －BM 一E 为锐二面角，故其余弦值为1475.…………12分20．解：（Ⅰ） 椭圆P 的上顶点为B （0，1），∴b ＝1.…………1分设F(c,0).).71,78(,71,71-∴-=∴=c C BF CF BF CF 点 …………2分将点C 的坐标代入12222=+b y a x 中，得.43.149149642222=∴=+a c a c …………3分又由222c b a +=，得2a ＝4.…………4分∴椭圆P 的方程为1422=+y x .…………5分（Ⅱ）由题意，知直线MN 的斜率不为0．故设直线MN 的方程为x ＝my ＋1.联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x my x ，消去x ，得032)4(22=-++my y m .048162>+=∆m .…………6分设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）. 由根与系数的关系，得43,42221221+-=+-=+m y y m m y y . …………7分 .211212121y y y y S AMN -=-⨯⨯=∴∆…………8分直线AM 的方程为)2(211--=x x y y ，直线AN 的方程为)2(222--=x x y y 令x ＝3，得)2(211--=x x y y P ，同理)2(222--=x x y y Q . )1)(1(21)1)(1()1()1(2111212221121212121122122112211---=-----=---=---=-⨯⨯=∴∆my my y y my my my y my y my y my y x y x y y y S Q P APQ …………10分故.2144442314231)()1)(1(222222222121221=+=++++-=+++-=++-=--=∆∆m m m m m m m m y y m y y m my my S S APQAMN2,42±==∴m m .∴直线l 的方程为x ＋2y －1＝0或x －2y －1＝0.…………12分21．解：（Ⅰ）1ln )('-+=a x a x f .…………1分a ≠0，∴由)('x f ＝0，得aax -=1ln ，即aa ex -=1. …………3分①若a ＞0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：②若a ＜0，当x 变化时，)(x f ，)('x f 的变化情况如下表：综上，当a ＞0时，)(x f 在),0(1aa e +上单调遍减，在),[1+∞-aa e上单调递增；…………4分当a ＜0时，)(x f 在),0(1aa e+上单调递增，在),[1+∞-aa e 上单调减.…………5分（Ⅱ） 当a ＞0时，函数)(x f 恰有两个零点x 1，x 2（0＜x 1＜x 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-021ln 021ln 222111x x ax x x ax ，即⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=22211121ln 21ln x x x a x x x a两式相减，得.22121ln2121221121x x x x x x x x x x a -=---=212121212121ln 2,0ln ,10,0x x x x x ax x x x x x x -=∴<∴<<∴<< .…………7分∴要证212177x ax x x >+，即证212121ln 2)(77x x x x x x ->+，即证2121217)(7ln 2x x x x x x +-<.即证17)1(7ln 2212121+⨯-<x x x x x x .令21x x ＝t （0＜t ＜1），则即证17)1(7ln 2+-<t t t . …………9分设17)1(7ln 2)(+--=t t t t g ，即证)(t g ＜0在t ∈（0，1）恒成立.22222)17()17(2)17(22898)17(562)('+-=++-=+-=t t t t t t t t t t g .…………10分0)('≥∴t g 在t ∈（0，1）恒成立，)(t g 在t ∈（0，1）单调递增. )(x g 在t ∈（0，1］是连续函数.∴当t ∈（0，1）时，g （t ）＜g （1）＝0.∴当a ＞0时，有212177x ax x x >+.…………12分22．解：（Ⅰ）由直线l 的参数方程消去参数，得).1(331-=-y x 化简，得直线l 的普通方程为3x －y ＋1－3＝0…………2分又将曲线C 的极坐标方程化为3cos 2222=+θρρ，.32)(222=++∴x y x∴曲线C 的直角坐标方程为1322=+y x . …………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入1322=+y x 中，得.1)231(31)211(22=+++t t 化简，得.032)331(22=+++t t ） 此时033838>+=∆.…………6分此方程的两根为直线l 与曲线C 的交点A ，B 对应的参数21,t t ，由根与系数的关系，得.32,)3322(2121=+-=+t t t t …………8分∴由直线参数的几何意义，知.33222121+=--=+=+t t t t BM AM …………10分。