2019-2020学年浙江省宁波市九校联考高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年浙江宁波市九校联考高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共10小题）. 1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（ ）
A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3] 2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．|a|+b＞0 B． C．a3﹣b3＜0 D．
4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆
C
的方程为（ ） A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16
C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16 D．（x+2）2+（y+2）2＝16 5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
6．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则
的值是（ ） A． B． C． D．
7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最
小值为（ ） A． B． C．1 D．2
9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个
零点，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D．
10．已知函数，若关于x的方程|f（x）﹣a|+|f（x）﹣a﹣1|＝1，有
且仅有三个不同的整数解，则实数a的取值范围是（ ） A． B．[0，8] C． D．
二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分） 11．已知直线l1：ax﹣y+a+1＝0，直线l2：3x+（a﹣4）y+3＝0，若l1∥l2，则实数a的值为 ．
12．设α，β∈（0，π），，则cosα＝ ，tan（α+β）
＝ ． 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣2，则数列{an}满足an＝ ，若bn＝log2a
n，数
列的前n项和为Tn，则Tn＝ ．
14．已知实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为 ．
15．过点P（0，2）的直线l与圆C：x2+y2＝32相交于M，N两点，且圆上一点Q到直线
l的距离的最大值为5，则直线l的方程是 ． 16．已知正实数x，y满足x+y＝1，则的最小值为 ．
17．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，AB边上的高为CD，且2CD＝AB，则的取值范围是 ． 三、解答题（共5小题，满分0分） 18．已知等差数列{an}的公差不为0，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{cn}满足，求数列{cn}的前n项和Tn． 19．已知函数．
（1）求函数f（x）的周期和单调递增区间； （2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围． 20．已知函数．
（1）若区间[1，6]上存在一个x0，使得|f（x0）|≥a成立，求实数a的取值范围； （2）若不等式f（ex）≥mex在x∈（﹣∞，0]上恒成立，求实数m的取值范围． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2，4），圆O：x2+y2＝4与x轴的正半轴
的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点A，B． （1）求AB的中点M的轨迹方程； （2）设点，若，求△QAB的面积．
22．已知正项数列{an}满足a1＝1，2anan+1+3an+1＝8an﹣2．
（1）试比较an与2的大小，并说明理由； （2）设数列{an}的前n项和为Sn，证明：当n∈N*时，Sn＞2n﹣5． 参考答案 一、选择题 1．设集合M＝{x|x2+x﹣6＜0}，N＝{x|1≤x≤3}，则M∩N＝（ ）
A．[1，2） B．[1，2] C．（2，3] D．[2，3] 【分析】根据已知角一元二次不等式可以求出集合M，将M，N化为区间的形式后，根据集合交集运算的定义，我们即可求出M∩N的结果． 解：∵M＝{x|x2+x﹣6＜0}＝{x|﹣3＜x＜2}＝（﹣3，2）， N＝{x|1≤x≤3}＝[1，3]， ∴M∩N＝[1，2） 故选：A． 2．直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为（ ）
A．1 B．3 C． D．
【分析】由题意利用两条平行直线直线间的距离公式，求得结果．
解：直线6x+8y﹣2＝0与6x+8y﹣3＝0间的距离为 ＝， 故选：C． 3．如果实数a，b满足：a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．|a|+b＞0 B． C．a3﹣b3＜0 D．
【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可选出答案． 解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则D不成立． 故选：D． 4．圆C是以直线l：（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0的定点为圆心，半径为4的圆，则圆
C
的方程为（ ） A．（x+2）2+（y﹣2）2＝16 B．（x﹣2）2+（y﹣2）2＝16
C．（x﹣2）2+（y+2）2＝16 D．（x+2）2+（y+2）2＝16 【分析】带有参数的直线，先整理可得恒过定点，由题意可得圆心坐标，由题意进而求出圆的方程． 解：由（2m+1）x+（m+1）y+2m＝0，可得（2x+y+2）m+（x+y）＝0，所以直线过的交点，解得：x＝﹣2，y＝2，即直线过定点（﹣2，2）， 则所求圆的方程为（x+2）2+（y﹣2）2＝16． 故选：A． 5．已知sin2θ＝﹣，则tanθ+＝（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【分析】利用同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式化简所求结合已知即可计算求解． 解：sin2θ＝﹣，
则tanθ+＝+＝＝＝＝﹣． 故选：D． 6．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若a2+a6+a10＝2π，b2b5b8＝8，则
的值是（ ） A． B． C． D．
【分析】由已知结合等差数列与等比数列的性质求得a6与b5的值，进一步求得，则答案可求． 解：在等差数列{an}中，由a2+a6+a10＝2π，得3a6＝2π，即； 在等比数列{bn}中，由b2b5b8＝8，得，即b5＝2．
∴． ∴＝sin． 故选：C． 7．在△ABC中，若sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【分析】由题意利用两角和与差的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式，结合sinA≠0，sinC≠0，可得cosB＝0，结合范围B∈（0，π），可求B为直角，即可判断三角形的形状． 解：∵sin（B+C）sin（B﹣C）＝sin2A， ∴sinAsin（B﹣C）＝sin2A， ∵A为三角形内角，sinA≠0， ∴sin（B﹣C）＝sinA， ∴sinBcosC﹣cosBsinC＝sinBcosC+cosBsinC， ∴2cosBsinC＝0， ∵C为三角形内角，sinC≠0， ∴可得cosB＝0， ∵B∈（0，π）， ∴B＝，△ABC是直角三角形． 故选：C． 8．已知圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0的公共弦过点（a，b），则4a2+b2的最
小值为（ ） A． B． C．1 D．2 【分析】根据题意，求出两圆的公共弦的方程，分析可得2a+b＝1，变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1，结合基本不等式的性质可得（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1，变形即可得
答案． 解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1和圆C2：x2+y2﹣2x﹣y＝0，则两圆的公共弦的方程为2x+y＝1，
又由两圆的公共弦过点（a，b），则有2a+b＝1， 变形可得：（2a+b）2＝4a2+b2+4ab＝1， 又由4a2+b2≥2＝4ab，则有（4a2+b2）+（4a2+b2）≥1， 即有4a2+b2≥，当且仅当2a＝b时等号成立， 即4a2+b2的最小值为； 故选：B．
9．已知函数，若函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣1恰有三个
零点，则实数k的取值范围为（ ） A． B． C． D．
【分析】作出函数y＝f（x）的图象，则函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点，考查直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时以及直线y＝kx+1过点（4，0）时，对应的k值，数形结合可得出实数k的取值范围． 解：当2＜x＜4时，y＝，则y≤0，等式两边平方得y2＝﹣x2+6x﹣8， 整理得（x﹣3）2+y2＝1， 所以曲线y＝表示圆（x﹣3）2+y2＝1的下半圆，如下图所示，
由题意可知，函数y＝g（x）有三个不同的零点，等价于直线y＝kx+1与曲线y＝f（x）的图象有三个不同交点， 直线y＝kx+1过定点P（0，1）， 当直线y＝kx+1过点A（4，0）时，则4k+1＝0，可得k＝； 当直线y＝kx+1与圆（x﹣3）2+y2＝1相切，且切点位于第三象限时，k＜0，
此时，解得k＝．
【精准解析】浙江省A9协作体2019-2020学年高一下学期期中联考数学试题析
- 1 - 浙江省A9协作体2019学年第二学期期中联考 高一数学试题 考生须知： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4.考试结束后，只需上交答题卷. 选择题部分 一、选择题：（共40分，每个小题仅有一个正确选项） 1.sin600tan240的值是（ ）
A. 32 B. 32 C. 132 D. 132 【答案】B 【解析】
【分析】 由题意结合诱导公式求解三角函数式的值即可. 【详解】由诱导公式得sin600tan240sin180360tan18060
sin60tan6033322.
故选B. 【点睛】本题主要考查诱导公式及其应用，特殊角的三角函数值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2.若na是等比数列，其公比是q，且546,,aaa成等差数列，则q等于( ) A. －1或2 B. 1或－2 C. 1或2 D. －1或－2 【答案】A 【解析】 分析：由546,,aaa成等差数列可得5642aaa，化简可得120qq，解方程求得q的值. - 2 -
详解：546,,aaa成等差数列， 所以5642aaa， 24442aqaqa
，
220qq，
120qq，
1q或2，故选A.
点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,nnaqnaS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.
3.已知sin(α＋45°)＝55，则sin2α等于( ) A. －45 B. －35 C. 3 5 D. 4 5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省宁波市九校高一上学期期末联考数学试题一、单选题1．已知集合{}0A x x =>,集合{}16B x x =-<≤,则A B =I ( )A ．()10-， B ．(]06， C ．()06， D ．(]16-， 【答案】B【解析】进行交集的运算即可. 【详解】解：∵{}0A x x =>，{}16B x x =-<≤，∴(]06A B =I ，. 故选：B. 【点睛】本题考查交集的定义及运算，属于基础题. 2．函数tan 43y x x ππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的值域是( )A ．()11-，B ．33⎛ ⎝⎭-1， C ．(3-， D ．13⎡-⎣，【答案】C【解析】先判断出函数tan y x =在,43ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可. 【详解】解：因为函数tan y x =在,43ππ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递增， 且tan3,tan 134ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 则所求的函数的值域是(3-，. 故选：C. 【点睛】本题考查正切函数的单调性，以及特殊角的正切值，属于基础题. 3．已知∈，x y R ,且0x y >>,则( )A ．110x y-> B ．cos cos 0x y ->C ．11022xy⎛⎫⎛⎫-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．ln ln 0x y +>【答案】C【解析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论. 【详解】解：0x y >>，则11x y <，即110x y->，故A 错误； 函数cos y x =在()0,∞+上不是单调函数，故cos cos 0x y ->不一定成立，故B 错误；函数12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上是单调减函数，则1122x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当11,x y e==时，ln ln 10x y +=-<，故D 错误. 故选：C. 【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.4．已知向量3122a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，,2b =r ,且3a b ⋅=r r 则a r 与b r的夹角为( ) A ．6πB ．2π C ．4π D ．3π 【答案】A【解析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围. 【详解】解：设a r 与b r的夹角为θ,3122a ⎫=⎪⎪⎝⎭r Q ，， 1a ∴=r,3||||cos 3cos 2a b a b θθ∴⋅=⨯=⇒=r r r r, [0,]θπ∈Q , 6πθ∴=.故选：A. 【点睛】本题考查向量的数量积及其夹角，是基础题.5．已知半径为2的扇形AOB 中,»AB 的长为3π,扇形的面积为ω,圆心角AOB 的大小为ϕ弧度,函数()sin h x x x πϕω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,则下列结论正确的是( )A ．函数()h x 是奇函数B ．函数()h x 在区间[]20π-，上是增函数 C ．函数()h x 图象关于()30π，对称 D ．函数()h x 图象关于直线3x π=-对称【答案】D【解析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和ϕ，并代入函数()h x 的解析式，整理得1()cos 3h x x =-，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可. 【详解】解：∵扇形弧长¶323,2AB ϕπϕπ==∴=， 又∵扇形面积13232ωππ=⋅⋅=， 31()sin sin cos 323h x x x x ππϕπωπ⎛⎫⎛⎫∴=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A 选项，函数()h x 为偶函数，即A 错误； 对于B 选项，令1[2,2],3x k k k Z πππ∈+∈，则[6,36],x k k k Z πππ∈+∈， 而[2,0][6,36],k k k Z ππππ-+∈Ú，即B 错误； 对于C 选项，令1,32x k k Z ππ=+∈，则33,2x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称中心为33,0,2k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即C 错误； 对于D 选项，令1,3x k k Z π=∈，则3,k x k Z π=∈，∴函数的对称轴为3,k x k Z π=∈，当1k =-时，有3x π=-，即D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了扇形的弧长和面积公式，余弦函数的奇偶性、单调性和对称性，属于基础题. 6．已知7log 2a =，0.7log 0.2b =，0.20.7c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】771log 2log 72<= ，0.70.7log 0.2log 0.71>=，0.20.70.71<<，再比较,,a b c 的大小.【详解】71log 22a =<，0.70.7log 0.2log 0.71b =>=，0.20.70.71c <=<，a c b <<，故选A. 【点睛】本题考查了指对数比较大小，属于简单题型，同底的对数，指数可利用单调性比较大小，同指数不同底数，按照幂函数的单调性比较大小，或是和中间值比较大小.7．已知4个函数:①sin y x x =;②cos y x x =;③2=x x y e;④4cos xy x e =-的图象如图所示,但是图象顺序被打乱,则按照图象从左到右的顺序,对应的函数序号正确的为( )A ．①④②③B ．③②④①C ．①④③②D ．③①④②【答案】B【解析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可. 【详解】解：①sin y x x =是奇函数，图象关于原点对称；当0x >时，0y ≥恒成立； ②cos y x x =是奇函数，图象关于原点对称；③2=x x y e为非奇非偶函数，图象关于原点和y 轴不对称，且0y ≥恒成立；④4cos x y x e =-是偶函数，图象关于y 轴对称；则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②. 即对应函数序号为③②④①. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性是解决本题的关键，难度不大.8．在ABC V 中,102BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，,则ABC V 为( ) A ．直角三角形 B ．三边均不相等的三角形 C ．等边三角形 D ．等腰非等边三角形【答案】C【解析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A C =，第二个条件得到B 即可求出结论. 【详解】解：因为在ABC V 中，,,(0,)A B C π∈10,2||||||||BA AC AC BC BC BA AB BC BC BA ⋅⋅+=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， ||||cos ||||cos 0||cos ||cos 0||||AB AC A CA CB CCA A AC C AB BC -⨯⨯⨯⨯∴+=⇒-=u u u u r u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r cos cos A C A C ∴=⇒=，11||||cos ||||cos 223BC BA BC BA B BC BA B B π⋅=⨯⨯=⨯⇒=⇒=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，∴ABC V 为等边三角形. 故选：C. 【点睛】本题考查了数量积运算性质以及特殊角的三角函数值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9．若()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2xyy x--+<+,则( )A ．0x y +<B ．0x y +>C ．0x y -<D ．0x y ->【答案】A【解析】令，然后结合函数的单调性即可判断. 【详解】解：结合已知不等式的特点，考虑构造函数,令()()22()log 2019log 2020x xf x -=-，则易得()f x 在R 上单调递增，()()()()2202022020log 2019log 2log 2019log 2yxy x--+<-Q ，()()()()2222log 2019log 2020log 2019log 2020x x y y--∴-<-，即()()f x f y <-，所以x y <-， 故0x y +<. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较大小，解题的关键是由已知不等式的特点构造函数.10．设函数()()(]()1222112f x x f x x x ⎧+∈-∞-⎪=⎨⎪+-∈-+∞⎩，，，，,则方程()()21610f x x x ++-=根的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可. 【详解】解：方程()()21610f x x x ++-=根的个数等价于函数()f x 与函数()21()116g x x x =-+-的交点个数， 画出两个函数的大致图象，如图所示：1(0)(0)016g f =>=Q ， ∴在(0,)+∞内有1个交点，191(5)(5)164g f -=-<-=-Q ，51(3)(3)162g f -=->-=-， 11(2)(2)0,(1)(1)1616g f g f -=-<-=-=>-，∴两个函数在(,0)-∞内有3个交点，综上所述，函数()f x 与函数()g x 共有4个交点， 所以方程()()21610f x x x ++-=根的个数是4个，故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的关系，关键是要画出函数图像，并且确定关键点的高低，是一道难度较大的题目.二、填空题11．已知函数()()1lg 311x f x x x+=+-,则()0f =____________函数定义域是____________.【答案】2 113⎛⎫- ⎪⎝⎭，【解析】直接在函数解析式中取0x =求得()0f ；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域. 【详解】解：由()()1lg 311x f x x x +=++-，得(0)lg121f ==；由10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得113-<<x ，∴函数定义域是113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 故答案为：2；113⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题.12．已知12e e u r u u r ，是单位向量,12e e ⊥u r u u r ,122AB e e =+u u ur u r u u r ,123BC e e =-+u u u r u r u u r ,12CD e e λ=-u u u r u r u u r ,若AB CD ⊥uu u r uu u r,则实数λ=____________;若A B D ，，三点共线,则实数λ=____________.【答案】125 【解析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解. 【详解】解：由已知可得1212(2)()210AB CD e e e e λλ⋅=+⋅-=-=u u u r u u u r u r u u r u r u u r，解得实数12λ=； ∵A B D ，，三点共线，又()12122,12AB e e BD BC CD e e λ=+=+=-+u u u r u r u u r u u u r u u u r u u u r u r u u r ，2112λ∴=- 解得实数5λ=. 故答案为：12；5. 【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量垂直和向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.13．己知函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3.则a =___________()f x 的对称中心为____________.【答案】13 31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，， 【解析】根据正切的周期求出a ，利用整体法求出对称中心即可.【详解】解：函数()()2tan 06f x a x a ππ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3， 则3a ππ=，得13a =， 所以函数1()2tan 36f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由11,362x k k Z πππ+=∈， 得3122x k =-，k Z ∈， 故对称中心为31022k k Z ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，，. 故答案为：13；31022k k Z ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，. 【点睛】考查正切函数的周期，正切函数的对称性，基础题. 14．已知a b R ∈，,定义运算“⊗”:a a ba b b a b ≥⎧⊗⎨<⎩，，,设函数()()()2221log x f x x =⊗-⊗,()02x ∈，,则()1f =___________;()f x 的值域为__________.【答案】1 [)13，【解析】由所给的函数定义求出分段函数()f x 的解析式，进而求出结果. 【详解】解：由题意1(0,1]()?21(1,2)xx f x x ∈⎧=⎨-∈⎩ 所以(1)1,f =当(1,2)x ∈时，()f x 是单调递增函数，则()(1,3)f x ∈，则()f x 的值域为[)13，. 故答案分别为：1；[)13，.【点睛】考查分段函数的解析式及函数的值域，属于基础题.15．已知函数()()29af x m x =-为幂函数,且其图象过点(33，,则函数()()2log 6a g x x mx =-+的单调递增区间为___________.【答案】()2-∞，【解析】根据函数()f x 是幂函数求出m 的值，再根据()f x 的图象过点(33，，求出a 的值；由此得出函数()g x 的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出()g x 的单调递增区间. 【详解】解：函数函数()()29af x m x =-为幂函数，291m -=，解得5m =，且其图象过点(33，， 所以33a =，解得12a =， 所以函数()()2log 6a g x x mx =-+即函数()()212log 56g x x x =-+， 令2560x x -+>，解得2x <或3x >,所以函数()g x 的单调递增区间为()2-∞，. 故答案为：()2-∞，. 【点睛】本题考查了函数的定义与性质的应用问题，复合函数的单调性的判断，是基础题.16．已知a b c r r r ，，，是平面向量,且2c =r ,若24a c b c ⋅=⋅=r r r r，,则a b +r r 的取值范围是__________.【答案】[)3+∞，【解析】先根据()6a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=r r r r r r r得到cos 3a b θ⨯=+r r ；进而表示出a b+r r 即可求解. 【详解】解：设a b +r r 与c r 的夹角为θ，()6||||cos a b c a c b c a b c θ+⋅=⋅+⋅==+⨯⨯r r r r r r r r r rQ ， ||cos 3a b θ∴+⨯=rr ，0cos 1θ∴<≤，3||3cos a b θ+=≥r r . 故答案为：[3,)+∞. 【点睛】本题主要考察平面向量的数量积以及三角函数的性质应用，属于基础题.17．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________. 【答案】6【解析】由题意可得()()sin 52g x f x x x -=++，由正弦函数和一次函数的单调性可得()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n . 【详解】解：函数()25=--f x x ，()sin g x x =，可得()()sin 52g x f x x x -=++， 由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得sin ,5y x y x ==递增， 则()()2sin 5g x f x x x --=+的范围是50,12π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++++=++++……，即为()()()()(()()()112211)n n n n g x f x g x f x g x f x g x f x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋯+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即()()()112211sin 5sin 5sin 52(1)sin 52n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=++， 即()()(112211sin 5sin 5sin 5)2(2)sin 5n n n n x x x x x x n x x --++++⋯+++-=+， 由5sin 50,12n n x x π⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，可得52(2)12n π-≤+，即5524n π≤+，而55(6,7)24π+∈， 可得n 的最大值为6. 故答案为：6. 【点睛】本题考查函数的单调性和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题.三、解答题18．已知向量()()()sin 1cos 10a x b x c m =-=r r r ，，=，，，,其中04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. (1)若的35a b ⋅=-r r ,求tan x 的值;(2)若a c +r r 与a c -r r垂直,求实数m 的取值范围.【答案】(1)12;(2) 6611⎡⎤⎡-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【解析】(1)根据平面向量的数量积列方程求出tan x 的值，再根据x 的范围确定tan x 的值；(2)根据平面向量的数量积和模长公式求出m 的解析式，再求m 的取值范围. 【详解】(1)因为3sin cos 15a b x x ⋅=⋅-=-r r ,即2sin cos 5x x ⋅=,所以222sin cos tan 2sin cos tan 15x x x x x x ⋅==++, 所以22tan 5tan 20x x -+=,即tan 2x =或1tan 2x =. 因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以[]tan 01x ∈，,即1tan 2x =； (2)因为a c +r r 与a c -r r垂直, ()()220a c a c a c ∴+⋅-=-=r r r r r r ，a c ∴=r r ,所以221sin m x =+,因为04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，,所以2231sin 12m x ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，, 即6611m ⎡⎤⎡∈-⋃⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，. 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是中档题.19．已知集合()(){}()31121A x y x x B a a ==+-=-+，，,()(){}110C x x m x m m R =--++≤∈，.(1)若()R A B =∅I ð,求a 的取值范围; (2)若A C C =I ,求m 的取值范围. 【答案】(1)20a -<≤;(2)20m -≤≤【解析】（1）可以求出[]31A =-，，从而可得出A R ð，根据()R A B =∅I ð得121a a -<+，并且13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解出a 的范围即可； （2）根据A C C =I 即可得出C A ⊆，然后可讨论1m +与1m --大小关系，从而得出集合C ，根据C A ⊆即可得出m 的范围. 【详解】 (1)因为()(){}[]3131A x y x x ==+-=-，,所以()()31,R A =-∞-+∞U ，ð, 因为()121B a a =-+，,即121a a -<+.即2a >-, 由()R A B =∅I ð得,13211a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得20a -≤≤, 所以20a -<≤；(2)因为A C C =I ,即C A ⊆,[]()(){}31|110A C x x m x m =-=--++≤，，,①11m m +≤--时,即1m ≤-时,{}11C x m x m m R =+≤≤--∈，,C A ⊆,所以1311m m +≥-⎧⎨--≤⎩,解得2m -≤,所以21m -≤≤-. ②11m m +>--时,即1m >-时,{}11C x m x m m R =--≤≤+∈，, C A ⊆,所以1113m m +≤⎧⎨--≥-⎩,解得0m ≤,所以10m -<≤. 综上所述:20m -≤≤. 【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，补集、交集的定义及运算，子集的定义，分类讨论的思想，考查了计算能力，属于基础题. 20．已知()f x 为偶函数,当0x ≥时,()()2lg 1f x x =+. (1)求()f x 的解析式;(2)若对于任意的()0x ∈-∞，,关于x 的不等式()()lg kx f x <恒成立,求k 的取值范围. 【答案】(1)()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，;(2)40k -<<.【解析】（1）设0x <，则0x ->，()()()2lg 1f x f x x =-=-+，再求出()f x 的解析式；（2）当0x <时，因为0kx >，所以k 0<，结合分离参数法求出k 的范围. 【详解】(1)设0x <,则0x ->,()()()2lg 1f x f x x =-=-+,所以()()()2lg 102lg 10x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨+≥⎪⎩，，；(2)当0x <时,因为0kx >,所以k 0<,所以()()lg 2lg 1kx x <-+,即()()2lg lg 1kx x <-+,即()21kx x <-+.因为0x <,所以()2112x k x xx-+>=+-恒成立,当0x <时,11224x x x x+-≤-⋅=-最大值为-4,所以4k >-, 所以40k -<<. 【点睛】本题考查分段函数求解析式，函数求含参恒成立问题，转化为最值问题即可，中档题. 21．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭,()()sin 002g x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭，，的部分图象如图所示.(1)求()g x 的解析式,并说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象;(2)若对于任意的46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,不等式()2f x m -<恒成立,求实数m 的取值范围. 【答案】(1)()1sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,变换见解析;(2)312⎛- ⎝⎭，. 【解析】（1）先根据图象求出()g x 的解析式；再结合图象变化规律说明()f x 的图象怎样经过2次变换得到()g x 的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出()f x 的范围；再结合恒成立问题即可求解. 【详解】(1)由图得112A ω==，, 因为203π⎛⎫- ⎪⎝⎭，为函数递增区间上的零点, 所以21232k k Z πϕπ-⋅+=∈，,即23k k Z πϕπ=+∈，. 因为2πϕ<,所以3πϕ=,即()1sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移3π个单位长度可得()g x ； (2)因为46x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，,所以2632x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，,所以当263x ππ+=-时,()f x 取最小值3,当262x ππ+=时,()f x 取最大值1,因为()2f x m -<恒成立,即()22m f x m -+<<+恒成立,所以3212m m ⎧-+<⎪⎨⎪<+⎩即312m ⎛∈- ⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，诱导公式，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，以及恒成立问题，属于中档题.22．在函数定义域内,若存在区间[]m n ，,使得函数值域为[]m k n k ++，,则称此函数为“k 档类正方形函数”,已知函数()()3log 29132xxf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦.(1)当0k =时,求函数()y f x =的值域;(2)若函数()y f x =的最大值是1,求实数k 的值;(3)当0x >时,是否存在()01k ∈，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”?若存在,求出实数k 的取值范围,若不存在,请说明理由.【答案】(1)()3log 2+∞，;(2)1k =或17k =-;(3)存在,207k <<.【解析】（1）根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数()y f x =的值域； （2）利用换元法设30x t t =>，，然后对参数k 进行分类讨论，分0k ≥和k 0<两种情况进行讨论函数()g t 的最大值，根据最大值取得的情况计算出k 的取值； （3）继续利用换元法设30x t t =>，，设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++，根据二次函数的性质可得()f x 在()1+∞，上为增函数，则()()()()min max f x f m f x f n ==，，将问题转化为方程()3log 291321x xk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据>0∆，及韦达定理可计算出实数k 的取值范围. 【详解】(1)0k =时,()()3log 32xf x =+,因为322x +>.所以()()33log 32log 2xf x =+>,所以函数()y f x =的值域为()3log 2+∞，(2)设30x t t =>，,则()()23log 212f t k t k t k ⎡⎤=⋅--++⎣⎦,若0k ≥,则函数()()2212g t k t k t k =⋅--++无最大值,即()f t 无最大值,不合题意;故k 0<,因此()()2212g t k t k t k =⋅--++最大值在104k t k-=>时取到, 且114k f k -⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以()211212344k k k k k k k --⎛⎫--++= ⎪⎝⎭, 解得1k =或17k =-, 由k 0<,所以17k =-. (3)因为01k <<时,设()31xt t =>.设真数为()()2212g t k t k t k =⋅--++. 此时对称轴104k t k-=<, 所以当1t >时,()g t 为增函数,且()()1230g t g k >=+>,即()f x 在()1+∞，上为增函数. 所以,()()()()min max 11f x f m m f x f n n ==+==+，, 即方程()3log 291321xxk k k x ⎡⎤⋅--++=+⎣⎦在()0+∞，上有两个不同实根, 即()1291323xxx k k k -⋅--++=,设()31xt t =>.所以()22123k t k t k t ⋅--++=.即方程()22220k t k t k ⋅-+++=有两个大于l 的不等实根,因为01k <<,所以()()()228202142220k k k k kk k k ⎧∆=+-+>⎪+⎪>⎨⎪-+++>⎪⎩, 解得207k <<, 即存在m n ，,使得函数()f x 为“1档类正方形函数”,且207k <<. 【点睛】本题主要考查函数的值域问题，最值问题，考查了换元法的应用，分类讨论思想和转化思想的应用，不等式的计算能力，本题属综合性较强的中档题.。
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞04．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞010．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝，函数定义域是．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为．14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝，f（x）的值域为．15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是．17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＞0}，集合B＝{x|﹣1＜x≤6}，则A∩B＝（）A．（﹣1，0）B．（0，6] C．（0，6）D．（﹣1，6] 【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x＞0}，B＝{x|﹣1＜x≤6}，∴A∩B＝（0，6]．故选：B．2．函数的值域是（）A．（﹣1，1）B．C．D．【分析】先判断出函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，分别求出特殊值，再写出函数的值域即可．解：因为函数y＝tan x在（﹣，）单调递增，且tan＝；tan（﹣）＝﹣1，则所求的函数的值域是（﹣1，），故选：C．3．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（）A．B．cos x﹣cos y＞0C．D．lnx+lny＞0【分析】利用不等式的基本性质、函数的单调性即可判断出结论．解：x＞y＞0，则﹣＞0，cos x﹣cos y＞0，lnx+lny＞0不一定成立，而﹣＜0一定成立．故选：C．4．已知向量，，且．则与的夹角为（）A．B．C．D．【分析】分别求出向量的模长，代入向量的数量积即可求解，注意夹角的范围．解：设与的夹角为θ；因为，所以||＝1；∴＝||×||cosθ＝?cosθ＝；∵θ∈[0，π]；∴θ＝；故选：A．5．已知半径为2的扇形AOB中，的长为3π，扇形的面积为ω，圆心角AOB的大小为φ弧度，函数h（x）＝sin（x+φ），则下列结论正确的是（）A．函数h（x）是奇函数B．函数h（x）在区间[﹣2π，0]上是增函数C．函数h（x）图象关于（3π，0）对称D．函数h（x）图象关于直线x＝﹣3π对称【分析】先通过扇形的弧长和面积公式表示出ω和φ，并代入函数h（x）的解析式，整理得，再结合余弦函数的图象与性质逐一判断每个选项的正误即可．解：∵扇形弧长＝2φ＝3π，∴φ＝，又∵扇形面积ω＝∴h（x）＝sin（x+φ）＝，对于A选项，函数h（x）为偶函数，即A错误；对于B选项，令，则x∈[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，而[﹣2π，0]?[6kπ，3π+6kπ]，k∈Z，即B错误；对于C选项，令，则，∴函数的对称中心为，即C错误；对于D选项，令，则x＝3kπ，k∈Z，∴函数的对称轴为x＝3kπ，k∈Z，当k＝﹣1时，有x＝﹣3π，即D正确．故选：D．6．已知a＝log72，b＝log0.70.2，c＝0.70.2，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．c＜a＜b D．a＜c＜b【分析】本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a、b、c与中间值进行比较即可得到结果．解：由题意，∵2＝＜，∴a＝log72＜log7＝；b＝log0.70.2＞log0.70.7＝1，＜0.7＜c＝0.70.2＜1，∴a＜c＜b，故选：D．7．已知4个函数：①y＝x|sin x|；②y＝x cos|x|；③；④y＝4cos x﹣e|x|的图象如图所示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为（）A．①④②③B．③②④①C．①④③②D．③①④②【分析】分别判断函数的奇偶性，对称性，利用函数值的特点进行判断即可．解：①y＝x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称；当x＞0时，y≥0恒成立，②y＝x cos|x|＝x cos x是奇函数，图象关于原点对称；③为非奇非偶函数，图象关于原点和y轴不对称，且y≥0恒成立，④y＝4cos x﹣e|x|是偶函数，图象关于y轴对称，则第一个图象为③，第三个图象为④，第四个图象为①，第二个图象为②即对应函数序号为③②④①，故选：B．8．在△ABC中，，则△ABC为（）A．直角三角形B．三边均不相等的三角形C．等边三角形D．等腰非等边三角形【分析】直接代入数量积的计算公式第一个条件求出A＝C；第二个条件得到B即可求出结论解：因为在△ABC中，A，B，C∈（0，π），∴+＝0?||cos A﹣||coC＝0?cos A＝cos C?A＝C；∵?＝||×||×cos B＝||×||?cos B＝?B＝；∴△ABC为等边三角形；故选：C．9．若（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，则（）A．x+y＜0 B．x+y＞0 C．x﹣y＜0 D．x﹣y＞0【分析】令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，然后结合函数的单调性即可判断．解：令f（x）＝﹣（log22020）﹣x，则易得f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，结合已知不等式的特点，考虑构造函数∵（log22019）x+（log20202）﹣y＜（log22019）﹣y+（log20202）x，∴（log22019）x﹣（log22020）﹣x＜（log22019）﹣y﹣（log22020）y，即f（x）＜f（﹣y），所以x＜﹣y，故x+y＜0．故选：A．10．设函数，则方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，观察交点个数即可．解：方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数等价于函数f（x）与函数g（x）＝﹣的交点个数，画出两个函数的大致图象，如图所示：，∵，∴在（0，+∞）内有1个交点，∵，∴两个函数在（﹣∞，0]内有3个交点，综上所述，函数f（x）与函数g（x）共有4个交点，所以方程16f（x）+（x2+x﹣1）＝0根的个数是4个，故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．已知函数，则f（0）＝ 2 ，函数定义域是．【分析】直接在函数解析式中取x＝0求得f（0）；由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解函数定义域．解：由，得f（0）＝；由，解得﹣．∴函数定义域是（﹣，1）．故答案为：2，（﹣，1）．12．已知是单位向量，，，，，若，则实数λ＝；若A，B，D三点共线，则实数λ＝﹣．【分析】利用向量垂直和向量平行的性质直接求解．解：∵是单位向量，，，，，，∴＝（）?（）＝2λ﹣1＝0，解得实数λ＝．∵A，B，D三点共线，＝，，解得实数λ＝﹣．故答案为：．13．己知函数的最小正周期是3．则a＝，f（x）的对称中心为（，0），k∈Z ．【分析】根据正切的周期求出a，利用整体法求出对称中心即可．解：函数的最小正周期是3，则3＝，得a＝，所以函数f（x）＝2tan（），由，k∈Z，得x＝，故对称中心为（，0），k∈Z14．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），则f（1）＝ 1 ，f（x）的值域为[1，3）．【分析】由所给的函数定义求出分段函数f（x）的解析式，进而求出结果．解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f（x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）15．已知函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为（﹣∞，2）．【分析】根据函数f（x）是幂函数求出m的值，再根据f（x）的图象过点，求出a的值；由此得出函数g（x）的解析式，根据复合函数的单调性：同增异减，求出g（x）的单调递增区间．解：函数函数f（x）＝（2m﹣9）x a为幂函数，2m﹣9＝1，解得m＝5，且其图象过点，所以3a＝，解得a＝，所以函数即函数g（x）＝，令x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3；所以函数g（x）的单调递增区间为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．16．已知，是平面向量，且，若，则的取值范围是[3，+∞）．【分析】先根据（）?＝+?＝6得到×cosθ＝3；进而表示出即可求解解：设（）与的夹角为θ；∵（）?＝+?＝6＝×||×cosθ；∴×cosθ＝3；∴0＜cosθ≤1＝≥3；故答案为：[3，+∞）17．函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，若，使得f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），则正整数n的最大值为 6 ．【分析】由题意可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由正弦函数和一次函数的单调性可得g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，将已知等式整理变形，结合不等式的性质，可得所求最大值n．解：函数f（x）＝﹣2﹣5x，g（x）＝sin x，可得g（x）﹣f（x）＝sin x+5x+2，由x∈[0，]，可得y＝sin x，y＝5x递增，则g（x）﹣f（x）﹣2＝sin x+5x的范围是[0，1+]，f（x1）+f（x2）+…+f（x n﹣1）+g（x n）＝g（x1）+g（x2）+…+g（x n﹣1）+f（x n），即为[g（x1）﹣f（x1）]+[g（x2）﹣f（x2）]+…+[g（x n﹣1）﹣f（x n﹣1）]＝g（x n）﹣f （x n），即为（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣1）＝sin x n+5x n+2，即（sin x1+5x1）+（sin x2+5x2）+…+（sin x n﹣1+5x n﹣1）+2（n﹣2）＝sin x n+5x n，由sin x n+5x n∈[0，1+]，可得2（n﹣2）≤1+，即n≤+，而+∈（6，7），可得n的最大值为6，故答案为：6．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．已知向量，其中．（1）若的，求tan x的值；（2）若与垂直，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据平面向量的数量积列方程求出tan x的值，再根据x的范围确定tan x 的值；（2）根据平面向量的数量积和模长公式求出m的解析式，再求m的取值范围．解：（1）因为，即，所以，所以2tan2x﹣5tan x+2＝0，解得tan x＝2或．因为，所以tan x∈[0，1]，即．（2）因为与垂直，所以，所以m2＝1+sin2x，因为，所以，解得m的取值范围是．19．已知集合．C＝{x|（x﹣m﹣1）（x+m+1）≤0，m∈R}（1）若（?R A）∩B＝?，求a的取值范围；（2）若A∩C＝C，求m的取值范围．【分析】（1）可以求出A＝{x|﹣3≤x≤1}，从而得出?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），根据（?R A）∩B＝?可讨论B是否为空集：B＝?时，a﹣1≥2a+1；B≠?时，，解出a的范围即可；（2）根据A∩C＝C即可得出C?A，然后可讨论m+1与﹣（m+1）的大小关系，从而得出集合C，根据C?A即可得出m的范围．解：（1）A＝{x|（x+3）（1﹣x）≥0}＝{x|﹣3≤x≤1}，B＝（a﹣1，2a+1），∴?R A＝（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），且（?R A）∩B＝?，∴①B＝?时，a﹣1≥2a+1，解得a≤﹣2；②B≠?时，，解得﹣2＜a≤0，∴a的取值范围为（﹣∞，0]；（2）∵A∩C＝C，∴C?A，∴①m+1＞﹣（m+1），即m＞﹣1时，C＝（﹣（m+1），m+1），∴，解得﹣1＜m≤0；②m+1＜﹣（m+1），即m＜﹣1时，C＝（m+1，﹣（m+1）），∴，解得﹣2≤m＜﹣1；③m+1＝﹣（m+1），即m＝﹣1时，C＝{0}，满足C?A，∴综上得，m的取值范围为[﹣2，0]．20．已知f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）＝2lg（x+1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若对于任意的x∈（﹣∞，0），关于x的不等式lg（kx）＜f（x）恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），再求出f（x）的解析式；（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，结合分离参数法求出k的范围．解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，f（x）＝f（﹣x）＝2lg（﹣x+1），所以，（2）当x＜0时，因为kx＞0，所以k＜0，所以lg（kx）＜2lg（﹣x+1），即lg（kx）＜lg（﹣x+1）2，即kx＜（﹣x+1）2．因为x＜0，所以恒成立，因为x＜0时，最大值为﹣4，所以﹣4＜k，所以﹣4＜k＜0．21．已知函数f（x）＝sin（2x+），g（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求g（x）的解析式，并说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）若对于任意的，不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）现根据图象求出g（x）的解析式；再结合图象变化规律说明f（x）的图象怎样经过2次变换得到g（x）的图象；（2）先结合正弦函数的性质求出f（x）的范围；再结合恒成立问题即可求解．解：（1）由图得，因为为函数递增区间上的零点，所以，即．因为，所以，即，图象变换：将函数f（x）＝sin（2x+）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）得到y＝sin（x+），再将所得图象向左平移个单位长度得到的图象；（2）因为，所以，所以当时，f（x）取最小值，当时，f（x）取最大值1，因为|f（x）﹣m|＜2恒成立，即﹣2+m＜f（x）＜2+m恒成立，所以，即．22．在函数定义域内，若存在区间[m，n]，使得函数值域为[m+k，n+k]，则称此函数为“k 档类正方形函数”，已知函数f（x）＝log3[2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2]．（1）当k＝0时，求函数y＝f（x）的值域；（2）若函数y＝f（x）的最大值是1，求实数k的值；（3）当x＞0时，是否存在k∈（0，1），使得函数f（x）为“1档类正方形函数”？若存在，求出实数k的取值范围，若不存在，请说明理由．【分析】本题第（1）题根据指数函数的性质和对数函数想性质可得到函数y＝f（x）的值域；第（2）题利用换元法设t＝3x，t＞0，然后对参数k进行分类讨论，分k≥0和k ＜0两种情况进行讨论函数g（t）的最大值，根据最大值取得的情况计算出k的取值；第（3）题继续利用换元法设t＝3x，t＞0，设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．根据二次函数的性质可得f（x）在（1，+∞）上为增函数，则f（x）min＝f（m）＝m+1，f （x）max＝f（n）＝n+1，将问题转化为方程在（0，+∞）上有两个不同实根进行思考，再次利用换元法转化为一元二次方程，根据△＞0，及韦达定理可计算出实数k的取值范围．解：（1）由题意，当k＝0时，，∵3x+2＞2．∴，∴函数y＝f（x）的值域为（log32，+∞）．（2）由题意，设t＝3x，t＞0，则，①若k≥0，则函数g（t）＝2k?t2﹣（t﹣1）t+k+2无最大值，即f（t）无最大值，不合题意；②若k＜0，则g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2最大值在时取到，且，∴，解得k＝1，或．由k＜0，可得．（3）由题意，因为0＜k＜1时，设t＝3x（t＞1）．设真数为g（t）＝2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2．此时对称轴，∴当t＞1时，g（t）为增函数，且g（t）＞g（1）＝2k+3＞0，即f（x）在（1，+∞）上为增函数．∴f（x）min＝f（m）＝m+1，f（x）max＝f（n）＝n+1，即方程在（0，+∞）上有两个不同实根，即2k?9x﹣（k﹣1）3x+k+2＝3x﹣1，设t＝3x（t＞1）．∴2k?t2﹣（k﹣1）t+k+2＝3t．即方程2k?t2﹣（k+2）t+k+2＝0有两个大于l的不等实根，∵0＜k＜1，∴，解得，由0＜k＜1，得，即存在m，n，使得函数f（x）为“1档类正方形函数”，且．。
2019-2020学年浙江省宁波市九校高二下学期期末联考数学试题(解析版)
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题易得 ,结合函数零点存在性定理可得到答案.
【详解】
由题意知, , , , , ,
因为 ,所以 是函数 的零点所在的一个区间.
故选:B.
【点睛】
本题考查了函数零点存在性定理的应用,属于基础题.
3．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是（）
2019-2020学年浙江省宁波市九校高二下学期期末联考数学试题
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解不等式，可求出集合 ，进而与集合 取交集即可.
【详解】
由题意， ，
则 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】
本题考查不等式的解法，考查集合的交集，考查学生的计算能力，属于基础题.
8．已知随机变量 的取值为 .若 ， ，则 （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ，可得 ，结合 ，可求出 ，进而可求出方差 ，再结合 ，可求出答案.
【详解】
由题意，设 ，则 ，
又 ，解得 ，
所以 ， ，
则 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查随机变量的期望与方差，注意方差的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别判断选项的奇偶性和极值即可得到答案.
【详解】
对选项A， 为增函数，不存在极值，故A错误.
对选项B， ，定义域为 ，为非奇非偶函数，故B错误.
对选项C， ， ，
所以 不是奇函数，故C错误.
对选项D， ，定义域为 ，
浙江省A9协作体2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
16. 中， ， ，若 边上的高为 ，则 的外接圆面积是___________， 边上的中线长为___________
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
作出图形，过点 作 的延长线于点 ，可得 ，进而可求得 、 的长，以及 的长，利用勾股定理可求得 以及 边上的中线长，利用同角三角函数的基本关系求得 的值，利用正弦定理可求得 的外接圆半径，进而可求得该三角形的外接圆面积.
三、解答题（共74分）
18.已知 ，且 .
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）在等式 两边平方，利用二倍角正弦公式可求得 的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得 的值；
（2）利用同角三角函数的平方关系可求得 的值，再利用两角差的余弦公式可求得 的值.
【详解】解：（1）设 公比为 ， ，
所以 ，
因为 ， （负值舍去）
（2） ，下面利用错位相减法求和，
两式相减得：
【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列求和公式、错位相减法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.
21.设 的内角 ， ， 所对应的边分别为 ， ， ，已知 .
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的取值范围.
【详解】解：（1）由题可知， ，
则 ，
所以 的最小正周期为 ，
由 ， ，
得 ， ，
所以 的递增区间为 .
（2）由（1）得 ，
则将 的图象向左平移 个单位 后，
得 ，且其图象关于原点对称，
浙江省宁波市九校2020-2021学年高一下学期期末联考数学试卷及答案
解： 为 中 的角平分线， ， ，由余弦定理可得 ，即 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， ．
故选： ．
7．B
首先求出三棱锥的外接球半径，进一步利用等体积法的应用求出内切球的半径，最后利用球的表面积公式求出结果．
解：
解：因为四棱锥 为阳马， 平面 ， ， ，所以
设外接球的半径为 ，
所以 ，故 ，
时， ，
．
故答案为：0.3；0.65．
17．（1） ；（2） ．
（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，设事件 表示“乙组研发新产品 研发成功”，进而根据对立事件的概率求解即可；
（2）由题知 的可能取值为0，100，120，220，进而根据独立事件的概率公式求解即可.
解：
解：（1）设事件 表示“甲组研发新产品 研发成功”，
（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元；若新产品 研发成功，预计企业可获利润 万元，该企业获得利润超过 万元的概率为多少．
18．某校对 名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成 ， ， ， ， 五组，得到如图所示频率分布直方图．
（1）求图中 的值；
解：
解：对于A，因为 平面 ，所以点 在平面 上，又因为平面 ∥平面 ，所以 平面 ，所以A正确，
对于B，假设存在点 ，使得 ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，这与 在平面 外矛盾，所以假设不成立，即点 不存在，所以B错误，
对于C，如图，因为 平面 ，平面 平面 ，所以当点 在直线 上时，恒有 ，所以C正确，
故选:B
2．C
由平面向量共线坐标运算公式计算可得．
解：
解： ， ， ，
，解得： ，
故选： ．
2020学年第一学期宁波市九校联考高一数学试题答案
A．①④②③
B．③②④①
C．①④③②
数学试题 第 1页 共 4页
D．③①④②
8．在 ∆ABC
中，
BA ⋅ AC AB
+
AC ⋅ BC BC
= 0 ， BBCC ⋅
BA BA
= 1 ，则 ∆ABC 2
为
(
)
A． 直角三角形 C． 等边三角形
B． 三边均不相等的三角形 D． 等腰非等边三角形
9．若 (log2 2019)x + (log2020 )2 − y < (log2 2019)− y + (log2020 2)x ，则 ( )
(2)若 A C = C ，求 m 的取值范围．
20．（本题满分 15 分） 已知 f (x) 为偶函数，当 x ≥ 0 时， = f (x) 2 lg(x + 1) ， (1)求 f (x) 解析式； (2)若对于任意的 x ∈ (−∞, 0) ， 关于 x 的不等式 lg(kx) < f (x) 恒成立，求 k 的取值范围．
．
16．已知 a,b, c 是平面向量, c = 2 ，若 a ⋅ c =2 ， b ⋅ c =4 ，则 a + b 的取值范围
是
．
17．函数
f
(x)
=−2
−
5x
，
g
(x)
=
sin
x
，若
x1 ,
x2 ,,
xn
∈[0,
π 2
]
，使得
f (x1) + f (x2 ) + + f (xn−1) + g(xn=) g(x1) + g(x2 ) + + g(xn−1) + f (xn ) ，则正整数 n 的最大
浙江省宁波市奉化高中慈溪市三山高中等六校2019_2020学年高一数学下学期期中联考试题含解析
【分析】
利用不等式的性质可得 正确，通过取特殊值即可得 错误.
【详解】 ，但是 不成立，故 不正确；
，但是 不成立,故 不正确；
， 正确；
时， ，不成立，故选 .
【点睛】用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性
等价于 解得 .
19.在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， .
（Ⅰ）求 和 的值；
（Ⅱ）求 的值.
【答案】（Ⅰ） . = .（Ⅱ） .
【解析】
试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系 ，再根据余弦定理求出 ，
进而得到 ，由 转化为 ，求出 ，进而求出 ，从而求出 的三角函数值，利用两角差的正弦公式求出结果.
（2）若 对任意 都成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）由 可得 ，则 ，所以 ，即 ，即可证明数列 是等比数列，并求出通项公式；（2）由（1）可求出 及 的表达式，结合 对任意 都成立，可得到不等式 恒成立，即可求出 的范围.
【详解】解：（1）由 得 ，
即 ，所以 ，即 .
16.数列 中，当n为奇数时， ，当n为偶数时， ， 则这个数列的前 项的和 =________
【答案】
【解析】
【分析】
当n为奇数时， ，奇数项为等差数列，当n为偶数时， ，偶数项为等比数列，利用分组求和的方法可求这个数列的前 项的和.
【详解】
所以数列 的奇数项是首项为 公差为 的等差数列，数列 的偶数项首项为 公比为 的等比数列，
(完整版)浙江省宁波市九校2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
2019学年宁波市第一学期九校联考高一数学试题选择题部分(共40分)、选择题：本大题共10小题，每小题有一项是符合题目要求的.4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只1.已知集合A x x ，集合B x ，贝U AIBA. ( 1,0)B.(0,6]C. (0,6)D. ( 1,6]2.函数y tan x(—4了的值域是(A. ( 1, 1)3.已知x,y R,且B. ( 1, T)C. ( 1,D.[ 1, 3]1 A.-x B.cosx cosy1 xC.—2 D. In x In y 04.已知向量rb 2,且A.- 6B.-2D.-35.已知半径为的扇形AOB中，A B的长为3 ，扇形的面积为,圆心角AOB的大小为h(x) sin — x ，则下列结论正确的是()A.函数h(x)是奇函数B.函数h(x)在区间［2 ,0］上是增函数C.函数h(x)图象关于(3 ,0)对称D.函数h(x)图象关于直线x 3对称6.已知a log 7 2 b log 0.7 0.2 c 0.7°'2,则a,b,c的大小关系为A. b c aB. a bC. c a bD. a c b2l x ;③ y % ；④ ye示，但是图象顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的为7.已知4个函数: ① y xsin ;② y xcos 4cosx e x的图象如图所1 一 、，-，贝U ABC 为( 2非选择题部分(共110分)的单调递增区间为 x9若 log 2 2019 lOg 2020 2log 22019 y log 2°2°2、，则()A. x y 0B. x y 0C. x y 0D. x y 010.设函数f(x)1 r{f(x 2),x (, x 1 1,x ( 2,2] 2 ，则万程 16 f (x) (x x 1) )0根的个数为(A.2B.3C.4D.5C. )三边均不相等的三角形 等腰非等边三角形A.直角三角形 等边三角形B. D. 二、填空题：本大题共 7小题，多空题每题 6分，单空题每题 36分.12.已知 lg(3x 1),则 f(0) ______ ,函数定义域是IT in uur ITuu uur IT uuee 2 , AB 2§ e 2 , BC e 3e 2uur uu m ABuuii 业13.已知函数 f(x) 2tan(a x -)(a 6 0)的最小正周期是3，则a,f (x)的对称中心为14.已知a,b R,定义运算, a,a b , a bb,a b,设函数f(x) 2x 0,2，贝u f(1),f (x)的值域为15.已知函数f(x) (2m 9)x a为藉函数，且其图象过点(3,J3)，则函数 g(x). ,2log a (x mx 6).r r r16.已知a,b,c 是平面向重，c “ r r r r2，右 a c 2 ， b c的取值范围是4分,共 若A,B,D 三点共线，则实数LT UU ............. 一........ 一 e ,e 是单位向重，且 11.已知函数f(x).1 xuuu IT CD e 11 7.函数f x2 5x, g x sinx,若x,X2,L ,x n [0,-],使得f(x) f (x2)L f(x n1 ) g(x n) g(x i ) g(x2) L g(x n l) f(x n),则正整数n 的最大值为.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. (本题满分14分)r r r已知向重 a (sin x,1), b (cosx, 1), c (m,0)，其中x [0,—]4 ...r r 3 ............. ....(1) 若a b 一，求tanx的值；5r r . r r .............. .............. ............. ....(2) 若a c与a c垂直，求实数m的取值范围.19. (本题满分15分)已知集合 A x y J(x 3)(1 ―x) , B a 1,2a 1 ,C {x(x m 1)(x m 1) 0,m R}.(1) 若RA I B ，求a的取值范围；(2) 若AI C C ,求m的取值范围.20. (本题满分15分)已知f(x)为偶函数，当x 0时，f(x) 2lg(x 1),(1) 求f (x)解析式；(2) 若对于任意的x ( ,0),关于x的不等式lg(kx) f(x)恒成立，求k的取值范围21. (本题满分15分)已知函数f (x) sin(2x —) , g x = Asin( x+ )(A 0, 0, 一)的部分图象如图所示6 2(1)求g x的解析式，并说明f (x)的图象怎样经过2次变换得到g x的图象；⑵若对于任意的x Eg22. (本题满分15分)在函数定义域内，若存在区间m,n，使得函数值域为m A,n A，则称此函数为“ A档类正方形函数”，已知函数f (x) log3[2k 9x(k 1)3、k 2],(1) 当k 0时，求函数y f x的值域；(2) 若函数y f x的最大值是1,求实数k的值；(3) 当x 0时，是否存在k (0,1)，使得函数f(x)为“1档类正方形函数” ？若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.。
浙江省宁波市九校2022-2023学年高一下学期期末联考数学试题(解析版)
宁波市2022学年第二学期期末九校联考高一数学试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数13i12i z +=−，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A. 1B. iC. i −D. 1−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的除法运算化简z ，再由共轭复数的定义即可得z ，进而可得虚部. 【详解】()()()()13i 12i 13i 55i1i 12i 12i 12i 5z +++−+====−+−−+， 所以1i z =−−，所以z 的虚部为1−. 故选：D.2. 在平面直角坐标系xOy 中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点()4,3−，则2πcos α−的值为（ ）A. 35B.35C. 45−D.45【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式可得πcos sin 2αα−=，再利用三角函数的定义即可求解. 【详解】 角α的终边经过点(4,3),4,3x y −∴==−， 5r∴=，则π3cos sin 25y r αα−===−. 故选：A.3. 设l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. 若l α∥，l β ，则αβ∥B. 若αβ⊥，l α∥，则l β⊥C. 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥D. 若αβ∥，l α∥，则l β【答案】C 【解析】【分析】根据空间中点线面的位置关系逐一判断即可.【详解】若l α∥，l β ，则αβ∥或α、β相交，故A 错误； 若αβ⊥，l α∥，则l 与β的位置关系都有可能，故B 错误； 若l α⊥，l β⊥，则αβ∥，故C 正确； 若αβ∥，l α∥，则l β 或l β⊂，故D 错误； 故选：C.4. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑A BCD −中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且1ABBC CD ===，则其内切球表面积为（ ）A. 3πB.C. (3π−D.)1π−【答案】C 【解析】【分析】设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ，则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−++++++ ，求得1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =++++△△△△，111111326ABCD V =××××=，从而求得r =，根据球的表面积公式即可求解.【详解】因为四面体ABCD 四个面都为直角三角形，AB ⊥平面,BCD BC CD ⊥， 所以,,AB BD AB BC BC CD ⊥⊥⊥，AC CD ⊥，设四面体ABCD 内切球的球心为O ，半径为r ， 则()13ABCD O ABC O ABD O ACD O BCD ABC ABD ACD BCD V V V V V r S S S S −−−−++++++ 所以3ABCDV r S =，因为四面体ABCD的表面积为1ABCD ABC ABD ACD BCD S S S S S =++++△△△△， 又因为四面体ABCD 的体积111111326ABCD V =××××=，所以3VrS ==，所以内切球表面积24π(3πS r ==−. 故选：C.5. 已知等比数列{}n a 的前n 项积．为n T ，若798T T T >>，则（ ） A.0q <B. 10a <C. 15161T T <<D. 16171T T <<【答案】D 【解析】【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，利用反证法说明0q >，从而得到828810T a q =>，即可得到10a >，从而得到91a >，801a <<，8901a a <<，再根据等比数列的性质判断即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =，则1n a a =，所以771T a =，991T a =，881T a =，若10a <，则7710T a =<，9910T a =<，8810T a =>，不符合题意； 若10a >，则1na 单调（或为常数1），此时不满足798T T T >>，故不符合题意，所以1q ≠； 当0q <，10a <，此时{}n a 奇数项为负，偶数项为正，则70T >，90T <，80T >，不符合题意， 当0q <，10a >，此时{}n a 奇数项为正，偶数项为负，则70T <，90T >，80T >，不符合题意， 所以0q >，故A 错误，又7721771241a a a T a a q =⋅==⋅⋅⋅⋅⋅， 9936991251a a a T a a q =⋅==⋅⋅⋅⋅⋅，()482888451120T a a a a q a a =⋅=⋅⋅⋅⋅⋅=>又798T T T >>，所以7980T T T >>>，所以10a >， 故对任意的n ∗∈N ，110n n a a q −=>，则对任意的n ∗∈N ，0n T >，故B 错误；又9981T a T =>，88701T a T <=<，所以981a q a =>，989701T a a T <=<，所以115815124151T a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<，16121213141516889()1T a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<， 12121314151617171791T a a a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅>⋅，所以16171T T <<，故D 正确，C 错误． 故选：D ．6. 如图，在棱长均为2的直三棱柱111ABC A B C -中，D 是11A B 的中点，过B 、C 、D 三点的平面将该三棱柱截成两部分，则顶点1B 所在部分的体积为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】设平面BCD 交11A C 于点E ，连接DE 、CE ，推导出点E 为11A C 的中点，用三棱柱111ABC A B C -的体积减去三棱台1A DE ABC −的体积即可得解. 【详解】设平面BCD 交11A C 于点E ，连接DE 、CE ，在三棱柱111ABC A B C -中，平面//ABC 平面111A B C ，平面BCD 平面ABC BC =， 平面BCD 平面111A B C DE =，所以，//DE BC ，又因为11//BB CC 且11BB CC =，故四边形11BB C C 为平行四边形，所以，11//BC B C ， 所以，11//DE B C ，因为D 为11A B 的中点，所以，E 为11A C 的中点，且11112DE B C ==， 因为直三棱柱111ABC A B C -的每条棱长都为2，则1112122ABC A B C ABC V S AA −=⋅=×=△，易知1A DE △是边长为1的等边三角形，则121A DE S △ (11113A DE ABC A DE ABC V S S AA −=+⋅ 三棱台123=×++×=，因此，顶点1B 所在部分的体积为1111ABC A B C A DE ABC V V −−−=三棱台故选：B.7. 在ABC 中，0P 是边AB 的中点，且对于边AB 上任意一点P ，恒有00PB PC P B P C ⋅≥⋅，则ABC 一定是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】A 【解析】【分析】根据基底法转化数量积，将向量关系转化为数量关系进而求解. 【详解】如下图所示，取BC 的中点D ，显然，22222222PB PC PB PC PB PC PD DC PD DC +−⋅−−−， 同理，22000P B P C P D DC ⋅=− ，因为00PB PC P B P C ⋅≥⋅，所以22220PD DC P D DC −≥− ， 即2200,PD P D PD P D ≥≥，所以0P D BC ⊥，因为0,D P 是,BC AB 的中点，所以0//AC P D , 所以AC BC ⊥，所以ABC 一定是直角三角形.故选：A8. 十七世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”.它的答案是：当三角形的三个角均小于120 时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角120 ；当三角形有一内角大于或等于120°时，所求点为三角形最大内角的顶点.在费马问题中所求的点称为费马点，已知在ABC 中，已知2π3C =，1AC =，2BC =，且点M 在AB 线段上，且满足CM BM =，若点P 为AMC 的费马点，则PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅=（ ） A. 1− B. 45−C. 35D. 25−【答案】C 【解析】【分析】由余弦定理求出AB ，再由正弦定理求出sin B ，即可求出cos B ，设CM BM x ==，由余弦定理求出x ，即可求出AMC S △，根据定义可知P 为三角形的正等角中心，由等面积法求出PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅，最后根据数量积的定义计算可得.【详解】因为2π3C =，1AC =，2BC =，由余弦定理可得AB =由正弦定理sin sin AC AB B C=，即1sin B =sin B =，显然B 为锐角，所以co s B=设CM BM x ==，则2222cos CM CB BM CB BM C =+−⋅，即2222x x =+，解得x =，即25BM AB =，所以35AMAB==所以33112552AMC ABC S S ==×××=又222cos 02AM CM AC AMCAM CM+−∠=>⋅，即AMC ∠为锐角， 所以AMC 的三个内角均小于120，则P 为三角形的正等角中心， 所以12π12π12πsin sin sin232323AMCS PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅)PM PM PC PA PC +⋅+⋅=， 所以65PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅= ，因为PA PM PM PC PA PC ⋅+⋅+⋅2π2π2πcos cos cos333PA PM PM PC PA PC =⋅+⋅+⋅ ()12PA PM PM PC PA PC =−⋅+⋅+⋅163255=−×=−.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a c B. ()a b c a b c ⋅⋅≤C. 若()a cb ⊥− ，则a b ac ⋅=⋅D. ()()2a b b a b ⋅⋅=⋅【答案】BC 【解析】【分析】根据共线向量和零向量的定义判断A ，根据数量积的定义及运算律判断B 、C 、D.【详解】对于A ：当0b = 且a 与c 不共线时，满足//a b ，//b c，但是a 与c 不共线，故A 错误；对于B ：设,a b θ=，则cos a b a b θ⋅=⋅ ，则()cos a b c a b c a b c θ⋅⋅=⋅⋅≤ ，故B 正确；对于C ：因为()a c b ⊥− ，则()0a b c ⋅−= ，则0a b a c ⋅−⋅= ，所以a b a c ⋅=⋅ ，故C 正确；对于D ：设,a b θ= ，则cos a b a b θ⋅=⋅ ，则()cos a b b a b b θ⋅⋅=⋅⋅ 表示与b共线的向量，而()22a ba b ⋅=⋅ 表示与a 共线的向量，故D 错误；故选：BC10. 下列说法正确的是（ ）A. 若()πsin 2cos 3f x x x ωω=++()0ω>的最小正周期为π，则2ω= B. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，则“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件 C. 三个不全相等的实数a ，b ，c 依次成等差数列，则2a ，2b ，2c 可能成等差数列D. ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，则ABC 的面积为 【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，根据余弦和角公式和辅助角公式化简函数，再结合正弦函数周期公式求解；对于B ，根据条件直接判断；对于C ，根据等差数列的性质列式，引出矛盾从而判断；对于D ，先还原图形，再直接求面积.【详解】对于A ，()πππsin 2cos sin 2cos cossin sin 333f x x x x x x ωωωωω=++=+−(()cos 1sin x x x ωωωϕ=+=+，tan ϕ==则()f x ()0ω>的最小正周期2ππω=，则2ω=，故A 正确；对于B ，在ABC 中，根据“大角对大边，大边对大角”可知，“A B ＞”是“a b ＞”的充要条件，故B 正确；对于C ，a ，b ，c 依次成等差数列，则2a c b +=，如果2a，2b ，2c 成等差数列，则2222a b c+=，代入2a cb +=得22222c a c a +×=+，平方得()22224222222aa c a ca c c ++×=+=+×+，则()2222220222a aaccc +−×+=−=，所以022,c a a c b −===，与题意矛盾，故C 错误； 对于D ，过点A ′作//A F y ′′′交x ′轴于点F ′， 因为ABC 的斜二测直观图是边长为2的正三角形，所以A B C ′′′ 的高A E ′′=，所以A F ′′所以原图中，2AF BC =，所以ABC 的面积为11222AF BC ××==×故D 正确.故选：ABD11. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的数学著作，其中第十一卷称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.如图，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，下列说法正确的是（ ）A. 存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥B. 若2AB =，则三棱锥S AOD −体积的最大值为16C. 对于任意直径CD ，直线AD 与直线SB 互为异面直线D. 若π6ABD ∠=，则异面直线SA 与CD 【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ，由CD 是直径得90DAC ∠=°，从而可知不存在直径CD ，使得AD CD ⊥，从而可判断；对于B ，由题意可得当AO OD ⊥时，三棱锥S AOD −体积最大，求解即可判断；对于C ，根据异面直线的判定方法即可判断；对于D ，取SB 的中点E ，取OB 的中点F ，连接,,,OE CE CF EF ，可得COE ∠（或及其补角）为异面直线SA 与CD 所成角的平面角，根据余弦定理即可求解，从而可判断.【详解】对于A ，连接,SD AC ，因为SO ⊥平面ABD ，AD ⊂平面ABD ，所以SO AD ⊥， 若AD SD ⊥，只需AD CD ⊥，因为CD 是直径，所以90DAC ∠=°，所以不存在直径CD ，使得AD CD ⊥， 所以不存在某条直径CD ，使得AD SD ⊥，A 错误；对于B ，若2AB =，则1SO OA OD ==， 所以三棱锥S AOD −的体积为11111sin 1sin 326AOD AOD ××××∠×=∠， 所以当AO OD ⊥时，三棱锥S AOD −体积的最大值为16，B 正确 ；对于C ，AB ，CD 是直角圆锥SO 底面圆的两条不同的直径，所以AD 与SB 没有交点，而SB 平面ADBC B =，AD ⊂平面ADBC ，所以直线AD 与直线SB 互为异面直线，C 正确； 对于D ，取SB 的中点E ，取OB 的中点F ，连接,,,OE CE CF EF ，则//OE SA ，所以COE ∠（或及其补角）为异面直线SA 与CD 所成角的平面角.令2AB =，则1SO OB OC ===，所以1111,2222OESA OF EF SO=====，因为π6ABD ∠=，所以π3AOD BOC ∠=∠=，则CF =所以1CE ，所以222cos 2OC OE CE COE OC OE +−∠==⋅，D 正确.故选：BCD12. 已知数列{}n a 中各项都小于2，221143n n n n a a a a ++−=−，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则以下结论正确的是（ ）A. 任意1a 与正整数m ，使得10m m a a +≥B. 存在1a 与正整数m ，使得134m m a a +>C. 任意非零实数1a 与正整数m ，都有1m m a a +<D. 若11a =，则()2022 1.5,4S ∈ 【答案】AD 【解析】【分析】由递推公式得到()21134nnn nn a a a a a ++−=−即可判断A ，记()24f x x x =−，依题意可得()134n n f a f a +≥，结合函数的单调性，即可得到对于任意正整数n ，134n n a a +≤，从而判断B ，分10a =、102a <<、10a <三种情况讨论，即可判断C ，结合A 、C 即可判断D.【详解】对于A ：因为221143n n n n a a a a ++−=−，所以()()1143n n n n a a a a ++−=−， 所以()1134n nn n a a a a ++−=−，则()211304n nn nn a a a a a ++−=≥−，故A 正确；对于B ：记()24f x x x =−，由22211333444444n n n n n n a a a a a a ++ −=−≥−，可得()134n n f a f a +≥，因为()f x 在(),2−∞上单调递减， 所以对于任意正整数n ，134n n a a +≤，故B 错误； 对于C ：由A 可知所有n a 同号，①当10a =时，易得对于任意正整数n ，0n a =，②当102a <<时02n a <<，22211434n n n n n n a a a a a a ++−=−>−，即()()1n n f a f a +>，因为()f x 在(),2−∞上单调递减，所以对于任意正整数n ，1n n a a +<，③当10a <时0n a <，22211434n n n n n n a a a a a a ++−=−<−，即()()1n n f a f a +<，因为()f x 在(),2−∞上单调递减，所以对于任意正整数n ，1n n a a +>，故C 错误； 对于D ：由B 可知对于任意正整数n ，134n n a a +≤， 当11a =时134n n a − ≤，所以2022120222022202213133441434414k k S −= − ≤==−<−∑，由C 中②知当11a =时，01n a <≤，又222420a a −+=，解得2122a =>， 所以2022232S S >>， 所以()2022 1.5,4S ∈，故D 正确； 故选：AD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 杭州第19届亚运会会徽“潮涌”的主题图形融合了扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网及太阳六大元素，其中扇面造型代表了江南厚重的人文底蕴.在中国历史上，历代书画家都喜欢在扇面上绘画或书写以抒情达意.一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为30和12的两个同心圆上的弧（长度单位为cm ），侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心，且圆心角为2π3.若某空间几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为______.【答案】 【解析】【分析】计算出侧面展开图分别为30和12，圆心角为2π3的扇形的两个圆锥的高，相减即可得解. 【详解】一个圆锥的侧面展开图是半径为30，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为r ，高为h ， 所以2π2π303r =×，可得10r =，因此，该圆锥的高为h = 侧面展开图是半径为12，圆心角为2π3的扇形，设该圆锥的底面半径为1r ，高为1h ， 所以12π2π123r =×，可得14r =，因此，该圆锥的高为1h =，因此，若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面形状、大小一致，则该几何体的高为.故答案：.14. 已知等差数列{}n a ，88a =，9π83a =+，则576cos cos cos a a a +=______. 【答案】1 【解析】【分析】记等差数列{}n a 的公差为d ，则98π3d a a =−=，由7575757557,2222a a a a a a a a a a +−+−=−=+，7562a a a +=，结合和差角余弦公式可得757557757562cos cos cos cos 222cos cos 2cos 2a a a a a a a a a a a +−+−==+，从而可求解. 【详解】记等差数列{}n a 的公差为d ，则98π3d a a =−=，因为7575757557,2222a a a a a a a a a a +−+−=−=+，7562a a a +=， 所以7575757557coscos cos cos sin sin 2222a a a a a a a aa a +−+−+=+为757575757575coscos sin sin 2cos cos 222222a a a a a a a a a a a a+−+−+−+−=， 所以757557757562cos cos cos cos π222cos 2cos 2cos 1cos 23cos 2a a a a a a a a d a a a +−+−=====+. 故答案为：115. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13BC CC ==，4AC =，AC BC ⊥，动点P 在111A B C △内（包括边界上），且始终满足1BP AB ⊥，则动点P 的轨迹长度是______.【答案】125【解析】【分析】推导出11BC AB ⊥，在平面111A B C 内，过点1C 作111C H A B ⊥，垂足为点H ，证明出11AB C H ⊥，可得出1AB ⊥平面1BC H ，分析可知点P 的轨迹为线段1C H ，利用等面积法求出线段1C H 的长，即为所求. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以，1AC BB ⊥， 又因为ACBC ⊥，1BC BB B = ，BC 、1BB ⊂平面11BB C C ，所以，AC ⊥平面11BB C C ，因为1BC ⊂平面11BB C C ，所以，1BC AC ，因为11//BB CC ，11BB CC BC ==，则四边形11BB C C 为菱形，所以，11BC B C ⊥， 又因为1AC B C C ∩=，AC 、1B C ⊂平面1AB C ，所以，1BC ⊥平面1AB C ， 因为1AB ⊂平面1AB C ，所以，11BC AB ⊥.在平面111A B C 内，过点1C 作111C H A B ⊥，垂足为点H ， 因为1BB ⊥平面111A B C ，1C H ⊂平面111A B C ，则11C H BB ⊥， 因为111C H A B ⊥，1111BB A B B = ，1BB 、11A B ⊂平面11AA B B ， 所以，1C H ⊥平面11AA B B ，因为1AB ⊂平面11AA B B ，则11AB C H ⊥，因为111BC C H C = ，1BC 、1C H ⊂平面1BC H ，所以，1AB ⊥平面1BC H ， 由于动点P 又在111A B C △内，所以动点P 在平面111A B C 与平面1BC H 的交线1C H 上，因为114A C AC ==，113B C BC ==，1111A C B C ⊥，所以，115A B =，由等面积法可得1111111431255A C B C C HA B ⋅×===， 因此，动点P 的轨迹长度是125. 故答案为：125. 16. 已知向量a ，b 的夹角为π3，且3a b ⋅= ，向量c 满足()()101c a b λλλ+−<< ，且a c b c ⋅=⋅ ，记c a x a ⋅= ，c b y b⋅= ，则22x x y y +−的最大值为______. 【答案】278【解析】【分析】设,,OA a OB b OC c ===, 由共线定理可知点C 在线段AB 上，设AOC α∠=，则π3BOC α∠=−，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 2223||4x y xy c −+=，可将原问题转化为求||c的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求AB 的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解.【详解】设,,OA a OB b OC c === ，则π3AOB ∠=， 由3⋅= a b ，知π||||cos 33a b ⋅= ，即||||6a b ⋅= ，所以1π1||||sin 6232OAB S a b =⋅=×=，因为(1)(01)c a b λλλ+−<<，所以点C 在线段AB 上，设AOC α∠=，则π3BOC α∠=−， 所以222222||cos ||cos x y xy c c α+=+−π||cos ||cos 3c c αα −−⋅π3α −22221||cos ||cos 2c c ααα+ +1||cos ||cos 2c c ααα −⋅2221||cos cos cos 4c ααα =++2231sin cos cos 42ααααα +− 23||4c =故原问题转化为求||c的最大值，在OAB 中，由余弦定理知，22222π||||||2||||cos ||||||||3AB a b a b a b a b −−=+⋅=+⋅26a b a b a b ≥⋅−⋅=⋅=，当且仅当a b == 时，等号成立，故AB，因为··a c b c = ，所以()0a b c −⋅=，即AB OC ⊥，所以1||||2OAB S AB OC =⋅=即OC =，即c ≤ 所以222327||48x y xyc +−=≤. 故答案为：278四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 定义一种运算：(),c a b ac bd d=+.（1）已知z 复数，且()3,73i 4z z =−，求z ；（2）已知x 、y 为实数，()()2sin i sin 2,21,sin x y x x y+−也是实数，将y 表示为x 的函数并求该函数的单调递增区间. 【答案】（1（2）π2sin 23y x=−+，增区间为()π7ππ,π1212k k k ++∈Z 【解析】【分析】（1）()i ,z a b a b =+∈R ，由()3,73i 4z z =−结合复数相等可求出a 、b 的值，再利用复数的模长公式可求得z 的值；（2）利用题中运算结合复数的概念可得出2sin 20y x x +−=，利用三角恒等变换化简可得出y 关于x 的函数表达式，再利用正弦型函数的单调性可求得该函数的单调递增 区间. 【小问1详解】解：设()i ,z a b a b =+∈R ， 因为()()()3,343i 4i 7i 73i 4z z z z a b a b a b =+=++−=−=−，为所以，773a b = =，即13a b = = ，则13i z =+，因此，z ==【小问2详解】解：()()()()22sin i sin 2,21,sin 2sin sin 2i x y x x y x y x x y +−−++−为实数，则2sin 20y x x +−=，所以，()21cos 2sin 2sin 2sin 222xy x x x x x −=−+=−+=−+π2sin 23x=−++，由()ππ3π2π22π232k x k k +≤+≤+∈Z 可得()π7πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，因此，函数π2sin 23y x=−++的单调递增区间为()π7ππ,π1212k k k ++∈Z . 18. 今年9月，象山将承办第19届杭州亚运会帆船与沙滩排球项目比赛，届时大量的游客来象打卡“北纬30度最美海岸线”.其中亚帆中心所在地——松兰山旅游度假区每年各个月份从事旅游服务工作的人数会发生周期性的变化.现假设该景区每年各个月份从事旅游服务工作的人数可近似地用函数()()40cos 4f x A x k ω=++ 来刻画.其中正整数x 表示月份且[]1,12x ∈，例如1x =时表示1月份，A 和k 是正整数，0ω>.①各年相同的月份从事旅游服务工作的人数基本相同；②从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差约160人； ③2月份从事旅游服务工作的人数约为40人，随后逐月递增直到8月份达到最多. （1）试根据已知信息，确定一个符合条件的()y f x =的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数超过160人时，该地区就进入了一年中的旅游旺季，那么一年中的哪几个月是该地区的旅游旺季？请说明理由.【答案】（1）()()π402cos 436f x x=++，[]1,12x ∈ （2）第7,8,9月是该地区的旅游旺季，理由见解析 【解析】【分析】（1）根据题意首先求出A ，再根据周期求出ω，最后根据()240f =求出k ，即可得到函数解析式；（2）令()160f x >，结合余弦函数的性质计算可得，注意x 为正整数. 【小问1详解】因为A 和k 是正整数，由②可知()()4040160A k A k +−−+=，解得2A =； 由③可得：8262T =−=，则2π12T ==ω，且0ω>，解得π6ω=； 所以()()π402cos 46f x x k=++，又()()π2402cos 24406f k =++=， 即()40240k −=，解得3k =； 所以()()π402cos 436f x x =++，[]1,12x ∈. 【小问2详解】令()()π402cos 431606f x x=++>，则()π1cos 462x +>，因为[]1,12x ∈，则(),π8345ππ66x ∈+， 可得()5ππ7π4363x <<+，解得610x <<， 且*N x ∈，则7,8,9x =，所以第7,8,9月是该地区的旅游旺季.19. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且243n S n n =+−.（1）求{}n a 的通项公式； （2）记125n n n n b S S ++=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）2,123,2n n a n n = =+≥（2）211262n T n n =−++ 【解析】【分析】（1）由11,1,2n n n S n a S S n −= = −≥ 可求得数列{}n a 的通项公式； （2）计算得出111nn n b S S +=−，利用裂项法可求得n T . 【小问1详解】解：当1n =时，111432a S ==+−=， 当2n ≥且N n ∗∈时，()()()22143141323n n n a S S n n n n n − =−=+−−−+−−=+， 12a =不满足23n a n =+， 综上所述，2,123,2n n a n n = =+≥. 【小问2详解】 解：因为()()()22114134325n n S S n n n n n +−+++−−+−+，所以，11112511n n nn n n n n n S S n b S S S S S S ++++−+===−， 因此，()()21223111111111111121413n n n n T S S S S S S S S n n ++ =−+−++−=−=− +++− 211262n n =−++. 20. 在ABC 中，内角A ，B 都是锐角.（1）若π3C ∠=，2c =，求ABC 周长的取值范围； （2）若222sin sin sin A B C +>，求证：22sin sin 1A B +>. 【答案】（1）(2,6 + （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）根据正弦定理可得)sin sin a b A B +=+，然后可得a b +=π4sin 6A + ，然后结合A 的范围求出a b +的范围可得答案； （2）由条件可得C 为锐角，然后由π2A B +>可得sin cos A B >，即可证明.【小问1详解】 因为π3C ∠=，2c =，所以sin sin sin a b c A B C ===，所以)sin sin a bA B +=+，因为π1sin sin sin sin sin sin 32A B A A A A A+=++=+3πsin 26A A A =++所以a b +=π4sin 6A+， 因为内角A ，B 都是锐角，π3C ∠=， 所以π022ππ032A B A << <−< ，即ππ62A <<，所以πsin 6A +∈ ，所以(4a b +∈ ，所以ABC周长的取值范围为(2,6 + ，【小问2详解】若222sin sin sin A B C +>，则222a b c +>，所以C 为锐角， 所以π2A B +>，所以π2A B >−， 因为内角A ，B 都是锐角，所以ππ,0,22A B −∈， 所以πsin sin cos 2A B B >−=， 所以2222sin sin cos sin 1A B B B +>+=.21. 已知边长为6的菱形ABCD ，π3ABC ∠=，把ABC 沿着AC 翻折至1AB C 的位置，构成三棱锥1B ACD −，且112DE DB = ，13CF CD =，FE =（1）证明：1AC B D ⊥；（2）求二面角1B AC D −−大小；（3）求EF 与平面1AB C 所成角的正弦值.【答案】（1）证明过程见解析（2）2π3（3【解析】【分析】（1）根据几何关系证明线面垂直从而得到线线垂直即可；（2）根据几何关系11162FE CD CB =+ ，平方后得到11cos 8B CD =−∠，得到19B D =，根据余弦定理求解其平面角即可；（3）根据平行关系将所求角转化为CG 与平面1AB C 所成角，再根据垂直关系找到具体的角进而求解其正弦值.【小问1详解】取AC 中点O ，连接1,OB OD ，因为菱形ABCD ，1π3AB C ∠=， 所以1,ACB ACD △△为等边三角形，所以1,OB AC OD AC ⊥⊥， 又因为1,OB OD ⊂面1OB D ，1OB OD O ∩=， 所以AC ⊥面1OB D ，因为1B D ⊂面1OB D ，的所以1AC B D ⊥【小问2详解】 因为112DE DB = ，13CF CD = ， 所以()11111111111123262FE FB B E CB CF B D CB CD CD CB CD CB =+=−+=−+−=+ ， 平方得，2222111111111cos 623664FE CD CB CD CD CB B CD CB =+=++ ∠， 即1371113666cos 3643664B CD =×+××+×∠，解得11cos 8B CD =−∠， 在1B CD △中，由余弦定理得，222111112cos 3636266818B D CB CD CB CD B CD =+−⋅=+−×××−=∠， 所以19B D =，由（1）可知，1DOB ∠是二面角1B AC D −−的平面角，在等边1AB C中，11sin 60B O B C =°=OD =，在1B OD 中，由余弦定理，22211112727811cos 22272B O DO B D B OD B O DO +−+−===−⋅×∠， 因为1πB OD 0＜∠＜，所以12π3B OD =∠， 即二面角1B AC D −−的大小为2π3. 小问3详解】取1B E 中点G ，连接CG ，则E 是GD 靠近G 的三等分点，则//EF CG ，所以CG 与平面1AB C 所成角即为所成角，【在平面1DOB 中，作1GK B O ⊥，因AC ⊥面1OB D ，GK ⊂面1OB D ，所以AC GK ⊥，又因为1,AC B O ⊂面1AB C ，1AC B O O = ，所以GK ⊥面1AB C ，所以GCK ∠是CG 与平面1AB C 所成角，在1DOB △中，11π6OB D ODB ==∠∠，111944B G B D ==，所以 11928GKB G ==， 在1DCB 中，由DEF DGC ，得23EFDE CG DG ==，32CG =，所以sin GK GCK CG ==∠， 所以EF 与平面1AB C.22. 已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和n S 满足：()21n n n S a S =−，且0n S ≠，数列{}n b 满足：对任意*n ∈N 有()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ . （1）求证：数列1n S是等差数列；为（2）求数列{}n b 的通项公式；（3）设n T 是数列122n n n b b − −的前n 项和，求证：32n T <. 【答案】（1）证明见解析；（2）2nn b =；（3）证明见解析.【解析】 【分析】（1）把1(2)n n n a S S n −=−≥代入()21n n n S a S =−得11n n n n S S S S −−=−，即1111n n S S −−=，从而得证；（2）利用和与项的关系即可求解得2nn b =； （3）利用放缩法，得()()()111121122222112221212212121n n n n n n n n n n n n n n b b −−−−−−==<=−−−−−−−−，再结合裂项相消求和法即可证明.【小问1详解】()21n n n S a S =− ，1(2)n n n a S S n −=−≥，()()211n n n n S S S S −∴=−−，即11n n n n S S S S −−=−①由题意10n n S S −⋅≠，将①式两边同除以1n n S S −⋅，得1111n n S S −−=， ∴数列1n S是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列. 【小问2详解】 由（1）可知111(1),.n n n n S S n=+−=∴= 当1n =时， 112b S =，即12b =， 当2n ≥时，()11212122n n nb b b n S S S ++++=−⋅+ ②，则()112121222n n n b b b n S S S −−+++=−⋅+ ③， ②−③，()()112222n n n n nb n n n S +=−⋅−−⋅=⋅，即2n n b =， 因为12b =满足2n n b =，所以2nn b =.【小问3详解】 由（2）可知，()1112222222221n n n n n n n n n b b −−−==−−− 当1n =时，11322T =<， 当2n ≥时，()()()111121122222112221212212121n n n n n n n n n n n n n n b b −−−−−−==<=−−−−−−−−， 所以1223111111112212121212121n n n T −<+−+−++−−−−−−− 11312212n =+−<−. 所以32n T <.。