新北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定(1)》优质课课件
数学北师大版九年级上册矩形的性质与判定(一)
课堂教学设计
第 周 星期 第 节 年 月 日
课题 矩形的性质与判定（一）
学
习
目
标 知识与技能：(1) 掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;
过程与方法：经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；
情感、态度与价值观：在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。。
重点 1、矩形的定义
2、矩形的性质定理及应用
教具：三角板
难点 1、会用矩形的性质定理进行推导证明;
教法
讨论法 学法：自主探究
教 学 过 程
自
主
学
习
一、想一想
1、平行四边形具有哪些性质？
2、探究矩形的定义。
二、做一做
1. 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？
在同学回答的基础上进行归纳：
边： 对边平行且相等
角：对角相等
对角线：对角线互相平分
对称性：中心对称图形
2.但矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。
矩形的性质定理1： 矩形的四个角都是直角.
矩形的性质定理2： 矩形的对角线相等.
引
领
探
究 试一试
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
(2) AC=BD
定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.
教师板书推论及推理语言：
训
练
检
测 做一做
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.
(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;
(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.
九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定(第1课时)矩形的性质课件(新版)北师大版
第一章特殊平行四边形
1.2矩形的性质与判定
第1课对矩形的性质
学习指南 0「知识管理 0「归类探究
当堂测评
0「分层作业
01学习指南
★教学目标★
1. 掌握矩形的概念；
2. 掌握矩形的性质定理；
3. 掌握直角三角形斜边上的中线的性质.
★情景问题引入*
1. 矩形就是我们通常说的长方形，矩形有些不同于普通平行四边形的什
么特征呢？
2. 矩形可以由两个相同的直角三角形拼成，能不能用矩形的性质得出直
角三角形的一些性质呢？ 0「知识管理
1. 矩形的概念
定 义：有一个角是直角 的平行四边形叫做矩形.
2. 矩形的性质定理
定 理：(1)矩形的四个角都是九角 ；
(2)矩形的对角线和等 ・拓 展：(1)矩形是特殊的平行四边形，因此具有一般平行四边形的所有 性质；
(2)矩形是轴对称图形，对称轴是对边中点连线所在的直线.
3・直角三角形斜边上的中线的性质
定 理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 ・
拓 展：如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形
是一直角三角形・
类型之一矩形的性质
如图，已知矩形ABCD中，点F是上一点，且DE_LAF9垂足
是E,连接DF.求证：
(1) AABF^ADEA；
(2) DF是ZEDC的平分线.归类探究
F C 证明：(1)V四边形ABCD是矩形，
A ZB=90°, AD=BC, AD//BC,
:.ZDAE= ZAFB ・
•••DE 丄 4F,
・•• ZDEA=ZB=90° ・
•: AF=BC, :.AF=AD,
:.\ABF9\DEX ・(2)由(1)知△ABF 今 ADEA,
:.AB DE.
•••四边形ABCD是矩形，
AZC=90°, DC=AB,
：・ DC=DE.・；DF=DF,
A ADEF^APCF ・
；・ ZEDF=ZCDF,
:.DF是ZEDC的平分线.
【点悟】⑴全等三角形的判定定理有SAS, ASA, AAS, SSS； (2)矩形的边角关系为证明三角形全等创造了条件. 类型之二 直角三角形斜边上的中线的性质
北师大版九年级(上)第一单元矩形的性质与判定
北师大版九年级（上）第一单元矩形的性质与判定
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。
2．矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质。 （1）角：四个角都是直角。（2）对角线：互相平分且相等。
3．矩形的判定:（1）有一个角是直角的平行四边形。（2）对角线相等的平行四边形。（3）有三个角是直角的四边形。
4.矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心；
矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直线。
5.矩形的周长和面积：
矩形的周长=)(2ba 矩形的面积=长宽=ab（ba,为矩形的长与宽）
注意:（1）矩形被两条对角线分成的四个小三角形都是等腰三角形且面积相等。
（2）矩形是轴对称图形，两组对边的中垂线是它的对称轴
【经典例题:】
例1、如图，矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE交AB于F，若DE=2，矩形ABCD的周长为16，且CE=EF，求AE的长．
例2、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形。
PHDCBA例3、已知：如图所示，矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=BC，15EDC．
求证：AD=2AB．
例4、已知：如图，四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的，M、N•分别为BC、AD的中点．求证：四边形BMDN是矩形．
例5、如图，已知在四边形ABCD中，ACDB交于O，E、F、G、H分别是四边的中点，
求证：四边形EFGH是矩形．
例6、 如图, 在矩形ABCD中, AP=DC, PH=PC, 求证: PB平分CBH.
课堂练习题
1．判断一个四边形是矩形，下列条件正确的是（ ）
A．对角线相等 B．对角线垂直C．对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等。
2．矩形的两边长分别为10cm和15cm，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分分A
北师大版九年级(上)数学第2讲：矩形的性质与判定(教师版)——王琪
矩形的性质与判定
一、矩形的定义
有一个角是直角 的平行四边形 是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：① 平行四边形； ② 一个角是直角，两者缺一不可．
二、矩形的性质
①边：对边平行且相等； ②角：对角相等、邻角互补；
③对角线：对角线互相平分且相等；
④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．
三、矩形的判定
①有一个角是直角的平行四边形； ②对角线相等的平行四边形； ③四个角都相等
四、矩形判定解题思路
① 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
② 先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
③ 说明四边形ABCD的三个角是直角．
五、矩形的面积
设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
1．如图所示，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，则下面的结论：
①△ODC是等边三角形；②BC=2AB；③∠AOE=135°；④S△AOE=S△COE，
其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=OC，OD=OB，AC=BD，
∴OA=OD=OC=OB，
∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=45°，∵∠CAE=15°，∴∠DAC=30°，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAC=30°，∴∠DOC=60°，
∵OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC=90°
∴∠DAC=∠ACB=30°，∴AC=2AB，
∵AC＞BC，∴2AB＞BC，∴②错误；
∵AD∥BC，∴∠DBC=∠ADB=30°，
∵AE平分∠DAB，∠DAB=90°，∴∠DAE=∠BAE=45°，
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∴∠AEB=∠BAE，∴AB=BE，
1.2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 教案-2024-2025年北师大版九年级数学上册
1 2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
1.理解矩形的概念，知道矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问题.（重点）
3.掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单地运用.（重点）
4.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，提高数学说理的习惯与能力.（难点）
一、情景导入
教师活动：将收集来的有关长方形的图片，播放出来，让学生进行感性认识，然后定义出矩形的概念.
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也就是小学学习过的长方形）.
二、探索新知
活动一 教师活动：介绍完矩形的概念后，为了加深理解，也为了继续研究矩形的性质，拿出教具，同学生一起探究下列问题：
问题1 改变平行四边形活动框架，将框架夹角∠α变为90°，平行四边形成为一个矩形，这说明平行四边形与矩形具有怎样的从属关系？
学生活动：观察教师的教具，研究其变化情况，可以发现：矩形是平行四边形的特例，属于平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质.
问题2 既然它具有平行四边形的所有性质，那么矩形是否具有它独特的性质呢？
学生活动：由平行四边形对边平行以及刚才∠α变为90°，可以得到∠α的补角也是90°，从而得到矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠B＝90°.求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D，∠C＝∠A（矩形的对角相等），
AB∥DC（矩形的对边平行）.
∴∠B＋∠C＝180°.又∵∠B＝90°.∴∠C＝90°. 2 ∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
活动二 教师活动：用橡皮筋做出两条对角线，让学生观察这两条对角线的关系，并要求学生证明.
学生活动：观察发现矩形的两条对角线相等.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC与DB相交于点O.求证：AC＝DB.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠DCB＝90°. AB＝DC（矩形的对边相等）.
1.2矩形的性质与判定-九年级上册初三数学(北师大版)
1.2 矩形的性质与判定-九年级上册初三数学（北师大版）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级上册初三数学教材第1章第2节“矩形的性质与判定”。教学内容主要包括以下三个方面：
1. 矩形的定义：通过生活中的实例，引导学生理解矩形的概念，即四边形中有一个角是直角的平行四边形。
2. 矩形的性质：探讨矩形的性质，如对边平行且相等、对角线互相平分、四个角都是直角等，并通过实际操作和几何证明来加深理解。
3. 矩形的判定：学习矩形的判定方法，包括两组对边分别平行且相等的四边形是矩形、有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线互相平分且相等的四边形是矩形等。
二、核心素养目标
1. 培养学生的几何直观：通过观察和分析矩形的基本性质，提高学生对几何图形的认识和理解，增强几何直观能力。
2. 发展逻辑推理能力：在学习矩形的判定方法过程中，引导学生运用逻辑推理，从特殊到一般，从具体到抽象，培养严谨的逻辑思维。
3. 提升数学建模素养：结合实际生活中的矩形实例，让学生运用所学知识构建数学模型，解决实际问题，提高数学建模素养。
4. 增强空间观念：通过对矩形性质和判定的学习，培养学生的空间想象力和空间观念，为后续几何学习打下基础。
5. 培养学生的团队协作和交流能力：在小组讨论和分享环节，鼓励学生积极参与，学会倾听他人意见，提高团队协作和交流表达能力。
三、教学难点与重点
1. 教学重点
- 矩形的定义：理解矩形的概念，即四边形中有一个角是直角的平行四边形。
- 矩形的性质：掌握矩形的对边平行且相等、对角线互相平分、四个角都是直角等重要性质。
- 矩形的判定：熟悉并运用两组对边分别平行且相等、有一个角是直角的平行四边形、对角线互相平分且相等等判定方法。
举例解释：
- 通过实际图形和生活中的例子，强调矩形定义中的“有一个角是直角”的关键特征。
- 通过几何作图和证明，让学生深刻理解矩形的性质，如通过折叠和测量活动来直观感受对角线互相平分的性质。
新北师大版九年级数学上册讲学稿：1.2.1 矩形的性质与判定 (第一课时)
新北师大版九年级数学上册讲学稿：1.2.1 矩形的性质与判定 (第一课时)
学习目标
1．掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系．
2．会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题．
第一段：【短课自研课导学】学生独立、安静的完成。
模块一： 自主学习（独立进行）
学 习 内 容 摘 记
【温故知新】
1、 是平行四边形。
2、平行四边形有哪些性质，边：
角： 对角线：
请你先认真研读课本p11至p12页，然后解答下列问题。
【自主探究一】
1、定义： 叫做矩形。
由定义可以看出，矩形也是一种特殊的 。
2、 思考：
（1）.既然矩形是特殊的平行四边形,那么它具有一般平行四边形的哪些性质？
（2）.矩形是不是轴对称图形? ，如果是，那么对称轴有 条?
（3）.矩形是特殊的平行四边形，那么它有哪些特殊的性质呢？（拿出矩形纸片观察）
猜想： 矩形的四个角都是 ，矩形的对角线
请尝试证明你的猜想：
已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。
求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90° (2) AC=BD
定理1：
第2讲 矩形的性质与判定-九年级数学上册同步精品讲义(北师大版)
第2讲 矩形的性质与判定
1. 理解矩形、概念和判定定理；
2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算．
知识点01 矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【知识拓展】例1.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上一点，F是AB上的一点，EFEC，且EFEC．
（1）求证：AEFDCE△≌△．
（2）若5cmDE，矩形ABCD的周长为38cm，求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）7cm
【详解】
解：（1）证明：∵EF⊥CE，
∴∠FEC=90°，
∴∠AEF+∠DEC=90°，而∠ECD+∠DEC=90°，
∴∠AEF=∠ECD． 知识精讲 目标导航 在Rt△AEF和Rt△DEC中，
∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=EC．
∴△AEF≌△DCE（AAS）．
（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．
∴AE=CD．
∴AD=AE+5．
又∵矩形ABCD的周长为38cm，
∴2（AE+AE+5）=38cm．
∴AE=7cm．
答：AE的长为7cm．
知识点02 矩形的判定
（1）矩形的判定：
①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
②有三个角是直角的四边形是矩形；
③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）
（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．
②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．
2020年北师大版九年级上册数学： 矩形的性质及判定
1 矩形的性质和判定
一、基础知识
（一）矩形的定义
有一个内角为直角的平行四边形叫做矩形。
（二）矩形的性质：
1.矩形具有平行四边形的一切性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是900
；
4.矩形是轴对称图形；
边 角 对角线 对称性
矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 互相平分且相等 轴对称，中心对称
（三）矩形的判定：
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形；
4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
（四）直角三角形的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（如图：OB=OC=OA=
21
AC）
二、例题讲解
考点一：矩形的基本性质
例1：如图，在矩形ABCD中，AE•⊥BD，•垂足为E，•∠DAE=•2•∠BAE，•那么，•∠BAE=________，
∠EAO=________，若EO=1，则OD=______，AB=________，AD=________．
A
ED
CBO
练习 1：矩形ABCD中, ,对角线AC与BD相交于点O,BC的长为6,△OBC的周长是15,求矩形的对角线的长
度.
2 例2：如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线
长是13cm，那么矩形的周长是多少?
例3：已知：如图1，在矩形ABCD
中，AF
＝BE
．求证：DE
＝CF
；
A
D
C
B
图1
F
E
练习1：如图，四边形ABCD
是矩形，△PBC
和△QCD
都是等边三角形，且点P
在矩形上方，点Q
在矩形内．
求证：（1）∠PBA
=∠PCQ
=30°；
（2）PA
=PQ
．
考点二：矩形的的判定
1、.☆ 在矩形ABCD中，点H为AD的中点，P为BC上任意一点，PEHC交HC于点E，PFBH交
BH于点F，当ABBC，满足条件 时，四边形PEHF是矩形
【巩固】 ☆矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）
北师大版九年级上册数学1.2矩形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)
1
【矩形的性质】
1矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 温馨提示
① 对于矩形的定义要注意两点 a.是平行四边形.b.有一个角是直角;
② 定义说有一个角是直角的平行四边形才是矩形 ，不要错误地理解为有一个角是直角的四边形是矩形;
③矩形的定义既是矩形的性质，也提供了矩形的种判定方法。
形的性质
(1) 矩形具有平行四边形的所有性质
(2) 矩形的四个角都是直角
(3) 矩形的对角线相等•
(4) 矩形是轴对称图形，它有两条对称轴，对角线所在直线就是它的对称轴 •矩形又是中心对称图形，对角线的交点
为对称中心，过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分
矩形中相等的线段： AC=BD OA = OC=OB = OD.
矩形中相等的角： / ABC = / BCD = / CDA = / DAB = 90 ° 矩形中的全等三角形: 全等的等腰三角形有:
全等的 直角 三角形有：■' " 二 WU 二小
点拨：有关矩形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决 温馨提示:
① 矩形具有平行四边形的一切性质;
矩形练习
1.2矩形的性质和判定
2. 矩
(转化思想).
② 利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质 ,即：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半;
③ “矩形的四个角都是直角”这一性质可用来证两条线段互相垂直或角相等 ，“矩形的对角线相等”这一性质可用
来证线段相等; 矩形练习
2
4. 在矩形ABCD中,对角线AC, BD相交于点 0, E, F分别是AQ AD的中点，若AB= 6 cm, BC= 8 cm,则EF= ___________ cm.
5. △ ABC中，/ ACB= 90°,/ B= 55°, D是斜边AB的中点，那么/ ACD的度数为（ ）
A. 15° B . 25° C . 35° D . 45°
9.如图，在矩形 ABCD中 ,连接对角线 AC, BD,将厶ABC沿BC方向平移，使点 B移到点C,得到△ DCE.