上海市长宁区2018年中考数学二模试卷
2 121 2017 学年长宁区第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100 分钟满分：150 分）考生注意:1. 本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2. 除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共 6 题, 每题 4 分, 满分 24 分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂】1．函数 y = 2x - 1 的图像不经过（ ▲ ） （A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ） （A ） 2a + 3a = 6a ；（B ） x 8 ÷ x 2 = x 4；（C ）a 2 1 ； （D ） (-a -2 )3= - 1．a 63. 下列二次根式中，的同类二次根式是（ ▲ ）（A ）； （B ）； （C ）； （D ） ．4. 已知一组数据 2、x 、8、5、5、2 的众数是 2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ）（A ） 3.5；（B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5. 已知圆 A 的半径长为 4，圆 B 的半径长为 7，它们的圆心距为 d ，要使这两圆没有公共点，那么 d 的值可以取（ ▲ ） （A ） 11；（B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6. 已知在四边形 ABCD 中，AD //BC ，对角线 AC 、BD 交于点 O ，且 AC =BD ，下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若 AB =CD ，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形；（B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形 ABCD 一定是等腰梯形；（C ） 若 AO =CO，则四边形 ABCD 一定是矩形； OB OD（D ） 若 AC ⊥BD 且 AO =OD ，则四边形 ABCD 一定是正方形．4 2x 29⎩ k 二、填空题（本大题共 12 题, 每题 4 分, 满分 48 分）【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】7． 计算： sin 30︒ - (-3)0= ▲ ．8.方程- x = 的解是 ▲．⎧- x + 3 < 0 9. 不等式组⎪ 的解集是 ▲．⎨ x⎪3( 2- 1) ≥ 110. 已知反比例函数 y =的图像经过点（-2017，2018），当 x > 0 时，函数值 y 随x自变量 x 的值增大而▲．（填“增大”或“减小”）11. 若关于 x 的方程 x2- 3x - m = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是 ▲．12. 在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的 5 张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲．13. 抛物线 y = mx2+ 2mx + 5 的对称轴是直线 ▲．14. 小明统计了家里 3 月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足 10 分钟的通话次数的频率是 ▲．15. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 、F 分别是边 AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ．第 14 题图16. 如图，在梯形 ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4， AD = 2 5 ，若 AD = a ， DC = b ，用 a 、b 表示 DB = ▲ ．17. 如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形 ABC 是半高三角形，且斜边A B = 5 ，则它的周长等于▲．第15 题图ABD第16 题图18. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 BD 的长为 1，点 P 是线段 BDAD上的一点，联结 CP ，将△BCP 沿着直线 CP 翻折，若点 B 落在边 AD 上的点 E 处，且 EP //AB ，则 AB 的长等于▲ ．BC第 18 题图x + 6 A FDE÷ x 4x 3⎩ 三、解答题（本大题共 7 题, 满分 78 分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分 10 分）先化简，再求值： 1 - x + 1 x + 3 x 2 - 1 2+ + ，其中 x = x 2- 2x + 1 1 ． 2 + 120．（本题满分 10 分）⎧x 2 + 5xy - 6 y 2 = 0 ，解方程组： ⎨2 x - y = 1 ．21．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB =AC ，点 D 在 BA 的延长线上，BC =24，Dsin ∠ABC = 5．13（1） 求 AB 的长；B（2） 若 AD =6.5，求∠DCB 的余切值．22．（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分）C第 21 题图某旅游景点的年游客量 y （万人）是门票价格 x （元）的一次函数，其函数图像如下图．（1） 求 y 关于 x 的函数解析式；（2） 经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为 20 元．那么要想获得年利润 11500 万元，且门票价格不得高于 230 元，该年的门票价格应该定为多少元？第 22 题图23．（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）如图，在四边形 ABCD 中，AD //BC ，E 在 BC 的延长线，联结 AE 分别交 BD 、CD 于点AD GFA DG 、F ，且 = ．BE AG （1） 求证：AB //CD ；（2） 若 BC 2 = GD ⋅ BD ，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形． BCE第 23 题图AGF期初三数OC AB24．（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）如图在直角坐标平面内，抛物线 y = ax 2+ bx - 3 与 y 轴交于点 A ，与 x 轴分别交于点 B （-1，0）、点 C （3，0），点 D 是抛物线的顶点.（1） 求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2） 联结 AD 、DC ，求∆ACD 的面积；（3） 点 P 在直线 DC 上，联结 OP ，若以 O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 P 的坐标．备用图第 24 题图25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分）在圆 O 中，C 是弦 AB 上的一点，联结 OC 并延长，交劣弧 AB 于点 D ，联结 AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆 O 的半径长为 5 ，弦 AB 的长为 8．（1） 如图 1，当点 D 是弧 AB 的中点时，求 CD 的长；（2） 如图 2，设 AC =x ，S ∆ACO= y ，求 y 关于 x 的函数解析式并写出定义域；S ∆OBD（3） 若四边形 AOBD 是梯形，求 AD 的长．DD图 1长宁区 2017 学年第二学 图 2 第 25 题图备用图学参考答案和评分建议OC ABOA B131322018 .3一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．B；2．D；3．C；4．A；5．D；6．C．二．填空题：（本大题共12题，满分48分）7．-1；8．x =-2 ；9．x > 3 ；10．增大；11．m =-3；12．3；2 4 5︒1 →→13．x =-1 ；14．0.7 ；15．140 ；16．2b -a ；17．5 +3 5或5 +5 ；18．．2三、（本大题共7 题，第19、20、21、22 每题10 分，第23、24 每题12 分，第25 题14 分，满分78 分）19.（本题满分10 分）解：原式=1-x +11x + 3⨯(x +1)(x -1)x -1(x -1)2(x + 3)(x +1)(3 分)= -x +1 (x +1)2(2 分)x +1-x+1=(x +1)2(1 分)2=(x +1)2(1 分)当x == -1 时，原式=2(x +1)2(3 分)20．（本题满分10分）解：方程①可变形为(x + 6 y)(x -y) = 0得x + 6 y = 0 或x -y = 0 （2 分）⎧x + 6 y = 0 ⎧x -y = 0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎨2x -y =1或（Ⅱ）⎨2x -y = 1（2 分）⎧x =6⎩⎩⎧x = 1⎪解方程组（Ⅰ）⎨ 1 ，解方程组（Ⅱ）⎨y =1（4 分）⎪y =-⎩13⎧x =6⎧x = 1⎪1所以原方程组的解是⎨1，⎨y = 1 . （2 分）⎪y1=-⎩2⎩13另解：由②得y = 2x -1③（1 分）25 -12⎩6⎩ 6把③代入①，得x2 + 5x(2x -1) - 6(2x -1)2 = 0 （1 分）整理得：13x2 -19x + 6 = 0 （2 分）解得：x1 =13 , x2= 1 （2 分）分别代入③，得y1=-1, y = 113 2（2 分）⎧⎪ 所以原方程组的解是⎨ x1=131⎧x2= 1，⎨y =1. （2 分）⎪y1 =-⎩2⎩1321．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为点E又∵AB=AC ∴BE =1 BC2∵BC=24 ∴ BE=12 （1 分）在Rt∆ABE 中，∠AEB = 90︒，sin ∠ABC =AE=5AB 13（1 分）设AE=5k,AB=13k ∵ AB2 =AE 2 +BE 2 ∴BE = 12k = 12∴k= 1 ，∴ AE = 5k = 5 ，AB = 13k =13 （2 分）（2）过点D 作DF⊥BC，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE⊥BC，DF⊥BC ∴∠AEB =∠DFB = 90︒∴AE // DF∴ AE=BEDF BF =ABBD又∵ AE=5，BE=12，AB=13，∴DF =15, BF =18 2∴CF =BC -BF 即CF = 24 -18 = 6 （4 分）（1 分）在Rt∆DCF 中，∠DFC = 90︒，cot ∠DCB =CFDF=6=415 52（1 分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设y=kx+b(k≠0)，函数图像过点（200,100），（50,250）（1分）⎧200k +b = 100代入解析式得：⎨50k +b = 250（2 分）2 ⎨⎨ ⎨⎧ k = -1解之得： ⎩b = 300所以 y 关于 x 的解析式为： y = -x + 300（1 分）（1 分）（2）设门票价格定为 x 元，依题意可得：(x - 20)(-x + 300) = 11500（2 分）整理得： x 2- 320x +17500 = 0 解之得：x =70 或者 x =250（舍去） （2 分） 答：门票价格应该定为 70 元.（1 分）23．（本题满分 12 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 7 分）证明：（1）∵ AD // BC∴ AD = DG（2 分）BEBG∵ AD = GF∴ DG = GF（1 分） BE AGBGAG∴ AB // CD（2 分） （2）∵ AD // BC ， AB // CD∴四边形 ABCD 是平行四边形∴BC=AD（1 分）∵ BC 2 = GD ⋅ BD ∴ AD 2 = GD ⋅ BD 即AD = GD又 ∵ ∠ADG = ∠BDA ∴ ∠DAG = ∠ABD BD AD∴ ∆ADG ∽ ∆BDA（1 分）∵ AB // CD ∵ AD // BC ∴ ∠ABD = ∠BDC ∴ ∠DAG = ∠E ∵BG =GE ∴ ∠DBC = ∠E ∴ ∠BDC = ∠DBC （3 分） ∴BC=CD（1 分） ∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形 ABCD 是菱形. （1 分）24.（本题满分 12 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 3 分，第（3）小题 5 分）解：（1） 点 B （-1，0）、C （3，0）在抛物线 y = ax 2+ bx - 3 上⎧a - b - 3 = 0 ∴ ⎩9a + 3b - 3 = 0 ⎧a = 1，解得 ⎩b = -2（ 2 分）∴抛物线的表达式为 y = x 2- 2x - 3 ，顶点 D 的坐标是（1，-4）（ 2 分）（2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴ AC = 3 ，CD = 2 ， AD =∴ CD 2 = AC 2 + AD 21∴ ∠CAD = 90︒1（ 2 分） ∴ S ∆ACD= ⋅ AC ⋅ AD = ⨯ 3 ⨯ 2 2= 3. （1 分）2 5 2 22 AO 2- AC 2HO 2+ HC 2x x 2- 8x + 25 1 x 2 - 8x + 25 （3）∵ ∠CAD = ∠AOB = 90︒，AD = AC= ， BO AO∴△CAD ∽△AOB ，∴ ∠ACD = ∠OAB ∵OA =OC ， ∠AOC = 90︒ ∴ ∠OAC = ∠OCA = 45︒∴ ∠OAC + ∠OAB = ∠OCA + ∠ACD ，即∠BAC = ∠BCD若以 O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形则∆POC 也为锐角三角形，点 P 在第四象限（ 1 分）由点 C （3，0），D （1，-4）得直线 CD 的表达式是 y = 2x - 6 ，设 P (t ,2t - 6) （ 0 < t < 3 ） 过 P 作 PH ⊥OC ，垂足为点 H ，则OH = t ， PH = 6 - 2t ①当∠POC = ∠ABC 时,由tan ∠POC = tan ∠ABC 得 PH = AO ，6 - 2t66 18OH BO∴ t = 3 ，解得t = 5 ， ∴ P 1 ( 5 ,- 5)（2 分） ②当∠POC = ∠ACB 时,由tan ∠POC = tan ∠ACB = tan 45︒ = 1 得 PH OH∴ 6 - 2t= 1，解得t = 2 ，∴ P (2,-2) = 1 ，（ 2 分）t 26 18综上得 P 1 ( 5 ,- 5 ) 或 P 2 (2,-2)25.（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分）解：（1）∵OD 过圆心，点 D 是弧 AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ， AC = AB = 42在 Rt △AOC 中， ∠ACO = 90︒ ，AO =5，∴ CO = = 3（2 分）（1 分） OD = 5 ，∴ CD = OD - OC = 2（2）过点 O 作 OH ⊥AB ，垂足为点 H ，则由（1）可得 AH =4，OH =3∵AC =x ，∴ CH =| x - 4 |在 Rt △HOC 中， ∠CHO = 90︒ ，AO =5，（1 分）∴ CO = =S ∆S S=AC OC x ，（1 分）∴ y = ACO = ∆ACO ⋅ ∆OBC = ⋅ = ⋅ S ∆OBD S ∆OBC S ∆OBD BC OD 8 - x 5=（ 0 < x < 8 ）（3 分）40 - 5x（3） ①当 OB //AD 时， 过点 A 作 AE ⊥OB 交 BO 延长线于点 E ，过点 O 作 OF ⊥AD ,垂足为点 F ，1 1AB ⋅ O H 24则 OF =AE ， S ∆ABO = 2 AB ⋅ OH = 2OB ⋅ AE∴ AE =OB = = OF 5在 Rt △AOF 中， ∠AFO = 90︒ ，AO =5，32 + | x - 4 |2 x 2- 8x + 25DO 2 - DG 2 AG 2+ DG 214 7 7 18 ∴ AF = =7 ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴ AD = 2 A F = .（3 分）55②当 OA //BD 时， 过点 B 作 BM ⊥OA 交 AO 延长线于点 M ，过点 D 作 DG ⊥AO ，垂足为点 G ， 则由①的方法可得 DG = BM =24， 在 Rt △GOD 中， ∠DGO = 90︒ ，DO =5，5∴ GO = = ， AG = AO - G O = 5 - = ，5 5 5在 Rt △GAD 中， ∠DGA = 90︒ ，∴ AD = = 6 综上得 AD =14 或65（ 3 分）AO 2- OF 2。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编：几何证明
几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分 ∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分 ∴ANACAE AM =……1分 ∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分图6图6长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BEAD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGD BD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CM EK CK =； （2）求证：BD AE =．ACDEFGB第23题图（第23题图）ABK MCDE23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥ ∴DE CMEK CK=………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．ACD E图7B黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E、F分别为菱形ABCD边AD、CD的中点.（1）求证：BE=BF；（2）当△BEF为等边三角形时，求证：∠D=2∠A.23. 证：（1）∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=AD=CD，∠A=∠C，——————————————————（2分）又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE===,∴AG =BG ，——————————————————————————（1分） 又∠AGE =∠BGO ，∴△AGE ≌△BGO ，———— ——————————————————（1分）∴AE =BO ，则AD =BD ，∴△ABD 是等边三角形，—— —————————————————（1分） 所以∠BAD =60°，则∠ADC =120°，即∠ADC =2∠BAD . ——— ——————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD 是△ABC 的中线， M 是AD 的中点， 过A 点作AE ∥BC ，CM 的延 长线与AE 相交于点E ，与AB 相交于点F ． （1）求证：四边形AEBD 是平行四边形； （2）如果AC =3AF ，求证四边形AEBD 是矩形．23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分） （2）∵AE //BC ，∴AF AEFB BC=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分） ∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）E AFM BD图7C静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ． （1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分） 又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分） ∴△ADB ∽△EBF ∴DBABBF EF =………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅ ∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．C第23题图ABDEFCAB第23题图DE FAFD（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =. ABC DE FG图923．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ······ （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ···················· （1分） 同理 EF CFAB CA= ． ························ （1分） 得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ······················ （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分） ∴EH DEEF AE=． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················· （1分） 青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ， ··············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ·········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分） ∴=FM AMMD MC． ······················ （1分） MFEDCBA图7∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DMMD MB， ······················ （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ．·············· （1分）由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF，················· （1分） ∴=AF EF ， ························ （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················· （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD(第23题图)FACD EB∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分 ∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分 (2) ∵四边形BCEF 是菱形, ∴BC =BF ∵12BF AB =∴AB =2BC ………………………………………………1分 ∵ AB ∥CD ∴ ∠DEA =∠EAB ∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AEBE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分 徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠. （1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥， 求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.(第23题图)FACD EB杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编几何证明专题
几何证明专题宝山区、嘉定区23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图6，在正方形ABCD 中，点M 是边BC 上的一点（不与B 、C 重合），点N 在CD 边的延长线上，且满足︒=∠90MAN ，联结MN 、AC ，MN 与边AD 交于点E . （1）求证；AN AM =；（2）如果NAD CAD ∠=∠2，求证：AE AC AM ⋅=2.23.证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形∴AD AB =，︒=∠=∠=∠=∠90BCD ADC B BAD ……1分 ∴︒=∠+∠90MAD MAB ∵︒=∠90MAN∴︒=∠+∠90MAD NAD ∴NAD MAB ∠=∠………1分 ∵︒=∠+∠180ADC ADN ∴︒=∠90ADN ……1分 ∴ADN B ∠=∠……………………1分 ∴△ABM ≌△ADN ………………………1分 ∴AN AM = ……………………………1分（2）∵四边形ABCD 是正方形 ∴AC 平分BCD ∠和BAD ∠ ∴︒=∠=∠4521BCD BCA ，︒=∠=∠=∠4521BAD CAD BAC ……1分 ∵NAD CAD ∠=∠2 ∴︒=∠5.22NAD∵NAD MAB ∠=∠ ∴︒=∠5.22MAB ………1分 ∴︒=∠5.22MAC ∴︒=∠=∠5.22NAE MAC ∵AN AM =,︒=∠90MAN ∴︒=∠45ANE∴ANE ACM ∠=∠…………………1分 ∴△ACM ∽△ANE …………1分图6图6∴ANACAE AM =……1分 ∵AN AM =∴AE AC AM ⋅=2…………1分长宁区23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点G 、F ，且AGGF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分）∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分）∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分）AC DEFGB第23题图崇明区23．（本题满分12分，第(1)、(2)小题满分各6分）如图，AM 是ABC △的中线，点D 是线段AM 上一点（不与点A 重合）．DE AB ∥交BC 于点K ，CE AM ∥，联结AE ．（1）求证：AB CMEK CK=； （2）求证：BD AE =．23．（本题满分12分，每小题6分） （1）证明：∵DE AB ∥∴ ABC EKC =∠∠ ……………………………………………………1分∵CE AM ∥∴ AMB ECK =∠∠ ……………………………………………………1分∴ABM EKC △∽△ ……………………………………………………1分 ∴AB BMEK CK=………………………………………………………1分 ∵ AM 是△ABC 的中线∴BM CM = ………………………………………………………1分∴AB CMEK CK=………………………………………………………1分 （2）证明：∵CE AM ∥∴DE CMEK CK =………………………………………………………2分 又∵AB CMEK CK=∴DE AB = ………………………………………………………2分 又∵DE AB ∥（第23题图）ABK MCDE∴四边形ABDE 是平行四边形 …………………………………………1分 ∴BD AE = ………………………………………………………1分奉贤区23．（本题满分12分，每小题满分各6分）已知：如图7，梯形ABCD ，DC ∥AB ，对角线AC 平分∠BCD ， 点E 在边CB 的延长线上，EA ⊥AC ，垂足为点A ． （1）求证：B 是EC 的中点；（2）分别延长CD 、EA 相交于点F ，若EC DC AC ⋅=2，求证：FC AC AF AD ::=．黄浦区23．（本题满分12分）如图，点E 、F 分别为菱形ABCD 边AD 、CD 的中点. （1）求证：BE =BF ；（2）当△BEF 为等边三角形时，求证：∠D =2∠A .23. 证：（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴AB =BC =AD =CD ，∠A =∠C ，——————————————————（2分）ACD E图7B又E、F是边的中点，∴AE=CF，——————————————————————————（1分）∴△ABE≌△CBF———————————————————————（2分）∴BE=BF. ——————————————————————————（1分）（2）联结AC、BD，AC交BE、BD于点G、O. ——————————（1分）∵△BEF是等边三角形,∴EB=EF，又∵E、F是两边中点，∴AO=12AC=EF=BE.——————————————————————（1分）又△ABD中，BE、AO均为中线，则G为△ABD的重心，∴1133OG AO BE GE===,∴AG=BG，——————————————————————————（1分）又∠AGE=∠BGO，∴△AGE≌△BGO，——————————————————————（1分）∴AE=BO，则AD=BD，∴△ABD是等边三角形，———————————————————（1分）所以∠BAD=60°，则∠ADC=120°，即∠ADC=2∠BAD. —————————————————————（1分）金山区23．（本题满分12分，每小题6分）如图7，已知AD是△ABC的中线， M是AD的中点，过A点作AE∥BC，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）如果AC=3AF，求证四边形AEBD是矩形．E AFMB图7C23．证明：（1）∵AE //BC ，∴∠AEM =∠DCM ，∠EAM =∠CDM ，……………………（1分）又∵AM=DM ，∴△AME ≌△DMC ，∴AE ＝CD ，…………………………（1分） ∵BD=CD ，∴AE =BD ．……………………………………………………（1分） ∵AE ∥BD ，∴四边形AEBD 是平行四边形．……………………………（2分）（2）∵AE //BC ，∴AF AEFB BC=．…………………………………………………（1分） ∵AE=BD=CD ，∴12AF AE FB BC ==，∴AB=3AF ．……………………………（1分）∵AC=3AF ，∴AB=AC ，…………………………………………………………（1分） 又∵AD 是△ABC 的中线，∴AD ⊥BC ，即∠ADB =90°．……………………（1分） ∴四边形AEBD 是矩形．……………………………………………………（1分）静安区23.（本题满分12分，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分） 已知：如图，在平行四边形ABCD 中， AC 、DB 交于点E ， 点F 在BC 的延长线上，联结EF 、DF ，且∠DEF =∠ADC ．（1）求证：DBABBF EF =； （2）如果DF AD BD ⋅=22，求证：平行四边形ABCD 是矩形．23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分） 证明：（1）∵平行四边形ABCD ，∴AD //BC ，AB //DC∴∠BAD +∠ADC =180°，……………………………………（1分）第23题图AB DEFCA BDEF又∵∠BEF +∠DEF =180°, ∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ……（1分） ∵∠DEF =∠ADC ∴∠BAD =∠BEF ， …………………………（1分） ∵AB //DC ， ∴∠EBF =∠ADB …………………………（1分）∴△ADB ∽△EBF ∴DB ABBF EF =………………………（2分） (2) ∵△ADB ∽△EBF ,∴BFBEBD AD =, ………………………（1分） 在平行四边形ABCD 中，BE =ED =BD 21∴221BD BE BD BF AD =⋅=⋅∴BF AD BD ⋅=22, ………………………………………（1分） 又∵DF AD BD ⋅=22∴DF BF =,△DBF 是等腰三角形 …………………………（1分） ∵DE BE =∴FE ⊥BD , 即∠DEF =90° …………………………（1分） ∴∠ADC =∠DEF =90° …………………………（1分） ∴平行四边形ABCD 是矩形 …………………………（1分） 闵行区23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，已知在△ABC 中，∠BAC =2∠C ，∠BAC 的平分线AE 与∠ABC 的平分线BD 相交于点F ，FG ∥AC ，联结DG ．（1）求证：BF BC AB BD ⋅=⋅； （2）求证：四边形ADGF 是菱形．23．证明：（1）∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAC =2∠BAF =2∠EAC ．∵∠BAC =2∠C ，∴∠BAF =∠C =∠EAC ．…………………………（1分） 又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD =∠DBC ．……………………………（1分） ∵∠ABF =∠C ，∠ABD =∠DBC ，∴ABF CBD ∆∆∽．…………………………………………………（1分） ∴AB BFBC BD=．………………………………………………………（1分） ABEGCFD（第23题图）∴BF BC AB BD ⋅=⋅．………………………………………………（1分） （2）∵FG ∥AC ，∴∠C =∠FGB ，∴∠FGB =∠FAB ．………………（1分）∵∠BAF =∠BGF ，∠ABD =∠GBD ，BF =BF ，∴ABF GBF ∆∆≌．∴AF =FG ，BA =BG ．…………………………（1分） ∵BA =BG ，∠ABD =∠GBD ，BD =BD ，∴ABD GBD ∆∆≌．∴∠BAD =∠BGD ．……………………………（1分） ∵∠BAD =2∠C ，∴∠BGD =2∠C ，∴∠GDC =∠C ，∴∠GDC =∠EAC ，∴AF ∥DG ．……………………………………（1分） 又∵FG ∥AC ，∴四边形ADGF 是平行四边形．……………………（1分） ∴AF =FG ．……………………………………………………………（1分） ∴四边形ADGF 是菱形．……………………………………………（1分）普陀区23．（本题满分12分）已知：如图9，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DE ∥AB ，DE 与对角线AC 交于点F ，FG ∥AD ，且FG EF =.（1）求证：四边形ABED 是菱形； （2）联结AE ，又知AC ⊥ED ，求证：212AE EF ED =.23．证明：（1）∵ AD ∥BC ，DE ∥AB ，∴四边形ABED 是平行四边形． ······ （2分）∵FG ∥AD ，∴FG CFAD CA=． ···················· （1分） 同理EF CFAB CA= ． ························ （1分） ABC DE F G图9得FG AD ＝EFAB∵FG EF =，∴AD AB =． ···················· （1分） ∴四边形ABED 是菱形． ····················· （1分） （2）联结BD ，与AE 交于点H ．∵四边形ABED 是菱形，∴12EH AE =，BD ⊥AE ． ········ （2分） 得90DHE ∠= ．同理90AFE ∠=．∴DHE AFE ∠∠＝． ······················· （1分） 又∵AED ∠是公共角，∴△DHE ∽△AFE ． ············ （1分）∴EH DEEF AE =． ························· （1分） ∴212AE EF ED =． ······················· （1分） 青浦区23.（本题满分12分，第（1）、（2）小题，每小题6分）如图7，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点M ，点E 在边 BC 上，且DAE DCB ∠=∠，联结AE ，AE 与BD 交于点F ．（1）求证：2DM MF MB =⋅； （2）联结DE ，如果3BF FM =，求证：四边形ABED 是平行四边形.23．证明：（1）∵AD //BC ，∴∠=∠DAE AEB ，··············· （1分）∵∠=∠DCB DAE ，∴∠=∠DCB AEB ， ·········· （1分） ∴AE //DC ， ························ （1分）∴=FM AMMD MC． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴=AM DMMC MB， ················ （1分） ∴=FM DM MD MB， ····················· （1分） 即2=⋅MD MF MB ．（2）设=FM a ，则=3BF a ，=4BM a ． ············· （1分）MFE DCBA图7由2=⋅MD MF MB ，得24=⋅MD a a ，∴2=MD a ， ······················· （1分） ∴3==DF BF a ． ····················· （1分） ∵AD //BC ，∴1==AF DFEF BF， ················ （1分） ∴=AF EF ， ······················· （1分） ∴四边形ABED 是平行四边形. ················· （1分）松江区23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分）如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠D =90°，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，F 是AB 的中点，联结AE 、EF ，且AE ⊥BE ．求证：（1）四边形BCEF 是菱形；（2）2BE AE AD BC ⋅=⋅.23.（本题满分12分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分5分） 证明：(1) ∵BE 平分∠ABC ,∴∠ABE =∠CBE …………………………………………………1分 ∵AE ⊥BE ∴∠AEB =90° ∵F 是AB 的中点 ∴12EF BF AB ==………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠FBE …………………………………………………1分 ∴∠FEB =∠CBE …………………………………………………1分 ∴EF ∥BC …………………………………………………1分 ∵AB ∥CD∴四边形BCEF 是平行四边形…………………………1分(第23题图)FACD EBA CDE∵EF BF =∴四边形BCEF 是菱形……………………………………1分(2) ∵四边形BCEF 是菱形,∴BC =BF ∵12BF AB = ∴AB =2BC ………………………………………………1分∵ AB ∥CD∴ ∠DEA =∠EAB∵ ∠D =∠AEB∴ △EDA ∽△AEB ………………………………………2分∴AD AE BE AB = …………………………………………1分 ∴ BE ·AE =AD ·AB∴ 2BE AE AD BC ⋅=⋅…………………………………1分徐汇区23. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB CD =，BD BC =，点E 在对角线BD 上，且DCE DBC ∠=∠.（1）求证：AD BE =；（2）延长CE 交AB 于点F ，如果CF AB ⊥，求证：4EF FC DE BD ⋅=⋅.杨浦区23、（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：如图7，在□ABCD中，点G为对角线AC的中点，过点G的直线EF分别交边AB、CD 于点E、F，过点G的直线MN分别交边AD、BC于点M、N，且∠AGE=∠CGN。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编压轴题专题(有答案)
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：压轴题专题宝山区、嘉定区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分）在圆O 中，AO 、BO 是圆O 的半径，点C 在劣弧AB 上，10=OA，12=AC ，AC ∥OB ，联结AB . （1）如图8，求证：AB 平分OAC ∠；（2）点M 在弦AC 的延长线上，联结BM ，如果△AMB 是直角三角形，请你在如图9中画出 点M 的位置并求CM 的长；（3）如图10，点D 在弦AC 上，与点A 不重合，联结OD 与弦AB 交于点E ，设点D 与点C 的 距离为x ，△OEB 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.25.（1）证明：∵AO 、BO 是圆O 的半径 ∴BO AO =…………1分 ∴B OAB ∠=∠…………1分 ∵AC ∥OB∴B BAC ∠=∠…………1分 ∴BAC OAB ∠=∠∴AB 平分OAC ∠…………1分 (2)解：由题意可知BAM ∠不是直角，所以△AMB 是直角三角形只有以下两种情况:︒=∠90AMB 和︒=∠90ABM① 当︒=∠90AMB ，点M 的位置如图9-1……………1分 过点O 作AC OH ⊥,垂足为点H图8图10图8∵OH 经过圆心 ∴AC HC AH 21== ∵12=AC ∴6==HC AH 在Rt △AHO 中，222OA HO AH =+ ∵10=OA ∴8=OH∵AC ∥OB ∴︒=∠+∠180OBM AMB ∵︒=∠90AMB ∴︒=∠90OBM ∴四边形OBMH 是矩形 ∴10==HM OB∴4=-=HC HM CM ……………2分 ②当︒=∠90ABM ，点M 的位置如图9-2 由①可知58=AB ，552cos =∠CAB 在Rt △ABM 中，552cos ==∠AM AB CAB∴20=AM8=-=AC AM CM ……………2分综上所述，CM 的长为4或8.说明：只要画出一种情况点M 的位置就给1分，两个点都画正确也给1分. （3）过点O 作AB OG ⊥,垂足为点G 由（1）、（2）可知，CAB OAG ∠=∠sin sin 由（2）可得：55sin =∠CAB ∵10=OA ∴52=OG ……………1分 ∵AC ∥OB ∴ADOBAE BE =……………1分 又BE AE -=58,x AD -=12,10=OB ∴xBEBE -=-121058 ∴x BE -=22580 ……………1分∴52225802121⨯-⨯=⨯⨯=xOG BE y ∴xy -=22400……………1分自变量x 的取值范围为120<≤x ……………1分图10长宁区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8， ∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO Θ，AO =5， ∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD Θ，2=-=∴OC OD CD （1分）（2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3 ∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO Θ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO O AC DBO BA C DBAOxx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ， 则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121Θ ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO Θ，AO =5， ∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分） ②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO Θ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ， 在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA Θ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD 崇明区25．（本题满分14分，第(1)小题4分，第(2)小题4分，第(3)小题6分）如图，已知ABC △中，8AB =，10BC =，12AC =，D 是AC 边上一点，且2AB AD AC =⋅，联结BD ，点E 、F 分别是BC 、AC 上两点（点E 不与B 、C 重合），AEF C ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ． （1）求证：BD 平分ABC ∠；（2）设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数关系式； （3）联结FG ，当GEF △是等腰三角形时，求BE 的长度．25．（满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）（第25题图）A BCDGEF（备用图）ABCD（1）∵8AB =，12AC = 又∵2AB AD AC =g ∴163AD =∴16201233CD =-= ……………………………1分 ∵2AB AD AC =g ∴AD AB AB AC= 又∵BAC ∠是公共角 ∴ADB ABC △∽△ …………………………1分 ∴ABD C =∠∠，BD ADBC AB= ∴203BD =∴BD CD = ∴DBC C =∠∠ ………………………1分 ∴ABD DBC =∠∠ ∴BD 平分ABC ∠ ………………………1分 （2）过点A 作AH BC ∥交BD 的延长线于点H∵AH BC ∥ ∴16432053AD DH AH DC BD BC ==== ∵203BD CD ==，8AH = ∴163AD DH == ∴12BH = ……1分 ∵AH BC ∥ ∴AH HG BE BG = ∴812BG x BG -= ∴128xBG x =+…1分 ∵BEF C EFC =+∠∠∠ 即BEA AEF C EFC +=+∠∠∠∠ ∵AEF C =∠∠ ∴BEA EFC =∠∠ 又∵DBC C =∠∠∴BEG CFE △∽△ ……………………………………………………………1分∴BE BGCF EC= ∴12810x x x y x +=-∴228012x x y -++= …………………………………………………………1分（3）当△GEF 是等腰三角形时，存在以下三种情况：1° GE GF = 易证23GE BE EF CF == ，即23x y =，得到4BE = ………2分 2° EG EF = 易证BE CF =，即x y =，5BE =-+…………2分 3° FG FE = 易证 32GE BE EF CF == ，即32x y =3BE =-+ ………2分奉贤区25．（本题满分14分，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分5分，第(3)小题满分4分）已知：如图9，在半径为2的扇形AOB 中，∠AOB=90°，点C 在半径OB 上，AC 的垂直平分线交OA 于点D ，交弧AB 于点E ，联结BE 、CD ．（1）若C 是半径OB 中点，求∠OCD 的正弦值； （2）若E 是弧AB 的中点，求证：BC BO BE ⋅=2；（3）联结CE ，当△DCE 是以CD 为腰的等腰三角形时，求CD 的长．图9备用图ABO备用图ABO黄浦区25．（本题满分14分）如图，四边形ABCD中，∠BCD=∠D=90°，E是边AB的中点.已知AD=1，AB=2.（1）设BC=x，CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）当∠B=70°时，求∠AEC的度数；（3）当△ACE为直角三角形时，求边BC的长.25. 解：（1）过A作AH⊥BC于H，————————————————————（1分）由∠D=∠BCD=90°，得四边形ADCH为矩形.在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，所以22221y x =+-，——————————————————————（1分） 则()22303y x x x =-++<<.———————————————（2分）（2）取CD 中点T ，联结TE ，————————————————————（1分） 则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD .∴∠AET =∠B =70°. ———————————————————————（1分） 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°. ——————————————————（1分） 由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，————————————（1分） 所以∠AEC =70°＋35°=105°. ——————————————————（1分）（3）当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2. ——————————————————————（2分）当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x =-=-，则2241174AD CAx x AC CBx -±=⇒=⇒=-（舍负）—————（2分） 易知∠ACE <90°.所以边BC 的长为2或117+.——————————————————（1分）金山区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5 分）如图9，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC =AD =5，3sin 5B =，P 是线段BC 上 一点，以P 为圆心，PA 为半径的⊙P 与射线AD 的另一个交点为Q ，射线PQ 与射线CD 相交于点E ，设BP =x ．（1）求证△ABP ∽△ECP ；（2）如果点Q 在线段AD 上（与点A 、D 不重合），设△APQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （3）如果△QED 与△QAP 相似，求BP 的长．25．解：（1）在⊙P 中，PA =PQ ，∴∠PAQ ＝∠PQA ，……………………………（1分）∵AD ∥BC ，∴∠PAQ ＝∠APB ，∠PQA ＝∠QPC ，∴∠APB ＝∠EPC ，……（1分） ∵梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∴∠B ＝∠C ，…………………………（1分） ∴△APB ∽△ECP ．…………………………………………………………（1分） （2）作AM ⊥BC ，PN ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴AM ∥PN ，∴四边形AMPN 是平行四边形，∴AM =PN ，AN =MP ．………………………………………………………（1分） 在Rt △AMB 中，∠AMB =90°，AB =5，sinB =35， ∴AM =3，BM =4，∴PN =3，PM =AN =x -4，……………………………………（1分） ∵PN ⊥AQ ，∴AN =NQ ，∴AQ = 2x -8，……………………………………（1分） ∴()1128322y AQ PN x =⋅⋅=⋅-⋅，即312y x =-，………………………（1分） 定义域是1342x <<．………………………………………………………（1分） （3）解法一：由△QED 与△QAP 相似，∠AQP ＝∠EQD ，①如果∠PAQ ＝∠DEQ ，∵△APB ∽△ECP ，∴∠PAB ＝∠DEQ ，又∵∠PAQ ＝∠APB ，∴∠PAB ＝∠APB ，∴BP =BA =5．………………………（2分）ABCD图9备用图②如果∠PAQ ＝∠EDQ ，∵∠PAQ ＝∠APB ，∠EDQ ＝∠C ，∠B ＝∠C ，∴∠B ＝∠APB ，∴ AB =AP ，∵AM ⊥BC ，∴ BM =MP =4，∴ BP =8．………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．………………………………………………（1分） 解法二：由△QAP 与△QED 相似，∠AQP ＝∠EQD ， 在Rt △APN 中，AP PQ ===∵QD ∥PC ，∴EQ EPQD PC=， ∵△APB ∽△ECP ，∴AP EPPB PC=，∴AP EQ PB QD =， ①如果AQ EQ QP QD =，∴AQ AP QP PB =x=，解得5x =………………………………………………………………………（2分） ②如果AQ DQ QP QE =，∴AQ PBQP AP==解得8x =………………………………………………………………………（2分） 综上所述BP 的长为5或者8．…………………………………………………（1分）静安区25．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分4分） 如图，平行四边形ABCD 中，已知AB =6，BC =9，31cos =∠ABC ．对角线AC 、BD 交于点O ．动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．设BP = x ．（1） 求AC 的长；（2） 设⊙O 的半径为y ，当⊙P 与⊙O 外切时， 求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3） 如果AC 是⊙O 的直径，⊙O 经过点E ， 求⊙O 与⊙P 的圆心距OP 的长．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分） 解：（1）作AH ⊥BC 于H ，且31cos =∠ABC ，AB =6， A 第25题图B P OC DE · 第25题备用图ABOCDDA · POE那么2316cos =⨯=∠⋅=ABC AB BH …………（2分） BC =9，HC =9-2=7，242622=-=AH ， ……………………（1分） 9493222=+=+=HC AH AC ﹒ ………（1分）（2）作OI ⊥AB 于I ，联结PO , AC =BC =9，AO =4.5 ∴∠OAB =∠ABC ,∴Rt △AIO 中， 31cos cos ==∠=∠AO AI ABC IAO∴AI =1.5，IO =2322=AI ……………………（1分） ∴PI =AB -BP -AI =6-x -1.5=x -29， ……………………（1分） ∴Rt △PIO 中，41539481918)29()23(2222222+-=+-+=-+=+=x x x x x OI PI OP ……（1分） ∵⊙P 与⊙O 外切，∴y x x x OP +=+-=415392 ……………………（1分） ∴y =x x x x x x -+-=-+-153364214153922…………………………（1分） ∵动点P 在边AB 上，⊙P 经过点B ,交线段PA 于点E ．∴定义域：0<x ≤3…………（1分） （3）由题意得：∵点E 在线段AP 上，⊙O 经过点E ，∴⊙O 与⊙P 相交 ∵AO 是⊙O 半径，且AO ＞OI ，∴交点E 存在两种不同的位置，OE =OA =29① 当E 与点A 不重合时，AE 是⊙O 的弦，OI 是弦心距，∵AI =1.5，AE =3， ∴点E 是AB 中点，321==AB BE ,23==PE BP ,3=PI , IO =23 3327)23(32222==+=+=IO PI OP ……………………（2分）② 当E 与点A 重合时，点P 是AB 中点，点O 是AC 中点,2921==BC OP ……（2分） ∴33=OP 或29． 闵行区25．（本题满分14分，其中第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB = 90o，AC =6，BC = 8，点F 在线段AB 上，以点B 为圆心，BF 为半径的圆交BC 于点E ，射线AE 交圆B 于点D （点D 、E 不重合）．（1）如果设BF = x ，EF = y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出它的定义域；第25题图(2)（2）如果»»2EDEF =，求ED 的长； （3）联结CD 、BD ，请判断四边形ABDC 是否为直角梯形？说明理由．25．解：（1）在Rt △ABC 中，6AC =，8BC =，90ACB ∠=o∴10AB =．……………………………………………………………（1分） 过E 作EH ⊥AB ，垂足是H ， 易得：35EH x =，45BH x =，15FH x =．…………………………（1分） 在Rt △EHF 中，222223155EF EH FH x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴(08)y x x =<<．………………………………………（1分+1分） （2）取»ED的中点P ，联结BP 交ED 于点G ∵»»2EDEF =，P 是»ED 的中点，∴»»»EP EF PD ==． ∴∠FBE =∠EBP =∠PBD ．∵»»EPEF =，BP 过圆心，∴BG ⊥ED ，ED =2EG =2DG ．…………（1分） 又∵∠CEA =∠DEB ，∴∠CAE =∠EBP =∠ABC ．……………………………………………（1分）又∵BE 是公共边，∴BEH BEG ∆∆≌．∴35EH EG GD x ===．在Rt △CEA 中，∵AC = 6，8BC =，tan tan AC CECAE ABC BC AC∠=∠==， ∴66339tan 822CE AC CAE ⨯⨯=⋅∠===．……………………………（1分） （备用图）CBA （第25题图）CBEF DADEBACF∴9169782222BE =-=-=．……………………………………………（1分） ∴6672125525ED EG x ===⨯=．……………………………………（1分）（3）四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………………（1分）①当CD ∥AB 时，如果四边形ABDC 是直角梯形， 只可能∠ABD =∠CDB = 90o． 在Rt △CBD 中，∵8BC =， ∴32cos 5CD BC BCD =⋅∠=， 24sin 5BD BC BCD BE =⋅∠==． ∴321651025CD AB ==，328153245CE BE -==； ∴CD CEAB BE≠． ∴CD 不平行于AB ，与CD ∥AB 矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分） ②当AC ∥BD 时，如果四边形ABDC 只可能∠ACD =∠CDB = 90o． ∵AC ∥BD ，∠ACB = 90o， ∴∠ACB =∠CBD = 90o ． ∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o． 与∠ACD =∠CDB = 90o矛盾．∴四边形ABDC 不可能为直角梯形．…………………………（2分）普陀区25．（本题满分14分）已知P 是O ⊙的直径BA 延长线上的一个动点，P ∠的另一边交O ⊙于点C 、D ，两点位于AB 的上方，AB ＝6，OP m ＝，1sin 3P ＝，如图11所示．另一个半径为6的1O ⊙经过点C 、D ，圆心距1OO n ＝．（1）当6m ＝时，求线段CD 的长；（2）设圆心1O 在直线AB 上方，试用n 的代数式表示m ；（3）△1POO 在点P 的运动过程中，是否能成为以1OO 为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n 的值；如果不能，请说明理由．DEBACFDC25．解：（1）过点O 作OH ⊥CD ，垂足为点H ，联结OC ．在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝，6PO =，∴2OH =． ········· （1分） ∵AB ＝6，∴3OC ＝． ······················ （1分）由勾股定理得 CH = ····················· （1分）∵OH ⊥DC ，∴2CD CH == ················ （1分） （2）在Rt △POH 中，∵1sin 3P ＝， PO m ＝，∴3mOH ＝． ········ （1分） 在Rt △OCH 中，2293m CH ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝． ················ （1分）在Rt △1O CH 中，22363m CH n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝． ·············· （1分）可得 2236933m m n ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝，解得23812n m n -＝． ········· （2分）（3）△1POO 成为等腰三角形可分以下几种情况：● 当圆心1O 、O 在弦CD 异侧时①1OP OO ＝，即m n ＝，由23812n n n-＝解得9n ＝． ········· （1分）即圆心距等于O ⊙、1O ⊙的半径的和，就有O ⊙、1O ⊙外切不合题意舍去．（1分）②11O P OO ＝n ＝，解得23m n ＝，即23n 23812n n -＝，解得n ·········· （1分） ● 当圆心1O 、O 在弦CD 同侧时,同理可得 28132n m n-＝．∵1POO ∠是钝角，∴只能是m n =，即28132n n n-＝，解得n ． ·· （2分）综上所述，n ．青浦区25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9-1，已知扇形MON，∠MON=90o，点B在弧MN上移动，联结BM，作OD⊥BM，垂足为点D，C为线段OD上一点，且OC=BM，联结BC并延长交半径OM于点A，设OA= x，∠COM的正切值为y．（1）如图9-2，当AB⊥OM时，求证：AM =AC；（2）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）当△OAC为等腰三角形时，求x的值.25．解：（1）∵OD⊥BM，AB⊥OM，∴∠ODM =∠BAM=90°．··········（1分）∵∠ABM +∠M =∠DOM +∠M，∴∠ABM =∠DOM．·········（1分）∵∠OAC=∠BAM，OC =BM，∴△OAC≌△ABM，······················（1分）∴AC =AM．·························（1分）（2）过点D作DE//AB，交OM于点E．················（1分）∵OB＝OM，OD⊥BM，∴BD＝DM．················（1分）∵DE//AB，∴=MD MEDM AE，∴AE＝EM，∵OM，∴AE＝)12x．················（1分）∵DE//AB，∴2==OA OC DMOE OD OD，···················（1分）∴2=DM OAOD OE，∴=y（0<≤x·················（2分）（3）（i）当OA=OC时，∵111222===DM BM OC x，O MNDCBA图9-1ONDCBA图9-2NMO备用图在Rt △ODM中，==OD =DM y OD，1=x=x=x ．（2分） （ii ）当AO =AC 时，则∠AOC =∠ACO ，∵∠ACO >∠COB ，∠COB =∠AOC ，∴∠ACO >∠AOC ，∴此种情况不存在． ····················· （1分） （ⅲ）当CO =CA 时，则∠COA =∠CAO=α，∵∠CAO >∠M ，∠M =90α︒-，∴α>90α︒-，∴α>45︒，∴290α∠=>︒BOA ，∵90∠≤︒BOA ，∴此种情况不存在． ·· （1分）松江区25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =2，AC =3，以点C 为圆心、CB 为半径的圆交AB 于点D ，过点A 作AE ∥CD ，交BC 延长线于点E.（1）求CE 的长；（2）P 是 CE 延长线上一点，直线AP 、CD 交于点Q.① 如果△ACQ ∽△CPQ ，求CP 的长；② 如果以点A 为圆心，AQ 为半径的圆与⊙C 相切，求CP 的长.25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题每个小题各5分） 解：（1）∵AE ∥CD∴BC DC BE AE=…………………………………1分 ∵BC=DC∴BE=AE …………………………………1分 设CE =x(第25题图)CBA DE(备用图)CBADECBA DE则AE =BE =x +2 ∵ ∠ACB =90°， ∴222AC CE AE +=即229(2)x x +=+………………………1分 ∴54x =即54CE =…………………………………1分 （2）①∵△ACQ ∽△CPQ ，∠QAC>∠P∴∠ACQ=∠P …………………………………1分 又∵AE ∥CD ∴∠ACQ=∠CAE∴∠CAE=∠P ………………………………1分 ∴△ACE ∽△PCA ，…………………………1分 ∴2AC CE CP =⋅…………………………1分 即2534CP =⋅ ∴365CP =……………………………1分 ②设CP =t ，则54PE t =- ∵∠ACB =90°，∴AP ∵AE ∥CD ∴AQ ECAP EP=……………………………1分5545454t t ==--∴AQ =1分若两圆外切，那么1AQ == 此时方程无实数解……………………………1分CBA DEPQ若两圆内切切，那么2595t AQ +== ∴21540160t t -+= 解之得2041015t ±=………………………1分又∵54t >∴2041015t +=………………………1分徐汇区25. 已知四边形ABCD 是边长为10的菱形，对角线AC 、BD 相交于点E ，过点C 作CF ∥DB 交AB 延长线于点F ，联结EF 交BC 于点H . （1）如图1，当EF BC ⊥时，求AE 的长；（2）如图2，以EF 为直径作⊙O ，⊙O 经过点C 交边CD 于点G （点C 、G 不重合），设AE 的长为x ，EH 的长为y ；① 求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；③ 联结EG ，当DEG ∆是以DG 为腰的等腰三角形时，求AE 的长.杨浦区25、（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分）如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,AB=DC=5，AD=1，BC=9，点P为边BC上一动点，作PH⊥DC，垂足H在边DC上，以点P为圆心PH为半径画圆，交射线PB于点E.（1）当圆P过点A时，求圆P的半径；（2）分别联结EH和EA，当△ABE△CEH时，以点B为圆心，r为半径的圆B与圆P相交，试求圆B的半径r的取值范围；（3）将劣弧沿直线EH翻折交BC于点F，试通过计算说明线段EH和EF的比值为定值，并求出此定值。
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编：综合计算含解析
上海市各区2018届中考数学二模试卷精选汇编：综合计算含解析21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图4，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，︒=∠90BAD ，AD AC =. （1）如果BAC ∠︒=∠-10BCA ，求D ∠的度数； （2）若10=AC ，31cot =∠D ，求梯形ABCD 的面积.21.解：（1）∵AD ∥BC∴CAD BCA ∠=∠ …………………1分 ∵BAC ∠︒=∠-10BCA∴BAC ∠︒=∠-10CAD …………………1分 ∵︒=∠90BAD∴BAC ∠︒=∠+90CAD∴︒=∠40CAD …………………1分 ∵AD AC =∴D ACD ∠=∠ …………………1分 ∵︒=∠+∠+∠180CAD D ACD∴︒=∠70D …………………1分(2) 过点C 作AD CH ⊥,垂足为点H ，在Rt △CHD 中，31cot =∠D ∴31cot ==∠CH HD D …………………………1分 图4DCB 图4DCBAH设x HD =,则x CH 3=，∵AD AC =,10=AC ∴x AH -=10 在Rt △CHA 中，222AC CH AH =+ ∴22210)3()10(=+-x x ∴2=x ，0=x （舍去）∴2=HD …………1分 ∴6=HC ，8=AH ，10=AD ………………1分 ∵︒=∠=∠90CHD BAD ∴AB ∥CH∵AD ∥BC ∴四边形ABCH 是平行四边形 ∴8==AH BC ………1分 ∴梯形ABCD 的面积546)810(21)(21=⨯+=⨯+=CH BC AD S ………1分 长宁区21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ． （1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BEADB第21题图∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F ∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分） 在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，5426cot ===∠DF CF DCB （1分）崇明区21．（本题满分10分，第(1)、(2)小题满分各5分）已知圆O 的直径12AB =，点C 是圆上一点，且30ABC ∠=︒，点P 是弦BC 上一动点， 过点P 作PD OP ⊥交圆O 于点D ． （1）如图1，当PD AB ∥时，求PD 的长； （2）如图2，当BP 平分OPD ∠时，求PC 的长．（第21题图1）A BOP CD （第21题图2）OABDPC21．（本题满分10分，每小题5分）（1）解：联结OD∵直径12AB = ∴6OB OD == ……………………………………1分∵PD OP ⊥ ∴90DPO =︒∠∵PD AB ∥ ∴180DPO POB +=︒∠∠ ∴90POB =︒∠ ……1分 又∵30ABC =︒∠，6OB =∴30OP OB tan =︒= ………………………………………………1分 ∵在Rt POD △中，222PO PD OD += ……………………………1分∴2226PD +=∴PD =……………………………………………………………1分 （2）过点O 作OH BC ⊥，垂足为H ∵OH BC ⊥∴90OHB OHP ==︒∠∠ ∵30ABC =︒∠，6OB =∴132OH OB ==，30BH OB cos =︒= ……………………2分 ∵在⊙O 中，OH BC ⊥∴CH BH == ……………………………………………………1分∵BP 平分OPD ∠ ∴1452BPO DPO ==︒∠∠ ∴453PH OH cot =︒= ……………………………………………1分∴3PC CH PH =-=- ………………………………………1分奉贤区21.（本题满分10分，每小题满分各5分）已知：如图6，在△ABC 中，AB =13，AC=8，135cos =∠BAC ，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ．(1) 求EAD ∠的余切值；(2) 求BF CF的值．21、（1）56； （2）58； 黄浦区21．（本题满分10分）如图，AH 是△ABC 的高，D 是边AB 上一点，CD 与AH 交于点E .已知AB =AC =6，cos B =23， AD ∶DB =1∶2.图6ABCD EF（2）求CE∶DE.21. 解：（1）由AB=AC=6，AH⊥BC，得BC=2BH.—————————————————————————（2分）在△ABH中，AB=6，cosB=23，∠AHB=90°，得BH=2643⨯=，AH=————————————（2分）则BC=8，所以△ABC面积=182⨯=——————————————（1分）（2）过D作BC的平行线交AH于点F，———————————————（1分）由AD∶DB=1∶2，得AD∶AB=1∶3，则31CE CH BH ABDE DF DF AD====. ——————————————（4分）金山区21．（本题满分10分，每小题5分）如图5，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F．A DF（2）如果BE∶EC=2∶1，求∠CDF的余切值．21．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB，……………………………………………………………………（1分）∵AE=BC，DF⊥AE，∴AD=AE，∠AFD=∠EBA=90°，………………………（2分）∴△ADF≌△EAB，∴AF=EB，………………………………………………………（2分）（2）设BE=2k，EC=k，则AD=BC=AE=3k，AF=BE=2k，…………………………（1分）∵∠ADC=90°，∠AFD=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90°，∴∠CDF=∠DAF…………………………………………………………………（2分）在Rt△ADF中，∠AFD=90°，DF∴cot∠CDF=cot∠DAF=AFDF==．………………………………（2分）静安区21．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）已知：如图，边长为1的正方形ABCD中，AC 、DB交于点H．DE平分∠ADB，交AC于点E．联结BE并延长，交边AD于点F．（1）求证：DC=EC；（2）求△EAF 的面积．21．（本题满分10分, 第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）∵正方形ABCD ，∴DC=BC=BA=AD , ∠BAD =∠ADC =∠DCB =∠CBA =90°AH=DH=CH=BH , AC ⊥BD ,∴∠ADH =∠HDC =∠DCH =∠DAE = 45°． …………（2分）又∵DE 平分∠AD B ∴∠ADE =∠EDH∵∠DAE +∠ADE =∠DEC , ∠EDH +∠HDC =∠EDC …………（1分） ∴∠EDC =∠DEC …………（1分） ∴DC =EC …………（1分） （2）∵正方形ABCD ，∴AD ∥BC , ∴△AFE ∽△CBE ∴2)(ECAE S S CEB AEF =∆∆ ………………………………（1分） ∵AB=BC=DC=EC =1，AC =2,∴AE =12- …………………………（1分）Rt △BHC 中， BH =22BC =22, ∴在△BEC 中，BH ⊥EC , 4222121=⨯⨯=∆BEC S ……………………（2分） ∴2)12(42-=∆AEF S , ∴4423)223(42-=-⨯=∆AEF S …………（1分） 闵行区第21题图21．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）已知一次函数24y x=-+的图像与x轴、y轴分别交于点A、B，以AB为边在第一象限内作直角三角形ABC，且∠BAC = 90o，1 tan2ABC∠=（1）求点C的坐标；（2）在第一象限内有一点M（1，m），且点MC位于直线AB的同侧，使得ABCABMSS∆∆=2求点M的坐标．21．解：（1）令0y=，则240x-+=，解得：2x=，∴点A坐标是（2，0）．令0x=，则4y=，∴点B坐标是（0，4）．………………………（1分）∴AB==．………………………………（1分）∵90BAC∠=，1tan2ABC∠=，∴AC过C点作CD⊥x轴于点D，易得OBA DAC∆∆∽．…………………（1分）∴2AD=，1CD=，∴点C坐标是（4，1）．………………………（1分）（2）11522ABCS AB AC∆=⋅=⨯=．………………………………（1分）∵2ABM ABCS S∆∆=，∴52ABMS∆=．……………………………………（1分）∵(1M，)m，∴点M在直线1x=上；令直线1x=与线段AB交于点E，2ME m=-；……………………（1分）分别过点A、B作直线1x=的垂线，垂足分别是点F、G，∴AF+BG = OA = 2；……………………………………………………（1分）（第21题图）∴111()222ABM BME AME S S S ME BG ME AF ME BG AF ∆∆=+=⋅+⋅=+1152222ME OA ME =⋅=⨯⨯=…………………（1分） ∴52ME =，522m -=，92m =，∴(1M ，92）．……………………（1分）普陀区21．（本题满分10分）如图7，在Rt △ABC 中，90C ∠=，点D 在边BC 上，DE ⊥AB ，点E 为垂足，7AB =，45DAB ∠=，3tan 4B =. （1）求DE 的长；（2）求CDA ∠的余弦值．21．解：（1）∵DE ⊥AB ，∴︒=∠90DEA又∵45DAB ∠=，∴AE DE =． ···································································· （1分） 在Rt △DEB 中，︒=∠90DEB ，43tan =B ，∴43=BE DE ．······························· （1分）设x DE 3=，那么x AE 3=，x BE 4=．∵7AB =，∴743=+x x ，解得1=x ． ··························································· （2分） ∴3=DE ． ····································································································· （1分） （2） 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得23=AD ． ············································· （1分）同理得5=BD ． ····························································································· （1分） 在Rt △ABC 中，由43tan =B ，可得54cos =B ．∴528=BC ． ······················ （1分）ABCDE 图7∴53=CD ． ····································································································· （1分）∴102cos ==∠AD CD CDA ． ··········································································· （1分）即CDA ∠青浦区21. (本题满分10分，第（1）、（2）小题，每小题5分）如图5，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC=3，BC =4，∠ABC 的平分线交边AC 于点D ，延长BD 至点E ，且BD=2DE ，联结AE ．（1）求线段CD 的长；（2）求△ADE 的面积.21．解：（1）过点D 作DH ⊥AB ，垂足为点H ． ························································ （1分）∵BD 平分∠ABC ，∠C =90°，∴DH = DC =x ， ························································································ （1分） 则AD =3-x ．∵∠C =90°，AC=3，BC =4，∴AB =5. ······················································· （1分） ∵sin ∠==HD BCBAC AD AB， ∴435=-x x ， ··························································································· （1分） ∴43=x . ··································································································· （1分）（2）1141052233=⋅=⨯⨯=ABD S AB DH . ······················································· （1分）∵BD=2DE ，ED A图5∴2==ABD ADES BDSDE， ··············································································· （3分） ∴1015323=⨯=ADES. ·············································································· （1分） 松江区21.（本题满分10分, 每小题各5分） 如图，已知△ABC 中，∠B =45°，1tan 2C =，BC =6.（1）求△ABC 面积；（2）AC 的垂直平分线交AC 于点D ，交BC 于 点E. 求DE 的长．21.（本题满分10分, 每小题各5分）解：（1）过点A 作AH ⊥BC 于点H …………1分 在Rt ABC ∆中，∠B =45°设AH =x ,则BH =x ………………………………1分 在Rt AHC ∆中，1tan 2AH C HC == ∴HC=2x ………………………………………………………1分 ∵BC =6(第21题图)DA∴x+2x =6 得x =2∴AH =2…………………………………………………………1分 ∴162ABC S BC AH ∆=⋅⋅=……………………………………1分(2)由（1）得AH =2，CH =4在Rt AHC ∆中，AC =…………………2分 ∵DE 垂直平分AC∴12CD AC == ED ⊥AC …………………………………………………1分 在Rt EDC ∆中，1tan 2ED C CD ==……………………………1分∴DE = ………………………………………………1分 徐汇区21. 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，AD 平分BAC ∠交BC 于点D . （1）求tan DAB ∠；（2）若⊙O 过A 、D 两点，且点O 在边AB 上，用 尺规作图的方法确定点O 的位置并求出的⊙O 半径. （保留作图轨迹，不写作法）杨浦区21、（本题满分10分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分）已知，如图5，在梯形ABCD中，DC//AB, AD=BC, BD平分∠ABC，∠A=600求：（1）求∠CDB的度数（2）当AD=2时，求对角线BD的长和梯形ABCD的面积。
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类(二)——《圆》(含解析)
2018-2020年上海市中考数学各地区模拟试题分类（二）——《圆》一．选择题1．（2019•芦淞区一模）如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（）A．8°B．15°C．18°D．28°2．（2019•虹口区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，tan B＝2，以AB的中点D为圆心，r为半径作⊙D，如果点B在⊙D内，点C在⊙D外，那么r可以取（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2019•虹口区二模）正六边形的半径与边心距之比为（）A．B．C．D．4．（2019•金山区二模）已知⊙O1与⊙O2内切于点A，⊙O1的半径等于5，O1O2＝3，那么O2A的长等于（）A．2 B．3 C．8 D．2或8 5．（2019•闵行区二模）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定（）A．与x轴和y轴都相交B．与x轴和y轴都相切C．与x轴相交、与y轴相切D．与x轴相切、与y轴相交6．（2019•嘉定区一模）已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部7．（2019•崇明区一模）如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径r＞1，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A．内含B．内切C．外离D．相交8．（2019•金山区一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是（）A．点B、点C都在⊙A内B．点C在⊙A内，点B在⊙A外C．点B在⊙A内，点C在⊙A外D．点B、点C都在⊙A外9．（2019•长宁区一模）在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4）．如果以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B 中有一点在圆O内，另一点在圆O外，那么r的值可以取（）A．5 B．4 C．3 D．2 10．（2019•崇明区二模）在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a＝﹣1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜﹣1时，点B在圆A外D．当﹣1＜a＜3时，点B在圆A内11．（2019•嘉定区二模）对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是（）A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补12．（2018•虹口区二模）如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，联结BE，如果AB＝6，BC＝4，那么分别以AD、BE为直径的⊙M与⊙N的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切13．（2018•松江区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙B的半径为1，已知⊙A与直线BC相交，且与⊙B没有公共点，那么⊙A的半径可以是（）A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2018•长宁区一模）已知在直角坐标平面内，以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．相离、相切、相交都有可能15．（2018•奉贤区二模）直线AB、CD相交于点O，射线OM平分∠AOD，点P在射线OM上（点P与点O不重合），如果以点P为圆心的圆与直线AB相离，那么圆P与直线CD的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定二．填空题16．（2020•嘉定区一模）如果正多边形的边数是n（n≥3），它的中心角是α°，那么α关于n的函数解析式为．17．（2020•崇明区一模）两圆的半径之比为3：1，当它们外切时，圆心距为4，那么当它们内切时，圆心距为．18．（2020•闵行区一模）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，⊙C与斜边AB 相切，那么⊙C的半径为．19．（2020•嘉定区一模）如图，⊙O的半径长为5cm，△ABC内接于⊙O，圆心O在△ABC的内部．如果AB ＝AC ，BC ＝8cm ，那么△ABC 的面积为 cm 2．20．（2020•闵行区一模）半径分别为3cm 与cm 的⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB ＝4cm ，那么圆心距O 1O 2的长为 cm ．21．（2020•奉贤区一模）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当正多边形的边数无限增加时，这个正多边形面积可无限接近它的外接圆的面积，因此可以用正多边形的面积来近似估计圆的面积，如图，⊙O 是正十二边形的外接圆，设正十二边形的半径OA 的长为1，如果用它的面积来近似估计⊙O 的面积，那么⊙O 的面积约是 ．22．（2020•闵行区一模）正五边形的边长与边心距的比值为 ．（用含三角比的代数式表示）23．（2020•崇明区一模）正五边形的中心角的度数是 ．24．（2019•青浦区二模）如图，在⊙O 中，OA 、OB 为半径，连接AB ，已知AB ＝6，∠AOB ＝120°，那么圆心O 到AB 的距离为 ．25．（2019•杨浦区二模）如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD ＝5，AE ＝2，AF ＝4．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是 ．三．解答题26．（2020•静安区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝15，sin∠BAC＝．点D在边AB上（不与点A、B重合），以AD为半径的⊙A与射线AC相交于点E，射线DE与射线BC相交于点F，射线AF与⊙A交于点G．（1）如图，设AD＝x，用x的代数式表示DE的长；（2）如果点E是的中点，求∠DFA的余切值；（3）如果△AFD为直角三角形，求DE的长．27．（2020•长宁区二模）已知AB是⊙O的一条弦，点C在⊙O上，联结CO并延长，交弦AB于点D，且CD＝CB．（1）如图1，如果BO平分∠ABC，求证：＝；（2）如图2，如果AO⊥OB，求AD：DB的值；（3）延长线段AO交弦BC于点E，如果△EOB是等腰三角形，且⊙O的半径长等于2，求弦BC的长．28．（2020•青浦区二模）如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝6，点C在半圆O上．过点A作AD⊥OC，垂足为点D，AD的延长线与弦BC交于点E，与半圆O交于点F（点F不与点B重合）．（1）当点F为的中点时，求弦BC的长；（2）设OD＝x，＝y，求y与x的函数关系式；（3）当△AOD与△CDE相似时，求线段OD的长．29．（2020•浦东新区二模）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．30．（2020•闵行区二模）如图，已知圆O是正六边形ABCDEF外接圆，直径BE＝8，点G、H 分别在射线CD、EF上（点G不与点C、D重合），且∠GBH＝60°，设CG＝x，EH＝y．（1）如图①，当直线BG经过弧CD的中点Q时，求∠CBG的度数；（2）如图②，当点G在边CD上时，试写出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）联结AH、EG，如果△AFH与△DEG相似，求CG的长．参考答案一．选择题1．解：∵正五边形的内角的度数是×（5﹣2）×180°＝108°，又∵正方形的内角是90°，∴∠1＝108°﹣90°＝18°；故选：C．2．解：如图，过点A作AF⊥BC于点F，连接CD交AF于点G，∵AB＝AC，BC＝4，∴BF＝CF＝2，∵tan B＝2，∴，即AF＝4，∴AB＝，∵D为AB的中点，∴BD＝，G是△ABC的重心，∴GF＝AF＝，∴CG＝，∴CD＝CG＝，∵点B在⊙D内，点C在⊙D外，∴＜r＜，故选：B．3．解：∵正六边形的半径为R，∴边心距r＝R，∴R：r＝1：＝2：，故选：D．4．解：设⊙O2的半径为r，∵⊙O1与⊙O2内切于点A，∴O2A＝r，O1A＝5，∴r﹣5＝3或5﹣r＝3，∴r＝8或r＝2，即O2A的长等于2或8．故选：D．5．解：∵点（3，4），∴点到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，∴在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆一定与x轴相切，与y 轴相交，故选：D．6．解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．7．解：∵r＞1，∴2＜3+r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．8．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，∵⊙A的半径为3，4＞3，2＞3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．9．解：∵点A的坐标是（3，2），点B的坐标是（3，﹣4），∴OA＝＝，OB＝＝5，∵以点O为圆心，r为半径的圆O与直线AB相交，且点A、B中有一点在圆O内，另一点在圆O外，∴＜r＜5，∴r＝4符合要求．故选：B．10．解：如图：∵A（1，0），⊙A的半径是2，∴AC＝AE＝2，∴OE＝1，OC＝3，A、当a＝﹣1时，点B在E上，即B在⊙A上，正确，故本选项不合题意；B、当a＝﹣3时，B在⊙A外，即说当a＜1时，点B在圆A内错误，故本选项符合题意；C、当a＜﹣1时，AB＞2，即说点B在圆A外正确，故本选项不合题意；D、当﹣1＜a＜3时，B在⊙A内正确，故本选项不合题意；故选：B．11．解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．12．解：如图所示：连接MN，可得M是AD的中点，N是BE的中点，则MN是梯形ABED的中位线，则MN＝（AB+DE）＝4.5，∵EC＝3，BC＝AD＝4，∴BE＝5，则⊙N的半径为2.5，⊙M的半径为2，则2+2.5＝4.5．故⊙M与⊙N的位置关系是：外切．故选：B．13．解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵⊙A、⊙B没有公共点，∴⊙A与⊙B外离或内含，∵⊙B的半径为1，∴若外离，则⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜5﹣1＝4，若内含，则⊙A半径r的取值范围为r＞1+5＝6，∴⊙A半径r的取值范围为：0＜r＜4或r＞6．故选：D．14．解：∵点P的坐标为（﹣2，3），∴点P到x轴的距离是3，∵2＜3，∴以点P（﹣2，3）为圆心，2为半径的圆P与x轴的位置关系是相离，15．解：如图所示；∵OM平分∠AOD，以点P为圆心的圆与直线AB相离，∴以点P为圆心的圆与直线CD相离，故选：A．二．填空题（共10小题）16．解：由题意可得：边数为360°÷α＝n，则α＝．故答案为α＝．17．解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，则有r：R＝1：3；又R+r＝4，解，得R＝3，r＝1，∴当它们内切时，圆心距＝3﹣1＝2．故答案为：2．18．解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4；由勾股定理，得：AB2＝32+42＝25，∴AB＝5；又∵AB是⊙C的切线，∴CD⊥AB，∴CD＝r；∵S△ABC＝AC•BC＝AB•r，∴r＝，故答案为：．19．解：作AD⊥BC于D，∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝4，∴AD垂直平分BC，∴圆心O在AD上，连接OB，在Rt△OBC中，∵BD＝4，OB＝5，∴OD＝＝＝3，如图，AD＝OA+OD＝5+3＝8，此时S△ABC＝×8×8＝32；故答案为：32．20．解：如图，∵⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，∴O1O2⊥AB，且AD＝BD；又∵AB＝4厘米，∴AD＝2厘米，∴在Rt△AO1D中，根据勾股定理知O1D＝1厘米；在Rt△AO2D中，根据勾股定理知O2D＝3厘米，∴O1O2＝O1D+O2D＝4厘米；同理知，当小圆圆心在大圆内时，解得O1O2＝3厘米﹣1厘米＝2厘米．故答案是：4或2；21．解：设AB为正十二边形的边，连接OB，过A作AD⊥OB于D，如图所示：∴∠AOB＝＝30°，∵AD⊥OB，∴AD＝OA＝，∴△AOB的面积＝OB×AD＝×1×＝∴正十二边形的面积＝12×＝3，∴⊙O的面积≈正十二边形的面积＝3，故答案为：3．22．解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠BOC＝×360°＝72°，∴∠1＝∠BOC＝×72°＝36°，设这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，R2﹣r2＝（a）2＝a2，a＝R sin36°，a＝2R sin36°；a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，∴＝2tan36°，故正五边形的边长与边心距的比值为2tan36°，故答案为：2tan36°．23．解：正五边形的中心角为：＝72°．故答案为：72°．24．解：过O作OC⊥AB交AB于C点，如右图所示：由垂径定理可知，OC垂直平分AB，则AC＝AB＝3，∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30°，∴tan∠OAB＝tan30°＝，∴OC＝AC•tan30°＝3×＝，即圆心O到AB的距离为；故答案为：．25．解：如图，连接EF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，则EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，则点G是AF的中点，∴GF＝AF＝2，∴OG是△AEF的中位线，∴OG＝AE＝1，∴OF＝＝，OD＝＝，∵圆D与圆O有两个公共点，∴﹣＜r＜+，故答案为：﹣＜r＜+．三．解答题（共5小题）26．解：（1）如图，过点D作DH⊥AC，垂足为H．在Rt△AEH中，，．在⊙A中，AE＝AD＝x，∴，∴；（2）∵，∴可设BC＝4k（k＞0），AB＝5k，则AC＝＝3k．∵AC＝15，∴3k＝15，∴k＝5．∴BC＝20，AB＝25．∵点E是的中点，由题意可知此时点E在边AC上，点F在BC的延长线上，∴∠FAC＝∠BAC．∵∠FCA＝∠BCA＝90°，AC＝AC，∴△FCA≌△BCA（ASA），∴FC＝BC＝20．∵，又∵∠AED＝∠FEC，且∠AED、∠FEC都为锐角，∴tan∠FEC＝2．∴．∴AE＝AC﹣EC＝20﹣10＝5．过点A作AM⊥DE，垂足为M，则．∵，∴．在Rt△EFC中，．∴在Rt△AFM中，．答：∠DFA的余切值为；（3）当点E在AC上时，只有可能∠FAD＝90°．∵FC＝CE•tan∠FEC＝2（15﹣x），∴．∴．∵，又∵∠AED＝∠ADE，且∠AED、∠ADE都为锐角，∴．∴．∴AD＝x＝．∴．当点E在AC的延长线上时，只有可能∠AFD＝90°，此时∠AFC＝∠AEF．∵∠AFC、∠AEF都为锐角，∴tan∠AEF＝tan∠AFC＝2．∵CE＝AE﹣AC＝x﹣15，∴CF＝CE•tan∠AEF＝2（x﹣15）．∴．∴AD＝x＝．∴．综上所述，△AFD为直角三角形时，DE的长为或．27．（1）证明：如图1中，∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO，∵OB＝OA＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠C＝∠OBC，∴∠A＝∠C，∵OB＝OB，∴△OBA≌△OBC（AAS），∴AB＝BC，∴＝．（2）解：如图2中，作DM⊥OB于M，DN⊥OA于N，设OM＝a．∵OA⊥OB，∴∠MON＝∠DMO＝∠DNO＝90°，∴四边形DMON是矩形，∴DN＝OM＝a，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，∴∠A＝∠ABO＝45°，∵OC＝OB，CD＝CB，∴∠C＝∠OBC，∠CDB＝∠CBD，∵∠C+∠CDB+∠CBD＝180°，∴3∠C+90°＝180°，∴∠C＝30°，∴∠CDB＝∠CBD＝75°，∵∠DMB＝90°，∴∠MDB＝∠DBM＝45°，∴DM＝BM，∠ODM＝30°，∴DM＝OM＝a，DN＝DM＝a，AD＝DN＝a，∴＝＝．（3）解：如图3﹣1中，当BO＝BE时，∵CD＝CB，∴∠CDB＝∠CBD，∴∠A+∠AOD＝∠OBA+∠OBC，∵∠A＝∠ABO，∴∠AOD＝∠OBC＝∠C，∵AOD＝∠COE，∴∠C＝∠COE＝∠CBO，∵∠C＝∠C，∴△OCE∽△BCO，∴＝，∴＝，∴EC2+2EC﹣4＝0，解得EC＝﹣1+或﹣1﹣（舍弃），∴BC＝+1．如图3﹣2中，当EO＝EB时，同法可证△OEB是等腰直角三角形，∴EO＝EB＝EC＝OB＝，∴BC＝2，∵∠OEB＝∠C+∠COE＞∠OBE，∴OE≠OB，综上所述，BC的值为+1或2．28．解：（1）如图1，联结OF，交BC于点H．∵F是中点，∴OF⊥BC，BC＝2BH．∴∠BOF＝∠COF．∵OA＝OF，OC⊥AF，∴∠AOC＝∠COF，∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°，在Rt△BOH中，sin∠BOH＝＝，∵AB＝6，∴OB＝3，∴BH＝，∴BC＝2BH＝3；（2）如图2，联结BF．∵AF⊥OC，垂足为点＝D，∴AD＝DF．又∵OA＝OB，∴OD∥BF，BF＝2OD＝2x．∴，∴，即，∴，∴y＝．（3）△AOD∽△CDE，分两种情况：①当∠DCE＝∠DOA时，AB∥CB，不符合题意，舍去．②当∠DCE＝∠DAO时，联结OF．∵OA＝OF，OB＝OC，∴∠OAF＝∠OFA，∠OCB＝∠OBC．∵∠DCE＝∠DAO，∴∠OAF＝∠OFA＝∠OCB＝∠OBC．∵∠AOD＝∠OCB+∠OBC＝2∠OAF，∴∠OAF＝30°，∴OD＝．即线段OD的长为．29．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．30．解：（1）连接OQ，如图①所示：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴BC＝DE，∠ABC＝120°，BE∥CD，∴＝，∠EBC＝∠ABC＝60°，∵点Q是的中点，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠BOQ＝∠EOQ，∵∠BOQ+∠EOQ＝180°，∴∠BOQ＝∠EOQ＝90°．∵BO＝OQ，∴∠OBQ＝∠BQO＝45°，∴∠CBG＝∠EBC﹣∠OBQ＝60°﹣45°＝15°；（2）在BE上截取EM＝HE，连接HM，如图②所示：∵正六边形ABCDEF，直径BE＝8，∴BO＝OE＝BC＝4，∠BCD＝∠FED＝120°，∴∠FEB＝∠FED＝60°，∵EM＝HE，∴△HEM是等边三角形，∴EM＝HE＝HM＝y，∠HME＝60°，∴∠BCD＝∠HMB＝120°，∵∠EBC＝∠GBH＝60°，∴∠EBC﹣∠GBE＝∠GBH﹣∠GBE，即∠GBC＝∠HBE，∴△BCG∽△BMH，∴．又∵CG＝x，BE＝8，CD＝BC＝4，∴，∴y与x的函数关系式为（0＜x＜4）．（3）如图③，当点G在边CD上时．由于△AFH∽△EDG，且∠CDE＝∠AFE＝120°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，但不符合题意舍去．如图④，当点G在CD的延长线上时．由于△AFH∽△EDG，且∠EDG＝∠AFH＝60°，①当．∵AF＝ED，∴FH＝DG，∴CG＝EH，即：，解分式方程得：x＝4．经检验x＝4是原方程的解，但不符合题意舍去．②当．即：，解分式方程得：x＝12．经检验x＝12是原方程的解，且符合题意．综上所述，如果△AFH与△DEG相似，那么CG的长为12．。
2018届中考数学上海市各区二模试卷专题汇编七【二次函数题】含答案解析
2018届中考数学上海市各区二模试卷 专题汇编七【二次函数题】宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系（如图7），直线的经过点和点.（1）求、的值；（2）如果抛物线经过点、，该抛物线的顶点为点，求的值； （3）设点在直线上，且在第一象限内，直线与轴的交点为点，如果，求点的坐标.24.解：（1） ∵直线的经过点∴……………………1分∴………………………………1分∵直线的经过点∴……………………1分xOy mx y +=)0,4(-A )3,(n B m n c bx x y ++=2A B P ABP ∠sin Q mx y +=mx y +=y D DOB AQO ∠=∠Q mx y +=)0,4(-A 04=+-m 4=m mx y +=)3,(n B 34=+n 图7∴…………………………………………1分 （2）由可知点的坐标为∵抛物线经过点、 ∴∴，∴抛物线的表达式为…………………1分 ∴抛物线的顶点坐标为……………1分∴,,∴∴……………………………………1分∴∴…………………………………………1分（3）过点作轴，垂足为点，则∥轴∵, ∴△∽△1-=n B )3,1(-c bx x y ++=2A B ⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b 6=b 8=c c bx x y ++=2862++=x x y 862++=x x y )1,3(--P 23=AB 2=AP 52=PB 222PB BP AB =+︒=∠90PAB PB AP ABP =∠sin 1010sin =∠ABP Q x QH ⊥H QH y DOB AQO ∠=∠QBO OBD ∠=∠OBD QBO∴……………1分 ∵直线与轴的交点为点∴点的坐标为, 又，∴，……………1分 ∵∴, ∵∥轴∴∴∴ ……………………………………1分 即点的纵坐标是 又点在直线上 点的坐标为……………1分 长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）OB DBQB OB =4+=x y y D D )4,0(4=OD 10=OB 2=DB 25=QB 24=DQ 23=AB 28=AQ 24=DQ QH y AQ ADQH OD =28244=QH 8=QH Q 8Q 4+=x y Q )8,4(如图在直角坐标平面内，抛物线与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点.（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线上 ∴，解得 （ 2分）32-+=bx ax y ACD ∆32-+=bx ax y ⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ⎩⎨⎧-==21ba 备用图第24题图∴抛物线的表达式为，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴，，∴ ∴ （ 2分）∴（1分）（3）∵，， ∴△CAD ∽△AOB ，∴∵OA=OC ， ∴∴，即 （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是，设（） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则，①当时,由得，∴，解得， ∴（2分） ②当时,由得，322--=x x y 23=AC 52=CD 2=AD 222AD AC CD +=︒=∠90CAD .32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD ︒=∠=∠90AOB CAD 2==AO ACBO AD OAB ACD ∠=∠︒=∠90AOC ︒=∠=∠45OCA OAC ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠BCD BAC ∠=∠POC ∆62-=x y )62,(-t t P 30<<t t OH =t PH 26-=ABC POC ∠=∠ABC POC ∠=∠tan tan BO AOOH PH =326=-t t 56=t )518,56(1-P ACB POC ∠=∠145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 1=OH PH∴，解得，∴ （ 2分） 综上得或 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分） 已知抛物线经过点、、．（1）求抛物线的解析式； （2）联结AC 、BC 、AB ，求的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作交轴于点，当点在点的上方，且与相似时，求点P 的坐标．126=-t t2=t )2,2(2-P )518,56(1-P )2,2(2-P24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为，………………………1分将（,）、（，）、（,）代入，得解得………2分所以，这个二次函数的解析式为……………………………1分（2）∵（,）、（，）、（,）∴，，∴∴………………………………………………………2分∴……………………………………………2分（3）过点P作，垂足为H设，则∵（,）∴，∵∴当△APG与△ABC相似时，存在以下两种可能：1°则即∴解得………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分2°则即∴解得…………………………1分∴点的坐标为……………………………………………………1分奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系（如图8），抛物线为直线，过点C作直线的垂线，垂足为点E，联结DC、BC．（1）当点C（0，3）时，①求这条抛物线的表达式和顶点坐标；②求证：∠DCE=∠BCE；（2）当CB平分∠DCO时，求的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D.（1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：，———————————————————（2分） 解得：，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为. ——————————————（1分） （2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分） 作DT ⊥y 轴于点T,则△ABD 的面积=.————————（3分）2y x bx c =++013b cc =++⎧⎨=⎩43b c =-⎧⎨=⎩243y x x =-+()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=（3）令P.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB=∠PHD=90°，所以或，————————————（2分） 解得：或，所以点P 的坐标为（5,8），.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA=EC ， 求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB ，求点Q 的坐标．()()2,432p pp p -+>243132p p p -++=-2431123p p p -++=-5p =73p =78,39⎛⎫- ⎪⎝⎭2y x bx c =++24．解：（1）∵二次函数的图像经过点A （1，0）和B （3，0），∴，解得：，．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是…………………………………（1分） 顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线的对称轴是直线，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得：m=2，…（2分）∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分）（3）解法一：设点Q 的坐标为，记MN 与x 轴相交于点F ． 作QD ⊥MN ，垂足为D ，则，………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴，∴，解得（不合题意，舍去），．……………………………（1分） ∴，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分） 解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，2y x bx c =++10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩4b =-3c =243y x x =-+243y x x =-+2x ==2(,43)t t t -+2DQ t =-2243241DE t t t t =-+-=-+DQ DEBF EF =224112t t t --+=11t =25t =5t =∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH=，OH=t ，AH=t-1，∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴，∴，………（1分）解得（不合题意，舍去），．……………………………………（1分） ∴，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分） 静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，）．抛物线（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA=MC ． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD且AD//BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4解：（1）由题意得：抛物线对称轴，即． …………（1分）点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴， …………（1分）2(,43)t t t -+243t t -+EF AF QH AH =221431t t t =-+-11t =25t =5t =3-c ax ax y +-=82a ax 28-=4=x 0=c将C （9，-3）代入，得…………………………（1分）∴抛物线的表达式：…………………………（1分） （2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ）又∵MA=MC ，即∴, 解得y=-3, ∴M （4，-3） …………………（2分）∵MC//AB 且MC ≠AB, ∴四边形ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高h = yM = 3∴(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入可得，解得 由题意得，∵AD//BC,∴，…（1分）又∵AD 过（0,0），DC=AB=8， 设D(x,-3x), …………………………（1分）解得(不合题意，舍去)，…………………………（1分）∴∴点D 的坐标．……………………（1分）axax y 82-=31-=a xx y 38312+-=22MC MA =2222)3(54++=+y y 2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S bkx y BC +=⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ⎩⎨⎧=-=243b k 3-=BC k 3-=AD k x y AD 3-=2228)33()9(=+-+-x x 11=x 5132=x 5393-=-=x y )539,513(-闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分） 如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3（1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入中，得，解得．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：．……………………………（1分）∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分）（2）令，则，，，∴A （－3，0）∴，∴∠CAO=∠OCA ．…………………………………（1分）22y ax x c=-+22y ax x c=-+9603a c c ++=⎧⎨=⎩13a c =-⎧⎨=⎩223y x x =--+0y =2230x x --+=13x =-21x =3OA OC ==（第24题图）在中，．………………………………（1分）∵，，，∴，；∴，是直角三角形且，∴，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC=∠OCB ．…………………（1分） ∴，即．……………………………………………………（1分）（3）令，且满足，,0)，，4）∵是以AD 为底的等腰三角形，∴，即，化简得：．………………………………………………（1分）由，……………………………………………………（1分）解得，．Rt BOC ∆1tan 3OB OCB OC ∠==AC=DC=AD =2220AC DC +=220AD =222AC DC AD +=ACD ∆90ACD ∠=1tan 3DC DAC AC ∠==DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠DAB ACB ∠=∠(Q x )y 223y x x =--+(3A -(1D -ADQ ∆22QD QA =2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-220x y -+=222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点Q 的坐标是，．…（2分） 普陀区24．（本题满分12分） 如图10，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于点、，并与抛物线的对称轴交于点，抛物线的顶点是点．（1）求和的值；（2）点是轴上一点，且以点、、为顶点的三角形与△相似，求点的坐标；（3）在抛物线上是否存在点：它关于直线的对称点恰好在轴上．如果存在，直接写出点的坐标，如果不存在，试说明理由． 24．解：（1） 由直线经过点，可得. （1分）由抛物线的对称轴是直线，可得. （1分）⎝⎭⎝⎭图10 xy1 1O∵直线与轴、轴分别相交于点、，∴点的坐标是，点的坐标是. （2分）∵抛物线的顶点是点，∴点的坐标是. （1分）∵点是轴上一点，∴设点的坐标是.∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，，∴△BCG 与△相似有两种可能情况： （1分）①如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）②如果，那么，解得，∴点的坐标是. （1分）综上所述，符合要求的点有两个，其坐标分别是和 ．（3）点的坐标是或. （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处．23y ax bx =++2x =（1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．24．解：（1）∵顶点C 在直线上，∴，∴． （1分）将A （3，0）代入，得， （1分）解得，． （1分）∴抛物线的解析式为． （1分）（2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵=，∴C （2，）． （1分）∵，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴．（1分）∵抛物线与y 轴交于点B ，∴B （0，），∴．（1分）2x =22=-=bx a 4=-b a 23y ax bx =++933=0++a b 1=a 4=-b 243=-+y x x 243=-+y x x ()221=--x 1-1==CM MA 3==OD OA 243=-+y x x 36=BD∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积，∴． （1分）（3）联结CE.∵四边形是平行四边形，∴点是对角线与的交点， 即 .（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作，交轴于点，设点，在中，，即，解得 ，∴点 （1分）同理，得点（1分）（ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点为圆心，长为半径画弧分别交轴于点、，可得、（2分）综上所述：满足条件的点有，，），．松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax2+bx 的顶点为C （1，），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN BCDE O CE BD OE OC ==1CF CE⊥x 1F 1F a （,0）1Rt OCF 22211=OF OC CF +22(2)5a a =-+52a =152F （,0）252F （-,0）O OC x 3F 4F 34=OF OF OC ==3F ）4F （）152F （,0）252F （-,0）3F ）4F （）1-24．（本题满分12分，每小题各4分） 解：（1）∵抛物线y=ax2+bx 的顶点为C （1，） ∴ .......................................2分 解得： .......................................1分 ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x ； (1)（2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m2-2m……………………………1分令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点，∴PN= m2-2m ，ON=m ，O M=1由得………………………1分∴ BM=m-2…………………………………………………1分∵ 点C 的坐标为（1，），∴ BC= m-2+1=m-1………………………………………1分（3）令P(t ，t2-2t) ………………………………………………1分△ABP 的面积等于△ABC 的面积∴AC=AP1-112a b b a +=-⎧⎪⎨-=⎪⎩12a b =⎧⎨=-⎩PN BM ON OM =221m m BMm -=1-(第24题图)过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q∴CM=MQ=1∴t2-2t=1 …………………………………………………1分∴（舍去）………………………………1分∴ P 的坐标为（）……………………………………1分徐汇区24. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点、，抛物线过点、，且与轴交于另一个点.（1）求该抛物线的表达式；（2）点是线段上一点，过点作直线∥轴交该抛物线于点，当四边形是平行四边形时，求它的面积；（3）联结，设点是该抛物线上的一点，且满足，求点的坐标.1t =1t =1122y x =-+x y B C 212y x bx c=-++B C x A M BC M l y N OMNC AC D DBA CAO ∠=∠D杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。
2018年上海市中考数学模拟试题及参考答案
2018年上海市中考数学模拟试题及参考答案1.22的相反数是-22，所以22的相反数是-2，选项A正确。
2.将5550用科学记数法表示为5.55×10^3，选项C正确。
3.当y=(k-2)x+k不经过第三象限时，即当k-2>0时，k>2.同时，为了避免函数经过第三象限，k不能等于2，所以k的取值范围是k>2或k<2，即选项B正确。
4.首先将成绩从小到大排列：10.06秒，10.06秒，10.10秒，10.19秒，9.99秒。
众数是出现次数最多的数，这里是10.06秒，中位数是所有数从小到大排列后中间的数，这里是10.06秒，所以选项A正确。
5.图形B和图形D是轴对称图形，但是图形D没有完整的轴对称线，所以选项B正确。
6.如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形是矩形，因为矩形的每个角都是直角，所以四个角的平分线相交于矩形的中心，能围成一个四边形。
选项B正确。
7.6m^6÷（-2m^2）^3=6m^6÷(-8m^6)=-3/4.8.不等式组的解为{x|x3}，因为x=1和x=3时，分母为0，所以无解。
所以m的取值范围是m3.9.(1+√3)/(1-√3)×(1-√3)/(1-√3)=(1+√3)/(1-3)=-1/(2-√3)。
10.反比例函数y=k/x满足y随着x的增大而减小，因为k是正数，所以k的取值范围是k>0.一个满足条件的反比例函数解析式可以是y=1/x。
11.根据扇形ABC的面积和∠BAC的大小，可以求出扇形的半径r=10cm。
根据BD=2AD，可以求出AD=r/3.所以BD=2AD=2r/3=20/3 cm。
12.投掷正四面体两次，总共有4×4=16种可能的结果。
其中，第一次底面上的数字为2时，第二次底面上的数字只能是2或4，共有2种情况；第一次底面上的数字为3时，第二次底面上的数字只能是3，共有1种情况；第一次底面上的数字为4时，第二次底面上的数字可以是2或4，共有2种情况；第一次底面上的数字为5时，第二次底面上的数字只能是5，共有1种情况。
上海市XX区2018年中考二模数学试卷含答案
2017-2018学年第二学期初三数学教学质量检测试卷（考试时间：100分钟 满分：150分）考生注意:1.本试卷含三个大题,共25题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效.2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸相应位置上写出证明或计算的主要步骤. 一、选择题（本大题共6题, 每题4分, 满分24分）【每题只有一个正确选项, 在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂】 1．函数12-=x y 的图像不经过（ ▲ ）（A ） 第一象限； （B ） 第二象限； （C ） 第三象限； （D ） 第四象限． 2．下列式子一定成立的是（ ▲ ）（A ） a a a 632=+； （B ）428x x x =÷；（C ） aa 121=； （D ）6321)(aa-=--． 3．下列二次根式中，2的同类二次根式是（ ▲ ） （A ）4； （B ）x 2； （C ）92； （D ）12． 4．已知一组数据2、x 、8、5、5、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（ ▲ ） （A ） 3.5； （B ） 4； （C ） 2； （D ）6.5．5．已知圆A 的半径长为4，圆B 的半径长为7，它们的圆心距为d ，要使这两圆没有公共点， 那么d 的值可以取（ ▲ ）（A ） 11； （B ） 6； （C ） 3； （D ）2．6．已知在四边形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，且AC =BD ， 下列四个命题中真命题是（ ▲ ）（A ） 若AB =CD ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （B ） 若∠DBC =∠ACB ，则四边形ABCD 一定是等腰梯形； （C ） 若ODCOOB AO =，则四边形ABCD 一定是矩形； （D ） 若AC ⊥BD 且AO =OD ，则四边形ABCD 一定是正方形．二、填空题（本大题共12题, 每题4分, 满分48分） 【在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案】 7． 计算：=--︒0)3(30sin ▲ ． 8． 方程6+=-x x 的解是 ▲ ．9． 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-1)12(303x x 的解集是 ▲ ．10．已知反比例函数xky =的图像经过点（-2017，2018），当0>x 时，函数值y 随 自变量x 的值增大而 ▲ ．（填“增大”或“减小”）11．若关于x 的方程032=--m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是 ▲ ． 12．在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、直角梯形的5张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是 ▲ ．13．抛物线522++=mx mx y 的对称轴是直线 ▲ ． 14．小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟的 通话次数的频率是 ▲ ．15．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，BC =15，CD =9，EF =6，∠AFE =50°，则∠ADC 的度数为 ▲ ． 16．如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠C=90°，BC =CD =4，52=AD ，若a AD =，b DC =，用、表示= ▲ ． 17．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形ABC是半高三角形，且斜边5=AB ，则它的周长等于 ▲ ． 18．如图，在矩形ABCD 中，对角线BD 的长为1，点P 是线段BD上的一点，联结CP ，将△BCP 沿着直线CP 翻折，若点B 落在 边AD 上的点E 处，且EP //AB ，则AB 的长等于 ▲ ．第14题图AB CDE F第15题图第16题图DCBA第18题图AB CD三、解答题（本大题共7题, 满分78分）【将下列各题的解答过程, 做在答题纸的相应位置上】 19．（本题满分10分）先化简，再求值：12341311222+-++÷-+-+x x x x x x x ，其中121+=x ．20．（本题满分10分）解方程组：⎩⎨⎧=-=-+②12①06522 ． ，y x y xy x21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ，点D 在BA 的延长线上，BC =24，135sin =∠ABC ．（1）求AB 的长；（2）若AD =6.5，求DCB ∠的余切值．22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）某旅游景点的年游客量y （万人）是门票价格x （元）的一次函数，其函数图像如下图． （1）求y 关于x 的函数解析式；（2）经过景点工作人员统计发现：每卖出一张门票所需成本为20元．那么要想获得年利润11500万元，且门票价格不得高于230元，该年的门票价格应该定为多少元？23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分）如图，在四边形ABCD 中，AD //BC ，E 在BC 的延长线，联结AE 分别交BD 、CD 于点 G 、F ，且AG GF BE AD =．（1）求证：AB //CD ；（2）若BD GD BC ⋅=2，BG =GE ，求证：四边形ABCD 是菱形．ACDB第21题图第22题图ACDEF GB第23题图24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分）在圆O 中，C 是弦AB 上的一点，联结OC 并延长，交劣弧AB 于点D ，联结AO 、BO 、AD 、BD . 已知圆O 的半径长为5 ，弦AB 的长为8．（1）如图1，当点D 是弧AB 的中点时，求CD 的长； （2）如图2，设AC =x ，y S S OBDACO=∆∆，求y 关于x 的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD 是梯形，求AD 的长．备用图第24题图OAC BO BA C DBAO2017-2018学年第二学期初三数学参考答案和评分建议一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ； 2．D ； 3．C ； 4．A ； 5．D ； 6．C ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．21-； 8．2-=x ； 9．3>x ； 10．增大； 11．43-=m ； 12．53； 13．1-=x ；14．7.0；15．︒140； 16．→→-a b 21； 17．255或535++； 18．215-．三、（本大题共7题，第19、20、21、22每题10分，第23、24每题12分，第25题14分，满分78分）19. （本题满分10分）解：原式= )1)(3()1()1)(1(3112++-⨯-++-+x x x x x x x (3分) =2)1(111+--+x x x (2分) =2)1(11++-+x x x (1分) =2)1(2+x (1分)当12121-=+=x 时，原式=2)1(2+x =2)112(2+- =2)2(2=1 (3分) 20．（本题满分10分）解：方程①可变形为0))(6(=-+y x y x得06=+y x 或0=-y x （2分）将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）⎩⎨⎧=-=+1206y x y x 或（Ⅱ）⎩⎨⎧=-=-120y x y x （2分）解方程组（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧-==131136y x ， 解方程组（Ⅱ）⎩⎨⎧==11y x （4分） 所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ， ⎩⎨⎧==1122y x . （2分）另解：由②得12-=x y ③ （1分） 把③代入①，得0)12(6)12(522=---+x x x x （1分）整理得：0619132=+-x x （2分）解得：1,13621==x x （2分）分别代入③，得1,13121=-=y y （2分）所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧-==13113611y x ，⎩⎨⎧==1122y x . （2分）21．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分） 解：（1）过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E又∵AB =AC ∴BC BE 21= ∵BC =24 ∴ BE =12 （1分）在ABE Rt ∆中，︒=∠90AEB ，135sin ==∠AB AE ABC （1分）设AE=5k,AB=13k ∵222BE AE AB += ∴1212==k BE∴1=k ， ∴55==k AE ， 1313==k AB （2分） （2）过点D 作DF ⊥BC ，垂足为点F∵AD=6.5,AB=13 ∴BD=AB+AD=19.5∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∴ ︒=∠=∠90DFB AEB ∴ DF AE //∴BDABBF BE DF AE == 又 ∵ AE =5，BE =12，AB =13， ∴18,215==BF DF （4分） ∴BF BC CF -= 即61824=-=CF （1分）在DCF Rt ∆中，︒=∠90DFC ，5426cot ===∠DF CF DCB （1分）22．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）解：（1）设)0(≠+=k b kx y ，函数图像过点（200,100）， （50,250） （1分）代入解析式得：⎩⎨⎧=+=+25050100200b k b k （2分）解之得：⎩⎨⎧=-=3001b k （1分）所以y 关于x 的解析式为：300+-=x y （1分） （2）设门票价格定为x 元，依题意可得：11500)300)(20(=+--x x （2分） 整理得： 0175003202=+-x x 解之得：x =70或者x =250（舍去） （2分）答：门票价格应该定为70元. （1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题5分，第（2）小题7分） 证明：（1）∵BC AD // ∴BG DG BE AD = （2分）∵AG GFBE AD =∴AGGF BG DG = （1分） ∴ CD AB // （2分） （2）∵BC AD //，CD AB //∴四边形ABCD 是平行四边形 ∴BC=AD （1分） ∵ BD GD BC ⋅=2∴ BD GD AD ⋅=2即ADGDBD AD =又 ∵BDA ADG ∠=∠ ∴ADG ∆∽BDA ∆ （1分） ∴ABD DAG ∠=∠∵CD AB // ∴BDC ABD ∠=∠ ∵BC AD // ∴E DAG ∠=∠∵BG =GE ∴E DBC ∠=∠ ∴DBC BDC ∠=∠ （3分） ∴BC=CD （1分） ∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴平行四边形ABCD 是菱形. （1分） 24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分）∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分）若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BO AO OH PH =，∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题6分） 解：（1）∵OD 过圆心，点D 是弧AB 的中点，AB =8，∴OD ⊥AB ，421==AB AC （2分） 在Rt △AOC 中，︒=∠90ACO ，AO =5，∴322=-=AC AO CO （1分）5=OD ，2=-=∴OC OD CD （1分） （2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ，则由（1）可得AH =4，OH =3∵AC =x ，∴|4|-=x CH在Rt △HOC 中，︒=∠90CHO ，AO =5， ∴258|4|322222+-=-+=+=x x x HC HO CO ， （1分）∴525882+-⋅-=⋅=⋅==∆∆∆∆∆∆x x x x OD OC BC AC S S S S S S y OBD OBC OBC ACO OBD ACO xx x x 5402582-+-= （80<<x ） （3分）（3）①当OB //AD 时， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ,垂足为点F ，则OF =AE ， AE OB OH AB S ABO ⋅=⋅=∆2121 ∴OF OB OH AB AE ==⋅=524 在Rt △AOF 中，︒=∠90AFO ，AO =5，∴5722=-=OF AO AF ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ，∴5142==AF AD . （3分）②当OA //BD 时， 过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ，则由①的方法可得524==BM DG ， 在Rt △GOD 中，︒=∠90DGO ，DO =5， ∴5722=-=DG DO GO ，518575=-=-=GO AO AG ，在Rt △GAD 中，︒=∠90DGA ，∴622=+=DG AG AD （ 3分）综上得6514或=AD。
2018届中考数学二模试卷(带答案) (12)
2018年中考数学二模试卷一、选择题：每小题3分，共36分。
1．下列计算错误的是（）A．•=B．+=C．÷=2 D．=22．﹣8的立方根是（）A．﹣2 B．±2 C．2 D．﹣3．下列运算正确的是（）A．x2•x3=x6B．x6÷x5=x C．（﹣x2）4=x6D．x2+x3=x54．下列函数，其图象经过点（2，2）的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣15．如图所示的几何体的主视图是（）A．B． C．D．6．函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x≠0 B．x≥2 C．x＞2且x≠0 D．x≥2且x≠07．有19位同学参加歌咏比赛，成绩互不相同，前10名的同学进入决赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能够进入决赛，他只需知道这19位同学成绩的（）A．平均数B．中位数C．众数 D．方差8．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（）A．50°B．60°C．65°D．70°9．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（）A．x≥B．x≤3 C．x≤D．x≥310．如图，圆锥体的高h=2cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为（）cm2．A．4πB．8πC．12πD．（4+4）π11．下列判断错误的是（）A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线相互平分的四边形是平行四边形12．若不等式组有解，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m＜1 C．m＞2 D．m＜2二、填空题：每小题3分，共18分。
13．将0.00305用科学记数法表示为．14．分解因式：x2﹣x+=．15．单项式的系数与次数之积为．16．如图，若AD∥BE，且∠ACB=90°，∠CBE=30°，则∠CAD=度．17．已知x、y满足，则x+2y=．18．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD=，BC=3，则AC的长为．三、解答题：本大题共66分。
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题
上海市各区2018届九年级中考二模数学试卷精选汇编：二次函数专题宝山区、嘉定区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知平面直角坐标系xOy （如图7），直线m x y +=的经过点)0,4(-A 和点)3,(n B . （1）求m 、n 的值；（2）如果抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ，该抛物线的顶点为点P ，求ABP ∠si n 的值；（3）设点Q 在直线m x y +=上，且在第一象限内，直线m x y +=与y 轴的交点为点D ，如果DOB AQO ∠=∠，求点Q 的坐标.24.解：（1） ∵直线m x y +=的经过点)0,4(-A∴04=+-m ……………………1分∴4=m ………………………………1分∵直线m x y +=的经过点)3,(n B ∴34=+n ……………………1分∴1-=n …………………………………………1分（2）由可知点B 的坐标为)3,1(-∵抛物线c bx x y ++=2经过点A 、B ∴⎩⎨⎧=+-=+-310416c b c b∴6=b ， 8=c∴抛物线c bx x y ++=2的表达式为862++=x x y …………………1分∴抛物线862++=x x y 的顶点坐标为)1,3(--P ……………1分∴23=AB ,2=AP ,52=PB∴222PB BP AB =+∴︒=∠90PAB ……………………………………1分图7∴PB AP ABP =∠sin ∴1010sin =∠ABP …………………………………………1分（3）过点Q 作x QH ⊥轴，垂足为点H ，则QH ∥y 轴 ∵DOB AQO ∠=∠,QBO OBD ∠=∠∴△OBD ∽△QBO ∴OBDBQB OB =……………1分 ∵直线4+=x y 与y 轴的交点为点D ∴点D 的坐标为)4,0(,4=OD又10=OB ，2=DB∴25=QB ，24=DQ ……………1分∵23=AB∴28=AQ ,24=DQ ∵QH ∥y 轴 ∴AQADQH OD = ∴28244=QH ∴8=QH ……………………………………1分 即点Q 的纵坐标是8又点Q 在直线4+=x y 上点Q 的坐标为)8,4(……………1分长宁区24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分）如图在直角坐标平面内，抛物线32-+=bx ax y 与y 轴交于点A ，与x 轴分别交于点B （-1，0）、点C （3，0），点D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）联结AD 、DC ，求ACD ∆的面积；（3）点P 在直线DC 上，联结OP ，若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点P 的坐标．24.（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题3分，第（3）小题5分） 解：（1） 点B （-1，0）、C （3，0）在抛物线32-+=bx ax y 上∴⎩⎨⎧=-+=--033903b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a （ 2分）∴抛物线的表达式为322--=x x y ，顶点D 的坐标是（1，-4） （ 2分） （2）∵A （0，-3），C （3，0），D （1，-4） ∴23=AC ，52=CD ，2=AD∴222AD AC CD += ∴︒=∠90CAD （ 2分） ∴.32232121=⨯⨯=⋅⋅=∆AD AC S ACD （1分） （3）∵︒=∠=∠90AOB CAD ，2==AOACBO AD ， ∴△CAD ∽△AOB ，∴OAB ACD ∠=∠∵OA =OC ，︒=∠90AOC ∴︒=∠=∠45OCA OAC∴ACD OCA OAB OAC ∠+∠=∠+∠，即BCD BAC ∠=∠ （ 1分） 若以O 、P 、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 则POC ∆也为锐角三角形，点P 在第四象限由点C （3，0），D （1，-4）得直线CD 的表达式是62-=x y ，设)62,(-t t P （30<<t ） 过P 作PH ⊥OC ，垂足为点H ，则t OH =，t PH 26-=①当ABC POC ∠=∠时,由ABC POC ∠=∠tan tan 得BOAO OH PH =，备用图第24题图∴326=-t t ，解得56=t ， ∴)518,56(1-P （2分） ②当ACB POC ∠=∠时,由145tan tan tan =︒=∠=∠ACB POC 得1=OHPH ，∴126=-tt，解得2=t ，∴)2,2(2-P （ 2分） 综上得)518,56(1-P 或)2,2(2-P 崇明区24．（本题满分12分，第(1)、(2)、(3)小题满分各4分）已知抛物线经过点(0,3)A 、(4,1)B 、(3,0)C ． （1）求抛物线的解析式；（2）联结AC 、BC 、AB ，求BAC ∠的正切值；（3）点P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点P 作PG AP ⊥交y 轴于点G ，当点G在点A 的上方，且APG △与ABC △相似时，求点P 的坐标．24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）设所求二次函数的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠，………………………1分将A （0,3）、B （4，）、C （3,0）代入，得 1641,930,3.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得12523a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩………2分所以，这个二次函数的解析式为215322y x x =-+ ……………………………1分 （2）∵A （0,3）、B （4，）、C （3,0）∴AC =BC =AB =∴222AC BC AB +=∴90ACB =︒∠ ………………………………………………………2分∴13BC tan BAC AC ===∠ ……………………………………………2分 （3）过点P 作PH y ⊥轴，垂足为H设P 215(,3)22x x x -+，则H 215(0,3)22x x -+ ∵A （0,3） ∴21522AH x x =-，PH x = ∵90ACB APG ==︒∠∠∴当△APG 与△ABC 相似时，存在以下两种可能： 1° PAG CAB =∠∠ 则13tan PAG tan CAB ==∠∠ 即13PH AH = ∴2115322x x x =- 解得11x = ………………………1分 ∴点P 的坐标为(11,36) ……………………………………………………1分 2° PAG ABC =∠∠ 则3tan PAG tan ABC ==∠∠即3PH AH = ∴231522x x x =- 解得173x = …………………………1分 ∴点P 的坐标为1744(,)39……………………………………………………1分 奉贤区24．（本题满分12分，每小题满分各4分）已知平面直角坐标系xOy （如图8），抛物线)0(3222>++-=m m mx x y 与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，对称轴 为直线，过点C 作直线的垂线，垂足为点E ，联结DC 、BC ． （1）当点C （0，3）时，① 求这条抛物线的表达式和顶点坐标； ② 求证：∠DCE=∠BCE ；（2）当CB 平分∠DCO 时，求m 的值．黄浦区24．（本题满分12分）已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （0,3），其顶点为D . （1）求此抛物线的表达式； （2）求△ABD 的面积；（3）设P 为该抛物线上一点，且位于抛物线对称轴 右侧，作PH ⊥对称轴，垂足为H ，若△DPH 与△AOB 相 似，求点P 的坐标.24. 解：（1）由题意得：013b cc=++⎧⎨=⎩，———————————————————（2分）解得：43b c =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为243y x x =-+. ——————————————（1分） （2）由（1）得D （2，﹣1），———————————————————（1分） 作DT ⊥y 轴于点T , 则△ABD 的面积=()11124131211222⨯⨯-⨯⨯-⨯+⨯=.————————（3分） （3）令P ()()2,432p p p p -+>.————————————————（1分）由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB =∠PHD =90°，所以243132p p p -++=-或2431123p p p -++=-，————————————（2分）解得：5p =或73p =，所以点P 的坐标为（5,8），78,39⎛⎫-⎪⎝⎭.————————————————（1分）金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图8），已知抛物线2y x bx c =++经过点A （1,0）和B （3,0），与y 轴相交于点C ，顶点为P ．（1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）点E 在抛物线的对称轴上，且EA =EC ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为直线MN ，点Q 在直线MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ =∠NEB ，求点Q 的坐标．24．解：（1）∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （1，0）和B （3，0）， ∴10930b c b c ++=⎧⎨++=⎩，解得：4b =-，3c =．……………………………（2分）∴这条抛物线的表达式是243y x x =-+…………………………………（1分）顶点P 的坐标是（2，-1）．………………………………………………（1分）（2）抛物线243y x x =-+的对称轴是直线2x =，设点E 的坐标是（2，m ）．…（1分）根据题意得：=m=2，…（2分）图8∴点E 的坐标为（2，2）．…………………………………………………（1分） （3）解法一：设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+，记MN 与x 轴相交于点F ．作QD ⊥MN ，垂足为D ，则2DQ t =-，2243241DE t t t t =-+-=-+………………………（1分） ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF ，∴△QDE ∽△BFE ，…………………（1分）∴DQ DEBF EF=，∴224112t t t --+=， 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）解法二：记MN 与x 轴相交于点F ．联结AE ，延长AE 交抛物线于点Q ，∵AE=BE ， EF ⊥AB ，∴∠AEF=∠NEB ，又∵∠AEF=∠MEQ ，∴∠QEM=∠NEB ，………………………………（1分）点Q 是所求的点，设点Q 的坐标为2(,43)t t t -+， 作QH ⊥x 轴，垂足为H ，则QH =243t t -+，OH =t ，AH =t -1， ∵EF ⊥x 轴，∴EF ∥QH ，∴EF AFQH AH=，∴221431t t t =-+-，………（1分） 解得11t =（不合题意，舍去），25t =．……………………………………（1分） ∴5t =，点E 的坐标为（5，8）．…………………………………………（1分）静安区24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点B （8,0）和点C （9，3-）．抛物线c ax ax y +-=82（a ，c 是常数，a ≠0）经过点B 、C ，且与x 轴的另一交点为A ．对称轴上有一点M ，满足MA =MC ．（1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形ABCM 的面积；（3） 如果坐标系内有一点D ，满足四边形ABCD且AD //BC ，求点D 的坐标．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）由题意得：抛物线对称轴aax 28-=，即4=x ． …………（1分） 点B （8,0）关于对称轴的对称点为点A （0,0）∴0=c ， …………（1分）将C （9，-3）代入ax ax y 82-=，得31-=a …………………………（1分）∴抛物线的表达式：x x y 38312+-=…………………………（1分） （2）∵点M 在对称轴上，∴可设M （4，y ） 又∵MA =MC ，即22MCMA =∴2222)3(54++=+y y , 解得y =-3, ∴M （4，-3） …………………（2分） ∵MC //AB 且MC ≠AB , ∴四边形ABCM 为梯形，,AB =8,MC =5,AB 边上的高h = y M = 3 ∴2393)58(21)(21=⨯+⨯=⨯+=MH MC AB S(3) 将点B （8,0）和点C （9，﹣3）代入b kx y BC += 可得⎩⎨⎧-=+=+3908b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=243b k 由题意得，∵AD //BC , 3-=BC k ∴3-=AD k ，x y AD 3-=…（又∵AD 过（0,0），DC =AB =8， 设D (x ,-3x ) 2228)33()9(=+-+-x x , …………………………（1分）解得11=x (不合题意，舍去)， 5132=x …………………………（1分）∴5393-=-=x y ∴点D 的坐标)539,513(-．……………………（1分）闵行区24．（本题满分12分，其中每小题各4分）如图，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x c =-+与x 轴交于 点A 和点B （1，0），与y 轴相交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB ；（3）点Q 在抛物线上，且△ADQ 是以AD 为 底的等腰三角形，求Q 点的坐标．24．解：（1）把B （1，0）和C （0，3）代入22y ax x c =-+中，得9603a c c ++=⎧⎨=⎩，解得13a c =-⎧⎨=⎩．……………………………………（2分）∴抛物线的解析式是：223y x x =--+．……………………………（1分） ∴顶点坐标D （－1，4）．……………………………………………（1分） （2）令0y =，则2230x x --+=，13x =-，21x =，∴A （－3，0）∴3OA OC ==，∴∠CAO =∠OCA ．…………………………………（1分）在Rt BOC ∆中，1tan 3OB OCB OC ∠==．………………………………（1分）∵AC =DC =AD =， ∴2220AC DC +=，220AD =；∴222AC DC AD +=，ACD ∆是直角三角形且90ACD ∠=，∴1tan 3DC DAC AC ∠==，又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC =∠OCB ．…………………（1分） ∴DAC CAO BCO OCA ∠+∠=∠+∠，即DAB ACB ∠=∠．……………………………………………………（1分） （3）令(Q x ，)y 且满足223y x x =--+，(3A -,0)，(1D -，4）∵ADQ ∆是以AD 为底的等腰三角形，∴22QD QA =，即2222(3)(1)(4)x y x y ++=++-，化简得：220x y -+=．………………………………………………（1分） 由222023x y y x x -+=⎧⎨=--+⎩，……………………………………………………（1分）解得11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．（第24题图）∴点Q的坐标是⎝⎭，⎝⎭．…（2分） 普陀区24．（本题满分12分）如图10，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，并与抛物线21742y x bx =-++的对称轴交于点()2,2C ，抛物线的顶点是点D ． （1）求k 和b 的值；（2）点G 是y 轴上一点，且以点B 、C 、G 为顶点的三角形与△BCD 相似，求点G 的坐标；（3）在抛物线上是否存在点E ：它关于直线AB 的对称点F 恰好在y 轴上．如果存在，直接写出点E 的坐标，如果不存在，试说明理由．24．解：（1） 由直线3y kx =+经过点()2,2C ，可得12k =-. ················································· （1分）由抛物线21742y x bx =-++的对称轴是直线2x =，可得1b =. ······················· （1分） （2） ∵直线132y x =-+与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴点A 的坐标是()6,0，点B 的坐标是()0,3. ····················································· （2分）∵抛物线的顶点是点D ，∴点D 的坐标是92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ············································· （1分） ∵点G 是y 轴上一点，∴设点G 的坐标是()0,m . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知，GBC BCD ∠=∠，∴△BCG 与△BCD 相似有两种可能情况： ·························································· （1分）图10xy 11 O①如果BG BC CB CD ＝2，解得1m ＝，∴点G 的坐标是()0,1. ···· （1分） ②如果BG BC CD CB ＝，那么352m -，解得12m ＝，∴点G 的坐标是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （1分） 综上所述，符合要求的点G 有两个，其坐标分别是()0,1和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（3）点E 的坐标是91,4⎛⎫- ⎪⎝⎭或92,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. ····································································· （2分+2分）青浦区24.（本题满分12分，第（1）、（2）、（3）小题，每小题4分）已知：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++的图像与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交于点B ，顶点C 在直线2x =上，将抛物线沿射线AC 的方向平移，当顶点C 恰好落在y 轴上的点D 处时，点B 落在点E 处． （1）求这个抛物线的解析式；（2）求平移过程中线段BC 所扫过的面积；（3）已知点F 在x 轴上，点G 在坐标平面内，且以点C 、E 、F 、G 为顶点的四边形是矩形，求点F 的坐标． ．24．解：（1）∵顶点C 在直线2x =上，∴22=-=bx a，∴4=-b a ． ······················ （1分） 将A （3，0）代入23y ax bx =++，得933=0++a b ， ························· （1分） 解得1=a ，4=-b ． ····················································································· （1分） ∴抛物线的解析式为243=-+y x x ． ························································ （1分） （2）过点C 作CM ⊥x 轴，CN ⊥y 轴，垂足分别为M 、N ．∵243=-+y x x =()221=--x ，∴C （2，1-）． ·································· （1分）∵1==CM MA ，∴∠MAC =45°，∴∠ODA =45°， ∴3==OD OA ． ··························································································· （1分） ∵抛物线243=-+y x x 与y 轴交于点B ，∴B （0，3），∴6=BD ． ······························································································· （1分） ∵抛物线在平移的过程中，线段BC 所扫过的面积为平行四边形BCDE 的面积， ∴12262122==⨯⨯⋅=⨯=BCDEBCDSSBD CN ． ································ （1分）（3）联结CE .∵四边形BCDE 是平行四边形，∴点O 是对角线CE 与BD 的交点， 即OE OC ==（i ）当CE 为矩形的一边时，过点C 作1CF CE ⊥，交x 轴于点1F ，设点1F a （,0），在1Rt OCF 中，22211=OF OC CF +， 即 22(2)5a a =-+，解得 52a =，∴点152F （,0） ··········································· （1分） 同理，得点252F （-,0） ····························································································· （1分） （ii ）当CE 为矩形的对角线时，以点O 为圆心，OC 长为半径画弧分别交x 轴于点3F 、4F ，可得34=OF OF OC ==3F ）、4F （）······· （2分） 综上所述：满足条件的点有152F （,0），252F （-,0），3F ）），4F （）． 松江区24．（本题满分12分，每小题各4分）如图，已知抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-），P 是抛物线上位于第一象限内的一点，直线OP 交该抛物线对称轴于点B ，直线CP 交x 轴于点A ． （1）求该抛物线的表达式；（2）如果点P 的横坐标为m ，试用m 的代数式表示线段BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点P 坐标．24．（本题满分12分，每小题各4分）解：（1）∵抛物线y=ax 2+bx 的顶点为C （1，1-）∴ 112a b b a+=-⎧⎪⎨-=⎪⎩ …………………………………2分解得：12a b =⎧⎨=-⎩…………………………………1分∴抛物线的表达式为：y=x 2-2x ；…………………………1分 （2）∵点P 的横坐标为m ，∴P 的纵坐标为：m 2-2m ……………………………1分 令BC 与x 轴交点为M ，过点P 作PN ⊥x 轴，垂足为点N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN = m 2-2m ，ON =m ，O M =1由PN BMON OM=得221m m BM m -=………………………1分 ∴ BM =m -2…………………………………………………1分 ∵ 点C 的坐标为（1，1-），∴ BC= m -2+1=m -1………………………………………1分 （3）令P (t ，t 2-2t ) ………………………………………………1分 △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC =AP过点P 作PQ ⊥BC 交BC 于点Q ∴CM =MQ =1∴t 2-2t =1 …………………………………………………1分∴1t =+1t =-………………………………1分 ∴ P的坐标为（1+）……………………………………1分徐汇区24. 如图，已知直线122y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，抛物线212y x bx c =-++ 过点B 、C ，且与x 轴交于另一个点A . （1）求该抛物线的表达式；（2）点M 是线段BC 上一点，过点M 作直线l ∥y 轴(第24题图)交该抛物线于点N，当四边形OMNC是平行四边形时，求它的面积；（3）联结AC，设点D是该抛物线上的一点，且满足∠=∠，求点D的坐标.DBA CAO杨浦区24、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）如图8，在平面直角坐标系中，抛物线于X轴交于点A、B，于y轴交于点C，直线经过点A、C，点P为抛物线上位于直线AC上方的一个动点。