二次函数拔高题(学生版)
二次函数拔高题
1.已知抛物线与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），抛物
线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线对称轴上是否存
在一点M，使得S△MAP=2S△ACP？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图，抛物线y=mx2-2mx-3m（m＞0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，
点M为抛物线的顶点．（1）求A，B两点的坐标；（2）是否存在以BM为斜边的
Rt△BCM的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接PC交线段BM于Q点，且S△BPQ=S△CMQ，
请写出点P的坐标
3.抛物线y=-mx2+2mx+3m交x轴于A.B两点,交y轴于点C,OC=OB. (1)求抛
物线的解析式(2)在直线BC上有一点P,使PA+PO最小,求出点P的坐标.
(3)抛物线上是否存在点Q,使S△QBC= S△ABC;若存在,求出Q点坐标;若不存在,
说明理由.
4.如图抛物线y=1/3x2-mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-1），
且对称轴x=1（1）求出抛物线的解析式及A、B两点的坐标；（2）在x轴下方的
抛物线上是否存在点D，使四边形ABDC的面积为3，若存在，求出点D的坐标；
若不存在，说明理由；（3）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使Q、P、A、B
为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P的坐标
5.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A，它的对称轴x=2与x轴交于
点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B（-2，m），且与y轴、直线x=2分别交
于点D、E．（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：
①CB=CE；②D是BE的中点；（3）若P（x，y）是该抛物线上的一个动点，
是否存在这样的点P，使得PB=PE？若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
6.如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两
点，其中点A的坐标为（-3，0）．（1）求点B的坐标；
（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．
①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段
AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求当△ACD的面积达到最大时点Q
的坐标
7.抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴交于点B（1，0），C（5，
0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的
解析式；（3）设M为OA中点，x轴上有一点E，在抛物线对称轴上有一点F．若
S=ME+EF+FA，则求当S最小时，E、F两点的坐标，及此时S的值．
8.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，
与y轴交于点c（0，-3），图象经过（1，-4），（-2，5），点P是抛物线在第四象限上的
一动点．（1）求二次函数解析式；（2）是否存在点P使得点P关于直线BC
的对称点在y轴上？如果存在，求点P坐标，如果不存在请说明理由；（3）当点P运动到
什么位置时，△BCP的面积最大？求出此时P点的坐标和△BCP的最大面积．
9.如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）
求抛物线的解析式；（2）若M为对称轴上的点，且△MAB的面积是4，求M点的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，在第一象限的抛物线上是否存在点N，使得△NCD是等腰三
角形？若存在，求出符合条件的N点的坐标；若不存在，请说明理由．
10.如图，对称轴为x=3的抛物线y=ax2+2x与轴相交于点B、O。（1）求抛物线的解
析式，并求出顶点A的坐标；
（2）连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l.点P是l上一动点，
设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求
t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三
角形且OP为直角边，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。
11.如图，抛物线y=ax2-2ax-3a交y轴于A点，交x轴于B，C两点（B在C右边），
顶点为D．（1）写出B，C，A，D四点的坐标（其中A，D两点的坐标用含a的式子
表示）；（2）当OA=OB时，求抛物线的解析式；（3）若以A，B，D为顶点的三角
形为直角三角形，求a的值．
12.如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图
象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在轴y上．（1）求m的值及这
个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过
P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标
为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使
得四边形DCEP是平行四形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由
初三上册数学《二次函数》培优拔高试题
初三上册数学《二次函数》培优拔高试题卷一．选择题（共12小题）1．关于函数y＝mx2﹣x﹣m+1，下列说法正确的是（）A．无论m取何值，函数图象总经过点（1，0）和（﹣1，﹣2）B．当m≠时，函数图象与x轴总有2个交点C．若m＞时，则当x＜1时，y随x的增大而减小D．若函数图象与x轴交于（x1，0）和（x2，0），若x2＜3＜x1，则0＜m＜2．已知直线y＝与抛物线y＝交于A、B两点，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A、B两处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A、B构成无数个三角形，这些三角形中存在一个面积最大的三角形，最大面积为（）A．12B．C．D．3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），交x轴于A，B两点，交y轴于C，则：①a+c＝0；②无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2；③当函数在x＜时，y随x的增大而减小；④当﹣1＜m＜n＜0时，m+n＜；⑤若a＝1，则OA•OB＝OC2．以上说法正确的有（）A．①②③④⑤B．①②④⑤C．②③④D．①②③⑤4．如图在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线y＝x2﹣2交于A，B 两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接P A，PB．以下说法正确的是（）①PO2＝P A•PB；②当k＞0时，（P A+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大；③当k＝﹣时，BP2＝BO•BA；④三角形P AB面积的最小值为．A．③④B．①②C．②④D．①④5．如图，点A（a，b）是抛物线y＝x2上位于第二象限的一动点，OB⊥OA交抛物线于点B（c，d）．当点A在抛物线上运动的过程中，以下结论：①ac为定值；②ac＝﹣bd；③△AOB的面积为定值；④直线AB必过一定点．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题：①当x＞0时，y＞0；②若a＝﹣1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④7．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分）．则下列结论错误的是（）A．AD＝BE＝5cmB．cos∠ABE＝C．当0＜t≤5时，D．当秒时，△ABE∽△QBP8．如图，抛物线与x轴相交于A、B两点，在保持抛物线的形状与大小不变的前提下，顶点P在线段CD上移动，点C、D的坐标分别为（﹣1，1）和（3，4）．当顶点P移动到点C时，点B恰好与原点重合．在整个移动过程中，点A移动的距离为（）A．1B．2C．3D．49．如图，已知抛物线y1＝﹣x2+1，直线y2＝﹣x+1，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1，y2．若y1≠y2，取y1，y2中的较小值记为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．例如：当x＝2时，y1＝﹣3，y2＝﹣1，y1＜y2，此时M＝﹣3．下列判断中：①当x＜0时，M＝y1；②当x＞0时，M随x的增大而增大；③使得M大于1的x值不存在；④使得M＝的值是﹣或，其中正确的个数有（）A．1B．2C．3D．410．如图，已知抛物线l1：y＝﹣x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M．将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2．则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积（）A．3B．6C．8D．1011．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+2）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为（）A．9B．12C．15D．1812．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2C．8D．6二．填空题（共6小题）13．已知抛物线y＝4x2﹣mx+2，当x＞﹣2时，y随x的增大而增大；当x＜﹣2时，y随x 的增大而减小．则当x＝3时，y＝．14．已知二次函数y＝ax2+bx+c，当x＝2时，y有最小值﹣1，且抛物线与x轴两交点间的距离为2，则此二次函数的解析式为．15．已知a＞2，b＜2，且a+b＝k+1，ab＝6，则k的最小整数值是．16．已知抛物线C1：y＝﹣x2+2mx+1（m为常数，且m≠0）的顶点为A，与y轴交于点C；抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称，其顶点为B．若点P是抛物线C1上的点，使得以A、B、C、P为顶点的四边形为菱形，则m的值为．17．实数x，y满足2x2﹣6x+y2＝0，设w＝x2+y2﹣8x，则w的最大值是．18．如图，二次函数y＝的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C．（1）若在抛物线对称轴上存在一点P，使△ACP周长最小，则P点坐标为；（2）现有一长为2的线段DE在直线y＝上移动，且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段P A，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是．三．解答题（共6小题）19．某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值．20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0）．抛物线的对称轴和x轴交于点M．（1）求这条抛物线对应函数的表达式；（2）若P点在该抛物线上，当△P AB的面积为6时，求点P的坐标．（3）点G是抛物线上对称轴左侧的一个动点，点E从点B出发，沿x轴的负半轴运动，速度为每秒1个单位，同时点F由点M出发，沿对称轴向下运动，速度为每秒2个单位，设运动的时间为t．①若点G到AE和MF距离相等，直接写出点G的坐标．②点C是抛物线的对称轴上的一个动点，以FG和FC为边做矩形FGDC，求点E恰好为矩形FGDC的对角线交点时t的值．21．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．（1）求该抛物线的函数解析式．（2）当△P AB的面积为8时，求点P的坐标．（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点C，A（﹣4，0），B（1，0），∠ACB＝90°．（1）求点C的坐标和抛物线的函数关系式；（2）点D是OA上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交AC于点F，当DF＝EF时，求点E的坐标；（3）设抛物线的对称轴l交x轴于点G，在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于C（0，2）．（1）求函数表达式；（2）点D是线段BC中点，点E是BC上方抛物线上一动点，连接CE，DE．当△CDE 的面积最大时，过点E作y轴垂线，垂足为F，点P为线段EF上一动点，将△CEF绕点C顺时针方向旋转90°，点F，P，E的对应点分别是F'，P'，E'，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到点F'处，再沿F'C运动到点C处，最后沿适当的路径运动到点P 处停止．求△CDE面积的最大值及点Q经过的最短路径的长．。
第22章 二次函数图像与性质拔高题【答案】(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】2016/11/24 14:57:23一．选择题（共10小题）1．一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C． D．2．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0 3．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A．B．C．D．4．已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大5．如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤6．抛物线y=x 2+bx+c （其中b ，c 是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x ≤3）有交点，则c 的值不可能是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．如图是抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n ），且与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c ＞0；②3a +b=0；③b 2=4a （c ﹣n ）；④一元二次方程ax 2+bx+c=n ﹣1有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个9．点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 3＞y 1=y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1=y 2＞y 310．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ）A ．B ．2C ．D ．二．选择题（共10小题）11．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的顶点A 在x 轴正半轴上，顶点C 的坐标为（4，3），D 是抛物线y=﹣x 2+6x 上一点，且在x 轴上方，则△BCD 面积的最大值为 ．12．二次函数y=x 2﹣2x ﹣3的图象如图所示，若线段AB 在x 轴上，且AB 为2个单位长度，以AB 为边作等边△ABC ，使点C 落在该函数y 轴右侧的图象上，则点C 的坐标为 ．13．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a ﹣b|﹣|3b+2c|，则P ，Q 的大小关系是 ．14．如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为．15．a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）16．如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC 的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为．17．已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．18．抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为．20．二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x= ．三．选择题（共6小题）21．如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．22．已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．23．如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．24．如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为，顶点坐标为（用含k的代数式表示）．（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC 与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x 轴对称时，直线PC的解析式．25．已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．26．如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA 的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．四．选择题（共3小题）27．在二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 8 3 0 ﹣1 0 … 求这个二次函数的解析式．28．如图，一次函数y 1=kx+b 与二次函数y 2=ax 2的图象交于A 、B 两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y 1＞y 2的x 的取值范围．29．如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 的对称轴为直线x=，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x ≤4时y 的取值范围；（2）已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，点D 关于直线BC 的对称点为点E ，求点E 的坐标．五．解答题（共1小题）30．已知二次函数y=ax 2+bx+c 过点A （1，0），B （﹣3，0），C （0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）2016/11/24 14:57:23参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2016•毕节市）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B． C． D．【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a ＞0，b＞0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a ＜0，b＜0，故本选项正确；D、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a ＜0，b＞0故本选项错误．故选C．2．（2016•衢州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象上部分点的坐标（x，y）对应值列表如下：x …﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …y …﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣6 ﹣11 …则该函数图象的对称轴是（）A．直线x=﹣3 B．直线x=﹣2 C．直线x=﹣1 D．直线x=0 【解答】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣2．故选：B．3．（2016•泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上，∴a＞0，∵对称轴在y轴的左侧，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．故选A．4．（2016•宁波）已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大【解答】解：A、∵当a=1，x=﹣1时，y=1+2﹣1=2，∴函数图象不经过点（﹣1，1），故错误；B、当a=﹣2时，∵△=42﹣4×（﹣2）×（﹣1）=8＞0，∴函数图象与x轴有两个交点，故错误；C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大，故错误；D、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴若a＜0，则当x ≤1时，y随x的增大而增大，故正确；故选D．5．（2016•达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1．下列结论：①abc＞0②4a+2b+c＞0③4ac﹣b2＜8a④＜a＜⑤b＞c．其中含所有正确结论的选项是（）A．①③B．①③④C．②④⑤D．①③④⑤【解答】解：①∵函数开口方向向上，∴a＞0；∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；②∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），对称轴为直线x=1，∴图象与x轴的另一个交点为（3，0），∴当x=2时，y＜0，∴4a+2b+c＜0，故②错误；③∵图象与x轴交于点A（﹣1，0），∴当x=﹣1时，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0，∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a，∵对称轴为直线x=1∴=1，即b=﹣2a，∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a，∴4ac﹣b2=4•a•（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0∵8a＞0∴4ac﹣b2＜8a故③正确④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴＞a＞；故④正确⑤∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤正确；故选：D．6．（2016•绍兴）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：∵抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，∴解得6≤c≤14，故选A．7．（2016•孝感）如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．∴当x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，即b=﹣2a，∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；∵抛物线的顶点坐标为（1，n），∴=n，∴b 2=4ac ﹣4an=4a （c ﹣n ），所以③正确；∵抛物线与直线y=n 有一个公共点，∴抛物线与直线y=n ﹣1有2个公共点，∴一元二次方程ax 2+bx+c=n ﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选C ．8．（2016•随州）二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c ＞3b ；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 3＜y 2；（5）若方程a （x+1）（x ﹣5）=﹣3的两根为x 1和x 2，且x 1＜x 2，则x 1＜﹣1＜5＜x 2．其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解答】解：（1）正确．∵﹣=2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y ＜0，∴9a ﹣3b+c ＜0，∴9a+c ＜3b ，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0）， ∴解得，∴8a+7b+2c=8a ﹣28a ﹣10a=﹣30a ，∵a ＜0，∴8a+7b=2c ＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A （﹣3，y 1）、点B （﹣，y 2）、点C （，y 3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=， ∴＜∴点C 离对称轴的距离近，∴y 3＞y 2，∵a ＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y 1＜y 2∴y 1＜y 2＜y 3，故（4）错误．（5）正确．∵a ＜0，∴（x+1）（x ﹣5）=﹣3/a ＞0，即（x+1）（x ﹣5）＞0，故x ＜﹣1或x ＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B ．9．（2016•兰州）点P 1（﹣1，y 1），P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）均在二次函数y=﹣x 2+2x+c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）A ．y 3＞y 2＞y 1B ．y 3＞y 1=y 2C ．y 1＞y 2＞y 3D ．y 1=y 2＞y 3【解答】解：∵y=﹣x 2+2x+c ，∴对称轴为x=1，P 2（3，y 2），P 3（5，y 3）在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小， ∵3＜5，∴y 2＞y 3，根据二次函数图象的对称性可知，P 1（﹣1，y 1）与（3，y 1）关于对称轴对称，故y 1=y 2＞y 3，故选D．10．（2016•舟山）二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn ＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）A．B．2 C．D．【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m ﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=，所以m+n=﹣2+=．故选：D．二．选择题（共10小题）11．（2016•长春）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为（4，3），D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为15 ．【解答】解：∵D是抛物线y=﹣x2+6x上一点，∴设D（x，﹣x2+6x），∵顶点C的坐标为（4，3），∴OC==5，∵四边形OABC是菱形，∴BC=OC=5，BC∥x轴，∴S=×5×（﹣x2+6x﹣3）=﹣（x﹣3）2+15，△BCD∵﹣＜0，有最大值，最大值为15，∴S△BCD故答案为15．12．（2016•泰州）二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象如图所示，若线段AB在x轴上，且AB为2个单位长度，以AB为边作等边△ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为（1+，3）或（2，﹣3）．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，且AB=2，∴AB边上的高为3，又∵点C在二次函数图象上，∴C的纵坐标为±3，令y=±3代入y=x2﹣2x﹣3，∴x=1或0或2∵使点C落在该函数y轴右侧的图象上，∴x＞0，∴x=1+或x=2∴C（1+，3）或（2，﹣3）故答案为：（1+，3）或（2，﹣3）13．（2016•内江）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且P=|2a+b|+|3b﹣2c|，Q=|2a﹣b|﹣|3b+2c|，则P，Q的大小关系是P＞Q ．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴2a﹣b＜0，∵﹣=1，∴b+2a=0，x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0．∴﹣b﹣b+c＜0，∴3b﹣2c＞0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，∴c＞0，∴3b+2c＞0，∴p=3b﹣2c，Q=b﹣2a﹣3b﹣2c=﹣2a﹣2b﹣2c，∴Q﹣P=﹣2a﹣2b﹣2c﹣3b+2c=﹣2a﹣5b=﹣4b＜0∴P＞Q，故答案为：P＞Q．14．（2016•梅州）如图，抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+，2）或（1﹣，2）．【解答】解：∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，∴点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点，∵抛物线y=﹣x2+2x+3与y轴交于点C，∴C（0，3），且D（0，1），∴E点坐标为（0，2），∴P点纵坐标为2，在y=﹣x2+2x+3中，令y=2，可得﹣x2+2x+3=2，解得x=1±，∴P点坐标为（1+，2）或（1﹣，2），故答案为：（1+，2）或（1﹣，2）．15．（2016•镇江）a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b ＜c（用“＞”或“＜”号填空）【解答】解：∵二次函数y=x2﹣2ax+3的图象的对称轴为x=a，二次项系数1＞0，∴抛物线的开口向上，在对称轴的右边，y随x的增大而增大，∵a+1＜a+2，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，∴b＜c，故答案为：＜．16．（2016•绵阳校级自主招生）如图，二次函数y=ax2+mc（a≠0）的图象经过正方形ABOC的三个顶点，且ac=﹣2，则m的值为1 ．【解答】解：连接BC，如图，根据题意得A（0，mc），即OA=mc，∵四边形ABCD为正方形，∴OA=BC，OA与BC互相垂直平分，∴C点坐标为（，），把C（，）代入y=ax2+mc得a•（）2+mc=，整理得amc=﹣2，∵ac=﹣2，∴m=1．故答案为1．17．（2016•新县校级模拟）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≥﹣1 ．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=，∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，∴≤1，解得：m≥﹣1．故答案为：m≥﹣1．18．（2016•同安区一模）抛物线y=x2﹣x+p与x轴相交，其中一个交点坐标是（p，0）．那么该抛物线的顶点坐标是（，﹣）．【解答】解：将（p，0）代入得：p2﹣p+p=0，p2=0，p=0，则y=x2﹣x=x2﹣x+﹣=（x﹣）2﹣，∴顶点坐标为（，﹣）．19．（2016•宽城区一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣2x+2交y轴于点A，直线AB交x轴正半轴于点B，交抛物线的对称轴于点C，若OB=2OA，则点C的坐标为（1，）．【解答】解：由抛物线y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1可知A（0，2），对称轴为x=1，∴OA=2，∵OB=2OA，∴B（4，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线AB为y=﹣x+2，当x=1时，y=，∴C（1，）．20．（2016•闸北区二模）二次函数y=x2﹣2x+b的对称轴是直线x= 1 ．【解答】解：∵y=x2﹣2x+b=x2﹣2x+1+b﹣1=（x+1）2+b﹣1故对称轴是直线x=1．故答案为：1．三．选择题（共6小题）21．（2016•宁波）如图，已知抛物线y=﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．【解答】解：（1）把点B的坐标为（3，0）代入抛物线y=﹣x2+mx+3得：0=﹣32+3m+3，解得：m=2，∴y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为：（1，4）．（2）连接BC交抛物线对称轴l于点P，则此时PA+PC的值最小，设直线BC的解析式为：y=kx+b，∵点C（0，3），点B（3，0），∴，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣x+3，当x=1时，y=﹣1+3=2，∴当PA+PC的值最小时，点P的坐标为：（1，2）．22．（2016•封开县二模）已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值．【解答】解：（1）由题意，可得8=16a﹣4（a+1）及8=4k，解得a=1，k=2，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣2x，直线的解析式为y=2x．（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2﹣2t），则PQ=2t﹣（t2﹣2t）=4t﹣t2=﹣（t﹣2）2+4，所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．23．（2016•安徽）如图，二次函数y=ax2+bx的图象经过点A（2，4）与B（6，0）．（1）求a，b的值；（2）点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x（2＜x＜6），写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．【解答】解：（1）将A（2，4）与B（6，0）代入y=ax2+bx，得，解得：；（2）如图，过A作x轴的垂直，垂足为D（2，0），连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD=OD•AD=×2×4=4；S△ACD=AD•CE=×4×（x﹣2）=2x﹣4；S△BCD=BD•CF=×4×（﹣x2+3x）=﹣x2+6x，则S=S△OAD +S△ACD+S△BCD=4+2x﹣4﹣x2+6x=﹣x2+8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2+8x（2＜x＜6），∵S=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16．24．（2016•江西模拟）如图，直线y=kx+2k﹣1与抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0）相交于A、B两点，抛物线的顶点为P．（1）抛物线的对称轴为直线x=1 ，顶点坐标为（1，﹣k ﹣4）（用含k的代数式表示）．（2）无论k取何值，抛物线总经过定点，这样的定点有几个？试写出所有定点的坐标，是否存在这样一个定点C，使直线PC 与直线y=kx+2k﹣1平行？如果不存在，请说明理由；如果存在，求当直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点Q与点P关于x 轴对称时，直线PC的解析式．【解答】解：（1）∵抛物线y=kx2﹣2kx﹣4（k＞0），∴对称轴为直线x=﹣=1，当x=1时，y=k﹣2k﹣4=﹣k﹣4，∴顶点P为（1，﹣k﹣4），故答案为直线x=1，（1，﹣k﹣4）；（2）由y=kx2﹣2kx﹣4=k（x﹣2）x﹣4可知，无论k取何值，抛物线总经过定点（0，﹣4）和（2，﹣4）两个点，∵交点Q与点P关于x轴对称，∴Q（1，k+4），∵直线y=kx+2k﹣1与抛物线的对称轴的交点为Q，∴k+4=k+2k﹣1，解得k=，∴P（1，﹣），∵线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，∴设直线PC的解析式为y=x+b，代入P（1，﹣）得﹣=+b，解得b=﹣9，∴直线PC的解析式为y=x﹣9．故存在定点C，使直线PC与直线y=kx+2k﹣1平行，直线PC的解析式为y=x﹣9．25．（2016•萧山区模拟）已知二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点．（1）用含m的代数式来表示顶点M的坐标（直接写出答案）；（2）当x≥2时，二次函数y=x2+px+q与y=x+的值均随x的增大而增大，求m的取值范围（3）若m=6，当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，求t的取值范围．【解答】解：（1）由，解得，即交点M坐标为；（2）∵二次函y=x2+px+q图象的顶点M为直线y=x+与y=﹣x+m﹣1的交点为，且当x≥2时，二次函数y=x2+px+q 与y=x+的值均随x的增大而增大，∴≤2，解得m≤，∴m的取值范围为m≤；（3）∵m=6，∴顶点为（3，2），∴抛物线为y=（x﹣3）2+2，∴函数y有最小值为2，∵当x取值为t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y最小值=2，∴t﹣1≤3，t+3≥3，解得0≤t≤4．26．（2016•湘潭一模）如图，已知抛物线y=ax2+x+c经过A（4，0），B（1，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA 的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A（4，0），B（1，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，则抛物线解析式为y=﹣x2+x﹣2；（2）存在，理由如下：设D的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2，过D作y轴的平行线交AC于E，连接CD，AD，如图所示，由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2，∴E点的坐标为（t，t﹣2），∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t，∴△DAC的面积S=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，当t=2时，S=4，最大∴此时D（2，1），△DAC面积的最大值为4．四．选择题（共3小题）27．（2016秋•宁县校级期中）在二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … 8 3 0 ﹣1 0 …求这个二次函数的解析式．【解答】解：根据题意得， 解得：， 则二次函数的解析式是y=x 2﹣4x+3．28．（2016秋•丹江口市校级月考）如图，一次函数y 1=kx+b 与二次函数y 2=ax 2的图象交于A 、B 两点．（1）利用图中条件，求两个函数的解析式；（2）根据图象写出使y 1＞y 2的x 的取值范围．【解答】解：（1）由图象可知：B （2，4）在二次函数y 2=ax 2上，∴4=a ×22，∴a=1，则二次函数y 2=x 2，又A （﹣1，n ）在二次函数y 2=x 2上，∴n=（﹣1）2，∴n=1，则A （﹣1，1），又A 、B 两点在一次函数y 1=kx+b 上， ∴， 解得：，则一次函数y 1=x+2，答：一次函数y 1=x+2，二次函数y 2=x 2；（2）根据图象可知：当﹣1＜x ＜2时，y 1＞y 2．29．（2016春•江阴市校级月考）如图，抛物线y=ax 2+bx ﹣4a 的对称轴为直线x=，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，4）．（1）求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x ≤4时y 的取值范围；（2）已知点D （m ，m+1）在第一象限的抛物线上，点D 关于直线BC 的对称点为点E ，求点E 的坐标．【解答】 解：（1）将C （0，4）代入y=ax 2+bx ﹣4a 中得a=﹣1又∵对称轴为直线x=， ∴，得b=3．∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+3x+4，∵y=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+．∴顶点坐标为：（，），∴当0≤x≤4时y的取值范围是0≤y≤．（2）∵点D（m，m+1）在抛物线上，∴m+1=﹣m2+3m+4，解得：m=﹣1，或m=3；∵点D在第一象限，∴点D的坐标为（3，4）．又∵C（0，4），∴CD∥AB，且CD=3．当y=﹣x2+3x+4=0时，解得：x=﹣1，或x=4，∴B（4，0）；当x=0时，y=4，∴C（0，4），∴OB=OC=4，∴∠OCB=∠DCB=45°，∴点E在y轴上，且CE=CD=3，∴OE=1．即点E的坐标为（0，1）．五．解答题（共1小题）30．（2016秋•临沭县校级月考）已知二次函数y=ax2+bx+c过点A （1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为6，求点P的坐标．（写出详细的解题过程）【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）（x+3），把C（0，﹣3）代入得a×（﹣1）×3=﹣3，解得a=1，所以这个二次函数的解析式为y=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3．（2）∵A（1，0），B（﹣3，0），∴AB=4，设P（m，n），∵△ABP的面积为6，∴AB•|n|=6，解得：n=±3，当n=3时，m2+2m﹣3=3，解得：m=﹣1+或﹣1﹣，∴P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）；当n=﹣3时，m2+2m﹣3=﹣5，解得m=0或m=﹣2，∴P（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）；故P（﹣1+，3）或P（﹣1﹣，3）或（0，﹣3）或P（﹣2，﹣3）．。
初中数学二次函数小题拔高训练
初中数学二次函数小题拔高训练一．选择题（共30小题）1．（2014•龙岩）定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}=b；当a＜b时min{a，b}=a．如：min{1，﹣2．Cx=（，的增大而增大，其最大值为当≤的增大而减小，最大值为的最大值是2．（2013•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（1，0）和点（0，﹣2），且顶点在第三象限，设P=a﹣b+c，则P的取值范围是（）﹣﹣3．（2013•遵义）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若M=a+b﹣c，N=4a﹣2b+c，P=2a﹣b．则M，N，P中，值小于0的数有（）﹣∴4．（2013•鞍山一模）如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则ax2+bx+c＞0的解集为（）5．（2013•南开区一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）x=∵6．（2012•金东区一模）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列判断中错误的是（）x=7．（2012•高淳县一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①c=2；②b2﹣4ac＞0；③2a+b=0；④a ﹣b+c＜0．其中正确的为（）==19．（2010•秀洲区一模）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线y=ax2+2ax+4（0＜a＜3）上，若x1＜x2，x1+x2=110．（2010•邢台一模）如图，点A（m，n）是一次函数y=2x的图象上的任意一点，AB垂直于x轴，垂足为B，那么三角形ABO的面积S关于m的函数关系的图象大致为（）．C D．|m|11．（2009•贵港）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=，小亮通过观察得出了下面四条信息：①c＜0，②abc＜0，③a﹣b+c＞0，④2a﹣3b=0．你认为其中正确的有（）＞=12．（2009•鸡西）二次函数y=x2+bx+c的图象如图所示，则2b+c的值是（）2．CD ．14．（2009•随州）如图是某二次函数的图象，将其向左平移2个单位后的图象的函数解析式为y=ax 2+bx+c（a ≠0），则下列结论中正确的有（ ） （1）a ＞0；（2）c ＜0；（3）2a ﹣b=0；（4）a+b+c ＞0．==15．（2008•乐山）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，令M=|4a﹣2b+c|+|a+b+c|﹣|2a+b|+|2a﹣b|，则（）＜﹣2，）x=x=y=；∴17．（2007•河池）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则（）x=18．（2006•梧州）二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（）．C D．＜﹣19．（2006•辽宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a，b，c满足a+b+c=0和9a﹣3b+c=0，则该二次函数图x=21．（2005•茂名）下列四个函数：①y=kx（k为常数，k＞0）②y=kx+b（k，b为常数，k＞0）③y=（k为常数，k＞0，x＞0）④y=ax2（a为常数，a＞0）y=（22．（2005•丰台区）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0；（2）a﹣b+c＞0；（3）abc＞0；（4）b=2a．其中正确的结论有（）=2x=，24．（2004•武汉）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点（﹣2，0），（x1，0），且1＜x1＜2，与y轴的正半轴的交点在（0，2）的下方，下列结论：①a＜b＜c；②2a+c＞0；③4a+c＜0；④2a﹣b+1＞0．其中正确结论的个数为x=﹣则对称轴﹣＜﹣＜＜﹣25．（2004•日照）己知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a﹣b+c＞0②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于零③y随x的增大而增大④一次函数y=ax+bc的图象一定不过第二象限其中正确的个数是（）x==26．（2003•资阳）已知函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则函数y=bx+c的图象在（）＜27．（2003•武汉）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（﹣1，0），且满足4a+2b+c＞0，以下结论：①a+b＞0；2228．（2002•泰州）下面四个命题中，正确的命题有（）①函数y=（2x+1）2+3中，当x＞﹣1时，y随x增大而增大；②如果不等式的解集为空集，则a＞1；③圆内接正方形面积为8cm2，则该圆周长为4πcm；，因此当，＞＞﹣时，如果不等式29．（2002•哈尔滨）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0．其中正确的个数是（）x=30．（2002•海南）已知二次函数y=a（x+1）2+c的图象如图所示，则函数y=ax+c的图象只可能是（）．C D．。
九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶篇(二次函数)拔高练习(含答案)
九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶篇(二次函数)拔高练习试卷简介:二次函数的最值和实际应用，了解二次函数一般的做法，同时对具体实际生活中的应用题做检测，检验学生构造函数解决问题的能力。
学习建议:对二次函数的学习，第一一定要充分了解图象和性质；第二要了解求最值的一般方法，通过大量做题来锻炼这种方法和思路；一、单选题(共2道，每道30分)1.(2010舟山)已知二次函数，则函数值y的最小值是（）A.3B.2C.1D.-1答案：C解题思路：首先根据题目要求函数最小值，可以把二次函数化为一般式，即，根据顶点式可以知道函数在顶点处取得最小值，最小值就是1。
易错点：对于二次函数的最值知道怎么求，不会化一般式为顶点式试题难度：一颗星知识点：二次函数的最值2.（2009昌平二模）当时，二次函数的最小值为（）A.-4B.C.D.答案：B解题思路：首先第一步化二次函数为顶点式，；第二步判定x的取值范围是否为全体实数，如果是，在顶点处取得最小值；如果不是，判断x在已知范围内的增减性；在这道题中很明显y是随着x的增大而减小，所以在时，y取得最小值，最小值为易错点：1.对于二次函数的最值知道怎么求，不会化一般式为顶点式；2.化为顶点式之后不会判断x的取值范围，误以为在顶点处取得最小值试题难度：二颗星知识点：二次函数的最值二、解答题(共1道，每道40分)1.（2011黄冈）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售.当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x万元，可获得利润（万元）.当地政府拟在“十二•五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售.在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润：（万元）（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？答案：（1）205（2）3175（3）具有很大的实施价值.解题思路：解：（1）由知，每年只需从100万元中拿出60万元投资，即可获得最大利润41万元，则不进行开发的5年的最大利润P1=41×5=205（万元）（2）若实施规划，在前2年中，当x=50时，每年最大利润为：万元，前2年的利润为：40×2=80万元，扣除修路后的纯利润为：80-50×2=-20万元.设在公路通车后的3年中，每年用x万元投资本地销售，而用剩下的（100-x）万元投资外地销售，则其总利润当x=30时，W的最大值为3195万元，∴5年的最大利润为3195-20=3175（万元）（3）规划后5年总利润为3175万元，不实施规划方案仅为205万元，故具有很大的实施价值.易错点：1．通过读题提取不出有效的信息，不能把信息转化为有利的解题条件；2．在求第（2）问的时候需要注意前两年的最大利润取不到50万元（因为投入最多只有50万元），这是一个陷阱；3．通车后的投资中未知数的表示应该是（100-x），而不是x；试题难度：四颗星知识点：二次函数综合题。
九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶篇拔高练习
九年级数学函数专题之二次函数实际应用进阶篇拔高练习试卷简介:全卷共4道题，分值100分，测试时间30分钟.主要考察了二次函数地最值和实际应用，了解二次函数一般地做法，同时对具体实际生活中地应用题做检测，检验学生构造函数解决问题地能力.学习建议:本章主要内容是二次函数地实际应用，不仅是中考常考地内容之一，更是整个数学学科地重要内容之一.本讲题目灵活多变，同学们可以在做题地同时体会二次函数在诸多方面地运用，并且关注问题地解决过程.一、单选题(共2道，每道25分)1. （2010四川）y=x2+（1－a）x＋1是关于x地二次函数，当x地取值范围是1≤x≤3时，y 在x＝1时取得最大值，则实数a地取值范围是（）A.a=5B.a 5C.a=3D.a 32.（2009昌平二模）当时，二次函数地最小值为（）A.-4B.C.D.二、解答题(共2道，每道25分)1.某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品地养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品地每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式，而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足地函数关系如图所示．（1）试确定地值；（2）求出这种水产品每千克地利润（元）与销售月份（月）之间地函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克地利润最大？最大利润是多少？2.（2011贵州）用长度一定地不锈钢材料设计成外观为矩形地框架（如图①②③中地一种）.设竖档M，请根据以上图案回答下列问题：（题中地不锈钢材料总长均指各图中所有黑线地长度和，所有横档和竖档分别与、平行）（1）在图①中，如果不锈钢材料总长度为12M，当为多少时，矩形框架地面积为3平方M？（2）在图②中，如果不锈钢材料总长度为12M，当为多少时，矩形框架地面积最大？最大面积是多少？（3）在图③中，如果不锈钢材料总长度为M，共有条竖档，那么当为多少时，矩形框架地面积最大？最大面积是多少？东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B室电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B座405室电话：68856662。
九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇拔高练习(含答案)
九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇拔高练习试卷简介:本卷有四道题，每题25分，满分100分。
主要考察学生对二次函数综合知识的掌握程度。
学习建议:本讲重点考察二次函数，二次函数的综合性非常强，灵活多变，需要学生熟练掌握二次函数的基础知识，并学会灵活运用。
一、单选题(共1道，每道25分)1.（2011江苏）如图，抛物线y= x2 + 1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式的解集是的解集是A.x>1B.x<-1C.0<x<1D.-1<x<0答案：D解题思路：可以把不等式+ x2 + 1 x2+ 1 <－，在坐标系中y=x2 + 1与y=－的函数值的比较。
易错点：对二个函数图象的交点的意义认识不清楚试题难度：三颗星知识点：函数的图象二、解答题(共3道，每道25分)1.运算求解：已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，求C1的顶点坐标．答案：解：∵函数的图象与x轴有且只有一个公共点，∴方程有且只有一个根∴Δ=4－4m=0，∴m=1，∴∴的顶点坐标为（－1，0）.解题思路：由于二次函数的图象与x轴有且只有一个公共点，那么方程的Δ=0，由此可以确定m．易错点：抛物线和x轴的交点个数与其判别式的关系不是很熟悉。
试题难度：三颗星知识点：抛物线与x轴的交点2.运算求解：已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A（－3，0），求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标．答案：解：设的函数关系式为，把A（－3，0）代入上式得，得k=－4，∴的函数关系式为．∵抛物线的对称轴为x=－1，与x轴的一个交点为A（－3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）；解题思路：首先设所求抛物线解析式为，然后把A（－3，0）代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式.易错点：对函数图平移的性质不熟悉，不会设的表达式.试题难度：四颗星知识点：二次函数的性质3.运算求解：已知二次函数的图象C1与x轴有且只有一个公共点，若P （n，），Q（2，）是C1上的两点，且>，求实数n的取值范围答案：解：当x≥－1时，y随x的增大而增大，当n≥－1时，∵＞，∴n＞2．当n＜－1时，P（n，）的对称点坐标为（－2－n，），且－2－n＞-1，∵＞，∴－2－n＞2，∴n＜－4．综上所述：n＞2或n＜-4．解题思路：由于图象的对称轴为x=－1，所以知道当x≥－1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥－1和n≤－1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．易错点：对二次函数的增减性掌握的不熟练试题难度：四颗星知识点：二次函数的性质。
九级数学函数专题目之二次函数基础提高篇二次函数拔高练习-3页文档资料
九年级数学函数专题之二次函数基础提高篇(二次函数)拔高练习试卷简介:本卷只有四道选择题，每题25分，满分100分。
主要考察学生对二次函数综合知识的掌握程度。
学习建议:本讲重点考察二次函数，二次函数的综合性非常强，灵活多变，需要学生熟练掌握二次函数的基础知识，并学会灵活运用。
一、单选题(共4道，每道25分)1.（2011山东）抛物线y=（x+2）²-3可以由抛物线y=x²平移得到,则下列平移过程正确的是（）A.先向左平移2个单位,再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位,再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位,再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位,再向上平移3个单位2.（2011甘肃）如图所示的二次函数y=ax²+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b²-4ac＞0；（2）c>1；（3）2a－ba+b+c<0．你认为其中错误的有（）A.2个B.3个C.4个D.1个3.（2011湖北）已知函数y=（k-3）x²+2x+1的图象与x轴有交点，则k 的取值范围是（）A.k＜4B.k≤4C.k＜4且k≠3D.k≤4且k≠34.（2011安徽）二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则反比例函数与一次函数y=bx+c在同一坐标系中的大致图象是（）A.B.C.D.推荐课程：众享课程主页http://ese.xxt/curriculum/index.jsp?do=ok 东区总校：郑州市文化路与黄河路交叉口中孚大厦7楼B室电话：65335902 西区总校：郑州市陇海路与桐柏路交叉口凯旋门大厦B座405室电话：68856662希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。
2、为成功找方法，不为失败找借口。
3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。
二次函数拔高 (1)
二次函数复习巩固1、如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3,0），顶点C的坐标为（1,4）（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；（2）点P使直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；2，请直接写出点Q （3）在抛物线上存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2的坐标。
2、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（-1,0），B（3,0）两点，与y轴相交于点C（0,3）（1）求这个二次函数的表达式并直接写出顶点坐标；（2）若P是第一象限内这个二次函数图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC 交于点M，连接PC，设点P的横坐标为t.①求线段PM的最大值；②S△PBM:S△MHB=1：2时，求t的值；③当△PCM时等腰三角形时，直接写出点P的坐标。
3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 交x 轴于点A （-4,0）、B （2,0），交y 轴于点C （0,6），在y 轴上有一点E （0，-2），连接AE 。
（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求△ADE 面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使△AEP 为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由。
4、如图1，经过原点O 的抛物线y=ax 2+bx （a ≠0）与x 轴交于另一点A （23，0），在第一象限内与直线y=x 交于点B （2，t ）.（1）求这条抛物线的表达式；（2）在第四象限内的抛物线上有一点C ，满足以B ，O ，C 为顶点的三角形的面积为2，求点C 的坐标；（3）如图2，若点M 在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO ，在（2）的条件下，是否存在点P ，使得△POC ∽△MOB ? 若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
中考数学专题训练《二次函数的图象与性质》拔高题(100题) (6)(解析版)
中考数学专题训练《二次函数的图象与性质》拔高题(100题) (6)1．矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m，D为AB的中点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、点D（1）当m＝1时，求抛物线y＝﹣x2+bx+c的函数关系式；（2）延长BC至点E，连接OE，若OD平分∠AOE，抛物线与线段CE相交，求抛物线的顶点P 到达最高位置时的坐标．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+1；（2）此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（12，34）．(1)由m＝1，得：点A（0，1），点C（4，0），点B（4，1），点D（2，1），根据待定系数法，即可得到答案；(2)由待定系数法得：抛物线的解析式为y＝﹣x2+2mx+m，过点D作DA'⊥OE，交x轴于点Q，过点A′作A′N⊥x轴于点N，连接AA'，求出A′点坐标为（45m，﹣35m），进而得到：直线OA′的解析式为：y＝﹣34x，从而得到点E的坐标和抛物线l与直线CE的交点坐标，根据抛物线l与线段CE相交，求出18≤m≤12，进而求出抛物线顶点P到达最高位置时的坐标.（1）如图1，∵m＝1，∴点A（0，1），点C（4，0），点B（4，1），∵D为AB的中点，∴点D（2，1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、点D，∴14211cb=⎧⎨-++=⎩，解得：12cb=⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+1；（2）∵点A（0，m），点C（4m，0），点B（4m，m），∵D为AB的中点，∴点D（2m，m）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 经过点A 、点D ，∴242c m m mb c m =⎧⎨-++=⎩，解得：2c m b m =⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2+2mx+m ，如图2，过点D 作DA'⊥OE ，交x 轴于点Q ，过点A′作A′N ⊥x 轴于点N ，连接AA'， ∵OD 平分∠AOE ，∴∠AOD ＝∠A'OD ，又∵∠OAD ＝∠OA′D ＝90°，OD ＝OD ，∴△AOD ≌△A'OD （AAS ）∴OA ＝OA′＝m ，AD ＝A′D ＝2m ，∠ADO ＝∠A′DO ，∵矩形OABC 中，AD ∥OC ，∴∠ADO ＝∠DOQ ，∴∠A′DO ＝∠DOQ ，∴DQ ＝OQ ．设DQ ＝OQ ＝x ，则A′Q ＝2m ﹣x ，在Rt △OA′Q 中，∵OA′2+A′Q 2＝OQ 2，∴m 2+（2m ﹣x ）2＝x 2，解得：x ＝54m ． ∵S △OA′Q ＝12OQ•A′N ＝12OA′•A′Q ， ∴A′N ＝334554m m m m ⋅=， ∴ON45m =， ∴A′点坐标为（45m ，﹣35m ）， ∴直线OA′的解析式为：y ＝﹣34x ， 当x ＝4m 时，y ＝﹣34×4m ＝﹣3m ， ∴E 点坐标为（4m ，﹣3m ）．当x ＝4m 时，﹣x 2+2mx+m ＝﹣（4m ）2+2m•4m+m ＝﹣8m 2+m ，即抛物线l 与直线CE 的交点坐标为：（4m ，﹣8m 2+m ），∵抛物线l 与线段CE 相交，∴﹣3m≤﹣8m 2+m≤0，∵m ＞0，∴﹣3≤﹣8m+1≤0， 解得：18≤m≤12； ∵y ＝﹣x 2+2mx+m ＝﹣（x ﹣m ）2+m 2+m ，且18≤m≤12， ∴当x ＝m 时，y 有最大值m 2+m ，又∵m 2+m ＝（m+12）2﹣14， ∴当18≤m≤12时，m 2+m 随m 的增大而增大， ∴当m ＝12时，顶点P 到达最高位置，即：m 2+m ＝（12）2+12＝34， 故抛物线l 顶点P 到达最高位置时的坐标为（12，34）．本题主要考查二次函数的性质和图象的综合应用题，添加辅助线，构造全等三角形，通过勾股定理，列方程，求出点A ′的坐标，进而求出m 的取值范围，是解题的关键.2．如图1，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C .（l ）求抛物线的表达式；（2）如图l ，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接,BE CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标；（3）如图2，在x 轴上是否存在一点D 使得ACD ∆为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点D 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）223y x x =--+；（2）BOCE S 四边形最大值为638，点E 坐标为315(,)24-；（3）存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(1,0)D +，或31,0)D 或4(4,0)D - （1）将点A 、B 的坐标代入解析式即可得到答案；（2）设2(,23)(30)E a a a a --+-<<，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，利用11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形求出解析式即得到面积的最大值及点E 的坐标； （3）存在，分以点C 、A 为顶点及线段AC 为底边三种情况，分别求出点D 的坐标即可. 解：（1）由题知：309330a b a b ++=⎧⎨-+=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩ ∴所求抛物线表达式为223y x x =--+（2）过点E 作EFx ⊥轴于点F 设2(,23)(30)E a a a a --+-<<∴223EF a a =--+，3BF a =+，OF a =-， ∴11()22BOCE S BF EF OC EF OF =•++•四边形 2211(3)(23)(233)()22a a a a a a =+--++--++•- 2399222a a =--+ 23363()228a =-++ ∴当32a =-时，BOCE S 四边形最大，且最大值为638. 当32a =-时，2915233344a a --+=-++=此时，点E 坐标为315(,)24-（3）连接AC①当点C 为顶点，CA CB =时，此时CO 为底边的垂直平分线，满足条件的点1D ，与点A 关于y 轴对称，∴点1D 坐标为(1,0)-②当点A 为顶点，AB AC =时，在Rt ACO ∆中，∵1OA =，3OC =，由勾股定理得：AC =，以点A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交x 轴于两点23D D ，，即为满足条件的点，此时它们的坐标分别为2(1,0)D，31,0)D③当AC 为底边时，线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点4D ，即为满足条件的点，设垂直AC 的垂直平分线交y 轴于点P ，过AC 中点Q ，∵=90AOC BOC PQC ∠∠=∠=，BPO CPQ ∠=∠∴4ACO OD P ∠=∠∴4CPQ CAO D PO ∆∆∆ ∴4OD CQ CP OA CO AC ==，6PQ =，5=3CP 4OD OP CQ PQ =53-=，44OD =， 点4D 的坐标为(4,0)-综上所述存在符合条件的点D ，其坐标为1(1,0)D -或2(1,0)D，或31,0)D或4(4,0)D此题是二次函数的综合题，考查待定系数法，最值问题的确定需将所求问题列出解析式并配方为顶点式，即可得到答案；（3）是图形中存在等腰三角形问题，此类问题需分三种情况进行讨论，依次求出点的坐标.3．如图，抛物线过A（1，0）、B（﹣3，0），C（0，﹣3）三点，直线AD交抛物线于点D，点D 的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点，过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q．（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3；（2）l＝﹣m2﹣m+2（﹣2≤m≤1），当m＝﹣12时，PQ最长，最大值为94；（3）存在，符合条件的点R共有6个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．（1）抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），代入可求出抛物线的解析式，点D在抛物线上且横坐标为﹣2，可求点D的坐标，根据A、D两点坐标，用待定系数法可求直线AD的解析式；（2）点P在AD上，点Q在抛物线上，当横坐标为m时，相应的纵坐标可以根据解析式表示出来，而PQ的长l就是P点、Q点纵坐标的差，于是可以得到l与m的函数关系式，再依据函数的最值，可求m为何值时，PQ最长，PQ的最大值也能求出；（3）使P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形，可以分两种情况：一是PQ为一边时，点R 必在直线x＝﹣2上，再根据PQ为最大值以下的整数值，得到PQ的整数值，在直线x＝﹣2上可以找到点R的位置，确定点R的坐标，得出在点D上方存在，在点D下方也存在；二是PQ为一条对角线时，根据平行四边形的性质，PQ与DR互相平分，此时R与C 重合．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，将A（1，0），B（﹣3，0）C（0，﹣3）代入y＝ax2+bx+c得：09303a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=-⎩，解得：123a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3，当x ＝﹣2时，y ＝（﹣2）2﹣4﹣3＝﹣3，∴D （﹣2，﹣3），设直线AD 的解析式为y ＝kx+b ，将A （1，0），D （﹣2，﹣3）代入得：k b 02k b 3+=⎧⎨-+=-⎩解得：k 1b 1=⎧⎨=-⎩， ∴直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1；因此直线AD 的解析式为y ＝x ﹣1，抛物线的解析式为：y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵点P 在直线AD 上，Q 抛物线上，P （m ，n ），∴n ＝m ﹣1 Q （m ，m 2+2m ﹣3）∴PQ 的长l ＝（m ﹣1）﹣（m 2+2m ﹣3）＝﹣m 2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）∴当m ＝﹣112--⨯＝12时，PQ 的长l 最大＝﹣（﹣12）2﹣（﹣12）+2＝94． 答：线段PQ 的长度l 与m 的关系式为：l ＝﹣m 2﹣m+2 （﹣2≤m≤1）当m ＝﹣12时，PQ 最长，最大值为94． （3）①若PQ 为平行四边形的一边，则R 一定在直线x ＝﹣2上，如图：∵PQ的长为0＜PQ≤94的整数，∴PQ＝1或PQ＝2，当PQ＝1时，则DR＝1，此时，在点D上方有R1（﹣2，﹣2），在点D下方有R2（﹣2，﹣4）；当PQ＝2时，则DR＝2，此时，在点D上方有R3（﹣2，﹣1），在点D下方有R4（﹣2，﹣5）；②若PQ为平行四边形的一条对角线，则PQ与DR互相平分，当PQ＝1时，即：x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝1，此时x不是整数，当PQ＝2时，即x﹣1﹣（x2+2x﹣3）＝2，此时x1＝﹣1，x2＝0；当x1＝﹣1，R与点C重合，即R5（0，﹣3），当x2＝0；此时R6（2，﹣1）综上所述，符合条件的点R有：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3），R6（2，﹣1）．答：符合条件的点R共有6个，即：R1（﹣2，﹣2），R2（﹣2，﹣4），R3（﹣2，﹣1），R4（﹣2，﹣5），R5（0，﹣3）R6（2，﹣1）．本题主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，平行四边形的性质等知识，应用分类讨论思想、数学建模思想，探究存在的可能性．分几种情况分别进行探究，使试题难度增加．4．抛物线y1＝x2+bx+c与直线y2＝﹣2x+m相交于A（﹣2，n）、B（2，﹣3）两点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点D为抛物线的顶点，求三角形ABD的面积．【答案】（1）y1＝x2﹣2x﹣3；（2）6（1）把B的坐标代入直线y2＝﹣2x+m求得m的值，然后代入A（﹣2，n）求得n的值，最后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）求得顶点D的坐标，再求得对称轴与直线的交点C，然后根据S△ABD＝S△ACD+S△BCD求得即可．解：（1）∵直线y2＝﹣2x+m经过点B（2，﹣3），∴﹣3＝﹣2×2+m．∴m＝1．∵直线y2＝﹣2x+1经过点A（﹣2，n），∴n＝4+1＝5；∵抛物线y1＝x2+bx+c过点A和点B，∴425 423b cb c-+=⎧⎨++=-⎩，∴23 bc=-⎧⎨=-⎩．∴这条抛物线的解析式为y1＝x2﹣2x﹣3．（2）如图，设对称轴与直线y2＝﹣2x+1的交点为C，∵y1＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点D为（1，﹣4），对称轴为直线x＝1，把x＝1代入y2＝﹣2x+1得，y＝﹣1，∴C点的坐标为（1，1），∴CD＝﹣1﹣（﹣4）＝3，∴S△ABD＝S△ACD+S△BCD＝12×3×（2+2）＝6．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式与求三角形面积，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．5．已知二次函数y＝x2+2x﹣3．（1）在平面直角坐标系xoy中，画出这个二次函数的图象；（2）若﹣2≤x≤1，求y的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）﹣4≤y≤0（1）利用描点法画出函数图象即可．（2）直接利用图象求出y的取值范围．解：（1）列表描点、连线作图如下：（2）∵x＝﹣2时，y＝﹣3；x＝1时，y＝0，抛物线的顶点为（﹣1，﹣4），∴若﹣2≤x≤1，y的取值范围是﹣4≤y≤0．本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．6．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象经过点A（0，4）和B（1，﹣2）．求此二次函数的解析式．【答案】y＝﹣2x2﹣4x+4．将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式求解可得．将点A（0，4）与B（1，﹣2）代入解析式，得：422cb c=⎧⎨-++=-⎩，解得：44bc=-⎧⎨=⎩，则此函数解析式为y＝﹣2x2﹣4x+4．本题主要考查待定系数法求函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．7．如图1，抛物线C1：y＝ax2+c的顶点为A，直线l：y＝kx+b与抛物线C1交于A，C两点，与x 轴交于点B（1，0），且OA＝2OB，S△OAC＝4．。
二次函数拔高试题1
二次函数拔高试题11、如图，直线y =﹣2x +4交y 轴于点A ，交抛物线 于点B （3，﹣2），抛物线经过点C （﹣1，0），交y 轴于点D ，点P 是抛物线上的动点，作PE ⊥DB 交DB 所在直线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当△PDE 为等腰直角三角形时，求出PE 的长及P 点坐标；（3）在（2）的条件下，连接PB ，将△PBE 沿直线AB 翻折，直接写出翻折点后E 的对称点坐标．2、如图，已知直角坐标系中，A 、B 、D 三点的坐标分别为A （8，0），B （0，4），D （﹣1，0），点C 与点B 关于x 轴对称，连接AB 、AC ．（1）求过A 、B 、D 三点的抛物线的解析式；（2）有一动点E 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E 作x 轴的垂线，交抛物线于点P ，交线段CA 于点M ，连接PA 、PB ，设点E 运动的时间为t （0＜t ＜4）秒，求四边形PBCA 的面积S 与t 的函数关系式，并求出四边形PBCA 的最大面积；（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H ，使得△ABH 是直角三角形？若存在，请直接写出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．212y x bx c =++3、如图1，抛物线C1：y=x2+ax与C2：y=﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于点B、的值；（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；（3）抛物线A，且B为线段AO的中点．（1）求abC2的对称轴为l，顶点为M，在（2）的条件下：①点P为抛物线C2对称轴l上一动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；②如图2，点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．4、如图1，直线y=x+1与抛物线y=2x2相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图2，将题中直线y=x+1变为y=kx+b（b＞0），抛物线y=2x2变为y=ax2（a＞0），其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．5、如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．6、如图，Rt△AOB的直角边OA在x轴上，OA=2，AB=1，将Rt△AOB绕点O逆时针旋转90°得到Rt△COD，抛物线y=﹣x2+bx+c经过B、D两点．（1）求二次函数的解析式；（2）连接BD，点P是抛物线上一点，直线OP把△BOD的周长分成相等的两部分，求点P的坐标．7、如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE=2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8、如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P 在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．9、抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (1，0)，B (m ，0)，与y 轴交于C . (1) 若m ＝－3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；(2) 如图1，在(1)的条件下，设抛物线的对称轴交x 轴于D ，在对称轴左侧的抛物线上有一点E ，使S △ACE ＝ 10 3S △ACD ，求E 点的坐标； (3) 如图2，设F (－1，－4)，FG ⊥y 轴于G ，在线段OG 上是否存在点P ，使 ∠OBP ＝∠FPG ? 若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．10、已知如图，抛物线y ＝x 2＋mx ＋n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．若A (－1，0)，且OC ＝3OA ；(1) 求抛物线的解析式；(2) 若M 点为抛物线上第四象限内一动点，顺次连接AC 、CM 、MB ，求四边形MBAC 面积的最大值；(3) 将直线BC 沿x 轴翻折交y 轴于N 点，过B 点的直线l 交y 轴、抛物线分别于D 、E ，且D 在N 的上方．将A 点绕O 顺时针旋转90°得M ，若∠NBD ＝∠MBO ，试求E 点的坐标。