人教版-高中数学必修4-第二章-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义-课件
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人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
bB
θ
O
A
a B1
向量的数量积是一个数量，不是一个 向量，那么它什么时候为正，什么时候 为负？
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；
当90°＜θ ≤180°时a b· 为负。 当θ =90°时a ·b为零。
例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角 θ=120°，求a·b。
解： a b a b cos
5 4cos120 5 4( 1)
2 10
设 a、b 是非零向量，则
(1)a
b
a
b
0.
(2)当a与b同向时，
a
b
|
a
||
b
|;
当ห้องสมุดไป่ตู้与b反向时，
a
b
|
a
||
b
|;
特别地
a
a
|
a
|2
b|;
|| b |;
a
a|
a
|2
或
|
a
|
a a
a
2
| a b || a || b |
(3)a
b等于a的长度
a
与b在a的方向上的投影
b
cos的乘积。
作业：
P106 练习1、2、3 P108 A组2、10
(√)
6)若a b a b ,则 a ∥b
(√)
7)对任意向量a有a2 a 2
(√)
小结：(1)a b a b cos
当0°≤θ ＜ 90°时a b· 为正；
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件新人教A版必修4(1)
2.4 平面向量的数量积
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. 2.掌握数量积公式及其投影的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运 算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积 解决向量的垂直问题. 平面向量数量积 数量积的定义 数量积的几何意义 数量积的运算律 数量积的性质
|������|
向上的投影|b|cos θ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������· ������ . |������|
一
二
三
四
4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方 向上的投影等于 . (2)若a· b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等 于 .
解析:(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于|a|cos θ=3×cos 120°=-2; (2)向量 b 在向量
答案:30°
������· ������ θ=|������||������|
=
9 3 3×6
=
3 ,所以 2
θ=30°,故向量 a 与 b 的
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)0· a=0a.( ) (2)若a· b=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若a· b>0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若a· c=b· c(c≠0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有a· a=|a|2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
课
标
阐
释
思
维
脉
络
1.理解平面向量数量积的含义及其物 理意义. 2.掌握数量积公式及其投影的意义. 3.掌握平面向量数量积的性质及其运 算律. 4.会求向量的模、夹角,能运用数量积 解决向量的垂直问题. 平面向量数量积 数量积的定义 数量积的几何意义 数量积的运算律 数量积的性质
|������|
向上的投影|b|cos θ=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
������· ������ . |������|
一
二
三
四
4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a与b的夹角是120°,则向量a在向量b方 向上的投影等于 . (2)若a· b=-6,|a|=8,则向量b在向量a方向上的投影等 于 .
解析:(1)向量 a 在向量 b 方向上的投影等于|a|cos θ=3×cos 120°=-2; (2)向量 b 在向量
答案:30°
������· ������ θ=|������||������|
=
9 3 3×6
=
3 ,所以 2
θ=30°,故向量 a 与 b 的
一
二
三
四
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)0· a=0a.( ) (2)若a· b=0,则a与b至少有一个为零向量.( ) (3)若a· b>0,则a与b的夹角为锐角.( ) (4)若a· c=b· c(c≠0),则a=b.( ) (5)对于任意向量a,都有a· a=|a|2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
高一数学优质课件精选人教A版必修4课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一
积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝a|b·b| ；|b|cos θ＝a|a·b| .
明目标、知重点
思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？ 答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或 等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的
投影为( D )
A.4
B.－4
C.2
D.－2
解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
明目标、知重点
1234
1 2.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝__2_. 解析 a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝12.
明目标、知重点
思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一 个向量，既有大小，又有方向.
明目标、知重点
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b； (2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
明目标、知重点
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6.
明目标、知重点
思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？ 答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或 等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向上的
投影为( D )
A.4
B.－4
C.2
D.－2
解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝－2.
明目标、知重点
1234
1 2.若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝__2_. 解析 a·a＋a·b＝12＋1×1×cos 120°＝12.
明目标、知重点
思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一 个向量，既有大小，又有方向.
明目标、知重点
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b； (2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
明目标、知重点
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时， ∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6.
高中数学人教版必修4课件2-4-1平面向量数量积和物理背景及其含义2
|a||b| • (5)|a·b|≤________.
|a||b|
预习效果
1．若|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b 等于( )
A．12
B．14
C．1
D．2
• [答案] C • [解析] a·b＝|a|·|b|cos<a，b>
• ＝2×1×cos60°＝1.
2．已知△ABC 是边长为 1 的正三角形，则A→B在B→C方向上
2．向量在轴上的正射影 (1)已知向量 a 和轴 l 如图所示，作O→A＝ a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分 别为 O1、A1，则向量O→1A1叫做向量 a 在轴 l 上的__正__射__影__(简称射影)． (2)a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的 数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，al＝__|a_|_·c_o_s_α___. (3)射影的坐标是数量，当 α 为锐角时，al 为正值；当 α 为 钝角时，al 为负值；当 α＝0 时，al＝__|a_|_____；当 α＝π 时， al＝__－__|a_|___.
⑥a 在 l 上的数量为向量； ⑦〈a，l〉＝－π2. 其中正确的是________．
• [分析] 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．
• [解析] a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量． • 故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角
的范围可知⑦不正确． • 故选③⑤. • [答案] ③⑤
• 4．向量数量积的性质
• (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝___|a_|_·c_o_s_〈__a_，__e_〉.
• (2)a⊥b⇔___a_·b_＝__0_； • (3)a·a＝|a|2或|a|＝___a_·_a___； • (4)cos<a，b>＝___a_·_b____(a≠0，b≠0)；
|a||b|
预习效果
1．若|a|＝2，|b|＝1，a 与 b 的夹角为 60°，则 a·b 等于( )
A．12
B．14
C．1
D．2
• [答案] C • [解析] a·b＝|a|·|b|cos<a，b>
• ＝2×1×cos60°＝1.
2．已知△ABC 是边长为 1 的正三角形，则A→B在B→C方向上
2．向量在轴上的正射影 (1)已知向量 a 和轴 l 如图所示，作O→A＝ a，过点 O、A 分别作轴 l 的垂线，垂足分 别为 O1、A1，则向量O→1A1叫做向量 a 在轴 l 上的__正__射__影__(简称射影)． (2)a 在轴 l 上的正射影在轴 l 上的坐标，称作 a 在轴 l 上的 数量或在轴 l 的方向上的数量，记作 al，al＝__|a_|_·c_o_s_α___. (3)射影的坐标是数量，当 α 为锐角时，al 为正值；当 α 为 钝角时，al 为负值；当 α＝0 时，al＝__|a_|_____；当 α＝π 时， al＝__－__|a_|___.
⑥a 在 l 上的数量为向量； ⑦〈a，l〉＝－π2. 其中正确的是________．
• [分析] 利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．
• [解析] a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量． • 故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角
的范围可知⑦不正确． • 故选③⑤. • [答案] ③⑤
• 4．向量数量积的性质
• (1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝___|a_|_·c_o_s_〈__a_，__e_〉.
• (2)a⊥b⇔___a_·b_＝__0_； • (3)a·a＝|a|2或|a|＝___a_·_a___； • (4)cos<a，b>＝___a_·_b____(a≠0，b≠0)；
高中数学(人教A版必修4)课件2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义
类型二 向量垂直问题 例2 不共线向量a与b满足什么条件时，a＋b与a－b互 相垂直． 分析 可由向量a＋b与a－b互相垂直的条件：(a＋b)· (a －b)＝0出发得a，b的关系，即是a，b满足的条件．
解
若(a＋b)⊥(a－b)，则(a＋b)· (a－b)＝0，
整理得a2＝b2，即|a|＝|b|. ∴当向量a与b的模相等时，a＋b与a－b互相垂直． 规律技巧 本题可以从向量加、减法的平行四边形法则
5．平面向量数量积的运算律 数量积的运算只适合交换律、分配律及数乘结合律，但 不适合乘法结合律，即a(b· c)不一定等于(a· b)c，这是因为 a(b· c)表示一个与a共线的向量而(a· b)c表示一个与c共线的向 量，而a与c不一定共线.
典例剖析
类型一 向量的模与数量积 例1 已知|a|＝1，|b|＝ 2 ，当①a∥b；②a⊥b；③a与b 的夹角为30° 时，分别求a与b的数量积． 分析 关键是通过条件得出a与b的夹角，然后代入数量 积的计算式求得．
当0° ≤θ<90° 时，cosθ>0，a· b>0； 当θ＝90° 时，cosθ＝0，a· b＝0； 当90° <θ≤180° 时，cosθ<0，a· b<0. (3)当我们规定了0与任意向量的数量积为0以后，由a· b ＝0，也不能推出a或b一定是零向量．这是因为两个向量垂 直时，其夹角为90° ，此时cos90° ＝0，故也有a· b＝0. 应注意0· a＝0，但0a＝0，a0＝0(a∈R)．
解 ①若a与b同向，则θ＝0° ， 此时a· b＝|a||b|cos0° ＝1× 2×1＝ 2. 若a与b反向，则θ＝180° ， 此时a· b＝|a||b|cos180° ＝1× 2×(－1)＝－ 2. ②∵a⊥b， ∴a与b的夹角θ＝90° ，a· b＝|a||b|cos90° ＝1× 2× cos90° ＝0. 3 6 ③根据定义，a· b＝|a||b|cos30° ＝1× 2× 2 ＝ 2 .
高一数学必修4课件：2-4-1平面向量数量积的物理背景及其含义
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[破疑点](1)已知实数 a，b，c(b≠0)，则 ab＝bc⇒a＝c.但 对向量的数量积，该推理不正确，即 a· b＝b· a＝c. c⇒/ (2)对于实数 a，b，c 有(ab)c＝a(bc)；但对于向量 a，b，c， (a· b)c＝a(b· c)未必成立． 这是因为(a· 表示一个与 c 共线的向 b)c 量，而 a(b· c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一定共线， 所以(a· b)c＝a(b· c)未必成立．
2
∴|a＋b|＝ 3|a|. 设a与a＋b的夹角为θ， 1 2 a· a＋b |a| ＋2|a| 3 则cosθ＝ ＝ ＝2. |a||a＋b| 3|a||a|
2
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
∵0° ≤θ≤180° ，∴θ＝30° .
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
a· b＝|a||b|cos150° ＝－6 3.
∵(a－b)2＝|a|2－2a· b＋|b|2＝25＋12 3. ∴|a＋b|＝ a＋b2＝ |a|2＋2a· b＋|b|2 ＝ 25－12 3， 即|a＋b|＝ 25－12 3.
第二章
2.4 2.4.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
已知|a|＝8，|b|＝1，a· b＝8，则a与b的夹角θ＝________.
[答案]
[解析]
0
a· b cosθ＝|a||b|＝1，又θ∈[0，π]，则θ＝0.
第二章
2.4 2.4.1
人教版A版高中数学必修4：2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义
ab
42
| b | = | a | cos = 4 cos 450 =2
4 典例分析
×
×
×
×
√
√
×
×
6 归纳小结
知 1. 向量数量积的物理背景，定义及几何意义. 识 2. 向量数量积公式的应用及重要性质.
技 1. 灵活应用数量积公式解决求值问题. 能 2. 解决判断题时，考虑问题要全面.
思 想 方 法
高一数学 必修4 第二章 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 莆田华侨中学 林芸
1 预习内容
F θ O
位移S
F2
F
θ F1 S
A
1 预习内容
1 预习内容
向
向
F S | F || S | cos
| F | cos
数
F与S的夹角
1 预习内容
1 预习内容
ab
b在a方向的投影
1. 转化化归（将物理知识转化为数学知识） 2. 数形结合（灵活应用数量积的投影） 3. 分类讨论（讨论投影、数量积的正负等）
5 巩固训练
下节课： 平面向量数量积的运算律
| a || b | cos a b | a || b | cos
0
1 预习内容
1 预习内容
b在a方向的投影 | b | cos 乘积
Hale Waihona Puke 1 预习内容两个向量的夹角
两个非零向量 a和 b ，作OA a, OB b，
则 AOB 叫做向量 a和 b 的夹角．(0 180 )
a
b
a
O
B
A
0
a与b同向
B
b
b
高中数学必修四课件-2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(2)-人教A版
2021/3/10
全优57页变式训练
16
平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a b b a
(2)数乘结合律：(a)b (ab) a(b)
(3)分配律：(a b)c ac bc
2021/3/10
17
数量积不满足结合律和消去率
(a b)c a (bc)
ac bc a b
2021/3/10
当_____9_0_时 a b 为零;
当_____0_时a b =|a||b|;
此时两向量
垂直即a b
当___1_8_0_时 a b | a || b | .
2021/3/10
练习：课本 106页 2 10
设向(1)a量、 a0b是 数b, c非 量c aoso零 0积 bs 向的1,0量性则_ a,0_则 ,质a__b|_ a b_9|||;a0则 b||,a|ab 1ac8b|ao00s,|c, baco| o.as||s|a|0b|,||11a,, |2
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b cos b
21/3/10
b
a
B
O
A
b cos b
14
平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a b a b cos
a
A
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
2021/3/10
3
我们将功的运算类比到两个向量的一种运
全优57页变式训练
16
平面向量数量积的运算率:
(1)交换律：a b b a
(2)数乘结合律：(a)b (ab) a(b)
(3)分配律：(a b)c ac bc
2021/3/10
17
数量积不满足结合律和消去率
(a b)c a (bc)
ac bc a b
2021/3/10
当_____9_0_时 a b 为零;
当_____0_时a b =|a||b|;
此时两向量
垂直即a b
当___1_8_0_时 a b | a || b | .
2021/3/10
练习：课本 106页 2 10
设向(1)a量、 a0b是 数b, c非 量c aoso零 0积 bs 向的1,0量性则_ a,0_则 ,质a__b|_ a b_9|||;a0则 b||,a|ab 1ac8b|ao00s,|c, baco| o.as||s|a|0b|,||11a,, |2
B
b
O
a B1A
b cos 0
B b
B1 O a A
b cos 0
B b
O(B1 ) a A
b cos 0
a
Ob B
A
b cos b
21/3/10
b
a
B
O
A
b cos b
14
平面向量数量积的几何意义:
B
b
O | b | cos
a b a b cos
a
A
数量积a b等于a的长度 a 与b在a的
θ表示力 F 的方向与位移S 的方向的夹角。
2021/3/10
3
我们将功的运算类比到两个向量的一种运
高中数学第二章平面向量2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义(2)课件新人教A版必修4
解析 ∵|a－4b|2＝a2－8a· b＋16b2
＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12，
∴|a－4b|＝2 3.
解析答案
1
2
3
4
5
3.已知|a|＝1，|b|＝ 2，且 a＋b 与 a 垂直，则 a 与 b 的夹角是( C ) A.60° B.30° C.135° D.45°
解析 ∵(a＋b)· a＝a2＋a· b＝0，
当a＝0，b⊥c时，a· b＝b· c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；
向量(a· b)c与c共线，a(b· c)与a共线，故③不正确；
a· [b(a· c)－c(a· b)]＝(a· b)(a· c)－(a· c)(a· b)＝0，故④正确.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练1 列结论：
设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 解析答案
跟踪训练 2
(1)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，
2 且b⊥c，则t＝________. 解析 本题主要考查向量的基本知识及运算.
由题意，将b· c＝[ta＋(1－t)b]· b整理，得ta· b＋(1－t)＝0，
2 2 ＝ke2 ＋ k e ＋ ( k ＋1)e1· e2＝2k>0，∴k>0. 1 2
但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去. 综上，k的取值范围为k>0且k≠1.
解析答案
返回
达标检测
1.下面给出的关系式中正确的个数是( C )
1
2
3
4
5
①0 · a＝0；②a· b＝b· a；③a2＝|a|2；④|a· b|≤a· b；⑤(a· b)2＝a2· b2. A.1 B.2 C.3 D.4
高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义课件
【知识点拨】 1.对数量积概念的理解 (1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量， 其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角. (2)从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成a·b， 其中“·”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，也不 可省略. (3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意 掌握.
二、向量数量积的性质和运算律
1.向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ,
(1)a⊥b⇔_a_·__b_=_0_.
(2)当a∥b时，a·b=
__a__b__,当a，b同向时， __｜__a_|_b___,当a，b反向时.
(3)a·a=_|_a_|_2 或_a____a__a.
ab
(4)cos θ=__a_b__.
上的投影|b|cos θ与θ取值的关系如表.
θ的 取值
0
π
(0, )
( ,)
2
2
2
投影 的值
|b|
-|b|
正值
负值
零
图示
3.实数中成立，向量中不成立的结论
(1)a·b=0可推出a=0或b=0；但是a·b=0推不出a=0或b=0.
(2)a·b=c·b，b≠0可推出a=c；
但是a·b=c·b，b≠0推不出a=c.
22
2
2
3. 2
【互动探究】在题2的条件下求 AB BC. 【解析】如图，作 AE B向C量， 与向AB量 的夹B角C是∠ABC 的补角.
规定
零向量与任一向量的数在b方向上的投影:___|_a_|_c_o_s_θ 向量b在a方向上的投影:___|_b_|_c__o_sθ
意 义
几何意义