高常考题—考函数图像的识别与辨析(含解析)
高考数学：三角函数的图像和性质问题(解析版)
WORD格式
专业分享 【高考地位】
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性
质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，
因此三角函数的性质是高考的重点和难点。要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，同时也
要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合
的思想方法。在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题 .
【方法点评】
类型一 求三角函数的单调区间
使用情景：一般三角函数类型
解题模板：第一步 先将函数式化为基本三角函数的标准 式，要特别注意参数 A, 的正负；
第二步 利用三角函数的辅助角公式一般将其化为同名函数，且在同一单调区间；
第三步 运用三角函数的图像与性质确定其单调区间.
例 1 函数 cos( 2 )
y x 的单调递增区间是（ ）
4
A．[k π＋ ，kπ＋
8 5
8 π] B ． [k π－ 3
8 π， kπ＋
8 ]
C．[2k π＋ ， 2kπ＋
8 5
8 π] D ． [2k π－ 3
8 π，2kπ＋
8 ] （以上 k∈Z）
【答案】 B.
考点：三角函数单调性 .
【点评】本题解题的关键是将 2
x作为一个整体，利用余弦函数的图像将函数 y cos( 2x)的单调 4
4
递增区间转化为 2x 在区间2k ,2k 上递减的 .
4
【变式演练1】已知函数 f (x) sin( 2 x )( 0), 直线x x1,x x2 是 y f (x) 图像的任意两条对称
6
轴，且 x1 x 的最小值为
2
2 ．求函数 f (x) 的单调增区间； WORD格式
专业分享 【答案】 [ k , k ], k Z . 3 6
【解析】
试题分析：根据两条对称轴之间的最小距离求周期，根据周期求 ，根据公式求此函数的单调递增区间 .
高常考题—函数的性质(含解析)
1 函数的性质
一、题型选讲
题型一 、 函数的奇偶性
正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性.填空题，可用特殊值法解答，但取特值时，要注意函数的定义域．
例1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数yfx是R上的奇函数，当0x时，2xfx，则当0x时，fx（ ）
A．2x B．2x
C．2x D．2x
例2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在5,12mm上的奇函数fx，满足0x时，21xfx，则fm的值为（ ）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
例3、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数2ln1fxax是奇函数，则使1fx的x的取值范围为（ ）
A．11,1ee B．10,1ee
C．1,11ee D．11,(1,)1ee
例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】设函数321fxxaxax，若fx为奇函数，则曲线yfx在点0,0处的切线方程为
A．2yx B．yx
C．2yx D．yx
题型二、函数的单调性 2 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：①若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.
对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数.简称：同增异减.
2020届高考数学命题猜想及专题练习--函数﹑基本初等函数的图像与性质2(含解析)
2020届高考数学命题猜想
函数﹑基本初等函数的图像与性质2
【考向解读】
1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.
2.对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.
3.对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数.常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大.
【命题热点突破一】函数的性质及应用
1．单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．
2．奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．
3．周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.
例1、【2017北京，文5】已知函数，则()fx
（A）是偶函数，且在R上是增函数
（B）是奇函数，且在R上是增函数
（C）是偶函数，且在R上是减函数
（D）是奇函数，且在R上是增函数
【答案】B
【变式探究】已知函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xfx，则= .
【答案】-2
【解析】因为函数()fx是定义在R上的周期为2的奇函数，
所以，
所以，即(1)0f，，
所以.
【变式探究】【2017课标1，文8】函数sin21cosxyx的部分图像大致为
A． B．
C． D．
【答案】C
【变式探究】函数在2,2的图像大致为
（A）（B）
高中数学函数的图象与性质考试题(含答案解析)
命题人： 审题人： ---------------------------------------------------------------装--------------------订--------------------线------------------------------------------------------------- 函数的图象与性质 试题 成绩
课程名称 高考数学二轮复习模拟考试 开卷 闭卷 √
教 研 室 高三数学组 A卷 √ B卷
复习时间 年 月 日 时 分至 时 分
适用专业班级
班 级 姓 名 学 号
考生注意：舞弊万莫做，那样要退学，自爱当守诺，最怕错上错，若真不及格，努力下次过。
答案写在答题纸上，写在试题纸上无效。
A组
一、选择题
一、选择题
1．(2017·高考山东卷)设函数y＝4－x2的定义域为A，函数y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝( )
A．(1，2) B．(1，2]
C．(－2，1) D．[－2，1)
2．(2017·沈阳模拟)已知函数f(x)＝ 则f(f(4))的值为( )
A．－19 B．－9
C.19 D．9
3．(2017·湖南东部六校联考)函数y＝lg|x|( )
A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增
B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减
2
试
题
共
页
第
页 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减
4．函数f(x)＝2|log2x|－x－1x的图象为( )
中考数学复习----《一次函数之定义、图像与性质》知识点总结与专项练习题(含答案解析)
1
中考数学复习----《一次函数之定义、图像与性质》知识点总结与专
项练习题（含答案解析）
知识点总结
1. 一次函数的定义：
一般地，形如()
0+=kbkbkxy是常数且，的函数叫做一次函数。
2. 一次函数的图像：
是不经过原点的一条直线。
3. 一次函数的图像与性质：
k的取值 b的取值 所在象限 y随x的变化情况 大致图像
0＞k 0＞b（图像交于
y轴正半轴） 一二三象
限
y随x增大而增大
0＜b（图像交于
y轴负半轴） 一三四象
限
0＜k 0＞b（图像交于
y轴正半轴） 一二四象
限
y随x减小而减小
0＜b（图像交于
y轴负半轴） 二三四象
限
2
一次函数与x轴的交点坐标公式为：
−0 ，
kb
；与y轴的交点坐标公式为：()
b，0。
专项练习题
1．（2022•沈阳）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+1的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】依据一次函数y＝x+1的图像经过点（0，1）和（1，0），即可得到一次函数y
＝﹣x+1的图像经过一、二、四象限．
【解答】解：一次函数y＝﹣x+1中，令x＝0，则y＝1；令y＝0，则x＝1，
∴一次函数y＝﹣x+1的图像经过点（0，1）和（1，0），
∴一次函数y＝﹣x+1的图像经过一、二、四象限，
故选：C．
2．（2022•安徽）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a的图像可能是
（ ）
A． B．
C． D．
3
【分析】利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：∵y＝ax+a2与y＝a2x+a，
∴x＝1时，两函数的值都是a2+a，
∴两直线的交点的横坐标为1，
若a＞0，则一次函数y＝ax+a2与y＝a2x+a都是增函数，且都交y轴的正半轴，图像都
经过第一、二、三象限；
若a＜0，则一次函数y＝ax+a2经过第一、二、四象限，y＝a2x+a经过第一、三、四象限，
且两直线的交点的横坐标为1；
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型
【题型目录】
题型一：三角函数的周期性
题型二：三角函数对称性
题型三：三角函数的奇偶性
题型四：三角函数的单调性
题型五：三角函数的值域
题型六：三角函数的图像
【典例例题】
题型一：三角函数的周期性
【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π
的奇函数是（）．
A．tanyxB．sin2yx
C．sincosyxxD．sinyx
【答案】C
【分析】根据奇偶性可判断AB错误，根据周期公式可判断C正确D错误.【详解】A选项，tanyx为偶函数，故A错误；B选项，
sin2yfxx，则
sin2sin2fxxxfx，
故sin2yx为偶函数，故B错误；
C选项，1
sincossin2
2yxxx，最小正周期2π
π
2T
，且为奇函数，故C正确；
D选项，sinyx
为奇函数，最小正周期2π
2π
1T，故D错误．
故选：C．
【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sinyx
；②sinyx
；③tanyx
；
④12cosyx
，其中是偶函数，且最小正周期为
的函数的个数为（）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y
轴对称，sinyx
是偶函数，
但不是周期函数，排除①；
②的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，sinyx是偶函数，
最小正周期是
，②正确；
③的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，tanyx
是偶函数，
最小正周期为
，③正确；
④的图象如下，根据图象可知，图象关于y轴对称，12cosyx
是偶函数，最小正周期为2，排除④.
故选：B.
【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ
()sin2cos2
33fxxx
的最小正周期是（）
A．π4B．π
2C．π
D．2π
【答案】B
【分析】将
fx解析式用正余弦的和差角公式展开化简，即可得到结果.
考向12 函数的图像(重点)-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题(新高考地区专用)
考向12 函数的图像
1．（2021·浙江高考真题）已知函数21(),()sin4fxxgxx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A．1()()4yfxgx B．1()()4yfxgx
C．()()yfxgx D．()()gxyfx
【答案】D
【分析】
由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.
【详解】
对于A，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B，21sin4yfxgxxx，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C，21sin4yfxgxxx，则212sincos4yxxxx，
当4x时，22120221642y，与图象不符，排除C.
故选：D.
2．（2021·全国高考真题（文））已知函数()2,()2321fxxgxxx．
（1）画出yfx和ygx的图像；
（2）若fxagx，求a的取值范围．
【答案】（1）图像见解析；（2）112a
【分析】
（1）分段去绝对值即可画出图像；
（2）根据函数图像数形结和可得需将yfx向左平移可满足同角，求得yfxa过1,42A时a的值可求.
【详解】
（1）可得2,2()22,2xxfxxxx，画出图像如下：
34,231()232142,2214,2xgxxxxxx，画出函数图像如下：
（2）()|2|fxaxa，
如图，在同一个坐标系里画出,fxgx图像，
yfxa是yfx平移了a个单位得到，
则要使()()fxagx，需将yfx向左平移，即0a，
高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练04 函数的图象、零点及应用(含解析)
1 / 25 高考数学复习考点知识与题型专题讲解训练
专题04 函数的图象、零点及应用
考点1 作函数的图象
1.作出下列函数的图象．
(1)y＝ －2x＋3，x≤1，－x2＋4x－2，x>1；
(2)y＝2x＋2；
【解析】(1)分段分别画出函数的图象，如图①所示．
(2)y＝2x＋2的图象是由y＝2x的图象向左平移2个单位长度得到的，其图象如图②所示．
考点2 识图与辨图
2.已知定义在区间[0,4]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝－f(2－x)的图象为( )
2 / 25
【答案】D
【解析】法一：先作出函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图象，得到y＝f(－x)的图象；
然后将y＝f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝f(2－x)的图象；
再作y＝f(2－x)的图象关于x轴的对称图象，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
法二：先作出函数y＝f(x)的图象关于原点的对称图象，得到y＝－f(－x)的图象；然后将y＝－f(－x)的图象向右平移2个单位，得到y＝－f(2－x)的图象．故选D.
3．（2021·浙江省诸暨市第二高级中学高三模拟）函数21xyxe的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为21xyxe，则21xyxe，
1,2x时，210xyxe，所以函数21xyxe在1,2上单调递减，
1,2x时，210xyxe，所以函数21xyxe在1,2上单调递增，
且12x时，210xyxe，所以BCD均错误，故选：A. 3 / 25 4．（2021·吉林高三模拟）函数6cos2sinxfxxx的图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数6cos2sinxfxxx为奇函数，所以排除选项BC，又当0x时，fx第一个零点为2x，所以令4x，则有222sin0,cos0242xx，所以排除D.故选：C
三次函数图像与性质(解析版)
2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破
1/34
专题2-2三次函数图像与性质
近5年考情（2020-2024）
考题统计考点分析考点要求
2024年甲卷（文），
第16题,5分考查频率：三次函数图像与性质的考查在近五年高考
中保持一定频率，尤其在新课标全国卷中较为常见。
考点内容：主要考查三次函数的图像特征（如中心对
称性、开口方向）、单调性（通过导数分析）、极值
点（一阶导数为零的点）以及图像与性质的综合应用。
题型分布：常以选择题、填空题或解答题的形式出现，涉及三次函数的零点、最值、极值、单调区间等具体
问题。
难度变化：随着高考改革的深入，对三次函数图像与
性质的考查更加注重学生的综合分析能力和解题技
巧，难度可能略有提升。
备考建议：考生应熟练掌握三次函数的基本性质，灵
活运用导数工具进行分析，同时注重题目类型的多样
性和综合应用能力的培养。（1）理解三次函数的定义
域、值域和图像特点。
（2）掌握三次函数的导数
与单调性关系。
（3）判断三次函数的极值
点及其个数。
（4）探究三次函数图像与x
轴的交点个数。
（5）熟练运用三次函数的
对称中心性质。2024年新高考I
卷，第10题,6分
2024年新高考II
卷，第11题,6分
2022年新高考I
卷，第10题,5分
【题型1】求三次函数的解析式
【题型2】三次函数的单调性问题
【题型3】三次函数的图像
【题型4】三次函数的最值、极值问题
【题型5】三次函数的零点问题
【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题
【题型7】三次函数对称中心
【题型8】三次函数的切线问题
【题型9】三次函数根与系数的关系2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破
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【题型1】求三次函数的解析式
（1）一般式：
³²fxaxbxcxd
（a≠0）
（2）交点式：
123()()()fxaxxxxxx
（a≠0）
1．若三次函数
fx
满足
00,11,03,19ffff
，则
高考常考题- 函数的零点问题(含解析)
1 函数的零点问题
一、题型选讲
题型一 、运用函数图像判断函数零点个数
可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。
例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上43,432,2)(xxxxxf则函数xxfylog5)(的零点的个数为
例2、(2017苏锡常镇调研）若函数f(x)＝ 12x－1，x＜1，lnxx2，x≥1，)则函数y＝|f(x)|－18的零点个数为________．
例3、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】函数πcos36fxx在0π，的零点个数为________．
题型二、函数零点问题中参数的范围
已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：
(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．
(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．
(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln,1()(2),1xxfxfxkx若函数()1yfx恰有一个零点，则实数k的取值范围是（ ）
A．(1,) B．[1,) C．(,1) D．(,1]
例5、（2020·全国高三专题练习（文））函数22log,1,1,1,xxfxfxx，若方程2fxxm有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）