北师大版九年级下册第二章单元测试数学试题

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北师大版九年级下册第二章单元测试数学试题
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题

1 . 如图是抛物线图象的一部分，顶点，与轴的一个交点，直线
与抛物线交于，两点，下列结论：

①；
②；
③当时，有；
④方程有两个相等的实数根；

⑤代数式的值是6．
其中正确的序号有（）

A．①③④ B．②④ C．③⑤ D．②④⑤
2 . 抛物线y＝－3x2－4的开口方向和顶点坐标分别是（）
A．向下，(0，4) B．向下，(0，－4)
C．向上，(0，4) D．向上，(0，－4)
3 . 下列函数中，一定是二次函数是（）
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A．y=ax2+bx+c B．y=x（﹣x+1）
C．y=（x﹣1）2﹣x2
D．y=

4 . 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … －1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …

那么关于它的图象，下列判断正确的是（）
A．开口向上
B．与x轴的另一个交点是(3，0)
C．与y轴交于负半轴
D．在直线x＝1的左侧部分是下降的
5 . 抛物线y=-2（x+3）2-4的顶点坐标是：
A．（3，-4） B．（-3，4） C．（-3，-4） D．（-4，3）
6 . 对于抛物线y=（x+1）2+3有以下结论：
①抛物线开口向下；②对称轴为直线x=﹣1；③顶点坐标为（﹣1，3）．
其中正确结论的个数为（）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题

7 . 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的

解是__________．
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8 . 如图,圆O的半径为2.C是函数y=x的图象,C是函数y=−x的图象，则阴影部分的面积是
___.
三、解答题
9 . 在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行
销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)于销售单价x(元
/个)之间的对应关系如图所示．
(1)试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；
(2)若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查销售规律，求利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的
函数关系式；
(3)若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试求此时这种许愿瓶的销售单价，并求出

最大利润．
10 . 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，
月销量（千克）与销售单价（元）符合一次函数.若该商店获得的月销售利润为元，请回
答下列问题：

（1）请写出月销售利润与销售单价之间的关系式（关系式化为一般式）；
（2）在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？
（3）若获利不高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？
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11 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣4，0），B（0，﹣4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S．求S关于m的函数关系式，
并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？

（3）若点Q是直线y=﹣x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，

O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．
12 . 如图,已知抛物线经过两点.
（）求和;（）当时,求的取值范围;
（）点为轴下方抛物线上一点,试说明点运动到哪个位置时最大,并求出最大面

积.
13 . 在世界经济的影响下，国家采取扩大内需的政策，基建投资成为拉动内需最强有力的引擎，金强公司中
标一项工程，在甲、乙两地施工，其中甲地需推土机30台，乙地需推土机26台，公司在A、B两地分别库存推土
机32台和24台，现从A地运一台到甲、乙两地的费用分别是400元和300元．从B地运一台到甲、乙两地的费用
分别为200元和500元，设从A地运往甲地x台推土机，运这批推土机的总费用为y元．

（1）求y与x的函数关系式；
（2）公司应设计怎样的方案，能使运送这批推土机的总费用最少？
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14 . 如图，在中，，，，点从点出发沿以的速度向
点移动，移动过程中始终保持，（点分别在线段、线段上）.

（1）点移动几秒后，的面积等于面积的四分之一；

（2）当四边形面积时，求点移动了多少秒？
15 . 悬索桥，又名吊桥，指的是以通过索塔悬挂并锚固于两岸（或桥两端）的缆索（或钢链）作为上部结构
主要承重构件的桥梁. 其缆索几何形状一般近似于抛物线.从缆索垂下许多吊杆（吊杆垂直于桥面），把桥面吊住.
某悬索桥（如图1），是连接两个地区的重要通道. 图2是该悬索桥的示意图.小明在游览该大桥时，被这座雄伟壮
观的大桥所吸引. 他通过查找资料了解到此桥的相关信息：这座桥的缆索（即图2中桥上方的曲线）的形状近似于
抛物线，两端的索塔在桥面以上部分高度相同，即AB=CD, 两个索塔均与桥面垂直. 主桥AC的长为600 m，引桥CE
的长为124 m.缆索最低处的吊杆MN长为3 m，桥面上与点M相距100 m处的吊杆PQ长为13 m.若将缆索的形状视
为抛物线，请你根据小明获得的信息，建立适当的平面直角坐标系，求出索塔顶端D与锚点E的距离.
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图2
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参考答案
一、单选题
1、
2、
3、
4、
5、
6、
二、填空题

1、
2、
三、解答题
1、

2、
3、

4、
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6、
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(北师大版九下)九年级数学下册一二章综合测试题(含答案)

BCD 解直角三角形和二次函数综合测试题一、选择题（10×3＝30分）1．在△ABC 中，∠C ＝90O，∠B ＝2∠A ，则CosA 等于（） A.23B. 21C. 3D. 332.在△ABC 中，∠C ＝90O，BC ：CA ＝3：4，那么SinA 等于（） A ．43 B.34 C.53 D.543.二次函数y ＝（x －1）2＋2的最小值是（） A ．－2 B.2 C.1 D.－1 4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，根据图像可得a ，b ，c 与0的大小关系是（） A. a>0,b<0,c<0 B. a>0,b>0,c>0 C. a<0,b<0,c<0 D. a<0,b>0,c<0 5.已知∠A 为锐角，且COSA ≤21，那么（） A ．00<A ≤600B.600≤A<900C.00<A<300D.300≤A<906.函数y ＝ax 2－a 与y ＝xa（a ≠0）在同一直角坐标系中的图像可能是图中的（）7．已知二次函数y ＝x 2＋（2a ＋1）x ＋a 2－1的最小值为O ，则a 的值是（） A ．43 B.43- C.45 D.45- 8．如图,在等腰三角形ABC 中，∠C ＝900，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝51，则AD 的长为（）A.2B.2C.1D.229．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元一个售出时，每天能卖出20个，若这种商品在一定范围内每降价1元，每日销量就增加1个，为了获得最大利润，则应该降价（）A.5元B.10元C.15元D.20元10．某二元方程的解是21x my m m =⎧⎨=++⎩，若把x 看作平面直角坐标系中点的横坐标，y 看作是纵坐标，下面说法正确的是（）A.点（x,y ）一定不在第一象限B.点（x,y ）一定不是坐标原点C.y 随x 的增大而增大D.y 随x 的增大而减小二、填空题：（8×3＝24分）11．∠A 和∠B 是一直角三角形的两锐角，则tan2BA +＝_________。

北师大版九年级下册数学《第2章二次函数》单元测试题(有答案)

2020-2021学年北师大新版九年级下册数学《第2章二次函数》单元测试题一．选择题1．抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（）A．（﹣6，﹣6）B．（﹣6，6）C．（6，6）D．（6，﹣6）2．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则点P（a，）所在的象限是（）A．一B．二C．三D．四3．若直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，则抛物线y＝ax2+bx+c的图象（）A．开口向下，对称轴在y轴左侧B．开口向上，对称轴在y轴左侧C．开口向上，对称轴在y轴右侧D．开口向下，对称轴在y轴右侧4．将抛物线y＝4x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为（）A．y＝4（x+2）2+3B．y＝4（x+2）2﹣3C．y＝4（x﹣2）2+3D．y＝4（x﹣2）2﹣35．如图，一次函数y＝﹣2x+3的图象与x、y轴分别相交于A、C两点，二次函数y＝x2+bx+c 的图象过点C且与一次函数在第二象限交于另一点B，若AC：CB＝1：2，那么，这个二次函数的顶点坐标为（）A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（，）D．（，﹣）6．二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象如图所示，则不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是（）A．x＜﹣1B．x＞2C．﹣1＜x＜2D．x＜﹣1或x＞2 7．下面给出了6个函数：①y＝3x2﹣1；②y＝﹣x2﹣3x；③y＝；④y＝x（x2+x+1）；⑤y＝；⑥y＝．其中是二次函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．用长为6m的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成（）A．1.5m，1m B．1m，0.5m C．2m，1m D．2m，0.5m9．已知抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于A，与x轴的正半轴交于B、C，且BC＝2，S＝△ABC 3，则c的值为（）A．1B．2C．3D．410．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由图象可知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3和x2＝（）A．﹣1.3B．﹣2.3C．﹣0.3D．﹣3.3二．填空题11．利用函数图象求得方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝，x2＝．12．汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）与行驶的时间t（单位：s）的函数关系式是s＝12t ﹣4t2，汽车刹车后到停下来前进了m．13．圆的面积y（cm2）与圆的半径x（cm）之间的函数关系式是．14．用配方法将二次函数y＝4x2﹣24x+26写成y＝a（x﹣h）2+k的形式是，对称轴为，顶点坐标为．15．已知点（m+1，m2）在函数y＝x2+2x的图象上，则m＝．16．函数y＝x2中，自变量x的取值范围是，函数值y的取值范围是．17．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的函数值y＜0，则x的取值范围为．18．已知抛物线与x轴有两个交点（﹣1，0），（3，0），并且与y轴交点的纵坐标为﹣6，则这个二次函数的解析式为．19．抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，与x轴交于A、B两点，如果△ABP是正三角形，那么k ＝．20．将抛物线y＝﹣2x2+4x向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的解析式为．三．解答题21．用配方法求出下列二次函数y＝x2﹣2x﹣3图象的顶点坐标和对称轴．22．已知（m，n）是抛物线y＝ax2上的点，求证：点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．在平面直角坐标系中画出y＝5x2的草图，并且作出将其向右移动2个单位，向上移动1个单位后的抛物线的图象．24．到姜堰观光旅游的客人越来越多，某景点每天都吸引大量的游客前来观光．事实表明，如果游客过多，不利于保护珍贵文物，为了实施可持续发展，兼顾社会效益和经济效益，该景点拟采用浮动门票价格的方法来控制游览人数．已知每张门票原价为40元，现设浮动门票为每张x元，且40＜x＜70，经市场调研发现一天游览人数y与票价x之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）根据图象，求y与x之间的函数关系式；（2）设该景点一天的门票收入为w元．①试用x的代数式表示w；②试问：当门票定为多少时，该景点一天的门票收入最高？最高门票收入是多少？25．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．求这个二次函数的解析式及A，B两点的坐标．26．（1）在同一直角坐标系中画抛物线y＝x2﹣2x﹣3与双曲线y＝；（2）观察图形，方程组的解的近似值为．27．已知抛物线y＝x2﹣2x，求抛物线的顶点坐标和对称轴．参考答案与试题解析一．选择题1．解：抛物线y＝x2﹣6x+24＝（x﹣6）2+6，所以抛物线y＝x2﹣6x+24的顶点是（6，6）．故选：C．2．解：由函数图象可得各系数的关系：a＞0，b＜0，c＞0，则a＞0，＜0，因此P（a，）位于第四象限．故选：D．3．解：∵直线y＝ax+b（a≠0）在第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0，则抛物线y＝ax2+bx+c开口方向向上，对称轴x＝﹣＜0，在y轴左侧．故选：B．4．解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣2，3）．）可设新抛物线的解析式为：y＝4（x﹣h）2+k，代入得：y ＝4（x+2）2+3．故选：A．5．解：由图象y＝﹣2x+3知：C（0，3），A（1.5，0）即c＝3，因为y＝x2+bx+3，可设B（a，a2+ba+3），又∵B在函数y＝﹣2x+3的图象上则有a2+ba+3＝﹣2a+3…（1），又∵AC：CB＝1：2，…（2），则由（1）和（2）解得：a＝﹣3，b＝1（负值已舍）．由顶点坐标（﹣，）得（﹣）．故选：A．6．解：由图可知，抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（2，0），所以，不等式x2﹣x﹣2＜0的解集是﹣1＜x＜2．故选：C．7．解：①符合二次函数的定义；②符合二次函数的定义；③不是整式，不符合二次函数的定义；④整理后x的最高次数为3，不符合二次函数的定义；⑤不是整式，不符合二次函数的定义；⑥不是整式，不符合二次函数的定义；所以是二次函数的共有2个，故选B．8．解：设长为x，则宽为，S＝x，即S＝﹣x2+2x，要使做成的窗框的透光面积最大，则x＝﹣＝﹣＝＝1.5m．于是宽为＝＝1m，所以要使做成的窗框的透光面积最大，则该窗的长，宽应分别做成1.5m，1m．故选：A．9．解：∵BC＝2，S＝3，△ABC∴×c×2＝3，解得c＝3，故选：C．10．解：方法一：∵二次函数y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）∴﹣＝﹣1则﹣＝﹣2∵x1x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根∴x1+x2＝﹣又∵x1＝1.3∴x1+x2＝1.3+x2＝﹣2解得x2＝﹣3.3．方法二：根据对称轴为；x＝﹣1，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根分别是x1＝1.3，则＝﹣1，即＝﹣1，解得：x2＝﹣3.3，故选：D．二．填空题11．解：∵方程x2+x﹣12＝0的解就是函数y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点的横坐标，而y＝x2+x﹣12的图象如图所示：∴y＝x2+x﹣12的图象与x轴的交点坐标为（﹣4，0）、（3，0），∴方程x2+x﹣12＝0的解是x1＝﹣4，x2＝3．12．解：∵s＝12t﹣4t2＝﹣4（t﹣）2+9，∴汽车刹车后到停下来前进了9m．故答案为9．13．解：由圆的面积计算公式，得y＝πx2．14．解：y＝4x2﹣24x+26＝4（x2﹣6x）+26＝4（x2﹣6x+9﹣9）+26＝4（x﹣3）2﹣10∴对称轴是x＝3，顶点坐标是（3，﹣10）故本题答案为：y＝4（x﹣3）2﹣10；x＝3；（3，﹣10）．15．解：依题意，得（m+1）2+2（m+1）＝m2，解得m＝﹣．16．解：函数y＝x2中，自变量x的取值范围是全体实数，函数值y的取值范围是非负数．17．解：当y＝0时，即x2﹣2x﹣3＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴图象与x轴的交点是（﹣1，0），（3，0），当y＜0时，图象在x轴的下方，此时﹣1＜x＜3．故填空答案：﹣1＜x＜3．18．解：设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），把（0，﹣6）代入得a•（﹣3）＝﹣6，解得a＝2．所以抛物线解析式为y＝2（x+1）（x﹣3），即y＝2x2﹣4x﹣6．故答案为y＝2x2﹣4x﹣619．解：∵抛物线y＝x2﹣k的顶点为P，∴P点的坐标为：（0，﹣k），∴PO＝K，∵抛物线y＝x2﹣k与x轴交于A、B两点，且△ABP是正三角形，∴OA＝OB，∠OPB＝30°，∴tan30°＝＝，∴OB＝k，∴点B的坐标为：（k，0），点B在抛物线y＝x2﹣k上，∴将B点代入y＝x2﹣k，得：0＝（k）2﹣k，整理得：﹣k＝0，解方程得：k1＝0（不合题意舍去），k2＝3．故答案为：3．20．解：抛物线y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，5），得到新抛物线的解析式是y＝﹣2（x+1）2+5．故答案为：y＝﹣2（x+1）2+5．三．解答题21．解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x2﹣2x+1）﹣1﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），对称轴为x＝1．22．证明：∵抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，而点（m，n）与点（﹣m，n）也关于y轴对称，∴当点（m，n）在抛物线y＝ax2上时，点（﹣m，n）也在抛物线y＝ax2上．23．解：原抛物线的顶点为（0，0），分别右移动2个单位，向上移动1个单位后，那么新抛物线的顶点为（2，1）；可设新抛物线的解析式为y＝5（x﹣h）2+k，代入得：y＝5（x﹣2）2+1．24．解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），∵函数图象经过点（50，3500），（60，3000），∴，解得．∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣50x+6000；（2）①w＝xy＝x（﹣50x+6000）＝﹣50x2+6000x，即w＝﹣50x2+6000x；②w＝﹣50x2+6000x＝﹣50（x﹣120x+3600）+180000＝﹣50（x﹣60）2+180000，∵a＝﹣50＜0，＝180000．∴当x＝60时，w有最大值，w最大答：当门票定为60元时，该景点一天的门票收入最高，最高门票收入是180000元．25．解：（1）把点C（0，﹣3）代入y＝x2+（k﹣1）x+2k﹣1得，2k﹣1＝﹣3，解得k＝﹣1，所以，二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣1，0），B（3，0）．26．解：（1）（2）由题意知，方程组的解即为图象交点的坐标，∴由图象可知交点坐标为（3.2，0.6），∴方程组的解为：．27．解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，故顶点坐标是（1，﹣1），对称轴是直线x＝1．。

北师大版九年级数学下册第二章检测题(含答案)

九年级第二单元检测题一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列函数中，当x>0时，y随x的增大而增大的是(B) A．y＝－x＋1 B．y＝x2－1C．y＝1x D．y＝－x2＋12．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是(C)A．直线x＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝23．抛物线y＝3x2＋2x－1向上平移4个单位长度后的函数表达式为(C)A. y＝3x2＋2x－5B. y＝3x2＋2x－4C. y＝3x2＋2x＋3D. y＝3x2＋2x＋44．设二次函数y＝(x－3)2－4的图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是(B)A．(1，0) B．(3，0)C．(－3，0) D．(0，－4)5．二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝(B)A．1 B．－1 C．－2 D．0,第5题图)6题图) 6．若一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(－2，0)，则抛物线y＝ax2＋bx 的对称轴为(C)A．直线x＝1 B．直线x＝4C．直线x＝－1 D．直线x＝－47．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是(D)A．a<0 B．b>0C．b2－4ac>0 D．a＋b＋c<08．已知抛物线y＝－16x2＋32x＋6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是(D)A.154 B.92 C.132 D.1529．如图，点C是线段AB上的一个动点，AB＝1，分别以AC和CB为一边作正方形，用S 表示这两个正方形的面积之和，下列判断正确的是(A)A．当点C是AB的中点时，S最小B．当点C是AB的中点时，S最大C ．当点C 为AB 的三等分点时，S 最小D ．当点C 为AB 的三等分点时，S 最大,第9题图),第10题图)10．已知二次函数y ＝a (x －1)2－c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋c 的大致图象可能是( A )A B C D二、填空题(每小题4分，共16分)11．抛物线y ＝x 2－2x ＋3的顶点坐标为__(1，2)__．12．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于A ，B 两点，若点A 的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为__8__．132＋bx ＋c 中函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y ＜5时，x 的取值范围是__0<x <4__．14．如图，抛物线的对称轴是x ＝1，与x 轴交于A ，B 两点，若点B 的坐标为(3，0)，则点A 的坐标是．三、解答题(共54分)15．(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． (1)y ＝x 2－3x －4； (2)y ＝－4x 2＋3x .解：(1)y ＝x 2－3x －4＝⎝⎛⎭⎫x －322－254轴为x ＝38，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫38，916.16．(9分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)． (1)求b ，c 的值；(2)求该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)在所给坐标系中画出二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象．解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4，3)，(3，0)，(2)∵该二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，∴该二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x ＝2.(3)画图略．17．(9分)已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点(4, 1)和(－1, 6)． (1)求二次函数的表达式；(2)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴．解：(1)由题意解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝1，故二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋1. (2)∵y ＝x 2－4x ＋1＝(x －2)2－3，∴顶点坐标是(2，－3)，对称轴是直线x ＝2.18．(9分)心理学家发现，在一定时间范围内，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x (单位：分)之间满足函数关系y ＝－0.1x 2＋2.6x ＋43(0≤x ≤30)，y 值越大，表示接受能力越强．(1)当x 在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步减弱？(2)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y 的值是多少？(3)如果用8分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答．解：(1)该函数表达式配方得y ＝－0.1(x －13)2＋59.9(0≤x ≤30)，所以该函数图象的对称轴为x ＝13，开口向下，所以在对称轴左边，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右边，y 随x 的增大而减小，所以在0≤x ≤13时学生的接受能力逐步增强，在13<x ≤30时学生的接受能力逐步减弱．因为57.4＜59，所以学生的接受能力减弱了．19．(9分)已知某种高新技术设备的生产成本不高于50万元/套，售价不低于90万元/套．已知这种设备的月产量x (套)与每套的售价y 1(万元)之间满足关系式y 1＝170－2x ，月产量x (套)与生产总成本y 2(万元)存在如图所示的函数关系．(1)直接写出y 2与x 之间的函数关系式，并求月产量x 的取值范围；(2)当月产量x (套)为多少时，这种设备的利润W (万元)最大？最大利润是多少？解：(1)设函数关系式为y 2＝kx ＋b .把点(30，1 400)，(40，1 700)分别代入关系式， ∴函数关系式为y 2＝30x ＋500.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧500＋30x ≤50x ，170－2x ≥90，则当月产量为35套时，利润最大，最大利润是1 950万元．20．(9分)如图，在坐标系xOy 中，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，A (1，0)，B (0，2)，抛物线y ＝12x 2＋bx －2的图象过点C .求抛物线的表达式．解：如答图所示，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ， ∴∠OAB ＝∠ACD ，∠OBA ＝∠CAD . ∴△AOB ≌△CDA (ASA)，∵点C(3，1)在抛物线y＝12x2＋bx－2上，∴b＝－1 2，∴抛物线的表达式为y＝12x2－12x－2.B卷(50分)一、填空题(每小题4分，共20分)21．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中如图所示，则抛物线的表达式是__y＝－125x2＋85x__．21题图22题图22．如图，已知二次函数y＝－x2＋3x的对称轴与一次函数y＝－2x的图象交于点A，则点A的坐标为________．23．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①2a＋b＝0；②a＋c>b；③抛物线与x轴的另一个交点为(3，0)；④abc>0.其中正确的结论是__①④__．(填写序号)23题图24题图24．如图，已知抛物线y＝x2－k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是__3__．25．如图，抛物线y1＝a(x＋2)2＋m过原点，与抛物线y2＝12(x－3)2＋n交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.下列结论：①两条抛物线的对称轴距离为5；②当x＝0时，y2＝5；③当x＞3时，y1－y2＞0；④y轴是线段BC的中垂线．其中正确的结论是__①③④__．(填写序号)二、解答题(共30分)26．(10分)音乐喷泉(图1)可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18 m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线(图2)，这组抛物线的统一表达式为y＝ax2＋bx.(1)若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3 m，求此时a，b的值；(2)若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？(3)若k＝3，a＝－27，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？图12解：当y＝0时，0＝－27x2＋6x，解得x1＝21，x2＝0.∵21 m＞18 m，∴若k＝3，a＝－27，则喷出的抛物线水线能达到岸边．27．(10分)某校八年级学生小丽、小强和小红到某超市参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某种水果的销售工作．已知该水果的进价为8元/千克，下面是他们在活动结束后的对话．小丽：如果以10元/千克的价格销售，那么每天可售出300千克．小强：如果每千克的利润为3元，那么每天可售出250千克．小红：如果以13元/千克的价格销售，那么每天可获取利润750元．利润＝(销售价－进价)×销售量(2)请你根据表格中的信息求出每天的销售量y (千克)与销售单价x (元)之间存在怎样的函数关系，并求y (千克)与x (元)(x >0)的函数关系式；(3)设该超市销售这种水果每天获取的利润为w 元，求w 与x 的函数关系式．当销售单价为何值时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少元？解：(1)如果以13元/千克的价格销售，每千克利润为13－8＝5(元)，那么每天售出750即当销售单价为12元时，每天可获得的利润最大，最大利润是800元．28．(10分)如图，抛物线经过点A (1，0)，B (5，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，103三点．设点E (x ，y )是抛物线上一动点，且在x 轴下方，四边形OEBF 是以OB 为对角线的平行四边形．(1)求抛物线的表达式；(2)当点E (x ，y )运动时，试求平行四边形OEBF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并求出面积S 的最大值；(3)是否存在这样的点E ，使平行四边形OEBF 为正方形？若存在，求点E ，F 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．∵抛物线过点A (1，0)，B (5，0)，C ⎝⎛⎭⎫0，103，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，25a ＋5b ＋c ＝0，c ＝103，解得a ＝23，。

北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案

北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案(时间：90分钟，满分：100分) 一、选择题(每题3分，共36分)1.下列关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量)( )A. B.C. D.2.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（）A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x3. 抛物线y = a(x+1)2 -2与x 轴交于点（-3，0），则该抛物线与x 轴另一交点的坐标是（）A 、（21，0） B 、（1，0） C 、（2，0） D 、（3，0）4. （08绍兴）已知点11()x y ，，22()x y ，均在抛物线21y x =-上，下列说法中正确的是（）A ．若12y y =，则12x x =B ．若12x x =-，则12y y =-C ．若120x x <<，则12y y >D ．若120x x <<，则12y y >5. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( ) A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则点在第___象限 ( ) A. 一 B. 二 C. 三D. 四7. 如图所示，已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4，图象交x 轴于点A(m ，0)和点B ，且m>4，那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x= -1，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是抛物线上的点，P 3(x 3，y 3)是直线上的点，且-1<x 1<x 2，x 3<-1，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C.10.把y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C.D.11.下面所示各图是在同一直角坐标系内，二次函数cx c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（）OxyAO xyBO xyCOxyD北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（）A. 0>M ，0>N ，0>PB. 0<M ，0>N ，0>PC. 0>M ，0<N ，0>PD. 0<M ，0>N ，0<P一选择题（每题3分，共36分）二、填空题(每题4分，共24分)13. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.14. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式，则y=________.15. 抛物线y=x 2+bx+c ，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.16. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点（-2，8），且一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为-1和2，则该二次函数的解析关系式为 ___________17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.18. （2009年甘肃庆阳）图12为二次函数2y ax bx c =++的图象，给出下列说法：①0ab <；②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=，；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 值的增大而增大；⑤当0y >时，13x -<<．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）三．解答题19.已知二次函数图象与x 轴交点（2,0）(-1,0)与y 轴交点是（0，-1）求解析式及顶点坐标。

(北师大版)初中数学九年级下册第二章综合测试(含答案)

第二章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1.下列函数一定是二次函数的是（） A .2y ax bx c =++B .()1y x x =-C .2213y x x =+D .()221y x x =--+2.将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线的表达式为（） A .()2223y x =++B .()2223y x =-+C .()2223y x =--D .()2223y x =+-3.对于二次函数2y x bx c =++，若0b c +=，则二次函数的图象一定过点（）A .()11--，B .()11-，C .()11-，D .()11，4.对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是（）A .当0x ＞时，y 随x 的增大而增大B .当2x =时，y 有最大值3-C .图象的顶点坐标为()27--，D .图象与x 轴有两个交点5.已知函数()2144y k x x =--+的图象与x 轴只有一个交点，则k 的取值范围是（） A .2k ≤且1k ≠B .2k ＜且1k ≠C .2k =或1D .2k =6.点()()()112233135P y P y P y -，，，，，均在二次函数22y x x c =-++的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（） A .321y y y ＞＞B .312y y y =＞C .123y y y =＞D .123y y y ＞＞7.在同一平面直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x m =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能是（）ABCD8.某水池中心竖直水管的顶端有一个喷水头，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，水柱落地处离水池中心3m ，如下图，以水平地面为x 轴，水池中心为原点，建立平面直角坐标系，则竖直水管的高为（）A .1.5mB .2mC .2.25mD .3m9.四位同学在研究函数2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）时，甲发现当1x =-时，函数的最小值为1-；乙发现420a b c -+=成立；丙发现当1x ＜时，函数值y 随x 的增大而增大；丁发现当5x =时，4y =-.已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（） A .甲B .乙C .丙D .丁10.如下图，已知ABC △为等边三角形，2AB =，点D 为边AB 上一点（不与点A B ，重合），过点D 作DE AC ∥，交BC 于点E ，过点E 作EF DE ⊥，交AB 的延长线于点F .设AD x DEF =，△的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图象是（）ABCD二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.抛物线()222324y x m m x m =--++-的对称轴是y 轴，且顶点在原点，则m 的值为________.12.已知抛物线24y ax ax c =-+与x 轴的一个交点的坐标为()10，，则一元二次方程240ax ax c -+=的根为________.13.当1x =和3x =时，代数式25ax bx ++的值相等，则当4x =时，代数式25ax bx ++的值是________. 14.下表给出了二次函数2y ax bx c =++中x 与y 的部分对应值：则当22x -≤≤时，y 的取值范围是________. 15.如下图，把抛物线212y x =平移得到抛物线C ，抛物线C 经过点()60A -，和原点()00O ，，它的顶点为P ，对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为________.16.二次函数2y ax bx c =++的图象如下图所示，给出下列结论：①2b a ＜；②20a c b +-＞；③b a c ＞＞；④223b ac ab +＜.其中正确结论的序号是________.三、解答题（本大题共6小题，共72分） 17.（10分）已知二次函数243y x x =-+.（1）用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x 轴的交点A B ，（A 在B 的左侧）的坐标及ABC △的面积.18.（12分）已知点()3P m -，和()1Q m ，是抛物线221y x bx =++上的两点. （1）求b 的值；（2）关于x 的方程2210x bx ++=是否有实数根？若有，求出它的实数根；若没有，说明理由.（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位长度，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值.19.（12分）已知二次函数2y x bx c =-++的图象过点()()3010A C -，，，. （1）求二次函数的表达式；（2）如下图，点P 是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y 轴交于点B ，当PB PC +最小时，求点P 的坐标；（3）在第一象限内的抛物线上有一点Q ，当QAB △的面积最大时，求点Q 的坐标.20.（12分）某商业集团新建一小车停车场，经测算，此停车场每天需固定支出的费用（设施维修费、车辆管理人员工资等）为800元.为制定合理的收费标准，该集团对一段时间每天小车停放辆次与每辆次小车的收费情况进行了调查，发现每辆次小车的停车费不超过5元时，每天来此处停放的小车为1 440辆次；当每辆次小车的停车费超过5元时，每增加1元，到此处停放的小车就减少120辆次.为便于结算，规定每辆次小车的停车费x （元）只取整数，用y （元）表示此停车场的日净收入，且要求日净收入不低于2 512元.（日净收入=每天收取的停车费-每天的固定支出）（1）当5x ≤时，写出y 与x 之间的函数关系式，并说明每辆次小车的停车费最少不低于多少元；（2）当5x ＞时，写出y 与x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）；（3）该集团要求此停车场既要吸引客户，使每天小车停放的辆次较多，又要有较大的日净收入.按此要求，每辆次小车的停车费应定为多少元？此时日净收入是多少？21.（12分）如下图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其飞行的高度()y m 与飞行的水平距离()x m 满足关系式()26y a x h =-+.已知球网与点O 的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距点O 的水平距离为18m .（1）当 2.6h =时，求y 与x 之间的函数关系式；（不要求写出自变量x 的取值范围）（2）当 2.6h =时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由.（3）若球一定能越过球网，且不出边界，求h 的取值范围.22.（14分）如下图1，直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B C ，经过B C ，两点的抛物线2y x bx c =++与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P .（1）求该抛物线的函数表达式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C P M ，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当03x ＜＜时，在抛物线上求一点E ，使CBE △的面积最大（图2、图3供画图探究）.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】A 项，当0a =时不是二次函数；C 项，21x 不是整式；D 项，整理后为21y x =-，不是二次函数.故选B . 2.【答案】B 3.【答案】D【解析】当1x =时，1101y b c =++=+=，所以二次函数的图象一定过点()11，.故选D .4.【答案】B【解析】二次函数2144y x x =-+-的图象的对称轴为直线121224b x a =-=-=⎫⎛⨯- ⎪⎝⎭，其顶点坐标为()23-，，显然选项C 错误；104a =-∵＜，∴抛物线开口向下，顶点为最高点，当2x =时，y 有最大值3-，故选项B 正确；由抛物线开口向下，对称轴为直线2x =可知，当2x ＞时，y 随x 的增大而减小，当2x ＜时，y 随x 的增大而增大，故选项A 错误；对于一元二次方程()211401443044x x ⎫⎛-+-==-⨯-⨯-=- ⎪⎝⎭，△＜，∴抛物线2144y x x =-+-与x 轴没有交点，故选项D 错误.故选B .5.【答案】C【解析】当10k -=，即1k =时，函数为44y x =-+，其图象与x 轴只有一个交点；当10k -≠，即1k ≠时，令0y =，可得()21440k x x --+=，由函数的图象与x 轴只有一个交点可知该方程有两个相等的实数根，所以0=△，即()()244140k ---⨯=，解得2k =.综上可知，k 的值为1或2.故选C . 6.【答案】C【解析】该二次函数图象的对称轴为直线1x =，图象开口向下，故自变量x 离1越近，其对应的函数值越大，反之则越小.()123151311y y y --=--=∵＞，∴＞.故选C . 7.【答案】D【解析】当二次函数的图象开口向下时，00m m -＜，＞，相应的一次函数图象过第一、二、三象限.当二次函数的图象开口向上时，00m m -＞，＜，对称轴()2102x m m=-=-＜，这时二次函数图象的对称轴在y 轴左侧，一次函数图象过第二、三、四象限.故选D .8.【答案】C【解析】由于在距水池中心的水平距离为1m 处达到最高，高度为3m ，则设抛物线的表达式为()()21303y a x x =-+≤≤，将()30，代入，求得34a =-.所以抛物线的表达式为()()2313034y x x =--+≤≤.令0x =，则92.254y ==，所以竖直水管的高为2.25m .故选C .9.【答案】A【解析】将四人的结论转化如下，甲：2b a =，且00a b ＞，＞.乙：420a b c -+=.丙：0a ＜，且12ba-≥.丁：2554a b c ++=-.由于甲、丙发现的结论中，a 正负恰好相反，则两人的结论中必有一个错误，因此乙、丁发现的结论正确，所以2174a b +=-.若甲正确，则2b a =，且2174a b +=-，解得483535a b =-=-，，与甲的结论00a b ＞，＞矛盾，所以甲错误，丙正确.故选A . 10.【答案】A【解析】ABC ∵△是等边三角形，°60A ABC ∠=∠=∴.°60DE AC EDF A ∠=∠=∵∥，∴.EF DE ⊥∵，°°°909030DEF EFD EDF ∠=∠=-∠=∴，∴.°60EDB ABC EDB ∠=∠=∵，∴△是等边三角形，2ED DB x ==-∴.()°°9030222DEF EFD DF DE x ∠=∠===-∵，，∴，由勾股定理得)2EF x =-.()()1123222y ED EF x x ==--∴，即)()22022y x x =-＜＜.故选A . 二、 11.【答案】2【解析】根据题意，得2320m m -+=且240m -=，解2320m m -+=得1m =或2m =，解240m -=得2m =或2m =-，所以m 的值为2. 12.【答案】1213x x ==，【解析】解法一：将10x y ==，代入24y ax ax c =-+，得40a a c -+=，解得3c a =.将3c a =代入方程，得2430ax ax a -+=，所以()2430a x x -+=，所以()()130a x x --=，解得1213x x ==，. 解法二：抛物线24y ax ax c =-+的对称轴为422ax a-=-=，因为抛物线与x 轴一个交点的坐标为()10，，所以根据对称性可知另一个交点坐标为()30，，所以240ax ax c -+=的两个根为1213x x ==，. 13.【答案】5【解析】设25y ax bx =++，当1x =和3x =时，代数式25ax bx ++的值相等，即当1x =和3x =时，函数值相等，∴当0x =与4x =时，函数值相等，∵当0x =时，5y =，∴当4x =时，5y =.14.【答案】36y -≤≤【解析】由()05，可知5c =，将点()16-，和()12，代入25y ax bx =++，得5652a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以二次函数的表达式为()222516y x x x =--+=-++.对于22x -≤≤，当1x =-时，y 有最大值6，当2x =时，y 有最小值3-，所以当22x -≤≤时，36y -≤≤. 15.【答案】272【解析】设抛物线C 的函数表达式为212y x bx c =++，因为它经过点()60A -，和点()00O ，，所以代入求得C 的函数表达式为2132y x x =+，所以顶点P 的坐标为932⎫⎛-- ⎪⎝⎭，，点Q 的坐标为932⎫⎛- ⎪⎝⎭，，则P Q ，关于x 轴对称，连接OP OQ ，，所以392722POQ S S ⨯===△阴影. 求不规则图形的面积时，要通过割补、拼接转化为求规则图形的面积. 16.【答案】①③④【解析】考虑①：因为抛物线的对称轴与x 轴的交点在点()10-，的右侧，所以12b a --＞，于是12ba＜.因为抛物线开口向上，所以0a ＞，所以2b a ＜，故①正确.考虑②：因为抛物线上横坐标为1-的点在第三象限，所以该点的纵坐标小于0，即当1x =-时，0y a b c =-+＜，因为抛物线与y 轴正半轴相交，所以0c ＞，而()2a c b a b c c +-=-++，由于a b c ，，的值未知，不能确定a b c -+与c 的大小，因此不能确定a b c -+与c 的和的符号，也就不能确定2a c b +-的值是正还是负，故②不一定正确.考虑③：因为00a b c c -+＜，＞，所以0a b -＜，于是b a ＞.因为002b a a-＜，＞，所以0b ＞.因为2b a ＜，所以224b a ＜.因为抛物线与x 轴有两个交点，所以240b ac -＞，即24b ac ＞.所以244a ac ＞.又因为0a ＞，所以a c ＞.综合知b a c ＞＞，故③正确.考虑④：因为0a b c -+＜，所以a c b +＜.因为a c ＞，所以c c b +＜，即2c b ＜.因为0a ＞，所以2ac ab ＜.因为20b a b ＜，＞，所以22b ab ＜.所以222b ac ab ab ++＜，即223b ac ab +＜，故④正确.综上可知，正确的有①③④. 三、17.【答案】（1）()22243444321y x x x x x =-+=-+-+=--，所以顶点C 的坐标是()21-，. 当2x ＜时，y 随x 的增大而减小；当2x ＞时，y 随x 的增大而增大.（2）解方程2430x x -+=，得1231x x ==，，所以点A 的坐标是()10，，点B 的坐标是()30，. 过点C 作CD AB ⊥于点D ，易知21AB CD ==，，所以1121122ABC S AB CD =⨯=⨯⨯=△. 18.【答案】（1）P Q ∵，两点都在抛物线上且纵坐标相同，P Q ∴，关于抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴为直线3142b x -+=-=，解得4b =.（2）由（1）可知，关于x 的方程为2241016880x x ++==-=，△＞，∴方程有实根，x ==1211x x =-=-∴. （3）()22241211y x x x =++=+-∵，顶点坐标为()11--，， ∴至少要向上平移2个单位长度，图象与x 轴无交点，k ∴的最小值为2.19.【答案】（1）把点()()3010A C -，，，代入2y x bx c =-++，得93010b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则二次函数的表达式为223y x x =-++.（2）连接AB ，与对称轴交于点P ，此时PB PC +最小.在223y x x =-++中，当0x =时，3y =，则()03B ，. 设直线AB 的表达式为y mx n =+，()()3003A B ∵，，，，30133m n m n n +==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩∴，∴， ∴直线AB 的表达式为3y x =-+，()222314y x x x =-++=--+∵，∴二次函数223y x x =-++图象的对称轴是直线1x =.当1x =时，132y =-+=，()12P ∴，.（3）设()22303Q m m m m QAB -++，，＜＜，△的面积为S ，如下图，连接OQ .则OBQ AOQ AOB S S S S =+-△△△ ()2111332333222m m m =⨯+⨯-++-⨯⨯ 23922m m =-+ 23327228m ⎫⎛=--+ ⎪⎝⎭. ∴当32m =时，S 最大，此时32728Q ⎫⎛ ⎪⎝⎭，.20.【答案】（1）由题意得，1440800y x =-，14408002512 2.3x x -∵≥，∴≥.x ∵取整数，x ∴最小取3，即每辆次小车的停车费最少不低于3元.（2）由题意得，()14401205800y x x =---⎡⎤⎣⎦，即21202040800y x x =-+-.（3）当5x ≤时，停车1440辆次，最大日净收入()144058006400y =⨯-=元；当5x ＞时，()2221712020408001201780012078702y x x x x x ⎫⎛=-+-=---=--+ ⎪⎝⎭， ∴当172x =时，y 有最大值. 但x 只能取整数，x ∴取8或9.显然，x 取8时，小车停放辆次较多，此时最大日净收入为()1120787078404y =-⨯+=元.综上，每辆次小车的停车费应定为8元，此时的日净收入是7840元.21.【答案】（1）当 2.6h =时，()26 2.6y a x =-+，由题意知点()02A ，在()26 2.6y a x =-+的图象上， ()2206 2.6a =-+∴，解得160a =-， y ∴与x 之间的函数关系式为()216 2.660y x =--+. （2）球能越过球网，且球会出界.理由如下：当9x =时，()2196 2.6 2.45 2.4360y =-⨯-+=＞， ∴球能越过球网.当0y =时，()216 2.6060x --+=，解得126186x x =+=-，，∴球会出界.（3）由点()02A ，在()26y a x h =-+的图象上，得236h a -=. 由球能越过球网，可知当9x =时，9 2.43y a h =+＞，即29 2.4336h h -⨯+＞，解得19375h ≥；由球不出边界，可知当18x =时，1440a h +≤，即2144036h h -⨯+≤，解得83h ≥. 综上可知，h 的取值范围是83h ≥. 22.【答案】（1）∵直线3y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点B C ，， ()()3003B C ∴，，，.把点B C ，的坐标分别代入抛物线的函数表达式，可得9303b c c ++=⎧⎨=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数表达式为243y x x =-+.（2）存在.点M 的坐标为322⎫⎛ ⎪⎝⎭，）或()27，或(21-+，）或(21--，. 由（1）知()224321y x x x =-+=--，∴抛物线的对称轴为直线()221x P =-，，. 设()()203M t C ，，∵，，1MC MP t PC ===+=∴，CPM ∵△为等腰三角形， ∴有MC MP MC PC ==，和MP PC =三种情况.①当MC MP =1t =+，解得32t =，此时322M ⎫⎛ ⎪⎝⎭，；②当MC PC =，解得1t =-（与点P 重合，舍去）或7t =，此时()27M ，；③当MP PC =时，则有1t +=解得1t =-+或1t =--，此时(21M -+，或(21--，.综上可知，存在满足条件的点M ，其坐标为322⎫⎛ ⎪⎝⎭，）或()27，或(21-+，或(21--，. （3）如下图，过点E 作EF x ⊥轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，设()243E x x x -+，，则()3F x x -+，， ()22033433x EF x x x x x =-+--+=-+∵＜＜，∴，()2211113327332222228CBE EFC EFB S S S EF OD EF BD EF OB x x x ⎫⎛=+=+==⨯-+=--+ ⎪⎝⎭△△△∴， ∴当32x =时，CBE △的面积最大，此时23434x x -+=-，即点E 的坐标为3324⎫⎛- ⎪⎝⎭，，即当点E 坐标为3324⎫⎛- ⎪⎝⎭，时，CBE △的面积最大.对于存在性问题一般是先假设存在，若在存在的前提下求得结论，则说明存在，否则说明不存在.第（2）问中没有明确哪两条线段是等腰三角形的腰，还需分类讨论，以防漏解.。

北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案

北师大版九年级下册数学单元测试题全套及答案（含期中期末试题）第一章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，∠ACD 的正弦值是23，则ACAB 的值是( B )A.255B.23C.355D.522．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( C )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm3．在△ABC 中，sin B ＝cos(90°－∠C )＝12，那么△ABC 是( A )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．如图，过点C (－2，5)的直线AB 分别交坐标轴于A (0，2)，B 两点，则tan ∠OAB ＝( B ) A.25B.23C.52D.325．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于点D ，点C 在BD 上，有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有( C )A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，E 为线段AB 上一点，且AE ∶EB ＝4∶1，EF ⊥AC 于F ，连接FB ，则tan ∠CFB 的值等于( C )A.33B.233C.533D ．53二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分) 7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AB ＝12，则tan A ＝512. 8．(2019·赤峰)如图，一根竖直的木杆在离地面3.1 m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成38°角，则木杆折断之前高度约为__8.1__m __．(参考数据：sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78)9．(2019·咸宁) 如图，某校九(1)班数学课外活动小组在河边测量河宽AB (这段河流的两岸平行)，他们在点C 测得∠ACB ＝30°，点D 处测得∠ADB ＝60°，CD ＝80 m ，则河宽AB 约为 __69__ m ．(结果保留整数，3≈1.73)10．(2019·柳州)在△ABC 中，sin B ＝13，tan C ＝22，AB ＝3，则AC 的长为 3 ．11．如图，小明将一张矩形纸片ABCD 沿CE 折叠，B 点恰好落在AD 边上，设此点为F ，若AB ∶BC ＝4∶5，则sin ∠DCF 的值为 35.12．如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形的顶点上，AB ，CD 相交于点O ，则tan ∠AOD ＝ 2 .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：sin 30°－(cos 45°－1)0＋32tan 2 30°.解：原式＝12－1＋32×⎝⎛⎭⎫332＝12－1＋12＝0.14．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个直角三角形．解：∠A ＝90°－∠B ＝90°－60°＝30°.由tan B ＝ba，得b ＝a tan B ＝4tan 60°＝4 3.由cos B＝a c ，得c ＝a cos B ＝4cos 60°＝8.所以∠A ＝30°，b ＝43，c ＝8. 15.已知α为锐角，且tan α是方程x 2＋2x －3＝0的一个根，求2sin 2α＋cos 2α－ 3 tan (α＋15°)的值．解：解方程x 2＋2x －3＝0，得x 1＝1，x 2＝－3.∵tan α>0，∴tan α＝1，∴α＝45°，∴2sin 2α＋cos 2α－3tan (α＋15°)＝2sin 245°＋cos 245°－3tan 60°＝2×⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛⎭⎫222－3×3＝1＋12－3＝－32.16．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等．于是，小路同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合后拼放在一起，点B ，C ，E 在同一直线上．若BC ＝2，求AF 的长．(请你运用所学的数学知识解决这个问题)解：在Rt △ABC 中，BC ＝2，∠A ＝30°， ∴AC ＝BC tan A ＝2tan 30°＝2 3. 由题意，得EF ＝AC ＝2 3. 在Rt △EFC 中，∠E ＝45°， ∴CF ＝EF·sin 45°＝23×22＝6， ∴AF ＝AC －CF ＝23－ 6.17．(2019·通辽)两栋居民楼之间的距离CD ＝30 m ，楼AC 和BD 均为10层，每层楼高为3 m ．上午某时刻，太阳光线GB 与水平面的夹角为30°，此刻楼BD 的影子会遮挡到AC 的第几层？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)解：设太阳光线GB 交AC 于点F ，过F 作FH ⊥BD 于H ，AC ＝BD ＝3×10＝30 m ，FH ＝CD ＝30 m ，∠BFH ＝∠α＝30°，在RtBFH 中，tan ∠BFH ＝BH FH ＝BH 30＝33，∴BH ＝30×33＝103≈10×1.7＝17，∴FC ＝HD ＝BD －BH ≈30－17＝13，∵133≈4.3，所以在四层的上面，即第五层．答：此刻楼BD 的影子会遮挡到楼AC 的5层．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(2019·深圳)如图所示，某施工队要测量隧道长度BC ，AD ＝600米，AD ⊥BC ，施工队站在点D 处看向B ，测得仰角为45°，再由D 走到E 处测量，DE ∥AC ，ED ＝500米，测得仰角为53°，求隧道BC 的长．(sin 53°≈45，cos 53°≈ 35，tan 53°≈43)解：在RtABD 中，AB ＝AD ＝600(米)，作EM ⊥AC 于M ，则AM ＝DE ＝500(米)，∴BM ＝100米，在Rt △CEM 中，tan 53°＝CM EM ＝CM 600＝43，∴CM ＝800(米)，∴BC ＝CM －BM ＝800－100＝700(米)．答：隧道BC 长为700米．19．(2019·广元)如图，某海监船以60海里/小时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡查此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/小时的速度追击，在D 处海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向．(以下结果保留根号)(1)求B ，C 两处之间的距离；(2)求海监船追到可疑船只所用的时间．解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E ，在Rt △BCE 中，∵∠BCE ＝30°，∴BE ＝BC ×sin ∠BCE ＝12BC ，CE ＝BC ×cos ∠BCE ＝32BC ，在Rt △ACE 中， ∵∠A ＝45°.∴AE ＝CE ＝32BC ，∵AB ＝60×1.5＝90，∴AE －BE ＝32BC －12BC ＝90，解得BC ＝90(3＋1)．故B ，C 相距(903＋90)海里．(2)过点D 作DF ⊥AB 于F ，由(1)，得DF ＝CE ＝32BC ，∴DF ＝135＋453，在Rt △BDF 中，∠DBF ＝30°，∴BD ＝2DF ＝270＋903，∴海监船追到可疑船只所用的时间为(270＋903)÷90＝(3＋3)h.20.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，DE ⊥BC 于E ，连接BD.若tan C ＝2，BE ＝3，CE ＝2，求点B 到CD 的距离．解：过点B 作BF ⊥CD ，垂足为F ，则∠BFC ＝90°.∵DE ⊥BC ，∴∠DEC ＝∠DEB ＝90°，在Rt △DEC 中，∵tan C ＝2，EC ＝2，∴DE ＝4.在Rt △BFC 中，∵tan C ＝2，∴BF ＝2FC ，设BF ＝x ，则FC ＝12x ，∵BF 2＋FC 2＝BC 2，∴x 2＋(12x)2＝(3＋2)2，解得x ＝25，即BF ＝2 5.答：点B 到CD 的距离是2 5.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上． (1)求证：△ABF ∽△DFE ；(2)若sin ∠DFE ＝13，求tan ∠EBC 的值．(1)证明：∵∠A ＝∠D ＝90°，∠ABF 与∠DFE 都与∠AFB 互余，∴∠ABF ＝∠DFE ，∴△ABF ∽△DFE ；(2)解：∵sin ∠DFE ＝DE EF ＝13，∴设DE ＝k .则EF ＝CE ＝3k ，AB ＝CD ＝4k ，∴DF ＝EF 2－DE 2＝22k ，由△ABF ∽△DFE ，得AF DE ＝AB DF ，即AF k ＝4k22k ，∴AF ＝2k ，∴BC ＝AD ＝2k ＋22k ＝32k ，∴tan ∠EBC ＝CE BC ＝3k 32k ＝22. 22．小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC 的坡角为30°，AC 长332米，钓竿AO 的倾斜角是60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B 与河堤下端C 之间的距离．解：如图，延长OA 交直线BC 于点D ，∵AO 的倾斜角是60°，∴∠ODB ＝60°.∵∠ACD ＝30°，∴∠CAD ＝180°－∠ODB －∠ACD ＝90°.在Rt △ACD 中，AD ＝AC·tan ∠ACD ＝332·33＝32(米)．∴CD ＝2AD ＝3(米)．又∵∠O ＝60°，∴△BOD 为等边三角形．∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋32＝4.5(米)．∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5米．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米．六、(本大题共12分)23．在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验．表盘是△ABC，其中AB＝AC，∠BAC ＝120°，在点A处有一束红外光线AP，从AB开始，绕点A逆时针匀速旋转，每秒钟旋转15°，到达AC后立即以相同旋转速度返回AB，到达后立即重复上述旋转过程．小明通过实验发现，光线从AB 处旋转开始计时，旋转1秒，此时光线AP交BC边于点M，BM的长为(203－20) cm.(1)求AB的长；(2)从AB处旋转开始计时，若旋转6秒，此时光线AP与BC边的交点在什么位置？若旋转2 030秒，交点又在什么位置？请说明理由．解：(1)如图①，过A点作AD⊥BC，垂足为D.∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝30°.令AB＝2t cm.在Rt△ABD中，AD＝12AB＝t，BD＝32AB＝3t.在Rt AMD中，∵∠AMD＝∠ABC＋∠BAM＝45°，∴MD＝AD＝t.∵BM＝BD－MD.即3t－t＝203－20.解得t＝20.∴AB＝2×20＝40 cm.答：AB的长为40 cm.(2)如图②，当光线旋转6秒，设AP交BC于点N，此时∠BAN＝15°×6＝90°.在Rt△ABN中，BN＝ABcos 30°＝4032＝8033cm.∴光线AP旋转6秒，与BC的交点N距点B8033cm处．如图③，设光线AP旋转2 030秒后光线与BC的交点为Q.由题意可知，光线从边AB开始到第一次回到AB处需8×2＝16秒，而2 030＝126×16＋14，即AP旋转2 030秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.旋转14s的过程是B→C：8s，C→Q：6s，因此CQ＝BN＝8033cm，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴BC＝2ABcos 30°＝2×40×32＝40 3 cm，∴BQ＝BC－CQ＝403－8033＝4033cm.答：光线AP旋转2 030秒后，与BC的交点Q在距点B的4033cm处．第二章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知抛物线y＝x2＋ax＋b与x轴的交点坐标为(－1，0)和(－3，0)，则方程x2＋ax＋b＝0的解是( B )A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝－1，x2＝－3C．x＝－3 D．x＝32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝6 cm，动点P从点C开始沿CA以1 cm/s 的速度向A点运动，同时动点Q从点C开始沿CB以2 cm/s的速度向B点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，则运动过程中所构成的△CPQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象大致是( C )3．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t ＋1.则下列说法中正确的是( D )A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同B．点火后24 s火箭落于地面C．点火后10 s的升空高度为139 mD．火箭升空的最大高度为145 m4．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限，则(A)A．a>0，b>0，c＝0 B．a>0，b<0，c＝0C．a<0，b>0，c＝0 D．a<0，b<0，c＝05．(2019·烟台)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的y与x的部分对应值如下表，下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2; ③当0<x<4时，y>0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A(x1，2)，B(B)A.2 B．36．(2019·巴中)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论①b2>4ac，②abc<0，③2a＋b －c >0，④a ＋b ＋c <0.其中正确的是( A )A ．①④B ．②④C ．②③D ．①②③④二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知一条抛物线的开口大小与y ＝x 2相同但方向相反，且顶点坐标是(2，3)，则该抛物线的表达式是 y ＝－x 2＋4x －1 .8．飞机着陆后滑行的距离y (单位：m)关于滑行时间t (单位：s)的函数表达式是y ＝60t －32t 2，在飞机着陆滑行中，最后4 s 滑行的距离是 24 m.9．若二次函数y ＝2x 2－4x －1的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，则1x 1＋1x 2的值为－4 .10．如图，已知△OBC 是等腰直角三角形，∠OCB ＝90°，若点B 的坐标为(4，0)，点C 在第一象限，则经过O ，B ，C 三点的抛物线的表达式是 y ＝－12x 2＋2x .11．已知二次函数y ＝ax 2＋2ax ＋3a 2＋3(a ≠0)(其中x 是自变量)，当x ≥2时，y 随x 的增大而增大，且－2≤x ≤1时，y 的最大值为9，则a 的值是__1__．12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2＋bx(a>0)的顶点为C ，与x 轴的正半轴交于点A ，它的对称轴与抛物线y ＝ax 2(a>0)交于点B.若四边形ABOC 是正方形，则b 的值是－2 .三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．已知当x ＝2时，抛物线y ＝a(x －h)2有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的表达式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．解：当x ＝2时，有最大值，所以h ＝2.此抛物线过(1，－3)，所以－3＝a(1－2)2，解得a ＝－3.此抛物线的表达式为y ＝－3(x －2)2.当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．14．已知抛物线y ＝－3x 2经过平移经过点(0，0)和(1，9)，求出平移后抛物线的表达式，并写出它的对称轴和顶点坐标．解：设平移后抛物线的表达式为y ＝－3x 2＋bx ＋c ，将点(0，0)和(1，9)的坐标代入，得⎩⎨⎧c ＝0，－3＋b ＋c ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝0.∴平移后抛物线的表达式为y ＝－3x 2＋12x.∵y ＝－3x 2＋12x ＝－3(x －2)2＋12，∴对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，12)．15.已知抛物线y ＝－a(x －2)2＋3经过点(1，2)．(1)求a 的值；(2)若点A(m ，y 1)，B(n ，y 2)(m ＞n ＞2)都在该抛物线上，试比较y 1与y 2的大小．解：(1)把(1，2)代入y ＝－a(x －2)2＋3，得2＝－a(1－2)2＋3，解得a ＝1；(2)由(1)知原抛物线的表达式为y ＝－(x －2)2＋3，其开口向下，对称轴为直线x ＝2， ∴当x ＞2时，y 随x 的增大而减小． ∵m ＞n ＞2，∴y 1＜y 2.16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，边长为2的正方形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，二次函数y ＝－23x 2＋bx ＋c 的图象经过B ，C 两点．(1)求该二次函数的表达式；(2)结合函数的图象探索，当y ＞0时，x 的取值范围．解：(1)由题意可得B(2，2)，C(0，2)，将B ，C 坐标代入y ＝－23x 2＋bx ＋c ，解得c ＝2，b ＝43，所以二次函数的表达式是y ＝－23x 2＋43x ＋2.(2)令y ＝0，解－23x 2＋43x ＋2＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，由图象可知：y ＞0时，x 的取值范围是－1＜x ＜3.17．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)与x 轴交于点A(－5，0)和点B(3，0)，与y 轴交于点C.(1)求该抛物线的表达式；(2)若点E 为x 轴下方抛物线上的一动点，当S △ABE ＝S △ABC 时，求点E 的坐标．解：(1)∵抛物线经过A ，B 两点，∴把A(－5，0)，B(3，0)代入y ＝ax 2＋bx －5，得⎩⎨⎧25a －5b －5＝0，9a ＋3b －5＝0，解得⎩⎨⎧a ＝13，b ＝23，∴该抛物线的表达式为y ＝13x 2＋23x －5.(2)∵y ＝13x 2＋23x －5，∴令x ＝0，则y ＝－5.∴C 点的坐标为(0，－5)，∵S △ABE ＝S △ABC ，∴点E的纵坐标与点C 的纵坐标相等，即点E 的纵坐标为－5，令13x 2＋23x －5＝－5，解得x 1＝－2，x 2＝0(舍去)，∴点E 的坐标为(－2，－5)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18．已知二次函数y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m.(1)求证：此二次函数图象与x 轴必有两个不同的交点；(2)若此二次函数图象与直线y ＝x －3m ＋4的一个交点在y 轴上，求m 的值．(1)证明：令y ＝0，有x 2－(2m －1)x ＋m 2－m ＝0，Δ＝b 2－4ac ＝(2m －1)2－4(m 2－m)＝1＞0，∴结论成立；(2)解：令x ＝0，代入y ＝x 2－(2m －1)x ＋m 2－m 与y ＝x －3m ＋4，得m 2－m ＝－3m ＋4，∴m ＝－1＋5或－1－ 5.19．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看作一点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图．(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4 m ，在一次表演中人梯到起点A 的水平距离为4 m ，问这次表演是否成功？请说明理由．解：(1)∵y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝⎛⎭⎫x －522＋194，∴该演员弹跳高度的最大值为194m ； (2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4，∴这次表演是成功的．20．如图，已知抛物线y ＝ax 2－4x ＋c 经过点A(0，－6)和B(3，－9)．(1)求出抛物线的表达式；(2)写出抛物线的对称轴及顶点坐标；(3)点P(m ，m)(其中m ＞0)与点Q 均在抛物线上，且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 的坐标．解：(1)依题意有⎩⎨⎧a ×02－4×0＋c ＝－6，a ×32－4×3＋c ＝－9，即⎩⎨⎧c ＝－6，9a －12＋c ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－6.∴抛物线的表达式为y ＝x 2－4x －6.(2)把y ＝x 2－4x －6配方得y ＝(x －2)2－10，∴对称轴为直线x ＝2，顶点坐标(2，－10)．(3)由点P(m ，m)在抛物线上，有m ＝m 2－4m －6，即m 2－5m －6＝0.∴m 1＝6或m 2＝－1(舍去)，∴m ＝6，∴P 点的坐标为(6，6)．∵点P ，Q 均在抛物线上，且关于对称轴x ＝2对称，∴Q 点的坐标为(－2，6)．五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．把抛物线y ＝12x 2平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点A(－6，0)和原点O(0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线y ＝12x 2交于点Q.(1)求顶点P 的坐标； (2)写出平移过程；(3)求图中阴影部分的面积．解：(1)设抛物线m 的表达式为y ＝12x 2＋bx ＋c ，把点A(－6，0)，原点O(0，0)代入，得b ＝3，c＝0，∴抛物线m 的表达式为y ＝12x 2＋3x ＝12(x ＋3)2－92，所以顶点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫－3，－92. (2)把抛物线y ＝12x 2先向左平移3个单位长度，再向下平移92个单位长度即可得到抛物线y ＝12(x ＋3)2－92.(3)Q 点横坐标为－3，代入y ＝12x 2，可得Q ⎝⎛⎭⎫－3，92，图中阴影部分的面积＝S △OPQ ＝12×3×9＝272. 22．(2019·南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本．已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元． (1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加1支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价售，笔记本一律按原价销售．学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等奖学生多少人时，购买奖品总金额最少，最少为多少元？解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x ，y 元，根据题意得，⎩⎨⎧2x ＋3y ＝38，4x ＋5y ＝70，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝6.答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；(2)设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本的总金额为w 元， ①当30≤b ≤50时，a ＝10－0.1(b －30)＝－0.1b ＋13，w ＝b(－0.1b ＋13)＋6(100－b)＝－0.1b 2＋7b ＋600＝－0.1(b －35)2＋722.5，∵当b ＝30时，w ＝720，当b ＝50时，w ＝700， ∴当30≤b ≤50时，700≤w ≤722.5；②当50<b ≤60时，a ＝8，w ＝8b ＋6(100－b)＝2b ＋600，700<w ≤720，∴当30≤b ≤60时，w 的最小值为700元．答：这次奖励一等奖学生50人时，购买的奖品总金额最少，最少为700元．六、(本大题共12分)23．(2019·新疆)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (－1，0)，B (4，0)，C (0，4)三点． (1)求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； (2)将(1)中的抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移h (h >0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点D ′在△ABC 内，求h 的取值范围；(3)点P 为线段BC 上一动点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作x 轴的垂线交(1)中的抛物线于点Q ，当△PQC 与△ABC 相似时，求△PQC 的面积．题图答图解：(1)函数表达式为y ＝a(x ＋1)(x －4)＝a(x 2－3x －4)，即－4a ＝4，解得a ＝－1，故抛物线的表达式为y ＝－x 2＋3x ＋4，顶点D(32，254)；(2)抛物线向下平移154个单位长度，再向左平移h(h>0)个单位长度，得到新抛物线的顶点D' (32－h ，52)，将点A ，C 的坐标代入一次函数表达式并解得直线AC 的表达式为y ＝4x ＋4，将点D' 坐标代入直线AC 的表达式得：52＝4(32－h)＋4，解得h ＝158，故0<h<158；(3)过点P 作y 轴的平行线交抛物线和x 轴于点Q ，H ，∵OB ＝OC ＝4，∴∠PBA ＝∠OCB ＝45°＝∠QPC ，直线BC 的表达式为y ＝－x ＋4，则AB ＝5，BC ＝42，AC ＝17，S ABC ＝12×5×4＝10，设点Q(m ，－m 2＋3m ＋4)，点P(m ，－m ＋4)，CP ＝2m ，PQ ＝－m 2＋3m ＋4＋m －4＝－m 2＋4m ，①当△CPQ ∽△CBA ，PC BC ＝PQ AB ，即2m42＝－m 2＋4m 5，解得m ＝114，相似比为PC BC ＝1116，②当△CPQ ∽△ACB ，同理可得相似比为PC AB ＝12225，利用面积比等于相似比的平方可得S PQC＝10×(1116)2＝605128或SPQC ＝10×(12225)2＝576125. 第三章检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)1．已知⊙P 的半径为4，圆心P 的坐标为(1，2)，点Q 的坐标为(0，5)，则点Q 与⊙P 位置关系是( C )A ．点Q 在⊙P 外B ．点Q 在⊙P 上C ．点Q 在⊙P 内D ．不能确定2．如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，若∠ABC ＝40°，则∠BOD 等于( D ) A ．20° B ．40° C ．50° D.80°3．如图，⊙O 的半径为3，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则BD ︵的长为( C )A ．πB.32πC ．2πD ．3π4．同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长之比为( B )A ．3∶4B .3∶2C ．2∶ 3D ．1∶25．如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD ⊥AO 于点E ，连接BC ，过点O 作OF ⊥BC 于点F ，若BD ＝8 cm ，AE ＝2 cm ，则OF 的长度是( D )A ．3 cmB . 6 cmC ．2.5 cmD . 5 cm 6．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( B )A .3＋12B .3－32C .3＋13D .3－33二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝138°，则它的一个外角∠DCE 等于69° . 8．如图，量角器的0度刻度线为AB ，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C ，直尺另一边交量角器于点A ，D ，量得AD ＝10 cm ，点D 在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为533 cm . 9．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在BC ︵上(不与点B ，C 重合)，连接BE ，CE.若∠D ＝40°，则∠BEC ＝115度．10．(2019·内江)如图，在平行四边形ABCD 中，AB<AD ，∠A ＝150°，CD ＝4，以CD 为直径的⊙O 交AD 于点E ，则图中阴影部分的面积为2π3＋ 3 ． 11．如图，P 是反比例函数y ＝4x (x ＞0)的图象上一点，以点P 为圆心、1个单位长度为半径作⊙P ，当⊙P 与直线y ＝3相切时，点P 的坐标为 (1，4)或(2，2) ．12．(2019·包头)如图，BD 是⊙O 的直径，A 是⊙O 外一点，点C 在⊙O 上，AC 与⊙O 相切于点C ，∠CAB ＝90°，若BD ＝6，AB ＝4，∠ABC ＝∠CBD ，则弦BC 的长为．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠A ＝45°，BD 是直径，BD ＝2，连接CD ，求BC 的长．解：在⊙O 中，∵∠A ＝45°，∴∠D ＝45°. ∵BD 为⊙O 的直径， ∴∠BCD ＝90°， ∴BC ＝BD·sin 45°＝2×22＝ 2. 14．如图，已知CD 平分∠ACB ，DE ∥AC.求证：DE ＝BC.证明：∵CD 平分∠ACB ，∴∠ACD ＝∠BCD ，∴BD ︵＝AD ︵，∵DE ∥AC ，∴∠ACD ＝∠CDE ，∴AD ︵＝CE ︵，∴BD ︵＝CE ︵，∴DE ︵＝BC ︵，∴DE ＝BC.15．如图，两个同心圆中，大圆的弦AB ，AC 分别切小圆于点D ，E ，△ABC 的周长为12 cm ，求△ADE 的周长．解：连接OD ，OE.∵AB ，AC 分别切小圆于点D ，E ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AD ＝DB ，AE ＝EC ， ∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∴C △ADE ＝12C △ABC ＝12×12＝6 cm .16．如图所示，⊙O 的直径AB 长为6，弦AC 的长为2，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求四边形ADBC 的面积．解：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABC 中，由勾股定理，得 BC ＝AB 2－AC 2＝62－22＝4 2. 又∵CD 平分∠ACB ， ∴AD ︵＝BD ︵，∴AD ＝BD.在Rt △ABD 中，由勾股定理，得AD ＝BD ＝22AB ＝22×6＝3 2. ∴S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝42＋9，∴四边形ADBC 的面积为42＋9.17．如图，点I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交BC 于点D ，交△ABC 的外接圆于点E.求证：IE 2＝AE·DE.证明：连接BE ，BI.∵I 为△ABC 的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又∵∠6＝∠1＋∠3，∠IBE ＝∠4＋∠5， ∠5＝∠2＝∠1，∴∠IBE ＝∠6，∴IE ＝BE. ∵∠5＝∠1，∠E ＝∠E ，∴△BED∽△AEB，∴BEDE＝AEBE，∴BE2＝AE·DE，∴IE2＝AE·DE.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，在直角坐标系中，点O′的坐标为(－2，0)，⊙O′与x轴相交于原点O和点A，B，C 两点的坐标分别为(0，b)，(1，0)．(1)当b＝3时，求经过B，C两点的直线的表达式；(2)当B点在y轴上运动时，直线BC与⊙O′有哪几种位置关系？并求出每种位置关系时b的取值范围．解：(1)直线BC表达式为y＝－3x＋3.(2)当BC切⊙O′于第二象限时，记切点为点D.易得DC＝ 5.∵BO＝BD＝b，∴BC＝5－b.12＋b2＝(5－b)2，得b＝25 5.同理当BC切⊙O′于第三象限D1点时，可求得b＝－25 5.故当b＞255或b＜－255时，直线BC与⊙O′相离；当b＝255或－255时，直线BC与⊙O′相切；当－255＜b＜255时，直线BC与⊙O′相交．19．(2018·南充)如图，C是⊙O上一点，点P在直径AB的延长线上，⊙O的半径为3，PB＝2，PC＝4.(1)求证：PC是⊙O的切线．(2)求tan∠CAB的值．(1)证明：连接OC，BC，∵⊙O的半径为3，PB＝2，∴OC＝OB＝3，OP＝OB＋PB＝5.∵PC＝4，∴OC2＋PC2＝OP2，∴△OCP是直角三角形，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．(2)解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90° ，∴∠ACO＋∠OCB＝90°，∵OC⊥PC，∴∠BCP＋∠OCB ＝90°，∴∠BCP＝∠ACO.∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠A＝∠BCP，在△PBC和△PCA中，∠BCP＝∠A，∠P＝∠P，∴△PBC∽△PCA，∴BCAC＝PBPC＝24＝12，∴tan∠CAB＝BC AC＝12.20．(齐齐哈尔中考)如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OE∥BD，连接BE，DE，BD，设BE交AC于点F，若∠DEB＝∠DBC.(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)若BF＝BC＝2，求图中阴影部分的面积．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.又∵∠A＝∠DEB，∠DEB＝∠DBC，∴∠A＝∠DBC，∴∠DBC＋∠ABD＝90°，即∠ABC＝90°∴BC是⊙O的切线．(2)解：∵BF＝BC＝2且∠ADB＝90°，∴∠CBD＝∠FBD，又∵OE∥BD，∴∠FBD＝∠OEB.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE，∴∠CBD＝∠DBE＝∠OBE＝13∠ABC＝13×90°＝30°，∴∠C＝60°，∴AB＝3BC＝23，∴⊙O的半径为3，连接OD，∴阴影部分面积为S扇形OBD－S△OBD＝16π×3－34×3＝π2－334.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．(2019·安顺)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E 两点，过点D作DH⊥AC于点H.(1)判断DH与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)求证：点H为CE的中点；(3)若BC＝10，cos C＝55，求AE的长．(1)解：DH与⊙O相切．理由：连接OD，AD，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD∥AC，∵DH⊥AC，∴DH⊥OD，∴DH为⊙O的切线．(2)证明：连接DE，∵A，B，D，E四点共圆，∴∠DEC＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠DEC＝∠C，∴CD＝ED，∵DH⊥CE，∴点H为CE的中点．(3)解：CD＝12BC＝5，∵cos C＝CDAC＝55，∴AC＝55，∵cos C＝CHCD＝55，∴CH＝5，∴CE＝2CH ＝25，∴AE ＝AC －CE ＝3 5.22．如图，在Rt △ABC 与Rt △OCD 中，∠ACB ＝∠DCO ＝90°，点O 为AB 的中点．(1)求证：∠B ＝∠ACD ；(2)已知点E 在AB 上，且BC 2＝AB ·BE . ①若tan ∠ACD ＝34，BC ＝10，求CE 的长；②试判断CD 与以A 为圆心，AE 为半径的⊙A 的位置关系，并请说明理由．(1)证明：∵∠ACB ＝∠DCO ＝90°，∴∠ACB －∠ACO ＝∠DCO －∠ACO ，即∠ACD ＝∠OCB ；又∵点O 是AB 的中点，∴OC ＝OB ， ∴∠OCB ＝∠B ， ∴∠B ＝∠ACD .(2)解：①∵BC 2＝AB ·BE ，∴BC AB ＝BEBC.∵∠B ＝∠B ，∴△ABC ∽△CBE ，∴∠ACB ＝∠CEB ＝90°. ∵∠ACD ＝∠B ，∴tan ∠ACD ＝tan B ＝34，设BE ＝4x ，则CE ＝3x .由勾股定理，可知BE 2＋CE 2＝BC 2， ∴(4x )2＋(3x )2＝100，∴解得x ＝2，∴CE ＝6.②CD 与⊙A 相切．理由如下：过点A 作AF ⊥CD 于点F .∵∠CEB ＝90°，∴∠B ＋∠ECB ＝90°. ∵∠ACE ＋∠ECB ＝90°，∴∠B ＝∠ACE .∵∠ACD ＝∠B ，∴∠ACD ＝∠ACE ，∴CA 平分∠DCE .∵AF ⊥CD ，AE ⊥CE ，∴AF ＝AE ，∴直线CD 与⊙A 相切．六、(本大题共12分)23．(2019·荆州)如图AB 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，点P 是半径OB 上一动点(不与O ，B 重合)，过点P 作射线l ⊥AB ，分别交弦BC ，BC ︵于D ，E 两点，在射线l 上取点F ，使FC ＝FD .(1)求证：FC 是⊙O 的切线； (2)当点E 是BC ︵的中点时，①若∠BAC ＝60°，判断O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由； ②若tan ∠ABC ＝34，且AB ＝20，求DE 的长．(1)证明：连接OC ，∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∵PF ⊥AB ，∴∠BPD ＝90°，∴∠OBC ＋∠BDP ＝90°，∵FC ＝FD, ∴∠FCD ＝∠FDC ，∵∠FDC ＝∠BDP ，∴∠FCD ＝∠BDP ，∴∠OCB ＋∠FCD ＝90°，∴OC ⊥FC ，FC 是⊙O 的切线．(2)解：连接OC ，OE ，BE ，CE ，OE 与BC 交于H. ①以O ，B ，E ，C 为顶点的四边形是菱形．理由：∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠BAC ＝60°，∴∠BOC ＝120°，∵点E 是BC ︵的中点，∴∠BOE ＝∠COE ＝60°，∵OB ＝OE ＝OC ，∴△BOE ，△COE 均为等边三角形，∴OB ＝BE ＝CE ＝OC ，∴四边形BOCE 是菱形．②∵AC BC ＝tan ∠ABC ＝34，设AC ＝3k ，BC ＝4k ，k>0.由AC 2＋BC 2＝AB 2，即(3k)2＋(4k)2＝202，解得k ＝4，∴AC ＝12，BC ＝16，∵点E 是BC ︵的中心，∴OE ⊥BC ，BH ＝CH ＝8，∵S △BOE ＝12OE·BH ＝12OB·PE ，即12×10×8＝12×10×PE ，∴PE ＝8，又OP ＝OE 2－PE 2＝6，∴BP ＝OB －OP ＝4，∵DP BP ＝tan ∠ABC ＝34，∴DP ＝34BP ＝3，∴DE ＝PE －DP ＝8－3＝5.期中检测题(BSD)(考试时间：120分钟满分：120分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项) 1．对于函数y ＝－2(x －m)2的图象，下列说法不正确的是( D ) A ．开口向下 B ．对称轴是x ＝m C ．最大值为0 D ．与y 轴不相交 2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，tan B ＝33，则Rt △ABC 的面积为( B ) A ．9 3B .923C ．9D ．183．如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离(即PC 的长)为( D )A ．40海里B ．60海里C ．203海里D ．403海里4．若抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x ＝1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点 ( B )A ．(－3，－6)B ．(－3，0)C ．(－3，－5)D ．(－3，－1)5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＜∠B ，沿△ABC 的中线CM 将△CMA 折叠，使点A 落在点D 处，若CD 恰好与MB 垂直，则tan A 的值为( A )A .33B . 3C .12D .136．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则|a －b ＋c|＋|2a ＋b|等于( D ) A ．a ＋b B ．a －2b C ．a －b D ．3a 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．某种型号的迫击炮发射炮弹时的飞行高度h(m )与飞行时间t(s )的关系满足h ＝－13t 2＋10t ，则经过 30 s ，发射的炮弹落地爆炸．8．在△ABC 中，∠A ，∠B 都是锐角，若⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝⎛⎭⎫cos B －122＝0，则∠C ＝ 90° . 9．若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为 0，2或－2 .10．(2019·盐城)在△ABC 中，BC ＝6＋2，∠C ＝45°，AB ＝2AC ，则AC 的长为__2__． 11．(2019·宿迁)若∠MAN ＝60°，△ABC 的顶点B 在射线AM 上，且AB ＝2，点C 在射线AN 上运动，当△ABC 是锐角三角形时，BC12．已知抛物线y ＝23x 2＋43x －2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .点P 在对称轴上，当△PBC的周长最小时，点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫－1，－43. 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．计算：cos 60°－sin 45°＋14tan 230°＋cos 30°－sin 30°.解：原式＝12－22＋14×⎝⎛⎭⎫332＋32－12＝32－22＋112. 14．由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝，AC ＝43，求AB 的长”．这时小明去翻看了标准答案，显示AB ＝10.你能否帮助小明通过计算说明污渍部分的内容是什么？解：过点C 作CH ⊥AB 于点H ，在Rt △ACH 中，CH ＝AC ·sin A ＝43×sin 30°＝23，AH ＝AC ·cos A ＝43×cos 30°＝6， ∴BH ＝AB －AH ＝4， ∴tan B ＝CH BH ＝32，∴污渍部分的内容是32. 15．(2019·凉山州)已知二次函数y ＝x 2＋x ＋a 的图象与x 轴交于A (x 1，0)，B (x 2，0)两点，且1x 21＋1x 22＝1，求a 的值．解：函数y ＝x 2＋x ＋a 的图象与x 轴交于A(x 1，0)，B(x 2，0)两点，∴x 1＋x 2＝－1，x 1·x 2 ＝a ，∵1x 21＋1x 22＝x 21＋x 22x 21x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2（x 1x 2）2＝1－2a a 2＝1，∴a ＝－1＋ 2 或a ＝－1－ 2. 16．在同一平面直角坐标系中，一次函数y ＝x －4与二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 图象交于点A (－1，m )．(1)求m ，c 的值；(2)求二次函数图象的对称轴和顶点坐标．解：(1)∵A 点在一次函数的图象上，∴m ＝－1－4＝－5.∴点A 的坐标为(－1，－5)，∵A 点在二次函数图象上，∴－5＝－1－2＋c ，解得c ＝－2. (2)由①可知二次函数表达式为y ＝－x 2＋2x －2＝－(x －1)2－1，∴二次函数的图象的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－1)．17．如图，某消防队在一居民楼前进行演习，消防员利用云梯成功救出点B 处的求救者后，又发现点B 正上方点C 处还有一名求救者，在消防车上点A 处测得点B 和点C 的仰角分别为45°和65°，点A 距地面2.5米，点B 距地面10.5米，为救出点C 处的求救者，云梯需要继续上升的高度BC 约为多少米？(结果保留整数，参考数据：tan 65°≈2.1，sin 65°≈0.9，cos 65°≈0.4，2≈1.4)解：作AH ⊥CN 于点H .在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，BH ＝10.5－2.5＝8(m)， ∴AH ＝BH ＝8(m)，在Rt △AHC 中，tan 65°＝CH AH， ∴CH ＝8×2.1≈17(m)，∴BC ＝CH －BH ＝17－8＝9(m)．四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．如图，直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，AB ⊥BC ，且点C 在x 轴上，若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 以C 为顶点，且经过点B ，求这条抛物线对应的函数表达式．解：∵直线y ＝x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ， ∴A (－2，0)，B (0，2)，∴△ABO 为等腰直角三角形．又∵AB ⊥BC ，∴△BCO 也为等腰直角三角形， ∴OC ＝OB ＝OA .∴C (2，0)，设抛物线对应的函数表达式为y ＝a (x －2)2，将点B (0，2)的坐标代入得2＝a (0－2)2，解得a ＝12，∴此抛物线对应的函数表达式为y ＝12(x －2)2，即y ＝12x 2－2x ＋2.19．如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC ，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD ⊥BC.(1)求sin B 的值；(2)现需要加装支架DE ，EF ，其中点E 在AB 上，BE ＝2AE ，且EF ⊥BC ，垂足为点F ，求支架DE 的长．解：(1)∵BD ＝DC ＝9，AD ＝6， ∴AB ＝92＋62＝313.∴sin B ＝AD AB ＝6313＝21313.(2)∵EF ∥AD ，BE ＝2AE ，∴△BEF ∽△BAD. ∴EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，∴EF 6＝BF 9＝23， ∴EF ＝4，BF ＝6，∴DF ＝3，∴在Rt △DEF 中，DE ＝42＋32＝5米.20．为美化校园，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28 m 长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(只围AB ，BC 两边)，设AB ＝x m .(1)若花园的面积为192 m 2，求x 的值；(2)若在P 处有一棵树与墙CD ，AD 的距离分别是15 m 和6 m ，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S 的最大值．解：(1)∵AB ＝x m ，则BC ＝(28－x)m ，∴x(28－x)＝192，解得x 1＝12，x 2＝16，∴当花园的面积为192 m 2时，x 的值为12 m 或16 m .(2)由题意可得S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196，∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，28－15＝13，∴6≤x≤13，∴当x＝13时，S最大＝－(13－14)2＋196＝195，∴花园面积S的最大值为195 m2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16米，AE＝8米，抛物线的顶点C到ED距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h＝－1128(t－19)2＋8(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？解：(1)抛物线的表达式为y＝－364x2＋11(－8≤x≤8)．(2)令－1128(t－19)2＋8＝11－5.解得t1＝35，t2＝3.∴当3≤t≤35时，水面到顶点C的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32小时．答：禁止船只通行时间为32小时．22．(2019·岳阳)慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省保存最好的古塔建筑之一．如图，小亮的目高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5米，她站在距离塔底中心B点a米远的F处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.(点D，B，F在同一水平线上，参考数据：sin 62.3°≈0.89，cos 62.3°≈0.46，tan 62.3°≈1.9)(1)求小亮与塔底中心的距离BD；(用含a的式子表示)(2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高度AB.解：(1)四边形CDBG，HBFE为矩形，∴GB＝CD＝1.7，HB＝EF＝1.5，∴GH＝0.2，在Rt AHE中，tan∠AEH＝AHHE，则AH＝HE·tan∠AEH≈1.9a，∴AG＝AH－GH＝1.9a－0.2，在Rt ACG中，∠ACG＝45°，∴CG＝AG＝1.9a－0.2，∴BD＝1.9a－0.2，答：小亮与塔底中心。

2022年精品解析北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评试题(含答案及详细解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、抛物线()212y x =++的顶点坐标是（）A ．（1，2）B ．（1，2-）C ．（1-，2）D ．（1-，2-） 2、正方形的面积y 与它的周长x 满足的函数关系是（）A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．反比例函数3、把抛物线2112y x =--向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是（） A ．212y x =- B ．21(1)12y x =-+- C ．2122y x =-- D ．21(1)12y x =--- 4、如图，抛物线()20y axbx c a =++≠与x 轴交于点()3,0，对称轴为直线1x =．结合图象分析下列结论： ①0abc <；②420a b c ++>；③20a c +<；④一元二次方程20cx bx a ++=的两根分别为113x =，21x =-；⑤若(),m n m n <为方程()()1320a x x +-+=的两个根，则1m <-且3n >．其中正确的结论有（）个．A ．2B ．3C ．4D ．55、已知抛物线()20y ax bx c a =++<经过()1,A x m ，()21,B x m -，()2,C x p ，()11,D x q -，若12x x <时，则m ，p ，q 的大小关系是（）A ．m p q <<B ．m p q <=C ．p q m =<D ．p q m <<6、在求解方程20(a 0)++=≠ax bx c 时，先在平面直角坐标系中画出函数2y ax bx c =++的图象，观察图象与x 轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）A ．13x =-，22x =B ．13x =-，23x =C ．12x =-，22x =D ．12x =-，23x =7、将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是（）A ．23y x =+B ．23y x =-C ．23y x =+（）D ．2-3)y x =（ 8、将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为（）A ．2(3)2y x =++B ．2(2)2y x =++C ．2(2)1y x =++D ．2(2)2y x =-+9、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的解为（）A ．x 1＝﹣3，x 2＝0B ．x 1＝3，x 2＝﹣1C ．x 1＝﹣3，x 2＝﹣1D ．x 1＝﹣3，x 2＝1 10、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．0abc <B ．0a b c -+<C ．420a b c -+>D ．2b a >第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知某函数的图象过 A （2，1），B （-1，-2）两点，下面有四个推断：①若此函数的图象为直线，则此函数的图象和直线y =4x 平行②若此函数的图象为双曲线，则此函数的图象分布在第一、三象限③若此函数的图象为抛物线，且开口向下，则此函数图象一定与y 轴的负半轴相交④若此函数的图象为抛物线，且开口向上，则此函数图象对称轴在直线x =1左侧，所有合理推断的序号是_________2、将抛物线22y x =向上平移一个单位长度，得到的抛物线的表达式为______．3、定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线()2y x m n =--+的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是______．4、点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）（x 1·x 2≥0）是y =ax 2（a ≠0）图象上的点，存在12x x -=1时，12y y -=1成立，写出一个满足条件a 的值______________5、请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（0，-5）的抛物线的表达式________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；（2）按此市场调节的观律，①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．2、抛物线y = ax2 + bx + c（a≠0）经过点A（ - 4，0）和点B（5，94）（1）求证:a + b = 14；（2）若抛物线经过点C（4，0）①点D在抛物线上，且点D在第二象限，并满足∠ABD= 2∠BAC，求点D的坐标；②直线y = kx - 2（k≠0）与抛物线交于M，N两点（点M在点N的左侧），点P是直线MN下方的抛物线上的一点，点Q在y轴上，且四边形MPNQ是平行四边形，求点Q的坐标3、一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y （件）与售价x （元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：（1）求y 与x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m 元()1060m ≤≤，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m 的取值范围．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++与直线AB 交于A ，B 两点，其中()0,1A ，()4,1B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P ，Q 为直线AB 下方抛物线上任意两点，且满足点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为1m +，过点P 和点Q 分别作y 轴的平行线交直线AB 于C 点和D 点，连接PQ ，求四边形PQDC 面积的最大值；（3）在（2）的条件下，将抛物线2y x bx c =++沿射线AB 平移1y ，点E 为点P 的对应点，点F 为1y 的对称轴上任意一点，点G 为平面直角坐标系内一点，当点B ，E ，F ，G 构成以EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．5、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝kx （k ≠0）相交于点M （1，1），N （3，3），且这条抛物线的对称轴为x ＝1．（1）若将该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变，求平移后的抛物线的表达式及k 的值．（2）设P 为直线y ＝kx 下方的抛物线上一点，求△PMN 面积的最大值及此时P 点的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据顶点式直接写出顶点坐标即可．【详解】解：抛物线()212y x =++的顶点坐标是（1-，2），故选：C ．【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是明确二次函数顶点式()2y x h k =-+的顶点坐标为()h k ，． 2、C由周长，先求出正方形的边长，然后结合面积公式，即可得到答案．【详解】解：∵正方形的周长为x ， ∴正方形的边长为4x ， ∴正方形的面积221()416x y x ==；故选：C ．【点睛】本题考查了函数表达式，解题的关键是掌握正方形的面积和周长公式．3、D【分析】抛物线平移法则为：左加右减，上加下减，由此判断即可．【详解】解：抛物线2112y x =--向右平移1个单位长度，得到新的抛物线的解析式是21(1)12y x =---，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象的平移问题，掌握平移法则是解题关键．4、C【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可．解：抛物线开口向下，因此a ＜0，对称轴为x =1＞0，因此a 、b 异号，所以b ＞0，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此c ＞0，所以abc ＜0，故①正确；当x =2时，y =4a +2b +c ＞0，故②正确；抛物线与x 轴交点（3，0），对称轴为x =1．因此另一个交点坐标为（-1，0），所以a -b +c =0，又x =-2b a=1，有2a +b =0，所以3a +c =0，而a ＜0，c ＞0，因此2a +c ＞0，故③不正确；由cx 2+bx +a =0可得方程的解为x =和x =， ∵抛物线与x 轴交点（3，0），（-1，0），即方程ax 2+bx +c =0的两根为x 1=3，x 2=-1；1==-， ∵12b a-= ∴2b a -=∵当1x =时，0a b c -+=∴3a +c =0，∴c =-3a ，113=-， ∴cx 2+bx +a =0的两根113x =，x 2=-1，故④正确；抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交点（3，0），（-1，0），且a ＜0，因此当y =-2时，相应的x 的值大于3，或者小于-1，即m ＜-1，n ＞3，故⑤正确；综上所述，正确的结论有：①②④⑤共4个，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的a 、b 、c 的值决定抛物线的位置是正确判断的关键．5、C【分析】由()1,A x m ，()21,B x m -纵坐标相同可以看出AB 关于对称轴对称，即对称轴为1212x x x +-=，再结合C 、D 坐标可得C 、D 关于对称轴对称，再根据12x x <，比较m 和p 的大小即可．【详解】∵()1,A x m ，()21,B x m - ∴对称轴为1212x x x +-=∴()2,C x p ，()11,D x q -关于对称轴对称，即p q =∵12x x < ∴12122212222x x x x x x +-+<<=∴()2,C x p 在对称轴右边当()1,A x m 也在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵12x x <，∴p q m =<当()21,B x m -在对称轴右边时此时由()20y ax bx c a =++<y 随x 的增大而减小，∵221x x -<，∴p q m =<∴p q m =<故选：C【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是根据AB 纵坐标相同可以看出A 、B 关于对称轴对称．6、D【分析】由题意观察2y ax bx c =++的图象，进而根据与x 轴的两个交点的横坐标进行分析即可.【详解】解：因为两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，两个交点的横坐标为：12x =-，23x =，所以方程的近似解是12x =-，23x =.故选：D.【点睛】本题考查二次函数图象与x 轴的交点问题，熟练掌握并结论方程思想可知与x 轴的两个交点的横坐标可以看作是方程20(a 0)++=≠ax bx c 的近似解进行分析.7、A【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位长度得到的抛物线是23y x =+故选：A【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，理解平移规律是解题的关键．8、B【分析】直接根据平移规律作答即可．【详解】解：将抛物线21y x =-向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后所得抛物线解析式为2(2)13y x =+-+，即2(2)2y x =++；故选：B ．【点睛】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9、D【分析】关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根即为二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴的交点的横坐标．【详解】解：根据图象知，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴的一个交点是（-3，0），对称轴是直线x =-1．设该抛物线与x 轴的另一个交点是（x ，0）．则32x -=-1，解得，x =1，即该抛物线与x 轴的另一个交点是（1，0）．所以关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根为x 1=-3，x 2=1．故选：D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，注意抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）间的转换．10、D【分析】由抛物线开口向下，得到a 小于0，再由对称轴在y 轴左侧，得到a 与b 同号，可得出b ＜0，又抛物线与y 轴交于正半轴，得到c 大于0，可判断选项A ；由x =-1时，对应的函数值大于0，可判断选项B ；由x =-2时对应的函数值小于0，可判断选项C ；由对称轴大于-1，利用对称轴公式得到b ＞2a ，可判断选项D ．【详解】解：由抛物线的开口向下，得到a ＜0，∵-2b a＜0， ∴b ＜0，由抛物线与y 轴交于正半轴，得到c ＞0，∴abc ＞0，故选项A 错误；∵x =-1时，对应的函数值大于0，∴a -b +c ＞0，故选项B 错误；∵x =-2时对应的函数值小于0，∴4a -2b +c ＜0，故选项C 错误；∵对称轴大于-1，且小于0，∴0＞-2b a＞-1，即0＞b ＞2a ，故选项D 正确，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），a 的符号由抛物线开口方向决定；b 的符号由对称轴的位置及a 的符号决定；c 的符号由抛物线与y 轴交点的位置决定；此外还要注意x =1，-1，2及-2对应函数值的正负来判断其式子的正确与否．二、填空题1、②④【分析】①利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数平移的性质解答；②待定系数法求出函数解析式，根据设反比例函数的图象性质解答；③根据题意画出图象，由此得到结论；④根据二次函数的对称性解答．【详解】①设一次函数解析式为：y =kx +b∵一次函数的图像过点A （2,1）,B （-1,-2），将两点坐标代入解析式，得：212k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得11k b =⎧⎨=-⎩，所以该一次函数的解析式为：y =x -1，∴此函数的图象和直线4y x =不平行，故①错误； ②设反比例函数解析式为k y x=，将点A 坐标代入，得212k =⨯=， ∴反比例函数解析式为2y x=，由2y x=，当1x =-时，2y =- 则点(1,2)B --也在反比例函数2y x =图象上， ∵k =2>0，∴函数的图象的两个分支分布在第一、三象限，故②正确；③∵函数的图象为抛物线，且开口向下，过(21)A ，，(12)B --，，当对称轴在直线12x =左侧时，抛物线不与y 轴的负半轴相交，如图1，故③错误；④函数的图象为抛物线，且开口向上，过(21)A ，，(12)B --，， ∵点A 在第一象限，点B 在第三象限，∴点A 与点B 不是抛物线上关于对称轴对称的两个点， ∴此函数图象对称轴在直线12x =左侧，故④正确；故答案为：②④【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象平移的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，熟记性质是解题的关键．2、221y x =+【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可得答案．【详解】∵抛物线22y x =向上平移1个单位长度，∴抛物线平移后的表达式为221y x =+，故答案为：221y x =+．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．3【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x =-+与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线()2y x m n =--+的顶点， ∴抛物线解析式为23y x =-+， ∴233y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩， ∴直线3y x =-+与抛物线23y x =-+的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．4、1a =【分析】由2y ax =可知图像一定过(0,0)，令10x =，10y =，由12x x -=1时，12y y -=1成立，取21x =，21y =，代入2y ax =中解出a 即可．【详解】∵2y ax =一定过(0,0)，∴令10x =，10y =， ∵12x x -=1时，12y y -=1成立，∴取21x =，21y =,∴211a =⨯，解得：1a =．故答案为：1a =．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，掌握二次函数图像上点的坐标特点是解题的关键．5、2--5y x x =（答案不唯一）【分析】设2y ax bx c =++，根据题意，c = -5，a ＞0，符合题意即可．【详解】设2y ax bx c =++，根据题意，c = -5，a ＞0，∴25y x x =--，故答案为：25y x x =--．【点睛】本题考查了二次函数解析式与各系数之间的关系，解答时，符合题意即可．三、解答题1、（1）9000千克；（2）①当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克，理由见解析；②最大利润售价为19元/千克，每日的最大利润为7500元，理由见解析【分析】（1）根据图形即可得出柑橘损坏的概率，再用整体1减去柑橘损坏的概率即可得出柑橘完好的概率，根据所得出柑橘完好的概率乘以这批柑橘的总质量即可．（2）①根据表格求出销售量y 与售价x 的函数关系式，代入x =16.5计算即可；②12天内售完9000千克完好的柑橘，求出日最大销售量即可求出售价的范围，再根据利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式即可；【详解】（1）由图可知损坏率在0.1上下波动，并趋于稳定故所求为()1000010.19000⨯-=千克（2）①设销售量y 与售价x 的函数关系式为y kx b =+由题意可得函数图像过()18,800及()17,850两点8001885017k b k b =+⎧⎨=+⎩得501700k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 的函数关系式为501700y x =-+把16.5x =代入，875y =∴当售价定为16.5元/千克，日销售量为875千克②依题意得：12天内售完9000千克柑橘故日销售量至少为：900075012=（千克） ∴501700750y x =-+≥解得19x ≤设利润为w 元，则2(9)(501700)50215015300w x x x x =-⨯-+=-+-∴对称轴为5.21=x∴当19x ≤时w 随x 的增大而增大∴当19x =时销售利润最大，最大利润为(199)(50191700)7500-⨯-⨯+=（元）【点睛】此题考查了利用频率估计概率，以及二次函数销售利润问题．解题的关键是在图中得到必要的信息，求出柑橘损坏的概率；并利用等量关系：利润=（售价-进价）×销售量求出利润与售价的函数关系式．2、（1）证明见解析；（2）①（-6,5）；②（0，0）【分析】（1）把A （ - 4，0）和点B （5，94）代入函数解析式计算即可；（2）先求出抛物线和直线AB 的解析式，求出直线AB 关于x 轴的对称直线AE ，则∠BAE = 2∠BAC ，再过B 作AE 的平行线与抛物线的交点即为D 点；（3）根据四边形对角线互相平分结合中点公式计算即可．【详解】（1）把A （ - 4，0）和点B （5，94）代入函数解析式得：164092554a b c a b c -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩ 两个方程相减得：9994a b +=，即a + b = 14 （2）∵抛物线经过点C （4，0） ∴1640164092554a b c a b c a b c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪++=⎩解得：1,0,44a b c ===- ∴抛物线解析式为2144y x =-①∵A （ - 4，0）和点B （5，94）∴直线AB 的解析式为114y x =+ ∴直线AB 与y 轴的交点F 坐标为（0,1） ∴点F 关于x 轴的对称点E 坐标为（0，-1） ∴∠EAC = ∠BAC ，直线AE 的解析式为114y x =-- ∴∠BAE = 2∠BACB 作AE 的平行线与抛物线的交点为D 点∴∠ABD = ∠BAE = 2∠BAC ∵直线AE 的解析式为114y x =--∴设BD 解析式为114y x b =-+代入B （5，94）得BD 解析式为1742y x =-+联立BD 与抛物线解析式得：21742144y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得594x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或65x y =-⎧⎨=⎩ ∴D 点坐标为（-6,5）②∵M 、N 、P 三个点在抛物线上，点Q 在y 轴上∴设222111(,4),(,4),(,4),(0,)444M m m N n n P p p Q q ---，∴MN 中点坐标为22(,4)28m n m n ++-PQ 中点坐标为211(,2)282p p q +-∵直线y = kx - 2（k ≠0）与抛物线交于设M ，N 两点∴22144y kx y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理得21204x kx --= ∴4,8m n k mn +==-∴222214()242288m n m n mn k +⎡⎤-=+--=-⎣⎦ ∴MN 中点坐标为2(2,22)k k - ∵四边形MPNQ 是平行四边形∴MN 和PQ 互相平分，即MN 、PQ 的中点是同一个点∴221221122282k p k p q ⎧=⎪⎪⎨⎪-=+-⎪⎩整理得221122(4)282k k q -=+-，解得0q =∴Q 点坐标为（0，0）．【点睛】本题考查二次函数与几何的综合题，涉及到直线的对称与平行、平行四边形的性质等知识点，与到两倍角问题通过对称构造倍角是解题的关键．3、（1）5012000y x =-+；（2）这一周该商场的最大利润为540000元，售价为120元；（3）2960m <≤【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x 的不等式组，求得x 的取值范围，再设利润为w 元，由w =（x -30）y ，列出w 关于x 的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；（3）根据题意列出利润w 关于售价x 的函数解析式，再根据函数的性质，列出m 的不等式进行解答便可．【详解】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b （k ≠0），把x =40，y =10000和x =50，y =9500代入得，4010000509500k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得，5012000k b =-⎧⎨=⎩，∴y=-50x +12000；（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，3015050120006000x x x ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≥⎩，解得，30≤x ≤120，设利润为w 元，根据题意得，w =（x -30）y =（x -30）（-50x +12000）=-50x 2+13500x -360000=-50（x -135）2+551250，∴对称轴为直线x =135， ∵-50＜0，∴当x ＜135时，w 随x 的增大而增大， ∵30≤x ≤120，且x 为正整数∴当x =120时，w 取最大值为：-50×（120-135）2+551250=540000，答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；（3）根据题意得，w =（x -30-m ）（-50x +12000）=-50x 2+（13500+50m ）x -360000-12000m ， ∴对称轴为x =-1350050100m+-=135+0.5m ，∵-50＜0，∴当x ＜135+0.5m 时，w 随x 的增大而增大，∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．对称轴x =135+0.5m ，m 大于等于10，则对称轴大于等于140，由于x 取整数，实际上x 是二次函数的离散整数点，只需保证x =150时利润大于x =149时即可满足要求，所以对称轴要大于149.5就可以了，故135+0.5m ＞149.5，解得m ＞29， ∵10≤m ≤60， ∴29＜m ≤60．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，二次函数的性质，待定系数法，关键是读懂题意，正确列出函数解析式和不等式组．4、（1）抛物线表达式为2912y x x =-+；（2）当32m =时，S 四边形PQDC 最大=154；（3）所有符合条件的点G的坐标（1914-，）或（194-，）或（311142-，311142-，．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式抛物线2y x bx c =++过()0,1A ，()4,1B -两点，代入坐标得：11641c b c =⎧⎨++=-⎩，解方程组即可；（2）根据点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为1m +，得出014mm ⎧⎨+⎩＜＜，解不等式组得出0m ＜＜3，用m表示点P 2912m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，点Q 255+122m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，用待定系数法求出AB 解析式为112y x =-+，用m 表示点C 112m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，点D 11+122m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，利用两点距离公式求出PC =24m m -+，QD =223m m -++，利用梯形面积公式求出S 四边形PQDC =2233153224m m m ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭即可；（3）根据勾股定理求出AB 22996512416y x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，根据平移4个单位，再向下平移2个单位，求出新抛物线212597416y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据32m =，求出点P 3722⎛⎫- ⎪⎝⎭，，与对应点E 111122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，平移后新抛物线对称轴为25=4x ，设点G 坐标为()G G x y ，，点F （254F y ，）分两类四种种情况，四边形BEFG 为菱形，BE =EF ，根据勾股定理222211112511114+1+22422F y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求出点F（251142-，，（251142-，），当点F（251142--，G 、F 、E 、B 坐标满足1125424G x +=+，1111122G y -=-- G（1914-，），点F（251142-，G 3、F 、E 、B 坐标满足31125424G x +=+，31111122G y -=--，得出G 3（194-，），四边形BEFG 为菱形，BE =BF ，根据勾股定理()22221111254+14+1224F y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，点F（2514-，，（254-，，点F（2514-，G 1、F 、E 、B 坐标满足11125424G x +=+，111112G y -=-- G 1（311142-，，点F（254-，G 2、F 、E 、B 坐标满足21125424G x +=+，21112G y -=--，得出G 2（311142-，．【详解】解：（1）∵抛物线2y x bx c =++过()0,1A ，()4,1B -两点，代入坐标得：11641c b c =⎧⎨++=-⎩，解得：192c b =⎧⎪⎨=-⎪⎩，抛物线表达式为2912y x x =-+；（2）∵点P ，Q 为直线AB 下方抛物线上任意两点，且满足点P 的横坐标为m ，点Q 的横坐标为1m +，∴014m m ⎧⎨+⎩＜＜解得0m ＜＜3，点P 2912m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，点Q 255+122m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，设AB 解析式为y kx b =+，代入坐标得：141b k b =⎧⎨+=-⎩，解得：112b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴AB 解析式为112y x =-+，∴点C 112m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，点D 11+122m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴PC =221911422m m m m m ⎛⎫-+--+=-+ ⎪⎝⎭，QD =221155232222m m m m m ⎛⎫-+---=-++ ⎪⎝⎭∴S 四边形PQDC =()()22221133151423322224PC QD m m m m m m m ⎛⎫⨯⨯+=-+-++=-++=--+ ⎪⎝⎭，当32m =时，S 四边形PQDC 最大=154；（3）∵AB22996512416y x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线向右平移4个单位，再向下平移2个单位， 212597416y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∵32m =，993714222-⨯+=-，∴点P 3722⎛⎫- ⎪⎝⎭，，对应点E 111122⎛⎫- ⎪⎝⎭，，平移后新抛物线对称轴为25=4x ，设点G 坐标为()G G x y ，，点F （254F y ，），分两类四种种情况，四边形BEFG 为菱形，BE =EF ，根据勾股定理222211112511114+1+22422F y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，112F y +=∴112F y =-或112F y =-，点F （251142-，，（251142-，，当点F （251142-，G 、F 、E 、B 坐标满足： ∴1125424G x +=+，解得194G x =，1111122G y -=--1G y =-∴G （1914-，）；点F （251142-，G 3、F 、E 、B 坐标满足： ∴31125424G x +=+，解得3194G x =，31111122G y -=--，解得3G y =-G 3（194-，；四边形BEFG 为菱形，BE =BF ，根据勾股定理()22221111254+14+1224F y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1F y +=，∴1F y =-或1F y =-，点F （2514-，，（254-，），点F （2514-，G 1、F 、E 、B 坐标满足： ∴11125424G x +=+，解得1314G x =，111112G y -=--1112G y =-∴G 1（311142-，；点F （254-，）时，点G 2、F 、E 、B 坐标满足： ∴21125424G x +=+，解得2314G x =，21112G y -=--，解得2112G y =-∴G 2（311142-，，综合所有符合条件的点G 的坐标（1914-，）或（194-，）或（311142-，（311142-，．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式与直线解析式，两点距离，梯形面积，二次函数顶点式最值，抛物线平移，菱形性质，图形与坐标，本题难度大，解题复杂，计算要求非常准确，考查学生多方面能力，知识掌握情况，阅读，分类，数形结合，运算，画图是中考难题． 5、（1）212y x x =-，1k =；（2）12PMN S ∆=，3(2,)2P【分析】（1）根据抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与直线y ＝kx （k ≠0）相交于点M （1，1），N （3，3），且这条抛物线的对称轴为x ＝1，利用待定系数法求出原来的原来的抛物线，然后根据平移后的抛物线经过原点，且对称轴不变进行求解即可；（2）过P 作PQ ∥y 轴，交MN 于Q ，设Q （t ，t ），则P （t ，21322x x -+），则PQ ＝213222t t -+-，求得S ＝﹣12（t ﹣2）2+12，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意得121933b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得12132a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎩，∴抛物线为21322y x x =-+，∵该抛物线平移使得其经过原点，且对称轴不变， ∴平移后的抛物线为y =12y 2−y 将M （1，1）代入y ＝kx 得k ＝1；（2）过P 作PQ ∥y 轴，交MN 于Q ，设Q （t ，t ），则P （t ，21322x x -+），则PQ ＝t ﹣（21322t t -+）＝213222t t -+-，∴S ＝12PQ ×（3﹣1）＝PQ ＝﹣12t 2+2t ﹣32＝﹣12（t ﹣2）2+12，∴当t ＝2时，△PMN 的面积最大，此时P （2，32），S △PMN ＝12．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数图像的平移，熟知相关知识是解题的关键．。

初中数学 PDF 北师大版九年级下册第二章阶段测试卷和答案

九年级阶段测试卷数学试题参考答案与评分标准（※ 若有其他正确解法或证法参照此标准赋分）一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11．2360yy 12．4 13．600 14． 2100181x15．1≤y ＜5 16．122,4x x 17．或 18．三、解答题（第19题10分，第20题12分，共22分）19．（1）12211,211x x …………………………………5分（2）121,3x x …………………………………10分 20.解：（1）根据题意得：△≥0且m ≠0 解得：m ≥-1且m ≠0∴m 的取值范围是m ≥-1且m ≠0 ……………………6分（2）当x =1时，m -2-1=0 解得：m =3 当m =3时，23210x x解得： ∴m 的值是3，另一个实数根是 ……………………12分四、解答题（第21题12分，第22题12分，共24分） 21. 解：（1）设抛物线的解析式为y =a (x -1)2+4∵抛物线经过点(0，3) ∴3=a (0-1)2+4解得：a =-1∴抛物线的解析式为y =-(x -1)2+4=-x ²+2x +3 ……………………6分1211,3x x 13x 0,220,222241m（2）如图所示(若所画抛物线没有经过点(2,3)，适当扣分)……………………9分（3）-1≤x ≤2 ……………………12分 22. 解：（1）根据题意得：解得：122m m∴m 的值是2 ……………………6分（2）当x =2时，4m -2(m +2)+2=0解得：m =1 ∴x ²-3x +2=0 解得：121,2x x即：AB +AD =3∴326ABCDL (12)分五、解答题（第23题12分，第24题12分，共24分） 23. 解：∵点A 在2y ax 上∴211a 解得：1a∴2yx∵点A 在2y kx 上∴-1=-k -2解得：1k ∴2yx当x =0时，y =-2∴D (0,-2)，即OD =2 ………………………6分 ∵22x x ∴121,2x x ∴B (2,-4)∴22420m m OABOADODBS SS11122222………………………12分 24. 解：设甬道的宽是x 米. ………………………1分………………………6分解得： ∵30＞18∴x =30不满足题意，应舍去答：甬道的宽是2米. ………………………12分六、解答题（满分12分）25. 解：设超市每天销售甲种文具获取的利润为w 元，下调的价格定位x 元. ………1分………………………6分∵a =-20＜0，抛物线开口向下∴当时，答：下调的价格定为1.5元时，可以使超市每天销售甲种文具获取的利润最大，最大利润是405元. ………………………12分七、解答题（满分12分）26. 解：（1）∵抛物线y =ax ²+bx +4经过(-1，0)，(4，0)两点∴ 解得： ∴抛物线的解析式为y =-x ²+3x +4 (4)分（2）①∵抛物线经过(-1，0)，(4，0)两点 ∴对称轴是 ∴∴ 过点D 作DM x 轴，过点E 作ENx 轴∴ ∵DB BE∴ 313181416025x x 1230,2x x 60101590.5xw x 0401644a b a b 13ab 90MDBDBM 90EBNDBM 14322x32OM 35422BM OB OM22060360x x ()5.120260=-⨯-=x 4053605.1605.1202=+⨯+⨯-=大w∴ 又∵DB =BE ， ∴△DBM ≌△BEN∴ ∴154522EOBS…………………………8分 ② 或 …………………………12分MDB EBN90DMBBNE 52BM EN45OE 210OE九年级阶段检测卷葫芦岛沈子涛一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列方程中，关于x 是一元二次方程的是 . A. 022=-x B.2152=+x xC. 1322+=-x x x D. 322-+x x2. 关于x 的一元二次方程()222(4)0a x x a -++-=中不含有常数项，则a 的值为 .A. 2B. -2C. 0D. 2± 3. 关于x 的一元二次方程0322=-+kx x 的根的情况是 .A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 无法确定 4. 用配方法解方程0122=--x x ，变形结果正确的是 .A. 43212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x B.43412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x C. 2117216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ D. 169412=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 5. 将抛物线27x y =向右平移3个单位长度后，所得的函数解析式为 . A. 372-=x y B. 372+=x y C. ()237-=x y D. ()237+=x y6. 在生物活动课上，某小组的学生将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了156件，若全组共有x 名学生，则根据题意可列方程为 . A. ()1561=+x x B. ()1561=-x x C.()156121=+x x D. ()156121=-x x7. 将二次函数1422-+=x x y 的图象向上平移，得到的函数图象与x 轴只有一个公共点，则平移的距离为.A. 1个单位长度B. 2个单位长度C. 3个单位长度D. 4个单位长度8. 在同一平面直角坐标系中，一次函数c ax y -=和二次函数()2c x a y +=的图象大致为 .A B C D9. 若二次函数c bx ax y ++=2（a ，b ，c 为常数且a ≠0）中的x 与y 的部分对应值如下表，下列结论正确的是 . A. 抛物线的开口方向向下 B. 当x ＞时，y 随x 的增大而大C. 若x 取()1212,x x x x ≠时，函数值相等，则x 取12x x +时，函数值是-2D. 当时，y ＜010. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为(-1，0)，(3，0)，与y 轴的交点在2和3之间（不包含端点），下列结论正确的是 . ①b c a +-＞0②230c b -=③-1＜a ＜④()1a m b -+＞0，其中m ＞3A. ①②③B. ①③④C. ①②④D. ②③④x -3 -2 -1 0 2 3 y28144-2-242127-021＜＜x -2132-二、填空题（每题3分，共24分）11. 将一元二次方程y (y +3)=-6化为一般形式是 .12. 若一个等腰三角形的两边长分别是方程2680x x -+=的两个根，则第三边的长是 .13. 飞机着陆后滑行的距离s (单位:米)与滑行的时间t (单位:秒)之间的函数关系式是s =60t -1.5t 2，则飞机着陆后滑行的最远距离是米.14. 某种物品的原价是每盒100元，经过两次降价后每盒81元，设两次下降的百分率都为x ，则可列方程为 .15. 二次函数245y x x =-+，若1＜x ＜4，则y 的取值范围是 .16. 若二次函数22y ax ax c =--的图象与x 轴的一个交点是(-2，0)，则方程220ax ax c --=的根是 .17. 如图，抛物线24y ax =-+与y 轴交于点C ，与一次函数2y kx k =-的图象交于A ，B 两点，点A 的纵坐标是2，P 是y 轴上的一个动点，连接BP ，若∠ABO =∠OPB ，则点P 的坐标是 .18. 如图，直线y =x +3分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，抛物线221y x x =-++与y 轴交于点C ，若点E 在抛物线的对称轴上运动，点F 在直线AB 上运动，则CE+EF 的最小值是 .第17题图第18题图三、解答题（19题10分，20题12分，共22分） 19. 解方程：（1）0742=--x x （2）()()22254x x -=-20. 关于x 的一元二次方程2210mx x --=有两个实数根1x ，2x .（1）求m 的取值范围；（2）若方程的一个实数根是1x =，求m 的值及另一个实数根. xyABOPC四、解答题（21题12分，22题12分，共24分）21. 抛物线c bx ax y ++=2经过点(0，3)，顶点坐标是(1，4). （1）求抛物线的解析式；（2）请在平面直角坐标系中画出函数的图象；（3）一次函数1y x =+与抛物线交于E ，F两点，当c bx ax ++2≥1+x ，请直接写出自变量x 的取值范围.22. 若平行四边形ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程()0222=++-x m mx 的两个实数根.（1）当m 为何值时，四边形ABCD 是菱形；（2）若AB 的长为2，求平行四边形ABCD 的周长是多少？五、解答题（23题12分，24题12分，共24分）23. 如图，二次函数()02≠=a ax y 与一次函数2-=kx y 的图象交于A ，B 两点，其中A (-1，-1)，求△OAB 的面积.24. 为响应“美化家园环境，创建文明城市”的号召，某社区计划将一块菱形荒地设计成一个花坛，菱形荒地的面积是160平方米，在菱形的两条对角线处分别修建一条横、纵向甬道，要求AB =18米，CD =14米，且各甬道的宽度相等，如图所示. 若甬道的面积是菱形面积的五分之二，求甬道的宽是多少米.六、解答题（共12分）25. 为了丰富假期生活，鹏鹏同学帮助妈妈一同经营文具超市，其中甲种文具的进货单价为9元，鹏鹏经过调查发现，当以15元的价格出售时，超市平均每天卖出甲种文具60件，若甲种文具的零售单价每降价0.5元，则每天就可多销售甲种文具10件，为了降价促销，鹏鹏与妈妈决定下调甲种文具的零售单价，在不考虑其他因素的影响下，当下调价格定为多少元时，可以使超市每天销售甲种文具获取的利润最大，此时最大利润是多少元.七、解答题（共14分）26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线24y ax bx =++与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A (-1，0)，B (4，0).（1）求抛物线的解析式；（2）D 是抛物线上的一个动点，连接DB ，将线段BD 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BE ，连接OE .①如图，若D 是抛物线的顶点，求△EOB 的面积；②若∠DBO =45°，请直接写出OE 的长.第26题图第26题图① 备用图x y ACB O xy A C BO。

2022年精品解析北师大版九年级数学下册第二章二次函数章节测试试题(含详解)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数章节测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、抛物线248y x x =+-的对称轴为直线（） A ．2x =-B ．2x =C ．4x =D ．4x =-2、已知点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）为抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c （a ≠0）上两点，且x 1＜x 2，则下列说法正确的是（） A ．若x 1+x 2＜4，则y 1＜y 2 B ．若x 1+x 2＞4，则y 1＜y 2 C ．若a （x 1+x 2﹣4）＞0，则y 1＞y 2 D ．若a （x 1+x 2﹣4）＜0，则y 1＞y 23、若点(2,7)A 在二次函数22y ax ax c =++的图象上，则下列各点中，一定在二次函数图象上的是（） A ．(4,7)-B ．(2,7)-C ．(0,7)D ．(2,7)-4、已知二次函数()20y axbx c a =++≠的图象如图所示，在下列五个结论中：①20a b -<；②0abc <；③0a b c ++<；④0a b c -+>；⑤420a b c ++>．其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-，对称轴l 如图所示，则下列结论：①0abc >；②0a b c -+=；③0a b c ++>；④420a b c ++<，其中所有正确的结论是（）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④6、小轩从如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc ＜0；②a ＋b ＋c ＜0；③4ac ﹣b 2＞0；④a 32＝b ；⑤b ＋2c ＞0．你认为其中正确信息的个数有（）A ．2B ．3C ．4D ．57、在平面直角坐标系中，已知点,M N 的坐标分别为()()1,3,3,3-，若抛物线2222y x mx m m =-+-+与线段MN 只有一个公共点，则m 的取值范围是（）A ．10m -<7172m+< B ．10m -<或m >C ．0m <7172m+< D ．71712m+- 8、下列各式中，y 是x 的二次函数的是（） A ．21y x =B ．211y x x=++C ．221y x =-D ．y 9、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝2．有以下结论：①abc ＜0；②5a +3b +c ＞0；③－35＜a ＜－25；④若点M (－9a ，y 1)，N (53a ，y 2)在抛物线上，则y 1＜y 2．其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．410、对于题目“抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤与直线2l ：y m =只有一个交点，则整数m 的值有几个”；你认为m 的值有（） A ．3个B ．5个C ．6个D ．7个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、抛物线y ＝ax 2﹣4ax +3a ﹣2（a ≠0）恒过定点，则定点的坐标为 _____．2、已知P (1x ，1)，Q (2x ，1)两点都在抛物线241y x x =-+上，那么12x x +=________．3、将抛物线y ＝2（x ＋2）2﹣5向左平移3个单位长度后，再沿x 轴翻折，则变换后所得抛物线的顶点坐标为________．4、将二次函数22y x =-的图像向上平移一个单位，再向右平移两个单位后，所得图像的函数解析式为___________________．5、二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围是_________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()28y a x h a =--的顶点为A ，702h <<．（1）若1a =，①点A 到x 轴的距离为_______；②求此抛物线与x 轴的两个交点之间的距离；（2）已知点A 到x 轴的距离为4，此抛物线与直线21y x =-+的两个交点分别为()11,B x y ，()22,C x y ，其中12x x <，若点(),y D D D x 在此抛物线上，当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<，求a 的值和h 的取值范围．2、抛物线y ＝ax 2＋bx －2（a ≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，抛物线的对称轴与x 轴相交于点H ，连接AC ，BC ．△ABC 绕点B 顺时针旋转一定角度后落在第一象限，当点C 的对应点C 1落在抛物线的对称轴上时，求此时点A 的对应点A 1的坐标；（3）如图2，过点C 作CE x ∥轴交抛物线于点E ，已知点D 在抛物线上且横坐标为72，在y 轴左侧的抛物线上有一点P ，满足∠PDC ＝∠EDC ，求点P 的坐标．3、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+m与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相交于A，B两点，点A（1，4）为二次函数图象的顶点，点B在x轴上．（1）求二次函数的解析式；（2）根据图象，求二次函数的函数值大于0时，自变量x的取值范围．4、为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为x m，面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？5、某企业投资100万元引进一条农产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元，但使用8年后生产线报废该，生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y万元，且y＝ax2+bx，若第1年的维修、保养费为2万元，第2年的为4万元．（1）求a的值；（2）小敏同学依题意判断，这条生产线在第四年能收回投资款，并在报废前能盈利100万元．你认为这个判断正确吗？请说明理由．-参考答案-一、单选题1、A【分析】先把抛物线化为顶点式的形式，再进行解答即可．【详解】解：∵抛物线y=x2+4x-8可化为y=（x+2）2-12，∴抛物线的对称轴是直线x=-2．故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．二次函数的顶点式为2=-+，则抛物线的对称轴为直线x ky a x k h()=，顶点坐标为(k，h) ．2、C【分析】先求出抛物线的对称轴为2x =，然后结合二次函数的开口方向，判断二次函数的增减性，即可得到答案．【详解】解：∵抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c ， ∴抛物线的对称轴为：422ax a=-=-，当点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）恰好关于2x =对称时，有1222x x +=， ∴124x x +=，即1240x x +-=， ∵x 1＜x 2， ∴122x x <<；∵抛物线的开口方向没有确定，则需要对a 进行讨论，故排除A 、B ；当0a >时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向下，此时距离2x =越远，y 值越小； ∵a （x 1+x 2﹣4）＞0， ∴1240x x +->，∴点P 2（x 2，y 2）距离直线2x =较远， ∴12y y >；当0a <时，抛物线y ＝﹣ax 2+4ax +c 的开口向上，此时距离2x =越远，y 值越大； ∵a （x 1+x 2﹣4）＞0，∴1240x x +-<，∴点P 1（x 1，y 1）距离直线2x =较远， ∴12y y >；故C 符合题意；D 不符合题意；故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的对称性，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质进行分析． 3、A 【分析】先把点A 代入解析式得出87a c +=，函数化为2278y ax ax a =++-，然后把各点中的x 的值代入解析式求函数值，看函数值是否等于各点的纵坐标即可．【详解】解：∵点(2,7)A 在二次函数22y ax ax c =++的图象上， ∴744a a c =++， ∴87a c +=，78c a =-，2278y ax ax a =++-，当x =-4时，()()242478168787y a a a a a a =⨯-+⨯-+-=-+-=，故选项A 在二次函数图象上；当x =-2时，()()2222784478787y a a a a a a a =⨯-+⨯-+-=-+-=-≠，故选项B 不在二次函数图象上；当x =0时，202078787y a a a a =⨯+⨯+-=-≠，故选项C 不在二次函数图像上；当x =2时，222278447877y a a a a a a =⨯+⨯+-=++-=≠-，故选项D 不在二次函数图象上．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象上点的特征，求函数值，掌握二次函数图象上点的特征是解题关键． 4、C 【分析】由抛物线开口向上得a >0，由抛物线的对称轴为直线x =-2ba>0得b <0，判断①；由抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得c <0，则abc >0判断②，利用图象将x =1，-1，2代入函数解析式判断y 的值，进而对③④⑤所得结论进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a >0，∵抛物线的对称轴x =-2ba>0， ∴b ＜0， ∵-2ba＞1， ∴2a >-b ， ∴2a -b ＞-2b ， ∵b ＜0， ∴-2b >0，即2a -b >0，故①错误；∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c <0，∴abc ＞0，所以②错误；如图所示：当x =1时，y =a +b +c ＜0，故③正确；当x =-1时，y =a -b +c >0，故④正确；当x =2时，y =4a +2b +c >0，故⑤正确，故错误的有3个．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练利用数形结合得出是解题关键． 5、D 【分析】根据图像可知二次函数对称轴bx 02a=->，0a <，0c >可得0b >；有①0abc <；②当1x =-时，0y a b c =-+=；③当1x =时，0y a b c =++>；④当2x =时，420y a b c =++<；进而得出结果．【详解】解：由图像可知0a <，0c >，bx 02a=->， ∴0b >∴0abc <；故①错误．当1x =-时，0y a b c =-+=；故②正确．当1x =时，0y a b c =++>；故③正确．当2x =时，420y a b c =++<；故④正确．故选D ．【点睛】本题考察了二次函数．解题的关键在于求出系数的取值范围，以及一些特殊取值时函数值的大小． 6、B【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或−1时y的符号，进而判断得出答案．【详解】解：∵图象开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝13-＝2ba-，∴3b＝2a，则a＝32 b，∴b＜0，∵图象与x轴交于y轴正半轴，∴c＞0，∴abc＞0，故选项①错误；选项④正确；②由图象可得出：当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，故选项②正确；③抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac＞0，则4ac−b2＜0，故选项③错误；⑤当x＝−1时，y＝a−b＋c＞0，∴32b−b＋c＞0，∴b＋2c＞0，故选项⑤正确；故正确的有3个．故选：B．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7、A【分析】将函数解析式化为顶点式形式，得到图形的顶点坐标，图象与2y x 相似，确定当m 变化时，抛物线顶点在直线y=-x +2上移动，根据m 的变化依次分析抛物线与MN 的交点个数，由此得到答案．【详解】解：∵22222()2y x mx m m x m m =-+-+=--+，∴图象的顶点坐标为：（m ，-m +2），此函数图象二次项系数为1，与2y x 相似，当m 变化时，抛物线顶点在直线y=-x +2上移动，m 从负增大时，无交点，当m =-1时，点M 在抛物线右边，抛物线与MN 有1个交点，当m =0，顶点为（0,2）时，抛物线与MN 相交，有2个交点，m 继续增大，抛物线与MN 有2个交点，直到N 经过抛物线右边，当m 继续增大，保持1个交点，当N 经过抛物线左边时，有1个交点，此后无交点，将N （3,3）代入解析式：23(3)2m m =--+，解得m =∴m 的取值范围是10m -<7172m +<，故选：A ．【点睛】此题考查了抛物线的解析式化为顶点式，二次函数的性质，抛物线移动的规律，根据抛物线的移动确定与MN 的交点个数是解题的关键．8、C【分析】根据二次函数的定义依次判断．【详解】解：A 、21y x =不是二次函数，不符合题意； B 、211y x x =++，不是二次函数，不符合题意；C 、221y x =-，是二次函数，符合题意；D 、y =故选：C ．【点睛】此题考查二次函数的定义：形如2(0)y ax bx c a =++≠的函数是二次函数，解题的关键是正确掌握二次函数的构成特点．9、C【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答．【详解】解：①由开口可知：a ﹤0， ∵对称轴02b a-> ∴b ﹥0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ﹥0，∴abc ﹤0，故①正确；②对称轴x =22b a -=， ∴ b =-4a ，∴5a +3b +c =5a - 12a +c =-7a +c ，∵a ﹤0，c ﹥0，∴-7a +c ﹥0，∴5a +3b +c ﹥ 0，故②正确；③∵x =-1，y =0，∴a -b +c =0，∴ b =-4a ，∴c =-5a ，∵2﹤c ﹤3，∴2﹤-5a ﹤3， ∴35﹤a ﹤25-，故③正确； ④点M (-9a ，y 1)，N (53a ，y 2) 在抛物线上，则5911323a a a -+=-当1123a ->时，y 1＜y 2 当1123a -<-时，y 1＞y 2 故④错误．故选： C ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．10、D【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可．【详解】解：由抛物线1l ：()()21414y x x =---<≤可知：抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，－4），如图，当x =－1时，y =0，当x =4时，y =5，∵抛物线与直线y=m 只有一个交点，∴0≤m ≤5或m =－4，∴整数m =0或1或2或3或4或5或－4，即整数m 的值有7个，故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．二、填空题1、（【分析】由y=ax2-4ax+3a-2 =a（x2-4x+3）-2知，当x2-4x+3=0时，二次函数的图象恒过定点，即可求解．【详解】解：∵y=ax2-4ax+3a-2 =a（x2-4x+3）-2，当x2-4x+3=0时，二次函数的图象恒过定点，则x=3或x=1，当x=1时，y=-2，当x=3时，y=-2，故定点的坐标为（1，-2）或（3，-2）．故答案为：（1，-2）或（3，-2）．【点睛】本题主要考查函数图象上点的坐标特征，由y =ax 2-4ax +3a -2得到y = a （x 2-4x +3）-2是本题解题的关键．2、4【分析】根据P (1x ，1)，Q (2x ，1)的纵坐标相等，得出关于抛物线对称轴对称，即可求解．【详解】解：P (1x ，1)，Q (2x ，1)两点都在抛物线241y x x =-+上，根据纵坐标相等得，P (1x ，1)，Q (2x ，1)关于抛物线的对称轴对称，12222x x b a +∴=-=， 124x x ∴+=，故答案是：4．【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，解题的关键是掌握二次函数的对称性求解．3、（-5，5）【分析】利用顶点式解析式写出平移后抛物线的解析式，最后写出关于x 轴对称的抛物线的解析式即可得出答案．【详解】解：∵抛物线y ＝2（x ＋2）2−5向左平移3个单位的顶点坐标为（−5，−5），∴得到新的图象的解析式y ＝2（x ＋5）2−5，∴将图象沿着x 轴翻折，则翻折后的图象对应的函数解析式为y ＝−2（x ＋5）2＋5．∴变换后顶点的坐标为（−5，5）．故答案为：（−5，5）．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移问题，实际上就是两条抛物线顶点之间的问题，找到了顶点的变化就知道了抛物线的变化．4、2221y x =--+（）【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则即可得出结论．【详解】解：二次函数22y x =-的图象向上平移一个单位，再向右平移两个单位后，所得二次函数的解析式为2221y x =--+（）．故答案为：2221y x =--+（）．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键． 5、1k <【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->，列出不等式求解即可．【详解】解：二次函数22y x x k =-+的图象与x 轴有两个交点，所以，24440b ac k -=->，解得，1k <，故答案为：1k <．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是明确抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac ->．三、解答题1、（1）①8；②；（2）12a =- ，5722h << 【分析】（1）①当1a =时，()()2288y a x h a x h =--=--，可得抛物线的顶点坐标为(),8h - ，即可求解； ②令()280x h --=，可得此抛物线与x轴的两个交点为()(),h h ，即可求解；（2）根据点A 到x 轴的距离为4，可得12a =- ，从而得到抛物线为()2142y x h =--+ ，再由此抛物线与直线21y x =-+的两个交点分别为()11,B x y ，()22,C x y ，其中12x x <，可得方程()212142x x h -+=--+，从而得到()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦ ，进而得到52h > ，然后把()2142y x h =--+ ，21y x =-+，联立可得121224244747x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--+=---⎪⎪⎩⎩，再由点(),y D D D x 在此抛物线上，当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<，可得抛物线对称轴x h = 在点()11,B x y 的左侧，即可求解．【详解】解：（1）①当1a =时，()()2288y a x h a x h =--=--， ∴抛物线的顶点坐标为(),8h - ，∴点A 到x 轴的距离为8；②令()280x h --=，即22280x hx h -+-= ，解得：12x h x h ==，∴此抛物线与x轴的两个交点为()(),h h ， ∴此抛物线与x轴的两个交点之间的距离为(()h h -=；（2）∵点A 到x 轴的距离为4，∴84a -= ，解得：12a =- ， ∴抛物线为()2142y x h =--+ ， ∵此抛物线与直线21y x =-+的两个交点分别为()11,B x y ，()22,C x y ，其中12x x <， ∴()212142x x h -+=--+，即()222460x h x h -++-= ， ∴()()2224460h h ∆=-+-->⎡⎤⎣⎦ ，解得：52h > ，把()2142y x h =--+ ，21y x =-+，联立得： ()214221y x h y x ⎧=--+⎪⎨⎪=-+⎩ ，解得：121224244747x h x h y h y h ⎧⎧=+=+⎪⎪⎨⎨=--+=---⎪⎪⎩⎩， ∵点(),y D D D x 在此抛物线上，当12D x x x <<时，D y 总满足21D y y y <<， ∴抛物线对称轴x h = 在点()11,B x y 的左侧，∴24h h <+，∴2460h h ++> ，即()2220h ++> ，h 取任意实数， ∵702h <<． ∴h 的取值范围为5722h << ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键．2、（1）224233y x x =--；（2）（3，4）；（3）（67-，1849-）【分析】（1）把A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）如图，先求解C （0，－2），对称轴为直线1x =，可得BH ＝CO ＝2结合旋转得BC 1＝BC ，证明RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ），再证明旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，从而可得答案；（3）先求解D （72，32），E （2，－2），如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，证明CG ＝DG ＝72，可得∠ECD ＝∠GDC ＝45° ，如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P ，证明△QCD ≌△ECD ，可得QC ＝EC ＝2，可得Q （0，0），再求解直线DQ 的解析式为37y x =，联立23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ，再解方程组可得答案. 【详解】解：（1）将A （－1，0），B （3，0）代入抛物线解析式得209320a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式为224233y x x =-- （2）∵抛物线的解析式为224233y x x =--，A （－1，0），B （3，0） ∴C （0，－2），对称轴为直线431223x∴BH ＝CO ＝2由旋转得BC 1＝BC则RT △BC 1H ≌RT △CBO （HL ）∴∠C 1BH ＝∠BCO∴∠C 1BC ＝∠C 1BH ＋∠OBC ＝∠BCO ＋∠OBC ＝90°∴旋转角∠A 1BA ＝∠C 1BC ＝90°，即A 1B ⊥x 轴A 1B ＝BA ＝4，B （3，0）∴A 1（3，4）（3）抛物线的解析式为224233y x x =--，D 的横坐标为72 当x ＝72时，y ＝32，则D（72，32）∵CE x ∥轴，C （0，－2），对称轴为直线x ＝1∴E （2，－2）如图，过点D 作DG ⊥CE 交CE 的延长线于点G ，372,22DG CG ＝DG ＝72， ∴∠ECD ＝∠GDC ＝45°如图，在CD 的上方作∠PDC ＝∠EDC 交y 轴于点Q ，交抛物线于点P∵CE x ∥轴，∴∠QCE ＝90°∴∠QCD ＝∠ECD ＝45°∵CD ＝CD ，∴△QCD ≌△ECD （ASA ）∴QC ＝EC ＝2，∵C （0，－2），∴Q （0，0） ∵D （72，32），设直线:,DQ y mx 73,22m 解得：3,7m∴直线DQ 的解析式为37y x =则23724233y x y x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩ ，消去y 得：21437420,x x27760,x x 解得：1276,,27x x 当172x =时，13,2y 当267x =-时，218,49y 所以方程组的解为：7232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或671849x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， ∴618,.749P 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，求解一次函数与二次函数的交点坐标，作出适当的辅助线构建全等三角形，再利用全等三角形的性质证明相等的线段，再得到点的坐标是解本题的关键.3、（1）2y x 2x 3=-++；（2）13x【分析】（1）把点A 代入一次函数解析式，求出一次函数解析式和点B 的坐标，然后设出二次函数顶点式，把点B 代入即可求出二次函数解析式；（2）由图像可知，x 轴上面部分的二次函数值都大于0，根据二次函数与x 轴的交点特征求得二次函数与x 轴的交点即可得出答案．【详解】解：（1）∵点A （1，4）在一次函数y ＝﹣2x +m 上，∴把点A （1，4）代入y ＝﹣2x +m ，得，4＝﹣2×1+m ，解得：m ＝6，∴一次函数解析式为：y ＝﹣2x +6，令y ＝0时，则﹣2x +6＝0，解得：x ＝3，∴点B 的坐标为：（3，0），∵点A （1，4）为二次函数图象的顶点，点B 在x 轴上，∴设二次函数解析式为：()214y a x =-+，把点B （3，0）代入()214y a x =-+，解得：a ＝﹣1，∴二次函数的解析式为：()221423y x x x =--+=-++；（2）由（1）求得二次函数解析式为2y x 2x 3=-++，令y ＝0，即2230x x -++=，解得：11x =-，23x =，由图像可知x 轴上面部分的二次函数值都大于0，且二次函数与x 轴交于点（﹣1，0）和（3，0）， ∴自变量x 的取值范围：13x ．【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质，根据顶点坐标设出二次函数顶点式是求出二次函数的关键．4、（1）（1）2240y x x =-+.（7.520x ≤<）；（2）当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是2200m【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB 边长为x m ，可得BC =(40-2x )m ，然后根据矩形面积即可求得y 与x 之间的函数关系式，又由墙长25m ，即可求得自变量的x 的范围；（2）用配方法求最大值解答问题．【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，AD =BC ，∵AB =x m ，∴BC =(40-2x )m ，∴花园的面积为：y =AB •BC =x •(40-2x )=-2x 2+40x ，∵40-2x ≤25，x +x <40，∴x ≥7.5，x <20，∴7.5≤x <20，∴y 与x 之间的函数关系式为：y =-2x 2+40x （7.5≤x <20）；（2）∵ 22(10)200y x =--+，(7.520x ≤<)∴ 当10x =时，max 200y =．答：当x 为10m 时，小花园的面积最大，最大面积是200m 2．【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．5、（1）1a =；（2）在第四年能收回投资款，但不能在报废前盈利100万元，理由见解析【分析】（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式即可求得a 的值；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，且根据x 为正整数求解，设盈利w 万元，根据二次函数的性质求得最值，进而即可解决问题．【详解】解：（1）根据题意，将1,2,2,42x y x y ====+代入解析式得：22442a ba b =+⎧⎨+=+⎩解得11a b =⎧⎨=⎩1a（2）判断不正确由题意()233100x x -+=解得121616x x =-=+x 是正整数4x ∴=或28使用8年后生产线报废4x ∴=，即这条生产线在第四年能收回投资款，设盈利w 万元，则2223310032100(16)156w x x x x x x =---=-+-=--+又18x <≤该函数的对称轴为16x =，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大 ∴当8x =时，w 取得最大值，最大值1566492w =-=（万元）故不能在报废前盈利100万元【点睛】本题考查了二次函数的应用，理解题意列出函数关系式是解题的关键．．。

2022年最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评试题(名师精选)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、某服装店购进单价为15元的童装若干件，销售一段时间后发现：当销售价为25元时平均每天能售出8件，而当销售价每降低2元，平均每天能多售出4件，为使该服装店平均每天的销售利润最大，则每件的定价为（）A．21元B．22元C．23元D．24元2、抛物线2=+-的顶点坐标是（）(1)2y xA．（－1，2）B．（－1，－2）C．（1，－2）D．（1，2）3、如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴分别于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴正半轴于点D，抛物线顶点为C．下列结论：①2a﹣b＝0；②a+b+c＝0；③当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；④当△ABC是等腰直角三角形时，a＝﹣1；2⑤若D（0，3），则抛物线的对称轴直线x＝﹣1上的动点P与B、D两点围成的△PBD周长最小值为3．其中，正确的个数为（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，关于a ，c 的符号判断正确的是（）A ．a ＞0，c ＞0B ．a ＞0，c ＜0C ．a ＜0，c ＞0D ．a ＜0，c ＜05、如图1所示，△DEF 中，∠DEF ＝90°，∠D ＝30°，B 是斜边DF 上一动点，过B 作AB ⊥DF 于B ，交边DE （或边EF ）于点A ，设BD ＝x ，△ABD 的面积为y ，图2是y 与x 之间函数的图象，则△ABD 面积的最大值为（）A ．B ．C ．D ．6、若抛物线27(4)1y x =-+-平移得到27y x =-，则必须（）A ．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B ．先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C ．先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D ．先向右平移1个单位，再向下平移4个单位7、下图是抛物线y = ax 2 + bx + c 的示意图，则a 的值可以是（）A ．1B ．0C ．- 1D ．- 28、已知二次函数2y ax bx c =++中的y 与x 的部分对应值如下表所示．根据表中的信息，给出下列四个结论：①抛物线的对称轴是直线1x =；②抛物线的顶点坐标是(13),；③当3x =时，y 的值为3-；④若点1(2)A y -,，点2(3)B y -,两个点都在抛物线上，则12y y >．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．10、已知二次函数y ＝a （x +1）2+b （a ＜0）有最大值1，则b 的大小为（）A ．﹣1B ．1C ．0D ．不能确定第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN 长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线3y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，点B 恰好是抛物线()2y x m n =--+的顶点，则此时抛物线关于直线y 的割距是______．2、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =2，点P 是AB 上一动点，连接CP ，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，连接PQ ，AQ ，则△PAQ 面积的最大值为_______．3、已知某函数当0x 时，y 随x 的增大而减小，则这个函数解析式可以为________．4、二次函数2y x 的图象如图所示，点0A 位于坐标原点，点1A ，2A ，3A ，…，2020A 在y 轴的正半轴上，点1B ，2B ，3B ，…，2020B 在二次函数2y x 位于第一象限的图象上，011A B A △，122A B A △，…，201920202020A B A △都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则202020212021A B A △的斜边长为__________．5、如图，正方形ABCD 的边长为2，E 为边AD 上一动点，连接CE ，以CE 为边向右侧作正方形CEFG ，连接DF ，DG ，则DFG 面积的最小值为__________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、疫情从未远去，据云南省卫健委通报，连续3天，云南省的本土日新增确诊病例均超过10例，从3月30日到4月6日，短短一周时间，本轮疫情中的本土确诊病例累计已达65例，为了抗击“新冠”疫情后期输入，我省的医疗物资供给正常，某药店销售每瓶进价为40元的消毒液，市场调查发现，每天的销售量(y瓶)与每瓶的售价(x元)之间满足如图所示的函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）政府部门规定每瓶消毒液售价不得超过55元，当每瓶的销售单价定为多少元时，药店可获得最大利润？最大利润是多少？2、抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（m，n）．（1）若抛物线y＝ax2+bx+c过原点，m＝2，n＝﹣4，求其解析式．（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l：y＝﹣x+4与抛物线交于A、B两点（A在B的左侧），MN为线段AB上的两个点，MN＝，在直线l下方的抛物线上是否存在点P，使得△PMN为等腰直角三角形？若存在，求出M点横坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），抛物线y＝ax2+bx+c与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点G，P点在点C左侧抛物线上，Q点在y轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F，直线PC交y轴于点H，设直线PQ解析式为y＝kx+t，当S△HCQ＝2S△GCQ，试证明bk是否为一个定值．3、某网店销售一批优质风干牦牛肉，平均每天可售出36袋，每袋盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减小库存，店家决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每袋每降价1元，商场平均每天可多售出2袋．问：（1）若店家要平均每天要盈利1520元，每袋风干牦牛肉应降价多少元？（2）每袋风干牦牛肉降价多少元时，店家平均每天盈利最多？最多是多少元？4、在平面直角坐标系中，抛物线y＝3ax2﹣10ax＋c分别交x轴于点A、B（A左B右）、交y轴于点C，且OB＝OC＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t，连接BC，过点P作BC的垂线交x轴于点D，连接CD，设△BCD的面积为S，求S与t的函数关系式（不要求写出t的取值范围）；（3）如图3，在（2）的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E，连接EO、EC、ED，且∠EOC＝45°，点N在第一象限内，连接DN，DN EC∥，点G在DE上，连接NG，点M在DN 上，NM＝EG，在NG上截取NH＝NM，连接MH并延长交CD于点F，过点H作HK⊥FM交ED于点K，连接FK，若∠FKG＝∠HKD，GK＝2MN，求点G的坐标．5、如图，已知Rt ABC 中，∠BAC ＝30°，∠C ＝90°，A 点坐标为(﹣1，0)，B 点坐标为(3，0)，抛物线y 1的顶点记为Q ，且经过ABC 的三个顶点A 、B 、C （点A 在点B 左侧，点C 在x 轴下方）．抛物线y 2也交x 轴于点A 、B ，其顶点为P ．（1）求C 点的坐标和抛物线y 1的顶点Q 的坐标．（2）当BP +CP 的值最小时，求抛物线y 2的解析式．（3）设点M 是抛物线y1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若PQM 是与ABC 相似的三角形，求抛物线y 2的顶点P 的坐标．-参考答案-一、单选题1、B【分析】设每天的销售利润为w 元，每件的定价为x 元，则每件的利润为()15x -元，平均每天售出()25842582x x -+⨯=-+件，根据每天的销售利润等于每件的利润乘以销售量，列出函数关系式，即【详解】解：设每天的销售利润为w 元，每件的定价为x 元，则每件的利润为()15x -元，平均每天售出()25842582x x -+⨯=-+件，根据题意得： ()()()221525828887022298y x x x x x =--+=-+-=--+ ，∵20-<∴当22x = 时，w 最大，即每件的定价为22元时，每天的销售利润最大．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．2、B【分析】根据二次函数顶点式的特征计算即可；【详解】∵抛物线2(1)2y x =+-，∴顶点坐标为（－1，－2）；故选B ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象顶点式的图象性质，准确分析计算是解题的关键．3、C根据二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，两点之间线段最短一一判断即可．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 交x 轴分别于点A （﹣3，0），B （1，0），∴a +b +c ＝0，故②正确；对称轴为直线x ＝312-+＝﹣1， ∴﹣2b a ＝﹣1， ∴2a ﹣b ＝0，故①正确；由图象可知，当x ＝﹣1时，y 有最大值，最大值＝a ﹣b +c ，∵m ≠﹣1，∴a ﹣b +c ＞am 2+bm +c ，∴a ﹣b ＞am 2+bm ，故③正确，∵A （﹣3，0），B （1，0），∴AB ＝4，∵△ABC 是等腰直角三角形时，∴C （﹣1，2），∴可设抛物线的解析式为y ＝a （x +1）2+2，把（1，0）代入得到a ＝﹣12，故④正确，如图，连接AD交抛物线的对称轴于P，连接PB，此时△BDP的周长最小，最小值＝PD+PB+BD＝PD+PA+BD＝AD+BD，∵AD BD，∴△PBD周长最小值为故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想，属于中考常考题型．4、B【分析】根据开口方向可得a的符号，根据对称轴在y轴的哪侧可得b的符号，根据抛物线与y轴的交点可得c 的符号．【详解】解：抛物线开口向上，∴>，a抛物线的对称轴在y轴的左侧，∴>，b抛物线与y轴交于负半轴，0c ∴<．故选：B ．【点睛】考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向上，0a >；对称轴在y 轴左侧，a ，b 同号；抛物线与y 轴的交点即为c 的值．5、C【分析】由图得点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，由三角函数算出AB ，由三角形面积公式即可求解．【详解】由图可得：点A 到达点E 时，ABD △面积最大，此时12DB =，tan 3012AB DB =⋅︒==∴1122ABD S =⨯⨯= 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A 运动到哪里能使ABD △面积最大是解题的关键．6、B【分析】根据两抛物线的顶点坐标即可确定平移的方向与距离，从而完成解答．【详解】抛物线27(4)1y x =-+-的顶点为(－4，－1)，而抛物线27y x =-的顶点为原点由题意，把抛物线27(4)1y x =-+-的顶点先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，即可得到抛物线27y x =-的顶点，从而抛物线27(4)1y x =-+-先向右平移4个单位，再向上平移1个单位即可得到27y x =-．故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，关键是抓住抛物线顶点的平移．7、A【分析】根据二次函数的图象确定a 的取值范围即可得．【详解】解：根据二次函数图象可得：开口向上，∴0a >，故选：A ．【点睛】题目主要考查根据函数图象确定二次函数字母系数的取值范围，熟练掌握二次函数图象的基本性质是解题关键．8、C【分析】结合题意，根据二次函数的性质，通过列三元一次方程组并求解，即可得到二次函数解析式；根据二次函数图像的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．【详解】根据题意，得：513a b c c a b c -+=-⎧⎪=⎨⎪++=⎩∴241a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴22241y ax bx c x x =++=-++ ∴抛物线的对称轴是直线12b x a =-=，故①正确；当1x =时，抛物线取最大值3y =∴抛物线的顶点坐标是(13),，即②正确；当3x =时，y 的值为2234315-⨯+⨯+=-，故③错误；∵0a <，抛物线的对称轴是直线1x =∴1x <时，y 随x 的增大而增大∵23->-∴12y y >，即④正确故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、三元一次方程组的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．9、C【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y 轴的关系即可得出a 、b 的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．解：A.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a<0，b>0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B.∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，B错误；C.∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，∴a<0，b<0，∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C正确；D. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，∴a>0，b<0，∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，D错误；故选C【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键．10、B【分析】根据二次函数的性质，由最大值求出b即可．【详解】解：∵二次函数y＝a（x+1）2+b（a＜0），∴抛物线开口向下，又∵最大值为1，即b＝1，∴b＝1．故选：B．本题主要考查了二次函数的图象性质，准确分析判断是解题的关键．二、填空题1【分析】先求出B 点坐标，从而求出抛物线解析式，然后求出直线与抛物线的两个交点，利用两点距离公式即可求出答案．【详解】解：∵B 直线3y x =-+与y 轴的交点，∴B 点坐标为（0，3），∵B 是抛物线()2y x m n =--+的顶点， ∴抛物线解析式为23y x =-+，∴233y x y x =-+⎧⎨=-+⎩，解得03x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩， ∴直线3y x =-+与抛物线23y x =-+的两个交点坐标为（0，3），（1，2），∴抛物线关于直线y．【点睛】本题主要考查了求一次函数与y 轴交点，二次函数与一次函数的交点，两点距离公式，二次函数图像的性质，熟知相关知识是解题的关键．2、1【分析】先证明∠BCP =∠ACP ，然后利用SAS 证明△BPC ≌△AQC 得到∠B =∠CAQ ，BP =AQ ，从而推出∠PAQ=90°，再利用勾股定理求出AB =BP =AQ =x ，则AP x =，则()()(221111222PAQ S x x x x =⋅=--=-+△，最后根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：如图，将线段CP 绕点C 顺时针旋转90°得到线段CQ ，∴∠PCQ =90°，CP =CQ ，∴∠ACP +∠ACQ =90°，又∵∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACP =90°，∴∠BCP =∠ACP ，∵AC =BC ，∴△BPC ≌△AQC （SAS ），∴∠B =∠CAQ ，BP =AQ ，∵BC =AC =2，∴∠B =∠CAQ =∠BAC =45°，∴∠PAQ =∠BAC +∠CAQ =90°，在Rt △ABC 中，由勾股定理AB设BP =AQ =x ，则AP x =，∴()()(221111222PAQ S x x x x =⋅=--=--+△， ∵102a =-<，函数开口向下，函数有最大值，当x =1PAQ max S =△．故答案为：1．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，二次函数的性质等知识点，掌握等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理，二次函数的性质等知识点是解题关键．3、y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一）【分析】根据题意可得这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，再由函数的增减性即可得出函数解析式．【详解】解：某函数当0x >时，y 随x 的增大而减小，∵未明确是一次函数、二次函数还是反比例函数，∴这个函数可能是一次函数或二次函数或反比例函数，根据其性质可得：这个函数为y x =-或21y x =-或1y x =，故答案为：y x =-或21y x =-或1y x=（答案不唯一）．【点睛】题目主要考查一次函数和二次函数、反比例函数的基本性质，熟练掌握三个函数的基本性质是解题关键．4、4042【分析】如图所示，过点B 1，B 2，B 3分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，E ，分别写出直线A 0B 1、直线A 1B 2、直线A 2B 3的解析式，将它们分别与y =x 2联立，求得点B 1，B 2，B 3的坐标，从而可得A 0A 1=2，A 1A 2=4，A 2A 3=6，发现规律后，按照规律即可求得202020212021A B A △的斜边长20202021A A ．【详解】解：如图所示，过点B 1，B 2，B 3分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，E∵△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3…△A 9B 10A 10都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形∴∠B 1A 0A 1=∠B 2A 1A 2=∠B 3A 2A 3=45°∴A 0B 1所在直线的解析式为：y =x由2y x y x=⎧⎨=⎩，得B 1（1，1）∴A 0A 1=2B 1C =2∴A 1（0，2）∴直线A 1B 2为：y =x +2由2+2y x y x=⎧⎨=⎩，得B 2（2，4）∴A 1A 2=2B 2D =4∴A 2（0，6）∴直线A 2B 3为：y =x +6由2+6y x y x =⎧⎨=⎩，得B 3（3，9）∴A 2A 3=2B 3E =6…由上面A 0A 1=2，A 1A 2=4，A 2A 3=6，可以看出这些直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形的斜边长依次加2∴202020212021A B A △的斜边长为20202021A A :2021×2=4042故答案为：4042．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数及等腰直角三角形等知识点的综合运用，同时也考查了解方程组，本题具有一定的综合性及难度．5、32【分析】设DE x =，则CE =D 作 PQ ∥EF 交CE 于Q ，GF 于P ，证明四边形EQPF是矩形，得到EC =EF =PQ ，即可推出211111=22222DEC DFG ECGF S S CE DQ FG PD CE PQ CE S +⋅+⋅=⋅==△△，从而得到22211113(4)22(1)22222DFG S x x x x x =+-⨯⨯=-+=-+△，由此利用二次函数的性质求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CDE =90°，设DE x =，则CE =过点D 作 PQ ∥EF 交CE 于Q ，GF 于P ，∵四边形CEFG 是正方形，∴∠QEF =∠EFP =90°，EF =EC =FG ，∴∠EQP =90°，∴四边形EQPF 是矩形，∴EC =EF =PQ ，∴211111=22222DEC DFG ECGF S S CE DQ FG PD CE PQ CE S +⋅+⋅=⋅== 22211113(4)22(1)22222DFG S x x x x x ∴=+-⨯⨯=-+=-+△， 102>， ∴当1x =时，DFG 面积的最小值为32，故答案为：32．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，勾股定理，二次函数的应用，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．三、解答题1、（1）3240y x =-+；（2）当每瓶的销售单价定为55元时，药店可获得最大利润，最大利润是1125元．【分析】（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求解即可；（2）根据利润=单盒利润⨯销售量列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值．【详解】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，由题意得：301505090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：3240k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的函数关系式为3240y x =-+；（2）设每天利润为w 元，则()()403240w x x =--+233609600x x =-+-23(60)1200x =--+，∵30-<，∴当60x <时，w 随x 的增大而增大，又∵55x ≤，∴当55x =时，w 最大，最大值为23(5560)12001125(--+=元)，∴当每瓶的销售单价定为55元时，药店可获得最大利润，最大利润是1125元．【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是根据题意列出函数关系式．2、（1）24y x x =-；（22,0；（3）见解析【分析】（1）设顶点式，将2,4m n ==-代入，原点()00，代入，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）根据线段AB 与坐标轴交点线段BD 的长与MN 长之间的关系，以及O 到线段AB 的距离，分,MN MP MN NP ==，,90PM PN MPN =∠=︒三种情况讨论，进而即可求得点M 的横坐标；（3）根据题意设直线PC ： y ＝mx +n ，则()0,H n ，直线:CQ y dx e =+，则(0,)F e ，直线PQ 的解析式为y kx t =+，由y ＝ax 2+bx +c ，令0x =，则y c =，即(0,)G c 联立直线和抛物线解析式，根据根与系数的关系可得()0Q P C x x x +⋅=，根据2=HCQ GCQ S S ，可得G 为HF 的中点，得到关系式，代入关系式0Q P x x +=即可求得进而可得k b的值．【详解】（1）根据题意，设2(2)4y a x =--将()0,0代入，即044a =-解得1a =∴抛物线的解析式()224y x =--24x x =-（2）由y ＝﹣x +4令0x =，则4y =，令0y =，则4x =设AB 与y 轴交于点D ,则()()4,0,0,4B D4,4OB OD ∴==OBD ∴△是等腰直角三角形则AB =①当90,PMN PM MN ∠=︒==则4PN ==,设(,4)M t t -+，则(2,2)P t t --+，MN =则(2,2)N t t +-+，MN 在线段AB 上，124t t ≥-⎧∴⎨+≤⎩即12t -≤≤又P 点在24y x x =-上，即()()22242t t t -+=--- 解得122,5t t ==（舍）此时P 点与O 点重合，B 点与N 点重合，如图，则(2,2)M ,②当90,PNM PN MN ∠=︒=同理4MP =,设(,4)M t t -+，则(,)P t t -，其中12t -≤≤又P 点在24y x x =-上，即24t t t -=-解得120,3t t ==（舍）则此时P 点与O 点重合，D 点与M 点重合，如图，则()0,4M③当,90PM PN MPN =∠=︒时，如图，由244y x x y x ⎧=-⎨=-+⎩解得121241,05x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩ ()()1,5,4,0A B ∴- OBD △，PMN 是等腰直角三角形∴45PMN ODB ∠=∠=︒,2PM PN MN === //PM y ∴轴设(,4)M t t -+，则(,2)P t t -+，其中14t -≤≤又P 点在24y x x =-上，即224t t t -+=-解得12t t ==∴M综上所述M 2,0 （3）设直线PC ： y ＝mx +n ，则()0,H n ，直线:CQ y dx e =+，则(0,)F e ，直线PQ 的解析式为y kx t =+由y ＝ax 2+bx +c ，令0x =，则y c =，即(0,)G c2=HCQ GCQ S SCGH GHQ GFC GFQ S S S S ∴+=+△△△△ 即1122C Q C Q GH x x GF x x ⋅-=⋅-FG GH ∴=2e n c +∴=，即2e c n =- 联立抛物线y ＝ax 2+bx +c ，2y ax bx c y mx n⎧=++⎨=+⎩ 即：()2()0ax b m x c n +-+-= 则P C m b x x a -+=，=P C c n x x a-⋅ 2y ax bx c y dx e ⎧=++⎨=+⎩同理可得：Q C d b x x a -+=，Q C c e x x a -⋅=2c c n n c a a -+-== ∴P C x x ⋅+Q C x x ⋅=()0Q P C x x x +⋅= 0C x ≠∴Q P x x +0=2y ax bx c y kx t ⎧=++⎨=+⎩同理可得：Q P k b x x a -+=，即0k b a -= k b ∴=1k b∴=【点睛】本题考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．3、（1）每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520元；（2）降价11元时，店家盈利最多，最多1682元【分析】（1）设每袋风干牦牛肉应降价x 元，根据等量关系风干牦牛肉销售件数×每袋利润=1520元列方程()()362401520+-=x x 解方程即可；（2）列出商场平均每天赢利y 与风干牦牛肉降价x 之间的函数关系式，并化为顶点式，即可解答．【详解】解：(1)设每袋风干牦牛肉应降价x 元，根据题意，得()()362401520+-=x x ，解得12x =，220x =，根据为了尽快减少库存，x 应取20，所以每袋风干牦牛肉应降价20元，平均每天盈利为1520；(2)设每天盈利为y 元，根据题意，得()()()2362402111682=+-=--+y x x x ，当11x =时，店家盈利最多，最多1682元．【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用和二次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和利用二次函数求最值是解决此题的关键．4、（1）235684y x x =-++；（2）2933684S t t =-++；（3）68(,)55G - 【分析】（1）待定系数法求二次函数解析式即可；（2）分类讨论，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,①当点D 在x 轴正半轴时，②当点D 在x 轴负半轴时，求得2311284BD t t =-++根据211316122284BCD S BD OC t t ⎛⎫=⨯=⨯⨯-++ ⎪⎝⎭△即可求得; （3）延长DN 至R ，使得NR EG =，连接HR ，KM ，,FR FG ，求得点,E D 的坐标，证明ECD 是等腰直角三角形，设FKG FMR ∠=∠α=，2FKR β∠=，设EG a =，则2GK a =，MN NR a ==，证明FDM FDK ≌，FHK ∽GDN △，FRM ≌FGK ，进而证明四边形FGDR 是正方形，延长DE 至W ，使EW EG a ==，则24WK GK a ==，进而证明四边形WFRK 是平行四边形，求得155EG a ED a ==，分别过,E G 作x 轴的垂线，垂足为,U V ，根据平行线的分线段成比例和相似三角形的性质求得点G 的坐标【详解】解：（1）6OB OC ==，()()6,0,0,6B C ∴，抛物线y ＝3ax 2﹣10ax ＋c 分别交x 轴于点A 、B （A 左B 右）、交y 轴于点C ，23610606a a c c ⎧⨯-⨯+=∴⎨=⎩，解得186a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为235684y x x =-++；（2）如图，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,①当点D 在x 轴正半轴时，抛物线的解析式为235684y x x =-++,点P 在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为t ，则 ,(,0)Q t ，90BOC ∠=︒,6OB OC ==OBC ∴是等腰直角三角形45CBO ∴∠=︒PD BC ⊥45PDQ ∴∠=︒即PDQ 是等腰直角三角形235684PQ DQ t t ∴==-++ OQ t =223531668484OD OQ DQ t t t t t ⎛⎫∴=-=--++=-- ⎪⎝⎭ 223131666128484BD OD t t t t ⎛⎫∴=-=---=-++ ⎪⎝⎭②当D 在x 轴负半轴时，如图，235666684BD OD DQ OD t t t ⎛⎫=+=+-=+-++- ⎪⎝⎭2311284t t =-++222113131936123123622848484BCD S BD OC t t t t t t ⎛⎫⎛⎫∴=⨯=⨯⨯-++=⨯-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△ 综上所述：2933684S t t =-++5(6)3t << （3）如图，延长DN 至R ，使得NR EG =，连接HR ，KM ，,FR FG45EOC ∠=︒E ∴到,x y 轴的距离相等，且在第二象限，即点E 在y x =-上，235684y x x y x⎧=-++⎪⎨⎪=-⎩ 解得121228,28x x y y =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩ ()2,2E ∴-(0,6)CEC∴=E 在线段CD 的垂直平分线上，ED EC ∴==设(,0)D d (0)d >，则()(222222DE d =++=解得2d =(2,0)D ∴CD ∴22240,40CD ED EC ∴=+=ECD ∴是等腰直角三角形45EDC ∴∠=︒DN EC ∥ND ED ∴⊥45RDC ∴∠=︒HK FM ⊥，90EDR ∠=︒180HKD HMD ∴∠+∠=︒又180HMD HMR ∠+∠=︒HKD HMR ∴∠=∠FKG HKD ∠=∠FKG FMR ∴∠=∠设FKG FMR ∠=∠α=，2FKR β∠=则FKG FMR ∠+∠22180FKR αβ+∠=+=︒即90αβ+=︒NM NH =∴NHM NMH α∠=∠=18018022MNH NMH NHM αβ∴∠=︒-∠-∠=︒-=2MNH β∠=NH NR =NRH β∴∠=90,,KDR HKD HRD αβ∠=︒∠==，90αβ+=︒,,K H R ∴三点共线设EG a =，则2GK a =，MN NR a ==在FDM 与FDK 中180180,180180,FMD FMR FKD FKG αα∠=︒-∠=︒-∠=︒-∠=︒-FMD FKD ∴∠=∠90,45RDG FDG ∠=︒∠=︒45FDM FDK ∴∠=∠=︒又FD FD =FDM FDK ∴≌,FK FM KD MD ∴==MD MR DK GK ∴+=+即GD RD =,KDM GDR ∴是等腰直角三角形在四边形FKDM 中，90,180KDM FKD FMD α∠=︒∠==︒-()3609021802902()KFM ααααβαβ∴∠=︒-︒-︒-=-︒=-+=- 在FHK 与GDN △中90,2FHK GDN FKH GND β∠=∠=︒∠=∠=∴FHK ∽GDN △NGD KHF αβ∴∠=∠=-,HGK HFK HK HK ∠=∠=,,,G K H F ∴四点共圆HK FM ⊥90FHK ∴∠=︒90FGK ∴∠=︒9090GFK FKG αβ∴∠=︒-∠=︒-=在FRM 与FGK 中2MR KG a FKG FMR FM FK α==⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴FRM ≌FGKRFM GFK β∴∠=∠=2290GFR KFM ββαβαβ∴∠=+∠=+-=+=︒90RFG FGD GDR ∴∠=∠=∠=︒∴四边形FGDR 是矩形又GD DR =∴四边形FGDR 是正方形如图，延长DE 至W ，使EW EG a ==，则24WK GK a ==FG WK ⊥KFG WFG β∴∠=∠=90WFH WFG GFK KFM ββαβ∴∠=∠+∠+∠=++-=︒WF KR ∴∥又FE GD ∥∴四边形WFRK 是平行四边形4FR WK a ∴==四边形FRDG 是正方形4GD FR a ∴==422KD GD GK a a a ∴=-=-=5ED EG GD a ∴=+=155EG a ED a ∴== 如图，分别过,E G 作x 轴的垂线，垂足为,U VEU GV ∴∥UV EG DU ED∴= (2,2),(2,0)E D -∴4D E DU x x =-=145G E x x -∴= 解得65G x =- EU GV ∥∴EUD GVD ∽45GV VD EU DU ∴== 4855G E y y ∴== 68(,)55G ∴- 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，二次函数与面积问题，三角形相似的性质与判定，第三问中证明四边形FRDG 是正方形是解题的关键．5、（1）(2，(1；（2）y22（3）(1)或(1，0)或(1，)或(1【分析】（1）利用30°角的直角三角形三边关系求得点C，再用待定系数法求抛物线y1的解析式，从而得到y1的顶点坐标；（2）求直线AC的解析式，结合y2的图象的对称性求得x＝1时的点P，最后用待定系数法求y2的解析式；（3）分类讨论：①∠PMQ＝90°时，（i）∠PQM＝30°，（ii）∠MPQ＝30°；②∠MPQ＝90°时，（i）∠PQM＝30°，（ii）∠PMQ＝30°．通过解直角三角形，函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形的性质求得相关线段的长度，列出方程，通过解方程求得答案即可．【详解】解：（1）∵∠BAC＝30°，∠C＝90°，A（﹣1，0），B（3，0），∴AC＝∴y C∴C点的坐标为（2，∵抛物线y1的图象经过点A、B、C，设抛物线y1的方程为y1＝a（x+1）（x﹣3）3a，∴a∴y1x+1）（x−3x﹣1）2∴顶点Q的坐标是(1)；（2）∵抛物线y1与抛物线y2与x轴交点相同，∴抛物线y 2的对称轴为x ＝1．∵点A 与点B 关于直线x ＝1对称，∴当BP +CP 的值最小时，P 是AC 与对称轴的交点．设直线AC 的解析式为：y ＝kx +b，则02k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线AC 的解析式为：y∴点P 坐标为（1，设y 2＝m （x +1）（x ﹣3），则﹣4m∴m∴抛物线y 2的解析式为：y 2x +1）（x ﹣32（3）∵点M 在抛物线y 1的对称轴右侧图象上， ∴点Q 不是直角顶点．设点M（a2，∴点M到对称轴的距离为a﹣1，y M﹣y Q22∵△PQM是与△ABC相似的三角形，∠ACB＝90°．①当∠PMQ＝90°时，（i）当∠PQM＝30°，∠QPM＝60°时，y M﹣y Q a﹣1），y P﹣y M a﹣1），2a a﹣1），解得：a＝1（舍）或a＝4，∴M（4），y P﹣y M4﹣1∴点P．∴P（1）；（ii）当∠PQM＝60°，∠QPM y M﹣y Q）＝a﹣1，y P﹣y M a﹣1），2a﹣1，解得：a＝1（舍）或a＝2．∴M（2，y P﹣y M2﹣1∴点P0．∴P（1，0）；②当∠MPQ＝90°时，（i）当∠PQM＝30°时，y M﹣y Q a﹣1），2a a﹣1），解得：a＝1（舍）或a＝4．∴M（4）．∴P（1）；（ii）当∠PQM y M﹣y Q）＝a﹣1，2a﹣1．解得：a＝1（舍）或a＝2．∴M（2．∴P（1．综上所述：点P的坐标为(1)或(1，0)或(1)或(1．【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、含30°角的直角三角形的三边关系和两点之间线段最短和相似三角形的性质．解题的关键是利用相似三角形的性质结合30°角的直角三角形三边关系进行分类讨论．。

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