高中数学平面向量测试题及答案

平面向量测试题
一、选择题：
1。已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且AB=a，AD＝b，则BE＝（）
（A） b+a21 （B） b－a21 （C） a＋b21 （D） a－b21
2．已知B是线段AC的中点，则下列各式正确的是（）

（A） AB＝－BC （B） AC＝BC21（C） BA＝BC（D） BC＝AC21

3．已知ABCDEF是正六边形，且AB＝a，AE＝b，则BC＝（）
（A） )(21ba（B） )(21ab（C） a＋b21 （D） )(21ba
4．设a，b为不共线向量，AB ＝a+2b,BC＝－4a－b,CD＝
－5a－3b,则下列关系式中正确的是（）
（A）AD＝BC （B）AD＝2BC
（C）AD＝－BC （D）AD＝－2BC
5．将图形F按a＝（h,k）（其中h>0,k>0）平移，就是将图形F（）
（A）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。
（B）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。
（C）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴负方向平移k个单位。
（D）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴负方向平移k个单位。

6．已知a＝（)1,21，b＝(),2223，下列各式正确的是（）

（A） 22ba（B） a·b＝1 （C） a＝b（D） a与b平行
7．设1e与2e是不共线的非零向量，且k1e＋2e与1e＋k2e共线，则k的值是（）
（A） 1 （B）－1 （C） 1 （D）任意不为零的实数

8．在四边形ABCD中，AB＝DC，且AC·BD＝0，则四边形ABCD是（）
（A）矩形（B）菱形（C）直角梯形（D）等腰梯形

9．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且PN＝－2PM，则
P点的坐标为（）
（A）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）
10．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（）
（A） 21（B） 12（C） 32（D） 23
11．把函数2)sin(3xy的图象经过按a平移得到xysin的图象，则a＝（）
（A） 2,3（B） 2,3（C） 2,3（D） 2,3
12．△ABC的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为31 ，则其外接圆的半径为（）
（A） 229（B） 429（C） 829（D） 922
二、填空题：
13．已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且BM＝31BC,CN＝31CA,设AB＝
a，AC＝
b
，则MN＝

14．△ABC中，CABcossinsin,其中A、B、C是△ABC的三内角，则△ABC是
三角形。
三、解答题：

15．ABCD是梯形，AB∥CD，且AB=2CD,M、N分别是DC和AB的中点，已知

AB

＝a，AD＝b,试用a、b表示MN。

16．设两非零向量a和b不共线，如果AB＝a＋b，CD＝3（a－b），

baBC82
，求证：A、B、D三点共线。

18．在△ABC中，已知A>B>C,且A=2C,A、B、C所对的边分别为a、b、c，又a、b、c
成等差数列，且b＝4，求a、c的长。
平面向量测试题答案
BDDBA ACBDA AC
13．ab3231；14.直角

15. ba41;18.516524,ca19.由CABcotcotcot2得

AABBsincossincos2+CCsincosCACAsinsin
)sin(


CABBsinsinsincos22ac

bca222=acb
2

222
2bca

…

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高中数学平面向量基础提高练习题含答案【选择填空精选50题难度分类】(最新)

高中数学平面向量选择填空题精选50道一、选择题（共36题）【基础题】1. 下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨电流强度；⑩摩擦系数，其中不是向量的有（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个2. 下列六个命题中正确的是（）①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若丨a 丨＝丨b 丨，则a ＝b ； ③若AB →＝DC →，则ABCD 是平行四边形； ④平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；⑤若m ＝n ，n ＝k ，则m ＝k ； ⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c. A. ①②③ B. ④⑤ C. ④⑤⑥ D. ⑤⑥3．以下说法错误的是（）A ．零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量4．已知B 是线段AC 的中点，则下列各式正确的是（）（A ）AB →＝－BC → （B ）AC →＝21BC →（C ）BA →＝BC → （D ）BC →＝21AC → 5．下列四式不能化简为AD →的是（）（A ）（AB →＋CD →）＋BC → （B ）（AD →＋MB →）＋（BC →＋CM →）（C ）MB →＋AD →－BM →（D ）OC →－OA →＋CD →6、已知向量等于则MN ON OM 21),1,5(),2,3(--=-=（） A ．)1,8(B ．)1,8(-C ．)21,4(-D ．)21,4(-7、已知向量),2,1(),1,3(-=-=则23--的坐标是（）A ．)1,7(B ．)1,7(--C ．)1,7(-D ．)1,7(-8. 与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k4) C.(-10,2) D.(5k,4k)9. 已知),1,(),3,1(-=-=x 且∥b ，则x 等于（） A ．3B ．3-C ．31D ．31-10．已知→a ＝（)1,21，→b ＝(),2223-，下列各式正确的是（）（A ） 22⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a （B ） →a ·→b ＝1 （C ） →a ＝→b （D ） →a 与→b 平行11. 在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，且AC →·BD →＝0，则四边形ABCD 是（）（A ）矩形（B ）菱形（C ）直角梯形（D ）等腰梯形【中等难度】12、下面给出的关系式中正确的个数是（）① 00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a⋅=⋅⑤b a b a ⋅≤⋅(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 313. 已知ABCD 为矩形，E 是DC 的中点，且−→−AB =→a ，−→−AD ＝→b ，则−→−BE ＝（）（A ） →b +→a 21 （B ） →b －→a 21 （C ） →a ＋→b 21 （D ） →a －→b 2114．已知ABCDEF 是正六边形，且−→−AB ＝→a ，−→−AE ＝→b ，则−→−BC ＝（）（A ） )(21→→-b a（B ）)(21→→-a b（C ） →a ＋→b 21 （D ）)(21→→+b a15. 设a ，b 为不共线向量， AB →＝a ＋2b ， BC →＝－4 a －b ，CD →＝－5 a －3 b ，则下列关系式中正确的是（）（A ）AD →＝BC → （B ）AD →＝2BC → （C ）AD →＝－BC → （D ）AD →＝－2BC →16. 设→1e 与→2e 是不共线的非零向量，且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线，则k 的值是（）（A ） 1 （B ）－1 （C ） 1± （D ）任意不为零的实数17. 在ABC ∆中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足－2PA PM =,则()PA PB PC ⋅+等于( ) A.49 B.43 C.43- D. 49-18．已知a 、b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a ＋3b 丨＝（）A ．7B ．10C ．13D ．419．已知| |=4, |b |=3, 与b 的夹角为60°，则| +b |等于（）。

高中数学第二章《平面向量》测试题B卷新人教A版必修4(1)

高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷考试时间：100分钟，满分：150分一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）.1．化简AB →＋BD →－AC →－CD →等于 ( ) A.AD → B ．0 C.BC → D.DA →2．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝ ( )A ．(0,5)B ．(0,1)C ．(2,5)D ．(2,1) 3．下列说法正确的是( )A ．(a ·b )c ＝a (b ·c )B ．a ·c ＝b ·c 且c ≠0，则a ＝bC ．若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0D ．|a ·b |≤|a |·|b |4．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是 ( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b 5．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别是DC 、BC 的中点，那么EF →＝ ( )A.12AB →＋12AD → B ．－12AB →－12AD → C ．－12AB →＋12AD → D.12AB →－12AD 6．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角为( )A ．30°B ．－150°C ．150°D ．30°或150°7．已知a 、b 、c 是共起点的向量，a 、b 不共线，且存在m 、n ∈R 使c ＝m a ＋n b 成立，若a 、b 、c 的终点共线，则必有( )A ．m ＋n ＝0B ．m －n ＝1C ．m ＋n ＝1D ．m ＋n ＝－18．已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152 C ．－322D ．－31529．设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，〈a －c ，b －c 〉＝60°，则|c |的最大值等于 ( )A ．2 B. 3 C. 2D ．110．设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2，已知点C (c,0)，D (d,0)，(c ，d∈R )调和分割点A (0,0)，B (1,0)，则下面说法正确的是( )A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上 D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题（每小题6分，共计24分）.11．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则A 、B 、C 、D 四点中一定共线的三点是____________．12．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若k a －2b 与a 垂直，则实数k 等于________． 13．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ的值为____________．14．正三角形ABC 边长为2，设BC →＝2BD →，AC →＝3AE →，则AD →·BE →＝________.三、解答题（共76分）.15.（本题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1) (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．16.（本题满分12分）设e 1、e 2是正交单位向量，如果OA →＝2e 1＋m e 2，OB →＝n e 1－e 2，OC →＝5e 1－e 2，若A 、B 、C 三点在一条直线上，且m ＝2n ，求m 、n 的值． 17.（本题满分12分）已知a 和b 是两个非零的已知向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)已知a 与b 成45°角，求证：b 与a ＋t b (t ∈R )垂直．18.（本题满分12分）已知向量a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)．(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在不等于0的实数k 和t ，使x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ？如果存在，试确定k 和t 的关系；如果不存在，请说明理由．19.（本题满分14分）已知A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)．(1)若AC →·BC →＝－1，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)若|OA →＋OC →|＝13，且α∈(0，π)，求OB →与OC →的夹角．20.（本题满分14分）如图，已知△ABC 的三个顶点坐标为A (0，－4)，B (4,0)，C (－6,2)．(1)求△ABC 的面积；(2)若四边形的ABCD 为平行四边形，求D 点的坐标．高中数学必修4 第二章《平面向量》测试题B 卷参考答案一、选择题1. 【答案】B.【解析】 AB →＋BD →－AC →－CD →＝AD →－(AC →＋CD →)＝AD →－AD →＝0. 2. 【答案】D.【解析】∵AB →＝MB →－MA →＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．3. 【答案】D.【解析】对于A ：向量的数量积不满足结合律；对于B ：向量的数量积不满足消去律；对于C ：只要a 与b 垂直时就有a ·b ＝0；对于D ：由数量积定义有|a ·b |＝||a ||b |cos θ|≤|a ||b |，这里θ是a 与b 的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，等号成立． 4. 【答案】C.【解析】 a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，∴|a |＝1，|b |＝14＋14＝22，∴A 错误；∵a ·b ＝1×12＋0×12＝12，∴B 错误；∵a －b ＝(12，－12)，∴(a －b )·b ＝12×12－12×12＝0，∴C 正确；∵1×12－0×12＝12≠0，∴D 错误． 5. 【答案】 D【解析】 EF →＝12DB →＝12(AB →－AD →)．6.【答案】 C【解析】由a ·b <0可知a ，b 的夹角θ为钝角，又S △ABC ＝12|a |·|b |sin θ，∴12×3×5×sin θ＝154，∴sin θ＝12⇒θ＝150°. 7.【答案】 C【解析】设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，∵a 、b 、c 的终点共线，∴设AC →＝λAB →，即OC →－OA →＝λ(OB →－OA →)，∴OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →，即c ＝(1－λ)a ＋λb ，又c ＝m a ＋n b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝m ，λ＝n ，∴m ＋n＝1.8. 【答案】 A【解析】本题考查向量数量积的几何意义及坐标运算．由条件知AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，AB →·CD →＝10＋5＝15. |CD →|＝52＋52＝52，则AB →在CD →方向上的投影为|AB →|cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.9. 【答案】A.【解析】如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则CA →＝a －c ，CB →＝b －c .∵|a |＝|b |＝1，∴OA ＝OB ＝1. 又∵a ·b ＝－12， ∴|a |·|b |·cos∠AOB ＝－12， ∴cos∠AOB ＝－12.∴∠AOB ＝120°.又∵〈a －c ，b －c 〉＝60°，而120°＋60°＝180°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆．∴当OC 为圆的直径时，|c |最大，此时∠OAC ＝∠OBC ＝90°，∴Rt △AOC ≌Rt △BOC ，∴∠ACO ＝∠BCO ＝30°，∴|OA |＝12|OC |，∴|OC |＝2|OA |＝2.10. 【答案】D.【解析】依题意，若C ，D 调和分割点A ，B ，则有AC →＝λAB →，AD →＝μAB →，且1λ＋1μ＝2.若C是线段AB 的中点，则有AC →＝12AB →，此时λ＝12.又1λ＋1μ＝2，所以1μ＝0，不可能成立．因此A 不对，同理B 不对．当C ，D 同时在线段AB 上时，由AC →＝λAB →，AD →＝μAB →知0<λ<1,0<μ<1，此时1λ＋1μ>2，与已知条件1λ＋1μ＝2矛盾，因此C 不对．若C ，D 同时在线段AB 的延长线上，则AC →＝λAB →时，λ>1，AD →＝μAB →时，μ>1，此时1λ＋1μ<2，与已知1λ＋1μ＝2矛盾，故C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上．二、填空题11.【答案】A ，B ，D【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB →. 12.【答案】－1【解析】 (k a －2b )·a ＝0，[k (1,1)－2(2，－3)]·(1,1)＝0，即(k －4，k ＋6)·(1,1)＝0，k －4＋k ＋6＝0， ∴k ＝－1. 13.【答案】 12【解析】 a ＋λb ＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)，∵(a ＋λb )∥c ，∴4(1＋λ)－3×2＝0，解得λ＝12.14. 【答案】－2【解析】 ∵AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →，BE →＝AE →－AB →＝13AC →－AB →，∴AD →·BE →＝(AB →＋12BC →)·(13AC →－AB →)＝13AB →·AC →＋16BC →·AC →－12BC →·AB →－AB →2＝13×2×2×12＋16×2×2×12＋12×2×2×12－22＝－2.三、解答题15. 解： (1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a 、b 不同向．a ·b ＝x ＋2>0，∴x >－2当x ＝12时，a 、b 同向．∴x >－2且x ≠12(2)a ＋2b ＝(1＋2x,4)，(2a －b )＝(2－x,3) (2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0 即－2x 2＋3x ＋14＝0 解得：x ＝72或x ＝－2.16. 解：以O 为原点，e 1、e 2的方向分别为x ，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系xOy ，则OA →＝(2，m )，OB →＝(n ，－1)，OC →＝(5，－1)，所以AC →＝(3，－1－m )，BC →＝(5－n,0)，又因为A 、B 、C 三点在一条直线上，所以AC →∥BC →，所以3×0－(－1－m )·(5－n )＝0，与m ＝2n 构成方程组⎩⎪⎨⎪⎧mn －5m ＋n －5＝0m ＝2n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1n ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝10，n ＝5.17. 解： (1)设a 与b 的夹角为θ，则|a ＋t b |2＝|a |2＋t 2|b |2＋2t ·a ·b ＝|a |2＋t 2·|b |2＋2|a |·|b |·t ·cos θ＝|b |2(t ＋|a ||b |cos θ)2＋|a |2(1－cos 2θ)．∴当t ＝－|a ||b |cosθ时，|a ＋t b |取最小值|a |sin θ.(2)∵a 与b 的夹角为45°，∴cos θ＝22，从而t ＝－|a ||b |·22，b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t ·|b |2＝|a |·|b |·22－22·|a ||b |·|b |2＝0，所以b 与a ＋t b (t ∈R )垂直，即原结论成立． 18. 解： (1)a ·b ＝(3，－1)·(12，32)＝32－32＝0，∴a ⊥b .(2)假设存在非零实数k ，t 使x ⊥y ，则[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，整理得－k a 2＋[t －k (t 2－3)]a ·b ＋t (t 2－3)b 2＝0.又a ·b ＝0，a 2＝4，b 2＝1.∴－4k ＋t (t 2－3)＝0，即k ＝14(t 2－3t )(t ≠0)，故存在非零实数k、t ，使x ⊥y 成立，其关系为k ＝14(t 3－3t )(t ≠0)．19. 解：(1)∵AC →＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC →·BC →＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，得cos 2＋sin 2α－3(cos α＋sin α)＝－1，∴co s α＋sin α＝23，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23. (2)∵|OA →＋OC →|＝13，∴(3＋cos α)2＋sin 2α＝13，∴cos α＝12，∵α∈(0，π)，∴α＝π3，sin α＝32，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，∴OB →·OC →＝332，设OB →与OC →的夹角为θ，则cos θ＝OB →·OC →|OB →|·|OC →|＝3323＝32.∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6即为所求的角.20. 解：如图，(1)作BC 边上的高为AE ，设E (x ，y )，∴AE →＝(x ，y ＋4)，BE →＝(x －4，y )，BC →＝(－10,2)，由AE →⊥BC →，则－10x ＋2(y ＋4)＝0①由于BE →与BC →共线，则2(x －4)＋10y ＝0② 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1213y ＝813，因此S △ABC ＝12|BC →|·|AE →|＝12·104·122＋602132＝26×122613＝24. (2)设D (x ，y )，则AD →＝(x ，y ＋4)，BC →＝(－10,2)，由题意可知AD →＝BC →，∴(x ，y ＋4)＝(－10,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＋4＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－10y ＝－2，所以，所求点D 的坐标为(－10，－2)．。

高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)

6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底，故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+，所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+，所以1344AD AB AC =+，故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =，所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+，解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+，故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==，【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==，由OC OA OB OD DC λμ=+=+，可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==，因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________．【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+，又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭，由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=，即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=．故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=，解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩，解得32m =.【题组三线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩，所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭，故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--，又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系，则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确；对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <，当//a b 时，1040x +=，解得52x =-，又因,a b 不共线，所以52x ≠-，所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)．【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向．由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=，所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=，所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+，所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立，即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立，因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立，令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <，因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值．【答案】(1)3π；(2)32．【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=，设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯，又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=，即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α．【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==，选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②：因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥，所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=，因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=，即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。

高中数学平面向量多选题专题复习附答案

高中数学平面向量多选题专题复习附答案一、平面向量多选题1．在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =，2DE EC =，AE 交BD 于F 且2AE BD ⋅=-，则下列说法正确的有（）A ．1233AE AC AD =+B ．25DF DB =C ．,3AB AD π=D ．2725FB FC ⋅=【答案】BCD 【分析】根据向量的线性运算，以及向量的夹角公式，逐一判断四个选项的正误即可得正确选项. 【详解】对于选项A ：()22233133AE AD DE AD DC AD AD D C A A A C =+=+=+-=+，故选项A 不正确；对于选项B ：易证DEF BFA ，所以23DF DE BF AB ==，所以2235DF FB DB ==，故选项B 正确；对于选项C ：2AE BD ⋅=-，即()223AD A B D AB A ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭，所以 2221233AD AD AB AB -⋅-=-，所以1142332AD AB -⋅-⨯=-，解得：1AB AD ⋅=，11cos ,212AB AD AB AD AB AD⋅===⨯⨯，因为[],0,AB AD π∈，所以,3AB AD π=，故选项C 正确；对于选项D ：()()332555AB FB FC DB FD DC AD BD AB ⎛⎫⋅=⋅+=-⋅+ ⎪⎝⎭()()()3233255555AD AD AB AB AD A AB AB B AD ⎡⎤⎛⎫=-⋅-+=-⋅+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭22969362734252525252525AB AB AD AD =⨯-⋅-⨯=⨯--=，故选项D 正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：选项B 的关键点是能得出DEF BFA ，即可得23DF DE BF AB ==，选项D 的关键点是由于AB 和AD 的模长和夹角已知，故将FB 和FC 用AB 和AD 表示，即可求出数量积.2．如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别为线段,AD CD 的中点，AF CE G =，则（）A ．12AF AD AB =+ B ．1()2EF AD AB =+ C ．2133AG AD AB =- D ．3BG GD =【答案】AB 【分析】由向量的线性运算，结合其几何应用求得12AF AD AB =+、1()2EF AD AB =+、2133AG AD AB =+、2BG GD =，即可判断选项的正误【详解】 1122AF AD DF AD DC AD AB =+=+=+，即A 正确 11()()22EF ED DF AD DC AD AB =+=+=+，即B 正确连接AC ，知G 是△ADC 的中线交点，如下图示由其性质有||||1||||2GF GE AG CG ==∴211121()333333AG AE AC AD AB BC AD AB =+=++=+，即C 错误同理21212()()33333BG BF BA BC CF BA AD AB =+=++=-211()333DG DF DA AB DA =+=+，即1()3GD AD AB =- ∴2BG GD =，即D 错误故选：AB 【点睛】本题考查了向量线性运算及其几何应用，其中结合了中线的性质：三角形中线的交点分中线为1:2，以及利用三点共线时，线外一点与三点的连线所得向量的线性关系3．已知M 为ABC 的重心，D 为BC 的中点，则下列等式成立的是（） A ．1122AD AB AC =+ B ．0MA MB MC ++= C ．2133BM BA BD =+ D ．1233CM CA CD =+【答案】ABD 【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案. 【详解】解：如图，根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点. 对于A 选项，根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+，故A 正确；对于B 选项，2MB MC MD +=，由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点，2MA MD =-，所以0MA MB MC ++=，故正确；对于C 选项，()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+，故C 错误；对于D 选项，()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则，是基础题.4．下列说法中错误的为（）A ．已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭不能作为平面内所有向量的一组基底C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．三个不共线的向量OA ，OB ，OC ，满足AB CA BA CB OA OB AB CA BA CB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⋅+=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0CA BC OC CA BC ⎛⎫⎪=⋅+= ⎪⎝⎭，则O 是ABC 的内心【答案】AC 【分析】对于A ，由向量的交角为锐角的等价条件为数量积大于0，且两向量不共线，计算即可；对于B ，由124e e =，可知1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底；对于C ，利用向量投影的定义即可判断；对于D ，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，进而得出点O 是ABC 的内心. 【详解】对于A ，已知()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，可得()0a a b λ+>⋅，且a 与a λb +不共线，()1,2a λb λλ+=++，即有()1220λλ++⨯+>，且()212λλ⨯+≠+，解得53λ>-且0λ≠，则实数λ的取值范围是53λ>-且0λ≠，故A 不正确；对于B ，向量，，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 124e e =，∴向量1e ，2e 不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；对于C ，若a b ，则a 在b 上的投影为a ±，故C 错误；对于D ，AB CA ABCA+表示与ABC 中角A 的外角平分线共线的向量，由0AB CA OA AB CA ⎛⎫⎪⋅+= ⎪⎝⎭，可知OA 垂直于角A 的外角平分线，所以，点O 在角A 的平分线上，同理，点O 在角B 的平分线上，点O 在角C 的平分线上，故点O 是ABC 的内心，D 正确. 故选：AC. 【点睛】本题考查了平面向量的运算和有关概念，具体包括向量数量积的夹角公式、向量共线的坐标表示和向量投影的定义等知识，属于中档题.5．若平面向量,,a b c 两两夹角相等，,a b 为单位向量，2c =，则a b c ++=（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】AD 【分析】由平面向量,,a b c 两两夹角相等可知，夹角为0︒或120︒.分两种情况对三个向量的和的模长进行讨论，算出结果. 【详解】平面向量,,a b c 两两夹角相等，∴两两向量所成的角是0︒或120︒.当夹角为0︒时，,,a b c 同向共线，则4a b c ++=；当夹角为120︒时，,a b 为单位向量，1a b ∴+= ，且a b +与c 反向共线，又2c =，1a b c ∴++=.故选：AD. 【点睛】本题考查了平面向量共线的性质，平面向量的模的求法，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．已知,a b 是单位向量，且(1,1)a b +=-，则( ) A ．||2a b += B ．a 与b 垂直C ．a 与a b -的夹角为4π D ．||1a b -=【答案】BC 【分析】(1,1)a b +=-两边平方求出||2a b +=；利用单位向量模长为1，求出0a b ⋅=；||a b -平方可求模长；用向量夹角的余弦值公式可求a 与a b -的夹角.【详解】由(1,1)a b +=-两边平方，得2222||21(12|)|a b a b ++⋅=+-=，则||2a b +=，所以A 选项错误；因为,a b 是单位向量，所以1122a b ++⋅=，得0a b ⋅=，所以B 选项正确；则222||22a b a b a b -=+-⋅=，所以||2a b -=，所以D 选项错误；2()2cos ,2||||122a ab a a b a a b ⋅-〈-〉====-⨯，所以，a 与a b -的夹角为4π.所以C 选项正确；故选：BC. 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用.求向量模的常用方法:(1)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式2+a x y ＝(2)若向量a b ，是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式22•a a a a ＝＝或2222||)2?(a b a b aa b b ＝＝＋，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．判断两向量垂直：根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．解两个非零向量之间的夹角：根据公式•a bcos a b ＝＝求解出这两个向量夹角的余弦值.7．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是(3,7),(4,6),(1,2)A B C -．则第四个顶点的坐标为（） A ．(0,1)- B ．(6,15)C ．(2,3)-D ．(2,3)【答案】ABC 【分析】设平行四边形的四个顶点分别是(3,7),(4,6),(1,2),(,)A B C D x y -，分类讨论D 点在平行四边形的位置有：AD BC =，AD CB =，AB CD =，将向量用坐标表示，即可求解. 【详解】第四个顶点为(,)D x y ，当AD BC =时，(3,7)(3,8)x y --=--，解得0,1x y ==-，此时第四个顶点的坐标为(0,1)-；当AD CB =时，(3,7)(3,8)x y --=，解得6,15x y ==，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；当AB CD =时，(1,1)(1,2)x y -=-+，解得2,3x y ==-，此时第四个项点的坐标为(2,3)-． ∴第四个顶点的坐标为(0,1)-或(6,15)或(2,3)-．故选:ABC . 【点睛】本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.8．在ABC 中，()2,3AB =，()1,AC k=，若ABC 是直角三角形，则k 的值可以是（） A ．1- B ．113C D 【答案】BCD【分析】由题意，若ABC 是直角三角形，分析三个内有都有可能是直角，分别讨论三个角是直角的情况，根据向量垂直的坐标公式，即可求解. 【详解】若A ∠为直角，则AB AC ⊥即0AC AB ⋅=230k ∴+=解得23k =-若B 为直角，则BC AB ⊥即0BC AB ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--2390k ∴-+-=解得113k =若C ∠为直角，则BC AC ⊥，即0BC AC ⋅=()()2,3,1,AB AC k == ()1,3BC k ∴=--()130k k ∴-+-=解得32k ±=综合可得，k 的值可能为211,33-故选：BCD 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式，考查分类讨论思想，考察计算能力，属于中等题型.9．ABC ∆是边长为3的等边三角形，已知向量a 、b 满足3AB a =，3AC a b =+，则下列结论中正确的有（） A ．a 为单位向量 B ．//b BCC ．a b ⊥D ．()6a b BC +⊥【答案】ABD 【分析】求出a 可判断A 选项的正误；利用向量的减法法则求出b ，利用共线向量的基本定理可判断B 选项的正误；计算出a b ⋅，可判断C 选项的正误；计算出()6a b BC +⋅，可判断D 选项的正误.综合可得出结论. 【详解】对于A 选项，3AB a =，13a AB ∴=，则113a AB ==，A 选项正确；对于B 选项，3AC a b AB b =+=+，b AC AB BC ∴=-=，//b BC ∴，B 选项正确；对于C 选项，21123cos 0333a b AB BC π⋅=⋅=⨯⨯≠，所以a 与b 不垂直，C 选项错误；对于D 选项，()()()2260a b BC AB AC AC AB AC AB +⋅=+⋅-=-=，所以，()6a b BC +⊥，D 选项正确.故选：ABD. 【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及单位向量、共线向量的概念的理解以及垂直向量的判断，考查推理能力，属于中等题.10．如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 中心，下列结论中正确的是( )A ．0OA OC OB ++=B ．()()0OA AF EF DC -⋅-= C ．()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅D ．OF OD FA OD CB +=+-【答案】BC【分析】利用向量的加法法则、减法法则的几何意义，对选项进行一一验证，即可得答案. 【详解】对A ，2OA OC OB OB ++=，故A 错误；对B ，∵OA AF OA OE EA -=-=，EF DC EF EO OF -=-=，由正六边形的性质知OF AE ⊥，∴()()0OA AF EF DC -⋅-=，故B 正确；对C ，设正六边形的边长为1，则111cos1202OA AF ⋅=⋅⋅=-，111cos602AF BC ⋅=⋅⋅=， ∴()()OA AF BC OA AF BC ⋅=⋅1122BC OA ⇔-=，式子显然成立，故C 正确；对D ，设正六边形的边长为1，||||1OF OD OE +==，+-=+-=-==，故D错误；FA OD CB OD DC CB OC OA AC||||||||3故选：BC.【点睛】本题考查向量的加法法则、减法法则的几何意义，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意向量的起点和终点.。

高中数学必修二专题03 平面向量的应用(课时训练)(含答案)

专题03 平面向量的应用A 组基础巩固1.（2020·山东高三期中）（多选题）下列命题中正确的是( ) A ．单位向量的模都相等B ．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C ．若a 与b 满足a b >，且a 与b 同向,则a b >D ．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同【答案】AD【解析】单位向量的模均为1，故A 正确；向量共线包括同向和反向，故B 不正确；向量是矢量，不能比较大小，故C 不正确；根据相等向量的概念知，D 正确.故选：AD2. （2020·北京高二学业考试）（多选题）给出下面四个命题，其中是真命题的是（） A ．0AB BA B ．AB BC AC C ．AB AC BC += D ．00AB +=【答案】AB 【解析】因为0AB BA AB AB ，正确；AB BC AC ，由向量加法知正确；AB AC BC +=，不满足加法运算法则，错误； 0,AB AB +=，所以00AB +=错误.故选：A B .3.最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，我国的《九章算术》也有记载.所以，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理.现有ABC 满足“勾3股4弦5”，如图所示，其中4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD 满足勾股定理，则()CB CA AD -⋅=（）A.14425B.25144C.16925D.25169【答案】A【解析】由题意求出125AD =2212144()()525AD CB CA AD AB AD AB AD AD AB -==⋅===，故选A. 4.（多选题）ABC ∆是边长为2的等边三角形,已知向量,a b 满足2AB a =,2AC a b =+,则下列结论中正确的是( )A ．a 为单位向量B ．b 为单位向量C ．a b ⊥D ．(4)a b BC +⊥【答案】AD【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2,2AB a =,∴||2||2AB a ==,∴||1a =,故A 正确；∵2AC AB BC a BC =+=+,∴BC b =,∴||2b =,故B 错误；由于2,AB a BC b ==,∴a 与b 的夹角为120°,故C 错误；又∵21(4)4||412402a b BC a b b ⎛⎫+⋅=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭, ∴(4)a b BC +⊥,故D 正确.5. （2020·北京高二学业考试）已知平面向量满足，且与夹角为60°，那么等于( )A ．B ．C ．D ．1【答案】C【解析】因为，故选：C. 6.已知O 为ABC ∆内部一点，且5()2AB OB OC =+,则AOB BOC S S ∆∆=（） A. 1 B. 54 C. 2 D.52 ,a b 1a b ==a b a b ⋅14131211cos 1122a b a b θ⋅=⋅⋅=⨯⨯=【答案】：D.【解析】由题意，5()2OB OA OB OC -=+，即2350OA OB OC ++=。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量及其应用综合测试(附答案与解析)

第六章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在ABC △中，内角,A B C ,的对边分别为,,a b c ，若a =，2A B =，则cos B 等于（）D.62.已知两个单位向量a 和b 的夹角为60︒，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为（）A.12a B.aC.12-aD.-a3.已知点(2,1),(4,2)A B -，点P 在x 轴上，当PA PB 取最小值时，P 点的坐标是（） A.(2,0) B.(4,0)C.10,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D.(3,0)4.已知,,A B C 为圆O 上的三点，若有OA OC OB +=，圆O 的半径为2，则OB CB =（） A.1- B.2- C.1 D.25.已知点(4,3)A 和点(1,2)B ，点O 为坐标原点，则||()OA tOB t +∈R 的最小值为（）A. B.5 C.36.已知锐角三角形的三边长分别为1，3，a ，那么a 的取值范围为（） A.(8,10)B.C.D.7.已知圆的半径为4,,,a b c 为该圆的内接三角形的三边，若abc =，则三角形的面积为（）A.B.8.已知向量,a b 满足(2)(54)0+⋅-=a b a b ，且1==a b ，则a 与b 的夹角θ为（）A.34π B.4π C.3π D.23π 9.已知sin 1sin cos 2ααα=+，且向量(tan ,1)AB α=，(tan ,2)BC α=，则AC 等于（）A.(2,3)-B.(1,2)C.(4,3)D.(2,3)10.在ABC △中，E F ,分别为,AB AC 的中点，P 为EF 上的任意一点，实数,x y 满足PA xPB yPC ++=0，设,,,ABC PBC PCA PAB △△△△的面积分别为123,,,S S S S ，记(1,2,3)ii S i Sλ==，则23λλ⋅取到最大值时， 2x y +的值为（）A.1-B.1C.32-D.32二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.已知ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,3B a c π=+，则ac=（） A.2 B.3C.12D.1312.点P 是ABC △所在平面内一点，满足20PB PC PB PC PA --+-=，则ABC △的形状不可能是（） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上） 13.已知,12e e 是平面内的单位向量，且12⋅=12e e .若向量b 满足1⋅=⋅=12b e b e ，则=b ________.14.已知向量,a b 满足5,1==a b ，且4-a b ⋅a b 的最小值为________.15.如图，在直角梯形ABCD 中，AB DC ∥，AD DC ⊥，2DC A A B D ==，E 为AD 的中点，若CA CE DB λμ=+，则λ=________，μ=________.（本题第一空2分，第二空3分）16.如图所示，某海岛上一观察哨A 上午11时测得一轮船在海岛北偏东60︒的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西60︒的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5km 的E 港口，如果轮船始终匀速直线前进，则船速的大小为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）如图所示，以向量,OA OB ==a b 为邻边作OADB ，11,33BM BC CN CD ==，用,a b 表现,,OM ON MN .18.（本小题满分12分）已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，3cos 5B =. （1）若4b =，求sin A 的值；（2）若4ABC S ∆=，求,b c 的值.19.（本小题满分12分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin cos 1sin 2C C C +=-，（1）求sin C 的值；（2）若ABC △的外接圆面积为(4π+，试求AC BC 的取值范围.20.（本小题满分12分）某观测站在城A 南偏西20︒方向的C 处，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40︒，距C 处31千米的B 处有一人正沿公路向城A 走去，走了20千米后到达D 处，此时,C D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A ？21.（本小题满分12分）已知正方形ABCD ，E F 、分别是CD AD 、的中点，BE CF 、交于点P ，连接AP .用向量法证明：（1）BE CF ⊥；（2）AP AB =.22.（本小题满分12分）已知向量(sin ,cos )x x =a ，sin ,sin 6x x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭b ，函数()2f x =⋅a b ，()4g x f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值，并求出相应的x 的值；（2）计算(1)(2)(3)(2014)g g g g ++++的值；（3）已知t ∈R ，讨论()g x 在[,2]t t +上零点的个数.第六章综合测试答案解析一、 1.【答案】B【解析】由正弦定理得sin sin a Ab B=，a ∴=可化为sin sin A B =.又sin 22sin cos 2,sin sin 2B B B A B B B =∴==，cos B ∴. 2.【答案】A【解析】由已知可得111122⋅=⨯⨯=a b ，211()122-⋅=-⋅=-=a b a a a b ，则向量-a b 在向量a 上的投影向量为()12-⋅⋅=a b a a a a . 3.【答案】D【解析】点P 在x 轴上，∴设P 上的坐标是(,0),(2,1),(4,2)x PA x PB x ∴=--=-，22(2)(4)266(3)3PA PB x x x x x ∴⋅=---=-+=--，∴当3x =时，PA PB ⋅取最小值.P ∴点的坐标是(3,0).4.【答案】D 【解析】OA OC OB +=，OA OC =，∴四边形OABC 是菱形，且120AOC ∠=︒，又圆O 的半径为2，22cos602OB CB ∴⋅=⨯⨯︒=. 5.【答案】D【解析】点(4,3),(1,2)A B ，O 为坐标原点，则(4,32)OA tOB t t +=++，22222()(4)(32)520255(2)55OA tOB t t t t t ∴+=+++=++=++≥，∴当2t =-时，等号成立，此时OA tOB +取得最小值6.【答案】B【解析】设1,3，a 所对的角分别为,,C B A ∠∠∠，由余弦定理的推论知2222222213cos 0,21313cos 0,2131cos 0,23a A a B a a C a ⎧+-=⎪⨯⨯⎪⎪+-=⎨⨯⨯⎪⎪+-=⎪⨯⨯⎩＞＞＞即()()222100,280,680,a a a a a ⎧-⎪⎪-⎨⎪+⎪⎩＞＞＞解得a ，故选B . 7.【答案】C【解析】设圆的半径为R ，内接三角形的三边,,a b c 所对的角分别为,,A B C .28sin sin sin a b cR A B C====，sin 8cC∴=，1sin 216ABC abc S ab C ∆∴===8.【答案】C 【解析】22(2)(54)5680+⋅-=+⋅=-a b a b a a b b ，又11,63,cos 2θ==∴⋅=∴=a b a b ，又[0,],3πθπθ∈∴=，故选C .9.【答案】D【解析】sin 1sin cos 2ααα=+，cos sin αα∴=，tan 1α∴=，(2tan ,3)(2,3)AC AB BC α∴=+==.故选D .10.【答案】D【解析】由题意可得，EF 是ABC △的中位线，P ∴到BC 的距离等于ABC △的边BC 上的高的一半，可得12323121,2S S S S λλ++===.由此可得223231216λλλλ+⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭≤，当且仅当23S S =，即P 为EF 的中点时，等号成立.0PE PF ∴+=.由向量加法的四边形法则可得，2PA PB PE +=，2PA PC PF +=，两式相加，得20PA PB PC ++=.0PA xPB yPC ++=，∴根据平面向量基本定理，得12x y ==，从而得到322x y +=. 二、11.【答案】AC【解析】3B π=，a c +=，2222()23a c a c ac b ∴+=++=，①由余弦定理可得，2222cos3a c acb π+-=，②联立①②，可得222520a ac c -+=，即22520a a c c ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2ac=或12a c =.故选AC .12.【答案】ACD 【解析】P 是ABC △所在平面内一点，且|||2|0PB PC PB PC PA --+-=，|||()()|0CB PB PA PC PA ∴--+-=，即||||CB AC AB =+，||||AB AC AC AB ∴-=+，两边平方并化简得0MC AB ⋅=，AC AB ∴⊥，90A ︒∴∠=，则ABC △一定是直角三角形.故选ACD .三、13.【解析】解析令1e 与2e 的夹角为θ.1cos cos 2θθ∴⋅=⋅==1212e e e e ，又0θ︒︒≤≤180，60θ∴=︒.()0⋅-=12b e e ，∴b 与,12e e 的夹角均为30︒，从而1||cos30︒=b . 14.【答案】52【解析】|4|-a b ，52⋅≥a b ，即⋅a b 的最小值为52. 15.【答案】65 25【解析】以D 为原点，DC 边所在直线为x 轴，DA 边所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.不妨设1AB =，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,2),(0,1)D C A B E .(2,2),(2,1),(1,2)CA CE DB =-=-=，,(2,2)(2,1)(1,2)CA CE DB λμλμ=+∴-=-+，22,22,λμλμ-+=-⎧∴⎨+=⎩解得6,52.5λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩16./h【解析】轮船从C 到B 用时80分钟，从B 到E 用时20分钟，而船始终匀速前进，由此可见，4BC EB =.设EB x =，则4BC x =，由已知得30BAE ∠=︒，150EAC ∠=︒.在AEC △中，由正弦定理的sin sin EC AE EAC C=∠， sin 5sin1501sin 52AE EAC C EC x x︒∠∴===. 在ABC △中，由正弦定理得sin120sin BC ABC =︒，14sin sin120x BC C AB ⋅∴===︒. 在ABE △中，由余弦定理得22216312cos30252533BE AB AE AB AE︒=+-=+-=，故BE ∴船速的大小为/h)3BE t==. 四、 17.【答案】解：BA OA OB =-=-a b ，11153666OM OB BM OB BC OB BA ∴=+=+=+=+a b . 又OD =+a b ，222333ON OC CN OD ∴=+==+a b ， 221511336626MN ON OM ∴=-=+--=-a b a b a b . 18.【答案】解：3cos 05B =＞，且0B π＜＜， 4sin 5B ∴=. 由正弦定理得sin sin a b A B=，42sin 25sin 45a B Ab ⨯∴===. （2）1sin 42ABC S ac B ∆==， 142425c ∴⨯⨯⨯=，5c ∴=. 由余弦定理得2222232cos 25225175b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=19.【答案】（1）解：ABC △中，由sin cos 1sin 2C C C +=-，得22sin cos 2sin sin 2222C C C C =-， sin 02C ＞，1cos sin 222C C ∴-=-，两边平方得11sin 4C -=，解得3sin 4C =. （2）设ABC △的外接圆的半径为R ，由（1）知sin cos 22C C ＞，24C π∴＞， 2C π∴＞，cos C ∴=. 易得2sin c R C =，22294sin (44c R C ∴==，由余弦定理得，222977(4221444c a b ab ab⎛⎫⎛⎫=+=+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥，902ab ∴＜≤，cos 8AC BC ab C ⎡⎫∴=∈-⎪⎢⎪⎣⎭，即AC BC 的取值范围是8⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 20.【答案】解：如图所示，设ACD α∠=，CDB β∠=.在CBD △中，由余弦定理的推论得2222222021311cos 2220217BD CD CB BD CD β+-+-===-⨯⨯，sin 7β∴=()411sin sin 60sin cos60sin 60cos 27αβββ︒︒︒⎛⎫∴=-=-=--= ⎪⎝⎭在CBD △中，由正弦定理得21sin 60sin AD α=︒， 21sin 15sin60AD α∴==︒（千米）. ∴这人还要再走15千米可到达城A .21.【答案】证明：如图，建立平面直角坐标系xOy ，其中A 为原点，不妨设2AB =，则(0,0),(2,0),(2,2),(1,2),(0,1)A B C E F .（1）(1,2)(2,0)(1,2)BE OE OB =-=-=-，(0,1)(2,2)(2,1)CF OF OC =-=-=--，(1)(2)2(1)0BE CF ∴⋅=-⨯-+⨯-=，BE CF ∴⊥，即BE CF ⊥.（2）设(,)P x y ，则(,1)FP x y =-，(2,)BP x y =-，由（1）知(2,1)CF =--，(1,2)BE =-，FP CF ∥，2(1)x y ∴-=--，即24y x =-+.同理，由BP BE ∥，即24y x =-+.22,24,x y y x =-⎧∴⎨=-+⎩解得6,58,5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即68,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222268455AP AB ⎛⎫⎛⎫∴=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ||||AP AB ∴=，即AP AB =.22.【答案】（1）解：21()22sin sin(2sin cos sin 262f x x x x x x x π⎫=⋅=-+=+=⎪⎭a b1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 252333x πππ∴-≤≤，1sin 23x π⎛⎫∴-- ⎪⎝⎭≤，∴当3232x ππ-=，即1112x π=时，()f x 1-，当2233x ππ-=，即2x π=时，()f x（2）由（1）得()sin 23f x x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭. ()sin 423g x f x x πππ⎛⎫⎛⎫∴==-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 4T ∴=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(2009)(2010)(2011)(2012)g g g g g g g g g g g g ∴+++=+++==+++.又(1)(2)(3)(4)gg g g +++=，(1)(2)(3)(2014)503(1)(2)g g g g g g ∴++++=⨯+=.（3）()g x 在[,2]t t +上零点的个数等价于sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =.在同一平面直角坐标系内作出这两个函数的图象（图略）.当4443k t k +＜＜，k ∈Z 时，由图象可知，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与2y =-两图象无交点，即()g x 无零点；当44243k t k ++≤＜或10444,3k t k k ++∈Z ＜≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =1个交点，即()g x 有1个零点；当10244,3k t k k ++∈Z ≤≤时，sin 23x y ππ⎛⎫- ⎝=⎪⎭与y =2个交点，即()g x 有2个零点.。

(常考题)北师大版高中数学必修四第二章《平面向量》检测题(包含答案解析)(2)

一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（）A ．1B ．3C ．7D ．32．已知ABC 为等边三角形，2AB =，ABC 所在平面内的点P 满足1AP AB AC --=，AP 的最小值为（）A ．31-B ．221-C ．231-D ．71-3．设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，12a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最小值是（） A ．31+ B ．31- C ．3 D ．14．若平面向量与的夹角为，，，则向量的模为（） A ．B ．C ．D ．5．如下图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD 内(含边界)的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于( )A ．3B ．2C ．52D ．326．已知,M N 为单位圆22:1O x y +=上的两个动点，且满足1MN =，()3,4P ，则2PM PN -的最大值为（）A ．53+B ．53-C ．523+D ．57．已知向量(3,0)a =，(0,1)b =-，(,3)c k =，若(2)a b c -⊥，则k =（） A ．2B ．2-C ．32D ．32-8．在ABC 中，D 为AB 的中点，60A ∠=︒且2AB AC AB CD ⋅=⋅，若ABC 的面积为43AC 的长为（）A．43B．433C．3 D．239．在ABC∆中，D为BC边上一点，且AD BC⊥，向量AB AC+与向量AD共线，若10AC =，2BC=，0GA GB GC++=，则ABCG=（）A．3 B．5C．2 D．10210．如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6 min，则客船在静水中的速度为()A．62km/h B．8 km/hC．234km/h D．10 km/h11．如图所示，在ABC中，点D在线段BC上，且3BD DC=，若AD AB ACλμ=+，则λμ=（）A．12B．13C．2 D．2312．设非零向量a与b的夹角是23π，且a a b=+，则22a tbb+的最小值为（）A．33B．32C．12D．1二、填空题13．如图，已知四边形ABCD，AD CD⊥，AC BC⊥，E是AB的中点，1CE=，若//AD CE，则AC BD⋅的最小值为___________.14．设123,,e e e 为单位向量，且()312102e e ke k =+>，若以向量12,e e 为邻边的三角形的面积为12，则k 的值为__________． 15．已知向量(1,1,0)a →=，(1,0,2)b →=-，(,1,2)c x →=-，若,,a b c →→→是共面向量，则x =__________．16．已知||1,||3,0OA OB OA OB ==⋅=|，点C 在AOB ∠内，且30AOC ∠=︒，设(,)OC mOA nOB m n R =+∈，则mn等于． 17．如图,在△ABC 中,13AN NC =,P 是BN 上的一点,若AP =m 211AB AC +,则实数m 的值为_____.18．设向量a ，b ，c ，满足1a b ==，12a b ⋅=-，a c -与b c -的夹角为60︒，则c 的最大值等于________19．在ABC 中，22AB =26AC =G 为ABC 的重心，则AG BC ⋅=________．20．在ABC 中，22AC AB ==，120BAC ∠=，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且3AO MO =，则MB MC ⋅的值是______.三、解答题21．在ABCD 中，2AB =，23AC =AB 与AD 的夹角为3π．（Ⅰ）求AD ；（Ⅱ）求AC 和BD 夹角的余弦值．22．如图，在梯形ABCD 中，E 为DC 的中点，//,,2AD BC BAD π∠=,3BDA BC BD π∠==．（1）求AE BD ⋅；（2）求AC 与BD 夹角的余弦值． 23．已知向量(1,2)a =-，||25b =. （1）若b a λ=，其中0λ<，求b 的坐标；（2）若a 与b 的夹角为23π，求()(2)a b a b -⋅+的值. 24．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线；（2）若//a c ，求x 的值 25．已知(2,0)a=，||1b =．（1）若a 与b 同向，求b ；（2）若a 与b 的夹角为120，求a b +． 26．已知向量a 与向量b 的夹角为3π，且1a =，()32a a b ⊥-. （1）求b ；（2）若27a mb -=，求m .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题. 【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上，()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力.2．C解析：C 【分析】计算出AB AC +的值，利用向量模的三角不等式可求得AP 的最小值. 【详解】2222222cos123AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π+=++⋅=++⋅=，所以，23AB AC += 由平面向量模的三角不等式可得()()231AP AP AB AC AB AC AP AB AC AB AC =--++≥---+=.当且仅当AP AB AC --与AB AC +方向相反时，等号成立.因此，AP 的最小值为1. 故选：C. 【点睛】结论点睛：在求解向量模的最值时，可利用向量模的三角不等式来求解：a b a b a b -≤±≤+. 3．B解析：B 【分析】建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为12⎫⎪⎪⎝⎭，21⎫-⎪⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，由已知可得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建立坐标系，以向量a ，b 的角平分线所在的直线为x 轴，使得a ，b 的坐标分别为122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,221⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，设c 的坐标为(),x y ，因为()()0a c b c -⋅-=，所以11,,02222x y x y ⎛⎫⎛⎫--⋅---= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22124x y ⎛-+= ⎝⎭，表示以3,0⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭为圆心，12为半径的圆，则||c 的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为3，所以圆上的点到原点的距离的最小值为312-，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题4．C解析：C 【解析】，，又，，则，故选5．D解析：D 【分析】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设(),P x y ，易得1,2y x αβ==，则12x y αβ+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12x y +在可行域BCD 内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O 为原点，边OA 和OC 所在的直线分别为x 和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0C D ，如下图所示：设(),P x y ，∵ (,)OP OC OD R αβαβ=+∈， ∴()()(),0,12,0)2,(x y αββα=+=，∴2,x y βα==，即1,2y x αβ==，∴12x y αβ+=+，令1,2z x y =+则12y x z =-+，其中z 为直线12y x z =-+在y 轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B 时，其在y 轴上的截距最大为32， ∴αβ+的最大值为32．故选：D ．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．6．A解析：A 【分析】根据条件可知22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，即可求出最大值. 【详解】由1MN =可知，OMN 为等边三角形，则1cos602OM ON OM ON ⋅=⋅⋅︒=，由PM PO OM =+，PN PO ON =+，得22PM PN PO OM ON -=+-2PO OM ON ≤+-，()224413OM ON OM ON -=-⋅+=，又()3,4P ，则5PO =，因此当PO 与2OM ON -同向时，等号成立，此时2PM PN -的最大值为5+故选：A. 【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档题.7．B解析：B 【分析】求出2a b -)2=，利用向量垂直数量积为零列方程求解即可.【详解】由(3,0)a =，(0,1)b =-，得2a b -)2=，若(2)c a b -⊥，则(2)?0a b c -=，0,2k +=∴=-.故选B. 【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用12210x y x y -=解答；（2）两向量垂直，利用12120x x y y +=解答.8．B解析：B 【分析】设,,AB c AC b ==先化简2AB AC AB CD ⋅=⋅得3c b =，由ABC 的面积为16bc =，即得AC 的长.【详解】设,,AB c AC b ==由题得2AB AC AB CD ⋅=⋅，所以2()AB AC AB AD AC AB AD AB AC ⋅=⋅-=⋅-⋅，所以3,3cos cos0,332cAB AC AB AD c b c c b π⋅=⋅∴⨯⨯⨯=⨯⨯∴=.因为ABC 的面积为1sin 1623b c bc π⨯⨯⨯=∴=.所以2316,b b =∴=所以3AC =.故选：B 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查三角形的面积的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．B解析：B 【解析】取BC 的中点E ，则2AB AC AE +=与向量AD 共线，所以A 、D 、E 三点共线，即ABC ∆中BC 边上的中线与高线重合，则10AB AC ==.因为0GA GB GC ++=，所以G 为ABC ∆的重心，则2222() 2.32BC GA GE AC ==-=所以22101,112, 5.2AB CE CG CG==+=∴== 本题选择B 选项.10．A解析：A 【解析】设客船在静水中的速度大小为 /v km h 静，水流速度为 v 水，则2/v km h =水，则船实际航行的速度v v v =+静水，60.160t h =，由题意得100.1AB v ≤=．把船在静水中的速度正交分解为x y v v v 静=+， ∴0.660.1y v ==，在Rt ABC 中，221060.8BC =-=．． ∵80.1x x BCv v v v +=+==水水，∴826x v =-= ∴2262x yv v v 静=+=设v v 静水＜，＞＝θ，则tan 1yxv v θ==，∴2cos 2θ=．此时222272242410102v v v v v v v +=+⋅+=+⨯+=≤静水静静水水＝，满足条件，故选A.11．B解析：B 【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解. 【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用向量a 与b 的夹角是23π，且a a b =+，得出a b a b ==+，进而将22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，然后利用二次函数的特性来求出最值. 【详解】对于a ，b 和a b +的关系，根据平行四边形法则，如图a BA CD ==，b BC =，a b BD +=,23ABC π∠=，3DCB π∴∠=， a a b =+，CD BD BC ∴==，a b a b ∴==+， 2222222==222a tb a tb a tb bbb+++，a b =，22222222244cos 223=224a t a b t b a tb a tb bbbπ++++=，22222222244cos 4231244a t a b t b a t aa t a t tb aπ++-+==-+当且仅当1t =时，22a tb b+的最小值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量的综合运用，解题的关键点在于把22a tb b+化成只含有t 为自变量的二次函数形态，进而求最值.二、填空题13．【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表解析：1-【分析】令ACD θ∠=，结合题中已知条件得出2CAD πθ∠=-，2CAB πθ∠=-，2sin AC θ=，22sin AD θ=，通过()AC BD AC BA AD ⋅=⋅+，根据数量积的概念以及二次函数的性质可得结果. 【详解】令ACD θ∠=，因为AD CD ⊥，AC BC ⊥，//AD CE ，所以BCE θ∠=，2ACE CAD πθ∠=∠=-，又因为E 是AB 的中点，1CE =，所以2AB =，1CE =，CBA θ∠=，2CAB πθ∠=-，故可得2sin AC θ=，22sin AD θ=，所以()AC BD AC BA AD AC BA AC AD ⋅=⋅+=⋅+⋅2222sin 2cos 2sin 2sin cos 4sin 4sin 22ππθπθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-++⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2214sin 12θ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当21sin 2θ=时，AC BD ⋅取得最小值1-，故答案为：1-. 【点睛】关键点点睛：将BD 表示成BA AD +，根据几何关系将所需量用θ表示，将最后结果表示为关于θ的函数.14．【详解】两端平方得又得即夹角为所以即又所以【详解】两端平方得222114k ke e =++⋅，又121122S e e sin θ==，得1sin θ=,即12,e e 夹角为90︒,所以120e e ⋅=，即234k =，又 0k >，所以k =.15．-2【详解】由于不共线且和共面根据平面向量的基本定理有即即解得解析：-2 【详解】由于,a b 不共线，且和c 共面，根据平面向量的基本定理，有c ma nb =+，即()(),1,2,,2x m n m n -=--，即122x m n m n =--⎧⎪-=-⎨⎪=⎩，解得1,112m n x ===--=-.16．【详解】方法一：①又②③将②③代入①得：所以点在内所以方法二：以直线OAOB 分别为轴建立直角坐标系则设又得即解得故答案为：3解析：【详解】方法一：3cos 2OA OC AOC OAOC⋅∠==⋅, ① 又()2OA OC OA mOA nOB m OA m ⋅=⋅+==, ②22222222||()||||23OC mOA nOB m OA n OB mnOA OB m n =+=++⋅=+, ③将②③代入①得：22323m n=+，所以229m n =，点C 在AOB ∠内，所以3mn=. 方法二：以直线OA ,OB 分别为,x y 轴建立直角坐标系，则()(10,03A B ，， , 设()31cos30,sin 30=,2OC λλ⎫=︒︒⎪⎪⎝⎭，又()(()1,033OC mOA nOB m n m n =+=+=，得()31,=32m n λ⎫⎪⎪⎝⎭，即 3=132m nλ⎧⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3mn=. 故答案为：3.17．【解析】由得设=n 所以+n=+n()=(1-n)=m 由n=得m=1-n= 解析：311【解析】由13AN NC=,得14AN AC=.设BP=n BN,所以AP AB BP AB=+=+n BN =AB+n(AN AB-)=(1-n)14AB nAC+=m211AB AC+.由14n=211,得m=1-n=311.18．【分析】作向量根据已知条件可得出与的夹角为四点共圆再结合正余弦定理可得出结果【详解】解：如下图作向量与的夹角为即又与的夹角为即与夹角为四点共圆当为直径时最大在中由余弦定理得：的外接圆的直径为四点共圆解析：2【分析】作向量OA a=，OB b=，OC c=，根据已知条件可得出a与b的夹角为120︒，A，O，B，C四点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.【详解】解：如下图，作向量OA a=，OB b=，OC c=，∴CA a c=-，CB b c=-，1 a b==，1cos,2 a b a b a b⋅=⋅⋅=-，∴a与b的夹角为120︒，即120AOB∠=︒.∴120AOB∠=︒.又a c-与b c-的夹角为60︒，即CA与CB夹角为60︒，∴A，O，B，C四点共圆.∴当OC为直径时c最大，在AOB中，由余弦定理得：2222cos1203AB OA OB OA OB =+-⋅︒=， ∴3AB =.∴AOB 的外接圆的直径为2sin120AB=︒.∴A ，O ，B ，C 四点共圆的圆的直径为2.∴c 的最大值为2.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，属于中档题.19．6【分析】根据三角形重心的性质转化为以及再求数量积【详解】如图点是的中点为的重心所以故答案为：6【点睛】本题考查向量数量积重心重点考查转化与化归思想计算能力属于基础题型解析：6 【分析】根据三角形重心的性质转化为()13AG AB AC =+，以及BC AC AB =-，再求数量积. 【详解】如图，点D 是BC 的中点，G 为ABC 的重心，∴()()22113323AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，BC AC AB =-，所以()()()221133AG BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=- ()126863=-=故答案为：6 【点睛】本题考查向量数量积，重心，重点考查转化与化归思想，计算能力，属于基础题型.20．【分析】用表示向量然后利用平面向量数量积的运算律可求得的值【详解】为的中点故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的计算解答的关键就是选择合适的基底表示向量考查计算能力属于中等题解析：53-【分析】用AB 、AC 表示向量MB 、MC ，然后利用平面向量数量积的运算律可求得MB MC ⋅的值. 【详解】O 为BC 的中点，()12AO AB AC ∴=+， 3AO MO =，()1136MO AO AB AC ∴==+，()2133AM AO AB AC ==+， ()()11233MB AB AM AB AB AC AB AC ∴=-=-+=-， ()()11233MC AC AM AC AB AC AC AB ∴=-=-+=-， 22AC AB ==，120BAC ∠=，()()()22112252299MB MC AB AC AC AB AB AC AB AC∴⋅=-⋅-=⋅--221155122122923⎡⎤⎛⎫=⨯⨯⨯--⨯-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 故答案为：53-. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（Ⅰ）2AD =；（Ⅱ）0. 【分析】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，利用平面向量加法的平行四边形法则可得AC a b =+，由23AC =b 的方程，即可解得AD b =；（Ⅱ）计算得出0AC BD ⋅=，可得出AC BD ⊥，进而可得出结果. 【详解】（Ⅰ）设AB a =，AD b =，则AC a b =+，BD AD AB b a =-=-．向量AB 与AD 的夹角为3π，cos 3a b a b b π∴⋅=⋅=. ()22222242AC a b a ba ab b b b ∴=+=+=+⋅+=++=整理得2280b b +-=，0b ≥，解得2b =，即2AD =；（Ⅱ）()()220AC BD a b b a b a ⋅=+⋅-=-=，则AC BD ⊥，因此，AC 和BD 夹角的余弦值为0. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的模，同时也考查了平面向量夹角余弦值的计算，考查计算能力，属于中等题．22．（1）0；（2）- 【分析】（1）由BCD △为等边三角形得出2BC AD =，由向量的加法和减法运算得出13,22AE AB AD BD AD AB =+=-，再由向量的数量积公式得出AE BD ⋅的值；（2）设AD a =，则3,2,AB BC BD a AC ====，由数量积公式得出AC BD ⋅，进而得出AC 与BD 夹角的余弦值．【详解】解：（1）因为//AD BC ，,,23BAD BDA BC BD ππ∠=∠==所以BCD △为等边三角形，23BC AB AD == 又E 为DC 的中点所以1113()(),2222AE AC AD AB BC AD AB AD BD AD AB =+=++=+=- 则221313()02222AE BD AB AD AD AB AB AB AD AD ⎛⎫⋅=+⋅-=--⋅+= ⎪⎝⎭（2）设AD a =，则3,2,7AB a BC BD a AC a ====222(2)()2AC BD AB AD AD AB AB AD AB AD a ⋅=+⋅-=--⋅+=-设AC 与BD 的夹角为θ，则2cos 2AC BDAC BD θ⋅=== 【点睛】本题主要考查了利用定义求向量的数量积以及夹角，属于中档题.23．（1）(2,4)-；（2）5-. 【分析】（1）由向量模的坐标表示求出λ，可得b 的坐标；（2）根据向量数量积的运算律及数量积的定义计算．【详解】（1）由题知(,2)b λλ=-，2||(|b λλ=+==2λ=-，故(2,4)b =-；（2）21(a =+= ∴222221()(2)22||||cos105220532a b a b a a b b a a b b π⎛⎫-⋅+=-⋅-=-⋅-=-⋅--=- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查向量模的坐标表示，考查向量数量积的运算律，掌握数量积的运算律是解题关键．24．（1）,a b 不共线；（2）23x = 【分析】（1）根据平面向量共线定理判断．（2）由平面向量共线定理计算．【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量，则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-， λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =，即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．25．（1）(1,0)b =；（2）3(,2a b +=-或33(,2a b +=．【分析】（1）先设(,)b x y =，再根据向量共线定理即可求解即可；（2）由已知结合向量数量积的定义及数量积的坐标表示即可求解．【详解】解：（1）设(,)b x y =，由题意可得，存在实数0λ>，使得b a λ=，即(x ，)(2y λ=，0)(2λ=，0)，所以2x λ=，0y =，由||1b =可得241λ=，即12λ=或12λ=-（舍)，所以(1,0)b =，（2）设(,)b x y =，所以1·cos12021()12a b a b =︒=⨯⨯-=-，又因为()()·2,0,2a b x y x =⋅=，故21x =-即12x =-，因为||1b =，所以221x y +=，故y =当y =，12x =-时，33(,2a b +=，当y =12x =-时，3(,2a b +=-．【点评】本题主要考查了向量共线定理及向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档试题． 26．（1）3b =；（2）13m =-或1m =. 【分析】（1）本小题先求出32a b ⋅=，再求3b =即可；（2）本小题先求出23210m m --=，再求解m .【详解】解：（1）∵()23232320a a b a a b a b ⋅-=-⋅=-⋅=， ∴32a b ⋅=，∴13cos 322a b a b b π⋅=⋅⋅==， ∴3b =.（2）∵27a mb -=， ∴()222227244469a mba mab m b m m =-=-⋅+=-+，整理得：23210m m --=，解得：13m=-或1m=.【点睛】本题考查利用向量垂直求向量的数量积、向量的数量积公式、利用和与差的向量的模求参数，是中档题.。

(典型题)高中数学必修四第二章《平面向量》检测卷(答案解析)

一、选择题1．已知向量a 、b 满足||||2a b a b ==⋅=，若,,1x y R x y ∈+=，则1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值为（） A ．1 B ．3 C ．7 D ．32．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，2AD =，3DC BD =，则AC AD ⋅的值为（）A ．3B ．8C ．12D ．16 3．已知ABC 中，2AB AC ==，120CAB ∠=，若P 是其内一点，则AP AB ⋅的取值范围是（）A ．(4,2)--B ．(2,0)-C ．(2,4)-D ．(0,2)4．若向量a ，b 满足|a 10 ，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30°5．已知正方形ABCD 的边长为2，EF 为该正方形内切圆的直径，P 在ABCD 的四边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（）A 2B ．1C ．2D ．226．已知ABC ，若对任意m R ∈，BC mBA CA -≥恒成立，则ABC 为（） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定 7．已知向量()a 1,2=，()b x,2=-，且a b ⊥，则a b +等于（）．A 5B ．5C ．42D 31 8．ABC 是边长为1的等边三角形，CD 为边AB 的高，点P 在射线CD 上，则AP CP ⋅的最小值为（）A ．18- B ．116- C ．316- D ．09．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2FP QF =，则||QF =（）A ．8B ．4C ．6D ．310．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量(,)m a b b c =++，(,)n c b a =-，若//m n ，则C =（）A ．56πB ．23πC ．3πD ．6π 11．如图所示，在ABC 中，点D 在线段BC 上，且3BD DC =，若AD AB AC λμ=+，则λμ=（）A ．12B ．13C ．2D ．23 12．已知平面上的非零．．向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是（） ①若//a b ，//b c ，则//a c ；②若2a b =，则2a b =±；③若23x y a b a b +=+，则2x =，3y =；④若//a b ，则一定存在唯一的实数λ，使得a b λ=.A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④二、填空题13．已知ABC ，点P 是平面上任意一点，且AP AB AC λμ=+（,λμ∈R ），给出以下命题：①若1AB λ=，1AC μ=，则P 为ABC 的内心；②若1λμ==，则直线AP 经过ABC 的重心；③若1λμ+=，且0μ>，则点P 在线段BC 上；④若1λμ+>，则点P 在ABC 外； ⑤若01λμ<+<，则点P 在ABC 内．其中真命题为______14．已知平面向量,,a b c 满足()()||2,||2||a c b c a b a b -⋅-=-==.则c 的最大值是________.15．圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，且OA AC =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为_____.16．已知正方形ABCD 的边长为4，若3BP PD =，则PA PB ⋅的值为_________________. 17．已知腰长为2的等腰直角△ABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值 ________．18．已知平面向量2a =，3b =，4c =，4d =，0a b c d +++=，则()()a b b c +⋅+=______. 19．在矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，动点P 满足||1AP =，设向量AP AB AD λμ=+，则λμ+的取值范围为____________.20．在ABC △中，已知4CA =，3CP =，23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.三、解答题21．已知ABC 中C ∠是直角，CA CB =，点D 是CB 的中点，E 为AB 上一点．（1）设CA a =，CD b =，当12AE AB =，请用a ，b 来表示AB ，CE . （2）当2AE EB =时，求证：AD CE ⊥.22．已知a ，b ，c 在同一平面内，且()1,2a =.（1）若35c =，且//a c ，求c ；（2）若2b =，且()()2a b a b +⊥-，求a 与b 的夹角的余弦值. 23．已知()()1,,3,2a m b ==-．(1)若()a b b +⊥，求m 的值；(2)若·1a b =-，求向量b 在向量a 方向上的投影．24．已知单位向量1e ，2e 的夹角为60︒，向量12a e e =+，21b e te =-，t R ∈. （1）若//a b ，求t 的值；（2）若2t =，求向量a ，b 的夹角.25．已知单位向量1e ，2e ，的夹角为23π，向量12a e e λ=-，向量1223b e e =+. （1）若//a b ，求λ的值；（2）若a b ⊥，求||a .26．已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边为a ，b ，c ，向量m (2cos sin )2C C =-，， n =(cos2sin )2C C ，，且m n ⊥．（1）求角C ；（2）若22212a b c =+，试求sin()A B -的值【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用已知条件求出向量a 、b 的夹角，建立直角坐标系把所求问题转化为解析几何问题.【详解】设a 、b 所成角为θ，由||||2==a b ，2a b，则1cos 2θ=，因为0θπ≤≤ 所以3πθ=，记a OA =，b OB =,以OA 所在的直线为x 轴，以过O 点垂直于OA 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则()2,0A ，(B ，所以()2,0a OA ==，(1,b OB ==，()(1)2x a xb x -+=-，所以((1)2x a xb x -+=-=，表示点()P x 与点()2,0A 两点间的距离，由,,1x y R x y ∈+=113222ya y b y x ⎛⎫⎛⎛⎫+-=+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1322ya y b x ⎛⎫⎛+-=- ⎪ ⎝⎭，表示点()P x 与点3,22Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离， ∴1|(1)|2x a xb ya y b ⎛⎫-+++- ⎪⎝⎭的最小值转化为 P 到,A Q 两点的距离和最小，()P x 在直线y =上， ()2,0A 关于直线y =的对称点为(R -，PQ PA ∴+的最小值为QR == 故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了向量模的坐标运算以及模转化为两点之间距离的转化思想，解题的关键是将向量的模转化为点()P x 到()2,0A 、32Q ⎛ ⎝⎭两点间的距离，考查了运算求解能力. 2．D解析：D【分析】利用AB 、AD 表示向量AC ，再利用平面向量数量积的运算性质可求得AC AD ⋅的值.【详解】()3343AC AD DC AD BD AD AD AB AD AB =+=+=+-=-， AD AB ⊥，则0⋅=AD AB ，所以，()224344216AC AD AD AB AD AD ⋅=-⋅==⨯=.【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：（1）利用定义：（2）利用向量的坐标运算；（3）利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．3．C解析：C【分析】以A 为坐标原点，以过点A 垂直于BC 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，求出()3,1B --，()3,1C -，设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以3x 3-<<，10y -<<，计算3AP AB x y ⋅=--得最值，即可求解.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0A ，因为120CAB ∠=，所以30ABC ACB ∠=∠=，可得2cos303= ，2sin301，所以()3,1B -- ，()3,1C -, 设(),P x y ，因为点P 是其内一点，所以33,10x y <<-<<，()(),3,13AP AB x y x y ⋅=⋅--=--，当3x =1y =-时AP AB ⋅最大为((()3314-⨯--=，当3,1x y ==-时AP AB ⋅最小为(()3312--=-，所以AP AB ⋅的取值范围是(2,4)-，故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是建立直角坐标系，将数量积利用坐标表示，根据点(),P x y 是其内一点，可求出,x y 的范围，可求最值.4．C【详解】由题意可得22(2)15b =-+=,所以2cos ,52a b a b a b ⋅===⋅,又因为,[0,180]<>∈a b ,所以,45<>=a b ,选C.5．B解析：B【分析】作出图形，利用平面向量的线性运算以及数量积的运算性质可得出21P OP E PF =⋅-，求得OP 的最大值，由此可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】如下图所示：由题可知正方形ABCD 的内切圆的半径为1，设该内切圆的圆心为O ，()()()()2221PE PF OE OP OF OP OP OE OP OE OP OE OP ⋅=-⋅-=-+⋅--=-=-，由图象可知，当点P 为ABCD 的顶点时，2OP 取得最大值2，所以PE PF ⋅的最大值为1.故选：B.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的计算，考查计算能力，属于中等题.6．C解析：C【分析】在直线AB 上取一点D ，根据向量减法运算可得到DC CA ≥，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB 上取一点D ，使得mBA BD =，则BC mBA BC BD DC -=-=，DC CA ∴≥.对于任意m R ∈，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD ⊥，即AC AB ⊥， ABC ∴为直角三角形.故选：C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.7．B解析：B【分析】由向量垂直可得0a b ⋅=，求得x ，及向量b 的坐标表示，再利用向量加法的坐标运算和向量模的坐标运算可求得模.【详解】由a b ⊥，可得0a b ⋅=，代入坐标运算可得x-4=0，解得x=4,所以a b + ()5,0=，得a b +=5，选B. 【点睛】求向量的模的方法：一是利用坐标()22,a x y a x y =⇒=+，二是利用性质2a a =，结合向量数量积求解.8．C解析：C【分析】建立平面直角坐标系，()0,P t ，t ≤，则 223(2416⋅=-=--AP CP t t ，进而可求最小值.【详解】以D 点为坐标原点，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为x 轴建立直角坐标系，1(,0)2A ，1(,0)2B -，(0,2C ，设()0,P t ，其中2t ≤1(,)2AP t =-，(0,CP t ==，223(16⋅==-AP CP t t ，当t =时取最小值为316-，所以AP CP ⋅的最小值为316-．故选：C【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一般题目.9．D解析：D【分析】设点()1,P t -、(),Q x y ，由2FP QF =，可计算出点Q 的横坐标x 的值，再利用抛物线的定义可求出QF .【详解】设点()1,P t -、(),Q x y ，易知点()1,0F ，()2,FP t =-，()1,QF x y =--，()212x ∴-=-，解得2x =，因此，13QF x =+=，故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义，解题的关键在于利用向量共线求出相应点的坐标，考查计算能力，属于中等题．10．B解析：B【分析】由//m n ，可得()()()0a b a c b b c +⨯--⨯+=.结合余弦定理，可求角C .【详解】(,),(,)m a b b c n c b a =++=-，且//m n ，()()()0a b a c b b c ∴+⨯--⨯+=，整理得222c a b ab =++. 又22212cos ,cos 2c a b ab C C =+-∴=-. ()20,,3C C ππ∈∴=. 故选：B.【点睛】本题考查向量共线的坐标表示和余弦定理，属于基础题.11．B解析：B【分析】由向量的运算法则，化简得1344AD AB AC =+,再由AD AB AC λμ=+，即可求得,λμ 的值，即可求解.【详解】由向量的运算法则，可得34=+=+AD AB BD AB BC 313()444AB AC AB AB AC =+-=+, 因为AD AB AC λμ=+，所以13,44λμ==，从而求得13λμ=，故选:B ．【点睛】该题考查的是有关向量的基本定理，在解题的过程中，需要利用向量直角的关系，结合三角形法则，即可求得结果，属于基础题. 12．B解析：B 【分析】根据向量共线定理判断①④，由模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系判断②，举反例判断③.【详解】对于①，由向量共线定理可知，//a b ，则存在唯一的实数1λ，使得1λa b ，//b c ，则存在唯一的实数2λ，使得2λb c ，由此得出存在唯一的实数12λλ⋅，使得12a c λλ=⋅，即//a c ，则①正确；对于②，模长关系只能说明向量a ，b 的长度关系，与方向无关，则②错误；对于③，当a b =时，由题意可得()5x y a a +=，则5x y +=，不能说明2x =，3y =，则③错误；由向量共线定理可知，④正确；故选：B.【点睛】本题主要考查了向量共线定理以及向量的定义，属于中档题.二、填空题13．②④【分析】①可得在的角平分线上但不一定是内心；②可得在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出可判断；④得出根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令可判断【详解】①若则因为是和同向的单位向量则解析：②④【分析】①可得P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心；②可得P 在BC 边中线的延长线上；③利用向量线性运算得出=BP BC μ可判断；④得出()1CP CB AC λλμ=++-，根据向量加法的平行四边形法则可判断；⑤令1132=λμ=-，可判断.【详解】 ①若1ABλ=，1ACμ=，则AB AC AP ABAC=+，因为,AB AC ABAC是和,AB AC 同向的单位向量，则P 在BAC ∠的角平分线上，但不一定是内心，故①错误；②若1λμ==，则AP AB AC =+，则根据平行四边形法则可得，P 在BC 边中线的延长线上，故直线AP 经过ABC 的重心，故②正确；③若1λμ+=，且0μ>，则()1=AP AB AC AB AB AC μμμμ=-+-+，即()==AP AB AB AC AC AB μμμ--+-，即=BP BC μ，则点P 在线段BC 上或BC 的延长线上，故③错误；④若1λμ+>，()()11AP AB AC AC λλλμ=+-++-，整理可得()1CP CB AC λλμ=++-，10λμ+->，根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故④正确；⑤若01λμ<+<，则令1132=λμ=-，，则1132AP AB AC =-+，则根据向量加法的平行四边形法则可判断点P 在ABC 外，故⑤错误. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查向量基本定理的应用，解题的关键是正确利用向量的线性运算进行判断，合理的进行转化，清楚向量加法的平行四边形法则.14．【分析】设根据得到取中点为D 又由中点坐标得到再由得到的范围然后由求解【详解】设如图所示：因为所以取中点为D 因为所以解得所以所以点C 是以D 为圆心半径为的圆上运动又因为所以当AOB 共线时取等号所以所以【解析：3【分析】设,,OA a OB b OC c ===，根据||2,||2||a b a b -==，得到||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，又()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，由中点坐标得到CD ==⎭2OA OB AB -≤=，得到||OA OD ⎛= 范围，然后由||||||||3c OC OD DC OD =≤+≤+.【详解】设,,OA a OB b OC c ===，如图所示：因为||2,||2||a b a b -==，所以||2,||2||AB OA OB ==，取AB 中点为D ，因为()()2a c b c CA CB -⋅-=⋅=，所以2222||||24AB CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=，解得228CB CA +=，所以22212322CB CA CD CB CA CB CA ⎛⎫+==++⋅= ⎪⎝⎭所以点C 是以D 3的圆上运动，又因为2OA OB AB -≤=，所以2OB ≤，当A ，O ，B 共线时，取等号，所以2221||222OA OB OD OB OA OB OA ⎛⎫+==++⋅ ⎪⎝⎭， ()222112104322OB OA AB OB =+-=-≤，所以||||||||333c OC OD DC OD =≤+≤+≤. 【点睛】关键点点睛：平面向量的中点坐标公式的两次应用：一是22CB CA CD ⎛⎫+= ⎪⎝⎭||2,||2||AB OA OB ==求得定值，得到点C 是以D 为圆心的圆上，实现数形结合；二是||2OA OD ⎛= ⎝⎭2OA OB AB -≤=确定范围，然后由||||||c OC OD DC =≤+求解.15．3【分析】根据向量关系即可确定的形状再根据向量投影的计算公式即可求得结果【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆半径为2若故可得是以角为直角的直角三角形又因为且外接圆半径是故可得则故向量在向量方向上的投影解析：3 【分析】根据向量关系，即可确定ABC 的形状，再根据向量投影的计算公式，即可求得结果.【详解】因为圆O 为△ABC 的外接圆，半径为2，若2AB AC AO +=，故可得ABC 是以角A 为直角的直角三角形.又因为OA AC =，且外接圆半径是2，故可得224BC OA AC ===，则AB =，AB cos ABC BC ∠==，故向量BA 在向量BC 方向上的投影为32AB cos ABC ⨯∠==. 故答案为：3. 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属中档题.16．6【分析】建立平面直角坐标系求得点P 的坐标进而得到的坐标再利用数量积的坐标运算求解【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则设因为解得所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积解析：6 【分析】建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，进而得到,PA PB 的坐标，再利用数量积的坐标运算求解. 【详解】如图所示建立平面直角坐标系：则()()()()04,00,40,44A B C D ，，，，，设(),P x y ，()(),,4,4BP x y PD x y ==--，因为3BP PD =，()()3434x x y y ⎧=⨯-⎪⎨=⨯-⎪⎩，解得33x y =⎧⎨=⎩，所以()3,3P ，所以()()3,1,3,3PA PB =-=--，所以()()()33136PA PB ⋅=-⨯-+⨯-=，故答案为：6. 【点睛】本题主要考查平面向量的坐标表示和数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．【详解】如图建立平面直角坐标系∴当sin 时得到最小值为故选解析：48322-【详解】如图建立平面直角坐标系，()((P 2cos θ2sin θA 22B22M 02-，，，，，，，∴()()((42cos θ2θ22cos θ2θ24PA PB PC PM ⎡⎤⋅+⋅=+⋅-++⎣⎦，，()(22cos θ2sin θ2cos θ2sin θ216sin θ322sin θ32⎡⎤⋅+=++⎣⎦，，，当sin θ1=-时，得到最小值为48322-48322-18．【分析】根据得到然后两边平方结合求得再由求解即可【详解】因为所以所以所以因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算还考查了运算求解的能力属于中档题解析：52【分析】根据0a b c d +++=，得到++=-a b c d ，然后两边平方结合2a =，3b =，4c =，4d =，求得⋅+⋅+⋅a b a c b c ，再由()()a b b c +⋅+=2⋅+⋅+⋅+a b a c b c b 求解即可. 【详解】因为0a b c d +++=，所以++=-a b c d ，所以()()22++=-a b cd ，所以()()()()2222222+++⋅+⋅+⋅=-a b c a b a c b c d ，因为2a =，3b =，4c =，4d =，所以132⋅+⋅+⋅=-a b a c b c ， ()()a b b c +⋅+=252⋅+⋅+⋅+=a b a c b c b . 故答案为：52【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19．【分析】由已知得应用向量的运算律求出关系利用三角换元结合正弦函数的有界性即可求解【详解】在矩形中令其中最小值最大值分别为的取值范围为故答案为:【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算解题的关键解析：⎡⎢⎣⎦. 【分析】由已知得2||1AP =，应用向量的运算律，求出,λμ关系，利用三角换元结合正弦函数的有界性，即可求解. 【详解】在矩形ABCD 中，,0AB AD AB AD ⊥∴⋅=22222222||()41AP AB AD AB AD λμλμλμ=+=+=+=,令12cos ,sin ,cos sin sin()22λθμθλμθθθϕ==+=+=+，其中1tan 2ϕ=，λμ+最小值、最大值分别为22-,λμ+的取值范围为55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为:55,⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，解题的关键用换元法将问题转化为求三角函数的最值，属于中档题.20．6【分析】根据平方处理求得即可得解【详解】在中已知点是边的中点解得则故答案为：6【点睛】此题考查平面向量的基本运算关键在于根据向量的运算法则求出模长根据数量积的运算律计算求解解析：6 【分析】根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，3CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅ 211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB = 则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解.三、解答题21．（1）2AB b a =-，12CE a b =+；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出2CB b =，利用AB CB CA =-与12CE CA AB =+化简可得答案；（2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，求出,2a AD a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得0AD CE ⋅=，进而可得答案.【详解】（1）∵CA a =，CD b =，点D 是CB 的中点， ∴2CB b =，∴2AB CB CA b a =-=-，∵()1112222CE CA AE a AB a b a a b =+=+=+-=+. （2）以C 点为坐标原点，以CB ，CA 为x ，y 轴，建立如图所示平面直角坐标系，设()0,A a ，∴B 点坐标为(),0a ，另设点E 坐标为(),x y ，∵点D 是CB 的中点， ∴点D 坐标为,02a ⎛⎫⎪⎝⎭，又∵2AE EB =，∴()(),2,x y a a x y -=--，∴23a x =，3a y =，所以,2a AD a ⎛⎫=-⎪⎝⎭，2,33a a CE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()20233a a aAD CE a ⋅=⨯+-⨯=， ∴AD CE ⊥.【点睛】方法点睛：平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．22．（1）()3,6c =或()3,6c =--；（2）10-. 【分析】（1）设(),c x y =，由平面向量平行的坐标表示及模的坐标表示可得2y x=⎧=即可得解；（2）由平面向量垂直可得()()20a b a b +⋅-=，再由平面向量数量积的运算可得1a b ⋅=-，最后由cos ,a ba b a b⋅=⋅即可得解. 【详解】（1）设(),c x y =，因为()1,2a =，//a c ，35c =，所以235y x x y =⎧+=⎪⎩36x y =⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以()3,6c =或()3,6c =--；（2）因为()1,2a =，所以14a =+又()()2a b a b +⊥-，2b =，所以()()22225220a b a b aa b ba b +⋅-=+⋅-=+⋅-⨯=，所以1a b ⋅=-，所以cos ,5a b a b a b⋅===⨯⋅【点睛】本题考查了平面向量共线及模的坐标表示，考查了平面向量数量积的应用及运算求解能力，属于中档题. 23．（1）8m =（2）【分析】（1）先得到()4,2a b m +=-，根据()a b b +⊥可得()0a b b +⋅=,即可求出m ；（2）根据·1a b =-求出m=2,再根据cos ,a b b a b b a b⋅=⋅求b 在向量a 方向上的投影.【详解】()()14,2a b m +=-；()a b b +⊥；()34220m ∴⋅--=；8m ∴=；()2321a b m ⋅=-=-；2m ∴=；()1,2a ∴=；b ∴在向量a 方向上的投影为cos ,55a b b a b b a b⋅=⋅==-．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题. 24．（1）1t =-；（2）23π. 【分析】（1）根据题意，设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，分析可得11ktk=-⎧⎨=⎩，解可得t 的值；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；由数量积的计算公式可得a 、||b 以及a b ，由cos a b a bθ⋅=计算可得答案．【详解】（1）∵根据题意，向量12a e e =+，21b e te =-，若//a b ，则设a kb =，则有122112()()e e k e te kte ke +=-=-+，则有11kt k =-⎧⎨=⎩，解可得1t =-；（2）根据题意，设向量a ，b 的夹角为θ；若2t =，则212b e e =-，则2221||(2)3b e e =-=，则||3b =，又由12a e e =+，则2212||()3a e e =+=，则||3a =，又由12213()(2)2a b e e e e =+-=-，则312cos 2||||3a b a b θ-===-⨯，又由0θπ，则23πθ=；故向量a ，b 的夹角为23π．【点睛】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算公式，属于基础题．25．（1）23-；（2 【分析】（1）由//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，建立方程组可得答案；（2）由已知求得12e e ⋅，再由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，可解得λ，再利用向量的模的计算方法可求得答案. 【详解】（1）因为//a b ，所以存在唯一实数ｔ，使得b ta =，即()121223e e t e e λ+=-，所以23t tλ=⎧⎨=-⎩，解得23λ=-；（2）由已知得122111cos32e e π⋅=⨯⨯=-，由a b ⊥得()()1212230e e e e λ-⋅+=，即()12+32302λλ⎛⎫-⨯--= ⎪⎝⎭，解得4λ=，所以124a e e =-，所以22121212||416821a e e e e e e =-=+-⋅=||21a =．【点睛】本题考查向量平行的条件和向量垂直的条件，以及向量的模的计算，属于中档题.26．（1）60C =︒；（2. 【分析】（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式以及二倍角公式，求得cos C 的值，可得C 的值．（2）利用两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理化简，可得结果．【详解】（1）由题意知，0m n =，即222cos2sin 02CC -=，21cos 2(1cos )0C C +--=， 22cos cos 10C C +-=，即cos 1C =-，或1cos 2C =，因为0C π<<，所以60C =︒．（2）2222221122a b c a b c =+⇒-=，222222sin()sin cos sin cos 2222a a c b b b c a A B A B B A R ac R bc+-+--=-=- ()222214442a b c c sinC cR cR R -=====．【点睛】本题主要考查两个向量数量积公式，两角差的正弦公式，正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．。

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》

高中数学竞赛试题汇编五《平面向量》1. 在ABC ∆中，BC BA CB CA ⋅=⋅ ，则ABC ∆是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.以上均不对答案：1.利用cos cos c B b C =，2.利用()0BC AB AC ⋅+= ，选A 2. 在直角坐标系xoy 中，已知三点(,1),(2,),(3,4)A a B b C ，若向量,OA OB 在OC 上的投影相同，则34a b -=答案：方法1：OA OC OB OC ⋅=⋅ ，方法2：AB OC ⊥ ，342a b -=3. 设,a b 是非零向量，且2a = ，22a b += ，则a b b ++ 的最大值是答案： 22，利用几何意义.【2012湖南】已知()()375a b a b +⊥- ，且()()472a b a b -⊥- ，则a b 与的夹角是答案：22=2a b a b =⋅ ，3a b π= ,.4. 在ABC ∆中，点O 为BC 的中点,过点O的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB mAM = ，AC nAN = ，则m n +的值为答案：()1222m n AO AB AC AM AN =+=+ ，MON 三点共线. 2m n +=. 5. 在ABC ∆中3,5,6AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= 答案：余弦定理，35-.6. 在ABC ∆中，若321AB BC BC CA CA AB ⋅⋅⋅== ，则tan A = 答案：余弦定理得，222::5:3:4a b c =，1cos 23A =，tan 11A = A B CM O N7. 已知O 是ABC ∆的外接圆，8,6AC AB ==，则AO BC ⋅=答案：14AO BC ⋅=8. 已知ABC ∆的外接圆圆心P 满足()25AP AB AC =+ ，则cos BAC ∠= 答案：1cos 4BAC ∠= 9. 在△ABC 中，AB=BC=2，CA=3.①求AB AC ⋅ ；②设△ABC 的内心为O ，求满足AO=pAB+qAC 的实数p 、q 的值.10. 在ABC ∆中，AB 与BC 的夹角为150°，2AC = ，则AB 的取值范围是答案：sin sin 30AB ACC = ，4sin AB C = ，0°<C<150°，(0,4]AB ∈ .11. P 是ABC ∆所在平面内的一点，满足PA PB PC BC --= ，则ABP ABCS S ∆∆= 答案：共起点，2PA PC = ，2:112. 已知O 是ABC ∆内一点，且432AO AB BC CA =++ ，则ABC OBCS S ∆∆= 答案：共起点，2,AD AO D shi BC dezhongdian = ，213. O 是ABC ∆内一点，且1134AO AB AC =+ ，则OAB OBC S S ∆∆= 答案：共起点，5430OA OB OC ++= ，5OA OA '= ，4OB OB '= ，3OC OC '= ，则0OA OB OC '''++= ，O 是A B C '''∆的重心，所以OA B OB C OC A S S S ''''''∆∆∆==， 120OAB OA B S OA OB S OA OB ∆''∆=⋅=''，112OBC OB C S OC OB S OC OB ∆''∆=⋅=''，35OAB OBC S S ∆∆=.。

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