高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4
������������ = ������������ + ������������ = ������������ =a+ (b-a)= a+ b,
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若e1与e2不共线,则e1,e2可作为平面向量的基底. ( ) (2)任何向量在基底{e1,e2}下的表示式a=a1e1+a2e2是唯一的. ( ) (3) ������������=m������������+n������������ ,若A,B,P三点共线,则m+n=1. ( ) (4)在同一平面内,向量的基底是唯一的. ( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2.2.1 平面向量基本定理
课 标 阐 释 思 1.掌握平面向量基本定理及其 意义. 2.掌握平面向量基本定理的应 用. 3.了解直线的向量参数方程.
维
脉
络
一
二
一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为(
)
A.e1-3e2 B.-2e1-4e2 C.3e2-e1 D.3e1-e2 答案:A 2.填空: 平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向 量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式.
一
二
二、直线的向量参数形式 【问题思考】
1.已知 A∈l,B∈l,P∈l,O∉l,若������������=x������������+y������������,则 x,y 满足的条件 是什么?(x,y∈R)
提示:x+y=1.
2.填空: 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任 一点 P,存在实数 t,使������������关于基底{������������, ������������}的分解式为 ������������=(1-t)������������+t������������,这个等式叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫做参变数,简称参数.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
例 2 中,用������������ , ������������ 表示������������.
解: ������������ = ������������ + ������������ = ������������ + ������������ = ������������ +(������������ − ������������ )=2������������ − ������������ .
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
用基底表示向量
【例 2】 已知在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分 点,若������������=a,������������ =b,用 a,b 表示������������, ������������ , ������������ .
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
变式训练1设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.对同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R) 答案:D
一
二
3.做一做:如图①,已知e1,e2,求作向量4e1-e2.
图①
解: 作法一:(1)如图②,任取一点 O,作������������=4e1,������������=-e2.
图② 图③ 图④ (2)作▱OACB,������������ 就是所求作的向量. 作法二:(1)如图③,任取一点 O,作������������=4e1,������������=-e2. (2)连接 OB,则������������就是所求作的向量. 作法三:(1)如图④,任取一点 O,作������������=-4e1,������������=e2. (2)连接 BA,则������������就是所求作的向量.
1 2 1 2 1 2
1 + ������������ 2
= ������������
1 + (������������ 2
− ������������)
������������ = ������������ + ������������ =a+ (b-a)= a+ b, ������������ = ������������
1 2 1 3 3 3 2 1 2 + ������������ =a+ (b-a)= a+ b. 3 3 3
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
反思感悟 用基底来表示向量主要有以下两种类型 (1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与 平行四边形法则求解. (2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采 用方程思想求解.
探究一
探究二
探究三
探究四
思想方法
对平面向量基本定理的理解 【例1】 如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么( ) A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2是实数 C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 解析:基底是该平面内一对不共线向量,向量可以平移,所以不共 线的两个向量一定共面.平面内任一向量a,存在唯一实数对λ1,λ2使 a=λ1e1+λ2e2.但a是空间中任一向量时却未必有这个结论.故B,C,D 均错,应选A. 答案:A
人教版高中数学必修四第二章平面向量第三节第二课时平面向量的正交分解及坐标表示教学课件
a (x, y)
① 0 = （0，0）
其中，x叫做 a 在x轴上的坐标，y叫做
①式叫做向量的坐标表示。
a
在y轴上的坐标，
注意：平面向量 a 的坐标跟起点终点的具体位置没有关系。
例1：如图，在直角坐标系中，
已知A(1,0) , B(0,1) , C(3,4) , D(5,7).
y
7
D
设 OAi,OBj，填空：
•
7.诗歌批评庸俗化趋势亟须扭转。文 学批评 的职业 公信力 需要树 立，批 评家需 要贡献 学术良 知。果 真如此 ，对诗 歌和读 者，都 将是福 音。
•
8.中国音乐在发展过程中，不断承传 自我， 吸收各 地音乐 ，器乐 发达， 演奏形 式丰富 。金、 石、土 、革、 丝、木 、匏、 竹，皆 可作乐 器。乐 曲类型 已有祭 神乐、 宴乐、 军乐、 节庆乐 等区别 。玄宗 时已有 超百人 的大型 交响乐 团，其 演员按 艺术水 平分为 “坐部 伎”与 “立部 伎”。
• 对直角坐标平面内的每一个向量，如何表 示呢？
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
y
对于起点在原点的向量 OA
N
OM=xi ON=y j
j
OA=OM+ON
oi
=xi +y j
A (x,y)
M
x
如图，i , j 是分别与x轴、y轴方向相同
的单位向量，若以 i , j 为基底，
j oi B
这里，我们把（x,y）叫做向量a 的坐标，记作
a (x, y)
D x
作业：
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平面向量的分解ppt课件
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二、平面向量的夹角
问题1：两条直线存在夹角，那么两个向量也有 夹角吗？ 提示：有． 问题2：两条直线在什么情况下互相垂直？ 提示：所成的角为90°时．
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两向量的夹角与垂直
(1) 夹角：已知两个非零向量 a和b，作 OA ＝a， OB ＝b， 则∠AOB ＝θ叫做向量a与b的夹角．
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3
问题3：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么 与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？ 根据是什么？
提示：可以，根据是数乘向量和平行四边形法则．
问题4：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1， e2表示？为什么？
提示：不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能 表示．
1. 如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，判断下列说法是 否正确．
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量； ②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ) 有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数 λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
[答案] 30° 120°
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跟踪练习
1．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，则 AC 与 CB 的 夹角θ＝________.
解析：如图所示，延长AC到D，使AC＝CD， 则 AC ＝ CD ，∠BCD是 AC 与 CB 的夹角．由于 ∠BCD＋∠ACB＝180°， ∠ACB＝60°，则∠BCD＝180°－60°＝120°， 即θ＝120°.
平面所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可以作为表示该平面
高中数学第二章平面向量2.2.1向量加法运算及其几何意义课件3新人教A必修4
【即时小测】
1.思考下列问题.
(1)两个向量相加结果可能是一个数量吗？ 提示：不能，实数相加结果是数，而向量具有方向，所以相加的结果 是向量. (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加，这种说法对吗？ 提示：这种说法是不正确的.向量既有大小又有方向，在进行向量相 加时，不仅要确定长度还要确定向量的方向.
答案：CF
知识点1 向量的加法
【知识探究】
观察图形，回答下列问题：
问题1：三角形法则和平行四边形法则的使用条件有何不同？ 问题2：共线向量怎样进行求和？ 问题3：当涉及多个向量相加时，运用哪个法则求解？
【总结提升】 1.对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的三点说明 (1)两个法则的使用条件不同. 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于 两个不共线的向量求和. (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的. (3)在使用三角形法则时要注意“首尾相连”，在使用平行四边形法 则时需要注意两个向量的起点相同.
3.如图，在正六边形ABCDEF中BuuAur
uuur CD
uur EF
=______.
【解析】根据正六边形的性质，对边平行且相等，我们容易得到
uuur uuur uur uuur uuur uur uur uuur uur BA CD EF BA AF EF BF CB CF.
uur
【解题探究】典例图1中a与b有何关系，图2两向量相加可采用哪种方
法进行？图3三向量相加可采用哪种方法进行？ 提示：图1中向量a与向量b共线，图2中两向量相加可采用三角形法则 或平行四边形法则进行.图3中三向量相加可采用三角形法则或平行四 边形法则进行.
【解析】如图中(1)，(2)所示， 首先作OuuAu=r a，然后作 Auu=Burb，则 Ou=uBura+b.
高中数学第2章平面向量2.2.1平面向量基本定理教案含解析新人教B版必修4
2.2.1 平面向量基本定理1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数a 1，a 2，使a ＝a 1e 1＋a 2e 2.(2)基底：把不共线向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{e 1，e 2}．a 1e 1＋a 2e 2叫做向量a 关于基底{e 1，e 2}的分解式．2．直线的向量参数方程式 (1)向量参数方程式：已知A ，B 是直线l 上任意两点，O 是l 外一点(如图所示)，对直线l 上任意一点P ，一定存在唯一的实数t 满足向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →；反之，对每一个实数t ，在直线l 上都有唯一的一个点P 与之对应．向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →叫做直线l 的向量参数方程式，其中实数t 叫做参变数，简称参数．(2)线段中点的向量表达式：在向量等式OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中，令t ＝12，点M 是AB 的中点，则OM →＝12(OA →＋OB →)．这是线段AB 的中点的向量表达式．思考：平面向量的基底选取有什么要求？它是唯一的吗？[提示] 平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底，基底不唯一，但选取时应尽量选有利于解决问题的基底，并且基底一旦选中，给定向量沿基底的分解是唯一确定的．1．已知平行四边形ABCD ，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是( ) A.AB →，DC →B.AD →，BC →C.BC →，CB →D.AB →，DA →D [由于AB →，DA →不共线，所以是一组基底．]2．已知AD 为△ABC 的边BC 上的中线，则AD →等于( ) A.AB →＋AC →B.AB →－AC →C.12AB →－12AC → D.12AB →＋12AC → D [根据线段BC 的中点向量表达式可知AD →＝12(AB →＋AC →)＝12AB →＋12AC →，故选D.]3．下列关于基底的说法正确的是________(填序号)． ①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底． ②基底中的向量可以是零向量．③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的． ①③ [①③正确；对于②，由于零向量与任意向量平行，所以基底中不能有零向量．]【例1】 设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM ＝3BC ，CN ＝3CA ，AP ＝3AB ，若AB ＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 将MN →，NP →，PM →表示出来．[思路探究] 把a ，b 看成基底，先将三角形三边上的有关向量表示出来，然后再根据向量加法或减法的三角形法则，即可将MN →，NP →，PM →用基底来表示．[解] NP →＝AP →－AN →＝13AB →－23AC →＝13a －23b .MN →＝CN →－CM →＝－13AC →－23CB →＝－13b －23(a －b )＝－23a ＋13b .PM →＝－MP →＝－(MN →＋NP →)＝13(a ＋b )．平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量.用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算.(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量.1.如图，设点P ，Q 是线段AB 的三等分点，若OA →＝a ，OB →＝b ，则OP →＝________，OQ →＝________.(用a ，b 表示)23a ＋13b 13a ＋23b [OP →＝AP →－AO →＝13AB →＋OA → ＝13(OB →－OA →)＋OA → ＝23OA →＋13OB →＝23a ＋13b . OQ →＝AQ →－AO →＝23AB →＋OA →＝23(OB →－OA →)＋OA →＝13OA →＋23OB →＝13a ＋23b .]【例2】 已知平面内两定点A ，B ，对该平面内任一动点C ，总有OC ＝3λOA ＋(1－3λ)OB (λ∈R ，点O 为直线AB 外一点)，则点C 的轨迹是什么图形？并说明理由．[思路探究] 将所给向量式与直线的向量参数方程式比较易得答案，也可以考虑将所给向量式化简后再观察特点．[解] 将已知向量等式两边同时减去OA →，得OC →－OA →＝(3λ－1)OA →＋(1－3λ)OB →＝(1－3λ)(OB →－OA →)＝(1－3λ)AB →，即AC →＝(1－3λ)AB →，λ∈R ，又AC →，AB →共始点， ∴A ，B ，C 三点共线， 即点C 的轨迹是直线AB .理解直线的向量参数方程式时要注意OP →＝(1－t )OA →＋tOB →中三向量共始点，左边向量的系数是1，右边两向量的系数之和为1，也可以结合向量加法的平行四边形法则进行理解.2.如图，设一直线上三点A ，B ，P 满足 AP →＝λPB →(λ≠－1)，O 是平面上任意一点，则( )A.OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)B.OP →＝OA →＋λOB →1－λC.OP →＝OA →－λOB →1＋λ(λ≠－1)D.OP →＝OA →－2λOB →1－λA [∵一条直线上三点A 、B 、P 满足AP →＝λPB →(λ≠－1)， ∴OP →－OA →＝λ(OB →－O P →)， 化为OP →＝OA →＋λOB →1＋λ(λ≠－1)．]1．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则三点P ，A ，B 具有什么样的位置关系？ [提示] 三点P ，A ，B 在同一直线上．在向量等式OP →＝xOA →＋yOB →中，若x ＋y ＝1，则P ，A ，B 三点共线；若P ，A ，B 三点共线，则x ＋y ＝1.2．平面向量基本定理的实质是什么？[提示] 平面向量基本定理的实质是把任一向量两个方向进行分解．【例3】 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →＝b ，点M 是AB 的靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 的靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →.[思路探究] 可利用OP →＝tOM →及OP →＝ON →＋NP →＝ON →＋sNB →两种形式来表示OP →，并都转化为以a ，b 为基底的表达式．根据任一向量基底表示的唯一性求得s ，t ，进而求得OP →.[解] OM →＝OA →＋A M →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b .因为OP →与OM →共线， 故可设OP →＝tOM →＝t 3a ＋2t 3b .又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →＝34OA →＋s (OB →－ON →)＝34(1－s )a ＋s b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧34(1－s )＝t 3，s ＝23t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝910，s ＝35，所以OP →＝310a ＋35b .1．任意一向量基底表示的唯一性的理解：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理； (2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．3．如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →.[解] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ， 满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足： AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b ，由于a ，b 为基底，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，所以AE →＝25a ＋15b .(教师用书独具)1．基底的性质(1)不共线性：平面内两个不共线的向量才可以作为一组基底，基底不同，表示也不同．由于零向量与任何向量共线，所以零向量不可以作为基底．(2)不唯一性：对基底的选取不唯一，平面内任一向量a 都可被这个平面的一组基底e 1，e 2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的．2．用基底表示向量的两种方法(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解.1．已知向量a ＝e 1－2e 2，b ＝2e 1＋e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1－2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定B [∵a ＋b ＝3e 1－e 2，∴c ＝2(a ＋b )，∴a ＋b 与c 共线．]2．如果e 1，e 2是平面α内所有向量的一组基底，那么，下列命题正确的是( ) A ．若实数λ1，λ2，使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．平面内任一向量a 都可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC ．λ1e 1＋λ2e 2不一定在平面α内，λ1，λ2∈RD ．对于平面α内任意一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1、λ2有无数对A [考查平面向量基本定理．因为e 1，e 2不共线，所以λ1e 1＋λ2e 2＝0，只能λ1＝λ2＝0.B 选项λ1，λ2∈R 不对，应该是唯一数对；C 选项λ1e 1＋λ2e 2一定在平面α内；D 选项应该是唯一一对．]3．已知A ，B ，D 三点共线，且对任意一点C ，有CD →＝43CA →＋λCB →，则λ＝________.－13[∵A ，B ，D 三点共线， ∴存在实数t ，使AD →＝tAB →，则CD →－CA →＝t (CB →－CA →)，即CD →＝CA →＋t (CB →－CA →)＝(1－t )CA →＋tCB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－t ＝43，t ＝λ，即λ＝－13.]4．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .[解] ∵a ，b 不共线，∴可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝7，－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，∴c ＝a －2b .。
第2节平面向量基本定理及坐标表示课件
5.已知 A(－5，8)，B(7，3)，则与向量A→B反向的单位向量为___－__11_23_，__1_53____. 解析 由已知得A→B＝(12，－5)，所以|A→B|＝13， 因此与A→B反向的单位向量为－113A→B＝－1132，153.
6.给出下列三个向量：a＝(－2，3)，b＝1，－32，c＝(－1，1)，在这三个向量中
第五章 平面向量、复数
考试要求
1.理解平面向量基本定理及其意义. 2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. 3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.
内容 索引
知识诊断 基础夯实
考点突破 题型剖析
分层训练 巩固提升
知识诊断 基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
4.如图，平面内有三个向量O→A，O→B，O→C，其中O→A与O→B的夹
角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°，且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|
＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的值为___6_____.
解析 以O为原点，OA为x轴建立直角坐标系，
则 A(1，0)，C(2 3cos 30°，2 3sin 30°)，B(cos 120°，sin 120°). 即 A(1，0)，C(3， 3)，B－21， 23. 由O→C＝λO→A＋μO→B得，λ2－3μ12＝μ＝33.， ∴μλ＝＝42.，∴λ＋μ＝6.
则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ<0，
则|b|＝ 9λ2＋16λ2＝5|λ|＝10，
∴λ＝－2，b＝(6，－8).
3.(多选)已知向量O→A＝(1，－3)，O→B＝(2，－1)，O→C＝(m＋1，m－2)，若 A，B，
人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学第二章平面向量2.3.2平面向量的坐标运算(1)课件苏教版必修4
知识点三 思考 1
平面向量的坐标运算
设i、j 是与x轴、y轴同向的两个单位向量，若设a ＝(x1 ，y1) ，b
＝(x2，y2)，则a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j，根据向量的线性运算性质，向 量a＋b，a－b，λa(λ∈R)如何分别用基底i、j表示？
答 a＋b＝(x1＋x2)i＋(y1＋y2)j，
第2章 §2.3 向量的坐标表示
2.3.2 平面向量的坐标运算(一)
学习目标
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示. 2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则. 3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来.
问题导学
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问题导学
知识点一 平面向量的正交分解
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2，2λ1＋3λ2)，
λ ＝1， 1 7 －1＝λ1－2λ2， ∴ 解得 4 2＝2λ1＋3λ2， λ＝ . 2 7
1 4 ∴a＝7e1＋7e2.
解析答案
1
2
3
4
5
→ 1→ 4.已知两点 M(3,2)，N(－5，－5)，MP＝2MN，则点 P
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题型探究
类型一 求向量的坐标
例1 如图，在直角坐标系xOy中，OA
重点难点 个个击破
＝ 4 ， AB ＝ 3 ， ∠AOx ＝ 45°， ∠OAB → → ＝105°， OA ＝a， AB ＝b.四边形 OABC为平行四边形. (1)求向量a，b的坐标；
解析答案
→ (2)求向量BA的坐标；
解
解析 因为点 P 在 MN 的延长线上，|MP|＝2|PN|，
→ → 又MN＝(0,5)－(2，－1)＝(－2,6)，所以MP＝(－4,12)，
人教高中数学必修二B版《向量基本定理与向量的坐标》平面向量初步PPT(平面向量的坐标及其运算)
1
||
5
(2)与 a 平行的单位向量是± =± (4,-3),
即坐标为
4 3
,-
5 5
4 3
或 -5 , 5 .
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思维辨析
(3)设与 a 垂直的单位向量为 e=(m,n),
3
则 a·e=4m-3n=0,∴ = .
又∵|e|=1,∴m2+n2=1.
3
解得
= ,
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思维辨析
解:(1)作 AM⊥x 轴于点 M,
2
则 OM=OA·cos 45°=4× =2 2,
2
2
AM=OA·sin 45°=4× 2 =2 2,
∴A(2 2,2 2),故 a=(2 2,2 2).
∵∠AOC=180°-105°=75°,∠AOy=45°,
∴∠COy=30°.又 OC=AB=3,
5 + 5 < 0,
∴λ<-1,
4 + 7 < 0,
∴当 λ<-1 时,点 P 在第三象限内.
(2)若 P 在第三象限内,则
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反思感悟1.解答本题可用待定系数法.此法是最基本的数学方法
之一,实质是先将未知量设出来,建立方程(组)求出未知数的值,是
坐标(x,y),也就是点 A 的坐标(x,y);反之,点 A 的坐标(x,y)也是点 A 相
对于坐标原点的位置向量的坐标;
(2)符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义,它既可以表示一个固