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平面向量经典例题讲解

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. 平面向量经典例题讲解

讲课时间:___________：___________课时：___________讲课教师：___________

一、选择题（题型注释）

1． 空间四边形OABC中，OAauuurr,OBbuuurr, OCcuuurr,点M在OA上，且MAOM2，N为BC的中点，则MNuuuur=（ ）

A．121-232abcrrr B．211322abcrrr

C．112-223abcrrr D．221-332abcrrr

【答案】B

【解析】

试题分析：因为N为BC的中点，则1()2ONOBOCuuuruuuruuur，12()23MNONOMOBOCOAuuuuruuuruuuuruuuruuuruuur112223bcarrr，选B

考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；

2．已知平面向量a，b满足||1a，||2b，且()aba，则a与b的夹角是（ ）

（A）56 （B） （C）3 （D）23

【答案】D

【解析】

试题分析：2()()00abaabaaabrrrrrrrrrQ，||1a，||2b，设夹角为，则212112cos0cos23aabrrr

考点：本题考查向量数量积的运算

点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos的值，求出角

3．若OAuur、OBuuur、OCuuur三个单位向量两两之间夹角为60°，则OAOBOCuuruuuruuur

A.3 B.3 C.6 D.6

【答案】D

【解析】

试题分析：OAuur、OBuuur、OCuuur三个单位向量两两之间夹角为60°222222232cos602cos602cos60abcabcabbcacabbcacooorrrrrrrrrrrrrrrrrr6

6abcrrr

考点:向量的数量积.

4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点OE，是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F,若ACauuurr，BDbuuurr，则AFuuur( )

A.1142abrr B.1233abrr C.1124abrr D.2133abrr

【答案】D

【解析】

试题分析：由题意可知，AEB与FED相似，且相似比为3:1，所以13DFDCuuuruuur,由向量加减法的平行四边形法则可知，,ABADaADABbuuuruuurruuuruuurr，解得，,22ababADABrrrruuuruuur，由向量加法的三角形法则可知，121333AFADDFADABabuuuruuuruuuruuuruuurrr,故D正确。

考点：平面向量的加减法

5．在边长为1的等边ABC中，,DE分别在边BC与AC上，且BDDCuuuruuur，2AEECuuuruuur

则ADBEuuuruuur（ ）

A．12 B． 13 C．14 D．16

【答案】A

【解析】

试题分析：由已知,DE分别在边BC与AC上，且BDDCuuuruuur，2AEECuuuruuur 则D是BC的中轴点，E为AC的三等分点，以D为坐标原点，DA所在直线为y轴，BC边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，

)23,0(A，)0,21(C，)0,21(B，设),(yxE，由ECAE2可得：),21()23,(2yxyx，解得：33,61yx，则)23,0(AD，)33,32(BE，21BEAD

考点：平面向量的坐标运算 第3页 共14页 ◎ 第4页 共14页 6．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)ABuuur，(1,3)ACuuur，则DAuuur＝（ ）

A．（2,4） B．（3,5） C．（1，1） D．（－1，－1）

【答案】C．

【解析】

试题分析：()(1,1)DAADACABuuuruuuruuuruuur．

考点：平面向量的线性运算．

7．已知向量1,2ar，//abbrrr，则br可以为（ ）

A．1,2 B．1,2 C．2,1 D．2,1

【答案】A

【解析】

试题分析：设),(yxb，则)2,1(yxba，因//abbrrr，所以0)2()1(yxyx，02xy，只有A满足

考点：向量共线的条件

8．已知向量(2,3),(1,2)abrr，若4mabrr与2abrr共线，则m的值为（ ）

A．12 B． 2 C．12 D．2

【答案】D

【解析】

试题分析：由已知得4mabrr)83,42()2,1(4)3,2(mmm，

2abrr)1,4()2,1(2)3,2(

又因为4mabrr与2abrr共线，

所以有228140)83(4)1()42(mmmm，

故选D．

考点：1．向量的坐标运算；2．向量平行的坐标条件．

9．已知平面直角坐标系内的两个向量)2,1(a,)23,(mmb,且平面内的任一向量c都可以唯一的表示成bac,(为实数）,则实数m的取值范围是（ ）

A．(,2) B．(2,) C．(,) D．(,2)(2,)U

【答案】D

【解析】

试题分析：平面内的任一向量c都可以唯一的表示成bac,(为实数）的充要条件是)2,1(a,)23,(mmb不共线,即132202mmm,故选D.

考点：平面向量的基底及向量共线

10．若向量(1,2)ra,(2,1)rb,(4,2)rc=,则下列说法中错误．．的是（ ）

A.

abrr

B. 向量ar与向量cr的夹角为90

C.

br∥cr

D.对同一平面内的任意向量d,都存在一对实数12,kk,使得12kkdb+c

【答案】D

【解析】

试题分析：022ba，故A正确；0)2()2()4(1ca，所以B正确；cb21，故C正确；因为cb,是共线的，不能作为基底，故D错

考点：向量的夹角

11．已知向量3,4a=，若5a，则实数的值为（ ）

A．15 B．1 C．15

D．1

【答案】D

【解析】

试题分析：因为3,4a=，所以22345a，因为5aa，所以55，解得：1，故选D．

考点：1、向量的数乘运算；2、向量的模．

12．若向量2,1ar，0,2br，则以下向量中与abrr垂直的是（ ）

A．1,2 B．1,2 C．2,1 D．0,2

【答案】A

【解析】 .

. 试题分析：∵向量2,1ar，0,2br，∴(2,1)abrr，而12(2)10，∴以下向量中与abrr垂直的是1,2.

考点：向量垂直的充要条件.

13．在边长为1的正三角形ABC中，设2BCBDuuuruuur，CACEuuuruuur，若14ADBEuuuruuur，

则的值为（ ）

（A）12 （B）2 （C）13 （D）3

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可得：

12ADBEABBDBCCEABBCBCCAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

21122ABBCBCABCABCCAuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur41422121，所以31.

考点：向量的应用.

14．已知向量(1,2)ar， (1,0)br，(3,4)cr，若为实数，()abcrrr，则（ ）

A．53 B．12 C．52 D．113

【答案】D

【解析】

试题分析：1,2abrr,因为abcrrr,所以31420abcrrr,解得113.故D正确.

考点：向量垂直;向量的数量积.

15．在△ABC中，已知||4,||1ABACuuuruuur，3ABCS，则ABACuuuruuur的值为（ ）

（A）2（B）2（C）4（D）2

【答案】D

【解析】

试题分析：由题根据三角形面积公式不难得到角A的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面向量数量积运算求得结果.

13141sinA3sinAcosA,222ABCACABSACABuuuvuuuvuuuvuuuvQ，，，，

cosA2ABACABACuuuvuuuvuuuvuuuv，故选D 考点：平面向量的数量积

二、填空题（题型注释）

16．已知两个非零向量a与b，定义|a×b|＝|a|·|b|sin θ，其中θ为a与b的夹角．若a＝(－3,4)，b＝(0,2)，则|a×b|的值为________．

【答案】6

【解析】|a|＝2234＝5，|b|＝2202＝2，a·b＝－3×0＋4×2＝8，所以cos θ＝abab＝852＝45，又因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝21cos＝2415＝35.故根据定义可知|a×b|＝|a|·|b|sin

θ＝5×2×35＝6.

17．△ABC中AB＝2，AC＝3，点D是△ABC的重心，则ADuuur·BCuuur＝________．

【答案】53

【解析】设E为边BC的中点，因为点D是△ABC的重心，所以ADuuur＝23AEuuur＝23×12 (ABuuur＋ACuuur)＝13(ABuuur＋ACuuur)，又BCuuur＝ACuuur－ABuuur，所以ADuuur·BCuuur＝13(ABuuur＋ACuuur)·(ACuuur－ABuuur)＝13(ACuuur2－ABuuur2)＝53

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第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(解析版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(解析版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题

【考点分析】

考点一：平面向量等和线问题

①平面向量共线定理

已知OAOBOC，若1，则,,ABC三点共线；反之亦然。

①平面向量等和线问题

平面内一组基底,OAOB及任一向量OP，(,)OPOAOBR，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

注意：

1.当等和线恰为直线AB时，1k；

2.当等和线在O点和直线AB之间时，(0,1)k；

3.当直线AB在点O和等和线之间时，(1,)k；

4.当等和线过O点时，0k；

5.若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【典型例题】

题型一： 平面向量等和线求系数和问题

【例1】如图，在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若满足APmABnAD，则nm的最大值为（ ）

A．3 B．22 C．5 D．2

lAQBOA1B1PABDCPP1N【答案】A

【解析】法一：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，

则(0,0)A，(1,0)B，(0,2)D，(1,2)C，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，

设圆的半径为r，2BC，1CD，22215BD，1122BCCDBDr，25r，

圆的方程为224(1)(2)5xy，设点P的坐标为25(cos15，25sin2)5，

APABAD，25(cos15，25sin2)(15，0)(0，2)(，2)，

25cos15，25sin225，255cossin2sin()255，其中tan2，∵1)sin(1，∴31，故的最大值为3，故选A．

高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)

高中数学新教材高一下期末复习第一讲 平面向量及其应用(解析版)

平面向量及其应用单元复习

一 知识结构图

内

容 考点 关注点

平面向量 向量的线性运算 运算法则

向量的数量积、模、夹角 夹角范围

向量的坐标运算 公式运用

向量的平行与垂直问题 平行、方向与数量积正负的关系

利用正弦定理、余弦定理解三角形 选择合适的定理及三角形

二.学法指导

1.向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)基本原则：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．

(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．

2. 向量数量积的求解策略

(1)利用数量积的定义、运算律求解．

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．

(2)借助零向量．

即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．

(3)借助平行向量与垂直向量．

即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．

(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．

3.解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

高一数学平面向量知识点及典型例题解析

学习必备

精品知识点

高一数学 第八章 平面向量

第一讲 向量的概念与线性运算

一．【要点精讲】

1．向量的概念

①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB，a；坐标表示法),(yxjyixa。

向量的模（长度），记作|AB|.即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，规定0平行于任何向量。（与0的区别）

③单位向量｜0a｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a∥b

⑤相等向量记为ba。大小相等，方向相同),(),(2211yxyx2121yyxx

2．向量的运算

（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.

如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作ABa，BCb，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即 a+bABBCAC

特殊情况：ababa+bbaa+b(1)平行四边形法则三角形法则CBDCBAA

aabbbabaAABBCC)2()3(

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连”。 学习必备

精品知识点

②向量减法： 同一个图中画出abab、

要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.

（3）实数与向量的积

3．两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

二．【典例解析】

题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念

专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)

专题三 平面向量的平行与垂直(解析版)

专题三 平面向量的平行与垂直

1．平面向量平行(共线)的充要条件的两种形式

(1)平面向量平行(共线)充要条件的非坐标形式：a∥b(b≠0)⇔a＝λb．

(2)平面向量平行充要条件的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0；

至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐标的用(2)．这是代数运算，用它解决平面向量平行(共线)问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征．当x2y2≠0时，a∥b⇔x1x2＝y1y2，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误．公式x1y2－x2y1＝0无条件x2y2≠0的限制，便于记忆；公式x1x2＝y1y2有条件x2y2≠0的限制，但不易出错．所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式．乘积形式可总结为：“相异坐标的乘积的差为0”．

2．三点共线的充要条件的三种形式

(1)A，P，B三点共线⇔AP＝λAB (λ≠0)

(2)A，P，B三点共线⇔OP＝(1－t)·OA＋tOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)

(3)A，P，B三点共线⇔OP＝xOA＋yOB(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．

3．非零向量垂直的充要条件的两种形式

(1)平面向量垂直的非坐标形式：a⊥b⇔ a·b＝0．

(2)平面向量垂直的坐标形式：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；

至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，数量积的运算a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b．一般情况涉及坐标的用(2)．坐标形式可总结为：“相应坐标的乘积的和为0”．

考点一 平面向量的平行

【方法总结】

两平面向量平行的充要条件既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当然也可解决三点共线的问题．高考试题中一般是考查已知两向量平行或三点共线求参数，并且以给出向量的坐标为主．解决此类问题的方法是借助两平面向量平行的充要条件列出方程(组)，求出参数的值．注意方程思想和待定系数法的运用．

第2讲 平面向量(解析版)

第2讲 平面向量(解析版)

1/20第2讲平面向量技巧导图

技巧详讲

一：奔驰定理

1：奔驰定理内容---三角形的面积比等于其所对应的系数比

已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS，BS，CS，求证：

0OCSOBSOASCBA•••::0,::xyzxyzABCOAOBOCSSS

（或）则

2.推导过程

证明方法一：如图延长OA与BC边相交于点D则

BC

CODACDBODABD

CODBOD

ACDBDSS

DCBD

SSSS

SS

SSA







ODBCDCOB

BCBD

OC

CBBSSSOB

CBCSSSOC

CBA

COABOACODBOD

COACOD

BOABODSSS

SSSS

SS

SS

OAOD



CBA

SSSOD

OA

CBA

SSS

OA

CBBSSS

OB

CBCSSS

OC0OCSOBSOASCBA

推论O是ABC内的一点，且0OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC::::2/20二.极化恒等式

1.内容：同起点的数量积等于第三边中线的平方减去第三边一半的平方

2.推导过程：2222ABACADBDADBDuuuruuuruuuruuuruuuruuurg

三．三角形的四心

1.推论

（1）重心：中线的交点，

①O是ABC的重心1:1:1::AOBCOABOCSSS0OCOBOA

②中线长度分成2：1

③1()3OGOAOBOC=12312333xxxyyy（,）

（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等

①O是ABC的内心cbaSSSAOBCOABOC::::0OCOBOAcba3/

20O②(菱形性质）ABACAO

ABAC





平面向量基本定理及经典例题

平面向量基本定理及经典例题

精品文档

。 1欢迎下载 平面向量基本定理

一．教学目标：

了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；

教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.

二.课前预习

1.已知a=(x,2)，b=(1,x)，若a//b，则x的值为 ( )

A、2 B、 2 C、 2 D、 2

2.下列各组向量，共线的是 ( )

()A(2,3),(4,6)ab ()B(2,3),(3,2)ab

()C(1,2),(7,14)ab ()D(3,2),(6,4)ab

3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(CBA,且CBCNCACM2,3,则MN____

4．已知点(1,5)A和向量a=(2,3),若AB=3a,则点B的坐标为

三.知识归纳

1. 平面向量基本定理：如果12,ee是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数12,，使1122aee成立。其中12,ee叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；

2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作基底，则对任一向量a，有且只有一对实数x，y，使jyixa、就把_________叫做向量a的坐标，记作____________。

3．向量的坐标计算：O（0，0）为坐标原点，点A的坐标为（x，y），则向量OA的坐标为OA＝___________，点1P、2P的坐标分别为（1x，1y），2P（2x，2y），则向量21PP的坐标为21PP＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型(解析版)

第1讲 平面向量的概念及线性运算4种题型

【考点分析】

考点一：向量的基本概念

①定义：既有大小又有方向的量叫做向量．

②向量的模：向量AB的大小，也就是向量AB的长度，叫做向量的模，记作||AB．

③零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．

④单位向量：长度等于1个单位的向量．

⑤平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．

⑥相等向量：长度相等且方向相同的向量．

⑦相反向量：长度相等且方向相反的向量．

考点二：向量的线性运算和向量共线定理

①向量的线性运算

运算 定义 法则（或几何意义） 运算律

加法 求两个向量和的运算

三角形法则 平行四边形法则 ①交换律

abba

①结合律

()abc=()abc

减法 求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则 ()abab

数乘 求实数与向量a的积的运算 (1)||||||aa

(2)当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相同；

当0时，0a ()()aa

()aaa

()abab

考点三：向量共线定理

①如果ab且0b，则ab∥；反之ab∥且0b，则一定存在唯一一个实数，使ab．

推论：

①三点A，B，C共线AB，AC共线（功能：证明三点共线）；

①向量PA，PB，PC中三个向量的终点A，B，C共线存在实数，使得PAPBPC，且a+bbaa+bbabaa-b1.

①BDDC，111ADACAC．

【题型目录】

题型一： 平面向量的概念

题型二： 平面向量的加法、减法

题型三： 平面向量的线性运算与共线定理

题型四： 由平面向量的性质判断图形的形状

【典型例题】

题型一： 平面向量的概念

【例1】给出下列说法：①零向量是没有方向的；①零向量的长度为0；①零向量的方向是任意的；①单位向量的模都相等.其中正确的有（ ）

平面向量经典例题分析

平面向量的解题技巧

一. 向量的概念，向量的基本运算

(1)理解向量的概念，掌握向量的何意义，了解共线向量的概念.

(2)掌握向量的加法和减法.

(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件.

(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.

(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件.

(6)掌握平面两点间的距离公式.

例1．（2007年北京卷理）已知是所在平面内一点，为边中点， 且，那么（ ）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．

解：

. 故选A．

例2．（2006年安徽卷）在平行四边形中，，M为BC的中点，则______.（用表示）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：由得，，所以。

例3．（2006年广东卷）如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量( )

（A） （B） （C） （D）

命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：，故选A.

4.设平面向量、、的和.如果向量、、，满足 且顺时针旋转后与同向，其中，则（ ）

（A） （B）

（C） （D）

命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.

常规解法：∵，∴故把2 (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30后与重合，故，应选D.

巧妙解法：令，则，由题意知，从而排除B，C，同理排除A，故选D.

点评：巧妙解法巧在取，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.

二.向量的坐标运算

5．( 2006年重庆卷)与向量、的夹角相等，且模为1的向量是 ( )

(A) (B)或

平面向量系列之极化恒等式

1 平面向量系列

极化恒等式

一、极化恒等式

极化恒等式：])()[(4122bababa

极化恒等式的几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的41，即：2222||||]|||[|41BMAMBCADba，如图：

证明：2222||2||)(||||||bbaabaADbaAD

2222||2||)(||||||bbaabaBCbaBC

以上两式相减得：

22)()(4bababa

])()[(4122bababa

2 二、例题精析

1、（2014，浙江高考理）在三角形ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则ACAB=_________

[解析]如图所示，由极化恒等式易得：16532222BMAMACAB

2、（2016，长春二模）已知AB为圆122yx的一条直径，点P为直线02yx上任意一点，则PBPA的最小值是_______

[解析]如图所示，由极化恒等式易知，当OP垂直直线时，PBPA有最小值，即：

1122222OBPOPBPA

3、（2013，湖州二模）正方体的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，PNPM的取值范围是_______

[解析] 当弦MN的长度最大时，即MN为圆的直径，由极化恒等式得：当点P在A，C，A1，C1任一点时有最大值，当点P在圆与正方体的切点时有最小值，即：213)(22221maxMOOCPNPM，

011)(2222minMOMOPNPM，故]2,0[PNPM。 3

4、（2014，重庆模拟）正ABC边长等于3，点P在其外接圆上运动，则PBAP的取值范围是________

[解析]如图所示，取AB中点D，当点P在C点处时，PBAP有最大值，当点P在点C的对称点上时，有最小值。由极化恒等式易得：,23)23()23()(22maxPBPA,21)23()21()(22minPBPA

平面向量基本定理典例精讲

平面向量基本定理典例精讲

1.在△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，过点H作一直线MN分别交AB,AC于点M,N，若AM

=xAB

,AN

=yAC

，则x+4y的最小值是()

A.9

4B.2C.3D.1

思路：若要求出x+4y的最值，则需从条件中得到x,y的关系。

由M,H,N共线可想到“爪”字型图，所以AH

=mAM

+nAN

，

其中m+n=1，下面考虑将m,n的关系转为x,y的关系。利用

条件中的向量关系：AH

=1

2AD

且AD

=1

2AB

+AC

，所以

AH

=1

4AB

+AC

，因为AM

=xAB

,AN

=yAC

，所以AH

=

mxAB

+nyAC

，由平面向量基本定理可得：mx=1

4ny=1

4

⇒

m=1

4x

n=1

4y

，所以m+n=1⇒1

4x+1

4y=1，所以x+4y=x+4y

1

4x+1

4y=

1

41+4+4y

x+x

y，而4y

x+x

y≥24y

x⋅x

y=4，所以x+4y≥9

4

答案：A

2.在△ABC中，AN=1

3NC

，P是BN上的一点，若AP

=mAB

+2

11AC

，则实数m的值

为()A.9

11B.511C.3

11D.2

11

思路：观察到B,P,N三点共线，利用“爪”字型图，可得AP

=mAB

+nAN

，且m+n=1，

由AN

=1

3NC

可得AN

=1

4AC

，所以AP

=mAB

+1

4nAC

，由已知AP

=mAB

+

2

11AC

可得：1

4n=2

11⇒n=8

11，所以m=3

11

答案：C

3.在平面内，已知OA

=1,OB

=3,OA

⋅OB

=0,∠AOC=30°，设OC

=mOA

+nOB

,

m,n∈R，则m

n等于()

A.±3B.±3C.±1

3D.±3

3

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