北师大版八年级数学下《第一章三角形的证明》单元测试题(有答案)
1 北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题 一、精心选一选，慧眼识金（每小题2分，共20分） 1．如图1,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片,现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃.那么最省事的办法是带（）去配.
A. ① B. ② C.③ D. ①和②
2．下列说法中，正确的是（）. A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等 B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等 D．面积相等的两个三角形全等 3．如图2，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD=8cm，BE=3cm，那么AC长为（）. A．4cm B．5cm C．8cm D．34cm 4．如图3，在等边ABC中，,DE分别是,BCAC上的点，且BDCE，AD与BE相交于点P，则12的度数是（）.
A．045 B．055 C．060 D．075 5．如图4，在ABC中，AB=AC，036A，BD和CE分别是ABC和ACB的平分线，且相交于点P. 在图4中，等腰三角形（不再添加线段和字母）的个数为（）.
A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 6．如图5，123,,lll表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）.
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 2
7．如图6，A、C、E三点在同一条直线上，△DAC和△EBC都是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；② CM＝CN；③ AC＝DN. 其中，正确结论的个数是（）.
A．3个 B．2个 C． 1个 D．0个
8．要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再作出BF的垂线DE，使A，C，E 在同一条直线上（如图7），可以证明ABC≌EDC，得ED=AB. 因此，测得DE的长就是AB的长，在这里判定ABC≌EDC的条件是( ).
A．ASA B．SAS C．SSS D．HL
9．如图8，将长方形ABCD沿对角线BD翻折，点C落在点E的位置，BE交AD于点F. 求证：重叠部分（即BDF）是等腰三角形. 证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC
又∵BDE与BDC关于BD对称， ∴23. ∴BDF是等腰三角形. 请思考：以上证明过程中，涂黑部分正确的应该依次是以下四项中的哪两项？（）. ①12；②13；③34；④BDCBDE A．①③ B．②③ C．②① D．③④ 3
10.如图9，已知线段a，h作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h. 张红的作法是：（1）作线段BC＝a；（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；（3）在直线MN上截取线段h；（4）连结AB，AC，则△ABC为所求的等腰三角形. 上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（）.
A. （1） B. （2） C. （3） D. （4）
二、细心填一填，一锤定音（每小题2分，共20分） 1．如图10，已知，在△ABC和△DCB中，AC=DB，若不增加任何字母与辅助线，要使 △ABC≌△DCB，则还需增加一个条件是____________. 2．如图11，在RtABC中，090,BACABAC，分别过点,BC作经过点A的直线的垂线段BD，CE，若BD=3厘米，CE=4厘米，则DE的长为_______.
3．如图12，P，Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC等于_________度. 4．如图13，在等腰ABC中，AB=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BCE的周长为50，则底边BC的长为_________.
5．在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为050，则 底角B的大小为________. 6．在《证明二》一章中，我们学习了很多定理，例如：①直角三角形两条直角边的平方和 4
等于斜边的平方；②全等三角形的对应角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④线段 垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；⑤角平分线上的点到这个角两边的 距离相等.在上述定理中，存在逆定理的是________.(填序号) 7．如图14，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm，BC=10cm，将△ABC折叠，点B 与点A重合，折痕为DE，则CD的长为________. 8．如图15，在ABC中，AB=AC，0120A，D是BC上任意一点，分别做DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如果BC=20cm，那么DE+DF= _______cm.
9．如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=15°，DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC 于点E，若4BE，则AC_______ .
10．如图17，有一块边长为24m的长方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小颖想在A处立一个标牌“少走_____步，踏之何忍？”但小颖不知在“_____”处应填什么数字，请你帮助她填上好吗？（假设两步为1米）？
三、耐心做一做，马到成功（本大题共48分） 1．（7分）如图18，在ABC中，090ACB，CD是AB边上的高，030A. 求证：AB= 4BD. 5
2．（7分）如图19，在ABC中，090C，AC=BC，AD平分CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB=6cm. 你能否求出BDE的周长？若能，请求出；若不能，请说明理由.
3．（10分）如图20，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点， BE与CD相交于O点. 现有四个条件：①AB＝AC；②OB＝OC； ③∠ABE＝∠ACD；④BE＝CD. (1)请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确．．的命题： 命题的条件是和，命题的结论是和(均填序号). (2)证明你写出的命题. 已知： 求证： 证明： 6
4．（8分）如图21，在ABC中，090A，AB=AC，ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E.求证：12CEBD.
5．（8分）如图22，在ABC中，090C. （1）用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等. （保留作图痕迹，不写作法和证明）； （2）当满足（1）的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数. 7
6．（8分）如图23，090AOB，OM平分AOB，将直角三角板的顶 点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问 PC与PD相等吗？试说明理由.
四、拓广探索（本大题12分） 如图24，在ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N， 交BC的延长线于点M，若040A. （1）求NMB的度数； （2）如果将（1）中A的度数改为070，其余条件不变，再求NMB的度数； （3）你发现有什么样的规律性，试证明之； （4）若将（1）中的A改为钝角，你对这个规律性的认识是否需要加以修改？ 8
答案： 一、精心选一选，慧眼识金 1．C； 2．B； 3．D．点拨：BC=BE=3cm，AB=BD=5cm； 4．C．点拨：利用ABD≌BCE； 5．B； 6．D．点拨：三角形的内角平分线或外角平分线的交点处均满足条件； 7．B．点拨：①②正确； 8．A； 9．C； 10．C．点拨：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符. 二、细心填一填，一锤定音 1．答案不惟一.如ACBDBC； 2．7厘米. 点拨：利用ABD≌CAE； 9
3．030； 4．23．点拨：由27BECEACAB，可得502723BC； 5．070或020.点拨；当ABC为锐角三角形时，070B；当ABC为钝角三角形时，020B； 6．①、③、④、⑤.点拨：三个角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形，所以②不存在逆定理；
7．154cm. 点拨：设CDx，则易证得10BDADx.在RtACD中，222(10)5xx，解得154x.
8．10．点拨：利用含030角的直角三角形的性质得，1122DEDFBDCDBC. 9．2. 点拨：在RtAEC中，030AEC，由AE=BE= 4，则得AC=2； 10．16．点拨：AB=26米，AC+BC=34米，故少走8米，即16步. 三、耐心做一做，马到成功 1．∵090ACB，030A，∴AB=2BC，060B. 又∵CD⊥AB，∴030DCB，∴BC=2BD.∴AB= 2BC= 4BD. 2．根据题意能求出BDE的周长. ∵090C，090DEA，又∵AD平分CAB，∴DE=DC. 在RtADC和RtADE中，DE=DC，AD=AD，∴RtADC≌RtADE（HL）. ∴AC=AE，又∵AC=BC，∴AE=BC. ∴BDE的周长DEDBEBBCEBAEEBAB. ∵AB=6cm，∴BDE的周长=6cm. 3．（1）①，③；②，④. （2）已知：D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点，且 AB＝AC，∠ABE＝∠ACD. 求证：OB＝OC，BE＝CD. 证明：∵AB=AC，∠ABE＝∠ACD，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD（ASA）.∴BE=CD. 又∵ABCACB，∴BCDACBACDABCABECBE
∴BOC是等腰三角形，∴OB＝OC. 4．延长CE、BA相交于点F.
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题(有答案)
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．等腰三角形的对称轴是（）A．底边上的高所在的直线B．底边上的高C．底边上的中线D．顶角平分线2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（）A．14 B．15 C．174．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（）A．10°B．15°C．20°D．25°5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．6 D．36．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（）A．a≤b B．a≠b C．a＜b D．a＝b7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（）A．AE＝3CE B．AE＝2CE C．AE＝BD D．BC＝2CE9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE ＝4，则S△AEC＝（）A．8 B．7.5 C．7 D．610．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（）A．10 B．7 C．5 D．4二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为．12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是．13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝．14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是．15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为cm．16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝．17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是．三．解答题（共7小题，共66分）19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．求证：AE平分∠CAB．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D 和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．（1）求∠DBC的度数；（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．（1）求∠AEB的度数；（2）求证：CE＝DE．参考答案一．选择题1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，故选：A．2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；故选：D．3．解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，又∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理CE＝EI．∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，故选：B．4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，∴AD是BC的线段垂直平分线，∵E是AD上一点，∴EB＝EC，∴∠EBD＝∠ECD，∵∠CED＝50°，∴∠ECD＝40°，又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，故选：C．5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝6，故选：C．6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，故选：C．7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；故选：A．8．解：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE，故选：B．9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，∵CD⊥AB，DE＝4，∴CD＝＝3，∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，故选：B．10．解：作EF⊥BC于F，∵S△BCE＝10，∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，解得，EF＝4，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，∴DE＝EF＝4，故选：D．二．填空题11．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，底边为12﹣2×3＝7cm，∵3+3＜7，∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，∵0＜3＜4.5+4.5＝9，∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．故答案为：4.5cm．12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B，∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，故答案为：80°．13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，∴DE＝AC＝5，故答案为：5．14．解：∵DE垂直平分AC，∴CD＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴CD＝2BD＝2×2＝4，∴AD＝CD＝4．故答案为：4．15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，∴AD＝CD，∵AB＝5cm，BC＝8cm，∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．故答案是：13．16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，又∵∠DAP＝20°，∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°，∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，故答案为：100°．17．解：作PH⊥AC于H，∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，∴PE＝PH，∵AB∥CD，PE⊥AB，∴PF⊥CD，∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，∴PF＝PH，∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，故答案为：5．18．解：作DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝4，∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，∴•4•AB+•12•4＝40，∴AB＝8．故答案为8．三．解答题19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，∴∠A＝∠C＝35°，∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A＝35°20．证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠DCF．（两直线平行，同位角相等）∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（角平分线的定义）∴∠2＝∠4．∴BD∥CE．（同位角相等，两直线平行）∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE＝90°，∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（垂直的定义）21．证明：∵CD⊥AB，∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．∵∠ACE＝90°，∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．∵∠CFE＝∠CEF，∴∠DAF＝∠CAE，即AE平分∠CAB．22．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．23．解：（1）△CDE的周长为10．∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，又∵∠ACB＝125°，∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，∴∠ACD+∠BCE＝55°，∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．24．解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；（2）∵MN是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∵△DBC的周长为14cm，∴BD+BC+CD＝14cm，∵BC＝5cm，∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，∵AB＝AC，∴AB＝9cm．25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．同理可得∠EBA＝∠ABD．∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°；（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE和△AFE中，∴△ACE≌△AFE（SAS）．∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，∴∠DEB＝∠FEB．在△DEB和△FEB中∴△DEB≌△FEB（ASA）．∴ED＝EF．∴ED＝CE．。
北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》(困难)(含答案解析)
北师大版初中数学八年级下册第一单元《三角形的证明》（困难）（含答案解析）考试范围：第一单元； 考试时间：120分钟；总分：120分，第I卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 如图，DA=DB=DC，则x的值是．( )A. 10B. 20C. 30D. 402. 在△ABC中，∠A=∠B，则．( )A. AB=ACB. BA=BCC. CA=CBD. 不能确定3. 在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是( )A. a=3，b=3，c=4B. a:b:c=2:3:4C. ∠B=50∘，∠C=80∘D. ∠A:∠B:∠C=1:1:24. 在如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7为．( )A. 330∘B. 315∘C. 310∘D. 320∘5. 将一副三角尺按如图所示的方式放置，则∠1与∠2的和是．( )A. 60∘B. 45∘C. 30∘D. 25∘6. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，则小巷的宽为( )A. 2.5米B. 2.6米C. 2.7米D. 2.8米7. 如图，要用“HL”判断Rt△ABC和Rt△DEF全等的条件是( )A. AC=DF，BC=EFB. ∠A=∠D，AB=DEC. AC=DF，AB=DED. ∠B=∠E，BC=EF8. 如果三角形两条边上的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形是．( )A. 锐角三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形9. 如图，AC垂直平分BD，垂足为点E，连接AB，AD，BC，CD，下列结论不一定成立的是．( )A. AB=ADB. CA平分∠BCDC. AB=BDD. △BEC≌△DEC10. 如图，三个居民小区在△ABC的顶点上，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在．( )A. AC，BC两边高线的交点处B. AC，BC两边中线的交点处C. AC，BC两边中垂线的交点处D. ∠A，∠B两角平分线的交点处11. 如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2，若BE平分∠ABC，则四边形ABED的面积为．( )A. 4cm2B. 6cm2C. 8cm2D. 10cm212. ▵ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40,其三条角平分线交于点O，则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO=( )A. 1:1:1B. 1:2:3C. 2:3:4D. 3:4:5第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 如图，∠A=20∘，∠C=40∘，∠ADB=80∘，则图中等腰三角形共有个，分别是．14. 如图，小明和小芳以相同的速度分别同时从A，B出发，小明沿AC行走，小芳沿BD行走，并同时到达C，D.若CB⊥AB，DA⊥AB，则CB DA.(填“>”“<”或“=”)15. 如图，过正方形ABCD的顶点B作直线a，分别过点A，C作直线a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE=1，CF=3，则AB=．16. 如图，D是∠ABC平分线上一点，E，F分别在AB，BC上，且DE=DF.若∠BED=130∘，则∠BFD等于．三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题(含详细解析)
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元测试题一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．52．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= _________．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= _________度．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据角平分线的定义可得∠ABP=∠CBP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP=CP，再根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．专题：几何图形问题．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO= 4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB= 72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
2019届北师大版八年级数学下册《第一章三角形的证明》单元练习(有答案)加精
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明单元练习一、单选题1.如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A. 线段CD的中点B. OA与OB的中垂线的交点C. OA与CD的中垂线的交点D. CD与∠AOB的平分线的交点2.如图,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,边AB的垂直平分线交AC于点D,则△BDC的周长是( )A. 8B. 9C. 10D. 113.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=8,则CD的长为（）A. 6B. 5C. 4D. 34.如图，已知直线MN∥AB，把△ABC剪成三部分，点C在直线AB上，点O在直线MN 上，则点O是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 内心 D. 外心5.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°6.如图，C、D是线段AB上两点，分别以点A和点B为圆心，AD、BC长为半径作弧，两弧相交于点M，连接AM、BM，测量∠AMB的度数，结果为（）A. 100°B. 110°C. 120°D. 130°7.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为( )A. 4cmB. 3cmC. 2cmD. 1cm8.如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于（）．A. B. C.D.9.如图，等腰△ABC的周长为19，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC 于点E，则△BEC的周长为（）A. 9B. 10C. 11D. 1210.如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（）A. AE=DFB. ∠A=∠DC. ∠B=∠CD. AB=DC11.如图，在△BAC中，∠B和∠C的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，若BD=5，CE=4，则线段DE的长为（）A. 9B. 6C. 5D. 412.在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的( )A. 三边中线的交点B. 三边中垂线的交点C. 三边上高的交点D. 三条角平分线的交点13.在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°二、填空题14.如图，∠C=90°，∠1=∠2，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为________ .15.如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠CBD=∠ABD，DE⊥BC，BC=10，则△DEC的周长=________ ．16.如图，已知四边形ABCD中，CB=CD，∠ABC=∠ADC=90°，那么Rt△ABC≌Rt△ADC，根据是 ________17.一个等腰三角形的一个角为80°，则它的顶角的度数是________．18.下列语句：①有一边对应相等的两个直角三角形全等；②一般三角形具有的性质，直角三角形都具有；③有两边相等的两直角三角形全等；④两直角三角形的斜边为5cm，一条直角边都为3cm，则这两个直角三角形必全等．其中正确的有 ________个．三、解答题19.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，求∠C的度数？20.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于E，求EB：EA的值．四、综合题21.证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，________求证：________．请你补全已知和求证（2）并写出证明过程．22.如图，中，，垂直平分，交于点，交于点．（1）若，，求的周长；（2）若，求的度数．答案解析部分一、单选题1.【答案】D【解析】【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知CD与∠AOB的平分线的交于点P．故答案为：D．【分析】点P到角的两边的距离相等知点P在∠AOB平分线上，由点P在CD上，故点P 在CD与∠AOB的平分线的交点。
北师大版数学八年级下册 第一章三角形的证明 综合测试卷(含答案)
第一章三角形的证明综合测试卷一、选择题。
01如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，∠BAD=35º，则∠C的度数为 ( )A．35º B．45º C．55º D．60º02若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm，则该等腰三角形的底边长为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm03如图，在△ABC中，∠ACB=90º，BE平分∠ABC，ED⊥AB于D．如果∠A=30º，AE=6 cm，那么CE等于 ( )A ．3 cmB ．2 cm C．3 cm D．4 cm04如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交于M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若CD=AC，∠A=50º，则∠ACB的度数为 ( )A．90º B．95º C 100º D．105º05如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E，DE=4，AC=6，则△ACD 的面积为 ( )A．8 B 10 C．12 D．2406如图，∠A=50º，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为 ( )A．100º B．140º C．130º D．115º07如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60º，DE是斜边AC的垂直平分线，分别交AB，AC 于D，E两点，若BD=2，则AC的长是 ( )A．4 B．43 C．8 D．8308 将一个有45º角的直角三角尺的直角顶点C放在一张宽为3 cm的纸带边沿上，另一个顶点A在纸带的另一边沿上，测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30º角，如图，则三角尺的最长边的长为 ( )A．6 cm B．2 cm C．2 cm D．209如图，∠ACB=90º，AC=BC，AE⊥CE，垂足为点E，BD⊥CE，交CE的延长线于点D，AE=5 cm，BD=2 cm，则DE的长是( )A．8 cm B．5 cm C．3 cm D．2 cm10如图，AD⊥BC于D，且DB=DC，有下列结论：①△ABD≌△ACD;②∠B=∠C；③AD 是∠BAC的平分线；④△ABC为等边三角形．其中正确的有 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个11如图，∠A=15º，AB=BC=CD=DE=EF，则∠DEF等于( )A．90º B．75º C．70º D．60º12如图，在△ABC中，BC=10，DH，EF分别为AB、AC的垂直平分线，则△ADE的周长是 ( )A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题。
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)
《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元测试训练卷(Word版含答案)
北师大版八年级数学下册第一章 三角形的证明单元测试训练卷一、选择题（共10小题,每小题4分,共40分）1. 以下列各组数为边长能组成直角三角形的是( )A ．4,5,6B ．2,3,4C ．11,12,13D ．8,15,17 2. 若△ABC 是直角三角形,且∠C ＝90°,则必有( )A ．∠A ＝2∠B ＝3∠C B ．∠A ＝∠B ＝∠CC ．∠A ＝∠B ＋∠CD ．∠A ＋∠B ＝∠C3. 如图,AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线,DE ⊥AB,交AB 于点E,DF ⊥AC,交AC 于点F,S △ABC ＝7,DE ＝2,AB ＝4,则AC 的长是( )A ．4B ．3C ．6D ．54. 在等腰△ABC 中,AB ＝AC,中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分,则这个等腰三角形的底边长为( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或105. 如图,下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是( )A.∠A ＋∠B ＝∠C B ．a 2＝c 2－b 2C ．a ＝3,b ＝4,c ＝5D ．∠A ∶∠B ∶∠C ＝3∶4∶56. 已知三角形三内角之间有∠A ＝12∠B ＝13∠C,它的最长边为10,则此三角形的面积为( )A ．20B ．10 3C ．5 3 D.25327. 如图,在△ABC 中,AB 的垂直平分线分别交AB,BC 于点D,E,连接AE,若AE ＝4,则BE 的长是( )A．2 B．4 C．6 D．88.如图,已知点O,E分别是△ABC三条边的垂直平分线和三个角的角平分线的交点,若∠O＋∠E＝180°,则∠A的度数为( )A．24° B．36° C．40° D．48°9.如图,点A,B,C在同一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM, 则∠DMA的度数为( )A．45° B．60° C．75° D．90°10. 如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠CAB的两边的距离相等,且PA＝PB,下列确定点P的方法正确的是( )A.点P是∠CAB与∠CBA两角平分线的交点B．点P是∠CAB的平分线与AB的垂直平分线的交点C.点P为AC,AB两边上的高的交点D．点P为AC,AB两边的垂直平分线的交点二．填空题（共6小题,每小题4分,共24分）11.如图,点B,E,C,F在同一条直线上,AB∥DE,AB＝DE,BE＝CF,AC＝6,则DF＝____．12. 如图,在△ABC中,AB＝AC,∠C＝30°,AB⊥AD,AD＝2 cm,则BC的长等于____．13. 在用反证法证明命题“在一个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°”时,应首先假设_____________________________________________．14. 如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行________海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处．15. 如图,在△ABC中,AB＝AC＝5,BC＝6,若点P在边AB上移动,则CP的最小值是_________16. 居委会需要在街道旁修建临时奶站C,向居民区A,B提供牛奶,要求CA＝CB.如图,已知A(0,2),B(6,4),则C点坐标为__ __．三．解答题（共6小题, 56分）17．(6分) 如图,在△ABC中,AB＝AC,D为AC的中点,DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别为点E,F,且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．18．(8分) 如图,在△ABC中,AB＝AC,AB的垂直平分线交AC于点E,垂足为D.若△ABC的周长为20 cm,△BCE的周长为12 cm,求BC的长．19．(8分) 如图,A,B两点在直线l的两侧,在直线l上找一点C,使点C到点A,B的距离之差最大．写出作法,并说明理由．20．(10分) 如图所示,AP,CP分别是△ABC的外角∠MAC,∠NCA的平分线,AP,CP相交于点P,过点P作PD⊥BM,垂足为D,作PF⊥BN,垂足为F.求证：BP是∠ABC的平分线．21．(12分) 如图,在△ABC中,∠ABC＝45°,DH垂直平分BC交AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD相交于点F.求证：(1)BF ＝AC ；(2)CE ＝12BF.22．(12分) 数学课上,张老师列举了下面的例题：例1 等腰三角形ABC 中,∠A ＝110°,求∠B 的度数．(答案：35°)例2 等腰三角形ABC 中,∠A ＝40°,求∠B 的度数．(答案：40°或70°或100°)张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题：变式 等腰三角形ABC 中,∠A ＝80°,求∠B 的度数．(1)请你解答以上的变式题；(2)解(1)后,小敏发现,∠A 的度数不同,得到∠B 的度数的个数也可能不同,如果在等腰三角形ABC 中,设∠A ＝x°,当∠B 有三个不同的度数时,请你探索x 的取值范围．参考答案1-5DDBCD 6-10DBBBB11．612．6cm13．在一个三角形中,三个内角都小于60°14．415．4.816．(4,0)17. 证明：∵DE ⊥AB,DF ⊥BC,∴∠AED ＝∠CFD ＝90°.∵D 为AC 的中点,∴AD ＝DC. 在Rt △ADE 和Rt △CDF 中,AD ＝DC,DE ＝DF ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF,∴∠A ＝∠C,∴BA ＝BC.∵AB ＝AC,∴AB ＝BC ＝AC,∴△ABC 是等边三角形．18. 解：∵DE 垂直平分AB,∴AE ＝BE,∵△BCE 的周长为12 cm,即BC ＋BE ＋CE ＝12,∴BC ＋AE ＋CE ＝12,即BC ＋AC ＝12,又∵△ABC 的周长为20 cm,即AB ＋BC ＋AC ＝20,∴AB ＋12＝20,则AB ＝8,∴AC ＝8,∴BC ＝20－AB －AC ＝20－8－8＝4(cm)19. 解：如图,以直线l 为对称轴,作点A 关于直线l 的对称点A′,连接A′B 并延长,交直线l 于点C,则点C 即为所求．理由：在直线l 上任找一点C′(异于点C),连接CA,C′A,C′A′,C′B.∵点A,A′关于直线l 对称,∴直线l 为线段AA′的垂直平分线．∴CA ＝CA′.∴CA －CB ＝CA′－CB ＝A′B.又∵点C′在直线l 上,∴C′A ＝C′A′.在△A′BC′中,C′A′－C′B ＜A′B,∴C′A －C′B ＜CA －CB.∴点C 到点A,B 的距离之差最大．20. 证明：如图所示,过点P 作PE ⊥AC,垂足为E.∵AP,CP 分别平分∠MAC,∠NCA,且PD ⊥BM,PF ⊥BN,∴PD ＝PE,PF ＝PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．∴PD ＝PF.又∵PD ⊥BM,PF ⊥BN,∴点P 在∠ABC 的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上)．∴BP 是∠ABC 的平分线．21．解：(1)∵DH 垂直平分BC,∴BD ＝DC,∴∠ABC ＝∠DCB ＝45°,∴∠BDC ＝180°－45°－45°＝90°,∴∠ADC ＝90°,∴∠ABE ＋∠A ＝∠ACD ＋∠A ＝90°,∴∠ABE ＝∠ACD,∴△BDF ≌△CDA(ASA),∴BF ＝AC.(2)∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE ＝∠CBE,又∵BE ⊥AC,∴∠AEB ＝∠CEB ＝90°,又∵BE ＝BE,∴△ABE ≌△CBE(ASA),∴CE ＝AE ＝12AC,又∵AC ＝BF,∴CE ＝12BF. 22. 解：(1)若∠A 为顶角,则∠B ＝(180°－∠A)÷2＝50°；若∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B ＝180°－2×80°＝20°；若∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B ＝80°；故∠B ＝50°或20°或80°(2)分两种情况：①当90≤x ＜180时,∠A 只能为顶角,∴∠B 的度数只有一个；②当0＜x ＜90时,若∠A 为顶角,则∠B ＝(180－x 2)°；若∠A 为底角,∠B 为顶角,则∠B ＝(180－2x)°；若∠A 为底角,∠B 为底角,则∠B ＝x°.当180－x 2≠180－2x 且180－2x≠x 且180－x 2≠x,即x≠60时,∠B 有三个不同的度数．综上所述,可知当0＜x ＜90且x≠60时,∠B 有三个不同的度数。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元培优测试卷【附答案】
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元培优测试卷一、选择题1．下列命题中，是假命题的是（ ）A．等腰三角形三个内角的和等于180°B．等腰三角形两边的平方和等于第三边的平方C．角平分线上的点到这个角两边的距离相等D．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等2．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ）A．2，4，5B．3，4，5C．4，4，5D．5，4，53．在等腰三角形中，有一个角是50°，它的一条腰上的高与底边的夹角是（ ）A．25°B．25°或40°C．25°或35°D．40°4．如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AIB＝α，则∠AOB的大小为（ ）A．αB．4α﹣360°C．α+90°D．180°﹣α5．如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，∠ABC与∠BAC的平分线交于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，则DE＝（ ）A．B．2C．D．36．如图，在△ABC中，∠B＝74°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，若AB+BD＝BC，则∠BAC的度数为（ ）A．74°B．69°C．65°D．60°7．下列命题正确的是（ ）A．三角形的一个外角大于任何一个内角B．三角形的三条高都在三角形内部C．三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D．两边和其中一边的对角相等的三角形全等8．等腰三角形一边的长为4cm，周长是18cm，则底边的长是（ ）A．4cm B．10cm C．7或10cm D．4或10cm二、填空题9．如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝．10．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝°．11．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形，且△AOP的面积为16，则满足条件的P点个数是．12．如果等腰三角形的一个内角是80°，那么它的顶角的度数是°．13．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为60，AB＝16，BC＝14，则DE的长等于．14．如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线交AC于点D，连接BD，若∠C＝80°，∠CBD＝40°，则∠A的度数为°．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，∠BAD＝20°，且AE＝AD，则∠CDE的度数是．16．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，DE是边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC 于点，且AB＝8，BC＝6，则△BEC的周长是．17．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于E点，∠B＝50°，∠FAE＝20°，则∠C＝度．18．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD的度数是．三、解答题19．如图，△ABC中，∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，E，G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数；（3）若BC的长为30，求△DAF的周长．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，CE⊥AB，AF⊥BC．（1）求证：CF＝EF；（2）求∠EFB的度数．21．如图，在等边三角形ABC中，D是AB上的一点，E是CB延长线上一点，连接CD、DE，已知∠EDB＝∠ACD，BC＝6，（1）求证：△DEC是等腰三角形．（2）当∠BDC＝5∠EDB，EC＝8时，求△EDC的面积．22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△CAP和△CBQ都是等边三角形，BQ和CP 交于点H，求证：BQ⊥CP．23．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：线段BF垂直平分线段AD．25．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE 的中点，BE＝AC．（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC＝75°，求∠B的度数．26．已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．（1）试说明∠ABC＝2∠C；（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AD平分∠BAC，求证：AE＝AB．参考答案1．解：A、等腰三角形三个内角的和等于180°，正确，是真命题，不符合题意；B、直角三角形两边的平方和等于第三边的平方，故原命题错误，是假命题，符合题意；C、角平分线上的点到这个角两边的距离相等，正确，是真命题，不符合题意；D、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，正确，是真命题，不符合题意，故选：B．2．解：A、22+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；B、32+42＝52，根据勾股定理的逆定理可知三角形是直角三角形，故符合题意；C、42+42≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；D、42+52≠52，根据勾股定理的逆定理可知三角形不是直角三角形，故不合题意；故选：B．3．解：当50°为底角时，∵∠B＝∠ACB＝50°，∴∠BCD＝90°﹣50°＝40°；当50°为顶角时，∵∠A＝50°，∴∠B＝∠ACB＝65°，∴∠BCD＝90°﹣65°＝25°．故选：B．4．解：连接CO并延长至D，∵∠AIB＝α，∴∠IAB+∠IBA＝180°﹣α，∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB＝∠CAB，∠IBA＝∠CBA，∴∠CAB+∠CBA＝2（∠IAB+∠IBA）＝360°﹣2α，∴∠ACB＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝2α﹣180°，∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA＝OC，OB＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∠OCB＝∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一个外角，∴∠AOD＝∠OCA+∠OAC＝2∠OCA，同理，∠BOD＝∠OCB，∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠OCA+2∠OCB＝4α﹣360°，故选：B．5．解：延长ED交BC于点G，作DF⊥AB于点F，作DH⊥AC于点H，∵DE∥AC，∠C＝90°，∴∠BGE＝∠C＝90°，∴EG⊥BC，∴∠DGC＝∠DHC＝∠C＝90°，∴四边形DGCH为矩形，∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，DF⊥AB，DH⊥AC，DG⊥BC，∴DF＝DM，DG＝DF，∴DH＝DG，∴四边形DGCH为正方形，在Rt△BDG和Rt△BDF中，，∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL），∴BF＝BG，同理可得：Rt△AHD≌Rt△AFD，由勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2＝100，∴AB＝10，设CH＝CG＝x，则AH＝6﹣x，BG＝8﹣x，∴AF＝6﹣x，BF＝8﹣x，∴AB＝10＝AF+BF＝6﹣x+8﹣x＝14﹣2x，即14﹣2x＝10，解得：x＝2，∴CH＝CG＝2，BG＝6，∵DE∥AC，∴△BEG∽△BAC，∴，即，∴EG＝4.5，∴DE＝EG﹣DG＝4.5﹣2＝2.5，故选：A．6．解：如图，连接AD，∵边AC的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵AB+BD＝BC，BD+CD＝BC，∴CD＝AB，∴AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB＝74°，∴∠C＝37°，∴∠BAC＝180°﹣74°﹣37°＝69°，故选：B．7．解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．8．解：分情况考虑：①当4cm是腰时，则底边长是18﹣8＝10（cm），此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；②当4cm是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7（cm），4，7，7能够组成三角形．此时底边的长是4cm．故选：A．9．解：∵BD、CE是等边三角形ABC的中线，∴BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，∴∠AEF＝∠ADF＝90°，∵∠EFD＝360°﹣90°﹣90°﹣∠A＝180°﹣60°＝120°．故答案为120°．10．解：∵AD为BC边上的高，∴∠ADB＝90°，∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝（180°﹣∠ADB）＝45°，∵BE平分∠ABC，∴∠1＝∠2＝∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，∴∠BEA＝90°＝∠ADB，∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，∴∠3＝∠2＝22.5°．故答案为：22.5°．11．解：∵A（8，0），∴OA＝8，设△AOP的边OA上的高是h，则×8×h＝16，解得：h＝4，在x轴的两侧作直线a和直线b都和x轴平行，且到x轴的距离都等于4，如图：①以A为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，②以O为圆心，以8为半径画弧，交直线a和直线b分别有两个点，即共4个点符合，③作AO的垂直平分线分别交直线a、b于一点，即共2个点符合，4+4+1+1＝10．故答案为：10．12．解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．故答案为：80°或20．13．解：作DF⊥BC于F，∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE，∴S△ABC＝S△ABD+S△DBC＝×AB×DE+×BC×DF＝＝60，∴DF＝DE＝4．故答案为：4．14．解：∵∠C＝80°，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝60°，∵线段AB的垂直平分线交AC于点D，∴DA＝DB，∴∠A＝∠DBA＝∠CDB＝30°，故答案为：30．15．解：∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠CAD＝∠BAD＝20°，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝＝80°，∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣80°＝10°．故答案为：10°．16．解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵DE是边AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∴△BEC的周长＝BC+EC+BE＝BC+EC+EA＝BC+AC＝16，故答案为：16．17．解：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝∠FAE+∠CAE＝20°+∠C，由三角形内角和定理得，∠B+∠BAC+∠C＝180°，即50°+20°+∠C+20°+∠C+∠C＝180°，解得，∠C＝30°，故答案为：30．18．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．19．解：（1）∵∠ABC＝25°，∠ACB＝55°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝100°；（2）∵DE，FG分别为AB，AC的垂直平分线，∴DA＝DB，FA＝FC，∴∠DAB＝∠ABC＝25°，∠FAC＝∠ACB＝55°，∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝20°；（3）△DAF的周长＝DA+DF+FA＝DB+DF+FC＝BC＝30．20．证明：（1）∵AB＝AC，AF⊥BC，∴BF＝CF，又∵CE⊥AB，∴CF＝EF；（2）∵DE垂直平分AC，∴AE＝EC，又∵∠AEC＝90°，∴∠ACE＝∠EAC＝45°，∴∠B＝∠ACB＝67.5°，∵EF＝CF＝BF，∴∠BEF＝∠FBE＝67.5°，∴∠EFB＝45°．21．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠E+∠EDB＝∠ABC＝60°，∠ACD+∠DCB＝60°，∠EDB＝∠ACD，∴∠E＝∠DCE，∴DE＝DC，∴△DEC是等腰三角形；（2）解：设∠EDB＝α，则∠BDC＝5α，∴∠E＝∠DCE＝60°﹣α，∴6α+60°﹣α+60°﹣α＝180°，∴α＝15°，∴∠E＝∠DCE＝45°，∴∠EDC＝90°，如图，过D作DH⊥CE于H，∵△DEC是等腰直角三角形，∴∠EDH＝∠E＝45°，∴EH＝HC＝DH＝EC＝8＝4，∴△EDC的面积＝EC•DH＝8×4＝16．22．证明：∵△CAP和△CBQ都是等边三角形，∴∠CAP＝∠CBQ＝60°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCP＝∠ACB﹣∠ACP＝30°，在△BCH中，∠BHC＝180°﹣∠BCH﹣∠CBH＝180°﹣30°﹣60°＝90°，∴BQ⊥CP．23．解：（1）△APB是直角三角形，理由如下：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，∵PQ∥AC，∴∠BPQ＝∠C，∴∠APB＝60°，∴∠BAP＝90°，∴△APB是直角三角形；（2）当AQ＝QP时，∴∠QAP＝∠APQ＝30°，∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，∴∠BQP＝105°，当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，∵P不与B、C重合，∴不存在，综上所述：∠BQP＝105°或60°．24．证明：∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠C＝90°，∵AM⊥BC，∴∠AMB＝90°，∴∠ABC+∠BAM＝90°，∴∠C＝∠BAM，∵AD平分∠MAC，∴∠MAD＝∠CAD，∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∴∠BAD＝∠ADB，∴AB＝BD，∵BE平分∠ABC，∴BF⊥AD，AF＝FD，即线段BF垂直平分线段AD．25．解：（1）连接AE，∵EF垂直平分AB∴AE＝BE∵BE＝AC∴AE＝AC∵D是EC的中点∴AD⊥BC（2）设∠B＝x°∵AE＝BE∴∠BAE＝∠B＝x°∴由三角形的外角的性质，∠AEC＝2x°∵AE＝AC∴∠C＝∠AEC＝2x°在三角形ABC中，3x°+75°＝180°x°＝35°∴∠B＝35°26．证明：（1）∵AB＝AD，∴∠ABC＝∠ADB，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ABC＝2∠C；（2）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠CAD，∵BE∥AD，∴∠DAB＝∠ABE，∠E＝∠CAD，∴∠ABE＝∠E，∴AE＝AB．。
北师大版八年级数学下册《第1章 三角形的证明》单元综合训练(附答案)
北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明》单元综合训练（附答案）1．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，则△ADE的面积为（）A．1B．2C．5D．无法确定2．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．63．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm4．如图，在△ABC中，AC＝BC，点D在AC边上，点E在CB的延长线上，DE与AB相交于点F，若∠C＝50°，∠E＝25°，则∠BFD的度数为（）A．100°B．120°C．140°D．150°5．已知在平面直角坐标系xOy中，O（0，0），A（4，3）点B在x轴或y轴上移动，若O、A、B三点可构成等腰三角形，则符合条件的B点有（）A．9个B．8个C．7个D．6个6．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DAE＝∠F；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③S△AEB：S△AEC＝AB：AC；④∠AGH＝∠BAE+∠ACB，其中正确的结论有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，则CF的最小值为（）A．6B．8C．9D．108．如图，给定由10个点（任意相邻两点距离为1）组成的正三角形点阵，在其中任意取三个点，以这三个点为顶点构成的正三角形的个数是（）A．12B．13C．15D．179．如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任意一点，D、E、F分别是AC、AB、BC边上的三点，且PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC．若PF+PD+PE＝a，则△ABC的边长为（）A．a B．a C．a D．a10．一副三角板如图摆放，点F是45°角三角板ABC的斜边的中点，AC＝4．当30°角三角板DEF的直角顶点绕着点F旋转时，直角边DF，EF分别与AC，BC相交于点M，N．在旋转过程中有以下结论：①MF＝NF：②四边形CMFN有可能为正方形；③MN长度的最小值为2；④四边形CMFN的面积保持不变；⑤△CMN面积的最大值为2．其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．511．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AE⊥BC于点E，AB的垂直平分线交BC 于点D，交AB于点F，若BD＝6，则CE的长为（）A．2B．2C．3D．312．如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q从A点出发，分别在线段AC和射线AX上运动，且AB＝PQ，当点P运动到AP＝，△ABC与△APQ全等．13．如图，BE和CE分别为△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE，则下列结论：①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF，正确的为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，AB的垂直平分线分别交AC和AB于点D 和E，那么∠DBC＝度．15．已知等腰三角形的两边长分别为x和y，且x和y满足|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，则这个等腰三角形的周长为．16．在△ABC中，∠B＝50°，当∠A为时，△ABC是等腰三角形．17．如图，已知P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，则∠BAC ＝．18．如图，直线l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠1的度数为．19．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．20．如图，六边形ABCDEF的六个内角都等于120°，若AB＝BC＝CD＝3cm，DE＝2cm，则这个六边形的周长等于cm．21．∠α＝24°24'＝°，若∠α是一个直角三角形的其中一个锐角，则另一个锐角是°．22．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O．（1）求证：△ABC≌△DCB；（2）△OBC是何种三角形？证明你的结论．23．如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线分别交AB、AC于点E、F，若AE＝AF，BE＝4，CF＝2，回答下列问题：（1）证明：ED＝FD；（2）试找出∠BDC与∠A的数量关系，并说明理由；（3）求EF的长．24．如图△ABC中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于D，E，垂足分别是M，N．（1）若BC＝10，求△ADE的周长．（2）若∠BAC＝100°，求∠DAE的度数．25．如图，△ABC中，AB＝AC，DE垂直平分AC，若∠A＝30°，求∠BCD的度数．26．如图，已知在△ABC中，AC＝BC＝AD，∠CDE＝∠B，求证：△CDE是等腰三角形．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．28．如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°．29．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M、N在边OB上．（1）若∠PNO＝60°，证明△PON是等边三角形；（2）若PM＝PN，OP＝12，MN＝2，求OM的长度．30．如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．说明：△ADE是等边三角形．31．如图1，直线PQ⊥直线MN，垂足为O，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与直线PQ交于点C．（1）若∠A＝∠AOC＝30°，则BC BO（填“＞”“＝”“＜”）；（2）如图2，延长AB交直线MN于点E，过O作OD⊥AB，若∠DOB＝∠EOB，∠AEO ＝α，求∠AOE的度数（用含α的代数式表示）；（3）如图3，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点R，∠A＝36°，当△AOB绕O点旋转时（斜边AB与直线PQ始终相交于点C），问∠R的度数是否发生改变？若不变，求其度数；若改变，请说明理由．参考答案1．解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故选：A．2．解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．3．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．4．解：∵△ABC中，AC＝BC，∠C＝50°，∴∠ABC＝（180°﹣50°）＝65°，∵∠ABC是△BEF的外角，∴∠BFE＝∠ABC﹣∠E＝65°﹣25°＝40°，∴∠BFD＝180°﹣40°＝140°，故选：C．5．解：分三种情况说明：①以点O为圆心，OA长为半径画圆，与x轴、y轴有4个交点，这4个交点分别与点O、A构成4个等腰三角形；②以点A为圆心，OA长为半径交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；③作OA的垂直平分线交x轴和y轴的正半轴有2个点，这2个交点分别与点O、A构成2个等腰三角形；综上所述：符合条件的B点有：4+2+2＝8（个）．故选：B．6．解：如图，AE交GF于M，①∵AD⊥BC，FG⊥AE，∴∠ADE＝∠AMF＝90°，∵∠AED＝∠MEF，∴∠DAE＝∠F；故①正确；②∵AE平分∠BAC交BC于E，∴∠EAC＝，∠DAE＝90°﹣∠AED，＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），＝90°﹣（∠ACE+），＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），＝（∠ABD﹣∠ACE），故②正确；③∵AE平分∠BAC交BC于E，∴点E到AB和AC的距离相等，∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，∴∠AGH＝∠MEF，∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；故选：D．7．解：如图所示，连接BF，∵等边△BDE中，F是DE的中点，∴BF⊥DE，BF平分∠DBE，∴∠DBF＝30°，即点F在∠DBE的角平分线上运动，∴当点D在CF上时，∠CFB＝90°，根据垂线段最短可知，此时CF最短，又∵∠ABC＝30°，∴∠CBF＝60°，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，∴BC＝AC＝6，∴Rt△BCF中，CF＝BC×sin∠CBF＝×＝9，故选：C．8．解：如图所示，边长为1的正三角形共有1+3+5＝9个，边长为2的正三角形共有3个，边长为3的正三角形共有1个，边长为的正三角形有2个，红颜色和蓝颜色的两个三角形，综上可知：共有9+3+1+2＝15个，故选：C．9．解：延长EP交BC于点G，延长FP交AC于点H，如图所示：∵PF∥AB，PD∥BC，PE∥AC，∴四边形AEPH、四边形PDCG均为平行四边形，∴PE＝AH，PG＝CD．又∵△ABC为等边三角形，∴△FGP和△HPD也是等边三角形，∴PF＝PG＝CD，PD＝DH，∴PE+PD+PF＝AH+DH+CD＝AC，∴AC＝a；故选：D．10．解：①连接CF，∵F为AB中点，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AF＝BF＝CF，CF⊥AB，∴∠AFM+∠CFM＝90°．∵∠DFE＝90°，∠CFM+∠CFN＝90°，∴∠AFM＝∠CFN．同理，∵∠A+∠MCF＝90°，∠MCF+∠FCN＝90°，∴∠A＝∠FCN，在△AMF与△CNF中，∵，∴△AMF≌△CNF（ASA），∴MF＝NF．故①正确；②当MF⊥AC时，四边形MFNC是矩形，此时MA＝MF＝MC，根据邻边相等的矩形是正方形可知②正确；③连接MN，当M为AC的中点时，CM＝CN，根据边长为4知CM＝CN＝2，此时MN最小，最小值为2，故③错误；④当M、N分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形．∵△ADF≌△CEF，∴S△CEF＝S△AMF∴S四边形CDFE＝S△AFC．故④正确；⑤由于△MNF是等腰直角三角形，因此当DM最小时，DN也最小；即当DF⊥AC时，DM最小，此时DN＝BC＝2．∴DN＝DN＝2 ；当△CEF面积最大时，此时△DEF的面积最小．此时S△CMN＝S四边形CFMN﹣S△FMN＝S△AFC﹣S△DEF＝4﹣2＝2，故⑤正确．故选：C．11．解：连接AD，如图：∵AB的垂直平分线交BC于点D，∴AD＝BD＝6，∵在△ABC中，∠B＝30°，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝60°．∵AE⊥BC于点E，∴∠AED＝90°，∴∠DAE＝30°，∴DE＝AD＝3，∴AE＝＝3，∵∠C＝45°，∴△AEC为等腰直角三角形，∴EC＝AE＝3，故选：D．12．解：∵AX⊥AC，∴∠P AQ＝90°，∴∠C＝∠P AQ＝90°，分两种情况：①当AP＝BC＝5时，在Rt△ABC和Rt△QP A中，，∴Rt△ABC≌Rt△QP A（HL）；②当AP＝CA＝10时，在△ABC和△PQA中，，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．13．解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠ACF＝∠ACB，∠ACE＝∠ACD，∴∠ECF＝∠ACF+∠ACE＝（∠ACB+∠ACD）＝90°，故①正确；∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵BE⊥AC，∴AH＝CH，∴EA＝EC，故②正确；∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC，故③正确；设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，∵EA＝EC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC，∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，∵∠ACF＝∠BCF，∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．故答案为：①②③④⑤．14．解：∵AB＝AC，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C＝65°，∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴∠ABD＝∠A＝50°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝15°．故答案为：15．15．解：∵|x﹣3|+（y﹣1）2＝0，∴x＝3，y＝1．当腰长为3时，三边长为3、3、1，周长＝3+3+1＝7；当腰长为1时，三边长为3、1、1，1+1＜3，不能组成三角形．故答案为：7．16．解：①∠B是顶角，∠A＝（180°﹣∠B）÷2＝65°；②∠B是底角，∠B＝∠A＝50°．③∠A是顶角，∠B＝∠C＝50°，则∠A＝180°﹣50°×2＝80°，∴当∠A的度数为50°或65°或80°时，△ABC是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．17．解：∵BP＝QC＝PQ＝AP＝AQ，∴△APQ为等边三角形，△ABP为等腰三角形，△AQC为等腰三角形，∴∠P AQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°，在△ABP和△CAQ中，∴△ABP≌△ACQ，∴∠QAC＝∠B＝∠APQ＝30°，同理：∠BAP＝30°，∠BAC＝∠BAP+∠P AQ+∠QAC＝30°+60°+30°＝120°．故答案为：120°18．解：如图所示，过点C作直线n∥m，在直线m上取一点D，∵直线l∥m，∴l∥m∥n，∴∠1＝∠2，∠3＝∠CBD＝20°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠2+∠3＝60°，∴∠2＝60°﹣∠3＝60°﹣20°＝40°，∴∠1＝40°．故答案为：40°．19．解：由已知条件a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0化简得，（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0∴a﹣b＝0，b﹣c＝0即a＝b，b＝c∴a＝b＝c故答案为等边三角形．20．解：分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示：∵六边形ABCDEF的六个角都是120°，∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°，∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形，∴GC＝BC＝3cm，DH＝DE＝EH＝2cm，∴GH＝3+3+2＝8（cm），F A＝P A＝PG﹣AB﹣BG＝8﹣3﹣3＝2（cm），EF＝PH﹣PF﹣EH＝8﹣2﹣2＝4（cm）．∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4＝17（cm）；故答案为：17．21．解：∠α＝24°24'＝24.4°，90°﹣24.4°＝65.6°，故答案为24.4°，65.6°．22．证明：（1）在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°AC＝BD，BC为公共边，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）；（2）△OBC是等腰三角形∵Rt△ABC≌Rt△DCB∴∠ACB＝∠DCB∴OB＝OC∴△OBC是等腰三角形23．（1）证明：过D点分别作DG⊥BC，DK⊥AB，DH⊥AC，垂足分别为G，K，H，如图，∴∠EKD＝∠FHD＝90°，∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴DK＝DG＝DH，在△EKD和△FHD中，，∵AE＝AF∴∠AEF＝∠AFE，∴△EKD≌△FHD（AAS），∴ED＝FD；（2）解：∠BDC＝90°+∠A．理由如下：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB），∵∠BDC+∠DBC+∠DCB＝180°，∴∠BDC+（∠ABC+∠ACB）＝180°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠BDC+（180°﹣∠A）＝180°，∴∠BDC＝90°+∠A；（3）解：如图，∵BD，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠2+∠7+∠4＝180°，∠5+∠6+∠7＝180°，∴∠2+∠4＝∠5+∠6，即∠1+∠3＝∠5+∠6，∵∠AEF＝∠AFE，∴∠1+∠5＝∠3+∠6，∴∠5＝∠3，∠1＝∠6，∴△BED∽△CED，∴ED：CF＝BE：DF，∵DE＝DF，则ED2＝CF⋅BE＝2×4＝8，则ED＝，∴EF＝2ED＝．24．解：（1）∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，垂足分别是M、N，∴AD＝BD，AE＝CE，∴△ADE的周长＝AD+DE+AE＝BD+DE+CE＝BC＝10．（2）∵∠BAC＝100°，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝80°，∵AD＝BD，AE＝CE，∴∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，∴∠BAD+∠CAE＝80°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝100°﹣80°＝20°．25．解：∵DE垂直平分AC，∴DA＝DC，∴∠DCA＝∠A＝30°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝150°÷2＝75°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA＝75°﹣30°＝45°．∴∠BCD的度数为45°．26．证明：∵∠ADE+∠CDE+∠BDC＝180°，∠BCD+∠B+∠BDC＝180°，∠CDE＝∠B，∴∠ADE＝∠BCD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，在△ADE和△BCD中，，∴△ADE≌△BCD（ASA），∴DE＝CD，∴△CDE是等腰三角形．27．证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝72°，又∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝36°，∴∠BAD＝∠ABD，∴AD＝BD，又∵E是AB的中点，∴DE⊥AB，即FE⊥AB；（2）∵FE⊥AB，AE＝BE，∴FE垂直平分AB，∴AF＝BF，∴∠BAF＝∠ABF，又∵∠ABD＝∠BAD，∴∠F AD＝∠FBD＝36°，又∵∠ACB＝72°，∴∠AFC＝∠ACB﹣∠CAF＝36°，∴∠CAF＝∠AFC＝36°，∴AC＝CF，即△ACF为等腰三角形．28．证明：∵BM＝CN，BC＝AC，∴CM＝AN，又∵AB＝AC，∠BAN＝∠ACM，∴△AMC≌△BNA，则∠BNA＝∠AMC，∵∠MAN+∠ANB+∠AQN＝180°∠MAN+∠AMC+∠ACB＝180°，∴∠AQN＝∠ACB，∵∠BQM＝∠AQN，∴∠BQM＝∠AQN＝∠ACB＝60°．29．解：（1）∵∠AOB＝60°，∠PNO＝60°，∴∠OPN＝60°，∴∠PON＝∠PNO＝∠OPN，∴△PON是等边三角形；（2）作PH⊥MN于H，如图，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，在Rt△POH中，∵∠POH＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝×12＝6，∴OM＝OH﹣MH＝6﹣1＝5．30．证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，即∠ACD＝120°，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE＝60°，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，又∵∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形．31．解：（1）∵△AOB是直角三角形，∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°，∵∠A＝∠AOC＝30°，∴∠B＝∠BOC＝60°∴△BOC是等边三角形，∴BC＝BO故答案为：＝；（2）∵OD⊥AB，∠AEO＝α，∴∠DOE＝90°﹣α，∵∠DOB＝∠BOE，∴∠BOE＝＝（90°﹣α）＝45°﹣α，∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝90°+45°﹣＝135°﹣；（3）∠R的度数不变，∠R＝27°．理由如下：设∠AOM＝β，则∠AOC＝90°﹣β，∵OF平分∠AOM，∴∠FOM＝∠RON＝，∴∠COR＝∠CON+∠RON＝90°+，∵∠OCB＝∠A+∠AOC＝36°+90°﹣β＝126°﹣β，∵CR平分∠BCO，∴∠OCR＝＝63°﹣，∴∠R＝180°﹣（∠OCR+∠COR）＝180°﹣63°+﹣90°﹣＝27°，∴∠R的度数不变，∠R＝27°。
《第1章三角形的证明》单元测试题-北师大版八年级数学下册(含答案) (4)
第1章三角形的证明单元测试考试范围：第1章三角形的证明；考试时间：90分钟；总分：120分一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是50︒，则这个三角形的一个底角的大小是（）A．65︒B．40︒C．50︒D．80︒2．（2021·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（）A．13B．14C．13或14D．9或12=，3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，E是等边ABC∆中AC边上的点，12∠=∠，BE CD ∆是（）则ADEA．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定4．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．△A：△B：△C＝5：12：13B．a：b：c＝3：4：5C．△C＝△A﹣△B D．b2＝a2﹣c25．（2021·浙江瑞安·八年级期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）已知△A，△B为直角△ABC两锐角，△B＝54°，则△A＝（）A．60°B．36°C．56°D．46°7．（2021·黑龙江平房·八年级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边中垂线的交点8．（2021·广西三江·八年级期中）如图，AB垂直平分CD，若AC=2cm，BC=3cm，则四边形ACBD的周长是（）A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm9．（2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC＝6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（）A ．12B ．11C ．10D ．510．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分BAC ∠．若3DE =，则BC 的长是（ ）A ．9B ．6C ．7D ．511．（2021·四川南充·八年级期末）如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE △BC 交AB 于点E ，△ABC ＝30°，DC ＝2.动点P 从点B 出发，沿着B →C →A 运动，当S △PBE ＝4时，则△PEB 度数是（ ）A ．105°B ．75°或105°C ．150°D ．75°或150° 12．（2022·全国·八年级）如图所示，,AB CD O ∥为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点，OE AC ⊥于,E 若2OE =，则AB 与CD 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．无法确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于9cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm ．14．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝DC ，D 在BC 上，且AD ＝DB ，则△BAC ＝_____．15．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P 是等边△ABC 内的一点，PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，若点P ′是△ABC 外的一点，且△P ′AB △△PAC ，则△APB 的度数为___．16．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，△80A ︒=，O 是AB ，AC 垂直平分线的交点，则BOC ∠的度数是________︒．17．（辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，已知8cm AC ，则BD DE +=______cm ．18．（2021·广西隆安·八年级期中）如图，已知ABC 的周长是23，,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥于D ，且4,OD ABC =的面积是_______．三、解答题一（每小题8分，共16分）19．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ．（1）尺规作图：作线段AC 的垂直平分线EF ，分别交BC 、AC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AB ＝EC ，AC ＝6，CD ＝5，求△ABC 的周长．20．（2021·陕西临渭·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s 的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求△B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．21．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）已知：如图，在△ABC中，△ABC和△ACB 的角平分线相交于点P，且PE△AB，PF△AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）连接AP，若△ACB＝80°，求△APB的度数．BC，22．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF=3，求AD的长；（2）求证：DE=2DF．23．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF△AE于E 交AF于点F，连结CF．△BAC；（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证△EAF＝12△BAC，求证：CF＝BF+2BE．（2）如图2所示，△EAF＝1224．（2022·四川仁寿·八年级期末）如图，已知△ABC中，△C＝90°，AC＝5cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AC运动，且速度为每秒1cm，点Q从点C开始沿CB运动，且速度为每秒2cm，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求运动时间为几秒时，△PQC是等腰三角形？（3）P、Q在运动的过程中，用含t（0＜t＜5）的代数式表示四边形APQB的面积．答案及解析一、选择题（每小题3分，共36分）1．（2022·天津市第七中学八年级期末）等腰三角形的顶角是50︒，则这个三角形的一个底角的大小是（ ）A ．65︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒ 【答案】A【分析】根据等腰三角形的两底角相等，即可求解．【详解】解：△等腰三角形的顶角是50︒，△这个三角形的一个底角的大小是()118050652︒-︒=︒ ． 故选：A【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两底角相等是解题的关键． 2．（2021·黑龙江五常·八年级期末）已知一个等腰三角形的两边长分别是4，5，则它的周长是（ ）A ．13B ．14C ．13或14D ．9或12【答案】C【分析】等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为5，底边长为4时；当腰长为4，底边长为5时，分别计算三角形周长即可．【详解】解：等腰三角形的性质是两腰长相等，需进行分类讨论：当腰长为5，底边长为4时，周长为：25414⨯+=；⨯+=；当腰长为4，底边长为5时，周长为：24513故选：C．【点睛】题目主要考查等腰三角形的性质，对等腰三角形进行分类讨论是解题关键．=，3．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，E是等边ABC∆中AC边上的点，12∠=∠，BE CD ∆是（）则ADEA．等腰三角形B．等边三角形C．不等边三角形D．无法确定【答案】B【分析】先证得△ABE△△ACD，可得AE=AD，△BAE=△CAD=60°，即可证明△ADE是等边三角形．【详解】解：△△ABC为等边三角形△AB=AC，△BAE=60°，△△1=△2，BE=CD，△△ABE△△ACD（SAS），△AE=AD，△BAE=△CAD=60°，△△ADE是等边三角形．故选B．【点睛】此题考查等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握等边三角形的判定定理．4．（2021·浙江省衢州市衢江区实验中学八年级阶段练习）满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．△A：△B：△C＝5：12：13B．a：b：c＝3：4：5C．△C＝△A﹣△B D．b2＝a2﹣c2【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、△△A：△B：△C＝5：12：13，△△C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、△32+42＝52，△是直角三角形，故此选项不合题意；C、△△A﹣△B＝△C，△△A＝△B+△C，△△A+△B+△C＝180°，△△A＝90°，△是直角三角形，故此选项不合题意；D、△b2＝a2﹣c2，△a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．5．（2021·浙江瑞安·八年级期中）如图，在3×3的方格纸中，已知点A，B在方格顶点上（也称格点），若点C也是格点，且使得△ABC为直角三角形，则满足条件的C点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为直角△ABC斜边；②AB为等腰直角△ABC 其中的一条直角边．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为直角△ABC斜边时，符合条件的格点C点有2个；②AB为直角△ABC其中的一条直角边时，符合条件的格点C点有1个．故共有3个点，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．6．（2021·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）已知△A，△B为直角△ABC两锐角，△B＝54°，则△A＝（）A．60°B．36°C．56°D．46°【答案】B【分析】根据直角三角形中，两锐角互余计算即可．【详解】解：△△A，△B为直角△ABC两锐角，△9036∠=︒-∠=︒，A B故选：B．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键．7．（2021·黑龙江平房·八年级期末）到三角形三个顶点距离相等的点是此三角形（）A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边中垂线的交点【答案】D【分析】由题意根据线段的垂直平分线上的性质，则有三角形三边中垂线的交点到三角形的三个顶点距离相等．【详解】解：△垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，△到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边中垂线的交点．故选：D．【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，解题的关键是注意掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．8．（2021·广西三江·八年级期中）如图，AB垂直平分CD，若AC=2cm，BC=3cm，则四边形ACBD的周长是（）A．5 cm B．8 cm C．9 cm D．10 cm【答案】D【分析】由AB垂直平分CD，根据线段垂直平分线的性质，可得AD=AC=2cm，BD=BC=3cm，继而求得答案．【详解】解：△AB垂直平分CD，△AD=AC=2cm，BD=BC=3cm，△四边形ABCD的周长是：AC+BC+BD+AD=10（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质．注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．（2021·湖南·株洲市天元区雷打石学校八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，连接EC．如果BC＝6，△BCE的周长是17，那么AB的长为（）A．12B．11C．10D．5【答案】B【分析】根据线段垂直平分线的性质得CE＝AE，从而得出答案．【详解】解：△AC的垂直平分线交AB于E，点D为垂足，△CE＝AE，△BE+AE＝BE+CE＝AB，△△BCE的周长是17，△BC+CE+BE＝17，△BC＝6，△BE+CE＝17﹣6＝11，△AB＝11，故选B．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知性质是解题的关键：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．10．（贵州省黔东南苗族侗族自治州2020-2021学年八年级上学期期末数学试题）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，DE 是AB 的垂直平分线，AD 恰好平分BAC ∠．若3DE =，则BC 的长是（ ）A ．9B ．6C ．7D ．5【答案】A【分析】 根据角平分线上点到角两边的距离相等可得AD BD =，再根据等边对等角的性质求出DAB B ∠=∠，然后根据角平分线的定义与直角三角形两锐角互余，求出30B ∠=︒，再根据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半求出BD ，然后求解即可．【详解】解：AD 平分BAC ∠，且DE AB ⊥，90C ∠=︒，3CD DE ∴==，DE 是AB 的垂直平分线，AD BD ∴=，B DAB ∴∠=∠，DAB CAD ∠=∠，CAD DAB B ∴∠=∠=∠，90C ∠=︒，90CAD DAB B ∴∠+∠+∠=︒，30B ∴∠=︒，26BD DE ∴==，639BC BD CD ∴=+=+=，故选：A【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线上点到角两边的距离相等；等边对等角；直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．11．（2021·四川南充·八年级期末）如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，BD 平分△ABC 交AC 于点D ，过点D 作DE △BC 交AB 于点E ，△ABC ＝30°，DC ＝2.动点P 从点B 出发，沿着B →C →A 运动，当S △PBE ＝4时，则△PEB 度数是（ ）A ．105°B ．75°或105°C ．150°D ．75°或150°【答案】D【分析】 分两种情况：当点P 在BC 边上时，连接EP ，过点E 作EF BC ⊥于F ，根据平行线之间距离相等可得：2EF CD ==，由含30°角的直角三角形性质可得：24BE EF ==，再结合三角形面积即可得出BP BE =，最后运用三角形内角和定理及等腰三角形性质即可；当点P 在AC 边上时，过点P 作PG AB ⊥于点G ，利用角平分线判定定理可得出：BP 平分ABC ∠，即点P 与点D 重合，再利用平行线性质即可．【详解】解：当点P 在BC 边上时，如图1，连接EP ，过点E 作EF BC ⊥于F ，△∥DE BC ，EF BC ⊥，DC BC ⊥，△2EF CD ==，在Rt BEF 中，90BFE ∠=︒，30ABC ∠=︒，△24BE EF ==，△4PBE S =，△1242BP ⨯⨯=，△4BP =， △BP BE =，△()()11180180307522PEB ABC ∠=⨯︒-∠=⨯︒-︒=︒；当点P 在AC 边上时，如图2，过点P 作PG △AB 于点G ，△4PBE S =，△142BE PG ⨯⨯=，即1442PG ⨯⨯=， △2PG =，△PC BC ⊥，PG AB ⊥，2PG PC ==，△BP 平分△ABC ，即点P 与点D 重合，△∥DE BC ，△180********DEB ABC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，即150PEB ∠=︒，综上所述，75PEB ∠=︒或150︒，故选：D ．【点评】本题考查了直角三角形性质，角平分线性质和判定定理，平行线性质，等腰三角形性质等，添加辅助线构造直角三角形是解题关键．12．（2022·全国·八年级）如图所示，,AB CD O ∥为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点，OE AC ⊥于,E 若2OE =，则AB 与CD 之间的距离是（ ）A ．2B ．4C ．8D ．无法确定【答案】B【分析】 过点O 作MN AB ⊥于M ，交CD 于N ，利用角平分线的性质求出OM 、ON ，最后即可求出AB 与CD 之间的距离．【详解】如图，过点O 作MN AB ⊥于M ，交CD 于N ，//AB CD ，MN CD ∴⊥，AO BAC ∠是的平分线，,,2OM AB OE AC OE ⊥⊥=，2∴==OM OE ，CO 是ACD ∠的平分线，OE AC ⊥，ON CD ⊥，2∴==ON OE ，4∴=+=MN OM ON ，即AB CD 与之间的距离是4．故选：B ．【点睛】本题主要是考查了角平分线的性质，熟练地应用角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边相等，求出对应相等的边，是解决本题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．（2022·广东东莞·八年级期末）若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于9cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为_____cm ．【答案】9或7.5或9【分析】分9是底边和腰长两种情况，分别列出方程，求解即可得到结果．【详解】解：若9cm为底时，腰长应该是12（24-9）=7.5cm，故三角形的三边分别为7.5cm、7.5cm、9cm，△7.5+7.5=15＞9，故能围成等腰三角形；若9cm为腰时，底边长应该是24-9×2=6，故三角形的三边为9cm、9cm、6cm，△6+9=15＞9，△以9cm、9cm、6cm为三边能围成三角形，综上所述，腰长是9cm或7.5cm，故答案为：9或7.5．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．14．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝DC，D在BC上，且AD＝DB，则△BAC＝_____．【答案】108°108度【分析】先设△B＝x，由AB＝AC可知，△C＝x，由AD＝DB可知△B＝△DAB＝x，由三角形外角的性质可知△ADC＝△B+△DAB＝2x，根据DC＝CA可知△ADC＝△CAD＝2x，再在△ABC中，由三角形内角和定理即可得出关于x的一元一次方程，求出x的值，从而求解．【详解】设△B＝x，△△C＝△B＝x，△AD＝DB，△△B＝△DAB＝x，△△ADC＝△B+△DAB＝2x，△DC＝CA，△△ADC＝△CAD＝2x，在△ABC中，x+x+2x+x＝180°，解得：x＝36°．△△BAC＝108°．故答案为：108°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练进行逻辑推理15．（2021·江苏赣榆·八年级期末）如图，点P是等边△ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC ＝10，若点P′是△ABC外的一点，且△P′AB△△PAC，则△APB的度数为___．【答案】150°【分析】如图：连接PP′，由△PAC△△P′AB可得PA＝P′A、△P′AB＝△PAC，进而可得△APP′为等边三角形易得PP′＝AP＝AP′＝6；然后再利用勾股定理逆定理可得△BPP′为直角三角形，且△BPP′＝90°，最后根据角的和差即可解答．解：连接PP′，△△PAC△△P′AB，△PA＝P′A，△P′AB＝△PAC，△△P′AP＝△BAC＝60°，△△APP′为等边三角形，△PP′＝AP＝AP′＝6；△PP′2+BP2＝BP′2，△△BPP′为直角三角形，且△BPP′＝90°，△△APB＝90°+60°＝150°．故答案为：150°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理逆定理的应用等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键．∠16．（2021·辽宁铁岭·八年级期末）如图，△80=，O是AB，AC垂直平分线的交点，则BOCA︒的度数是________︒．【答案】160【分析】首先需要根据条件作出辅助线OA，根据垂直平分线得性质：线段垂直平分线上任意一点到∠和该线段两端点的距离相等，可以构造等腰三角形，即可进行角度转换求解，解得BCO∠的度数为10︒，最终根据三角形的内角和求得BOC∠的度数为160︒．CBO【详解】解：如图所示：连接OA，△△A＝80°，△△ABC+△ACB＝180°-△A =100°，△O是AB，AC垂直平分线的交点，△OA＝OB，OA＝OC，△△OAB ＝△OBA ，△OCA ＝△OAC ，OB ＝OC ，△△OBA +△OCA ＝△OAB +△OAC =△A =80°，△△OBC +△OCB ＝100°﹣80°＝20°，△OB ＝OC ，△△BCO ＝△CBO ＝10°，△△BOC=180°-△BCO -△CBO ＝180°-10° - 10°=160°故答案为：160°．【点睛】本题重点考查的是线段垂直平分线的性质的运用，利用性质进行构造等腰三角形，并进行求解是解本题的关键． 17．（辽宁省抚顺市2021-2022学年八年级上学期期末数学试题）如图，ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于点E ，已知8cm AC ，则BD DE +=______cm ．【答案】8【分析】由角平分线的性质可得CD =DE ，则BD +DE =BD +CD =BC ，由此进行求解即可．【详解】解：△DE △AB ，△C =90°，AD 是△BAC 的角平分线，△CD =DE ，△BD +DE =BD +CD =BC ，又△AC =BC =8cm ，△BD +DE =8cm ，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键在于能够熟记角平分线上的点到角两边的距离相等．18．（2021·广西隆安·八年级期中）如图，已知ABC 的周长是23，,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥于D ，且4,OD ABC =的面积是_______．【答案】46【分析】连接AO ，过点O 作OE △AB 于点E ，OF △AC 于点F ，根据角平分线的性质定理，可得OD =OE ，OD =OF =4，再由ABC AOB BOC AOC S S S S =++△△△△，即可求解．【详解】解：如图，连接AO ，过点O 作OE △AB 于点E ，OF △AC 于点F ，△,OB OC 分别平分ABC ∠和,ACB OD BC ∠⊥，4OD =，△OD =OE ，OD =OF =4，△111222ABC AOB BOC AOC S S S S AB OE CB OD AC OF =++=⋅+⋅+⋅ ()114234622OD AB BC AC =⨯⨯++=⨯⨯= ． 故答案为：46【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．三、解答题一（每小题8分，共16分）19．（2021·广东南沙·八年级期末）如图，在△ABC 中，AD △BC ，垂足为D ．（1）尺规作图：作线段AC 的垂直平分线EF ，分别交BC 、AC 于点E 、F ．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若AB ＝EC ，AC ＝6，CD ＝5，求△ABC 的周长．【答案】（1）见解析；（2）16；【分析】（1）利用基本作图，作AC的垂直平分线即可；（2）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，则AB＝AE，根据等腰三角形的性质得到BD ＝ED，然后利用等线段代换得到△ABC的周长＝2CD+AC．【详解】解：（1）如图，EF为所作；（2）连接AE，如图，△EF垂直平分AC，△EA＝EC，△AB＝CE，△AB＝AE，△AD△BC，△BD＝ED，△△ABC的周长＝AB+BD+CD+AC＝CE+DE+CD+AC＝2CD+AC＝2×5+6＝16．【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．20．（2021·陕西临渭·八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．（1）求△B的度数；（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．【答案】（1）△B＝90°；（2）P、Q两点之间的距离为13cm【分析】（1）如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．依据勾股定理的逆定理进行判断即可；（2）依据运动时间和运动速度，即可得到BP和BQ的长，再根据勾股定理进行计算，即可得到PQ的长．【详解】解：（1）△AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，△AB2+BC2＝625＝AC2，△△ABC是直角三角形且△B＝90°；（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），△BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），Rt△BPQ中，2222+=+=，PQ BP BQ51213cm△P、Q两点之间的距离为13cm．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，解题的关键在于能够根据题意求出△B＝90°．四、解答题二（每小题10分，共20分）21．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）已知：如图，在△ABC中，△ABC和△ACB 的角平分线相交于点P，且PE△AB，PF△AC，垂足分别为E、F．（1）求证：PE＝PF；（2）连接AP，若△ACB＝80°，求△APB的度数．【答案】（1）见解析；（2）130°【分析】（1）过点P作PD△BC于D，可得PD=PE=PF；（2）根据三角形内角和求出△BAC+△ABC=100°，再根据角平分线的定义得到AP平分△BAC，从而得出△PAB+△PBA，再次根据三角形内角和求出△APB．【详解】解：（1）过点P作PD△BC于D，△△ABC和△ACB的角平分线相交于点P，且PE△AB，PF△AC，△PD=PE，PD=PF，△PE=PF；（2）△△ACB=80°，△△BAC+△ABC=180°-80°=100°，△△ABC和△ACB的角平分线相交于点P，△AP平分△BAC，△△PAB+△PBA=1（△BAC+△ABC）=50°，2△△APB=180°-50°=130°．【点睛】本题考查了角平分线的定义和性质，三角形内角和，熟记定理是解题的关键．22．（2022·辽宁大石桥·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点E，使CE=12 BC，若D是AC的中点，连接ED并延长交AB于点F．（1）若AF=3，求AD的长；（2）求证：DE=2DF．【答案】（1）6；（2）见解析【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC=BC，△A=△ACB=60°，求出△E=△CDE，根据三角形外角性质和等腰三角形的性质求出BD=DE，求出AD的长即可；（2）连接BD，求出BD=DE，根据含30°角的直角三角形的性质得出BD=2DF，即可得出答案．【详解】解：（1）△△ABC为等边三角形，△AC=BC，△A=△ACB=60°，△D为AC中点，△CD=AD=12 AC，△CE=12 BC，△CD=CE，△△E=△CDE，△△ACB=△E+△CDE，△△E=△CDE=30°，△△ADF=△CDE=30°，△△A=60°，△△AFD=180°-△A-△ADF=90°，△AF=3，△AD=2AF=6，（2）连接BD，△△ABC为等边三角形，D为AC中点，△BD平分△ABC，△ABC=60°，△△DBC=△ABD=12△ABC=30°，△△BFD=90°，△BD=2DF，△△DBC=△E=30°，△BD=DE，△DE=2DF，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．五、解答题三（每小题12分，共24分）23．（2021·湖北·监利市朱河镇初级中学.八年级期中）如图，△ABC中，AB＝AC，BF△AE于E 交AF于点F，连结CF．△BAC；（1）如图1所示，当EF＝BE+CF，求证△EAF＝12△BAC，求证：CF＝BF+2BE．（2）如图2所示，△EAF＝12【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）在EF上截取EH=BE，由“SSS”可证△ACF△△AHF，可得△CAF=△HAF，可得结论；（2）在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，由“SAS”可证△ACF△△ANF，可得CF=NF，可得结论．【详解】解：（1）如图，在EF上截取EH=BE，连接AH，△EB=EH，AE△BF，△AB=AH，△AB=AH，AE△BH，△△BAE=△EAH，△AB=AC，△AC=AH，△EF =EH +HF =BE +CF ，△CF =HF ，在△ACF 和△AHF 中，AC AHAF AF CF HF=⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△ACF △△AHF （SSS ），△△CAF =△HAF ，△△BAE +△CAF =△EAH +△FAH =△EAF ，即△EAF =12△BAC ；（2）如图，在BE 的延长线上截取EN =BE ，连接AN ，△AE △BF ，BE =EN ，AB =AC ，△AN =AB =AC ，△AN =AB ，AE △BN ，△△BAE =△NAE ，△△EAF =12△BAC ，△△EAF +△NAE =12（△BAC +2△NAE ）△△FAN =12△CAN ，△△FAN =△CAF ，在△ACF 和△ANF 中，AC AN CAF NAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACF △△ANF （SAS ），△CF =NF ，△CF =BF +2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．24．（2022·四川仁寿·八年级期末）如图，已知△ABC 中，△C ＝90°，AC ＝5cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿AC 运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点C 开始沿CB 运动，且速度为每秒2cm ，其中一个点到达端点，另一个点也随之停止，它们同时出发，设运动的时间为t 秒．（1）当t ＝2秒时，求PQ 的长；（2）求运动时间为几秒时，△PQC 是等腰三角形？（3）P 、Q 在运动的过程中，用含t（0＜t ＜5）的代数式表示四边形APQB 的面积．【答案】（1）PQ ＝5cm ；（2）t ＝53；（3）S 四边形APQB ＝30﹣5t +t 2．【分析】（1）先分别求出CQ 和CP 的长，再根据勾股定理解得即可；（2）由△C =90°可知，当△PCQ 是等腰三角形时，CP =CQ ，由此求解即可；（3）由S 四边形APQB ＝S △ACB ﹣S △PCQ 进行求解即可．【详解】解：（1）由题意得，AP ＝t ，PC ＝5﹣t ，CQ ＝2t ，△△C ＝90°，△PQ 2222(5)(2)PC CQ t t +-+，△t ＝2，△PQ 22345cm +，（2）△△C ＝90°，△当CP ＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形，△5﹣t ＝2t ，解得：t ＝53，△t ＝53秒时，△PCQ 是等腰三角形；（3）由题意得：S 四边形APQB ＝S △ACB ﹣S △PCQ＝1122AC CB PC CQ ⋅-⋅＝11512(5)222t t ⨯⨯-⨯-⨯＝30﹣5t +t 2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的定义，列函数关系式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解。