2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷(含解析)
2020-2021学年度第一学期江苏省南京市鼓楼区九年级期中考试数学模拟试卷一、选择题（本大题共2小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）.1.一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（）A. 1，4，3B. 0，﹣4，﹣3C. 1，﹣4，3D. 1，﹣4，﹣32.已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根D. 实数根的个数与实数b的取值有关3.有下列四个命题:①经过三个点一定可以作圆②等弧所对的圆周角相等;③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等; ④在同圆中，平分弦的直径一定垂直于这条弦.其中正确的有( )A. 0B. 1C. 2D. 34.如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°.E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（）A. 55°B. 65°C. 60°D. 75°5.如图，在△ABC中，AC=50m，BC=40m，∠C=90°，点P从点A开始沿AC 边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线CB匀速移动，当△PCQ的面积等于300m2运动时间为（）A. 5秒B. 20秒C. 5秒或20秒D. 不确定6.如图,在平面直角坐标系中,⊙M与x轴相切于点A（8，0）．与y轴分别交于点B（0，4）与点C（0，16）．则圆心M到坐标原点O的距离是（）A. 10B. 8 √2C. 4 √13D. 2 √41二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.一元二次方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，则c=________．8.用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为________.9.设m ，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝________.10.一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB=________.12.如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH=4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________.13.如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A、B、C为格点，作△ABC 的外接圆，则BC的长等于________.14.一个三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x2−8x+12=0的根，则该三角形的周长为________.15.疫情期间居民为了减少外出时间，大家更愿意使用APP在线上买菜，某买菜APP今年一月份新注册用户为200万，三月份新注册用户为338万，则二、三两个月新注册用户每月平均增长率是________.16.如图，点0为正六边形ABCDEF的中心，点M为AF中点，以点0为圆心，以OM的长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，以DE的长为半径画弧得到扇形DEF，把扇形MON 的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1：r2=________三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解答下列各题：（1）用配方法解方程：x2−8x−4=0 .（2）已知一元二次方程2x2−mx−m=0的一个根是−12.求m的值和方程的另一个根.18.已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+ m2- 14=0的两个实数根．（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形?求出这时菱形的边长；（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少?19.如图1，有一张长40cm,宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2的有盖纸盒.（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高.20.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E, AB=CD,连接AD、BC .求证：（1）弧AD=弧BC ；（2）AE=CE .21.如图，在方格纸中，A，B，C三点都在小方格的顶点上（每个小方格的边长为1）．（1）在图甲中画一个以A，B，C为其中三个顶点的平行四边形，并求出它的周长．（2）在图乙中画一个经过A，B，C三点的圆，并求出圆的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，点O在BD上，以O为圆心的圆恰好经过A、B、C三点，⊙O 交BD于E，交AD于F，且弧AE=弧CE，连接OA、OF.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若∠AOF＝3∠FOE，求∠ABC的度数.24.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45° .（1）求∠EBC的大小；（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.25.阅读理解：材料一：若三个非零实数x ，y ，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实教x ，y ，z构成“和谐三数组”.，材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有x1+x2=−ba ．x1⋅x2=ca问题解决：（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数________；（2）若x1，x2是关于x的方程ax2+bx +c= 0 (a ，b ，c均不为0)的两根，x3是关于x的方程bx+c=0(b ，c均不为0)的解．求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；的图象上，且三点的（3）若A(m ，y1) ，B(m + 1，y2) ，C(m+3，y3)三个点均在反比例函数y=4x纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值．26.如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC=60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE//CD交DA的延长线于点E，若AD=2，DC=3，求△BDE的面积．27.问题提出：（1）如图①，半圆O的直径AB=10，点P是半圆O上的一个动点，则△PAB的面积最大值是________. （2）如图②，在边长为10的正方形ABCD中，点G是BC边的中点，E、F分别是AD和CD边上的点，请探究并求出四边形BEFG的周长的最小值.（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由.答案一、选择题1.解：一元二次方程x2-4x-3=0的二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，-4，-3．故答案为：D．2.解：∵△＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根.故答案为：A.3.解：①经过在同一条直线上的三个点不能作圆，只有三个点不在同一条直线上时才可以作圆，故本小题不符合题意；②等弧所对的圆周角相等，符合圆周角定理，故本小题符合题意；③三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，所以到三角形各顶点的距离都相等，故本小题符合题意；④在同圆中，平分弦（不是直径）的直径一定垂直于这条弦，故本小题不符合题意．故答案为：C．4.解：连接CD，∵∠A＝50°，∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，∵E是边BC的中点，∴OD⊥BC，∴BD＝CD，∠BDC＝65°，∴∠ODB＝∠ODC＝12故答案为：B.5.解：设运动的时间为t，则AP=2t，CQ=3t∴PC=50-2t∵∠C=90°，S△PCQ=300·PC·CQ=300∴12解得t1=5，t2=20.故答案为：C。
6.解：如图连接BM、OM，AM，作MH⊥BC于H．已知⊙M与x轴相切于点A（8，0），可得AM⊥OA，OA=8，即可得∠OAM=∠MH0=∠HOA=90°，所以四边形OAMH是矩形，根据矩形的性质可得AM=OH，因MH⊥BC，由垂径定理得HC=HB=6，所以OH=AM=10，在RT△AOM中，由勾股定理可求得OM==2 √41．故答案选D．二、填空题7.解：∵方程x2−2x+c=0有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=0,∴(−2)2−4×1•c=0,∴4c=4,∴c=1,故答案为：18.解：设这个圆锥的底面圆半径为r，根据题意得2πr= 4×90π，180解得r=1，所以这个圆锥的底面圆半径为1.故答案为：1.9.根据根与系数的关系可知m+n=﹣2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m﹣7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案．∵设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7=0的两个根，∴m+n=﹣2，∵m是原方程的根，∴m2+2m﹣7=0，即m2+2m=7，∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=7﹣2=5 10.解：设十位数字为x，则个位数字为x+3，根据题意得( x +3 ) 2 =11x+3解之：x=2或3∴这个两位数是：25或36．故答案为：25或36．11.解：连接OC，∵AB是圆O的直径，AE：BE=1：3设AE=x，则BE=3x，∴AB=x+3x=4x∴OC=OA=2x，∴OE=OA-AE=2x-x=x，∵CD⊥AB，CD=6∴CE=12CD=3，在Rt△COE中，CE2+OE2=OC2即9+x2=4x2解之：x=√3∴AB=4√3.故答案为：4√3.12.解：∵a⊥b∴⊙O与直线a相切，OH=1当⊙O在直线a的左侧时，OP=PH-OH=4-1=3；当⊙O在直线a的右侧时，OP=PH+OH=4+1=5；故答案为3或5.13.解：∵每个小方格都是边长为1的正方形，∴AB＝2 √5，AC＝√10，BC＝√10，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∴连接OC，则∠COB＝90°，∵OB＝√5∴BC的长为：90⋅π⋅√5180＝√5π2故答案为： √5π2. 14.解：∵x 2-8x+12=0，∴ (x −2)(x −6)=0 ，∴x 1=2，x 2=6，∵三角形的两边长分别为2和5，第三边长是方程x 2-8x+12=0的根，当x=2时，2+2＜5，不符合题意，∴三角形的第三边长是6，∴该三角形的周长为：2+5+6=13.故答案为：13.15.解：设二、三两个月新注册用户每月平均增长率是x ， 依题意，得：200（1+x ）2＝338，解得：x 1＝0.3＝30%，x 2＝﹣2.3（不合题意，舍去）. 故答案为：30%.16. 解：连结OA ，∵M 为AF 中点，∴OM ⊥AF ，∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴∠AOM=30°，设AM=a ，∴AB=AO=2a ，OM=√3a ， ∵正六边形中心角为60°， ∴∠MON=120°，∴扇形MON 的弧长为：120π×√3a 180=2√33πa=2πr 1 ， ∴r 1=√33a ， 同理：扇形DEF 的弧长为：120π×2a 180=43πa=2πr 2 ， ∴r 2=23a ，∴r 1：r 2=√33a ：23a=√3：2. 故答案为：√3：2.三、解答题17. （1）解： x 2−8x =4 ，x 2−8x +16=4+16 ，(x −4)2=20 ，x −4=±2√5 ，x 1=4+2√5 ， x 2=4−2√5（2）解：将 x =−12 代入 2x 2−mx −m =0 ，即： 2⋅(−12)2−m ⋅(−12)−m =0 ，解得： m =1 ，将 m =1 代入原方程 2x 2−x −1=0 ，(2x +1)(x −1)=0 ，解得： x 1=−12 ， x 2=1 ，∴方程的另一个根为118. （1）解：∵ 四边形ABCD 是菱形∴AB=AD∴此方程有两个相等实数根即b 2-4ac=(-m)2-4(m 2-14)=0∴m=1当m=1时，原方程为x 2-x+14=0∴x 1=x 2=12 ，即菱形边长为12.即当m=1时，四边形ABCD 是菱形，此时边长是12.（2）解：把AB=2代入原方程得：22-2m+m 2-14=0∴m=52 又由根与系数关系得：AB+AD=m=52∴AD=52-2=12又 ∵平行四边形ABCD∴AB=CD 、BC=AD∴平行四边形ABCD 周长=2(2+12)=5。
南京市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝1003．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（共20分）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是．三、解答题（共88分）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝018．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P 是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选：A．2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝100【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程没有实数根．故选：D．4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：C．6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．二．填空题（共10小题）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程x（x﹣2）＝0 ．【分析】根据以x1x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣2）＝0．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故答案为：π．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为2π．（结果保留π）【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为π×1×2＝2π．故答案为：2π．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为2019 ．【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，则m2+2m＝2019，∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．故答案为：2019．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：∵⊙O与四边形ABCD各边相切，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，∴AD＝3，故答案为：3．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离﹣或+．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为11或﹣5 ．【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，（k+3）2﹣4×3k＝64，解得k＝11或﹣5．故答案为：11或﹣5．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 ．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正方形的一边，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是1或﹣2 ．【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m ﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，则t2+mt+1＝0①，t2+t+m＝0②，①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，那么t＝1，把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．故常数m的值为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三．解答题（共11小题）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5；（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝．18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵四边形ABCD是内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，即x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，∴x＝0舍去，当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，∴它的三边长为3，4，5．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，解得：k＜且k≠0，∴k的取值范围：k＜且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴＝﹣3，∴＝﹣3，解得：k＝﹣5．故k的值是﹣5．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC，∵∠CAB与∠CFB所对弧为，∴∠CAB＝∠CFB，∵∠CAB+∠CBA＝90°，∠BCE+∠CBA＝90°∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OE＝OD＝1，∴四边形OEBD是正方形，∴BD＝BE＝1，∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴（4+x）2＝52+（1+x）2，∴x＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．由题意，得x•（50﹣2x）＝300，解得x1＝10，x2＝15．∵50﹣2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15．答：生物园的边AB的长15m．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵＝∴DC＝BC，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴＝＝，＝∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CD＝3，∴＝，＝，＝∴CE＝，ED＝，AE＝，∴AD＝AE﹣ED＝．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是1＜OP≤2 ；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA 与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O 的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA．设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝ON，∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∴OP＝PM＝PN＝2，∴OM＝ON＝2，∴b＝2，∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时b＝2．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，∵OE＝EN′＝EM′＝1，∴ON′＝OM′＝，观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，解得：m＝，∴原方程为：a（x）+b＝0，∴﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则x+2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，∴观察原方程可得x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．。
江苏省南京市建邺区2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷21-09-81C
1 / 15OEGHF【建邺区数学】2020 年九上期中考试试卷一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分。
在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1、已知 O 的半径是 4cm ，点 P 到圆心 O 的距离为 4.5cm ，则点 P 与 O 的位置关系是 （）A ． O 内B ． O 上C ． O 外D ．以上都有可能2、某学生六次数学考试的成绩（单位：分）分别为：72、80、77、81、89、81，则这组数据的众数与中位数分别是（）A ．81 分、80.5分B ．89分、80.5 分C ．81分、79分D ．89 分、81分3、已知圆锥的底面半径为2，母线长为4，则其侧面积为（）A ．6πB ．8πC ．16πD ．32π 4、一元二次方程x 2 -3x +4=0的根的情况是（）A ．有一个实数根B ．有两个相等的的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根5、如图P A 、PB 是 O 的切线，切点分别为A 、B ，点C 在 AB 上，过C 作 O 的切线分别交PA 、PB 于点D 、E ，连接OD 、OE ，若∠P =50°，则∠DOE 的度数为（） A ．130°B ．50°C ．60°D ．65°6、如图，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 内接于 O ，DC 、BC 交 EF 于 G 、H ，若正方形 ABCD 的边长是4，则GH 的长度为（）A. 2B. 4 -4 3 3C.46 3 A D ． 8 2 - 3D BP E A C2 23 BDOC第5题第6 题2 / 15P二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．的．位．置．上．） 7、写一个一元二次方程使它的解是0和-1：．8、设x 1、x 2是方程x 2-3x +m =0的两个根，且x +x -xx =2，则m 的值是．121 29、已知扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积是．10、Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =4cm ，BC =3cm ，△ABC 的内切圆半径是cm ．11、数学期末总评成绩是将平时、期中和期末的成绩按 3：3：4 计算，若小红平时、期中和期末的成绩分别是 90 分、80 分、100 分，则小红一学期的数学期末总评成绩是 分．12、若关于 x 的方程ax 2 +bx +c = 0 的解为 x =-1 ，x = 3 ，则方程a (x -1)2 +b (x -1) +c = 012的解为．13、如图，在直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，顶点A 、C 在坐标轴上，以边AB 为弦的⊙M 与x 轴相切，若点A 的坐标为(0，8)，则圆心M 的坐标为．14、如图，点A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上，且AE 为50°，则∠B +∠D =°．15、要组织一场篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都只赛一场)，计划安排15场比赛， 应邀请个球队参加比赛． 16、如图，在边长为．的正八边形 ABCDEFGH 中，点 P 在 CD 上，则△PGH 的面积为C A HBGDBCFA E D E第13 题第14题第15 题三、解答题（本大题共 7 小题，共 88 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（8 分）解方程：⑴x 2-3x -4=0⑵4x (2x -1)=3(2x -1)2O18、（7 分）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，∠DBA = 60︒，求∠DCB 的度数．19、（7 分）某果农2017 年的年收入为5 万元，由于党的惠农政策的落实，2019 年年收入增加到7.2 万元，求平均每年年收入的增长率．20、（7 分）如图，O 的弦AB、CD 的延长线相交于点P，且PA=PC．求证AB=CD．21、（8 分）已知关于x的方程mx2 - (m +2)x + 2 = 0 ．⑴若方程有一个根为2，求m 的值．⑵求证：无论m 取何值，方程总有实数根．22、（8 分）某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5 箭，他们的总成绩（单位：环）相同，甲、乙两人射箭成绩统计表如下．⑵请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．23、（9 分）配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些求最值的问题．例如：a2 ≥ 0 ，所以a2 +1 ≥1，即a2+1有最小值为1，此时a = 0 ．再如：-3(a+1)2≤0，所以-3(a+1)2+5≤5，即-3(a+1)2+5有最大值为5，此时a=-1．⑴当x=⑵当x=时，代数式2(x-1)2+3有最(填“大”或“小”)值，且为．时，代数式-x2-2x有最(填“大”或“小”)值，且为____．⑶如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的栅栏的总长是18m，栅栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？墙（第23题）CO24、（8分）矩形ABCD 中，P 在线．段．D ．C ．上．． ⑴请在图①中利用尺规画出点P ，使得∠APB =90︒（不写作法，保留作图痕迹）． ⑵①请在图②中利用尺规画出点P ，使得∠APB =60︒（不写作法，保留作图痕迹）． ② AB =m ， AD = 4 .若一定存在一点 P ，使得∠APB =60︒，则m 的取值范围是．DAB AB25、（8 分）如图， AB 是 O 的直径，AC 与 O 交于 F ，弦 AD 平分∠CAB ， DE ⊥AC ，垂足为 E ．⑴判断直线 DE 与 O 的位置关系，并说明理由． ⑵若 O 的半径为 3，若∠CAB =60︒，求线段 EF ．A26、（8 分）某公司组织员工到附近风景区旅游，根据旅行社提供的收费方案，绘制了如图所示的图像，图中的折线 ABCD 表示人均费用 y (元)与参加人数 x (人)之间的函数关系．如果该公司支付给旅行社 2800 元，那么参加这次旅游的人数是多少？27、（10 分）【问题提出】AB、AC、BC是某区的三条道路，其中AB=6km，∠BAC=60°，∠B=45°，该区想在BC 道路边建物资总站点P，在AB、AC道路边分别建物资分站点E、F，即在线段BC、AB、AC上分别选取点P、E、F．由于该区工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F →P 的路径进行运输，因此，该区工作人员开始研究线段PE、EF、FP之和的最短问题．A P1AP2B图①图②【方案设计】如图②，过点A 作AP⊥BC,垂足为P，分别作AP 关于AB、AC 对称线段AP1，AP2．连接P1P2，P1P2与AB、AC 交于E、F，此时PE、EF、FP 距离之和最短．试求PE+EF+FP 的最小值．【拓展延伸】该区的三条道路改为如图所示的AB、AC、弧BC 的方式，其中AB=6km，AC=3km，∠BAC=60°，弧BC 为60°．分别在弧BC、AB、和AC 上选取点P、E、F．使得线段PE、EF、FP 之和最短，画出图形确定P、E、F 的位置，并求PE+EF+FP 的最小值．AB C图③22 2 222 2MPNOE G M H F【建邺区数学】2020 九上期中考试答案一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分。
江苏省南京市鼓楼区2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题(含答案)
南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+3.在△ABC中，角A､B，C的对边分别为a，b，c，若a：b：c=3：5：7，则其最大角的大小为（）A.60°B.75°C.120°D.150°4.托勒密(C.Ptolemy，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.57365.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（）A.1B.1- D.7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ） A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c =+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ）A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ） A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ）A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为0,2⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =，12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数122z =-+，则41122z ⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .16.如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF的面积为3-，则AB =________，sin△BEC =________.四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =___________，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =___________，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值.南京市鼓楼区2020~2021学年度第二学期高一(下)期中试卷数学注意事项：1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.3.答题前，务必将自已的姓名､准证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第Ⅰ卷(选择题共60分)一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.计算：sin105=（）【答案】D【考点】两角和与差的正弦公式【解析】由题意可知，()321sin105sin6045sin60cos45cos60sin4522224=+=+=⨯+⨯=，故答案选D2.计算：复数21ii-=+（）A.1322i+ B.1322i- C.1322i-- D.1322i-+【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意可知，()()()()2121313111222i i i i i i i i ----===-++-，故答案选B . 3.在△ABC 中，角A ､B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ：b ：c =3：5：7，则其最大角的大小为（ ）A.60°B.75°C.120°D.150°【答案】C【考点】余弦定理的应用【解析】由题意可知，c 为最大边，且设3,5,7a b c ===，则在ABC 中，由余弦定理可得，222cos 2a b c C ab+-= 22235712352+-==-⨯⨯，又()0,C π∈，所以23C π=，即最大角的大小为120，故答案选.C 4.托勒密(C.Ptolemy ，约90-168)，古希腊人，是天文学家､地理学家､地图学家､数学家，所著《天文集》第一卷中载有弦表.在弦表基础上，后人制作了正弦和余弦表(部分如下图所示)，该表便于查出0°~90°间许多角的正弦值和余弦值，避免了冗长的计算.例如，依据该表，角2°12′的正弦值为0.0384，角30°0′的正弦值为0.5000，则角34°36′的正弦值为（ ）A.0.0017B.0.0454C.0.5678D.0.5736【答案】C【考点】新情景问题下的文化题：三角函数值求解【解析】由题意可知，查表可得3436︒'的正弦值为0.5678，故答案选C.5.在下列向量组中，可以把向量()1,3m =-表示出来的是（ ）A.()()1,2,3,2a b =-=B.()()0,0,1,4a b ==-C.()()5,1,10,2a b ==D.()()4,3,4,3a b =-=-【答案】A【考点】平面向量的基本定理应用：基底的选取与向量的表示【解析】由题意可知，平面向量的基底不共线，选项B 中，a //b ，所以排除；选项C 中，b =2a ，即a //b ，所以排除；选项D 中，a =-b ，即a //b ，所以排除；选项A 中，a 与b 不共线，则向量m =(-1，3)可以用a 与b 表示出来，所以选项A 正确，故答案选A.6.ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量,a b 满足2,2AB a AC a b ==+，则a b ⋅=（ ）A.1B.1- D.【答案】B【考点】平面向量的数量积运算【解析】在ABC 中，由2AB a =，可得1a =，则()2224242AB AC a a b a a b a b ⋅=+=+⋅=+⋅，且AB AC ⋅=1cos602222AB AC ⋅=⨯⨯=∣，所以422a b +⋅=，解得1a b ⋅=-，故答案选.B 7.化简22sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得（ ）A.4cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B.sin 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.cos 23πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D.sin 26πα⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】B【考点】三角恒等变换：二倍角公式､诱导公式的应用 【解析】由题意可知，22222sin sin sin cos cos2cos 2cos 3633333πππππππαααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛+--=+-+=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝2)sin 26παα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，故答案选.B 8.已知ABC 的内角,A B C ､所对的边为,,a b c ，其面积为S ，若2222sin ,S C a b c=+-且ABC 的外接圆ABC 周长的取值范围为（ ） A.(]4,6B.(4,C.(]6,8D.( 【答案】A【考点】正余弦定理的综合应用：求周长的范围问题【解析】由题意可知，在ABC 中，因为22222222212sin 2sin 2sin ab C S ab C C a b c a b c a b c⋅===+-+-+-，因为()0,C π∈，所以sin 0C >，所以222ab a b c =+-，则由余弦定理可得，2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又()0,C π∈，所以C 3π=，则23A B π+=，在ABC中，由正弦定理可得，sin sin sin a b c A B C ====2,,3c a A b ==3B =，所以ABC 周长()434343432sin sin 2sin sin 2sin sin 33333l a b c A B A B A π⎡⎛=++=++=++=+- ⎢⎝⎣143)]2sin sin 2sin cos 24sin 23223226A A A A A A A π⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+++=++=++ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭，因为20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以A 5,666πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1sin ,162A π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则ABC 周长(]4sin 24,66l a b c A π⎛⎫=++=++∈ ⎪⎝⎭，故答案选.A 二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，不选或有选错的的得0分)9.在下列选项中，正确的是（ ）A.3sin17cos13cos17sin132+= B.1cos75cos15sin 75sin152+=C.存在角α，β，使得sin(α+β)<sin α+sin β成立D.对于任意角α，β，式子cos(α+β)<cos α+cos β都成立【答案】BC【考点】两角和与差的公式应用【解析】由题意可知，对于选项A ，()1sin17cos13cos17sin13sin 1713sin302+=+==，所以选项A 错误；对于选项()1,cos75cos15sin75sin15cos 7515cos602B +=-==，所以选项B 正确；对于选项C ，当，,36ππαβ==时()1,sin sin sin 1,sin sin sin sin 1362362πππππαβαβ⎛⎫+=+==+=+=> ⎪⎝⎭，所以()sin sin αβα+<，所以sin()sin sin αβαβ+<+成立，所以选项C 正确；对于选项D ，当,22ππαβ==-时()cos cos 1,cos cos 22ππαβαβ⎛⎫+=-=+= ⎪⎝⎭2cos cos 02ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，所以选项D 错误；综上，答案选.BC 10已知,,a b c 是三个向量，在下列命题中，假命题是（ ）A.a b b a ⋅=⋅B.()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C.()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ D.若a b a c ⋅=⋅则b c =【答案】CD【考点】平面向量的运算律应用【解析】由题意可知，对于选项A ，满足数量积的交换律，所以选项A 正确；对于选项B ，满足数量积的分配律，所以选项B 正确；对于选项C ，a ·b 与b ·c 的结果均为数，则(a ·b )·c 与a ·(b ·c )的方向不一定相同，大小不一定相等，所以选项C 错误；对于选项D ，若a =0，则b 与c 不一定相等，所以选项D 错误；综上，答案选C D. 11.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3A B C =+，在下列选项中，正确的是（ ） A.06C π<< B.04C π<<C.sin C 的取值范围为⎛ ⎝⎭D.当6c b =时，则2sin 3C =， 【答案】BCD【考点】解三角形的综合应用【解析】由题意可知，对于选项AB ，因为3A B C =+，且A B C π++=，所以联立解得24,22B C A C ππ+=-=，则2,22B C A C ππ=-=+，又因为()()0,,0,B A ππ∈∈，所以()()()20,20,,20,C C C πππππ⎧-∈⎪⎪⎪+∈⎨⎪∈⎪⎪⎩解得0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 所以选项A 正确，选项B 错误；对于选项C ，由0,4C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin y x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，可得sin 0,2C ⎛∈ ⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，当6c b =时，由正弦定理可得，sin 6sin C B =，又22B C π=-，所以sin C ()26sin 6sin 26cos2612sin 2B C C C π⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭，则解得2sin 3C =，所以选项D 正确；综上，答案选BCD .12.在下列选项中正确的是（ ）A.若z △C ，|z |2=z 2，则z △RB.若z 1，z 2△C ，|z 1+z 2|=|z 1-z 2|，则z 1z 2=0C.若复数12z =-+，则4112z ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭D.若复数z =(cos25°+i sin25°)(cos65°+i sin65°)，则z =i【答案】ACD【考点】复数的综合应用【解析】由题意可知，对于选项A ，可设z a bi =+，则)222222222||,()2z b a b z a bi a abi b ==+=+=-+，若，22||z z =，则0b =，所以z a R =∈，所以选项A 正确；对于选项B ，设12,z a bi z c di =+=+，则12z z+12z z =-=1212z z z z +=-，则0ac bd +=，而()12(z z a bi c =++()1d ac bd ac bd i ac bd =-++=-，不一定得到120z z =，所以选项B 错误；对于选项C，若12z =-+，所以234111,22z z z =--==-+，所以41111222222z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选项C 正确；对于选项D ，若()()()()cos25sin25cos6565cos25sin25sin2525sin2525z i isin i icos cos =++=++=-()22sin25cos25sin 25cos 25i i ++=，所以选项D 正确；综上，答案选ACD 第Ⅱ卷(非选择题共90分)三､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知α为锐角，且3cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______. 【答案】17【考点】同角三角函数关系､两角和与差的正切公式【解析】由题意可知，α为锐角，且3cos 5α=，所以4sin 5α==，则sin 4tan cos 3ααα==，所以tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭41tan 11341tan 713αα--===++ 14.已知复数z 满足|z -1-2i |=2，则|z |的最大值为______.【答案】2+【考点】复数的运算以及综合应用【解析】由题意可设，z a bi =+，由122z i --=，可得()122a b i -+-=，2=，即22(1)(2)4a b -+-=，可令12cos ,22sin a b θθ-=-=，所以z ==ϕ=为任意角，且1tan )2ϕ=，当()sin 1θϕ+=时取到最大值，所以z=2=15.作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡.已知F 1=4N ，F 2=5N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，则力F 3的大小为______N .【考点】正余弦定理在物理上的应用【解析】由题意可知，三个力123,,F F F 平衡，则1F 与2F 的合力F 与3F 等大反向，所以在1OFF 中，由余弦定理可得，2245245cos12061F ==+-⨯⨯⋅=，即3.F =16.如图，在矩形ACD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，12BF CF =，△BFE =120°，EF =2.若△CEF 的面积为3AB =________，sin△BEC =________.【答案】 【考点】双空题：正余弦定理在平面几何中的应用【解析】由题意，因为120BFE ∠=，所以18012060CFE ∠=-=，则在CEF 中，可得12CEF SEF CF =⋅⋅sin 3CFE ∠=-2EF =，可解得2CF =，在CEF 中，可得132CEF S CF h =⋅⋅=，所以h =231AB -===又12BF CF =，所以1,3BF BC BF CF ==+=，在BEF 中，由余弦定理可得，)222222cos 1)2212cos1206BE BF EF BF EF BFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯⨯⋅=，解得BE 6=，在CEF 中，由余弦定理可得，()222222cos 2)222CE CF EF CF EF CFE ∠=+-⋅⋅=+-⨯)222cos60241]⨯⋅=-==，解得CE =BCE 中，12BCE S BC h =⋅⋅=1sin 2BE CE BEC ∠⋅⋅，则3sin BC h BEC BE CE ∠⋅====⋅ 四､解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)（1）求m n ⋅的值；（2）求2m n +的值. 【考点】平面向量的数量积的坐标运算､模的求解【解析】（1）由题意，因为(2,m =--，所以m =所以23cos ,43cos 6m n m n m n π⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=-； （2）由（1）知6m n ⋅=-，所以|2m +()2224441646949n m m n n =+⋅+=⨯+⨯-+=，所以|2m +7n =∣.18.(本小题满分12分)已知z 是复数，z +3i 为实数(i 为虚数单位)，且||z =（1）求z ；（2）若z 和(z +mi )2在复平面内对应的点都在第一象限，求实数m 的取值范围.【考点】复数的运算､几何意义【解析】（1）由题意可设z a bi =+，则(),333z a bi z i a bi i a b i =-+=-+=+-，又因为3z i +为实数，所以3b =，因为z =2245a b +=，解得6a =±，所以63;z i =±+（2）若z 和2()z mi +在复平面内对应的点都在第一象限，则()22263,()(63)36(3)123z i z mi i mi m m i =++=++=-+++， 所以有236(3)0m -+>，且()1230m +>，解得一33m <<，则实数m 的取值范围为()3,3.- 19.(本小题满分12分)在△a =7；△c sin A =4；△512B π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，则求出该三角形面积；若问题中的三角形不存在，则请说明理由.问题：是否存在锐角三角形ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c =8，cos cos()B A C C +-=，__________？【考点】结构不良题：解三角形与三角恒等变换综合应用【解析】在ABC 中，因为()cos cos B A C C +-=，且A B C π++=，所以()()cos cos A C A C C -++-=，即2sin sin A C C =，又因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin 2A =， 在ABC 中，由0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得3A π=， 选△：由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即214964162b b =+-⨯，解得3b =或5b =，所以1sin 2ABC S bc A ==或103；选△：sin 84c A ==≠，故该三角形不存在； 选△：由512B π=可得，4C A B ππ=--=，则由正弦定理可得，sin sin a c A C =，即sin sin c A a C ==且5sin sin sin sin cos cos sin 12464646B πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 824224ABC S ac B ==⨯⨯=+20.(本小题满分12分)设函数2()2cos cos ()f x x x x x R =+∈.（1）求f (x )的最小正周期；（2）设方程5()?2f x =在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的两解分别为x 1，x 2，求cos(x 1-x 2)的值. 【考点】三角函数的图像与性质､三角恒等变换给值求值问题【解析】（1）由题意，()1cos212cos212sin 2126f x x x x x x π⎫⎛⎫=+=++=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则()f x 的最小正周期为22;2T πππω=== （2）由（1）知()2sin 21,6f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭所以方程()52f x =可化为：3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 由12,x x 为方程3sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭的两个根可得，13sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭且23sin 264x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内122266x x πππ+++=，解得123x x π+=，即123x x π=-，所以()1222223cos cos cos 2sin 23364x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21.(本小题满分12分)关于公式sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β的证明，前人做过许多探索.对于α，β均为锐角的情形，推导该公式常可以通过构造图形来完成.（1）填空，完成推导过程(约定：只考虑α，β，α+β均为锐角的情形)证明：构造一个矩形如图形1，在这个矩形GHMN 中，点P 在边MN 上，点Q 在边GN 上，QT △HM ，垂足为T ，△HPQ =90°，设HQ =1，△QHP =α，△PHM =β.在直角三角形QHP 中，QP =sin α，PH =cos α，在直角三角形PHM 中，PM =①，在直角三角形QPN 中，△QPN =β，PN =sin αcos β，在直角三角形HQT 中，QT =②，因为QT =PM +PN ，所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.（2）请你运用提供的图形和信息(见图形2)完成公式(约定：只考虑α，β均为锐角的情形)的推导.【考点】开放性试题：两角和的正弦公式证明【解析】（1）由题意可知，在直角三角形PHM 中，sin cos sin ;PM PH βαβ=⋅=在直角三角形HQT 中，QT =()()sin sin HQ αβαβ⋅+=+（2）由题意可知，在ABE 中，cos cos ,sin sin BE AE AB AE ββββ=⋅==⋅=，且AB BE ⊥， 所以11sin cos 22ABE S AB BE ββ=⋅⋅=， 在ADE 中，()ADE ∠παβ=-+，所以()()11111sin sin 222ADE S AE DE παβαβ⎡⎤=⋅⋅=⋅⋅⋅-+=+⎣⎦， 在CDE 中，cos cos ,sin sin CE DE CD DE αααα=⋅==⋅=，所以11sin sin cos 22CDE S DE CE ααα=⋅⋅⋅=， 又()()()()()111sin sin cos cos 222ABCD S AB CD BC AB CD BE CE βαβα=⋅+⋅=⋅+⋅+=⋅+⋅+四边形， 所以()()()12111sin sin cos cos sin cos sin sin cos 222βαβαββαβαα⋅+⋅+=+++， 化简可得，()sin sin cos cos sin .αβαβαβ+=+得证.22.(本小题满分12分)已知向量()()()1,4,,3,,0,0,0,OA OB a OC b a b O =-=-=->>为坐标原点.（1）当2,3a b ==时，求AB 与AC 的夹角的余弦值；（2）若,,A B C 三点共线，求13a b+的最小值. 【考点】平面向量数量积的坐标运算、平面向量共线的充要条件、基本不等式综合应用【解析】（1）当2,3a b ==时()(),2,3,3,0OB OC =-=-，所以()()()()()()2,31,41,1,3,01,44,4AB OB OA AC OC OA =-=---==-=---=-则()()()1,14,414140AB AC ⋅=⋅-=⨯-+⨯=，所以cos ,0AB AC AB AC AB AC ⋅==；（2）若,,A B C 三点共线，则//AB AC ，又因为()()()()()(),31,41,1,,01,41,4AB OB OA a a AC OC OA b b =-=---=-=-=---=--， 则()()14110a b -⨯-⨯--=，解得43a b +=，则4133a b +=， 因为0,0a b >>，所以130,0a b>>，所以131344474712333333a b a b a a b a b b a b +⎛⎫⎛⎫+=++=++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当43a b b a =，即b =时取等号，所以13a b +。
2020-2021学年度上学期江苏省南京市雨花台区九年级期中考试数学试卷(含解答)
2020-2021学年度上学期江苏省南京市雨花台区九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．请把答案填写在答题卡相应位置上）1.下表是某校乐团的年龄分布，其中一个数据被遮盖了，下面对于中位数的说法正确的是（）中位数可能是14.5 C. 中位数是15或15.5 D. 中位数可能是162.若x=−1是关于x的一元二次方程ax2+bx−1=0的一个根，则2020+2a−2b的值为（）A. 2018B. 2020C. 2022D. 20243.如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于D，∠BOD＝53°，过A作⊙O的切线交OD延长线于C，则∠C＝（）A. 27°B. 30°C. 37°D. 53°4.如图是小颖前三次购买苹果单价的统计图，第四次又买的苹果单价是a元/千克，发现这四个单价的中位数恰好也是众数，则a=（）A. 9B. 8C. 7D. 65.如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )A. k<1B. k≠0C. k>1D. k<1且k≠06.如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形AOBC的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点A的坐标是(0,8)，则点D的坐标是（）A. (9,2)B. (9,3)C. (10,2)D. (10,3)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）7.若方程x2−3x−4=0的两个根分别为x1和x2，则1x1+1x2=________.8.中国的“一带一路”倡议给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年年收入200美元，预计2018年年收入将达到1000美元，设2016年到2018年该地区居民人均收入的年平均增长率为x,可列方程为________9.某地冬季一周每日的气温记录如下，那么这周的平均气温为________ ℃；10.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86,88,90,92,94，方差为s2=8.0．后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差s新2=________．11.已知⊙O的半径为13cm，弦AB的长为10cm，则圆心O到AB的距离为________cm.12.正方形ABCD是半径为10的圆内接正方形，则正方形的周长为________．13.如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是________cm.14.三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2−8x+12=0的解，则这个三角形的周长是________．15.如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°,OD平分∠BOC交狐BC于点D.点E为半径OB上一动点若OB=2，则阴影部分周长的最小值为________.16.如图，在矩形ABCD中，AD＝6，AB＝4，以AD为直径在矩形内作半圆，点E为半圆上的一动点（不与A、D重合），连接DE、CE，当△DEC为等腰三角形时，DE的长为________.三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.某射击队伍正在进行射击训练，现有两位选手的5次射击成绩如下所示：甲：7环，8环，9环，8环，10环乙：6环，9环，10环，8环，10环（1）分别求甲、乙两位选手的射击成绩的中位数和众数；（2）经过计算甲的方差为1.04环2，乙的方差为2.24环2.所以________选手更加稳定.18.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．19.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E, AB=CD,连接AD、BC .求证：（1）弧AD=弧BC ；（2）AE=CE .20.如图是2019年1月份的日历．任意选择图中的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：9×11-3×17=48，13×15-7×21=48．不难发现，结果都是48（1）请证明发现的规律；（2）小明说：他用一个如图所示菱形框，框出5个数字，其中最小数与最大数的积是120，请判断他的说法是否符合题意．21.停课不停学，疫情期间，八（1）班30位同学参加运动线上打卡，张老师为了鼓励同学们积极锻炼，统计了这30人15天的打卡次数如表：（2）求所有同学打卡次数的平均数；（3）为了调动同学们锻炼的积极性，张老师决定制定一个打卡奖励标准，凡打卡次数达到或超过这个标准的同学将获得奖励.请你根据（1）、（2）中所求的统计量，帮助张老师制定一个较为合理的打卡奖励标准，并说明理由.22.如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．23.如图S2－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20 cm ，BC＝15 cm.现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动．如果点P的速度是4 cm/s，点Q的速度是2 cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ts，求：（1）用含t的代数式表示Rt△CPQ的面积S；（2）当t＝3秒时，这时，P、Q两点之间的距离是多少？（3）当t为多少秒时，S＝425S△ABC?24. 2020年突如其来的新型冠状病毒疫情，给生鲜电商带来了意想不到的流量和机遇，据统计某生鲜电商平台1月份的销售额是1440万元，3月份的销售额是2250万元.（1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？（2）市场调查发现，某水果在“盒马鲜生”平台上的售价为20元/千克时，每天能销售200千克，售价每降价2元，每天可多售出100千克，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该水果的成本价为12元/千克，若使销售该水果每天获利1750元，则售价应降低多少元？25.阅读探索：“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？”（完成下列空格）（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组：{x+y=7 2xy=3，消去y化简得：2x2﹣7x+6=0，∵△=49﹣48＞0，∴x1=________，x2=________，∴满足要求的矩形B存在．（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？26.某县教育局为了对该区八年级数学学科教学质量进行检查，对该区八年级的学生进行摸底，为了解摸底的情况，进行了抽样调查，过程如下，请将有关问题补充完整．收集数据：随机抽取A学校与B学校的各20名学生的数学成绩（单位：分）进行分析：（3）得出结论：a：若A学校有800名八年级学生，估计这次考试成绩80分以上（包含80分）人数为多少人?b：根据表格中的数据，推断出哪所学校学生的数学水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）27.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由；（3）在（2）条件下过E，F分别作AB，BC的垂线，垂足分别为G，H，连接GH，交BO于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O的半径．答案一、选择题1.∵5+7+13=25，由表可知，人数大于25人，∴中位数是15或（15+16）÷2=15.5，或16.故答案为：D.2.解：∵把x=−1代入ax2+bx−1=0得：a−b−1=0，∴a−b=1，∴2020+2a−2b=2020+2(a−b)=2020+2=2022．故答案为：C．3.解：如图，连接OA，∵OD⊥AB于D，OA＝OB，∴∠AOC＝∠BOD＝53°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠C＝90°﹣53°＝37°，故答案为：C．4.解：由条形统计图可知，前三次的中位数是8∵第四次又买的苹果单价是a元/千克，这四个单价的中位数恰好也是众数∴a=8．故答案为B．5.解：∵一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，∴∆=（-6）2-36k＞0，k≠0，∴k＜1且k≠0.故答案为：D.6.设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形.∵OA=8，∴CF=8-5=3，∴PF=4，∴OB=EF=5+4=9. ∵PF过圆心，∴DF=CF=3，∴BD=8-3-3=2，∴D(9，2).故答案为：A. 二、填空题7. 解：∵方程x2−3x−4=0的两个根分别为x1和x2，∴x1+x2=3，x1x2=-4，∴1x1+1x2=x1+x2 x1x2=−34.8.解：由题意得：200(1+x)2=1000．答案为：200(1+x)2=1000．9.平均气温=2×(−1)+1×0+2×3+1×37=1；故答案为：1.10.∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2=8.0；故答案为：8.0．11.解：如图，作OC⊥AB于C，连接OA，则AC＝BC＝12AB＝5，在Rt△OAC中，OC＝√132−52＝12，所以圆心O到AB的距离为12cm.故答案为：12.12.解：如图，连接OD由题意可得三角形DOC是等腰直角三角形，且∠DOC=90°,∴CD=√102+102=10√2∴正方形ABCD的周长= 10√2×4=40√213.解：∵圆锥的底面直径为60cm，∴圆锥的底面周长为60πcm，∴扇形的弧长为60πcm，设扇形的半径为r，=60π，则270πr180解得：r=40cm，故答案为:40cm.14.解：解方程x2−8x+12=0得x1=2，x2=6，当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17. 故答案为：17．＝CE+DE+CD,15.解：∵C阴影∴C阴影最短，则CE+DE最短，如图，作扇形OCB关于OB对称的扇形OAB,连接AD交OB于E，则CE=AE,∴CE+DE=AE+DE=AD,此时E点满足CE+DE最短，∵∠COB=∠AOB=60°,OD平分CB,∴∠DOB=30°,∠DOA=90°,∵OB=OA=OD=2,∴AD=√22+22=2√2,而CD的长为：30π×2180=π3,∴C阴影最短为2√2+π3.故答案为：2√2+π3.16.解：①当DE=DC时，△CDE是等腰三角形，此时DE=DC=AB=4.②当CD=CE时，△CDE是等腰三角形.此时CD、CE是⊙O的切线，连接OC交DE于F.∵CD=CE，OD=OE，∴OC垂直平分线段DE，∴DF=EF= CD×ODCO =125，∴DE=245.③当EC=ED时，△ECD是等腰三角形.作EH⊥CD于H，交⊙O于E′，作OF⊥EE′.在Rt△EFO中，EF=√32−22=√5，∴HE=3−√5,HE′=3+√5，∴DE=√DH2+HE2=√22+(3−√5)2=√15−√3，DE′=√22+(3+√5)2=√15+√3，或√15−√3或√15+√3 .综上所述，DE的长为4或245故答案为：4或24或√15−√3或√15+√3 .5三、解答题17. （1）解：甲：7，8，8，9，10，乙：6，8，9，10，10，因此甲成绩从小到大排列处在中间位置的数是8，因此中位数是8，乙成绩从小到大排列处在中间位置的数是9，因此中位数是9，甲成绩出现次数最多的是8，因此众数是8，乙成绩出现次数最多的是10，因此众数是10（2）甲解：（2）∵1.04＜2.24.即甲的方差小于乙的方差，∴甲的成绩比较稳定，较好，故答案为：甲.18.（1）解：Δ=(k−1)2−4(k−2)=k2−6k+9=(k−3)2≥0∵Δ≥0，∴方程总有两个实数根.（2）解：当k=2∴x2+x=0解得x1=0,x2=−119. （1）解：∵AB=CD，∴AB=CD，即AD+AC=BC+AC，∴AD=BC；（2）解：∵AD=BC，∴AD=BC，又∵∠ADE=∠CBE，∠DAE=∠BCE，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．20. （1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为（a-7），（a-1），（a+1），（a+7），∴（a-1）（a+1）-（a-7）（a+7）=a2-1-（a2-49）=48．（2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为（x-14），依题意，得：x（x-14）=120，解得：x1=20，x2=-6（不合题意，舍去）．∵20在第一列，∴不符合题意，∴小明的说法不符合题意21.（1）解：8次的人数最多，众数为8次；共30人，所有同学打卡次数从小到大排列第15个、第16个数反比为8次，9次，中位数为（8+9）÷2＝8.5（次）；（2）解：平均数为（7×6+8×9+9×6+14×3+15×6）÷30＝10（次）；（3）解：为了调动同学们锻炼的积极性，打卡奖励标准可以定为所有同学打卡次数的中位数.因为共有30人，9次以上（含9次）的有17人，超过总数的一半.22. （1）解：）连接OC．∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，∵AD⊥DE，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠DAE=2α，∵∠D=90°，∴∠DAE+∠E=90°，∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．∵AO′=CO′，∴AC⊥OF，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，∴CF∥OA，∵AF∥OC，∴四边形AFCO是平行四边形，∵OA=OC，∴四边形AFCO是菱形，∴AF=AO=OF，∴△AOF是等边三角形，∴∠FAO=2α=60°，∴α=30°，∵2α+β=90°，∴β=30°，∴α=β=30°．23. （1）解：S＝20t－4t2（2）解：当t＝3时，CP＝20－4×3＝8(cm)，CQ＝2×3＝6(cm)，∴PQ＝10(cm) （3）解：列方程20t－4t2＝××15×20，解得t＝2或t＝3.∴t为2秒或3秒时S＝S△ABC.24. （1）解：设月平均增长率为x，依题意，得：1440（1+x）2＝2250，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去）.答：月平均增长率是25%.＝（200+50y）千克，（2）解：设售价应降低y元，则每天可售出200+ 100y2依题意，得：（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750，整理，得：y2﹣4y+3＝0，解得：y1＝1，y2＝3.∵要尽量减少库存，∴y＝3.答：售价应降低3元.25. （1）2；32（2）解：不存在，理由如下：设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得{x+y=3 2xy=1，消去y化简，得2x2-3x+2=0.∵△=9-16＜0，∴不存在矩形B（3）解：（m+n）2-8mn≥0，理由如下设所求矩形的两边分别是x和y，由题意，得{x+y=m+n 2xy=mn2，消去y化简，得2x2-（m+n）x+mn=0.△=（m+n）2-8mn≥0，即（m+n）2-8mn≥0时，满足要求的矩形B存在解：（1）由上可知（x-2）（2x-3）=0，∴x1=2，x2= 32.26. （1）0|0|1|4|2|8|5（2）m=88（3）解：a若A学校有400名初二学生，估计这次考试成绩80分以上人数为：800×1520=600（人）．答：估计这次考试成绩80分以上（包含80分）人数为600人;b:（1）A学校的中位数与众数都比B学校的高，因此A学校的成绩比B学校的学生成绩好．（2）根据表格可知，B学校的成绩的平均数高于A学校，A学校的方差高于B学校成绩的方差，因此说明B学校的成绩好于A学校．解：(1)整理、描述数据：故答案为：0，0，1，4，2，8，5；(2)分析数据：经统计，B校的数据中88出现的次数最多，故表格中m的值是88．故答案为：88；得出结论：27. （1）解：如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）解：线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；（3）解：如图3，延长GE，HF交于K，由（2）知EA2+CF2＝EF2，∴12EA2+ 12CF2＝12EF2，∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，即S△ABC＝S矩形BGKH，∴12S△ABC＝12S矩形BGKH，∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，∵S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，∴S△BMH：S△BGM＝8：9，∵BM平分∠GBH，∴BG：BH＝9：8，设BG＝9k，BH＝8k，∴CH＝3+k，∵AG＝3，∴AE＝3 √2，∴CF＝√2（k+3），EF＝√2（8k﹣3），∵EA2+CF2＝EF2，∴(3√2)2+[√2(k+3)]2=[√2(8k−3)]2，整理得：7k2﹣6k﹣1＝0，解得：k1＝﹣17（舍去），k2＝1．∴AB＝12，∴AO＝√22AB＝6 √2，∴⊙O的半径为6 √2．。
2020-2021南京市南京市雨花台中学九年级数学下期中一模试卷附答案
A． DE 1 BC 2
B． DE 1 BC 3
C． AE 1 AC 2
D． AE 1 AC 3
8．如图，在矩形 ABCD 中， DE AC 于 E ，设 ADE ，且 cos 3 ， AB 5，
5
则 AD 的长为（ ）
A． 3
B． 16 3
C． 20 3
D． 16 5
9．在平面直角坐标系中，点 E（﹣4，2），点 F（﹣1，﹣1），以点 O 为位似中心，按比
6．B
解析：B 【解析】 【分析】 根据相似三角形的判定，采用排除法，逐条分析判断． 【详解】 ∵∠APD=90°，而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，∴无法判定△PAB 与△PCA 相似，故 A 错误； 同理，无法判定△PAB 与△PDA，△ABC 与△DCA 相似，故 C、D 错误； ∵∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，∴AB= PA，AC= PA，AD= PA，BD=2PA，
22．计算： cos 45 tan 45 sin 60 cot 60 ． cot 45 2sin 30
23．如图，已知反比例函数 y＝ k 的图象经过点 A(4，m)，AB⊥x 轴，且△AOB 的面积为 2. x
(1)求 k 和 m 的值； (2)若点 C(x，y)也在反比例函数 y＝ k 的图象上，当－3≤x≤－1 时，求函数值 y 的取值
14．将三角形纸片（ ABC ）按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B ' ，折痕为 EF ，已知 AB AC 3， BC 4 ，若以点 B ' ， F ， C 为顶点的三角形与 ABC 相似，则 BF 的长度是______.
15．如图，已知一次函数 y=kx﹣3（k≠0）的图象与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，与反
南京市鼓楼统考_2020-2021学年度高一第一学期期中_含解析
鼓楼区2020-2021学年度第一学期期中高一数学一、单项选择题：本大题共8小题,每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上 1. 已知集合==A B 1,2,3,4,2,4,6}{}{，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．A. 2,4}{B. 2,6}{C. 2,4,6}{D. 1,2,3,4}{【答案】A ；【解析】图中阴影部分表示的集合为=A B 2,4}{，故选A ．2. 命题“R ∀∈−<x x ,102”的否定为（ ）A. R ∀∈−≥x x ,102B. 不存在R ∈−≥x x ,102C. R ∃∈−<x x ,102D. R ∃∈−≥x x ,102【答案】D ；【解析】命题“R ∀∈−<x x ,102”的否定为R ∃∈−≥x x ,102，故选D ．3. 若集合=−−<A x x x |290}{)()(，=<B x x |5}{，则=A B （ ）．A. 2,5)(B. 2,9)(C. −∞,9)(D. +∞2,)(【答案】C ；【解析】=A 2,9)(，所以=−∞A B ,9)(，故选C ．4. 下面各组函数中表示同一个函数的是（ ）．A. ==f x xg x ,2)()(B. ==f x x g x ,)()(C. −==+−x f x g x x x 1,112)()( D. ⎩−<⎨==⎧≥x x f x g x x x10,10)()( 【答案】B ；【解析】ACD 三个选项中函数的定义域不同，B 中为同一个函数，故选B ．5. 已知==m n lg 2,lg3，用m n ,表示=lg15（ ）A. ++m n 1B. −+m n 1C. +−m n 1D. −−m n 1【答案】B ；【解析】=+=+−=−+m n lg15lg3lg5lg31lg21)(，故选B ．6. 平流层是指地球表面以上10km ~50km 的区域，则在下述不等式中，最适合表示平流层高度的是（ ） A. +<x 1050 B. −<x 1050 C. +<x 1020 D. −<x 3020【答案】D ；【解析】A 选项解集为−60,40)(，B 选项解集为−40,60)(，C 选项解集为−30,10)(，均不符合；D 选项解集为10,50)(， 故选D ．7. 已知函数=++f x ax bx c 2)(，不等式<f x 0)(的解集为或<−>x x x |31}{，则−f x )(的图象可以是（ ）．A.B. C. D.【答案】B ；【解析】−f x )(与f x )(的图象关于y 轴轴对称，f x )(开口向下且与x 轴交点横坐标为−3,1，所以−f x )(开口向下且与x 轴交点横坐标为−3,1 故选B ．8. 已知定义在R 上的函数f x )(是奇函数，且f x )(在−∞,0)(上是减函数，=f 30)(，则不等式−+≤x f x 120)()(的解集是（ ）． A. −∞−−+∞,52,)[]( B. −∞−+∞,21,)[]( C. −∞−+∞,51,)[]( D. −−+∞5,21,)[][【答案】A ；【解析】根据单调性、奇偶性画出函数草图，可知∈−∞−x ,30,3)()(时>f x 0)(，∈−+∞x 3,03,)()(时<f x 0)(，=±x 0,3时=f x 0)(；−+≤x f x 120)()(等价于⎩⎪+≤⎨⎪⎧>f x x 201)(或⎩⎪+≥⎨⎪⎧<f x x 201)(或=x 1， 即⎩⎪+∈−+∞⎨⎪⎧>x x 23,03,1)[][或⎩⎪+∈−∞−⎨⎪⎧<x x 2,30,31][](或=x 1，解得x 的范围是−∞−−+∞,52,)[](．二、多项选择题：（本大题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 9. 下列四个命题中，是真命题的是（ ）．A. 若>x y ，则>x y 22B. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件C. 若=AB A ，则⊆B AD. R +∀∈+≥x x x 1,1122 【答案】CD ；【解析】A 选项，==−x y 0,1时不成立，为假命题；B 选项，两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的必要不充分条件，为假命题；C 选项，若=AB A ，则⊆B A ，为真命题；D 选项，设+++=++−≥−=x x x x 1111211112222，当且仅当+=x 112，即=x 0时取等，为真命题； 故选CD ．10. 下列各图中，可能是函数图象的是（ ）A.B. C.D.．【答案】ACD ；【解析】B 选项，>x 0时有两个y 值与之对应，不为函数，B 错误；故选ACD ．11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”如下：设R ∈x ，用x ][表示不超过x 的最大整数，则=y x ][称为高斯函数．例如−=−2.13][，=3.13][，已知函数+=x f x x 12)(，若函数⎣⎦⎡⎤=y f x )(的值域集合为Q ，则下列集合是Q 的子集的是（ ）． A. +∞0,)[ B. 0,2}{C. 1,2}{D. 1,2,3}{【答案】BCD ；【解析】≥x 0时，+++==−+=++−x x x f x x x x 111112112)(，值域为+∞0,)[，因为f x )(为偶函数，所以f x )(值域为+∞0,)[， 所以N =Q ， 故选BCD ．12. 已知函数f x )(满足：R ∀∈x ，+=−f x f x 31)()(，且∀∈+∞x x ,2,12)[，−<−x x f x f x 01212)()(≠x x 12)(，则（ ）． A. >f f 03)()(B. R ∀∈x ，≤f x f 2)()(C. ⎝⎭⎪−++≤⎛⎫f a a f 4152)(D. 若<f m f 3)()(，则<<m 13【答案】BC ；【解析】由R ∀∈x ，+=−f x f x 31)()(，=++−x x 2231)()(，可得f x )(图象关于=x 2对称，由∀∈+∞x x ,2,12)[，−<−x x f x f x 01212)()(可得f x )(在+∞2,)[单调递减，结合单调性、对称性画出草图，可知距=x 2越近函数值越大， 则显然A 不正确，B 正确， C 选项，−++−=−+≥=−a a a a 4412123522，C 正确； D 选项，<f m f 3)()(时，m 距=x 2更远，则>m 3或<m 1，D 错误； 故选BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 函数=y 的定义域是 ． 【答案】−2,2][；【解析】函数=y −≥2x 40的解集−2,2][，故答案为−2,2][．14. 十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数．知道十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的呼你关系，即=⇔=a N b N a b log ．已知=a log 84，=b log 42，则=a 4 ；+=a b ．【答案】8；27； 【解析】因为=a log 84，所以=a 48，==a b 2,23，所以+=a b 27．15. 设函数⎩⎪−>⎨=⎪+≤⎧x x f x x x x ,0,02)(，则−=f f 2)()( ．【答案】−2；【解析】−==−f f f 222)()()(．16. 当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”．对于集合⎩⎭⎨⎬=−−⎧⎫A 221,,,111，=+=≤B x ax a |10,02}{，若A 与B 构成“全食”，或构成“偏食”，则a 的取值集合为 ．【答案】−−0,1,4}{；【解析】①=∅B 时=a 0，符合条件；②≠∅B 即≠a 0时，=B ，此时应构成“全食”=1或21； 所以=−a 1或−4；综上，a 的取值集合为−−0,1,4}{三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17. （本小题满分10分）⑴计算⎝⎭⎪+⎛⎫922log 7210.5⑵ 已知==m nlg2,103，计算−m n10232的值．【答案】⑴32；⑵【解析】⑴ 原式⎝⎭ ⎪=+=−=⎛⎫933log 2125522121；⑵ =m102，原式⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪===⎪⎛⎫⎛⎫n m 109810222311)()(．18. （本小题满分12分）已知=−+f x x ax a 4322)(，其中a 为实数．⑴ 当=a 2时，判断命题R ∃∈p x :，≤f x 0)(的真假，并说明理由； ⑵ 若∀∈x 1,2][，≤f x 0)(，求a 的取值范围．【答案】⑴ 真命题；⑵ ⎣⎦⎢⎥⎡⎤3,12．【解析】⑴ =a 2时，=−+f x x x 8122)(，则=f 20)(，则命题R ∃∈p x :，≤f x 0)(为真命题；⑵ 二次函数f x )(关于=x a 2对称，在−∞a ,2)(上是减函数，+∞a 2,)(上是增函数， 则≤a 223时，f x )(的最大值为f 1)(，>a 223时，f x )(的最大值为f 2)(， 则∀∈x 1,2][，≤f x 0)(，只需≤f 10)(且≤f 20)(， 即−+≤a a 34102且−+≤a a 38402， 解得≤≤a 311且≤≤a 322，即≤≤a 312，a 的取值范围是⎣⎦⎢⎥⎡⎤3,12．19. （本小题满分12分）中华人民共和国第十四届运动会将于2021年在陕西省举办，全运会会徽以及吉祥物已于2019年8月2日晚在西安市对外发布．某公益团队计划联系全运会组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设．据市场调查，当每套纪念品（一个会徽和一个吉祥物）售价定为x 元时，销售量可达到−x 150.1)(万套．为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格．⑴ 每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？ ⑵ 每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？【答案】⑴ 总利润为240万元；⑵ 每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套利润最大，最大值80元． 【解析】⑴ 每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为−⨯=150.11005（万套），供货单价为+=5505210（元）， 总利润为⨯−=510052240)(（万元） 答：总利润为240万元；⑵ 销售量为−x 150.1，供货单价为−+x150.15010，单套利润为−−−−=−+x x x x 150.1150505010100，因为−>x 150.10，所以<<x 0150 所以单套利润为⎣⎦−−⎢⎥=−−=−−++≤−⎡⎤x x y x x 1501505015010010080100100)( 当且仅当−=x 15010，即=x 140时取等所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元．20. （本小题满分12分）⑴ 已知=−+f x x a 34)()(时，当实数a 为何值时，f x )(是偶函数？⑵ 已知g x )(是偶函数，且g x )(在+∞0,)[是增函数，如果当∈x 1,2][时+≤−g x a g x 6)()(恒成立 ，求实数a 的取值范围．【答案】⑴ =a 0；⑵ =a 2，=−b 5；⑶ −≤≤a 62． 【解析】⑴ 当=a 0时，=+f x x 34)(是偶函数，当≠a 0时，≠−a a ，而−−=≠f a f a a 204)()()(，此时f x )(不可能是偶函数， 所以当=a 0；⑵ 由g x )(是偶函数知+=+g x a g x a )()(，−=−g x g x 66)()(，且+−≥x a x ,60， 由g x )(在+∞0,)[是增函数，及+≤−g x a g x 6)()(知 当∈x 1,2][时，+≤−x a x 6恒成立，即当∈x 1,2][时，+≤−x a x 6恒成立， 即当∈x 1,2][时，−≤+≤−x x a x 66恒成立， 即当∈x 1,2][时，−≤≤−a x 662恒成立， 所以−≤≤a 62．21. （本小题满分12分）已知函数=−f x x ax 2)(，其中a 为实数．⑴ 当=a 2时，画出函数f x )(的图像，并直接写出递增区间； ⑵ 若f x )(在∈x 1,3][时的取值范围为⎣⎦⎡⎤f 0,3)(，求a 的取值范围．【答案】⑴ 图像见解析，递增区间为0,1)(和+∞2,)(；⑵≤≤−+a 16； 【解析】⑴ 当=a 2时或⎩−+<<⎨=−≤≥⎧x x x f x x x x x 2,022,0222)(；⑵ 解方程=f x 0)(，得=x 0或=x a ， 结合条件知∈a 1,3][， ① 当=a 1时，符合题意， ② 当=a 3时，不符合题意，③ 当<≤a 12时，⎩−≤≤⎨=−+≤<⎧x ax a x f x x ax x a,3,122)(，f x )(在a 1,)[上单调递减，a ,3][上单调递增，只需≥f f 31)()(，解得≤a 25， 所以<≤a 12，④ 当<≤a 23时，⎩−≤≤⎨=−+≤<⎧x ax a x f x x ax x a,3,122)(，f x )(在⎣⎭⎢⎪⎡⎫a 21,单调递增，在⎣⎭⎢⎪⎡⎫a a2,上单调递减，a ,3][上单调递增，显然≥=f f a 10)()(，所以只需⎝⎭⎪≥⎛⎫f f a 23)(，解得−−≤−+a 66，所以<≤−+a 26综上所述，≤≤−+a 1622. （本小题满分12分）已知∈a R ，=+xf x a 1)(． ⑴ 若关于x 的方程=−+f x a x 21)()(的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；⑵ 若⎣⎦⎢⎥∀∈⎡⎤t 2,11，函数f x )(在区间+t t ,1][上最大值不超过最小值的2倍，求a 的取值范围．【答案】⑴ ∈a 2,3}{；⑵ ≥a 32． 【解析】⑴ 方程=−+f x a x 21)()(，即方程+=−+xa a x 211)(，其中≠x 0， 整理得到−+−−=a x a x 21102)()(， 显然=x 0不是方程的根，所以方程−+−−=a x a x 21102)()(在R 上只有一解， 当−=a 20即=a 2时，符合题意；当−≠a 20即≠a 2时，∆=−+−=a a 14202)()(，解得=a 3， 所以∈a 2,3}{；⑵ 函数f x )(在+∞0,)(上单调递减， 而⎣⎦⎢⎥∀∈⎡⎤t 2,11，+⊆+∞t t ,10,)(][，所以函数f x )(在+t t ,1][上单调递减，所以在+t t ,1][上，f x )(的最大值为=+tf t a 1)(，最小值为++=+t f t a 111)(，由题意得，⎣⎦⎢⎥∀∈⎡⎤t 2,11，⎝⎭+⎪+≤+⎛⎫t t a a 1211恒成立， 即⎣⎦⎢⎥∀∈⎡⎤t 2,11，+=−−≤t t g t a 1012)(恒成立，下面来说明g t )(的单调性，⎣⎦⎢⎥∀∈⎡⎤t t 2,,1112，且<t t 12，则⎝⎭⎝⎭++ ⎪ ⎪−=−−−−−⎛⎫⎛⎫t t t t g t g t a a 111212112212)()(⎝⎭++ ⎪=−−−⎛⎫t t t t 1111221212++++=−=−−−−+++t t t t t t t t t t t t t t t t t t 111121121212122121211212)()()()()()()(， 因为≤<≤t t 21112， 所以++>t t t t 1101212)()(，−>t t 021，−+++>−+++>t t t t t t 1110121212， 所以−>g t g t 012)()(，即g t )(在⎣⎦⎢⎥⎡⎤2,11上单调递减，所以只需g t )(的最大值即⎝⎭⎪=−−≤⎛⎫g a 232014，解得≥a 32．。
2020-2021学年江苏省南京市高淳区九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2020-2021学年江苏省南京市高淳区九年级第一学期期中数学试卷一、选择题（共6小题）.1．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断2．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1＝2x B．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝03．关于函数y＝2（x+3）2+1，下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线x＝3；③当x≥0时，y随x的增大而增大；④当x≤0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．44．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．连接AC，若∠BAC＝20°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为（）A．﹣1B．﹣6C．5D．46．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l 上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．二、填空题（共10小题）.7．用配方法解方程x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝．8．已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2＝．9．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分727090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是分．10．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为．11．一个圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是cm2．12．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m．当水位上涨2m时，水面宽CD为m（结果保留根号）．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG＝°．14．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为．15．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利万元．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．则CG的最小值为．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．18．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为．19．（8分）甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩8040705060乙成绩705070a70（1）统计表中，a＝，甲同学成绩的极差为；（2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是S甲2＝[（80﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2+（50﹣60）2+（60﹣60）2]＝200．请你求出乙同学成绩的平均数和方差；（3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．20．（7分）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：＝．21．（8分）甲、乙两名同学参加1000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A，B，C三组进行比赛．（1）甲同学恰好在A组的概率是；（2）求甲、乙两人至少有一人在B组的概率．22．（8分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．23．（8分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是（填“A”或“B”），理由是，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．24．（7分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上？．A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x﹣1 C．y＝﹣（x+1）2D．y＝﹣（x﹣1）2 25．（8分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．26．（9分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．（1）求a，b的值；（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．①平移后抛物线的函数关系式为；②求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．27．（10分）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化．请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．参考答案一、选择题（共6小题）.1．已知⊙O的直径为4，点O到直线l的距离为2，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法判断解：∵⊙O的直径为4，∴⊙O的半径为2，∵点O到直线l的距离为2，∴d＝r∴l与⊙O的位置关系相切．故选：B．2．下列方程中，有两个相等实数根的是（）A．x2+1＝2x B．x2+1＝0C．x2﹣2x＝3D．x2﹣2x＝0解：A、△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，有两个相等实数根；B、△＝0﹣4＝﹣4＜0，没有实数根；C、△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，有两个不相等实数根；D、△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，有两个不相等实数根．故选：A．3．关于函数y＝2（x+3）2+1，下列说法：①函数的最小值为1；②函数图象的对称轴为直线x＝3；③当x≥0时，y随x的增大而增大；④当x≤0时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）个．A．1B．2C．3D．4解：∵y＝2（x+3）2+1，∴该函数图象开口向上，有最小值1，故①正确；函数图象的对称轴为直线x＝﹣3，故②错误；当x≥0时，y随x的增大而增大，故③正确；当x≤﹣3时，y随x的增大而减小，当﹣3≤x≤0时，y随x的增大而增大，故④错误；故选：B．4．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点．连接AC，若∠BAC＝20°，则∠D的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°解：连接BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣20°＝70°，∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝180°﹣70°＝110°．故选：B．5．已知二次函数y＝x2﹣5x+m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的横坐标为1，则另一个交点的横坐标为（）A．﹣1B．﹣6C．5D．4解：∵二次函数y＝x2﹣5x+m中a＝1，b＝﹣5，∴函数的对称轴为：x＝﹣＝，∵一个交点的坐标为（1，0）与另一个交点的坐标关于对称轴对称，∴另一个交点的坐标为（4，0），即另一个交点的横坐标为4．故选：D．6．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l 上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：如图1所示：当0＜x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH＝EJ＝x，∴y＝EJ•GH＝x2．当x＝2时，y＝，且抛物线的开口向上．如图2所示：2＜x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．y＝FJ•GH＝（4﹣x）2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．用配方法解方程x2+4x+1＝0，则方程可变形为（x+2）2＝3．解：∵x2+4x＝﹣1，∴x2+4x+4＝﹣1+4，即（x+2）2＝3，故答案为：3．8．已知一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，则x1•x2＝﹣．解：∵一元二次方程2x2+3x﹣1＝0的两个根是x1，x2，∴x1x2＝﹣，故答案为﹣．9．超市决定招聘一名广告策划人员，某应聘者三项素质测试的成绩如表：测试项目创新能力综合知识语言表达测试成绩/分727090将创新能力、综合知识和语言表达三项测试成绩按5：3：2的比例计入总成绩，则该应聘者的总成绩是75分．解：该应聘者的总成绩是：72×+70×+90×＝75（分）．故答案为：75．10．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为．解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）所有等可能的情况有4种，正面都向上的情况有1种，则P＝，故答案为：11．一个圆锥的底面半径为3cm，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是18πcm2．解：底面半径为3cm，则底面周长＝6πcm，侧面展开图是半圆，则母线长＝6π×2÷2π＝6cm，∴圆锥的侧面积＝×6π×6＝18πcm2．12．如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m．当水位上涨2m时，水面宽CD为2m（结果保留根号）．解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，故此时y＝﹣×32＝﹣3，当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，则﹣1＝﹣x2，解得：x＝±．故当水位上涨2m时，水面宽CD为2m．故答案为：2．13．如图，在正八边形ABCDEFGH中，AC、GC是两条对角线，则∠ACG＝45°．解：设正八边形ABCDEFGH的外接圆为⊙O；∵正八边形ABCDEFGH的各边相等，∴圆周长，∴＝90°，∴圆周角∠ACG＝．故答案为45°．14．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，若AB＝8，CD＝2，则⊙O的半径为5．解：∵OD⊥AB，AB＝8，CD＝2，∴AC＝AB＝4，在Rt△AOC中，∵OA2＝OC2+AC2，即r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5．故答案为：5．15．某商贸公司2017年盈利100万元，2019年盈利144万元，且2017年到2019年每年盈利的增长率相同，则该公司2018年盈利120万元．解：设平均年增长率为x，根据题意得：100（1+x）2＝144，整理得：（1+x）2＝1.44，开方得：1+x＝±1.2，解得：x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（舍去），则平均年增长率为20%，∴该公司2018年盈利100（1+20%）＝120（万元）．故答案为：120．16．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是BC边上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．则CG的最小值为﹣1．解：取AB得中点O，连接OC，根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，所以OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，∵正方形ABCD的边长为2，∴BO＝1，BC＝2，∴OC＝＝，∴CG的最小值为OC﹣OG＝﹣1，故答案为：﹣1．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：（2x﹣1）2＝3﹣6x．解：（2x﹣1）2＝﹣3（2x﹣1），（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）[（2x﹣1）+3]＝0，2x﹣1＝0或2x+2＝0所以x1＝，x2＝﹣1．18．（9分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如表：x…﹣10123…y…105212…（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）作该二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称的新图象，则新图象的函数关系式为y＝﹣x2+4x﹣5．解：（1）由图表可知抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），∴对称轴为x＝＝2；∴顶点坐标为：（2，1），∴设y＝a（x﹣2）2+1，将（0，5）代入可得：4a+1＝5，解得：a＝1，∴二次函数的解析式为：y＝（x﹣2）2+1，即y＝x2﹣4x+5，所求二次函数的关系式为y＝x2﹣4x+5．（2）描点、连线画出函数图象如图：；（3）∵新图象与二次函数y＝ax2+bx+c的图象关于x轴对称，∴﹣y＝x2﹣4x+5，∴新图象的函数关系式为y＝﹣x2+4x﹣5，故答案为y＝﹣x2+4x﹣5．19．（8分）甲、乙两位同学5次数学选拔赛的成绩统计如表，他们5次考试的总成绩相同，请同学们完成下列问题：第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩8040705060乙成绩705070a70（1）统计表中，a＝40，甲同学成绩的极差为40；（2）小颖计算了甲同学的成绩平均数为60，方差是S甲2＝[（80﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2+（50﹣60）2+（60﹣60）2]＝200．请你求出乙同学成绩的平均数和方差；（3）从平均数和方差的角度分析，甲、乙两位同学谁的成绩更稳定．解：（1）a＝（80+40+70+50+60）﹣（70+50+70+70）＝40，甲同学成绩的极差为80﹣40＝40，故答案为：40，40；（2）乙同学的成绩平均数为×（70+50+70+40+70）＝60，方差S乙2＝[（70﹣60）2+（50﹣60）2+（70﹣60）2+（40﹣60）2+（70﹣60）2]＝160；（3）因为甲乙两位同学的平均数相同，S甲2＞S乙2，所以乙同学的成绩更稳定．20．（7分）如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB∥CD，求证：＝．【解答】证明：作半径OE⊥AB交圆于E点．∵AB∥CD，∴OE⊥CD，∴，∴即：＝．21．（8分）甲、乙两名同学参加1000米比赛，由于参赛选手较多，将选手随机分A，B，C三组进行比赛．（1）甲同学恰好在A组的概率是；（2）求甲、乙两人至少有一人在B组的概率．解：（1）因为共有A、B、C三组，而甲同学在A组的只有1种结果，所以甲同学恰好在A组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：可得一共有9种可能，甲、乙两人至少有一人在B组的有5种，所以甲、乙两人至少有一人在B组的概率为．22．（8分）如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，如果要围成面积为45m2的花圃，求AB的长度．解：设AB长为xm，则BC长为（24﹣3x）m．依题意得：x（24﹣3x）＝45，整理得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，BC＝24﹣9＝15＞10不成立，当x＝5时，BC＝24﹣15＝9＜10成立．答：AB的长为5m．23．（8分）某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x＜50，50≤x＜60，60≤x ＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）：b．A课程成绩在70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.579 79 79 79.5c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：课程平均数中位数众数A75.8m84.5B72.27083根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是B（填“A”或“B”），理由是该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．解：（1）∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8＝60，∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，∴中位数在70≤x＜80这一组，∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 7979.5，∴A课程的中位数为＝78.75，即m＝78.75；（2）∵该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数，∴这名学生成绩排名更靠前的课程是B，故答案为：B、该学生的成绩小于A课程的中位数，而大于B课程的中位数．（3）估计A课程成绩超过75.8分的人数为300×＝180人．24．（7分）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当m的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上？D．A．y＝x﹣1 B．y＝﹣x﹣1 C．y＝﹣（x+1）2D．y＝﹣（x﹣1）2【解答】（1）证明：当y＝0时，（x﹣1）（x﹣m）＝0．解得x1＝1，x2＝m．当m＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点．（2）由二次函数y＝（x﹣1）（x﹣m）＝（x﹣）2+m﹣得到该抛物线的顶点坐标是（，m﹣），而点（，m﹣）满足y＝﹣（x﹣1）2，不满足y＝x﹣1，y＝﹣x﹣1，y＝﹣（x+1）2，∴点（，m﹣）在函数y＝﹣（x﹣1）2上．故答案是：D．25．（8分）如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵四边形AOCD为平行四边形，∴OA＝DC，OC＝AD，∵OA＝OC＝OD，∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD，∴△OAD、△OCD都是等边三角形，∴∠AOD＝∠COD＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°，在△OBF和△ODF中，，∴△OBF≌△ODF（SAS），∴∠OBF＝∠ODF，∵∠OBF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴EF⊥OD∵点D在⊙O上，∴EF为⊙O的切线；（2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°，∴∠FEB＝30°，∵OD＝1，∴OE＝2，DE＝OD＝，∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝，S扇形AOD＝＝π，∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π．26．（9分）平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C中的两点．（1）求a，b的值；（2）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点在直线y＝x+1上，设平移后抛物线顶点的横坐标为m．①平移后抛物线的函数关系式为y＝﹣（x﹣m）2+m+1；②求平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．解：（1）∵B、C两点的横坐标相同，∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A、B两点，把A（1，2），C（2，1），代入y＝ax2+bx+1得．解得，；把A（1，2），B（2，3），代入y＝ax2+bx+1得．解得，（不合题意，舍去）；∴a＝﹣1，b＝2；（2）①根据题意，得y＝﹣（x﹣m）2+m+1；故答案是：y＝﹣（x﹣m）2+m+1；②令x＝0，得y＝﹣m 2+m+1＝﹣（m﹣）2+．∴当m＝时，平移后的抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为．27．（10分）（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化．请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．解：（1）连接AC，∵BD＝BC，∴，又∵AB是直径，∴AB垂直平分CD，∴AC＝AD，∵CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°＝∠DAC，∵AB垂直平分CD，∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，∴∠ADC＝2∠BDC；（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；②当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1，∴AC＝2BC，∵AB2＝AC2+BC2，∴16＝5m2，∴m＝，∵0＜m＜4，∴当0＜m＜时，点D的个数为0；当m＝时，点D的个数为1；当＜m＜4时，点D的个数为2．。
2020-2021学年人教版第一学期九年级期中考试数学试卷(含答案)
九年级期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.观察下列图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.若x=1是方程x2+ax-2=0的一个根，则a的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33.将二次函数y=2（x-1）2+2的图象向左平移2个单位长度得到的新图象的表达式为（）A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，将点P(a,b)关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A. (b−2,−a)B. (b+2,−a)C. (−a+2,−b)D. (−a−2,−b)5.同一坐标系中，抛物线y＝(x－a)2与直线y＝a＋ax的图象可能是( )A. B. C. D.6.一元二次方程x2-6x+5=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2的值是( )A. 6B. -6C. 5D. -57.如图，已知在△ABC中，∠ABC=90°,AB=8,BC=6，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且∠DAC=∠BAC，连接CD，且△ACD的面积为（）A. 24B. 30C. 36D. 408.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（）A. 5人B. 6人C. 7人D. 8人9.已知关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B. C. D. 且10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c ＞b；④2a+b=0；⑤△=b2-4ac＜0；⑥3a+c＞0；⑦（m2-1）a+(m-1)b≥0（m为任意实数）中成立式子（）A. ②④⑤⑥⑦B. ①②③⑥⑦C. ①③④⑤⑦D. ①③④⑥⑦二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题3分，共30分）11.如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，D(6，6)，连接AB，CD，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合（点A与点C重合，点B与点D重合），则这个旋转中心的坐标为________．12.某乡村种的水稻2018年平均每公顷产3200kg ，2020年平均每公顷产5000kg ，则水稻每公顷产量的年平均增长率为________．13.一抛物线的形状，开口方向与y=3x2−3x+1相同，顶点在(-2，3)，则此抛物线的解析式为2________．14.如图，是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的一部分，已知抛物线的对称轴为x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是________15.如图，四边形ABCD是正方形，P在CD上，△ADP旋转后能够与△ABP′重合，若AB＝3，DP＝1，则PP′＝________．16.如图，已知AB⊥BC，AB=12cm，BC=8cm.一动点N从C点出发沿CB方向以1cm/s的速度向B 点运动，同时另一动点M由点A沿AB方向以2cm/s的速度也向B点运动，其中一点到达B点时另一点也随之停止，当△MNB的面积为24cm2时运动的时间t为________秒.17.如图，在边长为6的等边△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是△ABC内一个动点，且DE＝2，将线段AE绕点A逆时针旋转60°得到AF，则DF的最小值是________．18.如图，抛物线y=−14x2+12x+2与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上，且CD∥AB.AD与y轴相交于点E，过点E的直线PQ平行于X轴，与拋物线相交于P、Q两点，则线段PQ的长为________.三、解答题（本大题共8小题，共90分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）19.如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．（1）指出它的旋转中心；（2）说出它的旋转方向和旋转角是多少度；（3）分别写出点A，B，C的对应点．20.已知关于x的一元二次方程x2+(k−1)x+k−2=0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k值代入方程，并求出此时方程的解．21.已知二次函数y=x2-4x+3，设其图象与x轴的交点分别是A、B（点A在点B的左边），与y轴的交点是C，求：（1）A、B、C三点的坐标；（2）△ABC的面积．22.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？23.跳绳时，绳甩到最高处时的形状是抛物线. 正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB为6米，到地面的距离AO和BD均为0. 9米，身高为1. 4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E. 以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系, 设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.（1）求该抛物线的解析式；（2）如果身高为1. 85米的小华也想参加跳绳，问绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由；（3）如果一群身高在1. 4米到1. 7米之间的人站在OD之间,且离点O的距离为t米, 绳子甩到最高处时必须超过他们的头顶,请结合图像,写出t的取值范围________.24.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．（1）连接BF，求证：CF＝EF．（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，如图②，求证：AF+EF＝DE．（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°，其他条件不变，如图③，你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出AF、EF与DE之间的数量关系．25.如图，已知抛物线y=1x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12），点B是抛物线上2O、A之间的一个动点，过点B分别作x轴和y轴的平行线与直线OA交于点C、E，（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC、BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m、n之间的关系式.26.在一-次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F 重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB=∠DFE=90°，BC=EF=3cm，AC=DF=4 cm，并进行如下研究活动。
2020-2021学年11月11日南京市玄武区九年级上期中数学卷+答案
【玄武区数学】2020九上期中考试一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分。
在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1、下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（ ）A ．210x +=B ．212x x +=C ．220x x -=D ．223x x -= 2、O 的半径为4，圆心O 到直线l 的距离为5，则直线l 与O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断 3、把方程21050x x --=变形为()2x h k +=的形式可以是（ ）A ．()2530x -= B ．()255x -= C ．()255x += D ．()2530x += 4、一组数据26，32，32，36，46，■7，52进行统计分析，其中一个两位数的十位上的数字被墨水涂污看不到，则下列统计量与被涂污数字无关的是（ ）A ．平均数B ．极差C ．众数D ．方差 5、如图，A 、B 、C 是O 上的点，且∠ACB =140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，90°，140°，仅用无刻度的直尺能画出的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（第5题） （第6题）6、如图，AB 为半圆O 的直径，C 是AB 的中点，D 是 BC 的中点，在 AC 上取一点M ， BC 上取一点N ，使得∠AMN =110°，则下列说法正确的是（ ）A ．点N 在 CD 上，且NC>NDB ．点N 在 CD 上，且NC<NDC ．点N 在 BD 上，且ND>NB D ．点N 在 BD 上，且ND<NBAAEOB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分. 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．） 7、 一组数据：-2，3，2，0，4的极差是_____________．8、 若1x ，2x 是一元二次方程2220200x x --=的两个实数根，则1212x x x x ++=______． 9、 若圆锥的底面圆半径为5cm ，高为12cm ，则圆锥的侧面展开图的面积是 2cm . 10、若某种商品的原价每件40元，经两次降价，现售价每件32.4元，则该种商品平均每次降价的百分率是__________．11、一个不透明的袋中装有6个黄球，m 个红球，n 个白球，每个球除颜色外都相同. 把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件A ，摸出的球不是黄球记为事件B ，若P (A )=2P (B )，则m 与n 的数量关系是_____________．12、如图，O 是△ABC 的外接圆，AB=AC ，若∠OBC =20°，则∠ACB =_________°． 13、如图，O 是等边△ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，若等边△ABC 的边长为6，则阴影部分的面积是_________．（第12题） （第13题） （第14题） 14、如图，在扇形AOB 中，点C 、D 在弧AB 上，连接AD 、BC 交于点E ，若∠AOB =120°，弧CD 的度数为50°，则∠AEB =_________°．15、如图，在半径为5的O 中，弦AB =8，D 是弧AB 的中点，过点B 作BC ⊥AB 交O 于点C ，连接CD ，则CD =_________．（第15题） （第16题）16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AB =4，D 是BC 边上一动点，连接AD ，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 交BC 于点F ，则CF 最大值 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17、（10分）解下列方程；（1）2410x x +-=； （2）()()()1351x x x -+=-；18、（7分）甲、乙两名同学分别从《我和我的家乡》、《夺冠》、《姜子牙》三部电影中随机选择一部观看.（1）甲同学选择《夺冠》的概率是 ；（2）求甲、乙两名同学恰好选择同一部电影的概率.19、（8分）某校举办了一次题为“致敬最美逆行者”的演讲比赛，甲、乙两组学生成绩分布的折线统计图如下（学生成绩均为整数）：（1）根据以上信息，填空：组别平均数/分中位数/分方差/2分甲 7 ▲ 2.8乙▲ 7 ▲（2）如果学校准备选派其中一组参加区级比赛，你认为选派哪一组参赛更好？为什么？甲、乙两组学生演讲比赛成绩折线统计图乙组甲组成绩/分学生人数/人20、（7分）如图，某石拱桥的桥拱是圆弧形，拱的跨度AB 为24m ，点O 是弧AB 所在圆的圆心，⊙O 的半径为13m ，求桥拱的高度（弧的中点到弦的距离）.21、（8分）已知关于x 的一元二次方程()242440mx m x m +-+-=（m 为常数，且m ≠0）.⑴求证：方程总有两个不相等的实数根；⑵若m 为整数，且方程的两个实数根都是整数，求m 的值.22、（7分）如图，利用一面长度为25m 的墙，用50m 的铁栅栏围成一个矩形停车场ABCD（AD ＜25m ），在BC 边有一个4m 宽的门，若矩形ABCD 的面积为340 m 2，求 AB 的长.A B墙23、（8分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，O ε经过点A 、C 、D ，分别交边AB 、BC 于点E 、F ，连接DE 、DF ，且DE =DF . ⑴求证：AB ∥CD ； ⑵连接AF ，求证：AB =AF .24、（6分）如图，A 、B 是O ε上的点，以OB 为直径作1O ε.仅用无刻度的直尺完成下列作图.⑴在图①中，在1O ε上作出一个点C ，使 BC 与 AB 的长度相等；⑵在图②中，在O ε上作出一个点D ，使 AD 与 BD的长度相等.②①A25、（8分）如图，在Rt △ABC 中，ACB =90°，点D 在AC 边上，以AD 为直径作O ε交AB 于点E ，连接CE ，且CB =CE . ⑴求证：CE 是O ε的切线；⑵若CD =2，AB=，求O ε的半径.26、（9分）某商店销售甲、乙两种零食，甲零食每袋成本为5元，乙零食每袋成本为7元．甲零食现在的售价为10元，每天卖出30袋；售价每提高1元，每天少卖出2袋．乙零食现在的售价为14元，每天卖出6袋；售价每降低1元，每天多卖出4袋，假设甲、乙两种零食每天卖出的袋数的和不变（和为36袋），且售价均为整数．⑴当甲零食的售价提高2元，则甲零食每天卖出_____________袋，乙零食的售价 为_____________元；⑵当甲零食的售价提高多少元时，销售这两种零食当天的总利润和是268元？A27、（9分）【提出问题】⑴ 已知点P 是O ε外的一点，在O ε上找一点A ，使P 、A 两点间距离最短.如图①，连接OP ，OP 与O ε的交点A 即为所求，此时线段P A 最短. 为了证明点A 即为所求，不妨在O ε上另外任取一点B ，连接PB ，OB ，证明PB PA ＞，请完成这个证明.【变式探究】⑵ 已知直线l 与O ε相离，在O ε上找一点M ，使点M 到直线l 的距离最短。
〖含高考模拟卷13套〗江苏省南京市第九中学2020-2021学年高三期初调研测试数学试题含解析
江苏省南京市第九中学2020-2021学年高三期初调研测试数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=2．已知双曲线222:1(0)3-=>y x C a a 的一个焦点与抛物线28x y =的焦点重合，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．2BC ．3D ．43．已知实数,x y 满足线性约束条件1020x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则1y x +的取值范围为（ ）A ．(-2,-1］B ．(-1,4］C ．[-2,4)D ．[0,4]4．若集合{}A=|2x x x R ≤∈，，{}2B=|y y x x R =-∈，，则A B ⋂=（ ） A ．{}|02x x ≤≤B ．{}2|x x ≤C ．{}2|0x x -≤≤D ．∅5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()axf x e =-（其中e 是自然对数的底数），若()2020ln 28f -=，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．3C ．13-D ．136．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（ ）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 7．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．68．设实数满足条件则的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．1648110．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．311．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．2612．观察下列各式：2x y ⊗=，224x y ⊗=，339x y ⊗=，4417x y ⊗=，5531x y ⊗=，6654x y ⊗=，7792x y ⊗=，，根据以上规律，则1010x y ⊗=（ ）A ．255B ．419C ．414D ．253二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。