减小最小二乘法带来的误差
基于最小二乘拟合的地磁场测量误差补偿方法
Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ： ｇ ｅ ｏ ｍａ ｇ ｎ ｅ ｔ ｉ ｃ ｆ ｉ ｅ ｌ ｄ；ｍ ｅ ａ ｓ ｕ ｒ ｅ ｍｅ ｎ ｔ ；ｅ ｒ ｒ ｏ ｒ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ；ｌ ｅ ａ ｓ ｔ ｓ ｑ ｕ ａ ｒ ｅ ｆ ｉ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ
三 轴 地磁 场 测 量 误 差 模 型
１ ． １ 地磁 场 测量 误差 分析
传感器 ， 才 能 够 测 量 出地 磁 场 矢 量 的大 小 和方 向 。
但是 ， 由于制造 技术 和 工艺水 平 的限制 ， 各个 磁传 感 器之 间不 可 能完全 正 交 ， 并 其 各 自的 性 能也 存 在 差
连 续分 布且 非常稳 定 ， 可作 为载 体 导 航 和 姿 态 检测
技 术 的理想 基准 。磁传 感器 作 为测量 地磁 场 的敏感
元件 ， 具有体积 小、 响应快、 成 本低 、 抗 高 过 载 等优
点， 因此地 磁导航 技 术 在 军 事 领域 和 国 民经 济 生 活 中都得 到非 常广 泛 的应用 ［ １ பைடு நூலகம்。 地 磁 场 是矢 量 场 ， 需 要 采用 多 个 正 交配 置 的磁
Ｅ ７ ３ 虽 然省 去 了转 台 ， 但 是其 需要 依赖 磁 罗盘 的六 个
０ 引言
地 磁场 是 天 然存 在 的物 理场 ， 在地 球 近 地 空 问
立方 体平 面提 供方 向基 准 。这两 种方 法 都无 法摆 脱
对外 部基 准 的依赖 ， 不 可避 免 地 引 入 对 准 误 差 和 安 装误 差 ， 并且 补偿 过程 也较 为 复杂 。 为 了能够 不 依 赖外 部 基 准 ， 准 确 方 便地 实 现 对 地 磁场测 量 系统 误 差 的 补偿 ， 提 出 了基 于最 小 二 乘 拟 合 的地磁 场测 量误 差补偿 方 法 。
误差概论和最小二乘法
∑v
2
i
pi ∝ 1 / σ i
2
p1 = σ12 / σ12 = 1 p2 = σ1 2 / σ 2 2 = 0.5 p3 = σ12 / σ 3 2 = 0.25
σ1 = max σ i pi = σ 1 2 / σ i 2 i = 1,2, " , n 权：相对概念
x1 单位权观测值
误差概论和最小二乘法
通常，目标函数可选为：
1) d = max yi − f ( xi , c) 2) d = ∑ y i − f ( x i , c ) 3) d = ∑ [ yi − f ( xi , c)]2
i =1 i =1 n
1< i < n n
误差概论和最小二乘法
二 最小二乘曲线拟合
这种选取各观测点的残差平方和作为目标函数的拟合称为 最小二乘曲线拟合。 拟合量记为c2，为目标函数
[ pb j bk ] = ∑ pi bij bik
i
⇓QΒιβλιοθήκη = ∑ pi vi 2 = min
i
误差概论和最小二乘法
二 非线性情况
2 Ahc 2 1 Bλ (T , A, λ) = ⋅ hc / kTλ −1 黑体辐射 λ5 e 观测量 (λ,Bλ) → (T,A)
非线性关系
yi = f i ( x1 , x2 ," , xm ) ∂f ∆y i = y i − y 0 = ∑ ∂x ∆xk 观测方程 k =1 k 0 m ∂f ∆y i − ∑ ∂x ∆xk = −vi 误差方程 k =1 k 0
(0) m
2
2
一般非线性函数形式 y = f ( x1 , x2 ,", xm ) y + ∆y = f ( x1 + ∆x1 , x2 + ∆x2 ,", xm + ∆xm )
最小二乘误差
最小二乘误差最小二乘误差是一种常见的回归分析方法，它用于研究变量之间的关系。
它的核心思想是找到一个函数，使得函数和实际数据之间的误差平方和最小，以此来拟合数据。
下面将从几个步骤来介绍最小二乘误差的具体内容。
第一步，定义模型在进行最小二乘误差分析之前，我们需要首先明确研究的对象和需要解决的问题。
在此基础上，我们需要定义一个数学模型，以此来描述我们想要研究的现象。
例如，如果我们想要探究身高和体重之间的关系，那么我们可以定义线性回归模型：y = a + bx，其中y表示体重，x表示身高，a表示截距，b表示斜率。
第二步，获取数据在定义好模型之后，我们需要收集数据，并对数据进行处理。
对数据进行处理的方式很多，例如清洗数据、去除异常点、缺失值填充等。
在处理数据的过程中，我们需要保证数据的质量和准确性。
只有这样，我们才能得到准确的分析结果。
第三步，确定误差误差是指模型预测值和实际值之间的差异，它是最小二乘误差分析中一个非常重要的概念。
通过计算误差，我们可以评估模型的拟合效果。
常用的误差指标包括平均绝对误差、均方误差、均方根误差等。
在确定误差的过程中，我们需要注意，误差越小并不一定意味着模型拟合效果越好，我们还需要根据实际情况来确定误差的可接受范围。
第四步，计算系数在确定了误差之后，我们可以通过最小化误差来求解模型参数。
具体操作是使用最小化误差的方法来计算模型的系数，以此得到最佳拟合线。
在线性回归模型中，我们通常使用最小二乘法来计算系数。
最小二乘法的主要思想是让残差的平方和最小，通过求导可以得到一组方程，从而求解出模型的系数。
第五步，评估模型最后，我们需要对模型进行评估。
对模型进行评估的方式有很多，例如使用交叉验证、计算R-squared值、F-test等。
在评估模型的过程中，我们需要注意，评估结果不一定是绝对的，有时候需要根据实际情况来进行权衡，来确定最终的模型。
总之，最小二乘误差是一种常见的回归分析方法，它具有简单、易于理解的优点，在实际应用中广泛使用。
最小二乘法原理
最小二乘法原理：等精度测量的有限测量系列，寻求一个真值， 最小二乘法原理 使得误差的平方和达到最小。
xi 现在来证明 证明，只有按公式（1－16） x = ∑ n = x0 计算得到 证明 i =1 的最佳估计值，才具有最小的残差（或偏差）平方和。
n
设有一独立等精度的测量列xi(i=1,2,…,n)，其残差为 vi = xi − x 残差的平方和为：
2 2 i =1 i =1
n
2
n
2
= n x + n x − 2n • x • x = n( x − + x − 2 • x • x) = n( x − x) 2 > 0
所以
n n
2
由此证明了: 算术平均值具有残差平 方和最小值的特性
∑ d <∑ v
2 i =1 i i =1
2
n
i
即
∑ vi 为最小值。
8
d i = x i − x ，则残差的平方和为
n
∑d
i =1
2 i
= ∑ ( xi − x ) = ∑ ( xi − 2xi x + x )
2 2 i =1
n
n
n
2
i =1
= ∑ xi − 2 x ∑ xi + n x
2 i =1 n i =1
2
n
2
2 1 n = ∑ xi − 2n • x • ∑ xi + n x n i =1 i =1
= ∑ xi − 2n • x • x + n x
2 i =1
n
2
（1： i =1 m
m
xi ∑ n+k i =1
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法在提高粘温精度上的应用
最小二乘法在提高粘温精度上的应用作者：孙健来源：《科技资讯》2013年第21期摘要：大庆原油为低硫石蜡基，原油粘度是影响原油集数、长输的重要参数。
计算原油粘度时常选用经验系数，造成计算精度低，误差大。
利用最小二乘法进行多组数据拟合所得计算系数能提高原油粘温公式的精度，减小误差。
关键词：粘温系数拟合计算经验系数最小二乘法诺谟图中图分类号：TE83 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）07（c）-0089-01大庆原油为低硫石蜡基，组成复杂.原油粘度受温度影响变化大[1].而高精度的粘温公式对原油的运输，尤其是长距离管道输送极为重要。
在应用瓦尔特公式计算原油粘度时通常使用固定的经验系数，取两组粘温数据，在诺谟图上画直线取交点，得到系数值。
这种方法误差大不能满足现阶段原油粘度计算的精度要求。
利用最小二乘法进行多组数据拟合，通过计算机求解所得的计算系数值，精度更高，更为实用。
1 原油粘温特性及研究意义大庆原油含蜡高，组分复杂，不同温度区间的流变特性变化也不通。
当油温高于反常点时，原油为牛顿流体。
但不同的温度下蜡晶析出情况不同，使粘温曲线斜率发生变化，在析蜡点曲线发生转折；当油温低于反常点，而高于失流点的范围内时，含蜡原油一般表现为假塑性流体，表观粘度是剪切速率与温度的函数，粘温曲线呈放射线形状，当油温逐渐降低，剪切稀释性与触变性则将逐渐增强；当油温低于失流点时，含蜡原油通常表现为屈服假塑性流体，显现出明显的剪切稀释性和触变性。
在管道输送原油过程中能量的消耗主要包括两部分，其一是用于克服地形高差所需的位能，对于一条管道，该压力能消耗是固定值，不随输量变化；其二是克服油品沿管路流动过程中的摩擦及撞击产生的能量损失。
该部分能量损耗是由于油品流量与油品的物理性质等因素有关的。
这一部分能量损耗包括沿程摩阻损失、局部摩阻损失。
局部摩阻损失是由于原油流经管道系统中的阀件、某些设备与管件时流态变化造成的。
误差理论第五章最小二乘法
12
2 1
22
2 2
L
2 n
2 n
最小
由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件又可
表示为：
v12 v22 L vn2 最小
2 1
22
n2
引入权的符号p，上式又可表示为：
n
p1v12 p2v22 L pnvn2 pivi2 最小
5
i 1
因此，等精度测量的最小二乘原理表示为：
解得：
y0 c 1999.97mm
d / y0 0.0000183/0 C
例5.2、由测量方程：3x y 2.9, x 2y 0.9, 2x 3y 1.9,试求x、y的最小二乘法处理。
见笔记P56
17
二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
不等精度测量时线性参数的误差方程仍如等精度，只 在进行最小二乘法处理时，要按加权残余误差平方和 为最小，即：
④求残余误差；
⑤计算直接测量量的精度（标准差）；
⑥求各估计量的标准差。
11
一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程
线性参数的误差方程为：
v1 l1 a11x1 a12x2 a1t xt
v2
l2
a21x1 a22x2
a2t
xt
vn ln an1x1 an2 x2 ant xt
y1 a11x1 a12 x2 L a1t xt
y2
a21x1 a22 x2 L M
a2t
xt
yn an1x1 an2 x2 L ant xt
其误差方程式为：
v1 l1 (a11x1 a12 x2 L a1t xt )
v2 l2 (a21x1 a22 x2 L M
最小二乘法原理及其简单应用
最小二乘法原理及其简单应用最小二乘法原理及其简单应用一、最小二乘法原理最小二乘法是一种定义偏最优解的优化算法，其本质是寻求拟合数据的最佳模型（假设函数），使其与实际观测值的残差（误差）最小化。
最小二乘法是利用最优函数来模拟曲面上有限数量的数据点，它为了拟合一定类型的未知曲面而提出的一种经典的数学解决方案。
最小二乘法的一般定义为：定义偏最优解的优化算法其中，f(x)表示拟合的曲面，x表示拟合曲面的参数，X(i)表示实际观测值的参数，y(i)表示实际观测值。
最小二乘法的核心思想是：对于一组已观测到的数据，确定拟合曲面的具体参数，使拟合曲面的误差最小化，具体计算步骤为：1、选取拟合的曲面，选取拟合曲面的参数；2、根据拟合曲面的参数计算实际观测值的残差（误差）；3、利用拟合曲面对已观测到的每个数据点应用最小二乘法，最小二乘法的核心思想是：利用实际观测值计算出每个数据点的误差，然后将每个数据点的误差平方和作为目标函数，最小化此目标函数；4、求解得到的参数与实际观测值的比较，若拟合效果达到预期，则认为此参数即为所求。
二、最小二乘法的简单应用1、一元线性回归一元线性回归是最小二乘法的一种简单应用，可用于拟合一维函数（即：y=ax+b）。
一元线性拟合求解过程中，根据题意：假设：函数：y=ax+b ，将实际观测值（X）代入拟合函数方程，求出方程组，因为拟合函数中只有两个变量，所以可求出其未知参数a和b：求解公式：a=(N∑XiYi-∑Xi∑Yi)/(N∑Xi2-(∑Xi)2)b=(∑Yi-a∑Xi)/N其中，N表示实际观测值的个数。
2、多元线性回归多元线性回归是最小二乘法的另一种简单应用，可用于拟合多维函数（即：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b）。
假设：函数：y=a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn+b，由该函数可得：求解公式：[a1 a2 … an b]T=[X1 X2 … Xn 1]T*[Y1 Y2 … Yn] 其中，(X1 X2 … Xn 1)T表示拟合方程中，多元变量的系数矩阵，[Y1 Y2 … Yn]表示实际观测值的变量矩阵。
最小二乘法及其在回归分析中的应用
最小二乘法及其在回归分析中的应用最小二乘法是统计学中常用的一种数学方法，它主要用于回归分析。
回归分析是研究因变量与自变量之间关系的一种统计学方法。
最小二乘法的基本思想是建立一个线性回归模型，使误差的平方和最小化，从而得到最佳的拟合曲线。
一、最小二乘法的基本原理最小二乘法的基本原理是建立一个线性回归模型：y=a+bx+e，其中a、b分别为截距和回归系数（斜率），x为自变量，y为因变量，e为误差项。
最小二乘法的目标是使误差的平方和最小化，即：min(Σyi- a - bx)²最小二乘法要求误差项e满足一些假设条件，包括误差项的平均值为0、方差相同、误差项之间互相独立、误差项服从正态分布等。
二、最小二乘法在回归分析中的应用最小二乘法在回归分析中具有广泛的应用，例如：天气预测、股票市场预测、数据建模等。
以股票市场预测为例，当我们需要预测某只股票未来的价格变化时，可以通过最小二乘法建立线性回归模型来分析它与其他一些因素的关系，例如市场指数、公司业绩等。
通过最小化误差平方和，可以得到最佳的拟合曲线，然后预测未来股票价格的变化趋势。
三、最小二乘法的局限性虽然最小二乘法在回归分析中具有广泛的应用，但其也存在一些局限性。
例如，最小二乘法只能用于线性回归分析，而对于非线性的回归关系，就需要使用非线性回归分析方法；此外，最小二乘法容易受到异常值的影响，因此在应用过程中需要注意异常值的处理。
四、总结最小二乘法是回归分析中常用的数学方法，它可以用于解决许多实际问题，例如天气预测、股票市场预测等。
然而，最小二乘法也存在一些局限性，需要在应用中注意异常值的处理以及回归关系的线性性等问题。
最小二乘法是一种简单有效的统计学方法，可以被广泛应用于各种领域中，但是其认识并不容易，需要理解数学知识以及一定的数据分析能力，才能将其应用于实际工作中，更好地为决策与分析服务。
最小二乘法_梯度下降法_概述说明以及解释
最小二乘法梯度下降法概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文旨在介绍和解释最小二乘法和梯度下降法这两种常用的数学优化方法。
这两种方法在数据分析、机器学习、信号处理等领域都有广泛的应用，并且它们都是通过不同的方式来优化目标函数以达到最佳拟合效果。
1.2 参考方向文章主要参考了相关领域的经典著作、科技论文以及权威学术期刊中的研究成果。
特别地，我们引用了与最小二乘法和梯度下降法相关的核心理论和算法，并结合实际案例进行详细说明。
1.3 目的我们的目标是通过本文对最小二乘法和梯度下降法进行全面而清晰的介绍，使读者能够了解它们各自的定义、原理、应用领域以及优缺点。
此外，我们还将比较并选择最佳方法，并提供一些指导原则来确定何时使用哪种方法。
最后，对于未来发展趋势和研究建议也会进行简要讨论。
以上是“1. 引言”部分内容。
2. 最小二乘法:2.1 定义与原理:最小二乘法是一种用于拟合数据和估计参数的统计方法。
它的基本原理是找到一条最佳的直线或曲线，使得该直线或曲线到各个数据点的距离之和最小化。
在最小二乘法中，我们假设有一个包含n个数据点的数据集，其中每个数据点由自变量x和因变量y组成。
我们要找到一个模型，使得对于给定的自变量x 值，通过该模型预测得到的y值与真实观测值y之间的残差平方和最小。
数学上，最小二乘法可以通过求解正规方程来实现。
正规方程是一个代数方程组，它们描述了模型参数的最优解。
通过求解正规方程，我们可以得到模型参数的估计值，并使用这些估计值来进行预测。
2.2 应用领域:最小二乘法在各个领域都有广泛应用。
其中一些常见的应用领域包括：- 经济学：用于经济指标预测、回归分析等。
- 工程学：用于曲线拟合、信号处理、控制系统设计等。
- 计算机视觉：用于图像处理、目标识别等。
- 统计学：用于回归分析、参数估计等。
2.3 优缺点分析:最小二乘法具有以下优点：- 算法简单易懂，易于实现。
- 可以得到参数的解析解，无需迭代。
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减小最小二乘法带来的误差
摘要： 最小二乘法是处理实验数据的常用方法，一元线性回归方程要求自变量无误差或其误差远小于因变量的
误差。但在实际的测量中，测量数据不可避免地会带来误差，该文在分析和总结了自变量有误差的情况下，用最小
二乘法处理实验数据时的几种方法。
关键词：
最小二乘法；误差；自变量
引言
在大学物理实验中，常用最小二乘法处理实验数据并进行不确定度分析。公式的适用条件之一是自变量
无测量误差或其测量误差远小于因变量Y的测量误差，实际上往往的测量数据都有一定的误差，在这种
情况下，怎样对数据进行处理呢？以下分析和总结了三种方法。
正文
1 第一种方法
将自变量X的误差，转变为因变量Y的一个不确定度B类分量，与Y的其他不确定度A、B类分
量进行合成处理， 而在计算回归方程参数a和b时，不考虑X的误差。
例如，在杨氏弹性模量的测量中，测量公式是
式中：为通过砝码对钢丝施加的外力; 为标尺读数的改变量；D为平面镜到
标尺的距离；L为钢丝的长度；d为钢丝的直径；K为光杠杆常数。在将作为因变量、
作为自变量进行拟合时，可先不考虑砝码m的示值误差而计算回归方程参数a和b。最后在计算杨
氏弹性模量E 的不确定度时,将m的示值误差作为的一个B类分量与的其他分量进行合
成，这样就有效的解决了m的误差对回归系数的影响。
2 第二种方法
将测量对象调整变化，避免测量自变量X时有误差的情况出现、或使自变量X的测量误差大大
减小，使之远小于因变量Y的测量误差。
例如，在用牛顿环测透镜曲率半径实验中，测量公式是
式中：是第k级暗纹的半径;为波长；R为透镜的曲率半径。如果把k当作自变量X而用
公式进行拟合，由于牛顿环的中心有时难以确定以及难以避免条纹级数的计数差错，k往往有较大
的误差，这并不满足X无误差的前提条件。在这样的情况下，我们可以通过改变或调整测量对象 ，
使自变量X的测量误差减小或消去。例如，将公式中对第k级条纹的半径和级数k的测量，转
换为对第k+m级和第k级条纹的直径和 以及条纹级差m的测量，则测量公式变为
这样，当把级差m作为自变量X进行拟合时，由于级差m完全能确定而没有误差，就能满足拟
合的条件。
3 第三种方法
根据数据处理的要求，调整测量仪器，把对自变量X的测量精度提高，从而使X的误差远小于
因变量Y的测量误差。
例如，在伏安法测电阻R时，测量公式为
由于实验室所使用的电流表和电压表的级别往往都接近，所以电流I，和电压U的测量误差相
当，这样在拟合时，无论是把I还是U当作自变量X，都不满足拟合的前提条件。在这样的情况下，
我们可以通过改变对其中一个变量的测量仪器，提高测量的精度，例如改用电势差计对电压U进行
测量。由于实验室常用的箱式电势差计(如UJ33a型)的精度远高于常用的电流表，所以测出的电压
U的误差应远小于电流I误差。这样在拟合时，就可以把U当作自变量X、I当作因变量Y，从而满
足回归公式的适用条件。
5 结论
用最小二乘法处理实验数据是大学物理实验中数据处理的重要方法，一元线性回归中要求作为
自变量X的测量无误差或远小于因变量Y的测量误差。但在许多实验的测量中，自变量X的误差的
大小往往不能忽略。在这种情况下分析后，本文总结了三种解决方法：方法1通过最后的不确定度
计算，解决了自变量有误差对结果的影响；方法2和方法3既是数据处理的要求，同时也是教学中
强调的“误差或不确定度指导实验方案的设计和实验仪器的选择”的体现。所以，这三种方法在实
验数据处理和实验教学中具有一定的普遍意义。