高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课件新人教A版必修4
高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义第二章2.22.2.3向量数乘运算及其几何意义含答案
高中数学 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义
预习课本P87～90，思考并完成以下问题
(1)向量数乘的定义及其几何意义是什么？
(2)向量数乘运算满足哪三条运算律？
(3)向量共线定理是怎样表述的？
(4)向量的线性运算是指的哪三种运算？
[新知初探]
1．向量的数乘运算
(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；
当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：
①λ(μa)＝(λμ)a；
②(λ＋μ)a＝λa＋μa；
③λ(a＋b)＝λa＋λb；
特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；
λ(a－b)＝λa－λb.
[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如λ＋a，λ－a均无法运算．
(2)λa的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0.
2．向量共线的条件
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa.
高中数学 [点睛] (1)定理中a是非零向量，其原因是：若a＝0，b≠0时，虽有a与b共线，但不存在实数λ使b＝λa成立；若a＝b＝0，a与b显然共线，但实数λ不唯一，任一实数λ都能使b＝λa成立．
(2)a是非零向量，b可以是0，这时0＝λa，所以有λ＝0，如果b不是0，那么λ是不为零的实数．
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)λa的方向与a的方向一致．( )
(2)共线向量定理中，条件a≠0可以去掉．( )
(3)对于任意实数m和向量a，b，若ma＝mb，则a＝b.( )
高中数学 第二章 平面向量 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义导学案 新人教A版必修4-新人教A版
2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________
♒♒♒♒♒♒♒课前预习 · 预习案♒♒♒♒♒♒♒
温馨寄语
一个人追求的目标越高，他的才力就发展得越快，对社会就越有益。——高尔基
学习目标
1．掌握向量数乘运算的概念.
2．能应用向量数乘运算的运算律化简数乘运算.
3．掌握向量的共线定理及应用.
学习重点
平面向量数乘运算法则的应用.
学习难点
平面向量数乘运算法则的应用
自主学习
1．向量的数乘运算的概念
(1)定义：实数λ与向量a的积是一个______.
(2)运算律：
① =
② =
③ = 特别地， ( )= ( )， ＝ .
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使_________.
预习评价
1．在四边形ABCD中，若 ，则此四边形是
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形
2．设 ， 是两个不共线的向量，若向量m=－ + k (k∈R)与向量n= －2
共线，则
A.k=0 B.k=1 C.k=2
D. 3．若向量 ，a满足2 -3( -2a)=0,则向量 =________.
4．向量a与b不共线，向量c=3a-b，d=6a-2b，则向量c与 的关系_______.(共线，不共线)
5． =___________.
♒♒♒♒♒♒♒知识拓展 · 探究案♒♒♒♒♒♒♒
合作探究
1．向量数乘的概念及运算
根据向量数乘的概念，思考下面的问题：
(1)向量数乘得到的依然是向量，那么它的方向由谁确定？
(2)实数与向量数乘所得向量与原向量是否为共线向量？
2．所得向量λa的几何意义是什么？
高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义课后习题新人教A版必修4
1
高中数学第二章平面向量223向量数乘运算及其几何意
义课后习题新人教A版必修4
一、A组
1.已知非零向量 a, b满足a+4b=0,则( )
C a与b的方向相同D. a与b的方向相反
解析：T a+4b=0,二 a=-4b, | a|= 4| b| ,且 a 与 b 的方向相反.
答案：D
1
妙 4- BC
A.
1 -BA-BC B. Z
:BA - BC C. --
D. --
I 1 I I CD = -(CA + CB 解析：T点D是边AB的中点，二 ).
I~~TV 1
I r ^(CA + CB -BA + BC
.•卫dg )=上 .故选D.
答案：D
3.设a, b不共线 J =a+kb, =na+b(k,m€ R),则A, B C三点共线时有( )
A.k=m B.km-仁0
Ckm+1=0 D.k+m=0
i -1
解析:若ABC三点共线，则’共线,
I I
.存在唯一实数入,使二上=入“,
.a+kb=X (ma+b),A. | a|+ 4| b|= 0
B. a与b是相反向量
2.如图所示 2
1加=1*
即 a+kb= Xma+ 入 b, •」几一
/• km=1.
即 km-1=0.
答案:B
A. △ ABC的内部
B. AC边所在直线上
C. AB边所在直线上
D. BC边所在直线上 4.如图,已知 lAB =a, AC=b,図/=3。£,用a, b表示眉D,贝则4D
A. a+
Jb
3 1
B. 4a+4b
C. ]a+ ;b
)
5.已知P是厶ABC所在平面内的一点，池色=入卩月+PB,其中入€ R则点P—定在（ 3
解析：，兀入P上+
PR, .UPR»PA
CB +
•上P加••虽以共线.
•••C P,A三点共线，故选B.4
答案:B
6.化简:3（6a+»-^k 解析:原式=18a+3b-9a- 3b=9a.
答案：9a
7.如图，在平行四边形 ABCD^ , E是CD的中点，且人月=a,4D=b,贝肖E = _____________________________________________________________________________
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示(第2课时)
【学习目标】
素 养 目 标 学 科 素 养
1.理解向量共线的坐标表示的条件。（重点）
2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线。（重点）
3.掌握三点共线的判断方法。（难点） 1.数学运算;
2.直观想象
【自主学习】
两个向量共线的坐标表示
(1) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)≠0，则a∥b⇔a＝λb(λ∈R)．
(2)若用坐标表示，可写为 (x1，y1)＝λ(x2，y2)，即 x1＝λx2，y1＝λy2，消去λ，可得向量 a，b(b≠0)共线的充要条件 .
注意：平面向量共线的坐标表示还可以写成x1x2＝y1y2(x2≠0，y2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．
【小试牛刀】
1.思维辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则必有x1y2＝x2y1.( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则x1x2＝y1y2.( )
(3)若A，B，C三点共线，则向量AB→，BC→，CA→都是共线向量．( )
(4)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．( )
(5)已知a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m＝－12.( )
2.已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．
【经典例题】
题型一 向量共线的坐标表示
点拨：(1)向量是否共线，利用向量共线的坐标表示或b→＝λa→验证．
(2)判断AB→∥CD→，只要把点的坐标代入公式x1y2－x2y1＝0，看是否成立．
例1 (1)下列各对向量中，共线的是( )
A. a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)
【数学】第二章《平面向量全章小结》教案(新人教A版必修4)
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第 1 页 共 3 页 第二章 平面向量全章小结
（一）学习目标
1.进一步理解向量的有关概念;
2.掌握向量的线性运算,掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义.
3.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示以及相关应用.
4.掌握平面向量的数量积,并会应用其判断两个平面向量的垂直关系。
5.能够用向量解决一些具体问题,如平面几何中的一些问题和物理中的一些问题.
（二）重点难点
1.重点是让学生理解向量的相关概念和向量的运算
2. 难点是如何向量方法解决一些问题.
（三）教学过程
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
全章知识结构介绍
让学生根据表根中的各项要,回忆相关的概念 让学生从整体上对本章内容有一个宏观的了解
复习 例1.填空(向量的线性运算)
1.已知平行四边形ABCD,则
_______,ADAB._______ADAB
2. ._______BACBACAB
3. 已知)(21OBOAOM,则点M
是A,B的_______;
若点A()7,1(),,5,2B, 则 M的坐
标为_________.
4.已知OBOAOM31)311(,则._____ABAM
5.已知)2,3(),1,2(BA, ABAM32,
则点M的坐标为_______. 让学生自己先解决问题,让后同学进行回答,教师进行指导 说明:给出这组题的目的是,在复习向量的加减法,坐标运算和其相关的几何表示都要掌握,并且要会结合在一起使用.
例2.(向量的数量积) 说明:让学生首要注意一些数据表明平面向量、实际背景
向量及其基本概念 线性运算 向量的数量积
基本定理
坐标表示
向量的应用 知识改变命运，学习成就未来
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第 2 页 共 3 页 (1)已知)1,3(),3,1(ba,求.,|,||,|,,ababababa
新人教A版必修4高中数学2.2.2向量数乘运算及其几何意义学案
1 高中数学 2.2.2向量数乘运算及其几何意义学案
新人教A版必修4
【学习目标】
（1）掌握向量数乘运算的概念及几何意义；
（2）掌握向量数乘运算律，并能进行相关运算
（3）理解并掌握共线向量定理，会判断两个向量是否共线
【重点难点】
重点：向量数乘运算的概念及几何意义
难点：共线向量定理的应用
【学习内容】
一、
温故知新、胸有成竹
1、已知非零向量
作出向量aaa和向量aaa
向量的数乘的定义：_______________________
________________________，记作___________
方向：_______________________________
大小：_______________________________
练习：已知非零向量 ，作出b
（1）ab3 a
a
2
（2）a2-b
（3）)2(3aab
（4）)3(2ab
（5）)3(2-ab
2、思考：____________________时，向量)0(aa与b共线。
判断ba与是否共线：（1）ea2 ，eb2
（2）21eea，2122eeb
3、验证如下运算律：
（1）aa
（2）aaa
（3）baba
3 应用运算律计算：
（1）a43
（2）ababa23
（3）cbacba2332
二、 理论应用、实践体验
1、在△ABC中，如果AD、BE分别为BC、AC上的中线，且AD→＝a，BE→＝b，那么BC→为( )．
A.23a＋43b B.23a－23b
C.23a－43b D．－23a＋43b
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4
高中数学第二章平面向量同步练习02新人教A版必修4
平面向量同步练习
§2.2. 1 向量加减运算及几何意义
班级___________姓名____________学号____________得分____________
一、选择题
1．化简PM PN MN所得的结果是 （ ）
MPA． B．NP C．0 D．MN
2．设OA a，OB b且|a|=| b|=6，∠AOB=120 ，则|a－b|等于 （ ）
00
13．飞机从甲地按南偏东10方向飞行2022年km到达乙地，再从乙地按北偏西70方向飞行2022年km到达丙
A．36 B．12 C．6 D．6
3．a，b为非零向量，且|a+ b|=| a|+| b|，则 （ ） A．a与b方向相同 B．a = b C．a =－4．在平行四边形ABCD中，若| BC BA | | BC AB
b D．a与b方向相反
|，则必有 （ ） A．ABCD为菱形 B．ABCD为矩形 C ．ABCD 为正方形
D．以上皆错
5．已知正方形ABCD边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则|a+b+c|等于 （ ）
A．0 B．3 C．22*
6．设( AB CD ) ( BC DA D．2
) a，而b是一非零向量，则下列个结论：(1) a与b共线；（2）a + b
= a；(3) a + b = b；(4)| a + b||a |+|b|中正确的是 （ ） A．(1) (2) B．(3)
(4) C．(2) (4) D．(1) (3) 二、填空题
7．在平行四边形ABCD中，AB a，AD b，则CA __________，BD
_______． 8．在a =“向北走20km”，b =“向西走20km”，则a +
高中数学_《平面向量的概念及其线性运算》教学设计学情分析教材分析课后反思
《平面向量的概念及其线性运算》教学设计
一、教材分析：
本节课对平面向量的概念及其线性运算的复习，是对学生所学知识的融通和运用，也是学生对学习平面向量的总结和探索。正确理解和熟练掌握平面向量的概念及其线性运算是之后学好空间向量的关键。
二、学情分析：
本节课是在学习平面向量的概念及其线性运算，继续深入学习，是一节复习课。学生已经掌握了平面向量的概念及其线性运算的基础知识，，这为本节课的学习提供了一定的知识保障，在此基础上，本节课将继续加深学生对基础知识的理解，加强平面向量的线性运算，这也是为后面学习空间向量内容做好知识储备的课．为了让学生能更加直观、形象地理解平面向量的概念及其线性运算，将采用多媒体课件进行演示，以提高学生的学习兴趣，使之能达到良好的教学效果。
三、教学目标：
1、了解向量的实际背景；
2、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
3、理解向量的几何表示；
4、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
5、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；
6、了解向量线性运算的性质及其几何意义； 四、教学重点和教学难点：
（一）教学重点：
1、理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；
2、理解向量的几何表示；
3、掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；
4、掌握向量数乘的运算及其儿几何意义,理解两个向量共线的含义；
5、了解向量线性运算的性质及其几何意义；
（二）教学难点：平面向量的线性运算以及共线定理的应用
五、教学工具：多媒体、粉笔等。
六、教学过程：
学习过程 教师活动 学生活动 设计意图 一、“基础知识”掌握牢
1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有 又有
的量；向量的大小叫做向量的 (或称___) 平面向量是自由向量
零向量 长度为 的向量；其方向是任意的 记作___
名称 定义 备注
单位向量 长度等于 的向量 非零向量a的单位
河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义限时训练 新人教A版必修4
1 河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 2.2.3向量的数乘运算及其几何意义限时训练 新人教A版必修4
1．下列说法正确的是( )．
A．2a与a不能相等 B．|2a|>|a|
C．2a∥a D．|2a|≠1
2．化简4(a－b)－3(a＋b)－b＝( )．
A．a－2b B．a C．a－6b D．a－8b
3．设a、b为不共线的非零向量，AB→＝2a＋3b，BC→＝－8a－2b，CD→＝－6a－4b ，那么( )
A.AD→与BC→同向，且|AD→|>|BC→|
B.AD→与BC→同向，且|AD→|<|BC→|
C.AD→与BC→反向，且|AD→|>|BC→|
D.AD→∥BC→
4．已知点C在线段AB上，且AC→＝35AB→，则AC→等于( )．
A.23BC→ B.32BC→ C．－23BC→ D．－32BC→
5．已知向量a，b，若AB→＝a＋2b，BC→＝－5a＋6b，CD→＝7a－2b，则一定共线的三点是( )．
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
6．若|a|＝3，向量b与a反向，且|b|＝2，则a＝________b.
7．已知AD→＝23AB→，AE→＝23AC→，则DE→＝________BC→.
2 10．已知▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，对角线AC，BD交于点O，
用a，b表示OA→，BO→.
11．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
12．(创新拓展)在△ABC中，已知CDDA＝AEEB＝12，设BC→＝a，CA→＝b.
求证：DE→＝13(b－a)．
2020高考数学专题复习《平面向量》(讲义和练习)
x2 y2
一、知识纲要
1、向量的相关概念： 《必修 4》
第二章 平面向量
（1） 向量： 既有大小又有方向的量叫做向量，记为 AB 或a 。 向量又称矢量。
①向量和标量的区别：向量既有大小又有方向；标量只有大小，没有方向。普通
的数量都是标量，力是一种常见的向量。②向量常用有向线段来表示，但也不能说向量就是有向线段，因为向量是自由的，可以平移；有向线段有固定的起点和终点，不能随意移动。
（2） 向量的模：向量的大小又叫向量的模，它指的是：表示向量的有向线段的长度。
记作：| AB |或｜ a ｜。
向量本身不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
（3） 零 向 量： 长度为 0 的向量叫零向量，记为0 ，零向量的方向是任意的。
①｜ a ｜＝0； ② 0 与 0 的区别：写法的区别，意义的区别。
（4） 单位向量：模长为 1 个单位长度的非零向量叫单位向量。
若向量a 是单位向量，则｜ a ｜= 1 。
2、 向量的表示：
（1） 几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 AB ，注意：方向是“起点指向终点”。
（2） 符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 a ， b 等；
（3） 坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 x 轴、 y 轴正方向相同的两个单位向量
i 、 j 为基底向量，则平面内的任一向量 a 可表示为 a xi y j x, y ，称 x, y 为向量 a
的坐标， a ＝ x, y 叫做向量 a 的坐标表示。此时｜ a ｜= 。
若已知 A( x1 , y1 )和B( x2 , y2 ) ，则 AB= x2 -x1，y2 -y1 ， 即终点坐标减去起点坐标。
特别的，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标数值与向量的终点坐标数值相同。 注意 注意 注意 注意
a
3、 向量之间的关系：
（1）平行（共线）：对于两个非零向量，若它们的方向相同或相反的，那么就称这种关系 为平行，记作a ∥ b 。换言之，方向相同或相反的两个非零向量叫平行向量（共线向量）。