北京市西城区初二下期末数学试卷及答案
北京市西城区（北区）2011–2012学年度第二学期抽样测试
八年级数学试卷
2012．7
（时间100分钟，满分100分）
题号 一 二 三 四 五 总分
得分
一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）
1．函数3yx中，自变量x的取值范围是（ C ）．
A． 3x B． 3x C． x≥3 D．3x
2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（D ）．
A．2，4，5 B．6，8，11 C．5，12，12 D． 1，1，2
3．若反比例函数kyx的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是（ A ）．
A． 0k B． 0k C． k≤0 D．k≥0
4．如图，在□ABCD中，AE⊥CD于点E，∠B＝65°，
则∠DAE等于（B ）．
A．15° B．25° C．35° D．65°
5．用配方法解方程2220xx，下列变形正确的是（C ）．
A．2(1)2x B．2(2)2x C．2(1)3x D．2(2)3x
6．在四边形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是菱形，则
这个条件可以是（ B ）．
A．∠ABC＝90° B．AC⊥BD C．AB=CD D．AB∥CD
7．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前2天完成任务．若
设原计划每天挖x米，则所列方程正确的是（ A ）．
A．240240220xx B．240240202xx
C．240240220xx D．240240202xx
8．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F
分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的
周长为（ D ）．
A．8 B．10 C．12 D．16
E
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
2020—2021年北京市西城区初二下期末数学试卷及答案
2020—2021年北京市西城区初二下期末数学试卷及答案八年级数学试卷 2020．7（时刻100分钟，满分100分）一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 1．函数y =中，自变量x 的取值范畴是（ C ）．A ． 3<xB ． 3≠xC ． x ≥3D ．3>x2．下列各组数中，以它们为边长的线段能构成直角三角形的是（D ）．A ．2，4，5B ．6，8，11C ．5，12，12D ． 1，13．若反比例函数ky x=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范畴是（ A ）． A ． 0k < B ． 0k > C ． k ≤0 D ．k ≥04．如图，在□ABCD 中，AE ⊥CD 于点E ，∠B ＝65°， 则∠DAE 等于（B ）．A ．15°B ．25°C ．35°D ．65°5．用配方法解方程2220x x --=，下列变形正确的是（C ）．A ．2(1)2x -= B ．2(2)2x -= C ．2(1)3x -= D ．2(2)3x -= 6．在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD 是菱形，则那个条件能够是（ B ）．A ．∠ABC ＝90°B ．AC ⊥BD C ．AB =CD D ．AB ∥CD7．某施工队挖一条240米的渠道，开工后，每天比原打算多挖20米，结果提早2天完成任务．若设原打算每天挖x 米，则所列方程正确的是（ A ）．A ．240240220x x -=+ B ．240240202x x -=+ C ．240240220x x -=- D ．240240202x x-=- EABCDABCD EF8．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长为（D ）．A．8 B．10 C．12 D．169．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则AB的长为（ B ）．A．3 B．4 C．5 D．610．如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC通过坐标原点，点D在反比例函数2510k kyx-+=（0x>）的图象上．则k的值为（）．A．2B．6C．2或3D．1-或6二、细心填一填（本题共18分，每小题3分）112(5)0y-=，则2012)(yx+的值为12．某户家庭用购电卡购买了2000度电，若此户家庭平均每天的用电量为x（单位：度），这2000度电能够使用的天数为y（单位：天），则y与x的函数关系式为____________________．（不要求写出自变量x的取值范畴）13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=6，点D是AB的中点，则∠ACD=_________°．14．如图，以菱形AOBC的顶点O为原点，对角线OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，若OB=5，点C的坐标为(4，0)，则点A的坐标为___________．15．已知1x=是关于x的方程02=++nmxx的一个根，则222m mn n++的值为___________．16．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC，BD交于点O，且∠BOC=90°．若AD+BC=12，则AC的长为___________．AB CDOAB CD三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分） 17．运算：（1； （2． 解： 解：18．解方程：（1）2310x x -+=； （2）(3)(26)0x x x +-+=． 解： 解：四、解答题（本题共18分，每小题6分）19．某中学开展“头脑风暴”知识竞赛活动，八年级1班和2班各选出5名选手参加初赛，两个班的选手的初赛成绩（单位：分）分别是： 1班 85 80 75 85 100 2班 80 100 85 80 80 （1）依照所给信息将下面的表格补充完整；（2）依照问题（1）中的数据，判定哪个班的初赛成绩较为稳固，并说明理由． 答：第13题图 第14题图 第16题图20．已知：如图，在□ABCD中，点E是BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AF=AD，求证：四边形ABFC是矩形．证明：（1）（2）FAB CDE21．已知：关于x 的一元二次方程2(21)20x m x m +++=． （1）求证：不管m 为何值，此方程总有两个实数根；（2）若x 为此方程的一个根，且满足06x <<，求整数m 的值． （1）证明：（2）解：五、解答题（本题共18分，每小题6分）22．已知：△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠B =90°，AB =BC =1． （1）要在这张纸板上剪出一个正方形，使那个正方形的四个顶点都在△ABC 的边上．小林设计出了一种剪法，如图1所示．请你再设计出一种不同于图1的剪法，并在图2中画出来． （2）若按照小林设计的图1所示的剪法来进行裁剪，记图1为第一次裁剪，得到1个正方形，将它的面积记为1S1S =___________；在余下的2的剪法进行第二次裁剪（如图3），得到2个新的正方形，次所得2个正方形的面积的和．记为2S ，则2S =___________；在余下的4个三角形中再按照小林设计的的剪法进行第三次裁剪（如图4），得到4个新的正方此次所得4个正方形的面积的和．记为3S ；按照同样的方法连续操作下去……，第n 次裁剪得到_________个新的正方形，它们的面积的和．n S =______________．EFA B CDCC图423．已知：如图，直线b kx y +=与x 轴交于点A ，且与双曲线my x=交于点B (4,2)和点C (,4n -)．（1）求直线b kx y +=和双曲线my x=的解析式； （2）依照图象写出关于x 的不等式mkx b x+<的解集；（3）点D 在直线b kx y +=上，设点D 的纵坐标为t （0t >）．过点D 作平行于x 轴的直线交双曲线m y x=于点E ．若△ADE 的面积为27，请直截了当．．．．写出．．所有满足条件的t 的值． 解：（1）（2）（3）24．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为4，它的顶点A 在x轴的正半轴上运动，顶点D在y轴的正半轴上运动（点A，D都不与原点重合），顶点B，C都在第一象限，且对角线AC，BD相交于点P，连接OP．（1）当OA=OD时，点D的坐标为______________，∠POA=__________°；（2）当OA<OD时，求证：OP平分∠DOA；（3）设点P到y轴的距离为d，则在点A，D运动的过程中，d的取值范畴是________________．（2）证明：（3）答：在点A，D运动的过程中，d的取值范畴是__________________________．北京市西城区（北区）2011 — 2020学年度第二学期抽样测试八年级数学参考答案及评分标准2020.7二、细心填一填（本题共18分，每小题3分） 11．1； 12．2000y x=； 13．60；14．(2，1)； 15．1； 16．． 三、认真算一算（本题共16分，第17题8分，第18题8分）17．（1= ----2分= -----------3分． -----------------------4分（2=3+ ------5分=32+ --------------7分=5． -------------------8分18．（1）解：1a =，3b =-，1c =．224(3)4115b ac ∆=-=--⨯⨯=． ----1分x =----------2分==．即132x =，232x -=． ------------4分 （2）解：因式分解，得 (3)(2)0x x +-=． -------6分因此得 30x +=或20x -=． 解得 13x =-，22x =． -----------------8分四、解答题（本题共18分，每小题6分） 19．解：（1）---4分阅卷说明：每空1分．（2）答：2班的初赛成绩较为稳固．因为1班与2班初赛的平均成绩相同，而2班初赛成绩的方差较小，因此2班的初赛成绩较为稳固． -------6分20．证明：（1）如图1． ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC 即 AB ∥DF ． -----1分 ∴∠1=∠2．∵点E 是BC 的中点，∴BE =CE ．在△ABE 和△FCE 中，∠1=∠2， ∠3=∠4， BE =CE ，∴△ABE ≌△FCE ． ----------------3分 （2）∵△ABE ≌△FCE ，∴AB =FC ． ∵AB ∥FC ，∴四边形ABFC 是平行四边形． -------------4分图14321E D CBAF∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD =BC ． ∵AF =AD ， ∴AF =BC ．∴四边形ABFC 是矩形． -----------------6分阅卷说明：其他正确解法相应给分． 21．证明：（1）2(21)412m m ∆=+-⨯⨯ 2441m m =-+2(21)m =-． ---------1分∵2(21)m -≥0，即∆≥0，∴不管m 为何值，此方程总有两个实数根． ---2分解：（2）因式分解，得 (2)(1)0x m x ++=．因此得 20x m +=或10x +=．解得 12x m =-，21x =-． ----------------4分∵10-<，而06x <<，∴2x m =-，即 026m <-<． ∴30m -<<． -----------------5分 ∵m 为整数，∴1m =-或2-． ---------------6分五、解答题（本题共18分，每小题6分） 22．解：（1）如图2； -------------1分（2）14，18，12n -，112n +． ----------6分 阅卷说明：前三个空每空1分，第四个空2分．23．解：（1）∵双曲线my x=通过点B (4,2)， ∴24m=， 8m =． 图2CBA∴双曲线的解析式为8y x =． -----------1分 ∵点C (,4n -)在双曲线8y x=上，∴84n-=， 2n =-．∵直线b kx y +=通过点B (4,2)，C (2,4--)，则2442.k b k b =+⎧⎨-=-+⎩， 解得12.k b =⎧⎨=-⎩，∴直线的解析式为2y x =-． ----------2分（2）2x <-或04x <<； ----------------4分阅卷说明：两个答案各1分．（3）3t =1． --------------------6分 阅卷说明：两个答案各1分．．24．解：（1）(0,，45； ------------------------2分阅卷说明：每空1分．证明：（2）过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y（如图3）∵四边形ABCD 是正方形， ∴PD =P A ，∠DP A =90°．∵PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点∴∠PMO =∠PNO =∠PND =90°． ∵∠NOM =90°，∴四边形NOMP 中，∠NPM =90°． ∴∠DP A =∠NPM ．∵∠1=∠DP A －∠NP A ，∠2=∠NPM －∠NP A ， ∴∠1=∠2． ----------3分 在△DPN 和△APM 中，∠PND =∠PMA ， ∠1=∠2， PD =P A ，∴△DPN ≌△APM ．∴PN =PM ． -----4分∴OP 平分∠DOA ． ---------5分（3）2d <≤ -----------6分北京市西城区（北区）2011–2020学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题试卷 2020．7一、填空题（本题6分）25．已知a 是方程2520x x +-=的一个根，则代数式22107a a +-的值为___________；代数式32634a a a +++的值为___________．二、解答题（本题共14分，每小题7分）26．已知：如图，平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）．将△OCA 沿直线CA 翻折，得到△DCA ，且DA 交CB 于点E ． （1）求证：EC =EA ；（2）求点E 的坐标；（3）连接DB ，请直截了当写出．．．．．．四边形DCAB 的周长和面积． （1）证明：（2）解：（3）答：四边形DCAB 的周长为_____________，面积为_____________．27．已知：△ABC 的两条高BD ，CE 交于点F ，点M ，N 分别是AF ，BC 的中点，连接ED ，MN ．（1）在图1中证明MN 垂直平分ED ； （2）若∠EBD =∠DCE =45°（如图2），判定以M ，E ，N ，D 为顶点的四边形的形状，并证明你的结论． （1）证明：（2）判定：___________________________________________． 证明：NMA BC DEFNM FE DC B A图1 图2北京市西城区（北区）2011 - 2020学年度第二学期抽样测试八年级数学附加题参考答案及评分标准2020.7一、填空题（本题6分）1．3-，6． 阅卷说明：每空3分．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．证明：（1）如图1．∵△OCA 沿直线CA 翻折得到△∴△OCA ≌△DCA ． ∴∠1=∠2．∵四边形OABC 是矩形， ∴OA ∥CB ． ∴∠1=∠3． ∴∠2=∠3．∴EC =EA ．解：（2）设CE = AE =x ．∵点A ，C 的坐标分别为（4,0），（0,3）， ∴OA =4，OC =3．∵四边形OABC 是矩形，∴CB =OA =4，AB =OC =3，∠B =90°．在Rt △EBA 中，222EA EB BA =+， ∴222(4)3x x =-+．解得 258x =． -------------------------4分 ∴点E 的坐标为(25,38)． ------------------------5分 阅卷说明：其他正确解法相应给分．（3）625，19225．--------------------------------7分阅卷说明：每空1分．3．（1）证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图2）∵BD，CE是△ABC的高，∴BD⊥AC，CE⊥AB．∴∠BDA=∠BDC=∠CEB=∠CEA=90°．∵在Rt△AEF中，M是AF的中点，∴EM=12 AF．同理，DM=12AF，EN=12BC，DN=12BC．∴EM=DM，------------------1分EN=DN．---------------------2分∴点M，N在ED的垂直平分线上．∴MN垂直平分ED．------------------3分（2）判定：四边形MEND是正方形．--------------------------4分证明：连接EM，EN，DM，DN．（如图3）∵∠EBD=∠DCE=45°，而∠BDA=∠CDF=90°，∴∠BAD=∠ABD=45°，∠DFC=∠DCF=45°．∴AD=BD，DF=DC．在△ADF和△BDC中，AD=BD，∠ADF=∠BDC，DF=DC，∴△ADF≌△BDC．-----------------5分∴AF=BC，∠1=∠2．∵由（1）知DM=12AF=AM，DN=12BC=BN，∴DM=DN，∠1=∠3，∠2=∠4．∴∠3=∠4．∵由（1）知EM=DM，EN=DN，∴DM=DN=EM=EN．∴四边形MEND是菱形．--------------6分∵∠3+∠MDF=∠ADF=90°，∴∠4+∠MDF=∠NDM=90°．4312AB CDEFM图3AEB CDMF图2∴四边形MEND是正方形．--------------------7分阅卷说明：其他正确解法相应给分．。
10.2022-2023第2学期初2年级数学期末考试题答案-西城
北京市西城区— 第二学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准.7一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ABDCCDCADB二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题，每小题2分） 题号1112131415161718答案 8 5 23 5答案不唯一， 如：k =32585002，23三、解答题（本题共16分，每小题8分）19．（118831)(31)；＝3222(31)-···································································· 3分 ＝22 ···················································································· 4分（23211233＝422333······································································ 3分 ＝82················································································ 4分20．（1）解：2650x x -+=移项，得265x x -=-．配方，得26959x x -+=-+， ······················································· 1分所以，2(3)4x -=． ····································································· 2分 由此可得32x -=±，所以，15x =，21x =． ································································ 4分（2）解：2a =，3b =，1c =-． ···················································· 1分224342(1)17b ac ∆=-=-⨯⨯-=>0． ·································· 2分方程有两个不相等的实数根24b b acx -±-=317-±=， 1317x -+=，2317x +=． ········································ 4分 四、解答题（本题共34分，第21～22题，每小题7分，第23题6分，第24～25题7分） 21．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，∠A =∠C ． ························································· 1分 ∵ND=BF ，∴AD －ND=BC －BF ．即AN=CF ． ·························· 2分 在△AEN 和△CMF 中，,,,AN CM A C AN CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEN ≌△CMF ． ···························································· 3分 (2) 由（1）△AEN ≌△CMF∴EN=FM ． ········································································· 4分 同理可证：△EBF ≌△MDN ．∴EF =MN ． ········································································· 5分 ∵EN=FM ，EF =MN ．∴四边形EFMN 是平行四边形． ·············································· 6分 ∵EM ⊥FN ，∴四边形EFMN 是菱形． ······················································· 7分MA DEN22．解：（1）25；···················································································· 1分（2）············································································································ 2分 （3）平均分 方差 中位数 众数 合格率 优秀率男生 7.9 女生8············································································································ 4分（4）答案不唯一，如：从众数看，女生队表现更突出． ·································· 5分 （5）4560%(536)25(20%16%)4⨯-++-+=．女生优秀人数再增加4人，才能完成康老师提出的全班优秀率达到60%的目标．··································································································· 7分 23．解：连接AC ， ·················································································· 1分在Rt △ABC 中，∠B ＝90º，AB ＝BC ＝2， ∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°， ······················ 2分 ∴222AC AB BC =+． ∴22AC=． ································· 3分∵AD ＝1，CD ＝3，∴222AC AD CD +=． ························ 4分在△ACD 中，222AC AD CD +=，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC ＝90º． ······································· 5分 ∵∠BAD ＝∠BAC +∠DAC ，∴∠BAD ＝135º． ········································································ 6分DAB C5 6 7 8 9 10人数(人)初二1班男生体育模拟测试成绩统计图1 2 4 6 成绩(分)3 5 7 6初二1班体育模拟测试成绩分析表24．（1）依题意，补全图形，如图所示； ····················································· 1分 （2）证明：∵点E ，F 分别OA ，OB 的中点，∴EF ∥AB ，12EF AB =． 同理，NM ∥DC ，12NM DC =．·············································· 2分 ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥DC ，AB =DC ，AC =BD ． ∴EF ∥NM ，EF =NM ．∴四边形EFMN 是平行四边形． ·········································· 3分 ∵点E ，F ，M ，N 分别OA ，OB ，OC ，OD 的中点， ∴12OE OA =，12OM OC =． 在矩形ABCD 中， OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ， ∴EM =OE +OM =12AC ．同理可证 FN =12BD ．∴EM = FN ．∴四边形EFMN 是矩形． ··················································· 4分（3）解：∵DM ⊥AC 于点M ，由（2）12OM OC = ∴OD =CD ． 在矩形ABCD 中， OA =OC =12AC ，OB =OD =12BD ，AC =BD ． ∴OA =OB =OC =OD ．∴△COD 是等边三角形． ····················································· 5分 ∴∠ODC =60°． ∵NM ∥DC ，∴∠FNM =∠ODC =60°．M NEFOACD在矩形EFMN 中，∠FMN =90°． ∴∠NFM = 90°－∠FNM =30°． ∵ON ＝3，∴FN ＝2ON ＝6，33FM =MN ＝3． ····································· 6分 ∵点F ，M 分别OB ，OC 的中点， ∴263BC FM ==∴矩形ABCD 的面积为363BC CD ⋅= ··································· 7分25．解：（1）∵反比例函数my x=的图象经过点B (4，3)， ∴34m=． 解得 12m =．∴反比例函数的解析式为12y x=． ··········································· 1分 （2）∵四边形OABC 是矩形，点B (4，3)，∴A (0，3)，C (4，0)．········································· 2分 一次函数与y 轴交于点D ， ∴点D (0，－1)，AD =4． 设点E 的坐标为D (E x ，E y ) ∵△ADE 的面积等于6， ∴162E AD x ⋅=． ∴3E x =±． ·······················3分 ∵点E 在反比例函数12y x=的图象上， ∴E (3，4)或E (－3，－4)．当点E (3，4)在一次函数1y ax =-的图象上时， ∴431a =-． 解得53a =． E 2E 1-1-111OxyBDAC∴一次函数的解析式为：513y x =-． 当点(－3，－4)在一次函数1y ax =-的图象上时， 此时一次函数的解析式为：1y x =-．综上，一次函数的解析式为：513y x =-或1y x =-． ············ 5分 （3）由（2）可知，直线OE 的解析式为 43y x =． 设点P (P x ，43P x )， 取OP 的中点M ，则12OM OP =． ∴M (12P x ，23P x )． ∴Q (12124P x +，23P x )． ································································· 6分 ∴H (214，0)．点P ，Q 均在反比例函数(0)ky x x=>上，∴43P P x x ⋅＝(12124P x +)23P x ． ∴72P x =． ∴P (72，143)， ∴493k =． ····················································································· 7分-1-111O xyQMH P北京市西城区— 第二学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准.7一、填空题（本题6分）15； ······················································································· 3分 2．答案不唯一，如：当三角形的面积S 一定时，三角形的一边长a 是这边上的高h 的反比例函数， ·········································································· 1分2Sa h=（S 是常数，S ≠0）． ·························································· 3分 二、解答题（本题共14分，每小题7分）3．（1）证明：∵23(1)230(0)mx m x m m --+≠-=是关于x 的一元二次方程，∴2[3(1)]4(23)m m m ∆=---- ····································· 1分269m m =-+2(3)m =-． ·························································· 2分∵3m >，∴2(3)0m ->，即0∆>．∴方程总有两个不相等的实数根． ···································· 3分（2）①解：由求根公式，得3(1)(3)2m m x m-±-=．∴1x =或23m x m-=． ∵3m >， ∴23321m m m-=->． ∵12x x <， ∴11x =，22332m x m m-==-．········································ 5分 ②323m <<． ····························································· 7分4．解：（1）①补全图形，如图所示． ······························································· 1分②AP =BN ，AP ⊥BN ．···································································· 2分证明：延长NB 交OP 于点K ，交AP 于点∵四边形ABCD 是正方形， ∴AO =BO ，AO ⊥BO ． ∴∠1+∠2=90°．∵四边形OPMN 是正方形， ∴OP =ON ，∠PON =90°．∴∠2+∠3=90°． ∴∠1=∠3． ∴△APO ≌△BNO ．∴AP =BN ． ·································································· 4分 ∴∠4=∠5．在△OKN 中，∠5+∠6=90°． ∴∠4+∠7=90°．∴AP ⊥BN ． ································································· 5分（2）求解思路如下：a .类比（1）②可证△APO ≌△BNO ，AP =BN ，∠POT ＝∠MNS ．b .作OT ⊥AB 于点T ，作MS ⊥BC 于点S ，如图所示． 由AB ＝2，可得AT =BT =OT =1．c .由∠APO ＝30º，可得PT 3BN =AP 31，可得∠POT ＝∠MNS ＝60º． d . 由∠POT ＝∠MNS ＝60º，OP =MN ， 可证△OTP ≌△NSM ． ∴PT =MS 3． ∴CN =BN －BC 31． ∴SC =SN －CN =23．在Rt △MSC 中，222CM MS SC =+，∴MC 长可求． ······································································· 7分5612347KH NOBDA CPSMNODCP。
2010-2011学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷
2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤52．下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（）A．6，8，10B．8，15，17C．1，，2D．2，2，3．下列函数中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（）A．y=﹣3x B．y=﹣x+4C．D．4．对角线相等且互相平分的四边形一定是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形5．已知关于x的方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜10B．m=10C．m＞10D．m≥106．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠DBC=30°，AD=5，则BC等于（）A．5B．7.5C．D．107．用配方法解方程x2﹣4x+1=0时，配方后所得的方程是（）A．（x﹣2）2=1B．（x﹣2）2=﹣1C．（x﹣2）2=3D．（x+2）2=38．图为在某居民小区中随机调查的10户家庭一年的月均用水量（单位：t）的条形统计图，则这10户家庭月均用水量的众数和中位数分别是（）A．6.5，6.5B．6.5，7C．7，7D．7，6.59．如图，点M，N在反比例函数（x＞0）的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形OBMA 是正方形，四边形ODNC是矩形，CN与MB交于点E，下列说法中不正确的是（）A．正方形OBMA的面积等于矩形ODNC的面积B．点M的坐标为（6，6）C．矩形ODNC的面积为6D．矩形CEMA的面积等于矩形BDNE的面积10．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为点E，F，连接AP，EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②∠PFE=∠BAP；③PD=EC；④△APD一定是等腰三角形．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共8小题，每小题2分，满分16分）11．若，则x﹣y的值为_________．12．在“2011年北京郁金香文化节”中，北京国际鲜花港的3×106株郁金香为京城增添了亮丽的色彩．若这些郁金香平均每平方米种植的数量为n（单位：株/平方米），总种植面积为S（单位：平方米），则n与S的函数关系式为_________．（不要求写出自变量S的取值范围）13．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD=120°，BD=8，则AB的长为_________．14．点A（2，3）在反比例函数的图象上，当1≤x≤3时，y的取值范围是_________．15．菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，顺次连接菱形ABCD各边的中点所得四边形的面积为_________．16．若关于x的方程x2+mx﹣12=0的一个根是4，则m=_________，此方程的另一个根是_________．17．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，点E 在AB边上，将△EBC沿EC所在直线折叠，使点B落在AD边上的点B′处，则AE的长为_________cm．点都在格点上；拼接时图形互不重叠，不留空隙），如果用这4个直角梯形拼接成一个等腰梯形，那么（1）仿照图1，在图2中画出一个拼接成的等腰梯形；（2）这个拼接成的等腰梯形的周长为_________．三、解答题（共2小题，满分16分）19．计算：（1）；（2）．20．解方程：（1）x2﹣3x=7+x；（2）2x（x﹣1）=3（1﹣x）．四、解答题（本题共21分，第21题6分，第22、23、24题每题5分）21．已知：如图，▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长CD至F，使DF=CD，连接BF交AD于点E．（1）求证：AE=ED；（2）若AB=BC，求∠CAF的度数．（2）在某场比赛中，因对方球员技术犯规需要凯尔特人队选派一名队员进行罚球，你认为甲，乙两位球员谁来罚球更好？（请通过计算说明理由）23．为了增强员工的团队意识，某公司决定组织员工开展拓展活动．从公司到拓展活动地点的路程总长为126千米，活动的组织人员乘坐小轿车，其他员工乘坐旅游车同时从公司出发，前往拓展活动的目的地．为了在员工们到达之前做好活动的准备工作，小轿车决定改走高速公路，路程比原路线缩短了18千米，这样比按原路线行驶的旅游车提前24分钟到达目的地．已知小轿车的平均速度是旅游车的平均速度的1.2倍，求这两种车平均每小时分别行驶多少千米．24．已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=8，DC=10，点M是AB边的中点．（1）求证：CM⊥DM；（2）求点M到CD边的距离．五、解答题（本题共17分，第25题6分，第26题5分，第27题6分）25．已知：如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于点A（m，4）和点B（﹣4，﹣2）．（1）求一次函数y=ax+b和反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积；（3）根据图象，直接写出不等式的解集．26．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为EC的中点．（1）如图，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形；（2）如图，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明．27．已知：如图1，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C的坐标分别为（6，0），（0，2）．点D是线段BC上的一个动点（点D与点B，C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线O﹣A﹣B于点E．（1）在点D运动的过程中，若△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式，并写出自变量的取值范围；OA于点D，M，O′A′分别交CB，OA点N，E．求证：四边形DMEN是菱形；（3）问题（2）中的四边形DMEN中，ME的长为_________．2010-2011学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（2009•肇庆）函数y=中，自变量x的取值范围是（）A．x＞5B．x＜5C．x≥5D．x≤5考点：函数自变量的取值范围；二次根式有意义的条件。
2019.7北京市西城区八下期末数学试卷及答案
2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．27．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：28．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围，13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝021．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO 并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线P A⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910 A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9 B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0 C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差A树树叶的长宽6.2 6.07.9 2.5比2.20.38B树树叶的长宽比1.1 1.1 1.00.02C树树叶的长宽比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．求证：①∠BAE＝∠DAF；②DN⊥AE；（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求∠EAC与∠ADN 的和的度数．四、填空题（本题共6分，第1题2分，第2题4分）27．（2分）甲、乙两人面试和笔试的成绩如表所示：候选人甲乙测试成绩（百分制）面试成绩8692笔试成绩9083某公司认为，招聘公关人员，面试成绩应该比笔试成绩重要，如果面试和笔试的权重分别是6和4，根据两人的平均成绩，这个公司将录取．28．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，1），B（1，﹣2）．结合图象，直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集．五、解答题（本题共14分，每小题7分）29．（7分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm30．（7分）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A 是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E 的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K （﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN 与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．本题属于基础题型．2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠B的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，且∠A+∠C＝140°∴∠A＝70°∴∠B＝110°故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3【分析】移项，配方，变形后即可得出答案．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．【解答】解：∵ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵BD＝6，∴AB＝OB＝3，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小【分析】反比例函数y＝的图象，是位于第一、三象限的双曲线，在每个象限内y随x 的增大而减小，双曲线关于直线y＝x，或y＝﹣x成轴对称，关于原点（0，0）成中心对称，图象上点的坐标满足xy＝2，即纵横坐标的积为2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，故A不正确，反比例函数的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的，∵1×1≠2，∴图象不过（1，1）点，因此C是不正确的，∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．2【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得a2﹣4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程，得a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，而a﹣2≠0，所以a的值为﹣2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：2【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（D）设a＝1，b＝2，c＝2，∵b＝c＞a，∴△ABC不是直角三角形，故D不能判断，故选：D．【点评】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．8．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．【解答】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），∴＝，∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，∴S2甲＜S2乙．故选：D．【点评】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB ＝AC＝x米．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴x2＝52+（x﹣1）2，∴x＝13，∴AB＝13（米），故选：B．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．【分析】分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．【解答】解：A、S阴影＝2×4＝8（cm2）；B、设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为由正方形的面积＝重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得16＝2×+4（4﹣x）可求x＝，∴S重叠部分＝2×2×＝C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、S重叠部分＝＝8﹣4故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质、三角形面积的计算，找出图A、图B、图C阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝3．【分析】原式利用平方根的性质判断即可．【解答】解：原式＝3，故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围m＜，【分析】根据根的判别式即可求出m的范围；【解答】解：由题意可知：4﹣8m＞0，∴m＜；故答案为：m＜【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为52°．【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝AB＝AD，∴∠DAC＝∠A＝26°，∴∠BDC＝∠DAC+∠A＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为4．【分析】首先根据菱形的性质可知菱形的对角线垂直平分，然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长，再由菱形的四边形相等，可得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及勾股定理等知识．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k＝10＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x＝1时，y＝10，当x＝2时，y＝5，∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．故答案为：5＜y＜10．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为7．【分析】由全等三角形的性质可得AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE，可得EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，可证四边形EGFH是正方形，即可求EF的长．【解答】解：∵正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE ∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，∴四边形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四边形EGFH是正方形∴EF＝EG＝7故答案为：7【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH是正方形是本题的关键．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为5．【分析】由矩形的性质得出AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，由角平分线的性质得出∠ABE＝∠ABC＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝AE，求出DE＝6，由勾股定理求出CE＝10，易证FG是△BCE的中位线，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，∴CE＝＝＝10，∵F是BE的中点，G是BC的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴FG＝CE＝×10＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为y＝﹣（x＞0）．【分析】（1）当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，即可求解；（2）证明△CGA≌△BCH（AAS），AG＝CH，即x﹣a＝y+b，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a，即可求解．【解答】解：（1）由反比例函数的对称性可得OA＝OB，△ABC是以AB为底边的等腰直角三角形，∴CO＝AB＝OA＝OB，当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，此时A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1）OA＝OB＝OC＝＝，故答案为：；（2）如图，过点A作x轴的平行线，交过点C与y轴的平行线于点G，过点B作x轴的平行线交GC的延长线于点H，设点A、B的坐标分别为（a，b）、（﹣a，﹣b），ab＝1，∵∠GAC+∠GCA＝90°，∠GCA+∠BCH＝90°，∴∠CBH＝∠GAC，又AC＝BC，∠CGA＝∠BHC＝90°，∴△CGA≌△BCH（AAS），∴AG＝CH，即x﹣a＝y+b…①，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a…②，联立①②并解得：x＝b，y＝﹣a，即：xy＝﹣ab＝﹣1，故答案为：y＝﹣（x＞0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝0【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）解：（x﹣3）2＝25，开方得：x﹣3＝±5，解得：x1＝8，x2＝﹣2；（2）x2﹣3x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据公式法即可求出答案两根，然后根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由于△＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由于（x+1）（x+m﹣1）＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣m+1，∵此方程有一个根是负数，∴﹣m+1≥0，∴m的取值范围是m≤1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．【分析】（1）依据直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），即可得到点P的坐标为（1，3），进而得出反比例函数的解析式为y＝．（2）依据点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n 的取值范围为﹣3≤n≤5．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），∴a＝1+2＝3．∴点P的坐标为（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，由勾股定理得＝4，∴1﹣4＝﹣3，1+4＝5，∴n的取值范围为﹣3≤n≤5．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO 并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是DA．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OF＝OE，且AO＝CO，即可得结论；（2）①由锐角三角函数可求h的值，②当∠AOE＝90°时，是菱形，当∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE，且AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；（2）①∵∠DAC＝60°∴sin∠DAC＝∴h＝×AC＝2②∵∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，根据三角形得内角和定理得，∠AOD＝105°，∴点E从D点向A点移动过程中，当∠AOE＝90°时，EF⊥AC，∵OA＝OC，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；当∠BCE＝90°时，平行四边形AECF是矩形，∴OE＝OC，∠ACE＝30°，∴∠OEC＝30°，∴∠AOE＝2∠ACE＝60°，即：∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形；综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE 的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：D【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线P A⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）①依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点Q的坐标；②依据点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t），即可得到PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，进而得到线段PQ的长．【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴当点P的横坐标为1时，y＝4，∴点P的纵坐标为4，∵P A交直线y＝x于点M，∴当点P的横坐标为1时，y＝1，∴点M的坐标为（1，1）．（2）①∵点P的横坐标为t，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴点P的坐标为（t，）．∵直线P A⊥x轴，交直线y＝x于点M，∴点M的坐标为（t，t）．∵直线MB⊥y轴，交函数y＝（x＞0）的图象于点Q，∴点Q的坐标为（，t）；②点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t）．∴PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，∴线段PQ的长为|t﹣|．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差6.2 6.07.9 2.5A树树叶的长宽比B树树叶的长宽2.20.38比1.1 1.1 1.00.02C树树叶的长宽比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．【分析】（1）求出B树的叶子长宽比的中位数、众数填入统计表中即可，（2）根据三种树叶的长宽比的平均数，判断其说法的准确性，（3）计算该树叶的长宽比，根据长度为103，长宽比为2.0确定位置，在图中标注即可．【解答】解（1）将B树叶的长宽的比从小到大排序处在第5、6位的两个数平均数为（2.0+2.2）÷2＝2.1，因此中位数是2.1，出现次数最多的数是2.0，因此众数是2.0，补全的统计表如下：（2）小张同学的说法是合理的，C树叶的长宽比1：1左右；小李同学的说法是不合理的，该树叶来自A树，理由：观察该树叶其长是宽的6倍左右，应该是来自A树叶．（3）图2中，★表示这片树叶的数据，这片树叶来自B树；理由：这片树叶的长为103，宽为52，长宽的比大约为2.0，根据平均数可得它来自B数．【点评】考查统计表的制作方法，理解统计表中各个数据的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的前提．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．。
北京市西城区09—10下学期初二数学(A卷)期末考试试卷及答案
2.A • -7 B. -5 C. 3△ ABC中，D、E、F分别为 AB、AC、BC的中点，若△ DEF的周长为6,则厶ABC的周长为（）.B. 6C. 12D. 24北京市西城区2009—2010学年第二学期期末测试八年级数学试卷（A卷）（时间100分钟，满分100分）、精心选一选（本题共29分，第1〜9题每题3分，第10题2分）1•若..X匚5 、.厂2〉0，贝U x+y的值为（）.3.下列各组数中，以它们为边长的线段能构成..直角三角形的是A . 3, 4, 6B . 5, 12, 14C . 1 , 1, . 3D . 1,3 , 224.下列关于反比例函数y 的说法中，错误.的是（）.xA . x=-1时的函数值大于 x=l时的函数值B.当x<0时，y随x的增大而增大C.当x>0时，y随x的增大而增大D . y随x的增大而增大5.用配方法解方程x2 -2x -2 =0，以下变形正确.的是（）.2A.方程x * x -2 =0有一根为-12A . (x -1) =2 2B . (x-1)=3 2 C . (x -2) =1 2D . (x 1)=36.如图，丫 ABCD 中，AC 丄BC, E 为AB 的中点, A . 2 B . 3 C . 4 D. 宀曰 ( 7.对角线互相垂直平分的四边形 , 定是A.矩形B.菱形C.正方形D &以下关于一元二次方程的根的说法中，正确的是 ().OB 3B 4C 3,,,依次进行下去，则B.方程x 2 x = 0有一根为1C •方程x 2・2x_4 =0有两个不相等的实数根D •方程x 2 • 4 =0有两个实数根，并且这两根互为相反数6 一9.观察反比例函数 y 的图象，当1<y w 2时，x 的取值范围是（）.x_ 1111 A . 3 w x<6 B . 3<x W 6 C . x D . x —363610.如图，点 0（0, 0） , B （0, 1）是正方形 OBB 1C 的两个顶点，以它的对角线OB |为一 边作正方形 OB 1B 2C 1，以正方形OB 1B 2C 1的对角线 0B 2为一边作正方形 OB 2B 3C 2，再以正方形OB 2B 3C 2的对角线 OB 3为一边作正方形 点B 6的坐标是 ().A. (- 8, 0)B. (0, -8)C. ( -4,2 , 0)D . (& 2 , 0) 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11. ____________________________________________ 函数y = J x +4中，x 的取值范围是12.上海世博会召开后，更多的北京人坐火车去上海参观.京沪线铁路全程为1463km ,某次列车的全程运行时间t （单位：h ）与此次列车的平均速度v （单位：km/h ）的函数关系式是 ___________ .（不要求写出自变量 v 的取值范围）13 .如图，菱形ABCD 中，若BD= 24 ,AC=10，贝U AB 的长等于 ______________ 14.如图，梯形 ABCD 中，AD // BC, / B=30°,/ BCD=60°, AD= 2, AC 平分/ BCD, _____________ ( 1)CD= ; (2)若 DE// AB交BC 于点E ，则/ CDE= _______________ ° .15.右图为某车间36位工人日加工零件数（单位：个）的条形统计图，则这些工人日加工零件数的中位数是3(1)3x(2x+1) = 2(2x+1);2(2) 2x —3x -1 = 0 . 解:16.反比例函数y (x .0)与函数y=x(x》0)的图象如图所x示，它们的交点为 A, ( 1)点A的坐标为 _________________ ; (2)若3反比例函数y 的图象上的另一点 B的横坐标为1,BCx丄x轴于点。
2020-2021学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷及答案解析
2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜4B．x≥4C．x＞4D．x≥02．（3分）如图，在▱ABCD中，∠C＝70°，DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数为（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．（3分）下列各式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列线段a，b，c组成的三角形中，能构成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2B．a＝2，b＝3，c＝4C．a＝3，b＝4，c＝6D．a＝1，b＝1，c＝5．（3分）在一次学校田径运动会上，参加男子跳高的20名运动员的成绩如表所示：成绩/m 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数143462这些运动员成绩的众数是（）A．1.65B．1.70C．1.75D．1.806．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，D是AB边的中点，则CD的长为（）A．B．2C．D．7．（3分）下列命题中，正确的是（）A．有一组对边相等的四边形是平行四边形B．有两个角是直角的四边形是矩形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形8．（3分）学校组织校科技节报名，每位学生最多能报3个项目．下表是某班30名学生报名项目个数的统计表：报名项目个数0123人数514a b其中报名2个项目和3个项目的学生人数还未统计完毕．无论这个班报名2个项目和3个项目的学生各有多少人，下列关于报名项目个数的统计量不会发生改变的是（）A．中位数，众数B．平均数，方差C．平均数，众数D．众数，方差9．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（）A．（2，3）B．（，3）C．（，2）D．（，3）10．（3分）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB →BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24B．10C．12D．36二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)11．（3分）计算：（）2＝．12．（3分）已知正方形ABCD的对角线AC的长为3，则正方形ABCD的边长为．13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5cm，则AD的长是cm．14．（3分）已知n是正整数，且也是正整数，写出一个满足条件的n的值：n＝．15．（3分）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，EF平分∠AEC交BC于点F．若AD ＝7，AE＝CD＝3，则BF的长为．16．（2分）用4张全等的直角三角形纸片拼接成如图所示的图案，得到两个大小不同的正方形．若正方形ABCD的面积为10，AH＝3，则正方形EFGH的面积为．17．（2分）为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表：甲组1112131415乙组x6758如果甲、乙两款保温杯保温时效的方差是相等的，那么x＝．18．（2分）如图，点C在线段AB上，△DAC是等边三角形，四边形CDEF是正方形．（1）∠DAE＝°；（2）点P是线段AE上的一个动点，连接PB，PC．若AC＝2，BC＝3，则PB+PC的最小值为．三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)19．（6分）计算：（1）3×；（2）+÷．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，BE＝DF，EF与对角线AC相交于点O．求证：OE＝OF．21．（6分）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．（1丈＝10尺）大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？将这个实际问题转化为数学问题，根据题意画出图形（如图所示），其中水面宽AB＝10尺，线段CD，CB表示芦苇，CD⊥AB于点E．（1）图中DE＝尺，EB＝尺；（2）求水的深度与这根芦苇的长度．22．（6分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE ∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是；（填“矩形”、“菱形”或“正方形”）②若AB＝10，ED＝8，则四边形ADCE的面积为．23．（6分）对于函数y＝|x﹣1|，小芸探究了该函数的部分性质，下面是小芸的探究过程，请补充完整：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝；②当x≤1时，函数y＝|x﹣1|的图象如图所示，请在图中补全函数y＝|x﹣1|的图象；（2）当y＝3时，x＝；（3）若点A（﹣1，y1）和B（x2，y2）都在函数y＝|x﹣1|的图象上，且y2＞y1，结合函数图象，直接写出x2的取值范围．24．（6分）某校七年级和八年级学生人数都是200人，学校想了解这两个年级学生的阅读情况，分别从每个年级随机抽取了40名学生进行调查，收集了这80名学生一周阅读时长的数据，并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七、八年级各抽取的40名学生一周阅读时长统计图（不完整）如图（两个年级的数据都分成6组：0≤x＜2，2≤x＜4，4≤x＜6，6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12）．b．八年级学生一周阅读时长在6≤x＜8这一组的数据是：6666 6.56.5777 77.57.5．c．七、八年级学生一周阅读时长的平均数、中位数和众数如表：年级平均数中位数众数七年级 6.22577八年级 6.375m8根据以上信息，回答下列问题：（1）图1中p%＝%；（2）①补全八年级学生一周阅读时长统计图（图2）；②上表中m的值为．（3）将收集的这80名学生的数据分年级由大到小进行排序，其中有一名学生一周阅读时长是6.5小时，排在本年级的前20名，由此可以推断他是年级的学生；（填“七”或“八”）（4）估计两个年级共400名学生中，一周阅读时长不低于8小时的人数．25．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，作射线OB．给出如下定义：如果点P在∠BOA的内部过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，那么称PM与PN的长度之和为点P关于∠BOA的“内距离”，记作d（P，∠BOA），即d（P，∠BOA）＝PM+PN．（1）如图1，若点P（3，2）在∠BOA的平分线上，则PM＝，PN＝，d（P，∠BOA）＝；（2）如图2，若∠BOA＝75°，点C（a，a）（其中a＞0）满足d（C，∠BOA）＝2+，求a的值；（3）若∠BOA＝60°，点Q（m，n）在∠BOA的内部，用含m，n的式子表示d（Q，∠BOA），并直接写出结果．26．（7分）已知∠MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．（1）如图1，CD∥OB，CD＝OA，连接AD，BD；①△AOB与△全等，∠OBA+∠ADC＝°；②若OA＝a，OB＝b，则BD＝；（用含a，b的式子表示）（2）如图2，在线段BO上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若∠OBA+∠OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．四、填空题(本题6分)27．（6分）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：例如：由（+1）（﹣1）＝1，可得+1与﹣1互为倒数，即＝﹣1，＝+1．类似地，＝﹣，＝+；＝2﹣，＝2+；…．根据小腾发现的规律，解决下列问题：（1）＝，＝；（n为正整数）（2）若＝2﹣m，则m＝；（3）计算：＝．五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)28．（6分）如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，∠ACD＝α（60°＜α＜120°），点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．（1）求∠PQM的度数；（用含α的式子表示）（2）若点N是BC的中点，连接NM，NP，PM，求证：△PNM是等边三角形．29．（8分）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），我们将|x1﹣x2|+2|y1﹣y2|称为点M与点N的“纵2倍直角距离”，记作d MN．例如：点M（﹣2，7）与N（5，6）的“纵2倍直角距离”d MN＝|﹣2﹣5|+2|7﹣6|＝9．（1）①已知点P1（1，1），P2（﹣4，0），P3（0，），则在这三个点中，与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点是；②已知点P（x，y），其中y≥0．若点P与原点O的“纵2倍直角距离”d PO＝3，请在下图中画出所有满足条件的点P组成的图形．（2）若直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，求b的取值范围；（3）已知点A（1，1），B（3，1），点T（t，0）是x轴上的一个动点，正方形CDEF的顶点坐标分别为C（t﹣，0），D（t，），E（t+，0），F（t，﹣）．若线段AB上存在点G，正方形CDEF上存在点H，使得d GH＝5，直接写出t的取值范围．2020-2021学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共30分，每小题3分)第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】直接利用二次根式中的被开方数是非负数，求出答案即可．【解答】解：在实数范围内有意义，则x﹣4≥0，解得：x≥4．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数的符号分析是解题关键．2．【分析】由平行四边形的性质得出∠C＝∠A＝70°，由直角三角形的性质可求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠A＝70°，∵DE⊥AB，∴∠AED＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°，故选：C．【点评】此题主要考查了是平行四边形的性质，以及直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．3．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式；D、＝10，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式是解题的关键．4．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、12+22≠22，故不能构成直角三角形，不符合题意；B、22+32≠42，故不能构成直角三角形，不符合题意；C、32+42≠62，故不能构成直角三角形，不符合题意；D、12+12＝（）2，故能构成直角三角形，符合题意．故选：D．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．5．【分析】根据众数的定义，出现次数最多的数为众数求解即可．【解答】解：这组数据中1.75米出现了6次，次数最多，故这组数据的众数是1.75．故选：C．【点评】此题考查了众数的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握众数的定义．6．【分析】先运用勾股定理求出斜边AB的长度，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CD的长．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝4，则由勾股定理知：AB＝＝＝，又∵D为AB的中点，∴CD＝AB＝．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，比较简单．7．【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理判断即可．【解答】解：A、有一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形，本选项说法错误，不符合题意；B、有两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形，本选项说法错误，不符合题意；C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，本选项说法错误，不符合题意；D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，本选项说法正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定定理是解题的关键．8．【分析】平均数的求解是先求和再除以个数，方差由平均数得来，中位数由数据排序得到，众数则反映原数据中最多的数值．【解答】解：∵共有30名学生报名这3个项目，把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，则不报的和报1个的就有19人了，所以中位数不会发生改变，因为报2个项目和3个项目的一共有11人，而报1个项目的就有14人，所以众数也不会发生改变．故选：A．【点评】本题考查平均数、中位数、众数和方差，熟练掌握平均数、中位数、众数和方差的概念及运算是解题的关键．9．【分析】延长BC交x轴于H，由菱形的性质可得OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，在Rt△OCH中，由勾股定理可求OH的长，即可求解．【解答】解：延长BC交x轴于H，∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC，∴∠BHO＝∠AOH＝90°，∵点C的纵坐标为1，∴CH＝1，BH＝3，∴OH＝＝＝，∴点B（，3），故选：D．【点评】本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，求出OH的长是解题的关键．10．【分析】图1和图2中的点对应：点A对点O，点B对点M，点D对点N，根据点P 运动的路程为x，线段AP的长为y，依次解出AB＝x＝6，即点M的横坐标，AD＝AP＝y＝10，即点N的纵坐标，解出BE＝，▱ABCD的面积＝AD×BE，可得结论．【解答】解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，在图2中，取M（6，6），N（12，10），当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD ＝6，当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8＝10，在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，解得AE＝5，在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，BE²+AE²＝AB²，解得BE＝，∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，故选：B．【点评】本题考查动点的移动距离与函数图象的关系，难点在于确定关键点对应关系：点A对点O，点B对点M，点D对点N，关键是当点P到点D时，图2的N点的纵坐标表示的意义：AD＝AP＝y（点N的纵坐标）．二、填空题(本题共21分，第11~15题每小题3分，第16~18题每小题3分)11．【分析】根据二次根式的性质（）2＝a（a≥0）即可求出答案．【解答】解：原式＝7，故答案为：7．【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质（）2＝a （a≥0），本题属于基础题型．12．【分析】在Rt△ABC中利用勾股定理可得AB长度．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵AC2＝AB2+BC2，∴18＝2AB2，∴AB＝3，故答案为3．【点评】本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求边长是解题的关键．13．【分析】根据平行四边形的性质，可得出点O平分BD，则OE是三角形ABD的中位线，则AD＝2OE，继而求出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BO＝DO，∵点E是AB的中点，∴OE为△ABD的中位线，∴AD＝2OE，∵OE＝5cm，∴AD＝10cm．故答案为：10．【点评】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线定理，属于基础题，比较容易解答．14．【分析】由n为正整数，也是正整数，可知18﹣n是一个完全平方数，从而得出结果．【解答】解：∵n是正整数，且也是正整数，∴18﹣n是一个完全平方数，∵18﹣n≥0，解得：n≤18，∴0＜n≤18，则18﹣n＝12，解得：n＝17，或18﹣n＝22，解得：n＝14，或18﹣n＝32，解得：n＝9，或18﹣n＝42，解得：n＝2，当18﹣n＝52时，解得：n＝﹣7，不符合n的范围．故答案为：2或9或14或17（只填一个即可）．【点评】本题主要考查了二次根式的定义，涉及的知识点：如果是正整数，那么a是一个完全平方数．15．【分析】由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝7，由平行线的性质和角平分线的性质可证CE＝CF，在Rt△DEC中，由勾股定理可求EC的长，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC＝7，∴∠AEF＝∠EFC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，∵AD＝7，AE＝CD＝3，∴DE＝4，∴EC＝＝＝5，∴FC＝5，∴BF＝2，故答案为2．【点评】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，等腰三角形判定，求出EC的长是解题的关键．16．【分析】由正方形的面积公式可得AD2＝10，在Rt△ADH中，由勾股定理可求DH＝1，即可求解．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为10，∴AD2＝10，∴DH＝＝＝1，∵△AHD≌△DGC，∴AH＝DG＝3，∴HG＝DG﹣DH＝2，∴正方形EFGH的面积＝HG2＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，求出DH的长是解题的关键．17．【分析】根据方差的公式计算．【解答】解：甲组的平均数是×（11+12+13+14+15）＝13（h），则甲的方差S2＝[（11﹣13）2+（12﹣13）2+（13﹣13）2+（14﹣13）2+（15﹣13）2]＝2，乙组的平均数为＝（h），乙的方差为：[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]，由题意得[（x﹣）2+（6﹣）2+（7﹣）2+（5﹣）2+（8﹣）2]＝2，解得x＝4或x＝9，故答案为：4或9．【点评】本题考查方差，理解方差的意义，掌握方差的计算方法是正确解答的关键．18．【分析】（1）由已知可得△ADE是等腰三角形，所以∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°；（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，则PB+PC＝BC'，由（1）可得∠GAC＝45°，再由AG⊥CG，则∠DCA＝45°，可求CC'＝2，过C'作C'H⊥AC 则△C'CH为等腰直角三角形，可知H与A重合，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，求得BC'＝即为所求．【解答】解：（1）∵△DAC是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，AD＝DC，∵四边形CDEF是正方形，∴CD＝DE，∠EDC＝90°，∴△ADE是等腰三角形，∴∠DAE＝（180°﹣90°﹣60°）＝15°，故答案为15°；（2）作C点关于AE的对称点C'，连接C'B与AE交点为P，∴PB+PC＝BC'，∵∠EAD＝15°，∠DAC＝60°，∴∠GAC＝45°，∵AG⊥CG，∴∠DCA＝45°，∵AC＝2，∴GC＝，∴CC'＝2，过C'作C'H⊥AC，则△C'CH为等腰直角三角形，∴C'H＝2，∴H与A重合，∴C'A⊥AC，在Rt△ABC'中，AB＝AC+BC＝5，AC'＝2，∴BC'＝，∴PB+PC的最小值为，故答案为．【点评】本题考查轴对称求最短距离，作出C关于AE的对称点C'，证明C'A⊥AC是解题的关键．三、解答题(本题共49分，第19~25题每小题6分，第26题7分)19．【分析】（1）根据二次根式的乘法法则运算；（2）先进行二次根式的除法运算，然后化简后合并即可．【解答】解：（1）原式＝3＝6；（2）原式＝3+＝3+＝4．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．20．【分析】首先连接AF，CE，由四边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，AB＝CD，又由BE＝DF，证得AE＝CF，即可证得四边形AECF是平行四边形，进而证得结论．【解答】证明：如图，连接AF，CE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵BE＝DF，∴AB﹣BE＝CD﹣DF，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∴OE＝OF．【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定．注意准确作出辅助线，证得四边形AECF 是平行四边形是解此题的关键．21．【分析】（1）直接利用水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，且边长为10尺的正方形，E为AB中点，即可得出答案；（2）根据题意，可知AB的长为10尺，则EB＝5尺，设芦苇长DC＝BC＝x尺，表示出水深EC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解答】解：（1）由题意可得：DE＝1尺，BE＝AB＝5尺；故答案为：1，5；（2）设芦苇长DC＝BC＝x尺，则水深EC＝（x﹣1）尺，在Rt△ECB中，52+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝13，则EC＝13﹣1＝12（尺），答：芦苇长13尺，水深为12尺．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合以及表示出直角三角形的各边长．22．【分析】（1）证明四边形ADCE是平行四边形，得出∠ADC＝90°，由矩形的判定可得出四边形ADCE是矩形，由矩形的性质可得出结论；（2）①由直角三角形的性质得出AD＝CD＝BD，根据菱形的判定可得出答案；②求出BC＝8，由勾股定理求出AC＝6，由菱形的面积公式可得出答案．【解答】（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AD＝CD＝BD，∴四边形ADCE是菱形，故答案为菱形；②∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形ECBD是平行四边形，∴DE＝BC＝8，∵AB＝10，∴AC＝＝＝6，∴四边形ADCE的面积为＝＝24．故答案为24．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．23．【分析】（1）①根据绝对值的意义可得；②根据解析式y＝x﹣1可以画出相应的函数图象；（2）把y＝3分别代入y＝﹣x+1和y＝x﹣1，求得相应的自变量x的值，即可得出结论；（3）根据函数的对称性求得当y2＝y1时的x的值，观察图象即可求得．【解答】解：（1）①对于函数y＝|x﹣1|，当x≤1时，y＝﹣x+1；当x＞1时，y＝x﹣1；故答案为：x﹣1；②函数图象如图所示；（2）把y＝3代入y＝﹣x+1求得x＝﹣2，把y＝3代入y＝x﹣1求得x＝4，∴当y＝3时，x＝﹣2或4，故答案为﹣2或4；（3）∵函数图象关于直线x＝1对称，∴x＝﹣1和x＝3时的函数值相同，观察图象，当y2＞y1时，x2＜﹣1或x2＞3．【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．24．【分析】（1）根据各部分的百分比之和为1求解可得p的值；（2）①根据各部分的人数之和等于总人数40求出4≤x＜6的人数，从而补全图形；②找到这组数据的第20、21个数据，再取其平均数即可；（3）将该数据与七、八年级的中位数比较，大于哪个年级的中位数即为其所在年级；（4）用总人数分别乘以该年级一周阅读时长不低于8小时的人数所占比例，求和即可．【解答】解：（1）图1中p%＝1﹣（5%+22.5%+27.5%+30%+5%）＝10%，即p＝10，故答案为：10；（2）①4≤x＜6的人数为40﹣（5+12+10+2）＝11（人），补全图形如下：②由题意知，这组数据的第20、21个数据为6、6.5，所以这组数据的中位数m＝＝6.25，故答案为：6.25；（3）∵这名学生一周阅读时长是6.5小时，大于八年级阅读时长的中位数6.25小时，而小于七年级阅读时长7小时，∴可以推断他是八年级的学生，故答案为：八．（4）一周阅读时长不低于8小时的人数为200×（30%+5%）+200×＝130（人）．【点评】本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，理解中位数的意义以及扇形统计图各部分的百分比之和为1、频数分布直方图中各部分的频数之和等于总人数是解决问题的关键．25．【分析】（1）利用角平分线的性质定理求出PM＝PN＝2，可得结论．（2）如图2中，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．用a表示出CE，CF，构建方程，求出a即可．（3）如图3中，过点Q作QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，延长FQ交x轴于J．想办法用m，n表示出FJ，QJ即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM＝PN，∵P（3，2），∴PM＝PN＝2，∴d（P，∠BOA）＝2+2＝4，故答案为：2，2，4．（2）如图2中，过点C作CE⊥OA于E，CF⊥OB于F．∵C（a，a），∴EC＝OE＝a，OC＝a，∴∠EOC＝45°，∵∠AOB＝75°，∴∠COF＝75°﹣45°＝30°，∵CF⊥OB，∴CF＝OC＝a，∵d（C，∠BOA）＝2+，∴a+a＝2+，∴a＝2．（3）如图3中，过点Q作QE⊥OA于E，QF⊥OB于F，延长FQ交x轴于J．∵Q（m，n），∴QE＝n，OE＝m，∵∠JFO＝90°，∠FOJ＝60°，∴∠QJE＝30°，∵∠QEJ＝90°，∴QJ＝2QE＝2n，EJ＝EQ＝n，∴OJ＝OE+EJ＝m+n，∴FJ＝OJ•cos30°＝（m+n）•＝m+n，∴FQ＝FJ﹣QJ＝m+n﹣2n＝m﹣n，∴d（Q，∠BOA）＝QE+QF＝n+m﹣n＝m+n．【点评】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质定理，解直角三角形，点P关于∠BOA的“内距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．26．【分析】（1）①证明△AOB≌△DCA（SAS），利用全等三角形的性质解决问题即可．②如图1中，过点D作DR⊥BO交BO的延长线于R．构造直径三角形，利用勾股定理解决问题即可．（2）β的大小不变，β＝45°．如图2中，过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA．证明△ABW是等腰直角三角形，四边形BECW是平行四边形即可．【解答】解：（1）①∵CD∥OB，∴∠AOB＝∠DCA＝90°，在△AOB和△DCA中，，∴△AOB≌△DCA（SAS），∴∠ABO＝∠CAD，∵∠CAD+∠ADC＝90°，∴∠ABO+∠ADC＝90°，故答案为：DCA，90．②如图1中，过点D作DR⊥BO交BO的延长线于R．∵△AOB≌△DCA，∴OA＝CD＝a，OB＝AC＝b，∵∠R＝∠ROC＝∠DCO＝90°，∴四边形OCDR是矩形，∴OR＝CD＝a，DR＝OC＝a+b，∴RB＝a+b，∴BD＝＝＝（a+b）．故答案为：（a+b）．（2）β的大小不变，β＝45°．理由：如图2中，过点C作CW⊥AC，使得CW＝OA．在△AOB和△WCA中，，∴△AOB≌△WCA（SAS），∴AB＝AW，∠ABO＝∠CAW，∵∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠BAO+∠CAW＝90°，∴∠BAW＝90°，∴∠AWB＝45°，∵BE＝OA，CW＝OA，∴BE＝CW，∵CW∥OB，∴四边形BECW是平行四边形，∴EC∥BW，∴∠CJW＝∠AWB＝45°，∵∠CJW＝∠CAW+∠ECO，∠CAW＝∠ABO，∴β＝∠ABO+∠ECO＝45°，【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．四、填空题(本题6分)27．【分析】（1）利用题中等式变形的规律求解；（2）先变形为（2+m）（2﹣m）＝1，然后解关于m的方程即可；（3）先分母有理化，然后合并即可．【解答】解：（1）（1）＝﹣，＝﹣；（n为正整数）故答案为﹣，﹣；（2）∵＝2﹣m，∴（2+m）（2﹣m）＝1，∴8﹣m2＝1，解得m＝±；故答案为±；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+•••+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．故答案为9．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化和平方差公式是解决问题的关键．五、解答题(本题共14分，第28题6分，第29题8分)28．【分析】（1）由三角形中位线定理可得∠ACD+∠PQC＝180°，∠CQM＝∠CDE＝60°，∠ACD＝∠PQD＝α，即可求解；（2）由三角形中位线定理可证PH＝QM，NH＝PQ，∠CHN＝∠CAB＝60°，∠ACD+∠PHC＝180°，∠HPQ＝∠PQD＝α，由“SAS”可证△NHP≌△PQM，可得PN＝PM，∠HNP＝∠QPM，由角的数量关系可求∠NPM＝60°，可证△PNM是等边三角形．【解答】解：（1）∵△CDE是等边三角形，∴∠CDE＝60°，∵点P，Q，M分别是AD，CD，CE的中点．∴PQ∥AC，QM∥DE，∴∠ACD+∠PQC＝180°，∠CQM＝∠CDE＝60°，∠ACD＝∠PQD＝α，∴∠PQC＝180°﹣α，∴∠PQM＝∠PQC+∠CQM＝240°﹣α；（2）如图，取AC的中点，H，连接PH，NH，∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC＝AB，CD＝DE＝CE，∠BAC＝60°，∵点P，Q，M，H，N分别是AD，CD，CE，AC，BC的中点．∴QM＝DE，PQ＝AC，PH＝CD，PH∥CD，HN＝AB，HN∥AB，∴PH＝QM，NH＝PQ，∠CHN＝∠CAB＝60°，∠ACD+∠PHC＝180°，∠HPQ＝∠PQD＝α，∴∠NHP＝∠CHN+∠PHC＝60°+180°﹣α＝240°﹣α，∴∠PHN＝∠PQM，在△NHP和△PQM中，，∴△NHP≌△PQM（SAS），∴PN＝PM，∠HNP＝∠QPM，∵∠HNP+∠HPN+∠PHN＝180°，∴∠QPM+∠HPN＝α﹣60°，∴∠NPM＝∠HPQ﹣（∠NPH+∠QPM）＝60°，∴△PMN是等边三角形．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．29．【分析】（1）①根据题意分别计算三个点与原点O的“纵2倍直角距离”即可；②根据题意，写出P点的解析式和取值范围，作图即可；（2）根据（1）中的图象确定直线y＝2x+b与图象有两个交点时的临界值，再求出取值即可；（3）在坐标系中画出图象根据图象确定C点和E点的临界值，再求出取值范围即可．【解答】解：（1）①由题意知，d OP1＝|1﹣0|+2|1﹣0|＝3，d OP2＝|﹣4﹣0|+2|0﹣0|＝4，d OP3＝|0﹣0|+2|﹣0|＝3，故答案为：P1，P3；②由题知，|x﹣0|+2|y﹣0|＝3，即|x|+2|y|＝3，∵y≥0，∴y＝﹣|x|（﹣3≤x≤3），∴满足条件的点P组成的图形如下：（2）如图2所示，根据（1）②图象的对称性可以得出与原点O的“纵2倍直角距离”等于3的点的图形如下：根据图象可知，当直线y＝2x+b在①和②位置之间时，直线y＝2x+b上恰好有两个点与原点O的“纵2倍直角距离”等于3，当直线y＝2x+b过（﹣3，0）时，0＝2×（﹣3）+b，解得b＝6，当直线y＝2x+b过（3，0）时，0＝2×3+b，解得b＝﹣6，∴b的取值范围为﹣6＜b＜6；（3）如图3，由（1）②题同理可得H的取值在红色线区域，但取不到红色虚线围成的部分，即符合条件的正方形CDEF的位置在①②之间，或③④之间，（Ⅰ）图中正方形CDEF在①位置时，点D与H重合，∵d GH＝5，此时，1﹣t+2（1﹣）＝5，解得t＝﹣3，图中正方形CDEF在②位置时，点F与H重合，同理可得，3﹣t+2（1+）＝5，解得t＝1，∴t的取值范围为：﹣3≤t≤1；（Ⅱ）图中正方形CDEF在③位置时，同理可得，t﹣1+2（1﹣）＝5，解得t＝3，图中正方形CDEF在④位置时，同理可得，t﹣3+2（1﹣）＝5，解得t＝7，∴t的取值范围为：3≤t≤7；综上，t的取值范围为：﹣3≤t≤1或3≤t≤7．【点评】本题主要考查一次函数和直角坐标系的知识，熟练利用图象求临界值进而求取值范围是解题的关键．。
北京市西城区08—09下学期八年级数学期末考试试卷(A卷)及答案
北京市西城区2008—2009学年第二学期期末测试八年级数学试卷（A 卷） 2009．6（时间100分钟，满分100分）题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 得分一、精心选一选（本题共30分，每小题3分）1．在函数y ＝2-x 中，自变量x 的取值范围是（ ）．A ．x ≠2B ．x ＞2C ．x ≥2D ．x ≤22．当x ＜0时，反比例函数y ＝x31-的图象（ ）． A ．在第二象限内，y 随x 的增大而增大 B ．在第二象限内，y 随x 的增大而减小 C ．在第三象限内，y 随x 的增大而增大 D ．在第三象限内，y 随x 的增大而减小 3．若4-x ＋（y ＋3）2＝0，则xy的值为（ ）． A ．－34 B ．－43 C ．23 D ．－23 4．下列各组数中，以a 、b 、c 为边长的三角形不是．．直角三角形的是（ ）． A ．a ＝3，b ＝4，c ＝5， B ．a ＝5，b ＝12，c ＝13 C ．a ＝1，b ＝2，c ＝5D ．a ＝23，b ＝2，c ＝3 5．初二1班的数学老师布置了10道选择题作为课后练习，老师把每位同学答对的题数进行了统计，绘制成条形统计图（如右图），那么该班50名同学答对题数的众数和中位数分别为（ ）． A ．8，8 B ．8，9 C ．9，9 D ．9，86．如图，点A 在反比例函数y ＝x4图象上，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，则△AOB 的面积是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．17．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为正方形，需要添加的条件是（ ）． A ．AB ＝CD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD 且AC ⊥BD8．用配方法解方程x 2－6x ＋2＝0时，下列配方正确的是（ ）．A ．（x －3）2＝9B ．（x －3）2＝7C ．（x －9）2＝9D ．（x －9）2＝79．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF ．若AD ＝3，则菱形AECF 的面积为（ ）． A ．23B ．43C ．4D ．8第9题图 第10题图10．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，垂足为M ，过点D 作DE ⊥BC 于点E ，若AC ＝8，BD ＝6，则梯形ABCD 的高DE 等于（ ）．A ．10B ．548C ．524 D ．512 二、细心填一填（本题共16分，每小题2分）11．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若DE ＝2cm ，则BC ＝______cm. 12．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝36°，D 为AB 的中点，则∠DCB ＝______°．第11题图 第12题图 第13题图13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若AC ＝6cm ，BD ＝8cm ，则菱形ABCD 的周长为____cm ． 14．甲、乙两地相距100km ，如果一辆汽车从甲地到乙地所用时间为x （h ），汽车行驶的平均速度为y （km/h ），那么y 与x 之间的函数关系式为_________________（不要求写出自变量的取值范围）．15．甲和乙一起去练习射击，第一轮10枪打完后两人的成绩如下图所示，通常新手的成绩不太稳定，那么根据图中的信息，估计甲和乙两人中的新手是__________，他们成绩的方差大小关系是2甲S ____________2乙S （填“＜”、“＞”或“＝”）．16．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，DE ∥AB 交BC 于点E ，若∠B＝60°，AD ＝2，BC ＝4，则△DEC 的面积等于______．17．正方形网格中，每个小正方形的边长为1．如果把图1中的阴影部分图形剪开，拼接成一个新正方形，那么这个新正方形的边长是___________，请你在图2中画出这个正方形． 18．矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝2，过顶点A 作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，若分成的三角形的面积等于矩形面积的41，则所分成的梯形的上底为______． 图1 图2三、认真算一算（本题共18分，第19题8分，第20题10分）19．计算：（1）)35(2012--+； （2）⋅+-+)57)(57()22(2解： 解：20．解下列方程：（1）3x 2－8x ＋2＝0； （2）x （x ＋2）－3（x ＋2）＝0． 解： 解：四、解答题（本题共12分，每小题6分）21．已知：如图，□ABCD 中，E 、F 点分别在BC 、AD 边上，BE ＝DF ． （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠BCD ＝2∠B ，求∠B 的度数；（3）在（2）的条件下，过点A 作AG ⊥BC 于点G ，若AB ＝2，AD ＝5，求□ABCD 的面积． 证明：（1）（2）（3）22．在平面直角坐标系xOy 中，若一次函数y ＝ax ＋b 的图象与反比例函数y ＝xk的图象相交于A （1，2）、B（－2，m）两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中，画出这个一次函数以及反比例函数在第一象限中的图象（可以不列表），并指出x为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值．解：（1）（2）五、解答题（本题共10分，第23题4分，第24题6分）23．列方程解应用题甲、乙两人加工同一种玩具，甲加工90个玩具所用的时间与乙加工120个玩具所用的时间相同，已知甲、乙两人每天共加工35个玩具，求甲、乙两人每天各加工多少个玩具？解：24．某班准备从小明、小红两位同学中选出一名班长，为此分别进行了一次演讲答辩和民主测评活动，由五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评分，全班50名同学参加了民主测评，结果分别记录如下：根据以上信息，解决下列问题：（1）小红同学在演讲答辩中，评委老师给分的极差是____分； （2）补全三张表格中小红、小明同学的各项得分；（3）a 在什么范围时，小明的综合得分高于小红的综合得分，能当选为班长． 解：（3）六、实验与探究（本题5分）25．将两块含30°角、大小与形状完全相同的直角三角板分别记作：Rt △ABC和Rt △DEF ，设短直角边AB ＝CD ＝,3把它们按照图1所示方式摆放在一起．固定△ABC ，将△DEF 沿射线CB 方向平移到△D 1E 1F 1的位置（如图2）． （1）求证：四边形AF 1D 1C 是平行四边形； 证明：（2）实验与探究（备用图供画图实验时使用）①当CE 1的长为________时，四边形AF 1D 1C 为矩形，当CE 1长为________时，四边形AF 1D 1C 为菱形；备用图 备用图图1图2②在运动过程中，若△DEF 沿射线CB 方向平行移动的距离为x ，设四边形AF 1D 1C 的面积为S ，直接写出S 与x 之间的函数关系式（不必写出x 的取值范围）． 答：七、解答题（本题共9分，第26题5分，第27题4分）26．如图，直线y ＝kx ＋2k （k ≠0）与x 轴交于点A ，与反比例函数y ＝（m ＋3）12 m x 在第一象限内的图象交于点B ，已知S △AOB ＝3．（1）求反比例函数的解析式及A 、B 点的坐标；（2）若点D 在直线AB 上，点P 在坐标平面内，以OA 为一边作菱形OADP ，写出符合条件的点P 的坐标，并画出相应的菱形． 解：（1）（2）备用图27．如图，正方形ABCD中，AB＝43，E是AB边上任意一点，连结EC，过点B作BF∥EC交DC延长线于点F，连结EF交BC于点M，过点M作MG⊥EF，交射线CD于点G，连结EG．（1）求证：EF与BC互相平分；（2）若设BE＝x，CG＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．证明：（1）（2）北京市西城区2008—2009学年第二学期期末测试八年级数学试题答案及评分参考（A 卷）2009．6一、精心选一选（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CABDBCDBAC二、细心填一填（本题共1 6分，每小题2分） 11．4 12．36 13．20 14．y ＝x100（若写成xy ＝100不得分） 15．乙，＜（每空1分） 16．317．5，见图1（每空1分） 18．1或3（每个答案1分） 三、认真算一算（本题共18分，第19题8分，第20题10分） 19．（1）解：12＋20－（5－3）＝23＋25－5＋3 ………………………………… 3分 ＝33＋5． ……………………………………………………4分 （2）解：)57)(57()22(2+-+＝2222+ ………………………………………………………… 3分 ＝1＋2． …………………………………………………………4分20．（1）解：a ＝3，b ＝－8，c ＝2．b 2－4ac ＝（－8）2－4×3×2＝40＞0．…………………………… 1分x ＝a ac b b 242-±-＝3240)8(⨯±--， ………………………… 3分x 1＝3104+，x 2＝3104-. …………………………… 5分图1（2）解：因式分解，得（x －3）（x ＋2）＝0．……………………………… 1分（x －3）＝0或（x ＋2）＝0， ………………………………… 3分 x 1＝3，x 2＝－2．……………………………………………………… 5分四、解答题（本题共12分，每小题6分） 21．证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D ． (1)分在△ABE 和△CDF 中，，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CD AB D B DF BE ………………………………………………………………… 2分 ∴△ABE ≌△CDF ． ……………………………………………… 3分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC∴∠BCD ＋∠B ＝180° ………………………………………… 4分 ∵∠BCD ＝2∠B ，∴∠B ＝60°．……………………………………………………… 5分 （3）∵AG ⊥BC ，∴∠AGB ＝90°．在Rt △AGB 中，∠B ＝60°，AB ＝2，∴AG ＝3． 而BC ＝AD ＝5，∴S □ABCD ＝BC ·AG ＝53．……………………………………… 6分22．解：（1）由题意可知，点A （1，2）在反比例函数y ＝xk的图象上， ∴k ＝2．∴反比例函数解析式为 y ＝x2．……………………………………… 2分 ∵点B （－2，m ）在反比例函数y ＝x2的图象上，∴m ＝22-＝－1．∴点B 的坐标为（－2，－1）．……………………………………… 3分 ∵一次函数图象过A （1，2）、B （－2，－1）两点，∴一次函数的解析式为y ＝x ＋1．…………………………………… 4分 （2）图象见图3．…………………………………………………………… 5分x ＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值． ………………… 6分图2图3五、解答题（本题共10分，第24题4分，第25题6分）23．解：设甲每天加工x 个玩具，那么乙每天加工（35－x ）个玩具．…………… 1分由题意得x 90＝x35120.……………………………………………………… 2分 解得 x ＝15．………………………………………………………………… 3分经检验：x ＝15是原方程的根． 35－x ＝20．答：甲每天加工15个玩具，乙每天加工20个玩具．…………………… 4分24．解：（1）7．……………………………………………………………………… 1分（2）演讲答辩得分表（单位：分）民主测评统计表综合得分表………………………………………………………5分阅卷说明：每空1分．（3）当89－a ＞92－5a 时，小明的综合评分高于小红的综合平分，解得a ＞0.75，∴当0.75＜a ≤0.8时，小明当选班长．……6分六、实验与探究（本题5分） 25．解：（1）如图4．∵∠1＝∠2＝30°∴AC ∥F 1D 1． ………1分又AC ＝F 1D 1，∴四边形AF 1D 1C 是平行四边形． (2)分（2）①1，（如图5）， ……………… 3分3，（如图6）． ……………… 4分图5 图6②S ＝3x ＋33．…………………………………………………… 5分七、解答题（本题共9分，第26题5分，第27题4分）26．解：（1）由题意得2m －1＝－1，解得m ＝0．当m ＝0时，（m ＋3）＝3≠0，∴反比例函数解析式为y ＝x 3. …………1分 在y ＝kx ＋2k 中，令y ＝0，得方程kx ＋2k ＝0．∵k ≠0，解得x ＝－2．∴点A 的坐标为（0，－2）． ………………………………… 2分 ∴AO ＝2．设点B 的坐标为（x B ，y B ）（其中x B ＞0，y B ＞0），∴S △AOB ＝21AO ·y B ＝3． ∴y B ＝3． ∵点B 在y ＝x 3的图象上， ∴x B ＝1．∴点B 的坐标为（1，3）． …………………………………… 3分（2）点P 的坐标为P 1（2，2）或P 2（2，－2）（见图7）．……………………………… 5分27．证明：（1）∵正方形ABCD 中，∴AB ∥DC ，即EB ∥CF ．又BF ∥EC ，图4图7∴四边形EBFC 是平行四边形． ……………………… 1分 ∴EF 、BC 互相平分． ……………………………… 2分（2）由（1）可得：BE ＝FC ，BM ＝MC ＝23，M 是EF 的中点，又MG ⊥EF ，∴GE ＝GF ＝BE ＋CG ＝x ＋y .在Rt △EBM 中，EM 2＝EB 2＋BM 2，∴EM 2＝x 2＋12．在Rt △GCM 中，MG 2＝MC 2＋CG 2，∴MG 2＝12＋y 2．在Rt △GME 中，GE 2＝EM 2＋MG 2．∴（x ＋y ）2＝x 2＋12＋＋12＋y 2，整理得 y ＝x12． ∴y 与x 之间的函数关系式为 y ＝x 12．…………………………… 3分 自变量x 的取值范围是 0＜x ≤43．…………………………… 4分说明：学生的其它正确解法参照评分参考相应给分．图8。
2018-2019学年北京市西城区八年级(下)期末数学试卷解析版
2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠12．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3 4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．27．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：28．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围，13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝021．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是A．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线PA⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910 A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9 B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0 C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差A树树叶的长宽6.2 6.07.9 2.5比B树树叶的长宽2.20.38比C树树叶的长宽1.1 1.1 1.00.02比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．（1）如图1，若点E，F分别在BC，CD边上．求证：①∠BAE＝∠DAF；②DN⊥AE；（2）如图2，若点E在四边形ABCD内，点F在直线BC的上方，求∠EAC与∠ADN 的和的度数．四、填空题（本题共6分，第1题2分，第2题4分）27．（2分）甲、乙两人面试和笔试的成绩如表所示：候选人甲乙测试成绩（百分制）面试成绩8692笔试成绩9083某公司认为，招聘公关人员，面试成绩应该比笔试成绩重要，如果面试和笔试的权重分别是6和4，根据两人的平均成绩，这个公司将录取．28．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象交于点A（﹣2，1），B（1，﹣2）．结合图象，直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集．五、解答题（本题共14分，每小题7分）29．（7分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.51 1.52 2.53 3.54y1/cm 1.120.50.71 1.12 1.58 2.06 2.55 3.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm30．（7分）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W 是“中心轴对称”．对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N （点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A（1，0），点C（2，1），①下列四个点P1（0，1），P2（2，2），P3（﹣，0），P4（﹣，﹣）中，与点A是“中心轴对称”的是；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABCD是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E 的取值范围；（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G（﹣2，2），H（2，2），J（2，﹣2），K（﹣2，﹣2），一次函数y＝x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．2018-2019学年北京市西城区八年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1．（3分）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≥1B．x≤1C．x＜1D．x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围．【解答】解：由题意可知：x﹣1≥0，解得x≥1．故选：A．【点评】本题考查二次根式有意义的条件：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．本题属于基础题型．2．（3分）如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝140°，则∠B的度数为（）A．140°B．120°C．110°D．100°【分析】由平行四边形的性质可得∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，即可求∠B的度数．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，且∠A+∠C＝140°∴∠A＝70°∴∠B＝110°故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是本题的关键．3．（3分）把一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0配方后，下列变形正确的是（）A．（x﹣2）2＝5B．（x﹣2）2＝3C．（x﹣4）2＝5D．（x﹣4）2＝3【分析】移项，配方，变形后即可得出答案．【解答】解：x2﹣4x﹣1＝0，x2﹣4x＝1，x2﹣4x+4＝1+4，（x﹣2）2＝5，故选：A．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．4．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝120°，BD＝6．则AB的长为（）A．B．3C．2D．【分析】根据矩形的对角线的性质可得△AOB为等边三角形，由等边三角形的性质即可求出AB的值．【解答】解：∵ABCD是矩形，∴OA＝OB，∵∠AOD＝120°，∴∠AOB＝60°，∴△AOB为等边三角形，∵BD＝6，∴AB＝OB＝3，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．5．（3分）关于反比例函数y＝的图象，下列说法中，正确的是（）A．图象的两个分支分别位于第二、第四象限B．图象的两个分支关于y轴对称C．图象经过点（1，1）D．当x＞0时，y随x增大而减小【分析】反比例函数y＝的图象，是位于第一、三象限的双曲线，在每个象限内y随x 的增大而减小，双曲线关于直线y＝x，或y＝﹣x成轴对称，关于原点（0，0）成中心对称，图象上点的坐标满足xy＝2，即纵横坐标的积为2．【解答】解：∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，故A不正确，反比例函数的图象关于直线y＝x或y＝﹣x成轴对称，不关于y轴对称，因此B是不正确的，∵1×1≠2，∴图象不过（1，1）点，因此C是不正确的，∵k＝2＞0，∴图象位于一三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小因此D是正确的，故选：D．【点评】考查反比例函数的图象和性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，掌握受不了函数的图象和性质是解决问题的关键．6．（3分）若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为（）A．±2B．±C．﹣2D．2【分析】根据一元二次方程的解定义把x＝0代入一元二次方程得a2﹣4＝0，解得a＝±2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值．【解答】解：把x＝0代入方程，得a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，而a﹣2≠0，所以a的值为﹣2．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．7．（3分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A+∠B＝∠CC．a＝1，b＝3，c＝D．a：b：c＝1：2：2【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的性质即可求出答案．【解答】解：（D）设a＝1，b＝2，c＝2，∵b＝c＞a，∴△ABC不是直角三角形，故D不能判断，故选：D．【点评】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用三角形的性质，本题属于基础题型．8．（3分）12名同学分成甲、乙两队参加播体操比赛，已知每个参赛队有6名队员，他们的身高（单位：cm）如表所示：队员1队员2队员3队员4队员5队员6甲队176175174172175178乙队170176173174180177设这两队队员平均数依次为甲，乙，身高的方差依次为S2甲，S2乙，则下列关系中，完全正确的是（）A．甲＞乙，S2甲＞S2乙B．甲＜乙，S2甲＜S2乙C．甲＝乙，S2甲＞S2乙D．甲＝乙，S2甲＜S2乙【分析】根据平均数的计算公式先分别算出甲和乙的平均数，再根据方差公式算出甲和乙的方差，然后进行比较即可．【解答】解：∵＝（176+175+174+172+175+178）÷6＝175（cm），＝（170+176+173+174+180+177）÷6＝175（cm），∴＝，∵S2甲＝[（176﹣175）2+2×（175﹣175）2+（174﹣175）2+（172﹣175）2+（178﹣175）2]＝，S2乙＝[（170﹣175）2+（176﹣175）2+（173﹣175）2+（174﹣175）2+（180﹣175）2+（177﹣175）2]＝10，∴S2甲＜S2乙．故选：D．【点评】本题考查方差和平均数，一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．9．（3分）小红同学经常要测量学校旗杆的高度，她发现旗杆的绳子刚好垂到地面上，当她把绳子下端拉开5m后，发现这时绳子的下端正好距地面1m，学校旗杆的高度是（）A．21m B．13m C．10m D．8m【分析】根据题意设旗杆的高AB为x米，则绳子AC的长为x米，在Rt△ACH利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，已知AB＝AC，CD⊥BD，CH⊥AB，CD＝1米，CH＝5米，设AB ＝AC＝x米．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴x2＝52+（x﹣1）2，∴x＝13，∴AB＝13（米），故选：B．【点评】此题考查了勾股定理在实际问题中的应用，能够正确理解题意继而构造直角三角形是解决本题的关键，难度一般．10．（3分）将一个边长为4cm的正方形与一个长，宽分別为8cm，2cm的矩形重叠放在一起，在下列四个图形中，重叠部分的面积最大的是（）A．B．C．D．【分析】分别计算出各个图形的重叠部分面积即可求解．＝2×4＝8（cm2）；【解答】解：A、S阴影B、设重叠的平行四边形的较短边为x，则较长边为由正方形的面积＝重叠部分的面积+2个小直角三角形面积，可得16＝2×+4（4﹣x）可求x＝，＝2×2×＝∴S重叠部分C、图C与图B对比，因为图C的倾斜度比图D的倾斜度小，所以，图C的底比图B的底小，两图为等高不等底，所以图C阴影部分的面积小于图B阴影部分的面积；D、S＝＝8﹣4重叠部分故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的性质、三角形面积的计算，找出图A、图B、图C阴影部分四边形等高不等底的特征，倾斜度越大的面积越大，是解答本题的关键．二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分；第15～18题．每小题3分）11．（3分）计算：（）2＝3．【分析】原式利用平方根的性质判断即可．【解答】解：原式＝3，故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根性质是解本题的关键．12．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围m＜，【分析】根据根的判别式即可求出m的范围；【解答】解：由题意可知：4﹣8m＞0，∴m＜；故答案为：m＜【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为52°．【分析】根据直角三角形的性质得到DC＝AD，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算，得到答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝AB＝AD，∴∠DAC＝∠A＝26°，∴∠BDC＝∠DAC+∠A＝52°，故答案为：52°．【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．（3分）如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的周长为4．【分析】首先根据菱形的性质可知菱形的对角线垂直平分，然后在Rt△AOD中利用勾股定理求出AD的长，再由菱形的四边形相等，可得菱形ABCD的周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，DO＝BD＝2，在Rt△AOD中，AD＝＝＝，∴菱形ABCD的周长为4．故答案为：4．【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分以及勾股定理等知识．15．（2分）已知反比例函数y＝，当1＜x＜2时，y的取值范围是5＜y＜10．【分析】利用反比例函数的性质，由x的取值范围并结合反比例函数的图象解答即可．【解答】解：∵k＝10＞0，∴在每个象限内y随x的增大而减小，又∵当x＝1时，y＝10，当x＝2时，y＝5，∴当1＜x＜2时，5＜y＜10．故答案为：5＜y＜10．【点评】本题主要考查反比例函数的性质，当k＞0时，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限，y随x的增大而增大．16．（2分）如图，正方形ABCD是由四个全等的直角三角形围成的，若AE＝5，BE＝12，则EF的长为7．【分析】由全等三角形的性质可得AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE，可得EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，可证四边形EGFH是正方形，即可求EF的长．【解答】解：∵正方形ABCD是由四个全等的三角形围成的，∴AE＝BG＝CF＝DH＝5，AH＝BE＝CG＝DF＝12，∠DAB＝90°，∠DAH＝∠ABE ∴EG＝GF＝FH＝HF＝7，∠ABE+∠BAE＝90°，∴四边形EGFH是菱形，且∠AEB＝90°∴四边形EGFH是正方形∴EF＝EG＝7故答案为：7【点评】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，证明四边形EGFH是正方形是本题的关键．17．（2分）如图，在矩形ABCD，BE平分∠ABC，交AD于点E，F是BE的中点，G是BC的中点，连按EC，若AB＝8，BC＝14，则FG的长为5．【分析】由矩形的性质得出AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，由角平分线的性质得出∠ABE＝∠ABC＝45°，则△ABE是等腰直角三角形，得出AB＝AE，求出DE＝6，由勾股定理求出CE＝10，易证FG是△BCE的中位线，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，BC＝AD＝14，∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∴DE＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝14﹣8＝6，∴CE＝＝＝10，∵F是BE的中点，G是BC的中点，∴FG是△BCE的中位线，∴FG＝CE＝×10＝5，故答案为：5．【点评】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明△ABE是等腰直角三角形是解题的关键．18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A是双曲线y＝在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长与这个双曲线的另一分支交于点B，以AB为底边作等腰直角三角形ABC，使得点C位于第四象限．（1）点C与原点O的最短距离是；（2）设点C的坐标为（x，y）（x＞0），点A在运动的过程中，y随x的变化而变化，y 关于x的函数关系式为y＝﹣（x＞0）．【分析】（1）当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，即可求解；（2）证明△CGA≌△BCH（AAS），AG＝CH，即x﹣a＝y+b，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a，即可求解．【解答】解：（1）由反比例函数的对称性可得OA＝OB，△ABC是以AB为底边的等腰直角三角形，∴CO＝AB＝OA＝OB，当AB落在直线y＝x上时，AB的长度最短，此时A（1，1），B（﹣1，﹣1），C（1，﹣1）OA＝OB＝OC＝＝，故答案为：；（2）如图，过点A作x轴的平行线，交过点C与y轴的平行线于点G，过点B作x轴的平行线交GC的延长线于点H，设点A、B的坐标分别为（a，b）、（﹣a，﹣b），ab＝1，∵∠GAC+∠GCA＝90°，∠GCA+∠BCH＝90°，∴∠CBH＝∠GAC，又AC＝BC，∠CGA＝∠BHC＝90°，∴△CGA≌△BCH（AAS），∴AG＝CH，即x﹣a＝y+b…①，GC＝BH，即：b﹣y＝x+a…②，联立①②并解得：x＝b，y＝﹣a，即：xy＝﹣ab＝﹣1，故答案为：y＝﹣（x＞0）．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是正确作出辅助线，构造全等三角形．三、解答题（本题共50分，第19题3分，第20题8分，第21题6分，第22题5分，第23题7分，第24题6分，箱25题7分，第26题8分）19．（3分）计算﹣÷【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝2﹣＝．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．20．（8分）解下列方程（1）（x﹣3）2＝25（2）x2﹣3x﹣1＝0【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）解：（x﹣3）2＝25，开方得：x﹣3＝±5，解得：x1＝8，x2＝﹣2；（2）x2﹣3x﹣1＝0，b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13，x＝，x1＝，x2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．21．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围．【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据公式法即可求出答案两根，然后根据题意列出不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由于△＝m2﹣4（m﹣1）＝（m﹣2）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）由于（x+1）（x+m﹣1）＝0，∴x＝﹣1或x＝﹣m+1，∵此方程有一个根是负数，∴﹣m+1≥0，∴m的取值范围是m≤1．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．22．（5分）如图，在平直角坐标系xOy中，直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a）．（1）求点P的坐标及反比例函数的解析式；（2）点Q（n，0）是x轴上的一个动点，若PQ≤5，直接写出n的取值范围．【分析】（1）依据直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），即可得到点P的坐标为（1，3），进而得出反比例函数的解析式为y＝．（2）依据点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，即可得到n的取值范围为﹣3≤n≤5．【解答】解：（1）∵直线y＝x+2与反比例函数y＝的图象交于点P（1，a），∴a＝1+2＝3．∴点P的坐标为（1，3），∴k＝1×3＝3，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）∵点P的坐标为（1，3），Q（n，0）是x轴上的一个动点，PQ≤5，由勾股定理得＝4，∴1﹣4＝﹣3，1+4＝5，∴n的取值范围为﹣3≤n≤5．【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．23．（7分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是AD上任意一点，连接EO并延长，交BC于点F，连接AF，CE．（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；（2）若∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，AC＝4．①直接写出▱ABCD的边BC上的高h的值；②当点E从点D向点A运动的过程中，下面关于四边形AFCE的形状的变化的说法中，正确的是DA．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形B．平行四边形→矩形→平行四边形→正方形→平行四边形C．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形→平行四边形D．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形【分析】（1）由“AAS”可证△AOE≌△COF，可得OF＝OE，且AO＝CO，即可得结论；（2）①由锐角三角函数可求h的值，②当∠AOE＝90°时，是菱形，当∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形，即可得出结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AO＝CO∴∠AEF＝∠CFE，∠EAC＝∠FCA，且AO＝CO∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE，且AO＝CO∴四边形AFCE是平行四边形；（2）①∵∠DAC＝60°∴sin∠DAC＝∴h＝×AC＝2②∵∠DAC＝60°，∠ADB＝15°，根据三角形得内角和定理得，∠AOD＝105°，∴点E从D点向A点移动过程中，当∠AOE＝90°时，EF⊥AC，∵OA＝OC，∴AE＝CE，∴平行四边形AECF是菱形；当∠BCE＝90°时，平行四边形AECF是矩形，∴OE＝OC，∠ACE＝30°，∴∠OEC＝30°，∴∠AOE＝2∠ACE＝60°，即：∠AOE＝60°时，平行四边形AECF是矩形；综上述，当点E从D点向A点移动过程中（点E与点D，A不重合），则四边形AFCE 的变化是：平行四边形→菱形→平行四边形→矩形→平行四边形．故选：D【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形的判定的应用，主要考查学生的理解能力和推理能力，题目比较好，难度适中．24．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，过P作直线PA⊥x轴于点A，交直线y＝x于点M，过M作直线MB⊥y轴于点B．交函数y＝（x ＞0）的图象于点Q．（1）若点P的横坐标为1，写出点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）若点P的横坐标为t，①求点Q的坐标（用含t的式子表示）；②直接写出线段PQ的长（用含t的式子表示）．【分析】（1）依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点P的纵坐标，以及点M的坐标；（2）①依据反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象上点的坐标特征，即可得到点Q的坐标；②依据点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t），即可得到PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，进而得到线段PQ的长．【解答】解：（1）∵点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴当点P的横坐标为1时，y＝4，∴点P的纵坐标为4，∵PA交直线y＝x于点M，∴当点P的横坐标为1时，y＝1，∴点M的坐标为（1，1）．（2）①∵点P的横坐标为t，点P在函数y＝（x＞0）的图象上，∴点P的坐标为（t，）．∵直线PA⊥x轴，交直线y＝x于点M，∴点M的坐标为（t，t）．∵直线MB⊥y轴，交函数y＝（x＞0）的图象于点Q，∴点Q的坐标为（，t）；②点P的坐标为（t，），点Q的坐标为（，t）．∴PM＝QM＝|t﹣|，且△PQM是等腰直角三角形，∴线段PQ的长为|t﹣|．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．25．（7分）树叶有关的问题：如图1，一片树叶的长是指沿叶脉方向量出的最长部分的长度（不含叶柄），树叶的宽是指沿与主叶脉垂直方向量出的最宽处的长度，树叶的长宽比是指树叶的长与树叶的宽的比值．某同学在校园内随机收集了A树、B树、C树三棵的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y（单位：cm），宽x（单位：cm）的数据，计算长宽比，整理如表：表1A树、B树、C树树叶的长宽比统计表12345678910A树树叶的长宽比 4.0 4.9 5.2 4.1 5.78.57.9 6.37.77.9B树树叶的长宽比 2.5 2.4 2.2 2.3 2.0 1.9 2.3 2.0 1.9 2.0C树树叶的长宽比 1.1 1.2 1.20.9 1.0 1.0 1.10.9 1.0 1.3表2A树、B树、C树树叶的长宽比的平均数、中位数、众数、方差统计表平均数中位数众数方差A树树叶的长宽6.2 6.07.9 2.5比B树树叶的长宽2.20.38比C树树叶的长宽1.1 1.1 1.00.02比解决下列问题：（1）将表2补充完整；（2）①小张同学说：“根据以上信息，我能判断C树树叶的长、宽近似相等．”②小李同学说：“从树叶的长宽比的平均数来看，我认为，如图3的树叶是B树的树叶．”请你判断上面两位同学的说法中，谁的说法是合理的，谁的说法是不合理的，并给出你的理由；（3）现有一片长103cm，宽52cm的树叶，请将该树叶的数用“★”表示在图2中，判断这片树叶更可能来自于A、B、C中的哪棵树？并给出你的理由．【分析】（1）求出B树的叶子长宽比的中位数、众数填入统计表中即可，（2）根据三种树叶的长宽比的平均数，判断其说法的准确性，（3）计算该树叶的长宽比，根据长度为103，长宽比为2.0确定位置，在图中标注即可．【解答】解（1）将B树叶的长宽的比从小到大排序处在第5、6位的两个数平均数为（2.0+2.2）÷2＝2.1，因此中位数是2.1，出现次数最多的数是2.0，因此众数是2.0，补全的统计表如下：（2）小张同学的说法是合理的，C树叶的长宽比1：1左右；小李同学的说法是不合理的，该树叶来自A树，理由：观察该树叶其长是宽的6倍左右，应该是来自A树叶．（3）图2中，★表示这片树叶的数据，这片树叶来自B树；理由：这片树叶的长为103，宽为52，长宽的比大约为2.0，根据平均数可得它来自B数．【点评】考查统计表的制作方法，理解统计表中各个数据的意义，看懂统计图表，正确的计算是解决问题的前提．26．（8分）四边形ABCD是正方形，AC是对角线，E是平面内一点，且CE＜BC，过点C 作FC⊥CE，且CF＝CE．连接AE、AF，M是AF的中点，作射线DM交AE于点N．。
北京市西城区2017-2018学年八年级下期末考试数学试卷含答案解析
北京市西城区2017-2018学年第二学期期末考试八年级数学试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟 一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1有意义的x 的取值范围是（ ）． A ．B ．C ．D ． 3x <3x ≥0x ≥3x ≠【专题】常规题型．【分析】直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．【解答】故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）．A B C D【专题】常规题型．【分析】根据中心对称图形的定义和图案特点即可解答．【解答】解：A 、不是中心对称图形，故选项错误；B 、不是中心对称图形，故本选项错误；C 、是中心对称图形，故选项正确；D 、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：C ．【点评】本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．3．下列条件中，不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）． A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．两组对角分别相等D ．一组对边平行且另一组对边相等【专题】多边形与平行四边形．【分析】根据平行四边形的判定方法一一判断即可．【解答】解：A 、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C 、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；D 、一组对边平行且另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，可能是等腰梯形，故本选项符合题意；故选：D ．【点评】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是记住平行四边形的判定方法．4．若点A （，m ），B （，n ）都在反比例函数的图象上，则m 与n 的大小关48y x=-f(-8)系是（ ）． A ． B ． C ． D ．无法确定m n <m n >m n=【专题】函数思想．【分析】把所给点的横纵坐标代入反比例函数的解析式，求出mn 的值，比较大小即可．【解答】∴m ＜n ．故选：A ．【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积等于比例系数．5．如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点．若EF =3，则菱形ABCD 的周长为（ ）． A ．12B ．16C ．20D ．24【专题】几何图形．【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD ，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解．【解答】解：∵E 、F 分别是AC 、DC 的中点，∴EF 是△ADC 的中位线，∴AD=2EF=2×3=6，∴菱形ABCD 的周长=4AD=4×6=24．故选：D ．【点评】本题主要考查了菱形的四条边都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键．6．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（ ）． A ． B ． 3.58(1) 5.27x += 3.58(12) 5.27x +=C ．D ．23.58(1) 5.27x +=23.58(1) 5.27x -=【专题】常规题型．【分析】如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，那么2016年手机支付用户约为 3.58（1+x ）亿人，2017年手机支付用户约为 3.58（1+x ）2亿人，而2017年手机支付用户达到约 5.27亿人，根据2017年手机支付用户的人数不变，列出方程．【解答】解：设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，依题意，得3.58（1+x ）2=5.27．故选：C ．【点评】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数=增长后的量．7．甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成绩的说法中正确的是（ ）． A ．甲的成绩相对稳定，其方差小B ．乙的成绩相对稳定，其方差小C ．甲的成绩相对稳定，其方差大D ．乙的成绩相对稳定，其方差大【专题】常规题型．【分析】结合图形，乙的成绩波动比较小，则波动大的方差就小．【解答】解：从图看出：乙选手的成绩波动较小，说明它的成绩较稳定，甲的波动较大，则其方差大，故选：B ．【点评】此题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．8．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且关于x 的一元二次方程有两 22220x ax c b -+-=个相等的实数根，则可推断△ABC 一定是（ ）． A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形【专题】计算题．【分析】根据判别式的意义得到△=（-2a）2-4（c2-b2）=0，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形为直角三角形．【解答】解：根据题意得△=（-2a）2-4（c2-b2）=0，所以a2+b2=c2，所以△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查勾股定理的逆定理．9．如图，在△OAB中，∠AOB=55°，将△OAB在平面内绕点O旋转到△OA′B′的位置，使得BB′∥AOA．125°B．70°C．55° D．15°【专题】平移、旋转与对称．【分析】据两直线平行，内错角相等可得∠AOB=∠B'BO=55°，根据旋转的性质可得OB=OB′，然后利用等腰三角形两底角相等可得∠BOB′，即可得到旋转角的度数．【解答】解：∵BB′∥AO，∴∠AOB=∠B'BO=55°，又∵OB=OB′，∴△BOB'中，∠BOB'=180°-2×55°=70°，∴旋转角的度数为70°，故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．已知某四边形的两条对角线相交于点O．动点P从点A出发，沿四边形的边按A→B→C的路径匀速运动到点C．设点P运动的时间为x，线段OP的长为y，表示y与x的函数关系的图象大致如右图所示，则该四边形可能是（）．A B C【专题】函数及其图像．【分析】通过点P经过四边形各个顶点，观察图象的对称趋势问题可解．【解答】解：C、D选项A→B→C路线都关于对角线BD对称，因而函数图象应具有对称性，故C、D错误，对于选项B点P从A到B过程中OP的长也存在对称性，则图象前半段也应该具有对称特征，故B错误．故选：A．【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化二、填空题（本题共24分，每小题3分）-=11．计算：_________．【专题】计算题．【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后化简后合并即可．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．12．若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是°．【分析】首先设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，由平行四边形的邻角互补，即可得方程x+2x=180，继而求得答案．【解答】解：设平行四边形中两个内角的度数分别是x°，2x°，则x+2x=180，解得：x=60，∴其中较小的内角是：60°．故答案为：60°．【专题】常规题型．【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出木杆顶端落在地面的位置离木杆底端的距离．【解答】解：∵一棵垂直于地面的木杆在离地面3米处折断，木杆折断前的高度为8m ，故答案为：4．【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．14．将一元二次方程通过配方转化成的形式（，为常数），28130x x ++=2()x n p +=n p 则=_________，=_________．n p 【专题】计算题；一元二次方程及应用．【分析】依据配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方求解可得．【解答】解：∵x 2+8x+13=0，∴x 2+8x=-13，则x 2+8x+16=-13+16，即（x+4）2=3，∴n=4、p=3，故答案为：4、3．【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOD =120°， AB =2，则BC 的长为 ．【分析】由条件可求得△AOB 为等边三角形，则可求得AC 的长，在Rt △ABC 中，由勾股定理可求得BC 的长．【解答】解：∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AO=OC=OB ，∴△AOB 为等边三角形，∴AO=OB=OC=AB=2，∴AC=4，【点评】本题主要考查矩形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．16．已知一个反比例函数的图象与正比例函数的图象2y x 有交点，请写出一个满足上述条件的反比例函数的表达式： ． 【专题】常规题型．【分析】写一个经过一、三象限的反比例函数即可．【解答】【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．17．某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如下表所示：汽车型号安全性能省油效能外观吸引力内部配备A 3123B3222（得分说明：3分——极佳，2分——良好，1分——尚可接受）（1）技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为30%，30%，20%，20%，并由此计算得到A 型汽车的综合得分为2.2，B 型汽车的综合得分为 ；（2）请你写出一种各项的占比方式，使得A 型汽车的综合得分高于B 型汽车的综合得分．（说明：每一项的占比大于0，各项占比的和为100%）答：安全性能：______，省油效能：______，外观吸引力：______，内部配备：______．【专题】常规题型．【分析】（1）根据加权平均数的计算公式列式计算即可；（2）要使得A 型汽车的综合得分高于B 型汽车的综合得分，根据这两款汽车的各项得分，将A 型汽车高于B 型汽车得分的项（内部配备）占比较高，同时将A 型汽车低于B 型汽车得分的项（省油效能）占比较低即可．【解答】解：B 型汽车的综合得分为：3×30%+2×30%+2×20%+2×20%=2.3．故答案为 2.3；（2）∵A 型汽车的综合得分高于B 型汽车的综合得分，∴各项的占比方式可以是：安全性能：30%，省油效能：10%，外观吸引力：10%，内部配备50%．故答案为30%，10%，10%，50%．【点评】本题考查的是加权平均数的求法，掌握公式是解题的关键．18．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图：第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意取一点F ，在线段BC 上任意取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分；第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形；（2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．【专题】综合题．【分析】（1）利用旋转的旋转即可作出图形；（2）先求出△ABC 的边长边上的高为12，进而求出DE 与BC 间的距离为6，再判断出FH 最小时，拼成的四边形的周长最小，即可得出结论．【解答】解：（1）∵DE 是△ABC的中位线，∴四边形BDFH 绕点D 顺时针旋转，点B 和点A 重合，四边形CEFH 绕点E 逆时针旋转，点C 和点A 重合，∴补全图形如图1所示，图1图2（2）∵△ABC 的面积是48，BC=8，∴点A 到BC 的距离为12，∵DE 是△ABC 的中位线，∴平行线DE 与BC 间的距离为6，由旋转知，∠DAH''=∠B ，∠CAH'=∠C ，∴∠DAH''+∠BAC+∠CAH'=180°，∴点H''，A ，H'在同一条直线上，由旋转知，∠AEF'=∠CEF ，∴∠AEF'+∠CEF'=∠CEF+∠CEF'=180°，∴点F ，E ，F'在同一条直线上，同理：点F ，D ，F''在同一条直线上，即：点F'，F''在直线DE 上，由旋转知，AH''=BH ，AH'=CH ，DF''=DF ，EF'=EF ，F''H''=FH=F'H'，∴F'F''=2DE=BC=H'H''，∴四边形F'H'H''F''是平行四边形，∴▱F'H'H''F''的周长为2F'F''+2F'H'=4DE+2FH=2BC+2FH=16+2FH ，∵拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小时，FH 最小，即：FH ⊥BC ，∴FH=6，∴周长的最小值为16+2×6=28，故答案为28．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了旋转的旋转和作图，判断三点共线的方法，平行四边形的判断和性质，判断出四边形F'H'H''F''是平行四边形是解本题的关键．三、解答题（本题共46分，第19题8分，第24、25题每小题7分，其余每小题6分）19．解方程：（1）； （2）．2450x x --=22210x x --=解： 解：【专题】常规题型．【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先求出b 2-4ac 的值，再代入公式求出即可．【解答】解：（1）x 2-4x-5=0，分解因式得：（x-5）（x+1）=0，x-5=0，x+1=0，x1=5，x2=-1；（2）2x2-2x-1=0，a=2，b=-2，c=-1，△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（-1）=12＞0，【点评】本题考查了解一元二次方程，能选项适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．20．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC=4，BE=1，直接写出菱形AECF的边长．（1）证明：（2）菱形AECF的边长为____________．【专题】几何图形．【分析】（1）根据正方形的性质和菱形的判定解答即可；（2）根据正方形和菱形的性质以及勾股定理解答即可．【解答】（1）证明：∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD．∵BE=DF，∴OB+BE=OD+DF，即OE=OF．∴四边形AECF是平行四边形．∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．（2）∵AC=4，∴OA=2，∴OB=2，∴OE=OB+BE=3，【点评】此题考查了菱形的性质和判定，解题时要注意选择适宜的判定方法．21． 已知关于的一元二次方程．2(1)220x k x k -++-=（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求的取值范围．k （1）证明：（2）解：【专题】一次方程（组）及应用．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求得判别式△≥0恒成立，因此得证，（2）利用求根公式求根，根据有一个跟大于0且小于1，列出关于k 的不等式组，解之即可．【解答】（1）证明：△=b 2-4ac=[-（k+1）]2-4×（2k-2）=k 2-6k+9=（k-3）2，∵（k-3）2≥0，即△≥0，∴此方程总有两个实数根，解得 x 1=k-1，x 2=2，∵此方程有一个根大于0且小于1，而x 2＞1，∴0＜x 1＜1，即0＜k-1＜1．∴1＜k ＜2，即k 的取值范围为：1＜k ＜2．【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程总有两个实数根”，（2）正确找出不等量关系列不等式组22．小梅在浏览某电影评价网站时，搜索了最近关注到的甲、乙、丙三部电影，网站通过对观众的抽样调查，得到这三部电影的评分数据统计图分别如下：（1）小梅根据所学的统计知识，对以上统计图中的数据进行了分析，并通过计算得到这三部电影抽样调查的样本容量，观众评分的平均数、众数、中位数，请你将下表补充完整：甲、乙、丙三部电影评分情况统计表（2）根据统计图和统计表中的数据，可以推断其中_______电影相对比较受欢迎，理由是．（至少从两个不同的角度说明你推断的合理性）【点评】此题考查了条形统计图，表格，中位数，众数，弄清题意是解本题的关键．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt△ABC 的直角边AB 在x 轴上，∠ABC =90°．点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（3，4），M 是BC 边的中点，函数（）的图象ky x=0x >经过点M ． （1）求k 的值；（2）将△ABC 绕某个点旋转180°后得到△DEF （点A ，B ，C 的对应点分别为点D ，E ，F ），且EF 在y 轴上，点D 在函数（）的图象上，求直线DF 的表达式．ky x=0x >解：（1）（2）【专题】函数思想．【分析】（1）根据直角三角形的性质和坐标与图形的特点求得点M 的坐标，将其代入反比例函数解析式求得k 的值；（2）根据旋转的性质推知：△DEF ≌△ABC ．故其对应边、角相等：DE=AB ，EF=BC ，∠DEF=∠ABC=90°．由函数图象上点的坐标特征得到：D （2，3）．E （0，3）．结合EF=BC=4得到F （0，-1）． 利用待定系数法求得结果．【解答】解：（1）∵Rt △ABC 的直角边AB 在x 轴上，∠ABC=90°，点C 的坐标为（3，4），∴点B 的坐标为（3，0），CB=4．∵M 是BC 边的中点，∴点M 的坐标为（3，2）．∴k=3×2=6．（2）∵△ABC 绕某个点旋转180°后得到△DEF ，∴△DEF ≌△ABC ．∴DE=AB ，EF=BC ，∠DEF=∠ABC=90°．∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0），∴AB=2．∴DE=2．∵EF 在y 轴上，∴点D 的横坐标为2．当x=2时，y=3．∴点D 的坐标为（2，3）．∴点E 的坐标为（0，3）．∵EF=BC=4，∴点F 的坐标为（0，-1）．设直线DF 的表达式为y=ax+b ，将点D ，F 的坐标代入，∴直线DF 的表达式为y=2x-1．【点评】考查了待定系数法求一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，解题时，注意函数思想和数形结合数学思想的应用．24．在矩形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交CD 边于点E ．点F 在BC 边上，且FE ⊥AE ．（1）如图1，①∠BEC =_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH ∥CD 交AD 于点H ，交BE 于点M ．NH ∥BE ，NB ∥HE ，连接NE ．若AB =4，AH =2，求NE 的长．解：（1）②结论：△_________≌△_________；证明：图2图1【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ABC=∠BCD=90°，根据角平分线的定义得到∠EBC=45°，根据三角形内角和定理计算即可；（2）利用ASA定理证明△ADE≌△ECF；（3）连接HB，证明四边形NBEH是矩形，得到NE=BH，根据勾股定理求出BH即可．【解答】解：（1）①∵四边形ABCD为矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=45°，∴∠BEC=45°，故答案为：45；②△ADE≌△ECF，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠AED+∠FEC=180°-∠AEF=90°．∵∠AED+∠DAE=90°，∴∠FEC=∠EAD，∵BE平分∠ABC，∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE和△ECF中，∴△ADE≌△ECF；（2）连接HB，如图2，∵FH∥CD，∴∠HFC=180°-∠C=90°．∴四边形HFCD是矩形．∴DH=CF，∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠DHE=∠DEH=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°-∠DEH-∠BEC=90°．∵NH ∥BE ，NB ∥HE ，∴四边形NBEH 是平行四边形．∴四边形NBEH 是矩形．∴NE=BH ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt △BAH 中，AB=4，AH=2，【点评】本题考查的是矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．25．当值相同时，我们把正比例函数与反比例函数叫做“关联函数”，可以通k 1y x k =ky x=过图象研究“关联函数”的性质．小明根据学习函数的经验，先以与为例12y x =2y x =对“关联函数”进行了探究．下面是小明的探究过程，请你将它补充完整：（1）如图，在同一坐标系中画出这两个函数的图象．设这两个函数图象的交点分别为A ，B ，则点A 的坐标为（，），点B 的坐标为_________；2-1-（2）点P 是函数在第一象限内的图象上一个动点（点P 不与点B 重合），设点P 2y x=的坐标为（，），其中>0且． 2t2t ≠①结论1：作直线PA ，PB 分别与x 轴交于点C ，D ，则在点P 运动的过程中，总有PC =PD ．证明：设直线PA 的解析式为，将点A 和点P 的坐标代入，y ax b =+得 解得 则直线PA 的解析式为．12,___________.a b -=-+⎧⎨⎩1,2.a tt b t ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩12t y x t t -=+令，可得，则点C 的坐标为（，）．0y =2x t =-2t -0 同理可求，直线PB 的解析式为，点D 的坐标为_____________．12t y x t t+=-+ 请你继续完成证明PC =PD 的后续过程：②结论2：设△ABP 的面积为S ，则S 是t 的函数．请你直接写出S 与t 的函数表达式．考试结束后，你可以对点P 在函数y =图象上的情况进行类似的研究哟！则点C的坐标为（t-2，0）．∴x=t+2∴点D的坐标（t+2，0），如图，过点P作PM⊥x轴于点M，则点M的横坐标为t．∴CM=t-（t-2）=2，DM=（t+2）-t=2．∴CM=DM．∴M为CD的中点．∴PM垂直平分CD．∴PC=PD．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积的计算方法，线段垂直平分线的性质和判定，掌握坐标系内求几何图形面积的方法是解本题的关键．北京市西城区2017— 2018学年度第二学期期末试卷八年级数学附加题 2018.7试卷满分：20分一、填空题（本题共12分，每小题6分）1．观察下面的表格，探究其中的规律并填空：一元二次方程方程的两个根二次三项式分解因式220x x --=，11x =-22x =22x x --=(1)(2)x x +-2340x x +-=，11x =24x =-234x x +-=(1)(4)x x -+2320x x +-=，123x =21x =-232x x +-=23()(1)3x x -+24920x x ++=，114x =-22x =-2492x x ++=4( )( )x x 22730x x -+=___，___1x =2x =____________________2273x x -+=20ax bx c ++=，1x m =2x n= ____________________2ax bx c ++=【专题】因式分解．【分析】利用公式法对方程的左边进行因式分解．【解答】【点评】考查了解一元二次方程-因式分解法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．2．在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形——同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．（1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，四边形ADEC ，四边形BCFG ，四边形ABPQ 都是正方形．延长QA 交DE 于点M ，过点C 作CN ∥AM 交DE 的延长线于点N ，可得四边形AMNC 的形状是_________________；②在图1中利用“等积变形”可得_____________=ADEC S 正方形③如图2，将图1中的四边形AMNC 沿直线MQ 向下平移MA 的长度，得到四边形A’ M’N’ C’，即四边形QACC’；④设CC’ 交AB 于点T ，延长CC’交QP 于点H ，在图2中再次利用“等积变形”可得_____________，'=QACC S 四边形则有_____________；=ADEC S 正方形⑤同理可证，因此得到=BCFG S 正方形HTBP S 四边形+，进而证明了勾股定理．ADEC S 正方形=BCFG S 正方形ABPQ S 正方形 （2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△______≌△______，则有______=AB =AQ ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC 沿直线MQ 向下平移MA 的长度，得到四边形QACC’． 【专题】矩形 菱形 正方形．【分析】根据平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形ACED 是正方形，∴AC ∥MN ，∵AM ∥CN ，∴四边形AMNC 是平行四边形，∴S 正方形ADEC =S 平行四边形AMNC ，∵AD=AC ，∠D=∠ACB ，∠DAC=∠MAB ，∴∠DAM=∠CAB ，∴△ADM ≌△ACB ，∴AM=AB=AQ ，∴图1中的四边形AMNC 沿直线MQ 向下平移MA 的长度，得到四边形A ′M ′N ′C ′，即四边形QACC ′，∴S 四边形QACC ′=S 四边形QATH ，则有S 正方形ADEC =S 四边形QATH ，∴同理可证S 正方形BCFG =S 四边形HTBP ，因此得到S 正方形ADEC +S 正方形BCFG =S 正方形ABPQ ；故答案为平行四边形，S 四边形AMNC ，S 四边形QATH ，S 四边形QATH ；（2）由（1）可知：△ADM ≌△ACB ，∴AM=AB=AQ ，故答案为ADM ，ACB ，AM ；【点评】本题考查平行四边形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考创新题目．二、解答题（本题8分）3．在△ABC 中，M 是BC 边的中点．（1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的两条高，连接MD ，ME ，则MD 与ME 的数量关系是________________；若∠A =70°，则∠DME =________°；（2）如图2，点D ， E 在∠BAC 的外部，△ABD 和△ACE 分别是以AB ，AC 为斜边的直角三角形，且∠BAD =∠CAE =30°，连接MD ，ME ．图2①判断（1）中MD 与ME 的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论；②求∠DME 的度数；（3）如图3，点D ，E 在∠BAC 的内部，△ABD 和△ACE 分别是以AB ，AC 为斜边的直角三角形，且∠BAD =∠CAE =，连接MD ，ME ．直接写出∠DME 的度数（用含的式子表示）αα．解：（2）① ②（3）∠DME = ．【专题】几何综合题．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到MD=ME ，根据三角形内角和定理求出∠DME ；（2）分别取AB，AC 的中点F ，H ，连接FD ，FM ，HE ，HM ，证明△DFM ≌△MHE ，根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；（3）仿照（2）的证明方法解答．【解答】解：（1）∵BD ，CE 分别是△ABC 的两条高，M 是BC 边的中点，∴MD=ME ，∠MEB=∠ABC ，∠MDC=∠ACB ，∴∠DME=180°-∠EMB-∠DMC图1图2=180°-（180°-2∠ABC）-（180°-2∠ACB）=180°-2∠A=40°，故答案为：MD=ME，40；（2）①MD=ME仍然成立；证明：分别取AB，AC的中点F，H，连接FD，FM，HE，HM，∵点F，M分别是AB，BC的中点，∴FM是△ABC的中位线．∴∠BFM=∠BAC．∵H是AC的中点，∴EH是Rt△AEC的中线．∴FM=EH．同理可证，MH=DF．∴∠FDA=∠FAD．∴∠BFD=∠FDA+∠FAD=2∠FAD．∵∠BAD=30°，∴∠BFD=60°．∴∠DFM=∠BFD+∠BFM=60°+∠BAC．同理可证，MHE=60°+∠BAC．∴∠DFM=∠MHE．在△DFM和△MHE中，∴△DFM≌△MHE．∴MD=ME；②∵HM∥AB，∴∠FMH=∠BFM．∵△DFM≌△MHE，∴∠FDM=∠HME，∴∠DME=∠EMD+∠FMH+∠HME=∠FMD+∠BFM+∠FDM=180°-∠BFD=120°；（3）由（2）可知，△DFM≌△MHE，∴∠FMD=∠HEM，∴∠DME=360°-∠FMD-∠FMH-∠HME=360°-∠HEM-∠FMH-∠HME=360°-∠HEM-∠MHE-2α-∠HEM=180°-2α．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
北京市西城区学初二第二学期期末考试数学试卷含答案
北京市西城区2017— 2018学年度初二第二学期期末考试数学试卷2018.7一、选择题1．使二次根式3x -有意义的x 的取值范围是（ ）． A ．3x <B ．3x ≥C ．0x ≥D ． 3x ≠2．《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ）．ABCD3．下列条件中，不能．．判定一个四边形是平行四边形的是（ ）． A ．两组对边分别平行 B ．两组对边分别相等C ．两组对角分别相等D ．一组对边平行且另一组对边相等5．如图，菱形ABCD 中，点E ，F 分别是AC ，DC 的中点． 若EF =3，则菱形ABCD 的周长为（ ）． A ．12 B ．16C ．20D ．246．近几年，手机支付用户规模增长迅速，据统计2015年手机支付用户约为3.58亿人，连续两年增长后，2017年手机支付用户达到约5.27亿人．如果设这两年手机支付用户的年平均增长率为x ，则根据题意可以列出方程为（ ）． A ．3.58(1) 5.27x +=B ．3.58(12) 5.27x +=C ．23.58(1) 5.27x +=D ．23.58(1) 5.27x -=7．甲、乙两位射击运动员的10次射击练习成绩的折线 统计图如图所示，则下列关于甲、乙这10次射击成 绩的说法中正确的是（ ）． A ．甲的成绩相对稳定，其方差小 B ．乙的成绩相对稳定，其方差小D ．乙的成绩相对稳定，其方差大8．已知△ABC 的三边长分别是a ，b ，c ，且关于x 的一元二次方程22220x ax c b -+-=有两 个相等的实数根，则可推断△ABC 一定是（ ）． A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形9．如图，在△OAB 中，∠AOB =55°，将△OAB 在平面内绕点O 旋转到△OA ′B ′ 的位置，使得BB ′∥AO A ．125° B ．70°C ．55°D ．15°10．已知某四边形的两条对角线相交于点O ．动点P 从点A 出发，沿四边形的边按A →B →C 的路径匀速运动到点C ．设点P 运 动的时间为x ，线段OP 的长为y ，表示y 与x 的函数关系的 图象大致如右图所示，则该四边形可能是（ ）．A B C D二、填空题11．计算：=_________．12．若平行四边形中两个内角的度数比为1:2，则其中一个较小的内角的度数是 °．13．如图，一根垂直于地面的木杆在离地面高3m 处折断,若木杆折断前的高度为8m ，则木杆顶端落在地面的位置离木杆底端 的距离为 m ．14．将一元二次方程28130x x ++=通过配方转化成2()x n p +=的形式（n ，p 为常数），则n =_________，p =_________．15．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，若∠AOD =120°， AB =2，则BC 的长为 ．17．某汽车制造商对新投入市场的两款汽车进行了调查，这两款汽车的各项得分如下表所示：（得分说明：3分——极佳，2分——良好，1分——尚可接受）（1）技术员认为安全性能、省油效能、外观吸引力、内部配备这四项的占比分别为30%，30%，20%，20%，并由此计算得到A 型汽车的综合得分为2.2，B 型汽车的综合得分为 ； （2）请你写出一种各项的占比方式，使得A 型汽车的综合得分高于B 型汽车的综合得分．（说明：每一项的占比大于0，各项占比的和为100%）答：安全性能：______，省油效能：______，外观吸引力：______，内部配备：______．18．已知三角形纸片ABC 的面积为48，BC 的长为8．按下列步骤将三角形纸片ABC 进行裁剪和拼图： 第一步：如图1，沿三角形ABC 的中位线DE 将纸片剪成两部分．在线段DE 上任意．．取一点F ，在线段BC 上任意．．取一点H ，沿FH 将四边形纸片DBCE 剪成两部分； 第二步：如图2，将FH 左侧纸片绕点D 旋转180°，使线段DB 与DA 重合；将FH 右侧纸片绕点E 旋转180°，使线段EC 与EA 重合，再与三角形纸片ADE 拼成一个与三角形纸片ABC 面积相等的四边形纸片．（1）当点F ，H 在如图2所示的位置时，请按照第二步的要求，在图2中补全拼接成的四边形； （2）在按以上步骤拼成的所有四边形纸片中，其周长的最小值为_________．三、解答题 图1图2（1）2450--=．2210x xx x--=；（2）2解：解：20．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AC=4，BE=1，直接写出菱形AECF的边长．21．已知关于x的一元二次方程2(1)220-++-=．x k x k（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围．22．小梅在浏览某电影评价网站时，搜索了最近关注到的甲、乙、丙三部电影，网站通过对观众的抽样调查，得到这三部电影的评分数据统计图分别如下：（1）小梅根据所学的统计知识，对以上统计图中的数据进行了分析，并通过计算得到这三部电影抽样调查的样本容量，观众评分的平均数、众数、中位数，请你将下表补充完整：甲、乙、丙三部电影评分情况统计表（2）根据统计图和统计表中的数据，可以推断其中_______电影相对比较受欢迎，理由是．（至少从两个不同的角度说明你推断的合理性）24．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．解：（1）②结论：△_________≌△_________；证明：（2）图1 图2附加2．在查阅勾股定理证明方法的过程中，小红看到一种利用“等积变形——同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学． （1）根据信息将以下小红的证明思路补充完整：①如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，四边形ADEC ， 四边形BCFG ，四边形ABPQ 都是正方形．延长QA 交 DE 于点M ，过点C 作CN ∥AM 交DE 的延长线于点N ， 可得四边形AMNC 的形状是_________________；②在图1中利用“等积变形”可得=ADEC S 正方形_____________③如图2，将图1中的四边形AMNC 沿直线MQ 向下平移MA 的长度，得到四边形A ’ M ’N ’ C ’，即四边形QACC ’； ④设CC ’ 交AB 于点T ，延长CC ’交QP 于点H ，在图2中 再次利用“等积变形”可得'=QACC S 四边形_____________， 则有=ADEC S 正方形_____________；⑤同理可证=BCFG S 正方形HTBP S 四边形，因此得到ADEC S 正方形+=BCFG S 正方形ABPQ S 正方形，进而证明了勾股定理．（2）小芳阅读完小红的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小红对小芳的说明补充完整：图1中△______≌△______，则有______=AB =AQ ，由于平行四边形的对边相等，从而四边形AMNC 沿直线MQ 向下平移MA 的长度，得到四边形QACC ’．图1图2附加3．在△ABC 中，M 是BC 边的中点． （1）如图1，BD ，CE 分别是△ABC 的两条高，连接MD ，ME ，则MD 与ME 的数量关系是________________；若∠A =70°，则∠DME =________°；（2）如图2，点D ， E 在∠BAC 的外部，△ABD 和△ACE 分别是以AB ，AC 为斜边的直角三角形，且∠BAD =∠CAE =30°，连接MD ，ME ．①判断（1）中MD 与ME 的数量关系是否仍然成立，并证明你的结论； ②求∠DME 的度数；（3）如图3，点D ，E 在∠BAC 的内部，△ABD 和△ACE 分别是以AB ，AC 为斜边的直角三角形，且∠BAD =∠CAE =α，连接MD ，ME ．直接写出∠DME 的度数（用含α的式子表示）．解：（2）①②（3）∠DME = ．图1 图2参考答案及评分标准 2018.7一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共46分，第19题8分，第24、25题每小题7分，其余每小题6分） 19．（1）解：配方，得 24454x x -+=+．即 2(2)9x -=． ………………………………………………………………2分 由此可得 23x -=±．原方程的根为15x =，21x =-． ……………………………………………4分（2）解：2a =，2b =-，1c =-． ……………………………………………………1分 224(2)42(1)120b ac ∆=-=--⨯⨯-=>． …………………………………2分 方程有两个不相等的实数根x=．原方程的根为1x =，2x =4分20．（1）证明：如图．∵正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ， ∴OA =OC ，OB =OD ， ………………………1分 AC ⊥BD ． …………………………………2分 ∵BE =DF ，∴OB + BE =OD +DF ，即OE =OF ．∴四边形AECF 是平行四边形． …………………………………………3分 ∵AC ⊥EF ，（2………………………………………………………………………………6分 21．（1）证明：224[(1)]4(22)b ac k k ∆=-=-+-⨯-269k k =-+ ……………………………………………………………1分2(3)k =-． ………………………………………………………………2分 ∵2(3)0k -≥，即0∆≥，∴此方程总有两个实数根． ………………………………………………3分 （2）解：x解得 11x k =-，22x =． ……………………………………………………5分 ∵此方程有一个根大于0且小于1，而21x >， ∴101x <<，即011k <-<．∴12k <<． ……………………………………………………………………6分 22．解：（1）补全表格如下表所示： ………………………………………………………4分 甲、乙、丙三部电影评分情况统计表（2）答案不唯一，合理即可．如：丙，①丙电影得分的平均数最高；②丙电影得分没有低分． ……………………………………………………………………6分23．解：（1）∵Rt △ABC 的直角边AB 在x 轴上，∠ABC =90°，点C 的坐标为（3，4）， ∴点B 的坐标为（3，0），CB =4．∵M 是BC 边的中点， ∴点M 的坐标为（3，2）． …………………………………………………2分∵函数ky x=（0x >）的图象经过点M ， ∴326k =⨯=． ………………………………………………………………3分（2）∵△ABC 绕某个点旋转180°后得到△DEF ， ∴△DEF ≌△ABC ．∴DE =AB ，EF =BC ，∠DEF =∠ABC =90°． ∵点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（3，0）， ∴AB =2． ∴DE =2．∵EF 在y 轴上， ∴点D 的横坐标为2．∵点D在函数6yx=（0x>）的图象上，当2x=时，3y=．∴点D的坐标为（2，3）．…………………………………………………4分∴点E的坐标为（0，3）．∵EF=BC=4，∴点F的坐标为（0，1-）．…………………………………………………5分设直线DF的表达式为y ax b=+，将点D，F的坐标代入，得32,1.a bb=+⎧⎨-=⎩解得2,1.ab=⎧⎨=-⎩∴直线DF的表达式为21y x=-．…………………………………………6分24．解：（1）①45；…………………………………………………………………………1分②ADE，ECF；………………………………………………………………2分证明：如图1．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C=∠D=90°，AD=BC．∵FE⊥AE，∴∠AEF=90°．∴∠1+∠2=180°－∠AEF =90°．∵∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3．…………………………………………………………3分∵BE平分∠ABC，∴∠EBC=12∠ABC=45°．∴∠BEC=45°．∴∠EBC=∠BEC．∴BC=EC．∴AD=EC．在△ADE和△ECF中，∠3 =∠2，AD=EC，∠D=∠C，∴△ADE≌△ECF．………………………………………………4分（2）连接HB，如图2，∵FH∥CD，∴∠HFC=180°－∠C=90°．∴四边形HFCD是矩形．∴DH=CF．…………………………………5分∵△ADE≌△ECF，∴DE=CF．∴DH=DE．∴∠1=∠2=45°．∵∠BEC=45°，∴∠HEB=180°－∠2－∠BEC =90°．………………………………………6分∵NH∥BE，NB∥HE，∴四边形NBEH是平行四边形．∴四边形NBEH是矩形．∴NE=BH．∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAH=90°．∵在Rt△BAH中，AB=4，AH=2，∴=∴NE=…………………………………………………………………7分25．解：（1）（2，1）；………………………………………………………………………1分（2）①2at bt=+，（2t+，0）；…………………3分后续证明：如图，过点P作PM⊥x轴于点M，则点M的横坐标为t．∴CM=(2)2t t--=，DM=(2)2t t+-=．∴CM= DM．∴M为CD的中点．∴PM 垂直平分CD ．∴PC =PD ． …………………………………………………………………5分②当02t <<时，4S t t =-； 当2t >时，4S t t =-． ……………………………………………………7分附加题参考答案及评分标准一、填空题（本题共12分，每小题6分）1．14+，2+； ……………………………………………………………………………… 2分 12，3，12()(3)2x x --； ……………………………………………………………… 5分 ()()a x m x n --． ………………………………………………………………………… 6分2．（1）平行四边形，AMNC S 四边形，QATH S 四边形，QATH S 四边形； ………………………… 4分（2）AMD ，ABC ，AM ．（或CNE ，ABC ，CN ） ……………………………………… 6分二、解答题（本题8分）3．解：（1）MD =ME ，40； ………………………………………………………………… 2分（2）①MD =ME 仍然成立；证明：分别取AB ，AC 的中点F ，H ，连接FD ，FM ，HE ，HM ，如图1．∵点F ，M 分别是AB ，BC 的中点，∴FM 是△ABC 的中位线．∴FM ∥AC ，FM =12AC ． ∴∠1=∠BAC ．∵H 是AC 的中点，∴EH 是Rt △AEC 的中线． ∴EH =12AC =AH ． ∴FM =EH ． ………………………………………………………… 3分同理可证MH =DF ． ∵DF =12AB =AF ， ∴∠2=∠FAD ．∴∠3=∠2+∠FAD =2∠FAD ．∵∠BAD=30°，∴∠3=60°．∴∠DFM=∠3+∠1=60°+∠BAC．同理可证∠MHE=60°+∠BAC．∴∠DFM=∠MHE．……………………………………………… 4分在△DFM和△MHE中，DF=MH，∠DFM=∠MHE，FM= HE，∴△DFM≌△MHE．∴MD= ME．……………………………………………………… 5分②如图2．∴∠4=∠1．∵△DFM≌△MHE，∴∠5=∠6．∴∠DME=∠7+∠4+∠6=∠7+∠1+∠5=180°－∠3=120°．………………………………………………………… 6分（3）1802α-．…………………………………………………………………… 8分。