2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学理科附答案解析
江苏省2019年高考数学压轴卷(含解析)
江苏省2019年高考数学压轴卷（含解析）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．参考公式：球体的体积公式：V＝334Rπ，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集，集合则═ ．12{}345U＝，，，，134{}}35{A B＝，，，＝，，UA B⋂（）ð2．已知是虚数单位，若，则＝ ．i12i a i a R+∈（﹣)(）＝，a3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y的取值范围是 ．5．已知函数，若f（m）＝﹣6，则f（m﹣61）＝ ．22353log(1)3x xf xx x-⎧-<⎨-+≥⎩（）＝6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ．7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f 2π（）的值为 ． 76π8．已知A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 2212x y C m ：-＝的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R）与函数g （x 实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且，点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则AB ＝的最小值是 ．|PA PB |+ 12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝，∠ABC 的平分线交AC 23π于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ． 13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，，E n （n ∈N）为AC 上一列点，且满2BD DC = 足：，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则11414n n n n n E A E D E a B a +=+ （﹣）﹣5111a -+++…+＝ ． 211a -311a -11n a -14．已知函数，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x 2910(1)e ,023x x x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ；（2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知 12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),（1）求的值；22sin αβ（﹣）（2）求的值．cos α17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，2π假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ．（1）用a ，θ表示S 和T ；（2）设f （θ）＝，试求f （θ）的最大值P ； T S18.(本小题满分16分) 已知椭圆，短轴长为． 22221x y C a b：+＝0a b （＞＞）（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM ，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值；（3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由．20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R（1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）；（Ⅱ）若集合A ＝2，4，8，…，2n ，求证：； (1)()2n n l A -=（Ⅲ）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ l A （）数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题卡指定区域内作答．解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{ 2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C 的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长． D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．。
高考全国卷Ⅰ数学试题解读
则
tan A =
.
4
c
2
tan B
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
[ 母题 ]: 三角平方差公式 :sin 2 α-sin 2β=sin( α- β)sin( α+ β).
[ 解析 ]: 由 asinA-bsinB=4csinC 4sin 2C sin(A-B)sin(A+B)=4sin
sin 2A-sin 2B= 2C sin(A-B)=4
( Ⅰ ) 求椭圆 C 的离心率 ;
( Ⅱ ) 如果 |AB|= 15 ， 求椭圆 C 的方程 .
4
x 2 + y 2 =1
54
[ 官方解析 ]: 设 A(x 1， y 1) ， B(x 2， y 2) ， 由题意知 y 1>0， y 2<0;
( Ⅰ ) 直线 l 的方程为 y= 3 (x+c) ， 其中 c=
x2 a2
-
y2 b2
=1 的右焦点为
F，
以原点 O为圆心， |OF| 为半径的圆 O与双曲线 C 的一条渐近线相交于点 B， 若 BF 的中点
A 在双曲线 C 的另一条渐近线上， 则双曲线 C 的两条渐近线夹角是
.
x2 y2
[ 母题 ]: 若双曲线 C: a 2 - b 2 =1 的右焦点为 F， 则以原点 O 为圆心， |OF| 为半径的圆 O 与
1.
试题出处
2019 年全国Ⅰ卷 ( 文理科 ) 第 5 题
《六套卷》第二卷 ( 文科 ) 第 8 题
真题再现
函数 f(x)= sin x x 在 [- π， π ] 的图像大致为 已知函数 f(x)=
1 ， 则 y=f(x) 在 (- π， 0) ∪(0 ，
(全国卷Ⅰ)2019年高考数学压轴卷文(含解析)
（全国卷Ⅰ）2019年高考数学压轴卷 文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合AB ＝（ ）A ．{}1,2B ．{}|01x x ≤≤C ．(){}1,2D ．∅2． 已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z = ) AB ．5CD ．103．下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ）A. B. C. D.4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为（ ） A.51 B. 103 C. 52 D. 545．函数()23sin cos f x x x x =+的最小正周期是（ ）A. 4πB. 2πC. πD.2π6．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ， 1log ab 的大小关系为（ ）A. 1log log b a b aa b a b >>> B. 1log log a b b ab a b a >>>C. 1log log b a b aa ab b >>> D. 1log log a b b aa b a b >>>7． 若实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………，则2z x y =-的最大值为( )A ．10B ．6C ．4D ．2-8． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，四点1(4,2)P ，2(2,0)P ，3(4,3)P -，4(4,3)P 中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( )A B ．52C D ．729． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( )A ．7B ．9C ．10D ．1110．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）A. D. 6 11． ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55AP AB AC R λλ=-∈，则||AP 的最大值是( )A B C D12． 在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====，AC =，BD 面积(S = )A ．4πB ．83πC ．43πD ．2π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式 14． 已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．15．在ABC ∆中，角的对边分别为，AaB b B c cos cos cos 与是-的等差中项且，ABC ∆的面积为34，则的值为__________．16．已知抛物线x y C 4:=的焦点是，直线交抛物线于两点，分别从两点向直线作垂线，垂足是，则四边形的周长为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝90°， ∠BCD＝150°，∠BAC ＝60°，AC ＝2，AB ＝3＋1．（Ⅰ）求BC ；（Ⅱ）求△ACD 的面积． （18）（本小题满分12分）二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤10）与销售价格y （单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求y 关于x 的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？ （19）（本小题满分12分）ABCD在四棱锥P -ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，满足AB ∥CD ，AD ＝DC＝ 12AB ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （20）（本小题满分12分）已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21.（本小题满分12分）已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1，g (x )＝(x －1)e x－mx ，m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0，求m 的值；（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0，且 12ln (m ＋1)＜x 0＜m ．请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2，0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B (ρ，θ＋ π3)，|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求|OA |2＋|MA |2的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；（Ⅱ）比较a a b b c d d c与a b b a c c d d的大小．2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】CP【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得12x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B ＝(){}1,2．故选C ．2． 【答案】C【解析】：(2)3i z i -=+，3213iz i i+∴=-=+，||z ∴．故选：C ． 3．【答案】D 【解析】函数即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：为非奇非偶函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，且是上的增函数，故选D.4．【答案】A【解析】由题意知第二节课的上课时间为 ，该学生到达教室的时间总长度为分钟，其中在 进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率515010= ，故选A. 5．【答案】C【解析】 因为()21cos233sin cos sin222x f x x x x x -=+=+3sin2226x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 所以其最小正周期为222T w πππ===，故选C. 6．【答案】D【解析】因为01a b <<<，所以10a a bb a a >>>>.log log 1b b a b >>.01a <<,所以11a >,1log 0a b <.综上： 1log log a b b aa b a b >>>. 7．【答案】B ．【解析】：先根据实数x ，y 满足条件10262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩…………画出可行域如图，做出基准线02x y =-，由图知，当直线2z x y =-过点(3,0)A 时，z 最大值为：6．故选：B ．8． 【答案】C【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -，4(4,3)P 中在双曲线上， 则1(4,2)P 一定不在双曲线上，则2(2,0)P 在双曲线上，2a ∴=，221691a b -=，解得23b =，2227c a b ∴=+=，c ∴，c e a ∴==故选：C ． 9． 【答案】B【解析】：模拟程序的运行，可得： 11,313i S lg lg ===->-，否；1313,51355i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1515,71577i S lg lg lg lg ==+==->-，否；1717,91799i S lglg lg lg ==+==->-，否； 1919,11191111i S lg lg lg lg ==+==-<-，是，输出9i =， 故选：B ．10．【答案】C【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，则5,PA PC PB ======C ． 11． 【答案】B ．【解析】ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =，510cos 25A ∴⨯⨯=，1cos 2A =，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，5AB =，10AC =，60BAC ∠=︒，(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，，设点P 为(,)x y ，05x 剟，0y 剟3255AP AB AC λ=-，(x ∴，3)(55y =，20)(55λ-，(32λ=-，)-，∴32x y λ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，3)y x ∴-，①直线BC 的方程为5x =，②，联立①②，得5x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时||AP 最大，||AP ∴=故选：B ．12． 【答案】D 【解析】：如下图所示，1AB BC CD DA ====，BD 由勾股定理可得222AB AD BD +=，222BC CD BD +=，所以，90BAD BCD ∠=∠=︒，设BD 的中点为点O ，则12OA OB OC OD BD =====，则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且该球的半径为R =因此，四面体ABCD 的表面积为22442S R πππ==⨯=．故选：D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】=102n a n -【解析】 由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列.设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 14．【答案】17a -<<． 【解析】：()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4）， 即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，即实数a 的取值范围是17a -<<，故答案为：17a -<<15．【答案】54.【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-的等差中项，得A aB b B c cos cos cos 2+=- . 由正弦定理，得A A B B BC cos sin cos sin cos sin 2+=-,A B B A B C cos cos )sin(cos sin 2⋅+=- ，由C B A sin )sin(=+所以21cos -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC ，得16=bc . 由余弦定理，得16)(cos 22222-+=-+=c b A bc c b a ，即54=+c b ，故答案为54． 16．【答案】.【解析】由题知，，准线的方程是.设，由，消去，得 . 因为直线 经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特征知，因为直线的倾斜角是 ，所以 ，所以四边形 的周长是，故答案为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos∠BAC ＝6， 所以BC ＝6．（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BCsin∠BAC ＝AC sin∠ABC ，则sin∠ABC ＝22，又0°＜∠ABC ＜120°，所以∠ABC ＝45°，从而有∠ACB ＝75°，由∠BCD ＝150°，得∠ACD ＝75°，又∠DAC ＝30°，所以△ACD 为等腰三角形， 即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD ＝1．（18）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）^y ＝－1.45x ＋18.7（Ⅱ）x ＝3ABCD【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -＝10，5i ＝1∑x i y i ＝242，5i ＝1∑x 2i ＝220，^b ＝ni ＝1∑x i y i －nx -y-ni ＝1∑x 2i －nx-2＝－1.45，a ˆ＝y -－^bx-＝18.7；所以回归直线的方程为^y ＝－1.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－1.45x ＋18.7－(0.05x 2－1.75x ＋17.2)＝－0.05x 2＋0.3x ＋1.5 ＝－0.05(x －3)2＋1.95，所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．（19）（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）32【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则DE ∥BC ，且DE ＝BC ．故DE ＝ 12AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ．（Ⅱ）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 由（Ⅰ）可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形， 所以BD ＝AB 2－AD 2＝23，于是S △PBD ＝1 2PD •BD ＝23，S △BCD ＝ 12BC •CD •sin120°＝3， 易得PO ＝3，设C 到平面PBD 的距离为h ，由V P-BCD ＝V C-PBD 得 1 3S △PBD •h ＝ 1 3S △BCD •PO ， 解得h ＝32．（20）（本小题满分12分）【答案】（1）y 2＝6x （Ⅱ）λ＝ 4 3【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C (2，0),半径r ＝3．设P (x ，y )，依题意可得 | x ＋1 |＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x ．故曲线E 的方程为． （Ⅱ）设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y =－m (x －2)，可得Q (－1，3m )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0，那么y 1y 2＝－12， …8分 则|AC |·|BC |＝(1＋m 2) | y 1y 2 |＝12(1＋m 2)，|QC |2＝9(1＋m 2)．即|AC |·|BC |＝ 4 3|QC |2，所以λ＝ 4 3． 21.（本小题满分12分）【答案】（Ⅰ）m ＝1（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由m ＞0得f (x )的定义域为(0，＋∞)，f '(x )＝ 1 x －1＝1－x x，当x ＝1时，f '(x )＝0； 当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；当x ＞1时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．故当x ＝1时，f (x )取得最大值0，则f (1)＝0，即ln m ＝0，故m ＝1．（Ⅱ）g '(x )＝x e x －m ，令h (x )＝x e x －m ，则h '(x )＝(x ＋1)e x，当x ＝－1时，h '(x )＝0；当x ＜－1时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；当x ＞－1时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．故当x ＝－1时，h (x )取得最小值h (－1)＝－e －1－m ＜0．当x ＜－1时，h (x )＜0，h (x )无零点，注意到h (m )＝m e m －m ＞0，则h (x )仅有一个零点x 0，且在(－1，m )内． 由（Ⅰ）知ln x ≤x －1，又m ＞0，则 1 2ln (m ＋1)∈(0， 1 2m )．而h ( 1 2ln (m ＋1))＝h (ln m ＋1) ＝m ＋1ln m ＋1－m ＜m ＋1(m ＋1－1)－m＝1－m ＋1＜0，则x 0＞ 1 2ln (m ＋1)，故h (x )仅有一个零点x 0，且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ．即g (x )仅有一个极值点x 0，且 1 2ln (m ＋1)＜x 0＜m ．22.（本小题满分10分）【答案】（Ⅰ）(x ＋1)2＋(y －3)2＝1（Ⅱ）[10－43，10＋43]．【解析】（Ⅰ）设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 12y ， 故B ( 12x －32y ，32x ＋ 12y )．由|BM |2＝1得( 12x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1，整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1． （Ⅱ）圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即(a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即(a ＋d )2＞(b ＋c )2，故a ＋d ＞b ＋c ．（Ⅱ）a a b b c d d ca b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c )c －d，由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又 a b ＞1，所以( ab )a －b ＞( ab )c －d， 即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc )c －d＝1，故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d ．。
2019年全国乙卷统一高考数学试卷(理科)(新课标II)逐题解析
y2 b2
1（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以 OF 为直径的
圆与圆 x2+y2=a2 交于 P、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则 C 的离心率为
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
解析如下：A
准确画图，由图形对称性得出 P 点坐标，代入圆的方程得到 c 与 a 关系，可求双曲线的离心 率．
的方法，如 p 2 时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除 A，同样可排除
B，C，故选 D．
因 为 抛 物 线 y2 2 px( p 0) 的 焦 点 ( p , 0) 是 椭 圆 x2 y2 1 的 一 个 焦 点 ， 所 以
2
3p p
3 p p ( p )2 ，解得 p 8 ，故选 D． 2
本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
9.下列函数中，以 为周期且在区间( ， )单调递增的是
2
42
A. f(x)=│cos 2x│
B. f(x)=│sin 2x│
C. f(x)=cos│x│
D. f(x)= sin│x│
解析如下：A 本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象， 即可做出选择．
中位数仍为 x5 ，A 正确．
②原始平均数
x
1 9
( x1
x2
x3
x4
x8
x9 )
，后来平均数
x 17（x2 x3 x4 x8）
平均数受极端值影响较大， x 与 x 不一定相同，B 不正确
2019年江苏省高考冲刺压轴卷 数学试题及解析(Word版,解析版)
2019江苏省高考压轴卷数 学注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1．本试卷共4页，包含填空题（第1题～第14题）、KS5U 解析题（第15题～第20题）．本卷满分为160分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效．4．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗． 参考公式：球体的体积公式：V ＝334R π，其中为球体的半径．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．全集12{}345U ＝，，，，，集合134{}}35{A B ＝，，，＝，，则U A B ⋂（）ð═ ． 2．已知i 是虚数单位，若12i a i a R +∈（﹣)(）＝，，则a ＝ ． 3．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》一哀分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽 人．4．如图是一个算法的流程图，则输出y 的取值范围是 ．5．已知函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，若f （m ）＝﹣6，则f （m ﹣61）＝ ． 6．已知f （x ）＝sin （x ﹣1），若p ∈{1，3，5，7}，则f （p ）≤0的概率为 ． 7．已知函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图所示，则f （76π）的值为 ．8．已知A ，B 分别是双曲线2212x y C m ：-＝的左、右顶点，P （3，4）为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为 ．9．已知f （x ）是R 上的偶函数，且当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |，则不等式f （x ﹣2）≤2的解集为 ．10．若函数f （x ）＝a 1nx ，（a ∈R ）与函数g （x，在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为 ．11．设A ，B 在圆x 2+y 2＝4上运动，且AB ＝点P 在直线3x +4y ﹣15＝0上运动．则|PA PB |+的最小值是 ．12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝23π，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，BD ＝1，则a +c 的最小值为 ．13．如图，点D 为△ABC 的边BC 上一点，2BD DC =，E n （n ∈N ）为AC 上一列点，且满足：11414n n n n n E A E D E a B a +=+（﹣）﹣5，其中实数列{a n }满足4a n ﹣1≠0，且a 1＝2，则111a -+211a -+311a -+…+11n a -＝ ．14．已知函数2910(1)e ,023xx x f x x x ⎧++<⎪⎨⎪-≥⎩（）＝+6,x 0，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x （f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ．二、解答题（本大题共6小题，计90分.KS5U 解析应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把KS5U 答案写在答题卡的指定区域内）15．(本小题满分14分) 如图，在直四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知点M 为棱BC 上异于B ，C 的一点．（1）若M 为BC 中点，求证：A 1C ∥平面AB 1M ； （2）若平面AB 1M ⊥平面BB 1C 1C ，求证：AM ⊥BC ．16.（本小题满分14分）已知12(,),(0,cos(),.2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=), （1）求22sin αβ（﹣）的值；（2）求cos α的值．17．(本小题满分14分) 学校拟在一块三角形边角地上建外籍教室和留学生公寓楼，如图，已知△ABC 中，∠C ＝2π，∠CBA ＝θ，BC ＝a ．在它的内接正方形DEFG 中建房，其余部分绿化，假设△ABC 的面积为S ，正方形DEFG 的面积为T ． （1）用a ，θ表示S 和T ； （2）设f （θ）＝TS，试求f （θ）的最大值P ；18.(本小题满分16分) 已知椭圆22221x y C a b：+＝0a b （＞＞），短轴长为． （Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）如图，经过椭圆左项点A 且斜率为k （k ≠0）直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作与OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且△APM 面积为3，求k 的值．19．(本小题满分16分) 已知函数()212ln 2f x x x ax a R =+-∈，． （1）当3a =时，求函数()f x 的极值；（2）设函数()f x 在0x x =处的切线方程为()y g x =，若函数()()y f x g x =-是()0+∞，上的单调增函数，求0x 的值； （3）是否存在一条直线与函数()y f x =的图象相切于两个不同的点？并说明理由． 20．(本小题满分16分) 已知集合A ＝a 1，a 2，a 3，…，a n ，其中a i ∈R （1≤i ≤n ，n ＞2），l （A ）表示和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中所有不同值的个数．（Ⅰ）设集合P ＝2，4，6，8，Q ＝2，4，8，16，分别求l （P ）和l （Q ）； （Ⅱ）若集合A ＝2，4，8， (2)，求证：(1)()2n n l A -=； （Ⅲ）l A （）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．请在答题．．卡指定区域内．．．．．．作答．KS5U 解析应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图，已知AB 为半圆O 的直径，点C 为半圆上一点，过点C 作半圆的切线CD ，过点B 作BD CD ⊥于点D . 求证：2BC BA BD =⋅．B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2{2x t y t==--（t 为参数）．在极坐标系中（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合），圆C的方程为4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求直线l 被圆C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲已知正实数x y z 、、，满足3x y z xyz ++=，求xy yz xz ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分） 如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，AD ⊥平面PDC ，AD ∥BC ，PD ⊥PB ，AD ＝1，BC ＝3，CD ＝4，PD ＝2．（1）求异面直线AP 与BC 所成角的余弦值． （2）求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值．23．（本小题满分10分）在集合{A =1，2，3，4，…，2n }中，任取m （m n ≤，m ，n ∈N *）元素构成集合m A ．若m A 的所有元素之和为偶数，则称m A 为A 的偶子集，其个数记为()f m ；若m A 的所有元素之和为奇数，则称m A 为A 的奇子集，其个数记为()g m ．令()()()F m f m g m =-．（1）当2n =时，求(1)F ，(2)F ，的值； （2）求()F m ．2019年江苏省高考压轴卷 数学1．【答案】{1，2，4，5} 【解析】解：A ∩B ＝{3}， 则∁U （A ∩B ）＝{1，2，4，5}， 故答案为：{1，2，4，5}， 2．【答案】1．【解析】解：∵（1﹣i ）（a +i ）＝（a +1）+（1﹣a ）i ＝2， ∴1210a a +=⎧⎨-=⎩，即a ＝1．故答案为：1． 3．【答案】60．【解析】解：由题意可知，抽样比为500181009000540045=++．故北乡应抽8100×145＝180，南乡应抽5400×145＝120， 所以180﹣120＝60， 即北乡比南乡多抽60人， 故答案为：604．【答案】31]． 【解析】解：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是计算并输出变量123030x x x y xx ⎧+->⎪=⎨⎪≤⎩的值， 由于当x ＞0时，123y x x+≥＝﹣3， 当x ≤0时，y ＝3x∈（0，1]，则输出y的取值范围是31]．故答案为：31]． 5．【答案】-4．【解析】解：∵函数22353log (1)3x x f x x x -⎧-<⎨-+≥⎩（）＝，f （m ）＝﹣6，∴当m ＜3时，f （m ）＝3m ﹣2﹣5＝﹣6，无解；当m ≥3时，f （m ）＝﹣log 2（m +1）＝﹣6， 解得m ＝63，∴f （m ﹣61）＝f （2）＝32﹣2﹣5＝﹣4．故答案为：﹣4． 6．【答案】34． 【解析】解：∵f （x ）＝sin （x ﹣1），p ∈{1，3，5，7}，f （1）＝sin0＝0， f （3）＝sin2＞0， f （5）＝sin4＜0， f （7）＝sin6＜0，∴f （p ）≤0的概率为p ＝34． 故答案为：34． 7．【答案】1．【解析】解：根据函数f （x ）＝2sin （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象，可得12521212πππω⋅=+，∴ω＝2， 再根据五点法作图可得2012πφ⋅+=，求得6πφ=-，∴函数f （x ）＝2sin （26x π-），∴f （76π）＝2sin （736ππ-）＝2sin 136π＝2sin 6π＝1， 故答案为：1．8．【答案】x 2+（y ﹣3）2＝10． 【解析】解：P （3，4）为C 上的一点， 所以91612m -＝，解得m ＝1， 所以A （﹣1，0）B （1，0）， 设△PAB 的外接圆的圆心（0，b ）， 则1+b 2＝32+（b ﹣4）2，解得b ＝3，则△PAB 的外接圆的标准方程为x 2+（y ﹣3）2＝10． 故答案为：x 2+（y ﹣3）2＝10．9．【答案】{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤x ≤﹣4}． 【解析】解：根据题意，当x ≥0时，f （x ）＝|x 2﹣3x |， 此时若有f （x ）≤2，即20|3|2x x x ≥⎧⎨-≤⎩，解可得0≤x ≤1或2≤x≤32，即此时f （x ）≤2的解集为{x |0≤x ≤1或2≤x≤32+}， 又由f （x ）为偶函数，则当x ≤0时，f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤0≤x ≤﹣2}，综合可得：f （x ）≤2的解集为{x |﹣1≤x ≤1或2≤xx ≤﹣2}； 则不等式f （x ﹣2）≤2的解集{x |﹣3≤x ≤1或0≤x或﹣72≤x ≤﹣4}； 故答案为：{x |﹣3≤x ≤1或0≤x≤12或﹣72≤x ≤﹣4}． 10．【答案】2e． 【解析】解：函数f （x ）＝alnx 的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝ax ，g ′（x， 设曲线f （x ）＝alnx 与曲线g （x公共点为（x 0，y 0），由于在公共点处有共同的切线，∴0a x =，解得204x a =，a ＞0． 由f （x 0）＝g （x 0），可得0alnx联立2004x a alnx ⎧=⎪⎨⎪⎩，解得2e a =．故答案为：2e．11．【答案】5．【解析】解：取AB 的中点M ，连OM ，则OM ⊥AB ，∴|OM |1===，即点M 的轨迹是以O 为圆心，1为半径的圆．∴|PA PB |2||PM +=，设点O 到直线3x +4y ﹣15＝0的距离为3d ==，所以2|PM |≥2d ﹣1＝6﹣1＝5（当且仅当OP ⊥l ，M 为线段OP 与圆x 2+y 2＝1的交点时取等） 故答案为：5．12．【答案】4． 【解析】解：由题意得1211232323acsin asin csin πππ+＝， 即ac ＝a +c ， 得+＝1，得a +c ＝（a +c ）（1a +1c）＝22224c a a c ++≥+=+=， 当且仅当a ＝c 时，取等号， 故答案为：413．【答案】13342n n+--．【解析】解：点D 为△ABC 的边BC 上一点，2,2()n n n n BD DC E D E B E C E D =-=- ∴3122n n n E C E D E B =-又322n n n n E A E C E D E B λλλ==-， 1141345n n a a +-=-⨯-，∴134541n n a a +--=-，14434414141n n n n a a a a +--=-=--，11141131,441111n n n n n n n a a a a a a a ++---===+----，，∴11123(2)11n n a a ++=+--， ∴1123,3 2.11n n n n a a +==---，13(13)3342132n n n n S n +⨯---=-=-．故答案为：13342n n+--．14．已知函数f （x ）＝，其中e 是自然对数的底数．若集合{x ∈Z|x（f （x ）﹣m ）≥0}中有且仅有4个元素，则整数m 的个数为 ． 【答案】34．【解析】解：∵x ＝0∈A ，符合条件的整数根，除零外有且只有三个即可． 画出f （x ）的图象如下图：当x ＞0时，f （x ）≥m ；当x ＜0时，m ≥f （x ）．即y 轴左侧的图象在y ＝m 下面，y 轴右侧的图象在y ＝m 上面， ∵f （3）＝﹣3×9+18＝﹣9，f （4）＝﹣3×16+24＝﹣24，f （﹣3）＝﹣（﹣3）3﹣3×（﹣3）2+4＝4， f （﹣4）＝﹣（﹣4）3﹣3×（﹣4）2+4＝20，平移y ＝a ，由图可知：当﹣24＜a ≤﹣9时，A ＝{1，2，3}，符合题意；a ＝0时，A ＝{﹣1，1，2}，符合题意；2≤a≤3时，A＝{1，﹣1，﹣2}，符合题意；4≤a＜20时，A＝{﹣1，﹣2，﹣3}，符合题意；∴整数m的值为﹣23，﹣22，﹣21，﹣20，﹣19，﹣18，﹣17，﹣16，﹣15，﹣14，﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，0，2，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，共34个．故答案为：34．15．【答案】见解析.【解析】证明：（1）连结A1B，交AB1于N，则N是A1B的中点，∵在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BC中点，∴MN∥A1C，∵A1C⊄平面AB1M，MN⊂平面AB1M，∴A1C∥平面AB1M．解：（2）过B作BP⊥B1M，垂足为P，平面AB1M⊥平面B1BCC1，且交线为B1M，BP⊂平面AB1M，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AM⊂平面ABCD，∴BB1⊥AM，又BP∩BB1＝B，∴AM⊥平面BB1C1C，又BC⊂平面BB1C1C，∴AM⊥BC．16．【答案】（1）49．（2）14． 【解析】解：（1）∵已知12(,),(0,cos(),2273πππαπβαβαβ∈∈-=+=),，∴sinαβ=（﹣∴22249sinsin cos αβαβαβ（﹣）＝（﹣）（﹣）＝． （2）[]2cos cos cos cos sin sin ααβαβαβαβαβαβ++++＝（）（﹣）＝（）（﹣）-（）（﹣2111321272714cos α-⋅-=-=﹣，求得14cos α，或14cos α＝-（舍去），综上，cos α 17．【答案】（1）S ＝12a 2tan θ，θ∈（0，2π）；22(sin )(sin cos 1)a T θθθ=+，θ∈（0，2π）；（2）49． 【解析】解：（1）由题意知，AC ＝a tan θ， 所以△ABC 的面积为：S ＝12AC •BC ＝12a 2tan θ，其中θ∈（0，2π）； 又DG ＝GF ＝BG sin θ＝cos cos CG a BGθθ-=， 所以BG ＝sin cos 1aθθ=+，DG sin sin cos 1a θθθ=+，所以正方形DEFG 的面积为：2T DG ＝=22(sin )(sin cos 1)a θθθ+，其中θ∈（0，2π）； （2）由题意知22sin cos (sin cos 1)f θθθθθ+（）＝，其中θ∈（0，2π）， 所以21sin cos 2sin cos f θθθθθ++（）＝；由sin θcos θ＝12sin2θ∈（0，12]，所以15sin cos sin cos 2θθθθ+≥，即f （θ）≤49，当且仅当sin2θ＝1，即θ＝4π时“＝”成立；所以f （θ）的最大值P 为49．18.【答案】（Ⅰ）22142x y +＝；（Ⅱ）2k =±.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a ＝2，b，c，∴椭圆C 的方程为22142x y +＝. （Ⅱ）易知椭圆左顶点A （﹣2，0），设直线l 的方程为y ＝k （x +2），则E （0，2k ），H （0，﹣2k ），由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨⎪⎩+＝消y 可得（1+2k 2）x 2+8k 2x +8k 2﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）， ∴△＝64k 4﹣4（8k 2﹣4）（1+2k 2）＝16则有x 1+x 2＝22812k k -+，x 1x 2＝228412k k -+，∴x 0＝12（x 1+x 2）＝﹣22412k k +，y 0＝k （x 0+2）＝2212kk+， ∴0012OP y k x k=-＝， ∴直线EM 的斜率k EM ＝2k ，∴直线EM 的方程为y ＝2kx +2k ，直线AH 的方程为y ＝﹣k （x +2）， ∴点M （43-，23k ）， ∴点M 到直线l ：kx ﹣y +2k ＝0的距离4||k d ，∴|AB |=，∴12AP AB ＝，∴2244|k ||k |113•2212123APM S AP d k k ∆⋅==++＝＝解得k =19.【答案】（1）()f x 的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-；（2）0x =（3）见解析【解析】（1） 当3a =时，函数()212ln 32f x x x x =+-的定义域为()0+∞，. 则()22x 3x 2f x x 3x x-+=+-='，令()f x 0'=得，1x =或2x =．列表：所以函数的极大值为()512f =-；极小值为()22ln24f =-． （2）依题意，切线方程为()()()0000y f x x x f x (x 0)=-+>'， 从而()()()0000g(x)f x x x f x (x 0)+'=->， 记()()()p x f x g x =-，则()()()()()000p x f x f x f x x x =---'在()0+∞，上为单调增函数， 所以()()()0p x f x f x 0=-''≥'在()0+∞，上恒成立， 即()022p x xx 0x x +-'=-≥在()0+∞，上恒成立．变形得0022x x x x +≥+在()0+∞，上恒成立 ，因为2xx +≥=x =， 所以002x x +，从而(20x 0≤，所以0x（3）假设存在一条直线与函数的图象有两个不同的切点()111T x y ，，()222T x y ，，不妨120x x <<，则1T 处切线1l 的方程为：()()()111y f x f x x x '-=-，2T 处切线2l 的方程为：()()()222y f x f x x x '-=-．因为1l ，2l 为同一直线，所以()()()()()()12111222f x f x {x x f x x x f x .f f ''''=-=-，即121222111111222221222x x x x { 12122x x x x x a2x x x x x a .2x 2x a a ln a ln a +-=+-⎛⎫⎛⎫+--+-=+--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，12221122x x 2{ 112x x 2x x .22ln ln =-=-，消去2x 得，221121x x 22ln02x 2+-=．令21x t 2=，由120x x <<与12x x 2=，得()01t ∈，，记()1p t 2lnt t t =+-，则()()222t 121p t 10t t t -=--=-<'， 所以()p t 为()01，上的单调减函数，所以()()p t p 10>=． 从而式不可能成立，所以假设不成立，从而不存在一条直线与函数()f x 的图象有两个不同的切点．20．【答案】（Ⅰ）l （P ）＝5． l （Q ）＝6；（Ⅱ）证明见解析； （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．【解析】解：（Ⅰ）根据题中的定义可知：由2+4＝6，2+6＝8，2+8＝10，4+6＝10，4+8＝12，6+8＝14，得l （P ）＝5．由2+4＝6，2+8＝10，2+16＝18，4+8＝12，4+16＝20，8+16＝24，得l （Q ）＝6．（5分） （Ⅱ）证明：因为a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -≤． 又集合A ＝2，4，8，，2n，任取a i +a j ，a k +a l （1≤i ＜j ≤n ，1≤k ＜l ≤n ）， 当j ≠l 时，不妨设j ＜l ，则a i +a j ＜2a j ＝2j +1≤a l ＜a k +a l ， 即a i +a j ≠a k +a l ．当j ＝l ，i ≠k 时，a i +a j ≠a k +a l ． 因此，当且仅当i ＝k ，j ＝l 时，a i +a j ＝a k +a l ． 即所有a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）的值两两不同， 所以(1)()2n n l A -=．（9分） （Ⅲ）l （A ）存在最小值，且最小值为2n ﹣3．不妨设a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ，可得a 1+a 2＜a 1+a 3＜…＜a 1+a n ＜a 2+a n ＜…＜a n ﹣1+a n ， 所以a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）中至少有2n ﹣3个不同的数，即l （A ）≥2n ﹣3． 事实上，设a 1，a 2，a 3，，a n 成等差数列， 考虑a i +a j （1≤i ＜j ≤n ），根据等差数列的性质， 当i +j ≤n 时，a i +a j ＝a 1+a i +j ﹣1； 当i +j ＞n 时，a i +a j ＝a i +j ﹣n +a n ；因此每个和a i +a j （1≤i ＜j ≤n ）等于a 1+a k （2≤k ≤n ）中的一个， 或者等于a l +a n （2≤l ≤n ﹣1）中的一个．所以对这样的A ，l （A ）＝2n ﹣3，所以l （A ）的最小值为2n ﹣3． 21．A ．选修4—1：几何证明选讲 【答案】证明见解析. 【解析】证明：因为CD 为圆的切线，弧所对的圆周角为BAC ∠，所以 BCD BAC ∠=∠． ① 又因为为半圆的直径，所以90ACB ∠=︒．又BD ⊥CD ，所以90CDB ACB ∠=︒=∠． ② 由①②得ABC CBD ∆∆∽， 所以2AB BCBC BA BD BC BD=⇒=⋅． B ．选修4—2：矩阵与变换 【答案】40=01M ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意，()110402MN -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，则40102MN ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦． 因为10=102N ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则110=02N -⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以矩阵401040=1020102M ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C ．选修4—4：坐标系与参数方程【解析】将直线l 的参数方程为2{2x t y t ==--化为方程：240x y ++=圆的方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭化为直角坐标系方程：()24cos sin ρρθθ=-， 即22440x y x y +-+=，()()22228x y -++=，其圆心()2,2-，半径为∴圆心C 到直线l的距离为d ==∴直线l 被圆C 截得的弦长为5= D ．选修4—5：不等式选讲 【答案】3 【解析】因3x y z xyz ++=，所以1113xy yz xz++=， 又2111()()(111)9xy yz xz xy yz xz++++≥++=， 3xyyz xz ++≥，当且仅当1x y z ===时取等号，所以xy yz xz ++的最小值为3.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．KS5U解析应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22.【答案】（1）5；（2）5． 【解析】解：（1）因为AD ∥BC ，所以∠DAP 或其补角就是异面直线AP 与BC 所成的角， 因为AD ⊥平面PDC ，所以AD⊥PD ， 在Rt △PDA 中，AP ==cos ∠DAP ＝AD AP= 所以，异面直线AP 与BC（2）过点D 作AB 的平行线交BC 于点F ，连接PF ，则DF 与平面PBC 所成的角等于AB 与平面PBC 所成的角．∵AD ⊥PD ，AD ∥BC ，∴PD ⊥BC ， 又PD ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ， ∴PD ⊥平面PBC ，∴∠DFP 为直线DF 和平面PBC 所成的角．由于AD ∥BC ，DF ∥AB ，故BF ＝AD ＝1，由已知，得CF ＝BC ﹣BF ＝2． 又AD ⊥DC ，故BC ⊥DC ，在Rt △DCF中，可得DF =在Rt △DPF 中，sin ∠DFP＝5PD DF =． 所以，直线AB 与平面PBC23. 【答案】（1）0，-2；（2）22(1)C , ()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．．【解析】（1）当2n =时，集合为{1,2,3,4}．当1m =时，偶子集有{2}，{4}，奇子集有{1}，{3}，(1)2f =，(1)2g =，(1)0F =； 当2m =时，偶子集有{2,4}，{1,3}，奇子集有{1,2}，{1,4}，{2,3}，{3,4}，(2)2f =，(2)4g =，(2)2F =-；（2）当m 为奇数时，偶子集的个数0224411()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m ---=++++，奇子集的个数1133()C C C C C C m m m n nn n n n g m --=+++，所以()()f m g m =，()()()0F m f m g m =-=．当m 为偶数时，偶子集的个数022440()C C C C C C C C m m m m n n n n n n n n f m --=++++，奇子集的个数113311()C C C C C C m m m n nn n n n g m ---=+++，所以()()()F m f m g m =-0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n nn n n n ----=-+-+-+．一方面，1220122(1)(1)(C C C C )[C C C (1)C ]n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x +-=++++-+-+-，所以(1)(1)n n x x +-中m x 的系数为0112233110C C C C C C C C C C C C m m m m m m n n n n n n n n n n n n -----+-+-+； 另一方面，2(1)(1)(1)n n n x x x +-=-，2(1)n x -中m x 的系数为22(1)C m m n-， 故()F m =22(1)C m mn -． 综上，22(1)C ,()0,m mn m F m m ⎧⎪-=⎨⎪⎩为偶数， 为奇数．。
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷理科综合Word版含解析
2019全国Ⅰ卷理综压轴卷可能用到的相对原子质量：H 1 Li 7 C 12 N 14 O 16 Na 23 S 32 Cl 35.5 Ar 40 Fe 56 I 127第Ⅰ卷选择题（126分）一选择题：本题包括13个小题，每小题6分，共78分。
1．下列关于生物膜以及跨膜运输有关的叙述，正确的是（）A．物质能否通过核孔取决于其直径与核孔孔径的相对大小B．质壁分离与复原是水分子顺溶液浓度梯度跨膜运输的过程C．叶绿体的类囊体薄膜上附着多种色素，参与能量转化的过程D．细胞膜、核膜、线粒体、叶绿体、内质网、高尔基体等统称为生物膜2．为研究Cu2+和Cl-对唾液淀粉酶活性的影响，某小组设计了如下操作顺序的实验方案：甲组：CuSO4溶液一缓冲液一淀粉酶溶液一淀粉溶液—保温一检测乙组：NaCl溶液一缓冲液一淀粉酶溶液一淀粉溶液—保温-+检测丙组：蒸馏水-缓冲液一淀粉酶溶液一淀粉溶液—保温一检测各组试剂量均适宜，下列对该实验方案的评价，不合理的是（）A．缓冲液的pH应控制为最适pHB．保温的温度应控制在37℃左右C．宜选用碘液来检测淀粉的剩余量D．设置的对照实验能达成实验目的3．滚环式复制是噬菌体DNA常见的复制方式，其过程如图。
相关叙述错误的是（）A．a链可作为DNA复制的引物B．b链不作为DNA复制的模板C．两条子链的延伸方向都是从5′到3′D．该过程需要DNA聚合酶和DNA连接酶的催化4．将某一细胞中的一条染色体上的DNA用14C充分标记，其同源染色体上的DNA用32P充分标记，置于不含放射性的培养液中培养，经过连续两次细胞分裂(不考虑交叉互换)。
下列说法中正确的是（）A．若进行减数分裂，则四个细胞中均含有14C和32PB．若进行有丝分裂，某一细胞中含14C的染色体可能是含32P染色体的两倍C．若进行有丝分裂，则四个细胞中可能三个有放射性，一个没有放射性D．若进行减数分裂，则四个细胞中可能两个有放射性，两个没有放射性5．小型犬浣熊为树栖动物，属于食肉类动物，也吃无花果和植物花粉等，下图为小型犬浣熊种群相关曲线，说法正确的是（）A．对小型犬浣熊种群密度进行调查，需要使用样方法B．小型犬浣熊在生态系统中的成分是消费者，最低处于第三营养级C．若曲线表示死亡率与出生率之差，则小型犬浣熊的种群密度在a时最大D．若曲线表示种群的增长速率，则小型犬浣熊神群数量在b〜c时期处于下降阶段6．下列关于细胞分化、衰老、凋亡和癌变的叙述，错误的是（）A．细胞分化、衰老和癌变都会导致细胞形态、结构和功能发生变化B．细胞衰老过程中酪氨酸酶的活性降低，最后会导致白化病的发生C．细胞凋亡是特定基因表达出相关蛋白质，细胞自动结束生命的过程D．细胞发生癌变的过程中，可能产生甲胎蛋白、癌胚抗原等物质7．化学在生活中有着广泛的应用，下列对应关系正确的是8．下列有关说法不正确的是A．麦芽糖及其水解产物都能与银氨溶液发生反应B．淀粉、纤维素、蛋白质和阿司匹林都是有机高分子化合物C．过氧化氢酶、酚醛树脂、有机玻璃、PVC 都是高分子化合物D．在一定条件下氨基酸之间能发生反应，合成更复杂的化合物(多肽)，构成蛋白质9．设阿伏加德罗常数的数值为N A。
(完整)2019年全国高考理科数学试题及解析-全国卷1
试题类型：A2016年一般高等学校招生全国统一考试理科数学考前须知：1.本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分.第一卷1至3页，第二卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己旳姓名、准考证号填写在本试题相应旳位置.3.全部【答案】在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第一卷一. 选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出旳四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求旳.〔1〕设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，那么A B =I 〔A 〕3(3,)2--〔B 〕3(3,)2-〔C 〕3(1,)2〔D 〕3(,3)2〔2〕设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，那么i =x y +〔A 〕1〔B〔CD 〕2〔3〕等差数列{}n a 前9项旳和为27，10=8a ，那么100=a〔A 〕100〔B 〕99〔C 〕98〔D 〕97〔4〕某公司旳班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站旳时刻是随机旳，那么他等车时刻不超过10分钟旳概率是〔A 〕31〔B 〕21〔C 〕32〔D 〕43 〔5〕方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间旳距离为4，那么n 旳取值范围是〔A 〕(–1,3)〔B 〕(–1,3)〔C 〕(0,3)〔D 〕(0,3)〔6〕如图，某几何体旳三视图是三个半径相等旳圆及每个圆中两条相互垂直旳半径.假设该几何体旳体积是328π，那么它旳表面积是 〔A 〕17π〔B 〕18π〔C 〕20π〔D 〕28π〔7〕函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]旳图像大致为〔A 〕〔B 〕〔C 〕〔D 〕〔8〕假设101a b c >><<，，那么〔A 〕c c a b <〔B 〕c c ab ba <〔C 〕log log b a a c b c <〔D 〕log log a b c c <〔9〕执行右面旳程序图，假如输入旳011x y n ===，，，那么输出x ，y 旳值满足 〔A 〕2y x =〔B 〕3y x =〔C 〕4y x =〔D 〕5y x =(10)以抛物线C 旳顶点为圆心旳圆交C 于A 、B 两点，交C 旳准线于D 、E 两点.|AB |=2，|DE|=25C 旳焦点到准线旳距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1旳顶点A ，a //平面CB 1D 1，I a 平面ABCD =m ，I a 平面A 11ABB =n ，那么m 、n 所成角旳正弦值为 3(B 23(D)1312.函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 旳零点，4x π=为()y f x =图像旳对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调，那么ω旳最大值为 〔A 〕11〔B 〕9〔C 〕7〔D 〕5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生依照要求作答.【二】填空题：本大题共4小题，每题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，那么m =.(14)5(2)x x +旳展开式中，x 3旳系数是.〔用数字填写【答案】〕〔15〕设等比数列满足}{a n 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，那么a 1a 2…a n旳最大值为。
专题07 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)
专题07 平面向量【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3 C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ，所以cos θ=22||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π3， 故选B ．【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +【答案】A【解析】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++ 1113124444BA BA AC BA AC =++=+， 所以3144EB AB AC =-.故选A.【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：222|2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.【命题意图】高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用. 【命题规律】1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换． 【方法总结】（一）平面向量线性运算问题的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能地将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量，三角形的中位线及相似三角形对应边成比例等性质，把未知向量用已知向量表示出来．（2）向量的线性运算类似于代数多项式的运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在线性运算中同样适用．（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系； ④化简结果.（二）用平面向量基本定理解决问题的一般思路：（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式.（三）平面向量数量积的类型及求法：（1）平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式⋅=a b ||||cos θa b ；二是坐标公式⋅=a b1212x x y y +.（2）求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简. （3）两个应用：①求夹角的大小：若a ，b 为非零向量，则由平面向量的数量积公式得cos θ=||||⋅a ba b (夹角公式)，所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题．②确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角. （四）平面向量的模及其应用的类型与解题策略：（1）求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式2||==⋅a a a a ，或坐标公式22||x y =+a 的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解． （2）求模的最值或取值范围．解决此类问题通常有以下两种方法：①几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则，结合模的几何意义求模的最值或取值范围；②代数法：利用向量的数量积及运算法则转化为不等式或函数求模的最值或取值范围． （3）由向量的模求夹角．对于此类问题的求解，其实质是求向量模方法的逆运用. （五）向量与平面几何综合问题的解法：（1）坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． （2）基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．1．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校际联合考试数学试题】已知1=a ，2=b ，且()⊥-a a b ，则向量a 在b 方向上的投影的数量为 A ．1B 2C ．12D ．2【答案】D【解析】由()⊥-a a b 得()0⋅-=a a b ，所以1⋅=⋅=a b a a ， 所以向量a 在b 方向上的投影的数量为2cos ,22⋅===a b a a b b ， 故选D.【名师点睛】本题主要考查向量的投影，熟记向量数量积的几何意义即可，属于常考题型.求解时，先由()⊥-a a b 求出⋅a b ，再由cos ,a a b 即可求出结果.2．【河北省保定市2019年高三第二次模拟考试数学试题】把点()3,2A 按向量()1,4=a 移到点B ，若2OB BC =-（O 为坐标原点），则C 点坐标为A ．()1,1-B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．()2,3D ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6， 所以()4,6B ，设(),C x y ，则()4,6OB =，()4,6BC x y =--，又2OB BC =-，所以()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解得：23x y =⎧⎨=⎩，所以()2,3C . 故选C.【名师点睛】本题主要考查了平移知识，还考查了向量数乘的坐标运算，考查计算能力及方程思想，属于较易题.求解时，点()3,2A 按向量()1,4=a 移动后得到点()4,6，设(),C x y ，求得OB ，BC ，再利用2OB BC =-列方程组可得：()()424626x y ⎧=--⎪⎨=--⎪⎩，解方程组即可.3．【广东省东莞市2019届高三第二学期高考冲刺试题（最后一卷）数学试题】已知非零向量,m n 满足4=n m ，且()2⊥+m m n ，则,m n 的夹角为A ．π6B ．π3 C ．π2D ．2π3【答案】D【解析】∵4=n m ，且()2⊥+m m n ，∴()22222||cos ,0⋅+=+⋅=+=m m n m m n m m n m n ，且0,0≠≠m n ， ∴2||cos ,0+=m n m n ，∴21cos ,2=-=-mm n n ， 又0,π≤…m n ，∴2π,3=m n ．故选D ．【名师点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围，属于基础题．求解时，根据()2⊥+m m n ，得()20⋅+=m m n ，再根据4=n m 进行数量积的运算即可求出cos ,m n 的值，根据向量夹角的范围即可求出夹角．4．【湖南师范大学附属中学2019届高三数学试题】如图所示，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为CE 的中点，则AF =A ．3144AB AD + B ．1344AB AD + C ．12AB AD +D ．3142AB AD +【答案】D【解析】连接AC ，根据题意得：1()2AF AC AE =+，又AC AB AD =+，12AE AB =， 所以1131()2242AF AB AD AB AB AD =++=+.故选D.【名师点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题.解答本题时，根据题意得：1()2AF AC AE =+，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求.5．【山西名师联盟2019届高三5月内部特供卷数学试题】已知向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，且a 在b 25，则实数m = A ．2± B ．2 C ．5±D 5【答案】A【解析】因为向量,a b 满足2(1,2),(1,)m m +==a b b ，22(0,)m =+-=a a b b ，所以20,,22m m ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭a ab ，设向量,a b 的夹角为θ，则2225||(||cos )12mm =+=⋅=θb a a b ， 所以42516160m m --=，即()()225440m m +-=，解得2m =±. 故选A.【名师点睛】本题主要考查向量的投影及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos ⋅=θa b a b ，二是1212x x y y ⋅=+a b ，主要应用以下几个方面: （1）求向量的夹角，cos ⋅=⋅θa ba b（此时⋅a b 往往用坐标形式求解）； （2）求投影，a 在b 上的投影是⋅a bb； （3）若向量,a b 垂直，则0⋅=a b ；（4）求向量m n +a b 的模（平方后需求⋅a b ）.6．【福建省宁德市2019届高三毕业班第二次（5月）质量检查考试数学试题】若已知向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，若//a b ，则⋅a b 的值为A ．5B ．4C ．4-D ．5-【答案】D【解析】∵向量()1,2=-a ，()1,m =-b ，且//a b ， ∴20m -=，即()1,2=-b ， ∴145⋅=--=-a b ， 故选D.【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算，涉及向量平行的充要条件，数量积坐标运算，考查计算能力，属于基础题.求解时，利用向量平行的充要条件得到m ，进而利用数量积的坐标运算得到结果. 7．【广东省2019届高三适应性考试数学试题】已知ABC △中，点M 是边BC 的中点，若点O 满足23OA OB OC ++=0，则A ．0OM BC ⋅=B ．0OM AB ⋅=C ．OM BC ∥D ．OM AB ∥【答案】D【解析】由点M 是边BC 的中点，可得2OM OB OC =+， 由23OA OB OC ++=0，可得OA OC ++2（OB OC +）23OA OBOA +=-+4OM =0， 即2（OA OB -）+12OM =0， 可得AB =6OM ，即OM ∥AB ， 故选D ．【名师点睛】本题考查向量的中点表示，以及向量的加减运算和向量共线定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．解答时，由向量的中点表示和加减运算、以及向量的共线定理，即可得到结论． 8．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学试题】已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ，(4,5)=c ，若()+⊥λa b c ，则实数=λA ．12-B ．12C ．2-D ．2【答案】C【解析】因为(1,2)=a ，(2,3)=-b ，所以()12,23-+λλλa +b =，又()+⊥λa b c ，所以()0+⋅=λa b c ，即()()412+523=0-+λλ，解得= 2-λ. 故选C.【名师点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记运算法则即可，属于常考题型.求解时，由,a b 的坐标，表示出λa +b ，再由()+⊥λa b c ，得到()()412+523=0-+λλ，进而可求出结果. 9．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测数学试题】若向量,a b 的夹角为120︒，1=a ，27-=a b ，则=bA ．12B 7C ．1D ．2【答案】C【解析】因为222244cos ,-=+-a b a b a b a b ， 又,120=︒a b ，1=a ，27-a b ， 所以27=142++b b ，解得32=-b (舍去)或1=b . 故选C.【名师点睛】本题考查求平面向量的模，常用方法是用数量积或22=a a 求解.求解时，先对27-=a b 两边同时平方，代入已知条件，即可解得b .10．【湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三）数学试题】已知向量a ，b 满足2=a ，且()40+=>λλa b a ，则当λ变化时，⋅a b 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(,1)-∞-C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞【答案】D【解析】由已知，(1)4-=λa b ，得2(1)4-=⋅λa a b ，因为||2,0=>λa ，所以11⋅=->-λa b ， 故选D.【名师点睛】本题考查向量数量积，向量的线性运算，是基础题.求解时，由向量数量积得1⋅=-λa b 即可求解.11．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月）质检数学试题】已知向量,a b 满足1=a ，(),2t t =-b ，-a b与a 垂直，则-a b 的最小值为A ．22B ．1C 2D ．2【答案】B【解析】由题意知-a b 与a 垂直，则()0-⋅=a b a ，可得21⋅==a b a ． 又由222+-=-⋅a b a a b b ()22=12+[2]t t -+-()2=211t -+ 所以当1t =时，-a b 取得最小值1． 故选B ．【名师点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及其应用，以及向量的垂直条件和向量的模的计算，其中解答中熟记向量的模、数量积和向量的坐标运算，合理准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．求解时，根据向量的模与数量积的运算，求得()2211t -=-+a b 根据二次函数的性质，即可求解．12．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模）数学试题】如图，已知等腰梯形ABCD 中，24,5,AB DC AD BC E ====是DC 的中点，P 是线段BC 上的动点，则EP BP ⋅的最小值是A ．95- B ．0 C ．45-D ．1【答案】A【解析】由等腰梯形的知识可知cos B =， 设BP x =，则5CP x =， ∴2565()1()(5)(1)EP BP EC CP BP EC BP CP BP x x x x ⋅=+⋅=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅-=-， 05x 剟，∴当355x =时，EP BP ⋅取得最小值95-． 故选A ．【名师点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．求解时，计算cos B ，设BP x =，把EP EC CP =+代入得出关于x 的函数，根据x 的范围得出最小值．13．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】已知向量()3,4=a ，()1,k =-b ，且⊥a b ，则4+a b 与a 的夹角为________．【答案】4π 【解析】因为⊥a b ，故0⋅=a b ，所以340k -+=，故34k =，故()41,7+=-a b ， 设4+a b 与a 的夹角为θ， 则2cos 5025525θ===⨯⨯， 因为[]0,π∈θ，故π4=θ， 故填4π. 【名师点睛】解答时，先计算出k ，再求出4+a b 与a 的坐标，计算出它们的夹角的余弦后可求夹角的大小.向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用=⋅a a a ；（2）计算角，cos ,⋅=a b a b a b.特别地，两个非零向量,a b 垂直的等价条件是0⋅=a b . 14．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学试题】已知向量()cos ,sin =θθa ，向量(1,=-b ，则3-a b 的最大值是______.【答案】6【解析】由题意，向量()cos ,sin =θθa ，则()33cos ,3sin =θθa ，所以向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，3-a b 最大，最大值为6.【名师点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的坐标表示的应用，其中解答中熟练应用向量的几何意义和向量的坐标表示是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．求解时，由向量()cos ,sin =θθa ，得到向量3a 的终点在以原点为圆心，3为半径的圆上，又由||3=b ，则其终点也在此圆上，当3a 与b 反向时，即可求解，得到答案．15．【湖南省郴州市2019届高三第三次质量检测数学试题】在ABC △中，D 为BC 的中点，且33BC AD ==，则AB AC ⋅=_______． 【答案】54- 【解析】()()22AD DB A AB A D DC C AD BD =++=-⋅⋅95144=-=-. 【名师点睛】本题主要考查向量的基向量表示及向量运算，选择已知信息较多的向量作为基底，是求解这类问题的重要策略.求解时，用AD 表示出所求向量，利用数量积相乘可得结果.。
2019年高考全国1卷理科数学及答案doc资料
2021 年高考全国1 卷理科数学及答案绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学本试卷共23题,共150分,共5页.测试结束后,将本试卷和做题卡一并交回.考前须知：1.做题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内.2 .选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0. 5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚.3 .请根据题号顺序在各题目的做题区域内作答,超出做题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上做题无效.4 .作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5 .保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合M {x 4 x 2}, N {x x2 x 6 0 ,那么M I N =A.{x4x3B. {x 4 x 2C. {x| 2 x 2D. {x2 x 32 .设复数z满足z i =1 , z在复平面内对应的点为(x, y),那么A. (x+1)2 y2 1B. (x 1)2 y2 12 2 2 2C. x2 (y 1)2 1D. x2 (y+1)2 13 .a log202 b 20：c 0.20.3,那么A. abcB. acbC. cabD. bca4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是95「〔亘」2618,称为黄金分割比 2 2例〕,著名的“断臂维纳斯〞便是如此.止匕外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是W5」.假设某人满2足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,那么其身高可能是A. 165 cmD. 190 cm7.非零向量a, b满足|a| 2|b|,且〔a b〕b,那么a与b的夹角为A. _ 冗B. 一3D.B. 175 cmC. 185 cm5.函数f (x) 而' ;在［,］的图像大致为cosx x6.我国古代典籍?周易?用桂卜〞描述万物的变化.每一“重卦由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——〞和阴爻“——",如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,那么该重卦恰有3个阳爻的概率是A.-16 B.1132C. 2132 D. 11168.如图是求一—的程序框图,图中空白框中应填2 --------2 12A.A= — 2 9. B. C. D.A=2A= 1A1A 11 2A 1 A=12A记&为等差数列｛a n ｝的前n 项和.0 0, a 5 A. On 2n 5 2C. S n 2n 8n B. a n D ・S n5 ,那么 3n 10 1 2 n 2n 2 10.椭圆C 的焦点为F I ( 1,0), F 2(1,0),过F 2的直线与C 交于A, B 两 点.假设 |AF 2| 2|F 2B|, |AB| |BF I |,那么 C 的方程为 2 A x 2 / A.——y 1 2 B. D. 2 x 3 2 x 5 2 2 y / c x —1 C .— 2 4 2L 14 11.关于函数f(x) sin | x| |sin x|有下述四个结论: ①f (x)是偶函数 ② f (x) 在区间(—,)单调递增2③f (x)在［,］有4个零点 ④f (x) 的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A.①②④ C.①④ D.①③12.三棱锥P-ABC 的四个顶点在球 .的球面上,PA=PB=PC, z\ABC 是边长为2的正三角形,E, F 分别是PA, PB 的中点,/ CEF=90° ,那么球.的体积为 A. 8石B. 4石C. 276二、填空题：此题共4小题,每题5分,共20分.13 .曲线y 3(x2 x)e x在点(0,0)处的切线方程为 .14 .记&为等比数列｛a n｝的前n项和.假设a i -, a4 a6,那么S5= .315 .甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,那么甲队以 4 ： 1获胜的概率是.2 216. 双曲线C:3当1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为F1, F2,过F1的 a buur uun uuir uuiu 直线与C的两条渐近线分别交于A, B两点.假设F1A AB, F1B F2B 0,那么C的离心率为.三、解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17. (12 分)△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,设(sin B sinC)2 sin2 A sin BsinC .(1)求A;(2)假设亚a b 2c ,求sinC.18. (12 分)如图,直四棱柱ABCD *1B1C D1的底面是菱形,AA1=4, AB=2, / BAD=60° ,E, M, N分别是BC, BB1,A1D的中点.(1)证实：MN //平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.19. (12 分)3抛物线C: y2=3x的焦点为F,斜率为3的直线l与C的父点为A, B, 与x轴的交点为P.(1)假设AF|+|BF|=4,求l 的方程；uuu UJLU(2)假设AP 3PB,求|AB|.20. (12 分)函数f(x) sin x ln(1 x) , f (x)为f (x)的导数.证实:(1) f (x)在区间(1,一)存在唯一极大值点；2(2) f(x)有且仅有2个零点.21. (12 分)为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效, 为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行比照试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定：对于每轮试验,假设施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈那么甲药得1分,乙药得1分；假设施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈那么乙药得1分,甲药得1分；假设都治愈或都未治愈那么两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和机一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)假设甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,P i(i 0,1,L,8)表示中药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效〞的概率,那么P0 0, P8 1,P i ap i 1 bP i cp i 1(i 1,2,L ,7),其中 a P(X 1), b P(X 0), c P(X 1).假设0.5,0.8 .⑴ 证实：{P i1 P i}(i 0,1,2,L ,7)为等比数列;(ii)求P4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做, 那么按所做的第一题计分.22 .［选彳4-4:坐标系与参数方程］(10分)U22,在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为23 .［选彳4-5：不等式选讲］〔10分〕a, b, c为正数,且满足abc=1.证实:b2(1)(2) (a b)3 (b c)3 (c a)32021年普通高等学校招生全国统一测试理科数学？参考答案一、选择题I. C 2. C 3. B 4. B 5. D 6. A 7. B 8. A 9. A 10. B II. C 12. D 二、填空题13. y=3x14. —15. 0.1816. 23 三、解做题 1〕由得sin 2B sin 2C sin 2 A sinBsinC ,故由正弦定理得 b 2 c 2 a 2 bc.由于0 A 180 ,所以A 60 .(2)由(1)知B 120 C,由题设及正弦定理得 亚sin A sin 120 C 2sin C ,一、6 .3 1即— —cosC _sin C 2sin C ,可行 cos C 60222………2 M由于0 C 120 ,所以sin C 60 ——,故2sinC sin C 60 60sin C 60 cos60 cos C 60 sin 60 .6 、2 . 4b 2 由余弦定理得cosA -22c a2bc17.解:,218.解：(1)连结B i C, ME.由于M, E 分别为BB i, BC 的中点,所以ME// _ L _ 1 _ _ B i C,且ME=—B i C.21又由于N 为A i D 的中点,所以ND = —A 1D.由题 2 设知A i B 1P DC,可得 B 1c p A i D,故ME PND,因此四边形MNDE 为平行四边形, MN//ED.又 MN 平面 EDC i,所以 MN //平面 C i DE. (2)由可得DE^DA.以D 为坐标原点,Duu 的方向为x 轴正方向,建立如下图的空间直角坐标系D-xyz,那么uLurN(1,0,2), AA (0,0, 4),_ uuuu uuuu(1,V3, 2), AN ( 1,0, 2), MNuuuiT m AM 0 (x, y,z)为平面A i MA 的法向重,那么uuurm AA 0A(2,0,0) , A i (2,0,4) , M (1,73,2), ULULrAM 设m(0, V3,0) .所以x 、,3y 2z 0可取m (73,i,0) .4z 0.n(p,q,r)为平面A i MN的法向量,那么nuuurMNuuurAN0,0.所以、3q 0,p 2r可取n0.(2,0, 1)・19. 于是cos m,n所以二面角A解：设直线l: y(1)由题设得x i x2m n| mil n|2232 .5.T55 ,MA1N 的正弦值为工53x t,A X i, y i ,B2乂2,丫2 .故| AF||BF| X X2由题设可得3—x23x可得9x212(t 1)x 那么X1i2(t i)9i2(t从而——91) 2,得t所以l的方程为uuu(2)由APuuu3PB可得y i 3y2 •3-x23xt 一L 2,可得y2 2y 2t 0.所以y i y2 2 .从而3y2 V2 2 ,故y2 i,y i 3一、…- i代入C的方程得x i 3,& 3,, 4.13故| AB| .31 ― 1 20.解：(1)设g(x) f'(x),那么g(x) cosx ----------------------- , g'(x) sinx ------------------ 2.1 x (1 x)“当x 1,-时,g'(x)单调递减,而g'(0) 0,g'(-) 0,可得g’(x)在1-有唯一零点, 2设为 .那么当x ( 1,)时,g'(x) 0;当x ,3 时,g'(x) 0.所以g(x)在(1,)单调递增,在 ,万单调递减,故g(x)在1,万存在唯一极大值点,即f'(x)在1,—存在唯一极大值点. 2(2) f(x)的定义域为(1,).⑴当x ( 1,0］时,由(1)知,尸院)在(1,0)单调递增,而f'(0) 0,所以当x ( 1,0)时,f'(x) 0,故£屋)在(1,0)单调递减,又f (0)=0 ,从而x 0是f(x)在(1,0］的唯一零点.(ii)当x 0,-时,由(1)知,f'(x)在(0,)单调递增,在 ,金单调递减,而f'(0)=0 f′ - 0,所以存在,一,使得f'( ) 0,且, 2 2当x (0,)时,f'(x) 0;当x ,-时,f'(x) 0.故f(x)在(0,)单调递增,在,鼻单调递减.又f(0)=0 , f — 1 ln 1 - 0,所以当x 0,- 时,f(x) 0.从2 2 2而,f (x)在0,—没有零点.2(iii)当x -,时,f'(x) 0 ,所以f (x)在—,单调递减.而f - 0 , f ( ) 0 ,所以f(x)在-, 有唯一零点.(iv)当x (,)时,ln(x 1) 1 ,所以 f (x) <0,从而f(x)在(,)没有零点.综上,f (x)有且仅有2个零点.21.解：X的所有可能取值为1,0,1.P(X 1) (1 ),P(X 0) (1 )(1 ),P(X 1) (1 ),所以X的分布列为X -]0 1P (1—口尸 + (I -0)(1 —61(1 —(2) (i)由(1)得a 0.4, b 0.5, c 0.1 .因此P i=0.4R 1+0.5 口+0.库「,故0.1 p i 1 p i 0.4 p p 1 ,即P i 1 p i 4 p i p i 1 .又由于P I P O P I 0,所以p i 1 p i (i 0,1,2,L ,7)为公比为4,首项为P I的等比数列.(ii)由(i)可得P8P 8 P 7 P 7 P 6 L Pi P O P O P 8 P 7 P 7 P 6 L P 1 P,3P 8 = 1 ,故P lP4P 4 P 3 P 3 P 2 P 2 P 1P l44 1 P O 二一P 131 257P 4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出, 在甲药治愈率 为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为1P 4 -------------- 0.0039 ,257此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案 合理. 22.解：〔1〕由于 1 t 2 的直角坐标方程为 t 24t 2 1 t 221,所以C27 1(x1).l 的直角坐标方程为2x 73y 110.〔2〕由〔1〕可设C 的参数方程为cos 2sin冗〕.C 上的点到i 的距离为| 2cos 2.3sin711|/冗4cos3丁112 -—时,4cos3-11取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小 3值为7.23.解：〔1〕由于a 2b 2 2ab,b 2c 2 2bc,c 2 a 2 2ac,又 abc 1,故有2 ,2a bab bc ca ab bc ca 1- 1 所以1a1 2 ,2-a b c abc 2c .〔2〕由于a, b, c 为正数且abc 1 ,故有(a b)3 (b c)3 (c a)333 (a b)3(b c)3(a c)3=3(a+b)(b+c)(a+c)3 (2 ,ab) (2 .. bc) (2 . ac)=24.所以(a b)3 (b c)3 (c a)3 24.1t (t为参数),以坐4t1 t1 2标原点.为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2 cos 33 sin 11 0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值.。