根轨迹绘制的基本准则(二).
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根轨迹法4.2
其一: s zi (i 1, 2...m)
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
Monday, February 24,
4
2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
其二: 是在n>m时,只有当s →∞时
结论: 根轨迹的起点为系统的开环极点或无穷远点;
根轨迹的终点是系统的开环零点或无穷远点
Monday, February 24,
2
2020
法则2. 根轨迹的分支数和对称性
根轨迹分支数等于开环极点数和开环零
点数中的大者,根轨迹连续且对称实轴.
线方向的夹角称为分离角
(2k 1)
l
k 0,1L l 1
(1)若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或 开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。 （2）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。
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2020
法则6 根轨迹的起始角和终止角
-8 -6 -4 -2 0 2
12
2020
[例]开环传递函数为：
Gk
(s)
s[( s
Kg 4)2
，画根轨迹。
1]
解：⒈求出开环零极点，即： p1 0，p2,3 4 j
⒉实轴上的根轨迹：(－∞，0]
⒊渐近线
0 4 4 j 4 4 j 8 2.67
60 ，2c 60
s3
8s2
64 3
s
Kg
0
将 s j 代入得：82 Kgp 0
，
3 64 0
3
Monday, Februar0y ,24,
2020
64 4.62 3
K gp 0 ,
512 3
15
⒍求分离会合点：由特征方程 8
郑小倩4-2 根轨迹绘制的基本法则
即分开的点，称为根轨迹的分离点。
常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相 邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少
有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在
复平面上。
分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上 的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。
j
[s]
j p3
[s]
C
(a1 b1 )sn1 (a1 b1 )sn1
s n b1s n1
...........................
研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通 过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm K* nm s ( a1 b1 ) s n m 1
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止 于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s 平面的无穷远处，如果开环零点数 m大于开 环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面 的无穷远处。
法则二 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹总是对称于实轴。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实 数就是共轭复数) 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数 n。(根轨迹描述特征根的变化法则) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分 支数等于系统特征方程的次数。
常见的根轨迹分离点位于实轴上。实轴上两个相 邻的开环极点之间或两个相邻的开环零点之间，至少
有一个分离点。分离点也可能以共轭形式成对出现在
复平面上。
分离点，实质上就是系统特征方程的重实根（实轴上 的分离点）或重共轭复根（复平面上的分离点）。
j
[s]
j p3
[s]
C
(a1 b1 )sn1 (a1 b1 )sn1
s n b1s n1
...........................
研究s值很大时根轨迹（近似直线）的表达方式（通 过列写直线的方程）。
证明：
G s H s K *
(s z
j 1 n i 1
m
j
)
(s p )
i
K * ( s m b1 s m 1 b m 1 s b m ) s n a1 s n 1 a n 1 s a n
b1 z j
j 1
m
a1 p i
i 1
n
K* n s a1 s n 1 a n 1 s a n s m b1 s m 1 bm 1 s bm K* nm s ( a1 b1 ) s n m 1
结论：
根轨迹起始于开环极点(K*→0)，终止 于开环零点(K*→∞)；如果开环极点数n大 于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s 平面的无穷远处，如果开环零点数 m大于开 环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面 的无穷远处。
法则二 根轨迹的连续性、对称性和分支数
根轨迹是连续的曲线。(K*是连续变化的) 根轨迹总是对称于实轴。 ( 实际的物理系统的参 数都是实数→数学模型的系数是实数→特征根不是实 数就是共轭复数) 根轨迹的分支数(条数)等于系统特征方程的次数 n。(根轨迹描述特征根的变化法则) 结论：根轨迹是连续且对称于实轴的曲线，其分 支数等于系统特征方程的次数。
绘制根轨迹的基本原则
9.闭环极点的和与积
sn a n-1sn-1 a1s a 0 0 设根为s1, s2 , , sn , 则有 (s - s1)(s- s2 ) (s - sn ) 0 由代数方程根与系数的关系, 有
n
si -an-1
i1
对于稳定系统si 0,
n
(si ) a0
i 1
n
故有
i 1
σa
4 1
1.67
jω
与实轴的交角为
φa
180(1 2 μ) nm
1 3
π
60
(μ 0)
φa
180(1 2 μ) nm
3 3
π
180
(μ 1)
1
。
-4 -3 -2 -1 0
σ
-1
例2．已知某负反馈系统的开环传函为 试画出其根轨迹。
G(s) K (s 1) s(s 2)(s 3)
解：(1)根轨迹始于 p1 0, p2 -2, p3 -3; 终于z 1和无穷远点； (2)有3条根轨迹且对称于实轴；
可以解得s －2.47满足题意。
。1
-3
-2 -1
0
σ
最后画出系统的概略根轨迹如图所示。
-1
270
7、 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 点 当根轨迹增益K增加到一定数值时，根轨迹可能越过虚轴 进入右半s平面，出项实部为正的特征根，系统将不稳定。
例：开环传递函数为G (s)
K
, 试 求 根 轨 迹 和 虚 轴 的 交点 ，
3s2 K 0
将KC＝6代入上式解得
sj 2
8、根轨迹的出射角与入射角
(1)出射角: 根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与实轴正方向的夹角
第五章-3-根轨迹绘制法则-2
浙江大学控制科学与工程学系
5
Construction Rules-part 2
根轨迹——绘制法则（K>0）
法则 6: 复数极点 （或零点）的出射角（入射角）也称为起始角（终止角） 假设: 开环系统有四个极点和一个零点
p2 Φ2D (l1)1 Ψ1 z1 l3 l0 Φ1 p1 Φ3=90º p3 p3 Φ0 p0 σ z1 jω Φ2D l2 (l1)1 Ψ1 l3 l1 p1 p2 jω S-平面 Φ0 p0
p 180 ( p3 p1 ) ( p3 p2 ) ( p3 p4 )
4
p 90
实轴上的分离点
180 arctg (2) arctg (2) 90 90
p3
K↑
1 1 1 1 0 d 2 d 4 d 3 j1 d 3 j1 d 3
12
Construction Rules-part 2
根轨迹——绘制法则（K>0）
法则 7: 根轨迹与虚轴的交点 方法2: 根轨迹与虚轴的交点可以运用Routh判据来计算. 例如, 如果闭环特征方程具有如下形式
s 3 bs 2 cs Kd 0
Routh表
s3 s2 1 b c Kd
分析 1) 如果Routh R th表中s1 行元素全为零，则系统出 行元素全为零 则系统出 现无阻尼振荡. 由s2 行可以构造辅助方程
bs 2 Kd 0 s1, 2 j Kd j c b
s1 (bc Kd ) / b Kd s0
浙江大学控制科学与工程学系
13
Construction Rules-part 2
p (1 2h)180 ( pk z j ) ( pk pi )
绘制根轨迹图的规则
K *的表达式为
K*
j 1 m
(s zi )
iห้องสมุดไป่ตู้1
则在分离点处有
dK* 0 ds
分离点坐标d是以下方程的解。
m 1
n1
i1 d zi j1 d p j
在一般情况下，绘制多回路系统的根轨迹时，首先根据内反馈回路的开环传递 函数，绘制内反馈回路的根轨迹，并确定内反馈回路的极点分布；然后由内反馈回 路的零、极点和内反馈回路外的零、极点构成整个多回路系统的开环零、极点；再 按照单回路根轨迹的基本规则，绘制出系统总的根轨迹。但这样绘制出来的根轨迹 只能确定多回路系统极点的分布，而多回路系统的零点还需要根据系统的闭环传递 函数来确定。
(z j
zi )
l 1
( zi
pl
)
，为开环零点（除
zi 外）和开环极
(i j)
点往零点 引zi 出向量的相角净值。
规则9 根轨迹的分离点。两条或两条以上的根轨迹分支，在s平 面上某处相遇后又分开的点，称为根轨迹的分离点（或会合点）。 可见，分离点就是特征方程出现重根之处。重根的重数就是会合到 （或离开）该分离点的根轨迹分支的数目。
坐标及相应的 K值* 可由劳斯判据求得，也可在特征方程中令 s j，然
后使特征方程的实部和虚部分别等于零而求得。根轨迹与虚轴相交，表明系 统在相应 K值* 下处于临界稳定状态。此处的根轨迹增益 K*称为临界根轨 迹增益。
【例 3-2】
设系统的开环传递函数为
Gk
(s)
s(s
K* 1)(s
2)
，求根轨迹与
时的根轨迹方程则有
m
K* (s zi )
i 1
≈
K*
n
自动控制原理4.2 绘制根轨迹的基本法则
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
绘制根轨迹的基本法则（续）
根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶 数。即:分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m) 或=开环零点数m(m>n)。
二、根轨迹的起点和终点：
根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。 若m>n，则有(m-n)条起始于无穷远处。
同理可得 :
zk
2k 1
n
z
k
i 1
pi
m
zk
j 1
zj
jk
共轭复数的开环零极点才需计算出射角和入射角，
实数开环零极点不用计算，一般为：0°, 180°,
±90°, ±60°与±120°, ±45°与±135°等.
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
sd sd
1 2
0.473
3.527舍
j
-5
sd2
sd1
-1
0
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
六、根轨迹与虚轴的交点：
根轨迹与虚轴相交，表示闭环极点中有一部分 位于虚轴上，即闭环特征方程有纯虚根±jω, 系统 处于临界稳定。
1、将s j，代入1 G( j)H( j) 0
3
2
Kg
0
Kg
6,
Kc 3
2、用劳斯判据：
§4—2 绘制根轨迹的基本法则
s3 1
2
s2 3
Kg
s1 6 K g
0
3
s0 K g
当 s1 行 等 于0时 ， 可 能 出现共轭虚根，令
简述绘制根轨迹的规则
简述绘制根轨迹的规则
1.确定系统的传递函数，通常为开环传递函数。
2. 求出传递函数的特征方程，并确定系统的极点和零点。
3. 根据特征方程的根的实部和虚部的符号，确定根轨迹的起点
和方向。
实部为负时，起点在左侧无穷远点；实部为正时，起点在右侧无穷远点。
如果有根在虚轴上，起点在最靠近虚轴的点。
4. 根据特征方程的根的虚部和实部的大小，确定根轨迹的曲线
形状。
虚部相同时，曲线形状取决于实部的大小。
实部相同时，曲线形状取决于虚部的大小。
5. 根据系统的零点，确定根轨迹离开或逼近的方向。
如果零点
是实数，离开或逼近方向与实轴上的零点位置有关。
如果零点是虚数，离开或逼近方向与虚轴上的零点位置有关。
6. 根据根轨迹的数量和方向，确定系统的稳定性和性能。
在根
轨迹穿过虚轴时，系统发生振荡。
在根轨迹趋近无穷远点时，系统响应速度较慢，稳定性较好。
绘制根轨迹需要一定的数学基础和图像分析能力。
在实际应用中，通常使用计算机软件进行绘制和分析。
- 1 -。
根轨迹绘制的基本法则
i =1
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
m
(1− qz j ) = 0
j =1
m
当 K → 时，等价方程为： qn−m (1− qz j ) = 0 j =1
qi = 0, i = 1, 2, n − m
qj
=
1 zj
,
j = 1, 2,
m
上述等价方程的根对应于
si → , i = 1, 2, n − m s j = z j , j = 1, 2, m
第四章 根轨迹法（第二讲）
绘制根轨迹的基本法则
1
根轨迹法则介绍
1、首先讨论负反馈系统在开环增益 K 或根轨迹增益 K 变 化时的根轨迹的绘制法则，又称常规根轨迹的绘制法则; 2、当其他参数变化时，只要适当变换，常规根轨迹的法 则仍然可用；
3、虽然用这些法则绘制的根轨迹不够精确，但基本可以 满足工程上的应用；
i =1
s = pi , i = 1, 2, n
即当根轨迹增益为零时，开环极点就是闭环极点，所以，根轨迹
起始于开环极点。
5
(2) 根轨迹的终点
n
m
(s − pi ) + K (s − z j ) = 0
i =1
j =1
令s = 1， 得等价方程： q
1 K
n
(1− qpi ) + qn−m
R(s)
0 K
1. 根轨迹的分支数等于特征方程的阶数
C(s) G(s)
H (s)
当开环根轨迹增益变化时，共有n个极点在复平面上移动， 共形成n条轨迹。所以，根轨迹的分支数等于开环极点的个数。
2. 根轨迹是连续的且对称于实轴
在开环零、极点确定的情况下，闭环特征根是开环根轨迹 增益的连续函数。由于特征方程的系数是实数，所以特征根或 是实数，或是共轭复数，即根轨迹对称于实轴。
(1) 根轨迹的基本概念 (2) 根轨迹的绘制方法(3) 运用闭环特征方....ppt
可变参数为根轨迹增益 K *
相角条件： 180o相轨迹
m
n
(s z j ) (s pi ) (2k 1)
j 1
i 1
(2k 1)180o , (k 0,1,2,)
规则1：根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于 开环零点。
简要证明：
1 G(s)H (s) 0 K* 0
G(s)H (s)
K*
s(s 3)(s 2 2s 2)
试绘制闭环系统大致的根轨迹。
解（1）无开环零点，开环极点
在实轴上根轨迹[-3，0]。 p1 0 , p2 3 , p3,4 1 j
（2）有4条分支趋向无穷远处。渐近线的夹角与交点
a
(2k 1)180o
4
45o
, 135o
a
0 31 4
（3）分离点
2021/6/16
Automatic Control Theory
17
1 1 1 d 2 d 1 j d 1 j d 2 4d 2 0 d1 3.414
d 3.414
d2 0.586
（4）由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心 为（-2，j0)，半径为 2
m
(1)
1
n
1
j1d z j i1 d pi
1 G(s)H (s) 1 K *M (s) 0 N (s)
(2)
dG(s)H (s) ds
sd
0
(3)
dK* ds
sd 0
2021/6/16
Automatic Control Theory
14
说明：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。 （2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点） 或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。
绘制根轨迹的基本规则(下)03
稳定性
稳态特性
如果闭环极点均位于负实轴上→过阻尼系统；
动态特性
如果闭环极点有两个相等的负实根→临界阻尼系统； 如果闭环极点是一对共轭复根→欠阻尼系统；
根轨迹作图步骤
一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺； 二、找出实轴上的根轨迹； 三、求取n – m条渐近线； 四、若有复数根，则求出根轨迹的出射角、入射角；
K g ( s 1)
试绘制系统的根轨迹。
j
n 2, m 1, 有2条根轨迹；
2）根轨迹的起点和终点：
起点： 开环极点： p1 0.1, p2 0.5;
终点： 开环零点，
z1 1,
180
-1
-0.5
-0.1 0
3）根轨迹的渐近线：
n m 1
2
0 -2 -4 -6 -8 -8
p1 p3
45
3 32 0 2 4 2 5.657 0 0 K gp 256 4 2
0 Kp 32 8 K gp
0
4 2
0 2
-6
-4
-2
[例4-9]开环传递函数为： 画根轨迹。
g
2 (0.6 K g ) 0.05 K g 2 0
K g 2 0.6
以开环零点为 圆心，以零点到 分离点的距离为 半径的一个圆。
2 2 2 0.55
( 1)2 2 0.672
G [例4-11]开环传递函数为： k ( s )
Gk ( s )
Kg s[( s 4) 2 1]
8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8