初三圆的经典例题
请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ 有关圆的经典例题 1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132OABACBAC 分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意AB与AC有不同的位置关系。 解：由题意画图，分AB、AC在圆心O的同侧、异侧两种情况讨论， 当AB、AC在圆心O的异侧时，如下图所示，
过O作OD⊥AB于D，过O作OE⊥AC于E， ∵，，∴，ABACADAE323222
∵，∴∠，OAOADADOA132cos cos∠OAEAEOA22 ∴∠OAD=30°，∠OAE=45°，故∠BAC=75°， 当AB、AC在圆心O同侧时，如下图所示，
同理可知∠OAD=30°，∠OAE=45°， ∴∠BAC=15° 点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。
例2. 如图：△ABC的顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为R，⊙O与AC交于D， 如果点既是的中点，又是边的中点，DABAC
（1）求证：△ABC是直角三角形； ()22求的值ADBC 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
分析：()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，DABODABF 则AF=FB，OD⊥AB，可证DF是△ABC的中位线； （2）延长DO交⊙O于E，连接AE，由于∠DAE=90°，DE⊥AB，∴△ADF
∽△，可得·，而，，故可求DAEADDFDEDFBCDERADBC22122 解：（1）证明，作直径DE交AB于F，交圆于E ∵为的中点，∴⊥，DABABDEAFFB 又∵AD=DC
∴∥，DFBCDFBC12 ∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形。 （2）解：连结AE ∵DE是⊙O的直径 ∴∠DAE=90° 而AB⊥DE，∴△ADF∽△EDA
∴，即·ADDEDFADADDEDF2
∵，DERDFBC212 ∴·，故ADBCRADBCR22
例3. 如图，在⊙O中，AB=2CD，那么（ ） AABCDBABCD..22 CABCDDABCD..22与的大小关系不确定 分析：要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：ABCD2 ()112把的一半作出来，然后比较与的大小。ABABCD
()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CDCDAB 解：解法（一），如图，过圆心O作半径OF⊥AB，垂足为E，
则AFFBAB12 AEEBAB12 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
∵，∴ABCDAECDAB212 ∵AFFBAFFB，∴ 在△AFB中，有AF+FB>AB
∴，∴，∴，∴2222AFABAFABAFCDAFCD
∴ABCD2 ∴选A。 解法（二），如图，作弦DE=CD，连结CE
则DECDCE12 在△CDE中，有CD+DE>CE ∴2CD>CE ∵AB=2CD，∴AB>CE
∴，∴ABCEABCD2 ∴选A。
例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD2OABBCAD141 求CD的长。
分析：连结BD，由AB=BC，可得DB平分∠ADC，延长AB、DC交于E，易得△EBC∽△EDA，又可判定AD是⊙O的直径，得∠ABD=90°，可证得△ABD≌△EBD，得DE=AD，利用△EBC∽△EDA，可先求出CE的长。 解：延长AB、DC交于E点，连结BD
∵ABBCAD141
∴，，∴∠∠ABBCADADBEDB4 ∵⊙O的半径为2，∴AD是⊙O的直径 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
∴∠ABD=∠EBD=90°，又∵BD=BD ∴△ABD≌△EBD，∴AB=BE=1，AD=DE=4 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠EBC=∠EDA，∠ECB=∠EAD
∴△∽△，∴EBCEDABCADCEAE
∴·CEBCAEADBCABBEAD()11412 ∴CDDECE41272
例5. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥ABACODACDEAB 于H，交⊙O于点E，交AC于点F，P为ED的延长线上一点。
（1）当△PCF满足什么条件时，PC与⊙O相切，为什么？ ()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？DACADDEDF 分析：由题意容易想到作辅助线OC， （1）要使PC与⊙O相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH就可以了。
()22要使·，即使，也就是使△∽△ADDEDFADDEDFADDAFDEA 解：（1）当PC=PF，（或∠PCF=∠PFC）时，PC与⊙O相切， 下面对满足条件PC=PF进行证明， 连结OC，则∠OCA=∠FAH， ∵PC=PF，∴∠PCF=∠PFC=∠AFH， ∵DE⊥AB于H，∴∠OCA+∠PCF=∠FAH+∠AFH=90° 即OC⊥PC，∴PC与⊙O相切。
()22当点是劣弧的中点时，·，理由如下：DACADDEDF 连结，∵，∴∠∠AEADCDDAFDEA 又∵∠∠，ADFEDA
∴△∽△，∴DAFDEAADDEDFAD 即AD2=DE·DF 点拨：本题是一道条件探索问题，第（1）问是要探求△PCF满足什么条件时，PC与⊙O 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
相切，可以反过来，把PC与⊙O相切作为条件，探索△PCF的形状，显然有多个答案；第（2）问也可将AD2=DE·DF作为条件，寻找两个三角形相似，探索出点D的位置。
例6. 如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD()ABBCBCO12 D作半圆的切线交AB于E，切点为F，若AE：BE=2：1，求tan∠ADE的值。
分析：要求tan∠ADE，在Rt△AED中，若能求出AE、AD，根据正切的定义就可以得到。ED=EF+FD，而EF=EB，FD=CD，结合矩形的性质，可以得到ED和AE的关系，进一步可求出AE：AD。 解：∵四边形ABCD为矩形，∴BC⊥AB，BC⊥DC ∴AB、DC切⊙O于点B和点C， ∵DE切⊙O于F，∴DF=DC，EF=EB，即DE=DC+EB， 又∵AE：EB=2：1，设BE=x，则AE=2x，DC=AB=3x， DE=DC+EB=4x， 在Rt△AED中，AE=2x，DE=4x， ∴ADx23
则∠tanADEAEADxx22333 点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。 例7. 已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，且点O2在⊙O1上， （1）如下图，AD是⊙O2的直径，连结DB并延长交⊙O1于C，求证CO2⊥AD；
（2）如下图，如果AD是⊙O2的一条弦，连结DB并延长交⊙O1于C，那么CO2所在直线是否与AD垂直？证明你的结论。 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！
分析：（1）要证CO2⊥AD，只需证∠CO2D=90°，即需证∠D+∠C=90°，考虑到AD是⊙O2的直径，连结公共弦AB，则∠A=∠C，∠DBA=90°，问题就可以得证。 （2）问题②是一道探索性的问题，好像难以下手，不妨连结AC，直观上看，AC等于CD，到底AC与CD是否相等呢？考虑到O2在⊙O1上，连结AO2、DO2、BO2，可得∠1=∠2，且有△AO2C≌△DO2C，故CA=CD，可得结论CO2⊥AD。 解：（1）证明，连结AB，AD为直径，则∠ABD=90° ∴∠D+∠BAD=90° 又∵∠BAD=∠C，∴∠D+∠C=90° ∴∠CO2D=90°，∴CO2⊥AD （2）CO2所在直线与AD垂直， 证明：连结O2A、O2B、O2D、AC 在△AO2C与△DO2C中
∵，∴，∴∠∠OAOBAOBO222212 ∵∠O2BD=∠O2AC，又∠O2BD=∠O2DB，∴∠O2AC=∠O2DB ∵O2C=O2C，∴△AO2C≌△DO2C，∴CA=CD， ∴△CAD为等腰三角形， ∵CO2为顶角平分线，∴CO2⊥AD。
例8. 如下图，已知正三角形ABC的边长为a，分别为A、B、C为圆心， 以为半径的圆相切于点、、，求、、围成的图形面aOOOOOOOOO2123122331
积S。（图中阴影部分）
分析：阴影部分面积等于三角形面积减去3个扇形面积。 解：SaSaaABC△扇，×·3433628222()
∴阴Saaa348238222 此题可变式为如下图所示，⊙、⊙、⊙两两不相交，且它们的半径都ABC 为，求图中三个扇形阴影部分的面积之和。a2()
初三圆练习题应用题带答案
初三圆练习题应用题带答案问题一：已知一个圆的半径r为3cm，求该圆的周长和面积。
解答一：根据圆的周长公式C = 2πr，其中π取近似值3.14，半径r为3cm，代入计算可得：C = 2 × 3.14 × 3 ≈ 18.84cm根据圆的面积公式A = πr²，其中π取近似值3.14，半径r为3cm，代入计算可得：A = 3.14 × 3² ≈ 28.26cm²所以，该圆的周长约为18.84cm，面积约为28.26cm²。
问题二：一个圆形花坛的直径为6m，围绕花坛修建一条宽2m的人行道，求人行道的面积。
解答二：首先求出花坛的半径，半径r = 直径d / 2 = 6m / 2 = 3m。
由于人行道是围绕花坛修建的，所以人行道的半径等于花坛的直径和人行道宽度之和，即R = r + 2m = 3m + 2m = 5m。
根据圆的面积公式A = πR²，其中π取近似值3.14，半径R为5m，代入计算可得：A = 3.14 × 5² ≈ 78.5m²所以，人行道的面积约为78.5m²。
问题三：小明家的花园是一个半径为8m的圆形，他要在花园内修建一个半径为2m的圆形草坪，请问还剩下多少平方米的空地未被草坪覆盖？解答三：花园的半径r为8m，所以花园的面积A1 = πr²，其中π取近似值3.14，半径r为8m，代入计算可得：A1 = 3.14 × 8² ≈ 200.96m²草坪的半径r为2m，所以草坪的面积A2 = πr²，其中π取近似值3.14，半径r为2m，代入计算可得：A2 = 3.14 × 2² ≈ 12.56m²空地的面积等于花园的面积减去草坪的面积，即空地面积A = A1 - A2 = 200.96m² - 12.56m² ≈ 188.4m²所以，还剩下约188.4平方米的空地未被草坪覆盖。
九年级中考数学压轴题《圆》专题练习
九年级中考数学压轴题《圆》专题练习1、如图，BD为△ABC外接圆⊙O的直径，且∠BAE=∠C．（1）求证：AE与⊙O相切于点A；（2）若AE∥BC，BC=2，AC=2，求AD的长．2、如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2=AB·BE.3、如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BD=，BE=1．求阴影部分的面积．4、如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若BC=8，tanB=，求⊙O的半径．5、如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．6、如图，AB 为⊙O 的直径，点E 在⊙O 上，C 为弧BE 的中点，过点C 作直线CD ⊥AE 于D ，连接AC ，BC 。
（1）试判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若AD=2，AC=6，求AB 的长。
7、如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形F ADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．8、如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．9、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，点O在AB 上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC，AB于点E，F.（1）试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BD=23，BF=2，求阴影部分的面积（结果保留π）10、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=900,点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC、BM于点D、E（1）求证：MD=ME（2）填空：①若AB=6，当AD=2DM时，DE= ；②连接OD，OE，当∠A的度数为时，四边形ODME是菱形。
初三数学圆精选练习题及答案
初三数学圆精选练习题及答案1.正确答案为C。
圆的切线垂直于圆的半径。
2.正确答案为A。
AB＞2CD。
3.图中能用字母表示的直角共有4个。
4.正确答案为B。
CD-AB=4cm，根据勾股定理可得AB与CD的距离为14cm。
5.正确答案为120°。
圆周角等于弧所对圆心角的两倍，2×60°=120°。
6.正确答案为130°。
圆周角等于圆心角的两倍，2×100°=200°，而∠ACB为圆周角减去弧所对圆心角，200°-70°=130°。
7.正确答案为B。
根据正弦定理可得S AOB=(1/2)×20×20×sin120°=503cm2.8.正确答案为D。
由于OA=AB，所以∠OAB=∠OBA=30°，而∠BCO=90°-∠OAB=60°，所以∠BOC=2∠BCO=120°。
又因为∠XXX∠OCA=30°，所以∠AOC=120°，所以∠BOD=60°-∠OAB=30°，∠XXX∠OED=∠XXX°。
9.正确答案为A。
根据勾股定理可得d=20√3，所以R2=(d/2)2+202=400，r2=(d/2)2+102=100，所以R=20，r=10，两圆内切。
10.正确答案为225°。
圆锥的侧面展开图为一个扇形，圆心角为360°-2arctan(5/3)，约为225°。
11.若一条弦把圆分成1:3两部分，则劣弧所对的圆心角的度数为 $120^\circ$。
12.在圆 $\odot O$ 中，若直径 $AB=10$ cm，弦$CD=6$ cm，则圆心 $O$ 到弦 $CD$ 的距离为 $2\sqrt{19}$ cm。
13.在圆 $\odot O$ 中，弦 $AB$ 所对的圆周角等于其所在圆周的一半。
初三有关圆的解答题及答案
初三有关圆的解答题及答案初三数学教学中，圆是一个非常重要的内容，也是经常考察的一道题型。
下面，我们来探讨一些初三有关圆的解答题及其答案。
一、相切问题问题：两个圆相切，半径分别为$r_1$和$r_2$，求它们的公切线的长度$L$。
解析：根据勾股定理，可得：$(r_1 + r_2)^2 = L^2 + (r_1 - r_2)^2$化简得：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$答案：$L = 2\sqrt{r_1r_2}$二、切线问题问题：已知一个圆心坐标$(a, b)$，与一直线$y=k$相切，求这个圆的方程。
解析：由于圆与直线相切，所以该直线的距离等于圆的半径。
直线$y=k$与圆的距离为$|b-k|$，因此圆的方程为：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$答案：$(x-a)^2 + (y-b)^2 = (b-k)^2$三、垂直问题问题：已知直线$y=k$和圆$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$相交于点$P(x_0,y_0)$，求直线$OP$的斜率，其中$O(a,b)$为圆心。
解析：首先，求点$P$的坐标。
因为$P$是圆和直线的交点，所以可以列出以下方程组：$\begin{cases} y=k \\ (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \end{cases}$将$y=k$代入第二个方程，可得：$(x-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$将$(x,y)$代入，得到：$(x_0-a)^2 + (k-b)^2 = r^2$整理可得：$x_0 = a\pm \sqrt{r^2-(k-b)^2}$由于直线$OP$与$x$轴垂直，所以直线$OP$的斜率为$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$。
代入$x_0$和$y_0$，即可得到答案。
答案：$-\frac{1}{\frac{y_0-b}{x_0-a}}$四、分割问题问题：一个圆$O$被圆弧$AB$和直径$CD$所分割，分别为弧$AB$和弧$BCD$。
中考数学圆经典大题
1、如图 8，点 D 是⊙ O的直径 CA延伸线上一点，点 B 在⊙ O上，且 AB＝ AD＝ AO．（1）求证： BD是⊙ O的切线．（2）若点 E 是劣弧 BC上一点， AE与 BC订交于点 F，且△ BEF的面积为 8，cos∠BFA＝2，求△ ACF的面积．32、如图 10， AB是⊙ O的直径， AB=10，DC切⊙ O于点 C， AD⊥DC，垂足为 D， AD交⊙ O于点 E。
（1）求证： AC均分∠ BAD；（2）若 sin ∠ BEC=3，求 DC的长。
53、如图，矩形ABCD中，ABD5，AD 3 ．点 E 是 CD 上的动点，以 AE 为直径E C的⊙O 与 AB 交于点 F ，过点 F 作 FG ⊥ BE 于点 G ．13（1）当E是CD的中点时：A2B① tan EAB 的值为______________；图 10②证明： FG 是⊙O 的切线；（2）尝试究：BE可否与⊙O相切 ?若能，求出此时DE 的长；若不可以，请说明理由．DEC 4、如图 10， AB是⊙O 的直径， C 是弧 BD的中点， CE⊥AB，垂足为E， BD交 CEOG于点 F．（1）求证：CF BF；BA（2）若AD 2，⊙O的半径为 3，求 BC的长．F5、如图，△ ABC内接于半圆， AB是直径，过 A作直线 MN，若∠ MAC=∠ABC ．（1）求证： MN是半圆的切线；（2）设 D 是弧 AC的中点，连结 BD交 AC 于 G，过 D作 DE⊥AB 于 E，交 AC于 F．求证： FD＝ FG．（3）若△ DFG的面积为 4.5 ，且 DG=3，GC=4，试求△ BCG的面积．6、如下图，AB 是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若AEC ODB．（1）判断直线BD和⊙O的地点关系，并给出证明；（2）当AB10，BC 8 时，求 BD 的长．7、如图，点 A 、 B 、 C 是O 上的三点，AB // OC .（1）求证：AC均分OAB .（2）过点O作OE AB 于点 E ，交 AC 于点 P .若AB 2 ， AOE 30 ，求 PE 的长．8、如图 10，⊙ O 的弦 AD∥ BC,过点 D 的切线交B C的延伸线于点E， AC∥ DE交BD于点 H， DO及延伸线分别交AC、BC于点 G、 F.(1)求证： DF垂直均分 AC；（2）求证： FC＝ CE；（3）若弦 AD＝ 5 ㎝， AC＝8 ㎝，求⊙ O的半径 .9、如下图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，过点C的切线交 AD的延伸线于点E，且 AE⊥ CE，连结 CD．（1）求证：DC=BC；（2）若AB=5，AC=4，求 tan ∠DCE的值．10、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C 的直线与 AB 的延伸线交于点P ，AC PC ，COB2PCB ．（1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）求证：BC 1 AB；2（3）点M是AB的中点，CM交AB 于点N ，若AB 4 ，求 MN MC 的值．11、在Rt△ABC中，ACB90°，D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与边 AC 相切于点 E ，连结 DE 并延伸，与 BC 的延伸线交于点 F ．（1）求证：BD BF ；（2）若BC6， AD 4 ，求⊙O 的面积．。
初三数学有关圆的经典例题.pdf
有关圆的经典例题1. 在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。
132O AB AC BAC2. 如图：△ABC 的顶点A 、B 在⊙O 上，⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于D ，如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂（1）求证：△ABC 是直角三角形； ()22求的值AD BC3. 如图，在⊙O 中，AB=2CD ，那么（ ） A AB CD B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂22C AB CDD AB CD ..⋂=⋂⋂⋂22与的大小关系不确定4.如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===141求CD 的长。
5.如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB⋂于H ，交⊙O 于点E ，交AC 于点F ，P 为ED 的延长线上一点。
（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么？()22当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=6.如图，四边形是矩形，以为直径作半圆，过点ABCD ()AB BC BC O >12D 作半圆的切线交AB 于E ，切点为F ，若AE ：BE=2：1，求tan ∠ADE 的值。
分析：要求tan ∠ADE ，在Rt △AED 中，若能求出AE 、AD ，根据正切的定义就可以得到。
ED=EF+FD ，而EF=EB ，FD=CD ，结合矩形的性质，可以得到ED 和AE 的关系，进一步可求出AE ：AD 。
解：∵四边形ABCD 为矩形，∴BC ⊥AB ，BC ⊥DC ∴AB 、DC 切⊙O 于点B 和点C ，∵DE 切⊙O 于F ，∴DF=DC ，EF=EB ，即DE=DC+EB ， 又∵AE ：EB=2：1，设BE=x ，则AE=2x ，DC=AB=3x ， DE=DC+EB=4x ，在Rt △AED 中，AE=2x ，DE=4x ，∴AD x =23则∠tan ADE AE AD x x ===22333点拨：本题中，通过观察图形，两条切线有公共点，根据切线长定理，得到相等线段。
初三圆的经典复习习题
初三圆的经典复习习题初三圆的经典复习习题【经典例题精讲】例1 如图23-2，已知AB为⊙O直径，C为上一点，CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交⊙O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律、解：连结OP，P点为中点、小结：此题运用垂径定理进行推断、例2 下列命题正确的是( )A、相等的圆周角对的弧相等B、等弧所对的弦相等C、三点确定一个圆D、平分弦的直径垂直于弦、解：A、在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确、B、等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确、C、三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆、D、平分弦(不是直径)的直径垂直于此弦、故选B、例3 四边形ABCD内接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D、分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等、解：设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x、x＋2x＋3x＋2x＝360，x＝45、∴∠D＝90、小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于⊙O，周长为20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的长、例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径、若测得PA＝5cm，则铁环的半径是__________cm、分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、解直角三角形的知识进行合作解决，即过P点作直线OP⊥PA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解、解：、小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型、例5 已知相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距、解：分两种情况讨论：(1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设与AB交于C，连结，则垂直平分AB，∴、又∵AB＝16∴AC＝8、在中，、在中，、故、(2)若位于AB的同侧(如图23-9)，设的延长线与AB交于C，连结、∵垂直平分AB，∴、又∵AB＝16，∴AC＝8、在中，、在中，、故、注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题、三、相关定理：1、相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
初中圆的经典例题
初中圆的经典例题初中圆的经典例题1. 已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。
解析：圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为圆的半径。
代入已知数据可得C = 2π× 5 = 10π cm。
圆的面积可以通过公式A = πr来计算，代入已知数据可得A = π× 5 = 25π cm。
所以圆的周长为10π cm，面积为25π cm。
2. 已知圆的直径为10cm，求圆的周长和面积。
解析：圆的周长可以通过公式C = πd来计算，其中d为圆的直径。
代入已知数据可得C = π× 10 = 10π cm。
圆的面积可以通过公式A = πr来计算，其中r为圆的半径，半径等于直径的一半。
代入已知数据可得A = π× (10/2) = 25π cm。
所以圆的周长为10π cm，面积为25π cm。
3. 一个半径为6cm的圆的面积是多少？解析：圆的面积可以通过公式A = πr来计算，其中r为圆的半径。
代入已知数据可得A = π× 6 = 36π cm。
所以这个半径为6cm的圆的面积为36π cm。
4. 一个圆的周长是24π cm，求其半径。
解析：圆的周长可以通过公式C = 2πr来计算，其中r为圆的半径。
已知周长为24π cm，代入公式可得24π = 2πr。
两边同时除以2π，得到r = 12 cm。
所以这个圆的半径为12 cm。
这些例题涉及圆的周长和面积的计算，通过运用圆的相关公式和已知数据，可以求出圆的周长和面积。
这是初中数学中常见的圆的应用题型，对于理解和掌握圆的性质和计算方法非常重要。
初三数学圆的练习题
初三数学圆的练习题
1. 已知圆的半径为5cm，求圆的周长和面积。
2. 一个圆的直径是12cm，计算该圆的半径和面积。
3. 圆心在坐标原点，半径为8cm的圆，求圆上任意一点（x, y）满足
的条件。
4. 一个圆与x轴相切，且圆心在y轴上，如果圆的半径为6cm，求圆
心的坐标。
5. 已知一个圆的圆心坐标为（3, 4），半径为5cm，求通过点（7, 2）的切线方程。
6. 圆的方程为（x-2）²+（y+3）²=9，求圆心坐标和半径。
7. 一个圆的半径为7cm，圆心在第一象限，且圆与x轴和y轴都相切，求圆心坐标。
8. 已知圆的方程为x²+y²-6x-8y+24=0，求圆心坐标和半径。
9. 一个圆的直径端点分别为A(1, 2)和B(5, 6)，求该圆的方程。
10. 圆心在直线y=2x上，且通过点（3, 3），求圆的方程。
11. 一个圆与x轴相切，圆心在直线y=x上，且通过点（2, 3），求
圆的方程。
12. 已知圆的方程为x²+y²-4x+2y-8=0，求圆的直径。
13. 圆心在直线y=-x上，半径为5cm，且圆与坐标轴都相切，求圆心
坐标。
14. 圆的方程为（x-1）²+（y+2）²=25，求圆与坐标轴的交点坐标。
15. 已知圆的方程为x²+y²-2x-6y+9=0，求圆与直线y=x的交点坐标。
九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析
九年级中考数学圆的综合解答题压轴题提高专题练习附答案解析一、圆的综合1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若tan A=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．【解析】试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DE BE BDAE DE AD==．∵Rt△ABD中，tan A=BDAD=12，∴DE BEAE DE==12，∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．2．如图，已知Rt△ABC中，C=90°，O在AC上，以OC为半径作⊙O，切AB于D点，且BC=BD．（1）求证：AB为⊙O的切线；（2）若BC=6，sinA=35，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，P点在⊙O上为一动点，求BP的最大值与最小值.【答案】（1）连OD，证明略；（2）半径为3；（3）最大值35+3 ，35-3.【解析】分析：（1）连接OD，OB，证明△ODB≌△OCB即可.（2）由sinA=35且BC=6可知，AB=10且cosA=45，然后求出OD的长度即可.（3）由三角形的三边关系，可知当连接OB交⊙O于点E、F，当点P分别于点E、F重合时，BP分别取最小值和最大值.详解：（1）如图：连接OD、OB.在△ODB和△OCB中：OD=OC,OB=OB,BC=BD;∴△ODB≌△OCB（SSS）.∴∠ODB=∠C=90°.∴AB为⊙O的切线.（2）如图：∵sinA=35，∴CB3AB5=,∵BC=6，∴AB=10,∵BD=BC=6,∴AD=AB-BD=4,∵sinA=35，∴cosA=45，∴OA=5，∴OD=3，即⊙O的半径为：3.（3）如图：连接OB，交⊙O为点E、F，由三角形的三边关系可知：当P点与E点重合时，PB取最小值.由（2）可知：OD=3，DB=6,∴223635+=∴PB=OB-OE=353.当P点与F点重合时，PB去最大值，PB=OP+OB=3+35点睛：本题属于综合类型题，主要考查了圆的综合知识.关键是对三角函数值、勾股定理、全等三角形判定与性质的理解.3．如图，已知四边形ABCD是矩形，点P在BC边的延长线上，且PD=BC，⊙A经过点B，与AD边交于点E，连接CE .（1）求证：直线PD是⊙A的切线；（2）若PC=25，sin∠P=23，求图中阴影部份的面积（结果保留无理数）．【答案】（1）见解析；（2）20-4π.【解析】分析：（1）过点A作AH⊥PD，垂足为H，只要证明AH为半径即可.（2）分别算出Rt△CED的面积，扇形ABE的面积，矩形ABCD的面积即可.详解：（1）证明：如图，过A作AH⊥PD，垂足为H，∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC，∠PCD=∠BCD=90°，∴∠ADH=∠P，∠AHD=∠PCD=90°，又PD=BC，∴AD=PD，∴△ADH≌△DPC，∴AH=CD，∵CD=AB，且AB是⊙A的半径，∴AH=AB,即AH是⊙A的半径，∴PD是⊙A的切线.（2）如图，在Rt△PDC中，∵sin∠P=23CDPD，5，令CD=2x，PD=3x，由由勾股定理得：（3x）2-(2x)252，解得：x=2，∴CD=4，PD=6，∴AB=AE=CD=4，AD=BC=PD=6，DE=2，∵矩形ABCD的面积为6×4=24，Rt△CED的面积为12×4×2=4，扇形ABE的面积为12π×42=4π，∴图中阴影部份的面积为24-4-4π=20-4π.点睛：本题考查了全等三角形的判定，圆的切线证明，三角形的面积，扇形的面积，矩形的面积.4．已知，如图：O1为x轴上一点，以O1为圆心作⊙O1交x轴于C、D两点，交y轴于M、N两点，∠CMD的外角平分线交⊙O1于点E，AB是弦，且AB∥CD，直线DM的解析式为y=3x+3．（1）如图1，求⊙O1半径及点E的坐标．（2）如图2，过E作EF⊥BC于F，若A、B为弧CND上两动点且弦AB∥CD，试问：BF+CF 与AC之间是否存在某种等量关系？请写出你的结论，并证明．（3）在（2）的条件下，EF交⊙O1于点G，问弦BG的长度是否变化？若不变直接写出BG 的长（不写过程），若变化自画图说明理由．【答案】（1）r=5 E（4，5）（2）BF+CF=AC （3）弦BG的长度不变，等于2【解析】分析：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1，可以证到∠ECD=∠SME=∠EMC=∠EDC，从而可以证到∠EO1D=∠EO1C=90°．由直线DM的解析式为y=3x+3可得OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r．在Rt△MOO1中利用勾股定理就可解决问题．（2）过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．由AB∥DC可证到BD=AC，易证四边形O1PFQ是矩形，从而有O1P=FQ，∠PO1Q=90°，进而有∠EO1P=∠CO1Q，从而可以证到△EPO1≌△CQO1，则有PO1=QO1．根据三角形中位线定理可得FQ=12BD．从而可以得到BF+CF=2FQ=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．易证EF∥BD，则有∠GEB=∠EBD，从而有¶BG=¶ED，也就有BG=DE．在Rt△EO1D中运用勾股定理求出ED，就可解决问题．详解：（1）连接ED、EC、EO1、MO1，如图1．∵ME平分∠SMC，∴∠SME=∠EMC．∵∠SME=∠ECD，∠EMC=∠EDC，∴∠ECD=∠EDC，∴∠EO1D=∠EO1C．∵∠EO1D+∠EO1C=180°，∴∠EO1D=∠EO1C=90°．∵直线DM的解析式为y=3x+3，∴点M的坐标为（0，3），点D的坐标为（﹣1，0），∴OD=1，OM=3．设⊙O1的半径为r，则MO1=DO1=r．在Rt△MOO1中，（r﹣1）2+32=r2．解得：r=5，∴OO1=4，EO1=5，∴⊙O1半径为5，点E的坐标为（4，5）．（2）BF+CF=AC．理由如下：过点O1作O1P⊥EG于P，过点O1作O1Q⊥BC于Q，连接EO1、DB，如图2．∵AB∥DC，∴∠DCA=∠BAC，∴¶AD=¶¶BC BD∴，=¶AC，∴BD=AC．∵O1P⊥EG，O1Q⊥BC，EF⊥BF，∴∠O1PF=∠PFQ=∠O1QF=90°，∴四边形O1PFQ是矩形，∴O1P=FQ，∠PO1Q=90°，∴∠EO1P=90°﹣∠PO1C=∠CO1Q．在△EPO1和△CQO1中，111111EO P CO QEPO CQOO E O C∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EPO1≌△CQO1，∴PO1=QO1，∴FQ=QO1．∵QO1⊥BC，∴BQ=CQ．∵CO1=DO1，∴O1Q=12 BD，∴FQ=12BD．∵BF+CF=FQ+BQ+CF=FQ+CQ+CF=2FQ，∴BF+CF=BD=AC．（3）连接EO1，ED，EB，BG，如图3．∵DC是⊙O1的直径，∴∠DBC=90°，∴∠DBC+∠EFB=180°，∴EF∥BD，∴∠GEB=∠EBD，∴¶BG=¶ED，∴BG=DE．∵DO1=EO1=5，EO1⊥DO1，∴DE=52，∴BG=52，∴弦BG的长度不变，等于52．点睛：本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、弧与弦的关系、垂径定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的判定与性质、勾股定理等知识，综合性比较强，有一定的难度．而由AB∥DC证到AC=BD是解决第（2）小题的关键，由EG∥DB证到BG=DE是解决第（3）小题的关键．5．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交⊙O于点H，连接DC，AC．（1）求证：∠AEC=90°；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与⊙O切点C，则∠OCE=90°，由题意得，∠DAC=∠CAB，即可证明AE∥OC，则∠AEC+∠OCE=180°，从而得出∠AEC=90°；（2）四边形AOCD为菱形．由（1）得，则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD．根据四边形AOCD为菱形，得△OAD是等边三角形，则∠AOD=60°，再由DH⊥AB于点F，AB为直径，在Rt△OFD中，根据sin∠AOD=，求得DH的长．试题解析：（1）连接OC，∵EC与⊙O切点C，∴OC⊥EC，∴∠OCE=90°，∵点CD是半圆O的三等分点，∴，∴∠DAC=∠CAB，∵OA=OC，∴∠CAB=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA ，∴AE ∥OC （内错角相等，两直线平行）∴∠AEC+∠OCE=180°，∴∠AEC=90°；（2）四边形AOCD 为菱形．理由是： ∵，∴∠DCA=∠CAB ，∴CD ∥OA ，又∵AE ∥OC ，∴四边形AOCD 是平行四边形，∵OA=OC ，∴平行四边形AOCD 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD ．∵四边形AOCD 为菱形，∴OA=AD=DC=2，∵OA=OD ，∴OA=OD=AD=2，∴△OAD 是等边三角形，∴∠AOD=60°，∵DH ⊥AB 于点F ，AB 为直径，∴DH=2DF ，在Rt △OFD 中，sin ∠AOD=， ∴DF=ODsin ∠AOD=2sin60°=，∴DH=2DF=2． 考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形．6．如图1O e ，的直径12AB P =，是弦BC 上一动点(与点B C ，不重合)30ABC o ，∠=，过点P 作PD OP ⊥交O e 于点D ．()1如图2，当//PD AB 时，求PD 的长；()2如图3，当»»DC AC =时，延长AB 至点E ，使12BE AB =，连接DE ． ①求证：DE 是O e 的切线；②求PC 的长．【答案】（1）26；（2）333-①见解析，②．【解析】分析：()1根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出OP PD ，的长； ()2①首先得出OBD V 是等边三角形，进而得出ODE OFB 90∠∠==o ，求出答案即可；②首先求出CF 的长，进而利用直角三角形的性质得出PF 的长，进而得出答案． 详解：()1如图2，连接OD ，//OP PD PD AB ⊥Q ，，90POB ∴∠=o ，O Q e 的直径12AB =，6OB OD ∴==，在Rt POB V 中，30ABC o ∠=，3tan30623OP OB ∴=⋅==o 在Rt POD V 中， 22226(23)26PD OD OP =-=-=；()2①证明：如图3，连接OD ，交CB 于点F ，连接BD ，»»DC AC =Q ，30DBC ABC ∴∠=∠=o ，60ABD o ∴∠=，OB OD =Q ，OBD ∴V 是等边三角形，OD FB ∴⊥，12BE AB =Q ， OB BE ∴=，//BF ED ∴，90ODE OFB o ∴∠=∠=，DE ∴是O e 的切线；②由①知，OD BC ⊥，3cos306332CF FB OB ∴==⋅=⨯=o 在Rt POD V 中，OF DF =， 13(2PF DO ∴==直角三角形斜边上的中线，等于斜边的一半)， 333CP CF PF ∴=-=．点睛：此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角函数关系，正确得出OBD V 是等边三角形是解题关键．7．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为 ；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标； （2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论；（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论； （4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°， ∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t=，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．8．(8分)已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.(1)如图①，求证：ED为⊙O的切线；(2)如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．【答案】（1）见解析；（2）12【解析】试题分析：（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO 的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度试题解析：解：（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=45EDEO=，cos∠EOD=35ODOE=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×45=245，MO=OD•cos∠EOD=6×35=185，∴EM=EO﹣MO=10﹣18 5=325，EA=EO+OA=10+6=16．∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴DM EMGA EA=，即24325516GA，解得GA=12．点睛：本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；（2）通过相似三角形的性质找出相似比．9．如图1，延长⊙O的直径AB至点C，使得BC=12AB，点P是⊙O上半部分的一个动点（点P不与A、B重合），连结OP，CP．（1）∠C的最大度数为；（2）当⊙O的半径为3时，△OPC的面积有没有最大值？若有，说明原因并求出最大值；若没有，请说明理由；（3）如图2，延长PO交⊙O于点D，连结DB，当CP=DB时，求证：CP是⊙O的切线．【答案】（1）30°；（2）有最大值为9，理由见解析；（3）证明见解析.【解析】试题分析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP的度数最大，根据切线的性质即可求得；（2）由△OPC的边OC是定值，得到当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，于是得到结论；（3）根据全等三角形的性质得到AP=DB，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠C，得到CO=OB+OB=AB，推出△APB≌△CPO，根据全等三角形的性质得到∠CPO=∠APB，根据圆周角定理得到∠APB=90°，即可得到结论．试题解析：（1）当PC与⊙O相切时，∠OCP最大．如图1，所示：∵sin∠OCP=OPOC=2 4=12，∴∠OCP=30°∴∠OCP的最大度数为30°，故答案为：30°；（2）有最大值，理由：∵△OPC的边OC是定值，∴当OC边上的高为最大值时，△OPC的面积最大，而点P在⊙O上半圆上运动，当PO⊥OC时，取得最大值，即此时OC边上的高最大，也就是高为半径长，∴最大值S△OPC=12OC•OP=12×6×3=9；（3）连结AP，BP，如图2，在△OAP与△OBD中，OA ODAOP BODOP OB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OAP≌△OBD，∴AP=DB，∵PC=DB，∴AP=PC，∵PA=PC，∴∠A=∠C，∵BC=12AB=OB，∴CO=OB+OB=AB，在△APB和△CPO中，AP CPA CAB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△APB≌△CPO，∴∠CPO=∠APB，∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠CPO=90°，∴PC切⊙O于点P，即CP是⊙O的切线．10．如图，已知在△ABC中，∠A=90°，（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．【答案】（1）作图见解析；（2）3π【解析】【分析】（1）与AB、BC两边都相切．根据角平分线的性质可知要作∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点就是点P的位置．（2）根据角平分线的性质和30°角的直角三角形的性质可求半径，然后求圆的面积．【详解】解：（1）如图所示，则⊙P为所求作的圆．（2）∵∠ABC=60°，BP平分∠ABC，∴∠ABP=30°，∵∠A=90°，∴BP=2APRt△ABP中,AB=3，由勾股定理可得：AP=3，∴S⊙P=3π11．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E作EN⊥AC于点NRt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt△ENA中，EN =又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30°∴AE=Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°=2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数12．如图，AB为⊙O的直径，DA、DC分别切⊙O于点A，C，且AB=AD．（1）求tan∠AOD的值．（2）AC，OD交于点E，连结BE．①求∠AEB的度数；②连结BD交⊙O于点H，若BC=1，求CH的长．【答案】（1）2；（2）①∠AEB＝135°；②22 CH=【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得∠BAD=90°，由题意可得AD=2AO，即可求tan∠AOD的值；（2）①根据切线长定理可得AD=CD，OD平分∠ADC，根据等腰三角形的性质可得DO⊥AC，AE=CE，根据圆周角定理可求∠ACB=90°，即可证∠ABC=∠CAD，根据“AAS”可证△ABC≌△DAE，可得AE=BC=EC，可求∠BEC=45°，即可求∠AEB的度数；②由BC=1，可求AE=EC=1，BE2=，根据等腰直角三角形的性质可求∠ABE=∠HBC，可证△ABE∽△HBC，可求CH的长．【详解】（1）∵DA是⊙O切线，∴∠BAD=90°．∵AB=AD，AB=2AO，∴AD=2AO，∴tan∠AODADAO==2；（2）①∵DA、DC分别切⊙O于点A，C，∴AD=CD，OD平分∠ADC，∴DO⊥AC，AE=CE．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，且∠BAC+∠CAD=90°，∴∠ABC=∠CAD，且AB=AD，∠ACB=∠AED=90°，∴△ABC≌△DAE（AAS），∴CB=AE，∴CE=CB，且∠ACB=90°，∴∠BEC=45°=∠EBC，∴∠AEB=135°．②如图，∵BC=1，且BC=AE=CE，∴AE=EC=BC=1，∴BE2=．∵AD=AB，∠BAD=90°，∴∠ABD=45°，且∠EBC=45°，∴∠ABE=∠HBC，且∠BAC=∠CHB，∴△ABE∽△HBC，∴BC CHEB AE=，即12CH=，∴CH22=．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．13．在平面直角坐标系XOY中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，若P、Q为某等边三角形的两个顶点，且有一边与x轴平行（含重合），则称P、Q 互为“向善点”．如图1为点P、Q互为“向善点”的示意图．已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（m，0）（1）在点M（﹣1，0）、S（2，0）、T（3，33）中，与A点互为“向善点”的是_____；（2）若A、B互为“向善点”，求直线AB的解析式；（3）⊙B的半径为3，若⊙B上有三个点与点A互为“向善点”，请直接写出m的取值范围．【答案】（1）S，T．（2）直线AB的解析式为y3或y3x33）当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出点S，T与A点互为“向善点”；（2）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，可得出关于m的分式方程，解之经检验后可得出点B的坐标，根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况求出m的值，再利用数形结合即可得出结论．【详解】（1）∵303303tan60︒--===3333tan60︒-==，∴点S，T与A点互为“向善点”．故答案为S，T．（2）根据题意得：303 |1|m=-解得：m1＝0，m2＝2，经检验，m1＝0，m2＝2均为所列分式方程的解，且符合题意，∴点B的坐标为（0，0）或（2，0）．设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），将A（1，），B（0，0）或（2，0）代入y＝kx+b，得：3k bb⎧+=⎪⎨=⎪⎩或320k bk b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：3kb⎧=⎪⎨=⎪⎩或323kb⎧=-⎪⎨=⎪⎩，∴直线AB的解析式为y＝3x或y＝﹣3x+23．（3）当⊙B与直线y＝3x相切时，过点B作BE⊥直线y＝3x于点E，如图2所示．∵∠BOE＝60°，∴sin60°＝32BEOB=，∴OB＝2，∴m＝﹣2或m＝2；当⊙B与直线y＝﹣3x+23相切时，过点B作BF⊥直线y＝﹣3x+23于点F，如图3所示．同理，可求出m＝0或m＝4．综上所述：当﹣2＜m＜0或2＜m＜4时，⊙B上有三个点与点A互为“向善点”．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、特殊角的三角函数值、待定系数法求一次函数解析式、解分式方程以及解直角三角形，解题的关键是：（1）根据等边三角形的性质结合“向善点”的定义，确定给定的点是否与A点互为“向善点”；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（3）分⊙B与直线3相切及⊙B与直线33相切两种情况考虑．14．对于平面内的⊙C和⊙C外一点Q，给出如下定义：若过点Q的直线与⊙C存在公共点，记为点A ，B ，设AQ BQk CQ+=，则称点A （或点B ）是⊙C 的“K 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ=BQ ，2AQ k CQ =（或2BQCQ）． 已知在平面直角坐标系xoy 中，Q(-1,0)，C(1,0)，⊙C 的半径为r ． （1）如图1，当2r =时，①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”，求k 的值． ②A 2(1+2，0)是否为⊙C 的“2相关依附点”． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当r=1，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当3k =时，求r 的取值范围．（3）若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 的“3相关依附点”，直接写出b 的取值范围．【答案】（1）2．②是；（2）①3k =②r 的取值范围是12r <≤；（3）333b -<．【解析】 【分析】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．首先证明1QA 是切线，根据2AQk CQ=计算即可解决问题；②根据定义求出k 的值即可判断；（2）①如图，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥，根据定义计算即可；②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=，2CQ =，推出2MQ NQ DQk DQ CQ CQ+===，可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=，假设C e 经过点Q ，此时2r =，因为点Q 早C e 外，推出r 的取值范围是12r <…； （3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =-+经过点Q 时，3b =-，当直线3y x b =-+经过点E 时，33b =，即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<． 【详解】（1）①如图1中，连接AC 、1QA ．由题意：1OC OQ OA ==，∴△1QA C 是直角三角形，190CA Q ∴∠=︒，即11CA QA ⊥，1QA ∴是C e 的切线，122222QA k QC ∴=== ②Q 2(12,0)A +在C e 上，2212122k +∴==，2A ∴是C e 的“2相关依附点”．2 （2）①如图2，当1r =时，不妨设直线QM 与C e 相切的切点M 在x 轴上方（切点M 在x 轴下方时同理），连接CM ，则QM CM ⊥． (1,0)Q -Q ，(1,0)C ，1r =，2CQ ∴=，1CM =，∴3MQ =，此时23MQ k CQ= ②如图3中，若直线QM 与C e 不相切，设直线QM 与C e 的另一个交点为N （不妨设QN QM <，点N ，M 在x 轴下方时同理），作CD QM ⊥于点D ，则MD ND =，()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=，2CQ =Q ，∴2MQ NQ DQ k DQ CQ CQ +===，∴当3k =3DQ =221CD CQ DQ =-，假设C e 经过点Q ，此时2r =，Q 点Q 早C e 外，r ∴的取值范围是12r <…．（3）如图4中，由（2）可知：当3k =时，12r <…．当2r =时，C e 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ，当直线3y x b =+经过点Q 时，3b =3y x b =-+经过点E 时，33b =，∴满足条件的b 的取值范围为333b -<．【点睛】本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A （或点)B 是C e 的“k 相关依附点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会考虑特殊位置解决问题，属于中考压轴题．15．结果如此巧合!下面是小颖对一道题目的解答．题目：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD=3，BD=4，求△ABC 的面积． 解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ．根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x ．根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x 2+7x=12． 所以S △ABC =12AC•BC =12（x+3）（x+4）=12（x2+7x+12）=12×（12+12）=12．小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？请你帮她完成下面的探索．已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n．可以一般化吗？（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn．倒过来思考呢？（2）若AC•BC=2mn，求证∠C=90°．改变一下条件……（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△ABC=3mn；【解析】【分析】（1）设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，仿照例题利用勾股定理得（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，再根据S△ABC＝AC×BC，即可证明S△ABC＝mn.（2）由AC•BC＝2mn，得x2＋（m＋n）x＝mn，因此AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝AB2，利用勾股定理逆定理可得∠C＝90°.（3）过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，根据条件求出AG、CG，又根据BG＝BC－CG得到BG .在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2＋（m＋n）x＝3mn，由此S△ABC＝BC•AG＝mn.【详解】设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x，根据切线长定理，得：AE＝AD＝m、BF＝BD＝n、CF＝CE＝x，（1）如图1，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x＋m）2＋（x＋n）2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，所以S△ABC＝AC•BC＝（x＋m）（x＋n）＝[x2＋（m＋n）x＋mn]＝（mn＋mn）＝mn;（2）由AC•BC＝2mn，得：（x＋m）（x＋n）＝2mn，整理，得：x2＋（m＋n）x＝mn，∴AC2＋BC2＝（x＋m）2＋（x＋n）2＝2[x2＋（m＋n）x]＋m2＋n2＝2mn＋m2＋n2＝（m＋n）2＝AB2，根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，在Rt△ACG中，AG＝AC•sin60°＝（x＋m），CG＝AC•cos60°＝（x＋m），∴BG＝BC﹣CG＝（x＋n）﹣（x＋m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[（x＋m）]2＋[（x＋n）﹣（x＋m）]2＝（m＋n）2，整理，得：x2＋（m＋n）x＝3mn，∴S△ABC＝BC•AG＝×（x＋n）•（x＋m）＝34[x2＋（m＋n）x＋mn]＝3（3mn＋mn）3．【点睛】本题考查了圆中的计算问题、与圆有关的位置关系以及直角三角形，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用.。