一元二次方程根的判别式
1激发兴趣，教给方法，培养习惯，塑造品格
乐学，让学习更快乐
乐学教育学员个性化教学辅导教案
学科:数学任课教师：叶老师授课时间：2016年 9 月10日(星期六 )
姓名 李欣珂 年级 九 性别 女 教材版本 华师大 课时
教学
内容
提纲
本次课知识点
一
元二次方程根的判别式
本次课重点：
本次课难点
本次课的考点
本次课所学习的方法和能力
课前
检查
作业完成情况：优□良□中□差□
建议：
签字
教学组长签字：
本次课授课内容
1. 用直接开平方法解一元二次方程
2
30x
2(1)40x22
(1)(21)xx
2、用因式分解法解一元二次方程
02xx0322xx3632xx
3、用配方法解一元二次方程
2
312210xx
(2)(3)1xx
2
(1)(1)12xx
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4、用公式法解一元二次方程
2
4410xx
2
5(1)70xx
2
2220xx
(1)说说你对解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的认识
(消元、降次、化归的思想)
(2)三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系与区别：
联系①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次．
②公式法是由配方法推导而得到．
③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程．
区别：①配方法要先配方，再开方求根．
②公式法直接利用公式求根．
③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0
一元二次方程根的判别式
如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立
完成下面这个问题．
问题：已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，试推导它的两个根x1=242bbaca，x2=242bbaca
探索新知
方程 b2-4ac的值 b2-4ac的符号 x1、x2的关系
（填相等、不等或不存在）
2x2-3x=0
3x2-23x+1=0
4x2+x+1=0
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请观察上表，结合b2-4ac的符号，归纳出一元二次方程的根的情况。证明你的猜想。
从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：
求根公式：x=242bbaca，当b2-4ac>0时，根据平方根的意义，24bac等于一个具体数，所以一元
一次方程的x1=242bbaca≠x2=242bbaca，即有两个不相等的实根．当b2-4ac=0时，•根据平方根的意
义24bac=0，所以x1=x2=2ba，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，
所以没有实数解．
1、根的判别式
定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；即x1=242bbaca，x2=242bbaca
当△＝0时，有两个相等的实数根；即x1=x2=2ba
当△＜0时，没有实数根． 反之亦然．
注意：
（1）再次强调：根的判别式是指Δ=b
2
-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0
2、根的判别式有以下应用：
（1） 不解一元二次方程，判断根的情况。
例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0．
【典型例题】
例2：
不解方程，判别下列方程的根的情况：
02222kkxx
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练习：不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）a2x2-ax-1＝0（a≠0）；
（2）根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
例1．k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0
（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；
例2：已知关于x的一元二次方程011222x)k(xk有两个不相等的实数根，求k的取值范围.
总结：Δ<0时不能在实数范围内因式分解；
Δ≥0时能在实数范围内因式分解；进而当Δ为完全平方数时能在有理数范围内因式分解；
再进而当Δ=0时ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）=a（x-x1）2（a≠0），所以此时可以说它是完全平方
式。
！
判定二次三项式为完全平方式
例1、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例2、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）+3m—2是完全平方式。
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一、选择题
1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（ ）．
A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解 B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解
C．∵b2-4ac=8，∴方程有解 D．∵b2-4ac=8，∴方程无解
2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0 B．a=2或a=-2 C．a=2 D．a=2或a=0
3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数
4.若a,b,c互不相等，则方程(a2+b2+c2)x2+2(a+b+c)x+3=0( ).
(A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根 (C) 没有实数根 (D) 根的情况不确定
二、填空题
1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．
2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．
4.关于x一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等实数根，则k的取值范围是_______.
5.当4a2＜b,关于x的方程x2-ax+b=0的实情况是_______
6.若方程(k2-1)x2-6(3k-1)+72=0有两个不同的正整数根，则整数k的值是( ).
三、综合提高题
1．不解方程，试判定下列方程根的情况．
（1）2+5x=3x2 （2）x2-（1+23）x+3+4=0
2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．
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3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．
4、已知方程2x2+(k-9)x+(k2+3k+4)=0有两个相等的实数根，求k值，并求出方程的解
5、若关于x的方程x2+2(a+1)x+(a2+4a-5)=0有实数根，试求正整数a的值
17.3 一元二次方程根的判别式
有实数根
拓展提升 2、如果关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根，试
判断关于x的方程 (m-5)x2-2(m-1)x+m=0 的根的情况.
证明： ∵ 关于x的一元二次方程 mx2-2(m+2)x+m+5 没有实数根
∆＜0
[-2(m+2)]2-4m(m+5)＜0
∴ m≠0
证明：∵ 一元二次方程ax2+bx+1=0 (a≠0) 有两个相等的实数根
∴ ∆= 0， 即 b2-4a=0
∴ b2=4a
∴
ab2
ab2
(a 2)2 b2 4 a 2 4a 4 b2 4
ab2
a2 4a b2
ab2
a2
b2 a
4a a
4
巩固练习 5、已知关于x的方程 x2-2(m+1)x+m2=0. (1) 当m取何值时，方程有两个实数根； (2) 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数 根，并求这两个根.
特别指出： 当 ∆≥0时， 有两个实数根. 反过来， 当方程有两个不相等的实数根时， ∆＞0；
当方程有两个相等的实数根时， ∆= 0； 当方程没有实数根时， ∆＜0.
特别指出： 当方程有两个实数根时， ∆≥0.
当堂训练 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2-3x-2=0
解： ∵ △=b2-4ac= (-3)2 - 4×5×(-2) =49 ＞0 ∴ 原方程有两个不相等的实数根.
解：(2) ∵ ∆=[-3(m-1)]2-4m(2m-3) =(m-3)2 ≥0
∴ x b
一元二次方程根的判别式
一元二次方程根的判别式一、重难点解析配方法解一元二次方程的一般形式导出公式法，分析判别式02=++c bx ax （0≠a ）1．根的判别式(1) 当Δ＝ac b 42->0时，原方程有两个不相等的实数根；(2) 当Δ＝ac b 42-=0时，原方程有两个相等的实数根；(3) 当Δ＝ac b 42-<0时，原方程没有实数根。
例：方程2210x x +-=的判别式等于8，故该方程有两个不相等的实数根；方程2230x x ++=的判别式等于－8，故该方程没有实数根。
二、典型题1．若关于x 的不等式12a x -<的解集为x ＜1，则关于x 的一元二次方程210x ax ++=根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定 2．若关于x 的方程2230x x +-=与213x x a =+-有一个解相同，则a 的值为（ ） A ．1 B ．1或﹣3C ．﹣1D ．﹣1或3 3．关于x 的一元二次方程()21320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．18a >- B ．18a ≥-C ．18a >-且1a ≠D ．18a ≥-且1a ≠ 4．关于x 的一元二次方程2(1)210m x x ---=有两个实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥0B ．m ＞0C ．m ≥0且m ≠1D ．m ＞0且m ≠1 5．一元二次方程22(1)2(1)7x x +--=的根的情况是（ ）A ．无实数根B ．有一正根一负根C ．有两个正根D ．有两个负根6．关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．7．关于x 的一元二次方程()23220x k x k -+++=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一根小于1，求k 的取值范围．8．已知关于x 的一元二次方程0)(2)(2=-+++c a bx x c a ，其中c b a ,,分别为△ABC 三边的长。
一元二次方程的根的判别式评课
一元二次方程的根的判别式评课1. 概述一元二次方程是高中数学中常见的内容，而方程的根则是这一章节中的重点内容之一。
掌握一元二次方程的根的判别式对于学生来说尤为重要。
通过判别式，我们可以快速、准确地判断方程的根的情况，从而解题更加高效。
本篇文章将围绕一元二次方程的根的判别式展开评课，对此部分的教学内容进行深入分析与评价。
2. 课程设计与内容安排在高中数学课程中，一元二次方程的根的判别式通常作为一个单独的章节进行教学。
教学内容主要包括：判别式的公式推导、判别式的应用、习题训练等。
教学安排上，一般会安排2-3节课的时间来深入讲解和练习。
3. 教学目标分析通过学习一元二次方程的根的判别式，学生应该能够掌握以下目标：- 了解一元二次方程的根的概念和性质；- 掌握判别式的公式和应用方法；- 能够灵活运用判别式判断方程的根的情况；- 提高解决实际问题中的建模能力。
4. 评价教学过程在教学过程中，老师应该注重以下几点：- 逻辑清晰、表达准确。
在讲解判别式的公式推导时，需要让学生明白每一步的推导过程，逻辑清晰，表达准确；- 举一反三、注重应用。
在教学中，老师应该通联实际情境，举一反三，让学生明白判别式的实际应用意义；- 自主探究、拓展思维。
在习题训练环节，老师应给学生一定的自主探究的空间，引导学生思考，拓展思维，提高解题能力。
5. 效果评估针对一元二次方程的根的判别式，可以进行如下的效果评估方法：- 课堂小测验。
可以设计一份小测验，测试学生对判别式的掌握程度；- 课后作业。
设计一些应用性较强的题目作为课后作业，检测学生对判别式的应用能力；- 实际案例分析。
选取一些实际问题，让学生运用判别式解决问题，评估其建模与解题能力。
6. 反思与改进在教学过程中，老师应该不断进行反思与改进：- 反思教学方法。
是否采用了多种教学方法，是否能够激发学生的学习兴趣，是否能够引导学生进行自主探究；- 改进教学内容。
是否能够将判别式与实际问题更好地结合起来，使学生能够更好地理解和应用判别式。
一元二次方程根的判别式
2.1 一元二次方程2.1.1根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2；（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0； （3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．（2）该方程的根的判别式Δ＝a 2－4×1×(－1)＝a 2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根1x =2x = （3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a 2－4×1×(a －1)＝a 2－4a ＋4＝(a －2)2，所以， ①当a ＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1； ②当a ≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x 1＝1，x 2＝a －1．（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a ＝4－4a ＝4(1－a )， 所以①当Δ＞0，即4(1－a ) ＞0，即a ＜1时，方程有两个不相等的实数根11x = 21x =②当Δ＝0，即a ＝1时，方程有两个相等的实数根 x 1＝x 2＝1；③当Δ＜0，即a ＞1时，方程没有实数根．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =2x =，则有1222b bx x a a-+===-；221222(4)42244b b b b ac ac cx x a a a a a----=⋅===．所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2， 所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有 以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k 的值．解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22＋k ×2－6＝0，∴k ＝－7．所以，方程就为5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝2，x 2＝－35． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7． 解法二：设方程的另一个根为x 1，则 2x 1＝－65，∴x 1＝－35． 由 （－35）＋2＝－5k，得 k ＝－7． 所以，方程的另一个根为－35，k 的值为－7．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m 的方程，从而解得m 的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．解：设x 1，x 2是方程的两根，由韦达定理，得 x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1·x 2＝m 2＋4． ∵x 12＋x 22－x 1·x 2＝21， ∴(x 1＋x 2)2－3 x 1·x 2＝21，即 [－2(m －2)]2－3(m 2＋4)＝21，化简，得 m 2－16m －17＝0， 解得 m ＝－1，或m ＝17．当m ＝－1时，方程为x 2＋6x ＋5＝0，Δ＞0，满足题意；当m ＝17时，方程为x 2＋30x ＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m ＝17．说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m 的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m 的值，取满足条件的m 的值即可．（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．分析：我们可以设出这两个数分别为x ，y ，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．解法一：设这两个数分别是x ，y ， 则 x ＋y ＝4， ①xy ＝－12． ② 由①，得 y ＝4－x ， 代入②，得x (4－x )＝－12，即 x 2－4x －12＝0， ∴x 1＝－2，x 2＝6．∴112,6,x y =-⎧⎨=⎩ 或226,2.x y =⎧⎨=-⎩因此，这两个数是－2和6．解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x 2－4x －12＝0 的两个根．解这个方程，得x 1＝－2，x 2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．解：∵x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根，∴1252x x +=-，1232x x =-．（1）∵| x 1－x 2|2＝x 12+ x 22－2 x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－4 x 1x 2＝253()4()22--⨯-＝254＋6＝494，∴| x 1－x 2|＝72． （2）22221212122222221212125325()2()3()2113722439()9()24x x x x x x x x x x x x --⨯-+++-+=====⋅-．（3）x 13＋x 23＝(x 1＋x 2)( x 12－x 1x 2＋x 22)＝(x 1＋x 2)[ ( x 1＋x 2) 2－3x 1x 2]＝(－52)×[(－52)2－3×(32-)]＝－2158． 说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则1x=2x =， ∴| x 1－x 2|===． 于是有下面的结论：若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），则| x 1－x 2|Δ＝b 2－4ac ）． 今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围． 解：设x 1，x 2是方程的两根，则x 1x 2＝a －4＜0， ① 且Δ＝(－1)2－4(a －4)＞0．② 由①得 a ＜4，由②得 a ＜174．∴a 的取值范围是a ＜4．练 习 1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ） （A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）m ＜14 （B ）m ＞－14 （C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠02．填空:（1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是． （3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？ 4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．习题2.1 A 组1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2 （2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．B 组1．选择题:若关于x 的方程x 2＋(k 2－1) x ＋k ＋1＝0的两根互为相反数，则k 的值为（ ）（A ）1，或－1 （B ）1 （C ）－1 （D ）0 2．填空:（1）若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于 ．（2）如果a ，b 是方程x 2＋x －1＝0的两个实数根，那么代数式a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3的值是 ．3．已知关于x 的方程x 2－kx －2＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两根为x 1和x 2，如果2(x 1＋x 2)＞x 1x 2，求实数k 的取值范围． 4．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根为x 1和x 2．求： （1）| x 1－x 2|和122x x +； （2）x 13＋x 23．5．关于x 的方程x 2＋4x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．C 组1．选择题：（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ）（A（B ）3 （C ）6 （D ）9 （2）若x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则1221x x x x +的值为 （ ） （A ）6 （B ）4 （C ）3 （D ）32（3）如果关于x 的方程x 2－2(1－m )x ＋m 2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（ ） （A ）α＋β≥12 （B ）α＋β≤12（C ）α＋β≥1 （D ）α＋β≤1（4）已知a ，b ，c 是ΔABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋4c＝0的根的情况是 （ ）（A ）没有实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）有两个相等的实数根 （D ）有两个异号实数根 2．填空：若方程x 2－8x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，且3x 1＋2x 2＝18，则m ＝ ． 3． 已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根．（1）是否存在实数k ，使(2x 1－x 2)( x 1－2 x 2)＝－32成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由； （2）求使1221x x x x +－2的值为整数的实数k 的整数值； （3）若k ＝－2，12xx λ=，试求λ的值．4．已知关于x 的方程22(2)04m x m x ---=． （1）求证：无论m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；（2）若这个方程的两个实数根x 1，x 2满足|x 2|＝|x 1|＋2，求m 的值及相应的x 1，x 2． 5．若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a 的取值范围．。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程根的判别式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即
（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；
（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；
（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程的两个实数根是，
那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
要点诠释：
1.一元二次方程
的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：
(1)不解方程判定方程根的情况；
(2)根据参系数的性质确定根的范围；
(3)解与根有关的证明题．
2. 一元二次方程根与系数的应用很多：
(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；
)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b
x x -=+21a
c x x =21
(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；
(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．。
一元二次方程判别式
十二、判别式及其应用一、一元二次方程的根的判别式:一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， 当△＜0时，方程没有实数根． 二、判别式的应用：(1)运用判别式，判定方程实根的个数(2)利用判别式，建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围. (3)通过判别式，证明与方程相关的代数问题.(4)借助判别式，运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题.问题一、利用判别式,判定方程根的个数.例1.关于x 的一元二次方程01)12(2=-+++k x k x 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=例2设且那么关于的一元二次方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x a x b a c x b +>>->++-+=变式1设且那么关于的方程的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断222222.0,||,,()0( )a b c a b c x x b a c x b +>>-<++-+=变式2设且那么关于的方程a 的根的情况A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况无法判断例3.已知关于x 的方程02)22=++-k x k x （. (1)求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；(2)若等腰三角形ABC 的一边长为a=1,另两边长b 、c 恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长；练习1.如果一直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，∠B=90°，那么，关于x 的方程0)1(2)1(22=++--x b cx x a 的根的情况是（ ）. A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.根的情况无法判断练习2.关于x 的方程068)6(2=+--x x a 有实数根，则整数a 的最大值（ ）. A.6 B.7 C.8 D.922.(31)220.(1):,;(2)6,,,,.x x k x k k k ABC a b c -+++==练习3已知关于的方程求证无论取何实数值方程总有实数根若等腰三角形的一边长另两边恰好是这个方程的两个根求此三角形的周长练习4.已知a>0,b>a+c.判断关于x 的方程02=++c bx ax 的根的情况，并给出必要的说明.问题二、求参数的值或取值范围例4.已知一元二次方程04)2422=+--k x k x （有两个不相等的实数根.则k 的最大整数值为_________.例5.关于x 的一元二次方程012)13(2=-+--m x m mx ，其根的判别式的值为1，求m 的值及该方程的根.例6.已知函数xy 2=和)0(1≠+=k kx y . （1） 若这两个函数的图像都经过点（1,a ）,求a 和k 的值； （2） 当k 取何值时，这两个函数的图像总有公共点？例7.对于实数a,只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ，试求所有这样的实数a 的和.例8.关于x 的方程a x x =-12仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ）.A.a>0B.a ≥4C.2<a<4D.0<a<4练习5.如果关于x 的一元二次方程0962=+-x kx 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）.A.k<1B.k ≠0C.k<1且k ≠0D.k>1练习6.如果方程0)4(523=-++-k x k x x 的三个根可以作为一个等腰三角形的三边长，则实数k 的值为_________.练习7.设方程42=+ax x 只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根.问题三、运用一元二次方程必有解的代数模型解代数问题 例9．已知x z y =-33,求证:2y ≥xz 4．例10．已知实数a ，b 满足6)3()3(22=-+-b a ,求ab的最大值．22.,,3330, , .x y x xy y x y x y ++--+===练习8若为实数且则.,,30,a b a b u+-==练习9已知都是正数且求代数式1.;2.; 1.; 2.;3.(2)5 1. 2. 3.1622A C D CB B例例变式变式例练习；练习；练习或；11314.;5.2;6.(1)2,1;(2)0;7.;8.;482 k m a k k k D<===≥≠-例例例且例例1231235.;6.4;7.4,2,22-4,2,22C a x x xa x x x==-=-+=--===+=-练习练习练习当时当时10.3.x=1,y=1;.u=2+例练习8练习9。
第13讲一元二次方程根的判别式-尖子班
（2）当 b2 4ac 0 时,方程有两个相等的实数根.
（3）当 b2 4ac 0 时,方程没有实数根.
说明: （1）用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值:上述判定方法也可以反过来使
用,当方程有两个不相等的实数根时, 0 ;有两个相等的实数根时, 0 ;没有 实数根时, 0 . （2）在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式 b2 4ac 判定方程
的值.
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(m 1)x2 2mx m 2 0 （ ）．
A．没有实数根 C．有 2 个相等的实数根
B．有 2 个不同的实数根 D．实数根的个数不能确定
【题 3】如果关于 x 的一元二次方程 kx2 6x 9 0 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范
围是（ ）
A． k 1
B． k 0
C． k 1且k 0
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六、应用
【例 9】（1） 某学校准备修建一个面积为 200 平方米的矩形花圃，它的长比宽多 10 米，
设花圃的宽为 x 米，则可列方程为( )
A． x(x－10)＝200
B． 2x＋2(x－10)＝200
C． x(x＋10)＝200
D． 2x＋2(x＋10)＝200
（2）如图，在长为 100 米，宽为 80 米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，
赛，则参赛球队的个数是（ ）
A. 5 个
B. 6 个
C. 7 个
D. 8 个
【题 1】不解方程，判别一元二次方程 2x2 6x 1 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根
B．没有实数根 D．无法确定
【 题 2 】 若 方 程 (m 2)x2 2(m 1)x m 0 只 有 一 个 实 数 根 ， 那 么 方 程
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
四、不解方程，求与根有关的代数式的值 例2 若a、b为互不相等的实数，且a 2－3a＋1＝0，b 2－3b+1=0 求a 2-ab+b 2的值 分析：要求一个含字母a、b的代数式的值，常规的解法就是 先求出a、b的值，然后代入求解．本题若按这个思路计算将 会涉及到解一元二次方程及二次根式的运算，运算量非常 大．但如果考虑a、b的关系，把a、b看作某个一元二次方程 的两个根，利用根与系数的关系得到a、b的关系式，再利用 a、b的关系式整体代入，问题将会变得简便． 解：根据题意知a、b是方程x 2－3x＋1＝0的两个根由根 与系数关系得a＋b＝3，ab＝1． 点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
例3：当m为何值时，方程（m-1）x² +2mx+m+3=0 ①﹑无实根 ②﹑有实根 ③﹑只有一个实根 ④﹑有两个实根 ⑤﹑有两个不等实根 ⑥﹑有两个相等实根
分析
（1）﹑只需△<0 （2）、分情况讨论 ① m-1=0 （3）﹑当m-1=0时 （4）、 △≥0 且 m-1≠0 （5）、△＞0 且 m-1≠0 （6）、 △=0 且 m-1≠0 ② △≥0 且m-1≠0
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们大意了,可恶,俺们被戮申殿算计了.”阔怜元老低沉の声音嘶吼.如果无暇善尊一直留在城市之内,那么就算戮申殿攻打无暇城,可要破开无暇城の防御也需要事间.再不济,无暇城の守护大阵也能顶一点事间.就算可能仍然等不到玄月商楼の救援,但也起码会比现在强.在城市之外, 戮申殿直接就能够对无暇善尊动手.“阔怜元老,现在俺们该怎么办?无暇善尊此事,恐怕早就被带到戮申殿总部了,俺们想救出无暇善尊,怕是希望不大.”冥桦元老道.其他元老,也都看着阔怜元老.阔怜元老沉吟,随后看向远瞳善尊说道：“远瞳善尊,你有哪个建议吗?巫呙天主对鞠言 道友很是亲近,无暇善尊与鞠言道友关系亲密,戮申殿强行掠走无暇善尊,巫呙天主对此是否会袖手旁观?”“天主大人是哪个想法,俺也不清楚.之前俺已经传讯给天主大人,但是……”远瞳善尊无奈の表情说道.按道理来说,巫呙天主应该是能够及事赶到无暇城の.巫呙天主の居所,离 无暇城并不是太遥远,如果巫呙天主在接到消息后立刻赶来,是有可能赶上の.毕竟,巫呙天主是法罗天最强善尊之一,在事空道法上也极其擅长,每一次瞬移都能穿梭极长の距离.“哗！”就在呐事候,虚空中又一道裂缝出现.随着道法弥漫.巫呙天主の身影显现出来.巫呙天主目光一凝, 扫过全场,而后他の双眉就皱了起来.显然,他来晚了.远瞳善尊等人见到巫呙天主现身,自是都见礼.巫呙天主,乃是法罗天の领导者.就是玄月商楼、戮申殿、天阙道门等庞大の势历,明面上也得对巫呙天主恭敬.“天主大人,无暇善尊被戮申殿抓走了.”远瞳善尊咬牙低着头禀报说 道.“戮申殿！”巫呙天主声音低沉.但在场の人,都从巫呙天主の声音中听到了愤怒の问道.“天主大人,俺们来晚了.”阔怜元老说道.巫呙天主看了看阔怜元老,口中一声轻叹.他开口说道：“天阙道门帮了戮申殿一把,先前天阙道门の门主万伦泊邀请俺前往做客.俺没想到,万伦泊 竟是呐样の目の.”巫呙天主说呐句话,就是解释自身为何没能及事到来.听巫呙天主呐么说,阔怜元老才都恍然,要不然他们也不知道巫呙天主之前是在天阙道门.从天阙道门到呐无暇城,确实太远了,横跨足足半个天域.“天主大人,那接下来该怎么办?”阔怜元老问道.“俺问问戮申 殿他们到底想做哪个！”巫呙天主拿出传讯法宝,给戮申殿第一圣手传讯.“哈哈,巫呙天主你突然给俺传讯,俺真是受宠若惊啊！”第一圣手声音传出来,所有在场の人都能听见,呐声音带着几分阴森の味道.“你们戮申殿抓俺麾下善尊,意欲何为?”巫呙天主很不客气の质问.无暇善 尊是远瞳善尊掌管地域の修道者,同事还管理无暇城地域.所以若是论起来,说无暇善尊是巫呙天主麾下也说得通.“巫呙天主误会了,俺们戮申殿,只是请无暇善尊来做客而已.”第一圣手笑着说道.戮申殿方面,显然早就想好了说辞.“你们最好现在就将无暇放出来.”巫呙天主声音严 厉.“哈哈哈……巫呙天主,你何必生那么大の气呢?你是法罗天の天主,可不要欺负俺戮申殿.至于无暇善尊,等事机到了,她自然会毫发无伤の回到无暇城.”“哦,俺正准备宴席款待俺们法罗天第一美人无暇善尊,就不与天主你多说了.”第一圣手直接中断了与巫呙天主の传讯.“可 恶！”巫呙天主低吼了一声.其实他在传讯之前就预料到会是呐样の结果,戮申殿不可能轻易の放无暇善尊回来,要不然先前弄出连环计划岂不是前功尽弃了.而巫呙天主虽然震怒,却也很难有好办法解决呐件事.他无法攻入戮申殿,即便是他号令麾下众多善尊,也未必能攻破戮申殿の 防御.再者说,他麾下の那些善尊,也未必会拼命.他虽然是天主,可也只是名义上领导远瞳善尊呐样の善尊,远瞳善尊等人即便拒绝为天主征战,巫呙天主也不能报复.更何况,呐又不是法罗天天域有哪个危难,只为了无暇善尊若是对戮申殿发动战争,恐怕很多人都会有看法.而就在巫呙 天主思虑下一步如何做の事候,天阙道门の门主再次传讯过来.万伦泊只是说,为了一个无暇善尊大动干戈,呐不可取,请巫呙天主三思.巫呙天主,并未回应万伦泊.“卑鄙.”巫呙天主骂了一句,他骂の人,自然就是天阙道门の门主万伦泊.“嗯?”就在巫呙天主想收起传讯法宝の事候, 又一道申念波动在传讯法宝内出现.而呐次传讯の人,赫然是闽蓝善尊の师父吙云善尊.“天主.”吙云善尊浑厚の声音传出.“吙云前辈.”巫呙天主吸了口气,平复心绪后,才传讯回应吙云善尊.吙云善尊辈分比巫呙天主都大得多.“俺听说,俺那不成器の弟子给你惹了一些麻烦.天主 放心,等那小崽子回来,俺一定会亲自教训他.”吙云善尊声音传来.记住收寄版网址：,第二三二二章大采购吙云善尊の呐句话,表面上似乎是在斥责自身の弟子闽蓝善尊,但实际上也是在对巫呙天主传达另外一个意思.他の弟子闽蓝善尊就算犯错,也会由他本人亲自教训.就是说,你巫 呙天主不要越俎代庖.“吙云前辈,闽蓝善尊最近与戮申殿走得很近.”巫呙天主顿了一下沉声说道.呐个事候吙云善尊给他传讯说呐样の话,巫呙天主心中当然不会痛快.不管怎么说,他也是法罗天の天主.只是吙云善尊辈分太高,巫呙天主也感到压历叠叠.“嗯,俺会好好教训呐个不成 器の小崽子.巫呙天主,看在俺呐罔老脸の面子上,你可要多担待一些啊.”吙云善尊不咸不淡の又说了一句.很明显了,吙云善尊并不是不知道闽蓝善尊最近所作所为,但他对闽蓝善尊呐种行为只怕是没有进行约束.要不然,闽蓝善尊绝对不敢如此恣意妄为.巫呙天主双眉紧锁,心中琛琛 の无奈.即便他是法罗天の天主,但在很多事情上在很多人面前,他也不得不妥协退让.在与吙云善尊中断传讯之后,巫呙天主脸色变幻多次,良久都没有说话.玄月商楼阔怜元老等人,都看着巫呙天主.“天主大人……”见巫呙天主许久没说话,阔怜元老叫了一声.巫呙天主目光一转,看 了看阔怜元老.“呐件事,俺已经不方便插手了.”巫呙天主妥协了.他确实很气愤很恼怒,原本他对戮申殿就没好感,现在戮申殿又敢做出呐样の事情,呐令巫呙天主在某一刻真想召集人手杀上戮申殿.可是,呐其中还牵扯到天阙道门.如果只有天阙道门,那巫呙天主可能也咽不下呐口气. 问题是刚才,连吙云善尊都传讯给他了.呐叠叠の阻挠和压历,让巫呙也只能颓然の让不.他要坐稳法罗天天主之位,是需要很多人支持の.听巫呙天主呐么说,阔怜等人面面相觑.如果巫呙天主都放弃了,那么想从戮申殿手中救出无暇善尊,呐希望就更加渺茫了.靠着玄月商楼,根本就不 可能杀入戮申殿救人.“俺还有事,先走一步.”巫呙天主话音落下,便向着远端虚空遁去.“阔怜元老?”冥桦元老望着阔怜元老.“诸位！”“呐件事已经不仅仅关系到无暇善尊与鞠言道友了.对于俺们玄月商楼来说,影响也是极大.戮申殿呐次,是打俺们玄月商楼の脸.”阔怜元老发 狠说道.“禹慧元老都被打伤了,该死の戮申殿.”一位元老道.禹慧元老,仍在疗伤之中,伤势确实很是严叠.“就算只为了俺们自身,呐件事也不能就呐么算了.否则,外人定是说玄月商楼畏惧戮申殿.”阔怜元老目中泛着杀意道.“俺同意阔怜元老の意见,呐该死の戮申殿,那些魔头一 个个全部都该死.”“想骑到俺们玄月商楼の头上,他们做梦.”“阔怜元老,下一步俺们玄月商楼怎么做?”诸位元老の意见倒是比较统一.“俺觉得,俺们应该立刻进入战备状态.俺们玄月商楼,要与戮申殿开战,俺们要让整个法罗天知道俺们玄月商楼の态度.”阔怜元老低沉の声音吼 道.在场の玄月商楼元老,尽皆赞同阔怜元老の决定.玄月商楼の呐些元老尚未回到总部老巢,战备命令就已经传达了下去.“诸位元老,与戮申殿开战算俺一个.”远瞳善尊突然开口说道.阔怜等人都诧异の看向远瞳善尊.远瞳善尊是巫呙天主麾下,巫呙天主都已经放弃过问呐件事了,远 瞳善尊呐话哪个意思?“远瞳善尊,你要对付戮申殿?巫呙天主那边,你怎么交代?”阔怜元老问道.“呵呵,有哪个交代不交代の.无暇善尊虽然已经跨入善尊境界,但她一直管理着无暇城,仍然算是俺の人.俺连自身の人都保不住,若就此忍气吞声,那以后还有哪个脸面管理呐片地域?若 巫呙天主怪罪下来,俺交出呐片地域就是.更何况,无暇善尊还是俺の朋友！”远瞳善尊笑了一声,目中却是精光闪烁道.“好！”“远瞳善尊,那俺们就合作！俺们……一同对付戮申殿！起码,不能让戮申殿好过！”阔怜等人道.玄月商楼与戮申殿开战の消息,很快就在法罗天传开.玄 月商楼在法罗天各个城市,几乎都有分部,人员众多.若是比较人数,戮申殿是远不能与玄月商楼相比の.在很多地方,已经不断の有玄月商楼与戮申殿人员厮杀の事件发生.一事间,法罗天の气氛也变得紧罔了起来.玄月商楼与戮申殿开战,呐无疑是大事,很多人都等着巫呙天主の反应. 正常情况下,巫呙天主是要站出来调停の.毕竟他是天主身份,不可能会希望看到自身掌管の天域混乱.但是,巫呙天主却迟迟没有任何反应,就好像全部不知道戮申殿与玄月商楼之间の战争一般.目前の情况,呐两个强大の势历之间の争斗虽然还只是局部,但是双方已不断有成员被击杀, 连善韵层次修道者都事有殒命.……梦魇城,离魂善.鞠言与万魔善大魔主叠回到离魂善见空悠善尊,已经有几天の事间.鞠言要采购大量各种申魂方面の法宝、材料等等,呐需要事间准备.要知道,鞠言要采购价值超过两千亿乌翠玉の各种申魂法宝和材料,呐是一笔大买卖.呐一日.“鞠 言道友,大魔主！”空悠善尊将鞠言和大魔主叫了过来.“两位,看看呐些东西是否满意.”空悠善尊将一件储物法宝拿出.鞠言将储物法宝接到手中,申念查看.呐储物法宝内,有各种申魂法宝和材料,就连申魂法术都有四本.当然,都是低等の申魂法术.呐些东西拿到善域九天,绝对能够 卖出一个天价.对于空悠善尊准备の呐些东西,鞠言颇为满意.记住收寄版网址：,第二三二三章叠返法罗天呐些资源材料都是鞠言个人购买,鞠言对材料满意即可,大魔主无须过目.“空悠道友,多谢多谢.”鞠言收起储物法宝,拱手道谢.鞠言虽然有大量乌翠玉,但如果是他自身搜集呐 些资源材料,那花费の事间可就多了.并且,也很难买到如此多数量の材料.“鞠言道友不必客气.”空悠善尊拱手回礼.呐一次交易,他也从中赚了不少乌翠玉.虽费了一些精历,可如果有如此大宗の交易,空悠善尊倒是乐得被麻烦.“如此……那就不打扰空悠善尊了.”鞠言看了一眼大 魔主后说道.交易已经完成,两人自然没有必要继续留在离魂善.此事の鞠言,也迫不及待想要返回法罗天了.“俺送大魔主和鞠言道友.”空悠善尊笑着站起身.他亲自,将鞠言两人送出离魂善.鞠言和大魔主离开梦魇城后,没有再返回铁之湾万魔善,而是直接向着铁之湾外の泊域飞去. 要离开呐梦魇城地域,同样是需要用到召唤申殿.在梦魇城拾八湾周边泊域,有不少召唤申殿存在.当初鞠言来到梦魇城地域,最先就是达到一座召唤申殿,后来被铁之湾白城白家の白冰璃带出召唤申殿.一段事间后,鞠言和大魔主进入一座岛屿,来到一座召唤申殿面前.“鞠言,呐个给你. 进入召唤申殿后,使用此物即可回到法罗天了.”大魔主也就是夜月善王将一个类似梦魇魔方の东西递给鞠言.“在离开之前,你仍需要发誓,关于梦魇城の一切,你都不能在九天申域传播.”夜月善王叮嘱说道.“明白.”鞠言点头.鞠言也是最近才明白为何那些从梦魇城地域回到九天 申域の修道者,全部都对梦养成闭口不谈.不全是由于他们不想谈,而是不能谈.要离开梦魇城地域,就必须发下呐样の誓言,否则就不能
一元二次方程根的判别式的六种常见应用
一元二次方程根的判别式的六种常见应用所以kx2＋2x＋1＝0是一个关于x的一元二次方程。
利用根的判别式，Δ＝(2)2－4(k)(1)＝4－4k.当Δ<0时，方程没有实数根；当Δ=0时，方程有一个实数根；当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
所以，答案为C．有两个不相等的实数根。
应用5：利用根的判别式解函数的最值问题6．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的最小值．解：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2＞2.由于平方项非负，所以当且仅当x＝1时，(x－1)2＝0，f(x)取得最小值3.所以，f(x)的最小值为3.一元二次方程根的判别式有着广泛的应用。
下面介绍其中的六种常见应用。
应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况。
例如，已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0是否有实数根。
解法如下：由于x2－2x－m＝0没有实数根，因此判别式Δ1=（－2）2－4·（－m）＝4＋4m4，因此方程有两个不相等的实数根。
应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围。
例如，已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0，要求不解方程，判别方程根的情况，以及若方程有一个根为3，求m的值。
解法如下：对于方程x2＋2mx＋m2－1＝0，判别式Δ=（2m）2－4·（m2－1）＝4＋4=8＞0，因此方程有两个不相等的实数根。
又因为方程有一个根为3，代入方程可得2m2－7m＋5＝0，解得m＝1或m＝5/2.但由于方程的两个根不相等，因此m≠2，因此m＝1.应用3：利用根的判别式求代数式的值。
例如，已知关于x的方程mx2－（m＋2）x＋2＝0有两个相等的实数根，求m的值。
解法如下：对于方程mx2－（m＋2）x＋2＝0，判别式Δ＝（m＋2）2－4m·2＝（m－2）2≥0，因此不论m为何值，方程总有实数根。
又因为方程有两个相等的实数根，因此Δ＝0，解得m＝1.应用4：利用根的判别式解与函数综合问题。
一元二次方程判别式和根与系数的关系
一元二次方程（2）★★知识点精讲1. 一元二次方程根的判别式关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为△= . （1）△＞0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即=2,1x .（2）△ = 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 的实数根，即==21x x .（3）△＜0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.（4）△ ≥ 0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根.2． 一元二次方程根与系数的关系（1）如果关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .（2）如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q ＝0的两个根是1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .3. 不解方程，求二次方程的根x 1,x 2的对称式的值，特别注意以下公式：①222121212()2x x x x x x +=+- ； ②12121211x x x x x x ++= ； ③22121212()()4x x x x x x -=+- ； ④2121212||()4x x x x x x -=+-.★★典例讲解及思维拓展 ●例1．不解方程，判定方程根的情况（1）x 2-7x-18=0 ； （2）9x 2+6x+1=0；（3）2x 2=9x-8 ； （4）16x 2+8x=-3 .★刘老点津★ 1.使用判别式之前一定要先把方程变为一元二次方程的一般形式.2.按照“一求二判”的思路来完成。
“一求”是指第一步求方程中“△”的值，“二判”是指第二步判断△的符号从而确定方程根的情况。
●例2．求证：不论k 取什么实数，方程x 2-(k+6)x+4(k- 3)=0一定有两个不相等的实数根.练习和拓展及思维能力提升1 1、（1）下列方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2x -2x-1=0 B. 2x -2x+3=0 C. 2x =23x-3 D. 2x -4x+4=0（2）关于x 的一元二次方程2(2)10x m x m +-++=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ） A ．0B ．8C ．42±D ．0或8（3）关于x 的一元二次方程2x -mx+(m-2)=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D.无法确定 （4）如果关于x 的一元二次方程2k 2x -(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A.k>-14 B.k>-14且k ≠0 C.k<-14 D.k ≥-14且k ≠0 2、 m 为何值时，方程0m x 10x 32=+- ①有两个相等的实数根；②无实数根；③有两个不相等的实数根.●例3．已知x x 21,是方程01322=-+x x的两个根，不解方程，求下列代数式的值.xx 2122)1(+ ； xx2111)2(+ ；)3)(321)(3(--x x ；))(4(212x x - ；x x x x 212122)5(⋅+⋅ ； xxx x 2112)6(+ .★刘老点津★ 1.运用根与系数的关系，求某些代数式的值，关键是将所求的代数式恒等变形为用x 1+x 2和x 1x 2表示的代数式．2.求关于一元二次方程的根的代数式的值的方法：遇平方，先配方；遇括号，先展开；遇分式，先通分；遇公因式，先提出；遇两根差，先平方，再开方。