5.5 随机变量及其分布列.知识框架
智康高中数学.随机变量及其分布列.知识框架
1
随机变量及
其分布
要求层次 重难点
取有限值的离散型
随机变量及其分布
列
C
⑴理解取有限个值的离散型随机变量及
其分布列的概念，了解分布列对于刻画
随机现象的重要性．
⑵理解超几何分布及其导出过程，并能
进行简单的应用．
超几何分布
A
二项分布
及其应用
要求层次 重难点
条件概率
A
了解条件概率和两个事件相互独立的概
念，理解n次独立重复试验的模型及二
项分布，并能解决一些简单的实际问题．
事件的独立性
A
n次独立重复试验与
二项分布
B
离散型随
机变量的
要求层次 重难点
取有限值的离散型随B 理解取有限个值的离散型随机变量均
高考要求
模块框架
随机变量及其分布列
智康高中数学.随机变量及其分布列.知识框架
2
均值与方差 机变量的均值、方差 值、方差的概念，能计算简单离散型随
机变量的均值、方差，并能解决一些实
际问题．
正态分布
要求层次 重难点
正态分布
A
利用实际问题的直方图，了解正态分布
曲线的特点及曲线所表示的意义．
1． 离散型随机变量及其分布列
⑴离散型随机变量
如果在试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结
果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母
,,XY
表示．
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
⑵离散型随机变量的分布列
将离散型随机变量X所有可能的取值ix与该取值对应的概率ip(1,2,,)in列表表示：
X
1x 2x … i
x
…
n
x
P
1p 2p … ip … n
p
我们称这个表为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
2．几类典型的随机分布
⑴两点分布
如果随机变量X的分布列为
X 1
0
P
p
q
其中01p，1qp，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
二点分布举例：某次抽查活动中，一件产品合格记为1，不合格记为0，已知产品的合格率
为80%，随机变量X为任意抽取一件产品得到的结果，则X的分布列满足二点分布．
X 1
0
P
0.8 0.2
两点分布又称01分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分
布又称为伯努利分布．
⑵超几何分布
一般地，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件()nN≤，
这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为
CC
()CmnmMNMnNPXm
(0ml≤≤
，l为n和M中较小的一个)．
我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，
M，n的超几何分布．在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据公式求出X
取不同值时的概率()PXm，从而列出X的分布列．
知识内容
智康高中数学.随机变量及其分布列.知识框架
3
⑶二项分布
1．独立重复试验
如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同
的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独
立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
()C(1)kknknnPkpp
(0,1,2,,)kn
．
2．二项分布
若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为1qp，那么在n次独立重复
试验中，事件A恰好发生k次的概率是()CkknknPXkpq，其中0,1,2,,kn．于
是得到X的分布列
X 0 1
… k …
n
P
00Cnnpq 111Cnnpq … Ckknknpq … 0Cnn
n
pq
由于表中的第二行恰好是二项展开式
00111()CCCCnnnkknknnnnnnqppqpqpqpq
各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，
记作~(,)XBnp．
二项分布的均值与方差：
若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则
()EXnp
，()Dxnpq(1)qp．
⑷正态分布
1． 概率密度曲线：样本数据的频率分布直方图，在样本容量越来越大时，
直方图上面的折线所接近的曲线．在随机变量中，如果把样本中的任一数据看作随机变
量X，则这条曲线称为X的概率密度曲线．
曲线位于横轴的上方，它与横轴一起所围成的面积是1，而随机变量X落在指定的两个
数ab，之间的概率就是对应的曲边梯形的面积．
2．正态分布
⑴定义：如果随机现象是由一些互相独立的偶然因素所引起的，而且每一个偶然因素
在总体的变化中都只是起着均匀、微小的作用，则表示这样的
随机现象的随机变量的概率分布近似服从正态分布．
服从正态分布的随机变量叫做正态随机变量，简称正态变量．
正态变量概率密度曲线的函数表达式为22()21()2πxfxe，
xR，其中，是参数，且0
，．
式中的参数和分别为正态变量的数学期望和标准差．期望
为、标准差为的正态分布通常记作2(,)N．
正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线．
⑵标准正态分布：我们把数学期望为0，标准差为1的正态分布叫做标准正态分布．
⑶重要结论：
①正态变量在区间(,)，(2,2)，(3,3)内，取值的概率分
别是68.3%，95.4%，99.7%．
②正态变量在()，内的取值的概率为1，在区间(33)，之外的取值的概率
是0.3%，故正态变量的取值几乎都在距x三倍标准差之内，这就是正态分布的3原
x=μ
O
y
x
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4
则．
⑷若2~()N，，()fx为其概率密度函数，则称()()()xFxPxftdt≤为概率分布
函数，特别的，2~(01)N，，称221()2txxedtπ为标准正态分布函数．
()()xPx
．
标准正态分布的值可以通过标准正态分布表查得．
分布函数新课标不作要求，适当了解以加深对密度曲线的理解即可．
3．离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是1x，2x，…，nx，这些
值对应的概率是1p，2p，…，np，则1122()nnExxpxpxp，叫做这个离散型随
机变量X的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是1x，2x，…，nx，这些值对应的
概率是1p，2p，…，np，则2221122()(())(())(())nnDXxExpxExpxExp叫
做这个离散型随机变量X的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散
程度）．
()DX
的算术平方根()Dx叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随
机变量波动大小的量．
3．X为随机变量，ab，为常数，则2()()()()EaXbaEXbDaXbaDX，；
4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二
点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．
⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则()EXnp，
()Dxnpq(1)qp
．
⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为NMn，，的超几何分布，
则()nMEXN，2()()()(1)nNnNMMDXNN．
4．事件的独立性
如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即(|)()PBAPB，
这时，我们称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．
如果事件1A，2A，…，nA相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发
生的概率的积，即1212()()()()nnPAAAPAPAPA，并且上式中任意多个事
件iA换成其对立事件后等式仍成立．
5．条件概率
对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概
率，用符号“(|)PBA”来表示．把由事件A与B的交（或积），记做DAB（或DAB）．
智康高中数学.随机变量及其分布列.知识框架
5
随机变量及其分布-所有知识点集合教学内容59页PPT
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
分布列知识点总结
分布列知识点总结一、概念介绍1.1 分布列的定义分布列是离散随机变量的取值和相应概率的列。
对于离散型随机变量X，其所有可能取值x1，x2，……，xn及其上对应的概率P(X=x1)，P(X=x2)，……，P(X=xn)就构成了X的分布列。
1.2 分布列的性质（1）分布列的概率和为1对于任意一个随机变量X，其分布列中所有可能取值的概率之和为1，即∑P(X=xi)=1。
（2）随机变量的取值是有限个或可列无限个分布列中的随机变量的取值只能是有限个或可列无限个，不可能是连续的。
二、分布列的应用2.1 用分布列计算期望和方差分布列是计算离散随机变量的期望和方差的有力工具。
根据期望和方差的公式，可以直接利用分布列中的取值和概率来计算期望和方差。
2.2 利用分布列进行概率计算通过分布列，可以计算得到随机变量取某个值的概率，或者计算随机变量在某个范围内取值的概率等。
这对于一些概率问题的求解非常有用。
三、分布列的例子3.1 二项分布二项分布是一种常见的离散型概率分布，用于描述在n次独立重复的伯努利试验中成功的次数。
设X为二项分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 …… nP C(n,0) * p^0 * (1-p)^n C(n,1) * p^1 * (1-p)^(n-1) C(n,2) * p^2 * (1-p)^(n-2) …… C(n,n) * p^n * (1-p)^0其中，p为成功的概率，n为试验的次数。
3.2 泊松分布泊松分布描述了单位时间内随机事件发生的次数。
设X为泊松分布随机变量，其分布列为：X 0 1 2 3 4 ……P e^(-λ) * λ^0 / 0! e^(-λ) * λ^1 / 1! e^(-λ) * λ^2 / 2! e^(-λ) * λ^3 / 3! e^(-λ) * λ^4 / 4! ……其中，λ为单位时间内随机事件发生的平均次数。
四、分布列与其他概率分布的关系4.1 分布列与连续型概率分布分布列适用于离散型随机变量，而连续型随机变量则需要用概率密度函数进行描述。
高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布内容提要：一、随机变量的定义设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质1．分布函数的定义设是随机变量，称定义在上的实值函数为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质(1) ，（2）单调不减性：，（3）（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。
在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量1．离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为或用表格表示：或记为~（2）性质：，注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为即（2）二项分布（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为，，称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。
高中数学系列2—3练习题（2.1）一、选择题：1、如果X是一个离散型随机变量，则假命题是( )A. X取每一个可能值的概率都是非负数；B. X取所有可能值的概率之和为1；C. X 取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. X 在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和2①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数X ；②在(0,1)区间内随机的取一个数X ；③某超市一天中的顾客量X 其中的X 是离散型随机变量的是（ ） A ．①； B ．②； C ．③； D ．①③3、设离散型随机变量ξ的概率分布如下，则a 的值为（ ）X1 2 3 4P16 1316aA ．12B ．16C ．13D ．144、设随机变量X 的分布列为()()1,2,3,,,kP X k k n λ===⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．145、已知随机变量X 的分布列为：()12k p X k ==，Λ,3,2,1=k ，则()24p X <≤=（ ） A.163 B. 41 C. 161 D. 165 6、设随机变量X 等可能取1、2、3...n 值，如果(4)0.4p X ≤=,则n 值为（ ）A. 4B. 6C. 10D. 无法确定7、投掷两枚骰子，所得点数之和记为X ，那么4X =表示的随机实验结果是（ ） A. 一枚是3点，一枚是1点 B. 两枚都是2点C. 两枚都是4点D. 一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 8、设随机变量X 的分布列为()()21,2,3,,,kP X k k n λ==⋅=⋯⋯，则λ的值为（ ）A ．1；B ．12； C ．13； D ．14二、填空题：9 、下列表中能成为随机变量X 的分布列的是 （把全部正确的答案序号填上）()12,1,2,3,,21k n P X k k n -===-L 10、已知2Y X =为离散型随机变量，Y 的取值为1,2,3,,10L ，则X 的取值为 11、一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数X 可能取值为X-1 0 1 p 0.3 0.4 0.4X 1 2 3 p 0.4 0.7 -0.1 X 5 0 -5 p 0.3 0.6 0.1 ()1,2,3,4,5,P X k k k===L④⑤三、解答题：12、某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km ，则按每超出lkm 加收2元计费(超出不足1km 的部分按lkm 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km ．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量(1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；(2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?13、一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率．14、一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止．设分裂n 次终止的概率是n 21(n =1,2,3,…)．记X 为原物体在分裂终止后所生成的子块数目，求(10)P X .高中数学系列2—3练习题（2.1）参考答案一、选择题：1、D2、D3、C4、B5、A6、C7、D8、C 二、填空题：9、 ③④10、13579,1,,2,,3,,4,,52222211、 3,4,5三、解答题：12、解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟．13、解：设黄球的个数为n ，由题意知绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中的总数为7n ．∴ 44(1)77n P X n ===，1(0)77n P X n ===，22(1)77n P X n =-==． X 10 －1 P74 71 7214、解：依题意，原物体在分裂终止后所生成的数目X 的分布列为X2 4 8 16 ．．．n 2．．． P 21 41 81 161 ．．． n 21 ．．． ∴ (10)(2)(4)(8)P X P X P X P X ≤==+=+==8842=++．。
第七章 随机变量及其分布【章末复习】高二数学单元复习(人教A版2019选择性必修第三册)
10
1 P(C|A)＝PPAAC＝310＝13.
10
2 重点题型
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝29＋13＝59. ∴所求概率为59. 方法二 ∵n(A)＝1×C19＝9， n(B∪C|A)＝C12＋C13＝5，
∴P(B∪C|A)＝59. ∴所求的条件概率为59.
跟踪训练3 某地盛产脐橙，该地销售脐橙按照等级分为四类：珍品、 特级、优级和一级(每箱重量为5 kg)，某采购商打算在该地采购一批脐 橙销往外地，并从采购的这批脐橙中随机抽取50箱，利用脐橙的等级分 类标准得到的数据如表：
等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 10 15 15 10
(1)用分层随机抽样的方法从这50箱脐橙中抽取10箱，再从抽取的10箱中 随机抽取3箱，ξ表示随机抽取的3箱中是特级的箱数，求ξ的分布列及均 值E(ξ)；
解 用分层随机抽样的方法从这 50 箱脐橙中抽取 10 箱，特级品的箱数
为 10×5105＝3， 非特级品的箱数为10－3＝7，ξ的取值为0,1,2,3. 则 P(ξ＝0)＝CC03C31037＝274，P(ξ＝1)＝CC13C31027＝2410， P(ξ＝2)＝CC23C31017＝470，P(ξ＝3)＝CC33C31007＝1120，
当 a＝38 时，X＝38×6＝228，P＝550＝110； 当 a＝39 时，X＝39×6＝234，P＝1500＝15； 当 a＝40 时，X＝40×6＝240，P＝1500＝15； 当 a＝41 时，X＝40×6＋1×7＝247，P＝2500＝25； 当 a＝42 时，X＝40×6＋2×7＝254，P＝550＝110，
品牌
甲Leabharlann 乙其他市场占有率
离散型随机变量及其分布列
2 5
3 5
4 5
1
P a 2a 3a 4a 5a
由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1， 解得 a＝115.
(2)求 PX≥35. 解 方法一 PX≥35＝PX＝35＋PX＝45＋P(X＝1)＝135＋145＋155＝45. 方法二 PX≥35＝1－PX≤25＝1－115＋125＝45.
P
5 22
2 11
1 66
4 11
4 33
1 11
(2)求出赢钱(即X>0时)的概率.
解 P(X>0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4) ＝141＋343＋111＝1393. 所以赢钱的概率为1393.
跟踪训练2 某班有学生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人， B型血的有8人，AB型血的有15人.现从中抽1人，其血型为随机变量X， 求X的分布列.
(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；
解 某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变 化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； 解 明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是 随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量.
解 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1， 解得m＝0.3. 首先列表为
X 2X＋1
0
1
2
3
4
1
3
5
7
9
|X－1|
10ຫໍສະໝຸດ 123则由上表得两个分布列为
(1)2X＋1的分布列
2X＋1
1
3
5
7
9
P
“随机变量及其分布”简介PPT优秀课件
6. 教材内容的变化与特点
a. 知识的引入的变化: • 注重利用学生熟悉的实例和具体情景，以 引发学生的学习兴趣； • 通过思考或探究栏目提出问题，以调动学 生解决问题的积极性。 b. 具体内容的变化： • 以取有限值的离散型随机变量为载体； • 增加了超几何分布。 c. 知识的应用 • 体现概率统计的应用价值； • 利用思考、探究等栏目提高学生解决实际 问题能力。
发展要求
了解两点分布、二项分布的方差的计算公式。
§2.4正态分布
基本要求
1、初步了解正态分布的意义。 2、初步了解正态曲线的性质。 3、初步了解参数 、 对正态曲线的影响。
3. 课时分配与知识框图
随机变量及其分布 （16学时）
离 散 型 ︵随 3 机 变 课量 时及 ︶其 分 布 列
独立性的应用
例2.3 某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值 的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑 奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的 兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都 是0．05，求 （1）两次抽奖都抽到某一指定号码的概率； （ 2 ）两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码 的概率； （ 3 ）两次抽奖至少有一次抽到某一指定号 码的概率． 思考：二次开奖至少中一次奖的概率是不是一次 开奖中奖概率的两倍？为什么？
4．对教学安排的说明
(4)为了使学生更容易理解二项分布的产生背景,教 材通过简单实例的讨论,向学生展示从独立重复 试验到二项分布的推导过程. (5)对于离散型随机变量的均值与方差的含义及其 计算公式,重点是概念的理解,这也是难点.因此 教材中借助于很简单的离散型随机变量来介绍 均值与方差的概念，以避免复杂的计算冲淡概 念的理解. (6)关于正态分布模型，仅需学生了解正态分布密 度曲线的特征，密度曲线与相应的随机变量落 在某个区间的概率之间的关系,参数 和 的 含义,以及3 准则.
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页
高中数学知识点总结：随机变量及其分布2页1.随机变量随机变量是定义在样本空间上的函数，它的取值是随机的。
如果随机变量只取有限个或无限个可列值，称为离散随机变量。
3.离散概率分布离散随机变量的取值及其对应的概率称为离散概率分布。
4.期望离散随机变量X的期望是各个取值与其对应的概率乘积之和，用E(X)表示。
5.方差6.二项分布重复独立地进行n次相同的试验，每次试验只有成功和失败两种可能，成功概率为p，失败概率为1-p，记X为n次试验中成功的次数，则X服从二项分布，用B(n,p)表示。
7.泊松分布在一定时间或空间内，事件发生的次数服从泊松分布，如果事件在单位时间或单位空间内出现的概率是λ，则X在一个时间或空间区间内出现x次的概率为e^(-λ)λ^x/x!。
9.概率密度函数连续随机变量X的概率密度函数是一个非负可积函数f(x)，满足积分从负无穷到正无穷等于1，即∫f(x) dx=1。
连续随机变量X的期望是∫xf(x) dx。
12.正态分布在许多自然界现象中，随机变量的分布往往服从正态分布，其概率密度函数为f(x)=1/(σ√(2π)) e^((-(x-μ)^2)/(2σ^2))，其中μ是期望，σ是标准差。
13.中心极限定理如果n个独立随机变量的和服从某个分布，当n趋于无穷大时，它们的和近似服从正态分布。
这就是中心极限定理。
14.卡方分布卡方分布是一种重要的概率分布，它是二项分布的极限情况。
在统计学中广泛应用，用于检验样本方差是否符合正态分布。
t分布是一种重要的概率分布，常用于小样本的统计推断，如t检验。
F分布是一种概率分布，广泛用于方差分析，也用于卡方检验、t检验等。
17.统计量统计量是由样本数据计算出来的统计量，是样本的函数，可以用于对总体进行推断，如均值、方差、相关系数等。
18.抽样分布抽样分布是一个统计量的分布，由样本数据计算得到，用于总体参数的估计和假设检验。
19.点估计点估计是使用样本数据得到总体参数的点估计值，如样本均值、样本标准差等。
随机变量及其分布PPT课件
例8. 某类灯泡使用时数在1000小时以上 的概率是0.2，求三个灯泡在使用1000 小时以后最多只有一个坏了的概率.
解: 设X为三个灯泡在使用1000小时已坏的灯
泡数 . X ~ B (3, 0.8)，
P(X k)C3k (0.8)k (0.把2)观3察k ,一个k 灯泡0,的1,2使,3用
1 6
)k
(
5)3k 6
,
k0,1,2,3
32
例7. 已知100个产品中有5个次品，现从中 有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的 3个中恰有2个次品的概率.
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验
的条件完全相同且独立，它是贝努里试验. 依题意，每次试验取到次品的概率为0.05. 设X为所取的3个中的次品数，
请思考： 古典概型与贝努里概型不同，有何区别？
34
贝努里概型对试验结果没有等可能的 要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同；
（2）每次试验只考虑两个互逆结果A或 A ，
且P(A)=p ，P( A) 1 p；
（3）各次试验相互独立. 可以简单地说， 二项分布描述的是n重贝努里试验中出现 “成功”次数X的概率分布.
随后单调减少.
..
0
n=13,p=0.5
..n
当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k) 在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大 值.
课下请自行证明上述结论.
31
例6. 将一枚均匀骰子抛掷3次， 令X 表示3次中出现“4”点的次数
不难求得，
X的概率分布列是：
P{
X
k}C3k
(
第三章
随机变量及其分布
新高考数学复习考点知识讲解5---离散型随机变量及其分布列
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
3、性质
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；② pi＝1．
4、若随机变量X的分布列为
X
0
1
P
1－p
p
则称该分布列为两点分布列或0-1分布．若随机变量X的分布列为两点分布列，则称X服从两点分布，称p＝P(X＝1)为成功概率
答案】设(i，j)表示掷两次骰子后出现的点数，i表示第一次的点数，j表示第二次的点数．
(1)Y的可能取值为1,2,3,4,5,6.
当Y＝1时，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)．故P(Y＝1)＝ ，同理P(Y＝2)＝ ＝ ，P(Y＝3)＝ ，P(Y＝4)＝ ，P(Y＝5)＝ ＝ ，P(Y＝6)＝ .所以Y的概率分布列为
A．20B．24C．4D．18
【答案】B
【解析】由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有 ＝24(种)．
题型三离散型随机变量的分布列
例3 将一颗骰子掷2次，求下列随机事件的分布列．
(1)两次掷出的最小点数Y；
(2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ.
P(X＝1)＝ ＝ ，
P(X＝2)＝ ＝ .
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
4、设离散型随机变量X服从两点分布，若 ，则
高中数学随机变量分布列知识点
第二章随机变量及其分布内容提要：一、随机变量的定义设是一个随机试验，其样本空间为，若对每一个样本点，都有唯一确定的实数与之对应，则称上的实值函数是一个随机变量（简记为）。
二、分布函数的概念和性质1．分布函数的定义设是随机变量，称定义在上的实值函数为随机变量的分布函数。
2．分布函数的性质(1) ，（2）单调不减性：，（3）（4）右连续性：。
注：上述4个性质是函数是某一随机变量的分布函数的充要条件。
在不同的教科书上，分布函数的定义可能有所不同，例如，其性质也会有所不同。
（5）注：该性质是分布函数对随机变量的统计规律的描述。
三、离散型随机变量1．离散型随机变量的定义若随机变量的全部可能的取值至多有可列个，则称随机变量是离散型随机变量。
2．离散型随机变量的分布律（1）定义：离散型随机变量的全部可能的取值以及取每个值时的概率值，称为离散型随机变量的分布律，表示为或用表格表示：或记为~（2）性质：，注：该性质是是某一离散型随机变量的分布律的充要条件。
其中。
注：常用分布律描述离散型随机变量的统计规律。
3．离散型随机变量的分布函数=，它是右连续的阶梯状函数。
4．常见的离散型分布（1）两点分布（0—1分布）：其分布律为即（2）二项分布（ⅰ）二项分布的来源—重伯努利试验：设是一个随机试验，只有两个可能的结果及，，将独立重复地进行次，则称这一串重复的独立试验为重伯努利试验。
（ⅱ）二项分布的定义设表示在重伯努利试验中事件发生的次数，则随机变量的分布律为，，称随机变量服从参数为的二项分布，记作。
注：即为两点分布。
（3）泊松分布：若随机变量的分布律为，，则称随机变量服从参数为的泊松分布，记作（或。