高等代数备课教案北大版第二章
于是上述解可以用二级行列式叙述为：
当二级行列式
时，该方程组有唯一解，即
.
二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组
称代数式 为三级行列式，用符号表示为：
.
当三级行列式
时，上述三元线性方程组有唯一解，解为
其中
.
三、 元线性方程组
是否也有类似的结论呢？为此，首先给出 级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容.
(1)
其中 代表那些含有 的项在提出公因子 之后的代数和(至于 究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道， 中不再含有第 行的元素，也就是 全与行列式中第 行的元素无关.由此即得.
授课内容
第二章 行列式 第一讲 引言、排列
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生了解行列式的背景，要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则，掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。
教学重点
二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则，有关排列的基本概念、排列的奇偶性。
(1)
(2)
从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成
(3)
其中 是1，2，3的一个排列.可以看出，当 是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当 是奇排列时带有负号.
定理1对换改变排列的奇偶性.
这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列.
推论在全部 级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有 个.
定理2任意一个 级排列与排列 都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变.
讨论、练习与作业
. (15)
由此即得行列式的下列性质：
性质1行列换，行列式不变.即
. (16)
性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式
讨论、练习与作业
课后反思
授课内容
第三讲 n级行列式的性质
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用
由定义看出， 级行列式是由 项组成的.
例1计算行列式
.
例2计算上三角形行列式
. (7)
. (8)
这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.
容易看出，当行列式的元素全是数域中的数，它的值也是数域中的一个数.
教学难点
二、三级行列式的对角线计算法则，排列逆序数的计算与奇偶性的确定
教学方法与手段
启发式 讲练相结合
教
学
过
程
解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组.
一、对于二元线性方程组
当 时，此方程组有唯一解，即
我们称 为二级行列式，用符号表示为
二、行列式的性质
在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地， 级行列式中的项可以写成
, （11）
其中 是两个 级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于
(12)
按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成
定义4 级行列式
(4)
等于所有取自不同行不同列的 个元素的乘积
(5)
的代数和，这里 是 的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当 是偶排列时，(5)带有正号，当 是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成
(6)
这里 表示对所有 级排列求和.
定义表明，为了计算 级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号.
教学重点
行列式的性质及其应用
教学难点
行列式性质的应用
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算.
在行列式的定义中，虽然每一项是 个元素的乘积，但是由于这 个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中 个元素(譬如 )来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之， 级行列式的 项可以分成 组，第一组的项都含有 ，第二组的项都含有 等等.再分别把 行的元素提出来，就有
课后反思
授课内容
第二讲 n级行列式
教学时数
2
授课类型
讲授与互动
教学目标
使学生掌握行列式的定义，要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称
教学重点
一般行列式的定义、行与列的地位是对称的
教学难点
行列式的定义
教学方法与手段
讲授法 启发式
教
学
过
程
一、 级行列式的概念
在给出 级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有
排列 的逆序数记为
例：排列53214的逆序数7
定义3逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
应该指出，我们同样可以考虑由任意 个不同的自然数所组成的排列，一般也称为 级排列。对这样一般的 级排列，同样可以定义上面这些概念。
五、排列的奇偶性
把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部 级排列两两配对，使每两个配成对的 级排列在这个对换下互变。
四、排列的定义
定义1由 组成的一个有序数组称为一个 级排列.
级排列的总数是 .
显然 也是一个 级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序.
定义2在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.
高等代数【北大版】课件
线性方程组是求解线性规划问题的常用工具 。
物理问题建模
在物理问题中，线性方程组可以用来描述各 种现象，如振动、波动等。
投入产出分析
通过线性方程组分析经济系统中各部门之间 的相互关系。
控制系统分析
在控制系统分析中，线性方程组用于描述系 统的动态行为。
PART 03
向量与矩阵
REPORTING
高等代数【北大版】 课件
REPORTING
• 绪论 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 多项式 • 特征值与特征向量 • 二次型与矩阵的相似对角化
目录
PART 01
绪论
REPORTING
高等代数的应用
在数学其他分支的应用
高等代数是数学的基础学科，为其他分支提供了理论基础，如几 何学、分析学等。
PART 04
多项式
REPORTING
一元多项式的定义与运算
总结词
一元多项式的定义、运算性质和运算方法。
详细描述
一元多项式是由整数系数和变量组成的数学对象，具有加法、减法、乘法和除法等运算性质和运算方法。一元多 项式可以表示为$a_0 + a_1x + a_2x^2 + ldots + a_nx^n$的形式，其中$a_0, a_1, ldots, a_n$是整数，$x$是 变量。
矩阵的相似对角化
总结词
矩阵的相似对角化是将矩阵转换为对角矩阵 的过程，有助于简化矩阵运算和分析。
详细描述
矩阵的相似对角化是通过一系列的线性变换 ，将一个矩阵转换为对角矩阵。对角矩阵是 一种特殊的矩阵，其非主对角线上的元素都 为零，主对角线上的元素为特征值。通过相 似对角化，可以简化矩阵运算，并更好地理 解矩阵的性质和特征。
《高等代数2》教学大纲
高等代数2Advanced Algebra一、课程基本情况课程类别：学科基础课课程学分：5学分课程总学时：80学时，其中讲课：80学时课程性质：必修开课学期：第二学期先修课程：初等代数，初等几何，解析几何，高等代数（1）适用专业：数学与应用数学，信息与计算科学，统计学，应用统计学教材：高等代数，高等教育出版社，北京大学数学系，2013年，第四版。
开课单位：数学与统计学院数学系二、课程性质、教学目标和任务《高等代数》是数学类各专业的一门重要基础课之一，通过这门课的学习，使学生获得：二次型化为标准形的配方法与合同变换法，矩阵正定、半正定、不定的定义与判别方法，对称矩阵与对角矩阵合同的计算方法；线性空间的定义与基本性质，子空间的交与和、直和，维数公式的及其证明与应用；线性变换的定义与基本性质，矩阵特征值特征向量的定义与计算方法，两矩阵相似的充分条件，矩阵相似对角化方法；4■矩阵，不变因子，行列式因子，初等因子；欧氏空间的定义，欧氏空间的对称变换及其性质，正交矩阵，实对称矩阵与对角矩阵相似计算法。
同时，使学生受到严格的代数方法训练，为学习后继课程打下基础。
本大纲为第二学期讲授内容，涉及教材第五至第九章。
三、教学内容和要求第5章多项式二次型（12学时数）5.1二次型及其矩阵表示（2学时）（1）了解矩阵合同的概念以及矩阵合同满足反身性、对称性、传递性的关系；（2）理解线性替换、非线性替换以及二次型矩阵的概念；（3）掌握二次型与对称矩阵之间的关系与互化；重点：二次型与二次型矩阵；难点：非线性替换把二次型化为二次型。
5.2标准形（4学时）（1）了解对称矩阵合同于对角矩阵的证明；（2）理解标准形概念，理解把二次型化为标准形配方法的证明；（3）掌握把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；重点：把二次型化为标准形的两种方法：配方法与合同变换法；难点：对称矩阵合同于对角矩阵的证明。
1.3唯一性（2学时）（1）了解复规范形及其把二次型化为复规范形的证明；（2）理解惯性定理的证明；（3）掌握复对称矩阵以及实对称矩阵合同于对角阵的性质与方法，掌握正惯性指数、负惯性指数、符号差的概念。
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.4 用向量讨论垂直与平行教学案 北师大版选修2-1-北师大
§4用向量讨论垂直与平行[对应学生用书P28]直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2；平面π1，π2的法向量分别为n1，n2.问题1：假设直线l1∥l2，直线l1垂直于平面π1，那么它们的方向向量和法向量有什么关系？提示：u1∥u2∥n1.问题2：假设l1⊥l2，l1∥π2呢？提示：u1⊥u2，u1⊥n2.问题3：假设π1∥π2，那么n1，n2有什么关系？提示：n1∥n2.1．空间中平行、垂直关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面π1，π2的法向量分别为n1，n2，那么线线平行l∥m⇔a＝k b(k∈R)线面平行l∥π1⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行π1∥π2⇔n1∥n2⇔n1＝k n2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥π1⇔a∥n1⇔a＝k n1(k∈R)面面垂直π1⊥π2⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02.假设平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的投影，那么这两条直线垂直．3．面面垂直的判定定理假设一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直．一条直线可由一点及其方向向量确定，平面可由一点及其法向量确定，因此可利用直线的方向向量与平面的法向量的平行、垂直来判定直线、平面的位置关系．这是向量法证明垂直、平行关系的关键．第一课时 空间向量与平行关系[对应学生用书P28]由直线的方向向量与平面的法向量判定线面位置关系[例1] (1)设a ，b 分别是两条不同直线l 1，l 2的方向向量，根据以下条件判断l 1与l 2的位置关系：①a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)； ②a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)； ③a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)．(2)设n 1，n 2分别是两个不同平面π1，π2的法向量，根据以下条件判断π1，π2的位置关系：①n 1＝(1，－1,2)，n 2＝(3,2，－12)；②n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)； ③n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)．(3)设n 是平面π的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据以下条件判断π和l 的位置关系：①n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)； ②n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)； ③n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)．[思路点拨] 此题可由直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，转化为线线、线面及面面之间的关系．[精解详析] (1)①∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)， ∴a ＝－13b .∴a∥b ，∴l 1∥l 2.②∵a ＝(5,0,2)，b ＝(0,4,0)， ∴a·b ＝0.∴a⊥b .∴l 1⊥l 2. ③∵a ＝(－2,1,4)，b ＝(6,3,3)， ∴a 与b 不共线，也不垂直．∴l 1与l 2的位置关系是相交或异面(不垂直)． (2)①∵n 1＝(1，－1,2)，n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2，－12， ∴n 1·n 2＝3－2－1＝0. ∴n 1⊥n 2，∴π1⊥π2.②∵n 1＝(0,3,0)，n 2＝(0，－5,0)， ∴n 1＝－35n 2，∴n 1∥n 2.∴π1∥π2.③∵n 1＝(2，－3,4)，n 2＝(4，－2,1)， ∴n 1与n 2既不共线，也不垂直． ∴平面π1和π2相交(不垂直)． (3)①∵n ＝(2,2，－1)，a ＝(－3,4,2)， ∴n·a ＝－6＋8－2＝0. ∴n⊥a .∴直线l 和平面π的位置关系是l π或l ∥π. ②∵n ＝(0,2，－3)，a ＝(0，－8,12)， ∴n ＝－14a .∴n∥a .∴l ⊥π.③∵n ＝(4,1,5)，a ＝(2，－1,0)，∴n和a既不共线，也不垂直．∴l与π斜交．[一点通]用向量法来判定线面位置关系时，只需判断直线的方向向量与平面的法向量位置关系即可．线线间位置关系与方向向量关系相同，面面间位置关系与法向量间关系相同，线面间的位置关系与向量间位置关系不同，只是平行与垂直的互换．1．设直线l的方向向量为a，平面π的法向量为b，假设a·b＝0，那么( ) A．l∥πB．lπC．l⊥πD．lπ或l∥π解析：当a·b＝0时，lπ或l∥π.答案：D2．假设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l不在平面α内，那么能使l∥α的是( )A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)解析：直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，要使l∥α，那么a⊥n，∴a·n＝0.只有D中a·n＝0.答案：D3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，H，G分别是AA1，AB，CC1，C1D1的中点，求证：EF∥HG.证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．设正方体的棱长为2，那么E，F，H，G的坐标分别为E(2,0,1)，F(2,1,0)，H(0,2,1)，G(0,1，2)．∴EF＝(0,1，－1)，GH ＝(0,1，－1)．∴EF ＝GH .∴EF ∥GH . 又∵G ∉EF ，∴EF ∥GH .用空间向量证明线面平行问题[例2] 如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ，点O ，D 分别是AC ，PC 的中点，且OA ＝OP ，OP ⊥平面ABC .求证：OD ∥平面PAB .[思路点拨] 思路：一证明OD 与平面PAB 的法向量垂直．思路二：证明OD 与面PAB 内某一直线平行．[精解详析] 法一：因为AB ＝BC ，O 为AC 的中点，所以OB ⊥AC ，OA ＝OB ＝OC ，如图，建立空间直角坐标系，设OA ＝a ，那么A (a,0,0)，B (0，a,0)，C (－a ，0,0)，P (0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2，所以OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，a 2.设平面PAB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·PA ＝0，n ·AB ＝0.由于PA ＝(a,0，－a )，AB ＝(－a ，a,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ax －az ＝0，－ax ＋ay ＝0.令z ＝1，得x ＝y ＝1，所以n ＝(1,1,1)，所以OD ·n ＝－a 2＋a2＝0，所以OD ⊥n ，因为OD 不在平面PAB 内，所以OD ∥平面PAB .法二：因为O ，D 分别是AC ，PC 的中点，所以OD ＝－CO ＝12－12CA ＝12AP ，所以OD ∥AP ，即OD ∥AP ，O D ⃘平面PAB ，PA 面PAB ，所以OD ∥平面PAB .[一点通]用向量法证明线面平行时，可证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可直接证明平面内的某一向量与直线的方向向量共线，还可以证明直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面．但必须说明直线在平面外．4．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2.点M 在棱BB 1上，且BM ＝2MB 1，点S 在DD 1上，且SD 1＝2SD ，点N ，R 分别为A 1D 1，BC 的中点．求证：MN ∥平面RSD .证明：法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么根据题意得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，0，43，N (0,2,2)，R (3,2,0)，S ⎝⎛⎭⎪⎫0，4，23.∴MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，2，23，MN ＝.∴MN ∥. ∵M ∉RS .∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .法二：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ， 那么MN ＝1MB ＋11B A ＋1A N ＝13c －a ＋12b ，＝RC ＋＋DS ＝12b －a ＋13c ，∴MN ＝，∴MN ∥， 又∵R ∉MN ，∴MN ∥RS .又RS 平面RSD ，M N ⃘平面RSD ， ∴MN ∥平面RSD .5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .证明：法一：如下图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，那么可求得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，1，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，于是MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12，1DA ＝(1,0,1)，DB ＝(1,1,0)，设平面A 1BD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，那么n ·1DA ＝0且n ·DB ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋z ＝0，x ＋y ＝0.取x ＝1，得y ＝－1，z ＝－1.∴n ＝(1，－1，－1)．又MN ·n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，12·(1，－1，－1)＝0，∴MN ⊥n .∴MN ∥平面A 1BD .法二：∵MN ＝1C N －C 1M ―→＝1211C B －121C C＝12(11D A －1D D )＝121DA ，∴MN ∥1DA . 又DA 1平面A 1BD ， ∴MN ∥平面A 1BD .用空间向量证明面面平行[例3] 111111，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD .[思路点拨] 此题可通过建立空间直角坐标系，利用向量共线的条件先证线线平行，再证面面平行．也可以先求这两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．[精解详析] 法一：如下图，建立空间直角坐标系，那么A (4,0,0)，M (2,0,4)，N (4,2,4)，D (0,0,0)，B (4,4,0)，E (0,2,4)，F (2,4,4)．取MN 的中点G 及EF 的中点K ，BD 的中点Q ，连AG ，QK ，那么G (3,1,4)，K (1,3,4)，Q (2,2,0)．∴MN ＝(2,2,0)，EF ＝(2,2,0)，AG ＝(－1,1,4)，QK ＝(－1,1,4)．可见MN ＝EF ，AG ＝QK ，∴MN ∥EF ，AG ∥QK . 又M N ⃘平面EFBD ，A G ⃘平面EFBD . ∴MN ∥平面EFBD ，AG ∥平面EFBD . 又MN ∩AG ＝G ， ∴平面AMN ∥平面EFBD .法二：由法一得AM ＝(－2,0,4)，MN ＝(2,2,0)，DE ＝(0,2,4)，EF ＝(2,2,0)． 设平面AMN 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AM ＝0，n 1·MN ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1＋4z 1＝0，2x 1＋2y 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧z 1＝12x 1，y 1＝－x 1.令x 1＝1，那么n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12. 设平面BDEF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝0，2y 2＋4z 2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－y 2，z 2＝－12y 2，令x 2＝1，那么n 2＝(1，－1，12)．∴n 1＝n 2.∴平面AMN ∥平面BDEF . [一点通]用向量法证明两面互相平行，可由两平面平行的判定定理证明一面内的两条相交直线的方向向量与另一面平行；也可分别求出两个平面的法向量，然后证明这两个法向量平行．6.如下图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．求证：平面EGF ∥平面ABD .证明：如下图，由条件知BA ，BC ，BB 1两两互相垂直，以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由条件知B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)，设BA ＝a ，那么A (a,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，4.所以BA ＝(a,0,0)，BD ＝(0,2,2)，1B D ＝(0,2，－2)，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，1，1，EF ＝(0,1,1)．法一：∵1B D ·BA ＝0，1B D ·BD ＝0＋4－4＝0， 所以B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .因BA ∩BD ＝B ，因此B 1D ⊥平面ABD .又1B D ·EG ＝0＋2－2＝0，1B D ·EF ＝0＋2－2＝0.所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF ，又EG ∩EF ＝E ， 所以B 1D ⊥平面EFG ，可知平面EGF ∥平面ABD . 法二：设平面EGF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF ＝0，n 1·EG ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 1＝(0,1，－1)．设平面ABD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BA ＝0，n 2·BD ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－z ，令y ＝1，那么n 2＝(0,1，－1)．所以n 1＝n 2.所以平面EGF ∥平面ABD .7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点，求证： (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F . 证明：建立空间直角坐标系如图，那么有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，那么y 1＝－1， 所以n 1＝(0，－1,2)．因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1. 又因为FC 1⃘平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE . (2)∵11C B ＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．由n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2， 所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .1．平面的法向量确定通常有两种方法：(1)利用几何体中的线面垂直关系；(2)用待定系数法，设出法向量，根据它和α内不共线两向量的垂直关系建立方程组进行求解．由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量．2．用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行．(2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直． (3)面面平行转化为平面法向量的平行．[对应课时跟踪训练九]1．向量a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，假设l 1∥l 2，那么( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152解析：∵l 1∥l 2，设a ＝λb ， ∴(2,4,5)＝λ(3，x ，y )， ∴x ＝6，y ＝152.答案：D2．l ∥π，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面π的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，那么m ＝( )A ．－8B ．－5C ．5D ．8解析：∵l ∥π，∴直线l 的方向向量与平面π的法向量垂直． ∴2＋m2＋2＝0，m ＝－8.答案：A3．假设两个不同平面π1，π2的法向量分别为n 1＝(1,2，－2)，n 2＝(－3，－6,6)，那么( )A ．π1∥π2B ．π1⊥π2C ．π1，π2相交但不垂直D ．以上均不正确解析：∵n 1＝－13n 2，∴n 1∥n 2，∴π1∥π2.答案：A4．平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，假设α∥β，那么λ的值是( )A ．－103B ．6C ．－6 D.103解析：∵α∥β，∴α的法向量与β的法向量也互相平行， ∴24＝3λ＝－1－2，∴λ＝6. 答案：B5．两直线l 1与l 2的方向向量分别为v 1＝(1，－3，－2)，v 2＝(－3,9,6)，那么l 1与l 2的位置关系是________．解析：∵v 2＝－3v 1， ∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合．答案：平行或重合6．假设平面π1的一个法向量为n 1＝(－3，y,2)，平面π2的一个法向量为n 2＝(6，－2，z )，且π1∥π2，那么y ＋z ＝________.解析：∵π1∥π2，∴n 1∥n 2.∴－36＝y －2＝2z .∴y ＝1，z ＝－4. ∴y ＋z ＝－3. 答案：－37.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．证明：直线MN ∥平面OCD .证明：作AP ⊥CD 于点P .如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．那么A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，0. MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－24，24，－1，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，－2， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22，－2.设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 那么n ·＝0，n ·OD ＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)． ∵MN ·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0，∴MN ⊥n . 又M N ⃘平面OCD ，∴MN ∥平面OCD .8．如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：依题意，建立如下图的空间直角坐标系，设正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，那么A 1(0,0,1)，B (1,0,0)，B 1(1,0,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，1BA ＝(－1,0,1)，BE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量，那么由n ·1BA ＝0，n ·BE ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设棱C 1D 1上存在点F (t,1,1)(0≤t ≤1)满足条件，又B 1(1,0,1)，所以1B F ＝(t －1,1,0)．而B 1F ⃘平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔1B F ·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE .第二课时 空间向量与垂直关系[对应学生用书P31]用空间向量证明线线垂直[例1] 直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是矩形，AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，M 是BC 的中点，在DD 1上存在一点N ，使MN ⊥DC 1，试确定N 点位置．[思路点拨] 此题中DA ，DC ，DD 1两两垂直，故可以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．可设出点N 坐标后利用方程MN ·1DC ＝0，进行求解．[精解详析] 建立空间直角坐标系，如图．那么C 1(0,2,3)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，0，D (0,0,0)，∴1DC ＝(0,2,3)． 设点N (0,0，h )，那么MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h . ∵MN ⊥DC 1，那么MN ·1DC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，h ·(0,2,3)＝－4＋3h ＝0.∴h ＝43，那么N ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，43.故N 点在DD 1上且|DN |＝43时，有MN ⊥DC 1.[一点通]用向量法证明两直线互相垂直时，可以证明两直线的方向向量a ，b 的数量积为零，即a·b ＝0.假设图形易于建立空间直角坐标系，那么可用坐标法进行证明，否那么可用基向量分别表示a ，b 后进行证明．1．如图，长方形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点．将△ADM 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM .求证：AD ⊥BM .证明：因为平面ADM ⊥平面ABCM ，AB ＝2，AD ＝1，M 为DC 的中点，∴AD ＝DM ，取AM 的中点O ，连接OD ，那么DO ⊥平面ABCM ，取AB 的中点N ，连接ON ，那么ON ⊥AM ，以O 为原点建立如下图的空间直角坐标系，根据条件，得A ⎝⎛⎭⎪⎫22，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，2，0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，0，D ⎝⎛⎭⎪⎫0，0，22，那么AD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，22，BM ＝(0，－2，0)，所以AD ·BM ＝0，故AD ⊥BM . 2．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，BB 1＝6，M 为CC 1中点，求证：AM ⊥BA 1.证明：如图，建立空间直角坐标系，那么B (0,0,0)，C (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(0,0，6)，A 1(0，3，6)，C 1(1，0，6)．∵M 为CC 1的中点， ∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，62. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，62，1BA ＝(0，3，6)．∴AM ·1BA ＝1×0－3＋62×6＝0. ∴AM ⊥1BA ，即AM ⊥BA 1.用空间向量证明线面垂直[例2] 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为DD 1的中点，O 为底面ABCD 的中心，求证：B 1O ⊥平面PAC .[思路点拨] 欲证B 1O ⊥平面PAC ，只需证明1B O 与平面PAC 内的两条相交直线都垂直，1B O 与这两条相交直线的方向向量的数量积为0即可．[精解详析] 如图，建立空间直角坐标系，不妨假设正方体的棱长为2，那么A (2,0,0)，P (0,0,1)，C (0，2,0)，B 1(2,2,2)，O (1,1,0)． 于是1OB ＝(1,1,2)，AC ＝(－2,2,0)，AP ＝(－2,0,1)．由于1OB ·AC ＝－2＋2＝0，1OB ·AP ＝－2＋2＝0.所以OB 1⊥AC ，OB 1⊥AP .又AC 面PAC ，AP 面PAC ，且AC ∩AP ＝A ， 所以OB 1⊥平面PAC . [一点通]用向量法证明线面垂直时，可直接证明直线的方向向量与面内两相交直线的方向向量垂直；也可证明直线的方向向量与平面的法向量平行．可由图形特点建立直角坐标系后用坐标法证明，也可利用基向量法进行处理．3.如下图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点．求证：EF ⊥平面B 1AC .证明：建立如下图坐标系，令正方体的棱长为1，那么A (1,0,0)，B 1(1，1,1)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫1，1，12，F ⎝⎛⎭⎪⎫12，12，1，那么1AB ＝(0,1,1)，AC ＝(－1,1,0)，EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12.法一：令平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1AB ＝0，n ·AC ＝0，得：⎩⎪⎨⎪⎧z ＝－y ，x ＝y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－1)＝－2⎝⎛⎭⎪⎫－12，－12，12＝－2EF ，∴n ∥EF ， ∴EF ⊥平面B 1AC .法二：∵EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，12，1B A ＝(0，－1，－1)，1B C ＝(－1,0，－1)，又EF ·1B A ＝0，EF ·1B C ＝0， ∴EF ⊥B 1A ，EF ⊥B 1C又B 1C ∩B 1A ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC .4．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .证明：取BC 中点O ，B 1C 1中点O 1，以O 为原点，，1OO ，的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系，那么B (1,0,0)，D (－1,1,0)，A 1(0,2，3)，A (0,0，3)，B 1(1,2,0)，∴1AB ＝(1,2，－3)，BD ＝(－2,1,0)，BA 1―→＝(－1,2，3)． ∵1AB ·BD ＝－2＋2＋0＝0，1AB ·1BA ＝－1＋4－3＝0，∴1AB ⊥BD ，1AB ⊥1BA . 即AB 1⊥BD ，AB 1⊥BA 1.又BD ∩BA 1＝B ，∴AB 1⊥平面A 1BD .用空间向量证明面面垂直[例3] 在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ＝CD ，∠BCD ＝90°，∠ADB ＝30°，E ，F 分别是AC ，AD 的中点．求证：平面BEF ⊥平面ABC .[思路点拨] 此题可建立空间坐标系后，证明面BEF 内某一直线的方向向量为面ABC 的法向量；也可分别得出两面的法向量，证明法向量垂直．[精解详析] 建立空间直角坐标系如图，设AB ＝a ，那么BD ＝3a ，于是A (0,0，a )，B (0,0,0)，C ⎝⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，a 2，F ⎝⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2，法一：可得EF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0，BA ＝(0,0，a )，BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，32a ，0， ∴EF ·BA ＝0，EF ·BC ＝0. 即EF ⊥AB ，EF ⊥BC .又AB ∩BC ＝B ，∴EF ⊥平面ABC . 又EF 平面BEF ，∴平面ABC ⊥平面BEF . 法二：∵∠BCD ＝90°，∴CD ⊥BC . 又AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥CD . 又AB ∩BC ＝B ，∴CD ⊥平面ABC . ∴＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0为平面ABC 的一个法向量． 设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∴n ·EF ＝0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－34a ，34a ，0＝0. ∴x ＝y .由n ·BF 0，即(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32a ，a 2＝0， 有32ay ＋a2z ＝0，∴z ＝－3y . 取y ＝1，得n ＝(1,1，－3)． ∵n ·＝(1,1，－3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，32a ，0＝0， ∴n ⊥.∴平面BEF ⊥平面ABC . [一点通]用向量法证明两平面垂直时，可证其中一面内某条直线的方向向量与另一面内的两相交直线的方向向量垂直；也可直接得出两平面的法向量，证明两平面的法向量互相垂直．5．：在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点．求证：平面DEA ⊥平面A 1FD 1.证明：建立空间直角坐标系如图．令DD 1＝2，那么有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，A 1(2，0,2)，F (0,1,0)，E (2,2,1)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)分别是平面DEA ，平面A 1FD 1的法向量，那么n 1⊥DA ，n 1⊥DE .∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1，y 1，z 1·2，0，0＝0，x 1，y 1，z 1·2，2，1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，2y 1＋z 1＝0.令y 1＝－1，得n 1＝(0，－1,2)．同理可得n 2＝(0,2,1)． ∴n 1·n 2＝(0，－1,2)·(0,2,1)＝0，知n 1⊥n 2. ∴平面DEA ⊥平面A 1FD 1.6.如图，ABC －A 1B 1C 1是各条棱长均为a 的正三棱柱，D 是侧棱CC 1的中点．求证：平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.证明：法一：取AB 1的中点M ， 那么DM ＝DC ＋CA ＋AM . 又因为DM ＝1DC ＋11C B ＋1B M ， 两式相加，得2DM ＝CA ＋11C B ＝CA ＋， 由于2DM ·1AA ＝(CA ＋)·1AA ＝0，2DM ·AB ＝(CA ＋)·(－CA )＝||2－|CA |2＝0，所以DM ⊥AA 1，DM ⊥AB ， 又AA 1∩AB ＝A ，所以DM ⊥平面ABB 1A 1，而DM 平面AB 1D . 所以平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.法二：如图建立空间直角坐标系，取AB 的中点E ，连接CE ，由题意知CE ⊥平面ABB 1A 1.由图知，C (0，a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫3a 4，a 4，0，B 1(0,0，a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a ，a 2，A ⎝⎛⎭⎪⎫3a 2，a 2，0， ∴＝⎝⎛⎭⎪⎫34a ，－34a ，0，1B A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，a 2，－a ，1B D ＝⎝⎛⎭⎪⎫0，a ，－a 2.设平面AB 1D 的法向量n ＝(x ，y ，z )，那么⎩⎪⎨⎪⎧n ·1B A ＝0，n ·1B D ＝0，即⎩⎨⎧x ＝3y ，z ＝2y ，令y ＝1，那么n ＝(3，1,2)． 又·n ＝34a －34a ＝0，∴⊥n .∴平面AB 1D ⊥平面ABB 1A 1.垂直问题包括：直线与直线的垂直，常用两直线的方向向量的数量积为0来判断；直线与平面的垂直，常用直线的方向向量与平面的法向量共线来判断；平面与平面垂直，常用法向量垂直来判断．用向量知识来探讨空间的垂直问题与平行问题类似，主要研究向量的共线或垂直，可以用向量的基本运算进行，当几何体比较特殊时，构建空间直角坐标系解题更为简单．[对应课时跟踪训练〔十〕]1．假设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)，那么( ) A ．l 1∥l 2 B ．l 1⊥l 2 C ．l 1与l 2相交但不垂直D ．不确定解析：∵直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2,3,2)， ∴a·b ＝(1,2，－2)·(－2,3,2)＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0. ∴a⊥b ，∴l 1⊥l 2. 答案：B2．假设直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面π的法向量为n ＝(－3,0，－6)，那么( )A ．l ∥πB ．l ⊥πC ．l πD ．l 与π斜交解析：a ＝－13n ，∴a∥n ，∴l ⊥π.答案：B3．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，E 是CD 的中点，F 是AD 上一点，当BF ⊥PE 时，AF ∶FD 等于( )A ．1∶2B ．1∶1C ．3∶1D ．2∶1解析：建立如下图的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA ＝a .那么B (1,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，0，P (0,0，a )． 设点F 的坐标为(0，y,0)，那么BF ＝(－1，y,0)，PE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，－a .∵BF ⊥PE ，∴BF ·PE ＝0，解得y ＝12，那么F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，∴F 为AD 中点，∴AF ∶FD ＝1∶1. 答案：B4．AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，假设AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，那么向量BP ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫407，－157，－3C.⎝⎛⎭⎪⎫407，－2，－3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，407，－3 解析：AB ·BC ＝3＋5－2z ＝0，故z ＝4，由BP ·AB x －1＋5y ＋6＝0，且BP ―3(x －1)＋y －12＝0，得x ＝407，y ＝－157.⎝ ⎛⎭⎪⎫337，－157，－3.答案：A5．a ＝(1,2,3)，b ＝(1,0,1)，c ＝a －2b ，d ＝m a －b ，假设c ⊥d ，那么m ＝________. 解析：∵c ＝a －2b ，∴c ＝(1,2,3)－2(1,0,1)＝(－1,2,1)， ∵d ＝m a －b ，∴d ＝m (1,2,3)－(1,0,1)＝(m －1,2m,3m －1)． 又c ⊥d ，∴c ·d ＝0，即(－1,2,1)·(m －1,2m,3m －1)＝0， 即1－m ＋4m ＋3m －1＝0，∴m ＝0. 答案：06．在直角坐标系O －xyz 中，点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，假设直线OP 与直线OQ 垂直，那么x 的值为________．解析：由OP ⊥OQ 0.即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝12.∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3.答案：π2或π37.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 于点F .(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：PB ⊥平面EFD .证明：如下图，建立空间直角坐标系，D 是坐标原点，设DC ＝a .(1)连接AC ，AC 交BD 于G ，连接EG .依题意得A (a,0,0)，P (0，0，a )，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2.∵底面ABCD 是正方形，∴G 是此正方形的中心．故点G 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，0， 且PA ＝()a ，0，－a ，EG ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，－a2.∴PA ＝2EG ，那么PA ∥EG . 又EG 平面EDB 且P A ⃘平面EDB . ∴PA ∥平面EDB .(2)依题意得B (a ，a,0)，PB ＝(a ，a ，－a )，DE ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，a 2，故PB ·DE ＝0＋a 22－a 22＝0.∴PB ⊥DE ，又EF ⊥PB ，且EF ∩DE ＝E ， ∴PB ⊥平面EFD .8.三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如下图，截面为A 1B 1C 1，∠BAC ＝90°，A 1A ⊥平面ABC .A 1A ＝3，AB ＝AC ＝2A 1C 1＝2，D 为BC 中点．求证：平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1. 证明：如图，建立空间直角坐标系，那么A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,1，3)， ∵D 为BC 的中点， ∴D 点坐标为(1,1,0)．∴1AA ＝(0,0，3)，AD ＝(1,1,0)，BC ＝(－2,2,0)，1CC ＝(0，－1，3)．设平面A 1AD 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 平面BCC 1B 1的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·1AA ＝0，n 10，得⎩⎨⎧3z 1＝0，x 1＋y 1＝0.令y 1＝－1，那么x 1＝1，z 1＝0， ∴n 1＝(1，－1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BC ＝0，n 20，得⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2＝0，－y 2＋3z 2＝0.令y 2＝1，那么x 2＝1，z 2＝33， ∴n 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1，33. ∵n 1·n 2＝1－1＋0＝0，∴n 1⊥n 2. ∴平面A 1AD ⊥平面BCC 1B 1.。
高等代数 北大 课件
拉普拉斯定理与因式分解
总结词
拉普拉斯定理的表述、应用和因式分解的方法。
详细描述
拉普拉斯定理是行列式计算中的重要定理，它提供了计算行列式的一种有效方法。因式分解是将多项式分解为若 干个因子的过程，是解决代数问题的重要手段之一。
CHAPTER 04
矩阵的分解与二次型
矩阵的分解
01
02
03
矩阵的三角分解
矩阵的乘法
矩阵的乘法满足结合律和分配律，但不一定满足 交换律。
பைடு நூலகம்
矩阵的逆与行列式
矩阵的逆
对于一个非奇异矩阵，存在一个逆矩阵，使得原矩阵 与逆矩阵相乘等于单位矩阵。
行列式的定义
行列式是一个由矩阵元素构成的数学量，可以用于描 述矩阵的某些性质。
行列式的性质
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分 配律等。
将一个矩阵分解为一个下 三角矩阵和一个上三角矩 阵之积。
矩阵的QR分解
将一个矩阵分解为一个正 交矩阵和一个上三角矩阵 之积。
矩阵的奇异值分解
将一个矩阵分解为若干个 奇异值和若干个奇异向量 的组合。
二次型及其标准型
二次型的定义
一个多项式函数，可以表示为$f(x_1, x_2, ..., x_n) = sum_{i=1}^{n} sum_{ j=1}^{n} a_{ij} x_i x_j$，其中 $a_{ij}$是常数。
VS
二次型的标准型
通过线性变换，将一个二次型转化为其标 准形式，即一个平方项之和减去另一个平 方项之和。
正定二次型与正定矩阵
正定二次型的定义
对于一个二次型，如果对于所有 的非零向量$x$，都有$f(x) > 0$ ，则称该二次型为正定二次型。
高等代数北大版1-4ppt课件
f ( x),g( x)的最大公因式.
§1.4 最大公因式
11
如: f ( x)=x2 1, g( x)=1 ，则 ( f ( x)、g( x))=1. 取 u( x)= 1, v( x)=x2 ，有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取 u( x)=0, v( x)=1 ，也有 u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1, 取u( x)= 2, v( x)=2x2 1 ,也有u( x) f ( x)+v( x)g( x)=1.
用 g( x) 除 f ( x) 得：
f ( x) q1( x)g( x) r1( x) 其中 (r1( x)) ( g( x)) 或 r1( x) 0 .
若 r1( x) 0 ，用 r1( x) 除 g( x)，得：
g( x) q2( x)r1( x) r2( x)
§1.4 最大公因式
辗转相除法．
② 定理２中最大公因式 d( x)=u( x) f ( x)+v( x)g( x) 中的 u( x)、v( x) 不唯一.
③ 对于 d( x), f ( x),g( x) P[x], u( x),v( x) P[x]，
使 d(x)=u( x) f ( x) v( x)g( x) ,但是 d(x)未必是
若 f ( x), g( x)不全为零，则( f ( x), g( x)) 0.
④ 最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大
公因式是唯一的. 若 d1( x)、d为2( x) f ( x)、g( x)
的最大公因式，则 d1( x)=c，d2(cx为) 非零常数．
§1.4 最大公因式
4
二、最大公因式的存在性与求法
高等代数教学大纲2014 - 副本
高等代数教学大纲代数教研室[本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)][本大纲以北大数学系编《高等代数》第四版为依据拟定，共需约216学时 (讲授144学时+习题课72学时)]课程总体目标1.理解和掌握高等代数中的一些基本概念和基础知识，如数域、多项式、n阶行列式、线性方程组、矩阵、二次型、向量空间、线性变换、 矩阵、欧氏空间、以及双线性函数与辛空间等抽象代数基本概念。
2.具备逻辑推理、抽象思维与综合分析的能力，能运用高等代数中的基础知识、基本理论进行推理和证明。
3.熟练掌握高等代数中常用的方法。
4.了解近世代数研究的对象和基本方法.第一章多项式(26学时)（一）教学目的和要求1)熟练掌握一元多项式的基本概念及其运算。
2)熟练掌握一元多项式的整除，最大公因子，互素的概念，性质及有关的证明。
3)熟练掌握不可约多项式的概念，性质，理解因式分解定理的意义，掌握复数域，实数域上的多项式的标准分解式及复数域，实数域上不可约多项式4)会直接利用艾森斯坦因判别法，会求Q[x]中的多项式的有理根。
（二）教学内容1)多项式的概念及其运算：多项式的定义，多项式相等，零多项式，多项式次数。
2)多项式和与积的定义；带余除法，用带余除法求商和余式，商与余存在及唯一性定理；多项式的值与多项式的根的定义，余数定理，综合除法，用综合除法求多项式的值；多项式的次数与根的个数的关系，多项式相等的定义。
3)多项式整除的定义，性质；最大公因式的定义；用辗转相除法求最大公因式，最大公因式的存在与唯一性定理；最大公因式的性质;互素的定义及等价条件；不可约多项式的定义及等价条件；不可约多项式的性质；因式分解定理及标准分解式。
4)重因式：重因式的定义，系数与重因式的关系；无重因式的充要条件，去掉重因式的方法；重根的定义，重根与系数的关系。
5)复数域和实数域上的多项式的因式分解：代数学基本定理，C[x]上的不可约多项式，多项式的标准分解式，C上的n次多项式有n个根；R上的不可约多项式，多项式的标准分解式。
高等代数-北京大学第三版--北京大学精品课程
一个集合，如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。
如果 K 中至少包含两个不同的复数，且 K 对复数的加、减、乘、四则运算是封闭的，即对K 内任两个数a 、 b ( a 可 以等于b )， 必有b K ， abK ，且当b 0时，a/b K ，则称K 为一个数域。
1.1典型的数域举例：复数域C ；实数域R ;有理数域Q ; Gauss 数域：Q (i) = { a b i | a, b € Q}，其中 i = •.1命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。
证明 设K 为任意一个数域。
由定义可知，存在一个元素K ，且 a 0。
于是进而最后，m, n Z巴K 。
这就证明了nK 。
证毕。
1.1.3集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集， 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。
如果存在法则f ，使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定若a a'代都有f (a)第一章代数学的经典课题§ 1若干准备知识1.1.1代数系统的概念个代数系统。
1.1.2数域的定义定义(集合的交、并、差)设S 是集合，A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集，记作A B ;把A下的元素组成的集合成为A 与B 的差集，记做A B 。
的元素(记做f(a))，则称f 是A 到B 的一个映射，记为B, f (a).如果f(a) b B ，则b 称为a 在f 下的像，a 称为b 在f 下的原像。
A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的子集称为A 在f 下的像，记做f (A)，即 f (A) f(a)| a A 。
f(a'),则称f 为单射。
若 b B,都存在a A ，使得f(a) b ，则称f 为满射。
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课
《高等数学》(北大第二版)第02章习题课《高等数学》(北大第二版)课件《高等数学》(北大第二版)课件一、学习本章的主要要求是：学习本章的主要要求是：(1)掌握导数、微分(及高阶导数)的定义，它们的联系与区别及几何意义，会用定义求导数、微分及高阶导数. (2) 熟练地掌握计算导数与导函数、微分及高阶导数的各种方法，并善于运用相应公式、法则和方法熟练地进行计算；(3)会用微分进行近似计算并估计误差. 二、综合例题f ( x) 处连续，存在，证明f(x)在x=0处可导处可导. 例1 设f(x)在x=0处连续，且lim 在处连续存在，证明在处可导x →0f ( x ) f (0) lim x →0 x 0x 存在，故只要证f(0)=0. 分析需证证设lim f ( x) = A, 则lim f ( x) = lim x f ( x) = 0 A = 0, x →0 x →0 x →0 x x 因为f(x)在x=0处连续，所以f (0) = lim f ( x) = 0. x→0 f ( x ) f ( 0) f ( x) f ′(0) = lim = lim = A 存在，即f(x)在x=0处可导. 故x →0 x→0 x 0 x《高等数学》(北大第二版)课件例2 设f(u)的一阶导数存在，求1 r r lim [ f (t + ) f (t )] r →0 r a r a r f (t + ) f (t ) + f (t ) f (t ) a a 解原式= lim r →0 r r r [ f (t + ) f (t )] [ f (t ) f (t )] 1 1 a a 令r =h = lim + lim r r r r a →0 a →0 a a a a a1 f (t + h) f (t ) 1 f (t ) f (t h) = lim + lim h →0 a h a h →0 h 1 f (t + h) f (t ) 1 f (t h) f (t ) = lim + lim h →0 a h a h →0 hh = x1 12 = f ′(t ) + f ′(t ) = f ′(t ) a a a《高等数学》(北大第二版)课件例3 已知y = xln(x + 1 + x 2 ) 1 + x 2解′( ′ y′ = xln(x + 1 + x 2 )) 1 + x 2) (求y′.x 1+ x2 = ln(1 + 1 + x ) + x. x + 1+ x2 1+ x221+x= ln( 1 + 1 + x ) +2x 1+ x2x 1+ x2= ln( 1 + 1 + x 2 )例4 求y = 解x x x 的导数 .y= x1 1 1 + +2 4 8= x , 所以27 87 8 7 ′= x = y . 8 8 8 x1练习: y = ln1 1+ x, 求y ′.《高等数学》(北大第二版)课件例5设y =a1 x 3x log b14arctan x 2 ( a 0 , b 0 ), 求y ′.1 1 1 x ∵ ln y = ln a + ln log b x + ln arctan x2 , 解2 6 24 1 1 1 ln y = ln a + (ln ln x ln ln b ) + ln arctan x 2 , 2x 6 24 对上式两边求导,得ln a 1 x ′ = y[ y + + ] 2 4 2 2x 6 x ln x 12 (1 + x ) arctan x1 = 2a1 x 3x log b4arctan x 2x 1 ln a [ 2 + ]. 4 2 x 3 x ln x 6 (1 + x ) arctan x《高等数学》(北大第二版)课件例6 设y = y ( x) 由方程e xy + tg ( xy ) = y 确定，求y′(0)解由方程知当x = 0 时y = 1.对方程两变求导：1 e ( y + xy ′) + ( y + xy ′) = y ′2 cos ( xy ) 1 0 1 e (1 + 0 y′(0)) + (1 + 0 y ′(0)) = y ′(0) 2 cos (0)xy故y ′(0) = 2例7 已知xy = e x + y 求y′′解将方程两边对x求导，得y + xy′ = e x + y (1 + y′)(A)y + xy′ = e x + y + y′e x + y再将(B)两边对x求导,得(B)y - ex+y y′ = x + y e x(C)y′ + y′ + xy′′ = e x + y (1 + y′) + y′′e x + y + y′e x + y (1 + y′)《高等数学》(北大第二版)课件e x + y (1 + y′) 2 2 y′ y′′ = x e x+ yy - ex+y 其中y′ = x + y e x.x = ln(1 + t2 ), 例7 已知求y′, y′′, y′′′. y = t arctan t. 1 1 (t - arctant)′ 1+ t2 = t , 解y′ = = 2 2t 2 (ln(1 + t )′ 1+ t2 t ( )′ 1+ t 2 2 y′′ = = , 2 ′ (ln(1 + t )) 4t1+ t 2 ( )′ t 4 1 4t y′′′ = = 3 . (ln(1 + t 2 ))′ 8t《高等数学》(北大第二版)课件例8 设y = f 2 ( x) + f ( x 2 ), 其中f ( x)具有二阶导数, 求y′′. 解y′ = 2 f ( x) f ′( x) + f ′( x 2 )2 x. y′′ = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 2 xf ′′( x 2 ) 2 x = 2[ f ′( x)]2 + 2 f ( x) f ′′( x) + 2 f ′( x 2 ) + 4 x 2 f ′′( x 2 ).例9 求下列函数的n 阶导数y ( n ) ( n 3). x4 1 (1) y = ; (2) y = 2 . 2 1 x x ax4 1+1 1 y= = ( x 3 + x 2 + x + 1) 1 x 1 x n! (n) . 当n 3时, y = n +1 (1 x) 1 ( 2) y = 2 (练习). 2 x a解(1)《高等数学》(北大第二版)课件例10 求由方程先求微分，易得导数] 解[先求微分，易得导数将方程两边同时取微分，因为y ln x + y = arctan 所确定的隐函数的导数和微分. x2 22 2d ln x + y ==1 x +y2 2d x + y =2 21 x +y2 2d (x2 + y2 ) 2 x2 + y21 x2 + y22 xdx + 2 ydy 2 x2 + y2=而xdx + ydy , 2 2 x +yy 1 xdy ydx xdy ydx d arctan = = 2 x 1 + ( y )2 x2 x + y2 x∴xdx + ydy xdy ydx = 2 2 2 x +y x + y2∴x+ y dy = dx, x y∴dy x + y y′ = = . dx x y《高等数学》(北大第二版)课件a xb a x b 例11 设f(x) 可导, 求y = f (sin x ) + ( ) ( ) ( ) .的导数, b x a a 其中, a 0, b 0, ≠ 1, x ≠ 0. b a x b a x b 2 解记y1 = f (sin x ) , y2 = ( ) ( ) ( ) , b x a ′ 则y1 = f ′(sin 2 x ) 2 sin x cos x = sin 2 x f (sin 2 x ).2ln y 2 = x (ln a ln b ) + a (ln b ln x ) + b (ln x ln a ),a xb a x b a b a a b ′ ). ∴ y 2 = y 2 [(ln a ln b ) + ] = ( ) ( ) ( ) (ln + b x a b x x x 例12 设y = (ln x ) x x ln x , 求y ′. ln y = x ln(ln x ) + (ln x ) 2 , 解两边取对数, 两边关于x求导1 y ′ = ln(ln x ) + 1 + 2 ln x , y ln x x 1 2 ln x x ln x y ′ = (ln x ) x [ln(ln x ) + ∴ + ]. ln x x练习：设( cosx) y = (sin y ) x求y′《高等数学》(北大第二版)课件例13 解dy 已知y = a + x , a 0为常数, (a ≠ 1), 求 . dx arctan x 2 sin x 设y1 = a , y2 = x .arctan x 2 sin x)′ = ln a a (arctan x 2 )′ 1 arctan x 2 2 ′ = ln a a arctan x 2 2 x . = ln a a (x ) 4 1+ x 1+ x4 对y2 = x sin x两边取对数，得ln y2 = sin x ln x 1 sin x ′ y2 = cos x ln x + , 两边对x求导，得x y2 sin x sin x ′ y2 = x (cos x ln x + ). xarctan x 2arctan x 2′ y1 = (a《高等数学》(北大第二版)课件2 - x, 1 x +∞, 2 例13 设f(x) = x , 0 ≤ x ≤ 1, x 3 , - ∞ x 0. 解第一步，在各开区间内分别求导：1, 1 x f ′( x) = 2x, 0 x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.求f ′ (x).第二步，在分段点用导数定义求导，分段点为x = 0,1f (0 + x) f (0) ( x) 2 0 f +′ (0) = lim+ = lim+ =0 x →0 x →0 x x 《高等数学》(北大第二版)课件f (0 + x)f (0) ( x)3 0 f ′ (0) = lim = lim = 0, ∴ f ′(0) = 0 x →0 x →0 x xf (1 + x) f (1) 2 (1 + x) 12 x = lim+ = lim+ = 1 f +′ (1) = lim+ x → 0 x → 0 x → 0 x x xf (1 + x) f (1) (1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 = lim = lim =3 f ′ (1) = lim x → 0 x →0 x → 0 x x x∴ f(x)在x = 1的导数不存在1, 1 x +∞, 故f ( x) = 2x, 0 ≤ x 1, 3x 2 , - ∞ x 0.在x = 1 处f(x)不可导.x ≤ c, sinx, 例14 设f(x) = c 为常数ax + b , x c.试确定a, b的值，使f ′(c) 存在.《高等数学》(北大第二版)课件解因为f ′ (c) 存在，所以f(x) 在c处连续.x →clim- f ( x) = lim- sin x = sin cx →c x →cx →clim+ f ( x) = lim+ (ax + b) = ac + bf ′ (c) = lim∴ sinc = ac + b (1)因为f(x) 在c处可导，sin x sin c f ( x ) f (c ) = lim x →c x →c x c x c x c x c x+c sin 2 sin cos 2 cos x + c = cos c. 2 2 = lim = lim x →c x c x →c 2 x c 2 f ( x ) f (c ) ax + b sin c ax + b (ac + b) = a.f +′ (c) = lim = lim = lim + + + x →c x →c x →c x c x c x c所以，cosc = a (2) 解(1), ( 2) 得，= cosc , b = sinc - ccosc. a《高等数学》(北大第二版)课件x2, x ≤ 1, 习题2-1 15. 设f(x) = ax + b , x 1. 为了使函数f(x)在x=1处连续且可导，a,b应取什么值？解要使f(x)在x=1处连续，因为x →1lim f ( x) = lim x 2 = 1, x →1x →1x →1lim (ax + b) = a + b, +应有lim f ( x) = lim f ( x) = f (1) +x →1即a+b=1(1)要使f(x)在x=1处可导，因为(1 + x) 2 12 2 x + ( x) 2 f (1 +x) f (1) = lim = 2, f ′ (1) =lim = lim x →1 x →1 x →1 x x x代a + b =1a (1 + x) +b 12 f (1 + x) f (1) a x f +′ (1) = lim = lim = lim = a, + + + x →1 x →1 x →1 x x x应有a=2,代入(1)式得b=-1.《高等数学》(北大第二版)课件6. 假定f ′( x0 )存在，指出下式A表示什么？f ( x) = A, 其中f (0) = 0, 且f ′(0)存在；x →0 x f ( x0 + h) f ( x0 h) (3) lim = A. h→0 h 解(2) ∵ lim f ( x) = lim f ( x) f (0) = f ( x0 ), x →0 x →0 x 0 x (2) lim∴ A = f ( x0 ).(3) ∵ limh →0f ( x0 + h) f ( x0 ) + f ( x0 ) f ( x0 h) f ( x0 + h) f ( x0 h) = lim h →0 h h f ( x0 + h) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 h) + lim h →0 h h = limh →0f ( x0 h) f ( x0 ) 令h = x = f ′( x0 ) + lim ======== f ′( x0 ) + f ′( x0 ) = 2 f ′( x0 ), h →0 h∴ A = 2 f ′( x0 ).《高等数学》(北大第二版)课件9 .如果f ( x)为偶函数，且f ′(0)存在，证明f ′(0) = 0.证f ( x) f ( x0 ) f ( x) f (0) f ( x) f (0) ′( x0 ) = lim (f ) f ′(0) = lim = lim x → x0 x →0 x →0 x x0 x 0 x 0f ( x) f (0) (令x = y ) f ( y ) f (0) = f ′(0) = lim ========== lim x →0 x 0 y →0 y 0∴ 2 f ′(0) = 0,f′(0) = 0.1 例16 设f (t ) = lim t (1 + ) 2tx ,求f ′(t ). x →∞ x 1 x 2t 1 2tx 解lim t (1 + ) = lim t[(1 + ) ] = t e 2t x →∞ x →∞ x xf ′(t )= (t e 2t )′ = (2t + 1)e 2t .《高等数学》(北大第二版)课件1 2 x sin , x ≠ 0; 例15 求f(x) = x 0, x=0一阶导数和二阶导数.1 1 解当x ≠ 0时, f ′( x) =2 x sin cos , x x 1 2 1 1 1 f ′′( x ) = 2 sin cos 2 sin . x x x x x当x=0时,用导数定义先求一阶导数,再来看二阶导数.f (0 + x) f (0) = lim f ( x ) f ′(0) = lim x → 0 x → 0 x x= lim由于x 2 sinx → 01 x = lim x sin 1 = 0; x → 0 x x1 lim f ′( x) = lim(2 x sin 1 cos 1 ) = lim cos x →0x →0不存在(极限故处不连续(是振荡间断点是振荡间断点),所以不可导,即不存在极限),故f ′(x ) 在x=0 处不连续是振荡间断点所以f ′(x ) 在x=0不可导即极限不可导 f ′′(0) 不存在不存在.xxx→0x《高等数学》(北大第二版)课件1 g(x)cos , x ≠ 0, 例16 设f(x) = x 0, x = 0.且g(0) = g′(0) = 0 试问：(1) lim f ( x);x →0(2) f(x) 在x = 0处是否连续？(3) f(x) 在x = 0处是否可导？若可导，f ′(0) = ?解(1 lim f ( x) = lim g ( x) cos ) 1 =0 x →0 x →0 x 1 ( ∵ lim g(x) = g(0) = 0; cos 为有界函数) x →0 __ →0(2) ∵ lim f ( x) = 0 = f (0)∵ f(x)在x = 0 处连续.1 1 g ( x ) cos 0 g ( x) cos x x =0 lim (3) f ′(0) = lim x →0 x →0 x 0 x1 g ( x ) g ( 0) g ( x) ( ∵ g′ (0) = lim = lim = 0, cos 有界) x →0 x →0 x 0 x x。
高等代数【北大版】课件
多项式的因式分解与根的性质
总结词
多项式的因式分解、根的性质和求解方 法
VS
详细描述
多项式的因式分解是将多项式表示为若干 个线性因子乘积的过程。通过因式分解， 可以更好地理解多项式的结构，简化计算 和证明。此外，多项式的根是指满足多项 式等于0的数。根的性质包括根的和与积、 重根的性质等。求解多项式的根的方法有 多种，如求根公式、因式分解法等。
性方
02
线性方程组的解法
高斯消元法 通过行变换将增广矩阵化为阶梯形矩 阵，从而求解线性方程组。
选主元高斯消元法
选择主元以避免出现除数为0的情况， 提高算法的稳定性。
追赶法
适用于系数矩阵为三对角线矩阵的情 况，通过逐步消去法求解。
迭代法
通过迭代逐步逼近方程组的解，常用 的方法有雅可比迭代法和SOR方法。
向量空间的子空间与基底
总结词
子空间与基底
详细描述
子空间是向量空间的一个非空子集，它也满足向量空间的定义和性质。基底是 向量空间中一个线性独立的集合，它可以用来表示向量空间中的任意元素。基 底中的向量个数称为向量空间的维数。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量空间的维数与基底的关系
总结词
维数与基底的关系
详细描述
向量空间的维数与基底密切相关。一个向量空间的维数等于其基底的向量个数。 如果一个向量空间有n个基底，则它的维数为n。同时，如果一个向量空间有有限 个基底，则它的维数是有限的。
行列式
06
行列式的定义与性质
总结词
行列式的定义和性质是高等代数中的 基础概念，包括代数余子式、余子式、 转置行列式等。
详细描述
行列式是由n阶方阵的n!项组成的代数 式，按照一定规则排列，具有一些重 要的性质，如交换律、结合律、代数 余子式等。这些性质在后续章节中有 着广泛的应用。
(2024年)2高等数学(慕课版)(第2章)教案
导数与微分在经济学中应用
2024/3/26
01
边际分析
导数在经济学中用于边际分析，即研究经济变量之间的边际关系，如边
际成本、边际收益等。通过求导数可以得到边际函数，进而分析经济行
为的边际效应。
02
弹性分析
微分在经济学中用于弹性分析，即研究经济变量之间的相对变化关系。
通过求微分可以得到弹性系数，进而分析经济变量之间的敏感度和相互
第3章 中值定理与导 数的应用：阐述中值 定理的内容及其证明 方法，探讨洛必达法 则、泰勒公式等导数 应用问题。
第4章 不定积分：研 究不定积分的概念、 性质、计算法则及其 在几何、物理等领域 的应用。
第5章 定积分及其应 用：讲解定积分的概 念、性质、计算法则 及其在面积、体积等 计算中的应用，介绍 广义积分的概念及计 算方法。
培养学生的数学素养和创新能力 ，提高学生的逻辑思维和抽象思 维能力。
2024/3/26
5
章节内容与安排
第1章 函数与极限： 介绍函数的概念、性 质、极限的定义及运 算法则，包括无穷小 量、无穷大量等概念 。
第2章 导数与微分： 讲解导数的定义、性 质、计算法则及其在 几何、经济等领域的 应用，介绍微分的概 念及计算方法。
12
导数概念及计算方法
01
导数定义
导数描述了函数值随自变量变化的速率，即函数在某一 点处的切线斜率。Leabharlann 2024/3/2602
导数计算方法
通过求极限的方式计算导数，包括基本初等函数的导数 公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等。
03
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的切线斜率，可以反 映函数的增减性和变化趋势。