勾股定理逆定理2

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勾股定理的逆定理

一、基础·巩固
1.满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A.三内角之比为1∶2∶3 B.三边长的平方之比为1∶2∶3
C.三边长之比为3∶4∶5 D.三内角之比为3∶4∶5

2.如图18－2－4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD，AD∥BC，斜腰DC的长为10 cm，
∠D=120°，则该零件另一腰AB的长是________ cm（结果不取近似值）.

图18－2－4 图18－2－5 图18－2－6
3.如图18－2－5，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为S1、S2、S3，且S1=4，
S2=8，则AB的长为_________.

4.如图18－2－6，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且
AF=41AD，试判断△EFC的形状.

5.一个零件的形状如图18－2－7，按规定这个零件中∠A与∠BDC都应为直角，工人师傅量
得零件各边尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，这个零件符合要求吗？

图18－2－7
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6.已知△ABC的三边分别为k2－1，2k，k2+1（k＞1），求证：△ABC是直角三角形.

二、综合·应用
7.已知a、b、c是Rt△ABC的三边长，△A1B1C1的三边长分别是2a、2b、2c，那么△A1B1C
1

是直角三角形吗？为什么？

8.已知：如图在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD·BD.
求证：△ABC是直角三角形.

9.如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（3，1），B（2，4），△OAB
是直角三角形吗？借助于网格，证明你的结论.
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10.阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC
的形状.
解：∵a2c2－b2c2=a4－b4，(A)∴c2(a2－b2)=(a2+b2)(a2－b2)，(B)∴c2=a2+b2，（C)∴△ABC是
直角三角形.
问：①上述解题过程是从哪一步开始出现错误的？请写出该步的代号_______；
②错误的原因是______________ ；
③本题的正确结论是_________ _.

11.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.
试判断△ABC的形状.

12.已知：如图18－2－10，四边形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.
求：四边形ABCD的面积.

图18－2－10
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参考答案
一、基础·巩固
1.思路分析：判断一个三角形是否是直角三角形有以下方法：①有一个角是直角或两锐角互
余；②两边的平方和等于第三边的平方；③一边的中线等于这条边的一半.
由A得有一个角是直角；B、C满足勾股定理的逆定理，所以应选D.
2.解：过D点作DE∥AB交BC于E,
则△DEC是直角三角形.四边形ABED是矩形，∴AB=DE.∵∠D=120°，∴∠CDE=30°.
又∵在直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，∴CE=5 cm.

根据勾股定理的逆定理得，DE=3551022 cm.∴AB=3551022 cm.
3.思路分析：因为△ABC是Rt△，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因为S3=AB2,
所以AB=32123S.
4.思路分析：分别计算EF、CE、CF的长度，再利用勾股定理的逆定理判断即可.
解：∵E为AB中点，∴BE=2.∴CE2=BE2+BC2=22+42=20.
同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.
∵CE2+EF2=CF2,∴△EFC是以∠CEF为直角的直角三角形.
5.思路分析：要检验这个零件是否符合要求，只要判断△ADB和△DBC是否为直角三角形
即可，这样勾股定理的逆定理就可派上用场了.
解：在△ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以△ABD为直角三角形，∠A =90°.
在△BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.
所以△BDC是直角三角形，∠CDB =90°.因此这个零件符合要求.
6.思路分析：根据题意，只要判断三边之间的关系符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵k2+1>k2－1,k2+1－2k=(k－1)2>0,即k2+1>2k，∴k2+1是最长边.
∵(k2－1)2+(2k)2=k4－2k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,∴△ABC是直角三角形.
二、综合·应用
7.思路分析：如果将直角三角形的三条边长同时扩大一个相同的倍数，得到的三角形还是直
角三角形（例2已证）.
8.思路分析：根据题意，只要判断三边符合勾股定理的逆定理即可.
证明：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
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=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.∴△ABC是直角三角形.

9.思路分析：借助于网格，利用勾股定理分别计算OA、AB、OB的长度，再利用勾股定理
的逆定理判断△OAB是否是直角三角形即可.
解：∵ OA2=OA12+A1A2=32+12=10, OB2=OB12+B1B2=22+42=20,
AB2=AC2+BC2=12+32=10, ∴OA2+AB2=OB2.
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形.
10.思路分析：做这种类型的题目，首先要认真审题，特别是题目中隐含的条件，本题错在
忽视了a有可能等于b这一条件，从而得出的结论不全面.
答案：①(B) ②没有考虑a=b这种可能，当a=b时△ABC是等腰三角形；③△ABC是
等腰三角形或直角三角形.
11.思路分析：（1）移项，配成三个完全平方；(2)三个非负数的和为0，则都为0；(3)已知a、
b、c，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状为直角三角形.
解：由已知可得a2－10a+25+b2－24b+144+c2－26c+169=0,
配方并化简得,(a－5)2+(b－12)2+(c－13)2=0.
∵(a－5)
2≥0,(b－12)2≥0,(c－13)2
≥0.∴a－5=0,b－12=0,c－13=0.

解得a=5,b=12,c=13.又∵a2+b2=169=c2,∴△ABC是直角三角形.
12.思路分析：（1）作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）；
(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在△DEC中，3、4、5为勾股数，△DEC为直
角三角形，DE⊥BC；(4)利用梯形面积公式，或利用三角形的面积可解.
解：作DE∥AB，连结BD，则可以证明△ABD≌△EDB（ASA）,
∴DE=AB=4，BE=AD=3.∵BC=6,∴EC=EB=3.
∵DE2+CE2=32+42=25=CD2,∴△DEC为直角三角形.
又∵EC=EB=3,∴△DBC为等腰三角形，DB=DC=5.
在△BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,
∴△BDA是直角三角形.
它们的面积分别为S△BDA=21×3×4=6;S△DBC=21×6×4=12.
∴S四边形ABCD=S△BDA+S△DBC=6+12=18.
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