ch4-3 电路基本定律的相量形式
电工技术第四章正弦交流电路习题解答
tωAi /A222032πtAi /A 2032π6πA102i 1i 第四章 正弦交流电路［练习与思考]4—1-1 在某电路中,()A t i 60 314sin 2220-=⑴指出它的幅值、有效值、周期、频率、角频率及初相位，并画出波形图。
⑵如果i 的参考方向选的相反,写出它的三角函数式，画出波形图，并问⑴中各项有无改变？ 解：⑴ 幅值 A I m 2220有效值 A I 220=频率 3145022f Hz ωππ===周期 10.02T s f==角频率 314/rad s ω=题解图4。
01初相位 s rad /3πψ-=波形图如题解图4.01所示 (2） 如果i 的参考方向选的相反, 则At i ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32 314sin 2220π，初相位改变了，s rad /32πψ=其他项不变。
波形图如题解图 4.02所示。
题解图4。
024—1-2已知A)120314sin(101 -=t i ，A )30314sin(202+=t i⑴它们的相位差等于多少？⑵画出1i 和2i 的波形。
并在相位上比较1i 和2i 谁超前，谁滞后。
解：⑴ 二者频率相同，它们的相位差︒-=︒-︒-=-=1503012021i i ψψϕ+1+1（2）在相位上2i 超前,1i 滞后。
波形图如题解图4.03所示。
题解图4。
03 4—2—1 写出下列正弦电压的相量V )45(sin 2201 -=t u ω，)V 45314(sin 1002 +=t u 解：V U ︒-∠=•4521101 V U ︒∠=•4525024-2-2 已知正弦电流)A60(sin 81 +=t i ω和)A 30(sin 62 -=t i ω，试用复数计算电流21i i i +=,并画出相量图.解：由题目得到A j j j j I I I m m m ︒∠=+=-++=︒-︒+︒+︒=︒-∠+︒∠=+=•••1.231093.32.9)32.5()93.64()30sin 630cos 6()60sin 860cos 8(30660821 所以正弦电流为)A 1.23(sin 101 +=t i ω题解图4.04 相量图如题解图4.04所示。
基尔霍夫定律的相量形式
独立电源电路
独立电源电路是一种特殊的电路配置，其中有一个或多个独立的电源提供电 流和电压。我们将探讨如何应用基尔霍夫定律解决独立电源电路中的问题。
综合电路的求解和例子
在实际应用中，电路往往是复杂的，由串联、并联和独立电源组成。在这一 部分中，我们将应用基尔霍夫定律的相量形式来解决综合电路的分析问题。
基尔霍夫定律的相量形式
基尔霍夫定律是电路理论中的基本定律之一。它描述了电路中电流和电压之 间关系。在本节中，我们将深入研究基尔霍夫定律的相量形式。
基尔霍夫定律的概述
基尔霍夫定律是基本电路定律，用于分析和解决复杂电路中的电流和电压问题。它有两个关键概念：电 流守恒和电压守恒。
基尔霍夫定律的公式
基尔霍夫定律的公式有两个部分：基尔霍夫第一定律和基尔霍夫第二定律。 第一定律描述了电流守恒，第二定律描述了电压守恒。
电路定义及术语
在学习基尔霍夫定律之前，我们需要了解一些基本电路术语，如电流、电压、电阻和电源。这些概念在 电路分析中起着关键作用。
串联电路的求解和例子
在串联电路中，多个电阻依次连接在一起，形成一个回路。使用基尔霍夫定律的相量形式可以轻松求解 串联电路的电流和电压。
并联电路的求解和例子
在并联电路中，多个电阻同时连接在一个节点上，形成分支。基尔霍夫定律 的相量形式可以帮助我们分析并联电路的电流和电压分布。
电路定律的相量形式
滞后于电源电压/3，问R、C应如何选择。
解1 Us RI jXC I
I Us ,
U s U C
R jXC
jCR 1
UC
jX C
R
Us jXC
CR tan 60
解2 画相量图计算。
tan 60 3 UR RI CR UC I /C
I+
U _
R+
jXC
U C -
3 U R
I
U C
60
I
jBLU
j 1U
L
1 U
jL
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波形图及相量图
uL pL
U L
i
O
2 t
电压超前 电流90°
I
i
功率 pL uLi ULmIm cos(t i )sin(t i ) ULI sin 2(t i )
瞬时功率以2交变，有正有负，一周期内刚
好互相抵消，表明电感只储能不耗能。
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i(t)
+ u-L(t)
I
+
•
U-L
时域形式 i(t) 2I cos( t i )
L
uL (t) L
相量形式
di(t)
dt
2
2L
LIc
I sin( t os( t
i
i
) π 2
)
I I i UL LI i π 2
jL
相量关系
UL jL I jX LI
相量模型
有效值关系 UL= L I 相位关系 u=i +90°
3. 电容元件VCR的相量形式
iC(t) + u(t) -
正弦交流电路的相量(图)法求解.
•
IR
•
U•
U R2
UR3
U
2 R1
U
2 AB
252 302 39.05V
•
IL U R3 / R3 39.05 / 65 0.6A
•
U R1
•
U AB
UL
•
URL
(U R1
U R1 )2
U
2 L
UR3
24.99V
•
U R3
•
U RL
IL
L UL / 2fI L 76.8 /(2 50 0.6) 0.407 H RL URL / IL 24.99 / 0.6 41.65
二、相量图法求解电路
1. 参考相量的选择 参考相量的选择方法为： 1）对于串联电路，选择电流为参考相量。 2）对于并联电路，选择电压为参考相量。 3）对于混联电路，根据已知条件综合考虑。 4）对于复杂混联电路，选择末端电压或电流为参考
相量。 2. 相量图求解电路的方法
例题4-14：用相量图法求各电表读数。
3A
•
URቤተ መጻሕፍቲ ባይዱL
_
•
IR
O
I
•
U
A
•
IL
B
•
•
•
I IL IR
由直角三角形OBA得：
IL
I2
I
2 R
52 32 4A
电流表读数为4A。
例题4-15：定性画出RLC串联电路的相量图。
I
+ U–+R
U U+–L
– U–+C
R jXL – jXC
电路分析相量法
相量表达式
U jX L I j L I ,
jB U j 1 U 1 U I L L j L
电容元件伏安关系相量形式：
i(t) C + u(t)
)
2、相量运算
i Re
2 I cos t R e 2 Ie
i1
j t
R
e
2 I cos t j sin t
j
2 Ie
e
j t
R
e
2 Ie
j t
若
2 I 1 cos（ t 1 ）、 i 2
KCL： KVL：
i0
I 0
u 0
U 0
+ U
.
+. U1
-. -
U 1 220 0
0
U 2 220 120
0
U
U2 +
0 U U 1 U 2 220 0 220 120
.
0
-U2
U1
.
220
3 30
I m 2 4 60 2 j 3 . 5( A )
I m 1 I m 2 7 . 2 j 6 . 5 9 . 67 41 . 9 ( A )
i 1 i 2 9 . 67 cos( t 41 . 9 )( A )
8.3 电路定律的相量形式
|XC| 容抗和频率成反比
0， |XC| 直流开路(隔直) ，|XC|0 高频短路
电路相量法
2019年11月27日星期三
19
1. 相量
正弦量的相量要追溯到欧拉公式。
若 q =wt + fi 则 e j(wt+fi)= cos(wt+fi)+ jsin(wt+fi) 根据叠加定理和数学理论，取实部或虚部进行
分析求解，就能得到全部结果。
设： i = Im cos (wt+fi)
则： i = Re[Im. e j(wt+fi) ] = Re[Im e jfi e jwt ] = Re[ Im e jwt ]
21
注意：正弦量与相量的关系是一种数学变换 关系。不是相等的关系！
正弦量→相量，可认为是正变换；
相量→正弦量，可认为是反变换。 .
.
Im = Im fi
. Im Um
是 [Im e jfi e jwt ] 的复常数部分。
i = Imcos (wt+fi)
+j . Um .
fu Im
fi
+1
o
是 [Ime jfi e jwt] 的实部。
2019年11月27日星期三
2
+j
§8-1 复数
b
F
q
+1
o
a
| F | = a2 + b2
q = arctg
b a
(3)指数和极坐标形式
1. 复数的表示形式
根据欧拉公式
(1)代数形式 F=a+jb
e jq =cosq +jsinq
Re[F]=a， Im[F]=b
得指数形式：
(2) 三角形式
F = | F | e jq
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。
第3章 单相正弦交流电路
单相正弦交流电路本章主要介绍了正弦交流电的基本概念、正弦交流电路的分析方法和正弦交流电路功率因数问题。
本章要求：1、 掌握正弦交流电基本概念，特别是有效值，初相位和相位差2、 掌握正弦量表示方法，特别是相量表示方法。
3、 熟悉单一参数电路的电压、电流关系及能量转换关系4、 了解电路基本定律的相量形式5、 能够对一般正弦交流电路进行分析和计算，掌握交流电路的功率及其计算。
6、 了解功率因数提高的意义及方法 引言：电路的物理量（电压、电流等），按其波形类型，大致可分为正弦交流电路：若电路中的电源（电动势）及由此产生的电压、电流均为正弦交流量，则这样的电路称为正弦交流电路。
若电源是单相的，就是单相正弦交流电路（举几个实例如日光灯电路、电风扇电路等），三相电源供电的则是三相正弦交流电路。
交流电应用很广，举例说明。
周期量交流量（大小、方向均做周期性变）非周期量（如电容充电电压）脉动量（大小做周期性变化，而方向不变）如：i 非正弦交流量，如：i正弦交流量i§３-1正弦交流电的基本概念概念：大小、方向均随时间作正弦规律变化的饿电流、电压、电动势等物理量均称为正弦交流电，简称交流电或正弦量 正弦量的波形图如下：三角函数表示：u=U m sin(wt+ϕu ) i=I m sin(wt+ϕi ) u 、i 为电流、电压的瞬时值周期、频率、角频率周波：变化一个循环称为一个周波周期T ：正弦量变化一个周波所需的时间单位S频率f ：每秒钟变化的周波数，单位：Hz, f=1/T,工作频率f=50Hz,周期T=0.02S 角频率w ：每秒钟变化的弧度数，单位：弧度/秒（rad/s ）,w=2πf=Tπ2f=50Hz 时,w=314rad/s一、幅值：最大的瞬时值，用大写字母加下标m 表示，如U m 、I m 二、初相：u=U m sin(wt+ϕu )正弦量三要素U m 、I m —最大值（最值），表示正弦量大小w —角频率，反映正弦量变化快慢 ϕu 、ϕi —初相位，反映t=0时刻正弦量的瞬时值大小，即正弦量初始值大小。
电路相量知识点总结
电路相量知识点总结一、引言电路相量是描述交流电路中电压、电流、功率等物理量的一种数学表示方法。
通过相量的表示方法，可以方便地计算电路中各种物理量的大小和相位关系，从而更好地分析和设计交流电路。
本文将从基本概念、相量表示、相量运算、相量电路分析、相量电路设计等方面对电路相量进行总结，以帮助读者更好地理解和应用电路相量知识。
二、基本概念1. 交流电路交流电路是指电路中电压或电流的大小和方向随时间变化的电路。
交流电路中的电压和电流通常采用正弦波形式表示，即：$$ V(t) = V_m \sin (\omega t + \phi_v) $$$$ I(t) = I_m \sin (\omega t + \phi_i) $$其中，$V(t)$表示电压随时间的变化，$V_m$表示电压的最大值，$\omega$表示角频率，$\phi_v$表示相位角；同样，$I(t)$表示电流随时间的变化，$I_m$表示电流的最大值，$\phi_i$表示相位角。
2. 相量相量是一种既有大小又有方向的物理量。
在交流电路中，对于电压和电流，可以用相量的方式表示，即将交流电路中的电压和电流看作是由相量构成的，具有大小和相位的特性。
3. 极坐标形式在相量中，通常采用极坐标形式表示。
有大小和相位两个要素，大小用模表示，相位用幅角表示。
即：$$ A = |A| \angle \theta $$其中，$|A|$表示模，$\theta$表示幅角。
4. 复数形式相量也可以用复数形式表示。
在复数形式表示中，将实部和虚部分别表示电量的大小和相位。
$$ A = Re(A) + jIm(A) $$其中，$Re(A)$表示实部，$Im(A)$表示虚部。
三、相量表示1. 电压相量表示在交流电路中，电压相量可以用极坐标形式表示：$$ V = |V| \angle \phi_v $$也可以用复数形式表示：$$ V = V_m \angle \phi_v = V_m \cos \phi_v + jV_m \sin \phi_v $$其中，$|V|$表示电压的幅值，$\phi_v$表示电压的相位角，$V_m$表示电压的最大值，$j$表示虚数单位。
正弦交流电路中的正弦电压和电流等物理量
2020/6/28
➢电感元件的功率
瞬时功率 p>0，电感元件吸收能量; p<0，电感元件释放能量。 电感元件不消耗电能， 它是一种储能元件。
平均功率
感性无功功率:工程中为了表示能量交换的规模大小，将电感瞬时
功率的最大值定义为电感的无功功率 。
2020/6/28
用QL表示 ,基本单位是乏（Var）。
用初始位置的有向线段画出的
若干个同频率正弦量相量的图
形。
2020/6/28
【例3-4】试写出表示uA=220sin 314t V,uB=220sin（314t-120°） V和 uC=220sin（314t+120°) V的相量，并画出相量图。
解 :分别用有效值相量 U、&A 和U&B 表U&示C 正弦电压uA、uB和uC， 则
2
U Um 2
例：已知 少？
2020/6/28
u=220 2sin(ωt+φ)V ，求最大值和有效值为多
2.频率与周期
周期T:正弦量变化一次所需的时间（秒）。 频率f:每秒内变化的次数称为，单位赫兹（Hz）。
f 1 T
工频:我国采用50 Hz作为电力标准频率。 角频率:交流电在1秒钟内变化的电角度。
U&A 220 0o 220 V
U&B
220 120o 220( 1 j 2
3) V 2
U&C
220 120o 220( 1 j 2
3) 2
V
2020/6/28
3.3 交流电路基本元件与基本定律
一、交流电路基本元件 1.电容元件
i C du dt
电容元件有隔直流通交流的作用。
8电路第八章
(2)i1 (ti)1(t)10 1si0n(c1o0s0(1π0t0π3t00 30900)0 )
两个正弦量进 行相位比较时
i2 (t) j101s2i0n0(1 0(01π5 0t)115350 0) 应满足同频率、
(3) u1(t) 10 cos(100 π t 300 ) 同w函1 数、w同2 符
oy y =－/2
wt y =/2
例 已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，
1.写出 i(t) 表达式；2.求最大值发生的时间t1
解 i(t ) 100 c o s (10 3 t y )
100 i
t 0 50 100 c o sy
y π 3
y π
50
t
3
由于最大值发生在计时起点右侧
指数式
o
a Re
e jθ = cosθ + jsinθ | F | a2 b2 三角函数式
F | F | e j | F | (c o s j s in ) a jb
F | F | e j | F |
极坐标式
实 部 R e F a F cos 虚 部 Im F b F sin
F• ej
旋转因子
α
F
0
Re
把复数F沿逆时针旋转θ，F的模值不变
特殊旋转因子
Im
jF
F
π,
2
设 F =| F | e jα =| F | α
jπ
e2
cos
π
jsin
π
j
2
2
0
Re
-j F
F
jπ
e2
| F
| eα
jπ
e2