九章算术中的立体几何
《九章算术》中的立体几何
《九章算术》文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成《九章算术注》九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。
《九章算术》是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。
《九章算术》是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第25题作为2015年全国卷（Ⅰ）（文理）第6题, 通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。
题目是：《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（解法见例25）
A. 14斛 B. 22斛 C. 36斛 D. 66斛
2015年湖北理科19题、文科20题选用《九章算术》“商功”第16题“阳马”与
第17题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.
《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，现将这28个问题整理如下，供参考。
【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？
【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.
【译文】现挖地体积为1000立方尺，问换算成坚土、松土各多少？
【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.
【说明】从例2到例7都是直四棱柱求体积问题，以例2为例，介绍它们的算法.
【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？
【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.
【译文】现有城，下底长4丈，上底长2丈，高5丈， 纵长126丈5尺.问这段城的体积是多少？
【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.
如图，底面为等腰梯形，上底20a尺，下底
40b尺，高50h尺，侧棱1265l尺，所求体积
()(2040)501265189750022abhVShl立方尺.
【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积
几何？
【注释】垣: 低矮的墙.
【译文】现有矮墙下底长3尺，上底长2尺，高1丈2尺，纵长22丈5尺8寸.问这段矮墙的体积是多少？
【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？
【译文】现有坝堤下底长2丈，上底长8尺，高4尺，纵长12丈7尺.问这段坝堤的体积是多少？
【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？
【译文】现有沟，上底长1丈5尺，下底长1丈，高5尺，纵长7丈.问这段沟的容积是多少？
【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？
【注释】堑:护城河
【译文】现有护城河上底长1丈6尺3寸，下底长1丈，深6尺3寸，纵长13丈2尺1寸.问这段护城河的容积是多少？
【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？
【译文】现挖渠上底长1丈8尺，下底长3尺6寸，深1丈8尺，纵长5万1千8百24尺.问这段渠的容积是多少？
【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？
【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.
【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为1丈6尺，高1丈5尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长16a尺，高15h尺，所求体积1616153840VShaah立方尺.
【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？
【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.
【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的a
b l h 体积是多少？
【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为r，周长c,高h，因为2cr,
所以2cr,则所求体积22248112112412chVShrh(取3)立方尺.
【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？
【注释】方亭:正四棱台形建筑物.
【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为5丈，上底面正方形的边长为4丈，高为5丈.问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为a，上底面的面积为1S,下底边长为b,下底面的面积为2S,高h，则所求体积12121()3VhSSSS,
221305()33ababh立方丈.
对于公式12121()3VhSSSS适用所有棱台或圆台计算体积.
【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？
【注释】圆亭:圆台形建筑物.
【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为3丈，上底面圆的周长为2丈，高为1丈.问它的体积是多少？
【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为r，周长为12Cr,面积
211Sr，下底面圆的半径为R,周长为22CR,面积为22SR,高h.对于圆
台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：12121()3VhSSSS，也可用上下底面圆的半径与高表示：221()3VhrRrR,也可用上下底面圆的周长与高表示2212121()12VhCCCC,所求体积为1912V立方丈.
【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？
【注释】方锥: 正四棱锥.
【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为2丈7尺，高为2丈9尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为a,高为h.
13VSh21272937047立方尺. 【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？
【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为3丈5尺,高为5丈1尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为r,高为h.底面周长2Cr,底面积224CSr,于是体积13VSh22211()33212CChrhh6247512立方尺.
【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？
【注释】堑堵: 底面是直角三角形直三棱柱.
【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形
的两条直角边宽为2丈，长为18丈6尺.高为2丈5尺，问它
的体积是多少？
【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱
111ABCABC中，侧棱1AA垂直于底面ABC，ACBC.设底面直角ABC的边20ACa,186BCb,高为125hAA.体积
VSh1120186254650022abh立方尺.
【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？
【注释】阳马: 底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.
【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，
底面宽为5尺，长为7尺，高为8尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形，侧棱PA平面ABCD,设底面矩形的宽为5a,长为7b,高为8h.体积13VSh11280578333abh立方尺.
【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？
【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.
【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽5尺而无长，上底长4尺而无宽，高7尺，问它的体积是多少？
【解析】本题是求三棱锥的体积.如图(1)，在三棱锥SABC中，SA底面ABC,
ACBC.图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.
P
A B C D
a b h A B
C A1 B1
C1
a b h
根据题意，5a, 4b,高为7h.体积11115743332VShahb
703立方尺.
【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？
【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.
【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽6
尺，上宽1丈，深3尺，末端宽8尺，无深，长7尺.问它的体积是多少？
【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体EFABCD中,四边
形ADEF,ABCD,EFBC均为等腰梯形，EF∥AD∥BC.ABF,CDE均为直
角三角形，ABAF,CDDE.设下广EFa，上广ADb，末广BCc.高：
EF到平面ABCD的距离为h，长：AD与BC的距离l.
算法：1()6Vabchl
采用割的方法推导计算公式.连接BE，BD,AE,如图2,得三个三棱锥，设三棱
锥BAEF的体积为1V,三棱锥BAED的体积为2V,三棱锥BDEC的体积为3V,则
3V16clh，216Vblh，12VbVa，12aVVb, 所以1216aVValhb,于是五面体的体积公式1231()6VVVVabchl.代入数据6a,10b,8c,
7l,3h，代入公式得84V立方尺. S
A
B C a b
h S
A B
C a h b S
A
B C
a h b
图（1） 图（2） 图（3）
E F A B C
D
下广a 上广b 末广c
E F A B C
D
图1 图2
(浙江专用)高考数学二轮复习 专题四 立体几何 第1讲 空间几何体专题强化训练-人教版高三全册数学试
word - 1 - / 9 第1讲 空间几何体
专题强化训练
1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是( )
A．4 B．8
C．12 D．16
解析：选D.如图，以AA1为底面矩形一边的四边形有AA1C1C、AA1B1B、AA1D1D、AA1E1E这4个，每一个面都有4个顶点，所以阳马的个数为16个．故选D.
2．正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )
解析：选C.过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.
3．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( ) word
- 2 - / 9
A．8 cm3 B．12 cm3
C．323 cm3 D．403 cm3
解析：选C.由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体．下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm 的正四棱锥，体积V2＝13×2×2×2＝83(cm3)，所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝323(cm3)．
4．(2019·某某模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于( )
A．34 B．41
C．52 D．215
解析：选C.由正视图、侧视图、俯视图的形状，可判断该几何体为三棱锥，形状如图，其中SC⊥平面ABC，AC⊥AB，所以最长的棱长为SB＝52.
5．(2019·某某十校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( ) word
立体几何中的动点问题
1 立体几何中的动点问题
1、如图，四棱锥ABCDP的底面是边长为2的正方形，PA平面ABCD，且4PA，M是PB上的一个动点（不与BP,重合），过点M作平面//平面PAD，截棱锥所得图形的面积为y，若平面与平面PAD之间的距离为x，则函数xfy的图象是C
2、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑BCDA中，AB平面BCD，且CDBD，CDBDAB，点P在棱AC上运动，设CP的长度为x，若PBD的面积为xf，则xf的图象大致是A
2 3、 如图所示，侧棱与底面垂直，且底面为正方形的四棱柱1111DCBAABCD中，21AA，1AB，NM,分别在BCAD,1上移动，始终保持//MN平面11DDCC，设xBN，yMN，则函数xfy的图象大致是 C
4、如图，已知正方体1111DCBAABCD的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱1DD上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是________2
5、点P在正方体1111DCBAABCD的面对角线1BC上运动，给出下列命题：
①三棱锥PCDA1的体积不变；
②//1PA平面1ACD；
③1BCDP；
④平面1PDB平面1ACD；
其中正确的命题序号是_______①②④
3 6、在正方体1111DCBAABCD中，FE,分别为11CB，11DC的中点，点P是底面1111DCBA内一点，且//AP平面EFDB，则1tanAPA的最大值是_______22
7、已知直三棱柱111CBAABC中的底面为等腰直角三角形，ACAB，点NM,分别是边CAAB11,上动点，若直线//MN平面11BBCC，点Q为线段MN的中点，则点Q的轨迹为 C
.A双曲线的一支（一部分） .B圆弧（一部分）
.C线段（去掉一个端点） .D抛物线的一部分
第九章 立体几何专练2—基本立体图形(提升练)-2022届高三数学一轮复习
第九章 立体几何专练2—基本立体图形（提升练）
一、单选题
1．将一半圆沿半径剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角为3，以这两个扇形为侧面围成一高一低两个圆锥（不计接缝处的损耗），则高圆锥与低圆锥的高之比为( )
A．2:1
B．70:8
C．4:1 D．32:70
2．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径5R，扇形弧长4l，则该圆锥的表面积为( )
A．2 B．(425) C．(35) D．85
3．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由1和1开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为90的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的高为( )
A．215 B．415 C．515 D．615
4．碌碡是我国古代人民发明的一种把米、麦、豆等粮食加工成粉末的器具，如图，近似圆柱形碌碡的轴固定在经过圆盘圆心且垂直于圆盘的木桩上，当人或动物推动木柄时，碌碡在圆盘上滚动．若人或动物推动木柄绕圆盘转动一周，碌碡恰好滚动了3圈，则该圆柱形碌碡的底面圆的半径与其高之比为( )
A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3
5．如图，圆柱1OO的轴截面11ABBA是正方形，D，E分别是1AA和1BB的中点，C是弧AB的中点，则经过C、D、E的平面与圆柱1OO侧面相交所得到的曲线的离心率是( )
A．1 B．22
C．2 D．62
6．一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h、2h、3h，则123::(hhh )
九章算术内容
九章算术内容
章节一：引言
古代中国的九章算术是一部数学著作，被认为是中国古代数学五部经典之一，历史悠久、内容丰富。九章算术的成书年代约在西汉前后，距今已有两千多年的历史。该数学著作包含了算术、代数、几何等多方面的内容，影响深远，被誉为中国数学史上的瑰宝。
章节二：九章算术的结构
九章算术一共分为九篇，每篇分别讨论了不同方面的数学问题。这些篇章包括了数字、数列、代数方程、几何等各种数学内容。每篇章内容上一直贯穿着实际问题与计算方法的结合，既有理论的阐释，也有实际的应用，体现了古代数学家对数学的深刻理解和实践经验。
章节三：数论内容
在九章算术中，数论是其中一个重要的内容。数论主要讨论自然数的性质、因数分解、最大公约数、同余方程等问题。通过对数论内容的研究，九章算术揭示了自然数的一些规律和性质，为古代数学的发展提供了重要参考。
章节四：代数内容
代数是九章算术的另一个重要内容。在代数部分，九章算术主要研究了一次方程、二次方程的求解方法，包括了直接法、逆关系法等多种解题技巧。通过对代数内容的学习，读者可以了解不同类型方程的求解步骤和技巧，提高解题效率。
章节五：几何内容
在几何方面，九章算术也有着重要的内容。几何部分主要讨论了平面几何与立体几何的相关问题，包括了平行线、比例、面积、体积等几何问题。通过研究几何内容，读者可以了解古代中国关于几何的基本原理和方法，以及解决实际问题的技巧。
结语
九章算术作为中国古代数学的重要著作，内容丰富、语言精炼，不仅展示了古代数学家的智慧和学识，也对后世数学的发展产生了深远的影响。通过学习九章算术，我们可以更深入地了解古代数学的发展历程，领悟数学的魅力与无穷的可能性。愿我们能够继承并发扬古代数学的精神，探索数学世界的更多奥秘。
第07讲 立体几何-2022年新高考数学新情景、新文化问题(新高考地区专用)(解析版)
第07讲立体几何
一、单项选择题
1．〔2021·全国高三专题练习〕我国古代数学名著?九章算术?中“开立圆术〞曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术〞相当于给出了球的体积V，求其直径d的一个近似公式3169dV.人们还用过一些类似的近似公式.根据3.14159…判断，以下近似公式中最精确的一个是〔〕
A．3169dV B．32dV C．3300157dV D．32111dV
【答案】D
【分析】
根据球的体积公式可知332dV，将四个选项分别化简得到3d，通过比拟近似值可得结果.
【详解】
球的体积3432dV，3632dVV.
3.14159，1.570792.
记31169dV，3116392716dV；322dV；32321.5dVV；
33300157dV，3331.57dV；342111dV，343117dV.
271.8916，111.5717，2716，1.5，1.57，117中，117最接近2.
4d更精确.
应选：D.
2．〔2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末〕中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒〔cuán〕尖顶，表达天圆地方的理念，其屋顶局部的轮廓可近似看作一个正四棱锥．此正四棱锥的侧棱长为421，侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近30°，假设取30，那么以下结论正确的选项是〔〕
A．正四棱锥的底面边长为48m
B．正四棱锥的高为4m
C．正四棱锥的体积为27683m D．正四棱锥的侧面积为2963m
【答案】C
【分析】
在如下图的正四棱锥中，设底面边长为2a，根据侧棱长和侧面与底面所成的二面角可求底边的边长，从而可求体高、侧面积以及体积，据此可判断各项的正误.
【详解】
九章算术中的一元一次方程问题
一、引言
九章算术是我国古代著名的数学经典之一，涵盖了广泛的数学内容，其中包括一元一次方程问题。一元一次方程在数学中占有重要的地位，解决现实生活中的问题，也是数学学习中的重点内容。本文将从九章算术中的一元一次方程问题入手，探讨其解法和应用。
二、一元一次方程的概念
1. 一元一次方程的定义
一元一次方程是指形如ax+b=0的方程，其中a≠0，a和b是已知数，x是未知数，且x的最高次数为1。例如2x+3=5就是一个一元一次方程。
2. 一元一次方程的解
对于一元一次方程ax+b=0，可以使用反运算的原则，将方程化简为x=-b/a，因此方程的解为x=-b/a。
三、九章算术中的一元一次方程问题
1. 《九章算术》中的具体问题
《九章算术》是我国古代数学经典之一，其内容包含了丰富的数学问题和方法。在《九章算术》中，有许多关于一元一次方程的问题，如田甲申数问题、城市水井修建问题等。这些问题都是现实生活中的数学表达，通过一元一次方程的方法可以求解。
2. 举例分析
以田甲申数问题为例，题目是这样的：田积之甲、丁之申，问积之何？这是一个典型的一元一次方程问题，通过变量的设定和方程的建立，可以得到方程的解，从而求得问题的答案。
3. 解法探讨
《九章算术》中的一元一次方程问题，通常都可以通过设立变量、建立方程、解方程等步骤来求解。这些问题在古代的《九章算术》中被提出，不仅具有数学意义，还对古代生产生活有着实际的指导作用。
四、一元一次方程在现实生活中的应用
1. 求职择业
在现实生活中，一元一次方程常常被用于求职择业过程中的问题。关于工资的问题、工作时间的问题等，都可以建立成一元一次方程进行求解。
2. 购物计算
在日常的购物消费中，一元一次方程也有着广泛的应用。折扣问题、商品打折后的价格计算等都可以用一元一次方程进行求解。
立体几何解答题常考模型归纳总结(九大题型)(原卷版)-高中数学
立体几何解答题常考模型归纳总结
目录
01 方法技巧与总结..............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结..............................................................................................................................2
题型一：非常规空间几何体为载体....................................................................................................2
题型二：立体几何存在与探索性问题................................................................................................4
题型三：立体几何折叠问题................................................................................................................6
题型四：立体几何作图问题................................................................................................................8
题型五：立体几何建系繁琐问题......................................................................................................10
《九章算术》
博学笃行 自强不息
1
《九章算术》
《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，也是中国古代数学发展史上的里程碑之一。它由九章算术组成，其中包含了古代中国在数学领域所取得的丰硕成果，涉及到算术、代数、几何等多个方面的内容。本文将介绍《九章算术》的概况、主要内容以及对中国古代数学发展的影响。
《九章算术》是中国古代数学文献中最早的一部系统的数学专著，据传说是由汉代的张邱建和刘徽合著而成。它于公元前100年至公元前50年之间刊行，至今已有两千多年的历史。《九章算术》被誉为中国古代数学的金字塔，它是古代数学思想的集中体现，不仅在中国古代数学史上具有重要地位，也对世界数学史产生了深远影响。
《九章算术》一书共分为九章，分别为《勾股》、《几何》、《方程》、《现值》、《乘方》、《比例》、《运算法则》、《分田赋》、《杂题》。每一章节都围绕着特定的数学问题展开讨论，通过具体问题的解决，揭示了一系列数学原理与方法。
在《九章算术》中，最为人所熟知的莫过于《勾股》章节。这一章节探讨了勾股定理的应用，并提出了解决三角形问题的方法。其中又以《海岛问题》最为著名，该问题将勾股定理应用于实际生活中的测量，展示了古代中国人在数学应用上的智慧。 博学笃行 自强不息
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在《几何》章节中，探讨了平面几何和立体几何的基本原理与方法。该章节主要研究了几何图形的性质，推导了许多几何定理，并提出了计算面积和体积的方法。其中，《方圆》一节介绍了一种利用方形和圆形合理放置的方法来求解面积和体积的问题，为古代地理测量和建筑设计提供了重要的数学基础。
《方程》章节则探讨了一次、二次、三次方程的解法，包括正解和负解的求取方法，为后来中国数学的发展奠定了基础。在这一章节中，《流数》和《名数》两节揭示了中国古代人民在商业交易中运用代数方法解决问题的实践经验，为后来的代数学发展做出了重要贡献。
《九章算术》中的其他章节也各具特色，分别讨论了运算法则、比例关系、分田赋制度等内容。这些内容既展示了中国古代人民在日常生活中运用数学方法解决问题的智慧，也为后来的数学研究提供了宝贵的资料。
立体几何中的数学文化——“鳖臑”与“阳马”
立体几何中的数学文化
——“鳖臑”与“阳马”
一个是底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的名字叫“阳马”，另一个四个面都为直角三角形的四面体叫“鳖臑”。这两个名称还曾经出现在高考卷上，下面这道例题就是2015年湖北高考题改编的。
原题是这样的：《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．
如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接
(I)证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
(II)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．
大家可以看出，我们例题的（1）（2）两个小题就改编自这题，只是没有用它的名称，实际上，“阳马”和“鳖臑”怎么来的，《九章算术》里是这样描述的：
《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵。斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑居一，不易之率也。”
阳马和鳖臑是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体，按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱，称为堑堵.
再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
我们可以看出来，“阳马”和“鳖臑”是截长方体所得，那么如果有需要也可以补形回去。而且“阳马”和“鳖臑”的最长的棱就是对应长方体的体对角线。 ABCDPPDABCDPDCDPCEEFPBPBF,,,.DEDFBDBEπ3DCBCDFPECBA关于“鳖臑”这个几何体，浙江省也考过一个相关的题目，不过没有提出这个名称：
（2008•浙江14）如图，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC=3，则球O的体积为 .
要是了解鳖臑的由来，这道题就迎刃而解了，此球就是补回的长方体的外接球，半径就是体对角线的一半，体积也就可以求解了。
【高中数学数学文化鉴赏与学习】专题14《九章算术》-“堑堵”“鳖膈”“阳马”(以《九章算术》为背景的
【高中数学数学文化鉴赏与学习】
专题14《九章算术》- “堑堵”、“鳖膈”、“阳马”
（以《九章算术》为背景的高中数学考题题组训练）
一、单选题
1．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，BC⊥CD，且4ABBCCD，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（ ）
A．32 B．34 C．33 D．24
2．《九章算术》中将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，在如图所示的堑堵111ABCABC中，15AAAC，3AB，=4BC，则在堑堵111ABCABC中截掉阳马111CABBA后的几何体的外接球的体积与阳马111CABBA的体积比为（ ）
A．12523 B．25212
C．2526 D．50
3．据《九章算术》记载，“鳖臑”为四个面都是直角三角形的三棱锥．如图所示，现有一个“鳖臑”，PA底面ABC，ABBC，且2PAABBC，三棱锥外接球表面积为（ ） A．10 B．12 C．14 D．16
4．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑ABCD中，AB平面BCD，,1BDCDABBD，2CD，点P在棱AC上运动，则PBD△面积最小值为（ ）
A．13 B．23 C．63 D．66
5．我国古代数学专著《九章算术》中介绍“堑堵”为：底面为直角三角形的直棱柱，如下图所示，堑堵可以分割成一个阳马（底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖儒（四个面都为直角三角形的四面体），已知鳖儒体积为6，AB=3，AF=4，则阳马中AC与DF夹角的余弦值是（ ）
A．925 B．1625 C．3210 D．3225
6．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有如图所示的“堑绪"111ABCABC，其中ACBC，11AAAC，当“阳马”（即四棱锥11BAACC）体积为13时，则“堑堵”即三棱柱111ABCABC的外接球的体积为（ ）