第10节 闭区间上连续函数的性质

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第六节 闭区间上连续函数的性质
教学目的：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值
定理），并会应用这些性质。

教学重点：连续函数的有界性、最大值和最小值定理、介值定理
教学难点：连续函数的介值定理
教学过程：
如果函数()fx在开区间(,)ab内连续，且在左端点a右连续，在右端点b左连续，就称
函数()fx在闭区间[,]ab上连续．
下面介绍在闭区间上连续的函数的几个重要性质．
一、有界性与最大值和最小值定理

先说明最大值和最小值的概念．设函数()fx在区间I上有定义，如果有0xI，使得对

于任一xI都有0()()fxfx（或0()()fxfx），则称0()fx为函数()fx在区间I上的最大
值（吉最小值）．
定理1（最大值和最小值定理）闭区间上的连续函数在该区间上一定有最大值和最小值．

这说是说，如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，那么至少存在一点1[,]xab，使得

1()fx为函数()fx在闭区间[,]ab上的最大值；也至少存在一点2
[,]xab
，使得2()fx为函数
()fx在闭区间[,]ab
上的最小值
注意：如果定理中的条件不满足，结论就不一定成立．例如：函数sinyx在(0,)2内
连续，但没有最大值也没有最小值，但在开区间内连续的函数也可以取得最大值与最小值，
例如函数sinyx在(0,2)内连续，它在该区间内有最大值()12f与最小值

3
()12f
．函数1,10()0,01,01xxfxxxx在[1,1]上有间断点0x，它在[1,1]上没有最大

值与最小值．
推论（有界性定理） 闭区间上的连续函数一定是该区间上的有界函数．
二、零点定理与介值定理

如果0x使0()0fx，则0x称为()fx的零点．
定理2（零点定理） 设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，且()fa与()fb异号（即
()()0fafb），那么在开区间(,)ab内至少有一点()ab，使()0f
．
从几何上看，定理17表示：如果连续曲线弧
()yfx
的两个端点位于x轴的不同侧，那么,

这段曲线弧与x轴至少有一个交点（图1－27）． 图1－27

例1 证明方程5310xx在(1,2)内至少有一个实根．
2

证 设5()31fxxx，则()fx在[1,2]上连续，且(1)(2)3250ff．由零点定
理知，在(1,2)至少有一点，使()0f，即是方程5310xx在(1,2)内的一个根．
由定理17可推得下面更一般的情形．
定理3（介值定理） 设函数()fx在闭区间[,]ab上连续，那么它在[,]ab上能取到介于
其最大值M与最小值m之间的任何值．

证 因()fx在闭区间[,]ab上连续，由定理16知，必存在12,使12(),()fMfm，
设mM，c为M与m之间的任意一个数，即mcM．作辅助函数()()xfxc，则
()x

在12[,]（或21[,]）上连续，12()()()()0mcMc，由定理17得，至少

有一点（在1与2之间），使()0．而()()fc，所以()fc（在1与
2


之间）．因12,[,]ab，故(,)ab．
例2 设)(xf在闭区间]1,0[上连续且1)(0xf，则至少存在一点]1,0[，
使得)(f．
证明：令xxfxF)()(，则)(xF在闭区间]1,0[连续且
0)0(0)0()0(ffF，01)1()1(fF

根据零点定理：至少存在一点]1,0[，使得0)(F，即)(f．
例3 方程135xx至少有一个根介于1和2之间．
证明：令)(xf135xx，则03)1(f，025)2(f
根据零点定理：至少存在一点)2,1(，使得0)(f，即方程135xx至少有一个根
介于1和2之间．
小结与思考：
本节介绍了在闭区间上连续函数的有界性、最大值和最小值定理、零点定理和介值定理。

1、设baCxf,)(，且对任意bax,，存在bay,，使得)(21)(xfyf．证明
存在ba,，满足0)(f．
证明：由于baCxf,)(，则baCxf,)(，由最值定理：)(xf在ba,上有最小

值)(1xf．又由题意知：存在bay,1，使得)(1yf=)(211xf，于是)(1yf=)(1xf=0．
作业：
作业见作业卡