2017-2021北京重点校高一(上)期末数学汇编：函数的基本性质章节综合
2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编函数的基本性质章节综合一、单选题1．（2019·北京师大附中高一期末）已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时，()()5πsin 01421()1(1)4x x x f x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程()()()2[]0,R f x af x b a b ++=∈，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．5,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭2．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）对于函数f （x ），若存在区间M ＝[a ，b ]（a ＜b ）使得{y |y ＝f （x ），x ∈M }＝M ，则称区间M 为函数f （x ）的一个“稳定区间，给出下列四个函数： ①f （x ）221x x =+，②f （x ）＝x 3，③f （x ）＝cos 2πx ，④f （x ）＝tanx 其中存在“稳定区间”的函数有（ ） A ．①②③B ．②③C ．③④D ．①④3．（2021·北京·101中学高一期末）如图所示的是函数sin y x =（0x π≤≤）的图像，()A x y ，是图像上任意一点，过点A 作x 轴的平行线，交图像于另一点B （A ，B 可重合）.设线段AB 的长为()f x ，则函数()f x 的图像是A ．B ．C ．D ．4．（2018·北京·人大附中高一期末）如果幂函数()af x x =的图象经过点()2,4，则()f x 在定义域内A ．为增函数B ．为减函数C ．有最小值D ．有最大值5．（2017·北京八中高一期末）函数()||f x x x =．若存在[1,)x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭6．（2019·北京师大附中高一期末）已知()(2),f x f x x R =-∈，当(1,)x ∈+∞时，()f x 为增函数．设(1),(2)a f b f ==，(1)c f =-，则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>7．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =， 12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.60.2c f -=，则,,a b c 的大小关系是A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 的图象上存在一点()00,A x y 满足000x y +=，且000x y ≠，则称函数()f x 为“可相反函数”，在①sin y x =；②ln y x =； ③241y x x =++；④x y e -=-中，为“可相反函数”的全部序号是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③④D ．②③④9．（2018·北京·人大附中高一期末）已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是A ．0x a <B ．0x a >C ．0x c <D ．0x c >10．（2018·北京·人大附中高一期末）下列函数为奇函数的是 A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈C ．3y x =D ．lg y x =11．（2018·北京·101中学高一期末）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是 A ．y=e xB ．y=tanxC ．y=lnxD ．y=x 3+x12．（2018·北京·101中学高一期末）不等式2633x x -+>的解集是A ．（-3，2）B ．（-2，3）C ．（-∞，-3）（2，+∞）D ．（-∞，-2）（3，+∞）13．（2018·北京·101中学高一期末）已知函数()()g x f x x =-，若()f x 是偶函数，且()f 21=，则()g 2(-= ) A ．1B ．2C ．3D ．414．（2018·北京·101中学高一期末）函数()2ln 23y x x =-++的减区间是 A ．(]1,1-B ．[)1,3C ．(],1-∞D ．[)1,+∞15．（2017·北京八中高一期末）下列函数中，在区间()0+∞，上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+二、多选题16．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（ ） A ．||2x y = B ．23y x -=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+三、填空题17．（2020·北京·清华附中高一期末）已知函数()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，若函数()y f x k =-恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_____18．（2020·北京·清华附中高一期末）定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()()0f b f a f x b a-=-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”，0x 是它的一个均值点.若函数()2f x x mx=+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是____19．（2018·北京·人大附中高一期末）函数()2,,(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩，在区间(0,)+∞上的增数，则实数t 的取值范围是________.20．（2019·北京·中央民族大学附属中学高一期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()f x x x =+，则()()20f f -+=_________.四、解答题21．（2018·北京·人大附中高一期末）定义：若函数()f x 的定义域为D ，且存在非零常数T ，对任意x D ∈，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（1）下列函数[]21.2, 2.log , 3.xy y x y x ===（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是____________（直接填写序号）；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：()()G x g x x =-为周期函数； （3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，求k 的值.22．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）f （x ）是定义在D 上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及D 中的任意两数x 1，x 2，恒有f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2），则称f （x ）为定义在D 上的C 函数. （1）试判断函数f 1（x ）＝x 2，()()210f x x x=＜中哪些是各自定义域上的C 函数，并说明理由； （2）若f （x ）是定义域为R 的函数且最小正周期为T ，试证明f （x ）不是R 上的C 函数.23．（2020·北京·清华附中高一期末）若函数()f x 定义域为R ，且存在非零实数T ，使得对于任意的()(),x R f x T Tf x ∈+=恒成立，称函数()f x 满足性质()P T(1)分别判断下列函数是否满足性质()P T 并说明理由 ①()sin 2f x x π= ②()cos2g x x π=(2)若函数()f x 既满足性质()2P ，又满足性质()3P ，求函数()f x 的解析式(3)若函数()f x 满足性质()1.01P ，求证：存在0x R ∈，使得()00.001f x <24．（2018·北京·人大附中高一期末）已知二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-. （1）求b ，c 的值；（2）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间为 ； （ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.25．（2018·北京·101中学高一期末）设函数()f x 的定义域为R +，且满足条件()f 41=，对任意1x ，2x R ∈﹢，有()()()1212f x x f x f x ⋅=+，且当12x x ≠时，有()()2121f x f x 0x x ->-．()1求()f 1的值；()2如果()f x 62+>，求x 的取值范围．26．（2019·北京师大附中高一期末）已知奇函数()f x 的定义域为[-1,1]，当[1,0)x ∈-时，1()()2x f x =-．（1）求函数()f x 在(0,1]上的值域； （2）若(0,1]x ∈时，函数21()()142y f x f x λ=-+的最小值为-2，求实数λ的值． 27．（2019·北京·101中学高一期末）正四棱锥S －ABCD 的底面边长为2，侧棱长为x . （1）求出其表面积S （x ）和体积V （x ）； （2）设()()()S x f x V x =，求出函数()f x 的定义域，并判断其单调性（无需证明）.参考答案1．C 【详解】作出()()()5sin 01421114xx x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩的图象如下，又∵函数y=f （x ）是定义域为R 的偶函数，且关于x 的方程2[()]()0f x af x b ++=，a ，b ∈R 有且仅有6个不同实数根， ∴x 2+ax+b=0的两根分别为1255,144x x =<<或12501,14x x <≤<<；由韦达定理可得12x x a +=-，若1255,144x x =<<，则9542a <-<，即5924a -<<-；若12501,14x x <≤<<，则914a <-<，即914a -<<-； 从而可知5924a -<<-或914a -<<-；故选C ．点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围． 2．A 【解析】根据函数的单调性依次计算每个函数对应的值域判断得到答案. 【详解】 ①f （x ）221xx =+，取[]0,1M =时，如图所示：函数在M 上单调递增，且()()00,11f f ==，故满足；②f （x ）＝x 3，函数单调递增，取[]0,1x M ∈=，[]30,1x M ∈=，故满足；③f （x ）＝cos2πx ，函数在[]0,1M =上单调递减，()()01,10f f ==，故满足； ④f （x ）＝tanx ，函数在每个周期内单调递增，tan x x =在每个周期内没有两个交点，如图所示，故不满足； 故选：A .【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的综合应用能力和理解能力. 3．A 【详解】[0,]2x π∈时，B x x π+=()2,B f x AB x x x π∴==-=-[0,]2x π∈时()f x 表示递减的一次函数所以选A.点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.如能求出具体解析式就可简化问题(2)在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系4．C 【分析】由幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，得到2()f x x =，由此能求出函数的单调性和最值． 【详解】解：幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4)，()224a f ∴==，解得2a =，2()f x x ∴=，()f x ∴在(],0x ∈-∞递减，在[)0,x ∈+∞递增，有最小值，无最大值．故选C ． 【点睛】本题考查幂函数的概念和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5．D 【分析】通过分类讨论20x k -≥和20x k -<，将(2)0f x k k --<转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得k 的取值范围. 【详解】 当12k ≤时，20x k -≥，(2)0f x k k ∴--<，可化为2(2)0x k k --<， 即存在[1,)x ∈+∞，使得22()440g x x kx k k =-+-<成立， 22()44g x x kx k k =-+-的对称轴为21x k =≤， 22()44g x x kx k k ∴=-+-在区间[1,)+∞单调递增，∴ 只要(1)0<g ，即21440k k k -+-<，解得：114k <<， 又12k ≤，1142k ∴<≤， 当12k >时，(2)0f x k k --<可化为2(2)0x k k ---<，此时不等式恒成立， 综上所述，14k >． 故选：D 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 6．D 【分析】由f （x ）＝f （2﹣x ）可得出f （﹣1）＝f （3），根据f （x ）在（1，+∞）上为增函数可得出f （3）＞f （2）＞f （1），从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】∵f （x ）＝f （2﹣x ）； ∴f （﹣1）＝f （3）；∵x ∈（1，+∞）时，f （x ）为增函数； ∴f （3）＞f （2）＞f （1）； ∴c ＞b ＞a ． 故选D ． 【点睛】本题考查增函数的定义，关键是将自变量的取值通过条件转到同一个单调区间上，再根据增函数，比较函数值的大小． 7．B因为()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[0,)+∞上是减函数，又因为12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0.60.624422=(log 3),log 7log 9log 3,0.252log 3f -==>，所以c b a <<，选B. 8．D 【分析】根据已知条件把问题转化为函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点，结合图象即可得到结论. 【详解】解：由定义可得函数()f x 为“可相反函数”，即函数()f x 与直线y x =-有不在坐标原点的交点． ①sin y x =的图象与直线y x =-有交点，但是交点在坐标原点，所以不是“可相反函数”； ②ln y x =的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ③241y x x =++与直线y x =-有交点在第二象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”； ④x y e -=-的图象与直线y x =-有交点在第四象限，且交点不在坐标原点，所以是“可相反函数”. 结合图象可得：只有②③④符合要求； 故选：D9．B 【详解】∵()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在∞（0，+）上是增函数0a b c ，＜＜＜，且()()()0f a f b f c <，f a f b f c （）、（）、（）∴ 中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）；或0f a f b f c （）＜（）＜（）＜； 由于实数0 x 是函数y f x =（）的一个零点， 当00f a f b f c （）＜，＜（）＜（）时，0a x b ＜＜，当0f a f b f c （）＜（）＜（）＜ 时，0x a ＞， 故选B 10．Cy=2x 为指数函数，没有奇偶性；y=sinx ，x ∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性； y=x 3定义域为R ，f （-x ）=-f （x ），为奇函数；y=lg|x|的定义域为{x|x≠0}，且f （-x ）=f （x ），为偶函数． 故选C ． 11．D 【详解】选项A,y=e x 是非奇非偶函数,不合题意;选项B, y=tanx 在每个单调区间上分别递增,但是在定义域内不是增函数,不合题意; 选项C, y=lnx 是非奇非偶函数,不合题意; 故选D. 12．A 【详解】函数3x y =单调递增，原不等式等价于26x x -+>，即260x x +-<，解得-3<x<2,故选A. 13．C 【详解】f （x ）是偶函数，且f （2）=1，则()21f -=,所以g （-2）= ()()223f ---=,故选C. 14．B 【分析】利用一元二次不等式的解法求出函数的定义域，在定义域内求出二次函数的减区间即可. 【详解】令2t x 2x 30=-++>，求得1x 3-<<， 故函数的定义域为()1,3-，且y lnt =递增， 只需求函数t 在定义域内的减区间．由二次函数的性质求得2t (x 1)4=--+在定义域内的减区间为[)1,3，所以函数()2y ln x 2x 3=-++的减区间是[)1,3，故选B ．【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增→ 增，减减→ 增，增减→ 减，减增→ 减）. 15．A 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则，即可判断． 【详解】对A ，函数ln(2)y x =+在()2-+∞，上递增，所以在区间()0+∞，上为增函数，符合；对B ，函数y =[)1,-+∞上递减，不存在增区间，不符合；对C ，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，不存在增区间，不符合；对D ，函数1y x x=+在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，不符合． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查指数函数，对数函数，幂函数，对勾函数的单调性以及复合函数的单调性法则的应用，属于容易题． 16．AD 【分析】利用函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断可得出合适的选项. 【详解】对于A 选项，对于函数()2xf x =的定义域为R ，()()22xxf x f x --===，该函数为偶函数，当(),0x ∈-∞时，()122xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭，则函数2xy =在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意；对于B 选项，函数()23g x x-={}0x x ≠，()()g x g x -==，该函数为偶函数，由于该函数在区间()0,∞+上单调递减，则该函数在区间(),0-∞上为增函数，不合乎题意； 对于C 选项，函数()1h x x x =-的定义域为{}0x x ≠，()()11h x x x h x x x ⎛⎫-=+=--=- ⎪-⎝⎭，该函数为奇函数，不合乎题意；对于D 选项，()()2ln 1x x ϕ=+的定义域为R ，()()()()22ln 1ln 1x x x x ϕϕ⎡⎤-=-+=+=⎣⎦，该函数为偶函数， 由于函数()()2ln 1x x ϕ=+在区间()0,∞+上为增函数，在该函数在区间(),0-∞上为减函数，合乎题意.故选：AD. 【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的判断，属于基础题. 17．(][],1,013-⋃ 【分析】题目转化为()k f x =，画出函数图像，根据图像结合函数值计算得到答案. 【详解】()212,1,1x x x f x x x -⎧+≤=⎨>⎩，()0y f x k =-=，即()k f x =，画出函数图像，如图所示：()13f =，()11f -=-，根据图像知：(][]1,01,3k ∈-.故答案为：(][],1,013-⋃18．0m ≥##[0，)∞+##{|0}m m ≥【分析】 根据题意，方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根，若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．首先满足∆0，解得0m ，或4m -．对称轴为2m x =-．对m 分类讨论即可得出． 【详解】 解：根据题意，若函数2()f x x mx =+是[1-，1]上的平均值函数， 则方程2(1)(1)1(1)f f x mx --+=--，即20x mx m +-=在(1,1)-内有实数根， 若函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内有零点．则∆240m m =+，解得0m ，或4m -．g （1）10=>，(1)12g m -=-．(0)g m =-． 对称轴：2m x =-． ①0m 时，02m -，(0)0g m =-，g （1）0>，因此此时函数()g x 在(1,1)-内一定有零点．0m ∴满足条件． ②4m -时，22m -，由于g （1）10=>，因此函数2()g x x mx m =+-在(1,1)-内不可能有零点，舍去． 综上可得：实数m 的取值范围是[0，)∞+．故答案为：[0，)∞+．19．1t【分析】作出函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图象，数形结合可得结果. 【详解】解:函数2,()(0),0x x t f x t x x t⎧=>⎨<<⎩的图像如图.由图像可知要使函数2,()(0),0x x t f x t x x t ⎧=>⎨<<⎩是区间(0,)+∞上的增函数， 则1t .故答案为1t【点睛】本题考查函数的单调性，考查函数的图象的应用，考查数形结合思想，属于简单题目.20．6-【分析】根据当0x >时,2()f x x x =+直接求得()0f ,再跟根据()f x 是定义在R 上的奇函数,则()2(2)f f -=-代入2()f x x x =+求解即可.【详解】由题()()220(2)(0)(2+2)+06f f f f -+=-+=-=-.故答案为6-【点睛】本题主要考查奇函数的运用与求值计算,属于基础题型.21．（1）3；（2）证明见解析；（3）1k =.【分析】（1）根据新定义逐一判断即可；（2）根据新定义证明即可；（3）若()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，可得22kT T =，解得k 的值再检验即可.【详解】（1）对于2x y =，()()2222x T x T T f x T f x ++==⋅=⋅，所以不是线周期函数，对于2log y x =，()()()2log f x T x T f x T +=+≠+，所以不是线周期函数，对于[]y x =，()[][]()1111+=+=+=+f x x x f x ，所以是线周期函数；（2）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，则存在非零常数T 对任意x ∈R ，都有()()g x T g x T +=+恒成立，因为()()G x g x x =-，所以()()()()()()()G x T g x T x T g x T x T g x x G x +=+-+=+-+=-=，所以()()G x g x x =-为周期函数；（3）因为()sin x x kx φ=+为线周期函数，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，都有()()sin sin x T k x T x kx T +++=++，所以()sin sin x T kT x T ++=+，令0x =，得sin T kT T +=，令x π=，得sin T kT T -+=，所以22kT T =，因为0T ≠，所以1k =，检验：当1k =时，()sin x x x φ=+，存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()()()2sin 22sin 22x x x x x x φππππφπ+=+++=++=+，所以()sin x x x φ=+为线周期函数，所以：1k =.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解和应用，以及特殊值解决恒成立问题.22．（1）()21f x x =是C 函数，()()210f x x x=<不是C 函数，理由见解析；（2）见解析 【解析】（1）根据函数的新定义证明f 1（x ）＝x 2是C 函数，再举反例得到()()210f x x x=＜不是C 函数，得到答案. （2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ，讨论f （m ）＜f （n ）和f （m ）＞f （n ）两种情况得到证明.【详解】（1）对任意实数x 1，x 2及α∈（0，1），有f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 1（x 1）﹣（1﹣α）f 1（x 2）＝（αx 1+（1﹣α）x 2）2﹣αx 12﹣（1﹣α）x 22＝﹣α（1﹣α）x 12﹣α（1﹣α）x 22+2α（1﹣α）x 1x 2＝﹣α（1﹣α）（x 1﹣x 2）2≤0，即f 1（αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf 1（x 1）+（1﹣α）f 1（x 2），∴f 1（x ）＝x 2是C 函数；()()210f x x x=＜不是C 函数， 说明如下（举反例）：取x 1＝﹣3，x 2＝﹣1，α12=， 则f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）﹣αf 2（x 1）﹣（1﹣α）f 2（x 2）＝f 2（﹣2）12-f 2（﹣3）12-f 2（﹣1）111262=-++＞0， 即f 2（αx 1+（1﹣α）x 2）＞αf 2（x 1）+（1﹣α）f 2（x 2），∴()()210f x x x=＜不是C 函数；（2）假设f （x ）是R 上的C 函数，若存在m ＜n 且m ，n ∈[0，T ），使得f （m ）≠f （n ）.（i ）若f （m ）＜f （n ），记x 1＝m ，x 2＝m +T ，α＝1n m T--，则0＜α＜1，且n ＝αx 1+（1﹣α）x 2， 那么f （n ）＝f （αx 1+（1﹣α）x 2）≤αf （x 1）+（1﹣α）f （x 2）＝αf （m ）+（1﹣α）f （m +T ）＝f （m ），这与f （m ）＜f （n ）矛盾；（ii ）若f （m ）＞f （n ），记x 1＝n ，x 2＝n ﹣T ，α＝1n m T--，同理也可得到矛盾； ∴f （x ）在[0，T ）上是常数函数，又因为f （x ）是周期为T 的函数，所以f （x ）在R 上是常数函数，这与f （x ）的最小正周期为T 矛盾.所以f （x ）不是R 上的C 函数.【点睛】本题考查了函数的新定义，意在考查学生的理解能力和综合应用能力.23．(1)①②满足性质()1P ，理由见解析(2)()0f x =(3)证明见解析【分析】（1）计算()()1f x f x +=，()()1g x g x +=，得到答案.（2）根据函数性质变换得到()()213f x f x +=，()()312f x f x -=，()()121f x f x +=-，解得答案.（3）根据函数性质得到()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时满足条件，得到答案. (1) ()()()()1sin 2π1sin 2π2πsin 2πf x x x x f x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()f x 满足()1P ；()()()()1cos 2π1cos 2π2πcos2πg x x x x g x +=+=+==⎡⎤⎣⎦，故()g x 满足()1P .(2)()()22f x f x +=且33f x f x ，故()()()()312213f x f x f x f x +=++=+=，()()()()213312f x f x f x f x +=-+=-=，()()121f x f x +=-，解得()0f x =.(3)()()1.01 1.01f x f x +=，故()()()()2311.01 1.01 1.01 1.012 1.01 1.01 1.01n f x f x f x f x n ++=-=-⨯=⋅⋅⋅=-⨯，取0x =得到()()11.01 1.01 1.01n f f n +=-⨯，即()()111.01 1.011.01n f n f +-⨯=⋅，取()1.01log 1000 1.01N f =，当n N >时，()11 1.010.0011.01n f +⋅<， 故存在0 1.01x n =-⨯满足()00.001f x <. 24．（1）4b =-；0c ；（2）5a >或50a -<<【详解】试题分析：（1）代值计算即可，（2）先根据函数的奇偶性求出()g x 的解析式，（i ）根据函数的解析式和二次函数的性质即可求出函数()g x 的单调减区间，（ii ）根据函数单调性性质可得20 4a a a a ＞＞⎧⎨-⎩ 或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得即可. 试题解析：二次函数2()f x x bx c =++满足(1)(3)3f f ==-，解得：4b =-；0c .（2）（ⅰ）.（ⅱ）由（1）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--. 若()g a a >，则 20,4;a a a a >⎧⎨->⎩或20,4.a a a a ≤⎧⎨-->⎩解得5a >或50a -<<. 综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<.25．（1）0 ； （2）x 10>.【分析】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，令12x x 1==，即可得结果；()2由()()2121f x f x 0x x ->-可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，结合()()()f 16f 4f 42=+=，原不等式化为x 616+>，从而可得结果.【详解】()1由()()()1212f x x f x f x ⋅=+，可得()()()()f 1f 11f 1f 1=⨯=+，故()f 10=．()2由条件可得()()()f 16f 4f 42=+=，由()()2121f x f x 0x x ->-，可得函数()f x 在定义域R 上是增函数，再根据()f x 62+>， 可得()()f x 6f 16+>，x 616∴+>，x 10>．【点睛】本题主要考查函数的解析式、函数的单调性，属于中档题.函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：（1）求函数的值域或最值；（2）比较两个函数值或两个自变量的大小；（3）解抽象函数不等式；（4）求参数的取值范围或值．26．（1）(1,2]；（2）4λ=【分析】（1）利用函数的奇偶性、指数函数的单调性求出函数f （x ）在(]0,1上的值域．（2）根据f （x ）的范围，利用条件以及二次函数的性质，分类讨论求得实数λ的值．【详解】（1）设x ∈（0，1]，则﹣x ∈[﹣1，0）时，所以f （﹣x ）12x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2x ．又因为f （x ）为奇函数，所以有f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以当x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣f （﹣x ）＝2x ，所以()f x 在(]0,1上的值域为（1，2]，（2）由（1）知当x ∈（0，1]时，f （x ）∈（1，2]， 所以12f （x ）∈（12，1]． 令t 12=f （x ），则 12＜t ≤1， g （t ）14=f 2（x ）2λ-f （x ）+1＝t 2﹣λt +122t λ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭124λ-， ①当122λ≤，即λ≤1时，g （t ）＞g （12），无最小值， ②当122λ≤＜1，即1＜λ≤2时，g （t ）min ＝g （2λ）＝124λ-=-2， 解得λ＝±（舍去）． ③当2λ＞1，即λ＞2时，g （t ）min ＝g （1）＝﹣2，解得λ＝4， 综上所述，λ＝4．【点睛】本题主要考查指数函数的单调性，求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于中档题．27．（1）()4S x =+()V x =2）x，()f x 是减函数.【分析】（1）画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；（2）结合表达式，可求出x 的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】（1）过点S 作平面ABCD 的垂线，垂足为O ，取AB 的中点E ，连结,OE SE ，因为S ABCD -为正四棱锥，所以112EO AD ==，1AE =，SE =SO所以四棱锥的表面积为()1442S x AB SE AB BC =⨯⨯⋅+⋅=， 体积()13V x SO AB BC =⋅⋅=（2）()()()S x f x V x ===2201020x x x >⎧⎪-≥⎨⎪->⎩解得x > ()f x 是减函数.【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力，属于中档题.。
北京市2020-2021学年高三上学期期末数学试题汇编：函数 (答案详解)
2021北京高三数学上学期期末汇编：函数一．选择题（共8小题）1．（2020秋•房山区期末）已知函数，则的值为 A．B ．C ．3D ．52．（2020秋•西城区期末）已知为奇函数，其局部图象如图所示，那么 A ．（2）B ．（2）C ．（2）D ．（2）3．（2020秋•丰台区期末）下列函数中，同时满足①对于定义域内的任意，都有；②存在区间，在区间上单调递减的函数是 A ．B ．C ．D ．4．（2020秋•丰台区期末）若函数，则函数的值域为 A ．，B ．，C ．，，D ．5．（2020秋•东城区期末）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．6．（2020秋•昌平区期末）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是 A ．B ．C ．D ．7．（2020秋•石景山区期末）“”是“函数为奇函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020秋•西城区期末）设函数和的定义域为，若存在非零实数，使得（c ）（c ），则称函数和在上具有性质．现有三组函数：2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩…1(())2f f ()1232()f x ()f 2=f 2=-f 2>-f 2<-x ()()f x f x -=-D ()f x D ()sin y x =3y x =211y x =+y lnx=2,0()2,0x x x f x x ⎧-=⎨<⎩…()f x ()[01)(-∞0](-∞0)(0⋃1)(,1)-∞(0,1)()2x y -=y lnx =1y x =sin y x=(0,)+∞()sin y x =3y x =2x y -=||y ln x =ϕπ=sin(2)y x ϕ=+()()f x ()g x D c D ∈f g +0=()f x ()g x D P①，；②，；③，．其中具有性质的是 A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二．填空题（共5小题）9．（2020秋•房山区期末）函数的定义域为 ．10．（2020秋•石景山区期末）函数的定义域为 ．11．（2020秋•东城区期末）函数的定义域是 ．12．（2020秋•顺义区期末）已知函数，能说明既是偶函数又在区间上单调递减的一组整数，，的值依次是 ．13．（2020秋•东城区期末）已知函数，，，其中表示不超过的最大整数．例如：，，．① ；②若对任意，都成立，则实数的取值范围是 ．()f x x =2()g x x =()2x f x -=()x g x e =-2()f x x =-()2x g x =P ()(21)2y ln x =++()f x lnx =+()f x lnx =+2()f x ax bx c =++()f x (0,)+∞a b c [sin ][cos ]()23x x f x =+[0x ∈2]π[]x x [1]1=[0.5]0=[0.5]1-=-2(3f π=()f x x a >+[0x ∈2]πa2021北京高三数学上学期期末汇编：函数参考答案一．选择题（共8小题）1．【分析】推导出，从而，由此能求出的值．【解答】解：函数，，．故选：．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．【分析】根据题意，由函数的图象可得，结合函数的奇偶性可得答案．【解答】解：根据题意，由函数的图象，，则有，又由为奇函数，则（2），则有（2）（1），故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数图象的应用，属于基础题．3．【分析】由基本初等函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于，为奇函数，满足①，且在区间，上单调递减，满足②，故符合题意；对于，为奇函数，满足①，但在上单调递增，不满足②，故不符合题意；对于，为偶函数，不满足①，故不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不满足①，故不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数的单调性与奇偶性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．4．【分析】根据分段函数的解析式即可求出每段上的范围，然后即可得出的值域．【解答】解：时，；时，，的值域为：．故选：．【点评】211()log 122f ==-1(((1)2f f f =-1(())2f f 2log ,0()21,0x x x f x x >⎧=⎨+⎩…211()log 122f ∴==-113(())(1)2122f f f -=-=+=B (2)(1)2f f -<-=(2)(1)2f f -<-=(2)(1)2f f -->--=-()f x f (2)f =--f f >2=-C A sin y x =(2π)πA B 3y x =R B C 211y x =+C D y lnx =D A ()f x ()f x ()f x 0x …20x -…0x <021x <<()f x ∴(,1)-∞D本题考查了函数值域的定义及求法，分段函数值域的求法，二次函数和指数函数值域的求法，考查了计算能力，属于基础题．5．【分析】由基本初等函数的单调性和奇偶性逐一判断即可．【解答】解：对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为奇函数，但在区间上单调递减，不符合题意；对于，为奇函数，由正弦函数的图象可知，在区间上单调递增，符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．6．【分析】由基本初等函数的奇偶性与单调性逐一判断即可．【解答】解：对于，是奇函数，但在区间上不单调，不符合题意；对于，是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意；对于，为非奇非偶函数，不符合题意；对于，为偶函数，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于基础题．7．【分析】函数奇偶性的性质，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若函数为奇函数，则，，“”是“函数为奇函数的”充分不必要条件．故选：．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键．8．【分析】在选项①②③中分别判断方程是否有非零实数解，即可得到答案．【解答】解：因为，，所以，则，符合题意，故选项①正确；因为，，A 2x y -=B y lnx =C 1y x=(0,1)D sin y x =sin y x =(0,1)D A sin y x =(0,)+∞B 3y x =(0,)+∞C 12()2x x y -==D ||y ln x =B sin(2)y x φ=+k φπ=k Z ∈∴φπ=sin(2)y x φ=+A ()()0f x g x +=()f x x =2()g x x =2()()f x g x x x +=+(1)(1)110f g -+-=-+=()2x f x -=()x g x e =-所以，()()20x x f x g x e -+=+-=可得，即，解得，不符合题意，故选项②不正确；因为，，所以，则（2）（2），符合题意，故选项③正确．故选：．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．二．填空题（共5小题）9．【分析】根据对数函数的性质得到关于的不等式，解出即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，，故答案为：，．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．10．【分析】根据二次根式的性质以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，故答案为：．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．11．【分析】根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故函数的定义域是，，故答案为：，．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．12．【分析】根据题意，时，函数，为二次函数，结合二次函数的性质可得且1()02x x e -=(2)1x e =0x =2()f x x =-()2x g x =2()()2x f x g x x +=-+f g +22220=-+=B x 210x +>12x >-1(2-)+∞1(2-)+∞100x x +⎧⎨>⎩…0x >()f x (0,)+∞(0,)+∞100x x -⎧⎨>⎩…1x …[1)+∞[1)+∞0a ≠2()f x ax bx c =++0a <0b =，据此写出一组符合题意整数即可．【解答】解：根据题意，时，函数，为二次函数，若是偶函数，则其对称轴，则，又在区间上单调递减，必有，综合可得：且，故满足题意的一组整数，，的值依次是，0，1（答案不唯一）．故答案为：，0，1（答案不唯一）．【点评】本题考查二次函数的性质，涉及函数奇偶性、单调性的性质，属于基础题．13．【分析】①由特殊角的三角函数值和诱导公式、以及的定义，可得所求值；②由题意可得对任意，都成立，分别讨论在各个象限和坐标轴的取值情况，结合的定义，可得所求范围．【解答】解：①；②若对任意，都成立，即为对任意，都成立，当或时，或；当时，；当时，；当时，；当时，，，可得；同理可得当时，可得；当时，可得；当时，可得．综上可得，的取值范围是，．故答案为：；，．【点评】本题考查函数恒成立问题解法，以及新定义0a ≠2()f x ax bx c =++()f x 02b x a=-=0b =(0,)+∞0a <0a <0b =a b c 1-1-[]x [sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-[0x ∈2]πx []x 221[sin ][cos ][]0133224()2332333f πππ--=+=+=+=()f x x a >+[0x ∈2]π[sin ][cos ]()23x x a f x x x <-=+-[0x ∈2]π0x =2x π=()134f x x -=+=42π-2x π=()21322f x x ππ-=+-=-x π=14()133f x x ππ-=+-=-32x π=1333()12222f x x ππ-=+-=-02x π<<sin (0,1)x ∈cos (0,1)x ∈0023222a ππ+-=-…2x ππ<<014233a ππ-+-=-…32x ππ<<1135323262a ππ--+-=-…322x ππ<<10323222a ππ-+-=-…a (-∞32]2π-43(-∞32]2π-[]x的理解和运用，考查分类讨论思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020-2021年北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用(含解析)
2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用一．选择题（共13小题）1．（2020秋•海淀区期末）已知函数5()2x f x x=-，下列区间中含有()f x 的零点的是( )A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)2．（2020秋•西城区校级期末）设0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，则0x 所在的区间为( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．（2020秋•朝阳区期末）已知函数2()cos f x x x =+．若120x x +=，则( ) A ．12()()f x f x < B ．12()()f x f x >C ．12()()0f x f x +=D ．12()()0f x f x -=4．（2020秋•西城区期末）从2015年到2020年，某企业通过持续的技术革新来降低其能源消耗，到了2020年该企业单位生产总值能耗降低了20%．如果这五年平均每年降低的百分率为x ，那么x 满足的方程是( ) A ．50.2x =B ．5(1)0.8x -=C ．50.2x =D ．5(1)0.8x -=5．（2020秋•朝阳区期末）函数3()7f x x x =--的零点所在的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)6．（2020秋•朝阳区期末）在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标．声强级y （单位：)dB 与声强度I （单位：2/)W m 之间的关系为010Iy lg I =，其中基准值122010/I W m -=．若声强级为60dB 时的声强度为60I ，声强级为90dB 时的声强度为90I ，则9060I I 的值为( ) A ．10B ．30C ．100D ．10007．（2020秋•顺义区期末）函数()23f x lnx x =+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)8．（2020秋•大兴区期末）方程430x e x +-=的解所在的区间是( ) A ．1(,0)4-B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．13(,)249．（2020秋•房山区期末）已知函数||,0()12,lnx x e f x x x e e<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩，若存在互不相等的实数a ，b ，c 满足f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(0,)e B ．(1,)eC ．(1,2)eD ．(,2)e e10．（2020秋•海淀区期末）植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，将得到的数据用如图直观表示．现要根据这些数据用一个函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律，下列函数模型中符合要求的是( )A ．(0x y ka b k =+>，0a >，且1)a ≠B ．log (0a y k x b k =+>，0a >，且1)a ≠C ．(0)ky b k x=+> D ．2(0)y ax bx c a =++>11．（2020秋•丰台区期末）已知函数22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，则()f x 的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．312．（2020秋•石景山区期末）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 的零点的区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞13．（2020秋•西城区校级期末）已知函数,0(),0x e x f x lnx x ⎧=⎨>⎩，()()g x f x x a =++．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是( ) A ．[1-，0)B ．[0，)+∞C ．[1-，)+∞D ．[1，)+∞二．填空题（共8小题）14．（2020秋•通州区期末）果蔬批发市场批发某种水果，不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3000元到市场采购这种水果，并以此批发价买进，如果购买的水果为x 千克，小王付款后剩余现金为y 元，则x 与y 之间的函数关系为 ；x 的取值范围是 ．15．（2020秋•西城区期末）若方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根，则实数a 的取值范围是 ． 16．（2020秋•西城区期末）已知函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，那么f （2）= ；当函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，实数a 的取值范围是 ．17．（2020秋•东城区期末）某地原有一座外形近似为长方体且底面面积为150平方米的蓄水池，受地形所限，底面长和宽都不超过18米．现将该蓄水池在原有占地面积和高度不变的条件下，重建为两个相连的小蓄水池，其底面由两个长方形组成（如图所示）．若池壁的重建价格为每平方米300元，池底重建价格每平方米80元，那么要使重建价最低，蓄水池的长和宽分别为 ， ．18．（2020秋•海淀区校级期末）某地下车库在排气扇发生故障的情况下，测得空气中一氧化碳的含量达到了危险状态，经抢修后恢复正常．排气4分钟后测得车库内一氧化碳浓度为64(ppm ppm 为浓度单位，1ppm 表示百万分之一），经检验知，该地下车库一氧化碳浓度()y ppm 与排气时间t （分钟）之间存在函数关系72(mt y m -=为常数）．求得m = ；若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm 为正常，那么至少需要排气 分钟才能使这个地下车库中一氧化碳含量达到正常状态．19．（2020秋•昌平区期末）已知函数12,()2||,x x a f x a x x a -⎧<=⎨-⎩．（Ⅰ）若1a =，则函数()f x 的零点是 ；（Ⅰ）如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =，称实数a 为函数()f x 的包容数． 在给出的①12；②1；③32三个数中，为函数()f x 的包容数是 ．（填出所有正确答案的序号） 20．（2020秋•石景山区期末）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ①10()0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩；②2()f x x =；③2()|1|f x x =-；具有性质P 的函数的个数为 ．21．（2020秋•朝阳区期末）已知函数2()21x x mf x +=+．①当0m =时，()f x 的值域为 ；②若对于任意a ，b ，c R ∈，f （a ），f （b ），f （c ）的值总可作为某一个三角形的三边长，则实数m 的取值范围是 ．三．解答题（共11小题）22．（2020秋•顺义区期末）某公司生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,1400280000,400x x x R x ⎧-⎪=⎨⎪>⎩． （1）将利润()P x （单位：元）表示为月产量x 的函数；（利润=总收入-总成本） （2）若称()()P x g x x=为月平均单件利润（单位：元），当月产量x 为何值时，公司所获月平均单件利润最大？最大月平均单件利润为多少元？23．（2020秋•东城区期末）已知函数211,2()2(1),2x f x x log x x ⎧+<⎪=-⎨⎪-⎩．（Ⅰ）求(f f （3）)的值并直接写出()f x 的零点； （Ⅰ）用定义证明()f x 在区间(,2)-∞上为减函数．24．（2020秋•昌平区期末）已知关于x 的方程222(1)30x m x m -++-=有两个不等实根． （Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅰ）设方程的两个实根为1x ，2x ，且21212()()120x x x x +-+-=，求实数m 的值； （Ⅰ）请写出一个整数m 的值，使得方程有两个正整数的根．（结论不需要证明）25．（2020秋•西城区期末）经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1吨该产品获利润500元，未售出的产品，每1吨亏损300元．经销商为下一个销售季度购进了130吨该农产品．以x （单位：吨，100150)x 表示下一个销售季度内的市场需求量，y （单位：元）表示下一个销售季度内销售该农产品的利润． （Ⅰ）将y 表示为x 的函数；（Ⅰ）求出下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围．26．（2020秋•大兴区期末）已知函数()x f x a =，()a g x x =，其中0a >且1a ≠，(1)2f -=． （Ⅰ）求函数()f x 和()g x 的解析式；（Ⅰ）在同一坐标系中画出函数()f x 和()g x 的图象； （Ⅰ）设()()()h x f x g x =-，写出不等式()0h x >的解集．27．（2020秋•东城区期末）中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提出的物体在常温环境下温度变化的冷却模型：如果物体的初始温度是1θ，环境温度是0θ，则经过时间t （单位：分）后物体温度θ将满足：010()kt e θθθθ-=+-⋅，其中k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml 初始温度为98C ︒的水在19C ︒室温中温度下降到相应温度所需时间如表所示：（Ⅰ）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t （单位：分）关于冷却后水温θ（单位：C)︒的函数关系，并选取一 组数据求出相应的k 值（精确到0.01)．（Ⅰ）“碧螺春”用75C ︒左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（Ⅰ）的条件下，200ml 水煮沸后在19C ︒室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．（A ）5（B ）7（C ）10（参考数据：79 4.369ln =，71 4.263ln =，66 4.190ln =，61 4.111ln =，56 4.025)ln =28．（2020秋•西城区期末）设函数()f x 的定义域为R ．若存在常数(0)m m ≠，对于任意x R ∈，()()f x m mf x +=成立，则称函数()f x 具有性质Γ．记P 为满足性质厂的所有函数的集合． （Ⅰ）判断函数y x =和2y =是否属于集合P ？（结论不要求证明）（Ⅰ）若函数()x g x =，证明：()g x P ∈； （Ⅰ）记二次函数的全体为集合Q ，证明：PQ =∅．29．（2020秋•大兴区期末）在对口扶贫活动中，甲将自己经营某种消费品的一个小店以优惠价2万元转让给身体有残疾的乙经营，并约定从该店经营的利润中，首先保证乙的每月最低生活开支3600元后，逐步偿还转让费（不计息）．在甲提供的资料中，有：①这种消费品进价每件14元；②该店月销量Q （百件）与销售价格p （元)的关系如图；③每月需要各种开支2000元．（Ⅰ）为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在什么范围内？（Ⅰ）当商品价格每件多少元时，月利润扣除最低生活费的余额最大，并求最大余额． （Ⅰ）若乙只依靠该店，能否在3年内脱贫（偿还完转让费）？30．（2021•崇明区二模）某工厂某种航空产品的年固定成本为250万元，每生产x 件，需另投入成本为()C x 当年产量不足80件时，21()103C x x x =+（万元）；当年产量不小于80件时10000.()511450C x x x=+-（万元）每件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的产品能全部售完． （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （件)的函数解析式： （2）年产量为多少时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 31．（2020秋•朝阳区期末）设函数2()()mf x x m R x=+∈，且f （2）12=． （Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅰ）判断()f x 在区间(2,)+∞上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论； （Ⅰ）若关于x 的方程()f x a =恰有三个实数解，写出实数a 的取值范围（不必证明）．32．（2020秋•海淀区期末）函数()f x 的定义域为D ，若存在正实数k ，对任意的x D ∈，总有|()()|f x f x k --，则称函数()f x 具有性质()P k ．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P （1），并说明理由． ①()2021f x =； ②()g x x =；（Ⅰ）已知()f x 为二次函数，若存在正实数k ，使得函数()f x 具有性质()P k ．求证：()f x 是偶函数； （Ⅰ）已知0a >，k 为给定的正实数，若函数2()log (4)x f x a x =+-具有性质()P k ，求a 的取值范围．2021北京高一数学上学期期末汇编：函数的应用参考答案一．选择题（共13小题）1．【分析】利用函数的解析式，求出f （1），f （2）的值，再利用函数零点的判定定理分析即可得到答案． 【解答】解：因为函数5()2x f x x=-，所以15(1)2301f =-=-<， 253(2)2022f =-=>， 所以f （1）f （2）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()f x 在区间(1,2)上有零点． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，解题的关键是求出区间端点的函数值，判断函数值的乘积是否异号．2．【分析】由函数的解析式可得f （2）0<，f （3）0>，再根据函数的零点的判定定理求得函数的零点0x 所在的区间． 【解答】解：0x 是函数()4f x lnx x =+-的零点，f （2）220ln =-<，f （3）310ln =->，∴函数的零点0x 所在的区间为(2,3)，故选：C ．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．3．【分析】根据奇偶性的定义先判断函数()f x 为偶函数，然后利用120x x +=，得到12x x =-，再结合()f x 为偶函数即可得到答案．【解答】解：函数2()cos f x x x =+，所以22()()cos()cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=， 故函数()f x 为偶函数， 又因为120x x +=， 所以12x x =-，则122()()()f x f x f x =-=，所以12()()0f x f x -=． 故选：D ．【点评】本题考查了函数性质的应用，涉及了函数奇偶性的判断，解题的关键是判断出函数为偶函数，属于基础题．4．【分析】根据题意，逐年列出生产总值能耗，即可得到答案． 【解答】解：设2015年该企业单位生产总值能耗为a ， 则2016年该企业单位生产总值能耗为(1)a x -， 2017年该企业单位生产总值能耗为2(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为3(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为4(1)a x -， 该企业单位生产总值能耗为5(1)a x -， 由题设可得5(1)0.8a x a -=， 故5(1)0.8x -=． 故选：D ．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，涉及了根据实际问题选择函数类型的应用，解题的关键是正确理解题意，从中抽出数学模型，属于基础题．5．【分析】判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可． 【解答】解：函数3()7f x x x =--是连续函数， f （2）81710=--=-<， f （3）2727180=--=>， f ∴（2）f （3）0<，由零点判定定理可知函数的零点在(2,3)． 故选：C ．【点评】本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题． 6．【分析】根据题意，得到9009010I lgI =且6006010Ilg I =，然后利用对数的运算性质和运算法则进行求解，即可得到答案．【解答】解：根据题意，声强级y （单位：)dB 与声强度I （单位：2/)W m 之间的关系为010Iy lgI =，则有9009010I lgI =且6006010Ilg I =， 故906090600000309060101010()I I I Ilg lg lg lg I I I I =-=-=-， 则90609009000060603()I I I I Ilg lg lg lg I I I I I =-=⨯=， 所以39060101000I I ==． 故选：D ．【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了对数的运算，解题关键是利用对数的运算法则和运算性质对等式进行变形，属于基础题．7．【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，再通过计算f （1）、f （2）的值，发现f （1）f ⋅（2）0<，即可得到零点所在区间． 【解答】解：()23f x lnx x =+-在(0,)+∞上是增函数，f （1）20=-<，f （2）210ln =+>，f ∴（2）f ⋅（1）0<，根据零点存在性定理，可得函数()23f x lnx x =+-的零点所在区间为(1,2)．故选：A ．【点评】本题给出含有对数的函数，求它的零点所在的区间，着重考查了基本初等函数的单调性和函数零点存在性定理等知识，属于基础题．8．【分析】()43x f x e x =+-，()f x 是增函数，0x 是()f x 的零点，由11()()042f f <，可得结论．【解答】解：设()43x f x e x =+-，显然()f x 是(0,)+∞上的增函数，0x 是连续函数()f x 的零点．因为1411()43044f e =+⨯-<，112211()431022f e e =+⨯-=->，11()()042f f <， 故01(4x ∈，1)2，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．9．【分析】由题意画出图形，不妨设a b c <<，则(2,0)a ∈-，再由f （b ）f =（c ）求得1bc =，则答案可求． 【解答】解：作出函数||,0()12,lnx x ef x x x e e<⎧⎪=⎨-+>⎪⎩的图象如图，不妨设b c a <<，则(,2)a e e ∈，由f （b ）f =（c ），得||||lnb lnc =，即lnb lnc -=， ()0ln bc ∴=，则1bc =． (,2)abc a e e ∴=∈．故选：D ．【点评】本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 10．【分析】对应各个选项的函数结合图象逐个分析即可求解． 【解答】解：由函数图象可知函数单调递增，但是趋于平缓， 选项A ：若(0,1)a ∈，则它在(0,)+∞递减，(1,)a ∈+∞，它在(0,)+∞上递增且递增速率变大，故A 错误，选项B ：若(0,1)a ∈，则它在(0,)+∞递减，(1,)a ∈+∞，它在(0,)+∞上递增且递增速率变小，B 正确，选项C ：当0k >时，kx在(0,)+∞递减，C 错误， 选项D ：当0a >时，它开口向上，不符合已知，D 错误， 故选：B ．【点评】本题考查了函数的图象以及函数的单调性，考查了学生对函数性质的理解，属于中档题． 11．【分析】根据22,0()11,0x x x f x x x ⎧-⎪=⎨->⎪⎩，分0x 和0x >两种情况，求出()f x 的零点．【解答】解：因为22,0()11,0x x x f x x x⎧-⎪=⎨->⎪⎩，所以当0x 时，由220x x -=，可得0x =， 当0x >时，由110x-=，解得1x =， 所以()f x 的零点个数为2．故选：C ．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力，是基础题． 12．【分析】函数()f x 在其定义域上连续，同时可判断f （4）0<，f （2）0>；从而判断． 【解答】解：函数26()()log f x f x x x==-，在其定义域上连续， f （4）3202=-<， f （2）310=->；故函数()f x 的零点在区间(2,4)上， 故选：C ．【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题．13．【分析】由()0g x =得()f x x a =--，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由()0g x =得()f x x a =--， 作出函数()f x 和y x a =--的图象如图：当直线y x a =--的截距1a -，即1a -时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数()g x 存在2个零点， 故实数a 的取值范围是[1-，)+∞， 故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键． 二．填空题（共8小题）14．【分析】根据题意，直接列出函数关系式，根据题意求出x 的最值，即可得到x 的取值范围．【解答】解：由题意可得x 与y 之间的函数关系为3000 2.5y x =-， 由题意可知，最少买100千克，最多买300012002.5=千克， 所以x 的取值范围为[100，1200]． 故答案为：3000 2.5y x =-；[100，1200]．【点评】本题考查了函数在实际生产生活中的应用，解题的关键是正确理解题意，属于基础题． 15．【分析】利用根的分布以及韦达定理列出关于a 的不等式组，求解即可得到答案． 【解答】解：设方程220x x a -+=有两个不相等的正实数根为1x ，2x ， 则10x >，20x >，所以21212(2)4102010a x x x x a ⎧=--⨯⋅>⎪-⎪+=->⎨⎪=>⎪⎩， 解得01a <<，故实数a 的取值范围是(0,1)． 故答案为：(0,1)．【点评】本题考查了根的分布问题，涉及了根与系数关系的应用，属于基础题．16．【分析】利用函数的解析式求解函数值即可得到第一问；画出函数的图象，通过数形结合求解a 的范围即可． 【解答】解：函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩，f （2）0.52log 2log 21==-=-； 函数0.52,0()2,0log x x f x x x x >⎧=⎨+⎩的图象如图：函数()y f x a =-有且仅有三个零点时，(1a ∈-，0]． 故答案为：1-；(1-，0]．【点评】本题考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合以及计算能力，是中档题．17．【分析】设原蓄水池的长、宽、高分辨为a 、b 、h ，重建价格为y ，根据题意有150ab =，且018a <，018b <，写出造价关于b 的关系式，利用基本不等式求最值即可．【解答】解：设原蓄水池的长、宽、高分辨为a 、b 、h ，重建价格为y ， 根据题意有150ab =，且018a <，018b <， 则重建的池壁造价为1(23)300y ah bh =+⨯， 重建的池底造价为2801508012000y ab =⨯=⨯=， 12300(3)30012000y y y b h b=+=+⨯+， 当3003b b=，即10b =时，y 取得最小值，此时1501510a ==，1800012000min y h =+． 故答案为：15，10．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是基础题． 18．【分析】（1）直接把点(4,64)代入72mt y -=，即可求得m 的值； （2）由题意，构造不等式，求解得答案．【解答】解：（1）函数72(mt y m -=为常数）经过点(4,64)， 74642m -∴=，解得14m =； （2）由（1）得1742t y -=，由174122t -， 解得32t ．故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态． 故答案为：（1）14；（2）32． 【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是基础题． 19．【分析】（Ⅰ）把1a =代入函数解析式，分段求解得答案；（Ⅰ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集，分别讨论三种情况，由指数函数的单调性和一次函数的单调性求得值域，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）1a =时，函数12,1()2||,1x x f x x x -⎧<=⎨-⎩，当1x <时，由120x -=，得x ∈∅； 当1x 时，由2||0x -=，解得2x =． ∴若1a =，则函数()f x 的零点是2；（Ⅰ）由题意可得1()f x 的值域为2()f x 的值域的子集， 当12a =时，由12x <，得1()2x f x -=∈，由12x ，得()1(f x x =-∈-∞，1]2，而(0，(2-∞，1]2，不满足题意；当1a =时，由1x <，得1()2(0,1)x f x -=∈， 由1x ，()2(f x x =-∈-∞，1]， 而(0，1)(⊆-∞，1]，满足题意； 当32a =时，由32x <，得1()2x f x -=∈， 由32x，得()3(f x x =-∈-∞，3]2， 而(0(⊆-∞，3]2，满足题意．综上可得函数()f x 的包容数是②③． 故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅰ）②③．【点评】本题考查函数零点的求法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题． 20．【分析】直接利用题中给出的函数()f x 具有性质P 的定义，对选项中的三个函数逐一分析判断，是否存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=，即可得到答案． 【解答】解：函数10()0x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，因为函数()f x 为奇函数，可找到关于原点对称的点，比如11x =，21x =-，则有1(1)11(1)(1)()0222f f f +--+-===， 故选项①具有性质P ； 函数2()f x x =，假设存在两个不等实数1x ，2x R ∈，使得1212()()()22x x f x f x f ++=， 即2221212()22x x x x ++=，解得12x x =，与假设矛盾， 故不存在，故选项②不具有性质P ；函数2()|1|f x x =-，故函数()f x 为偶函数，且(0)1f =， 令2()|1|1f x x =-=，解得x =则存在12x x ==(0)1f f ===， 故选项③具有性质P ．所以具有性质P 的函数的个数为2个． 故答案为：2．【点评】本题考查了函数与方程的应用，涉及了新定义的理解，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题． 21．【分析】①1()121xf x =-+，变形可得21xy y =-，由指数函数的性质可得01y y >-，求出y 的取值范围，即可得答案； ②1()121x m f x -=++，由三角形三边关系可得f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，分三种情况讨论，利用函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k 转化为f （a ）f +（b ）的最小值与f （c ）的最大值的不等式，进而求出实数m 的取值范围．【解答】解：①当0m =时，21()12121x x xf x ==-++， 变形可得21x y y =-，则01yy>-，解得01y <<，即函数的值域为(0,1)，②根据题意，21()12121x x xm m f x +-==+++， 若f （a ），f （b ），f （c ）的值总可作为某一个三角形的三边长， 则f （a ）f +（b ）f >（c ）对于a ∀，b ，c R ∈都恒成立，当10m -=，()1f x =，此时，f （a ）f =（b ）f =（c ）1=，构成一个等边三角形的三边长，满足条件． 当10m ->，()f x 在R 上是减函数，则有1f <（a ）11m m <+-=，同理1f <（b ）m <，1f <（c ）m <， 由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得2m ，解得12m <． 当10m -<，()f x 在R 上是增函数，m f <（a ）1<， 同理m f <（b ）1<，m f <（c ）1<， 由f （a ）f +（b ）f >（c ），可得21m ， 解得12m，则112m <， 综上，m 的取值范围为1[2，2]．【点评】本题考查函数与方程的综合应用，涉及函数单调性的判断以及值域的计算，属于难题．三．解答题（共11小题）22．【分析】（1）利用利润公式直接解出；（2）将()g x 表示出来，利用基本不等式，即可求解．【解答】解：（1）当1400x 时，2211()400200001003002000022P x x x x x x =---=-+-；当400x >时，()800001002000060000100P x x x =--=-； 2130020000,1400()260000100,400x x x P x x x ⎧-+-⎪∴=⎨⎪->⎩； （2）由（1）知，120000300,14002()60000100,400x x xg x x x⎧--+⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，当1400x时，120000()300()30021002g x x x =-+-=，当且仅当200002x x=，即200x =时取等号； 当400x >时，60000()10050g x x=-<，此时无最值； 故x 取200时，公司所获月平均单件利润最大，最大为100元． 【点评】本题考查了函数的应用，基本不等式的应用，属于基础题． 23．【分析】（Ⅰ）利用分段函数的表达式，代入求解即可． （Ⅰ）利用函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f （3）2log 21==，则(f f （3）)f =（1）11012=+=-，()f x 的零点为1和2． （Ⅰ）1x ∀，2(,2)x ∈-∞，且12x x <，则21121212121111()()1(1)2222(2)(2)x x f x f x x x x x x x --=+-+=-=------， 由122x x <<，得210x x ->，120x -<，220x -<， 所以12()()0f x f x ->， 即12()()f x f x >，所以()y f x =在区间(,2)-∞上为减函数．【点评】本题主要考查分段函数的应用，结合函数单调性的定义是解决本题的关键，是基础题． 24．【分析】（Ⅰ）根据根与系数的关系得到关于m 的不等式，求出m 的范围即可； （Ⅰ）求出122(1)x x m +=+，得到关于m 的方程，解出即可； （Ⅰ）写出满足条件的m 的值即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得：△224(1)4(3)0m m =+-->， 解得2m >-，故m 的取值范围是(2,)-+∞； （Ⅰ）由题意：122(1)x x m +=+， 故21212()()120x x x x +-+-=， 即24(1)2(1)120m m +-+-=， 解得1m =或52m =-，由（Ⅰ）得：2m >-，故1m =；（Ⅰ）满足要求的6m =，此时13x =，211x =．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查根与系数的关系以及转化思想，是基础题． 25．【分析】（Ⅰ）直接由题意分段写出[100x ∈，130]和(130x ∈，150]时的利润函数即可；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当(130,150)x ∈时，利润y 为65000元，不少于57000元，当[100x ∈，130]时，求解不等式8003900057000x -，即可得到x 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，当[100x ∈，130]时， 500300(130)80039000y x x x =--=-，当(130x ∈，150]时，50013065000y =⨯=． 80039000,[100,130]65000,(130,150)x x y x -∈⎧∴=⎨∈⎩；（Ⅰ）由（Ⅰ）知，当(130,150)x ∈时，利润y 为65000元，不少于57000元， 当[100x ∈，130]时，由8003900057000x -，解得120x ．故下一个销售季度利润y 不少于57000元时，市场需求量x 的范围为[120，150]．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查一次不等式的解法，正确理解题意是关键，是基础题． 26．【分析】（Ⅰ）对于()f x ，由(1)2f -=可得a 的值，即可得()f x 、()g x 的解析式，即可得答案， （Ⅰ）由（Ⅰ）的结论，作出函数的图象，（Ⅰ）求出()h x 的解析式，分析()h x 的单调性以及1()02h =，据此可得()0h x >的解集，即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，()x f x a =，1(1)2f a --==， 则有12a =，则1()()2x f x =，12()g x x ==（Ⅰ）由（Ⅰ）的结论：1()()x f x=，()g x =其图象如图：（Ⅰ）1()()()()2x h x f x g x =-=0x ，即()h x 的定义域为[0，)+∞，1()()2x f x =在[0，)+∞上为减函数，12()g x x =[0，)+∞为增函数，则()h x 在[0，)+∞上为减函数，且1122111()()()0222h =-=，若()0h x >，必有102x <，即不等式的解集为[0，1)2．【点评】本题考查函数的图象以及函数单调性的性质以及应用，涉及函数解析式的计算，属于基础题． 27．【分析】（Ⅰ）把已知等式变形，化为1001t ln k θθθθ-=-，分别把三组数据代入，即可求得k 值；（Ⅰ）由（Ⅰ）得792019t lnθ=-，取75θ=求得t 值即可． 【解答】解：（Ⅰ）由010()kt e θθθθ-=+-⋅，得010kt e θθθθ--=-，即010kt lnθθθθ--=-，1001t ln k θθθθ-=-． 在环境温度为019C θ=︒，选取从198C θ=︒下降到90C θ=︒所用时间约为2分钟这组数据， 有179271ln k =，即79710.052ln ln k -=≈；选取从198C θ=︒下降到85C θ=︒所用时间约为3.4分钟这组数据， 有1793.466ln k =，即79660.053.4ln ln k -=≈；选取从198C θ=︒下降到80C θ=︒所用时间约为5分钟这组数据， 有179561ln k =，即79610.055ln ln k -=≈．故0.05k ≈；（Ⅰ）200ml 水煮沸后在19C ︒室温下大约冷却7分钟左右冲泡口感最佳，故选择B ． 理由如下： 由（Ⅰ）得792019t lnθ=-， 当75C θ=︒时，有20(7956) 6.88t ln ln =⨯-≈．所以200ml 水煮沸后在19C ︒室温下大约冷却7分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 故选：B ．【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是中档题．28．【分析】（Ⅰ）根据性质Γ的定义判断y x =与2y =是否具有性质Γ，由此判断出函数y x =和2y =是否属于集合P ；（Ⅰ）先根据定义证明函数()x g x =具有性质Γ，然后即可证明()g x P ∈； （Ⅰ）将问转化为证明二次函数不具备性质Γ，利用反证法进行证明即可； 【解答】（Ⅰ）解：函数y x =不属于集合P ，2y =属于集合P ；（Ⅰ）证明：因为()x g x =，不妨令()()g x m mg x +=，所以x m x m +=，所以m m =，关于m 的方程有解，2m =，所以函数()x g x =具有性质Γ， 则()g x P ∈；（Ⅰ）证明：根据题意可知，PQ =∅等价于二次函数不具备性质Γ，假设存在二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠具备性质Γ，所以存在常数(0)m m ≠对于任意x R ∈都有()()f x m mf x +=成立， 即22()()a x m b x m c amx bmx cm ++++=++成立，即222(2)ax am b x am bm c amx bmx cm +++++=++成立， 所以22a am am b bm am bm c cm =⎧⎪+=⎨⎪++=⎩，解得0a =，0b =，1m =，这与假设中的0a ≠矛盾， 所以假设不成立， 故二次函数不具备性质Γ， 所以PQ =∅．【点评】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．29．【分析】（Ⅰ）利用该店经营的利润只能保证企业乙的全体职工每个月最低的生活费的开支以及每月所需的各种开支，据此列出方程，即可确定商品的价格；（Ⅰ）设月利润和除职工最低生活费的余额为L ，列出L 与售价P 的函数关系式，根据函数的性质求出L 取最大值时自变量P 的值，即可确定商品的价格；（Ⅰ）企业乙脱贫即还清5.8万元的转让价格和5万元的无息贷款，要求最早脱贫时间，由（2）中P 的值，根据题意设可在n 年后脱贫，则此n 年经营的利润5000058000+，求出n 的最小值即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据图象，当1420P 时，设Q kP b =+， 将点(14,22)和(20,10)代入， 则有14222010k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得250k b =-⎧⎨=⎩，则250Q P =-+；当2026P 时，设Q mP n =+， 将点(20,10)和(26,1)代入，则有2010261m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得 1.540m n =-⎧⎨=⎩，所以 1.540Q P =-+；则250,14201.540,2026P P Q P P -+⎧=⎨-+<⎩，若商品的价格应定为P 元时，该店刚好能够维持职工生活， 则有100(14)36002000P Q -=+，分两种情况：第一种：当1420P 时，即100(14)(250)36002000P P --+=+，解得118P =，221P=（舍)； 第二种：当2026P 时，即100(14)( 1.540)36002000P P --+=+，解得122P =，2563P =（舍)， 故为使该店至少能够维持乙的生活，商品价格应控制在[18，22]元范围内；（Ⅰ）设月利润和除职工最低生活费的余额为L ，则100(14)2000L P Q =--，分两种情况：第一种：当1420P 时，即2100(14)(250)3600200780072000P P P P --+-=-+-， 则当780019.52(200)P -==⨯-时，L 有最大值， 此时4(200)(7200)78007800360040504(200)L ⨯-⨯--⨯=-=⨯-； 第二种：当2026P 时，即2100(14)( 1.540)2000150610058000P P P P --+-=-+-， 则当6100612(150)3P -==⨯-时，L 有最大值， 此时4(150)(58000)610061002200020164(150)3L ⨯-⨯--⨯=-=⨯-， 因为2405020163>， 所以当19.5P =元时，月利润扣除最低生活费的余额最大为4050元；（Ⅰ）可设在n 年后脱贫，由题意可得12(40503600)5000058000n -+，解得20n ，故乙只依靠该店，不能在3年内脱贫．【点评】本题考查了函数在实际生活中的应用，重点考查了一次函数图象和实际应用相结合的问题，要求学生能够从图象上准确地获取信息，解题的关键是正确理解题意，构建数学模型，属于中档题．30．【分析】（1）分两种情况进行研究，当080x <<时，投入成本为21()103C x x x =+（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，当80x 时，投入成本为10000.()511450C x x x=+-（万元），根据年利润=销售收入-成本，列出函数关系式，最后写成分段函数的形式，从而得到答案；（2）根据年利润的解析式，分段研究函数的最值，当080x <<时，利用二次函数求最值，当80x 时，利用基本不等式求最值，最后比较两个最值，即可得到答案．【解答】解：（1）①当080x <<时，根据年利润=销售收入-成本，2211()50102504025033L x x x x x x ∴=---=-+-； ②当80x 时，根据年利润=销售收入-成本，。
2023北京重点校高一(上)期末数学汇编：对数函数
2023北京重点校高一（上）期末数学汇编对数函数一、单选题1．（2023秋·北京东城·高一统考期末）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是（）A ．y =B ．ln y x=C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．3y x =2．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）下列函数在其定义域内是增函数的是（）A ．2xy =B ．2log y x=-C ．1y x=-D ．23y x =3．（2023秋·北京西城·高一统考期末）若a b >，则下列不等式一定成立的是（）A ．11a b<B ．22a b >C ．e e a b--<D ．ln ln a b>4．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）若函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)，则函数g (x )＝log a 11x +的图象是（）A ．B ．C ．D ．5．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a6．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知0.10.644,2,log 0.6a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c<a<bB ．c b a <<C ．a b c<<D ．b a c<<7．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）已知()14log f x x =，则不等式()()413f x x ≥--的解集为（）A ．[)1,1,4∞∞⎛⎤-⋃+ ⎥⎝⎦B ．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．110,,42∞⎛⎤⎡⎫⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D ．[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦8．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）定义在R 上的偶函数()y f x =满足(1)()f x f x -=-，且在[0,1]上单调递增，2023,(2022)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a>>D ．c b a>>9．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知0.20.233,log 3,log 2a b c ===，则（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a>>10．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）下列函数中，既是奇函数又在()0,∞+上是增函数的是（）A ．()f x x x =B ．()1f x x x=+C ．()ln f x x=D ．()2xf x =11．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知12211log ,2,22a b c ⎛=== ⎪⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c<a<bD ．b<c<a12．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）下列函数中，在区间()0,∞+上是减函数的是（）A ．3log y x =B ．y =C ．3xy =D ．2y x =-13．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知函数()()3log 2f x x =-，那么()f x 的定义域是（）A ．{0}x x >∣B ．{2}xx <∣C ．{}2xx ≠∣D ．{2}xx >∣14．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知12212log 3,log 3,3a b c -===，则,,a b c 的大小关系正确的是（）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b>>D ．c b a>>15．（2023秋·北京丰台·高一统考期末）已知0.6log 0.5a =，0.60.5b =，0.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c>>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>16．（2023秋·北京怀柔·高一统考期末）设0.32=a ，30.2b =，0.2log 5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．c b a<<17．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）已知0.50.2lg12,log 5,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c >>B ．c b a>>C ．a c b>>D ．b a c>>二、填空题18．（2023秋·北京东城·高一统考期末）函数()()ln 12f x x =-的定义域是__________.19．（2023秋·北京西城·高一统考期末）写出一个同时满足下列两个条件的函数()f x =_____________．①对12,(0,)x x ∀∈+∞，有()()()1212f x x f x f x =+；②当(4,)x ∈+∞时，()1f x >恒成立．20．（2023秋·北京西城·高一统考期末）函数2()log (1)f x x =-+的定义域是_____________．21．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是___________.22．（2023秋·北京海淀·高一统考期末）函数()()ln 1f x x =-的定义域是_____.23．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知下列五个函数：21,,ln ,,e x y x y y x y x y x=====，从中选出两个函数分别记为()f x 和()g x ，若()()()F x f x g x =+的图象如图所示，则()F x =______________．24．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）已知函数()()2log 1f x x =+，若()f x x >，则x 的范围是___________．25．（2023秋·北京平谷·高一统考期末）函数()f x =___________．26．（2023秋·北京·高一清华附中校考期末）函数()1lg(1)2f x x x =-+-的定义域为___________.三、解答题27．（2023秋·北京西城·高一北京八中校考期末）已知函数()21log 1x f x x -=+．(1)若()1f a =，求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围．28．（2023秋·北京朝阳·高一统考期末）已知函数()12()log 21,xf x mx m =+-∈R ．(1)当0m =时，解不等式()1f x >-；(2)若函数()f x 是偶函数，求m 的值；(3)当1m =-时，若函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，求实数b 的取值范围．29．（2023秋·北京顺义·高一统考期末）已知函数()2ln ,1e,22, 1.x x f x x x x <≤⎧=⎨-++≤⎩其中，e 2.71828= .(1)求()e f 与()1f -的值；(2)求()f x 的最大值.四、双空题30．（2023秋·北京昌平·高一统考期末）已知函数()211,,221log ,2x x f x x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪≥⎪⎩，则()2f -=__________；()f x 的最小值为__________.参考答案1．C【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项y =(0,)+∞单调递增，故A 错误，对D 选项3y x =在(0,)+∞单调性递增，故D 错误，根据指数函数图像与性质可知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，故C 正确，根据对数函数图像与性质可知ln y x =在(0,)+∞单调性递增.故选：C.2．A【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性依次判断即可.【详解】选项A ：2x y =在定义域(,)-∞+∞上是增函数，正确；选项B ：2log y x =在定义域(0,)+∞上是增函数，所以2log y x =-在定义域(0,)+∞上是减函数，错误；选项C ：1y x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，1y x=-在(,0)-∞和(0,)+∞上是增函数，当120x x <<时，1211x x ->-，C 错误；选项D ：23y x =的定义域为(,)-∞+∞，因为203>，由幂函数的性质可得23y x =在(0,)+∞上单调递增，又因为23y x =是偶函数，由对称性可得23y x =在(,0)-∞单调递减，D 错误；故选：A 3．C【分析】利用特殊值判断AB ，由不等式的性质及指数函数的单调性判断C ，由特殊值及对数的意义判断D.【详解】当1,1a b ==-时，11a b>，故A 错误；当1,1a b ==-时，22a b =，故B 错误；由a b a b >⇒-<-，因为e x y =为增函数，所以e e a b --<，故C 正确；当1,1a b ==-时，ln b 无意义，故ln ln a b >不成立，故D 错误.故选：C 4．D【分析】根据函数1()x f x a -=的图象经过点(4，2)可求出a 的值，把a 的值代入函数()g x 的解析式，从而根据函数()g x 的定义域及单调性排除选项.【详解】由题意可知f (4)＝2，即a 3＝2，所以a.所以)1()11g x x x ==-++，因为函数()g x 的定义域为()1,-+∞，且函数()g x 在定义域内单调递减，所以排除选项A ，B ，C.故选：D.5．B【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．6．A【分析】化简a ，通过讨论函数()2xf x =和()4log g x x =的单调性和取值范围即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】解：由题意，0.10.242a ==，在()2xf x =中，函数单调递增，且()0f x >，∴0.20.6022b a <<==，在()4log g x x =中，函数单调递增，且当01x <<时，()0g x <，∴4log 0.60c =<，∴c<a<b ，故选：A.7．D【分析】化简不等式()()413f x x ≥--，结合解方程组以及函数的图象确定正确答案.【详解】()f x 的定义域是()0,∞+，AB 选项错误.()()()144444log log 1,log 133f x x x x x x ==-≥--≤-①，由()4log 413y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩解得11141x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩或2210x y =⎧⎨=⎩，画出()44log ,13y x y x ==-的图象如下图所示，由图可知，不等式①的解集为[)10,1,4∞⎛⎤⋃+ ⎥⎝⎦.故选：D8．A【分析】由(1)()f x f x -=-得(2)()f x f x -=，则()f x 的周期为2，结合函数的奇偶性，即可化简a ，b ，c ，最后根据单调性比较大小.【详解】由(1)()f x f x -=-得(2)(1)()f x f x f x -=--=，∴()f x 的周期为2，又()f x 为偶函数，则202311110122222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，(2022)(0)c f f ==，∵102<<=，()f x 在[0,1]上单调递增，∴c b a <<.故选：A 9．B【分析】根据指数函数、对数函数的单调性判断各数的范围，可比较大小.【详解】根据指数函数、对数函数性质可得，0.20331a =>=，0.20.2log 3log 10b =<=，3log 2c =，由3330log 1log 2log 31=<<=，则01c <<，所以a c b >>，故选∶B ．10．A【分析】分别判断每个函数的奇偶性和单调性是否符合题意.【详解】对A ，函数()f x x x =，定义域为R ，()()f x x x x x f x -=--=-=-，函数为奇函数，当()0,x ∞∈+时，()2f x x =，在()0,∞+上单调递增，A 选项正确；对B ，函数()1f x x x =+，1111424422f f ⎛⎫⎛⎫=+>=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不满足在()0,∞+上是增函数，B 选项错误；对C ，函数()ln f x x =，定义域为()0,∞+，不是奇函数，C 选项错误；对D ，函数()2xf x =，定义域为R ，值域为()0,∞+，函数图象在x 轴上方，不关于原点对称，不是奇函数，D 选项错误.故选：A 11．B【分析】由对数运算直接求出10a =-<，由2x y =为增函数可得0c b <<，即可判断.【详解】21log 102a ==-<，由2x y =为增函数可知12022<<，即0a c b <<<.故选：B 12．D【分析】由解析式直接得到函数的单调性，选出正确答案.【详解】3log y x =在()0,∞+上单调递增，A 错误；y =在()0,∞+上单调递增，B 错误；3x y =在()0,∞+上单调递增，C 错误；2y x =-在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，D 正确.故选：D 13．D【分析】根据真数大于0求解可得.【详解】由20x ->解得2x >,所以函数()f x 的定义域为{}2x x .故选：D 14．B【分析】根据指对数的性质判断,,a b c 的大小关系.【详解】由121122022lo 31g 3log 10l 3log 23og -<==<<=<，所以a c b >>.故选：B 15．A【分析】利用指数函数、对数函数单调性并借助特殊值1为“桥梁”，即可判断作答.【详解】因函数0.6log y x =在(0,)+∞上单调递减，而0.50.6<，于是得0.60.6log 0.5log 0.61>=，函数0.5x y =在R 上单调递减，而00.61<<，于是得又10.600.50.50.51<<=，即1a b c >>>，所以a b c >>.故选：A 16．D【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数性质，再结合“媒介”数比较大小作答.【详解】0.30221a =>=，3000.20.21<<=，即01b <<，0.20.2log 5log 10c =<=，因此01c b a <<<<，即D 正确.故选：D 17．C【分析】根据题意得到1a >，0b <，01c <<，即可得到答案.【详解】1lg12lg 01a =>=，即1a >.0.20.2log 5log 10b =<=，即0b <.00.544-<<0，即01c <<.所以a c b >>.故选：C18．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.【详解】由120x ->得：12x <，()f x \的定义域为1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.19．2l og x (答案不唯一)【分析】由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，再根据对数函数的性质时行判断即可得答案.【详解】解：因为由()f x 满足的两个条件可以联想到对数函数，当2()log f x x =时，对12,(0,)x x ∀∈+∞，()12212212212log ()log log ()()f x x x x x x f x f x ==+=+,满足条件①；当(4,)x ∈+∞时，2()log 421f x >=>，满足条件②.故答案为：2l og x (答案不唯一)20．[0,1)【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.【详解】由题意可知：10010x x x ->⎧⇒≤<⎨≥⎩，所以该函数的定义域为[0,1)，故答案为：[0,1)21．()1,+∞【分析】根据对数函数定义求对数函数的定义域.【详解】解：要使函数()()0.5log 1f x x =-有意义就要10x ->，即1x >，所以函数()()0.5log 1f x x =-的定义域是()1,+∞.故答案为：()1,+∞22．{}|1x x <【分析】直接令真数大于0可得定义域.【详解】函数()()ln 1f x x =-，由10x ->，得1x <，所以定义域为{}|1x x <.故答案为：{}|1x x <.【点睛】本题主要考查了对数型函数的定义域，属于基础题.23．1e x x+【分析】观察图象确定函数()F x 的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()F x 的解析式.【详解】由已知()()()F x f x g x =+，()()21,,,,ln ,e x f x g x y x y y x y x y x ⎧⎫∈=====⎨⎬⎩⎭，观察图象可得()F x 的定义域为()(),00,∞-+∞U ，所以()f x 或()g x 中必有一个函数为1y x=，且另一个函数不可能为ln y x =，又()F x 的图象不关于原点对称，所以1()F x x x ≠+，所以21()F x x x =+或1()e x F x x=+，若21()F x x x =+，则1(1)101F -=+=-与函数()F x 图象矛盾，所以1()e x F x x =+，故答案为：1e x x+.24．()0,1【分析】作出两个函数的图像，利用数形结合解不等式.【详解】作出函数()2log 1y x =+和函数y x =的图像，如图所示，两个函数的图像相交于点()0,0和()1,1，当且仅当()0,1x ∈时，()2log 1y x =+的图像在y x =的图像的上方，即不等式()>f x x 的解集为()0,1.故答案为：()0,125．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次根式以及对数函数的性质，求出函数有意义所需的条件.【详解】函数()f x =01ln 0x x >⎧⎨+≥⎩，解得1e x ≥，即函数定义域为1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭26．()()1,22,⋃+∞【分析】根据函数的解析式，列出函数有意义时满足的不等式，求得答案.【详解】函数()()1lg 12f x x x =-+-需满足1020x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x >且2x ≠，故函数()()1lg 12f x x x =-+-的定义域为()()1,22,⋃+∞，故答案为：()()1,22,⋃+∞27．(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入x a =，得到21log 11a a -=+，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解.【详解】（1）()1f a = ，21log 11a a -∴=+，即121a a -=+，解得3a =-，所以a 的值为3-（2）()f x 为奇函数，证明如下：由10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称，又()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭，所以()f x 为奇函数；（3）因为()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，又外部函数2log y u =为增函数，内部函数211y x =-+在[)3,+∞上为增函数，由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，所以()()22min 3113log log 1312f x f -====-+，又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-，所以实数m 的范围是(],1-∞-28．(1)(),0∞-(2)12-(3)(),0∞-【分析】（1）()1f x >-即()11222log 21log x +>，结合对数、指数函数单调性求解即可；（2）()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，结合对数运算法则化简求值即可（3）由对数运算得121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-，即可由数形结合判断b 的取值范围.【详解】（1）当0m =时，()1f x >-即()11222log 211log x +>-=，即212x +<，解得(),0x ∈-∞；（2）函数()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，即()()1122log 21log 21x x mx mx -+-=++，即1221log 221x x mx -+=+，即12log 22x x mx =-=，∵x ∈R ，故12m =-；（3）当1m =-时，()()1111122222211()log 21log 21log log lo 2g 221x x x x x x f x x -⎪++⎛⎫=++=++== ⎝⎭，x ∈R .∵112x y =+为减函数，故121()log 21x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭+在R 上单调递增，且值域为(),0∞-∵函数()y f x =的图象与直线y b =有公共点，故实数b 的取值范围为(),0∞-.29．(1)(e)f 1=,(1)1f -=-.(2)3【分析】（1）根据分段函数的解析式可求出结果；（2）利用函数的单调性分段求出最大值，再比较可得结果.【详解】（1）(e)f ln e=1=,2(1)(1)2(1)21f -=--+⋅-+=-.（2）当1e x <≤时，()ln f x x =为增函数，max ()(e)1f x f ==，当1x ≤时，()()222213f x x x x =-++=--+为增函数，()()max 13f x f ==，因为31>，所以()f x 的最大值为3.30．4-1【分析】根据单调性分别讨论分段函数每段的最小值，再综合判断.【详解】()21242f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，()11,22x x f x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭在区间内单调递减，故()f x 在12x <上无最小值，且1212⎛⎫ ⎪⎝⎭()21,log 2x f x x ≥=在区间内单调递增，故()2min 11log 122f x f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭故答案为：-1。
2020-2022北京重点校高一(上)期末数学汇编及解析：三角函数的性质与图像
2020-2022北京重点校高一（上）期末数学汇编三角函数的性质与图像一、单选题1．（2022·北京市第五中学高一期末）甲：“x 是第一象限的角”，乙：“sin x 是增函数”，则甲是乙的（ ） A ．充分但不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数1()sin()f x x ωφ=+（0,2ωφπ><）的部分图象如图所示，则,ωφ的值分别为A ．2,3πB ．2, 3π-C ．1, 6πD ．1, 6π-3．（2022·北京·清华附中高一期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(,)2ππ上为减函数的是A ．2|sin |y x =B ．cos y x =C ．sin 2y x =D ．|cos |y x =4．（2021·北京·清华附中高一期末）函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于直线x t =对称，则t 的值可以为（ ） A ．12πB ．3π C ．512π D ．2π 5．（2021·北京二中高一期末）已知函数()sin 0,02y x πωϕωϕ⎛⎫=+><≤ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则点(),P ωϕ的坐标为（ ）A ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,23π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．（2021·北京·101中学高一期末）函数sin 2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5,36x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦的值域为（ ）A ．312⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．132⎡-⎢⎣⎭7．（2021·北京二中高一期末）已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是 A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦8．（2020·北京·清华附中高一期末）下列函数在定义域内单调递增的是（ ） A ．2yxB ．tan y x =C ．0.5x y =D ．lg y x =二、填空题9．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数()sin()cos 22f x x xπ=+，给出下列四个命题：∈函数()f x 是周期函数；∈函数()f x 的图象关于点(,0)π成中心对称； ∈函数()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称； ∈函数()f x 在区间3(,)2ππ上单调递增. 其中，所有正确命题的序号是___________.10．（2021·北京·清华附中高一期末）函数()2sin 2?3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数m 的最大值为____________.11．（2021·北京·清华附中高一期末）已知函数()sin 1f x a x bx =++，若()12f -=，则()1f =_____________.12．（2021·北京二中高一期末）若函数()()cos 0f x x ωω=>在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-，则ω的取值范围是___________.13．（2021·北京·清华附中高一期末）函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期为_____________.14．（2020·北京·清华附中高一期末）关于函数()sin f x x =与()cos g x x =有下面三个结论： ∈函数()f x 的图像可由函数()g x 的图像平移得到 ∈函数()f x 与函数()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上均单调递减∈若直线x t =与这两个函数的图像分别交于不同的A ，B 两点，则1AB ≤ 其中全部正确结论的序号为____15．（2020·北京·清华附中高一期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ(0A >，0ω>，π<ϕ)的部分图象如图，则函数()f x 的单调递增区间为______.三、双空题16．（2021·北京二中高一期末）函数tan 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是___________，定义域是___________.四、解答题17．（2022·北京市第五中学高一期末）已知函数()2sin()(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的最小正周期为π，再从下列两个条件中选择一个作为已知条件：条件∈：()f x 的图象关于点(,0)3π对称；条件∈：()f x 的图象关于直线12x π对称．(1)请写出你选择的条件，并求()f x 的解析式； (2)在（1）的条件下，当[,]36x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值，并指出相应的x 取值． 注；如果选择条件∈和条件∈分别解答，按第一个解答计分．18．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数()f x 的定义域为D ，若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈都存在2x D ∈满足()122x f x a +=，则称函数()f x 为“自均值函数”，其中a 称为()f x 的“自均值数”. (1)判断函数()2x f x =是否为“自均值函数”，并说明理由：(2)若函数()sin()(0)6g x x πωω=+>，[0,1]x ∈为“自均值函数”，求ω的取值范围；(3)若函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，求实数t 的值.19．（2020·北京·首都师范大学附属中学高一期末）已知函数f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）3-a ∈R ），且f （3π）3=- （1）求a 的值；（2）求f （x ）的单调递增区间； （3）求f （x ）在区间[0，2]上的最小值及对应的x 的值.参考答案1．D【分析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解． 【详解】由x 是第一象限的角，不能得到sin x 是增函数； 反之，由sin x 是增函数，x 也不一定是第一象限角． 故甲是乙的既不充分又不必要条件． 故选D ．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，考查正弦函数的单调性，是基础题． 2．B【详解】由条件知道：27,36x x ππ== 均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到27sin()0,sin()036w w πφπφ+=+=，由图像知道周期是π ，故2w =，故47sin()0,sin()033πφπφ+=+=，再根据三角函数的对称中心得到4+=k 3πφπ ，故.3πφ=- 如果7433k πφπφπ+=⇒=- ，根据2πφ<，得到.3πφ=- 故答案为B ．点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法． 3．A【详解】2sin y x =最小正周期π，且在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，适合；cos y x =最小正周期为2π，不适合；sin2y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不适合；cos y x =最小正周期为π，在区间,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，不适合. 故选A 4．B【分析】令2,62x k k Z πππ-=+∈，可求得对称轴方程，对k 赋值，即可得答案. 【详解】令2,62x k k Z πππ-=+∈，解得,23k x k Z ππ=+∈， 所以对称轴,23k t k Z ππ=+∈， 令0k =，得3t π=，无论k 取任何整数，t 无法取12π、512π、2π，故选：B 5．A【分析】利用给定图象列出周期和初相关系式即可作答.【详解】观察图象得：1252632ππππω=-=⋅，则2ω=， 而3x π=时，0y =，于是有2,3k k Z πϕπ⋅+=∈，又02πϕ<≤，则1,3k πϕ==，所以点P 的坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 6．B【解析】由诱导公式化简函数后，结合余弦函数性质求解．【详解】由已知sin cos 2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，又5,36x ππ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，∈31y ≤≤．故选：B 7．C【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意.当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a , 所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）, 由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0.当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2， 故选C .【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，2y x ，是二次函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意；对于B ，tan y x =，是正切函数，在其定义域上不是单调函数，不符合题意； 对于C ，0.5x y =，是指数函数，在定义域内单调递减，不符合题意； 对于D ，lg y x =，是对数函数，在定义域内单调递增，符合题意； 故选：D ． 9．∈∈∈【分析】利用诱导公式化简函数()f x ，借助周期函数的定义判断∈；利用函数图象对称的意义判断∈∈；取特值判断∈作答.【详解】依题意，()cos cos 2f x x x =，因4(4)cos(4)cos cos cos ()22x xf x x x f x πππ++=+==，()f x 是周期函数，4π是它的一个周期，∈正确；因()cos()coscos sin 22πx x f πx πx x +=+=+，()cos()cos 2f πx πx πx =---cos sin 2xx =-， 即()()f x f x ππ+=--，因此()f x 的图象关于点(,0)π成对称中心，∈正确； 因(2)cos(2)coscos cos 222πx f πx πx x x -+=-+=--+，(2)cos(2)cos cos cos 222πxf πx πx x x --=--=---， 即(2)(2)f πx f πx -+=--，因此()f x 的图象关于直线2x π=-成轴对称，∈正确； 因()cos cos 02f πππ==，4421()cos cos 3334f πππ==，333()cos cos 0224f πππ==，显然有4332πππ<<，而34()()()23f f f πππ=<，因此函数()f x 在区间3(,)2ππ上不单调递增，∈不正确，所以，所有正确命题的序号是∈∈∈. 故答案为：∈∈∈【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，x D ∀∈，(1)存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.(2)存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称. 10．12π【分析】令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，可求得()f x 的单调增区间，根据()f x 在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，分析计算，即可得答案. 【详解】令222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 令0k =，可得()f x 的一个增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦因为()f x 在,3m π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且5,31212πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以12m π≤，即m 的最大值为12π.故答案为：12π11．0【分析】利用正弦函数的奇偶性可以得到()()112f f +-=，进而得到结果.. 【详解】因为()1sin11f a b =++，()1sin11f a b -=--+，所以()()112f f +-=， 因为()12f -=则()1f =0, 故答案为：0. 12．{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】由()2,3x ππ∈可得出23x πωωπω<<，分析可知()()2,3,k k πωπωπππ⊆+，其中Z k ∈，可得出关于实数ω的不等式组，由此可解得实数ω的取值范围. 【详解】当()2,3x ππ∈且0ω>时，23x πωωπω<<，因为函数()f x 在区间()2,3ππ内既没有最大值1，也没有最小值1-， 则()()2,3,k k πωπωπππ⊆+，其中Z k ∈，所以，23k k πωππωππ≥⎧⎨≤+⎩，解得()123k k k Z ω+≤≤∈，由123k k +≤，可得2k ≤， 因为0ω>且Z k ∈，当0k =时，103ω<≤；当1k =时，1223ω≤≤；当2k =时，1ω=. 综上所述，实数ω的取值范围是{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.故答案为：{}1120,,1323⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.13．π【解析】由题意得2ω=，再代入复合三角函数的周期公式2||T πω=求解． 【详解】解：根据复合三角函数的周期公式2||T πω=得， 2|2|T ππ∴== 函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是π，故答案为：π．【点睛】本题考查了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式2||T πω=应用，属于基础题． 14．∈∈##∈∈【分析】根据三角函数的平移法则和单调性知∈∈正确，取3π4t =代入计算得到∈错误，得到答案. 【详解】()sin f x x =向左平移π2个单位得到πsin cos 2y x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∈正确；函数()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，函数()g x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，∈正确；取3π4t =，则3π24f ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π24g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2AB =∈错误.故答案为：∈∈15．()372,244k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z【分析】由函数的图象得到函数的周期，同时根据图象的性质求得一个单调增区间，然后利用周期性即可写出所有的增区间.【详解】由图可知函数f(x)的最小正周期512244T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.如图所示，一个周期内的最低点和最高点分别记作,A B ， 分别作在x 轴上的射影，记作11,A B ,根据()()sin f x A x =+ωϕ的对称性可得11,A B 的横坐标分别为37,44,∈37,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦是函数f(x)的一个单调增区间， ∈函数()f x 的单调增区间是()372,244k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ,故答案为：()372,244k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ,【点睛】本题关键在于掌握函数图象的对称性和周期性.一般往往先从函数的图象确定函数中的各个参数的值，再利用函数的解析式和正弦函数的性质求得单调区间，但是直接由图象得到函数的周期，并根据函数的图象的性质求得一个单调增区间，进而写出所有的增区间，更为简洁. 16．2π |,122k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z【分析】根据正切函数的性质，由T πω=且232x k πππ+≠+即可得解.【详解】最小正周期为2ππT ω==， 232x k πππ+≠+， 可得,122k x k ππ≠+∈Z ， 故答案为：π；|,122k x x k ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z . 17．(1)()2sin(2)3f x x π=+；(2)3x π=-时，()f x 有最小值3-12x π=时，()f x 有最大值2.【分析】（1）若选∈，根据周期求出ω，然后由()2Z 3k k πϕπ⨯+=∈并结合ϕ的范围求出ϕ，最后求出答案；若选∈，根据周期求出ω，然后由()2Z 122k k ππϕπ⨯+=+∈并结合ϕ的范围求出ϕ，最后求出答案；（2）结合（1），先求出x ωϕ+的范围，然后结合正弦函数的性质求出答案.(1)若选∈，由题意，22ππωω=⇒=，因为函数的图象关于点(,0)3π对称，所以()()22Z Z 33k k k k πϕπϕππ⨯+=∈⇒=-+∈，而22ππϕ-<<，则3πϕ=，于是()2sin(2)3f x x π=+. 若选∈，由题意，22ππωω=⇒=，因为函数的图象关于直线12x π=对称，所以()()2Z Z 1223k k k k πππϕπϕπ⨯+=+∈⇒=+∈，而22ππϕ-<<，则3πϕ=，于是()2sin(2)3f x x π=+. (2)结合（1），因为[,]36x ππ∈-，所以22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则当2333x x πππ+=-⇒=-时，()f x 有最小值为()2sin()333f ππ-=-=-23212x x πππ+=⇒=时，()f x 有最大值为()2sin 2122f ππ==. 18．(1)不是，理由见解析； (2)5[,)6π+∞； (3)12-35--【分析】(1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，由函数2()f x 的值域与函数12y a x =-的值域关系判断作答.(2)根据给定定义可得函数2()g x 在[0,1]上的值域包含函数12y a x =-在[0,1]上的值域，由此推理计算作答. (3)根据给定定义可得函数2()h x 在[0,2]上的值域包含函数12y a x =-在[0,2]上的值域，再借助a 值的唯一性即可推理计算作答.(1)假定函数()2x f x =是 “自均值函数”，显然()2xf x =定义域为R ，则存在R a ∈，对于1x ∀∈R ，存在2Rx ∈，有2122x x a+=，即2122x a x =-，依题意，函数22()2xf x =在R 上的值域应包含函数12y a x =-在R 上的值域，而当2R x ∈时，2()f x 值域是(0,)+∞，当1R x ∈时，12y a x =-的值域是R ，显然(0,)+∞不包含R ， 所以函数()2x f x =不是 “自均值函数”.(2)依题意，存在R a ∈，对于1[0,1]x ∀∈，存在2[0,1]x ∈，有12()2x g x a +=，即21sin()26x a x πω+=-，当1[0,1]x ∈时，12y a x =-的值域是[21,2]a a -，因此22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -，当2[0,1]x ∈时，而0ω>，则2666x πππωω≤+≤+，若62ππω+≤，则2min 1()2g x =，2()1g x ≤，此时2()g x 值域的区间长度不超过12，而区间[21,2]a a -长度为1，不符合题意， 于是得62ππω+>，2max ()1g x =，要22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的值域包含[21,2]a a -， 则22()sin()6g x x πω=+在2[0,1]x ∈的最小值小于等于0，又23[,]622x πππω+∈时，2()g x 递减，且()0π=g ，从而有6πωπ+≥，解得56πω≥，此时，取12a =，12y a x =-的值域是[0,1]包含于2()g x 在2[0,1]x ∈的值域，所以ω的取值范围是5[,)6π+∞. (3)依题意，存在R a ∈，对于1[0,2]x ∀∈，存在2[0,2]x ∈，有12()2x h x a +=，即2221232tx x a x ++=-，当1[0,2]x ∈时，12y a x =-的值域是[22,2]a a -，因此2222()23h x tx x =++在2[0,2]x ∈的值域包含[22,2]a a -，并且有唯一的a 值，当0t ≥时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，此时a 的值不唯一，不符合要求，当0t <时，函数2222()23h x tx x =++的对称轴为21x t=-，当12t -≥，即102t -≤<时，2()h x 在[0,2]单调递增，2()h x 在2[0,2]x ∈的值域是[3,47]t +，由[22,2][3,47]a a t -⊆+得223247a a t -≥⎧⎨≤+⎩，解得57222a t ≤≤+，要a 的值唯一，当且仅当57222t =+，即15,22t a =-=，则12t =-，当102t <-<，即21t <-时，2max 11()()3h x h t t =-=-，2min ()min{(0),(2)}h x h h =，(0)3h =，(2)47h t =+，由1[22,2][3,3]a a t -⊆-且112t -≤<-得：531222a t≤≤-，此时a 的值不唯一，不符合要求，由1[22,2][47,3]a a t t -⊆+-且1t <-得，9312222t a t +≤≤-，要a 的值唯一，当且仅当9312222t t +=-，解得35t --=65a -= 综上得：12t =-或35t --=，所以函数2()23h x tx x =++，[0,2]x ∈有且仅有1个“自均值数”，实数t 的值是12-35-- 【点睛】结论点睛：若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x =，则()f x 的值域是()g x 值域的子集. 19．（1）3a =（2）511,,1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（3）512x π=时，取得最小值31- 【解析】（1）代入数据计算得到答案.（2）化简得到()3cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2222,6k x k k πππππ+≤+≤+∈Z 得到答案.（3）计算2x 6π+∈[6π，76π]，再计算最值得到答案. 【详解】（1）∈f （x ）＝cosx （acosx ﹣sinx ）3-a ∈R ），且f （3π）3= ∈f （3π）12=（132a -33-=解得a 3=（2）由（1）可得f （x ）＝cosx 3﹣sinx ）33=2x ﹣sinxcosx 1213322cos x +--sin 2x 3-=cos （2x 6π+）3令2k π+π≤2x 6π+≤2k π+2π，k ∈Z ，解得：k π512π+≤x ≤k π1112π+，k ∈Z ，可得f （x ）的单调递增区间为：[k π512π+，k π1112π+]，k ∈Z ， （3）∈x ∈[0，2π]，可得：2x 6π+∈[6π，76π]，∈当2x 6π+=π，即x 512π=时，f （x ）＝cos （2x 6π+）3取得最小值为﹣13.【点睛】本题考查了三角函数的求值，单调性和值域，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.。
2022北京高一(上)期末数学汇编：函数的概念与性质
2022北京高一（上）期末数学汇编函数的概念与性质一、单选题 1．（2022·北京顺义·高一期末）函数21y x =- ） A ．[1,1]- B ．(,1][1,)∞∞--⋃+ C ．(1,1)-D ．,1(),)1(-∞-⋃+∞2．（2022·北京·清华附中高一期末）已知1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1(1)f -的值为（ ） A ．0B ．1C ．10D ．1003．（2022·北京西城·高一期末）函数112y x x =-+的定义域是（ ） A ．[)1,2 B ．[)1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()1,22,⋃+∞ 4．（2022·北京丰台·高一期末）已知函数()2f x x=，那么()1f -=（ ） A ．-2 B ．-1C ．12-D ．2二、填空题5．（2022·北京市第五中学高一期末）已知R 上的奇函数()f x 是增函数，若()(31)0f a f a +-<，则a 的取值范围是________．6．（2022·北京市第五中学高一期末）已知函数1,02,()log (2),2,a x x f x x x x +<≤=->⎧⎪⎨⎪⎩且关于x 的方程()f x t =有四个不等实根，写出一个满足条件的t 值________．7．（2022·北京朝阳·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()00f =；①()f x 在区间[]2,4上单调递减；①()f x 的图象关于直线2x =对称，则()f x 的解析式可以是________．8．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()()12,1,,1x a x x f x a x -⎧-≤=⎨>⎩（0a >且1a ≠）.给出下列四个结论： ①存在实数a ，使得()f x 有最小值；①对任意实数a （0a >且1a ≠），()f x 都不是R 上的减函数； ①存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；①若3a >，则存在()00,x ∞∈+，使得()()00f x f x =-. 其中所有正确结论的序号是___________.9．（2022·北京丰台·高一期末）中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.现有两名剪纸艺人创作甲､乙两种作品，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点i A 的横､纵坐标分别为第i 名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，点i B 的横､纵坐标分别为第i 名艺人下午创作的甲作品数和乙作品数，i =1，2.给出下列四个结论：①该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少；①该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少； ①该天第1名艺人创作的作品总数比第2名艺人创作的作品总数少； ①该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少. 其中所有正确结论的序号是___________.10．（2022·北京平谷·高一期末）已知奇函数f （x ），当0x >，()23f x x x =+，那么()2f -=___________.11．（2022·北京石景山·高一期末）函数()1f x x =-___________.12．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）函数1y x =+____________． 三、双空题13．（2022·北京大兴·高一期末）能说明命题“如果函数()f x 与()g x 的对应关系和值域都相同，那么函数()f x 和()g x 是同一函数”为假命题的一组函数可以是()f x =________________，()g x =________________．14．（2022·北京·清华附中高一期末）已知[3,1]x ∈--，则函数42y xx =++的最大值为___________，最小值为___________. 四、解答题15．（2022·北京市怀柔区教科研中心高一期末）已知函数21()x f x x+=. (1)判断()f x 奇偶性；(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明；(3)在（2）的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围.16．（2022·北京朝阳·高一期末）已知函数()2f x x =-，2()4g x x mx =-+（m R ∈）． (1)当4m =时，求不等式()()g x f x >的解集；(2)若对任意x R ∈，不等式()()g x f x >恒成立，求m 的取值范围；(3)若对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，求m 的取值范围． 17．（2022·北京·清华附中高一期末）已知函数2()21f x x ax a =++-. (1)若()f x 的图象恒在直线1y =-上方，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围. 18．（2022·北京石景山·高一期末）已知函数2()1xf x x =+． (1)用定义证明函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增；(2)对任意[2,4]x ∈都有()f x m ≤成立，求实数m 的取值范围．19．（2022·北京东城·高一期末）已知定义在R 上的函数()f x 满足：①对任意实数x ，y ，都有()()2()()f x y f x y f x f y ++-=；①对任意[0,1),()0∈>x f x ．(1)求(0)f ；(2)判断并证明函数()f x 的奇偶性；(3)若(1)0f =，直接写出()f x 的所有零点（不需要证明）．20．（2022·北京海淀·高一期末）已知函数()x x f x a b a -=+⋅（0a >且1a ≠），再从条件①､条件①这两个条件中选择一个作为已知.(1)判断函数()f x 的奇偶性，说明理由；(2)判断函数()f x 在()0,∞+上的单调性，并用单调性定义证明； (3)若()3f m -不大于()2b f ⋅，直接写出实数m 的取值范围. 条件①：1a >，1b =；条件①：01a <<，1b.注：如果选择条件①和条件①分别解答，按第一个解答计分.21．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数()()()22202220.x x x f x x x x ⎧-+≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩(1)求23f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域；(4)由简图得出函数的奇偶性，并证明.22．（2022·北京昌平·高一期末）已知函数()()22log 4f x x =-.(1)求()f x 的定义域；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()()2log 5f x mx ≤+对于()0,2x ∈恒成立，求实数m 的最小值.参考答案1．A【分析】由被开方数非负求解即可【详解】由题意得210x -≥，解得11x -≤≤， 所以函数的定义域为[1,1]-， 故选：A 2．A【分析】根据给定条件求出1()f x -的解析式，再代入求函数值作答.【详解】因1()f x -是函数()10x f x =的反函数，则1()lg f x x -=，1(1)lg10f -==， 所以1(1)f -的值为0. 故选：A 3．B【分析】解不等式组1020x x -≥⎧⎨+≠⎩即可得定义域.【详解】由1020x x -≥⎧⎨+≠⎩得：1x ≥所以函数112y x x =-+的定义域是[)1,+∞. 故选：B 4．A【分析】直接代入1-计算即可. 【详解】()2121f --==- 故选：A. 5．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【分析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.【详解】因为函数为奇函数，所以()()(31)0()(31)13f a f a f a f a f a +-<⇒<--=-，而函数在R 上为增函数，则113,4a a a ⎛⎫<-⇒∈-∞ ⎪⎝⎭.故答案为：1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.6． 2.1t =（t 在(]2,2.5之间都可以）.【分析】画出函数()f x 的图象，结合图象可得答案.【详解】如图，当02x <≤时， 1()2f x x x=+≥，当且仅当1x =时等号成立， 当2x =时，1() 2.5=+=f x x x， 要使方程()f x t =有四个不等实根，只需使2 2.5t <≤即可， 故答案为： 2.1t =（t 在(]2,2.5之间都可以）.7．()24f x x x =-+（答案不唯一）【分析】取()24f x x x =-+，结合二次函数的基本性质逐项验证可得结论.【详解】取()()22424f x x x x =-+=--+，则()00f =，满足①，()f x 在区间[]2,4上单调递减，满足①， ()f x 的图象关于直线2x =对称，满足①.故答案为：()24f x x x =-+（答案不唯一）.8．①①①【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断①①，求出()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，利用()2y a x =-与y 1x a -=的图像在()1,∞+上有交点判断①.【详解】当2a =时，()10,1,2,1x x f x x -≤⎧=⎨>⎩当1x >时，121x ->，所以()f x 有最小值0，①正确；若()f x 是R 上的减函数，则112020101211a a a a a a a --<>⎧⎧⎪⎪<<⇒<<⎨⎨⎪⎪-≥=≤⎩⎩，无解，所以①正确；当01a <<时，1x y a -=单减，且当1x >时，值域为()0,1，而此时()2y a x =-单增，最大值为2a -，所以函数()f x 值域不为R ；当12a <<时，()2y a x =-单增，1x y a -=单增，若()f x 的值域为R ，则1121a a --≥=，所以1a ≤，与12a <<矛盾；所以不存在实数a ，使得()f x 的值域为R ；由①可知，当2a =时，函数()f x 值域不为R ；当2a >时，()2y a x =-单减，最小值为2a -，1x y a -=单增，且11x a ->，所以函数()f x 值域不为R ，综上①错误；又()2y a x =-关于y 轴的对称函数为()2y a x =-，若3a >，则11211a a -->==，但指数函数1x y a -=的增长速度快于函数()2y a x =-的增长速度，所以必存在()01,x ∞∈+，使得()0102x a x a --=，即()()00f x f x =-成立，所以①正确.故答案为：①①① 9．①①①【分析】根据点的坐标的意义结合图形逐个分析判断即可【详解】对于①，由题意可知，1A 的横､纵坐标分别为第1名艺人上午创作的甲作品数和乙作品数，由图可知1A 的横坐标小于纵坐标，所以该天上午第1名艺人创作的甲作品数比乙作品数少，所以①正确， 对于①，由题意可知，1B 的纵坐标为第1名艺人下午创作的乙作品数，2B 的纵坐标为第2名艺人下午创作的乙作品数，由图可知1B 的纵坐标小于2B 的纵坐标，所以该天下午第1名艺人创作的乙作品数比第2名艺人创作的乙作品数少，所以①正确，对于①，①，由图可知，11,A B 的横、纵坐标之和大于22,A B 的横、纵坐标之和，所以该天第2名艺人创作的作品总数比第1名艺人创作的作品总数少，所以①错误，①正确， 故答案为：①①① 10．10-【分析】根据函数奇偶性把求()2f -的值，转化成求()2f 的值. 【详解】由f （x ）为奇函数，可知()()f x f x -=-，则()()22f f -=-又当0x >，()23f x x x =+，则()2223210f =+⨯=故()()2210f f -=-=- 故答案为：10- 11．[)1,+∞【分析】根据偶次方根的被开方数非负得到不等式，解得即可；【详解】解：因为()1f x x =-10x -≥，解得1x ≥，即函数的定义域为[)1,+∞ 故答案为：[)1,+∞ 12．[)1,-+∞【详解】试题分析：根据偶次方根式下被开方数非负，有10, 1.x x +≥≥-因此函数1y x =+[)1,-+∞，注意结果要写出解集性质.考点：函数定义域13． 2(11)x x ，， 2[01)x x ，，（答案不唯一）；【分析】根据所学函数，取特例即可.【详解】根据所学过过的函数，可取2(1)1)(,，xf x x ，2(),[0,1)g x x x =∈，函数的对应法则相同，值域都为[0,1)，但函数定义域不同，是不同的函数，故命题为假.故答案为：2(11)x x ，，；2[01)x x ，， 14． 2- 3-【分析】利用对勾函数的单调性直接计算函数的最大值和最小值作答.【详解】因函数42y x x =++在(,2)-∞-上单调递增，在(2,0)-上单调递减，当[3,1]x ∈--时，函数42y xx =++在[3,2]--上单调递增，在[2,1]--上单调递减，即有当2x =-时，max 2y =-，而当3x =-时，73y =-，当=1x -时，=3y -，则min 3y =-，所以函数42y xx =++的最大值为2-，最小值为3-.故答案为：2-；3- 15．(1)奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3)(1,2)【分析】（1）求出函数的定义域，再判断()(),f x f x -的关系，即可得出结论； （2）任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x <，利用作差法比较12(),()f x f x 的大小即可得出结论； （3）根据函数的单调性列出不等式，即可得解，注意函数的定义域. (1)解：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数()f x 是奇函数； (2)解：函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数， 证：任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x <，则2212121211()()x x f x f x x x ++-=-2212212112x x x x x x x x +--=12121212()()x x x x x x x x ---=121212()(1)x x x x x x --=，因为211x x >>，所以120x x -<，120x x >，1210x x ->， 所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数； (3)解：由（2）知函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数， 所以3521m m >->，解得12m <<， 所以m 的取值范围为(1,2). 16．(1){2|x x <或3}x > (2)(61,261)-(3)5,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）将4m =代入不等式，解该一元二次不等式即可；（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用∆<0即可解得参数m 的范围；（3）对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =，转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域.同时对()1g x 值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. （1）当4m =时，由2442x x x -+>-得2560x x -+>， 即(3)(2)0x x -->，解得2x <或3x >．所以不等式()()g x f x >的解集为{2|x x <或3}x >． （2）由()()g x f x >得242x mx x -+>-， 即不等式2(1)60x m x -++>的解集是R ． 所以2(1)240m +-<，解得261261m -<<． 所以m 的取值范围是(261,61)-． （3）当[]24,5x ∈时，()[]2222,3f x x =-∈．又222()4()424m m g x x mx x =-+=-+-．①当12m≤，即2m ≤时， 对任意1[1,2]x ∈，1()[5,82][2,3]g x m m ∈--⊆．所以252823m m m ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩，此时不等式组无解，①当3122m <≤，即23m <≤时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,82][2,3]4m g x m ∈--⊆．所以{2<m ≤3,4−m 24≥2,8−2m ≤3,解得5222m ≤≤ ①当3222m<<，即34m <<时， 对任意1[1,2]x ∈，21()[4,5][2,3]4m g x m ∈--⊆．所以234,42,453,m m m <<⎧⎪⎪-≥⎨⎪⎪-≤⎩此时不等式组无解，①当22m≥，即4m ≥时， 对任意1[1,2]x ∈，1()[82,5][2,3]g x m m ∈--⊆． 所以482253m m m ≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩此时不等式组无解．综上，实数m 的取值范围是5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】关键点点睛，本题中“对任意1[1,2]x ∈，存在[]24,5x ∈，使得12()()g x f x =”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论. 17．(1)08a <<； (2)1a ≥.【分析】(1)根据给定条件可得2211x ax a ++->-恒成立，再借助判别式列出不等式求解即得. (2)根据给定条件列出不等式，再分离参数，借助函数的单调性求出函数值范围即可推理作答. (1)因函数2()21f x x ax a =++-的图象恒在直线1y =-上方，即R x ∀∈，2221120x ax a x ax a ++->-⇔++>，于是得280a a ∆=-<，解得08a <<， 所以实数a 的取值范围是：08a <<. (2)依题意，(0,)∀∈+∞x ，()222121010f xx ax a a x x -++-≥⇔≥≥-+⇔，令11x t +=>，22212(1)11241x t t x t t---==+-+， 令函数1()24g t t t=+-，(1,)t ∈+∞，1212,(1,),t t t t ∀∈+∞<，1212121212111()()22()(2)g t g t t t t t t t t t -=+--=--，而121t t <<，即120t t -<，12120t t ->， 则有12()()0g t g t -<，即12()()g t g t <，于是得()g t 在(1,)t ∈+∞上单调递增，因此，1t ∀>，()(1)1g t g >=-，即22111x x ->-+，从而有22111x x --<+，则1a ≥， 所以实数a 的取值范围是1a ≥.18．(1)证明见解析 (2)8[,)5+∞【分析】（1）由定义证明即可；（2）求出()f x 在(1,)+∞上的最大值，即可得出实数m 的取值范围．(1)任取12,(1,)x x ∈+∞，且12x x <，2121122121212121222(1)2(1)2()()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--=-==++++++因为211x x >>，所以21210,(1)(1)0x x x x ->++>，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >.所以()f x 在(1,)+∞上为单调递增．(2)任意[2,4]x ∈都有()f x m ≤成立，即max ()m f x ≥.由（1）知()f x 在(1,)+∞上为增函数，所以[2,4]x ∈时，max 8()(4)5f x f ==. 所以实数m 的取值范围是8[,)5+∞.19．(1)(0)1f =(2)()f x 为偶函数，证明见解析(3)21,x k k Z =+∈【分析】（1）令0x y ==，化简可求出(0)f ，（2）令0x =，则()()2(0)()2()f y f y f f y f y +-==，化简后结合函数奇偶性的定义判断即可，（3）利用赋值求解即可(1)令0x y ==，则2(0)(0)2(0)f f f +=，2(0)(0)0f f -=，得(0)0f =或(0)1f =， 因为对任意[0,1),()0∈>x f x ，所以(0)1f =(2)()f x 为偶函数证明：令0x =，则()()2(0)()2()f y f y f f y f y +-==，得()()f y f y -=，所以()f x 为偶函数(3)令1,,x k y k k Z =+=∈，则(21)(1)2(1)()f k f f k f k ++=+，因为(1)0f =，所以(21)2(1)()f k f k f k +=+，当1k =时，(3)2(2)(1)0f f f ==，当2k =时，(5)2(3)(2)0f f f ==，当3k =时，(7)2(4)(3)0f f f ==，当4k =时， (9)2(5)(4)0f f f ==，……，所以210()f k +=即当21,x k k Z =+∈时，()0f x =，所以函数的零点为21,x k k Z =+∈20．(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析【分析】（1）定义域均为R ，代入()f x -化简可得出与()f x 的关系，从而判断奇偶性；（2）利用定义任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <，作差判断()()12f x f x -的正负，可得出单调性；（3）根据奇偶性和单调性可得到3m -与2的不等关系，求解可得m 的范围.(1)解：选择条件①：11a b >=，. 函数()f x 是偶函数，理由如下：()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，则x -∈R .因为()()x x f x a a f x --=+=，所以函数()f x 是偶函数.选择条件①：011a b <<=-，. 函数()f x 是奇函数，理由如下：()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，则x -∈R .因为()()x x f x a a f x --=-=-，所以函数()f x 是奇函数.(2)选择条件①：11a b >=，.()f x 在()0+∞，上是增函数.任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <，则120x x +>. 因为1a >，所以12121x x x x a a a +<>，.所以()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=+-+ ()121211x x x x a a a a ⎛⎫=-- ⎪⋅⎝⎭ ()12121210x x x x x x a a a a++-=-⋅<，即()()12f x f x < 所以()f x 在()0+∞，上是增函数. 选择条件①：011a b <<=-，. ()f x 在()0+∞，上是减函数.任取()120x x ∞∈+，，，且12x x <. 因为01a <<，所以120x x a a >>. 所以()()()112212x x x x f x f x a a a a ---=---()1212110x x x x a a a a ⎛⎫=-+> ⎪⋅⎝⎭，即()()12.f x f x > 所以()f x 在()0+∞，上是减函数. (3)选择条件①：11a b >=，. 实数m 的取值范围是][5115⎡⎤--⋃⎣⎦，，.选择条件①：011a b <<=-，. 实数m 的取值范围是][()11-∞-⋃+∞，，. 21．(1)2839f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1324f ⎛⎫= ⎪⎝⎭； (2)作图见解析；(3)[]1,1-；(4)()f x 为奇函数，证明见解析.【分析】（1）根据对应区间，将自变量代入解析式求值即可.（2）应用五点法确定点坐标列表，再描点画出函数图象.（3）由（2）图象直接写出值域.（4）由（2）图象判断奇偶性，再应用奇偶性定义证明即可.(1)由解析式知：2222823339f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2111322224f ⎛⎫⎛⎫=-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)由解析式可得： x 2-1- 0 1 2 ()f x 0 1- 0 1 0 ①()f x 的图象如下：(3)由（2）知：()f x 的值域为[]1,1-.(4)由图知：()f x 为奇函数，证明如下：当02x <<，20x -<-<时，()()()()2222f x x x x x f x -=-+⋅-=-=-； 当20x -<<，02x <-<时，()()()()2222f x x x x x f x -=--+⋅-=--=-； 又()f x 的定义域为[]2,2-，则()f x 为奇函数，得证.22．(1){}22x x -<<(2)函数()f x 为偶函数，证明见解析(3)2-【分析】（1）解不等式240x ->即可得答案；（2）根据奇偶性的定义直接判断即可；（3）根据题意，将问题转化为254x x m ≤+-且50mx +>在()0,2x ∈均恒成立，再分离常数，结合函数单调性与基本不等式求解即可.(1)解：由题知240x ->，解得22x -<<，所以函数()()22log 4f x x =-的定义域为{}22x x -<< (2)解：函数为偶函数，证明如下：由（1）知函数定义域关于原点对称，所以()()()()2222log 4log 4x x f x x f ⎡⎤⎣=⎦=---=-， 所以函数为偶函数.(3)解：因为()()2log 5f x mx ≤+对于()0,2x ∈恒成立，即()()222log 4log 5x mx -≤+对于()0,2x ∈恒成立， 所以254x x m ≤+-且50mx +>在()0,2x ∈均恒成立， 所以1m x x ≥--且5m x->在()0,2x ∈均恒成立， 由于112x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭，当且仅当1x =成立， 5y x -=在()0,2x ∈上单调递增，故552x -<-，所以 所以2m ≥-且52m ≥-，即2m ≥-. 所以实数m 的取值范围是[)2,-+∞，最小值2-。
2017-2019北京高一数学上学期期末汇编：三角函数含答案
高一上学期期末考试 三角函数 分类汇编一、单项选择题（共32小题）【题1】函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A ．10π B ．20π C ．372πD ．392π【题2】若sin α，02πα<<，则cos (α= )A ．B ．12-C ．12D【题3】已知3tan 4α=，则tan()(4πα+= )A ．7-B ．1-C ．34D ．7【题4】下列各式中，化简的结果为sin x 的是( ) A ．cos()x - B ．cos()x π+C ．cos()2x π-D ．cos()x π-【题5】如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P ．过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α．则下列关于函数()f α的说法正确的是( )A ．()f α的定义域是{|2,}2k k Z πααπ≠+∈ B ．()f α的图象的对称中心是(,0),2k k Z ππ+∈C ．()f α的单调递增区间是[2k π，2]k ππ+，k Z ∈D ．()f α对定义域内的α均满足()()f f παα-=【题6】若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是( ) A ．sin α B ．cos α C ．tan α D ．sin()πα+【题7】已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos (α= ) A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【题8】已知sin 2cos αα=，则tan()(4πα+= )A ．3-B ．13-C ．13D ．3【题9】为了得到函数sin()3y x π=--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点( )A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移53π个单位长度 【题10】已知点P 在圆O 上按顺时针方向每秒转6π弧度，2秒钟后，OP 转过的角等于( ) A ．3π- B ．6π-C ．6π D ．3π【题11】在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若4sin 5α=，则sin (β= ) A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【题12】在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点(P P 不在坐标轴上），过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则POM ∆面积的最大值为( ) A ．18B ．15C ．14D ．12【题13】已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ【题14】sin()2(cos()παα-=- ) A ．tan α B ．tan α- C ．1 D ．1-【题15】函数()sin()23x f x π=+的最小正周期为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【题16】已知函数111()sin()f x A x ωϕ=+，222()sin()g x A x ωϕ=+，其图象如图所示．为得到函数()g x 的图象，只需先将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再( )A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位【题17】要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位【题18】sin1，sin 2，sin3的大小关系是( ) A ．sin1sin2sin3<< B ．sin3sin2sin1<< C ．sin2sin3sin1<< D ．sin3sin1sin2<<【题19】为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象上每一点( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度【题20】如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【题21】如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点(3π，0)成中心对称(||)2πϕ<，那么函数()f x 图象的一条对称轴是( ) A ．6x π=- B ．12x π=C ．6x π=D ．3x π=【题22】如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y （米)与时间x （秒)满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++则有( )A ．215πω=，3A =B ．215πω=，5A = C ．152πω=，5A = D ．152πω=，3A =【题23】要得到函数sin 2y x =的图象，只要将函数sin(2)3y x π=-的图象( )A ．向左平行移动3π个单位 B ．向左平行移动6π个单位C ．向右平行移动3π个单位 D ．向右平行移动6π个单位【题24】在单位圆中，200︒的圆心角所对的弧长为( ) A ．910π B ．109π C ．9π D ．10π【题25】已知4cos 5α=-，且α为第二象限角，那么tan (α= )A ．43B ．43-C ．34 D ．34-【题26】sin()3π-的值是( )A ．12B ．12-C D ．【题27】已知角α的终边经过点(3,4)P -，那么sin (α= ) A ．35B ．45-C ．34 D ．34-【题28】已知α是第一象限角，那么2α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角【题29】如图所示，函数3cos |tan |(02y x x x π=<且)2x π≠的图象是( ) A ． B ．C ．D ．【题30】cos420︒的值为( )A ．12-B ．12C ． D【题31】设()21,,5444tan tan tan ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值是( )A ．16B ．322C ．1322D ．1318【题32】函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是( )A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππ D ．2,2,4ππ二、填空题（共14小题）【题33】已知函数()2sin(f x ω=)x ϕ+（其中0ω>，||)2πϕ<的图象如图所示，那么函数ω= ，ϕ= ．【题34】化简sin()2cos()παπα+=- ．【题35】已知1(0,),cos 3x x π∈=-，则sin x = ；sin 2x = ．【题36】已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则A = ；ϕ= ．【题37】已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象上两个点的坐标分别为(,1)12π，5(6π，0)，则满足条件的一组ω，ϕ的值依次为ω= ，ϕ= ．【题38】若1cos 2θ=-，且θ为第三象限的角，则tan θ= ．【题39】设函数()sin()3f x x πω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是 ．【题40】已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ是R 上的偶函数，其图象关于3(,0)4M π对称，在区间[0,]2π上是单调函数，则ϕ= ，ω= ．【题41】若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--= ．【题42】已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为 ．【题43】已知角α的终边经过点(,3)P m -，且4cos 5α=-，则m = ．【题44】7sin 6π= ．【题45】5sin()6π-= ．【题46】sin300︒的值为 ．三、解答题（共4小题）【题47】在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5，以角α的终边为始边，逆时针旋转4π得到角β．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅰ）求cos()αβ+的值．【题48】在平面直角坐标系xOy 中，角α，(02πβα<<，)2πβπ<<的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为513，35． （Ⅰ）求tan β的值； （Ⅰ）求cos AOB ∠的值．【题49】函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式；（Ⅰ）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最小值．【题50】已知函数21()cos sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）求函数()上的最小值．f x在区间[0,]2高一上学期期末考试 三角函数 分类汇编参考答案与试题解析一．选择题（共32小题）1．函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现10次最大值，则ω的最小值是( ) A ．10πB ．20πC ．372πD ．392π【解答】解：函数sin (0)y x ωω=>在区间[0，1]上至少出现10次最大值， 91104T T T ∴+<，即212291104πππωωω+<，求得37202πωπ<，故ω的最小值为372π， 故选：C ． 2．若sin α=02πα<<，则cos (α= ) A ． B ．12-C ．12D 【解答】解：sin α=，02πα<<，cos α∴===． 故选：D ． 3．已知3tan 4α=，则tan()(4πα+= )A ．7-B ．1-C ．34D ．7【解答】解：3tan 4α=， ∴311tan 4tan()7341tan 14πααα+++===--． 故选：D ．4．下列各式中，化简的结果为sin x 的是( ) A ．cos()x -B ．cos()x π+C ．cos()2x π-D ．cos()x π-【解答】解：由于cos()cos sin x x x -=≠，故排除A ； 由于cos()cos sin x x x π+=-≠，故排除B ；由于cos()sin 2x x π-=，故C 满足条件；由于cos()cos sin x x x π-=-≠，故排除D ， 故选：C ．5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P ．过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α．则下列关于函数()f α的说法正确的是( )A ．()f α的定义域是{|2,}2k k Z πααπ≠+∈ B ．()f α的图象的对称中心是(,0),2k k Z ππ+∈C ．()f α的单调递增区间是[2k π，2]k ππ+，k Z ∈D ．()f α对定义域内的α均满足()()f f παα-= 【解答】解：由三角函数的定义可知：(cos ,sin )P αα， 则以点P 为切点的圆的切线方程为：cos sin 1x y αα+=， 由已知有cos 0α≠， 令0y =，得：1cos x α=， 即函数1()cos f αα=， 由cos 0α≠，得：22k παπ≠±，即函数()f α的定义域为：|22k πααπ⎧≠±⎨⎩，k z ⎫∈⎬⎭，故A 错误，由复合函数的单调性可知：函数()f α的增区间为： [2k π，2)2k ππ+，(22]2k k ππππ++，k Z ∈，故C 错误，由函数的周期得：()f α的周期为2π，故D 错误， 函数()f α的对称中心为(2k ππ+，0)，k Z ∈，故B 正确．故选：B ．6．若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是( ) A ．sin αB ．cos αC ．tan αD ．sin()πα+【解答】解：角α的终边经过点0(1,)y ，1x ∴=，0y y =，r故cos 0x r α==>，而0sin y r α==，正负号不确定，00tan 1y y α==，正负号不确定， 故选：B ． 7．已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos (α= ) A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【解答】解：由3tan 4α=，得sin 3cos 4αα=，即3sin cos 4αα=，代入22sin cos 1αα+=，得4cos 5α=±，sin 0α<，tan 0α>，α∴为第三象限角，则4cos 5α=-．故选：D ．8．已知sin 2cos αα=，则tan()(4πα+= )A ．3-B ．13-C ．13D ．3【解答】解：sin 2cos αα=， 可得sin tan 2cos ααα==， 则tan tan214tan()341211tan tan 4παπαπα+++===--⨯-． 故选：A ．9．为了得到函数sin()3y x π=--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点( )A ．向左平移23π个单位长度 B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移53π个单位长度 【解答】解：把函数sin y x =的图象上的所有点向左平移23π个单位长度， 可得2sin()sin()sin()333y x x x ππππ=+=+-=--的图象，故选：A ．10．已知点P 在圆O 上按顺时针方向每秒转6π弧度，2秒钟后，OP 转过的角等于( ) A ．3π-B ．6π-C ．6π D ．3π 【解答】解：点P 在圆O 上按顺时针方向旋转，则OP 转过的角为负角， 又每秒转6π弧度，2∴秒钟后，OP 转过的角等于2()63ππ⨯-=-． 故选：A ．11．在平面直角坐标系xOy 中，角α与β均以Ox 为始边，它们的终边关于x 轴对称，若4sin 5α=，则sin (β= ) A ．35B ．45 C ．35-D ．45-【解答】解：角α与β均以Ox 为始边，且它们的终边关于x 轴对称， sin sin βα∴=-，又4sin 5α=，4sin 5β∴=-． 故选：D ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点(P P 不在坐标轴上），过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则POM ∆面积的最大值为( ) A ．18B ．15C ．14D ．12【解答】解：根据题意，如图：设P 的坐标为(cos ,sin )θθ， 则||||cos |OM θ=，|||sin |MP θ=，则1|sin cos ||sin 2|1||||2244POM S OM MP θθθ∆=⨯⨯==， 即POM ∆面积的最大值为14， 故选：C ．13．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是( )A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【解答】解：:sin A y x =在(0,)2π上是增函数；:cos C y x =在3(,)2ππ上是增函数； :cos D y x =在3(2π，2)π上是增函数． 故选：B ．14．sin()2(cos()παα-=- ) A ．tan αB ．tan α-C ．1D ．1-【解答】解：sin()cos 21cos()cos παααα-==-． 故选：C ．15．函数()sin()23x f x π=+的最小正周期为( )A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【解答】解：函数()sin()23x f x π=+的最小正周期为：2412T ππ==． 故选：C ．16．已知函数111()sin()f x A x ωϕ=+，222()sin()g x A x ωϕ=+，其图象如图所示．为得到函数()g x 的图象，只需先将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再( )A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位 C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位 【解答】解：函数111()sin()f x A x ωϕ=+，222()sin()g x A x ωϕ=+，其图象如图所示， 可见()f x 的周期为2π，()g x 的周期为π，且()f x 图象上的点(0,0)，在()g x 的图象上对应(6π，0)， 为得到函数()g x 的图象，只需先将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）， 在向右平移6π个单位， 故选：A ．17．要得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需将函数sin 2y x =的图象( )A ．向左平移6π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位 D ．向右平移3π个单位 【解答】解：假设将函数sin 2y x =的图象平移ρ个 单位得到：sin 2()sin(22)sin(2)3y x x x πρρ=+=+=-，6πρ∴=-，∴应向右平移6π个单位． 故选：B ．18．sin1，sin 2，sin3的大小关系是( ) A ．sin1sin2sin3<< B ．sin3sin2sin1<< C ．sin2sin3sin1<<D ．sin3sin1sin2<<【解答】解：由sin 2sin(2)π=-， sin3sin(3)π=-，03122πππ<-<<-<，sin x 在第一象限为增函数，sin(3)sin1sin(2)ππ∴-<<-．故得sin3sin1sin2<< 故选：D ．19．为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象上每一点( )A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度 D ．向右平移6π个单位长度 【解答】解：将函数sin 2y x =的图象上每一点向左平移6π个单位长度， 可得函数sin 2()2sin(2)63y x x ππ=+=+的图象，故选：B ．20．如果点(sin ,cos )P θθ位于第四象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：点(sin ,cos )P θθ位于第四象限， ∴sin 0cos 0θθ>⎧⎨<⎩，∴角θ所在的象限是第二象限．故选：B ．21．如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点(3π，0)成中心对称(||)2πϕ<，那么函数()f x 图象的一条对称轴是( ) A ．6x π=-B ．12x π=C ．6x π=D ．3x π=【解答】解：函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点(3π，0)成中心对称， 23k πϕπ∴⨯+=，k Z ∈，解得：23k πϕπ=-，k Z ∈， ||2πϕ<，3πϕ∴=，可得：()3sin(2)3f x x π=+， ∴令232x k πππ+=+，k Z ∈，可得：212k x ππ=+，k Z ∈， ∴当0k =时，可得函数的对称轴为12x π=．故选：B ．22．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y （米)与时间x （秒)满足函数关系sin()2y A x ωϕ=++则有( )A ．215πω=，3A = B ．215πω=，5A = C ．152πω=，5A = D ．152πω=，3A = 【解答】解：水轮的半径为3，水轮圆心O 距离水面2m ， 3A =，2k =，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒， 215T πω∴==，215πω∴=． 故选：A ．23．要得到函数sin 2y x =的图象，只要将函数sin(2)3y x π=-的图象( )A ．向左平行移动3π个单位 B ．向左平行移动6π个单位C ．向右平行移动3π个单位 D ．向右平行移动6π个单位 【解答】解：将函数sin(2)3y x π=-的图象向左平行移动6π个单位，可得sin[2()]sin 263y x x ππ=+-=的图象，故选：B ．24．在单位圆中，200︒的圆心角所对的弧长为( ) A ．910π B ．109π C ．9π D ．10π【解答】解：200101801809n R l πππ===， 故选：B ．25．已知4cos 5α=-，且α为第二象限角，那么tan (α= )A．43B．43-C．34D．34-【解答】解：4cos5α=-，且α为第二象限角，3sin5α∴==，则sin3tancos4ααα==-，故选：D．26．sin()3π-的值是()A．12B．12-C D．【解答】解：sin()sin33ππ-=-=，故选：D．27．已知角α的终边经过点(3,4)P-，那么sin(α=)A．35B．45-C．34D．34-【解答】解：由于角α的终边经过点(3,4)P-，3x∴=，4y=-，||5r OP==，4sin5yrα∴==-，故选：B．28．已知α是第一象限角，那么2α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【解答】解：α的取值范围(2,2)2k kπππ+，()k Z∈∴2α的取值范围是(,)4k kπππ+，()k Z∈分类讨论①当21k i=+（其中)i Z∈时2α的取值范围是5(2,2)4i iππππ++，即2α属于第三象限角．②当2k i=（其中)i Z∈时2α的取值范围是(2,2)4i iπππ+，即2α属于第一象限角．故选：D．29．如图所示，函数3cos|tan|(02y x x xπ=<且)2xπ≠的图象是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：sin ,02cos |tan |sin ,23sin ,2x x y x x x x x x πππππ⎧<⎪⎪⎪==-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，∴函数3cos |tan |(02y x x xπ=且)2x π≠的图象是C ． 故选：C ．30．cos420︒的值为( ) A ．12-B ．12C ．D 【解答】解：1cos420cos(36060)cos602︒=︒+︒=︒= 故选：B ．31．设()21,,5444tan tan tan ππαββα⎛⎫⎛⎫+=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值是( )A ．16B ．322C ．1322D ．1318【解答】解：tan()tan[()()]44ππααββ+=+--tan()tan()41tan()tan()4παββπαββ+--=++- 213542122154-==+⨯ 故选：B ．32．函数12sin()24y x π=+的周期，振幅，初相分别是( )A ．,2,44ππB ．4,2,4ππ--C ．4,2,4ππ D ．2,2,4ππ【解答】解：函数12sin()24y x π=+∴振幅是2，初相是4π 又x 的系数是12，故函数的周期是2412T ππ== 对照四个选项知应选C 故选：C ．二．填空题（共14小题）33．已知函数()2sin(f x ω=)x ϕ+（其中0ω>，||)2πϕ<的图象如图所示，那么函数ω= 2 ，ϕ= ．【解答】解：有函数的图象可得：332544612T πππω==-，解得：2ω=．由点(12π，2)在函数图象上，可得：2sin(2)212πϕ⨯+=，可得：2122k ππϕπ⨯+=+，可得：3k πϕπ=+，k Z ∈，由于：||2πϕ<，可得：当0k =时，3πϕ=．故答案为：2，3π． 34．化简sin()2cos()παπα+=- 1- ．【解答】解：sin()cos 21cos()cos πααπαα+==---，故答案为：1-．35．已知1(0,),cos 3x x π∈=-，则sin x =；sin 2x = ．【解答】解：已知1(0,),cos 3x x π∈=-，则sin x ==221sin 22sin cos 2()3x x x ∴==-=-， 36．已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，则A = 2 ；ϕ= ．【解答】解：有函数的图象顶点坐标可得2A =， 再根据11244312T πππω==-，求得2ω=．再根据五点法作图可得2122ππϕ⨯+=，可得：3πϕ=，故答案为：2，3π． 37．已知函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象上两个点的坐标分别为(,1)12π，5(6π，0)，则满足条件的一组ω，ϕ的值依次为ω=23，ϕ= ． 【解答】解：函数()sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象上两个点的坐标分别为(,1)12π，5(6π，0)，如果是相邻的两个点，15346124T πππ=-=，3T π∴=， 223T πω∴==； 由223122k ππϕπ⨯+=+，k Z ∈， 解得429k πϕπ=+，k Z ∈； 又||2πϕ<，49πϕ∴=； ∴满足条件的一组ω，ϕ的值依次为23ω=，49πϕ=．故答案为：23，49π． 38．若1cos 2θ=-，且θ为第三象限的角，则tan θ【解答】解：1cos 2θ=-，且θ为第三象限的角，sin θ∴=，sin 2tan 1cos 2θθθ∴===-39．设函数()sin()3f x x πω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是{|61k ωω=+，}k Z ∈ ．【解答】解：由题意632k ωππππ+=+，k Z ∈，得61k ω=+，k Z ∈，故答案为：{|61k ωω=+，}k Z ∈．40．已知()sin()(0f x x ωϕω=+>，0)ϕπ是R 上的偶函数，其图象关于3(,0)4M π对称，在区间[0,]2π上是单调函数，则ϕ=2π，ω= ． 【解答】解：由题意，()f x 是偶函数．则2k πϕπ=+，k Z ∈．0ϕπ， 2πϕ∴=．那么()cos()f x x ω= 图象关于3(,0)4M π对称，在区间[0,]2π上是单调函数． ∴342k ππωπ=+，k Z ∈ 又122T π， 即T π∴22πωπ=．故得2ω=或23故答案为：2π，2或23． 41．若tan 3θ=，则222sin sin cos cos θθθθ--= 75． 【解答】解：tan 3θ=，2222222sin cos 2sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ--∴--=+ 222tan 11tan tan θθθ--=+ 75=． 故答案为：75． 42．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为 4 ． 【解答】解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则282l r l r +=⎧⎨=⎩解得2r =，4l =由扇形面积公式可得扇形面积1124422S lr ==⨯⨯=故答案为：443．已知角α的终边经过点(,3)P m -，且4cos 5α=-，则m = 4- ．【解答】解：由题意，4cos 5α==-解得4m =- 故答案为：4- 44．7sin6π= 12- ．【解答】解：7sin 6π sin()6ππ=+sin6π=-12=-．故答案为：12-45．5sin()6π-= 12- ．【解答】解：551sin()sin sin()sin 66662πππππ-=-=--=-=-故答案为12-46．sin300︒的值为．【解答】解：sin300sin(36060)sin 60︒=︒-︒=-︒=故答案为． 三．解答题（共4小题）47．在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5，以角α的终边为始边，逆时针旋转4π得到角β．（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅰ）求cos()αβ+的值．【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5， 445tan 335α∴==--．（Ⅰ）以角α的终边为始边，逆时针旋转4π得到角β，4πβα∴=+．由（Ⅰ） 利用任意角的三角函数的定义可得3cos 5α=-，4sin 5α=，2422sin cos 25sn ααα∴==-，27cos22cos 125αα=-=-．4cos()cos(2)sin 2cos cos2sin sin 2)445ππαβααααα∴+=+=--=48．在平面直角坐标系xOy 中，角α，(02πβα<<，)2πβπ<<的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为513，35． （Ⅰ）求tan β的值； （Ⅰ）求cos AOB ∠的值．【解答】解：（Ⅰ）角α，β的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边分别与单位圆交于A ，B 两点，A ，B 两点的纵坐标分别为513，35． 所以：5sin 13α=，3sin 5β=，由于：02πα<<，2πβπ<<，所以：4cos 5β=-，则：3tan 4β=-．（Ⅰ）由（1）求出5sin 13α=，3sin 5β=，由于：02πα<<，2πβπ<<，所以：4cos 5β=-，12cos 13α=，所以：4125333cos cos()cos cos sin sin 51313565AOB βαβαβα∠=-=+=-+=-． 49．函数()sin()(0f x A x A ωϕ=+>，0ω>，||)2πϕ<的部分象如图所示．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及解析式； （Ⅰ）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知1A =，函数的周期42()233T πππ=-=， 即22ππω=，则1ω=，由五点对应法得32ππϕ+=，得6πϕ=，则函数的解析式为()sin()6f x x π=+．（Ⅰ）02x π，∴2663x πππ+， 则当66x ππ+=时，()f x 取得最小值，最小值为1sin62π=． 50．已知函数21()cos sin cos 2f x x x x =+-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅰ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值．【解答】解：1cos21111()()sin 2cos2sin 2)222224x I f x x x x x π+=+-=+=+ 所以函数()f x 的最小正周期是22T ππ==． ()II 由题意知 3222,242k x k k Z πππππ+++∈， 故588k x k ππππ++， 所以函数()f x 单调递减区间为5[,],88k k k Z ππππ++∈． （Ⅰ） 因为02x π， 所以当52444x πππ+， 所以5244x ππ+=，即2x π=时，1()2min f x =-．。
北京市2021届高考数学讲义 第27讲 函数的概念及其性质经典回忆 理(1)
函数的概念及其性质经典回忆开篇语函数是高中数学的重要内容之一，也是每一年高考必考的重点内容之一．在历年的高考中，就模块1单一的内容来讲，要紧围绕函数的概念域和值域、最大值和最小值、函数的图象和性质、指数函数、对数函数与幂函数的图象和性质、函数的解析式与抽象函数、函数的零点等知识进行考查．另外，函数还常常和数列、不等式、导数结合，组成重要的知识网络交汇点，以此考查学生的数学综合能力．本讲作为第一轮温习，要紧围绕模块1内知识，选配相关的问题进行分析和研究，以帮忙同窗们落实双基、慢慢提高相关的数学能力． 高兴自测 题一：函数y =的概念域为（ ）．（A ）(4,1)-- （B ）(4,1)- （C ）(1,1)- （D ）(1,1]-题二：设()f x 为概念在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22xf x x b =++ (b 为常数)，那么(1)f -=（ ）． (A) 3 (B) 1 (C)1- (D)3-题三：若是函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(, 4)-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）．（A ）3a ≤- （B ）3a ≥- （C ）5a ≤ （D ）3a ≥考点梳理1．函数概念设A ，B 是非空的数集，若是按某种确信的对应关系f ，使关于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确信的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 ()()y f x x A =∈．其中x 叫自变量，x 取值范围A 叫做函数的概念域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合(){}f x x A ∈叫做函数的值域．显然值域是集合B 的子集．2．函数的奇偶性奇函数：若是关于函数()f x 的概念域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么称()f x 为这一概念域内的奇函数．偶函数：若是关于函数()f x 的概念域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=那么称()f x 为这一概念域内的偶函数．奇函数、偶函数的图象特点：函数()f x 是奇函数⇔ 函数()y f x =的图象关于原点对称．函数()f x 是偶函数⇔函数()y f x =的图象关于y 轴对称．3．函数的单调性设函数()f x 的概念域为I ：若是关于概念域内某个区间上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x < ，那么就说()f x 在那个区间上是增函数；若是关于概念域内某个区间上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在那个区间上是减函数．函数的单调区间：若是函数()y f x =在某个区间上是增函数（或减函数）就说()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做()f x 的单调区间．4．指数函数概念：函数xy a =(0,a >且1)a ≠叫做指数函数，函数的概念域是实数集R ，值域是(0, )+∞．性质：（1）图象过点(0, 1)，即0x =时，1y =；（2）当1a >时，函数在R 上是增函数；当01a <<时，函数在R 上是减函数．5．对数函数概念：函数log a y x =(0,a >且1)a ≠叫做对数函数，函数的概念域是(0,)+∞．值域是(, )-∞+∞． 性质：（1）图象过点(1, 0)，即1x =时，0y =；（2）当1a >时，函数在R 上是增函数；当01a <<时，函数在R 上是减函数．6．幂函数概念：函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 咱们只讨论11, 2, 3, , 12α=-五种情形． 性质：图象通过点(1,1)；函数31,,,y x y x y x -===是奇函数，函数2y x =是偶函数； 在第一象限内，函数1232,,,y x y x y x y x ====都是增函数，函数1y x -=是减函数； 在第一象限内，函数1y x -=的图象向上与y 轴无穷接近，向右与x 轴无穷接近．7．函数的零点关于函数()y f x =，使方程()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点．函数的零点的性质：方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．若是函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是持续不断的一条曲线，而且有()()0f a f b ⋅<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =，那个c 也确实是方程()0f x =的根． 金题精讲题一：设0>b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为以下之一，那么a 的值为 （ ）． （A ）1 （B ）1- （C ）251-- （D ）251+- 题二：设偶函数()f x 知足3()8(0)f x x x =-≥，那么{|(2)0}x f x ->=（ ）．(A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或(C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或题三：已知概念在R 上的奇函数)(x f ，知足(4)()f x f x -=-，且在区间[0，2]上是增函数，假设方程() (0)f x m m =>在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，那么1234_________.x x x x +++=题四：已知()f x 是概念在R 上的不恒为零的函数，且关于任意的a 、b ∈R 都知足()()()f a b af b bf a ⋅=+． （Ⅰ）求(0), (1)f f 的值；（Ⅱ）判定的()f x 的奇偶性，并证明你的结论．题五：函数()f x 对任意的, m n R 都有()()()1f m n f m f n ，而且当0x 时，()1f x . （Ⅰ）求(0)f ；（Ⅱ）求证：()f x 在R 上是增函数.名师寄语要点小结与建议：在模块1中，函数的概念、函数的图象和性质、函数的最大值和最小值、指数函数和对数函数和幂函数的图象和性质、函数的零点、函数的解析式与抽象函数等知识，是函数的重点内容．本讲通过具体例子，揭露了上述内容在高考中的相应考法．为此，在高三温习中，咱们应当认真把握上述核心知识，擅长提炼函数与方程的思想，慢慢落实双基，培育相关能力．高兴自测题一：C 题二：D 题三：A金题精讲题一：B 题二：B 题三：-8题四：（Ⅰ）(0)0f =，(1)0f =；（Ⅱ）()f x 是奇函数题五：（Ⅰ）(0)1f =；（II ）证明略。