中国剩余定理
中国剩余定理
在中国古代劳动人民中，长期流传着 隔墙算”、剪管术”、秦王暗点兵”等数学游戏。
有一首 孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：
三人同行七十稀，五树梅花廿一枝,
七子团圆正半月，除百零五便得知。 ”
这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的孙子问题”的解法，通俗 地反映
了中国古代数学一项卓越的成就。
孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它 最早出现在中国公元四世纪的数学着作 《孙子算经》中。《孙子算经》卷下物不知数”题说:
有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何显然，这 相当于求
不定方程组
N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2
的正整数解N ，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。
《孙子算经》所给答案是N=23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可 以得
到。但是《孙子算经》并不是这样做的。 物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数
之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十 五，与余
数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是：
N=70X 2+21 X3+15X2 — 2X105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件 的最小正
整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数 3、2分别换成新的
余数就行了。以 R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于 给出公式
也就是说，这三个数可以从最小公倍数 M=3K 5X7=105 分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1=2 , K2=1 , K3=1 , 取使所得到的三数 70、21、15被相应模数相除的时候余数都是 出，在
余数是 R1、R2、R3的情况下的情况。 N=70X R1+21X R2+15X R3 — PX105 （ P 是整数）。
孙子算法的关键，在于 七十稀”、廿一枝”和正半月 数的来历。实际上，它们具有如下特性: 70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说
”，就是暗指这三个关键的数字。 《孙子算经》没有说明这三个
中各约去模数3、5、7后，再
那么整数Ki (i=1 , 2, 3)的选
1。由此出发，立即可以推
70 , 21 , 15，有何妙用，有何性质呢 ？首先70是3除余1而5 70a 是3除余a ，而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3 21b 是5除余b ，而3与7除得尽的数。同理，15c 是7除余c ,
70a+21b+15c 是3除余a , 5除余b , 7除余c 的
数，也就 105(105=3 X 5X7)仍有这样性质，可以多次 附：女0 70 ,其实是要找余2的，但只要找到了余 1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数 70 , 21 , 15。解法的意思就是用
70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除 以105的
余数就是答案。
即题目的答案为 70X2+21X 3+15X 2
=140+63+30
=233
233-2 X105=23
公式：70a+21b+15c-105n
题中有三个数，分别为 3、5、7 , 5X7-3余数为2 , 数为3，只需将3X7扩大3倍变成63即可；同样 3X5扩大2倍，变成30。
中国剩余定理”算理及其应用:
为什么这样解呢因为 70是5和7的公倍数，
且除以5余1。 15是3和5的公倍数，且除以 7
据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余
式组就不难解出了。)把
70、21、15 这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是 233，符合题意，但不是最小，而 105
又是3、5、7的最小公倍数，去掉 105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解 题容易记
忆，但有它的局限性，只能限于用 3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行
了。后来中国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1 :一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几题中 解法中的三个关键数
与7都除得尽的数，所以
与7都除得尽的数，所以 3与5除得尽的数，总加起来 是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减 减去105而得到最小的正数解。
取35 ； 3X7廿余数为1，要使余
的余数为1，要使余数为2，则将
3X5T 3余1。21是3和7的公倍数, 且除以 余1。(任何一个一次同余式组，只要根 3、4、5 三
个数两两互质。则〔4, 5〕=20 ;〔3 , 5〕=15 ;〔3 , 4〕=12 ;〔3, 4, 5〕=60。为了使20被3除余1 ,用20X2=40 ;使15被4除余1，用15X3=45 ;使12被5除余1，用12X3=36。
然后，40X1+45X2+36X 4=274，因为，274>60，所以，274 —60X4=34，就是所求的数。
例2 :一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几题中 个数两两互质。则〔7, 8〕=56 ;〔 3, 8〕=24 ;〔 3 , 7〕=21 ;〔 3 , 7, 8〕=168。为了 使56被3除余1，用56X2=112 ;使24被7除余1 , 21X5=105 ;然后，112X2+120X 4+105X5=1229 ,因为，
就是所求的数。
例3 :一个数除以5余4，除以8余3，除以11
题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88 ; 8, 11〕=440。为了使 88 被 5 除余 1，用 88X2=176 ;使 55 被 8 除余 1，用 55X7=385 ; 使 40 被 11 除余 1 ,用 40X8=320。然后，176X4+385X 3+320X 2=2499 ,因为，2499>440 , 所以，2499 — 440X5=299，就是所求的数。
例4 :有一个年级的同学，每
9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2 人，问这个年级至少有多少人 （幸福123老师问的题目）题中 9、7、5三个数两两互质。
则〔7, 5〕=35 ;〔 9 , 5〕=45 ;〔 9, 7〕=63 ;〔 9, 7 , 5〕=315。为了使 35 被 9 除余 1 , 用35X8=280 ;使45被7除余1，用45X5=225 ;使63被5除余1，用63X2=126。然后，
280X5+225X 1+126X2=1877，因为，1877>315，所以，1877 — 315X5=302，就是所求的 数。
每 9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3 题中9、7、5三个数两两互质。则〔7, 5〕=35 ;〔 9, 5〕 5〕=315。为了使 35 被 9 除余 1 ,用 35X8=280 ;使 45 被 7
除余 1，用 45X5=225 ;使 63 被 5 除余 1 ,用 63X2=126。然
后，280X6+225X 2+126X 3=2508 , 因为，2508>315，所以，2508 — 315X7=303，就是所求的数。（例
5与例4的除数相同， 那么各个余数要乘的 数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）
关于 中国剩余定理”类型题目的另外解法 中国剩余定理”解的题目其实就是 余数问 题”这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试 时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被 5除 余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少解法：题目可以看成，被 5除余2,被 6除余4,被7除余4。看到那个 被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出 6和7的最小公倍数，再加上 4,就是满足后面条件的数了， 6X7+4=46。下面一步试下46
能不能满足第一个条件 一个数被5除余2”不行的话，只要再 46加上6和7的最小公倍 数42，—直加到能满足 一个数被5除余2”这步的原因是，42是6和7的最小公倍数， 再怎么加都会满足 被6除余4，被7除余4”的条件。
46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172 这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余
数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，
如果每组三人就多两人， 每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生解法：题目可以看成，除
余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是 逐步约束法”，就是从 除7余4
的数”中找出符合 除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为
3、7、8 三 用24X5=120。使21被8除余1，用 1229>168，所以，1229 — 168X7=53 , 余2，求满足条件的最小的自然数。 〔5 , 11〕=55 ;〔 5 , 8〕=40 ;例5 :有一个年级的同
学， 人，问这个年级至少有多
少人 =45 ;〔 9，7〕=63 ;
18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足 除3余
2” 4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解 中国剩余定理”解的题目。比 中国剩余定 理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下
.所以：一 共有 5 个 187 367 547 727 907
此题的初等解法
四川省三台县工商局王志成的初等解法，简单、方便、可以永远的延续下去。
条件1、三三数之余二 ，条件2、五五数之余三 卜一数之余七，条件 5、十三十三数之余五，条件 1?满足条件1为等差数列：3N+2 。
2?将等差列3N+2取5项有：2, 5, 8 , 11 , 14 , 三，结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。
3?将等差列15N+8取7项有：8 , 23 , 38 , 53 , 68 , 83 , 98，必然有一项满足条件 3 , 七七数之余二，结果为 23 ,同时满足条件1, 2 , 3的为等差数列：23+ 105N 。
4?将等差列 23+ 105N 取 11 项有：23 , 128 , 233 , 338 , 443 , 548 , 653 , 758 ,
863 ,
968 , 1073 ,必然有一项满足条件 4, 十^一^ 一数之余七， 结果为128 ,同时满足条件1 , 2 , 3, 4的为等差数列：128+1155N 。
5?将等差列 128+1155N 取 13 项有：128 , 1283 , 2438 , 3593 , 4748 , 5903 ,
7058 , ，必然有一项满足条件 5,十三十三数之余 5的为等差数列：3593+15015N 。
78668 , 93683 , 108698 , 123713 , 138728 , 153743 , 168758 , 183773 , 198788 , 213803 ,
228818 , 243833，必然有一项满足条件 6，十七十七数之余七，结果为 198788，同时满 足条件1 , 2, 3, 4 , 5 , 6的为等差数列：198788+255255N 。
数列化简
当等差数列的首项及公差较大时， 对于求任何素因子的余数，都可以先进行化简计算。
如在该问题的基础上，
增加十九十九数余 5，如果对198788+255255N 取19项再寻找
19的余数，得新的等 ，条件3、七七数之余二，条件
6、十七十七数之余七， 4、
必然有一项满足条件 2，五五数之余 8213，9368，10523，11678，12833，13988
五，结果为3593，同时满足条件 1，2，3，4， 6?将等差列3593+15015N N 取17项有:
3593，18608，33623，48638，63653， 每一项的余数，用笔算是相当的不方便，我们用首项和公差分别除以 差数列：10+9N ，取19项之内有：10，0（当满或超过19时减去 7，16，
6，15，5，当出现与余数相同的数后，就可以不再计算了。 19 余 5。
19 再算）,9, 18 , 8, 17 , 因该数列第11项除以
即原数列的第11项除以19必然余5，198788+255255*
（ 11-1）=2751338，得等差
数列2751338+4849845N 的数,为满足上面七个条件的数。
如何判别错题 在计算余数问题上，很容易出现错题，正确的题有解，错误的题是无解的。什么是错 题题意自相矛盾的题是错题。 判断标准：一个数除以一个素因子只有一个余数； 除以合数时, 要看它与合数的素因子的余数是否有矛盾。
1?素因子的重复。即 M/A 余C ,式中的M 与A 都是固
定的，那么，余数 C 只能有一 但余数必须相同，否则，就是错题。如，除以
3余2，问该数为多少这里的除以 3余1与除以3
3余1，除以5余2, 9是由素因子3组成的，既然前面明示除以 8/3余2与除以3余1矛盾，该题为错题。
之内只有1+3N 为：除9余1，余4，余7。除以9余2 , 3 , 5 , 6, 8, 0都属于错题。
3余1,除以5余2，除以7余3，除以15余8 , 这里的除以15余8 , 8/3余2与前面的除以3余1矛盾，8/5余3与前 3余1，除以5余2有：7+15N ，即除 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13 , 14 都 必须与题中所出现的素因子不产生矛
盾， 必须是同时满足题中所出现 （合数
所包含的） 同余的解法
当你看了在上面的初等解法后，对同余的解法就简单了。
例某数为 M ，有M/3余2，M/5余3，M/7余2，M/11余3，M/13余2，求M=
这里有M 除以3，7，13都余2，因3*7*13=273，即2+273N 为满足除以3，7,
都余2的等差数列；
同理，M 除以5, 11余3，因5*11=55，即3+55Z 等差数列的数为满足除以
5和 都余3的等差数列。
个。除以同一个素因子可以在题中出现多次,
3余1,除以5余2，除以7余3,除以 余2自相矛盾，为错题。 除以7余3，除以9余8， 3余1,那么，这里的除以 满足除以 3余1的在9
2?单个素因子组成的合数。如，除
以
问该数为多少因为， 3?多个素因子组成的合数。如，除以
问该数为多少因为，
面的除以5余2矛盾，该题为错题。同时满足除以
以15只能余7,对于除以15余0, 1 , 属于错题。除以多个素因子组成的合数时， 矛盾的标准是除以多个素因子组成的合数， 素因子的数。 不产生 的
13 11
三垂线定理
三垂线定理 周口市第三高级中学 王杰 教学目标 三垂线定理是反映三种垂直关系的定理。要求熟练掌握三垂线定理及逆定理，并据此 能够进行推理，论证和解决有关问题。进一步提高学生利用数学知识解决实际问题的能力。 教学重难点 三垂线定理及其逆定理的理解和应用 教学方法 启发式教学法 依知识点的形成过程，实际问题的分析过程，启发学生寻求证明的途径，解决问题的 思路。 教学过程 引例： 如图，已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC=90°，求证：BC ⊥PB 。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内， ∴PA ⊥BC ，又∠ABC=90°， ∴BC ⊥AB ∴BC ⊥平面PAB ，PB 在平面PAB 内 ∴BC ⊥PB 思考： （1）证明线线垂直的方法有哪些？ （2）三垂线定理及其逆定理的主要内容。 线线垂直的方法 ： （1）a ⊥? ,b 在?内，则a ⊥b （2）a ∥b ，m ⊥b ，则a ⊥m （3）三垂线定理及其逆定理 三垂线定理包含几种垂直关系？ ○ 1线面关系 ○2线射垂直 ○3线斜垂直 定理 直线和平面垂直 平面内的直线和平面 平面内的直线和平 的一条斜线射影垂直 面的一条斜线垂直 逆定理 三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么， 它就和这条斜线垂直。 三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么，它也和这条斜线的射影垂直。 B
例1： 如图所示，已知PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°， AQ ⊥PC ，AR ⊥PB ，试 证?PBC 、 ?PQR 为直角三角形。 证明：∵PA ⊥平面ABC ，∠ACB= 90°∴AC ⊥BC ∵AC 是斜线PC 在平面ABC 的射影 ∴BC ⊥PC ∴?PBC 是直角三角形；∴BC ⊥平面PAC ∵AQ 在平面PAC 内，∴BC ⊥AQ ，又PC ⊥AQ ， ∴ AQ ⊥平面PBC ，∴QR 是AR 在平面PBC 的射影 又AR ⊥PB ，∴QR ⊥PB （三垂线逆定理）， ∴?PQR 是直角三角形。 小结： 凡是能够使用三垂线定理或逆定理证明的结论，都能由线面垂直的性质来证明， 而我们的目标应该是能够熟悉这两个定理的直接应用。 例2. 在四面体ABCD 中，已知AB ⊥CD ，AC ⊥BD 求证：AD 证明：作AO ⊥平面BCD 于点O ，连接BO ，CO ，DO 则BO ，CO ，DO 分别为AB ，AC ，AD 在平面BCD 上的射影。 ∵AB ⊥CD ，∴BO ⊥CD ，同理CO ⊥BD 于是O 是△BCD 的垂心， ∴DO ⊥BC ，于是AD ⊥BC. 小结：运用三垂线定理及逆定理，必然要找出斜线，及作出该斜线在平面内的射影. 例3 . 如图，已知DB 、EC 都垂直于正三角ABC 所在的平面，，BC=EC=2DB ， 求平面ADE 与平面ABC 所成二面角的平面角。 解：延长ED 、BC 交于F ，连AF ，则AF 为二面角的棱 由已知DB 、EC 都垂直正三角ABC ，∴ DB//EC 又BC=EC=2DB ∴ FB=BC=AB ，∴ ?FAC 为直角三角形，且FA ⊥AC 而EC ⊥平面ABC ∴ AF ⊥AE （三垂线定理） 于是∠EAC 为平面ABC 与平面ADE 的平面角， 又EC=AC ，∴ ∠EAC= 45° ∴ 二面角的平面角为45°。 思考：本题还可以用什么方法求二面角的平面角？ （ 用 c o s ABC ADE s S θ??= ） 小结：求二面角往往是作出二面角的平面角，先确定二面角的棱，再设法过棱上一点在 二面角的两个半平面上作棱的两条垂线以找到平面角，从而转化为平面问题来解决。作二面角的平面角常用的方法有（1）定义法（2）三垂线定理法（3）作垂面法。 此外射影面积定理也是求二面角大小的一种常用方法。学习空间向量之后,我们还有另外的方法来求二面角,例如法向量法等. 例4： 直角三角形ABC 中，∠B= 90°，∠C= 30°，D 是BC 的中点，AC=2， DE ⊥平面ABC 且DE=1，求E 到斜线AC 的距离？ 解：过点D 作DF ⊥AC 于F ，连结EF ， ∵DE ⊥平面ABC ，由三垂线定理知EF ⊥AC 即E 到斜线AC 的距离为EF 在Rt ?ABC 中， ∠B= 90°，∠C= 30°，C=2 A
中国剩余定理(孙子定理)
中国剩余定理（孙子定理） 问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？ 简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。 定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。 定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。 以上两个定理随便个例子即可证明！ 现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数 （1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。 （1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况） （2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。 （3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。 （4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题
什么是中国剩余定理
什么是中国剩余定理？
剩余定理详细解法 中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？ 意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？ 《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。 刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题： 「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」 孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。 中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 【学习内容分析】 “三垂线定理”是安排在“直线与平面的垂直的判定与性质”后进行学习的。它是线面垂直性质的延伸。利用三垂线定理及其逆定理，可将空间两直线垂直与平面两直线垂直进行互相转化，具体应用表现例如辅助我们做二面角平面角等。所以在立体几何中有核心定理的作用。 【课程目标】 一.知识与技能目标 理解和掌握三垂线定理及其逆定理的内容、证明和应用。 二.过程与方法目标 1通过对定理的学习，培养学生观察、猜想和论证数学问题的能力。 三．情感、态度和价值观目标 3、培养学生逻辑推理证明的能力和相互转化的思想。 【教学重点和难点】 一.教学重点 定理的理解和运用 二．教学难点 如何在具体图形中找出适合三垂线定理（或逆定理）的直线和平面。 【教学方法】 以教师为主导，以学生为主体，以能力发展为目标，从学生的认识规律出发进行启发式教学，运用小组学习合作探究。 【教学过程】 一复习引入： 1.复习提问 1、回顾直线与平面垂直的相关性质以及射影、斜线等概念； 设计意图（因为平面的垂线、平面的斜线及射影是三垂线定理的基础，直线与平面垂直的判定与性质又是证明三垂线定理的基本方法，因此我用提问的形式让学生温故知新，作好新课的铺垫。） 2.有意设疑，引入新课。 平面的垂线垂直于平面内的每一条直线；平面的斜线不能垂直于平面的每一条直线，但也不是与每一条直线都不垂直。那么平面的斜线与平面内的直线在什么情况下是垂直的呢 学生思考后，我再引导学生利用三角板和直尺在桌面上搭建模型（如图），使直尺与三角
板的斜边垂直，引导学生猜想发现规律。经过实验，发现直尺与三角板在平面内的直角边垂直时便与斜边垂直。 启发学生把猜想、实验后得到的结论总结出来，表达成数学命题： 平面内的一条直线如果和平面的斜线的射影垂直，那么就和平面的这条斜线垂直（板书） 设计意图（为了唤起学生学习的兴趣，把学生的注意力集中起来，调动学生的思维积极性，我通过提出问题，创设情景，引导学生观察、猜想，发现新的知识，培养学生的探索能力） 二、新课讲授： 由以上的分析，我们可以抽象出如下的一个图。 PO⊥α，PA与α斜交于点A，AO ⊥a，问PA与a所成的角； 显然PO⊥α?PO a ⊥ α ? a OA a ⊥?a⊥平面POA ?PA PO I OA=O PA?平面POA 即：PA与a所成的角为900 三垂线定理来源于“线面垂直”，抓住平面α的垂线PO， 才是抓住了定理的实质与关键，并启发学生猜想逆命题的真假，学生把握住了线面垂直这个本质很容易得出三垂线定理的逆定理。 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线在平面内的射线垂直。（板书） 设计意图（1证明命题。通过对猜想得到的命题的论证，加深学生对命题内容的认识，使学生的思维提高到演绎推理的水平上来。我通过启发学生进行思考讨论后再进行归纳小结，帮助学生理清证明的基本思路，培养学生相互转化的数学思想。2.利用命题变换，培养学生思维的灵活性，进一步深化对定理的学习和理解。3利用列表对比教学法，强化对三垂线定理及其逆定理内容的理解和记忆。） 剖析命题 （1）.三垂线定理及其逆定理的内容反映了“四线一面”的相互关系，平面内的直线与平面的斜线以及斜线在平面上的射影垂直等价，本质就是线面垂直的定义。 （2）.通过教具演示、图形分析、我再对灵活应用定理的程序进行总结： 一找垂面：即先确定平面及平面的垂线： 二找斜线：接着确定平面的斜线： 三定射影：由上面的垂足和斜足确定斜线的射影； 四证直线：即在平面内证明某一条直线与平面的斜线或斜线的射影垂直。（板书） 设计意图（为了加深对定理的理解，为灵活应用定理奠定基础，帮助学生化解难点，揭示定理的应用方法。） 三讲解例题
三垂线定理及其逆定理例题
三垂线定理及其逆定理例题 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，AO 是PO 在平面α的射影,,a α?a AO ⊥。 求证：a PO ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与PO 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面，O 为对角线BD 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）AD BC ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是BCD ?的垂心； P D A B C 1 A C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：Rt ABC ?中，,3,42A AB AC π∠===，PA 是面ABC 的斜线，3 PAB PAc π ∠=∠=。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理
高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理 1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m - =≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -= 是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡ 2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡??≡??≡? . 3.设*,n N ∈证明：存在* ,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根. (请对比拉格朗日定理). 4.证明：对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.
5.证明：对任意正整数n ,存在n 个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂. 6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数. 7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =
高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答 1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m - =≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -= 是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡ 证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm += 1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s - =于是11(mod ).j j j M M m -≡另一方面,,j j m M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是111(mod )(1,2,,).k j j j i i i i i j M M a M M a a m i k --=≡≡=∑即11(mod )k j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解. 若00 ,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00 (mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00 |m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证. 2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡??≡??≡? . 解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解. 123789504,72,63,56.M M M M =??==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡ 2631(mod8),M =≡-取12 1(mod8).M -≡- 3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡
小学奥数：中国剩余定理
在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数
三垂线定理
三垂线定理 教学目标： 1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明 2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直 3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点 教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明 教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直 教学方法：启发式教学法 教 具：模具 教学过程 一、复习引入： 1.直线与平面垂直的定义： 2.直线与平面垂直的判定定理： 3.平面的斜线，斜线在平面内的射影： 4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？ 二、新授： 1.三垂线定理 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 已知：,PO PA 分别是平面α的垂线和斜线，OA 是PA 在平面α内的射影，a α?，且a OA ⊥ 求证：a PA ⊥； 证明：∵PO α⊥ ∴PO a ⊥，又∵,a OA PO OA O ⊥= ∴a ⊥平面POA ， ∴a PA ⊥． 说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系； (2)符号表达：,,PO O PA A a PA a a OA αααα⊥∈??=?⊥???⊥? . (3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线. 2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 说明：符号表达： ,,PO O PA A a AO a a AP αααα⊥∈??=?⊥???⊥? ． 注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA ，PO ，AO 都垂直α内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 (2)要考虑a 的位置，并注意两定理交替使用 (3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
秦九韶与中国剩余定理
秦九韶与中国剩余定理 报告人：宋文法一、前言： 中国人的三大发明：指南针、造纸术及火药，影响整个世界既深且广。中国古代的数学成就，更是在整个世界的数学知识历史发展中，占有举足轻重的角色，甚至是领先外国发现很久很久的，除了商高定理、圆周率的逼近、刘徽的极限割圆术，还有中国人的中国剩余定理，而谈到这个世界闻名的数论问题，更不能不谈南宋末年秦九韶的贡献。 二、自小勤奋好学的秦九韶： 秦九韶（1202--1261年），南宋末期人物。秦九韶 性敏慧，勤奋好学，幼年随父居中都（今北京），受到 名师指导，学习日益增进，在建筑方面也极有才能。 宋朝绍定四年（公元1231年），秦九韶考中进士， 先后担任县尉、通判、参议官、州守、司农、寺丞等职。 他虽置身政治，但对数学的研究并未放弃。在政务之余， 还广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等数据，进 行分类研究。宋朝淳祜四至七年间（1244--1247），把长期研究积累的数学知识加以编辑，以四年的时间，在1247年九月，在浙江湖州完成了《数书九章》十八卷，此时中国的局势，正是在蒙古入侵中原，兵荒马乱的动荡时期，秦九韶因此书而名留千古。 三、孙子问题： 在《孙子算经1》下卷第二十六题是一个举世闻名的数学问题，一般人称它为「孙子问题」2： 今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？ 《孙子算经》所给的答案是： 1清代戴震根據該書中有出現長安、洛陽、佛書等用語，排除該書作者為春秋軍事家孫武，近人錢寶琮認為《孫子算經》成書在西元400年(南北朝時期)左右。《孫子算經》是一部在古代供數學初學者使用的入門書，包括度量衡制度、大數進位法、籌算記數法、九九乘法表及整數 乘除法等。困擾現在小學生的雞兔同籠問題，也早就出現在此書。 2也稱「物不知數」問題，中國後來的「韓信點兵」、「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」之名，皆是指同一類的數論命題別名。
中国剩余定理问题的解题技巧
【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这种问题称为“中国剩余定理”问题。 我一般用两种方法解决这类问题。 第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。 第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。 还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。 下面分别介绍一下常用的两种方法。 通用的方法：逐步满足法 【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？ 把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，…… 然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11. 所以11就是所求的数。 先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。 好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。 特殊的方法：最小公倍法 情况一 【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外） 除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。 除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。 所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16. 情况二
【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？ 这种情况也可以用特殊法。 数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。 数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。 所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14. 多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。 所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。 我们接下来分析最开始的那个问题。 【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？ 这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。 除以７余２的数可以写成7n＋2。 7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识） 7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。 所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44. 所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？） 要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识） 56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。 所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.
中国剩余定理
中国剩余定理 孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下： 有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。 中文名 孙子定理 外文名 Chinese remainder theorem(CRT) 分类 数学 提出 孙子 问题 一元线性同余方程组 又名 余数定理 目录 .1公式 .2文献 .3交换环上推广 .?主理想整环
.?一般的交换环 .4数论相关 .5例题解析 公式 用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组： 有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。 中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组 有解，并且通解可以用如下方式构造得到： 设 是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设 是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。 设 为 模
的数论倒数( 为 模 意义下的逆元) 方程组 的通解形式为 在模 的意义下，方程组 只有一个解： 证明 [1]： 从假设可知，对任何 ，由于
，所以 这说明存在整数 使得 这样的 叫做 模 的数论倒数。考察乘积 可知： 所以 满足： 这说明
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 知识点： 1.三垂线定理；； 2.三垂线定理的逆定理； 3.综合应用； 教学过程： 1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直； 已知：,PA PO 分别是平面α的垂线和斜线，A O 是P O 在平面α的射影,,a α?a A O ⊥。 求证：a P O ⊥； 证明： 说明： （1）线射垂直（平面问题）?线斜垂直（空间问题）； （2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂线定理； （3）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。 （4）直线a 与P O 可以相交，也可以异面。 （5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。 例1.已知P 是平面ABC 外一点，,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证：PC BC ⊥。 例2.已知P A ⊥正方形A B C D 所在平面，O 为对角线B D 的中点。 求证：,PO BD PC BD ⊥⊥。 P B B
例4.在正方体1AC 中，求证：11111,A C B D A C BC ⊥⊥； 2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性； 命题： 已知： 求证： 证明： 说明： 例2．在空间四边形ABCD 中，设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证：（1）A D B C ⊥； （2）点A 在底面BCD 上的射影是B C D ?的垂心； P D A B C 1
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证： 说明：可以作为定理来用。 例5．已知：R t A B C ?中，,3,42 A A B A C π ∠= ==，PA 是面ABC 的斜线，3 P A B P A c π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成的角的大小; (2)当PA 的长度等于多少的时候，点P 在平面ABC 内的射影恰好落在边BC 上； B
成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理
成都七中高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理 1.(中国剩余定理)设12,, ,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1 k j j m m == ∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m -=≡= ∑唯一. 其中1,j j j m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1 1(mod ).j j j M M m -≡
2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡?? ≡??≡? . 3.设*,n N ∈证明：存在* ,m N ∈使得同余方程2 1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根. (请对比拉格朗日定理).
4.证明：对任意给定的正整数n,均有连续n个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子. 5.证明：对任意正整数n,存在n个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.
6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数. 7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =
高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答 1.(中国剩余定理)设12,, ,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m == ∏的意义下解1 01 (mod )k j j j j x x M M a m -=≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1 1(mod ).j j j M M m -≡ 证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm += 1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -=于是1 1(mod ).j j j M M m -≡另一方面, ,j j m M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是 111 (mod )(1,2, ,).k j j j i i i i i j M M a M M a a m i k --=≡≡=∑即1 1 (mod )k j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程 组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解. 若00 ,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00 (mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00 |m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证. 2.解同余方程组1(mod 7) 1(mod8)3(mod 9)x x x ≡?? ≡??≡? . 解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解. 123789504,72,63,56.M M M M =??==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡ 2631(mod8),M =≡-取1 21(mod8).M -≡-
三垂线定理及其逆定理
三垂线定理及其逆定理 知识点: 1、三垂线定理;; 2、三垂线定理得逆定理; 3、综合应用; 教学过程: 1.三垂线定理:平面内一条直线,如果与这个平面得一条斜线在平面内得射影垂直,那么这条直线就与这条斜线垂直; 已知:,PA PO 分别就是平面α得垂线与斜线,AO 就是PO 在平面α得射影,,a α?a AO ⊥。 求证:a PO ⊥; 证明: 说明: (1)线射垂直(平面问题)?线斜垂直(空间问题); (2)证明线线垂直得方法:定义法;线线垂直判定定理;三垂线定 理; (3)三垂线定理描述得就是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间得垂直关系。 (4)直线a 与PO 可以相交,也可以异面。 (5)三垂线定理得实质就是平面得一条斜线与平面内得一条直线垂直得判定定理。 例1、已知P 就是平面ABC 外一点,,PA ABC AC BC ⊥⊥。 求证:PC BC ⊥。 例2、已知PA ⊥正方形ABCD 所在平面,O 为对角线BD 得 求证:,PO BD PC BD ⊥⊥。 例4、在正方体1AC 中,求证:1111 1,AC B D AC BC ⊥⊥; 2.写出三垂线定理得逆命题,并证明它得正确性; 命题: 已知: 求证: 证明: 说明: 例2.在空间四边形ABCD 中,设,AB CD AC BD ⊥⊥。 求证:(1)AD BC ⊥; (2)点A 在底面BCD 上得射影就是BCD ?得垂心; 例3、求证:如果一个角所在平面外一点到角得两边得距离相等这点在平面内得射影在这个角得平分线上 已知: 求证: 说明:可以作为定理来用。 P C
例5.已知:Rt ABC ?中,,3,42 A A B A C π ∠= ==,PA 就是面ABC 得斜线,3 PAB PAc π ∠=∠= 。 (1)求PA 与面ABC 所成得角得大小; (2)当PA 得长度等于多少得时候,点P 在平面ABC 内得射影恰好落在边BC 上; 作业: 1、正方体1111D C B A ABCD -,,E F 分别就是1,A A AB 上得点,1EC EF ⊥、 求证: 1EF EB ⊥。 2、已知:PA ⊥平面PBC ,,PB PC M =就是BC 得中点。 求证:BC AM ⊥; 3、填空并证明: (1)在四面体ABCD 中,对棱互相垂直,则A 在底面BCD BCD 得 心。 (2)在四面体ABCD 中,AB 、ＡＣ、ＡＤ互相垂直,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心 (3)在四面体ABCD 中,AB=AC=AD ,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。 (4)在四面体ABCD 中,顶点A 到BC 、CD 、DB 得距离相等,则A 在底面BCD 上得射影就是底面BCD 得 心。 4、正方体1111D C B A ABCD -中棱长a ,点P 在AC 上,Q 在BC 1上,AP ＝BQ ＝a, (1)求直线PQ 与平面ABCD 所成角得正切值; (2)求证:PQ⊥AD . 5、在正方体1111D C B A ABCD -中,设E 就是棱1AA 上得点,且1:1:2A E EA =,F 就是棱AB 上得点,12 C EF π ∠= 。求AF:FB 。 6、点P 就是ABC ?所在平面外一点,且PA ⊥平面ABC 。若O 与Q 分别就是ΔABC 与ΔPBC 得垂心,试证:OQ ⊥平面PBC 。 7、已知EAF ∠在平面α内,,,AT P PAE PAF αα??∠=∠,,,EAT FAT PD D αα∠=∠⊥∈。求 证:D AT ∈; B
六下奥数1中国剩余定理
六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；