中国剩余定理
中国剩余定理在中国古代劳动人民中，长期流传着 隔墙算”、剪管术”、秦王暗点兵”等数学游戏。
有一首 孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝,七子团圆正半月，除百零五便得知。
”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的孙子问题”的解法，通俗 地反映了中国古代数学一项卓越的成就。
孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它 最早出现在中国公元四世纪的数学着作 《孙子算经》中。
《孙子算经》卷下物不知数”题说:有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何显然，这 相当于求不定方程组N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2的正整数解N ，或用现代数论符号表示，等价干解下列的一次同余组。
《孙子算经》所给答案是N=23。
由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可 以得到。
但是《孙子算经》并不是这样做的。
物不知数”题的术文指出解题的方法多三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十 五，与余数二相乘。
将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。
列成算式就是：N=70X 2+21 X3+15X2 — 2X105。
这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件 的最小正整数。
对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数 3、2分别换成新的余数就行了。
以 R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于 给出公式也就是说，这三个数可以从最小公倍数 M=3K 5X7=105 分别乘以整数2、1、1而得到。
假令k1=2 , K2=1 , K3=1 , 取使所得到的三数 70、21、15被相应模数相除的时候余数都是 出，在余数是 R1、R2、R3的情况下的情况。
N=70X R1+21X R2+15X R3 — PX105 （ P 是整数）。
孙子算法的关键，在于 七十稀”、廿一枝”和正半月 数的来历。
实际上，它们具有如下特性: 70、21和15这三个数的确定。
后来流传的《孙子歌》中所说”，就是暗指这三个关键的数字。
《孙子算经》没有说明这三个中各约去模数3、5、7后，再那么整数Ki (i=1 , 2, 3)的选1。
由此出发，立即可以推70 , 21 , 15，有何妙用，有何性质呢 ？首先70是3除余1而5 70a 是3除余a ，而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3 21b 是5除余b ，而3与7除得尽的数。
同理，15c 是7除余c ,70a+21b+15c 是3除余a , 5除余b , 7除余c 的数，也就 105(105=3 X 5X7)仍有这样性质，可以多次 附：女0 70 ,其实是要找余2的，但只要找到了余 1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数 70 , 21 , 15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除 以105的余数就是答案。
即题目的答案为 70X2+21X 3+15X 2=140+63+30=233233-2 X105=23公式：70a+21b+15c-105n题中有三个数，分别为 3、5、7 , 5X7-3余数为2 , 数为3，只需将3X7扩大3倍变成63即可；同样 3X5扩大2倍，变成30。
中国剩余定理”算理及其应用:为什么这样解呢因为 70是5和7的公倍数，且除以5余1。
15是3和5的公倍数，且除以 7据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。
)把70、21、15 这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是 233，符合题意，但不是最小，而 105又是3、5、7的最小公倍数，去掉 105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解 题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用 3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。
后来中国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1 :一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几题中 解法中的三个关键数与7都除得尽的数，所以与7都除得尽的数，所以 3与5除得尽的数，总加起来 是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减 减去105而得到最小的正数解。
取35 ； 3X7廿余数为1，要使余的余数为1，要使余数为2，则将3X5T 3余1。
21是3和7的公倍数, 且除以 余1。
(任何一个一次同余式组，只要根 3、4、5 三个数两两互质。
则〔4, 5〕=20 ;〔3 , 5〕=15 ;〔3 , 4〕=12 ;〔3, 4, 5〕=60。
为了使20被3除余1 ,用20X2=40 ;使15被4除余1，用15X3=45 ;使12被5除余1，用12X3=36。
然后，40X1+45X2+36X 4=274，因为，274>60，所以，274 —60X4=34，就是所求的数。
例2 :一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几题中 个数两两互质。
则〔7, 8〕=56 ;〔 3, 8〕=24 ;〔 3 , 7〕=21 ;〔 3 , 7, 8〕=168。
为了 使56被3除余1，用56X2=112 ;使24被7除余1 , 21X5=105 ;然后，112X2+120X 4+105X5=1229 ,因为，就是所求的数。
例3 :一个数除以5余4，除以8余3，除以11题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8，11〕=88 ; 8, 11〕=440。
为了使 88 被 5 除余 1，用 88X2=176 ;使 55 被 8 除余 1，用 55X7=385 ; 使 40 被 11 除余 1 ,用 40X8=320。
然后，176X4+385X 3+320X 2=2499 ,因为，2499>440 , 所以，2499 — 440X5=299，就是所求的数。
例4 :有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2 人，问这个年级至少有多少人 （幸福123老师问的题目）题中 9、7、5三个数两两互质。
则〔7, 5〕=35 ;〔 9 , 5〕=45 ;〔 9, 7〕=63 ;〔 9, 7 , 5〕=315。
为了使 35 被 9 除余 1 , 用35X8=280 ;使45被7除余1，用45X5=225 ;使63被5除余1，用63X2=126。
然后，280X5+225X 1+126X2=1877，因为，1877>315，所以，1877 — 315X5=302，就是所求的 数。
每 9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3 题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7, 5〕=35 ;〔 9, 5〕 5〕=315。
为了使 35 被 9 除余 1 ,用 35X8=280 ;使 45 被 7除余 1，用 45X5=225 ;使 63 被 5 除余 1 ,用 63X2=126。
然后，280X6+225X 2+126X 3=2508 , 因为，2508>315，所以，2508 — 315X7=303，就是所求的数。
（例5与例4的除数相同， 那么各个余数要乘的 数”也分别相同，所不同的就是最后两步。
）关于 中国剩余定理”类型题目的另外解法 中国剩余定理”解的题目其实就是 余数问 题”这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。
不懂论坛上有没人发过。
小学奥赛考试 时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。
例一，一个数被 5除 余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少解法：题目可以看成，被 5除余2,被 6除余4,被7除余4。
看到那个 被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出 6和7的最小公倍数，再加上 4,就是满足后面条件的数了， 6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件 一个数被5除余2”不行的话，只要再 46加上6和7的最小公倍 数42，—直加到能满足 一个数被5除余2”这步的原因是，42是6和7的最小公倍数， 再怎么加都会满足 被6除余4，被7除余4”的条件。
46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172 这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人， 每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生解法：题目可以看成，除余2，除5余3，除7余4。
没有同余的情况，用的方法是 逐步约束法”，就是从 除7余4的数”中找出符合 除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。
得出数为3、7、8 三 用24X5=120。
使21被8除余1，用 1229>168，所以，1229 — 168X7=53 , 余2，求满足条件的最小的自然数。
〔5 , 11〕=55 ;〔 5 , 8〕=40 ;例5 :有一个年级的同学， 人，问这个年级至少有多少人 =45 ;〔 9，7〕=63 ;18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足 除3余2” 4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解 中国剩余定理”解的题目。
比 中国剩余定 理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
大家可以试下.所以：一 共有 5 个 187 367 547 727 907此题的初等解法四川省三台县工商局王志成的初等解法，简单、方便、可以永远的延续下去。
条件1、三三数之余二 ，条件2、五五数之余三 卜一数之余七，条件 5、十三十三数之余五，条件 1•满足条件1为等差数列：3N+2 。
2•将等差列3N+2取5项有：2, 5, 8 , 11 , 14 , 三，结果为8，同时满足条件1和2的为等差数列：15N+8。
3•将等差列15N+8取7项有：8 , 23 , 38 , 53 , 68 , 83 , 98，必然有一项满足条件 3 , 七七数之余二，结果为 23 ,同时满足条件1, 2 , 3的为等差数列：23+ 105N 。
4•将等差列 23+ 105N 取 11 项有：23 , 128 , 233 , 338 , 443 , 548 , 653 , 758 ,863 ,968 , 1073 ,必然有一项满足条件 4, 十^一^ 一数之余七， 结果为128 ,同时满足条件1 , 2 , 3, 4的为等差数列：128+1155N 。
5•将等差列 128+1155N 取 13 项有：128 , 1283 , 2438 , 3593 , 4748 , 5903 ,7058 , ，必然有一项满足条件 5,十三十三数之余 5的为等差数列：3593+15015N 。
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系
中国剩余定理与线性组合、特解通解、基之联系1 引言中国剩余定理是关于南北朝时期一部著名的算术著作《孙子算经》中物不知数问题引出的一个定理．《孙子算经》中物不知数问题是：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”2 中国剩余定理及其证明2.1中国剩余定理的定义)150](3[P在现在的初等数论中，中国剩余定理是这样叙述的：设k m m ，⋯⋯,1是两两既约的正整数， 那么对任意整数 ,,1k a ，a ⋯⋯ 一次同余方程组 k j m a x j j ≤≤≡1),(mod 1 （1） 必有解，且解数为1．事实上，同余方程组（1）的解是)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡ （2） 这里k m m m m ⋯⋯=21 , )1(k j M m m j j ≤≤=,以及j x 是满足k j m x M j j j ≤≤≡1),(mod 1 （3） 的一个整数（既是j M 对模 j m 的逆）．中国剩余定理的数学思想在近代数学，当代密码学研究及日常生活都起着广泛应用.2.2中国剩余定理的证明)99](1[P证明1 首先证明解的存在性．令k m m m M ⋯⋯=21,对于每个,,,2,1n k ⋯=令k k k ，km m m m m M M ⋯⋯==+-111，根据定理条件可得1),(=k k m M ,又根据一元同余式有解的充要条件可知)(m od 1k k m x M ≡是有解的．设它的唯一解为x k ．构造)(m od 111m a x M a x M x k k k +⋯⋯+≡.根据K M 的构造可知,k j m M k j ≠≡),(mod 0那么k k k a x M a x M x +⋯⋯+≡111)(mod k k k k m x M a ≡，又k x 是)(m od 1k k m x M ≡的解，所以有)(m od )(m od k k k k k k m a m x M a x ≡≡，这就证明了x 是所给同余式组的一个公共解，所以解存在．再证解的唯一性．假使y 是所给同余式组的另一公共解，则有)(m od k k m a x ≡≡)(mod k m y 所以对于每一个k 都有K M 整除)(x y -，又根据i j m m j i ≠=,1),(所以k m m m ⋯⋯21整除)(x y -, 于是)(mod M y x ≡所以解是唯一的．证毕．证明2 为简单起见考虑2=k 的情形，现在，21m m m =， 1112,m M m M ==及同余方程组（1）是)(m od 11m a x ≡)(m od 22m a x ≡由第一个方程知，可把x 表为：y m a x 11+=．这样，以上同余方程组变为同余方程，)(m od 2121m a a y m -≡即，)(m od 2122m a a y M -≡由))(m od (12122m a a M y --≡,进而有))(m od (12221m a a x M y m -≡. （4）由此及式（4）得))(m od (12221m a a x M a x -+≡)(m od )1(222122m a x M a x M +-≡ （5）由21,m m 的对称性，同样可得)(m od )1(211111m a x M a x M x -+≡ （6） 但（5）式和（6）式还都不是我们需要的式（2）（2=k ）的形式．但利用式（3）（0=k ），容易看出 ),(m od 112211m x M x M -≡),(m od 112211m x M x M -≡所以),(m od 12211m x M x M -≡由此及（5）式（或（6）式）立即推出：若x 是解则必有)(m od 222111m a x M a x M x +≡容易验证222111a x M a x M +的确是原同余方程组的解．证毕．用证法二来证2=k 的情形并不方便．下面再介绍一种证法．证明 3 首先，我们来指出这样一个事实：若 0x 满足同余方程组（1），0x '满足下面的同余方程组k j m a x j j ≤≤'≡1),(mod那么，00x x '+一定是同余方程组 k j m a a x j j j ≤≤'+≡1),(mod的解．因此，我们可以用下面的叠加方法来求同余方程组（1）的解．设=ji a ⎩⎨⎧≠=j i j i a j 0,（7）对每个固定的)1(k i i ≤≤考虑同余方程组k j m a x j ij ≤≤≡1),(mod （8）注意到i j ≠时 0=ij a 所以由这方程组的第k i i ,,1,1,,1⋯+-⋯ 个方程（注意j m 两两既约）)(mod 0i M x ≡,即y M x i = . 代入第i 个方程得)(mod i i i m a y M ≡.由)(m od i i i m a x y ≡,即)(m od m a x M y M i i i i ≡ .即)(m od m a x M x i i i ≡.容易验证，i i i a x M 确实同余方程组（8）的解（这就证明了同余方程组（8）有解且解数为1．注意到由式（7）可得j r j j j a a a a =+⋯⋯++)()2()1(,所以，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 一定是同余方程组（1）的解．在证法一中已证明了若有解，则解数为1．定理证毕．细心的读者会发现，一元同余式组与求解一次不定方程组是一样的，同余式组中 k j m a x j 「≤≤≡1),(mod 用线性方程组的语言可表达为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-kk k a m x x a m x x a m x x 222111 （9） (x 为整数范围内的根)3线性方程组定理（线性方程组有解判别定理）)78](2[p 非奇次线性方程组有解的充分必要条件为它的系数矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯sn s s n n a a a a a a a a a 212212111211 与增广矩阵 A = ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋯⋯⋯⋯⋯⋯s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211 有相同的秩.定理)90](2[p 如果0γ 是非奇次方程组的一个特解，那么该方程组的任一解 γ 都可以表成 ηγγ+=0其中 η是其导出组的一个解．因此，对于该方程组的任一特解γ，当γ取遍它的导出组时，此方程组就给得到它的全部解．线性方程组（9）可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋯⋯⋯-=-=kk k m a x x m a x x m a x x /)(/)(/)(222111 因为k x x x ,,,21⋯⋯，都是整数．所以由中国剩余定理知，k k k a x M a x M +⋯⋯+111 为x 的一个特解．其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋯⋯⋯=-=-0002211k k m x x m x x m x x的所有解为x 为m 的整数解倍．所以（9）的通解为),(m od 111111m a x M a x M am a x M a x M x k k k k k k +⋯⋯+≡++⋯⋯+= （a 为整数）总的来说，中国剩余定理是线性组合的最早应用，它又是数论中的一个特有的重要概念．4 相关例题“物不知数”问题就是要求同余方程组)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡x x x （10）的正整数解．书中求出了满足这一问题的最小正整数解23=x ，所用的具体解法实质上就是求这同余方程组的形如式（2）的解，我们来解决同余方程组（10），这里.15,21,357,5,3321321======M M M m m m 容易算出可取.1,1,2332211===---M M M (这里jj M -是j M 对模 j m 的逆) 因此（10）的解为 )105(mod 23233211531212235≡≡⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≡x因此，满足“物不知数”问题的正整数解是,,2,1,0,10523⋯=+=t t x 最小的为23.定理2)155](3[p 设k k k x x M M m m m ,,,,,,,,,111⋯⋯⋯与中国剩余定理中假设一致．再设)(mod )()1(11m x x M x x M x k k k ⋯+≡那么,x 遍历模m 的完全（既约）剩余系的充要条件是)(j x分别遍历j m 的完全（既约）剩余系.此外，还有k j m xx j ≤≤≡1),(m od )(. (11) 下面来举几个例子．例1)157](3[P 解同余方程组)11(mod 2)7(mod 2)5(mod 1)3(mod 1-≡≡-≡≡x x x x 解 取 ,11,7,5,34321====m m m m 满足中国剩余定理的条件．这时,753,1153,1173,11754321⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M我们来求1x ，由于)3(m od 1)1()1()1(1≡-⨯⨯-=M ，所以)3(m od 1111x x M ≡≡,因此可取)5(m od 112)2(.121≡⨯⨯-==M x ,知)5(m od 1222x x M ≡≡,因此可取)7(m od 4543.132≡⨯⨯==M x ,知 )7(m od 41333x x M ≡≡,因此可取)11(m od 6573.243≡⨯⨯==M x ,知)11(m od 61444x x M ≡≡，因此可取24=x ,进而由中国剩余定理知同余方程组解为)11753)(mod 2(2)753(22)1135()1(1)1173(11)1175(⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≡x 即)1155(mod 394420660231385≡-+-≡x例2 求相邻的四个整数，它们依次22227532，，，，整除．解 设这四个相邻整数是.2,1,,1++-x x x x 按要求应满足),2(m od 012≡-x ),3(mod 02≡x),5(m od 012≡+x ),7(mod 022≡+x所以，这是一个解同余方程组的问题，这里242322217,5,3,2====m m m m 两两既约，满足定理的条件.532,732,752,7532224222322222221⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=M M M M由)2m od 111121（≡≡M ，知 )2(m od 12111x x M ≡=因此可取11=x ．由 )3(m od 4417102222≡⨯≡⨯≡M ，知)3(m od 412222x x M ≡=，因此可取x 2=-2 ．由)5(mod 112122223-≡⨯≡M ，知)5(mod 1112322x x M -≡=,)5(mod 3222233x x ≡-=, )5(mod 2416233x x -≡=因此可取 94=x ．由)7(m od 1863)24()13(24≡⨯≡-⨯-＝M ， 知 )7(m od 1812444x x M ≡≡,)7(mod 5543244x x ≡≡,)7(m od 5030244x x ≡≡,因此可取4x =-19由定理知⨯-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯≡)19(532)1(97320)2(752117532222222222222x )7532(m od 22222⨯⨯⨯-）（)44100mod 342491587611025（+-≡.所以满足要求的四个相邻整数有无穷多组，它们是,4410029348t + ,4410029349t +,4410029350t + ,4410029351t + （t 为整数）最小的这样的四个相邻正整数是29351,29350,29349,29348．例3 求模11的一组完全剩余系，使其中每个数被,7,5,3,2除后的余数分别为1,1,1,1--．解 在定理2中取,11,7,5,3,255321=====m m m m m ,以及,1,1,1)3()2()1(=-==x x x1)4(-=x .由定理2知，当)5(x 遍历模11的完全剩余系时)5(5544332211x x M x M x M x M x M x +-+-= （12） 这就给出了所要求的完全剩余系．下面来求)51(≤≤j x j ．由)2(m od 1≡i M 知)2(m od 1111x x M ≡≡,所以可取11=x ．由 )3(m od 12-≡M 知)3(m od 11222x x M ）（-≡≡ 所以可取12-=x ．由)5(mod 23≡M 知)5(mod 21333x x M ≡≡,所以可取23-=x ．由)7(m od 14≡M 知)7(m od 1444x x M ≡≡,所以可取14=x ．由)11(mod 15≡M 知)11(m od 1555x x M ≡≡.所以可取 15=x 这样就得到)5(753211532)2(117321175211753x x ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯--⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=41)3(2102106712103309247701155)5()5()5(+=+=+--+=x x x具有这样性质的最小的模11的完全剩余系是.4110210,419412108210,317210,416210,415210,414210,413210411022,41210,41+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+ 例4 解同余方程组)15(mod 1),20(mod 11),8(mod 3≡≡≡x x x .解 这里15,20,8321===m m m 不两两既约，所以不能直接用定理．容易看出，这同余方程组的解和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)5(mod 11)4(mod 11)8(mod 3≡≡≡≡≡x x x x x的解同解．显见，满足第一个方程的x 必满足第二个方程，而第三，第四个方程是一样的．因此，原方程组和同余方程组)3(mod 1)5(mod 1)8(mod 3≡≡≡x x x （13）的解相同．同余方程组（13）满足定理的条件．容易解出同余方程组（13）的解为 )120(mod 29-≡x .注意到[]12015,20,8=所以这也是原同余方程组的解，且解数为1.例4给出了模k m m ，⋯⋯,1 不是两两既约时，同余方程组（1）如何求解的例子．对于一般情形的解法原则上也是这样．例5 解同余方程组)1155(mod 19≡x .解 这是一个一次同余方程．这里我们把它化为模较小的一次同余方程组来解．由于117531155⨯⨯⨯=，所以这个同余方程组和方程组)3(mod 55619≡x , )5(mod 55619≡x ,)7(mod 55619≡x , )11(mod 55619≡x .的解相同．这同余方程组就是)3(mod 1≡x , )5(mod 1≡-x ,)7(mod 32≡x , )11(mod 63≡-x .上述同余方程组就变为)3(mod 1≡x , )5(mod 1-≡x ,)7(mod 2≡x , )11(mod 2-≡x .这同余方程组可用定理的方法来解．实际上，这就是我们的例1中的同余方程组，它的解是)1155(mod 394≡x这就是原同余方程组的解．例6 解同余方程组)10(mod 13≡x ,)15(mod 74≡x解 利用例4的方法这同余方程组的解与同余方程组)5(mod 74)3(mod 74)5(mod 13)2(mod 13≡≡≡≡x x x x 的解相同．但第二个同余方程)5(mod 13≡x 可化为)5(mod 2≡x ，第四的同余方程组 )5(mod 74≡x 可化为)5(mod 2-≡x ，与)5(mod 8≡x 矛盾，所以原同余方程组无解．我们用线性方程组的方法来解以上例1中的一元同余式组例7 线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=--=-=-2112715134321x x x x x x x x (16) 线性方程组(21)可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+=-=11/)2(7/)2(5/)1(3/)1(4321x x x x x x x x 因为4321,,,x x x x 都是整数，由中国剩余定理知,394=x 为 x 的一个特解，其导出组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=-=-0110705034321x x x x x x x x 的所有解为11753⨯⨯⨯的整数倍．（16）式的通解为)1155(mod 3941155394≡+=a x .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题，再算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果．5 结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就，它在数学史上占有光辉的一页，其数学思想一直启发和指引着历代数学家们，在数学领域，特别是计算机领域发挥着重要作用．。
中国剩余定理求模运算
中国剩余定理求模运算中国剩余定理是一种数论中常用的定理，用于求解同余方程组。
它的应用十分广泛，涉及到信息安全、编码和密码学等领域。
同余方程组是指一组方程，其中所有的方程都具有相同的模数，但可能有不同的余数。
例如，我们可以考虑以下同余方程组：x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 2 (mod 7)这个方程组的解表示为一个整数x，满足以上三个方程。
而中国剩余定理告诉我们，只要模数两两互质，我们就可以通过一种简单的算法来求解这个方程组。
具体来说，我们可以先分别解出每个同余方程的解，然后利用这些解和模数的乘积来构造最终的解。
这个算法的关键在于利用模数的互质性，这样我们可以得到唯一的解。
例如，对于上面的同余方程组，我们可以分别解出以下三个方程的解：x ≡ 2 (mod 3) 的解为x ≡ 2, 5, 8, ...x ≡ 3 (mod 5) 的解为x ≡ 3, 8, 13, ...x ≡ 2 (mod 7) 的解为x ≡ 2, 9, 16, ...然后我们可以取这些解的交集，即满足所有方程的解，得到x ≡23 (mod 105)。
这个解表示在模105下，x与23同余。
注意到105是3、5和7的乘积，而且它们两两互质，因此我们可以利用中国剩余定理得到这个解。
中国剩余定理的应用不仅限于上面的例子，它可以用于解决更复杂的同余方程组。
而且，它还有许多实际应用，比如在信息安全中的RSA算法和公钥密码体制中，中国剩余定理被广泛应用于加密和解密过程中。
中国剩余定理是一种十分有用的数论定理，可以用于求解同余方程组。
它的应用广泛，并在信息安全和密码学等领域发挥着重要作用。
通过合理利用中国剩余定理，我们可以解决许多实际问题，保护信息的安全性，确保数据的完整性。
中国剩余定理的历史价值和应用
中国剩余定理的历史价值和应用
中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称CRT）是古老的数学定理，来源于古印度人拉穆卡尼的《数书大全》，但最早由中国宋朝数学家董仲舒来提出。
CRT是一种快速求解模不互质整数方程组的方法，其历史价值和应用非常广泛。
中国剩余定理可以求解n阶不同进制的数的同余式。
由于CRT的效率高，因此，它在工业上有较多的应用，如计算机硬件中，解数论中的模运算问题时，通常都使用CRT法求解。
例如，在压缩视频时，经典加密算法RSA 就是使用CRT法进行加速计算的。
此外，CRT在许多领域中也有着广大应用，如在凸优化中有测试剩余定理的实验，在几何中的研究的有使用剩余定理的技巧，在模数几何学中也有CRT的计算和推导应用。
而且，CRT在高斯消元法、矩阵计算、主元计算中也有应用可以设计的有关计算的算法。
因此可见，中国剩余定理在古老中国宋朝就已经诞生，它的历史价值和应用十分广泛，它不仅在计算机软件、电子工程中有着重要的地位，而且在许多领域也得到了广大应用，是一种弥足珍贵的古老定理。
中国剩余定理的证明过程
中国剩余定理的证明过程摘要：I.引言- 介绍中国剩余定理及其应用背景II.中国剩余定理的数学表述- 阐述中国剩余定理的数学公式及符号表示III.证明过程- 讲解证明中国剩余定理的关键思路和方法- step-by-step 详细阐述证明过程IV.结论- 总结中国剩余定理的证明过程及意义正文：I.引言中国剩余定理，又称孙子定理，是数论中一个重要的定理。
该定理可以帮助我们求解一类模线性方程组的问题，即在模素数p 的意义下，求解形如x_1 ≡ a_1 (mod p), x_2 ≡ a_2 (mod p), ..., x_n ≡ a_n (mod p) 的方程组。
中国剩余定理给出了一个比较简洁的解法，基本思想是将原方程组转化为模p 的同余方程的求解。
II.中国剩余定理的数学表述中国剩余定理的数学表述如下：设p_1, p_2, ..., p_n 是n 个互异的素数，a_1, a_2, ..., a_n 是在模p_i下余数为a_i 的整数（1 ≤ i ≤ n），那么对于任意整数x，同余方程组：x ≡ a_1 (mod p_1)x ≡ a_2 (mod p_2)...x ≡ a_n (mod p_n)有唯一解x ≡ a (mod p)，其中a 是满足以下条件的最小正整数：1.a ≡ a_1 (mod p_1)2.a ≡ a_2 (mod p_2)...3.a ≡ a_n (mod p_n)III.证明过程中国剩余定理的证明过程分为两个关键步骤：1.模p_i 的同余方程求解对于任意素数p_i，设x ≡ a_i (mod p_i)，则有x = a_i + p_i * k_i，其中k_i 是满足0 ≤ k_i < p_i-1 的整数。
2.求解模p 的同余方程根据上述结果，我们可以将原同余方程组转化为模p 的同余方程组：a_1 + p_1 * k_1 ≡ a (mod p)a_2 + p_2 * k_2 ≡ a (mod p)...a_n + p_n * k_n ≡ a (mod p)由于p_1, p_2, ..., p_n 是互异的素数，根据Chinese RemainderTheorem，这个同余方程组有唯一解。
【中国剩余定理（孙子定理）】
【中国剩余定理（孙⼦定理）】中国剩余定理，⼜称孙⼦定理（什么名字啊）是中国古代求解⼀次同余式组（见同余）的⽅法。
是数论中⼀个重要定理。
⾸先来⼀个⼩！例！题！吧！注释：三数为a b c，余数分别为 m1 m2 m3，%为求今年余计算，&&是“且”运算。
1、分别找出能被两个数整除，⽽满⾜被第三个整除余⼀的最⼩的数。
k1%b==k1%c==0 && k1%a==1;k2%a==k2%c==0 && k2%b==1;k3%a==k3%b==0 && k3%c==1;2、将三个未知数乘对应数字的余数再加起来，减去这三个数的最⼩公倍数的整数倍即得结果。
Answer = k1×m1 + k2×m2 + k3×m3 - P×(a×b×c);P为满⾜Answer > 0的最⼤整数；或者 Answer = (k1×m1 + k2×m2 + k3×m3)%(a×b×c) ;我们来⼩⼩的证明⼀波 设M=m1*m2*......*mn Mi=M/mi 设Mi的逆元为Mi^(-1)(mod mi) 有Mi*Mi^(-1)≡1(mod mi) ai*Mi*Mi^(-1)≡ai(mod mi) 对于所有的j不等于i ai*Mi*Mi^(-1)≡0(mod mj) 所以答案就是所有ai*Mi*Mi^(-1)（mod p）的值1 #include<bits/stdc++.h>2using namespace std;3long long x,y;4long long a[15],b[15];5long long n;6void exgcd(long long A,long long B)7{8if(B==0)9 {10 x=1;11 y=0;12return;13 }14 exgcd(B,A%B);15long long z=x;16 x=y;17 y=z-(A/B)*y;18}19long long fast(long long a1,long long b1,long long mod)20{21long long ans=0;22 a1%=mod;23 b1%=mod;24while(b1)25 {26if(b1&1)27 {28 ans=(ans+a1)%mod;29 }30 b1>>=1;31 a1=(a1+a1)%mod;32 }33return ans;34}35long long china()36{37long long ans=0;38long long M=1;39for(long long i=1;i<=n;i++)40 M*=b[i];41for(long long i=1;i<=n;i++)42 {43long long m=M/b[i];44 exgcd(m,b[i]);45while(x<0)46 x+=b[i];47 x%=b[i];48 ans=(ans+fast(x,fast(m,(a[i]+M)%M,M),M)+M)%M;49 }50return ans;51}52int main()53{54 cin>>n;55for(long long i=1;i<=n;i++)56 {57 scanf("%lld",&a[i]);58 }59for(long long i=1;i<=n;i++)60 {61 scanf("%lld",&b[i]);62 }63 cout<<china();64return0;65 }。
中国剩余定理
中国剩余定理一般指孙子定理。
孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一
元线性同余方程组：
有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：
设
是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设
是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数
(
为模意义下的逆元)
方程组的通解形式为
在模的意义下，方程组只有一个解：
证明：
从假设可知，对任何，由于
，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：
所以
满足：
这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：
而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式
为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：。
中国剩余定理公式
中国剩余定理公式中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）是数论中的一个重要定理，它提供了一种解决一组同余方程的方法。
这个定理最早由中国数学家孙子在《孙子算经》中给出，后来由法国数学家孟德尔在17世纪将其形式化并证明。
中国剩余定理在现代密码学、编码及计算机科学等领域中得到广泛应用。
首先，我们来看一个简单的例子来理解中国剩余定理的基本思想。
假设有一个装满了一百个鸡蛋的蛋筐，如果每十二个蛋放进一个篮子，那么这些蛋需要放在多少个篮子里？我们可以用模运算来解决这个问题。
我们首先计算100除以12的商和余数，即100÷12=8余4、商表示放入篮子的个数，余数表示篮子中剩余的蛋数。
因此，我们需要8个篮子，并且还剩下4个蛋。
这个例子中就是使用了中国剩余定理。
定理的正式表述为：如果有一组模数互质的同余方程组{x ≡ a1 (mod n1), x ≡ a2 (mod n2), ..., x ≡ ak (mod nk)}，其中n1、n2、…、nk为正整数，a1、a2、…、ak为任意整数，而且n1、n2、…、nk两两互质，那么同余方程组在模n = n1 × n2 × … × nk下有唯一解。
中国剩余定理的解法可以通过构造一个同余方程组{x ≡ a1 (modn1), x ≡ a2 (mod n2), ..., x ≡ ak (mod nk)}，其中n1、n2、…、nk为给定的模数，a1、a2、…、ak为给定的余数。
然后我们找到这个同余方程组在模n = n1 × n2 × … × nk下的唯一解。
具体步骤如下：1. 计算n = n1 × n2 × … × nk。
2. 对于每一个i，计算Ni = n / ni。
3. 对于每一个i，计算Mi，使得Mi × Ni ≡ 1 (mod ni)。
可以使用扩展欧几里得算法来计算Mi。
多元多项式环上模的中国剩余定理
多元多项式环上模的中国剩余定理全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：多元多项式环上模的中国剩余定理是多项式环理论中的一个重要定理，它是中国剩余定理在多元多项式环上的推广和应用。
在研究多元多项式环的结构和性质时，中国剩余定理是一个非常有用的工具，可以帮助我们研究多项式环的同余方程组，并解决一些复杂的模问题。
在多元多项式环上，我们通常考虑的是由多个变元构成的多项式环，考虑环k[x1, x2, ..., xn]，其中k 是一个域，x1, x2, ..., xn 是变元。
在这样的多变元环中，我们可以进行多项式的加减乘除运算，并且也可以定义多项式的模运算。
具体地说，对于任意的两个多项式f(x1,x2, ..., xn) 和g(x1, x2, ..., xn)，我们可以定义它们的模为f(x1, x2, ..., xn) ≡ g(x1, x2, ..., xn) mod h(x1, x2, ..., xn)，其中h(x1, x2, ..., xn) 是一个非零多项式。
我们知道，中国剩余定理是一个关于同余方程组的定理，它告诉我们，如果我们有一组模数互质的同余方程组，那么这个方程组一定有唯一的解。
在多元多项式环上，我们也可以得到一个类似的结论，即多元多项式环上模的中国剩余定理。
具体地说，如果我们有一组模数互质的多项式方程组，那么这个方程组也有唯一的解。
更具体地说，在多元多项式环上，我们可以使用中国剩余定理来解决一些复杂的模问题，求解多项式方程组的解、判定模方程组是否有解等等。
这在代数学、数论等领域都有重要的应用。
在密码学中，我们常常需要对多项式环上的模方程组进行处理，以实现加密和解密操作。
第二篇示例：多元多项式环上模的中国剩余定理是数学中一个重要的定理，它在代数学、数论和计算机科学等领域都有着广泛的应用。
我们首先要了解什么是多元多项式环，然后再来理解模的概念，最后介绍中国剩余定理在这种环上的应用。
多元多项式环是指含有多个变量和系数属于某个固定域的多项式的集合。
中国剩余定理
中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国余数定理。
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
中文名孙子定理外文名Chinese remainder theorem(CRT)分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录.1公式.2文献.3交换环上推广.主理想整环.一般的交换环.4数论相关.5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。
中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。
设为模的数论倒数(为模意义下的逆元)方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。
考察乘积可知：所以满足：这说明就是方程组的一个解。
另外，假设和都是方程组的解，那么：而两两互质，这说明整除. 所以方程组的任何两个解之间必然相差的整数倍。
而另一方面，是一个解，同时所有形式为：的整数也是方程组的解。
所以方程组所有的解的集合就是：文献一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
奥数 中国剩余定理
中国剩余定理一、中国古代趣题中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。
”此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
（相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。
刘邦茫然而不知其数。
）孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。
中国剩余定理（ChineseRemainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
”诗中的每一句话都表示一个步骤：三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘；五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘；七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘；除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数。
此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是2×70+3×21+2×15=233，233-105=128，128-105=23。
70，21，15，105是从何而来？先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数。