专题--含参一元一次不等式组
第15讲一元一次不等式组培优专题
一、含参不等式（组）有关的问题
1.
探讨不等式组的解集（写出a,b满足的关系式）
（1）
关于； x的不等式组
x
a
有解， 则
a b
x b
（2） 关于； x的不等式组 x a 无解， 则
x b
（3）
关于； x的不等式组 x a有解， 则
x b
（4）
关于； x的不等式组 x a 无解， 则
x b
（5） 关于； x的不等式组 x a有解， 则
x b
（
6：
）关于 x的不等式组 x a 无解, 则
x b
变式: （1） 若不等式组 x m…力 无解， 则m的取值范围是
x 11
x m 1
⑵若不等式组x 2m 1无解，则m的取值范围是 --------------------------
1 x 2,
(3)
若不等式组
1 x 2
有解，则 k 的取值范围是
xk
x a y a 1
⑷如果关于x的不等式组x b无解'则关于y的不等式组y b i的解如何?
m, n 共有 ___________ 对.
2 (1)
若不等式组的解集为，那么的值等于 _______________
⑵
如果关于X的不等式组
7x
m 0
的整数解仅为1, 2, 3，那么适合这个不等式组的整数对
6x n 0
(3)已知关于x的不等式x — 2a V 3的最大整数解是-5，求a
的取值范围
3.
已知不等式亍
1的每一个解都是即1
的解，求a的取值范围
x 2a 2
变式：如果关于X的不等式组x 4 a有解，并且所有解都是不等式组-6V x < 5的解，求
a
的取值范围.
2x 1
1
4.
若关于x的不等式组
%
1
的解集为x 2，求k的取值范围
x k 0
a 1 x a 2
5. 不等式组3 x 5
的解集是
3 3 a 2
，求 a的取值范围
3 1
6. 已知不等式组x 1
（1） 当k 2时，不等式组的解集是 _____________ ，当k 3时，不等式组的解集是 ______________ ;
（2） 由（1）可知，不等式组的解集是随数k的值的变化而变化•当k为任意有理数时，写出 不等式组的
解集.
二、不等式（组）与方程（组）
7. 已知关于x的方程2 x k kx 3无负数解，求k的取值范围.
变式：已知关于x的方程金|x| x 2014只有负数解'求a的取值范围
8. 已知非负实数x,y,
z满足亍 写 宁，记W 3x 4y 5z
，求
W
的最大值与最小值
三. 绝对值不等式
(1)若 x a (a 0)，贝
U a x a
不等式x 2的解集为 _______________
(2)若 x a (a 0)，贝U x a 或
x a
不等式x >5的解集为 ______________
一元一次不等式组 专题练习(含答案解析)
一元一次不等式组 专题练习（含答案解析）一、计算题（本大题共25小题，共150.0分）1. 解不等式组，并在数轴上表示出解集：（1）{8x +5>9x +62x −1<7（2）{2x−13−5x+12≤15x −1＜3(x +1)．2. 解不等式组：{x +1＞0x ≤x−23+2．3. 解不等式组{3(x +2)≥x +4x−12＜1，并求出不等式组的非负整数解．4. 解不等式组：{2x −6≤5x +63x ＜2x −15. 求不等式组：{x −3(x −2)≤85−12x ＞2x 的整数解．6. 解下列不等式组并将不等式组的解集在数轴上表示出来．（1）{3x ＜2(x −1)+3x+62−4≥x ； （2）{5x +7＞3(x +1)1−32x ≥x−83．7. 解不等式组{x −3(x −2)≥42x−15＜x+12，并将它的解集在数轴上表示出来．8. 解不等式组 {3(x −2)+4＜5x 1−x 4+x ≥2x −1．9. 解不等式组：{−3(x +1)−(x −3)＜82x+13−1−x 2≤1，并求它的整数解的和．10. 试确定实数a 的取值范围，使不等式组{x 2+x+13＞0x +5a+43＞43(x +1)+a 恰有两个整数解．11. 解不等式组{2(x +2)≤x +3x 3＜x+14．12. 求不等式组{4(x +1)+3>x①x−42≤x−53②的正整数解．13. {x −3(x −2)≤42x−15>x+12．14. 求不等式组{1−x ≤0x+12＜3的解集．15. 解下列不等式组（1）{3x −2<82x −1>2（2）{5−7x ≥2x −41−34(x −1)＜0.5．16. 解不等式组：{2x −1>53x+12−1≥x，并在数轴上表示出不等式组的解集．17. 解不等式组：{x 2−1＜xx −(3x −1)≥−5．18. 解不等式组：{2x +9＜5x +3x−12−x+23≤019. 解不等式组：{3x +1＜2x +3①2x ＞3x−12②20. 解不等式组：{3x +7≥5(x +1)3x−22＞x +1．21. 解不等式组{1−2(x −1)≤53x−22＜x +12．22. 解不等式组：{4x ＞2x −6x−13≤x+19，并把解集在数轴上表示出来．23. 若关于x 的不等式组{x 2+x+13＞03x +5a +4＞4(x +1)+3a恰有三个整数解，求实数a 的取值范围．24. 求不等式组{4(x +1)+3>x①x−42≤x−53②的正整数解．25. 解不等式组{x−32＜−1x 3+2≥−x ．答案和解析1.【答案】解：（1）， 解不等式①得，x ＜-1，解不等式②得，x ＜4，∴不等式组的解集是x ＜-1，在数轴上表示如下：；（2）{2x−13−5x+12≤1①5x −1＜3(x +1)②， 解不等式①得，x ≥-1，解不等式②得，x ＜2，∴不等式组的解集是-1≤x ＜2，在数轴上表示如下：．【解析】 本题考查了不等式的解法与不等式组的解法，解此类题目常常要结合数轴来判断．要注意x 是否取得到，若取得到则x 在该点是实心的．反之x 在该点是空心的．（1）先求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解；（2）先求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分即可得解．2.【答案】解：{x +1＞0①x ≤x−23+2②， 由①得，x ＞-1，由②得，x ≤2，所以，原不等式组的解集是-1＜x ≤2．【解析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．3.【答案】解：解不等式（1）得x ≥-1解不等式（2）得x ＜3∴原不等式组的解是-1≤x ＜3∴不等式组的非负整数解0，1，2．【解析】先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其非负整数解即可．本题旨在考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．4.【答案】解：解不等式①，得x ≥-4，解不等式②，得x ＜-1，所以不等式组的解集为：-4≤x ＜-1．【解析】先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．5.【答案】解：由x -3（x -2）≤8得x ≥-1由5-12x ＞2x 得x ＜2∴-1≤x ＜2∴不等式组的整数解是x =-1，0，1．【解析】先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．解答此题要先求出不等式组的解集，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6.【答案】解：（1）{3x ＜2(x −1)+3①x+62−4≥x②， 解①得x ＜1，解②得x ≤-2，所以不等式组的解集为x ≤-2，用数轴表示为：；（2）{5x +7＞3(x +1)①1−32x ≥x−83②， 解①得x ＞-2，解②得x ≤2，所以不等式组的解集为-2＜x ≤2，用数轴表示为：． 【解析】（1）分别解两个不等式得到x ＜1和x≤-2，然后根据同小取小确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集； （2）分别解两个不等式得到x ＞-2和x≤2，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集．本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集．7.【答案】解：由①得：-2x≥-2，即x≤1，由②得：4x-2＜5x+5，即x＞-7，所以-7＜x≤1．在数轴上表示为：【解析】先解不等式组中的每一个不等式，再根据大大取较大，小小取较小，大小小大取中间，大大小小无解，把它们的解集用一条数轴表示出来．本题考查不等式组的解法和解集在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心．8.【答案】解：{3(x−2)+4＜5x①1−x4+x≥2x−1②，由①得：x＞-1；由②得：x≤1；∴不等式组的解集是-1＜x≤1．【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．本题主要考查对解一元一次不等式（组），不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．9.【答案】解：由①得x＞-2，由②得x≤1，∴不等式组的解集为-2＜x≤1∴不等式组的整数解的和为-1+0+1=0．【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．10.【答案】解：由x 2+x+13＞0，两边同乘以6得3x +2（x +1）＞0，解得x ＞-25， 由x +5a+43＞43（x +1）+a ，两边同乘以3得3x +5a +4＞4（x +1）+3a ，解得x ＜2a ，∴原不等式组的解集为-25＜x ＜2a ．又∵原不等式组恰有2个整数解，即x =0，1；则2a 的值在1（不含1）到2（含2）之间，∴1＜2a ≤2，∴0.5＜a ≤1．【解析】先求出不等式组的解集，再根据x 的两个整数解求出a 的取值范围即可．此题考查的是一元一次不等式的解法，得出x 的整数解，再根据x 的取值范围求出a 的值即可． 求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．11.【答案】解：{2(x +2)≤x +3①x 3＜x+14②， ∵由①得：x ≤-1，由②得：x ＜3，∴不等式组的解集是x ≤-1．【解析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式的解集找出不等式组的解集，题目比较好，难度也适中．12.【答案】解：由①得4x +4+3＞x解得x ＞- 73，由②得3x -12≤2x -10，解得x ≤2，∴不等式组的解集为- 73＜x ≤2．∴正整数解是1，2．【解析】 本题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值.一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值.先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可.13.【答案】解：{x −3(x −2)≤4①2x−15>x+12②， 由①得：x ≥1，由②得：x ＜-7，∴不等式组的解集是空集．【解析】根据不等式性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式（组）等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．14.【答案】解：{1−x ≤0①x+12＜3②， 解不等式①，得x ≥1．解不等式②，得x ＜5．所以，不等式组的解集是1≤x ＜5．【解析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x ＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x 介于两数之间．15.【答案】解：（1）{3x −2<8①2x −1>2②， 解不等式①，得x ＜103， 解不等式②，得x ＞32.∴原不等式组的解集是：32＜x ＜103；（2）{5−7x ≥2x −4①1−34(x −1)＜0.5②， 解不等式①，得x ≤1，解不等式②，得x ＞53. ∴原不等式组无解．【解析】 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x 大于较小的数、小于较大的数，那么解集为x 介于两数之间．（1）先分别解答出方程组中的每一个不等式的解集，然后取这两个不等式的解集的交集即为不等式组的解集；（2）先分别解答出方程组中的每一个不等式的解集，然后取这两个不等式的解集的交集即为不等式组的解集；如果两个不等式没有交集，说明原不等式组无解．16.【答案】解：{2x −1>5①3x+12−1≥x②解①得：x ＞3，解②得：x ≥1，则不等式组的解集是：x ＞3；在数轴上表示为：【解析】分别解两个不等式得到x ＞3和x≥1，然后利用同大取大确定不等式组的解集，再利用数轴表示解集． 本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．17.【答案】解：{x2−1＜x①x −(3x −1)≥−5②， 由①得：x ＞-2，由②得：x ≤3，∴不等式组的解集是：-2＜x ≤3．【解析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组的解集得规律找出不等式组的解集即可．本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组等知识点的理解和掌握，根据不等式的解集能找出不等式组的解集是解此题的关键．18.【答案】解：解不等式2x +9＜5x +3，得：x ＞2，解不等式x−12-x+23≤0，得：x ≤7，则不等式组的解集为2＜x ≤7．【解析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19.【答案】解：由①，得3x-2x＜3-1．∴x＜2．由②，得4x＞3x-1．∴x＞-1．∴不等式组的解集为-1＜x＜2．【解析】分别求出不等式①②的解集，同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到求出不等式组解集．本题考查了解一元一次不等式组的解法，利用同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到求不等式组解集是本题关键．20.【答案】解：{3x+7≥5(x+1)①3x−22＞x+1②，由①得，x≤1，由②得，x＞4，所以，不等式组无解．【解析】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．先求出两个不等式的解集，再求其公共解．21.【答案】解：由①得：1-2x+2≤5∴2x≥-2即x≥-1由②得：3x-2＜2x+1∴x＜3．∴原不等式组的解集为：-1≤x＜3．【解析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．22.【答案】解：{4x＞2x−6①x−13≤x+19②，解①得x＞-3，解②得x≤2，所以不等式组的解集为-3＜≤2，用数轴表示为：【解析】先分别解两个不等式得到x＞-3和x≤2，再根据大小小大中间找得到不等式组的解集，然后利用数轴表示解集．本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．23.【答案】解：{x2+x+13＞0①3x+5a+4＞4(x+1)+3a②，由①得：x＞-25，由②得：x＜2a，则不等式组的解集为：-25＜x＜2a，∵不等式组只有3个整数解为0、1、2，∴2＜2a≤3，∴1＜a≤32，故答案为：1＜a≤32．【解析】首先利用a表示出不等式组的解集，根据解集中的整数恰好有3个，即可确定a的值．本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．24.【答案】解：由①得4x+4+3＞x解得x＞-73，由②得3x-12≤2x-10，解得x≤2，∴不等式组的解集为-73＜x≤2．∴正整数解是1、2．【解析】先解每一个不等式，求出不等式组的解集，再求出正整数解即可．此题主要考查了不等式组的解法，并会根据未知数的范围确定它所满足的特殊条件的值．一般方法是先解不等式组，再根据解集求出特殊值．25.【答案】解：{x−32＜−1①x3+2≥−x②，解①得x＜1，解②得x≥-32，所以不等式组的解集为-32≤x＜1．【解析】分别解两个不等式得到x＜1和x≥-，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．。
专题：不等式(组)含参问题
7
8
x
方法：
如果它有解，那么的取值范围是什么？ 1、用口诀
2、用数轴
大小小大中间找
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
步骤：
可以等于吗？
1、定范围
2、定节点
可以等于吗？
练习：
x m 1
1、若不等式组
的解集为
x 3
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
>
可以利用画数轴
或者口诀解决这
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6 7 8 x
个问题吗？
可以等于吗？
同大取大
如果它的解集是 > ，那么 的取值范围又是什么呢？
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 O
可以等于吗？
1
2
3
4
5
6
7
8
x
≤3
1 +
2 3
x 2
2、如果不等式组
x m
( D
)
A. m 2
4
5
6
7
x
的解集为
B.
m2
8
x 3，求m的取值范围．
x
m
mC. 2
m2
，则m的取值范围是
m D.2
3、如果不等式组 x 8 有解，则m的取值范围是(
A .m 8
C.
x m
m8
4、关于x的不等式组
(2)若不等式①的解都是不等式②的解，求a的取值范围．
4、不等式组中含参解集取值范围
>2
第4讲 含参不等式--尖子班
第4讲 含参的不等式知识点1 含参的一元一次不等式含参的一元一次不等式（1）含未知数项的系数不含参数，如x ＞a ，（其中a 为常数）；（2）含未知数项的系数含参数，如mx ＞n ，（其中m 为参数、n 为常数）．【典例】1.已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，则m 的值为 ． 【答案】94．【解析】解：去括号，得2m ﹣2x+1＞3x ﹣2， 移项，得3x+2x ＜2m+1+2， 合并同类项，得，5x ＜2m+3， 系数化为1，得，x ＜2m+35，∵不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32， ∴2m+35=32，解得m=94．2.若不等式（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 的取值范围是____________．【答案】a＜﹣1．【解析】解：∵当a+1=0，即a=-1时，0＞0不成立，∴当a+1=0时，不等式（a+1）x＞a+1无解集，∴a+1≠0，∵不等式（a+1）x＞a+1两边都除以a+1，得其解集为x＜1，∴未知数x的系数（a+1）为负，∴a+1＜0，解得：a＜﹣1，故答案为：a＜﹣1．3.关于x的两个不等式①3x+a2＜1与②1﹣3x＞0．（1）若两个不等式的解集相同，求a的值．（2）若不等式①的解都是②的解，求a的取值范围．【答案】略．【解析】解：（1）由①得：x＜2−a3，由②得：x＜13，由两个不等式的解集相同，得到2−a3=13，解得：a=1；（2）由不等式①的解都是②的解，得到2−a3≤13，解得：a≥1．4.若关于x，y的方程组{3x+y=1−ax+3y=3的解满足x+y＜2，则a的取值范围为．【答案】a＞﹣4．【解析】解：{3x+y=1−a ①x+3y=3 ②，①+②得：4（x+y）=4﹣a，则x+y=14（4﹣a ）， 则14（4﹣a ）＜2，解得：a ＞﹣4． 故答案是：a ＞﹣4．【方法总结】1. 已知一元一次不等式（系数不含参）及其解集，求参数的值的思路． 如已知不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集是x ＜32，求m 的值，①求不等式2（m ﹣x ）+1＞3x ﹣2的解集为x ＜2m+35，②令2m+35=32，从而不难求出m 的值，2. 求一元一次不等式ax ＞b(a ，b 是常数)解集的思路．需要借助分类讨论思想，①若a ＞0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＞ba ；②若a ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为x ＜ba ；③若a=0，b ＜0，则不等式ax ＞b 的解集为任意实数；若a=0，b ≥0，则不等式ax ＞b 无解集．3. 已知一元一次不等式①和②的解集相同，求参数的值的思路．如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若两个不等式的解集相同，求a 的值．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3=13，从而不难求出a 的值．4. 已知一元一次不等式①的解都是②的解，求参数的取值范围的思路． 如关于x 的两个不等式①3x+a 2＜1与②1﹣3x ＞0，若不等式①的解都是②的解，求a 的取值范围的思路．①分别求出不等式①和②的解集为x ＜2−a 3和x ＜13，②令2−a 3≤13，从而不难求出a 的取值范围．【随堂练习】1．如果关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，试求关于x的不等式mx＞n的解集．【解答】解：移项得（2m﹣n）x＞5n﹣m，∵关于x的不等（2m﹣n）x+m﹣5n＞0的解集为x＜，∴2m﹣n＜0，且x＜，∴＝，整理得n＝m，把n＝m代入2m﹣n＜0得，2m﹣m＜0，解得m＜0，∵mx＞n，∴mx＞m，∴x＜．∴关于x的不等式mx＞n的解集是x＜．知识点2 含参的一元一次不等式组含参的一元一次不等式组常考题型1.给出不等式组解集的情况，求参数取值范围2.给出不等式组的解集，求参数的值3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围【典例】1. 若关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，则m 的取值范围为 ．【答案】m ＞23．【解析】解：{x −2m ＜0⋯①x +m ＞2⋯ ②，解①得：x ＜2m ， 解②得：x ＞2﹣m ，∵关于x 的一元一次不等式组{x −2m ＜0x +m ＞2有解，∴2m ＞2﹣m ，解得：m ＞23． 故答案是：m ＞23．2.已知不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，求（a+1）（b ﹣1）的值为 ．【答案】﹣6．【解析】解：由2x −a ＜1，解得x ＜a+12．由x −2b ＞3，解得x ＞3+2b ．∵不等式{2x −a ＜1x −2b ＞3的解集为﹣1＜x ＜1，∴a+12=1，3+2b=﹣1，解得a=1，b=﹣2，∴（a+1）（b ﹣1）=（1+1）×（﹣2﹣1）=﹣6， ∴（a+1）（b ﹣1）的值为﹣6． 故答案为﹣6．3.如果关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣4＜a ＜5． 【解析】解：{x +y =3 ①x −2y =a −2②，①﹣②得3y=5﹣a ，则y=5−a 3， 把y=5−a 3代入①得x=3﹣5−a 3=4+a 3．则方程组的解是{x =4+a3y =5−a 3，∵关于x 、y 的方程组{x +y =3x −2y =a −2的解都是正数，∴{4+a3＞05−a 3＞0， 解得﹣4＜a ＜5． 故答案是：﹣4＜a ＜5．4.不等式组{3x −5＞15x −a ≤12有2个整数解，则实数a 的取值范围是 ．【答案】8≤a ＜13．【解析】解：解不等式3x ﹣5＞1，得：x ＞2， 解不等式5x ﹣a ≤12，得：x ≤a+125，∵不等式组有2个整数解，∴不等式组{3x −5＞15x −a ≤12整数解为3和4，则4≤a+125＜5，解得：8≤a ＜13， 故答案为：8≤a ＜13．【方法总结】1.给出不等式组解的情况，求参数取值范围，解题思路如下：①分别求出不等式组中每个不等式的解集，②确定参数的取值范围，记住：“大小小大有解；大大小小无解．”注意：端点值另外考虑．2.给出不等式组的解集，求参数的值，解题思路如下：①先求出含参不等式组中每个不等式的解集；②再利用已知解集和所求解集之间的对应关系，建立方程（组）；③解方程（组），从而求出参数的值．3.给出方程（组）解的情况，转化为不等式（组），求参数的取值范围，解题思路如下：①先求含参数的方程组的解，方程组的解用含参的式子表示出来；②列出题目中解满足的不等关系，将含参数的式子代入，转化为关于参数的不等式（组），③解不等式（组），从而求出参数的取值范围．4.给出不等式组整数解的个数，确定参数的取值范围，解题思路如下：①先求出不含参数的不等式的解集；②再结合题意，在不含参数的不等式解集范围内找出连续的几个整数解；③参数的范围就在最后一个整数解差一个单位长度的范围内（借助数轴解决问题），注意：端点值特殊考虑．【随堂练习】1．已知关于x，y的方程组，其中﹣3≤a≤1．（1）当a＝﹣2时，求x，y的值；（2）若x≤1，求y的取值范围．【解答】解：（1），①﹣②，得：4y＝4﹣4a，解得：y＝1﹣a，将y＝1﹣a代入②，得：x﹣1+a＝3a，解得：x＝2a+1，则，∵a＝﹣2，∴x＝﹣4+1＝﹣3，y＝1+2＝3；（2）∵x＝2a+1≤1，即a≤0，∴﹣3≤a≤0，即1≤1﹣a≤4，则1≤y≤4．2．已知关于x、y的方程组（实数m是常数）．（1）若x+y＝1，求实数m的值；（2）若﹣1＜x﹣y＜5，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，化简：|m+2|﹣|2m﹣6|．【解答】解：（1）将方程组中的两个方程相加，得3（x+y）＝6m+1，将x+y＝1代入，得6m+1＝3，解得m＝；（2）将方程组中的两个方程相减，得x﹣y＝2m﹣1，解不等式组﹣1＜2m﹣1＜5，得0＜m＜3；（3）当0≤m≤3时，|m+2|-|2m﹣6|＝（m+2）+（2m﹣6）＝3m-4．知识点3 一元一次不等式的应用一元一次不等式的应用（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【典例】1.某中学计划用2500元购买一批名著和辞典作为奖品，其中名著每套60元，辞典每本40元，现已购买名著24套，学校最多还能买多少本辞典？【答案】略．【解析】解：设学校能买x本辞典，∵名著每套60元，现已购买名著24套，辞典每本40元，学校能买x本辞典，∴购买24套名著费用=24×60（元），购买x本辞典费用=40x（元），∵购买24套名著费用与购买x本辞典费用和不超过2500元，，∴可列出关于x的一元一次不等式：40x+24×60≤2500，解得：x≤2612∵x为整数，∴x=26．答：学校最多能买26本辞典．【方法总结】一元一次不等式的应用解决此类问题关键在于掌握解列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【随堂练习】1．为了开展全校学生阳光体育运动活动，增强学生身体素质，张老师所在的学校需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：足球数量（个）篮球数量（个）总费用（元）第一次65750第二次37780第三次78742（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；（2）求足球和篮球的标价；（3）如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，张老师决定从该商场一次性购买足球和篮球50个，且总费用不能超过2200元，那么最多可以购买多少个篮球．【解答】解：（1）张老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．理由：∵张老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，∴按打折价购买足球和篮球是第三次购买；故答案为：三；（2）设足球的标价为x元，篮球的标价为y元．根据题意，得，解得：．答：足球的标价为50元，篮球的标价为90元；（3）设购买a个篮球，依题意有0.6×50（50﹣a）+0.6×90a≤2200，解得a≤29．故最多可以买29个篮球．2．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．若顾客购物应付x元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？【解答】解：（1）当x≤50时，在甲、乙两个商场购物都不享受优惠，因此到两个商场购物花费一样；（2）当50＜x≤100时，在乙商场购物享受优惠，在甲商场购物不享受优惠，因此在乙商场购物花费少；（3）当累计购物超过100元时，即x＞100元，甲商场消费为：100+（x﹣100）×0.9元，在乙商场消费为：50+（x﹣50）×0.95元．当100+（x﹣100）×0.9＞50+（x﹣50）×0.95，解得：x＜150，当100+（x﹣100）×0.9＜50+（x﹣50）×0.95，解得：x＞150，当100+（x﹣100）×0.9＝50+（x﹣50）×0.95，解得：x＝150．综上所述，当累计消费大于50元少于150元时，在乙商店花费少；当累计消费大于150元时，在甲商店花费少；当累计消费等于150元或不超过50元时，在甲乙商场花费一样．知识点4 一元一次不等式组的应用一元一次不等式组的应用对具有多种不等关系的实际应用问题，通常列一元一次不等式组，并求解．一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【典例】1.把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本．这些书有多少本？学生有多少人？【答案】略．【解析】解：设有x个学生，那么共有（3x+8）本书，∵如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本，∴可知最后一人分到书的数的数量大于等于0且小于3，即0≤书的总数-（x-1）×5＜3，∴可列不等式组为{3x+8−5(x−1)≥03x+8−5(x−1)＜3，解得5＜x≤6.5，∵x为整数，∴x=6，∴共有6×3+8=26本，答：有26本书，6个学生．【方法总结】一元一次不等式组的应用解题思路①将题目中所给信息与数学思想联系起来，读懂题，列出不等式关系；②根据不等关系，列一元一次不等式组；③解一元一次不等式组；④从不等式组解集中找出符合题意的答案，并作答．【随堂练习】1．青县祥通汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B 型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于130万元，则有哪几种购车方案？【解答】解：（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则，解得，答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得18a+26（6﹣a）≥130，解得a≤3，∴2≤a≤3．a是正整数，∴a＝2或a＝3．共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车；2．义安中学工会“三八妇女节”共筹集会费1800元，工会决定拿出不少于270元，但不超过300元的资金为“优秀女职工”购买纪念品，其余的钱用于给50位女职工每人买一瓶洗发液或护发素，已知每瓶洗发液比每瓶护发素贵9元，用200元恰好可以买到2瓶洗发液和5瓶护发素．（1）求每瓶洗发液和每瓶护发素价格各是多少元？（2）有几种购买洗发液和护发素的方案？哪种方案用于为“优秀女职工”购买纪念品的资金更充足？【解答】解：（1）设每瓶洗发液和每瓶护发素价格分别为x元和y元，则，解得．答：每瓶洗发液和每瓶护发素的价格分别为35元和26元．（2）设购买洗发液t瓶，购买护发素（50﹣t）瓶，则1800﹣300≤35t+26（50﹣t）≤1800﹣270解得22≤t≤25，因为t为正整数，所以t＝23，24，25，即有三种方案：第一种方案：购买洗发液23瓶，护发素27瓶，余下资金293元．第二种方案：购买洗发液24瓶，护发素26瓶，余下资金284元．第三种方案：购洗发液25瓶，护发素25瓶，余下资金275元．综合运用1.若不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，则k的取值范围是．【答案】k＜4．【解析】解：∵不等式（k﹣4）x＞﹣1的解集为x＜−1k−4，∴k﹣4＜0，解得：k＜4．故答案为k＜4．2.关于x的两个不等式3x+a2＜1与3﹣3x＞0的解集相同，则a= ．【答案】-1．【解析】解：由3x+a2＜1得：x＜2−a3，由3﹣3x ＞0得：x ＜1， 由两个不等式的解集相同，得到2−a 3=1，解得：a=-1． 故答案为：-1．3.已知关于x ，y 的方程组{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②（1）由方程①﹣②，可方便地求得x ﹣y= ；（2）若方程组的解满足x+y ＞0，则a 的取值范围是 ． 【答案】2a ； a ＞﹣1．【解析】解：（1）{3x +y =1+3a ①x +3y =1−a ②，①﹣②得，2x ﹣2y=1+3a ﹣1+a ， 即x ﹣y=2a ；（2）①+②得，4x+4y=1+3a+1﹣a ， 即x+y=12a+12； ∵x+y ＞0，∴12a+12＞0，解得a ＞﹣1； 故答案为2a ；a ＞﹣1．4.已知不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，则a 的取值范围是 ．【答案】a ≤﹣5【解析】解：解不等式x+1＜a ，可得：x ＜a ﹣1；解不等式3x+5＞x ﹣7，可得：x ＞﹣6， 因为不等式组 {x +1＜a3x +5＞x −7无解，所以a ﹣1≤﹣6， 解得：a ≤﹣5， 故答案为：a ≤﹣55.关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，则a 的取值范围是 ．【答案】﹣3≤a ＜﹣2．【解析】解：由不等式①得x ＞a ， 由不等式②得x ＜1，所以不等式组的解集是a ＜x ＜1，∵关于x 的不等式组{x −a ＞01−x ＞0的整数解共有3个，∴3个整数解为0，﹣1，﹣2， ∴a 的取值范围是﹣3≤a ＜﹣2．6.已知不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为﹣1＜x ＜2，则（m+n ）2018=_________．【答案】1．【解析】解：解不等式x+2＞m+n ，得：x ＞m+n ﹣2， 解不等式x ﹣1＜m ﹣1，得：x ＜m ，∴不等式组{x +2＞m +nx −1＜m −1的解集为m+n ﹣2＜x ＜m ，∵不等式组的解集为：﹣1＜x ＜2， ∴m+n ﹣2=﹣1，m=2， 解得：m=2，n=﹣1，则（m+n ）2018=（2﹣1）2018=1， 故答案为：1．7.已知关于x ，y 的二元一次方程组{4x +y =k +2x +4y =3的解满足0＜x+y ＜1，则k 的取值范围是 ． 【答案】﹣5＜k ＜0．【解析】解：将两方程相加可得5x+5y=k+5， ∴x+y=k+55，∵0＜x+y ＜1，∴{k+55＞0k+55＜1，解得﹣5＜k ＜0，∴k 的取值范围是﹣5＜k ＜0， 故答案为：﹣5＜k ＜0．8.某种商品的进价为15元，出售时标价是22.5元．由于市场不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润率不低于10%，那么该店最多降价_________元出售该商品． 【答案】6．【解析】解：设降价x 元出售该商品，，则降价出售获得的利润是(22.5﹣x ﹣15)元，根据利润率不低于10%，列出不等式得，22.5﹣x﹣15≥15×10%，解得x≤6，故该店最多降价6元出售该商品．故答案为：6．9.某种毛巾的原零售价为每条6元，凡一次性购买两条以上（含两条），商家推出两种优惠方案：（1）两条按原价，其余按七折优惠；（2）全部按八折优惠．若在购买相同数量的毛巾的情况下，要使方案（1）比方案（2）合算，则最少要购买毛巾___________条．【答案】7．【解析】解：设购买毛巾x条，∵根据题意可得不等关系：2条毛巾的价格+（x﹣2）条毛巾的价格×0.7＜x条毛巾打8折的价格，∴可列出不等式为：6×2+6×0.7（x﹣2）＜6×0.8x，解得x＞6，∵x为最小整数，∴x=7，故答案为：7．＜1与②2（x﹣2）＞3x﹣6．10.关于x的两个不等式：①a+2x3（1）若两个不等式的解集相同，求a的值；（2）若不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，求a的取值范围．【答案】略．，【解析】解：（1）由①得：x＜3−a2由②得：x＜2，由两个不等式的解集相同，得到3−a=2，2解得：a=﹣1．故a的值为﹣1；（2）由不等式①的解与不等式②的正整数解之和小于4，得到3−a+1＜4，2解得a＞﹣3．故a的取值范围是a＞﹣3．11.某储运站现有甲种货物1530吨，乙种货物1150吨，安排用一列货车将这批货物运往青岛，这列货车可挂A、B两种不同规格的货厢50节．已知甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，按此要求安排A、B两种货厢的节数，有哪几种运输方案？请设计出来．【答案】略．【解析】解：设用A型货厢x节，则用B型货厢（50﹣x）节，∵甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货厢，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货厢，∴x节A型货厢可装甲种货物35x吨，乙种货物15x吨；(50-x)节B型货厢可装甲种货物25(50-x)吨，乙种货物35(50-x)吨；∴x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装甲种货物为[35x+25(50-x)]吨，x节A型货厢和（50﹣x）节B型货厢共装乙种货物为[15x+35(50-x)]吨，∴{35x+25(50−x)≥153015x+35(50−x)≥1150解得28≤x≤30，∵x为整数，∴x只能取28，29，30，∴当x=28时，则50-x=22，当x=29时，则50-x=21，当x=30时，则50-x=20，共有三种调运方案：第一种调运方案：用A型货厢28节，B型货厢22节；第二种调运方案：用A型货厢29节，B型货厢21节；第三种调运方案：用A型货厢30节，B型货厢20节．12.某工厂生产A、B两种产品共50件，其生产成本与利润如下表：若该工厂计划投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，问工厂有哪几种生产方案？哪种生产方案获利润最大？最大利润是多少？【答案】略．【解析】解：设生产A产品x件，则生产B产品（50﹣x）件，∴该工厂生产A种产品和B种产品一共投入资金为[0.6x+0.9(50-x)]元，∵该厂生产A种产品和B种产品投入资金不超过40万元，且希望获利超过16万元，∴可列不等式组为：{0.6x+0.9(50−x)≤40 0.2x+0.4(50−x)＞16，解得：50≤x＜20，3∵x取整数，∴x可取17、18、19，共三种方案：①A 17件，B 33件；②A 18件，B 32件；③A 19件，B 31件；第一种方案获利：0.2×17+0.4×33=16.6万元；第二种方案获利：0.2×18+0.4×32=16.4万元；第三种方案获利：0.2×19+0.4×31=16.2万元；故可得方案一获利最大，最大利润为16.6万元．答：工厂有3种生产方案，第一种方案获利润最大，最大利润是16.6万元．21。
七年级数学,一元一次不等式(组)含参问题,常见五种题型
七年级数学,一元一次不等式(组)含参问题,常见五种题型第一篇朋友们，今天咱们来聊聊七年级数学里一元一次不等式（组）含参问题的第一种常见题型。
比如说，有个不等式 2x + a > 5，告诉你 x > 2，让你求出 a 的取值范围。
这时候咱们就把 x 用 2 来替换，得到2×2 + a > 5，一计算，4 + a > 5，那 a 就得大于 1 才行。
这种题啊，关键就是把已知的 x 的值代进去，然后解关于参数的不等式。
大家多做几道这样的题，就能轻松掌握啦！第二篇嘿，亲爱的朋友们！这次咱们接着说七年级数学里一元一次不等式（组）含参问题的第二种常见题型。
就像有个不等式组，x + 3 > 5 ，x a 0 ，告诉你这个不等式组的解集是 2 x 3，那咱们就能得出 a 的值。
先解第一个不等式，x > 2 ，再解第二个不等式，x a 。
因为解集是 2 x 3 ，所以 a 就得是 3 。
这种题型就是通过解集来确定参数的值，大家多琢磨琢磨，是不是也不难？第三篇朋友们，咱们继续！今天讲讲一元一次不等式（组）含参问题的第三种常见题型。
比如说，有个不等式3x b ≤ 0 ，它的正整数解只有 1 和2 ，那咱们来想想 b 的范围。
先解这个不等式，得到x ≤ b/3 。
因为正整数解只有 1 和 2 ，所以2 ≤ b/3 3 ，一计算，6 ≤ b 9 。
这种题要注意正整数解的限制，多练几次就不怕啦！第四篇来啦来啦，朋友们！现在是一元一次不等式（组）含参问题的第四种常见题型。
假设给出一个不等式组，2x + 1 > 3 ，x + a 4 ，然后说这个不等式组无解，那咱们就能知道 a 的情况。
先解第一个不等式，x > 1 ，再解第二个不等式，x 4 a 。
因为无解，所以 4 a ≤ 1 ，算一下，a ≥ 3 。
这种题关键要理解无解的意思，然后就能找到参数的范围啦！第五篇朋友们，最后咱们看看第五种常见题型。
小专题(九) 一元一次不等式(组)中的参数问题
2 − 1 ≤ 7
则 a 的取值范围是
1
2
7≤ a ＜9或－3≤ a ＜－1
3
4
5
6
7
8
9
10
.
11
12
13
14
＞ + 1，
9. 已知关于 x 的不等式组 ൝+6
的解集中所有整数之和最大，求
≥+1
2
a 的取值范围.
＞ + ，
解：关于 x 的不等式组 ቐ+
点没标出，数轴的单位长度为1），则 a 的值为（ C ）
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
1
2
第3题
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
4. 如果关于 x 的不等式（ m ＋3） x ＞2 m ＋6的解集为 x ＜2，那么 m 的
取值范围是
m ＜－3
.
+ 1 < 2，
5. 已知不等式组 ቊ
的解集是3＜ x ＜5，则关于 x 的方程 ax
.
−3（ − 2） ≤ − ①，
13. 已知不等式组 ቐ2+1
≥ − 1②.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
（1） 若该不等式组的解集为2≤ x ≤4，求 a 的值；
解：（1）
−
解不等式①，得 x ≥
；解不等式②，得 x ≤4.∵
一元一次不等式组含参及整数解专项训练(25题)(学生版)
一元一次不等式组含参及整数解专项训练（25题）一．选择题（共13小题）1．若不等式组的解集为x＞4，则a的取值范围是（）A．a＞4B．a＜4C．a≤4D．a≥42．若不等式组无解，那么m的取值范围是（）A．m＞2B．m＜2C．m≥2D．m≤23．关于x的一元一次不等式组无解，求m的取值范围（）A．m＜0B．m＞0C．m≤0D．m≥04．已知关于x的不等式无解，则a的取值范围为（）A．a＜2B．a＞2C．a≤2D．a≥25．如果点P（3﹣m，2m+4）在第四象限，那么m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜3B．m＜3C．m＞﹣2D．m＜﹣26．点A（m+1，3m﹣7）在第一、三象限的角平分线上，则m的值为（）A．3B．4C．5D．67．已知点A的坐标为（a，3﹣a），下列说法正确的是（）A．若点A在y轴上，则a＝3B．若点A在一三象限角平分线上，则a＝1C．若点A到x轴的距离是3，则a＝±6D．若点A在第四象限，则a的值可以为48．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m≥1C．m＜1D．m≤19．已知方程组的解满足x为非正数，y为负数．求m的取值范围为（）A．2＜m≤3B．﹣2＜m＜3C．﹣2＜m≤3D．﹣2≤m＜310．若关于x的不等式组的解集为x＜2．则a的取值范围是（）A．a＞1B．a≥1C．a≤1D．a＜111．已知关于x的不等式组的整数解共有4个，则a的取值范围是（）A．﹣3≤a＜﹣2B．﹣3＜a≤﹣2C．﹣3＜a＜﹣2D．a＜﹣212．已知关于x的不等式组恰有4个整数解，则a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜﹣B．﹣1≤a≤﹣C．﹣1＜a≤﹣D．﹣1≤a＜﹣13．若关于x的不等式组的所有整数解的和是15，则m的取值范围是（）A．5＜m＜6B．5≤m＜6C．5＜m≤6D．5≤m≤6二．解答题（共12小题）14．已知点P（2a﹣12，1﹣a）位于第三象限．（1）若点P的纵坐标为﹣3，试求出a的值；（2）求a的取值范围．15．在平面直角坐标系中，已知点M（1+2m，﹣m）．（1）若点M在y轴上，求m的值；（2）若点M到y轴的距离是3，求m的值；（3）若点M在第一、三象限的角平分线上，求m的值．16．若不等式组有3个整数解，则a的取值范围是多少．17．解不等式组，求出解集并写出此不等式组的整数解．18．（1）解不等式，3（x﹣1）﹣5x≤1，并把解集表示在数轴上；（2）解不等式组并写出它的整数解．19．解不等式组，并写出该不等式组的最大整数解．20．解不等式组并求它的所有整数解的和．21．解不等式组，并求出正整数解．22．已知关于x、y的方程组的解都为非负数．（1）求a的取值范围；（2）已知2a﹣b＝1，求a+b的取值范围；（3）已知a﹣b＝m（m是大于1的常数），且b≤1，求2a+b最大值．（用含m的代数式表示）23．若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，求a的取值范围．24．解不等式组，并求出该不等式组的最小整数解．25．（1）若关于x的不等式x＜a的解集中的任意x，都能使不等式＜1成立，求a的取值范围；（2）若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求m的取值范围。
专题8.5 不等式中含参问题【十大题型】(举一反三)(华东师大版)(解析版)
专题8.5不等式中含参问题【十大题型】【华东师大版】【题型1根据一元一次不等式的解(集)求参数】 (1)【题型2根据一元一次不等式组的解集求参数】 (3)【题型3根据一元一次不等式有最值解求参数】 (5)【题型4根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】 (8)【题型5根据一元一次不等式组有解或无解求参数】 (10)【题型6根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】 (12)【题型7根据一元一次不等式组无整数解求参数】 (14)【题型8一元一次方程与不等式(组)综合求参数】 (16)【题型9二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】 (19)【题型10新定义问题与不等式综合求参数】 (22)【题型1根据一元一次不等式的解(集)求参数】【例1】（2023春·江苏·七年级统考期末）已知关于的不等式B+>0的解集为<12，则不等式−3+ <0的解集是．【答案】<5.【分析】不等式B+>0的解集是<12，判断出a＜0且−=12则可以得到>0，得到=−2再解出不等式−3+<0的解集即可．【详解】解：∵不等式B+>0的解集是<12根据不等式的性质可知，当>0时，不等式的解集为>−不符合题意∴可以判断出<0，即不等式的解集为<−∴−=12，即>0且=−2−3+<0即−3<−，则<3−=3+2=5∴不等式的解集为<5故答案为：<5.【点睛】本题考查了不等式的解集，熟悉不等式的性质是解题的关键．【变式1-1】（2023春·四川南充·七年级统考期末）已知关于x的不等式ax＋b＞0的解集为<13，则不等式bx＋a＜0的解集是．【答案】<3【分析】根据已知不等式的解集确定出a与b的关系，用b表示出a，代入所求不等式求出解集即可．【详解】解：∵关于x的不等式ax＋b＞0的解集为x＜13，∴−＝13且a＜0，整理得：a＝−3b，b＞0，代入所求不等式得：bx−3b＜0，解得：x＜3．故答案为：x＜3．【点睛】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．【变式1-2】（2023春·江苏镇江·七年级统考期末）若实数3是不等式3+2<−3的一个解，则可取的最大整数是（）A．−1B．2C．−3D．3【答案】C【分析】解不等式可得<−6−9，结合题意“实数3是不等式3+2<−3的一个解”，可得−6−9>3，解该不等式即可获得答案．【详解】解：由不等式3+2<−3，得<−6−9，∵实数3是不等式3+2<−3的一个解，∴−6−9>3，解得<−2，∴可取的最大整数为−3．故本题选：C．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及解一元一次不等式，结合题意得到不等式−6−9>3是解题关键．【变式1-3】（2023春·全国·七年级期末）已知关于x的一元一次不等式K22+2<2r33与2﹣x＜0的解集相同，则m＝．【答案】23【分析】首先计算出两个不等式的解集，再根据题意可得-6m+6=2，再解即可．【详解】解：∵2﹣x＜0∴x＞2−22+2<2+333−2+12<22+33x-6m+12＜4x+6，解得：x＞-6m+6，∵关于x的一元一次不等式K22+2<2r33与2﹣x＜0的解集相同∴-6m+6=2，解得：=23故答案为：23【点睛】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确确定两个不等式的解集．【题型2根据一元一次不等式组的解集求参数】【例2】（2023春·广西贺州·七年级校考期中）已知不等式组+2>+−1<−1的解集为−1<<2，则+ 2023=．【答案】1【分析】先求出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于、的方程，然后求出、的值，最后代入代数式进行计算即可得解．【详解】解：+2>+s−1<−1②，解不等式①得，>+−2，解不等式②得，<，所以不等式组的解集是+−2<<，∵不等式组的解集为−1<<2，∴+−2=−1=2，解得=2=−1，∴+2023=(2−1)2023=1．故答案为：1.【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法、解二元一次方程以及代数式求值，根据不等式组的解集列出关于、的方程是解题的关键．【变式2-1】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知是使不等式组<+1>2−1无解的最小整数，请你解关于，的方程组8−3=−−7−3=3+7．【答案】=−1=−2【分析】先根据不等式组无解得出2−1≥+1，解之得≥2，再结合是使不等式组无解的最小整数知=2，从而还原方程组，利用加减消元法求解即可．【详解】解：由题意得2−1≥+1，解得≥2，所以最小整数=2，代入原方程组，得8−3=−2 ①−7−3=13 ②由①−②，得15=−15，解得=−1．把=−1代入①，得=−2．所以原方程组的解为=−1=−2．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是根据不等式组无解得出的值，并熟练掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组的能力．【变式2-2】（2023春·浙江宁波·七年级浙江省余姚市实验学校校考期末）试求出所有的实数对a、b，使得关于x的不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5．【答案】 =52=−43【分析】先解不等式组，再由不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5，转化成关于a，b的方程组来解即可．【详解】解：不等式组B+3>2+4①3B−4<−5+1②由①得−2>1，由②得，3+5<5，∵不等式组B+3>2+43B−4<−5+1的解集为2<<5∴−2≠0，3+5≠0∴当>2，>−53时，有>1K2，<53r5，当<2，<−5时，有<1K2，>53r5，2 3r5=55 3r5=2，∴解得 =52=−43或 =115=−56（<2，<−53，不符合舍去）∴实数对a、b为 =52=−43．【点睛】此题考查不等式组和二元一次方程组的解法，解题关键在于要灵活运用运算法则．【变式2-3】（2023春·河南南阳·七年级统考期末）已知不等式组2+1≥−1−+2≥2(−1)，要使它的解集中的任意x的值都能使不等式3≥+3成立，则m的取值范围是．【答案】≤−9【分析】解不等式组得到解集，结合3≥+3成立列式求解即可得到答案；【详解】解：分别解不等式得，≥−2，≤43，∴−2≤≤43，∴−6≤3≤4，∵3≥+3，∴+3≤−6，解得：≤−9，故答案为：≤−9；【点睛】本题考查解不等式组及根据解集求参数，解题的关键是正确的求出不等式组的解集．【题型3根据一元一次不等式有最值解求参数】【例3】（2023春·江苏·七年级阶段练习）若不等式2<1−3的解集中所含的最大整数为4，则a的范围为．【答案】-3≤a＜-73．【分析】先求出不等式的解集，根据解集中所含的最大整数为4，求出a的取值范围即可．【详解】2x<1-3a，x＜1−32，∵解集中所含的最大整数为4，∴4＜1−32≤5，解得：-3≤a＜-73，故答案为-3≤a＜-73．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解的应用，解此题的关键是能求出关于a的不等式组，难度适中．【变式3-1】（2023春·安徽六安·七年级校联考期中）关于x的不等式3−+2>0的最小整数解为2，则实数m的取值范围是（）A．5≤<8B．5<<8C．5≤≤8D．5<≤8【答案】A【分析】解出不等式，然后根据不等式的最小整数解为2，即可列出关于m的不等式，从而求出m的取值范围．【详解】解：解不等式3−+2>0，得>K23，∵不等式的最小整数解为2，∴1≤K23<2，解得5≤<8，故A正确．故选：A．【点睛】此题主要考查的是含参数的一元一次不等式，掌握根据不等式的最小整数解求参数的取值范围是解决此题的关键．【变式3-2】（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x的不等式2x﹣3a+2≥0的最小整数解为5，则实数a 的值为【答案】103＜a≤4【分析】先将a看作常数解不等式，根据最小整数解为5，得4＜3K22≤5，解出即可．【详解】解不等式2x-3a+2≥0得x≥3K22，∵不等式的最小整数解为5，∴4＜3K22≤5，∴103＜a≤4，故答案为103＜a≤4．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．【变式3-3】（2023春·湖北武汉·七年级校考期末）已知关于x的不等式x﹣a＜0的最大整数解为3a+6，则a＝．【答案】−103【分析】求出不等式的解集，根据已知得出3+6<≤3+7，求出−3.5≤<−3，设=3+6，则= 13−2，得出不等式组−3.5≤13−2<−3，求出即可．【详解】解：解不等式−<0得：<，∵关于的不等式−<0的最大整数解为3+6，∴3+6<≤3+7，解得：−3.5≤<−3，∵3+6为整数，设=3+6，则=13−2，即−3.5≤13−2<−3，解得：−4.5≤<−3，∵为整数，∴=−4，即=13×(−4)−2=−103，故答案为：−103．【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解此题的关键是得出关于的不等式组．【题型4根据一元一次不等式(组)的整数解的个数求参数】【例4】（2023春·辽宁沈阳·七年级统考期中）已知关于的不等式组K2≥2−4≤3−2的最小整数解是2，则实数的取值范围是（）A．−3≤<−2B．−3<≤−2C．−3<<−2D．−3≤≤−2【答案】B【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大及不等式组的最小整数解求解即可．【详解】解：解不等式K2≥2，得：x≥4＋m，解不等式x−4≤3（x−2），得：x≥1，∵不等式组的最小整数解是2，∴1＜4＋m≤2，解得−3＜m≤−2，故选：B．【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【变式4-1】（2023春·江西赣州·七年级统考期末）若关于x的不等式x﹣a＞0恰好有两个负整数解，则a 的范围为．【答案】﹣3≤a＜﹣2．【分析】首先解不等式，然后根据条件即可确定a的值．【详解】解：∵x−a>0，∴x>a，∵不等式x−a>0恰有两个负整数解，则其负整数解为-1、-2且-3不是负整数解∴a的取值范围为：−3≤a<−2故答案为：−3≤a<−2.【点睛】本题主要考查含参的一元一次不等式的解法，含参的不等式指的是不等式未知数的系数或常数项用字母表示的不等式，利用分类讨论及数形结合思想，可结合数轴，解决含参不等式．【变式4-2】（2023春·云南曲靖·七年级统考期末）若关于的不等式2−≥0的负整数解为−1,−2,−3，则的取值范围是．【答案】−8<≤−6【分析】首先解不等式求得解集，然后根据不等式只有负整数解为-1，-2，-3，得到关于m的不等式，求得m的范围．【详解】解：∵2x-m≥0，∴2x≥m，∴x≥2．则-4＜2≤-3，解得：-8＜m≤-6．故答案为：-8＜m≤-6．【点睛】此题考查了根据不等式解集的情况求参数的取值范围，根据x的取值范围正确确定2的范围是解题的关键．【变式4-3】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组+1≥03−<0，有3个非负整数解，则m的取值范围是()A．6<≤9B．6≤<9C．2<≤3D．2≤<3【答案】A【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中有3个非负整数解，确定出m的范围即可．【详解】解：不等式组整理，得：≥−1<3，解得：−1≤<3，∵不等式组有3个非负整数解，即非负整数解为0，1，2，∴2<3≤3，解得：6<≤9．故选：A．【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．【题型5根据一元一次不等式组有解或无解求参数】【例5】（2023春·吉林松原·七年级校联考期中）若不等式组1<≤2>无解，则的取值范围是（）A．≥2B．<1C．≤2D．1≤<2【答案】A【分析】由已知不等式组无解，确定出k的范围即可．【详解】解：∵不等式组1<≤2>无解，∴k的范围为k≥2，故选：A．【点睛】此题考查了不等式组的解集，熟练掌握确定每个不等式的解集是解本题的关键．【变式5-1】（2023春·重庆渝中·七年级重庆市求精中学校校考期中）不等式组2(+1)<3−6<4无解，则的取值范围是．【答案】≤2【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．【详解】不等式组整理得：>8<4，由不等式组无解，得到4≤8，解得：≤2，则的取值范围是≤2．故答案为：≤2．【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．【变式5-2】（2023春·广西梧州·七年级统考期末）关于的不等式组−>32+8>4有解且每一个的值均不在−2≤≤6的范围中，则的取值范围是（）A．<1B．≤1C．1≤≤5D．≥5【答案】A【分析】求出不等式组−>32+8>4的解集，根据不等式组解集所处条件范围，列出关于a的不等式，解不等式可得答案．【详解】解：−>3①2+8>4t，解不等式①得：<−3，解不等式②得：>2−4，∴原不等式组的解集为：2−4<<−3，∵不等式组有解且每一个的值均不在−2≤≤6的范围中，∴2−4≥6或−3≤−2，解得：≥5或≤1，∵不等式组有解集，∴−3>2−4，解得：<1，综上，的取值范围是<1．故选：A．【点睛】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式，掌握不等式的性质，逆向应用是本题的特点．【变式5-3】（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）若关于>0>−1无解，且方程2−+1=−32−的解是非负数，则满足条件的整数的值有()个．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，继而根据不等式组无解确定出a的范围，再解一元一次方程求出用含a的式子表示的x的值，进而根据方程解为非负数得到关于a的不等式，解不等式求出a的取值范围，进而即可确定出符合所有条件的整数a的值．>0①>−1②，由①得：x>a，由②得：x<1，由于不等式组无解，所以a≥1；解方程2−+1=−32−得x=7−22，由方程2−+1=−32−的解是非负数，则有7−22≥0，解得：a≤72，所以a的取值范围为1≤a≤72，所以满足条件的整数a为1、2、3，共3个，故选C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解、不等式组无解问题，熟练掌握相关解法是解题的关键．【题型6根据一元一次不等式组的整数解的和求参数】【例6】（2023春·全国·七年级专题练习）已知关于x的不等式组{3x+＜0＞−5的所有整数解的和为-9，则m 的取值范围（）A．3≤m＜6B．4≤m＜8C．3≤m＜6或-6≤m＜-3D．3≤m＜6或-8≤m＜-4【答案】C【分析】先求解不等式组，再根据条件判断出含参代数式的范围，从而求得参数的范围即可．【详解】解原不等式得：{<−3>−5，即−5≤<−3，由所有整数解的和为-9，可知原不等式包含的整数为-4，-3，-2或-4，-3，-2，-1，0，1，当整数为-4，-3，-2时，则−2<−3≤−1，解得：3≤<6，当整数为-4，-3，-2，-1，0，1时，则1<−3≤2，解得：−6≤<−3，故选：C．【点睛】本题考查含参不等式组求解问题，熟练掌握对含参代数式范围的确定是解题关键．【变式6-1】（2023春·湖南长沙·七年级统考期末）若关于的不等式组3−2<5+4≤−1的所有整数解的和为0，则的值不可能是（）A．3B．3.2C．3.7D．4【答案】D【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后根据整数解的和为0，确定整数解，即可求得的取值范围．【详解】解：3−2<5+4①≤−1②，解①得>−3，解②得≤−1，∵所有整数解的和为0，∴整数解是−2，−1，0，1，2，∴2≤−1<3，解得：3≤<4，∴的值不可能是4，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．【变式6-2】（2023春·安徽亳州·七年级校考阶段练习）已知不等式组r1310 +5r43>+1+的正整数解为=1和2，求的取值范围．【答案】1<≤32【分析】先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解．【详解】解：r13+12>0①+5r43>43+1+t解①得：>−52解②得：<2∵不等式组的正整数解为=1和2∴2<2≤3∴1<≤32【点睛】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况确定参数的取值范围．注意计算的准确性．【变式6-3】（2023春·四川绵阳·七年级统考期末）若关于x≤−1−15s2>−12的最大整数解与最小整数解的和为−2，则满足条件的整数m的和为．【答案】27【分析】依据题意，解出不等式组的解集，然后再由最大整数解与最小整数解的和为−2，进而计算可以得解．≤−1−15s2>−12t，∴由①得，≤52；由②得，>2−12．∴原不等式组的解集为2−12<≤52．∴这个不等式组的最大整数解为2．又最大整数解与最小整数解的和为−2，∴这个不等式组的最小整数解为−4．∴−5≤2−12<−4．∴12<≤14．∴满足题意的整数有13，14．∴满足题意的整数的和为27．故答案为：27．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，解题时要熟练掌握并理解是关键．【题型7根据一元一次不等式组无整数解求参数】【例7】（2023春·安徽安庆·七年级校考期中）已知关于的不等式组5−2>1>无整数解，则的取值范围是（）A．≥1B．>1C．1<≤2D．>2【答案】A【分析】先求出不等式①的解集，根据不等式组无整数解即可得到答案.【详解】5−2>1①>t，解不等式①得x<2，∵不等式②知x>a，不等式组5−2>1>无整数解，∴≥1．故选：.【点睛】此题考查解一元一次不等式组，根据不等式组的解的情况求未知数的取值范围.【变式7-1】（2023春·上海·六年级校考阶段练习）关于的不等式组2−5<0−>0无整数解，则的取值范围为．【答案】≥2【分析】先分别求出两个不等式的解集为<52和>，再分两种情况：①≥52和②<52进行讨论即可得．【详解】解：由2−5<0−>0得：<52>，①当≥52时，原不等式组无解，符合题意；②如图，当<52时，要使原不等式组无整数解，则≥2，所以此时2≤<52；综上，≥2，故答案为：≥2．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解，熟练掌握不等式组的解法，正确分两种情况讨论是解题关键．【变式7-2】（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）若不等式组2>3−33−<−6无正整数解，则a的取值范围为（）A．a≤15B．a＜9C．a＜15D．a≤9【答案】D【分析】解一元一次不等式组【详解】2x＞3x-3,3x-a＞﹣6即x<3,x>（a−6）3因为不等式组无正整数解，所以不等式解集为x<1则（a−6）3≤1a-6≤3a≤9【点睛】掌握解一元一次不等式组的步骤：（1）求出这个不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出了这个不等式组的解集．【变式7-3】（2023春·七年级单元测试）关于x的不等式组2+1＞＜−3有解但是无整数解，则m的取值范围为．【答案】-7≤m＜－5【详解】解：2+1>s<−3②．∵解不等式①得：x＞K12．又∵关于x的不等式组2+1><−3有解但是无整数解，∴﹣4≤K12＜﹣3，解得：﹣7≤m＜﹣5．故答案为﹣7≤m＜﹣5．点睛：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，能求出关于m的不等式组﹣4≤K12＜﹣3是解答此题的关键．【题型8一元一次方程与不等式(组)综合求参数】【例8】（2023春·全国·七年级期末）若关于的方程−2=3−2的解为非负数，且关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，则符合条件的整数值的和为（）A．2B．3C．5D．6【答案】C【分析】根据关于的方程−2=3−2的解为非负整数，且关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．【详解】解：由方程−2=3−2，得=3−，∵关于的方程−2=3−2的解为非负整数，∴3−≥0，得≤3，−2−1≤3①2r3≥②，由①，得≥−1，由②，得≤，∵关于的不等式组−2−1≤32r3≥有解，∴−1≤，得≥−1，由上可得，−1≤≤3，∴符合条件的整数的值为：−1，0，1，2，3，∴符合条件的整数的值的和为：−1+0−1+1+2+3=5．故选：C．【点睛】本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．【变式8-1】（2023春·陕西安康·七年级统考期末）关于x的方程2−3=2+8的解是负数，求m的取值范围．【答案】<−112【分析】先解方程，用含m的代数式表示出x，根据解是负数得到关于m的不等式，解不等式即可．【详解】解：解方程2−3=2+8，得=+112，∵关于x的方程2−3=2+8的解是负数，∴=+112<0，∴<−112．【点睛】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，解题的关键是用含m的代数式表示出x．【变式8-2】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）若关于x的一元一次不等式组−2r34<22+7<4(+1)的解集为K32，且关于y的方程3−2=2K(5−3p2的解为非负整数，则符合条件的所有整数m的积为（）．A．2B．7C．11D．10【答案】D【分析】不等式组整理后，根据已知解集确定出m的范围，由方程有非负整数解，确定出m的值，求出之积即可．【详解】解：−2r34<2s2+7<4(+1)②，由①得：K310，由②得K32，由解集为K32，得到310≤32，即≤5，方程去分母得：6−4=2−5+3，即=2K13，由为非负整数，结合≤5且为整数，∴=5或=2，∴符合条件的所有整数m的积为2×5=10，故选D．【点睛】本题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-3】（2023春·河南洛阳·七年级统考期中）已知关于x的方程：K22−1=43+．(1)若方程的解是=3．那么=？(2)若该方程的解是负数，并且m是负整数，请你试求该方程的解．【答案】(1)=−412(2)=−65【分析】（1）把=3代入方程得到一个关于m的方程，求得常数即可；（2）求出关于x的方程，进一步探讨得出答案即可．【详解】（1）把=3代入K22−1=43+，得：12−1=4+，解得：=−412．（2）K22−1=43+去分母得，3−6−6=8+6，解得：=−12−65，∵<0，∴−12−65<0，∴>−2．∵m是负整数，∴=−1，∴=−65．【点睛】此题考查了方程解的定义和解方程的步骤与方法，注意审清题意，正确理解方程的解．【题型9二元一次方程组与不等式(组)综合求参数】【例9】（2023春·重庆·七年级统考期末）若关于x的不等式组K24<K134−≤4−恰有2个整数解，且关于x，y的方程组B+=43−=0也有整数解，则所有符合条件的整数m的和为（）A．−2B．−3C．−6D．−7【答案】D【分析】表示出不等式组的解集，根据解集中恰有2个整数解，确定出m的范围，再由方程组有整数解，确定出满足题意的整数m的值，求出之和即可．【详解】解：不等式组整理得：>−2≤r45，解得：-2＜x≤r45，∵不等式组恰有2个整数解，即-1，0，∴0≤r45＜1，解得：-4≤m＜1，即整数m=-4，-3，-2，-1，0，解方程组B+=43−=0得：=4r3=12r3，∵x，y为整数，∴m+3=±1或±2或±4，解得：m=-4或-2或-1，则m值的和为-4-2-1=-7．故选：D．【点睛】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及二元一次方程组的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．【变式9-1】（2023春·四川宜宾·七年级统考期末）若关于、的二元一次方程组+2=42+=3−(1)用含的代数式表示+．(2)若方程组的解满足−>−4，求的取值范围．(3)在（2）的条件下，若为正整数，求关于的方程B−1−2=5的解．【答案】(1)+=7−3(2)<3(3)=113或=115．【分析】（1）把两个方程相加，再利用等式基本性质，两边同时除以3即可；（2）解含有字母参数m的方程组，求出a，b，代入不等式进行解答即可；（3）根据已知条件，求出m，把m值代入方程，进行解答．【详解】（1）解：+2=4①2+=3−t，由①+②得：3+3=7−，∴+=7−3；（2）解：+2=4①2+=3−t，由②−①得：−=−1−，∵又−>−4，∴−1−>−4，解得：<3，∴的取值范围是<3；（3）解：由（2）得的取值范围是<3，为正整数，则为1或2，当=1时，关于的方程化为−1−2=5，解得：=113；当=2时，关于的方程化为2−1−2=5，解得：=115．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组、一元一次不等式组及一元一次方程．【变式9-2】（2023春·福建福州·七年级福建省福州屏东中学校考期末）已知关于x，y的方程组−3=4−+=3，其中−3≤≤1，若=−，则M的最小值为（）A．−2B．−1C．2D．3【答案】B【分析】由①+②得x-y=2+t，将=−代入得t=M-2，再根据−3≤≤1可得−1≤≤3即可得出答案．【详解】解：−3=4−s+=3t①+②得2x-2y=4+2t即x-y=2+t，∵=−，∴M=2+t，∴t=M-2∵−3≤≤1,∴−3≤−2≤1即−1≤≤3∴M的最小值为-1故选：B．【点睛】本题考查含参二元一次方程组参数满足的条件求字母的最小值问题，用整体思想直接找到两个参数之间的关系是解题的关键．【变式9-3】（2023春·四川南充·七年级统考期末）关于，的方程组−=1+=6−7的解，都是非负数，如果2+=1，=+，那么的取值范围是．【答案】≤−13【分析】根据二元一次方程组的解法求出−=1+=6−7的解，再根据解的情况得到≥43，从而由2+= 1，=+得到=+=+1−2=1−，即可得到的取值范围．【详解】解：−=1①+=6−7②，①+②得：2=6−6，解得：=3−3，②−①得：2=6−8，解得：=3−4，∵关于，的方程组−=1+=6−7的解，都是非负数，∴3−3≥03−4≥0，解得：≥43，∴−≤−43，∵2+=1，即=1−2，∴=+=+1−2=1−，则的范围是≤1+−=−13，故答案为：≤−13．【点睛】本题考查解二元一次方程组、根据二元一次方程组解的情况求参数范围，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次不等式组的解法、不等式的性质是解决问题的关键．【题型10新定义问题与不等式综合求参数】【例10】（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）定义一种新运算max，规定：当>时，max s=；当=时，max s==；当<时，max s=．(1)max3,−1=______，max6,9=______；(2)若关于的方程，满足max3+2=r12，求的取值范围；(3)若关于的方程组max1,2+1=2+1,max s+3=2+s无解，求的取值范围．【答案】(1)3；9(2)≥9(3)<2【分析】（1）根据新定义求值即可；（2）根据新定义列不等式计算即可；（3）先根据新定义求出含参数的x的取值范围，再由无解求的取值范围．（1）∵3＞-1，∴max3,−1=3∵9＞6，∴max6,9=9（2）∵max3+2=r12∴r12≥3+2解得≥9（3）由max−1,2+1=2+1可得：2+1≥−1解得≥−2由max s+3=2+可得：2+≥+3解得：≤2−6∵关于的方程组B1,2+1=2+1,B+s+3=2+s无解，即≥−2≤2−6无解∴2−6<−2解得：<2【点睛】本题考查一元一次不等式应用，理解新定义，能将所求知识根据新定义转化为一元一次不等式求解是解题的关键．【变式10-1】（2023春·甘肃兰州·七年级校考期中）我们定义；如果两个一元一次不等式有公共解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式是另一个不等式的“云不等式”(1)不等式≥2≤2的“云不等式”：（填“是”或“不是”）．(2)若关于的不等式+2≥0不是2−3<+1“云不等式”，求的取值范围．(3)若≠−1，关于的不等式+3>与不等式B−1≤−互为“云不等式”，求的取值范围．【答案】(1)是(2)<−32(3)<−1或−1<<4【分析】（1）根据云不等式的定义即可求解；（2）解不等式+2≥0可得≥−2，解不等式2−3<+1得<4，再根据云不等式的定义可得−2>3，解不等式即可求解；（3）分两种情况讨论，根据云不等式的定义得到含的不等式，解得即可．【详解】（1）解：∵不等式≥2和不等式≤2有公共整数解2，∴不等式≥2是≤2的“云不等式”，故答案为：是；（2）解：解不等式+2≥0可得≥−2，解不等式2−3<+1得<4，∵关于的不等式+2≥0不是2−3<+1的“云不等式”，∴−2>3，解得<−32．故的取值范围是<−32；（3）解：∵B−1≤−，∴B+≤+1，∴+1≤+1，①当+1>0时，即>−1时，+1≤+1的解集是≤1，∵+3>，∴>−3，由题可得−3<1，即<4，故−1<<4；②当+1<0时，即<−1时，+1≤+1的解集是≥1，此时始终符合题意，故<−1，综上所述：的取值范围为<−1或−1<<4．【点睛】本题主要考查了新定义运算，以及解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组解集的确定方法是解题的关键．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．【变式10-2】（2023春·湖北武汉·七年级统考期末）定义运算：s=B+B，已知2,3=7，3,4=10．(1)直接写出：=______，=______；(2)若关于的不等式组+1,2−≥02s−<0无解，求的取值范围；(3)若B+3s2−B≥3+4的解集为≤13，求不等式B−s3−B≥+的解集．【答案】(1)2；1(2)≤−20(3)≤139【分析】（1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值；（2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围；（3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为≤13可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可．【详解】（1）解：由题意得：2+3=73+4=10，解得：=2=1，故答案为：2；1；（2）把=2，=1代入s=B+B得s=2+，∴不等式组+1,2−≥02s−<0可转化为2+1+2−≥02×2+−<0，解得：≥−4<5，∵关于的不等式组+1,2−≥02s−<0无解，∴5≤−4，解得：≤−20，∴的取值范围是≤−20；（3）不等式B+3s2−B≥3+4转化为2B+3+2−B≥3+4，整理，得：2−≥−2，∵B+3s2−B≥3+4的解集为≤13，∴2−<0，解得：≤K22K，∴K22K=13，∴=5，∴2×5−<0，解得：<0，不等式B−s3−B≥+转化为2B−+3−B≥+，整理，得：2−≥3−2，。
完整word版一元一次不等式含参问题
元一次不等式含参问题 类型一根据不等式租的整数解情况确定字母的取值范围 有3个整数解，则m的取值范围是 工为11
范围是 变式练习3.已知关于x的不等式组｛；；?> ；(；；(??++?5,仅有4个整数解，则实数 a的取值范围是
5??+ 2 > 3(??- 1) 变式练习4.已知关于x的不等式组｛1 3 仅有4个整数解，则实数 2 ??w 8 - "2 ??" 2??
a的取值范围是
例1 .不等式组 变式练习1.不等式组
‘>7有3个整数解，则m的取值范围是
葢
变式练习2.已知关于x的不等式组 ;[*>有3个整数解，则实数a的取值 变式练习4已知不等式组d 无解，则a的取值范围是
类型二根据不等式组的解集确定字母的取值范围 例2.已知关于x的不等式组 无解，则a的取值范围是
1-3®-刀 <2 变式练习1 .若关于x的不等式组a+2s 有解，则实数a的取值范围
变式练习2•若不等式 的解集为x>3,则a的取值范围是 变式练习3.若关于x的不等式 4+ 垃〉g+5 3 2 丄 的解集为x<2,贝U a的取值范围 土 <0 变式练习 1 .不等式Y（ X - m）> 3 - m的解集为x > 1,则m的值为
2.若关于X的不等式3m- 2X< 5的解集是X>3,则实数m的值为
3.若不等式ax+b< 0的解集是X >- 1,则a, b应满足的条件有
类型三根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围 例3.已知方程组2X y 1 3m满足??+ ??< 0,求m的取值范围 X 2y 1 m
变式练习 1.若关于X，y 的二元一次方程组 的解满足x+y<2,则a的取值范围
2.已知
X 2y
2x y 4k
2k 1且
-1X y0，则k的取值范围为
例4.已知关于 X的不等式（1 - a） X > 2的解集为X<¥_，贝U a的取值范围
1 -a 综合练习 1 .关于x的一元一次不等式匝？生W- 2的解集为x>4,则m的值为（
数学人教版七年级下册专题 含参不等式(组)的参数范围
4 2
p
p ，且满足
x
y ，那么实数
p
的取值范围是什么？
答案：
x 85p
y
10
7
p
p 1
2x y 1 3m ① x 2y 1 m ②
2 x y0
答案： 3x 3y 2 2m
4 m 1
例则.m若的不值等是式什组么2x. x26m答01案的：解集xx 为2m3 31
x
例1.解不等式 2x 1 5 x 5,
34
解一元一次不等式的步骤：
并把它的解在数轴上表示出来.
①去分母 ②去括号
③移项
解:去分母得:4(2x 1)
12(5
x 5)
④合并同类项 ⑤系数化为1.
4
（注意系数的符号）
去括号得: 8x-4≥15x-60
移项得: 8x-15x≥-60+4
合并同类项组）中字母范围的确定
一元一次不等式特征： 1、只含有一个未知数 2、未知数的最高次数是1次 3、含未知数的式子是整式 4、不等式
不等式的基本性质：
1、不等式的两边都加 上（或减去）同一个数， 所得不等式仍成立
2、不等式的两边都 乘（或都除以）同一 个正数，所得不等式 仍成立； 3、不等式的两边都 乘（或都除以） 同一个负数，必须改 变不等号方向， 所得不等式仍成立。
2
2
思考题：
x n
如果不等式组 x m 无解，则不等式组
x 1 2n
x 1 2m 的解集是什么？
化系数为1得:
x≤8
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
同除以-7, 方向改变
例2 利用数轴，解一元一次不等式组： 解一元一次不等式,并把解表示在数轴上：
含参数的一元一次不等式组讲课教案
自主学习
1. 不等式 x ? 4 ? 2(1? x) 的解集为 x ? 2 .
2. 问题1中不等式的解集表示在数轴上为（ B ）
A
B
C
D
3. 问题1 中不等式非负的整数解为 0 ，1 .
类型1：系数含参数的一元一次不等式
问题1 ：求关于x 的一元一次不等式 mx ? 2的解集.
不等式式 x ? a(x ? a )
分析： （1）如果 m ? 0，那么 x ? 2 m
（2）如果 m ? 0，那么 x ? 2 m
练习
1. 已知a ? 3 ，求不等式 2 xa? x ??2
0 的解集.
x
?
2 2?a
变式
1. 关于x 的不等式 (3 ? a )x ?
求a 的范围.
2
的解集为 x ?
问题3 ：关于x 的不等式组
?5? 2x ? ?1
? ?
x
?
a
?
0
无解，
求a 的取值范围.
变
式：关于x 的不等式组
?2x ??3 x
? ?
3x a?
? 5
3
有解，
求a 的取值范围.
a? 4
类型2：已知不等式组的特殊解，确定参数取值范围
问题1 ：关于x 的不等式组
?x? m ? 0
? ?7
?
2
x
?
1
?x?a ? 0 ??? 2x ? 2 ?
?6
的解集为
x
?
4
求a 的取值范围.
练习
1 ：关于x 的不等式组
?x
? ?
x
? ?
2 ?m